i M MA AT TE EM M T TI IC CA A F FI IN NA AN NC CI IE ER RA A D DE E L LA AS S O OP PE ER RA AC CI IO ON NE ES S B BU UR RS S T TI IL LE ES S - -V VE ER RS SI I N N 2 20 00 09 9- - R RO OD DR RI IG GO O M MA AT TA AR RR RI IT TA A V VE EN NE EG GA AS S B Bo ol ls sa a N Na ac ci io on na al l d de e V Va al lo or re es s, , S S. .A A. . S Sa an n J Jo os s , , C Co os st ta a R Ri ic ca a ii (Pgina en blanco intencionalmente) iii M MA AT TE EM M T TI IC CA A F FI IN NA AN NC CI IE ER RA A D DE E L LA AS S O OP PE ER RA AC CI IO ON NE ES S B BU UR RS S T TI IL LE ES S - -V VE ER RS SI I N N 2 20 00 09 9- - R RO OD DR RI IG GO O M MA AT TA AR RR RI IT TA A V VE EN NE EG GA AS S B Bo ol ls sa a N Na ac ci io on na al l d de e V Va al lo or re es s, , S S. .A A. . S Sa an n J Jo os s , , C Co os st ta a R Ri ic ca a E ED DI IT TO OR R: : W WI IL LM ME ER R R RA AM M R RE EZ Z M MO OR RE ER RA A iv (Pgina en blanco intencionalmente) v Tabla de Contenidos 1Fundamentos introductorios ............................................................................................. 1 1.1El concepto de Inters ............................................................................................... 1 1.2El concepto de Patrn de Pagos ................................................................................ 3 1.3Una pauta de Mtodo ................................................................................................ 6 2Metodologa de Tasa de Inters Simple (TIS) .................................................................... 8 3El Rendimiento Efectivo ................................................................................................... 20 4Metodologa del Inters Compuesto (TIC)....................................................................... 33 4.1Perpetuidad ............................................................................................................. 39 4.2Anualidades .............................................................................................................. 41 5Casos Especiales ............................................................................................................... 44 5.1Bonos Cero Cupn ................................................................................................... 44 5.2Cupones y Ttulos de un solo pago con vencimiento menor a un ao .................... 47 5.3Ttulos Amortizables ................................................................................................ 49 5.4Ttulos con Clasulas de Ajuste ................................................................................ 51 5.4.1Bonos de Tasas Ajustables ................................................................................ 51 5.4.2Bonos Indexados ............................................................................................... 60 5.5Participaciones de un Fondo de Inversin ............................................................... 63 6Duracin, Convexidad eInmunizacin Financiera .......................................................... 67 6.1Duracin de Macaulay ............................................................................................. 68 6.2Duracin Modificada y Anualizada .......................................................................... 70 6.3Duracin en Instrumentos de Tasa Ajustable .......................................................... 73 6.3.1Duracin Simple ................................................................................................ 73 6.3.2Duracin Efectiva .............................................................................................. 74 6.4Duracin e Inmunizacin ......................................................................................... 77 6.5Duracin y Convexidad ............................................................................................ 82 6.6Duracin y Manejo de Activos y Pasivos ................................................................. 85 7La Estructura Temporal de Tasas de Inters .................................................................... 90 7.1Teoras que Explican la Formacin de la ETTI .......................................................... 90 7.1.1Teora de las Expectativas Insesgadas (TEI) ...................................................... 90 7.1.2Teora de la Preferencia por la Liquidez ........................................................... 92 7.1.3Teora de la Fragmentacin de los Mercados .................................................. 94 vi 7.1.4Teora del Hbitat Preferido (THP) ................................................................... 96 7.2Aplicacin para la Derivacin del Rendimiento Efectivo ......................................... 97 7.2.1Aplicacin de la TEI ........................................................................................... 97 7.3Estimacin de la ETTI ............................................................................................. 105 7.3.1Generalidades ................................................................................................. 105 7.3.2Una Aplicacin de Matemtica Financiera: el Mtodo de Bootstrapping .. 108 8Revisin de Conceptos Importantes .............................................................................. 113 9Resumen de Frmulas Importantes............................................................................... 118 10Referencias Bibliogrficas .......................................................................................... 121 11Respuestas de Ejercicios Propuestos......................................................................... 123 vii Tabla de Figuras Figura 1.1 Determinacin de la Tasa de Crecimiento de la Riqueza ........................................ 2 Figura 1.2 Definicin de Tasa de Inters Simple ...................................................................... 3 Figura 1.3 Anlisis desde la Perspectiva del Comprador .......................................................... 6 Figura 2.1 Clculo del Valor Presente, dadas distintas Tasas de Crecimiento de la Riqueza . 13 Figura 2.2 Relacin de los Premios y Descuentos con respecto a la Tasa de Inters de Descuento ............................................................................................................................... 13 Figura 2.3 Determinacin del Valor Presente, aplicando Metodologa de Inters Simple (TIS) ................................................................................................................................................ 14 Figura 2.4 Definicin de un Patrn de Pagos ......................................................................... 16 Figura 3.1 Efecto de Capitalizacin de los Intereses .............................................................. 24 Figura 3.2 Tasa Efectiva Anual (tasa nominal de 24%) ........................................................... 28 Figura 5.1 Patrn de Pagos de un Bono Cero Cupn ............................................................. 44 Figura 5.2 Patrn de Pagos de un Ttulo Amortizable ............................................................ 49 Figura 6.1 Representacin grfica de la Duracin .................................................................. 69 Figura 6.2 Representacin grfica de la Duracin Efectiva .................................................... 76 Figura 6.3 Representacin grfica de la definicin de Estructuras de Inversin ................... 81 Figura 6.4Estrategias de Inmunizacin de Balance de Situacin ......................................... 85 Figura 7.1 Ejemplo de Estructura Temporal de Tasas de Inters (ETTI) ................................. 90 Figura 7.2 Representacin grfica de la Teora de la Preferencia por la Liquidez ................. 93 Figura 7.3 Descalce de Plazos de Inversin y Financiamiento ............................................... 94 Figura 7.4 Equilibrios en los Mercados de Fondos Disponibles para Inversin y la Definicin de la Estructura Temporal de Tasas de Inters ...................................................................... 95 Figura 7.5 Esquema para Clculo de Tasas Forward Implcitas .............................................. 98 Figura 7.6 Suma vectorial de tasas de crecimiento de la riqueza .......................................... 99 Figura 7.7 Definicin de Estructura de Tasas Forward Implcitas a un ao (ETTI+1) ........... 101 Figura 7.8 Construccin de la curva de Tasas Spot (ETTI+0) por medio de la tcnica bootstrapping .................................................................................................................... 110 viii Tabla de Cuadros Cuadro 1. Tasas de Inters para Inversionesa un ao plazo ................................................ 20 Cuadro 2. Incremento Anual de la Riqueza ............................................................................ 22 Cuadro 3. Clculo del Rendimiento Efectivo Anual (tasa nominal anual de 24%) ................. 27 Cuadro 4. Clculo de la Tasa Efectiva Anual (tasa nominal anual de 24%) ............................ 28 Cuadro 5. Clculo de la Tasa Efectiva Anual, Anlisis de Convergencia al Inters Continuo (tasa nominal anual de 24%) .................................................................................................. 29 Cuadro 6. CARACTERSTICAS DEL BONOS TASA REAL ............................................................ 56 Cuadro 7. Tasas de Inters Promedio de Certificados de Inversin de Bancos Privados (Octubre 1996) ....................................................................................................................... 99 Cuadro 8. Clculo de Tasas Forward Implcitas a un ao (ETTI+1)(Octubre 1996) .............. 100 Cuadro 9. Anlisis Comparativo de Mtodos de Estimacin de ETTI ................................... 107 Cuadro 10. Determinacin de Tasas Spot para los Treasury Bills ........................................ 108 Tabla de Ejercicios Propuestos Ejercicios Propuestos 1 ........................................................................................................... 18 Ejercicios Propuestos 2 ........................................................................................................... 31 Ejercicios Propuestos 3 ........................................................................................................... 42 Ejercicios Propuestos 4 ........................................................................................................... 65 Ejercicios Propuestos 5 ........................................................................................................... 87 Ejercicios Propuestos 6 ......................................................................................................... 111 Tabla de Casos CASO 1. DEFINICIN DE TASA IMPLCITA DE RENDIMIENTO ................................................. 19 CASO 2. CLCULO DEL PRECIO TISMODIFICADO .................................................................. 19 CASO 3. DEFINICIN DE EXPECTATIVAS HOMOGNEAS ...................................................... 32 CASO 4. CLCULO DE TASA FUTURA IMPLCITA ..................................................................... 43 CASO 5. DESPRENDIMIENTO DE CUPONES ............................................................................ 43 CASO 6. SENSIBILIDAD DE VALOR ACTUAL ANTE CAMBIOS EN LA TASA DE DESCUENTO ..... 43 CASO 7. TTULO AMORTIZABLE CON CUPN DECLINANTE ................................................... 66 CASO 8. VALORACIN DE UNA CARTERA DE INVERSIN ....................................................... 66 CASO 9. CLCULO DE DURACIN ........................................................................................... 88 CASO 10. CLCULO DE DURACIN DE UN INSTRUMENTO DE TASA AJUSTABLE ................... 88 CASO 11. INMUNIZACIN DE UN PORTAFOLIO ..................................................................... 89 CASO 12. DETERMINACIN DE POSIBILIDADES DE ARBITRAJE ............................................ 112 CASO 13. DETERMINACIN DE UN VECTOR DE PRECIOS ad hoc ......................................... 112 ix Tabla de Ejemplos Ejemplo 2-1 ............................................................................................................................. 10 Ejemplo 2-2 ............................................................................................................................. 10 Ejemplo 2-3 ............................................................................................................................. 15 Ejemplo 2-4 ............................................................................................................................. 17 Ejemplo 3-1 ............................................................................................................................. 23 Ejemplo 3-2 ............................................................................................................................. 23 Ejemplo 3-3 ............................................................................................................................. 29 Ejemplo 3-4 ............................................................................................................................. 30 Ejemplo 4-1 ............................................................................................................................. 34 Ejemplo 4-2 ............................................................................................................................. 34 Ejemplo 4-3 ............................................................................................................................. 35 Ejemplo 4-4 ............................................................................................................................. 36 Ejemplo 4-5 ............................................................................................................................. 37 Ejemplo 4-6 ............................................................................................................................. 38 Ejemplo 4-7 ............................................................................................................................. 40 Ejemplo 4-8 ............................................................................................................................. 41 Ejemplo 4-9 ............................................................................................................................. 41 Ejemplo 5-1 ............................................................................................................................. 46 Ejemplo 5-2 ............................................................................................................................. 46 Ejemplo 5-3 ............................................................................................................................. 47 Ejemplo 5-4 ............................................................................................................................. 48 Ejemplo 5-5 ............................................................................................................................. 50 Ejemplo 5-6 ............................................................................................................................. 53 Ejemplo 5-7 ............................................................................................................................. 54 Ejemplo 5-8 ............................................................................................................................. 57 Ejemplo 5-9 ............................................................................................................................. 59 Ejemplo 5-10 ........................................................................................................................... 61 Ejemplo 5-11 ........................................................................................................................... 62 Ejemplo 5-12 ........................................................................................................................... 64 Ejemplo 6-1 ............................................................................................................................. 69 Ejemplo 6-2 ............................................................................................................................. 72 Ejemplo 6-3 ............................................................................................................................. 76 Ejemplo 6-4 ............................................................................................................................. 82 Ejemplo 6-5 ............................................................................................................................. 84 Ejemplo 7-1 ........................................................................................................................... 103 Ejemplo 7-2 ........................................................................................................................... 106 x (Pgina en blanco intencionalmente)___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 1 M MA AT TE EM M T TI IC CA A F FI IN NA AN NC CI IE ER RA A D DE E L LA AS S O OP PE ER RA AC CI IO ON NE ES S B BU UR RS S T TI IL LE ES S - -V VE ER RS SI I N N 2 20 00 09 9- - R RO OD DR RI IG GO O M MA AT TA AR RR RI IT TA A V VE EN NE EG GA AS S Bolsa Nacional de Valores, S.A. San Jos, Costa Rica Elvaloractualde400.000$dentrodeunaodebesermenorque 400.000$.La razn de esto se basa en el siguienteprincipio :Un dlar hoy vale ms que un dlar maana, debido a que un dlar hoy puede invertirse paracomenzaraganarinteresesinmediatamente.Esteesprimerprincipio financiero fundamental. Richard A. Brealey y Stewart C. Meyers Principios de Finanzas Corporativas 4 edicin. P. 14 1 1F FU UN ND DA AM ME EN NT TO OS S I IN NT TR RO OD DU UC CT TO OR RI IO OS S 1 1. .1 1E EL L C CO ON NC CE EP PT TO O D DE E I IN NT TE ER R S S Cuandoseconsideralaposibilidaddeahorrar,unconsumidorloque esthaciendoestrasladandopoderdecompradehoyparamaana. Cuandoalgnagenteseendeuda,porelcontrario,trasladarecursos queesperarecibirenelfuturoalpresenteparapoderemplearlosen proyectos rentables o en buenas oportunidades de consumo. Parapoderrealizarestetrasladodepoderdecompraalolargodel tiempo,debeasumirseuncosto.steeselinters.Elintersvienea ser, entonces, el precio del dinero crediticio, es decir, del dinero que se presta. Es pues el inters el rendimiento que el inversionista espera obtener por algunainversinfinancieraquerealiza.Porejemplo,uninversionista queposeaunasumade1.000ydeseaenunaoobteneruna ganancia adicional de 200, estar pensado en una tasa de rentabilidad o de inters de 20% anual. ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 2 El inters viene a ser, entonces, la forma en que el inversionista espera que crezca su riqueza a lo largo del tiempo.La siguiente grfica puede ser ilustrativa de la situacin descrita: Lariqueza delinversionista creceaunatasadel 20%alo largode12 meses.Deestaforma,altrminodelplazodeunao,lariquezase habr incrementado desde los 1.000 que se tena al momento cero enquerealizlainversin,hasta1.200quesetendraaltrminode los 12 meses considerados. Alaluzdeesteanlisis,podracalcularsecuntoseraelmontode intereses ganado para el ao, cualquier fraccin o mltiplo de ste. As pues,elintersservistocomolag ga an na an nc ci ia a,yelgradientealcual crece la riqueza (la pendiente) ser lat ta as sa ad de eg ga an na an nc ci ia a, valga decir, la tasa de inters. Ahorabien,lariquezapuedecreceradistintastasasenlosdistintos momentos del tiempo, por ejemplo, obsrvese la siguiente figura. Aqu, lariquezadelapersonaparte,enelmomentoceroconunnivelde W0;conelcorrerdeltiempomuestraunaevolucinenlaquehay facetas de aumento y otras en las que, incluso, la riqueza disminuye; no Figura 1.1 Determinacin de la Tasa de Crecimiento de la Riqueza ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 3 obstante,altrminodelhorizontedeinversinconsiderado(al momento n), el inversionista posee un nivel de riqueza Wn, mayor a la inicial. Cuandolainversinquehageneradoestariquezaadicionalesunade carcter financiero, la diferencia Wn W0 es denominada la ganancia, o enlostrminosdefinidosac,elinters.Deigualmanera,larelacin 00WW Wn , que define la pendiente entre los puntos extremos,viene a ser la tasa media de ganancia o tasa de inters simple, dado que se asume un crecimiento lineal de la riqueza. 1 1. .2 2E EL L C CO ON NC CE EP PT TO O D DE E P PA AT TR R N N D DE E P PA AG GO OS S Elp pa at tr r n nd de ep pa ag go os s se define como una ley contable o financiera que permiteestablecerlaformaenlaqueuninversionistaderivaingresos desuinversin.Estarelacinfuncionalsedefinepormediodetres variablesquepasanaconformarlasquesedenominancomo Figura 1.2 Definicin de Tasa de Inters Simple ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 4 c co on nd di ic ci io on ne es sc co on nt tr ra ac ct tu ua al le es s,puesseexplicitanenelcontratode inversin que supone la inversin financiera. Estascondicionescontractualesson:elrendimientodelainversin (t ta as sa ad de ei in nt te er r s sn no om mi in na al lotasadeintersfacial);elp pl la az zo oa al l v ve en nc ci im mi ie en nt to odelactivofinancieroylaf fr re ec cu ue en nc ci ia ad de el lo os sp pa ag go os s (cadenciaoperiodicidad).Aunqueformapartedelcontratode inversin,elmonto(v va al lo or rf fa ac ci ia al l)noesunacualidaddelpatrnde pagos, pues el monto dimensiona el tamao del patrn de pagos, no su forma. Ladefinicindelconceptoderentabilidadnominaldelcontratode inversinsugierelaposibilidaddequetalvariableasumadistintas formasdedefinicin.Enelestrictosentidodeunaoperacinderenta fija,estarentabilidadnominalesconocidaydefinidaenelmomento mismodelaconformacindelcontratodeinversinyseestablece como un rendimiento nominal fijo a lo largo del plazo al vencimiento del contrato de inversin. Peropuedesertambinladefinicindeunaregladeajuste previamentedefinida,comoocurre,porejemplo,conladeterminacin deinstrumentosdetasasfluctuantes,quedependendel comportamiento o evolucin de una variable que sirve al propio tiempo comoparmetro(variableanclaoparametrizadora),comopuedeser, por ejemplo, la inflacin, el tipo de cambio o alguna tasa referencial del mercado. En todo caso, tal regla es p pr re ev vi ia am me en nt te ed de ef fi in ni id da a y expuesta tcitamenteenlaconformacindelcorrespondientecontratode inversin1. 1 Estedetalleresultasernotrivial,todavezqueseconsidereuna diferenciacin entre los instrumentos que han de considerarse de renta fija y losderentavariable.Losprimerosestablecencomopartedelclausulardel contratodeinversinelconocimientodeltipodeintersquepagarel instrumentoo,almenos,lareglaquelodefinir,comoocurreconlos instrumentosdetasasfluctuantes;acontrasensucomoocurreconlos instrumentos de renta variable, en los cuales, como sucede con las acciones (elinstrumentodeestetipoporantonomasia),noseconoceconexactitud, en forma previa, cules son las caractersticas que determinan la rentabilidad del instrumento financiero representativo del contrato de inversin. ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 5 Lascondicionescontractualesquedefinenelpatrndepagos, establecenentonces,laformaenlaqueinstrumentoincrementala riqueza del inversionista, por tal razn, al definirse el valor o precio de un patrn de pagos especfico, se ha de definir el valor o precio de todo patrn similar, lo cual quiere decir que han de coincidir en todas y cada una de las condiciones contractuales. Delamismamaneraycomoconsecuencialgicadelargumento planteado,sersuficientequevareunadelascondicionesdelpatrn de pagos, para que se establezca un patrn de pagos diferente. Aspues,dadoquecualquieradelascondicionesquecambieprovoca unnuevopatrndepagos,serposibleencontrarunasituacinenla cualsehalleunpatrndepagosirreducible.Estepatrndepagos elementalserlaconformacindeuninstrumentodenominadocero cupnpues,enladefinicindetal,solamenteintervieneeltiempoal vencimientoyenladeterminacindesuvalornoseincluyenlasotras condiciones usuales en la definicin del patrn de pagos, tales como la periodicidad o la rentabilidad facial. ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 6 1 1. .3 3U UN NA A P PA AU UT TA A D DE E M M T TO OD DO O Comprendido el concepto del patrn depagos, esnecesario establecer una pauta de mtodo antes de erigir un procedimiento de valoracin de inversiones financieras. Dichapautademtodoconsisteen lacomparacin queimplcitamente se har entre las condiciones contractuales del instrumento (la forma en la que genera riqueza un instrumento financiero) y las condiciones que alternativamentepodrencontrarelinversionistaenelmercadode inversionesfinancieras,loquesereflejarenelrendimientode mercado,alaquetambinsedenominartasadenegociacino rendimiento esperado. As,loqueseobtendrserunacomparacinentrelascondiciones contractuales(quedefinenelpatrndepagos)ylascondicionesde mercado, la cual se formular como una especie de cociente: Lacomparacinquesehaceentrelascondicionescontractualesdel instrumentofinanciero(sucapacidadgeneradoraderiqueza)conlas oportunidadesqueofreceelmercado,sedenominarla p pe er rs sp pe ec ct ti iv va a d de el lc co om mp pr ra ad do or r ,pueseselcompradorquientomaladecisinde adquirironounainversin,considerandolasoportunidadesy alternativas que tiene ante s. Figura 1.3 Anlisis desde la Perspectiva del Comprador VALOR Patrn de Pagos Condiciones contractuales Alternativas de inversin Condiciones de mercado ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 7 Enelcasoquesugierelafigura3.,silascondicionesqueofreceel instrumento financiero, definidas por aquellas clusulas del contrato de inversinquedeterminanelpatrndepagos,sondesuperiorcalidad quelasofrecidasporelmercadoenformaalternativa,elvalorde negociacindebersermayorqueelvalornominalovalorfacial;si sucediera lo contrario y las condiciones de mercado (que se convierten en la exigencia del comprador) son de superior calidad que las ofrecidas por las condiciones del patrn de pagos, el vendedor deber de admitir un descuento, si es que desea realizar la venta. As,primasydescuentossobreelv va al lo or rp pa ar r(valornominal)sern productos de la mayor o menor calidad ofrecida por las condiciones que definen el patrn de pagos, bis a bis la condiciones de mercado. Ahora bien, la comparacin debe darse en una misma mtrica, esto es, debecompararsecosasmedidasenlasmismasunidadesdecuentay, entantolariquezaadicionalquepuedageneraruninstrumento financieroestdeterminadoporunatasadeintersexpresadaen trminossimplesyanuales,elrendimientoesperado,otasade mercado, debe estar expresada en los mismos trminos, es decir, como un rendimiento simple anual. Estoselementossonlosqueconstituirnelpuntodepartidaparala elaboracindelasmetodologasdevaloracindeinversionesquese propondrn. ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 8 2 2M ME ET TO OD DO OL LO OG G A A D DE E T TA AS SA A D DE E I IN NT TE ER R S S S SI IM MP PL LE E ( (T TI IS S) ) LaM Me et to od do ol lo og g a ad de eT Ta as sa ad de eI In nt te er r s sS Si im mp pl le e(T TI IS S),partedeun supuesto muy importante: los intereses cobrados por el inversionista no generanriquezaadicionalalguna.Esdecir,lasumadelosintereses ganados va a ser, s si im mp pl le em me en nt te e, el cobro de los intereses a los que se tiene derecho, de acuerdo al plan de pagos formulados en la inversin. Elresultadoes,entonces,unc cr re ec ci im mi ie en nt to ol li in ne ea al ld de el la ar ri iq qu ue ez za a,en dondelanicafuentegeneradoradegananciaeslaprovistaporlas condiciones contractuales que explicitan el patrn de pagos. En trminos de la figura 1., por ejemplo, los intereses ganados por mes serande200/12=16,67,paralosseisprimerosmeseslasuma ganada de intereses sera de 100 (= 200/2). Lo anterior puede resumirse mediante la siguiente ecuacin bsica: = (2.1) Dondelosinteresesganados(I)estndeterminadosporelmontodel capital invertido (C), la tasa de inters (i) y el tiempo que permanece la inversin(t),medidoenaos,dadoquelatasadeintersseest expresando en trminos anuales. Deestamanera,puedecalcularse,paracualquierperiododetiempo culseralaganancia,entrminosdelintersganado,s si im mp pl le em me en nt te e multiplicandoelmontoinvertido,porlatasadeintersyeltiempo transcurridoenaos,dadoquelatasaseexpresaentrminos porcentuales y anuales. Igualmentesimplevendraaserelclculodelvalorfinaldelariqueza que tendra el inversionista, al sumar el monto de un riqueza inicial, ms losinteresesganadosaunfechadeterminada.Porejemplo,sila inversinsehubierahechoaseismesesplazo,lariquezadel inversionistasera de 1.100, correspondientea1.000 de lainversin inicial,ms100correspondientesalosinteresesgeneradosporlos primeros seis meses de inversin. ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 9 Lo anterior puede expresarse en la siguiente frmula: = +(2.2) Donde la suma final (S) ser igual al monto de la riqueza inicial (C) ms losintereses(I)ganados.Lasdosfrmulasanteriorespuedenunirse para crear la siguiente: = + (2.3) Loanteriorpermiteapreciar,adems,queelcomportamientodel incrementoenlariquezaesl li in ne ea al l,esdecir,lomismodaunmesde interesesalprincipiodelavidatildelainversinquealfinal,pues nominalmenteelflujodeintereseseselmismo,dadoqueellapsode tiempo es el mismo. Unaderivacininteresantedeesteanlisiseselclculodelv va al lo or r p pr re es se en nt te edeunainversin.Estosignifica,quepuedevalorarse,en cualquiermomentodeltiempo,culdeberaserelmontodeuna inversin,conociendoeltiempo(horizontedeinversin),latasade intersyelmontodelariquezafinalesperadaparaelperodode inversin.Enotraspalabras,podradespejarse,delaltimafrmula expuesta, lo siguiente:

