Matemática - MAT111

Cuaderno de Aprendizaje – 2015

Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.

CUADERNO DE

APRENDIZAJE

MATEMÁTICA



Estimado Estudiante de AIEP, en este Cuaderno de Aprendizaje, junto a cada Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Módulo que cursas, encontrarás “Ejercicios Explicativos” que reforzarán el aprendizaje que debes lograr. Esperamos que estas Ideas Claves entregadas a modo de síntesis te orienten en el desarrollo del saber, del hacer y del ser. Mucho Éxito.- Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP



Unidad 1: Nivelación de la Matemática

APRENDIZAJE ESPERADO 1. Resuelven problemas de aplicación sencillos y ejercicios numéricos aplicando la operatoria y propiedades del conjunto de los números naturales, enteros, racionales y reales, con ayuda de calculadora científica.

Criterio 1.1. Aplica las reglas de operatoria, divisibilidad y propiedades de orden en el cálculo de ejercicios numéricos en el conjunto de los números naturales. Ejercicio 1 Una cadena de supermercados realiza un pedido de 3.000 kg de pan a una panificadora distribuidora. Primero le envían 854 kg, al día siguiente 12 kilos menos que la primera vez y dos días después 156 kg más que la primera vez. ¿Cuántos kilógramos faltan por enviarle? Solución: 1° 854 Kg 2° (854 – 12) Kg 3° (854 + 156) Kg En total:

854 854 12 854 156 2706

Por lo tanto, faltan por enviarle: 3.000 – 2.706 = 294 Kg. Ejercicio 2 Tres motocicletas giran alrededor de una pista, un corredor da la vuelta al circuito cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada 1 minuto. A las 6:30 de la tarde, los tres coinciden. ¿A qué hora vuelven a coincidir nuevamente los tres motociclistas? Solución:

Para encontrar la hora que volverán a encontrarse, debemos encontrar el mínimo común múltiplo entre los 12seg, 18seg y 60seg (1 minuto).

12 18 60 2

6 9 30 2

3 9 15 3

1 3 5 3

1 5 5

1

Multiplicando los números de la derecha, es decir,

2 2 3 3 5 , resulta 180 segundos = 3 minutos

Respuesta: Por lo tanto los tres motociclistas vuelven a coincidir a las 6:33 de la tarde.



Ejercicio 3 Para realizar una inauguración, se dispone de un coctel de 48 porciones de bebestibles, 24 porciones de cóctel calientes y 12 porciones de cóctel frio. Se desea que cada invitado reciba la misma cantidad de bebida, cócteles calientes y cócteles fríos. ¿Cuál es el mayor número de personas que es posible atender en esta recepción?

a) 3 b) 4 c) 6 d) 12

Solución:

Los divisores de 48 son: 48,24,16,12,8,6,4,3,2,1

Los divisores de 24 son: 24,12,8,6,4,3,2,1

Los divisores de 12 son: 12,,6,4,3,2,1

Por lo tanto el máximo común divisor es 12, por lo que, el mayor número de personas que es posible atender son 12 personas. Respuesta: La alternativa correcta es d)

Criterio 1.2. Aplica las reglas de operatoria y de orden en el cálculo de ejercicios numéricos en el conjunto de los números enteros y racionales. Ejercicio 4

Encuentre el valor numérico de, 7 3 5 8 9 7 3 14:2 , (utilice calculadora para

verificar el resultado). Solución:

7 3 5 8 9 7 3 14:2

7 8 8 16 3 7

7 16 19 7

112 19 7

Respuesta: El valor numérico de la expresión es 138.



Ejercicio 5

Encuentre el valor de 2 3 1 3 7

5 7 8 4 2

a) 1313

1120

b) 1302

1120

c) 1313

1120

d) 1302

1120

Solución:

2 3 1 3 7

5 7 8 4 2

Resolviendo los paréntesis, se tiene:

29 1 11

35 8 4

Resolviendo la multiplicación, se tiene:

29 11

35 32

1313

1120

Respuesta: Alternativa correcta c) Ejercicio 6 Ordenar de mayor a menor los números 4,6 - 4,8 4,56 -4,78 -4,82. Solución: Los números negativos son siempre menores que los números positivos. Para compararlos, se recomienda que la cantidad de decimales sean las mismas, así obtenemos que: 4,60 > 4,56 -4,78 > -4,80 > -4,82 recordar que en los números negativos el mayor está más cerca del 0. Respuesta: El orden de los números de mayor a menor es 4,60 > 4,56 > -4,78 > -4,80 > -4,82.



Criterio 1.3. Transforma números decimales a fracciones, fracciones a decimales, número mixto a fracción impropia y viceversa comprobando las equivalencias con ayuda de la calculadora científica.

Ejercicio 7 Transforme los siguientes números decimales a fracción:

a) 0,7

b) 3,75

c) 7,2

d) 1,32

Solución: a) El número 0,7 es un número decimal finito, por lo tanto, se utilizan potencias de 10.

Como el número 0,7 tiene un decimal se fraccionará por 10.

0,7 = 7

10

b) El número 3,75 , también es un número decimal finito. El número 3,75 tiene dos decimales, luego

se fraccionará por 100.

3,75 = 375

100=

753

100

c) El número 7,2 es un número decimal infinito periódico, en este caso utilizaremos 9. Como el

número 7,2 tiene un decimal periódico se fraccionara por un 9

2

7,2 79

d) El número 1,32 en un número decimal semi-periódico, en este caso utilizaremos potencias de 10 y

9. Como el número 1,32 tiene un decimal periódico se fraccionará por un 9, y como tiene un número

decimal finito se fraccionará por un 10.

1,32 = 32 3

190

=

291

90 En el numerador se resta el decimal que no es periódico.

Ejercicio 8

Transformar las fracciones 2

5 y

7

90 a decimales.

Solución: Para realizar la transformación de una fracción a decimal, dividimos el numerador por el denominador.

2 : 5 = 0,4 . Así 2

0,45

- 7 : 90 = - 0,07 . Así 7

0,0790



Ejercicio 9

Transformar la fracción impropia 13

4 a número mixto.

Solución: Una fracción impropia es una fracción cuyo numerador es mayor al denominador, y un número mixto está formado por un número entero y una fracción. Para realizar esta transformación proseguimos de la siguiente manera: 13 : 4 = 3 1 El cociente 3 representa al número entero, el resto 1 será el numerador de la fracción y el denominador se mantiene. Así,

13 1

34 4

Ejercicio 10

Transformar el número mixto 3

24

a fracción.

Solución:

Los 2 enteros equivalen a 8

4, por lo que,

32

4=

8 3 11

4 4 4 .

Una forma equivalente de realizar esta transformación es:

3

24

= 2 4 3 8 3 11

4 4 4

Criterio 1.4. Evalúa expresiones aritméticas dadas, utilizando reglas de operatoria y propiedades de orden en el conjunto de los Números Reales. Ejercicio 11

Encontrar el valor de; 7 4 5

0,5: 6,12 1,33 5 4

. Exprese el resultado en fracción.

Solución:

7 4 5

0,5: 6,12 1,33 5 4

Los números decimales se transforman a fracciones.

7 5 4 551 5 13:

3 9 5 90 4 10 Se realiza la división y multiplicación de fracciones,

simplificando la fracción resultante.

. 7 25 551 13

3 36 72 10 Se saca m.c.m, se amplifica cada fracción y luego se simplifica

959

120 =

1197

120



Ejercicio 12

El valor numérico de la expresión 1 1 7

3 2 : 0,5 0,2 18 2 8

es:

a) 13

8

b) 17

8

c) 23

8

d) 13

4

Solución:

1 1 73 2 : 0,5 0,2 1

8 2 8

Los números mixtos y decimales se transforman a fracción

25 5 5 2 15:

8 2 10 10 8

Se desarrolla el paréntesis y se aplica la propiedad para dividir fracciones

5 10 2 15

8 5 10 8

Se desarrolla las multiplicaciones

50 30

40 80 Simplificando y sumando, tenemos,

5 3

4 8

13

8

Respuesta: La alternativa correcta es a)

Criterio 1.5. Resuelve problemas de aplicación utilizando reglas de operatoria y propiedades de orden en el conjunto de los números naturales, enteros y racionales.

Ejercicio 13 Un estanque de combustible tiene 800 litros de petróleo. Por la parte superior del estanque, un llave vierte 25 litros por minuto, y por otra llave en parte inferior salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de petróleo habrá en el estanque, después de 15 minutos de funcionamiento? Solución: 1° Petróleo inicial 800 litros

2° En 15 minutos se vierte 25 15 litros de petróleo = 375 litros de petróleo.

3° En 15 minutos sale 30 15 litros de petróleo = - 450 litros de petróleo.

800 375 450 725

Respuesta: Después de 15 minutos, hay en el estanque 725 litros de petróleo.



Ejercicio 14 Una bomba extrae agua de un pozo de 975 metros de profundidad y lo eleva a un estanque que se encuentra a 48 metros de altura ¿Qué nivel supera el agua? a) 1.023 metros b) 1.100 metros c) 1.200 metros d) 1.350 metros Solución: 48 metros

975 metros

48 975 1.023 metros.

