Matemática Morfológica Ing. Samuel Oporto Díaz (Mg) [email protected] Introducción al...
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Matemática Morfológica
Ing. Samuel Oporto Díaz (Mg)[email protected]
Introducción al Procesamiento de Imágenes
Mapa del Curso
Operaciones Punto
Filtros Segmentación
Extracción de características
Operaciones Morfológicas
Reconocimiento de Patrones
Introducción a la Visión Artificial
Representación de la Imagen
Tabla de Contenido
• Morfología• Operaciones Morfológicas• Aplicaciones
Objetivos
1. Desarrollar los conceptos para la aplicación y entendimiento de las operaciones morfológicas sobre imágenes binarias.
MORFOLOGÍA
Morfología
• Morfología significa forma y estructura de un objeto.
• La morfología matemática se basa en operaciones de teoría de conjuntos.– Imágenes binarias. Subconjuntos de Z2
– Imágenes grises. Coordenadas en Z3.
• Simplifican imágenes y conservan las principales características de forma de los objetos.
• Extrae componentes de imagen útiles en la representación y descripción de la forma de las regiones.
Morfología - Operaciones
• Dilatación. agrega pixeles a un objeto, lo hace más grande
• Erosión. Extrae los "outlayers del objeto“, lo hace más chico
• Apertura. Aplica una erosión seguida de una dilatación, permite abrir pequeños huecos.
• Clausura. Aplica una dilatación seguida de una erosión, permite cerrar los huecos.
Morfología - Aplicaciones
• Pre-procesamiento de imágenes (supresión de ruidos, simplificación de formas).
• Destacar la estructura de los objetos (extraer el esqueleto, detección de objetos, envolvente convexa, ampliación, reducción,...)
• Descripción de objetos (área, perímetro,...)
Morfología
• Imágenes binarias– Operaciones morfológicas: Dilatación, erosión,
Transformada Hit-or-Miss, apertura y cierre.– Aplicaciones: Extracción de fronteras y componentes
conexas, rellenado de regiones, adelgazamiento y engrosamiento, esqueleto y poda.
• Imágenes en escala de grises– Operaciones morfológicas: dilatación, erosión, apertura,
cierre.– Aplicaciones: Gradiente morfológico, transformada Top-
Hat, texturas y granulometrías.
Operaciones básicas sobre conjuntos
• Por ejemplo, la diferencia de dos conjuntos A y B se define: cBABxAxxBA ,
complemento diferencia
La traslación de A por z se define como
•
La reflexión de B se define como
Operaciones básicas sobre conjuntos
AazaxxAz , BbbxxB ,ˆ
OPERACIONES MORFOLÓGICAS CON
MATLAB
SE = strel(shape, parameters)SE = strel('arbitrary', NHOOD)SE = strel('arbitrary', NHOOD, HEIGHT)SE = strel('ball', R, H, N)SE = strel('diamond', R)SE = strel('disk', R, N)SE = strel('line', LEN, DEG)SE = strel('octagon', R)SE = strel('pair', OFFSET)SE = strel('periodicline', P, V)SE = strel('rectangle', MN)SE = strel('square', W)
Elemento estructurante
Flat Structuring Elements
'arbitrary' 'pair'
'diamond' 'periodicline'
'disk' 'rectangle'
'line' 'square'
'octagon'
Nonflat Structuring Elements
'arbitrary' 'ball'
• SE = strel('diamond', R)
• SE = strel('disk', R, N)
• SE = strel('line', LEN, DEG)
• SE = strel('octagon', R)
Elemento estructurante
OPERACIONES MORFOLÓGICAS
Modelos Morfológicos
• En 1996 surgen las Memorias Asociativas Morfológicas, inspiradas en los operadores de la Morfología Matemática
– Dilatación– Erosión– Apertura– Cerradura
Dilatación
BbAabaxXxBA ,;
ABBA
BCBACA
BCBABCA
• Agrega pixeles a un objeto, lo hace más grande
Ejercicio 1
111
11
111
1
B = zeros(4,4)
B([4, 5, 6, 7, 11]) = 1
S = [1 1]
D = imdilate(B, S)
B = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
B = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0
S = 1 1
D = 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Erosión
BbAbxXxBA ,
(A⊖B)⊖C = A (⊖ BC)
A(B⊖C) (AB)⊖C
A⊖B A
• Extrae los "outlayers del objeto“, lo hace más chico
Ejercicio 3
111
11
111
1
Ejercicio 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Apertura
• Suaviza los contornos de una imagen. Elimina pequeños salientes. Abre pequeños huecos. Elimina franjas o zonas de un objeto que sean “más estrechas” que el elemento estructural.
