Matematica Intermedia II 2do. Proyecto
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1) Grafique el solido encerrado en los paraboloides Z = x 2 + y 2 y Z = 5 - x 2 - y 2 Plot3DA9x 2 + y 2 ,5 - x 2 - y 2 =, 8x, - 1.58, 1.58<, 8y, - 1.58, 1.58<E -1 0 1 -1 0 1 0 2 4 2) Primero valúe las siguientes integrales, luego grafique los volúmenes definidos por las mismas. a. E x 2 + Y 2 V donde E es la región que yace dentro del cilindro x 2 + Y 2 = 16 y entre los planos z = 5 y z = 4 -4 4 - 16-x 2 16-x 2 4 5 x 2 + y 2 z y x 128 Π 3 Graphics3D @Cylinder @880, 0, 4<, 80, 0, 5<<,4D, Axes -> TrueD -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 4.0 4.5 5.0 b. E Ix 3 + XY 2 M V donde E es la región que yace dentro del cilindro x 2 + Y 2 = 16 y entre los planos Z = 1 - x 2 - Y 2
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Ejemplo de lo que puede ser el contenido en los proyectos de Matematica Intermedia II USAC
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1) Grafique el solido encerrado en los paraboloides Z = x2 + y2 y Z = 5 - x2 - y2
Plot3DA9x2+ y2, 5 - x2
- y2=, 8x, -1.58, 1.58<, 8y, -1.58, 1.58<E
-1
01
-101
0
2
4
2) Primero valúe las siguientes integrales, luego grafique los volúmenes definidos por las mismas.
a. à à ÙE x2+ Y 2
â V donde E es la región que yace dentro del cilindro x2+ Y 2= 16
y entre los planos z = 5 y z = 4
à-4
4
à- 16-x2
16-x2
à4
5
x2+ y2
âz ây âx
128 Π
3
Graphics3D@Cylinder@880, 0, 4<, 80, 0, 5<<, 4D, Axes -> TrueD
-4
-20
24
-4
-2
0
2
4
4.0
4.5
5.0
b. Ù Ù ÙEIx3+ XY2M â V donde E es la región que yace dentro del cilindro x2
+ Y 2= 16 y
entre los planos Z = 1 - x2- Y 2
b. Ù Ù ÙEIx3+ XY2M â V donde E es la región que yace dentro del cilindro x2
+ Y 2= 16 y
entre los planos Z = 1 - x2- Y 2
NB4 * à0
Π
2 à1
4
à0
1Ir4* Cos@ΘDM âz âr âΘF + NB4 * à
0
Π
2 à0
1
à1-r2
1 Ir4* Cos@ΘDM âz âr âΘF
818.971
c. Ù Ù ÙEãz
â V donde E está encerrada por el paraboloide Z = 1 + x2+ Y 2
à0
2 Π
à0
r
à1
1+r2
ã1+r2
âz ây âx
2 ã1+r2
Π r3
Plot3DA1 + x2+ y2, 8x, -1, 1<, 8y, -1, 1<E
-1.0-0.5
0.00.5
1.0
-1.0-0.50.00.51.0
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3) Determine el volumen del sólido que el cilindro r = a cosΘ corta de la esfera de radio a centrada en el origen
NBà0
2 Π
à0
a
à0
a-r
r âz âr âΘF
-0.837758 a3�2-3. 1. -
1.
a+ 1. -
1.
aa + 2. -1. + 1. -
1.
aa
4) Trace el campo vectorial F Hx, yL = Iy2 - 2 xyM i + I3 xy - 6 x2M j luego
explique la apariencia al determinar el conjunto de puntos x, y tales que F Hx, yL = 0
F@x, yD := y2- 2 x * y, 3 x * y - 6 x2
2 Matematica Intermedia II 2do. Proyecto.nb
VectorPlotA9y2- 2 x * y, 3 x * y - 6 x2=, 8x, -1, 1<, 8y, -1, 1<,
VectorColorFunction ® "RedBlueTones", VectorScale ® 80.05, Automatic, None<E
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
El campo vectorial tiene vectores muy pequeños cerca de la linea y = 2 x
entonces al evaluar la funcion en F@0, 0D tenemos que y2- 2 x * y = 0
& 3 x * y - 6 x2= 0, y obtenemos que y = 2 x & x = 0 de la primera ecuacion
& x = 0 & y = 2 x de la segunda. Asi que ambas ecuaciones son validas
y por lo tanto F@x, yD = 0 a lo largo de la recta y = 2 x
Matematica Intermedia II 2do. Proyecto.nb 3