Respuesta: La alternativa correcta es a) Ejercicio 15 De una piscina inicialmente llena de agua, se saca un día la cuarta parte y al segundo día, la tercera parte del agua que quedaba, quedando 450 m3 de agua en la piscina. Determine la capacidad total de la piscina. Solución: Inicialmente: x (lleno)

Primer día: se extrae 1

4de x, es decir

1

4x

Segundo día: se extrae 1

3 de lo que quedaba, es decir

1 1 1 3 1

3 4 3 4 4x x x x

Entonces, entre los dos días se extrae:

1

4x +

1

4x =

1

2x , es decir, la mitad de la piscina queda con agua.

Como quedo 450 m3 en la piscina, la piscina tiene la capacidad de 450 2 = 900 m3 de agua.



Ejercicio 16 En una fábrica de textiles, se trabaja desde las 8:00 hrs. hasta las 20:00 horas. El proceso para maximizar la producción es el siguiente:

1

3del tiempo, se dedica a la fabricación de camisas,

1

4de la jornada para pantalones,

1

2del tiempo

que se ocupa para la fabricación de camisas, se utiliza para bordar los botones, 1

3del tiempo

destinado a pantalones, se usa para afinar detalles, 1

2 del tiempo utilizado para bordar los botones, se

destina para almorzar. El resto de la jornada se dedica a actividades recreativas. ¿Cuántas horas se dedican a esta actividad? a) Media hora b) Una hora c) Una hora y media d) Dos horas Solución:

Las horas de trabajo son 12 horas.

Tiempo para las camisas, 1

3= 4 horas.

Tiempo para los pantalones, 1

4= 3 horas.

Tiempo para bordar botones, 1

2del tiempo para las camisas, es decir, 2 horas.

Tiempo para afinar detalles, 1

3 del tiempo para los pantalones, es decir, 1 hora.

Tiempo para almorzar, 1

2 del tiempo para bordar botones, es decir, 1 hora.

Total: 4 + 3 + 2 + 1 + 1 = 11 horas.

Tiempo para actividades recreativas, 12 – 11 = 1 hora

Respuesta: La alternativa correcta es b)



Unidad 2: Geometría plana

APRENDIZAJE ESPERADO 2. Resuelven problemas cotidianos y contextualizados, utilizando teoremas básicos de ángulos en triángulos y entre rectas paralelas, con apoyo de la calculadora científica.

Los ángulos se pueden medir según los siguientes sistemas: - Sistema Sexagesimal: Su unidad es el grado sexagesimal y es la medida habitual de los ángulos, y su medida máxima es de 360° y tiene subunidades como minutos y segundos. - Sistema Centesimal: Es una unidad de medida de los ángulos planos, cuyo valor se define como el ángulo central subtendido por un arco cuya medida es igual a 400g (gon). - Sistema Circular: Su medida es el radián, que es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio con que fue descrito. Su medida máxima corresponde a 2π rad que equivale a los 360° de un ángulo completo. Para convertir medidas de ángulos a los distintos sistemas aplicaremos las siguientes proporciones:

Sexagesimal a Centesimal y viceversa

𝑆

360=

𝐶

400

Sexagesimal a Radián y viceversa

𝑆

360=

𝑅

2𝜋

Centesimal a Radián y viceversa

𝐶

400=

𝑅

2𝜋

Criterio 2.1. Convierte medidas de ángulo entre los distintos sistemas, con ayuda de proporciones y calculadora científica.

Ejercicio 17 Convertir 55g a grados sexagesimal. Solución: Aplicamos la siguiente proporción:

𝑆

360=

55

400=> 𝑆 =

55 360

400= 49,5°

En nuestra calculadora tenemos la tecla la cual convierte los 49,5° correspondiente al grado sexagesimal 49° 30’ 00’’



Ejercicio 18 Convertir 5𝜋 a grado sexagesimal. Solución: Aplicamos la siguiente proporción:

𝑆

360=

5𝜋

2𝜋=> 𝑆 =

5𝜋 .360

2𝜋= 900°

Ejercicio 19

Convertir 3𝜋 a grado centesimal. Solución: Aplicamos la siguiente:

𝐶

400=

3𝜋

2𝜋=> 𝐶 =

3𝜋 .400

2𝜋 = 600𝑔

Criterio 2.2. Determina ángulos en triángulos usando criterios.

Algunos criterios en los triángulos son:

- La suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180°. - La suma de las medidas de sus ángulos exteriores es 360°. - La altura es un trazo perpendicular (genera un ángulo recto de 90°) que se extiende desde un

vértice al lado opuesto. - La bisectriz es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual medida. - Ángulo extendido es aquel que mide 180°.

Ejercicio 20 De acuerdo a la siguiente figura, encuentra la medida del ángulo ABC B Aplicamos la siguiente ecuación para encontrar 3x el valor de x: x + 2x + 3x = 180 6x = 180 x = 30

x 2x Por lo tanto el ABC = 3 30 = 90°.

A C Ejercicio 21 Encuentra los ángulos 𝛼 𝑦 𝛽 en la siguiente figura: C 15 + 48 = 63 β = 180 – 48 α = 180 – 63 β = 132° α α = 117° 15° 48° β B A



Ejercicio 22

Si CBA = 47° y CAB = 66°, encuentra BEA y ACD, en la siguiente figura:

C γ CD = Altura AE = Bisectriz E x A D B Solución: Encontramos los ángulos de los triángulos menores para conseguir los ángulos desconocidos. C 24 Por lo cual la medida de los ángulos son

E ACD = 24° y BEA = 100°.

100 123 57 33 33 90 90 47 A D B



Criterio 2.3. Determina ángulos entre paralelas, utilizando propiedades y teoremas.

Algunas propiedades importantes son:

- Ángulo extendido es aquel que mide 180°. - Ángulo opuestos por el vértice, son aquellos que tienen un vértice en común y los ángulos

miden lo mismo. - Ángulos correspondientes, son los que están entre paralelas y miden lo mismo. - Ángulos alternos internos, son aquellos que están cruzados y dentro de las paralelas. - Ángulos alternos externos, son los que están cruzados y fuera de las paralelas.

Ejercicio 23 El la figura L1 || L2, encuentre x x L1 L2

110° L3

Solución: Ambos ángulos son correspondientes pero opuestos y la suma de ambos es de 180°, por lo tanto el ángulo x mide 70°. Ejercicio 24

L1 || L2 y EF es bisectriz del QER, encuentre el valor de x.

R x L1 F 20° L2

E Q L3 Solución:

Por lo consiguiente FER = 20°, ya que hay una bisectriz. Ahora ambos ángulos no son alternos, es

decir, la suma de ambos es 180°. Por lo cual, el x mide 140°.



Ejercicio 25 Calcule x e y, si L1 || L2. 2x + y 150° L3 2x – y L1 L2 Solución: Como se forma un ángulo extendido de 180° y sabemos que un ángulo es de 150°, el ángulo adyacente mide 30°. Para encontrar las incógnitas, lo desarrollamos de la siguiente manera: 2x + y = 150 2 • 45 + y = 150 2x – y = 30 y = 150 – 90

4x = 180 y = 60

x = 45

Criterio 2.4. Resuelve problemas cotidianos y contextualizados, utilizando teoremas básicos de ángulos en triángulos y entre rectas paralelas.

Ejercicio 26 Calcule x, si L1 || L2. L1 300° x L2 Solución: Como L1 || L2 son paralelos, el ángulo x es alterno interno con el ángulo adyacente de 300°, es decir mide 60°, de esta forma tenemos un ángulo completo.

Por lo tanto, x = 60°.



Ejercicio 27 Calcule los ángulos x e y 20° x 35° a y 25° Solución: Calculamos el ángulo que falta del primer triángulo (a) a = 180 – (35 + 20)

a = 125° Como el ángulo “y” es adyacente, se tiene: y = 180 – 125 = 55 y = 55° Luego, x = 55° + 25 x = 80°

Por lo tanto, x = 80° y y = 55°.

Ejercicio 28 Encuentre el valor de x en:



18° 46° 35° x Solución: Encontramos el ángulo que falta del primer triángulo: 180 – (46 + 18) 116 Posteriormente nos encontramos con ángulos opuestos por el vértice que forman dichos ángulos basales del segundo triángulo, por lo que, podemos encontrar el ángulo x de la siguiente forma: x = 180 – (116 + 35) x = 29

Es decir el x = 29°.

APRENDIZAJE ESPERADO 3. Calculan longitudes en distintas figuras, relacionadas con la especialidad, aplicando diferentes teoremas utilizando calculadora científica. El teorema de Pitágoras se aplica solamente en los triángulos rectángulos: “la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”, del cual destacamos:



H2 = C1

2 + C22 C1

2 = H2 – C12

Criterio 2.6. Calcula longitudes en triángulos rectángulos, aplicando teorema de Pitágoras, con ayuda de la calculadora científica.

Ejercicio 29 Calcule la medida del lado que falta: Solución: Aplicamos la fórmula: C1

2 = 122 – 22 2 cm 12 cm C1

2 = 144 – 4

C12 = √140

C1 = 11,8 x Por lo tanto la medida del cateto que falta es de 11,8 cm. Ejercicio 30 Encuentra la medida de la hipotenusa sabiendo que sus catetos miden 24 y 10 cm respectivamente. Solución: Realizando un dibujo del triángulo, tenemos:

x2 = 242 + 102

x2= 576 + 100

24 cm x x2 = √676

x = 26

10 cm

La hipotenusa mide 26 cm.

Ejercicio 31

Se tienen un terreno rectangular de 4,5 m de ancho por 6 m de largo, el cual se divide en dos partes iguales por una diagonal. ¿Cuál es la medida de la diagonal?



