MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP-12C Prof. Ésio …“S-… · projetos financeiros e resolvidos...

MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP-12C Prof. Ésio de Siqueira

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Capítulo 1

1. CONCEITOS GERAIS DE JUROS 11 1.1 JUROS 11

1.2. TAXAS DE JUROS 11

1.3. DIAGRAMA FLUXO DE CAIXA 12

1.4. TIPOS DE JUROS 13

1.5. SIMBOLOGIA 14

Capítulo 2

2. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 16

2.1. JUROS SIMPLES 16

2.2. MONTANTE SIMPLES 18

2.3. UTILIZAÇÃO DA HP-12C NO CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES 20

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 22

Capítulo 3

3. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA25

3.1. JUROS COMPOSTOS 25

3.2. MONTANTE COMPOSTO 25

3.3. FUNÇÕES FINANCEIRAS UTILIZADAS EM JUROS COMPOSTOS 26

3.4. FÓRMULA PARA DEMONSTRAR OS JUROS COMPOSTOS 33

3.5. JUROS COMPOSTOS COMPARADOS AOS JUROS SIMPLES 34

Capítulo 4

4. TAXAS DE JUROS 40

4.1. JUROS PROPORCIONAIS 40

4.2. TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS) 41

4.2.1. Taxas Equivalentes 41

4.3. TAXAS EFETIVAS E NOMINAIS 43


3

4.4. CÁLCULO DO MONTANTE COMPOSTO COM TAXA NOMINAL 44

4.6. COMO PROGRAMAR TAXAS EQUIVALENTES NA HP-12-C 46

4.7. TAXAS E ÍNDICES VARIÁVEIS/ INFLAÇÃO 47

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO JUROS COMPOSTOS 50

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 63

Capítulo 5

5. DESCONTO69

5.1. CONCEITO DE DESCONTO 69

5.2. DESCONTO SIMPLES 70

5.2.1. Desconto Racional - Por Dentro 70

5.2.2. Desconto Comercial - Por Fora 70

5.2.3. Desconto Bancário - Por Fora 71

5.2.4. Outra Forma de Calcular a Taxa Efetiva 74

5.2.5. Exercício com base nas Operações Bancárias 75

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO DESCONTO SIMPLES 77

5.3. DESCONTO COMPOSTO 78

5.3.1. Desconto Comercial - Por Fora 78

5.3.2. Desconto Racional – Por Dentro 79

5.3.3. Assunção de Compromisso 80

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO DESCONTO COMPOSTO 82

Capítulo 6

6. SÉRIES UNIFORMES 84

6.1. SÉRIES DE PAGAMENTOS E RECEBIMENTOS 84

6.2. RENDAS 84

6.3. DEFINIÇÕES 84

6.4. CLASSIFICAÇÃO DE ANUIDADES 84

6.5. MODELO BÁSICO 85

6.6. VALOR ATUAL DO MODELO BÁSICO 86

6.7. MONTANTE DO MODELO BÁSICO 89

6.8. VALOR PRESENTE DE UMA RENDA ANTECIPADA 90

6.9. VALOR PRESENTE DE UMA RENDA DIFERIDA 91


4

6.10. VALOR FUTURO DE UMA RENDA ANTECIPADA 91

6.11. VALOR FUTURO DE UMA RENDA DIFERIDA 92

6.12. COEFICIENTES DE FINANCIAMENTO COM HP-12C 92

6.13. CÁLCULO DA TAXA DE JUROS A PARTIR DO COEFICIENTE 95

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO SÉRIES UNIFORMES 106

Capítulo 7

7. FLUXO DE CAIXA 109

7.1. TAXA INTERNA DE RETORNO – IRR 109

7.2. PASSOS PARA INTRODUÇÃO DE UM FLUXO DE CAIXA 110

7.3. REVISÃO DE UM FLUXO DE CAIXA 113

7.4. COMO ALTERAR UM FLUXO DE CAIXA 114

7.5. COMO ALTERAR UM NÚMERO DE OCORRÊNCIAS CONSECUTIVAS

IGUAIS 115

7.6. VALOR PRESENTE LÍQUIDO – NPV 115

Capítulo 8

8. EMPRÉSTIMOS E AMORTIZAÇÕES 124

8.1. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – SFA 124

8.2. EXERCÍCIO PRÁTICO COM HP-12 C 125

8.3. ROTINA DO CÁLCULO DA TABELA PRICE 127

8.4. COMO CALCULAR OS DADOS DE UMA LINHA DE ORDEM "t" 128

8.5. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC 129

8.6. PLANILHAS DE EMPRÉSTIMO COM CARÊNCIA 131

8.7. CUSTO EFETIVO DE UM EMPRÉSTIMO/FINANCIAMENTO 132

Capítulo 9

9. MANUAL DA HP-12C 134

9.1. INTRODUÇÃO 134

9.2. LIGANDO E DESLIGANDO A CALCULADORA 134

9.3. PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS 135

9.4. ADEQUAÇÃO DA MÁQUINA 136

9.4.1. Eliminação de dados armazenados 136


5

9.4.2. Trocar o ponto pela vírgula 136

9.4.3. Número de casas decimais no visor 137

9.4.4. Trocar o sinal de um número 137

9.4.5. Adequação da função calendário 138

9.4.6. Anúncio “C” 138

9.5. FUNÇÕES DE LIMPEZA 139

9.6. TESTES 140

9.7. REGISTRADORES DE ARMAZENAMENTO 141

9.7.1. Registro da pilha automática (pilhas operacionais) 141

9.7.2. Registradores de Armazenamento de Dados 143

9.7.2.1. Armazenamento e Recuperação de Números 143

9.7.2.2. Como limpar as memórias 145

9.7.2.3. Operações aritméticas utilizando os registradores 145

9.8. CALCULOS EM CADEIA 145

9.9. PRINCIPAIS FUNÇÕES ALGÉBRICAS 147

9.9.1. Potenciação 147

9.9.2. Inverso de um número 148

9.9.3. Radiciação 148

9.9.4. Logaritmo 149

9.10. FUNÇÕES AUXILIARES 150

9.10.1. Tecla X><Y 150

9.10.2. Tecla R↓ 151

9.10.3. Função RND 151

9.10.4. Função FRAC 151

9.10.5. Função INTG 152

9.11. FUNÇÕES PERCENTUAIS 152

9.11.1. Percentagem de um número 152

9.11.2. Variação percentual 153

9.11.3. Percentagem do total 154

9.12. FUNÇÃO CALENDÁRIO 155

9.12.1. Variação de dias entre duas datas 155

9.12.2. Cálculo de datas futuras e passadas 157

EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE O FUNCIONAMENTO DA CALCULADORA

HP 12-C 164


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A Matemática Financeira tem se constituído, hoje em dia, matéria de muita

procura não somente pelos homens ligados ao mercado financeiro, mas também

pelos empresários de negócio de forma geral.

