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MATEMTICA P/ PRF TEORIA E EXERCCIOS COMENTADOS

Prof. Arthur Lima Aula 01

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AULA 01: PROBLEMAS DE CONTAGEM

SUMRIO PGINA 1. Problemas de contagem (anlise combinatria) 01 2. Resoluo de exerccios 13 3. Questes apresentadas na aula 61 4. Gabarito 77

Prezado aluno, em nossa primeira aula veremos o assunto Problemas de contagem do seu edital. Trata-se de um pr-requisito para o estudo da Probabilidade, objeto de nossa aula 02. Assim sendo, o entendimento da aula de hoje essencial para o bom aproveitamento da prxima aula. Portanto, muita ateno...

1. PROBLEMAS DE CONTAGEM (ANLISE COMBINATRIA) 1.1 Contagem e anlise combinatria Imagine que voc possui em seu armrio 3 calas , 4 camisetas e 2 pares de tnis. De quantas maneiras diferentes voc pode se vestir? Ora, basta imaginar que para cada cala voc pode utilizar qualquer uma das 4 camisetas, e para cada conjunto cala-camiseta voc pode usar qualquer dos 2 pares de tnis. O princpio fundamental da contagem, ou regra do produto, nos diz que para obter a quantidade total de maneiras de se vestir basta multiplicar o nmero de calas pelo nmero de camisas e pelo nmero de tnis, isto :

Maneiras de se vestir = 3 x 4 x 2 = 24

Em outras palavras, quando temos acontecimentos sucessivos e independentes (escolha da cala, da camiseta e do tnis), basta multiplicarmos as quantidades de possibilidades de cada acontecimento (isto , 3 possibilidades para o acontecimento escolha da cala; 4 para a escolha da camiseta e 2 para a escolha do tnis).

Vejamos um outro exemplo: quantos nmeros de 3 algarismos podemos formar utilizando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?




Note que precisamos formar nmeros com o formato ABC, onde cada letra simboliza um algarismo. Para a posio A temos 6 opes de algarismos. Para a posio B temos novamente 6 opes. E o mesmo ocorre na posio C. Portanto, a quantidade de nmeros de 3 algarismos dada pela multiplicao:

6 x 6 x 6 = 216 possibilidades

E se o exerccio dissesse que os nmeros de 3 algarismos formados devem ter os 3 algarismos distintos? Neste caso, teramos tambm 6 opes para preencher a posio A. Para preencher a posio B, no mais podemos usar o nmero que j foi utilizado para A. Portanto, temos 5 opes. E para a posio C, restam apenas 4 opes. Assim, teramos:

6 x 5 x 4 = 120 possibilidades

E se o exerccio houvesse dito que, alm de formar nmeros com algarismos distintos, o algarismo 2 sempre deve estar presente? Ora, precisamos calcular quantos nmeros podemos formar tendo o 2 na posio A, depois na posio B, e depois na posio C.

Se o 2 estiver na posio A, teremos nmeros do tipo 2BC. Para a posio B temos 5 opes de algarismos, pois o 2 j foi utilizado. E para a posio C temos 4 opes. Portanto, teremos 1 x 5 x 4 = 20 possibilidades de nmeros do tipo 2BC. Analogamente, para nmeros do tipo A2C, temos 5 x 1 x 4 = 20 possibilidades. Temos outras 20 possibilidades para nmeros do tipo AB2. Ou seja, ao todo temos 60 possibilidades.

Voc reparou que nos exemplos anteriores ns haviamos efetuado apenas multiplicaes para chegar no resultado, e neste ltimo exemplo foi preciso efetuar a soma 20 + 20 + 20? Uma dica para voc saber quando somar e quando multiplicar perceber a presena das expresses E e OU. Veja como fazer isso: - no exemplo das camisetas, calas e tnis, tnhamos 4 possibilidades para as camisetas E 3 possibilidades para as calas E 2 possibilidades para os tnis. Por isso, multiplicamos 4 x 3 x 2. - para formar nmeros de 3 algarismos distintos com os elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tnhamos 6 possibilidades para o primeiro algarismo E 5 possibilidades para o




segundo E 4 possibilidades para o terceiro, de modo que novamente efetuamos a multiplicao 6 x 5 x 4. - j para obter nmeros de 3 algarismos distintos onde o 2 estivesse presente, vimos que o 2 podia estar na primeira posio OU na segunda posio OU na terceira posio. Foi por isso que tivemos que somar as 20 possibilidades de ter o 2 na primeira posio com as 20 possibilidades de ele estar na segunda posio e com as 20 possibilidades de ele estar na terceira posio. Lembrando-se que o E remete multiplicao e o OU remete soma, voc dificilmente errar uma questo. Em uma abordagem mais acadmica, dizemos que: - o princpio multiplicativo utilizado no caso de eventos independentes (a escolha da camiseta independe da escolha da cala, que independe da escolha do tnis); - o princpio aditivo utilizado no caso de eventos mutuamente excludentes (a presena do 2 em uma posio exclui a possibilidade de ele estar nas demais posies);

1.2 Permutao simples Analisemos agora o seguinte exemplo: temos 5 pessoas que devem se sentar em uma fileira do cinema, uma ao lado da outra. De quantas maneiras diferentes podemos sentar essas pessoas? Na primeira cadeira, podemos colocar qualquer uma das 5 pessoas. Isto , temos 5 possibilidades. J na segunda cadeira, temos apenas 4 possibilidades, pois necessariamente uma pessoa j estar ocupando a primeira cadeira. Para terceira cadeira sobram 3 possibilidades, assim como sobram 2 possibilidades para a quarta cadeira, e uma para a ltima. Veja isso na tabela abaixo:

Cadeira 1 2 3 4 5 Possibilidades de ocupao

5 4 3 2 1

Feito isso, podemos utilizar novamente a regra do produto para obter o nmero total de formas de sentar as pessoas:

Total de formas de sentar = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120




Observe um detalhe importante neste problema: em cada uma dessas 120 possibilidades de arrumao das pessoas, as mesmas 5 pessoas esto presentes. O que torna diferente uma possibilidade da outra somente a ordem de posicionamento das pessoas. Esse tipo de problema, onde o objetivo arrumar n elementos em n posies distintas (no caso, 5 pessoas em 5 cadeiras), e onde a ordem de arrumao dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, chamado de PERMUTAO SIMPLES. O clculo da permutao simples de n elementos dada pela frmula abaixo:

P(n) = n!

Nesta frmula, n! significa n fatorial. Na matemtica, chamamos de fatorial de um nmero n o produto de todos os nmeros inteiros e positivos iguais ou inferiores a n, isto :

n! = n x (n 1) x (n 2) x ... x 1

Exemplificando, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Portanto, se fossemos aplicar esta frmula na questo das cadeiras do cinema, teramos:

P(5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de posicionar as pessoas

Ateno para um detalhe: s podemos usar a frmula de permutao simples nos problemas onde a ordem de arrumao dos n objetos torne uma possibilidade diferente da outra! Vamos nos deparar com vrios problemas onde a ordem no torna uma possibilidade diferente da outra e no poderemos resolv-los de maneira to simples como a vista aqui. Vejamos um outro exemplo de permutao simples: quantos anagramas podemos formar utilizando todas as letras da palavra BRASIL? Um anagrama um rearranjo das letras. SILBRA, por exemplo, um anagrama da palavra BRASIL. Veja que em BRASIL temos 6 letras distintas entre si, isto , sem repetio. Assim, cada anagrama ser formado por 6 letras, distribudas entre 6 posies:

Posio 1 2 3 4 5 6 Letras 6 5 4 3 2 1




disponveis

Veja que o total de anagramas ser dado por 6!, isto , 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. Utilizando a frmula:

P(6) = 6! = 720

1.3 Permutao com repetio Imagine que voc queira calcular o nmero de anagramas da palavra ARARA. A princpio voc usaria a frmula de permutao simples, como fizemos no caso de BRASIL. Porm ARARA possui 3 repeties da letra A e 2 repeties da letra R. Isso faz com que alguns anagramas seja, na verdade, repeties uns dos outros.

Exemplificando, podemos construir o anagrama ARRAA, onde simplesmente trocamos de posio o 2 R com o 2 A. Este mesmo anagrama poderia ter sido construdo trocando de posio o 1 R com o 2 A, e, a seguir, colocando o 1 A na ltima posio. No podemos contar 2 vezes esses anagramas, pois eles so idnticos. Por isso, quando h repetio devemos usar a frmula da permutao simples, porm dividir o resultado pelo nmero de permutaes de cada letra repetida. Como ARARA tem 5 letras, sendo que o A repete-se 3 vezes e o R repete-se 2 vezes, temos:

5!(5 ; 3 2) 103! 2!

PR e = =

anagramas

Generalizando, podemos dizer que a permutao de n elementos com repetio de m e p dada por:

!( ; )! !nPR n m e p

m p=

1.4 Arranjo simples Imagine agora que quisssemos posicionar aquelas 5 pessoas nas cadeiras do cinema, mas tivssemos apenas 3 cadeiras disposio. De quantas formas poderamos fazer isso?




Para a primeira cadeira temos, novamente, 5 pessoas disponveis, isto , 5 possibilidades. J para a segunda cadeira, restam-nos 4 possibilidades, dado que uma j foi utilizada na primeira cadeira. Por fim, na terceira cadeira poderemos colocar qualquer das 3 pessoas restantes. Veja que sempre sobraro duas pessoas em p, afinal temos apenas 3 cadeiras. A quantidade de formas de posicionar essas pessoas sentadas dada pela multiplicao abaixo:

Formas de organizar 5 pessoas em 3 cadeiras = 5 x 4 x 3 = 60

Um caso como esse, onde pretendemos posicionar n elementos em m posies (m menor que n), e onde a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, chamada de ARRANJO SIMPLES. Sua frmula dada abaixo:

!( , ) ( )!nA n m

n m=

Exemplificando, em nosso exemplo temos n = 5 e m = 3. Portanto, teramos: !( , ) ( )!

