Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO
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Programação 2011. Introdução.
Juros Simples.
Juros Compostos.
Equivalência de Capitais (Valor Presente e Valor Futuro)
Fluxos de Caixa equivalentes.
Taxas de Juros (Equivalentes, nominais, efetivas e reais).
Inflação e poder de compra.
Séries Uniformes
Sistemas de Amortização.
Análise de Investimentos.
22
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• Objetivos do curso
– Apresentar os principais conceitos de Matemática Financeira a partir do estudo do comportamento do dinheiro no tempo.
– Fornecer as principais ferramentas matemáticas para as demais disciplinas do curso de Formação em Finanças.
• Metodologia
– Apresentação de conceitos (expositiva / participativa)
– Análise de situações financeiras (expositiva / participativa)
– Resolução de exercícios com a HP 12-C e Excel.
33
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Regras do Jogo
Critério de avaliação
Avaliação Individual (80%)
Avaliações em grupo (20%)
44
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Introdução
5
Conceitos Fundamentais
Valor Presente ou Principal: é o quanto vale uma quantia hoje. Muitas
vezes é o valor inicial de uma operação.
Representado por VP ou PV
Valor Futuro ou Montante: é o valor de uma quantia numa data futura.
Representado por FV ou VF
Juros: Remuneração paga a quem possui os recursos financeiros, ou seja,
custo do dinheiro. Os Juros são geralmente expressos sob a forma de uma
taxa por tempo.
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Conceitos Fundamentais
Prazo: Tempo de duração de uma operação financeira.
Representado por n ou t
Juros: Remuneração paga a quem possui os recursos financeiros, ou
seja, custo do dinheiro. Os Juros são geralmente expressos sob a
forma de uma taxa por tempo.
Taxa de juros – expressa a razão entre os juros recebidos (ou
pagos) e o capital inicial empregado. Normalmente é
representada por i ou r.
1) Pode ser expressa na forma percentual ou decimal.
2) Sempre referida a uma unidade de tempo.
Introdução
Turma 6 – Prof. Ivail Muniz. 6
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Introdução
• Operação básica: Empréstimo
Capital inicial(PRINCIPAL)
+Capital inicial
Tempo
Juros
77
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IntroduçãoExemplo 1.
• Marcos tomou um empréstimo de $ 20 000,00. Um ano depois pagou $ 27 000,00. Qual o valor dos juros pagos? Qual a taxa de juros da operação?
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Conceito de Juros
É indiferente receber R$ 1.000,00 hoje
ou daqui a seis meses?
R$ 210 = juros
R$ 1.000 = capital inicial
1 semestre
Recebimento hoje
Recebimento daqui a 6 meses
Opções
tempo
capital inicial
= R$ 1.000
99
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Erros comuns:
Achar que $ 27000,00 valem mais que $ 20 000,00.
Achar que R$ 1000,00 têm sempre o mesmo valor que
R$1000,00.
Somar quantias referidas a épocas diferentes. O que é
melhor: comprar em 3 de R$1000,00 ou 6 de R$510,00?
10
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Introdução
Os três grande segredos da Matemática Financeira.
1) Como transportar o dinheiro no tempo.
2) Dinheiro e tempo – amigos inseparáveis.
(ao longo do tempo o valor do dinheiro muda devido à
inflação, alternativas de investimento, etc.)
3) Somar/subtrair quantias somente se estiverem na mesma
época.
1111
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Fator de Atualização
Um aliado importante: Fator de atualização.
Uma quantia, ao ser aumentada de uma taxa i, fica multiplicada por (1+ i).
Atenção!
Taxa = i
Fator = (1 + i)C C.(1 + i)
Taxa i
. (1 + i)
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Fator de AtualizaçãoExemplo 2.
1313
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Juros Compostos x
Juros Simples
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Juros Simples e Juros Compostos
• Regime de Capitalização – refere-se à forma como os juros são calculados.
– Juros simples – a taxa de juros incidirá apenas sobre o principal inicialmente aplicado.
– Juros compostos – a taxa de juros incidirá sobre o saldo devedor (principal mais os juros acumulados até aquele período)
151515
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Juros compostos Regime de Juros compostos
Suponha que Sr. Inocêncio tenha depositado R$1.000,00 em um banco
que lhe paga juros de 10% a.a., no regime de juros COMPOSTOS. Para tal,
a aplicação deverá permanecer no banco por 5 anos. Qual o saldo dessa
aplicação ao fim dos 5 anos?
AnoSaldo no
Início Juros Saldo no Fim
1 R$ 1.000,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.100,00
2 R$ 1.100,00 0,10 x 1.100 = 110 R$ 1.210,00
3 R$ 1.210,00 0,10 x 1.210 = 121 R$ 1.331,00
4 R$ 1.331,00 0,10 x 1.331 = 133,10 R$ 1.464,10
5 R$ 1.464,10 0,10 x 1.464,10 = 146,41 R$ 1.610,51
1616
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Juros compostosUm capital inicial C0 , aplicado a uma taxa i durante n períodos, transforma-se em um capital Cn dado por:
n
0n)i1.(CC
De outro modo,
n
)i1.(VPVF
17
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Juros compostos Regime de Juros compostos
Suponha que Sr. Inocêncio tenha depositado R$1.000,00 em um banco
que lhe paga juros de 10% a.a., no regime de juros COMPOSTOS. Para tal,
a aplicação deverá permanecer no banco por 5 anos. Qual o saldo dessa
aplicação ao fim dos 5 anos?
AnoSaldo no
Início Juros Saldo no Fim
1 R$ 1.000,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.100,00
2 R$ 1.100,00 0,10 x 1.100 = 110 R$ 1.210,00
3 R$ 1.210,00 0,10 x 1.210 = 121 R$ 1.331,00
4 R$ 1.331,00 0,10 x 1.331 = 133,10 R$ 1.464,10
5 R$ 1.464,10 0,10 x 1.464,10 = 146,41 R$ 1.610,51
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Juros compostosUm capital inicial C0 , aplicado a uma taxa i durante n períodos, transforma-se em um capital Cn dado por:
n
0n)i1.(CC
De outro modo,
n
)i1.(VPVF
1919
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Juros compostos
No sistema de Juros compostos:
A taxa incide sobre o SALDO DEVEDOR do período anterior.
o crescimento do capital investido/devido é exponencial ao
longo do tempo (o montante cresce em P.G. - Progressão
Geométrica)
2020
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Juros compostos
Cristina tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros de 12% ao
mês. Qual será a dívida de Cristina quatro meses depois? E após 1
semestre? Após quanto tempo a dívida de Cristina triplica?
Exemplo 1.
2121
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Exemplo 2.Juros compostos
2222
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Uma empresa aplica R$ 250.000,00 em um investimento que
proporciona juros de 2% a.m., durante 6 meses. Depois dos 6 meses,
recebe a oferta de um investimento que rende juros de 5% ao
bimestre, e aplica o montante da aplicação anterior por mais 6
meses nesse novo investimento.
a) Qual o montante após 1 ano dessa dupla aplicação?
b) Qual a taxa de juros anuais da operação?
c) Qual a rentabilidade, em reais, da operação?