Erros grosseiros, como o de confundir juros nominativos com juros efetivos,

ou taxas de juros equivalentes com taxas proporcionais, juros descontados com

juros antecipados, são cometidos constantemente, e tem derrubado executivos.

Incorrer em certos erros na Matemática Financeira pode ser fatal.

Determinados erros de Matemática somente seriam explicáveis há 25 ou 30

anos atrás, quando se desconheciam as pequenas calculadoras eletrônicas e se

recorriam às complexas tábuas de logaritmos, tão detestadas nas escolas pelos

que não gostam de matemática. Hoje em dia, o bom entendimento da Matemática

Financeira já se tornou uma realidade com o advento das calculadoras financeiras

e das Planilhas Eletrônicas, assim os erros grosseiros, já não são tão praticados

como antigamente.

A presente apostila tem a finalidade de desenvolver, de forma prática,

questões básicas da Matemática Financeira, com o apoio da calculadora HP-12C.

Aliás, essa calculadora se constitui numa das mais sofisticadas e completas

ferramentas destinadas a facilitar o entendimento dos cálculos financeiros, devido

a sua capacidade de programação e armazenamento de dados, assim como, a

sua forma moderna de calcular, baseada no Sistema RPN (Reverse

PolishNotation), ou seja, Notação Polonesa Reversa, cuja instrução vem sempre

depois do valor, o que permite um cálculo bem mais rápido do que nas demais

calculadoras.

Aliás, a calculadora HP-12C se constitui um fenômeno, pois nos dias de

hoje dificilmente um equipamento eletrônico consegue resistir ao avanço

tecnológico por muito tempo. A HP-12C Foi lançada pela empresa de informática

e tecnologiaestadunidenseHewlett-Packard em 1981. Com mais de trinta anos

essa calculadora consegue ser a mais procurada do mundo, superando em

vendas todas as outras calculadoras modernas do gênero.

RESUMO HISTÓRICO DAS MINI-CALCULADORAS

O aparecimento do Ábaco apareceu em várias civilizações em formas

diferentes. Alguns historiadores afirmam que o primeiro aparecimento se deu na

Babilônia por volta do século XVII AC. Sendo que ao longo da história houve

desenvolvimentos para facilitar os cálculos. Poderíamos citar a Régua de Cálculo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Empresa

http://pt.wikipedia.org/wiki/Inform%C3%A1tica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tecnologia




http://pt.wikipedia.org/wiki/Hewlett-Packard

http://pt.wikipedia.org/wiki/1981


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inventada logo depois de Napier ter introduzido os logaritmos no século XVI; a

Pascaline inventada por Pascal em 1643; a máquina de calcular de Leibnitz que

apareceu em 1694; a máquina de Diferenças de Babbage, projetada por volta de

1830 que é considerada a antecessora direta do moderno computador digital que

exigia muita precisão na sua fabricação e que por isso somente pode ser

construída no século XX, apenas como curiosidade; o tabulador Hollerith feito

para o Censo americano de 1890; e o Analisador Diferencial de Bush, construído

em 1929 sendo o antecessor do moderno Computador Analógico.

Os Computadores Analógicos e Digitais foram desenvolvidos durante a II

Guerra Mundial e apesar de terem revolucionado os cálculos matemáticos, indo

além das máquinas de calcular não ofereciam facilidades ao público em geral.

Nos anos cinquenta já havia a venda desde Ábacos e Réguas de Cálculo até

Computadores Digitais e Analógicos passando por uma grande variedade de

calculadoras mecânicas e eletromecânicas capazes de fazer as quatro operações

aritméticas e algumas até de imprimir resultados.

Na década de sessenta apareciam várias calculadoras de mesa com

capacidade de armazenar programas internamente e em cartões magnéticos.

Na década de setenta o avanço da micro eletrônica fez aparecer as mini-

calculadoras, inicialmente somente com as quatro operações aritméticas com

desempenho espantoso e rapidez chegando muito próximo as calculadoras de

mesa e aos computadores digitais.

Hoje, existe uma infinidade de calculadoras modernas que não somente

calcula as quatro operações mais realizam cálculos financeiros e científicos da

mais alta complexidade e algumas até são programáveis inclusive imprimindo

resultados. Apesar do avanço da micro-informática as calculadoras continuam

sendo muito procuradas pela facilidade de manuseio e precisão nos cálculos.

RESUMO HISTÓRICO DOS JUROS

A Matemática Financeira sempre foi o grande suporte para compreensão do

comportamento do dinheiro no tempo. Muito antes da existência dos

computadores e das calculadoras eletrônicas de alta resolução, os cálculos

financeiros eram bastante utilizados com o apoio da álgebra financeira. Cálculos

mais complexos como o da taxa de juros de uma série de pagamentos uniformes

ou o complicado cálculo da taxa interna de retorno já eram bastante utilizados nos

projetos financeiros e resolvidos através de tentativas e erros.

Hoje, no mundo globalizado, a Matemática Financeira tem seu papel

fundamental e com o auxílio das calculadoras científicas, principalmente das

calculadoras financeiras, bem como do uso das planilhas eletrônicas, os cálculos

ficam mais fáceis e bastante acessíveis, não somente para o estudante que há

algumas décadas atrás sofriam com tábuas financeiras e tábuas de logaritmos


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para cálculos de coeficientes, mas também para os executivos de uma forma

geral. Com esse ferramental as decisões tornam-se mais fáceis de serem tomadas

e os projetos financeiros podem ser formulados com um maior grau de precisão.

A história está sempre repleta de restrições com relação aos juros ou contra

a usura. Sempre houve preconceito de ordem religiosa, moral e ética com relação

à cobrança de juros. O entendimento dos juros é importante para um completo

domínio do complexo mercado financeiro. “Vamos entender juros a partir da

antiguidade, começando pela interpretação dos versículos 19 e 20 do capítulo 23

de Deuteronômio: Vs. 19 –” Do teu irmão não exigirás juros: nem de dinheiro, nem

de comida, nem de qualquer outra coisa que se empreste a juros. Vs. 20 – Do

estrangeiro podes exigir juros, porém do teu irmão não os exigirás para que o

Senhor teu Deus te abençoe em tudo que puseres a mão na terra na qual

passareis a possuir”.

A interpretação desses versículos teve curiosas consequências: os judeus

(israelitas) consideravam irmãos os descendentes das doze tribos de Jacó. Os

demais seriam estrangeiros. A Igreja Católica mais universalista considerava

“irmãos” todos os seres vivos da terra. Tudo isso explica a predominância do

capital judeu na atividade financeira daquela época até nossos dias. O mais

interessante é que mesmo condenando enfaticamente os juros, a predominância

dos judeus foi compartilhada com os lombardos e outros banqueiros cristãos que

procuravam toda sorte de subterfúgio para esconder a cobrança de juros.