5! 5! 5 4 3 2 1(5,3) (5 3)! 2! 2 1(5,3) 5 4 3 60

nA n mn m

A

A

=

= = =

= =

Lembre-se: estamos falando novamente de casos onde a ordem dos elementos importa, isto , a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade de outra. Imagine que as 5 pessoas sejam: Ana, Beto, Carlos, Daniela e Eduardo. Uma forma de posicionar essas pessoas em 3 cadeiras seria:

Cadeira 1 2 3 Ocupante Beto Daniela Eduardo

Neste caso, Ana e Carlos esto de fora. Outra forma de posicionamento seria:

Cadeira 1 2 3 Ocupante Daniela Beto Eduardo




Veja que, novamente, Ana e Carlos esto de fora. E Eduardo est no mesmo lugar. A nica mudana foi a inverso de posies entre Beto e Daniela. Ou seja, uma simples alterao na ordem dos elementos gera uma nova possibilidade de posicionamento. isso que quero dizer quando afirmo que a ordem importa para os casos de Permutao e Arranjo. Note ainda que podemos usar a frmula de Arranjo para resolver um problema de Permutao simples. Isto porque a permutao tambm uma ordenao de n elementos em m posies, porm nos casos de permutao n = m. Sabendo que 0! , por definio, igual a 1, podemos calcular o nmero de permutaes de 5 pessoas em 5 cadeiras de cinema com a frmula de arranjo:

!( , ) ( )!5! 5! 5 4 3 2 1(5,5) (5 5)! 0! 1

(5,5) 120

nA n mn m

A

A

=

= = =

=

1.5 Arranjo com repetio Imagine que temos disposio as letras A, B, C e D. Queremos utiliz-las para formar placas de carros. Assim, precisamos de formar grupos de 3 letras, sendo que essas letras podem ser repetidas. Isto , podemos ter placas como: AAA, AAB, ABA, BAA, ABC etc. Para calcular o nmero de arranjos possveis de n elementos em grupos de m, e podendo repetir os elementos, usamos a frmula do Arranjo com repetio:

A (n, m) = nm (leia: arranjo de n elementos, m a m, dado por n elevado a m)

Portanto, se temos 4 letras (n = 4) e queremos formar grupos de 3 (m = 3) podendo repetir as letras, ser possvel formar o total de arranjos abaixo:

3

( , )(4,3) 4(4,3) 64 arranjos

mA n m nAA

=

=

=




Voc pode resolver esse tipo de exerccio sem o auxlio de frmulas, apenas utilizando o princpio multiplicativo. Basta lembrar que voc quer montar placas assim: __ __ __. E tem 4 possibilidades de letras para cada uma das lacunas. Portanto, basta multiplicar 4 x 4 x 4 = 43 = 64 possibilidades.

1.6 Combinao Imagine agora que voc tem sua disposio aquelas mesmas 5 pessoas, porm agora precisa formar uma dupla para participar de um determinado evento. Quantas duplas distintas possvel formar? Veja que agora a ordem no importa mais. A dupla formada por Ana e Beto igual dupla formada por Beto e Ana. Nesses casos, estamos diante de um problema de Combinao. Ser preciso calcular quantas combinaes de 5 pessoas, duas a duas, possvel formar. Isto feito atravs da frmula abaixo:

( )!( , )

! !n nC n mm m n m

= =

Veja que nm

uma outra forma de simbolizar combinao de n elementos,

m a m. Efetuando o clculo para o exemplo acima, temos:

( )

( )

!( , )! !

5 5! 5!(5,2)2 2! 5 2 ! 2! 3!5 5 4 3 2 1(5,2) 102 2 1 3 2 1

n nC n mm m n m

C

C

= =

= = =

= = =

Portanto, h 10 combinaes de 5 elementos, dois a dois. Isto , h 10 formas de criar duplas tendo para isso 5 pessoas disponveis. Vejamos quais seriam as 10 duplas: - Ana e Beto; Ana e Carlos; Ana e Daniela; Ana e Eduardo - Beto e Carlos; Beto e Daniela; Beto e Eduardo; - Carlos e Daniela; Carlos e Eduardo; - Daniela e Eduardo.




A respeito de combinaes, fica aqui uma dica para facilitar as contas. Ao invs de utilizar a frmula acima, voc pode chegar ao mesmo caso fazendo o seguinte: 1. multiplicando os m primeiros termos de n! 2. dividindo esse resultado por m! No caso do nosso exemplo, bastava multiplicar os 2 primeiros termos de 5! (que so 5 e 4) e dividir por 2! (2x1):

5 4 20(5,2) 102! 2

C = = =

Outra dica para facilitar as contas: a combinao de 5 elementos, 2 a 2, igual combinao de 5 elementos, 3 a 3. Isto porque 3 = 5 2. Da mesma forma, a combinao de 15 elementos, 14 a 14, igual combinao de 15 elementos, 1 a 1 (pois 1 = 15 14). Generalizando: a combinao de n elementos, m a m, igual combinao de n elementos, (n-m) a (n-m):

n n

m n m

=

1.7 Permutao circular Vimos que a permutao de n elementos dada por P(n) = n!. Entretanto,

temos um caso particular de permutao, muito presente em provas de concurso, que a Permutao Circular.

Ao estudar a permutao simples, calculamos de quantas maneiras distintas podemos permutar 5 pessoas em uma fileira de cinema com 5 lugares. E se, ao invs da fileira do cinema, tivssemos uma mesa redonda com 5 lugares? Observe as duas disposies abaixo das pessoas A, B, C, D, e E ao redor da mesa:




Do ponto de vista de permutao, essas duas disposies so iguais (afinal, a pessoa A tem sua esquerda E, e sua direita B, e assim sucessivamente). No podemos contar duas vezes a mesma disposio.

Repare ainda que, antes da primeira pessoa se sentar mesa, todas as 5 posies disponveis so equivalentes. Isto porque no existe uma referncia espacial. Nestes casos, devemos utilizar a frmula da permutao circular de n pessoas, que :

Pc (n) = (n-1)!

Em nosso exemplo, o nmero de possibilidades de posicionar 5 pessoas ao redor de uma mesa ser:

Pc(5) = (5-1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Note que se houvesse uma posio da mesa com uma cadeira de ouro, por exemplo, passaramos a ter uma orientao espacial em relao a esta cadeira, e deixaramos de ter uma permutao circular.

1.8 Comentrios finais para resoluo de exerccios Agora que j conhecemos os arranjos, permutaes e combinaes, gostaria de gastar mais um tempinho reforando as diferenas entre estas ferramentas. Como voc ver ao longo dos exerccios, essencial saber diferenciar se estamos diante de um caso de arranjo, permutao ou combinao, para s ento resolv-lo. Ao se deparar com uma questo, voc deve responder sempre a seguinte pergunta: - a ordem de escolha ou de disposio dos elementos torna uma escolha/disposio diferente da outra?

Exemplificando, imagine que voc tenha 5 soldados (A, B, C, D, e E) disposio, e o seu objetivo formar equipes de 3 soldados. Veja que a equipe formada pelos soldados A, B, C igual a equipe formada pelos soldados B, A, C, que tambm igual equipe formada pelos soldados C, B, A, e assim por diante. Isto , a ordem de escolha dos soldados no relevante, no torna uma escolha diferente da outra.




J se voc quisesse formar filas com 3 soldados, a fila A-B-C diferente da fila B-A-C que diferente da fila C-B-A, e assim por diante. Em uma fila, a ordem importa. Se trocamos a posio do primeiro colocado com a do ltimo, temos uma fila diferente. Portanto, neste caso a ordem de escolha dos soldados relevante, ou seja, torna uma escolha diferente da outra.

Feita a pergunta, voc tem duas possibilidades: - se a ordem NO RELEVANTE: utilizar a frmula de combinao. Isto muito comum em questes onde o objetivo formar equipes, grupos, comisses etc. Em nosso exemplo acima, o resultado seria C(5,3), concorda? - se a ordem RELEVANTE: utilizar o princpio fundamental da contagem (aquela multiplicao simples), que se resume nas frmulas de arranjos e permutaes. No exemplo da fila acima, o resultado seria 5x4x3, concorda? Dependendo do caso, voc precisa fazer alguns ajustes, como no caso de haver repetio. Isto :

- se houver repetio, basta dividir o resultado encontrado por n!, onde n o nmero de repeties (ou usar direto a frmula da permutao com repetio);

- se houver mais de um item se repetindo, preciso dividir por n!, s!, t! etc. (conforme o nmero de itens se repetindo).

Caso 2 soldados fossem idnticos, de tal modo que no fosse possvel diferenci-los (digamos que D = E), quantas filas diferentes conseguiramos formar? Ora, temos uma repetio de 2 elementos, certo? Portanto, o nmero de filas seria 5x4x3/2! .

E se quisssemos distribuir os 5 soldados em torno de uma mesa redonda? A teramos a permutao circular, que dada por (n-1)!, ou seja, 4! = 24.

Por fim, qual a diferena entre Arranjo e Permutao? Imagine que voc dispe daqueles 5 soldados e pretende montar uma fila. - Quantas filas de 3 soldados voc consegue? 5x4x3 = 60 - E quantas filas com os 5 soldados voc consegue? 5x4x3x2x1 = 120

O primeiro caso um arranjo, o segundo uma permutao. A diferena que a permutao SEMPRE envolve TODOS os elementos disponveis (voc calcula quantas formas possveis de dispor os 5 elementos possveis), j o arranjo no




envolve todos os elementos (para cada arranjo foi preciso usar apenas 3 dos 5 soldados, concorda?)

Se voc entendeu a explicao acima, conseguir resolver a grande maioria das questes. Ah, e preste ateno nas resolues onde misturo a frmula de combinao com o princpio fundamental da contagem, pois estas so as questes mais difceis, ok?