Solución:

4,5 m

x2 = 62 + 4,52

x2 = 36 + 20,25

x x2 = √56,25

6 m 6 m x = 7,5

Por lo cual la diagonal mide 7,5 metros.

4,5 m

Criterio 2.7. Calcula longitudes en triángulos y otras figuras geométricas, aplicando teorema de Euclides y usando calculadora científica.

El teorema de Euclides es aplicable en los triángulos rectángulos y de este se desprende:

C Aplicaremos las siguientes fórmulas

a2 = p • c

b a

h b2 = q • c

q p h2 = p • q

A D B

c

Este teorema está relacionado con el teorema de Pitágoras, ya que el lado c corresponde a la hipotenusa y, los lados a y b corresponden a los catetos.

Ejercicio 32

Si el triángulo ABC es rectángulo en C, p = 8 cm y q = 4 cm. Encuentre el valor de la altura CD.

A Aplicamos la fórmula correspondiente a la altura

q

c h2 = 8 • 4

b D h2 = √32

p h = 5,66

h

Por lo tanto la altura mide 5,66 cm aproximadamente.

C a B

Ejercicio 33

Si el triángulo ABC es rectángulo en C, b = 6 cm, q = 4 cm y CD es altura. Encuentre el valor del lado a.



Solución:

A b C Primero debemos encontrar c con la siguiente fórmula:

62 = 4 • c

H 36 = 4 • c

q 9 = c

a Por lo tanto c = 9 cm

c D

p Luego, p = 5 cm, ya que 9 – 4 = 5

B Finalmente encontramos “a”:

a2 = 9 • 5

a2 = √45

a = 6,7

Por lo tanto, a = 6,7 cm.

Ejercicio 34

Si ABC es un triángulo rectángulo en C y CD es altura. Encuentre la medida de b, si a = 20 cm y

h = 12 cm.

C

b

a

h

q p

A D B

c

Solución:

En primer lugar aplicamos Pitágoras para encontrar para encontrar la medida de p:

p2 = 202 – 122

p2 = √256

p = 16

Posteriormente encontramos la medida de c para obtener q:

202 = 16 • c

400 = 16 • c

25 = c

Luego, q = 25 – 16 = 9

Finalmente encontramos la medida de b:

b2 = 25 • 9

b2 = √225

b = 15



Por lo tanto, b= 15 cm.

Criterio 2.8. Resuelve problemas contextualizados utilizando teorema de Pitágoras y de Euclides, con ayuda de la calculadora científica.

Ejercicio 35 Se cae un poste de 15,4 metros de alto sobre un edificio que se encuentra a 12 metros de él. ¿Cuál es la altura a la que le golpea el poste al edificio? Solución: Aplicaremos Pitágoras. Como el poste que cae representa la hipotenusa y la distancia de este con el edificio representa un cateto, lo que debemos encontrar es la altura que golpea al edificio, que representa el otro cateto. C1

2 = 15,42 - 122 Por lo tanto, el poste golpea a 9,65 metros de la altura del

C12 = √93,16 edificio.

C1 = 9,65 Ejercicio 36 ¿A qué distancia de la tierra se encuentra un barco, si se sabe que la distancia del barco a la parte superior del faro es de 25 metros y está a 20 metros sobre el nivel del mar? Solución: Concluimos que los 20 metros corresponde a un cateto y la distancia del barco con la parte superior del faro corresponde a la hipotenusa. x2 = 252 – 202

x2 = √225 x = 15 Por lo tanto, el barco se encuentra a 15 metros de distancia de la tierra. Ejercicio 37 Durante las vacaciones Tamara decidió lanzarse en canopy, que básicamente consiste en lanzarse por un cable atado a grandes distancias y diferentes alturas mediante una polea y un arnés sostenido a ella. El punto de partida está a 9 metros de altura y recorre en su bajada 15 metros. ¿Cuál es la menor distancia que habrá entre Andrés, que observa todo desde la base del punto de partida (C) y Tamara al lanzarse por el cable?



Solución: Graficando la situación, tenemos: B Calculamos: 15 m a2 = p • c 92 = p • 15 p D 5,4 = p 9 m h Para calcular q, se tiene: q q = c – p = 15 – 5,4 = 9,6 metros. Finalmente calculamos la altura CD (h) C A CD2 = 9,6 • 5,4

CD2 = √51,84

CD = 7,2 m Por lo tanto, la menor distancia al punto C es de 7,2 metros.

APRENDIZAJE ESPERADO 4. Resuelven problemas cotidianos y contextualizados, utilizando teoremas básicos de ángulos en la circunferencia con apoyo de la calculadora científica. Para calcular ángulos en circunferencias, cabe mencionar algunos teoremas referentes a estos ángulos:



- Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. B

β = 1

2 𝛼 β

A α C D

- Todo ángulo interior a una circunferencia tiene por medida la semisuma de los arcos que comprenden sus lados y sus prolongaciones.

𝛽 =𝐴𝐵+𝐶𝐷

2 A D

β B • C O

- Todo ángulo exterior a una circunferencia tiene por medida la semidiferencia de los arcos que comprenden entre sus lados.

α = 𝐴𝐷−𝐶𝐵

2

A B • α E O C

D

Criterio 2.10. Determina ángulos en una circunferencia, utilizando teoremas establecidos.

Ejercicio 38

En la siguiente figura, A es el centro de la circunferencia. Encuentre el ángulo desconocido.



Si el ángulo inscrito mide 40° entonces el ángulo del centro

C mide el doble.

Por lo tanto, α = 80°

40°

A

•

α

B D

Ejercicio 39

Encuentre la medida de β, si el arco AB= 110° y el arco CD= 40°.

A Aplicamos la fórmula anterior

𝛽 = 110+40

2

D β = 75°

• β

C

B

Ejercicio 40

Encuentre la medida del arco AD, si α = 21° y el arco CB = 42°.

Aplicamos la siguiente ecuación:

A 21 = 𝑥−42

2 / 2

B 42 = x – 42

42 + 42 = x

• α E 84 = x

Por lo tanto, el arco AD = 84°.

C

D

Criterio 2.11. Resuelve problemas cotidianos y contextualizados, utilizando teoremas básicos de ángulos en la circunferencia.

Ejercicio 41

En la circunferencia, P es el punto medio del arco AB. Si ACB = 30°. Calcule la medida del arco AP.



C

Si el ángulo inscrito mide 30° entonces el arco AB

mide el doble, es decir, 60° y AP es la mitad del arco,

30° entonces AP mide 30°.

A B

|

P

Ejercicio 42

Encuentre la medida de los arcos X e Y, sabiendo que α = 42° y β =18°.

X α Y β

Para resolver este ejercicio, procedemos de la siguiente manera:

𝑥+𝑦

2= 42 ∕ 2 x + y = 84 60 + y = 84

𝑥−𝑦

2 = 18 ∕ 2 x – y = 36 y = 84 – 60

2x = 120 y = 24

x = 60

Por lo tanto el arco X = 60° y el arco Y = 24°.

Ejercicio 43

Encuentre la medida del α.

Para encontrar el ángulo inscrito debemos aplicar la

2x siguiente ecuación para obtener los ángulos del

triángulo:



x + 2x + 3x = 180

6x = 180

x = 30

x 3x

Entonces los ángulos del triángulo serían 30°, 60° y

90° respectivamente, por ende, el ángulo α = 120° ya

α que el ángulo inscrito mide 60°, la mitad del arco que lo subtiende.

APRENDIZAJE ESPERADO 5. Resuelven problemas de perímetro, y área relacionados con la Ingeniería y la construcción con apoyo de la calculadora científica.

Perímetro, es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica (polígono). En el caso del círculo la longitud es llamada circunferencia que calcularemos en el ejercicio 45.

Criterio 2.13. Calcula perímetros de distintas figuras geométricas, utilizando fórmulas establecidas con ayuda de la calculadora científica.

Ejercicio 44 Determine el perímetro del siguiente triángulo, sabiendo que es rectángulo. 20 cm En primer lugar aplicamos Pitágoras para calcular el lado desconocido: x2 = 202 + 212

x2 = √841 21 cm x = 29 X Por lo cual sumamos los lados del triángulo es: 29 + 20 + 21 = 70 Por lo tanto, el perímetro del triángulo es de 70 cm. Ejercicio 45 Calcule el perímetro de una circunferencia cuyo diámetro es de 8 cm. Solución: Aplicamos la fórmula: P = 𝜋 • r2 ó P = 𝜋 • d Para 𝜋 = 3,14 r: radio, d: diámetro. P = 3,14 • 8 = 25,12 Por lo tanto, el perímetro de ésta circunferencia es de 25,12 cm. Ejercicio 46 ¿Cuál es el perímetro de un hexágono regular de 7 cm de lado? Solución: Un hexágono es un polígono que tiene 6 lados por esta razón el perímetro se calcula: P = 6 • 7 = 42



Por lo tanto, el perímetro del hexágono es de 42 cm.