Ao longo da história podemos destacar os seguintes pensamentos:

a) ARISTÓTELES (384 AC – 322 AC): Condena os juros como pior forma

de se ganhar dinheiro e, por considerar a moeda como algo estéril (cuja

única utilidade é aumentar a velocidade das trocas), condena também a

acumulação de dinheiro.

b) DIREITO ROMANO: Base jurídica para a concepção do capitalismo

mercantil do Renascimento era muito mais prático e liberal em relação ao

juro e à acumulação de riquezas;

c) PENSAMENTO GREGO: Irá fornecer a base filosófica à mensagem dos

escolásticos que predominará durante a idade média. Os pensadores

católicos da idade média absorverão completamente a condenação

aristotélica da acumulação de capital e da cobrança de juros;

d) SANTO AGOSTINHO (354 – 430): Acreditava que o comercio

distanciava o homem do seu desejo de encontrar Deus e condenava

explicitamente tanto a acumulação de riquezas como a cobrança de

juros;

e) SÃO TOMÁS DE AQUINO (1226 – 1274): Procurou promover a

reconciliação entre os dogmas católicos sobre a prática econômica e a

realidade do sistema econômico, mas era intransigente quanto à

cobrança de juros;


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f) IDADE MÉDIA: A cobrança de juros tornou-se impossível de se evitar no

regime capitalista. Vários subterfúgios foram desenvolvidos para ocultar

a cobrança de juros: formalmente a quantia a ser paga era idêntica

àquela que se recebia não havendo a cobrança de juro formal. Na

realidade o credor entregava uma quantia menor do que rezava o

contrato ou recebia mais do que o documento determinava. As taxas de

juros da idade média variavam de 5% a 24% ao ano. O nível das taxas

de juros dependia do grau de risco enfrentado pelo emprestador. Há

registros, inclusive, de que os lombardos cobravam juros de até 100% ao

ano. A igreja passou a admitir a mora (damnumemergens) e o juro como

compensação pela perda de oportunidadede lucros por quem empresta

(lucrumcessans). Há também o reconhecimento dos juros como

cobertura dos riscos assumidos pelo emprestador (periculum sortis);

g) LUTERO (1483 – 1546) O mesmo pensamento de São Tomás de

Aquino;

h) CALVINO (1509 – 1564): Admite os empréstimos a juros no nível

religioso, bem como todas as demais características do Sistema

Capitalista: o lucro, o comércio e a acumulação de riquezas. É nesse

novo contexto religioso e no cenário do Renascimento que se inicia o

processo de inversões de capitais mercantis na agricultura

transformando latifundiários em banqueiros e comerciantes. O lucro do

capitalista comerciante é identificado ao interesse nacional.

OS JUROS NA ATUALIDADE

Hoje o juro mais do que nunca continua exercendo seu papel de relevante

importância no mercado financeiro mundial. No Brasil tem como parâmetro a taxa

básica de juros que compreende a menor taxa de juros vigente em uma economia,

e atua como taxa de referência para todos os contratos. A taxa básica no Brasil é

também conhecida como SELIC definida pelo COMITÊ DE POLÍTICA

MONETÁRIA (COPOM) do Banco Central. É a taxa de juros vigente no mercado

interbancário que é utilizada na aplicação de empréstimos entre bancos para

operações de um dia (overnight). A taxa básica de juros remunera os títulos da

dívida pública e é um relevante instrumento da política monetária e fiscal. A SELIC

é também instrumento do governo para controlar o consumo (custo do crediário) e

o processo inflacionário.

Nos Estados Unidos a taxa básica é controlada pelo Comitê Federal de

Mercado Aberto – FED (Sistema de Bancos Centrais do EUA) com base na

remuneração do FEDERAL FUNDS, que lastreiam empréstimos interbancários.


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Na Europa vigora a taxa preferencial de juros (PRIME RATE) cobrada dos

clientes preferenciais, isto é, aqueles que têm melhores avaliações de crédito. É

determinada pelas condições de mercado como custos bancários, expectativas

inflacionárias, remuneração e outros ativos. A taxa preferencial tende a ser a

referência para todo o setor do mercado financeiro e normalmente tende a ser a

menor taxa do mercado.

De um modo geral a taxa preferencial supera em alguns casos a taxa básica.

Na Inglaterra e na EUROZONA a taxa preferencial é o parâmetro para o mercado

interbancário, funcionando assim como taxa básica. A LIBOR (London

InterbankOffered Rate) remunera os grandes empréstimos entre os bancos

internacionais que operam no mercado londrino e os empréstimos para

instituições governamentais. A EURIBOR (Euro InterbankOffered Rate) é a taxa

utilizada no interbancário da EUROZONA.

Esio de Siqueira


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1.CONCEITOS GERAIS DE JUROS

1.1JUROS

Pagamento pelo uso do capital emprestado; Custo do capital de terceiros

colocados à nossa disposição;Remuneração do capital investido; Aluguel do

dinheiro.

A noção de juros decorre do fato de que as pessoas preferem usufruir os

seus bens no presente e não no futuro. Havendo uma preferência temporal para

consumir as pessoas querem uma recompensa que nada mais é do que juros.

1.2.TAXAS DE JUROS

A taxa de juros é a razão entre ganho (juros) e o capital. É um coeficiente

que determina o valor do juro, ou seja, a remuneração do fator capital, utilizado

durante certo período de tempo. As taxas de juros se referem a uma unidade de

tempo (dia, mês, bimestre, semestre, ano, etc.) e podem ser: percentual e

unitária.

(1.1)

Taxa Percentual: "Centos" do capital, ou seja, o valor dos juros para cada

centésima parte do capital.

O capital de R$ 1000 aplicado a 20% a.a rende de juros o final desse período:

Juros= 20 x 1000= R$ 200,00 100

Taxa Unitária: Representa o rendimento de cada unidade de capital em curto

período de tempo.

Juro = 1000 x 0,20 = R$ 200,00

ganho

capital i=


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TAXA

PERCENTUAL TRANSFORMAÇÃO TAXA UNITÁRIA

2%

9%

10%

15%

180%

2300%

2/100

9/100

10/100

15/100

180/100

2300/100

0,02

0,09

0,10

0,15

1,80

23,0

Ou seja:2% a.m. ou0,02 a.m.

10% a.t. ou0,10 a.t.

180% a.a ou1,80 a.a

Os matemáticos financeiros modernos trabalham, sempre, com a forma

unitária, por simplificar as fórmulas e consequentemente os cálculos.

1.3.DIAGRAMA FLUXO DE CAIXA

Fluxo de Caixa representa entradas e saídas de capital ao longo do tempo.