2. RESOLUO DE EXERCCIOS 1. CESPE Polcia Civil/ES 2011) A questo da desigualdade de gnero na relao de poder entre homens e mulheres forte componente no crime do trfico de pessoas para fins de explorao sexual, pois as vtimas so, na sua maioria, mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritrio das Naes Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluda em 2009, indicou que 66% das vtimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram homens e 9% meninos.

Ministrio da Justia. Enfrentamento ao trfico de

pessoas: relatrio do plano nacional. Janeiro de 2010, p.

23 (com adaptaes).

Com base no texto acima, julgue o item a seguir.

( ) Se as vtimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, ento o nmero de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vtimas ser superior a 4.000. RESOLUO: Se 12% das vtimas so homens, ento o nmero de homens :

Homens = 12% de 250 = 12% x 250 = 0,12 x 250 = 30 Temos 30 homens, e queremos saber quantos grupos de 3 homens podemos criar. Repare que escolher os homens A, B e C igual a escolher os homens C, B e A (em ambos os casos temos grupos formados pelos mesmos 3 indivduos). Em outras palavras, a ordem de escolha dos homens para formar um grupo no importa, no torna um grupo diferente do outro. Quando a ordem no importa, devemos utilizar a frmula da combinao de 30 homens, 3 a 3, para obter o total de grupos possveis:

30 29 28(30,3) 10 29 14 40603 2 1

C = = =

Este nmero superior a 4000, portanto o item est CERTO. Resposta: C




2. CESPE EBC 2011) Considerando que, em uma empresa, haja 5 candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os prximos itens. ( ) Considere todas as listas possveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecero em mais de 5 dessas listas. ( ) Considere todas as listas possveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situao, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas contero apenas um desses nomes. ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos igual a 20. RESOLUO: ( ) Considere todas as listas possveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecero em mais de 5 dessas listas. Devemos combinar os 3 nomes dados (Alberto, Bento e Carlos) 2 a 2, para escolher dois deles. A seguir, devemos multiplicar este nmero de combinaes pelo nmero de combinaes dos 2 candidatos restantes para ocupar a ltima vaga. Isto :

C(3,2) x C(2,1) = 3 x 2 = 6 Item CORRETO.

( ) Considere todas as listas possveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situao, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas contero apenas um desses nomes. Para que uma lista contenha Alberto, e no contenha nem Bento nem Carlos, existe uma nica possibilidade: Alberto e mais os 2 candidatos restantes. Analogamente, para que uma lista contenha Bento e no contenha nem Alberto e nem Carlos, a nica possibilidade : Bento e mais os 2 candidatos restantes.

Por fim, para a lista conter apenas Carlos, a nica opo ela ser formada por Carlos e os 2 candidatos restantes. Ao todo, temos exatamente 3 listas possveis com o nome de apenas um dos 3 rapazes citados. Item CORRETO.




( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos igual a 20. A combinao de 5 pessoas, 3 a 3 :

C(5,3) = C(5,2) = 5x4/2 = 10 Item ERRADO. Resposta: C C E

3. CESPE Polcia Federal 2012) Dez policiais federais dois delegados, dois peritos, dois escrives e quatro agentes foram designados para cumprir mandado de busca e apreenso em duas localidades prximas superintendncia regional. O grupo ser dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivo e dois agentes.

Considerando essa situao hipottica, julgue os itens que se seguem.

( ) Se todos os policiais em questo estiverem habilitados a dirigir, ento, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veculo com cinco lugares motorista e mais quatro pasageiros ser superior a 100. ( ) H mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. RESOLUO: ( ) Se todos os policiais em questo estiverem habilitados a dirigir, ento, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veculo com cinco lugares motorista e mais quatro pasageiros ser superior a 100.

Temos 5 lugares no carro para preencher com 5 pessoas. Pelo princpio fundamental da contagem, o nmero de possibilidades dado por 5x4x3x2x1 = 120. Este nmero superior a 100, tornando o item CORRETO.

( ) H mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. Precisamos escolher 1 delegado dos 2 disponveis, 1 perito dos 2

disponveis, 1 escrivo dentre os 2 disponveis e 2 agentes dentre os 4 disponveis.




Como a ordem de escolha no importa, usamos a frmula da combinao. Logo, o total de maneiras de compor as equipes dado por:

C(2,1)xC(2,1)xC(2,1)xC(4,2) = 2x2x2x6 = 48

Este nmero inferior a 50, tornando o item ERRADO. Resposta: C E

4. ESAF AFT 2010) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionrios, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opes possveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionrios, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? a) 192. b) 36. c) 96. d) 48. e) 60. RESOLUO: Se a equipe tem 3 pessoas, precisa ter pelo menos 1 homem e 1 mulher, temos 2 possveis grupos: 2 homens e 1 mulher, ou 2 mulheres e 1 homem. Vejamos quantas possibilidades temos para cada tipo de grupo.

2 homens e 1 mulher:

Para escolher 2 homens em um total de 4 disponveis, basta calcular a combinao de 4, 2 a 2:

4 4 3(4,2) 62 2 1

C = = =

E para escolher 1 mulher em um total de 6, temos 6 possibilidades, como voc pode comprovar abaixo:

6 6(6,1) 61 1!

C = = =




Pelo princpio fundamental da contagem, temos 6 x 6 = 36 formas de agrupar 2 homens e 1 mulher.

2 mulheres e 1 homem:

Para escolher 2 mulheres em um total de 6 disponveis, basta calcular a combinao de 6, 2 a 2:

6 6 5(6,2) 152 2 1

C = = =

E para escolher 1 homem em um total de 4, temos 4 possibilidades, como voc pode comprovar abaixo:

4 4(4,1) 41 1!

C = = =

Pelo princpio fundamental da contagem, temos 15 x 4 = 60 formas de agrupar 2 mulheres e 1 homem.

Assim, ao todo temos 36 + 60 = 96 equipes distintas com 3 funcionrios, respeitando as condies do enunciado.

Resposta: C

5. ESAF SMF/RJ 2010) O departamento de vendas de imveis de uma imobiliria tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher? a) 15 b) 45 c) 31 d) 18 e) 25 RESOLUO: Veja que podemos ter equipes com 1 mulher e 1 homem, ou equipes com 2 mulheres.




No primeiro caso, precisamos combinar 3 mulheres, 1 a 1, e combinar 5 homens, 1 a 1:

(3,1) 3(5,1) 5

CC

=

=

Portanto, possvel formar 3 x 5 = 15 equipes distintas.

No segundo caso, precisamos apenas combinar as 3 mulheres, 2 a 2:

3 2(3,2) 32 1

C = =

Assim, podemos formar 3 equipes distintas. Ao todo, temos 15 + 3 = 18 equipes distintas.

Resposta: D

6. ESAF STN 2008) Ana possui em seu closet 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closet quatro caixas de sapatos. O nmero de retiradas possveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de nmero 20 igual a: a) 681384 b) 382426 c) 43262 d) 7488 e) 2120 RESOLUO: Veja no esquema abaixo as possibilidades de retiradas, e suas respectivas explicaes:

Retirada 1 Retirada 2 Retirada 3 Retirada 4

89 possibilidades (pois a caixa 20 no pode estar aqui, s na retirada 3)

88 possibilidades (pois nem a caixa 20 nem a da retirada 1 podem estar aqui)

1 possibilidade (caixa 20)

87 possibilidades (90 menos a caixa 20 e as das

retiradas 1 e 2)

Pelo princpio fundamental da contagem, temos:




89 88 1 87 681384Possibilidades = =

Resposta: A

7. ESAF MPOG 2008) Marcos est se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre at uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos no saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o nmero mnimo de meias que Marcos dever tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor igual a: a) 30 b) 40 c) 246 d) 124 e) 5 RESOLUO: Veja que temos 4 possibilidades de cores de meias: pretas, brancas, azuis e amarelas. Portanto, se Marcos tirar da gaveta apenas 4 meias, ele pode dar o azar de tirar exatamente 1 meia de cada cor. Entretanto, ao tirar a 5 meia da gaveta, ela necessariamente ser de uma das 4 cores que ele j tirou. Assim, ele certamente conseguir formar um par de meias da mesma cor.

Isso mostra que preciso tirar pelo menos 5 meias da gaveta para ter certeza de obter um par da mesma cor.

Resposta: E

8. ESAF CGU 2008) Ana precisa fazer uma prova de matemtica composta de 15 questes. Contudo, para ser aprovada, Ana s precisa resolver 10 questes das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questes? a) 3003 b) 2980




c) 2800 d) 3006 e) 3005 RESOLUO: Se temos 15 questes e, delas, queremos separar um grupo de 10 questes para resolver, basta calcular a combinao de 15, 10 a 10. Isso porque a ordem das questes no importa: escolher as questes 1, 3 e 5 igual a escolher as questes 3, 5 e 1.

Para calcular de uma forma mais fcil a combinao de 15, 10 a 10, voc precisa lembrar a seguinte propriedade (que vimos na teoria de hoje):

(15,10) (15,5)C C=

Assim,

15 14 13 12 11(15,10) (15,5) 30035 4 3 2 1

C C = = =

Ana pode escolher 10 das 15 questes de 3003 formas distintas.

Resposta: A

9. ESAF AFRE/MG 2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vo participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos no desfilaro sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Alm disso, a ltima de cada fila s poder ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise no poder ser a primeira da fila. Assim, o nmero de diferentes filas que podem ser formadas igual a: a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60 RESOLUO:




Veja que temos 4 tipos de filas: aquelas com Ana no final, aquelas com Beatriz no final, aquelas com Carla no final e aquelas com Denise no final.