+ = (2.4) Esfcil concluir quelo queseha denominadocomovalorpresenteno es otra cosa que el valor de la riqueza futura esperada al final de la vida tildelainversin,d de es sc co on nt ta ad da apormediodeunmtodolineal,es decirquesuponequelariquezacrecealamismatasadeinters, mientras est vigente; o lo que es lo mismo, que los flujos de intereses queelinversionistarecibenosonempleadospararealizarnuevas inversiones. ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 10 Ejemplo 2-1 Hallarelmontodeinteresesganadosporunainversinde1.000alo largo de 9 meses, siendo la tasa de inters del 20% anual. Dadoquelatasaestexpresadaentrminosanuales,ellapsodetiempo consideradodebe,tambin,expresarseentrminosanuales.Enestecaso sera 9/12= 0,75; de forma que el monto ganado de intereses sera de1.000 x 0,20 x 0,75 = 150. Ejemplo 2-2 Hallar el valor presente de una inversin que vence en 18 meses; siendo la suma de la riqueza final esperada de 1.000 y la tasa de inters de 20%. Dado que la tasa est expresada en aos, debe el tiempo tambin expresarse enaos.Enestecasoserade18/12=1,5aos.Deestaformael planteamiento y el resultado del problema seran: Partiendodelaltimafrmulaplanteada,esposible, entonces, derivar cul sera elp pr re ec ci io o de un ttulo valor, empleando esta metodologa de T Ta as sa a d de e I In nt te er r s s S Si im mp pl le e ( (T TI IS S) ). Enestecaso,loqueocurreesque,nonecesariamente,latasade inters esperada por el inversionista es la misma que la tasa facial. Para esto se requieren algunos conceptos previos. En primer trmino, ha de entenderse comot ta as sa af fa ac ci ia al l ot ta as sa ad de ei in nt te er r s sn no om mi in na al l, la tasa de intersqueestimpresaenlacartuladeldocumento,eslatasaala cual se derivan los flujos de pagos de inters de la inversin, esta es la tasa a la cual crece la riqueza del inversionista y que determina lo que se define como el p pa at tr r n n d de e p pa ag go os s. Lat ta as sa ad de er re en nd di im mi ie en nt to oe es sp pe er ra ad da apor el inversionistaes latasade rentabilidadqueelinversionistaestimaquedebeobtenerparauna inversindeunplazoyunriesgosimilaresalosdelaoperacinque est realizando. Esta tasa de rentabilidad puede estar por encima o por ( )23 . 7693 , 1000 . 15 , 1 2 , 0 1000 . 1= = +___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 11 debajodelatasafacial,dependiendodelascondicionesdemercado para el plazo de vigencia de la operacin. Ensegundotrmino,debetenersepresentequelasmetodologasde valoracindeinversionespartendelsupuestobsicodequesemiden los rendimientos esperadosd de es sd de el la ap pe er rs sp pe ec ct ti iv va ad de el li in nv ve er rs si io on ni is st ta a c co om mp pr ra ad do or r.2 Razn por la cual, el plazo de vigencia del instrumento financiero que se valora es el plazo al vencimiento, es decir, lo que resta de la vida til de laoperacin,sinimportar,paralosefectosdelavaloracin,esdecir desdeelpuntodevistadelcomprador,cuntotiempohatranscurrido desde que el vendedor adquiri el ttulo que ahora vende, o desde hace cuntotiemposeemitielvalor.Loqueimportaescuntotiempode vigenciatieneelinstrumento,porqueseesttrabajandodesdela perspectiva del inversionista comprador. Igualmente,lorelevanteparaelinversionistacompradoresel r re en nd di im mi ie en nt to od de em me er rc ca ad do oasociadoalaoperacinqueest adquiriendo, el rendimiento facial o nominal es empleado n ni ic ca am me en nt te e, para el clculo de los flujos de pagos de la inversin. Porejemplo,sepodravolveralaFigura1.1,ypreguntarnos,Cul seraelmontodeunainversinque,hechahoy,genereunariqueza futura de 1.200, dentro de un ao, siendo la tasa de descuento en el mercado, para inversiones a un ao del 25% anual? Paradespejarestaincgnita,sehaceusodelaltimafrmula planteada, asumiendo que S = 1.200; i = 0,30 y t = 1: 2 Esto es as debido a que el inversionista comprador puede optar por comprar onocomprarelactivofinancieroqueseleofrece,puedeadquirirotroe, incluso,podraorientarsuinversinaotrotipodeactividades;eslquien decidey,portantoesquiendebetenerlaoportunidaddecontarconuna herramientaanalticaquelepermitaevaluarapropiadamentelasdistintas oportunidadesquetiene,esdecirlosdistintosusosalternativosdelos recursos financieros con que cuenta. ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 12