Chamamos a representação gráfica do Fluxo de Caixa de Diagrama de Fluxo de

Caixa:

Ex.:Entrada de caixa ( + )

0 1 2 3n

Saída de caixa( - )

A linha horizontal representa o tempo, o ponto Zero,o momento inicial, os

demais pontos representam os períodos de tempo (datas). Os vetores apontados

para cima indicam entradas de capital (recebimentos) e os vetores apontados

para baixo indicam saídas ou aplicações de dinheiro.


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1.4.TIPOS DE JUROS

Juros Simples- os juros de cada período são calculados sempre em função do

capital inicial.

Juros Compostos- os juros de cada período são calculados sobre o capital mais

os juros auferidos no período anterior, caracterizando assim uma Progressão

Geométrica (PG).

Ex.:Um aplicador investiu R$ 100 à taxa de 10% a.a. Qual será o saldo devedor

no final dos próximos quatro anos.

Final do

Esc

Capitalização

Simples

Capitalização

Composta

Período Saldo Juros/Ano Sal.Final Saldo Juros/Ano Sal.Final

- 0 - - 100,00 - - 100,00

1º ano 1 100,00 0,1 x 100 =

10

110,00 100,00 0,1 x 100 =

10

110,00

2º ano 2 110,00 0,1 x 100 =

10

120,00 110,00 0,1 x 110 =

11

121,00

3º ano 3 120,00 0,1 x 100 =

10

130,00 121,00 0,1 x 121 =

12,10

133,10

4º ano 4 130,00 0,1 x 100 =

10

140,00 133,10 0,1 x 133,10 =

13,31

146,41

Obs.: SAL. FINAL = Representa o saldo no final de cada ano.

Comparação Gráfica

150

140

130

120

110

100 0 1 2 3 4 ------- n

Juros composto Juros simples

N = 1 JS = JC N > 1 JC > JS N < 1 JC < JS


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Juros Simples - características:

a) Somente o capital inicial rende juros;

b) O dinheiro cresce linearmente ao longo do tempo;

c) O dinheiro cresce em progressão aritmética;

d) Os juros são proporcionais.

Juros Compostos - características:

a) O dinheiro cresce mais rapidamente do que os juros simples;

b) O dinheiro cresce exponencialmente ao longo do tempo;

c) Os juros não são proporcionais.

1.5. SIMBOLOGIA

A simbologia é um sério complicador no estudo da matemática financeira

isto porque não existem símbolos padronizados como, por exemplo, na

matemática pura, na física, na química, etc. Cada autor procura personalizar seus

livros com uma simbologia própria. Assim os símbolos mudam de livro para livro,

de escola para escola de professor para professor. Assim fica difícil para quem

está iniciando os estudos em matemática financeira entender diferentes símbolos

para um mesmo conceito.

Por exemplo é comum encontrar nos livros o símbolo para:

capital: "P", "C", "Co", "VP", ou "PV";

para o montante:"S", "M","VF" ou "PV";

para a taxa:"i", "t", "h"ou uma letra grega como por exemplo "";

para o tempo: "n", "t", etc.

Neste trabalho adotaremos a simbologia das calculadoras financeiras que é

compatível com as Planilhas Eletrônicas. Dessa forma utilizaremos:


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FINANC CIENT

PV P Principal; valor presente, valor aplicado, investimento inicial, etc.

FV S Montante, valor futuro, valor de resgate, etc.

i i Taxa de juros.

N n Número de períodos

INT J Calcula os Juros Simples (HP-12C)

PMT R Prestações, pagamentos ou recebimentos periódicos, etc.

CFj FCJ Fluxo de Caixa de ordem “j”

CF0 FC0 Fluxo de Caixa Inicial

NJ NJ Número de Fluxos repetido

NPV VPL Valor Presente líquido

IRR TIR Taxa Interna de retorno

Ao longo do estudo utilizaremos outros símbolos complementares utilizados

nos livros mais atualizados.


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2.CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

2.1. JUROS SIMPLES

A capitalização simples é aquela em que a taxa de juros, no final de cada um

dos períodos de capitalização, incide somente sobre o principal.

O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão:

(2.1)

Fórmulas derivadas:

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Exemplos

1. Um capital de R$ 200.000,00 foi aplicado à taxa de 2,25% a .m., no regime de

juros simples, durante um semestre. Qual o valor dos juros acumulados neste

período:

PV = 200.000 i = 2,25% a .m. n = 6 meses

J = PV. i . n

J i . n PV =

J

PV . n i = J = PV. i . n

J

PV . i n =

Solução: J = 200.000 x 0,0225 x 6 = 27.000,00

HP-12C→ 200.000 0,0225 6


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2. Uma pessoa tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6%

a.m. durante 10 meses. Ao final do período, calculou em R$ 300.000 o total dos

juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.

J = 300.000 i = 6% a .m. n = 10 meses

3. Um capital de R$ 1.200,00 foi aplicado num fundo de investimento por 12

meses, produzindo um juro de R$ 720,00. Determinar a taxa de juro:

PV = 1200 n = 12 m j = 720,00

OBS: Multiplicamos por 100 por estarmos lidando com taxas unitárias.

4. Um capital de R$ 4.800 foi aplicado à taxa de 3,5% a.m., produzindo juros de

R$ 730,80. Calcular por quanto tempo ficou aplicado o capital:

PV = 4.800 i = 3,5% a.m. j = 730,80

Solução: n = _730,80 = 4,35 4.800 x 0,035

HP-12C→ 730,80 4.800 0,035

Solução: PV = 300.000 = 300.000 = 500.000,00

0,06 x 10 0,60

HP-12C→ 300.000 0,06 10

Solução: i = 720 = 5% a. m. 1.200 x 12

HP-12C→ 720 1200 12 100


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2.2. MONTANTE SIMPLES

O montante representa o capital mais o rendimento (juros) e pode ser

assim representado:

FV = PV + J

FV = PV + PV. i . n

(2.5)

Fórmulas Derivadas:

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Solução: Resposta: 4 meses e ...

Com uma regra de três resolvemos:

1 Mês está para 30 dias assim como 0,35 está para quantos dias?

1 30

0,35 x ou seja, 30 x 0,35 = 10,5

Resposta: 4 meses e 10 dias

FV = PV.(1 + i.n)

FV = PV.(1 + i.n)

FV (1 + i.n) PV =

FV PV n

i =

– 1

FV PV i

– 1

n =


19

Exemplos 1. Uma pessoa aplica R$ 8.500,00 a uma taxa de juros linear de 7% a.m. pelo

período de 4 meses. Qual o montante?

PV = 8.500 i = 7% a.m. n = 4 meses

2. Uma operação a juros simples rendeu R$ 9.300. Sabendo-se que a taxa de

juros é de 6% a .m. e o tempo 48 dias determinar o valor do principal.