Vamos calcular quantas filas podemos formar com Denise no final. Para isso, considere o desenho abaixo:

Posio 1 Posio 2 Posio 3 Posio 4

6 possibilidades (pois Denise j a

ltima) 5 possibilidades 4 possibilidades

1 possibilidade

(Denise)

Pelo princpio fundamental da contagem, temos 6 x 5 x 4 x 1 = 120 possibilidades de formar fila com Denise no final.

Vamos calcular a quantidade de filas com Ana no final. Para isso, importante lembrar que Denise no pode ser a primeira. Portanto, temos apenas 5 possibilidades para a posio 1 (pois Ana j est no final, e Denise no pode ser a primeira). Para a posio 2, temos outras 5 possibilidades (pois agora podemos incluir Denise). E para a posio 3, temos 4 possibilidades (pois j colocamos uma pessoa nas posies 1, 2 e 4):

Posio 1 Posio 2 Posio 3 Posio 4

5 possibilidades (pois Denise no pode

ser a primeira) 5 possibilidades 4 possibilidades

1 possibilidade

(Ana)

Portanto, temos 5 x 5 x 4 x 1 = 100 possibilidades com Ana no final. O raciocnio anlogo para as filas com Beatriz ou Carla no final, isto , teremos mais 100 possibilidades em cada caso.

Assim, ao todo temos 120 + 100 + 100 + 100 = 420 possibilidades.

Resposta: A

10. CESPE TRT/16 2005) Julgue os itens que se seguem. ( ) O nmero de cadeias binrias (que s contm 0 e 1) de 8 dgitos, e que tenham exatamente 3 zeros, superior a 50 .




( ) Considere que o gerente de um laboratrio de computao vai cadastrar os usurios com senhas de 6 caracteres formadas pelas letras U, V e W e os nmeros 5, 6 e 7. permitida uma nica duplicidade de caractere, se o usurio desejar, caso contrrio, todos os caracteres tm de ser distintos. Nessa situao, o nmero mximo de senhas que o gerente consegue cadastrar 2.880.

RESOLUO: ( ) O nmero de cadeias binrias (que s contm 0 e 1) de 8 dgitos, e que tenham exatamente 3 zeros, superior a 50 .

O objetivo aqui formar conjuntos de 8 dgitos, usando apenas 0 e 1, de forma que trs dgitos sejam iguais a 0 e os demais cinco dgitos iguais a 1. Uma possibilidade seria:

00011111

Veja que preciso permutar esses 8 dgitos, e h a repetio de trs (0) e de cinco (1). Utilizando a frmula da permutao com repetio, temos:

8! 8 7 6 5! 8 7 6(8;3,5) 563!5! 3!5! 3!

P = = = =

Veja que esse nmero superior a 50. Item CORRETO. ( ) Considere que o gerente de um laboratrio de computao vai cadastrar os usurios com senhas de 6 caracteres formadas pelas letras U, V e W e os nmeros 5, 6 e 7. permitida uma nica duplicidade de caractere, se o usurio desejar, caso contrrio, todos os caracteres tm de ser distintos. Nessa situao, o nmero mximo de senhas que o gerente consegue cadastrar 2.880.

Vamos precisar calcular o nmero de senhas com 6 dgitos distintos e depois o nmero de senhas com 1 dgito repetido. No primeiro caso temos a permutao simples dos 6 dgitos disponveis:

P(6) = 6! = 720 No segundo caso, cada senha de 6 caracteres ser formada com o uso de apenas 5 dgitos (pois um se repete 2 vezes). Assim, para cada conjunto de 5 dgitos que escolhermos (ex.: U, V, 5, 6, 7) o nmero de senhas possveis ser dado pela permutao de 6 caracteres, com a repetio de 2:




6! 6 5 4 3 2!(6;2) 3602! 2!

P = = =

Quantos conjuntos de 5 dgitos podemos escolher, tendo um total de 6 dgitos disponveis? Ora, trata-se da combinao de 6 dgitos, 5 a 5:

(6;5) (6;1) 6C C= =

Portanto, o nmero de senhas com 6 algarismo, com a repetio de 2, dada por 6 x 360 = 2160.

Ao todo, o nmero de senhas : 720 + 2160 = 2880. Item CORRETO.

Resposta: C C

11. CESPE TRT/16 2005) Uma moeda jogada para o alto 10 vezes. Em cada jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrncias so registradas em uma seqncia de dez dgitos, como, por exemplo, 0110011010. Considerando essas informaes, julgue os prximos itens.

( ) O nmero de seqncias nas quais obtida pelo menos uma cara inferior a 512.

RESOLUO: O nmero de sequncias nas quais temos pelo menos 1 cara igual ao total de sequncias possveis menos o nmero de sequncias onde no temos nenhuma cara. Vejamos:

total de sequncias possveis:

Pela regra do produto, como temos 2 possibilidades para cada lanamento, o total : 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 210 = 1024.

total de sequncias sem nenhuma cara:

Ora, trata-se do caso onde obtemos coroa em todos os lanamentos. Trata-se de uma nica possibilidade.




Portanto, o nmero de sequncias com pelo menos 1 cara igual a 1024 1 = 1023. Este nmero superior a 512, tornando o item ERRADO.

Resposta: E

12. CESPE MDS 2009) Julgue os 2 itens acerca de contagem de elementos.

( ) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construdos com a palavra EXECUTIVO e que no possuem duas vogais juntas inferior a 1.500.

( ) Considere um evento em que ser servido um jantar completo, no qual os convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1 entre 4 tipos diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de sobremesa. Desse modo, cada convidado ter at 11 formas distintas para escolher seu jantar completo. RESOLUO:

( ) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construdos com a palavra EXECUTIVO e que no possuem duas vogais juntas inferior a 1.500. Para obter anagramas que no possuam duas vogais juntas, preciso contar apenas aqueles anagramas onde tenhamos uma consoante separando duas vogais consecutivas, como o caso na palavra EXECUTIVO. Em resumo, devemos permutar as vogais apenas entre elas (nas posies ocupadas por vogais na palavra EXECUTIVO), e as consoantes entre elas. Veja exemplos de permutao possveis: - trocando apenas vogais: IXOCUTEVE - trocando apenas consoantes: EVECUTIXO - trocando vogais e consoantes, mantendo uma consoante entre duas vogais: IVOCUTEXE.

No caso das vogais, temos 5 letras com a repetio de 2 letras E. Portanto, o total de permutaes de vogais :

5!(5;2) 602!

P = =




No caso das consoantes, temos 4 letras, sem repetio. O nmero de permutaes de consoantes :

P(4) = 4! = 24 Observe que, para cada uma das 60 permutaes possveis das vogais, devemos contabilizar as 24 permutaes possveis das consoantes. Portanto, o total de permutaes das letras de EXECUTIVO (obedecendo a regra do enunciado) dado por:

60 x 24 = 1440 Esse valor inferior a 1500, tornando o item CORRETO.

( ) Considere um evento em que ser servido um jantar completo, no qual os convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1 entre 4 tipos diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de sobremesa. Desse modo, cada convidado ter at 11 formas distintas para escolher seu jantar completo. Pela regra do produto, cada convidado tem 3 x 4 x 4 = 48 formas diferentes de escolher o seu jantar completo, dado que existem 3 possibilidades de pratos, 4 de bebidas e 4 de sobremesas. Item ERRADO.

Resposta: C E

13. CESPE MDS 2009) Considere que o governo de determinado estado da Federao, que ainda no possua nenhum restaurante popular, tenha decidido enviar um representante para conhecer as instalaes de restaurantes populares, restringindo que fossem visitados 1 dos 5 restaurantes da Bahia, 2 dos 12 restaurantes de Minas Gerais, 2 dos 12 restaurantes de So Paulo e 1 dos 6 restaurantes do Rio Grande do Sul. Nesse caso, esse representante ter mais de 3.800 maneiras distintas para escolher os restaurantes para visitar. RESOLUO: Existem 5 possibilidades de se escolher 1 restaurante na Bahia (qualquer um dos 5 existentes). Para escolher 2 dentre 12 restaurantes em Minas, preciso calcular o nmero de combinaes de 12 restaurantes, 2 a 2:

12 11(12,2) 662!

C = =




(usamos a combinao pois a ordem de escolha desses 2 restaurantes no importa. Escolher o restaurante A e o restaurante B, formando o par {A,B} a ser visitado em Minas, igual a escolher o restaurante B e o restaurante A neste mesmo Estado) Analogamente, para escolher 2 dentre 12 restaurantes em So Paulo, temos outras 66 possibilidades. Por fim, existem 6 formas de escolher 1 dos 6 restaurantes do Rio Grande do Sul.

O nmero total de possibilidades dado pela regra do produto:

5 x 66 x 66 x 6 = 130680

Este nmero (bem) superior a 3800, portanto o item est CORRETO. Resposta: C

Obs.: essa questo uma exceo ao estilo CESPE. Quando temos questes como essa, onde o enunciado diz ter mais de 3.800 maneiras , o normal voc encontrar um resultado ligeiramente acima ou abaixo de 3.800 (tornando o item C ou E, respectivamente). Quando voc encontrar um resultado muito diferente do valor sugerido no enunciado, muito cuidado: revise a sua resoluo, verifique se no errou algum clculo.

14. CESPE MDS 2009) O projeto Fome Zero do governo federal compreende 4 eixos articuladores. Um deles, o Eixo 1, composto de 15 programas e aes, entre os quais o Bolsa Famlia. Suponha que fosse autorizado um aumento de recursos financeiros para 5 dos programas e aes do Eixo 1, de modo que o Bolsa Famlia fosse escolhido em primeiro lugar e os 4 outros pudessem ser escolhidos vontade por um comit, colocando-os em uma ordem de prioridade. Nesse caso, esse comit teria mais de 30 mil maneiras diferentes de escolher esses programas e aes. RESOLUO: Numa questo como essa, normalmente voc poderia pensar em calcular a combinao dos 14 programas restantes, 4 a 4. Entretanto, foi mencionada uma ordem de prioridade, de modo que a ordem de escolha dos programas passa a ser relevante. Assim, devemos calcular o arranjo de 14 programas, 4 a 4, ou seja, 14x13x12x11 = 24024 possibilidades.