1 + = 12001,30= 923.077 Deestaforma,elvalorpresentede1.200dentrodeunao,esde 923.077 hoy, a una tasa de descuento del 25% anual. Podrahabersedadoelcasodeque,enlugardeestarlastasasde intersdemercado(rendimientosesperados),porencimadelatasa facial o de cartula, estuvieran por debajo; por ejemplo, un 10% anual. En este caso el clculo hubiera sido:

1 + = 12001,10= 1090.91 Lo cual podra verse, en trminos de la Figura 1, como distintas tasas de crecimientoesperadoparalariquezafutura,comoseapreciaenla Figurasiguiente.Comosepuedenotar,mientrasmayorseala diferencia entre la tasa de rendimiento esperado con respecto a la tasa facial,afavordelaprimera,menorserelvalorpresente,estopor cuantolatasaalacuallainversingenerariqueza(latasafacial)es menor a la tasa a la que exige el inversionista, por lo cual el vendedor deber reconocer und de es sc cu ue en nt to o sobre el valor facial o de cartula del valor para hacer atractiva la inversin para el comprador. En sentido contrario, cuando menor sea la tasa de rendimiento exigida por el inversionista en relacin a la tasa facial, tanto mayor ser el valor presente de la inversin, por lo cual el inversionista deber reconocerle al vendedor un p pr re em mi io o, dado que est comprando un valor que genera unatasadecrecimientodelariquezasuperioralaquel,como inversionista comprador, est exigiendo para el plazo respectivo. La ocasin parece propicia para hacer resaltar una diferencia conceptual muy importante, entre lo que se denomina elv va al lo or rd de en ne eg go oc ci ia ac ci i n n y elp pr re ec ci io o. El primero de estos conceptos hace referencia al clculo del valorpresente,talycomosehavistohastaaqu.Elsegundodelos conceptoshacereferenciaaunvalorndice,esdecir,quporcentaje representa el valor presente (VP), con respecto al valor facial (VF), de la forma siguiente:___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 13 =

(2.5) Paraloscasosestudiados,cuandolatasadedescuento(rendimiento esperado) es del 30% anual, el precio es de (923,077/1.000) x 100 = 92,31%(eldescuentoesdel7,69%).Enelsegundocaso,cuandola tasadedescuentoempleadaesde10%anual,elprecioesde (1.090,91/1.000)x100=109,09%(elpremioesde9,09%).La siguiente figura ilustra esta relacin: Figura 2.1 Clculo del Valor Presente, dadas distintas Tasas de Crecimiento de la Riqueza Figura 2.2 Relacin de los Premios y Descuentos con respecto a la Tasa de Inters de Descuento ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 14 Si se aprecia con detenimiento, la suma que se descuenta comprende el montototaldeintereses,tantolosdevengados,comolosquerestan por vencer, esto es S=C[1+i(DA+DV)/360], de manera que el preciodelactivofinancieroquesedescuentaparaobtenersuvalor presente, vendra dado por: DadoqueelPreciosehadefinidocomoelcocienteentreelValor Presente y el Valor Facial, la informacin contenida en la figura anterior puede resumirse en la siguiente formulacin: =++