FV = 9.300 i = 6% a.m. n = 48 dias (48/30)

3. Calcular a taxa de juros mensal em uma operação de juros simples resultado

de aplicação de R$ 12.000, durante 90 dias, que proporcionou um resgate de

R$ 13.260 no seu rendimento:

PV = 12.000 FV = 13.260 n = 90 dias( 3 meses)

Solução: PV = 9.300 = 8.485,40 1 + 0,06 x 48 30

HP-12C→ 9.300 I 0,06 48 30

Solução: FV = 8.500.(1+ 0,07 x 4) = 10.880,00

HP-12C→ 8.500 1 0,07 4

Solução: 13.260 i = 12.000= 3,5% a.m. 3

HP-12C → 13.260 12.000 1 3 100

– 1


20

4. Qual o tempo necessário para que um capital de R$ 18.800 aplicado a uma

taxa de juros simples de 4,5% a .m proporcione um resgate de R$ 24.510,50.

PV = 18.800 FV = 24.510,50 i = 4,5% a .m.

2.3. UTILIZAÇÃO DA HP-12C NO CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES

Para o cálculo dos juros simples a HP-12C tem utilização limitada, pois só

calcula os juros e o montante. Além do mais a introdução do período tem que

ser em dias e a taxa expressa em termos anuais:

INT

tempo valorpresente

taxa de juros

Rotina:

a) limpar os registradores financeiros f FIN

b) Introduzir o período em dias "n"

c) Introduzir a taxa de juros anual "i"

d) Introduzir o principal CHS PV

e) Pressionarf INT para obtenção dos juros calculados na base de um ano de

360 dias.

f) Pressionar (+) para obter o montante.

Solução: 24.510,50 n=18.800= 6,75 0,045

HP-12C → 24.510,50 18.800 1 0,045

Resposta correta: 6 meses e 22 dias.

– 1

n i PV


21

Exemplos

1. Uma pessoa aplicou R$ 350.000 a uma taxa de juros simples de 5% a .m, pelo

período de 6 meses.

2. Um empréstimo de R$ 8.000,00, foi concedido por uma empresa a um

funcionário que se prontificou a pagar no final de quatro meses, à taxa de juros

simples de 3% ao mês. Calcular os juros pagos pelo funcionário e montante

utilizado para liquidação dos do débito.

Solução:

DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO

0,00 Limpa a memória financeira

350000 350.000,00 Entra com o valor presente

60 60,00 Entra com a taxa anual

180 180,00 Entra com tempo em dias

105.000,00 Calcula os juros simples

455.000,00 Calcula o montante

103.561,64 Valor dos juros – Ano Civil

Solução:


0,00 Limpa a memória

financeira

8.000,00 8.000,00 Entra com o valor

presente

3 12 36,00 Entra com a taxa anual

4 30 120,00 Entra com tempo em

dias

960,00 Calcula os juros simples


946.85 Valor dos juros – Ano

Civil


22

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

1. Qual a taxa de juros simples que aplicada a um capital de R$ 300.000,00

gera um montante de R$ 354.000,00 em seis meses?

Resposta: 3% a m.

2. Qual o juro simples total pago pelo empréstimo de R$ 100.000,00 durante

30 dias as taxas variáveis de 1,5% a m. (durante 12 dias); 1,8% a m.

(durante 08 dias) e 2,3% am. (durante 10 dias)?

Resposta: R$ 1.846,67

3. O montante de um capital de R$ 66.000,00 ao final de 14 meses é

determinado adicionando-se R$ 55.440,00 de juros. Calcular a taxa linear

mensal e anual utilizada.

Resposta: 6% a m. 72% a a.

4. Um eletrodoméstico é vendido em quatro pagamentos mensais e iguais.

O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são

vendidos em 30, 60 e 90 dias. Sendo de 5% ao mês a taxa linear de juros,

pede-se calcular até que valor interessa adquirir o bem à vista; (valor

percentual).

Resposta: 93,28%

5. Um investidor com certo volume de capital deseja diversificar suas

aplicações no mercado financeiro. Para tanto aplica 60% do capital numa

alternativa de investimento que paga 25,2% a a. pelo prazo de 60 dias. A

outra parte é investida numa conta de capitalização por 30 dias sendo

remunerada pela taxa linear de 2,5% ao mês. O total dos rendimentos

auferidos pelo aplicador atinge R$ 19.520,00. Pede-se calcular o valor de

todo capital investido;

Resposta: R$ 554.545,45


23

6. Um título com renda final negociado no mercado financeiro está pagando

27.6% ao ano de juros simples. A alíquota do imposto de renda é de 20%

e incide sobre o valor dos rendimentos, sendo pago no momento da

aplicação. Determinar a taxa anual líquida(após o IR) de rentabilidade do

investidor;

Resposta: 20,92% a. a.

7. Uma aplicação de R$ 150.000,00 é efetuada pelo prazo de 03 meses à

taxa de juros simples de 36% a.a.Que outra quantia deve ser aplicada por

dois meses à taxa linear de 24% a.a. para se obter o mesmo rendimento

financeiro?

Resposta: R$ 337.500,00

8. O valor de resgate de um título é 140% maior que o valor da aplicação.

Sendo de 30% a.a. a taxa de juros simples, pede-se calcular o prazo da

aplicação;

Resposta: 56 meses

9. Se o valor atual de um título é igual a 4/5 de seu valor nominal e o prazo

de aplicação for de 10 meses. Qual a taxa de juros simples mensal

considerada;

Resposta: 2,5% a.m.

10. Um capital aplicado por 8 meses formou um montante de R$ 8.140,00 e

em seguida (no final do oitavo mês) aplicado por mais 15 meses

gerando um novo montante de R$ 10.450. Qual o valor aplicado?

Resposta: 7.069,95.

11. Dois terços de um capital(2/3) foram investidos a 9,8% ao ano e o

restante a 11% ao ano. No fim de três anos a diferença entre os juros

auferidos é de RS 180,00. Qual o valor do capital investido?

Resposta: 2.093,02.


24

12. Determinado aparelho custa à vista R$1.000,00, podendo ser vendido

com entrada de 20% mais uma prestação de R$ 856,00 no final de 35

dias. Calcular a taxa de juros simples anual cobrada pela loja.

Resposta: 72% a.a.

13. Qual o prazo que um investidor deve aguardar para ganhar em uma

aplicação o equivalente a 1/5 do seu valor investido, a uma taxa de juros

simples de 16% ao ano.