Trata-se de um nmero menor que 30mil, portanto o item est ERRADO.

Resposta: E

Obs.: se voc resolvesse atravs da frmula da combinao, encontraria C(14,4) = 1001, que um nmero MUITO menor que 30mil, valor sugerido pelo CESPE. Com isso, voc deveria, no mnimo, desconfiar que a sua resoluo pudesse estar incorreta (apesar de que, neste exerccio, ainda assim voc acertaria o gabarito).

15. CESPE PREVIC 2011) Julgue os 2 itens, considerando que planos previdencirios possam ser contratados de forma individual ou coletiva e possam oferecer, juntos ou separadamente, os cinco seguintes tipos bsicos de benefcios: renda por aposentadoria, renda por invalidez, penso por morte, peclio por morte e peclio por invalidez.

( ) Para se contratar um plano previdencirio que contemple trs dos cinco benefcios bsicos especificados acima, h menos de 12 escolhas possveis.

( ) Suponha que os funcionrios de uma empresa se organizem em 10 grupos para contratar um plano previdencirio com apenas um benefcio em cada contrato, de modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a penso por morte, o peclio por morte e o peclio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condies, a quantidade de maneiras em que esses 10 grupos podero ser divididos para a contratao dos 5 benefcios bsicos ser inferior a 7 104.

RESOLUO: ( ) Para se contratar um plano previdencirio que contemple trs dos cinco benefcios bsicos especificados acima, h menos de 12 escolhas possveis.

Trata-se da combinao de 5 benefcios, 3 a 3, que :

5 4(5,3) (5,2) 102!

C C = = =

De fato existem menos de 12 escolhas possveis. Item CORRETO.




( ) Suponha que os funcionrios de uma empresa se organizem em 10 grupos para contratar um plano previdencirio com apenas um benefcio em cada contrato, de modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a penso por morte, o peclio por morte e o peclio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condies, a quantidade de maneiras em que esses 10 grupos podero ser divididos para a contratao dos 5 benefcios bsicos ser inferior a 7 104.

Chamando o benefcio renda por invalidez de A, penso por morte de B, peclio por morte de C, peclio por invalidez de D e aposentadoria de E, teremos 3 A, 2 B, 2 C, 2 D e 1 E. Devemos permutar entre os 10 grupos esses 10 benefcios, sabendo que temos repetio de 3 A, 2 B, 2 C e 2 D:

10! 10 9 8 7 6 5 4 3!(10;3,2,2,2)3!2!2!2! 3! (2 1) (2 1) (2 1)

10 9 8 7 6 5(10;3,2,2,2) 756002

P

P

= =

= =

Este nmero superior a 70.000 (7 x 104), logo o item est ERRADO. Resposta: C E

16. CESPE Banco do Brasil 2008) A Associao dos Correspondentes de Imprensa Estrangeira no Brasil (ACIE) organiza, pelo quinto ano consecutivo, o Prmio e Mostra ACIE de Cinema. Os filmes indicados sero seguidos pela votao de aproximadamente 250 correspondentes afiliados s associaes de correspondentes do Rio de Janeiro, de So Paulo e de Braslia. Os vencedores sero escolhidos nas categorias Melhor Filme (fico), Melhor Documentrio, Melhor Diretor, Melhor Roteiro, Melhor Ator, Melhor Atriz, Melhor Fotografia e Melhor Filme Jri Popular.

Internet: (com adaptaes). A partir da organizao do texto acima e considerando os princpios de contagem, julgue os itens subseqentes.

( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3 para constiturem uma comisso consultiva especial, haver menos de 20 mil maneiras possveis para se formar essa comisso.




( ) Se, em determinada edio do Prmio e Mostra ACIE de Cinema, forem inscritos 13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a quantidade de maneiras de se fazer a indicao de 3 desses filmes, sendo um deles em 1. lugar, outro em 2. lugar e outro em 3. lugar, ser inferior a 2 103.

( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para votar apenas nas categorias Melhor Filme (fico) e Melhor Documentrio e que as quantidades de filmes concorrentes em cada uma dessas categorias sejam 8 e 3, respectivamente. Nessa situao, votando em apenas um filme de cada categoria, esse correspondente poder votar de mais 20 maneiras distintas. RESOLUO: ( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3 para constiturem uma comisso consultiva especial, haver menos de 20 mil maneiras possveis para se formar essa comisso. O nmero de comisses de 3 integrantes retirados de um total de 50 dado pela combinao:

50 49 48(50,3) 196003!

C = =

Esse nmero inferior a 20mil, portanto o item est CORRETO.

( ) Se, em determinada edio do Prmio e Mostra ACIE de Cinema, forem inscritos 13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a quantidade de maneiras de se fazer a indicao de 3 desses filmes, sendo um deles em 1. lugar, outro em 2. lugar e outro em 3. lugar, ser inferior a 2 103. Temos 13 possibilidades para o primeiro lugar, 12 para o segundo e 11 para o terceiro, totalizando:

13 x 12 x 11 = 1716 Esse nmero inferior a 2000 (2x103), portanto o item est CORRETO.

( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para votar apenas nas categorias Melhor Filme (fico) e Melhor Documentrio e que as quantidades de filmes concorrentes em cada uma dessas categorias sejam 8 e 3,




respectivamente. Nessa situao, votando em apenas um filme de cada categoria, esse correspondente poder votar de mais 20 maneiras distintas. Esse correspondente tem 8 possibilidades para escolher o Melhor Filme e 3 possibilidades para o Melhor Documentrio, totalizando 8 x 3 = 24 maneiras distintas de votar. Este nmero superior a 20, portanto o item est CERTO.

Resposta: C C C

17. CESPE Banco do Brasil - 2008) Julgue os itens que se seguem, a respeito de contagem.

( ) A quantidade de permutaes distintas que podem ser formadas com as 7 letras da palavra REPETIR, que comeam e terminam com R, igual a 60.

( ) Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrnicos de certa instituio bancria contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se repetio, nesse caso, a quantidade dessas senhas que tm letras repetidas superior a 2 103.

( ) Ao se listar todas as possveis permutaes das 13 letras da palavra PROVAVELMENTE, incluindo-se as repeties, a quantidade de vezes que esta palavra aparece igual a 6.

( ) Com as letras da palavra TROCAS possvel construir mais de 300 pares distintos de letras.

RESOLUO: ( ) A quantidade de permutaes distintas que podem ser formadas com as 7 letras da palavra REPETIR, que comeam e terminam com R, igual a 60.

Se queremos apenas os casos que comeam e terminam em R, devemos, em realidade, permutar apenas as letras E, P, E, T, I. Temos, portanto, a permutao de 5 letras com a repetio de 2, totalizando:

5!(5;2) 602!

P = = possibilidades

Item CORRETO.




( ) Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrnicos de certa instituio bancria contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se repetio, nesse caso, a quantidade dessas senhas que tm letras repetidas superior a 2 103.

A quantidade de senhas com 2 ou 3 letras repetidas igual ao total de senhas possvel menos a quantidade de senhas que no possuem letras repetidas. Assim, temos:

total de senhas: 26 x 26 x 26 = 17576

quantidade de senhas que no possuem letras repetidas: 26x25x24 = 15600

Portanto, o nmero de senhas que possuam letras repetidas (2 ou 3 letras repetidas) simplesmente 17576 15600 = 1976. Este valor inferior a 2x103, portanto o item est ERRADO.

( ) Ao se listar todas as possveis permutaes das 13 letras da palavra PROVAVELMENTE, incluindo-se as repeties, a quantidade de vezes que esta palavra aparece igual a 6.

A palavra PROVAVELMENTE possui 2 repeties da letra V e 3 repeties da letra E. Normalmente consideraramos que, ao trocar uma letra V pela outra, ou uma letra E pela outra, temos em realidade um nico anagrama. Entretanto, o enunciado mandou incluir as repeties, ou seja, considerar que ao trocar uma letra V pela outra e/ou trocar uma letra E pela outra, cada alterao dessas deve ser considerada uma permutao distinta.

Para a palavra PROVAVELMENTE continuar aparecendo, devemos considerar apenas os casos onde trocamos um V pelo outro e/ou trocamos um E por outro.

O nmero de permutaes das duas letras V entre si igual a P(2) = 2! = 2. E o nmero de permutaes das 3 letras E entre si igual a P(3) = 6. Para cada permutao das letras V, devemos contabilizar as 6 permutaes da letra E. Ao todo, temos 2 x 6 = 12 permutaes onde so trocadas apenas as posies das letras V entre si mesmas e/ou as posies das letras E entre si mesmas.




Item ERRADO.

( ) Com as letras da palavra TROCAS possvel construir mais de 300 pares distintos de letras.

Temos 6 letras distintas nessa palavra. Para saber o nmero de pares que podemos formar, basta calcular o nmero de combinaes destas 6 letras, 2 a 2:

C(6,2) = 15 Este nmero inferior a 300, portanto o item est ERRADO. Mesmo se considerssemos que a ordem das letras torna um par diferente do outro, teramos 6 x 5 = 30 possibilidades apenas.

Resposta: C E E E

18. CESPE Polcia Civil/ES 2011) A questo da desigualdade de gnero na relao de poder entre homens e mulheres forte componente no crime do trfico de pessoas para fins de explorao sexual, pois as vtimas so, na sua maioria, mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritrio das Naes Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluda em 2009, indicou que 66% das vtimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram homens e 9% meninos.

Ministrio da Justia. Enfrentamento ao trfico de pessoas: relatrio do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptaes).

Com base no texto acima, julgue os itens a seguir.