+

(2.6) En esta formulacin, el monto de ingresos esperados por el inversionista comprador ser equivalente a los intereses de los das que restan para quevenzalainversinmslosintereses(i)desdelaltimafechade pago de cupones (DA+DV), ms el principal adquirido. Esta ser la suma Figura 2.3 Determinacin del Valor Presente, aplicando Metodologa de Inters Simple (TIS) VALOR Patrn De Pagos Alternativas de Inversin Condicionescontractuales Condicionesde Mercado VF + +

+

___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 15 queesperarecibir.Loqueverdaderamenteinvierteeslasumaque comprendeelrendimientoesperado(RE)sobreunainversinporel tiempo que resta al vencimiento del instrumento (DV). Ejemplo 2-3 Hallarelpreciodeunaoperacinalaquerestan280dasporvencer, siendo la tasa de inters del 20% anual pagadera en forma trimestral. El rendimiento esperado en el mercado es de 25% anual. Los das acumulados de intereses seran, en este caso la parte fraccionaria delcocienteentrelosdasalvencimiento(DV)yelperododepagode cupn (PPC): En otras palabras DV=280 y DA= 80, de manera que (DA+DV)=360.De esta forma el planteamiento y el resultado del problema seran: Una forma interesante de apreciar la ubicacin de los das acumulados y delosdasalvencimientoentornoalmomentoenqueserealizala transaccinespormediodeundiagramadepagos.Enlsegrafican los pagos que se recibirn y los momentos del tiempo en que se harn. Por ejemplo, para el caso anterior, el diagrama de pagos vendra dada la figura siguiente: 904360 360= = =PerPPC80 90902801 1 = ((

((

= ((

((

= Frac PPCPPCDVFrac DA %465,10000465,1 360 280 1 360 28080 20,01 360 1 360 1 Pr== ( ( + ( ( + + = ( ( + ( ( + + = RE DV RE DVDA i ecio ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 16 Comoseaprecia,elmomentodelatransaccinovaloracindela inversin(momentocero)marcalaseparacinentrelosdas acumulados (DA) y los das al vencimiento (DV). Los flujos de intereses son calculados de manera tal que: I= (0,20 / Per.) = 0,05. Siendo Per = periodicidad de pago, es este caso Per = 4. Estaimagenpermite,adems,introducirunconceptociertamente importanteenlavaloracindeinversiones:elp pr re ec ci io ol li im mp pi io o.Este concepto se refiere al precio que pagara un inversionista por el activo, descontandolosinteresesacumuladosquereconocealanteriordueo del instrumento. Recurdese que el pago de cupn es por intereses vencidos, esto quiere decirquesepaga alfinaldel periodolos interesescorrespondientesal totaldedasdeeseperiodo.Sielanteriordueovendiantesdeque concluyera el periodo, en buena teora tiene derecho a una porcin del prximopagodecupnporlosdasqueacumulantesdevenderel instrumento. Figura 2.4 Definicin de un Patrn de Pagos ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 17 Estosinteresesacumuladossecalculanapartirdelatasadeinters facialporelplazodesdelaltimafechadepagodecupnhastael momentodelatransaccin,medidoenlosmismostrminosenloque est siendo referida la tasa de inters; genricamente puede expresarse como: =

(2.7) DondeIAsonlosinteresesacumulados,DA,sonlosdastranscurridos desde la ltima fecha de pago de cupn e i, es la tasa de inters facial. Paraelcasoanterioresteclculosera(80/360x0,2=)0,0444,de maneraqueelpreciolimpio;esdecir,sinconsiderarlosintereses acumulados, sera (1,00465 - 0,04444 =) 0,960207; es decir 96,021%3. Ejemplo 2-4 Hallar el precio limpio de la operacin descrita en el ejemplo 2-3. % 02 , 96 960207 , 0360 2 , 0 8000465 , 1 = = = = IA P PLimpio 3 Dado que este se ha definido como precio limpio, aquel que incluye el pago de los intereses acumulados se define como precio sucio. ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 18 Ejercicios Propuestos 1 A este nivel de avance, nuestro amable lector se encuentra en capacidad de resolver algunos ejercicios que le permitan reafirmar conceptos y verificar su aprehensin de los nuevos conocimientos. 1.Hallarelmontodeinteresesdeunainversinfinancieracuyoplazode vencimientoesdeseismesesal25%anual,sobreunmontoinvertidode 2.500.000 2.Establecer cul es el monto total que recibir un inversionista en dos aos ms, si coloca 100.000.000 a una tasa de inters del 24% anual. 3. Determinar el Valor Presente de 3.500.000 que se recibirn dentro de dos aos y medio, siendo la tasa de descuento del 20% anual. 4.Determinar los das acumulados (DA) de una operacin a la que le restan 1.750 para su vencimiento, siendola periodicidad de pago trimestral. Cuntos pagos recibir el inversionista comprador? 5.Calculelosdasacumuladosyelnmero depagosdeunaoperacinquetiene 1987 das al vencimiento con una periodicidad trimestral. 6.Determinar el precio de una operacin financiera, cuya tasa de inters facial es de25%anual,cuyospagossonmensualesylerestan190dasparavencer, siendo que el rendimiento esperado de mercado es de 22,5% anual. 7.Hallarelpreciodeunaoperacinalaqueresta280dasparasuvencimiento siendolatasadeintersdel20%anual,pagaderaenformatrimestral.El rendimiento de mercado es del 25% anual. 8.Determinar el monto del premio de una operacin, cuyo plazo de vencimiento es de456das,latasadeintersfacialesde18,5%anual,pagaderos trimestralmente; siendo el rendimiento esperado de 12,25% anual. 9.Grafique el diagrama de pagos del ejercicio anterior. ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 19 CASO 1. DEFINICIN DE TASA IMPLCITA DE RENDIMIENTO Dados dos ttulos con las siguientes caractersticas: Ttulo ATtulo B Tasa Facial20,00%25,00% Das al Vencimiento235730 Periodicidad42 Rendimiento Esperado 22,25% Precio de Mercado102,908% a.Quproporcindebeinvertirseencadainstrumentosielplazopromediodela cartera fuera de 360 das? b.Cul sera el rendimiento promedio de tal cartera? c.Cules seran los respectivos precios limpios de estos instrumentos? d.Si el Valor Facial invertido fuera de 1.000 millones de colones; Cul sera el valor a Precios de Mercado de esta cartera? CASO 2. CLCULO DEL PRECIO TISMODIFICADO Suponga Usted la existencia de dos instrumentos con las siguientes caractersticas: Ttulo ATtulo B Tasa Facial0,240,24 Das al vencimiento8686 Periodicidad24 Rendimiento Esperado0,200,20 -Por qu los precios limpios de ambos ttulos, empleando la metodologa de tasa de inters simple, no son iguales? -Qu pasa con los precios limpios empleando la metodologa de inters compuesto?-Partiendodeunaformulacincomolasiguiente,seranlosprecioslimpios equivalentes?, por qu razn no sera correcto emplear esta frmula? | || |360360 mod11DVDVificado TISLimpioREiP + += ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 20 3 3E EL L R RE EN ND DI IM MI IE EN NT TO O E EF FE EC CT TI IV VO O Hastaacsehatrabajadopartiendodelsupuestodequeel inversionista no reinvierte los flujos liberados por su inversin, dadas las condicionesdelpatrndepagos;enotraspalabras,losflujosson consumidos o agostados por parte del inversionista. Podramospreguntarnos,qupasasielinversionistadecidereinvertir los flujos?... Para analizar esto nos propondremos un ejemplo: imaginemos que una compaaha decididohaceruna inversinencuatroaosy desdehoy deseahacerlareservaparatalocasin.Paraellohaelegido,como medida de contingencia invertir y reinvertir cada ao; as, invierte hoy a unao,cuandovencesuinversinrenuevaporotroaomsyas hasta alcanzar su horizonte de inversin. Para esto, el inversionista cuenta con la siguiente informacin referente alastasasdeintersparainversionesaunao,parasimplificarel anlisis, se asumir que no existen, por el momento pagos interanuales, es decir, que la periodicidad es 1. Cuadro 1. Tasas de Inters para Inversionesa un ao plazo Inversin empieza al trmino del ao Inversin concluye al trmino del ao Tasa de IntersAnual 010,150 120,160 230,165 340,170 Siguiendolaestrategiadeinversindefinidaporlacompaaque estudiamos,altrmino delaocuarto,que eselhorizontedelplan de inversin, se tendra una ganancia total de: Rendimiento Total = (1,15) (1,16) (1,165) (1,17) = 1,8183 ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 21 Enotraspalabras,lacompaarecibir,altrminodelaocuarto 0,8183 por cada unidad monetaria que invierta, si sigue la estrategia de inversin sugerida y se verifican las tasas de inters supuestas. Estaeslagananciatotalo,enestecaso,elr re en nd di im mi ie en nt to oe ef fe ec ct ti iv vo o, puesconstituyeloquee ef fe ec ct ti iv va am me en nt te eganaralacompaa.Ahora bien,esterendimientoefectivonoesotracosaqueunamultiplicacin sucesivadetasas de inters,sedice,unac co om mp po os si ic ci i n n,yporello,el conceptoderendimientoefectivoestambinasociadoalconceptode i in nt te er r s s c co om mp pu ue es st to o . Esterendimientoefectivoocompuestoestotal,esdecir,alo largode los cuatro aos que supone el horizonte de inversin. Por lo general se obtiene tambin un resultado en trminos anuales, con el propsito de hacerposiblelacomparacinentrelosdistintosrendimientosefectivos de las inversiones alternativas que son evaluadas por el inversionista al momento de tomar una decisin de inversin. Paraprocederalclculo,loqueseasumeesunrendimiento equivalente,unatasaanualalacualfueraequivalenteinvertir, capitalizndose cada ao, a lo largo del plazo considerado; en este caso sera: =