Resposta: 1 ano e 3 meses

14. Uma empresa contrai um empréstimo de R$ 750.000,00 à taxa de juros

simples de 3,3% ao mês. Em determinada data liquida esse empréstimo

pelo montante de R$ 923.250,00 e contrai nova dívida de R$ 400.000,00

pagando uma taxa linear mais baixa. Este último empréstimo é

resgatado é liquidado dez meses depois pelo montante de R$ 496.000,00.

Calcular: a) o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos;

b) a taxa de juros simples mensal e anual cobrada no segundo

empréstimo.

Resposta: a) 7 meses; R$ 173.250,00;

b) 2,4% ao mês; 28,8% ao ano

15. Qual o tempo necessário para triplicar um capital aplicado à taxa

á taxa de juros simples de 12% ao trimestre?

Resposta: 16 trimestres e 2 meses.


25

3.CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 3.1. JUROS COMPOSTOS

É aquela que no final de cada período os juros são incorporados ao capital

para renderem juros no período seguinte, ou seja, a taxa de juros incide sobre o

principal acrescido dos juros acumulados no período anterior.

Ex.: 100 a 10% ao período

PERÍODO SALDO INICIAL JUROS SALDO FINAL

0

1

2

3

4

-

100,00

110,00

121,00

133,10

-

10,00

11,00

12,10

13,31

100,00

110,00

121,00

133,10

146,41

Como pode ser observado o crescimento dos juros deixa de ser linear e

passa a ser exponencial. Nos juros compostos não existe a proporcionalidade dos

juros simples o que inviabiliza os cálculos efetuados através de regra de três.

3.2.MONTANTE COMPOSTO

Se formos capitalizar o principal em cada período pelo fator de capitalização

(1+ i), chegaremos a fórmula do montante composto:

FV1 FV2 FV3 FVn

(1+i) (1+i) (1+i) …

0 1 2 3 n

PV

FV1 = PV (1+i)

FV2 = FV1 (1+i) = PV.(1+i)(1+i) = PV (1+i)²

FV3 = FV2 (1+i) = PV.(1+i)²(1+i) = PV (1+i)³

.........................................................................


26

FV n = FV n - 1 (1+i) = PV(1+i)n-1. (1+i) = PV(1+i) n

Considerando FVn = FV temos que:

(3.1)

Fórmulas Derivadas:

(3.2)

(3.3)

(3.4)

3.3.FUNÇÕES FINANCEIRAS UTILIZADAS EM JUROS COMPOSTOS

tempo valor presente valor futuro

taxa de juros pagamentos periódicos

Ao contrário dos juros simples o software dos juros compostos é mais

dinâmico, utilizando as cinco funções, bastando somente compatibilizar tempo e

taxa, o seja, ambos têm que ter a mesma unidade de tempo. Para cálculo dos

juros compostos basta ter três variáveis definidas e uma quarta para definir. Em

alguns que veremos mais na frente lidamos com quatro variáveis definidas e uma

quinta a definir. Vejamos agora como se calcula os juros compostos com a 12C:

FV= PV.(1 + i)n

n i PV PMT FV

FV= PV.(1 + i)n

FV (1 + i)n PV =

FV PV

– 1 i =

n

FV PV

ln (1+i)

n =

ln


27

Exemplos

1. Uma pessoa aplicou R$ 12.000 a taxa de juros compostos de 3% ao mês

durante quatro meses. Calcular o montante e os juros:

2. Uma pessoa aplicou certa quantia em um fundo de renda fixa à taxa de 2% ao

mês, durante 6 meses, e obteve um resgate de R$ 48.000. Calcular o valor

aplicado.

Solução:



12.000,00 -12.000,00 Entra com o valor do

principal

3 3,00 Entra com a taxa mensal

4 4,00 Entra com tempo em meses


1.506,11 Calcula os juros compostos

(FV – PV)

Observe que os dados deste problema foram os mesmos para o cálculo dos

juros simples. Compare os resultados.

PV

Solução:



48.000 -48.000,00 Entra com o valor futuro

2 2,00 Entra com a taxa mensal


42.622,63 Calcula o investimento inicial


28

3. Uma empresa investiu R$ 230.000 durante três meses em um fundo de

investimento e obteve um montante de R$ 242.644,90. Calcular a taxa de juros

compostos envolvida na operação.

4. Uma empresa aplicou R$ 560.000 em um Banco à taxa de juros compostos de

1,5% ao mês e obteve um resgate de R$ 601.485,32. Calcular o tempo da

operação.

Solução:



230.000 230.000,00 Entra com o valor presente

242.644,90 242.644,90 Entra com o valor de

resgate


1,80 Calcula a taxa de juros

Cont. Solução: É importante observar que a ordem de entrada dos dados não influencia no

resultado. Entretanto, devemos obedecer a convenção do fluxo de caixa:

entrada e saída de capital. Porquanto deve-se entrar com o PV e o FV com

sinais trocados, caso contrário a calculadora não executará o cálculo e

apresentará no visor a mensagem de erro: ERROR 5 ( falha na convenção

de caixa).

Solução:



560.000 -560.000,00 Entra com o valor presente

601.485,32 601.485,32 Entra com o valor de resgate

1,5 1,50 Entra com a taxa mensal

5,00 Calcula o tempo


29

Cont. Solução: Este resultado não corresponde à realidade, ou seja, não está correto, pois se

pressionarmos a função FV, novamente, vamos verificar que o montante se

altera e o mostrador da calculadora vai acusar um valor de R$ 603.279,04, o

que demonstra que o resultado cinco, obtido no cálculo, está arredondado

para mais. A calculadora vai sempre apresentar um cálculo alterado quando o

fator tempo for fracionário. Esta é uma das poucas deficiências de nossa

calculadora HP-12C. Neste caso aconselhamos o seguinte:

a) Calcular o tempo pelo método científico, ou seja, através de logaritmos.

b) Ou transformar a taxa na menor unidade de tempo, no caso, em dia, pelo

método exponencial e calcular a quantidade de dias para transformar em

outra unidade de tempo.

O método científico (algébrico) é o mais exato, portanto vamosresolver nosso

problema através de logaritmos:

Considerando afórmula do montante: FV = PV ( 1 + i )n temos que:

FV/PV = (1 + i)n

Utilizando-se a propriedade matemática dos logaritmos de que o logaritmo de

uma potência é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo da base, temos:

ln (FV/PV) = n.ln (1 + i) onde n = ln (FV/PV) / ln (1 + i ) portanto:

n = ln(601.485,32 / 560.000) / ln (1 + 0,015) = 4,8 . Daí temos um resultado de 4 meses e 24 dias ( os dias são calculados multiplicando-se a fração do mês 0,80 pela quantidade de dias do mês, considerando ano comercial, ou seja 30 dias).


30

5. Uma fundação aplicou R$1.500.000 em um certificado de depósito bancário –

CDB, a uma taxa pré-fixada de 1,4% ao mês, pelo prazo de 38 dias. Calcular:

a) Valor do resgate bruto

b) Imposto de renda

c) Resgate líquido

Outros exemplos comparando-se o cálculo algébrico como financeiro.