( ) Se as vtimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, ento o nmero de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vtimas ser superior a 4.000. RESOLUO: Se 12% das vtimas so homens, ento o nmero de homens :

Homens = 12% de 250 = 12% x 250 = 0,12 x 250 = 30 O nmero de maneiras de formar grupos de 3 homens com 30 disponveis a combinao de 30, 3 a 3:




C(30,3) = 30 x 29 x 28 / 3! = 30 x 29 x 28 / 6 C(30,3) = 5 x 29 x 28 = 4060

Este nmero superior a 4000, portanto o item est CERTO. Resposta: C

19. CESPE Polcia Civil/ES 2011) Julgue os itens seguintes, que dizem respeito determinao do nmero de possibilidades lgicas ou probabilidade de algum evento.

( ) Suponha uma distribuio de prmios em que so sorteados trs nmeros de dois algarismos. Para formar cada nmero, primeiro sorteia-se o algarismo das dezenas, que varia de 0 a 5. O algarismo das unidades sorteado em seguida e varia de 0 a 9. Se, para formar cada nmero, o algarismo das dezenas e o algarismo das unidades j sorteadas no puderem ser repetidos, ento a quantidade de nmeros que podem ocorrer inferior a 104 RESOLUO: Veja que temos 6 possibilidades (de 0 a 5) para o algarismo das dezenas e 10 possibilidades (de 0 a 9) para o algarismo das unidades, totalizando 6 x 10 = 60 possveis nmeros de dois algarismos para o primeiro sorteio.

Aps sortear o primeiro nmero, sobram apenas 5 possibilidades para o algarismo das dezenas e 9 possibilidades para o algarismo das unidades, totalizando 5 x 9 = 45 possibilidades para o segundo nmero a ser sorteado.

A seguir, sobram 4 possibilidades para o algarismo das dezenas e 8 possibilidades para o algarismo das unidades, totalizando 4 x 8 = 32 possibilidades para o terceiro nmero a ser sorteado.

Portanto, a regra do produto nos diz que temos ao todo 60 x 45 x 32 = 86400 possibilidades de sortear 3 nmeros de dois algarismos. Muito cuidado, pois a resoluo no termina aqui (embora quem parasse aqui acertasse o gabarito, por mera coincidncia).

A regra do produto, que utilizamos acima, vlida quando a ordem dos nmeros sorteados torna um conjunto de 3 nmeros diferente de outro. Entretanto, sabemos que o conjunto {21, 15, 07} igual ao conjunto {07, 21, 15}, que igual ao {15, 07, 21} e s demais permutaes destes 3 nmeros. Isto porque em qualquer




desses casos o ganhador do sorteio ser aquela pessoa que tiver, em qualquer ordem, estes trs nmeros em sua cartela.

A permutao de 3 nmeros P(3) = 3! = 6. Portanto, devemos dividir as 86400 possibilidades encontradas atravs da regra do produto por 6, para evitar somar repetidas vezes um mesmo conjunto de 3 nmeros. Dessa forma, temos:

86400 / 6 = 14400 Portanto, existem 14400 formas de sortear 3 nmeros de dois algarismos

seguindo a regra proposta no enunciado. Este nmero superior a 10.000 (104) . Item ERRADO. Resposta: E

20. CESPE TRE/BA 2009) Sabendo que um anagrama qualquer ordenao formada com as letras de uma palavra, tendo ou no significado, ento, com a palavra CORREGEDOR ser possvel formar 151.200 anagramas distintos. RESOLUO: CORREGEDOR possui 10 letras, com a repetio de 2 letras O, 3 letras R, 2 letras E. O nmero de anagramas desta palavra calculado pela frmula de permutao com repetio:

10! 10 9 8 7 6 5 4 3!(10;2,3,2)2!3!2! (2 1) 3! (2 1)

(10;2,3,2) 10 9 8 7 6 5 151200

P

P

= =

= =

Item CERTO. Resposta: C.

21. CESPE EMBASA 2009) A leitura mensal do consumo de gua residencial em cada um dos quinze bairros de determinado municpio feita por apenas um dos trs funcionrios responsveis por essa atividade; a cada ms, h uma distribuio aleatria em que cinco desses bairros so designados para cada um desses funcionrios. Com relao a essa situao hipottica, julgue os itens a seguir:

( ) Essa distribuio pode ser realizada de 126.126 maneiras diferentes.




( ) Considerando-se que os bairros sob a responsabilidade de determinado funcionrio sejam agrupados, por proximidade geogrfica, em duas regies, A e B, com dois bairros em A e trs bairros em B, ento esse funcionrio poder visitar esses bairros de 24 maneiras distintas se ele visitar todos os bairros de uma mesma regio antes dos demais bairros. RESOLUO:

PRIMEIRO ITEM:

Para o primeiro item, precisamos saber de quantas formas podemos distribuir 15 bairros entre 3 funcionrios, deixando cada um deles com 5 bairros.

A combinao de 15 em grupos de 5 (isto , 15, 5 a 5) nos diz de quantas maneiras podemos distribuir os bairros do primeiro funcionrio:

15 15 14 13 12 11 30035 5 4 3 2 1

= =

Aps separarmos os 5 bairros do primeiro funcionrio, sobram 10 bairros, dos quais 5 devero ser distribudos para o prximo funcionrio. A combinao de 10 bairros, 5 a 5, nos d o nmero de formas de efetuar essa distribuio:

10 10 9 8 7 6 2525 5 4 3 2 1

= =

Por fim, sobram 5 bairros, que sero distribudos para o ltimo funcionrio. S h uma forma de fazer isso, como vemos abaixo:

51

5

=

Multiplicando o nmero de formas de distribuir os bairros do primeiro funcionrio pelo nmero de formas para distribuir os bairros do segundo funcionrio e pelo nmero de formas de distribuir os bairros do ltimo funcionrio, temos:

3003 252 1 756756 =

Portanto, esse item est ERRADO. No gabarito preliminar, este item foi considerado correto, mas foi corrigido no gabarito definitivo.




SEGUNDO ITEM: o funcionrio pode visitar os 2 bairros da regio A e, a seguir, os 3 bairros da regio B, ou vice-versa. Vamos calcular de quantas formas ele fazer isso. Note que agora a ordem importa. Portanto, trata-se de um caso de permutao.

- De quantas formas diferentes o funcionrio pode visitar os 2 bairros da regio A? Basta permutar os 2 bairros: P(2) = 2! = 2. - De quantas formas diferentes o funcionrio pode visitar os 3 bairros da regio B? P(3) = 3! = 6 - De quantas formas diferentes o funcionrio pode visitar as 2 regies? Ora, ele pode ir primeiro na regio A e depois na B, ou vice-versa. Temos 2 formas de fazer isso, que justamente P(2).

Como temos 2 formas de visitar as regies, e, dentro das regies, 2 formas de visitar os bairros de A e 6 formas de visitar os bairros de B, o total de formas de visitar todos os bairros : 2 x 2 x 6 = 24. Item CORRETO.

Resposta: E C

22. CESPE MPE/AM 2008) Com respeito aos princpios bsicos da contagem de elementos de um conjunto finito, julgue os itens a seguir.

( ) Considere que, em um edifcio residencial, haja uma caixa de correspondncia para cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma delas tenha sido instalada uma fechadura eletrnica com cdigo de 2 dgitos distintos, formados com os algarismos de 0 a 9. Ento, de todos os cdigos assim formados, 11 deles no precisaram ser utilizados.

( ) Considere que um cdigo seja constitudo de 4 letras retiradas do conjunto {q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, duas barras e 2 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Nessa situao, se forem permitidas repeties das letras e dos algarismos, ento o nmero de possveis cdigos distintos desse tipo ser igual a 102(102 + 1).

RESOLUO:




PRIMEIRO ITEM: quando o exerccio diz que o cdigo tem 2 dgitos, o primeiro dgito no pode ser o zero, pois nesse caso teramos, na verdade, um nmero de apenas 1 dgito. Portanto, os cdigos possveis so aqueles que tem, no algarismo das dezenas, de 1 a 9 (9 possibilidades), e no algarismo das unidades, de 0 a 9 (10 possibilidades). Assim, ao todo temos 90 possibilidades de cdigo. Como eram apenas 79 caixas de correspondncia, 11 cdigos no precisaram ser utilizados. CORRETO.

SEGUNDO ITEM: Se fossemos simplesmente montar um cdigo com 4 letras retiradas do conjunto de 10 letras do enunciado, seria possvel formar 10x10x10x10 =104 cdigos. Alm disso, podemos escolher 2 algarismos de 0 a 9 (10 possibilidades), ou seja, podemos escolher 10 x 10 = 102 pares de 2 algarismos. Multiplicando apenas a quantidade de grupos de 4 letras (104) pela quantidade de grupos de algarismos (102) j temos 106 possibilidades, que um resultado maior que aquele dado pelo enunciado, portanto o item est ERRADO. Por fins didticos, vamos prosseguir com a resoluo. Teremos um cdigo da seguinte forma:

L L L L / / N N

Neste cdigo acima, os L representam as 4 letras, as / representam as barras e os N representam os 2 algarismos. Veja que no basta apenas multiplicar as quantidades de grupos de letras (104) pela de nmeros (102). Precisamos ainda considerar que as letras, barras e nmeros podem estar em qualquer posio. Veja os 3 exemplos abaixo. Cada um representa um cdigo distinto, apesar de usar as mesmas letras e nmeros:

Q R S T / / 1 2

Q R S T 1 2 / /

Q / R S / T 1 2

Assim, para cada grupo de 4 letras e 2 nmeros que escolhermos, precisamos calcular o nmero de permutaes possveis. Para piorar, trata-se de uma permutao com repetio, pois a barra se repete. Temos, assim,




8!(8, 2) 201602!

PR = =

Portanto, ao todo teramos 20160 x 104 x 102 cdigos.