(3.1) En este caso sera: 161226 , 0 1 25 , 0 ^ 8183 , 1 = = RE Enotraspalabras,seraindiferenteparaelinversionistacolocarsus recursossiguiendolaestrategiaplanteada,dadaslastasasdeinters establecidasenelcuadro1.,queinvertiralatasade16,1226%, capitalizableenformaanual4;locualpuededesprenderseenel siguiente cuadro. 4 Este rendimiento es en realidad una media geomtrica. ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 22 Cuadro 2. Incremento Anual de la Riqueza Ao Tasas de Inters para inversiones a un ao ms Alternativa 1 Inversin Anual a tasas de mercado Alternativa 2 Inversin a tasa fija capitalizable de 16,1226% anual 00,1501,000001,00000 10,1601,150001,16126 20,1651,334001,34845 30,1701,554111,56585 41,818311,81831 Como se aprecia, el rendimiento total, al final de ambos procesos es el mismo. De igual manera ocurre con los rendimientos efectivos anuales. Ahora bien, en los ejercicios y procedimientos de valoracin se emplea, por lo general, una nica tasa, que corresponde al rendimiento efectivo calculado de la forma aqu planteada. Esto se hace as por dos razones: laprimeraporquelainformacinsobrelastasasdeinters,talcomo apareceenelcuadro1.,noest,porlogeneral,disponible;estasson tasadenominadasforward(lasqueseestudiaremosmsadelante); en segundo trmino, pueden no existir homosedasticidad en cuanto a la conformacindelasexpectativasyporsimplicidad,suponerunanica tasa equivalente viene a ser una solucin eficaz. Porejemplo,elordenamientodelaestructuradelastasasaparecidasen el cuadro 1., es una composicin particular, pero bien pudo haberse seguido otro como el siguiente: Rendimiento Total = (1,17) (1,165) (1,16) (1,15) = 1,8183 La conmutatividad del producto permite realizar distintos ordenamientos delosvaloresylograrelmismoresultado; por ello,antelaposibilidad dequeexistandistintasposibilidadesdeordenamientos,optarporun rendimiento efectivo equivalente se convierte a la vez que un supuesto simplificador, en una solucin eficaz. Justamente,estaconsideracinpermiteestableceunelemento importantedeladefinicindelrendimientoefectivo:elrendimiento ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 23 efectivoesunatasasimpleequivalenteaunacomposicindetasas particular,bajoelsupuestodelaconstanteeininterrumpida capitalizacin5. Ejemplo 3-1 Hallarelrendimientoefectivoparaunainversincuyagananciaesde 2,233 al trmino de cuatro aos % 24 , 22 22241 , 0 1 25 , 0 ^ 233 , 2 = = = RE Ejemplo 3-2 Calcular el rendimiento efectivo de un inversionista que coloca sus recursos a un ao plazo y los renueva cada ao a lo largo de un horizonte de inversin de cinco aos, siendo las tasas prevalecientes, para cada ao las siguientes: Aplicando la frmula tendramos que: Hasta ac se ha trabajado bajo la presuncin de una periodicidad anual, qu pasa cuando hay pagos interanuales? Porejemplo,siserecibendospagosalao(laperiodicidades semestral),elinversionistapodrtenerunaoportunidadalaode capitalizar intereses: los que reciba al trmino del primer semestre, con el cobro del primer cupn. Si a partir de esta situacin se incrementa la frecuencia,porejemplo,enformatrimestral,elinversionistarecibir cuatro pagos al ao (cada 90 das), y podr capitalizar los primeros tres, 5 Siseasumieraunatasasimpleequivalente,sincapitalizacinestaserade 0,204577; para el plazo considerado de cuatro aos. AoTasa 113,45% 214,50% 315,25% 412,75% 512,30% % 64 , 13 1 )] 1230 , 1 )( 1275 , 1 )( 1525 , 1 )( 1450 , 1 )( 1345 , 1 [(51= = REf___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 24 sielvencimientodelaoperacinesaunao.Loanteriorpuede ilustrarse con la siguiente figura: Paralosfinesdidcticosdeestanotasehasupuestounatasade rentabilidadalacualcrece lariqueza (tasadeinters) del80%anual. Comopuedeapreciarse,sielinversionistanorecibierapagos intermediosporconceptodevencimientodecupones,recibira,al trminodeunao,lasumadelariquezainicial(1.000),mslos interesesganados800(=1.000x0,80),obtenindoseunaganancia totalde1.800altrminodeunao,loqueestrepresentadoenla figura con el punto 1 1. Si, a partir de esta situacin, se le permitiera al inversionista recibir un pago intermedio (la periodicidad es dos, es decir, pagos semestrales); el inversionistapodrautilizarelprimerpagoparareinvertirloalamisma tasaalaquefueoriginadoesepago,esdecir,el80%.Entalcasose podra obtener una ganancia adicional de 160 (=400 x 0,80 x ), con lo que la ganancia total sera de 1.960; lo que est representado en la figura anterior con el punto 2 2. Sialinversionistaselepermitierarecibirpagosenformatrimestral, cadacupndeinteresesserade200(=1.000x0,80x);asal trminodelprimertrimestre,elinversionistarecibira200,losque podrainvertiral80%porlosnuevemesesrestantesparael Figura 3.1 Efecto de Capitalizacin de los Intereses ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 25 vencimiento de la inversin original, de manera que podra derivar una ganancia adicional de 120 (=200 x 0,80 x ). Altrminodelosprximostresmeses,elinversionistarecibir, nuevamente, un pago de cupn por 200, los cuales podr invertir a la tasadel80%porelmedioaorestanteparaelvencimientodela operacinoriginal,obteniendoconellounagananciaextrade80 (=200 x 0,80 x ). Finalmente,altrminodelosprximostresmeses,elinversionista recibir el prximo cupn por un valor de 200, el que podr reinvertir a unplazodetresmesesquerestanparaeltrminodelainversin original,generandoconellounagananciaadicionalde40(=200x 0,80 x ). Sumadaslasgananciasadicionalesporconceptodereinversindelos cuponesdepagosintermediosdeintereses,elinversionistaestar recibiendolasumatotalde240.Aestohabraquesumaralgunas ganancias adicionales. Loscuponessereinviertennosolamentealamismatasaquefueron originados,sino,tambin,alamismaperiodicidad.Estoquieredecir queleprimercupngenerar,asuvez,laposibilidaddereinvertirun par de veces ms y el tercer cupn una vez ms. En suma, la ganancia proveniente de las reinversiones ser de 273,60, loquesumadoalltimocupndeinteresesyalasumadelprincipal invertidodarungrantotalde2.073,60quecorrespondeala gananciaderivadadelareinversindelosflujosdeinteresesconuna periodicidad trimestral, lo que est representado con el punto 3 3. Enelprimerodeloscasosenqueseofrecilaposibilidadde capitalizacin al inversionista, ello represent una ganancia adicional de 160,estoes,unrendimientoadicionalde16%anual,siendola rentabilidadcompuestatotalde96%.Enelsegundocaso,esta rentabilidadadicionalalcanzaaserde27,36%anual,siendola rentabilidad compuesta anual de 107,36% anual. ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 26 Estatasa derentabilidadconsiderandolascapitalizaciones de intereses adquiereunacategorader re en nd di im mi ie en nt to oe ef fe ec ct ti iv vo o,queeslatasade rentabilidad que se recibira, efectivamente, si se reinvirtieran los flujos liberadosporlainversin;ac,comolospagossoninteranuales,se supone que las reinversiones se harn a la misma tasa y al mismo modo enquefueronoriginados;esdecir,m ma an nt te en ni ie en nd do oe el lm mi is sm mo op pa at tr r n n d de e p pa ag go os s o or ri ig gi in na al l. Parapoderdilucidaresto,puedetomarsedeejemplounatasade rendimientodel24%anual,paraunainversindeUS$1aunao.Si solamente se recibe un pago de intereses, el rendimiento efectivo ser del 24%, es decir, al trmino del ao, el inversionista recibir US$ 0,24. Si se le permite al inversionista recibir un pago intermedio, por ejemplo, silaperiodicidades2(pagossemestrales),elinversionistapodr reinvertirelpagodelcupnintermedioporUS$0,12alamismatasa que fue originado, con la misma fecha de trmino de la inversin y con lamismaperiodicidad,demaneraque,altrminodelaohabr recibido,ademsdelocorrespondientealainversinoriginal(US$ 0,24),lasumadeUS$0,12x24%x=US$0,0144;siendoel rendimiento efectivo de 25,44%. Sielejercicioseamplaparaconsiderarunamayorperiodicidad,por ejemplo,quesepagueninteresescadatrimestre,elflujodeintereses sedividirentrecuatro,siendoelflujodecuponesdeUS$0,06cada trimestre. De esta manera, al cumplirse el mes tercero, el inversionista estar recibiendo un cupn de US$ 0,06, que reinvertir a una tasa del 24% anual por nueve meses (hay que recordar que la fecha de trmino no cambia). As,recibir,adicionalmenteUS$0,06x24%x(3/4)=US$0,0108, siendo el pago trimestral de US$ 0,0036. Al trmino del primer semestre (segundotrimestre);elinversionistarecibirunflujodeUS$0,0636 (correspondiente al segundo cupn de la inversinoriginal y el primer cupndelaprimerareinversin);esteflujoloreinvertiral24%en forma trimestral, por un plazo de medio ao (lo que resta para la fecha detrminodelainversin);obteniendounagananciaadicional correspondiente a US$ 0,007632; correspondiendo el pago del cupn a US$ 0,003816.___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 27 Cuadro 3. Clculo del Rendimiento Efectivo Anual (tasa nominal anual de 24%) Meses 36912 Total Anual Total Rendimiento Efectivo Periodicidad 1 0,240000,24000,240024,00% Periodicidad 2 0,120000,120000,2400 Reinversin 0,014400,01440,254425,44% Periodicidad 4 0,060000,060000,060000,060000,2400 1 Reinversin 0,003600,003600,003600,0108 2 Reinversin 0,003820,003820,00762 3 Reinversin 0,004040,004040,262526,25% Cuandollegaeltercertrimestre(almesnueve),elinversionistaestar recibiendoUS$0,06correspondientealtercercupndelainversin original;US$0,0036correspondientealsegundocupndelaprimera reinversinyUS$0,003816,correspondientealprimercupndela segundareinversin;parauntotaldeUS$0,067416,sumaquees reinvertidaal24%poreltrimestrequeresta;paraunaganancia adicional de US$ 0,00404496. De esta forma, al trmino del ao, el inversionista estar obteniendo un flujodeUS$0,06correspondientealcuartocupndelainversin original;US$0,0036correspondientealtercercupndelaprimera reinversin;US$0,003816correspondientealsegundocupndela segundareinversinyUS$0,00404496correspondientealaganancia adicional de la tercer reinversin. Deestamanera,puededefinirseloquesedenominarlaT Ta as sa a E Ef fe ec ct ti iv va a A An nu ua al l ( (T TE EA A) ) como la tasa potencialmente mxima que puede derivarsedeunainversin,silosflujosliberadossonreinvertidosala mismatasaymodoalosquefueronoriginadostalesflujos;la formulacin es la siguiente: = +