1. Qual o montante de uma aplicação no total de R$ 175.000, pelo período de 3

meses a uma taxa de 2% a .m, no regime de juros compostos:

PV = 175.000 i = 2% a .m. n = 3 meses

Solução:



1.500.000 -1.500.000,00 Entra com o valor presente

1,4 1,40 Entra com a taxa

38 30 1,27 Entra com tempo

1.526.649,48 Calcula o resgate bruto

26.649,48 Calcula o rendimento bruto

20 5.329,90 Calcula o imposto de renda

- 21.319,59 Calcula o valor do

rendimento líquido

1.521.319,59 Calcula o valor do resgate líquido

CHS

PV

Solução:

HP-12C → 175.000 1,02 3


31

2. Qual a taxa de juros mensal que aplicada durante 120 dias , em um capital R$

88.000 rende R$ 95.366,14?

PV = 88.000 FV = 95.366,14 n = 120 dias ( 4 meses)

Cont. Solução:

HP-12C →ROTINA FINANCEIRA

Limpa o visor

175000 Principal

3 Introduz o período

2 Introduz a taxa

185.711,40 Valor do montante

EXCEL →= VF (2%; 3; 0; -175.000; 0) 185.711,40

Solução:

HP-12C → 95.366,14 88.000 4 1 100


95.366,14

88.000

4

2,03

EXCEL →= TAXA (4; 0; -88.000; 95.366; 4; 0)

– 1 4

i = =2,03% a.m. 95.366,14 88.000,00


32

3. Qual o prazo de aplicação necessária para um capital de R$ 750.000, a uma

taxa de juros compostos de 1,8% a. m produzir o montante de R$ 839.662,38.

PV = 750.000 FV = 839.662,38 i = 1,8% a .m

Solução: Ou seja,06 meses e 10 dias

HP-12C→839.662,38 750.000 1,018


Limpa registradores financeiros

839.662,38 Introduz o montante

750.000 Introduz o principal

1,8 Introduz a taxa

7 Tempo

Obs.: Se pressionarmos a tecla FV para ver qual o montante produzido em

n=7 vamos verificar que o período não é correto, pois conforme vemos no

cálculo algébrico a resposta correta é 6 meses e 10 dias. A HP-12C sempre

arredonda para maior. No cálculo do período aconselhamos a solução pelo

método algébrico (através de logaritmos) ou utilizando a taxa equivalente

diária (estudada no terceiro capítulo desta apostila).

n = = = 6,33

839.662,30 750.000,00

ln (1+0,018)

ln 0,112927

0,01784


33

4. Um aplicador investiu R$ 200.000, pelo período de 8 meses à taxa de juros

compostos de 28% a .a. Calcular o montante da operação.

PV = 200.000 n = 8 i = 28% a . a

3.4.FÓRMULA PARA DEMONSTRAR OS JUROS COMPOSTOS

J = FV – PV

J = PV( 1+i ) n - PV

(3.5)

Solução: FV = 200.000 (1 + 0,28) 8/12= 235.778,02

HP-12C → 200.000 1,28 8 12


Limpa registradores financeiros

200.000 Introduz o principal

28 Introduz a taxa

8 12 Introduz o período

235.778,02

Obs.: Caso a máquina estivesse sem o anúncio "c" no "display" o resultado

teria um valor maior uma vez que quando o período for fracionário a

calculadora interpola linearmente e efetua o cálculo da parte fracionária no

regime de juros simples. Experimente tirar o anúncio "c" da calculadora

pressionando as teclas (STO e EEX) e pressione FV. O resultado do montante

passa a ser R$ 237.333,33. Chamamos a atenção para que o anúncio "c"

fique sempre aceso no visor da calculadora. Para recolocá-lo basta repetir a

operação STO EEX.

EXCEL →= VF (2%; 3; 0; -175.000; 0) 185.711,40

J= PV.[(1 + i)n – 1]


34

3.5. JUROS COMPOSTOS COMPARADOS AOS JUROS SIMPLES

Façamos a comparação de uma aplicação de R$ 20.000,00 à taxa de

2%a.m.

Período em dias/mês Montante Simples

FV = PV(1 + in)

Montante Composto FV = PV (1+i)n

5 dias

15 dias

25 dias

30=1mês

3 meses

4 meses

5 meses

20.066,67

20.200,00

20.333,33

20.400,00

21.200,00

21.600,00

22.000,00

20.066,11

20.199,01

20.332,78

20.400,00

21.224,16

21.648,64

22.081,62

Daí comprovamos que quando "n" for menor que 1 período ( período da

taxa) os juros simples são maiores que os juros compostos. Quando "n" for igual a

1 os juros compostos são iguais aos juros simples e quando "n" for maior do que 1

os juros compostos são maiores do que os juros simples.


35

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS COMPOSTOS

PROBLEMA 01

Um empresário efetuou um pagamento a um Banco de R$ 400.000, referente

ao valor de um empréstimo contraído há dois anos. A taxa de juros foi de 4,5%

ao mês. Calcular o valor do empréstimo.

PROBLEMA 02 Uma determinada loja financia um bem de consumo durável no valor de R$

1.600, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 5.251,21 no final de 27 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?

Solução:

TECLAS VISOR SIGNIFICADO

0,00 Limpa Registradores.

400.000 400.000,00 Valor Futuro.

24 24,00 Prazo (meses).

4,5 4,5 Taxa Mensal.

-139.081,39 Valor Emprestado.

NOTAS

1. A calculadora HP - 12C foi concebida segundo o conceito de fluxo de caixa;

assim sendo, às entradas de caixa está associado o sinal (+) e às saídas de

caixa o sinal ( - ). Portanto, essa resposta, com sinal negativo, apenas indica

que R$ 139.081,39 é uma saída de caixa e R$ 400.000,00 uma entrada de

caixa (problema enfocado do ponto de vista do banco.

2. Ao invés de pode-se usar também

.

3. É importante lembrar que a função REG apaga os registradores.


36

PROBLEMA 03

Qual o prazo necessário para que um empréstimo de R$ 88.000 possa ser

quitado em um único pagamento de R$ 150.000 sabendo-se que a taxa é de

32,25% ao ano.

Solução:


0,00 Limpa registradores.

16000 16.000,00 Valor do Financiamento

52512.15 52.512,15 Valor futuro

27 27,00 Prazo do Financiamento

(em meses)

4,50 Taxa mensal

PMT

Solução:


0,00 Limpa registradores

88.000 -88.000,00 Valor do Empréstimo

150.000 110.624,65 Valor do Resgate

32,25 32,25 Taxa anual

2,00 Prazo anos

Obs.: Esta resposta não corresponde à realidade, uma vez que o prazo

correto é 1,9 que corresponde a um ano, dez meses e 26 dias. Para tanto é

necessário aplicar o logaritmo:


37

PROBLEMA 4

Qual o montante correspondente a uma aplicação de R$ 200.000, pelo prazo de

16 meses, a uma taxa de 1,8% ao mês.