Resposta: C E

23. CESPE TSE 2007) Para aumentar a segurana no interior do prdio do TSE, foram distribudas senhas secretas para todos os funcionrios, que devero ser digitadas na portaria para se obter acesso ao prdio. As senhas so compostas por uma sequncia de trs letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequncia de trs algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O nmero de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a repetio de letras, mas admitindo-se a repetio de algarismos, igual a:

a) 263 x 10 x 9 x 8 b) 263 x 103

c) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 d) 26 x 25 x 24 x 103 RESOLUO: Veja que teremos senhas do tipo __ __ __ - __ __ __, onde as trs primeiras lacunas devem ser preenchidas por letras, e as trs seguintes por nmeros.

Veja que no h repetio de letras. Pelo princpio fundamental da contagem, temos 26 possibilidades para a primeira letra, 25 para a segunda e 24 para a terceira, isto : 26 x 25 x 24 possibilidades.

Por outro lado, permitido repetir algarismos. Temos 10 possibilidades para o primeiro, outras 10 para o segundo e outras 10 para o terceiro, perfazendo 10 x 10 x 10 = 103 possibilidades.

Ao todo, teremos 26 x 25 x 24 x 103 possibilidades de senhas.

Resposta: D

Obs.: a ttulo de exerccio, repare que a letra A representa o caso onde podemos repetir letras, mas no algarismos. A letra B representa o caso onde




podemos repetir tanto as letras quanto os algarismos. A letra C representa o caso onde no podemos repetir nem letras e nem algarismos.

24. CESPE Polcia Federal 2009) Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas sero divididas nos grupos A e B, e que, para formar o grupo A, sero sorteadas 5 equipes, julgue o item que se segue. ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formaro o grupo A ser inferior a 400.

RESOLUO: Observe que colocar as equipes 1, 2, 3, 4 e 5 no grupo A equivalente a colocar as equipes 3, 2, 1, 5 e 4 neste grupo. Isto , a ordem das equipes no importa. Estamos diante de um problema de combinao. O nmero de maneiras de se combinar 11 equipes em grupos de 5 dado por:

11 11 10 9 8 7(11,5) 4625 5 4 3 2 1

C = = =

Portanto, a quantidade de maneiras distintas de se escolher 5 equipes que formaro o grupo A ser SUPERIOR a 400.

Resposta: E

25. CESPE Polcia Federal 2009) A Polcia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas cidades esto na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai.

Internet: (com adaptaes). Considerando as informaes do texto acima, julgue o prximo item. ( ) Se uma organizao criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceo daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, ento essa organizao ter mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha.

RESOLUO:




Veja que, das 17 cidades de fronteira, apenas 11 (17 6) no esto na fronteira do MS com o Paraguai, portanto apenas estas sero escolhidas pela organizao criminosa.

O nmero de maneiras de se combinar 11 em grupos de 6 dado por:

11 10 9 8 7(11,6) (11,5) 4625 4 3 2 1

C C = = =

Este nmero MENOR do que 500, portanto o item est ERRADO.

Resposta: E

26. CESPE ABIN 2010) Com relao aos princpios e tcnicas de contagem, julgue os itens subsequentes.

( ) Caso o servidor responsvel pela guarda de processos de determinado rgo tenha de organizar, em uma estante com 5 prateleiras, 3 processos referentes a cidades da regio Nordeste, 3 da regio Norte, 2 da regio Sul, 2 da regio Centro-Oeste e 1 da regio Sudeste, de modo que processos de regies distintas fiquem em prateleiras distintas, ento esse servidor ter 17.280 maneiras distintas para organizar esses processos.

( ) Considere que seja possvel chegar a uma pequena cidade por meio de carro, por um dos 5 nibus ou por um dos 2 barcos disponveis e que, dado o carter sigiloso de uma operao a ser realizada nessa cidade, os agentes que participaro dessa operao devam chegar referida cidade de maneira independente, em veculos distintos. Em face dessa situao, sabendo-se que o rgo de inteligncia dispe de apenas um carro e que os deslocamentos devem ocorrer no mesmo dia, correto afirmar que o nmero de maneiras de o servidor responsvel pela organizao das viagens escolher os veculos para transporte de 3 agentes para essa misso inferior a 50.

( ) Caso o chefe de um rgo de inteligncia tenha de escolher 3 agentes entre os 7 disponveis para viagens um deles para coordenar a equipe, um para redigir o




relatrio de misso e um para fazer os levantamentos de informaes , o nmero de maneiras de que esse chefe dispe para fazer suas escolhas inferior a 200.

RESOLUO:

PRIMEIRO ITEM: temos 5 prateleiras, e processos de 5 regies para colocar em cada uma. Todos os processos de uma mesma regio devem ficar na mesma prateleira. Isto pode ser representado pelo esquema abaixo:

Prateleira 1 Prateleira 2 Prateleira 3 Prateleira 4 Prateleira 5 5 possibilidades 4 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 1 possibilidade Pelo princpio fundamental da contagem, temos 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas distintas de dispor os processos de cada regio numa mesma prateleira. Imagine a seguinte distribuio: Prateleira 1 Prateleira 2 Prateleira 3 Prateleira 4 Prateleira 5 Regio Norte (3 processos)

Regio Nordeste (3 processos)

Regio Sul (2 processos)

Regio Sudeste (1 processo)

Regio Centro-Oeste (2 processos)

Note que possvel permutar os 3 processos da regio Norte, dispondo-os de 3! = 6 maneiras diferentes. Da mesma forma, podemos permutar os da regio Nordeste, dispondo-os de 3! = 6 maneiras diferentes. Para a regio Sul temos 2! = 2 maneiras distintas, o mesmo se aplicando regio Centro-Oeste, e apenas 1 maneira para a regio Sudeste. Assim, considerando as regies distribudas conforme esta ltima tabela, teramos 6 x 6 x 2 x 1 x 2 = 144 formas distintas de distribuir os processos, devido s permutaes dos mesmos dentro de cada prateleira. Isto , para cada uma das 120 formas de dispor os processos de cada regio nas prateleiras, existem 144 formas de organizar os processos de cada prateleira. Ao todo, temos 120 x 144 = 17280 formas de distribuir os processos. Item CERTO.

SEGUNDO ITEM: Ser preciso escolher 3 veculos, um para transportar cada um dos agentes. A ordem no importa, o que interessa escolher 3 dos 8 veculos disponveis para transportar os agentes. Isto , precisamos calcular a combinao de 8 veculos em grupos de 3:

8 7 6(8,3) 563 2 1

C = =




Item ERRADO.

TERCEIRO ITEM: O nmero de formas de escolher 3 agentes em um grupo de 7 dado pela combinao de 7, 3 a 3 (pois a ordem no importa):

7 6 5(7,3) 353 2 1

C = =

Uma vez escolhidos esses 3 agentes, temos que alocar cada um em uma funo: coordenar, redigir e fazer levantamentos. Aqui, a ordem importa, pois colocar o agente A para coordenar e o agente B para redigir diferente de colocar o agente A para redigir e o agente B para coordenar. Assim, para a primeira funo, temos 3 possibilidades (qualquer um dos 3 agentes), para a segunda temos 2 possibilidades e para a terceira temos 1 possibilidade, totalizando 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades.

Assim, ao todo temos 35 grupos de 3 agentes, e cada grupo pode ser alocado de 6 maneiras distintas, totalizando 35 x 6 = 210 formas de escolher os agentes. Item ERRADO. Resposta: C E E

27. CESPE ANAC 2009) Com relao a anlise combinatria, julgue os itens que se seguem.

( ) O nmero de rotas areas possveis partindo de Porto Alegre, Florianpolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, Joo Pessoa, Macei, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Braslia, Rio de Janeiro ou So Paulo mltiplo de 12.

( ) Considerando que: um anagrama de uma palavra uma permutao das letras dessa palavra, tendo ou no significado na linguagem comum, A seja a quantidade de anagramas possveis de se formar com a palavra AEROPORTO, B seja a quantidade de anagramas comeando por consoante e terminando por vogal possveis de se formar com a palavra TURBINA; e sabendo que 9! = 362.880 e 5! = 120, ento A = 21B.




( ) Considere a seguinte situao hipottica. H 6 estradas distintas ligando as cidades A e B, 3 ligando B e C; e 2 ligando A e C diretamente. Cada estrada pode ser utilizada nos dois sentidos. Nessa situao, o nmero de rotas possveis com origem e destino em A e escala em C igual a 400.

( ) O nmero de comisses constitudas por 4 pessoas que possvel obter de um grupo de 5 pilotos e 6 co-pilotos, incluindo, pelo menos, 2 pilotos, superior a 210.

RESOLUO:

PRIMEIRO ITEM: temos 3 cidades de partida, 4 para fazer escala e 7 de destino. Sando de uma das 3 cidades de partida, temos 4 vos possveis para a cidade de escala. Aps esse primeiro vo, temos outros 7 vos possveis para a cidade de destino. Portanto, ao todo temos 3 x 4 x 7 = 84 vos (que mltiplo de 12). Item CERTO.

SEGUNDO ITEM: Veja que AEROPORTO possui a repetio de 2 R e 3 O. Portanto, o nmero de anagramas dado pela permutao de 9 letras, com a repetio de 2 e de 3:

9! 362880(9;3,2) 302403!2! 12

P = = =

J TURBINA no possui letras repetidas. Entretanto, o exerccio s quer os anagramas que comecem com uma das 4 consoantes e termine com uma das 3 vogais. Portanto, temos o seguinte esquema: 1 letra 2 letra 3 letra 4 letra 5 letra 6 letra 7 letra 4 opes (consoantes)

3 opes (vogais)

Da 2 6 letra, podemos utilizar qualquer uma das 5 letras restantes. Portanto, temos: 1 letra 2 letra 3 letra 4 letra 5 letra 6 letra 7 letra 4 opes (consoantes)

5 opes 4 opes 3 opes 2 opes 1 opo 3 opes (vogais)




Assim, existem 4 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 = 1440 anagramas de TURBINA que atendem as condies do enunciado.