Exemplo 3.
Juros compostos
23
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Carlos aplicou uma determinada quantia em um fundo de
investimentos de modo que após 1 ano e meio o capital aplicado
aumentou de 150%. Qual a taxa média de juros mensais desse
investimento?
Exemplo 4.
Juros compostos
2424
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João investiu um capital, nos seis primeiros meses do ano à taxa
de 5% a.m. Querendo que o seu capital inicial tenha um
rendimento de 120% ao final desse ano, determine a taxa de juros
dos próximos seis meses para garantir a rentabilidade desejada?
Exemplo 5.Juros compostos
25
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Um investidor pagou R$ 100.000,00 por um título de renda fixa,
com um prazo de 60 meses e taxa de juros de 18% a.a. Dois anos
depois precisando dos recursos aplicados, vendeu o título no
mercado. Determine o valor recebido pelo investidor, sabendo-se
que, no momento da venda, a taxa de juros era de 25% a.a.
Exemplo 6.Juros compostos
26
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Observações:
– Para a correta utilização dessa fórmula, a taxa de juros i e oprazo n devem estar referenciados a uma mesma unidade detempo; Ex: 2% a.m, num prazo de 1 ano, significa n=12)
– O prazo (n) pode ser fracionário; por exemplo, se as taxasforem mensais, n = 0,5 corresponde a 15 dias;
– Antes de utilizar a HP, verifique se os registradores financeirosestão limpos;
Juros compostos
27
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Juros Simples
Regime de Juros Simples
Suponha que Sr. Inocêncio tenha depositado R$1.000,00 em um banco
que lhe paga juros de 10% a.a., no regime de juros SIMPLES. Para tal, a
aplicação deverá permanecer no banco por 5 anos. Qual o saldo dessa
aplicação ao fim dos 5 anos?
Ano Saldo no Início Juros Saldo no Fim
1 R$ 1.000,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.100,00
2 R$ 1.100,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.200,00
3 R$ 1.200,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.300,00
4 R$ 1.300,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.400,00
5 R$ 1.400,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.500,00
28
![Page 29: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/29.jpg)
00nC.i.nCC
VP.i.nVPVF
De outro modo,
Um capital inicial C0 , aplicado a uma taxa i durante n períodos, transforma-se em um capital Cn dado por:
Juros Simples
29
![Page 30: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/30.jpg)
• Jéssica deseja pagar uma dívida inicial de R$ 3000,00 com 10 diasde atraso. Se a taxa cobrada é de 6% ao mês, no sistema de jurossimples, determine o valor do pagamento para quitação. E se oatraso fosse de 30 dias? E de 50 dias?
Exemplo 1.
Juros Simples
30
![Page 31: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/31.jpg)
Manoel toma um financiamento bancário de R$ 100.000,00 com
vencimento em 1 semestre, a uma taxa de 3% a.m., no regime de
juros simples. Qual o valor a ser pago na data do vencimento?
Um principal igual a 2/3 do Montante foi aplicado a juros simples
por um período de 2 meses. Qual taxa mensal obtida na operação?
Exemplo 2.
Exemplo 3.
Juros Simples
3131
![Page 32: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/32.jpg)
os juros de cada período são calculados com base no
CAPITAL INICIAL(PRINCIPAL).
o crescimento do capital investido é LINEAR ao longo do
tempo (crescem em P.A. - Progressão Aritmética).
Juros e tempo são proporcionais – Regra de três!
No sistema de Juros simples:
Juros Simples
32
![Page 33: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/33.jpg)
Juros mistos (Convenção Linear)
).1.()1.(s
riiVPVF n
Incidência de Juros compostos durante os períodos inteiros de
capitalização, seguida da incidência de juros simples durante os
períodos fracionários (não inteiros) de capitalização.
33
![Page 34: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/34.jpg)
Juros mistos (Convenção Linear)
Há duas formas de se calcular:
1 – Considerar juros compostos durante os 3 meses e 10 dias. Esta é
a chamada convenção exponencial. O montante é
5200*(1+0,06)^(3+10/30) = 6314,75 reais
2 –Considerar juros compostos em três meses, e depois juros
simples nos dez dias seguintes aplicados a este valor. Esta é a
chamada convenção linear, usada quando nos cobram juros. O
montante é 5200*(1+0,06)^3*(1+10/20), o que resulta em 6
317,15 reais. Essa é a convenção Linear.
Qual é o montante de um principal de R$ 5200,00 a juros de 6%
ao mês após 3 meses e 10 dias de aplicação?
Exemplo 6.
34
![Page 35: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/35.jpg)
Equivalência de Capitais.
![Page 36: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/36.jpg)
Equivalência de Capitais
O dinheiro varia no tempo
R$ 1.000,00 hoje não são iguais a R$ 1.000,00 daqui a um
mês!
Por que?
Para deslocar o dinheiro no tempo, precisamos ter uma
Com ela, o dinheiro “anda para frente”, ou seja, é capitalizado.
Com ela, o dinheiro “anda para trás”, ou seja, é descontado.
36
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• Dois ou mais capitais são equivalentes se têm o mesmo valorquando referidos à mesma mesma época (comparados em umamesma data focal – data de comparação).
• Se dois (ou mais) capitais forem equivalentes em umadeterminada data focal, serão também equivalentes emqualquer outra data focal.
Equivalência de Capitais
37
0 1 2 3
C1
n
C2
C3
Cn
....
n
n
i
C
i
C
i
C
i
C
)1(...
)1()1()1( 3
3
2
2
1
1
![Page 38: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/38.jpg)
Para obter o valor futuro (após n períodos), basta multiplicar o presente por
n
i1
VP VF
n períodos
nix 1
n
)i1.(VPVF
Para obter o valor presente,(voltando n período) basta dividir o futuro por
ni1
VP VF
n
i1
n períodos
Equivalência de Capitais
38
![Page 39: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/39.jpg)
Francisco pegou uma quantia emprestada em Janeiro, a juros de
5% ao mês, com o compromisso de pagar tudo até JUNHO. Para
seu espanto, sua dívida em Abril era de R$ 11 576,25. Sabendo
que não efetuou nenhum pagamento da dívida nesse período,
responda aos itens abaixo
JAN FEV MAR ABR MAI JUN
11 576,25
a) Qual foi o valor do empréstimo feito por Francisco?
b) Preencha a tabela acima com os valores da dívida a cada mês
Equivalência de Capitais
Exemplo 1.
39
![Page 40: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/40.jpg)
Uma duplicata no valor de R$ 50.000,00 a ser paga daqui a 2
meses e outra de R$ 75.000,00 a ser paga daqui a 6 meses
devem ser liquidadas por um pagamento único a ser efetuado
daqui a 4 meses. Calcule este pagamento, à taxa de juros de
5% ao mês.
Exemplo 2.
Equivalência de Capitais
40
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Júlio tomou um empréstimo de R$ 3000,00 a juros mensais de
5%. Dois meses após, pagou R$ 750,00 e, um mês após esse
pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último
pagamento?