(3.2) ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 28 Comosepodrapreciar,laTEAaumenta,conformelohacela periodicidad, pero a una tasa decreciente, esto es, que cada vez que se aumentalaperiodicidaddepago,latasaefectivaaumentacadavez menos.Ellosedebeaqueelmontodeloscuponeses, consecuentemente,menor,loquerestapotenciaalcrecimientodelas ganancias adicionales provenientes de la capitalizacin de los intereses. Lo anterior puede apreciarse en el siguiente cuadro: Cuadro 4. Clculo de la Tasa Efectiva Anual (tasa nominal anual de 24%) PeriodicidadTasa Efectiva Anual 124,00% 225,44% 325,97% 426,25% 626,53% 1226,82% Los datos anteriores pueden graficarse de la siguiente forma: Como puede apreciarse claramente, la capacidad generadora de riqueza adicional de la capitalizacin de los intereses est limitada por el tamao Figura 3.2 Tasa Efectiva Anual (tasa nominal de 24%) ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 29 de los flujos; as, mientras mayor sea la periodicidad, menores sern los flujos y la riqueza crecer, por tanto, en forma decreciente con respecto a la periodicidad. Ejemplo 3-3 DeterminarlaTasaEfectivaAnualdeunrendimientonominalde27,8%, con una periodicidad bimensual. Partiendodelejemploplanteadoenelcuadro4.,sepodrageneralizar laaplicacindelaTasaEfectivaAnualparaconsiderarpagosms frecuentes, tal como aparece en el siguiente cuadro: Cuadro 5. Clculo de la Tasa Efectiva Anual, Anlisis de Convergencia al Inters Continuo (tasa nominal anual de 24%) PeriodicidadN Pagos al Ao Tasa Efectiva Anual Anual124,000% Semestral225,440% Cuatrimestral325,971% Trimestral426,248% 5Bimensual626,532% Mensual1226,824% Quincenal24,3327,054% Semanal52,1427,089% Diaria36527,115% Por Hora8.76027,124% Por Minuto525.60027,125% Por Segundo31.536.00027,125% Inters Continuo+27,125% Por ejemplo, qu ocurrira si los pagos se realizan en forma diaria? En tal caso la tasa efectiva anual sera: % 23 , 31 16% 8 , 271 1 16= ((

+ = ((

+ =PerPerTNTEA___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 30 2711 , 0 136524 , 01365= ((

+ = TEA Msanpodramosextenderelanlisisparasuponerqueelpagose hace en forma horaria: 2712 , 0 1760 . 824 , 01760 . 8= ((

+ = TEA Deigualmanera,silospagossedieraacadaminuto,latasaefectiva anualserade27,1249%,sisedieranacadasegundoserade 27,1249%;lo cual marca un proceso de convergencia asinttica a este valor; que se denominar la T Ta as sa ad de eI In nt te er r s sC Co on nt ti in nu uo o, y se expresa como: =

(3.3) Ejemplo 3-4 Calcular el rendimiento continuo para una tasa nominal de 32% anual. % 7128 , 37 132 , 0= = e RC ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 31 Ejercicios Propuestos 2 A este nivel de avance, nuestro amable lector se encuentra en capacidad de resolver algunos ejercicios que le permitan reafirmar conceptos y verificar su aprehensin de los nuevos conocimientos. 1.DeterminarelRendimientoEfectivo deunaestrategiadeinversinenlaqueel inversionistacolocasusrecursosaunao,renovndoloscadaaos,porel espacio de cinco aos, siendo los rendimientos de reinversin los siguientes: 2.Del cuadro precedente, cul es el Rendimiento Efectivo Anual? 3.HallarlaTasaEfectivaAnualparaunatasanominalde26,75%,siendola periodicidad mensual. 4.ConstruirlaformadelarelacinentrelaperiodicidadylaTasaEfectivaAnual, para una tasa nominal de 36% anual 5.HallarelValorActualdeunbonocuyatasadeintersfacialesde10%,con cupones pagaderos en forma trimestral, siendo el plazo de vencimiento 456 das y el rendimiento esperado del mercado es de 12%. 6.HallarelValorActualdeunasumafuturade$89,567,siendolatasade descuento del 13% anual y el plazo de cuatro aos y medio. 7.Determinar la tasa de inters continuo para una tasa nominal de 30%. Ao que inicia terminado el aoTasa Efectiva Anual0 0.14751 0.15002 0.15503 0.15254 0.1500___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 32 CASO 3. DEFINICIN DE EXPECTATIVAS HOMOGNEAS La definicin de la Tasa Efectiva Anual (TEA) supone un proceso de capitalizacin al plazo de trmino de la inversin, manteniendo constante el patrn de pagos original, de suerte tal que1 1 ((

+ =perperRNTEA Siendo esta la tasa que se emplea para hacer los clculos de descuento de los flujos para la determinacin del valor actual de una inversin financiera. Este procedimiento supone que seempleaelrendimientodelainversinaltrminodelainversin,porejemplo,sila inversin es a cinco aos, se empleara un rendimiento de 21,35%, de acuerdo al siguiente cuadro: Aos a trmino de la inversin Rendimiento Nominal Esperado 119,25% 220,00% 320,50% 421,00% 521,35% SupongaqueUstedestvalorandouninstrumentoacincoaos(nohaydasacumulados deintereses),laperiodicidadesanual,latasafacialesde25,00%yelmontodela inversin es de 100 millones de unidades monetarias. El rendimiento nominal esperado a ser empleado sera de 21,35%, el cual sera, a la vez, el rendimientoefectivoanual.Aldescontarlosflujosaestatasa,elfactordedescuento correspondiente ser de la forma tREfect FDescto) 1 (1) (+=Siendo el Rendimiento Efectivo definido como 1 ) 1 )....( 1 )( 1 )( 1 ( 1 ) 1 (1 3 2 2 1 1 0 + + + + = + t tttTIR TIR TIR TIR REfec Ahorabien,sisecumplieraque 0TIR1= 1TIR2= 2TIR3=.= t-1TIRtsepodraobtenerque (1+REfec) = [(1 + 0TIRt)t]1/t = (1 + 0TIRt). Es decir, el supuesto implcito en la utilizacin de la TEA como rendimiento efectivo anual es que la estructura de tasas es flat (plana). a.Cul sera el rendimiento efectivo?b.Culseraelvalordescontado,utilizandoparacadaaolarespectivatasaanual obtenida en forma implcita?c.Es diferente este valor actual en comparacin con el valor obtenido empleando la tasa efectiva anual como nica tasa de descuento? Por qu?d.Qu implicaciones tiene el supuesto de que la estructura de tasas sea plana?___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 33 4 4M ME ET TO OD DO OL LO OG G A A D DE EL L I IN NT TE ER R S S C CO OM MP PU UE ES ST TO O ( (T TI IC C) ) SemencionelsupuestobsicodelaMetodologadeIntersSimple (TIS)esquelosflujosquesonliberadosporlainversinnoson reinvertidos ni colocados en forma de inversin financiera, razn por la cual el inversionista deriva una rentabilidad lineal. AlaluzdelaM Me et to od do ol lo og g a ad de el lI In nt te er r s sC Co om mp pu ue es st to o( (T TI IC C) )se supondr,porelcontrario,quelosflujosquesonliberadosson reinvertidos,demaneraqueelinversionistaganainteresesadicionales provenientes de la capitalizacin de los intereses. Es decir, en cuanto a laaplicacindelaMetodologadeIntersCompuesto,nosubicaremos en el pas de los rendimientos efectivos. Ms an, esta metodologa supone que los flujos de intereses liberados por la inversin realizada son colocados bajo las mismas condiciones en quefuerealizadalainversinoriginal;esdecir,alamismatasadela inversinoriginal,conlamismaperiodicidadyconlamismafechade trminodelainversinoriginal;esdecir,seutilizarlaTasaEfectiva Anualcomolatasarelevantepararevelarlainformacinsobreel rendimiento alternativo contra el cual se valora el patrn de pagos que se tasa. Laformulacinmatemticadeestametodologaseestableceenlos siguientestrminos.SeaVNlariquezaqueelinversionistarecibiral trmino de N perodos. V0es la riqueza inicial que ser invertida; i ser la tasa de inters a la cual se capitalizar la inversin; de manera que se tendr:

=

+

(4.1) Deestaforma,VNserelvalorfuturodeunasumacapitalizadaN perodos a una tasa de inters i. De la misma forma, conociendo la tasa deintersdecapitalizacinesperada,elnmerodeperodos(N)yel monto de la suma futura, es posible hallar la suma actual de inversin; aesteclculo selellamarladeterminacin delV Va al lo or rA Ac ct tu ua al ldeuna suma futura, el cual se hallar de la siguiente forma: ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 34

=

+

(4.2) EnestecasoV0serllamadoelV Va al lo or rA Ac ct tu ua al ldeVN.Comoyahabr inferidonuestroamablelector,mientrasmsseanlosperodosde capitalizacin, ms crecer la riqueza del inversionista, sin embargo, se crecimientonopuedeserinfinito,estacotadoporlafrecuenciacon que se reciben los pagos. Ejemplo 4-1 Hallarelvalorcompuestodeunainversinde2.500.000aunatasade inters del 23%, a un ao, con pagos trimestrales. Dado que los pagos son trimestrales, se tendrn N = 4 perodos de pagoal ao. De ah que, Ejemplo 4-2 Calcular el Valor Actual de una suma futura de 4.450.000 que se recibir dentrodeunaoytresmeses,siendolatasadedescuentodel20% anual. = 360 +90 = 390 =4,450,0001+0.20390360

=4.450.0001,201.3=3,510,947.95 Partiendodelosconceptosanterioressepuededeterminarelvalor actualdeunainversin,elcualnoserotracosaquelasumadelos distintosvaloresactualesdelosflujosquegenerala inversin.Locual puede expresarse matemticamente de la siguiente forma: =

1 +

360

=1 (4.3) ( ) ( ) 17 , 522 . 126 . 3 423 . 01 000 . 000 . 500 . 2 140= + = + =NNi V V___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 35 Aqu, el Valor Actual de la inversin es la suma del valor actual de cada unodelosflujosquesonliberadosporlainversin.Deesta,manera, cadaflujodecajarecibido(FCt)sedescuenta,utilizandocomotasade descuento la Tasa Efectiva Anual. Dado que esta tasa est expresada en trminosanuales,laconsideracindelperododetiempoalquese descuenta tal flujo debe expresarse, tambin, en trminos anuales; por esaraznlosdasalvencimientodecadaperododepago(DVt)se expresan en trminos anuales al dividirse entre 360. Ejemplo 4-3 Calcular elValorActual de una inversin que vence en 196das, con una periodicidadtrimestral.Latasaderentabilidadfacialesde25%,latasa de rendimiento esperado es de 28% anual y el monto del valor facial del instrumento es de 46.090.000. PrimeramentedebecalcularselaTasaEfectivaAnual,enestecaso,latasa relevante para el inversionista comprador, es la tasa de rendimiento esperado (28%), que ser la utilizada en el clculo del TEA, como se ve: Luegodebencalcularselosflujosqueserecibirn:elprimerodentrode16 das,elsiguienteen106das,elltimo(dondeserecuperaelprincipal)en 196das.Elmontodelcupnserde2.880.625(=46.090.000x0,25x ); de manera que el Valor Actual sera: 610 . 767 . 47) 3108 , 1 (625 . 970 . 48) 3108 , 1 (625 . 880 . 2) 3108 , 1 (625 . 880 . 236019636010636016= + + = VA Al igual que en el clculo del Valor Presente a la luz de la Metodologa TIS,enlaMetodologaTIC,puedecalcularseelP Pr re ec ci io odeuna operacin, al dividir el Valor Actual entre el Valor Facial: =