Criterio 2.14. Calcula áreas de distintas figuras geométricas, utilizando fórmulas establecidas con ayuda de la calculadora científica. El área es una medida de extensión de una superficie de cualquier figura, es decir, su medida interior. Para su cálculo se utilizan diversas fórmulas. Ejercicio 47 Los lados de un rectángulo son 23 y 12 cm respectivamente. ¿Cuál es su superficie? Solución: Para calcular el área del rectángulo debemos aplicar la siguiente fórmula: A = largo • ancho A = 23 • 12 = 276 Por lo tanto, la superficie es de 276 cm2. Ejercicio 48 ¿Cuál es el área de un triángulo si su base mide 18 cm y su altura 13 cm? Solución: Para calcular el área del triángulo aplicamos la siguiente fórmula:

𝐴 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 •𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2 𝐴 =

18 •13

2= 117

Es decir, el área del triángulo es de 117 cm2. Ejercicio 49 Calcule la superficie de un círculo cuyo radio es de 4,5 m. Solución: Para calcular el área de un círculo aplicamos la siguiente fórmula: A = 𝜋 • r2 A = 3,14 • 4,52 = 63,59 Entonces, el área del círculo es de 63,59 cm2.

Criterio 2.15. Resuelve problemas de cálculo de intersección de áreas utilizando fórmulas establecidas. Ejercicio 50 Determine el área de la siguiente figura. 15 cm Calculamos el área dividiendo la figura en dos rectángulos uno de 21 x 15 y el otro de



9 x 12. Posteriormente sumamos ambas áreas: 12 cm A1 = 21 • 15 = 315 A2 = 9 • 12 = 108 423 21 cm Por lo tanto, el área total de la figura es de 423 cm2. 27 cm Ejercicio 51 Calcule el área de la figura sombreada: 9 m 18 m

36 m Solución: Calculamos el área del rectángulo y del triángulo respectivamente y posteriormente restamos ambas áreas para obtener el área sombreada: Arectángulo = 18 • 36 = 648

Atriángulo = 36 •9

2 = 162

486 Por lo tanto, el área de la figura sombreada es de 486 m2. Ejercicio 52 Calcule al área de la región no sombreada. 7 cm En la figura observamos un cuadrado de 7 cm de lado en la cual hay puesta dos semicircunferencias, por lo que, debemos calcular solamente el área de ambas 7 cm semicircunferencias lo que genera una circunferencia de radio 3.5, ya que, éstas no se encuentran sombreadas.



Ao = 3,14 • 3,52 = 38,47 Por lo tanto, el área de la figura no sombreada es de 38,47 cm2.

Criterio 2.16. Resuelve problemas contextualizados de perímetro y área, con ayuda de calculadora científica.

Ejercicio 53

Don Carlos necesita cerrar su terreno que está recién sembrado para protegerlo de los animales. Si el terreno tiene forma rectangular de 80 m de largo por 32 m de ancho. ¿Cuántos metros de alambre necesita, si son 4 corridas de alambre las que necesita?

Solución:

Calculamos el perímetro de dicho terreno, por lo tanto, sumamos las medidas del largo y ancho:

80 + 80 + 32 + 32 = 224

224 • 4 = 896

Luego, se necesitan 896 metros de alambre.

Ejercicio 54

Hallar la diagonal, el perímetro y el área de un cuadrado de 12 cm de lados.

Solución:

- Diagonal: Primero aplicamos Pitágoras. x2 = 122 + 122

x2 = √288

x = 16,97

Luego, la diagonal mide 16,97 cm.

- Perímetro: Sumamos los cuatro lados del cuadrado. 12 + 12 + 12 + 12 = 48

Luego, el perímetro del cuadrado es de 48 cm.

- Área: Multiplicamos el largo por el ancho. 12 • 12 = 144

Luego, el área del cuadrado es de 144 cm2.

Ejercicio 55

Calcule el área y el perímetro del siguiente rombo, si su diagonal mayor mide 30 cm y su diagonal menor mide 16 cm.

Aplicamos Pitágoras para obtener el lado del rombo, sabiendo

que cuando se intersecan ambas diagonales se dividen en

dos lados iguales.

x2 = 152 + 82

x2 = √289

x = 17



Por lo tanto, cada lado del rombo mide 17 cm.

Para calcular el perímetro debemos sumar sus cuatro lados:

17 + 17 + 17 + 17 = 68

Luego, el perímetro mide 68 cm.

Para calcular el área del rombo aplicamos la siguiente fórmula:

𝐴 =𝐷 • 𝑑

2 𝐴 =

30 • 16

2 = 240

Luego, el área del rombo es de 240 cm2.

APRENDIZAJE ESPERADO 6. Resuelven problemas de volúmenes relacionados con el área de la Ingeniería y Construcción, con apoyo de la calculadora científica.

Se define como volumen de un cuerpo geométrico a la medida del espacio que éste ocupa, o también podemos decir que el volumen es la capacidad y para calcular el volumen debemos aplicar algunas fórmulas.

Criterio 2.18. Calcula volúmenes de distintos cuerpos geométricos, utilizando fórmulas establecidas con ayuda de la calculadora científica.

Ejercicio 56

Calcule el volumen de un paralelepípedo si sus medidas son 4 m de ancho, 6 m de largo y 3 m de alto.

Solución:

Para calcular el volumen debemos multiplicar sus tres medidas:

4 • 6 • 3 = 72

Luego, el volumen del paralelepípedo es de 72 m3.

Ejercicio 57

Calcule el volumen de una pirámide de base cuadrangular de 6 cm de arista y una altura de 10cm.

Solución:

Para calcular el volumen de una pirámide aplicamos la siguiente fórmula.

𝑉 =Á𝑟𝑒𝑎 𝐵𝑎𝑠𝑎𝑙 • 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

3 𝑉 =

36 • 10

3= 120



Luego, el volumen de la pirámide es de 120 cm3.

Ejercicio 58

Calcule el volumen de un cono cuya altura es de 8 m y su base tiene un radio de 3,5 m.

Solución:

Aplicamos la siguiente fórmula:

𝑉 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 • 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

3

Comenzamos con calcular el área basal con la fórmula vista anteriormente:

Ab = 𝜋 • r2 Ab = 3,14 • 3,52 = 38,465 m2

Posteriormente aplicamos la fórmula del volumen del cono:

𝑉 = 38,465 • 8

3= 102,573

Luego, el volumen del cono es de 102,57 m3.

Criterio 2.19. Realiza cálculos básicos de intersección de volúmenes, utilizando fórmulas establecidas con ayuda de la calculadora científica.

Ejercicio 59

Calcule el volumen de la siguiente figura:

Calculamos el volumen del cilindro:

V = Ab • h = 3,14 • 82 • 25 = 5.024 cm3

Calculamos el volumen de la semiesfera.

𝑉 = (4

3 𝜋 𝑟2) ∶ 2 =

4 •3,14 • 82

6 = 133,97 𝑐𝑚3

Finalmente sumamos ambos volúmenes

V = 5.024 + 133,97 = 5.157,97

Luego, el volumen de la figura es de 5.157,97 cm3.

Ejercicio 60

Calcule el volumen de la siguiente figura:

Calculamos el volumen de la semiesfera:

𝑉 = (4

3 𝜋 𝑟2) ∶ 2 =

4 •3,14 •25

6 = 52,3 𝑐𝑚3

Calculamos el volumen del cono:

𝑉 =𝐴𝑏 •ℎ

3 =

78,5 •12

3 = 314 𝑐𝑚3

Finalmente sumamos ambos volúmenes:



52,3 + 314 = 366,3

Luego, el volumen de la figura es de 366,3 cm3.

Ejercicio 61

Si una piscina tiene forma de prisma rectangular de 25 x 15 x 3 metros. ¿Cuántos litros de agua son

necesarios para llenar los 4

5 de su volumen?

Solución:

Calculamos el volumen del prisma:

V = 25 • 15 • 3 = 1.125 m3

Posteriormente lo transformamos a litros:

1.125 • 1.000 = 1.125.000 litros

Finalmente obtenemos los 4

5 :

4

5 • 1.125.000 = 900.000

Luego, se necesitan 900.000 litros para llenar los 4

5 de la piscina.

Criterio 2.20. Resuelve problemas contextualizados de volumen, con ayuda de calculadora científica.

Ejercicio 62

Calcule el volumen de una habitación que tiene 5 m de largo, 4 m de ancho y 2,5 m de alto.

Solución:

V = 5 • 4 • 2,5 = 50

Luego, el volumen de dicha habitación es de 50 m3.

Ejercicio 63

Si la pirámide Keops tiene una altura de 230,35 m y su base cuadrangular de lado 136,86 m. ¿Cuál es el volumen de dicha pirámide?

Solución:

Calculamos el área basal 136,86 • 136,86 = 18.730,66 m2

Aplicamos la fórmula del volumen: 𝑉 = 18.730,66 • 230,35

3= 1.438.202,51



Luego, el volumen de la pirámide Keops es de 1.438.202,51 cm3.

Ejercicio 64

Si una lata de bebida tiene 10,9 cm de alto y 6,2 cm de diámetro, calcule el volumen de dicha lata sabiendo que 1 ml = 1 cm3.

Solución:

Calculamos el área basal:

A = 3,14 • 3,12 = 30,18 cm2

Calculamos el volumen:

V = 3,14 • 3,12 • 10,9 = 328,91 cm3

Luego, el volumen es de 328,91 ml aproximadamente.

APRENDIZAJE ESPERADO 7. Calculan longitudes de figuras, relacionadas con la especialidad, aplicando el teorema de Thales utilizando la calculadora científica.

El teorema de Thales aplica la proporcionalidad de los trazos que se forman al dibujar dos paralelas que se intersectan los lados de un ángulo, existen 4 teoremas:

- Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas los segmentos que intersectan los lados son proporcionales.

- Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas los segmentos que se forman desde el vértice a los puntos de intersección de las paralelas son perpendiculares.



- Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, estas son entre sí como los segmentos medidos desde las paralelas al vértice.

- Al cortar dos o más rectas por tres o más paralelas, los segmentos determinados sobre las rectas son perpendiculares entre sí.

Criterio 2.22. Calcula longitudes en distintas figuras, aplicando el teorema de Thales, con ayuda de la calculadora científica.

Ejercicio 65

Determine OC, si OA = 12 cm; AB = 4 cm y CD = 9 cm.

O Aplicamos la siguiente proporción:

12 cm x

12

4=

𝑥

9=> 𝑥 =

12 •9

4 = 27

A C

4 cm 9 cm Por lo tanto el segmento OC = 27 cm.

B D

Ejercicio 66

Determine AC, si OA = 15 cm; AB = 18 cm y BD = 27 cm.

O Aplicamos la siguiente proporción:

15 cm

33

15=

27

𝑥=> 𝑥 =

15 •27

33 = 12,27

A x C

18 cm Por lo tanto el segmento AC = 12,27 cm.

B 27 cm D

Ejercicio 67

Determine la medida del trazo AB, sabiendo que BC = 18 cm; DE = 18 cm y EF = 12 cm.

Aplicamos la siguiente proporción:

A D

𝑥

18 =

18

12 => 𝑥 =

18 •18

12 = 27

x 18 cm

B E Por lo tanto, AB = 27 cm.



18 cm 12 cm

C F

Criterio 2.23. Resuelve problemas contextualizados utilizando teorema de Thales, con ayuda de la calculadora científica.

Ejercicio 68

Determine AC en la siguiente figura:

E 6 cm D Aplicamos la siguiente proporción:

9 cm 6

𝑥 =

9

18 => 𝑥 =

6 •18

9 = 12

B Por lo tanto, el segmento AC = 12 cm.

18 cm

A x C

Ejercicio 69

Si EA || DB. Determine BC, si EA = 20 cm, AB = 8 cm y BD = 10 cm.

E

D

20 cm

10 cm

A 8 cm B x C



Solución:

Aplicamos la siguiente proporción:

20

8 + 𝑥 =

10

𝑥

20x = 80 + 10x

20 x – 10x = 80

10x = 80

x = 8

Por lo tanto, el trazo BC mide 8 cm.

Ejercicio 70

¿Cuánto mide el alto de la estatua?

2,1 m 1,6 m

4, 6 m 0,9 m Solución: Aplicamos la siguiente proporción:

𝑥

5,5=

0,5

0,9 => 𝑥 =

5,5 • 0,5

0,9 = 3,06

Por lo tanto la estatua mide 3,06 metros de alto.

Unidad 3: Álgebra en los Reales.

APRENDIZAJE ESPERADO 8. Resuelven problemas propios del mundo cotidiano y la especialidad, que impliquen operar con razones y proporciones, con ayuda de calculadora científica.

Criterio 3.1. Aplica el concepto de razón en la resolución de problemas. Criterio 3.2. Interpreta razones en el marco de casos dados. Ejercicio 71



Una empresa importadora de verduras, exportó en Febrero del 2010, 5.200 cajas de tomates. Para Marzo del 2010, ante las eventualidades del alza del combustible y variaciones en el cambio peso - dólar, la exportación se debe reducir a 1.300 cajas del producto. Determine la razón entre la importación del mes de Febrero del 2010, en relación a Marzo del 2010 e interprete el resultado Solución:

Se establece la razón entre ambas exportaciones: 2010 5.200 4

2010 1.300 1

Febrerodel

Marzo del

Respuesta: Se concluye que la importación en Febrero del 2010 es cuatro veces, a la del mes de Marzo del 2010. Ejercicio 72 Se realiza un presupuesto de materiales para una obra, entre vigas de techumbre de 2 x 6 pulgadas, de pino corriente y pino oregón. Si la viga de pino corriente tiene un valor unitario de $7.550 y la viga de pino oregón $15.400. Determine cuantas veces es mayor el valor del pino oregón respecto al pino corriente. Solución:

Se establece la razón entre ambas cantidades, 15.400

2,03977.550

Respuesta: El pino oregón es 2,0397 veces mayor que el pino corriente.



Ejercicio 73 Dos compañías internacionales del área informática, realizarán inversiones de 20 millones y 22,5 millones de dólares respectivamente, entonces la cantidad de veces que la segunda compañía supera a la primera en inversión es de:

a) 1,25B A

b) 1,15B A

c) 1,125B A

d) 0,889B A

Solución:

Se establece la razón entre B 22,5

1,125 A 20

compañíaveces

compañía .

Luego, la Compañía B = 1,125 veces la Compañía A. Respuesta: La alternativa correcta es la c)

Criterio 3.3. Aplica propiedades y el teorema fundamental de las proporciones en el cálculo del término desconocido de una proporción.

Ejercicio 74

¿Cuál es el valor de x en la proporción 6 18

15 x ?

Solución:

Multiplicando cruzado en 6 18

15 x , se tiene:

6 18 15x

6 270x /: 6

45x

Ejercicio 75

¿Cuál es el valor de x en la proporción

2

33 4

4

x ?

Solución: Para reducir esta expresión, podemos multiplicar los extremos y los medios:

2

33 4

4

x y nos queda

8

9 4

x , luego multiplicando cruzado,

9 32x /:9

32

9x

Ejercicio 76



El valor de x en la proporción

13

524

7

x es:

a) 105

8

b) 8

105

c) 4

7

d) 7

4

Solución: Multiplicando cruzado, se tiene:

3 1 4

2 5 7x , multiplicamos las fracciones.

3 4

2 35x

Nuevamente, multiplicamos cruzado:

35 3 4 2x

105 8x /:105

8

105x

Respuesta: La alternativa correcta es b).



Criterio 3.4. Resuelve problemas contextualizados aplicando el concepto y teorema de las proporciones.

Ejercicio 77 La remuneración de un trabajador de este mes, ha disminuido con respecto al mes anterior en la razón 3: 8. Si la remuneración de este mes es de $456.430. ¿Cuál es el valor de la remuneración correspondiente al mes anterior? Solución:

3

8

ingreso mesactual

ingresomes anterior

456.430 3

8x

Multiplicando cruzado,

3 456.430 8x

3 3.651.440x /:3

1.217.146,666...x

Respuesta: La remuneración del mes anterior es de $1.217.147.

Ejercicio 78 En la bodega de la empresa de zapatillas “Nika” se entrega el siguiente recuento: “La suma de las zapatillas de damas y varones es de 464 pares y la razón entre los mismos es de 3: 5” encuentre la cantidad de pares de zapatillas correspondientes a cada rubro. Solución: Sea D los pares de zapatillas de damas, y V los pares de zapatillas de varones.

464D V y 3

5

D

V

Usando propiedades de las proporciones, se tiene:

3

3 5

D

D V

3

464 8

D

Multiplicando cruzado,

8 464 3D

8 1.392D /:8

174D

Como 464D V , entonces:

174 464V /-174

290V

Respuesta: Hay 174 pares de zapatillas de damas y 290 pares de zapatillas de varones.



Ejercicio 79 Las recomendaciones de higiene señalan que, para que exista una adecuada desinfección se debe realizar con tres productos: A, B y C. ¿Cuántos mililitros se requieren de cada producto, si se necesitan preparar en total 268 ml, en la relación, A : B = 8 : 5 y B : C = 4 : 3? Solución:

Si 8

5

A

B , multiplicando cruzado, obtenemos:

8 5B A /:8

5

8B A

Si 4

3

B

C , multiplicando cruzado, obtenemos:

4 3C B , reemplazando el valor de 5

8B A

5

4 38

C A

15

48

C A /:4

15

32C A

Reemplazamos el valor de B y C en 268A B C , así obtenemos:

268A B C

5 15

2688 32

A A A /multiplicando cada término por 32.

5 1532 32 32 32 268

8 32A A A

32 20 15 8576A A A

67 8576A /:67

128A

Como 5

8B A , entonces:

5

1288

B

80B

Y como 15

32C A , entonces:

15

12832

C

60C

Respuesta: Se requieren 128 ml del producto A, 80 ml del producto B y 60 ml del producto C. Ejercicio 80



Un agente de la bolsa de comercio, puede invertir en tres tipos de acciones del tipo X más dos acciones del tipo Z por un total de $478.000. Si las acciones del tipo X respecto de las del tipo Z están en la razón 5: 2 ¿Cuánto pagó el agente por cada una de las acciones? a) X =$330.000 Z= $148.000 b) X =$340.000 Z= $138.000 c) X =$300.000 Z= $178.000 d) X =$125.789 Z= $ 50.316 Solución:

Como las acciones son del tipo X e Z, entonces,

3 2 478.000X Z

Además,

5

2

X

Z

Usando propiedades de proporciones, se tiene:

5

2

X

Z / 3

3 15

2

X

Z

3 2 15 2 2

2

X Z

Z

3 2 19

2

X Z

Z

/ Reemplazando la primera equivalencia se tiene,

478.000 19

2Z / multiplicando cruzado,

19 478.000 2Z

19 956.000Z /:19

50.315,7Z

Como 5

2

X

Z , reemplazando tenemos,

5

50.315,7 2

X , multiplicando cruzado:

2 50.315,7 5X

2 251.578,5X /:2

125.789,25X

Respuesta: El agente pagó $125.789 por la acción X, y $50.316 por la acción Z. La alternativa correcta es d).