Exemplo 3.
Equivalência de Capitais
41
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Um equipamento está a venda por R$ 20.000,00 de entrada e
R$ 20.000,00 após 6 meses. Um comprador propõe dar uma
entrada e pagar R$ 25.000,00 como segunda parcela, porém
somente depois de 8 meses após a compra. Neste caso, qual o
valor da entrada, considerando uma taxa de juros de 2% ao
mês?
Exemplo 4.
Equivalência de Capitais
42
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Arthur tomou um empréstimo de R$ 10.000,00 a juros mensais de
6% ao mês. No primeiro mês, pagou R$ 3.000,00; no segundo mês
pagou R$ 5.000,00 e no quarto mês quitou a dívida. Qual o valor
desse último pagamento?
Exemplo 5.
Equivalência de Capitais
43
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Uma empresa comprou um equipamento no valor de R$
200.000,00. O fornecedor ofereceu duas opções de
pagamento:
I – Pagamento à vista com 5% de desconto;
II – Pagamento a prazo em 4 vezes sem juros, para (30, 60, 90 e
120).
Suponha que a empresa tenha o dinheiro para pagar à vista, e
que a que tem disponível um taxa de investimento de 2% ao
mês.
Qual a melhor opção para a empresa?
Exemplo 6.
Equivalência de Capitais
44
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Uma empresa tem 3 dívidas cujos valores de face e prazo são
R$ 100.000,00 a vencer em 180 dias; R$ 220.000,00 a vencer
em 240 dias e R$ 370.000,00 a vencer em 540 dias. Ela deseja
liquidar todos os pagamentos daqui a 360 dias. Qual o valor do
pagamento, considerando uma taxa de juros de 15% a.a.?
(considere o ano comercial)
Exemplo 7.
Equivalência de Capitais
45
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Uma pessoa abre uma conta em uma instituição financeira que
paga 2% a.m sobre o saldo credor, depositando R$ 15.000,00.
Após 6 meses, necessitando de dinheiro retira R$ 7.000,00. Nos
dois meses seguintes, deposita, sendo R$ 1.000,00 no primeiro e
R$ 2.000,00 no segundo. Trinta dias após o último depósito, o
correntista efetua um saque de R$ 5.000,00. Qual é o saldo desta
conta, um ano após a sua abertura, considerando que nenhum
saque ou depósito fora efetuado desde o último saque?
Equivalência de Capitais
Exemplo 8.
46
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Taxas de Juros e Descontos
“Este assunto causa uma confusão
considerável, pois as taxas são cotadas das
maneiras mais diversas possíveis. Algumas
vezes a maneira pela qual a taxa é cotada é
resultado de alguma tradição, outras vezes é
determinado pela legislação. Infelizmente, às
vezes as taxas são cotadas de maneira
deliberadamente enganosa para confundir
tomadores de empréstimos e investidores.”
Ross, Westerfield e Jordan
47
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Taxas Equivalentes
• Duas taxas são equivalentes se, aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmo período de tempo, proporcionarem o mesmomontante.
• Se a taxa de juros relativamente a um determinado período de tempo é igual a i, a taxa de juros equivalente a n períodos de tempo é I, tal que
n)i1(1 I
48
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• Considere uma taxa de juros de 5% a.m. Determine as taxasbimestral, semestral e anual equivalentes.
• Taxa bimestral.
• Taxa semestral.
• Taxa anual.
Taxas Equivalentes
Exemplo 1.
49
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Taxas nominais e efetivas
• Exemplos:
– 12% a.a. capitalizados mensalmente 1% a.m.
– 24% a.a. capitalizados trimestralmente 6% a.t.
– Clássicos de Mercado no Brasil: Tabela Price e Taxa Over
Um erro muito comum é achar que juros de 5% a.m equivalem a jurosde 12x5% = 60% ao ano.
Taxas como 5% ao mês e 60% ao ano são ditas taxas proporcionais, poisa razão entre elas é igual à razão dos períodos aos quais elas se referem.
Taxas proporcionais não são taxas equivalentes!
Um (péssimo) hábito do Mercado é o de anunciar taxas proporcionaiscomo se fossem equivalentes.
50
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Taxas nominais e efetivas
• Exemplos:
– 12% a.a. capitalizados mensalmente 1% a.m.
– 24% a.a. capitalizados trimestralmente 6% a.t.
– Clássicos de Mercado no Brasil: Tabela Price e Taxa Over
Taxas Nominais
não condizem com os juros efetivamente pagos
precisam ser interpretadas e devidamente convertidas para
TAXAS EFETIVAS, pois essas correspondem aos juros
efetivamente pagos
Taxas nominais são taxas proporcionais e não equivalentes.
5151
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Taxas nominais e efetivas
Caderneta de Poupança rendendo 6% ao ano, capitalizadosmensalmente. Qual a taxa anual equivalente?
A (falsa) taxa de _____ ao ano é dita taxa nominal.
A taxa (verdadeira) de ______ ao ano é dita taxa efetiva.
Exemplo 2.
5252
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Taxas nominais e efetivas
Um dos exemplos mais clássicos que podemos adotar para exemplificar a utilização de taxas nominais é a tradicional Caderneta de Poupança. Ela oferece atualmente ao aplicador (poupador) uma rentabilidade de 6% ao ano, capitalizados mensalmente, mais a TR. Ou seja, a poupança tem um rendimento que é definido por uma taxa nominal, pois mesmo com a TR igual a zero, a poupança não renderá 6% ao ano.
53
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Taxas nominais e efetivas
54
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Taxas nominais e efetivas
Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 15% ao ano,
capitalizados bimestralmente?
Um empresário necessitando de capital de giro, resolve captar
recursos. O Banco “A” cobra em seus financiamentos uma taxa de
34% a.a., capitalizados anualmente, enquanto a taxa do Banco “B”
é 30% a.a., capitalizados mensalmente (tabela price, por
exemplo). Qual é a menor taxa de financiamento para o
empresário?
Exemplo 3.
Exemplo 4.
55
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Inflação e poder de compra
Inflação: perda do poder de compra por parte de uma
moeda
Correção Monetária: atualização (incremento – em geral)
do valor do dinheiro no tempo a fim de manter o poder
de compra daquela quantia.
Correção Monetária e Inflação: conceitos irmãos
Jamais confunda Juros com Correção Monetária!!!
56
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Inflação e poder de compraConsidere:
• Inflação de 5% ao ano;
• Investimento com retorno de 15,5% a.a (chamada taxa nominal)
Você tem R$ 100,00.
20 pizzas de R$ 5,00
Você tem R$ 115,50.
Mas a pizza custa R$5,25
Quantas pizzas agora?
22 pizzas
Aumento de 10% no poder de compra.
Essa taxa é chamada de taxa de juros real!