A C → A B ∘ C B∘A B ∘ A
(A B) B=A B∘ ∘ ∘
A∘B = (A⊖B)B
Ejercicio 5
Ejercicio 6
111
11
111
1
Máscara empleada
Apertura
Imagen
erosionada
Clausura - Cerradura
• Elimina huecos pequeños (rellenándolos) y une componentes conexas cercanas.
A∙B = (AB)⊖B
A C → A∙B C∙BA A∙B
(A∙B)∙B = A∙B
Ejercicio 7
111
11
111
1
Máscara empleada
Cierre
Imagen
dilatada
Ejercicio 8
APLICACIONES
• La frontera de un conjunto A se puede obtener primero erosionando A por un elemento estructural apropiado, B, y realizando posteriormente la diferencia entre A y su erosión. Es decir,
• El elemento estructural B usado más frecuentemente es el cuadrado 3x3 (como en el ejemplo que se muestra a continuación). Usando otros tamaños, por ejemplo 5 x 5, se ampliaría el grosor de la frontera a dos o tres píxeles.
Extracción de frontera
F (A) = A - (A B)
Ejercicio 9
erosión
Ejercicio 10
111
11
111
1
Máscara empleada
Imagen
erosionada
Imagen de contorno
• Partimos del borde 8-conexo de una región, A, y de un punto p del interior de A.
• El siguiente procedimiento rellena el interior de A:
• Donde B es el elemento estructural siguiente:
• Y el algoritmo termina en la iteración k si Xk=Xk-1. La unión de Xk y A es la frontera y la región rellena.
Rellenado de regiones
Xk = (Xk - 1 B) Ac k = 1, 2, 3... X0 = p
Ejercicio 11
• Supongamos que Y representa una componente conexa contenida en un conjunto A y supongamos que conocemos un punto p que pertenece a dicha región. Entonces, el siguiente procedimiento puede utilizarse para extraer Y:
• El algoritmo termina en la iteración k si Xk-1=Xk. Con Y=Xk.
• B es el elemento estructural siguiente:
Extracción de componentes conexas
Xk = (Xk - 1 B) A k = 1, 2,...
X0 = p
Ejercicio 12
Trasformada Hit-or-Miss
• Es una herramienta para la detección de formas. Se usa para buscar determinada configuración en los píxeles .
• Sea B = (J, K) la configuración que queremos buscar, donde J es el conjunto formado por los píxeles negros de B; y K el conjunto formado por los píxeles negros de Bc. Por ejemplo
• Los x indican píxeles que pueden ser indistinguiblemente blancos o negros.
Trasformada Hit-or-Miss
• La transformación hit-or-miss se define como:
• Utilizando la definición de diferencia de conjuntos y la relación dual entre la erosión y la dilatación, podemos escribir la ecuación anterior como
Ejercicio 13
• Detección de esquinas superiores derechas
Adelgazamiento de regiones
• El adelgazamiento de un conjunto A por un elemento estructural B puede ser definido en términos de la transformación ganancia-pérdida como:
A B = A - (A B) = A (A B)c
B
Adelgazamiento de regiones
• Elementos estructurales usados comúnmente en el proceso de adelgazamiento
Ejercicio 14
Engrosamiento
• El engrosamiento es el dual morfológico del adelgazamiento y se define mediante la expresión:
• donde B es un elemento estructural apropiado para la ampliación.
A BB
A B = A (A B)
Ejercicio 15
Esqueletización
• El esqueleto de un conjunto A puede ser expresado en términos de erosiones y aperturas.
• Si S(A) denota el esqueleto de A, entonces
• Donde:
• donde A kB denota la aplicación sucesiva de k erosiones a A:
• K es el último paso iterativo antes de que A se erosione a un conjunto vacío. En otras palabras,
)()( 0 ASAS kKk
Ejercicio 16
PREGUNTAS