APRENDIZAJE ESPERADO 9. Resuelven problemas propios del mundo cotidiano y la especialidad, que impliquen operar con variaciones proporcionales, con ayuda de calculadora científica.

Criterio 3.6. Resuelven problemas relacionados con situaciones y fenómenos comerciales, económicos, etc., con variaciones proporcionales directas e inversas.

Ejercicio 81

En la elaboración de un producto de limpieza, dos de los principales componentes son cera de ceresina y aguarrás, dependiendo de la cantidad del producto a elaborar, se recomiendan los siguientes volúmenes de aguarrás:

Aguarrás (ml)( x) 165 330 495 660 825 990

Cera (gramos)(y) 82,5 165 247,5 330 412,5 495

a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad

b. Si se requieren 750 ml de aguarrás, determine la cantidad de cera necesaria (en gramos).

Solución:

a. Al realizar el cuociente entre el aguarrás y la cera, se tiene,

165 330 495 660 825 9902

82,5 165 247,5 330 412,5 495 = k

Luego, la relación es directamente proporcional, donde 2

xy

b. Como el aguarrás es x = 750 ml, tenemos que:

750

2y

375y gr

Respuesta: La cantidad de cera necesaria son 375 gr.



Ejercicio 82

El costo de 3 computadores es de $1.245.000. Si por necesidad de la empresa, se requieren comprar 35 computadores de las mismas características, ¿cuánto se debe cancelar?

Solución:

Analizar, que si la cantidad de computadores aumenta, el costo a pagar por los computadores también aumentará. Entonces, la proporción es directa:

. de comp. $

3 1.245.000

35 x

cant

multiplicando cruzado (por ser directa).

3 43.575.000x /:3

14.525.000x

Respuesta: La empresa debe cancelar $14.525.000 por los 35 computadores.

Ejercicio 83

Una llave que arroja 60 litros por minuto, llena un estanque en 12 minutos. ¿Cuánto se demora en llenar el mismo estanque, una llave que arroja 90 litros por minuto?

Solución:

Se puede analizar que, si la llave arroja más cantidad de agua, el estanque se llena en menos tiempo, por ende la proporción es inversa.

. de litros tiempo

60 12 minutos

90 x

cant

Por ser inversa, multiplicamos hacia al lado.

90 60 12x

90 720x /:90

8x

Respuesta: Se demora 8 minutos en llenar el estanque.



Criterio 3.7. Interpreta gráficos de variaciones proporcionales directas e inversas, relacionados con situaciones y fenómenos comerciales, económicos, etc.

Ejercicio 84

El siguiente gráfico entrega el comportamiento de las variables número de latas adquiridas, versus el precio en pesos a cancelar por ellas.

a. ¿Qué tipo de relación existe entre las variables?

b. Determine la constante de proporcionalidad

c. Si se compran 12 latas de bebidas ¿Cuál es el precio a cancelar?

Solución:

a. Como el gráfico es una recta, la relación es directamente proporcional.

b. Por ser una proporción directa, la constante de proporcionalidad será el cuociente entre el dinero a

cancelar y el número de latas 350 700 1.050

................ 3501 2 3

= k

c. Como es una proporción directa, se tiene que y k x . Donde x es el número de latas e y es el

precio. Así las 12 latas corresponde a la variable “x” y la variable “y” es nuestra incógnita.

350 12y

$4.200y



Ejercicio 85

Se quieren transportar 1.200.000 Kg de chatarra. En un determinado tipo de camión caben 8.000 Kg ¿Cuántos viajes tendrá que hacer para transportar la chatarra?

Nº de camiones 1 2 3 5 6

Nº de viajes 22223 22223 22223 22223 22223

a. Completar la tabla y realiza un gráfico.

b. ¿Qué tipo de relación existe entre las variables?

c. Si se utilizan 10 camiones, ¿Cuántos viajes hay que realizar?

Solución:

a.

Nº de camiones 1 2 3 5 6

Nº de viajes 150 75 50 30 25

b. Se observa que cuando una variable aumenta, la otra variable disminuye. Además, el producto entre las variables es constante (k =150), por lo que la relación es inversamente proporcional.

c. Como es una proporción inversa, se tiene que k

yx

. Donde “x” es el número de camiones e “y” el

número de viajes. Reemplazando x = 10, k = 150, se tiene:

150

10y

15y

Nº de viajes

0

20

40

60

80

100

120

140

1 2 3 4 5

Número de camiones

Nº

de v

iaje

s



Ejercicio 86

En la figura, P y Q son dos magnitudes inversamente proporcionales. La expresión algebraica de tal relación es:

a) 60P Q

b) 90P Q

c) 60

PQ

d) 3

10Q P

Solución:

Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se tiene que:

kP

Q

Además, en una proporción inversa, la constante de proporcionalidad k se determina multiplicando los valores de ambas constantes, es decir,

10 6 4 15 60k

Luego, 60

PQ

Respuesta: La alternativa correcta es c).

Criterio 3.8. Resuelve problemas de variación proporcional directa e inversa, relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad.

Ejercicio 87 Un camión que puede transportar 25 cajas por viaje, debe hacer 6 viajes para transportar una cantidad de cajas. ¿Cuántos viajes, debe realizar un camión que puede transportar 15 cajas por viaje?

Solución:

por viaje viajes

25 6

15 x

cajas

Como el camión puede transportar menos cajas por viaje, debe realizar más viajes. Es decir, mientras una variable disminuye, la otra variable aumenta, por lo que debemos multiplicar ambas variables:

15 25 6x

15 150x /:15

10x

Respuesta: Debe realizar 10 viajes.

Q

P

6 15

10

4



Ejercicio 88 Tres pintores tardan 10 días en pintar una casa. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo? a) 2

b) 5

c) 18

d) 20 Solución:

pintores días

3 10

6 x

Si la cantidad de pintores aumenta, tardarán menos días en pintar la casa.

La proporción es inversamente proporcional, así se tiene:

6 10 3x

6 30x /:6

5x

Respuesta: La alternativa correcta es b)

Ejercicio 89

Un kilo de lomo liso cuesta $6.000. ¿Cuál es el precio de 200 gramos de lomo liso?

Solución:

Un kilo = 1.000 gramos

Así se tiene:

Gramos $

1.000 6.000

200 x

Observar que, si compramos menos gramos de lomo liso, menos dinero pagaremos.

Como esta proporción es directa, multiplicaremos cruzado.

1000 6000 200x

1.000 1.200.000x /:1.000

1.200x

Respuesta: El precio de 200 gramos de lomo liso es $1.200



APRENDIZAJE ESPERADO 10. Resuelven problemas del mundo cotidiano y de la especialidad en el cual se apliquen porcentajes, con ayuda de la calculadora.

Criterio 3.10. Calcula porcentajes de cantidades dadas, utilizando proporciones y procedimientos dados.

Ejercicio 90

Calcular el 5,4% de 6.500.

Solución:

El 5,4% equivale a la fracción 5,4

100

El 5,4% de 6.500 equivale a:

5,4 6500 5,4 351006500 351

100 100 100

Otra forma de resolver este mismo ejercicio, es plantear una proporción. Hay que considerar que todo porcentaje es una proporción directa.

Cantidad %

6.500 100

x 5,4

Multiplicando cruzado, se tiene:

100 6.500 5,4x

100 35.100x /:100

351x

Respuesta: El 5,4% de 6.500 es 351.

Ejercicio 91

Calcular el 19% de $25.000.

Solución:

El 19% equivale a la fracción 19

100 y al decimal 0,19.

Luego, El 19% de $25.000 es:

0,19 $25.000

$4.750

De igual manera que en el ejercicio anterior se puede formar una proporción y se obtendrá la misma solución, $4.750



Criterio 3.11. Calcula cantidad total dado un porcentaje, utilizando proporciones y procedimientos dados.

Ejercicio 92

¿De qué número 12 es el 25%?

a) 75

b) 70

c) 62

d) 48

Solución:

El número que estamos buscando, equivale al 100%

Formando una proporción, se tiene:

Cantidad %

12 25

x 100


25 100 12x

25 1.200x /:25

48x

Respuesta: La alternativa correcta es d)

Ejercicio 93

Calcular el número, donde el 19% es 3.420.

Solución:

El número que estamos buscando, equivale al 100%


Cantidad %

3.420 19

x 100


19 3.420 100x

19 342.000x /:19

18.000x

Respuesta: El número es 18.000.



Criterio 3.12. Calcula porcentaje correspondiente de una cantidad sobre otra, utilizando proporciones y procedimientos dados.

Ejercicio 94

¿Qué tanto por ciento es 2.940 de 8.000?

Solución:

Los 8.000 equivalen al 100%, y se busca el % equivalente a 2.940.


Cantidad %

8.000 100

2.940 x


8.000 2.940 100x

8.000 294.000x /:8.000

36,75x

Respuesta: 2.940 es el 36,75% de 8.000.

Ejercicio 95

¿Qué % es 80 de 15?

Solución:

Los 15 equivalen al 100%, y se busca el % equivalente a 80.


Cantidad %

15 100

80 x


15 80 100x

15 8.000x /:15

533,3x

Respuesta: 80 es el 533, 3 % de 15.



Criterio 3.13. Resuelve problemas de porcentajes dados en el mundo cotidiano y de la especialidad con ayuda de calculadora científica.