1 ano
57
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Taxa real e taxa aparente Efeito Fisher:
Relação entre taxa de retorno real, nominal(aparente) e inflação
A taxa nominal de um investimento representa a variação percentual
da quantidade de dinheiro que você possui;
A taxa real de um investimento representa a variação do quanto você
pode comprar com o dinheiro, ou seja, a variação percentual do poder
aquisitivo.
rji 111 Nominal
58
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Taxa real e aparente - o efeito da Inflação
Uma pessoa emprestou R$ 1.000,00 por um mês, combinando receber
R$ 1.100,00 em um mês. Se a inflação naquele mês for de 2%, qual a
taxa real de juros nesta operação?
Ao final de um ano, João teve um aumento de salário de 20%. Mas a
inflação mensal foi de 0,5% a.m. Qual o aumento real do poder de
compra de João em um ano?
Exercício 1.
Exercício 2.
59
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Seja uma aplicação que paga 1,2% a.m. Levando-se em conta o
Imposto de Renda (20%) pago na fonte e uma inflação mensal de
0,5%, calcule a taxa real de juros da aplicação.
Refaça o exercício anterior para o caso da poupança, supondo
que esta tenha um rendimento mensal de 0,6%.
E se a poupança render os mesmos 0,6% contra 1% de inflação?
Taxa real e nominal - o efeito da Inflação
Exercício 3.
60
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Descontos
• As operações de desconto representam a antecipação dorecebimento ou pagamento de valores futuros, representadospor títulos (nota promissória, duplicata etc.).
• O desconto é a diferença entre o valor nominal de um título(o seu valor no vencimento) e o valor pago antecipadamente(valor descontado).
VPVFD
61
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Desconto Bancário
6262
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Desconto Bancário
É calculado aplicando-se a taxa de desconto sobre o valor
nominal (valor futuro) do título, no regime de juros simples
A taxa de juros implícita da operação é sempre maior que a
taxa de desconto e cresce com o tempo!
ndVFVP 1
A diferença VF – VP é chamada de desconto.
63
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Joana quer descontar uma nota promissória de R$ 5.000,00, com vencimento em 90 dias, em um banco cuja taxa de desconto é 4% aomês. Quanto Joana receberá hoje? Qual taxa mensal de juros que Joana está pagando?
Resolução:VP = VF.(1- d.n)
VP = 5000*(1 - 0,04*3) = 4 400,00
Logo Joana receberá agora 4400 reais para pagar 5000 reais em 90 dias. Se i é a taxamensal de juros, 5000=4400.(1+i)3. Daí, i 4,35%.
De outro modo:
Desconto = VF*n*d=5000*3*0,04 = 600Valor Resgatado = VF – D = 5000 – 600
= 4 400,00
Desconto BancárioExemplo 1.
64
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Desconto Bancário
65
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Rita, uma micro empresária, deseja antecipar os valores dos cheques querecebeu de seus clientes, que somavam R$ 5.000,00 ao todo. Antes defalar com o gerente do BIGBANK, acessou o site desse banco, obtendo asseguintes informações
a) Qual o valor do resgate com o desconto?
b) Qual taxa mensal de juros que Rita realmente está pagando?
Desconto BancárioExemplo 2.
66
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Desconto racional composto
nd1VPVF
O desconto racional composto é exatamente uma operaçãoinversa da capitalização composta.
A taxa de desconto é igual à taxa anunciada.
nd1
VFVP
67
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Desconto racional composto
Joaquim tem uma aplicação para resgate de R$ 1.500,00 em 4
meses e deseja antecipar a retirada. Determine o valor de
resgate, a uma taxa de 6% ao mês no regime de desconto
racional composto.
Exemplo 3.
68
![Page 69: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/69.jpg)
Desconto racional composto
Marcos pegou um financiamento no IVABANK, para pagar em 30 parcelas
de R$ 477,34, que vencem dia 04 de cada mês. Após pagar 26 parcelas,
deseja pagar as 4 restantes no dia 04 de novembro de 2010. Para saber
quanto deveria pagar a quitar a dívida, Iranildo acessa o site do BANCO,
no dia 04, e imprime a tabela abaixo .
Como poderíamos ter certeza que os valores da tabela, calculados pelo
BANCO, estão corretos, se a taxa desse financiamento foi de 2,24% ao
mês?
Exemplo 4.
69
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Um banco efetua descontos de promissórias, dois meses antes do
vencimento, à taxa de 4% ao mês, mas exige que 10% do valor da
face da promissória sejam aplicados em um CDB (certificado de
depósito bancário) que rende 3% nesses dois meses. Determine a
taxa mensal de juros para quem toma financiamento nesse banco.
Descontos
Exemplo 5. (Especial)
70
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Séries Uniformes
“Quase todos os financiamentos a consumidores (veículos,empréstimos consignados, imobiliários,...) têm comocaracterística uma série de prestações constantes, geralmentemensais” (Ross, 2008, p. 134)
71
![Page 72: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/72.jpg)
Séries Uniformes
• Série é uma sequência de quantias (pagamentos, prestações,
termos, etc) referidas a épocas diversas.
• A Série é dita uniforme quando as quantias possuem o mesmo valor
e estão igualmente distribuídos no tempo. As séries uniformes,
também chamadas de Anuidades, podem ser:
Postecipadas;
Antecipadas;
Diferidas.
“Quase todos os financiamentos a consumidores (veículos, empréstimosconsignados, imobiliários,...) têm como característica uma série de prestaçõesconstantes, geralmente mensais” (Ross, 2008, p. 134)
72
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Séries Uniformes Se a primeira prestação for paga um mês após a compra(final do
período), as prestações são ditas postecipadas.
Se a primeira for paga no ato da compra, as prestações são ditas
antecipadas.
PMT
VP
PMTPMT
1 2 ... n
PMT
0
PMT
VP
PMTPMT
1 2 ... n -1
PMT
0
PMT
7373
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Séries Uniformes
0
1 2 3 4 n-1 n
PMT
iPV
0
1 2 3 4 n-1 n
PMTi
PV
0 1 2 3 4 n-1
n
PMT
i FV
0 1 2 3 4 n-1
n
PMTi
FV
7474
![Page 75: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/75.jpg)
i.i1
1i1.PMT
)i1(
PMTPV
n
nn
1j
j
n – 10 1 n2 3
P PPP P
n1n32 )i1(
P
)i1(
P...
)i1(
P
)i1(
P
)i1(
PPV
i
1)i1(.
)i1(
PPV
n
n
Séries Uniformes
75
![Page 76: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/76.jpg)
i1
P'P
• Se a primeira for paga no ato da compra (prestações antecipadas) basta dividir o valor de cada prestação postecipada por (1+ i).
n – 20 1 2 n – 1 n0
P’ P’P’P’ P’P`
Séries Uniformes
7676
![Page 77: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/77.jpg)
Séries Uniformes
Um bem, cujo preço à vista é R$ 20.000,00, é vendido em seis
prestações mensais iguais. Se os juros são de 5% a.m. determine
as prestações:
a) sendo a primeira um mês após a compra;
b) com a primeira no ato da compra.
c) com a primeira dois meses após a compra.
Exemplo 1.