Portanto, A = 30240 e B = 1440. Veja que 21 x 1440 = 30240. Isto , A = 21B. Item CERTO.

TERCEIRO ITEM: Temos o esquema abaixo:

Para sair de A e voltar a A, passando por C, existem as seguintes formas: 1) A B C A 2) ACA 3) ACBA 4) A BCBA

Calculando as probabilidades de cada caso, temos: 1) 6 x 3 x 2 = 36 2) 2 x 2 = 4 3) 2 x 3 x 6 = 36 4) 6 x 3 x 3 x 6 = 324

Ao todo, temos 36 + 4 + 36 + 324 = 400 possibilidades. Item CERTO.

QUARTO ITEM: Neste caso, podemos somar o total de comisses contendo 2, 3 e 4 pilotos. Podemos tambm calcular o total de comisses possveis




com os 11 funcionrios e subtrair deste total aquelas que no possuem piloto ou possuem apenas 1 piloto. Para exercitar, vamos utilizar o segundo mtodo.

O total de combinaes de 11 pessoas, 4 a 4, dado por: (11,4) 330C =

J o total de grupos formados apenas por co-pilotos, isto , sem nenhum piloto, dado pela combinao dos 6 co-pilotos, 4 a 4:

(6,4) 15C =

Por fim, o total de grupos formados por apenas 1 piloto e 3 co-pilotos dado pela multiplicao entre a combinao de 5 pilotos, 1 a 1, pela combinao de 6 co-pilotos, 3 a 3:

(5,1) (6,3) 100C C =

Portanto, o total de combinaes que possuem 2 ou mais pilotos : 330 15 100 = 215

Como este valor superior a 210, o item est CERTO.

Resposta: C C C C

28. CESPE BANCO DO BRASIL 2007) Julgue os itens que se seguem quanto a diferentes formas de contagem.

( ) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televiso, em expresses do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, tambm, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada insero da propaganda na TV, sempre apaream somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inseres com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer inferior a 70.




( ) H exatamente 495 maneiras diferentes de se distriburem 12 funcionrios de um banco em 3 agncias, de modo que cada agncia receba 4 funcionrios.

( ) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimenses iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situao, se 3 faixas so verdes e indistinguveis, 3 faixas so amarelas e indistinguveis e 1 faixa branca, esse decorador conseguir produzir, no mximo, 140 formas diferentes com essas faixas.

RESOLUO:

PRIMEIRO ITEM: Aqui temos a combinao de 12 nomes em pares de 2:

Item CERTO.

SEGUNDO ITEM: para a primeira agncia, podemos combinar os 12 funcionrios, 4 a 4. J para a segunda agncia, sobram 8 funcionrios para serem combinados 4 a 4. Por fim, para a terceira agncia sobram 4 funcionrios. At aqui, temos:

(12,4) 495(8,4) 70(4,4) 1

CCC

=

=

=

Portanto, at aqui temos 495 x 70 x 1 possibilidades. S isso j superior a 495, portanto o item est ERRADO.

TERCEIRO ITEM: Veja que temos a permutao de 7 faixas, com a repetio de 3 (verdes) e 3 (amarelas). Utilizando a frmula da permutao com repetio, temos:

7!(7;3,3) 1403!3!

P = =

Isto , existem 140 formas diferentes de dispor as 7 faixas. Item CERTO.

Resposta: C E C

(12,2) 66C =




29. CESPE MPE/RR 2008) Em cada um dos prximos itens, apresentada uma situao hipottica a respeito de probabilidade e contagem, seguida de uma assertiva a ser julgada.

( ) O arquivo de um tribunal contm 100 processos, distribudos entre as seguintes reas: direito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30; direito tributrio e direito agrrio, 10. Nessa situao, ao se retirar, um a um, os processos desse arquivo, sem se verificar a que rea se referem, para se ter a certeza de que, entre os processos retirados do arquivo, 10 se refiram a uma mesma rea, ser necessrio que se retirem pelo menos 45 processos.

RESOLUO: Vamos imaginar o pior caso possvel. Imagine que, ao retirar 4 processos,

foram retirados exatamente 1 processo de cada tipo. Prosseguindo, aps retirar mais 4 processos, demos o azar de tirar mais 1 processo de cada tipo, totalizando 2 processos de cada tipo. Prosseguindo neste raciocnio, pode ser que, aps retirar 36 processos, tenhamos 9 de cada tipo. Isto significa que, ao retirar o prximo processo (o 37), completaremos 10 processos de algum dos tipos. Isto , preciso tirar 37 processos do arquivo para ter certeza de que pelo menos 10 so do mesmo tipo. Item ERRADO. Resposta: E

30. CESPE Polcia Militar/CE 2008) Cada um dos itens a seguir apresenta uma informao seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito de contagem.

( ) No Brasil, as placas dos automveis possuem trs letras do alfabeto, seguidas de quatro algarismos. Ento, com as letras A, B e C e com os algarismos 1, 2, 3 e 4 possvel formar mais de 140 placas distintas de automveis.

( ) Determinada cidade possui quatro praas, cinco escolas e seis centros de sade que devero ser vigiados pela polcia militar. Diariamente, um soldado dever escolher uma praa, uma escola e um centro de sade para fazer a sua ronda.




Nesse caso, o soldado dispor de mais de 150 formas diferentes de escolha dos locais para sua ronda.

( ) Em determinada delegacia, h 10 celas iguais e 8 presidirios. Nesse caso, h mais de 1.800.000 maneiras diferentes de se colocar um presidirio em cada cela.

( ) Um anagrama da palavra FORTALEZA uma permutao das letras dessa palavra, tendo ou no significado na linguagem comum. A quantidade de anagramas que possvel formar com essa palavra inferior a 180.000.

RESOLUO:

PRIMEIRO ITEM: Temos que formar placas com 3 letras e 4 algarismos com as 3 letras disponveis e os 4 algarismos disponveis. Veja que o exerccio no disse que as letras ou os algarismos deviam ser distintos, isto , pode haver repetio. Pensando numa senha do tipo L L L N N N N, onde a letra L simboliza uma letra e a letra N simboliza um algarismo, sabemos que temos 3 possibilidades para preencher cada L, e 4 possibilidades para preencher cada N. Ao todo, temos: 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4 x 4 = 6912 possibilidades. Isto , BEM MAIS que 140 placas distintas. Item CERTO.

SEGUNDO ITEM: o policial tem 4 formas de escolher uma praa para fazer a sua ronda. E 5 formas de escolher uma escola. E 6 formas de escolher um centro de sade. Portanto, ao todo o policial pode escolher um conjunto praa-escola-centro de 4 x 5 x 6 = 120 formas distintas. Item ERRADO.

TERCEIRO ITEM: Veja que sempre sobraro exatamente 2 celas vazias, afinal devemos colocar um presidirio apenas por cela. Portanto, precisamos resolver este item em 2 etapas:

- escolher 8 das 10 celas para preencher com presidirios. Para isso, devemos combinar 10 celas, 8 a 8:

(10,8) (10,2) 45C C= =




- escolhidas as 8 celas, devemos permutar os 8 presidirios entre as celas, calculando a quantidade de forma de disp-los:

(8) 8! 40320P = = Portanto, temos 45 formas de escolher 8 celas, e, para cada uma dessas formas, temos 40320 formas de dispor os presidirios. Assim, ao todo temos:

45 x 40320 = 1.814.400 Item CERTO.

QUARTO ITEM: observe que FORTALEZA possui 9 letras, com a repetio de 2 letras A. Portanto, a quantidade de anagramas dada pela permutao de 9, com repetio de 2:

9!(9;2) 1814402!

P = =

Isto , temos mais de 180.000 anagramas. Item ERRADO. Resposta: C E C E

31. CESPE SECONT/ES 2009) Com respeito quantidade de possibilidades de ocorrncia de um evento, julgue os itens que se seguem.

( ) Considere que o acesso ala de segurana de uma empresa seja permitido para 152 empregados, desde que utilizem uma senha individual formada por 3 algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a 7. Nesse caso, sobraro mais de 50 senhas.

( ) Considere que um jogo eletrnico consista em executar uma msica utilizando um conjunto de instrumentos musicais, seguindo determinado ritmo caracterizado por um nvel de dificuldade. O jogador tem 3 opes para a escolha dos instrumentos musicais, 5 opes para o nvel de dificuldade e 5 opes de msica. Nessa situao, o nmero mximo de configuraes a escolher para participar do jogo igual a 13.

RESOLUO:




( ) Considere que o acesso ala de segurana de uma empresa seja permitido para 152 empregados, desde que utilizem uma senha individual formada por 3 algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a 7. Nesse caso, sobraro mais de 50 senhas. Para formar senhas de 3 algarismos distintos com os 7 algarismos disponveis (de 1 a 7), temos 7 x 6 x 5 = 210 possibilidades. Distribuindo uma senha para cada um dos 152 empregados, sobram 210 152 = 98 senhas. Item CERTO.

( ) Considere que um jogo eletrnico consista em executar uma msica utilizando um conjunto de instrumentos musicais, seguindo determinado ritmo caracterizado por um nvel de dificuldade. O jogador tem 3 opes para a escolha dos instrumentos musicais, 5 opes para o nvel de dificuldade e 5 opes de msica. Nessa situao, o nmero mximo de configuraes a escolher para participar do jogo igual a 13. Se temos 3 opes de instrumentos, 5 de dificuldades e 5 de msicas, ao todo temos 3 x 5 x 5 = 75 possibilidades de configurao. Item ERRADO. Resposta: C E

32. CESPE SECONT/ES 2009) Em uma solenidade, 9 pessoas ficaro sentadas, lado a lado, no palco para

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