(4.4) Porejemplo,paraelcasopropuestoenelEjemplo4-3,elpreciosera de: % 08 , 31 1428 , 01 1 14= ((

+ = ((

+ =PerPerRETEA___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 36 % 6399 , 103 100000 . 090 . 46610 . 767 . 47= = P Es decir, se estara concediendo al comprador un premio de 3,64% pese a que las tasas de mercado exigen una rentabilidad del 28%, en tanto queelactivofinancierovalorado,generariquezaaunatasaanualdel 25%,puesexisteunnmeroimportantededasacumulados.Deesta manera,paraelclculodelp pr re ec ci io ol li im mp pi io osedeben,primeramente calcularlosInteresesAcumulados,loscualesserestaranalprecio obtenido anteriormente: 051389 , 0 25 , 036074360= = = iDAIA Loquerepresenta,entrminosporcentualesconrespectoalvalor facial,unasumade0,051389%;de estamanera,elpreciolimpio ser 1,0363990,051389=0,9850198,50%,quesrefleja apropiadamenteelhechodequelatasadeintersdedescuentosea mayor que la tasa de inters facial Ejemplo 4-4 CalcularelValorPresentedelactivofinancierocuyascaractersticasse exponenenelEjemplo4-3.,utilizandolaMetodologaTISycompararlos resultados del Ejemplo 4-3. El precio sera 1,03418 103,042%. Si se elimina el impacto de los Intereses Acumulados, el precio limpio sera 97,90% < 98,50% que daba en el caso de la Metodologa de Tasa de Inters Compuesto. 63 , 985 . 491 . 47 000 . 090 . 4636019628 , 0 1360196 7425 , 0 136013601= ((

+((

+ += ((

+((

+ += VFDVREDV DAiVP___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 37 Como se aprecia, el Valor Presente calculado con la Metodologa TIS es ms alto que el calculado con la Metodologa TIC, ello se debe a que la metodologaTISnotomaencuentaelc co os st to od de el ld di in ne er ro oe en ne el l t ti ie em mp po o;elcualeselP PR RI IM ME ER RP PR RI IN NC CI IP PI IO OF FI IN NA AN NC CI IE ER RO OF FU UN ND DA AM ME EN NT TA AL L: u un nd d l la ar rh ho oy yv va al le em m s sq qu ue eu un nd d l la ar rm ma a a an na a . .Enestecaso, adems,seveinfluenciadoporelmontodelosinteresesacumulados, que el comprador deber reconocer al vendedor. Esta diferencia que se manifiesta aqu a favor de la Metodologa TIS con respecto a la Metodologa TIC (s se es sg go op pr ro o- -v ve en nd de ed do or r) se revierte si la diferencia entre las tasas facial y de mercado cambia de signo. En este caso,latasafacialesmenor quelatasademercado, porloque debe concederseunpremio(considerandoelp pr re ec ci io os su uc ci io o),queser mayorsisecalculapormedio de laMetodologaTICa sicalcularapor medio de la Metodologa TIS. Ejemplo 4-5 CalcularelValorPresenteconMetodologaTISyelValorActualcon MetodologaTICparalaoperacinexpuestaenelEjemplo4-3., considerando que el rendimiento esperado es del 20% anual. Primero, debe calcularse la TEA, que en este caso sera: Luego, el Valor Actual ser: Utilizando la Metodologa TIS, el Valor Presente ser: % 55 , 21 142 , 014= ((

+ = TEA( ) ( ) ( )31 , 827 . 609 . 49 2155 . 1625 . 970 . 482155 . 1625 . 880 . 22155 . 1625 . 880 . 236019636010636016= + + = VA30 , 402 . 357 . 49 000 . 090 . 46 36020 . 0 1360196 7425 . 0 136013601= ((

+((

+ += ((

+((

+ +=DVVFDVREDV DAiVP___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 38 Ejemplo 4-6 Determinarelvaloractualdeuninstrumentofinancieroquetiene735dasal vencimientoyquepagauninterstrimestral,siendoelvalorfacialde 100.000.000;latasadeintersfacialde25%yelrendimientoesperadode 28%. Cul sera el precio del instrumento? En este caso el precio del instrumento sera de 100,63%. Lainformacinqueaportaelcuadrodepagosdelejemploanteriorse desprendequelaformulacindelflujodecajadescontado,puede expresarse de la siguiente manera:

=

+

(4.5) Donde, =tFCD tFC X ( )360]^ 1 [tDVTEA + Flujo de Caja Descontado Flujo de CajaFactor de Descuento Valor Actual del Flujo Cantidad de bonos puros Precio del bono puro Deestamanera,sepuedeapreciarquecadaflujodecajadescontado eselresultadodelflujodecajarespectivoporelfactordedescuento correspondiente.Elvalordeestefactordedescuentonoestrivial; representa el valor actual de una unidad monetaria que se pagar en un plazo detiempo enelfuturo;esdecir,elvaloractualdeunacorriente depagosquecancelarasutenedorunaunidadmonetariadentrode untiempot;dadaunatasadedescuento.Aestosedenominael precio de un bono puro. Condiciones Das Flujo Factor Flujo deValor Facial100,000,000.00 N Pago Vcto de Caja Descto. Caja Desct.Tasa Facial 0.2500 1 15 6,250,000.00 0.988787 6,179,918.12Rendimiento Esperado 0.2800 2 105 6,250,000.00 0.924100 5,775,624.41Periodicidad 4 3 195 6,250,000.00 0.863645 5,397,779.82Das al Vencimiento 735 4 285 6,250,000.00 0.807145 5,044,654.045 375 6,250,000.00 0.754341 4,714,629.95Clculos Auxiliares 6 465 6,250,000.00 0.704991 4,406,196.21Periodo de Pago Cupn 90 7 555 6,250,000.00 0.658870 4,117,940.38Nmero de Pagos 9 8 645 6,250,000.00 0.615767 3,848,542.41Tasa Efectiva Anual 0.3108 9 735 106,250,000.00 0.575483 61,145,066.40Pago de Cupn 6,250,000.00 Valor Actual 100,630,351.75___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 39 Ahora bien, el precio de un bono puro, para un tiempo determinado y, dadaunatasadedescuento,porlacantidaddebonospuros (unidadesmonetarias)queseesperarecibirdentrodellapso correspondiente,deberadarporresultadoelvaloractualdelflujode caja esperado, valga decir, el flujo de caja descontado. As,por ejemplo,yrefirindonosalejemploanterior.Paraelmomento t=6 (el sexto pago), que se verificar en 465 das; el valor del flujo (que corresponde al monto del cupn) es de 6.250.000 unidades monetarias (esta es la cantidad de bonos puros); el precio correspondiente ser de0,704991porcadaunidadmonetariaquesepagueeneseplazo, dadaunatasaderendimientoesperadode28%anual.Luego,el productodelprecioporlacantidadhadeofrecerporresultadoel valoractualdeunasumafuturaqueseverificaraenunplazot, dada una tasa de rendimiento esperada. 4 4. .1 1P PE ER RP PE ET TU UI ID DA AD D6 6 La perpetuidad plantea cual sera el valor a invertir hoy con una tasa de mercadodadaparaobtenerunmontofijoCenformaperidicapor tiempo indefinido7.

=

(4.6) 6 Tomado de Brealey (2003).7 En Brealey (2003) se da el siguiente tratamiento algebraico a la frmula de patrn de pagos para obtener la frmula de perpetuidad: Se tiene el valor presente VO de un patrn de pagos dado por

=

1 + +

1 +2 +

1 + 3 + +

1 +

Se expresa C/(1+r) = a y 1/(1+r) = x para obtener

= + + 2 ++ 1 Multiplicando ambos lados por x se obtiene

= +2 ++

RestandoVO - VO*x se obtiene

= + + 2 + + 1

= 0 + + 2 + +

1 = El trmino xn se desprecia por considerarse cercano a cero. Sustituyendo se obtiene

1 11 +

=

1 +

1 11 + 1 + =

1 + 1 +

1 + 1 =

=

___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 40 Estaperpetuidadsepuedeexpresarcomouninstrumentosin vencimientodevalorfacialVFquepagauncupndeintersanuali cada periodo t. Este no devuelve el valor facial pero garantiza un monto peridico eternamente.

=

(4.7) Este tipo de instrumento lo vende el gobierno britnico bajo el nombre de perpetuidades. Ejemplo 4-7 Se quiere hallar el valor presente que se debe invertir hoy para garantizar una herencia a un hijo que le provea una manutencin de $2400 anuales enmontosmensualesportiempoindefinidoaunatasadeintersanual del 6%. Dadoquelatasadeintersesdel6%anualperolosmontossepagaran mensualmente,latasaseajustaa0.005(0,06/12)yelmontoainvertirhoypara garantizar la herencia es:

=$2000.005 = $40.000 Enelcasoquelaperpetuidadnoseaunmontofijoperidicosinoun monto que aumenta a una tasa g cada periodo, con g menor que r,se puede demostrar por lgebra lineal que la perpetuidad se calcula a valor presente como:

=

(4.8) DondeC1eselmontoinicialquepagalaperpetuidad,reslatasade descuento y g es la tasa a la que crece el monto cada periodo8. 8 En este caso se reordena la frmula de patrn de pagocomo

=

11 + 1 + +

11 + 21 +2+

11 + 31 + 3++

11 +

1 +

A partir de esta frmula se realiza un tratamiento algebraico muy similar al detallado para la perpetuidad para obtener laecuacin (4.8) ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 41 Ejemplo 4-8 Se quiere saber cunto se debe invertir hoy para garantizar un estipendio de $2400 pagado anualmenteque crece un2% anual para compensar la inflacin con una tasa de inters de 6% Dadoquelatasadeintersesdel6%anualylosmontosapagarson anuales no es necesario ajustar r ni g y el monto a invertir hoy para garantizar el estipendio es:

=$24000.06 0.02 = $60.000 4 4. .2 2A AN NU UA AL LI ID DA AD DE ES S9 9 Parattulosderentafija,losflujosdecajaqueelinversionistarecibe son iguales para distintos periodos de tiempo; cuando esto sucede y los periodos son consecutivos se utiliza el concepto de anualidad, que no es ms que el valor presente de dichos flujos. En este caso:

=

+

(4.9) Siendo N el nmero de perodos en que se recibe el mismo flujo. Ejemplo 4-9 Sequierehallarelvalorpresentedeunaanualidadde1500mensuales durante tres aos seis meses al 6% convertible mensualmente. Dadoquelatasadeintersesdel6%convertiblemensualmente,el inversionista recibir 0.005% cada mes (0,06/12) y el nmero de meses que deben considerarse son 42 (3 aos y seis meses).As, se tendr que: 9Tomado de Cascante (1996).( )45 , 697 . 56005 , 0005 , 1 1500 . 1420=((

=V___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 42 Ejercicios Propuestos 3 Aesteniveldeavance,nuestroamablelectorseencuentraencapacidad, nuevamente,deresolveralgunosejerciciosquelepermitanreafirmarconceptosy verificar su aprehensin de los nuevos conocimientos. 1.Determinarelvalorfinaldeunainversinqueserealizaadosaosplazo,con unaperiodicidadmensual,unatasadeinterscapitalizabledel25%anual, siendo la inversin inicial de 56.000.000. 2.Determinar el valor final de una inversin que se realiza a tresaos plazo,con unaperiodicidadmensual,unatasadeinterscapitalizabledel26%anual, siendo la inversin inicial de 60.000.000. 3.HallarelValorActualdeunasumafuturade67.800.000,siendolatasade descuento del 23% anual y el plazo de tres aos y medio. 4.Supongalaexistenciadeunttulovalorquepresentalassiguientes caractersticas: Valor nominal:1.500.000 colones Tasa Facial:24% pagadera semestralmente Das al vencimiento:270 Tasa de negociacin:20% anual Con base en esa informacin calcule y explique: (a) Tasa efectiva de rendimiento (b) Valor transado del ttulo en el mercado secundario (c)Qu diferencias habra en la valoracin por medio de la tasa de inters simple y la tasa de inters compuesto? A qu se deben las diferencias? 5.Calcular el precio limpio de un instrumento financiero que tiene un valor nominal de 1.045 millones de unidades monetarias;su tasa de inters facial es 25,25% anual,pagaderaenformasemestralyalquelerestan3.567dasparasu vencimiento. El rendimiento esperado de la operacin es de 24,38% 6.Hallarelvalordelatransaccindeuninstrumentofinancieroalquelerestan 789das,siendosuperiodicidadtrimestral,ysutasadeintersnominalde 20,5%. El rendimiento esperado es 22,25%. 7.Determinarelvaloractualdeunaanualidadde6aossobreunainversinde 25.000.000, a una tasa de 25% pagadero mensualmente. 8.Calcularelvaloractualdeunaanualidadquereconoceinteresesenforma quincenal para un periodo de 10 aos sobre un monto de 5.550.000, a una tasa del 30% anual. 9.Cul ser el valor actual de una anualidad de 2.500.000 a una tasa de 27,8%, si paga en forma trimestral a lo largo de 30 aos? ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 43 CASO 4. CLCULO DE TASA FUTURA IMPLCITA Seofrecendosalternativas:unbonocapitalizableadosaosconunatasadel20% anual(periodicidad1)yunbonoaunaoplazoconinteresespagaderosenforma trimestral, con una tasa del 15% anual, con la posibilidad de reinvertir el producto de tal inversin a un ao ms Cul debera ser la tasa efectiva a la que debera reinvertirse el bonoaunaoparaqueelinversionistaseaindiferenteentrelasdosalternativasde inversin? Le parece razonable? Qu recomendacin dara a un eventual inversionista que se enfrente a esta eleccin? CASO 5. DESPRENDIMIENTO DE CUPONES Calcule el precio de un instrumento que tiene las siguientes caractersticas. Cul sera elimpactoenelpreciosielinversionistaretieneelprimercupn?;Qupasasise desprende el ltimo cupn? Qu resultados se tendran mediante la aplicacin de la metodologa de inters simple? Valor Facial1.245 millones de colones Tasa Nominal35% anual Periodicidad2 Das al vencimiento650 Rendimiento de mercado27,5% CASO 6. SENSIBILIDAD DE VALOR ACTUAL ANTE CAMBIOS EN LA TASA DE DESCUENTO Tome la siguiente informacin y realice los clculos que se le piden. a.Calcule el Valor Transado con metodologa de tasa de inters compuesto. Son razonables los precios? Por qu?b.Tomando como referencia los valores faciales, calcule la proporcin en que se invierte cada activo. c.Calcule el rendimiento efectivo promedio del portafolio. d.Calcule el valor de mercado de la cartera. e.Suponga que, en este escenario base se genera una perturbacin: los rendimientos esperados en el mercado aumentan en un 1%; es decir, por ejemplo, que si el rendimiento esperado era de 20% pasa a 20,20% (=20%*1,01). Qu pasa con el valor de mercado de cartera? Qu pasa con el rendimiento promedio del portafolio? f.El inversionista, gana o pierde con la elevacin en las tasas, Por qu? Ttulo ATtulo B Valor Facial10.000.00052.625.000 Tasa Nominal16,50%17,00% Periodicidad42 DV97185 Rendimiento Esperado 18,50%19,00% ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 44 5 5C CA AS SO OS S E ES SP PE EC CI IA AL LE ES S Losejerciciosplanteadoshastaahoraconstituyen,porasdecirlo,los ejemplosdetextoyserefierenaloscasosestndar,con caractersticasgenricasypatronesdepagoshomogneos.No obstante, existen muchos instrumentos cuyas cualidades no reproducen estetipodepatronesdepagosydemandan,enocasiones,un tratamientoparticular,deacuerdoasuscaractersticas.Severnaqu algunos de esos casos, sin que por ello est lista sea taxativa. 5 5. .1 1B BO ON NO OS S C CE ER RO O C CU UP P N N Estetipodeinstrumentostienelacaractersticadequenoreconoce pagosintermediosdeintereses,raznporlacualelnicoflujoque recibeelinversionistaseverificahastaelvencimientodelinstrumento. Elpatrndepagospuede,entonces,definirseporelsiguiente diagrama: Dadoquesoloserecibirunpago,elPrecioquesepagueenel momento de compra (momento cero) ser equivalente al valor actual de lasumafuturaqueequivalealvalorfacial(VF).Enestecaso,elvalor actual del instrumento vendr dado por: =

+

(5.1) Figura 5.1 Patrn de Pagos de un Bono Cero Cupn ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 45 Donde VF es el valor facial o valor nominal del instrumento; DVt son los das al vencimiento y TEA, la Tasa Efectiva. Esta formulacin, pese a su sencillezcondensaunodelosconceptosmsimportantesdela matemticaaplicadalasoperacionesburstiles;yeslaposibilidadde crear una estructura de precios, ligados a instrumentos irreductibles. Si el valor facial, en la anterior ecuacin fuese 1, el valor actual que se obtendraseraelpreciounitario,demaneraque,paraelplazo correspondienteyelrendimientorespectivosetendraunprecioque podra aplicarse a cualquier monto. Porotraparte,dadoquesoloseverificaunpago,laperiodicidadde pagoes1,porloquelatasaefectivaanualcorresponderal rendimientonominalqueelinversionistaexigeporunainversinal plazo correspondiente10. Se podra crear una sucesin de bonos cero cupn con la caracterstica de que sus valores faciales sern de una unidad monetaria; los precios asobtenidossernlospreciosdemercadoparacadaplazo.Estetipo particular de ejercicio es lo que se denomina la construccin de b bo on no os s p pu ur ro os s . Los bonos puros de los que se hace mencin correspondern, entonces, aloquehemosdefinidocomolosfactoresdedescuentodelos respectivos flujos y estarn definidos por la formulacin:

=

+

(5.2) Deestamanera,cualquierflujodeingresosquegenereunainversin financierapuedeemularsepormediodeunconjuntodebonospuros, pues cualquier flujo que sea necesario descontar podra escribirse como elflujodecajaesperadoporelpreciodelbonopurocorrespondiente. 10Esto es cierto para inversiones cuyo plazo es superior al ao; para inversiones inferioresalao,esnecesariorealizaralgunosajustesquesevernenel siguiente apartado. ___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 46 Porotraparte,losrendimientos,correspondientesalosplazos respectivos, podran definir la estructura temporal de tasas de inters. Ejemplo 5-1 Calcularlaestructuradepreciosdelosbonospurosasociadosauna inversina10aosplazo;siendolatasaderendimientodelmercadode 25% anual y la periodicidad semestral. El cuadro de pagos ser el siguiente, de l, la columna que corresponde a los factores de descuento conformar la estructura de precios de los bonos puros paraunatasadedescuentodel25%anual,mediantelaaplicacindela formulacin anterior.

Ejemplo 5-2 CalcularelValorActualdeunBonoCeroCupnemitidoporelMinisterio deHacienda(TP-0)a18meses;siendoelValorFacialde35millonesde colonesyelrendimientoesperadode20%anualExistealguna diferencia con el Valor Presente obtenido por medio de la Metodologa de Tasa de Inters Simple? Por qu? El Valor actual vendra dado por: Aqu la tasa efectiva anual (TEA) es equivalente que el rendimiento esperado (que se usa en el descuento simple), por lo que la formulacin y el resultado aplicando la metodologa de inters simple es equivalente a la aplicacin de la metodologa de inters compuesto PrecioAos Bono Puro1 0.79012 0.62433 0.49334 0.38975 0.30796 0.24337 0.19228 0.15199 0.120010 0.094810 , 402 . 625 . 26) 2 , 0 1 (000 . 000 . 355 , 1=+= VA 0,00,20,40,60,81,01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Estructura de Precios de Bonos Puros___________________________________________________________ Matemtica Financiera de las Operaciones Burstiles Rodrigo Matarrita Venegas Pgina 47 5 5. .2 2C CU UP PO ON NE ES S Y Y T T T TU UL LO OS S D DE E U UN N S SO OL LO O P PA AG GO O C CO ON N V VE EN NC CI IM MI IE EN NT TO O M ME EN NO OR R A A U UN N A A O O Estaesunasituacinparticulardelcasovistoenelapartadoanterior paraelcasodelosBonosCeroCupn.Aqu,adiferenciaconelcaso anterior, an cuando se tendr un solo flujo, un solo pago, no se puede asumir que la periodicidad sea uno. Esto porque, por definicin, la periodicidad es el nmero de pagos que el inversionista espera recibir en el transcurso de un ao. Por ello, en el casoanterior,cuandoelplazodevencimientoessuperioralao,bien puedeasumirsequelaperiodicidadesunitariayquelatasade descuento (por el mtodo TIS o por el mtodo TIC) ser la misma, pues la tasa efectiva anual es igual que el inters simple. Noobstante,stenoeselcaso.Convienerecordarquenoshallamos haciendounaevaluacindesdelaperspectivadelinversionista comprador,raznporlacual,laperiodicidadrelevanteparael inversionista ser la aquella asociada a la cantidad de veces que podr renovar una inversin especfica al trmino de un ao. En este sentido, cuandoestamostratandoconinstrumentosfinancierosquetienenun solopagoysuvencimientoesmenora