77
![Page 78: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/78.jpg)
Uma empresa contrai um empréstimo no valor de $ 100.000,00,
com um banco, que lhe ofereceu três possibilidades de
financiamento. Determinar o valor das prestações, sabendo-se que
o financiamento deve ser pago em 24 prestações mensais e iguais,
com um taxa de 2% a.m., se
a) a primeira prestação for paga um mês após a compra;
b) a primeira prestação for paga três meses após a compra;
c) uma entrada de 15% for dada, e o financiamento iniciado quatro
meses após a compra.
Séries UniformesExemplo 2.
78
![Page 79: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/79.jpg)
Os computadores de sua empresa precisam ser trocados a cada 2 anos a
um custo de R$ 25.000,00. Estime o valor a ser depositado mensalmente
em um fundo pré-fixado (taxa de 1,25% a.m.) a fim de cobrir tais
gastos.
Obs. A aplicação no fundo se dá no início do período.
Séries UniformesExemplo 3.
79
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Séries UniformesExemplo 4.
80
Uma micro empresa compra um equipamento em 24 prestações mensais
de R$ 500,00, com a primeira sendo paga um mês após a compra, e 4
semestrais de R$ 1.500,00, sendo a primeira semestral paga 6 meses
após a compra. A taxa acertada foi de 1,5% ao mês. Determine o valor
do equipamento à vista.
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Uma empresa deseja reprogramar o pagamento dos 3
compromissos abaixo em 12 parcelas mensais e iguais vencendo a
primeira hoje. Determine o valor mensal do refinanciamento,
considerando uma taxa de juros composta de ganho real de 2%
para o financiado com uma inflação anual estimada em 6,0% a.a.
1) NP de R$ 1.500,00 a vencer em 10 meses
2) Empréstimo de R$ 400,00 com 6 meses de prazo contraído há 2
meses a 5% de juros ao mês;
3) NP de R$ 2.000,00 com vencimento em 1 ano.
Séries UniformesExemplo 5.
81
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Séries UniformesExemplo 6.
82
Um empresário tomou um financiamento de $ 75.000,00, para ser pago em 15
prestações mensais, iguais e postecipadas a uma taxa de 1% a.m.
Imediatamente após o nono pagamento, o empresário propôs uma
renegociação ao banco, que REFINANCIOU O SALDO DEVEDOR em 12 prestações
mensais iguais, todas de mesmo valor, a serem pagas três meses após essa data
do refinanciamento. Determinar o valor das novas prestações mensais,
sabendo que a taxa de juros da operação aumentou 50% em relação à taxa do
financiamento anterior.
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Séries Uniformes - Perpetuidades.
Definição: trata-se de uma extrapolação da anuidade até o infinito
VP (perpetuidade) = PMT / i
PMT
VP
PMTPMT
1 2 3 ...
PMT
0 ...
83
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Séries Uniformes - Perpetuidades.“Eterno enquanto ...”
84
Exemplo
Determinar o valor do investimento necessário para garantir
recebimento mensal postecipado de R$ 10.000,00, sabendo-se
que a taxa de juros é de 1% a.m.
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Exercícios Complementares
Uma micro empresa compra um equipamento em 24 prestações
mensais de R$ 500,00, com a primeira sendo paga um mês após
a compra, e 4 semestrais de R$ 1500,00, sendo a primeira
semestral paga 6 meses após a compra. A taxa acertada foi de
1,5% ao mês. Determine o valor do equipamento à vista
Exercício 1
Séries Uniformes
85
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Numa compra efetuada, o cliente teve o saldo devedor financiado em 3
prestações quadrimestrais de R$ 5.000,00. Contudo, para evitar esta
concentração nos desembolsos, o cliente solicitou a transformação do
financiamento em 12 prestações mensais. Se a taxa de juros da loja for
de 2% a.m., qual o valor das prestações mensais?
Exercícios ComplementaresSéries Uniformes
Exercício 2
86
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A empresa Beta quer alugar um equipamento, cujo preço à vista é
de R$ 300.000,00. As condições do fornecedor são: 36 prestações
mensais e iguais, sendo o valor residual após o pagamento da 36ª
prestação igual a R$ 51.274,19. Se a taxa do financimento é de
1,5% a.m., determine o valor da prestação mensal?
Exercícios ComplementaresSéries Uniformes
Exercício 3
87
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Na compra de um carro zero, a família AFOBADA, está prestes a fazer o seguinte negócio:
Valor do carro À vista: R$ 30.000,00
Valor do carro da família = R$ 14.000,00. (em bom estado de conservação, e com baixo
custo de manutenção)
Taxa do financiamento = 1,5% ao mês.
Número de prestações = 48 mensais, com a primeira para daqui a 30 dias.
TAC – Taxa de abertura de crédito = 800,00 (pode ser paga à vista ou somada ao valor a
ser financiado).
Especialistas dizem que uma família não deve comprometer mais de 30% da renda
familiar com um financiamento.
Determine:
a) o valor da prestação, se a família pagou o TAC à vista;
b) o valor da prestação, se a família optou por financiar a TAC junto com o saldo devedor;
c) Se a renda mensal da família é de R$ 1500,00, a opção de compra do carro é
recomendável?
d) De quanto deveria ser a renda mensal para que a prestação representasse apenas 20% da
Renda mensal dessa família?
Séries UniformesExercício 4.
88
![Page 89: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/89.jpg)
Júlia tem duas alternativas para obter uma copiadora:
a) Alugá-la por R$ 360,00 ao ano, ficando a manutenção por conta do
locador;
b) Comprá-la por R$ 1500,00. Nesse caso, Julia ficará responsável pelas
despesas de manutenção, que são de R$ 50,00 por ano, nos dois
primeiros anos, e de R$ 80,00 por ano, nos anos seguintes. Considere
que a máquina tem vida econômica de 5 anos, com valor residual de
R$ 200,00(venderá a máquina nesse preço).
Se a taxa mínima de atratividade é de 7% ao ano, qual deve ser a
opção de Júlia?
Exercícios ComplementaresSéries Uniformes
Exercício 5 – Alugar ou comprar?
89
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0 1
- 50
5
- 50 - 80 120
2 3
-1500
4
- 80
0 1 2 3
P
5
P P PP
4
ALUGAR OU COMPRAR? – Fluxos que ajudam!Exercício 5 – Alugar ou comprar?
90
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Qual é a quantia que uma pessoa que acabou de completar 30 anos
de idade deve depositar mensalmente num fundo de investimento
que rende 1% a.m., de modo a assegurar uma renda mensal após sua
aposentadoria de $ 5.000,00 durante 30 anos? Suponha que a
aposentadoria desta pessoa ocorra aos 55 anos e que as prestações
pagas e recebidas ocorram no final de cada mês.
Exercício 6 – Previdência Privada.
Exercícios ComplementaresSéries Uniformes
9191
![Page 92: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/92.jpg)
A tabela abaixo mostra o valor de um carro com k anos de uso, com 0 k 5, bemcomo os gastos anuais de manutenção e operação. O valor do carro refere-se ao iníciodo ano e os gastos são efetuados ao longo do ano. Os valores estão calculados apreços de hoje e considera-se uma taxa de juros de 6% a.a.