Ejercicio 96

En una investigación realizada en un colegio mixto, sobre la cantidad de inasistencias entre hombres y mujeres, se entregó la siguiente información: De un día investigado, asiste el 80% de los alumnos, de los cuales, sólo 210 eran mujeres, que corresponden al 70% del total de mujeres. Si el 30% de los alumnos de este colegio no son hombres.

a. ¿Cuántas mujeres hay en el colegio?

b. ¿Cuál es la cantidad total de alumnos?

Solución:

a. Como 210 mujeres corresponden al 70% del total de mujeres, y nos interesa el 100% de las mujeres, formamos la siguiente proporción.

Mujeres %

210 70

x 100


70 210 100x

70 21.000x /:70

300x

Respuesta: En el colegio hay 300 mujeres.

b. Si el 30% no son hombres, implica que el 30% son mujeres, es decir 300. Por ende el 100% del curso es:

Alumnos %

300 30

x 100

Así, obtenemos que el 100% del curso, son 1.000 alumnos.

Respuesta: En el colegio hay 1.000 alumnos.

Ejercicio 97



La asistencia a los cines de la ciudad ha disminuido a un 75% de los espectadores, con respecto al año anterior. Si este año asistieron 8.100.000 espectadores, ¿cuántos asistentes se contabilizaron el año anterior?

Solución:

Los 8.100.000 espectadores corresponden al 75% del año anterior.

Necesitamos encontrar los asistentes del año anterior, es decir, el 100%.

Espectadores %

8.100.000 75

x 100


75 8.100.000 100x

75 810.000.000x /:75

10.800.000x

Respuesta: Se contabilizaron 10.800.000 espectadores el año anterior.

Ejercicio 98

Por una asesoría realizada, Manuel recibe $750.000 líquido, los cuales, son cancelados con boleta de honorarios. Si se le retiene el 10% legal, ¿Cuánto dinero se retiene? Solución: Los $750.000 corresponden al 90%, debemos calcular el dinero que se retiene que es el 10%.

Formando la proporción, se tiene:

$ %

750.000 90

x 10


90 750.000 10x

90 7.500.000x /:90

83.333,3x

Respuesta: A Manuel se le retienen $83.333.

Ejercicio 99



Un automóvil tiene el valor de $5.355.000 con el 19% de impuesto incluido (iva). ¿Cuánto dinero correspondió al iva? Solución: Si el automóvil incluye el iva, los $5.355.000 corresponden al 119%. Lo que nos interesa encontrar es el 19%.

$ %

5.355.000 119

x 19


119 5.355.000 19x

119 101.745.000x /:119

855.000x

Respuesta: El iva del automóvil corresponde a $855.000.

Ejercicio 100 En una tienda se liquidan pantalones por cambio de temporada. Si el primer día la rebaja es de un 20%, el segundo día un 15% más de rebaja y el tercer día se descuenta $1.504 por cada pantalón, para quedar con un valor de $ 7.200. Determine el valor del pantalón antes de iniciar la liquidación. Solución: El valor del segundo día es de:

$7.200 + $1.504 = $8.704

El valor del primer día es:

$ %

8.704 85

x 100


85 870.400x /:85

10.240x

El valor inicial es:

$ %

10.240 80

x 100


80 1.024.000x /:80

12.800x

Respuesta: El valor del pantalón antes de iniciar la liquidación era de $12.800.

APRENDIZAJE ESPERADO



11. Realizan operaciones con potencias y raíces con ayuda de calculadora científica.

Criterio 3.15. Realiza operaciones combinadas con potencias, aplicando sus propiedades, utilizando calculadora científica.

Ejercicio 101

El resultado de 9 4

2 2 2

es:

Solución:

Cuando el exponente no aparece, debemos colocar un 1, así:

9 4

2 2 2

= 9 1 4

2 2 2

Aplicando la propiedad de la multiplicación de igual base, que debemos sumar los exponentes, tenemos que:

9 4

2 2 2

= 9 1 4

2 2 2

= 6

2 = 64

Ejercicio 102

Determinar el valor de

2 11 1

1 34 8

Solución:

Cada número mixto lo transformamos a fracción.

1 51

4 4 y

1 253

8 8

Así,

2 11 1

1 34 8

=

12

8

25

4

5

/ap l icam os prop iedad

n na b

b a

=

25

8

5

42

/desar ro l lam os con ayuda de ca lcu ladora

= 16 8

25 25

128

625

Ejercicio 103



El valor de

32

5

equivale a:

a) 8

125

b) 8

5

c)8

5

d) 8

125

Solución:

32 2 2 2 8

5 3 3 3 125

Respuesta: La alternativa correcta es d).

Criterio 3.16. Realiza operaciones combinadas con raíces, utilizando sus propiedades. Con ayuda de la calculadora científica. Ejercicio 104

Simplificar la siguiente expresión 75 12 147 .

Solución: Usando propiedades tenemos que:

75 25 3 25 3 5 3

12 4 3 4 3 2 3

147 49 3 49 3 7 3

Así,

75 12 147 = 5 3 2 3 7 3 =0

Lo cual, se puede comprobar con la calculadora.

Ejercicio 105



Calcula el valor de 55 5 .

Solución: Usando la definición de raíz, se tiene:

1

25 5 y 1

5 55 5

Luego,

55 5 = 1

25 1

55 =1 1

2 55

=5 2

105

=7

105 = 10 75 3,085

Lo cual, puede ser comparado con la calculadora.

Criterio 3.17. Resuelve expresiones y problemas de aplicación de potencias y raíces utilizando calculadora científica

Ejercicio 106

Una población de bacterias se duplica cada 10 minutos. Si inicialmente hay 1 sola bacteria. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 3 hrs y media?

Solución:

Recordar que una hora es equivalente a 60 minutos, por lo que, 3,5 horas es equivalente a 210 minutos. Luego,

0 minutos 1 bacteria = 20 bacterias





.

.

.

210 minutos 221 bacterias = 2.097.152 bacterias

Respuesta: Al cabo de 3 horas y media, habrán 2.097.152 bacterias.

Ejercicio 107

Andrés ha recibido 9 cajas, cada caja contiene 9 paquetes, cada paquete contiene 9 estuches y cada estuche contiene 9 lápices. ¿Cuántos lápices ha recibido Andrés?

Solución:

1 estuche tiene 9 lápices, por lo que, 9 estuches contienen 29 9 9 81 lápices.

1 paquete contiene 9 estuches y los 9 estuches contienen 81 lápices, por lo que, 9 paquetes contienen 39 81 729 9 lápices.

1 caja contiene 9 paquetes y los 9 paquetes contienen 729 lápices, por lo que, 9 cajas contiene 6561

lápices, pues 49 729 6561 9 lápices.

Respuesta: Andrés recibió 6561 lápices, lo cual, se podría haber calculado como 49 .

Ejercicio 108



El estanque de agua de una máquina, tiene la forma de un cubo. Si el volumen del estanque es de 46.656 m3. Determine la medida de cada lado del estanque.

Solución:

El volumen de un cubo se determina elevando a 3 el lado. En este caso, me dan el volumen, por tanto, debemos calcular la raíz cúbica del volumen. Es decir,

3 46.656 = 36 , lo que podemos comprobar con la calculadora.

Respuesta: Cada lado del estanque mide 36 metros.

APRENDIZAJE ESPERADO



12. Realizan procedimientos matemáticos operando expresiones algebraicas, con apoyo de calculadora científica.

Criterio 3.19. Realiza valorización de expresiones algebraicas con ayuda de la calculadora científica.

Ejercicio 109

Sea x = 4, y = 2, z = – 1. Determine 2 2x xy z .

Solución:

Se reemplaza el valor numérico de cada letra, según la información dada, así:

2 2x xy z = 224 4 2 1

= 16 8 1

= 23

Ejercicio 110

Si 2#a b a a b , determine 3#4 .

Solución:

En este caso, a = 3 y b = 4.

Reemplazando, se tiene:

2#a b a a b

23#4 3 3 4

9 12

3



Ejercicio 111

El volumen de un paralelepípedo está dada por la fórmula V a b c ; donde a es el largo, b es el

ancho y c es el largo. Si el largo del paralelepípedo es 15 cm, el ancho es la tercera parte del largo y la altura es el doble del largo. Determine el volumen del paralelepípedo.

Solución:

El largo a es 15 cm.

El ancho b es la tercera parte del largo, es decir, 15

53

cm

La altura c es el doble del largo, es decir, 2 15 30 cm

Reemplazando la información en la fórmula dada, se tiene:

V a b c

15 5 30V

2.250V cm3

Criterio 3.20. Realiza reducción de términos semejantes y eliminación de paréntesis utilizando los procedimientos matemáticos establecidos.

Ejercicio 112

Sumar los siguientes polinomios:

4 3 2

3

4 2

3

2 5 2 3 5

8 2 5

3 2

6 2 5

P x x x x

Q x x

R x x x

S x x

Solución: Podemos ordenar los polinomios según el grado de él.