Você decidiu comprar um carro novo, usá-lo por algum tempo, vendê-lo e comprarnovamente um carro novo, vendê-lo, etc. Por quanto tempo você deve usar o carroantes de vendê-lo?
ÉpocaValor
(milhares de reais)
Manutenção
(milhares de reais)
Operação
(milhares de reais)
0 20 - -
1 16 1,0 1,2
2 14 1,6 1,2
3 12 1,6 1,2
4 9 2,4 1,4
5 8 2,0 1,6
Exercício 7 – Determinação da vida econômica de um bem!
Exercícios ComplementaresSéries Uniformes
92
![Page 93: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/93.jpg)
Sistemas de Amortização.
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Sistemas de Amortização
Existem várias formas para se pagar um empréstimo;
Algumas ficaram conhecidas com o tempo ou por serem simples
de se entenderem ou por serem racionais;
Estudaremos alguns exemplos aqui.
Quando se paga parceladamente um débito, cada pagamento
efetuado tem (geralmente) uma dupla finalidade:
1) Parte quita os juros.
2) Parte amortiza (abate) a dívida.
94
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Sistemas de Amortização
Época Prestação Amortização Juros Saldo Devedor
0 - - - 100
1 30
2 30
3 40
Ricardo tomou um empréstimo de $ 100,00 a juros de 10% ao mês.
Quitou-o em três meses, amortizando 30% da dívida inicial no
primeiro mês, 30% e 40% nos dois meses seguintes e pagando a cada
mês os juros.
Exemplo 1.
95
![Page 96: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/96.jpg)
Sistemas de Amortização mais utilizados
• Sistema Francês (tabela Price)
• Sistema de Amortizações Constantes
• Sistema Bullet.
• Sistema Americano
96
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Suponha que você precise tomar emprestado R$ 1.000,00:
Principal: R$ 1.000,00 Taxa de Juros: 8% a.a. Prazo: 4 anos
Plano A Pagamento único no fim do prazo
Plano B Pagamento periódico dos juros, com amortização total ao fim do prazo
Plano C Prestações iguais
Plano D Amortizações constantes
Planos Equivalentes de Pagamentos
Características
Comparação entre sistemas de amortização.
97
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Principal: R$ 1.000,00 Taxa de Juros: 8% a.a. Prazo: 4 anos
Ano Plano A Plano B Plano C Plano D
0 -R$ 1.000,00 -R$ 1.000,00 -R$ 1.000,00 -R$ 1.000,00
1 R$ 0,00 R$ 80,00 R$ 301,92 R$ 330,00
2 R$ 0,00 R$ 80,00 R$ 301,92 R$ 310,00
3 R$ 0,00 R$ 80,00 R$ 301,92 R$ 290,00
4 R$ 1.360,49 R$ 1.080,00 R$ 301,92 R$ 270,00
Planos Equivalentes de Pagamentos
Características
O Plano A é conhecido como Sistema Bullet.
O Plano B é conhecido como Sistema de Amortização Americano (S.A.A.)
O Plano C é conhecido como Sistema de Amortização Francês (S.A.F.) ou, no
Brasil, Sistema Price
O Plano D é conhecido como Sistema de Amortizações Constantes (S.A.C.)
Comparação entre sistemas de amortização.
98
![Page 99: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/99.jpg)
Sistemas de amortização Francês (PRICE)
• Prestações constantes
• Equivale a uma série uniforme de pagamentos
• Juros decrescentes
• Amortizações crescentes
• Inicialmente deve-se calcular o valor da prestação
99
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Sistema de amortização Francês (Price)
Calcule o valor da prestação e monte a planilha de financiamento para um
financiamento de R$ 100.000,00 em 5 prestações mensais com uma taxa de
juros de 10% am utilizando o Sistema PRICE.
Mês Prestação Amortização Juros Saldo Devedor
0
1
2
3
4
5
Exemplo 2.
100
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Sistemas de Amortização Constante SAC
• Amortizações constantes
• Juros decrescentes
• Prestações decrescentes
• Inicialmente deve-se calcular o valor das amortizações
101
![Page 102: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/102.jpg)
Sistema SAC
Mês Prestação Amortização Juros Saldo Devedor
0
1
2
3
4
5
Calcule o valor da prestação e monte a planilha de
financiamento para um valor financiado de R$ 100.000,00 em 5
prestações mensais com uma taxa de juros de 10% am
utilizando o SAC.
Exemplo 3.
102
![Page 103: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/103.jpg)
Sistema SAC
Um caminhão no valor de R$ 300.000,00 foi adquirido pelo
sistema SAC, em 5 prestações anuais, a uma taxa de 10% ao
ano. Construa a planilha de amortização abaixo.
Exemplo 4.
103
Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5
Valor do
Principal Início
(R$ mil)
-
Amortização
(R$ mil)
-
Valor do
Principal Final
(R$ mil)
225
Juros Pagos
Final (R$ mil)
-
![Page 104: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/104.jpg)
Uma empresa adquiriu um financiamento, no início de 2011, no valor de
$ 500.000,00 em um banco de desenvolvimento, se comprometendo a
pagar em 5 prestações anuais, a uma taxa de juros de 6% a.a. No
entanto, a empresa só começará a pagar as prestações no início de
2013, pois conseguiu negociar com a instituição de fomento esse
período de carência. Montar as tabelas de amortização nos seguintes
sistemas: Americano, SAC e price. Refaça o problema, mas agora
considerando que a taxa no período de carência seja subsidiada pelo
governo sendo, portanto, menor que a taxa do financiamento, e igual a
3% a.a
Exemplo 5 – Financiamento com carência (BNDES)
Sistemas de Amortização
104104
![Page 105: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/105.jpg)
Análise de Investimentos
“Se tens o dom de ler as sementes do tempo, edizer quais hão de germinar e quais não, falai.
William Shaskespare
![Page 106: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/106.jpg)
Análise de Investimentos
A análise de investimentos consiste em determinar se o projeto é atrativo do ponto de vista financeiro ao investidor.
O investidor, ao aplicar recursos em determinado projeto, deseja ma rentabilidade no mínimo igual ao seu custo de oportunidade.
O custo de oportunidade é o retorno disponível ao investidor em uma alternativa de investimento com nível de risco comparável.
Análise de Investimentos
106
![Page 107: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/107.jpg)
Métodos de análise de investimento
Critérios de cálculo de valor e decisão de investimento
Processo de cálculo
Critério de decisão
Métodos analisados
Valor Presente Líquido (VPL)
Taxa Interna de Retorno (TIR)
Análise de Investimentos
107
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Valor Presente Líquido (VPL)
Critério do Valor Presente Líquido
Projetar os
Fluxos de
Caixa
Futuros
Determinar a
Taxa de
Desconto
Calcular o
VPL
Fatores de Risco!