4 3 2

3

4 2

3

2 5 2 3 5

8 2 5

3 2

6 2 5

x x x x

x x

x x x

x x

Sumando en forma vertical, se tiene:

4 3 23 19 2 3x x x x



Ejercicio 113

Reduzca la expresión 2 3 23 9 8 7 5 7x x x x x x

Solución: Primero eliminamos los paréntesis. Recordar que cuando adelante del paréntesis hay un signo positivo o simplemente no tiene signo, el paréntesis se elimina. Cuando adelante del paréntesis hay un signo negativo, el signo negativo desaparece y todos los números que están dentro del paréntesis cambian de signo (si la letra no tiene número, es porque en forma implícita hay un 1). Así tenemos:

2 3 23 9 8 7 5 7x x x x x x

2 3 23 9 8 7 5 7x x x x x x , ordenamos términos 3 2 23 7 5 9 8 7x x x x x x , reducimos términos semejantes 3 22 10x x x

Criterio 3.21. Desarrolla productos algebraicos y los productos notables: Cuadrado de binomio y suma por su diferencia, siguiendo procedimientos establecidos.

Ejercicio 114

Al efectuar el producto de 3 5 2 3x x , se obtiene.

a)215 6x x

b) 215 6x x

c)215 6x x

d) 215 6x x

Solución: Debemos multiplicar término a término:

3 5 2 3x x 6

3 5 2 3x x 6 9x

3 5 2 3x x 6 9 10x x

3 5 2 3x x 26 9 10 15x x x

Reduciendo términos, obtenemos 215 6x x




Ejercicio 115

Desarrollar 2

23 2x y , utilizando cuadrado de un binomio.

Solución: El desarrollo del cuadrado de un binomio es: - Primer término al cuadrado

2

2 43 9x x

- El doble del primer término por el segundo término

2 22 3 2 12x y x y

- El segundo término al cuadrado

2 22 4y y

Así,

2

2 4 2 23 2 9 12 4x y x x y y

Ejercicio 116

Desarrollar 2 22 2 2 2m n m n , utilizando “suma por su diferencia”

Solución: El desarrollo de una suma por su diferencia es: - El primer término al cuadrado

2

2 42 4m m

- Se resta el segundo término al cuadrado

2 22 4n n

Así,

2 2 4 22 2 2 2 4 4m n m n m n



Ejercicio 117

Al desarrollar 2

3 22t s , se obtiene:

a) 6 2 3 42 2t s t s

b) 6 2 3 44 4t s t s

c) 6 2 3 44 2t s t s

d) 6 44t s

Solución: El desarrollo del cuadrado de un binomio es: - Primer término al cuadrado

2

3 6t t

- El doble del primer término por el segundo término

3 2 2 32 2 4t s s t

- El segundo término al cuadrado

2

2 42 4s s 2 22 4y y

Así,

2

3 2 6 2 3 42 4 4t s t s t s

Respuesta: La alternativa correcta es b).

Criterio 3.22. Factoriza expresiones algebraicas siguiendo los patrones y procedimientos establecidos.

Ejercicio 118 Factorizar las siguientes expresiones:

a) 33 6ab ab

b) 2 249 56 16x xy y

c) 21 1

4 25n

Solución: a) Se aplica factor común. Se puede observar que el máximo común divisor entre 3 y 6 es 3 (¿Porqué número se puede dividir el 3 y el 6? Se escoge el mayor), además, de las letras que se repiten se escoge la de menor exponente.

De esta manera el factor común de 33 6ab ab es 3ab , así se tiene:

33 6ab ab = 3 - ab Ahora, debemos determinar por cuanto hay que multiplicar

3ab para obtener como resultado 33ab . Respuesta

2b .

33 6ab ab = 23 b ab Ahora, debemos determinar por cuanto hay que multiplicar

3ab para obtener como resultado 6ab . Respuesta 2 .

Respuesta: 3 23 6 3 2ab ab ab b



b) La expresión 2 249 56 16x xy y , es el desarrollo de un cuadrado de binomio, pues:

2 22 249 56 16 7 2 7 4 4x xy y x x y y

Luego,

22 249 56 16 7 4x xy y x y

c) La expresión 21 1

4 25n , es una diferencia de cuadrados, por ende, el desarrollo de una suma por

su diferencia, pues:

2 2

21 1 1 1

4 25 2 5n n

Luego,

21 1 1 1 1 1

4 25 2 5 2 5n n n

Ejercicio 119

Al Factorizar la expresión 3 23 2 3 2a a a resulta:

a) 23 2 1a a

b) 23 2a a

c) 2 1 2a a

d) 1 3a a

Solución: Asociaremos en forma conveniente, de la siguiente manera,

3 2 3 23 2 3 2 3 2 3 2a a a a a a

Aplicaremos factor común de cada paréntesis

3 2 3 23 2 3 2 3 2 3 2a a a a a a

2 3 2 1 3 2a a a

Como existe una suma entre las 2 expresiones, nuevamente aplicaremos factor común

3 2 3 23 2 3 2 3 2 3 2a a a a a a

2 3 2 1 3 2a a a

23 2 1a a

Respuesta: La alternativa correcta es a).



APRENDIZAJE ESPERADO 13. Resuelven problemas sencillos relacionados con el área económica, comercial, tecnológica, etc., que impliquen operar con ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas, con ayuda de calculadora científica.

Criterio 3.24. Resuelve ecuaciones de primer grado, orientando su estudio al área de la economía, comercio, tecnología, etc., con ayuda de la calculadora científica.

Ejercicio 120 Un vendedor comisionista recibe un sueldo base de $ 144.000 y una comisión del 5% por las ventas que realice. ¿Qué cantidad en dinero debe vender para obtener un ingreso de $200.000? Solución:

Recordar que el 5% equivale a 5

0,05100

Por lo tanto la ecuación que resuelve nuestro problema es:

144.000 0,05 200.000x

Al resolver la ecuación, debemos agrupar la incógnita en uno de los lados, y luego despejarla.

144.000 0,05 200.000x / 144.000

0,05 200.000 144.000x

0,05 56.000x / : 0,05

1.120.000x

Respuesta: Debe vender $1.120.000, para recibir $200.000 de sueldo. Ejercicio 121 Se distribuyen 48.000 euros por concepto de utilidades, entre dos socios, de modo que la parte del

que recibe menos equivale a los 5

7 de la parte del socio que recibe más. Determinar que cantidad

recibe cada socio. Solución:

Sea x el socio que recibe más dinero y 5

7x el socio que recibe menos dinero.

Lo que distribuyen son 48.000 euros, así la ecuación es:

5

48.0007

x x / 7

5

7 7 7 48.0007

x x

7 5 336.000x x / reduciendo términos

12 336.000x / : 12

28.000x

Respuesta: Un socio recibió $28.000 y el otro $20.000



Ejercicio 122 En una hostal de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, entonces el número de habitaciones del segundo piso es: a) 8 b) 16 c) 20 d) 40 Solución: Sea x : habitaciones del primer piso

2

x: habitaciones del segundo piso

Como el total de habitaciones es 48, se tiene:

482

xx / 2

2 96x x

3 96x / :3

96 : 3x

32x

Respuesta: Las habitaciones del segundo piso son 32

162 2

x en total.



Criterio 3.25. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, orientando su estudio al área de la economía, comercio, tecnología, etc., con ayuda de la calculadora científica.

Ejercicio 123 Una persona tiene un depósito de 2.000 dólares en dos bancos. Uno le paga un interés de un 6% anual y el otro 8%. Si ganó un total de 144 dólares de intereses durante un año. ¿Cuánto depositó en cada banco? Solución: Aplicaremos el método de sustitución, para resolver el sistema de ecuaciones:

14408,006,0

000.2

yx

yx

Despejamos x en la primera ecuación

2.000x y / y

2.000x y (*)

Lo reemplazamos en la segunda ecuación.

0,06 0,08 144x y

0,06 2.000 0,08 144y y / distribuyendo

120 0,06 0,08 144y y / reduciendo términos

120 0,02 144y / 120

0,02 24y /: 0,02

1.200y

Reemplazando el valor de y en (*), se tiene:

2.000x y

2.000 1.200x

800x

Respuesta: Depositó 800 dólares al 6% de interés y 1.200 dólares al 8% de interés.



Ejercicio 124 Entre las 7:00 y 9:00 de la mañana, el metro transporta 1.000 personas. Si los escolares cancelan $190 por el pasaje y los adultos $670 por el pasaje, el ingreso total obtenido en ese horario es de $574.000 ¿Cuántos escolares y cuántos adultos utilizaron el metro entre las 7:00 y 9:00 de la mañana? Solución: Sea x : la cantidad de escolares

y : la cantidad de adultos

1.000

190 670 574.000

x y

x y

Multiplicando la primera ecuación por -190, se tiene:

190 190 190.000

190 670 574.000

x y

x y

Sumando ambas ecuaciones, se tiene:

480 384.000y / : 480

800y

Como 1.000x y , entonces 200x .

Respuesta: 200 escolares y 800 adultos, utilizaron el metro entre las 7:00 y 9:00 de la mañana. Ejercicio 125 Una pizzería tiene dos tipos de pizza: margarita, que tiene un valor de 4 euros, y cuatro quesos, la cual vale 6 euros. Una noche vendieron 74 pizzas y se recaudaron 388 euros. Entonces el número de pizzas cuatro quesos vendidas es de: a) 28 b) 40 c) 46 d) 50 Solución: Sean x : Cantidad de pizzas margarita

y : Cantidad de pizzas cuatro quesos

74

4 6 388

x y

x y

Multiplicando la primera ecuación por -4, se tiene:

4 4 296

4 6 388

x y

x y

Sumando ambas ecuaciones, se tiene:

2 92y / : 2

46y


Matemática - MAT111

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