Análise de Investimentos
108
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Cálculo do Valor Presente Líquido
Para calcular o valor presente líquido (VPL) ou “net present value”
(NPV) de um projeto, devemos trazer a valor presente todos os fluxos
de caixa a uma determinada taxa de juros (custo de oportunidade). O
VPL é dado pela soma de todos os valores presentes, e é dado pela
expressão abaixo.
Onde:
FCn = fluxo de caixa no tempo n
i = custo de oportunidade
n = tempo
Análise de Investimentos
Valor Presente Líquido (VPL)
109
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Critério do Valor Presente Líquido
Análise de Investimentos
O VPL é uma medida de quanto valor é criado ou adicionado hoje para se realizar o investimento.
Um investimento deve ser aceito se possui VPL maior que zero.
Se o VPL é maior que zero então o projeto remunera à taxa do custo de oportunidade e ainda gera valor.
Um investimento é melhor do que outro se o seu VPL é maior;
Valor Presente Líquido (VPL)
110
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Valor Presente Líquido (VPL)
Ano Fluxo de Caixa
0 -100.000,00
1 30.000,00
2 30.000,00
3 50.000,00
4 70.000,00
Uma mineradora deseja realizar um investimento de $100.000,00
em um projeto com prazo de 4 anos. A empresa tem custo de
oportunidade de 15% a.a. e deseja determinar se o projeto é viável
financeiramente através do VPL e da TIR.
Exemplo 1.
Análise de Investimentos
111
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Valor Presente Líquido (VPL)
VPL na HP – 12C
Ano Fluxo de Caixa
0 -100.000,00
1 30.000,00
2 30.000,00
3 50.000,00
4 70.000,00
Análise de Investimentos
Exemplo 1.
112
![Page 113: Matemática Financeira - Formação Finanças T 20 - Material do ALUNO](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061616/55cf990e550346d0339b48ef/html5/thumbnails/113.jpg)
Valor Presente Líquido (VPL)
Um estudante está analisando a possibilidade de fazer um projeto
de investimento. Determinar sua viabilidade através do VPL,
considerando um custo de oportunidade de 1% a.m..
Mês FC VP
0 (750,00) (750,00)
1 (500,00) (495,05)
2 0,00 0,00
3 0,00 0,00
4 100,00 96,10
5 200,00 190,29
6 300,00 282,61
7 300,00 279,82
8 300,00 277,04
9 400,00 365,74
TOTAL 246,55
Análise de Investimentos
Exemplo 2.
113
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Valor Presente Líquido (VPL)
Análise de Investimentos
Exemplo 3A.
Você dispõe de R$ 10.000,00 para investimento. A seguir estão
duas oportunidades e você precisa se decidir por uma delas, tendo
em vista sua limitação de capital. Sabendo que a taxa de mercado
para um negócio de risco e prazo semelhantes é 4% a.a., tome sua
decisão!
114
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Análise de Investimento – Caso 1.
Taxa 4,00%
Ano Investimento A Investimento B
0 -R$ 10.000,00 -R$ 10.000,00
1 R$ 2.000,00 R$ 3.000,00
2 R$ 2.500,00 R$ 3.000,00
3 R$ 2.500,00 R$ 3.000,00
4 R$ 3.000,00 R$ 3.000,00
5 R$ 5.000,00 R$ 2.500,00
VPL
Valor Presente Líquido (VPL)
Análise de Investimentos
Exemplo 3A.
115
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Valor Presente Líquido (VPL)
Análise de Investimentos
Exemplo 3B.
Você dispõe de R$ 10.000,00 para investimento. A seguir estão
duas oportunidades e você precisa se decidir por uma delas, tendo
em vista sua limitação de capital. Sabendo que a taxa de mercado
para um negócio de risco e prazo semelhantes é 10% a.a., tome
sua decisão!
116
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Análise do investimento – Caso 2.
Taxa 10,0%
Ano Investimento A Investimento B
0 -R$ 10.000,00 -R$ 10.000,00
1 R$ 2.000,00 R$ 3.000,00
2 R$ 2.500,00 R$ 3.000,00
3 R$ 2.500,00 R$ 3.000,00
4 R$ 3.000,00 R$ 3.000,00
5 R$ 5.000,00 R$ 2.500,00
VPL
Valor Presente Líquido (VPL)
Análise de Investimentos
Exemplo 3.
117
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Valor Presente Líquido (VPL)
O banco avenida deseja financiar um equipamento industrial cujo preço à
vista é R$ 400.000,00. O financiamento será concedido no dia 1º de Abril,
devendo ser liquidado em três prestações mensais de R$ 180.000,00, que
vencem a cada 60 dias corridos, a contar da data de sua aquisição.
Determinar sob a ótica do financiador qual o VPL desse fluxo de caixa
para uma taxa de desconto de 4% ao mês.
Análise de Investimentos
Exemplo 4.
118
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Valor Presente Líquido (VPL)
Análise de Investimentos
Exemplo 5.
119
A empresa IMJ está avaliando a compra de uma loja. O
investimento inicial é de $500.000,00, e os prognósticos
simplificados de lucro desse investimento são de R$ 150.000,00 ao
fim de cada ano. Suponha que a empresa, depois de receber os 6
retornos anuais, venderá a loja por $ 400.000,00 ao fim do sexto
ano, do jeito que ela estiver. A taxa que você exige para um
negócio desse porte é 25% ao ano.
a) VPL e TIR desse negócio.
b) Suponha que o investimento inicial aumentasse em 20%. A
viabilidade do negócio mudaria?
c) E se a taxa exigida para o negócio aumentasse para 30%?
d) Qual o valor limite de investimento no primeiro ano,
mantendo-se os fluxos estimados, que viabiliza o projeto?
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Valor Presente Líquido (VPL)
Análise de Investimentos
Exemplo 6.
120
Para um certo empreendimento, o seguinte fluxo de caixa é
estimado.
Necessita-se de R$ 20.000,00 para realizá-lo e, como os donos só
possuem a metade, fez-se um contrato com uma companhia de
investimentos, que ficou de emprestar o resto a juros de 8% ao ano
sobre o saldo devedor e amortização constante em 8 anos. A taxa
mínima de atratividade é de 10% ao ano. Examinar o
empreendimento sob a ótica do projeto e do acionista.
Ano 1 2 3 4 5 6 7 8
FC (R$) 8000 7400 6800 6200 5600 5000 4400 3800
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Valor Presente Líquido (VPL)
A agropecuária Mimosa na mesa Ltda. estuda a possibilidade de aquisição
de novas matrizes de gado leiteiro. O investimento inicial estava orçado
em R$ 40.000,00. Contabilmente, vamos admitir que a depreciação das
matrizes possa ser feita em um horizonte de cinco anos. No fim da vida
útil, seriam vendidos por R$ R$ 6.000,00 para abate. A alíquota de
Imposto de Renda da empresa é igual a 25% e seu custo de capital é igual
a 36% a.a. As receitas incrementais associadas ao investimento estão
estimadas em R$ 60.000,00, com crescimento previsto em R$ 5.000,00 por
ano. Sabe-se que os custos variáveis são estimados em 40% das receitas e
os custos fixos em R$ 15.000,00 por ano. Pede-se analisar a viabilidade do
investimento com base no valor presente líquido.
Exercício 7 (Olhando para o futuro ... Aprofundamento).
Análise de Investimentos
121
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Taxa interna de retorno (TIR)
A taxa interna de retorno (TIR) ou “internal rate return (IRR)” mede o
retorno do projeto. É a taxa de Juros que torna o VPL de um fluxo de
caixa igual a Zero. A TIR pode ser obtida através da equação:
Critério da TIR
1) Se a TIR for maior que o retorno exigido (Custo de oportunidade do capital
para investimentos com riscos semelhantes), o investimento deve ser aceito.
2) Em casos “normais”, TIR maior que o retorno exigido representa VPL
positivo para o investimento
Análise de Investimentos
122
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Ano Investimento
0 - 100
1 60
2 60
Análise de Investimentos
Taxa interna de retorno (TIR)
Exemplo 1.
123123
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TIR(-100;60;60) = 13,07% a.a.
Qual o significado dessa taxa?
Que 13,07% é a taxa que zera o VPL. (Ponto de equilíbrio econômico)
Que 13,07% é o máximo que eu posso exigir de retorno. Se eu
consigo mais do que isso em outro investimento, porquê investir
nesse?
Ano Investimento
0 - 100
1 60
2 60
Análise de Investimentos
Exemplo 1.
Taxa interna de retorno (TIR)
124
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VPL= 0
0)TIR1(60)TIR1(601002
E se fossem 3, 4, 5, ou mais fluxos de caixa?
Equações polinomiais de grau 3, 4, 5, ... Como resolvê-las?
FUNÇÃO TIR : EXCEL E HP 12C
Análise de Investimentos
Exemplo 1.
Taxa interna de retorno (TIR)
125125
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Análise de Investimentos: TIR
GRÁFICO DO PERFIL DE VALOR PRESENTE LÍQUIDO.
TIR(-100;60;60) = 13,07%
Ano Investimento
0 - 100
1 60
2 60
Análise de Investimentos
126
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Ano Investimento A
0 -R$ 10.000,00
1 R$ 2.000,00
2 R$ 2.500,00
3 R$ 2.500,00
4 R$ 3.000,00
5 R$ 5.000,00
TIR 13,05%
VPL R$ 0,00
Revisitando o problema anterior.
Análise de Investimentos
Exemplo 2.Taxa interna de retorno (TIR)
127
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Considere os fluxos de caixa apresentados a seguir para dois
investimentos mutuamente excludentes:
a) Calcule a TIR de cada investimento;
b) Calcule o VPL de cada investimento às taxas de 5%, e 15%
c) Explique porquê o investimento A é melhor à uma taxa de retorno baixa,
enquanto que o contrário ocorre com o investimento B.
Ano Fluxo de Caixa Ano Fluxo de Caixa
0 R$ (100,00) 0 R$ (100,00)
1 R$ 50,00 1 R$ 20,00
2 R$ 40,00 2 R$ 40,00
3 R$ 40,00 3 R$ 50,00
4 R$ 30,00 4 R$ 60,00
Análise de Investimentos
Exemplo 3.
Taxa interna de retorno (TIR)
128
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Determine o VPL, TIR, PAYBACK E payback descontado, assumindo uma
taxa de 2% ao mês, de cada caso abaixo.
Análise de Investimentos
Análise de Investimentos
Exercício 1.
129
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Vantagens da TIR
Nas condições de fluxos de caixa convencionais e para
projetos independentes, leva ao mesmo resultado do VPL
Fácil de ser compreendida e comunicada.
O VPL necessita da estimativa de uma taxa de desconto, já a
TIR pode ser calculada mesmo sem essa taxa
Análise de Investimentos: TIR&VPL
Análise de Investimentos
130
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Análise de Investimentos
Desvantagens da TIR
Pode levar a decisões erradas quando na comparação de projetos
mutuamente excludentes
Em fluxos não convencionais:
Pode apresentar uma visão míope
Pode apresentar taxas múltiplas
Análise de Investimentos: TIR
131
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Taxa Interna de Retorno (TIR)
Um investidor comprou um apartamento na planta em set de 2009,
pagando uma entrada e mais 28 parcelas mensais, e 28 taxas de
decoração, conforme o fluxo apresentado no próximo slide. Em Fevereiro
de 2011 repassa o apartamento, recebendo pelo empreendimento R$
94.000,00. Desse valor, paga 19.000,00 de comissão. Determine a TIR
desse investimento. Compare essa taxa com as taxas anuais disponíveis no
mercado em 2009 e 2010, avaliando o investimento realizado.
Exercício 2.
Análise de Investimentos
132
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Análise de Investimentos: TIR
Qual a interpretação? Qualquer TIR onde o VPL é Positivo?
Moral da história: Fluxos não convencionais
atormentam a TIR. VPL é a solução!
Análise de Investimentos
133
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Taxa interna de retorno (TIR)
Análise de Investimentos
Problemas com a TIR.
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
0 10 20 30 40 50 60
Taxa de Desconto (%)
Va
lor
Pre
sen
te L
íqu
ido
($)
VPL
Positivo
VPL
Negativo
TIR
VPL
Negativo
134
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Considere as duas alternativas de investimento abaixo
O custo de oportunidade para ambas é de 8%
VPLA = 655,16 e VPLB = 641,79
TIRA = 28% e TIRB = 45%
AlternativaInvest.
Inicialt1 t2 t3 t4
A (1.000) 300 300 300 1.200
B (1.000) 1.000 300 300 300
Análise de Investimentos
Projetos mutuamente excludentes
135
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Projetos mutuamente excludentes
-600
-400
-200
-
200
400
600
800
1.000
1.200
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60%
TMA
VP
L TIR B = 45%
TIR A = 28%
Região de aceitação
de A
Região de rejeição de ambosRegião de
aceitação de B
A
B
Análise de Investimentos
136
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Uma empresa tem dois projetos de investimentos mutuamente
excludentes. Determinar a melhor alternativa, sabendo-se que a
empresa não avaliou com precisão seu custo de oportunidade.
Exercício 3.
Ano Fluxo A Fluxo B Fluxo B - A
0 - 450,00 -700,00 -250,00
1 100,00 150,00 50,00
2 125,00 200,00 75,00
3 150,00 225,00 75,00
4 175,00 250,00 75,00
5 250,00 350,00 100,00
TIR 19,29% 17,43% 13,78%
TAXA 10% VPL A = 131,67 VPL B = 158,77
TAXA 15% VPL A = 54,45 VPL B = 46,55
Projetos mutuamente excludentes
Análise de Investimentos
137
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Análise de Investimentos
Exercício 4.
138
Analise a viabilidade dos projetos abaixo, considerando que são
mutuamente excludentes, considerando que a empresa não avaliou
com precisão seu custo de oportunidade.
ANO PROJETO A PROJETO B
0 -450 -700
1 100 150
2 125 200
3 150 225
4 175 250
5 250 350
Projetos mutuamente excludentes