Cont. Solução:

TECLA VISOR SIGNIFICADO

150.00,00 Recupera o valor de resgate

88.000,00 Recupera valor do empréstimo e

troca sinal

1,704545 Razão entre FV e PV

0,533298 Logaritmo da razão

100 1

1,3225 Recupera a taxa e transforma

em fator

0,279524 Calcula o logaritmo do fator

1,907882 Prazo fracionado em ano

Aplicar a regra de três:

1/12 = 0,9/x ... x= 10 meses

1/30 = 0,89/x ... x= 27 dias

Resposta:1ano 10

meses e27 dias

Obs.: Quando se trata de prazo devem-se utilizar os recursos do logaritmo,

pois a calculadora arredonda a resposta, o que pode acarretar distorções

significativas no cálculo.

Solução:



200.000 200.000,00 Valor da Aplicação

16 16,00 Prazo (em meses)

1,8 3,39 Taxa mensal

-266.069,10 Valor do Montante


38

PROBLEMA 5

Um título deverá ser resgatado por R$ 250.000 no seu vencimento, o que

ocorrerá dentro de sete meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de

48% ao ano, determinar o seu valor presente.

PROBLEMA 6

Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.

Solução:



250.000 -250.000,00 Valor de resgate

48 48,0 Taxa anual

7 12 0,5833 Prazo (em fração de ano)

198.893,54 Valor presente

Obs: O indicador “C” deve estar aceso no lado direito do visor, caso contrário a

calculadora fará interpolação linear (quando o tempo for menor do que o prazo

da taxa) e o cálculo será alterado para maior. Utilize a função STO EEX para

posicionar o “C”.

Solução:


1.02 1,02 Forma o fator

12 1 0,27 Taxa anual (forma unitária)

100 26,82 Taxa anual (percentual)


39

PROBLEMA 7

Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano.

Essas questões (6 e 7) serão melhor compreendidas após o estudo do

capítulo destinado a taxas de juros (IV).

Solução:


1.60103 1,60103 Forma o fator

12 1,04 Fator mensal

1 100 4,00 Taxa Mensal (percentual)


40

4. TAXAS DE JUROS 4.1.JUROS PROPORCIONAIS

São as taxas de juros simples cujo crescimento é linear, ou seja, cresce em

linha reta (progressão aritmética).

Ex.: 60% a.a. corresponde a 5% a.m.

Cálculo: 60/12 = 5

0,5% a.m. corresponde a 6% a.a.

Cálculo: 0,5 x 12 = 6

As taxas de juros simples são, como vimos, proporcionais e também

equivalentes, pois uma ou mais taxas aplicadas em um mesmo capital, por um

mesmo período de tempo rendem um mesmo montante.

Exercícios

1. Calcular a taxa anual equivalente a 2% a.d.

Resp. 720% a.a.

2. Calcular a taxa diária equivalente a 9% a.b.

Resp. 0,15 % a.d.

3. Calcular a taxa diária equivalente a 6% a.m.

Resp. 0,2% a.d.

4. Calcular a taxa para 58 dias equivalente a 10% a.m.

Resp. 19,33% em 58dias

5. Calcular a taxa para 90 dias equivalente 8% a.s.

Resp.4% a.t.


41

6. Calcular a taxa anual equivalente a 0,0041% a.d.

Resp. 1,476% a.a.

7. Calcular a taxa mensal equivalente a 28% em 196 dias

Resp. 4,28% a.m.

Obs.: Nos juros simples a taxa equivalente é também proporcional.

4.2. TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS)

4.2.1.Taxas Equivalentes

Duas ou mais taxas são equivalentes no regime de juros compostos quando

aplicadas em um mesmo capital no mesmo período rendem o mesmo montante.

Como vemos a definição é idêntica à equivalência de taxas na capitalização

simples, entretanto é bom lembrar que nos juros compostos o comportamento da

taxa é exponencial não cabendo, portanto a prática de dividir e multiplicar taxas.

60% a.a. corresponde a 3,994411% a.m.

Extrair a raiz 12 do fator 1,60 diminuir 1 e multiplicar por 100.

Vejamos com a HP-12C: 60 enter 100 divide 1 + 12 1/x Yx 1 - 100 x

0,5% a.m. corresponde a 6,17% a.a.

Eleve o fator 1,005 a potência 12 diminuir 1 e multiplicar por 100.

Vejamos com a HP-12C: 0,5 enter 100 divide 1+ 12 Yx 1 - 100x

(4.1)

Onde:

iq = taxa que quero it= taxa que tenho q = tempo que quero t = tempo que tenho

i q= (1 + i t) q/t

-1


42

EXERCÍCIOS 1. Calcular as taxas equivalentes:

a) 3% a.m. equivalente à taxa anual Resp. 42,58% a.a.

b) 50% a.a. equivalente ao bimestre Resp. 6,99% a.b.

c) 0,5% a.m. equivalente ao semestre Resp. 3,04% a.s.

d) 0,0048% a.d. equivalente ao ano Resp. 1,74% a.a.

e) 15% ao semestre equivalente ao ano Resp. 32,25% a.a

f) 4% a. t. equivalente ao quadrimestre Resp. 5,37% a. q.

g) 10% a. s. equivalente em 211 dias Resp. 11,83% em 211 dias

h) 1% em 12 dias equivalente em 180 dias Resp. 16,10% a. s

i) 8% a. q. equivalente em 28 dias Resp. 1,81% em 28 dias

j) 50% em 400 dias equivalente ao ano Resp. 44,04% a.a.

k) 70% em 700 dias equivalente em 3 dias Resp. 0,2277% em 3 dias

l) 20% ao ano equivalente ao dia Resp. 0,05% a. d.

m) 0,067 em 4 dias equivalente ao semestre Resp. 3,06% ao semestre

n) 21,75% ao ano equivalente ao mês Resp. 1,65% a.m.

o) 30% ao equivalente ao semestre Resp. 14,02% a.s.

p) 1,5% em 45 dias equivalente ao mês Resp. 1% a.m.

q) 8% ao dia equivalente em 15 dias Resp. 217,22% em 15 dias

r) 60% ao ano equivalente ao trimestre Resp. 12,47% a.t.

s) 115.000% a.a. equivalente ao mês Resp. 79,92% a.m.

t) 80% a.m. equivalente ao ano Resp. 115.583,14% a.a

u) 0,88% ao mês equivalente ao ano Resp. 11,09% a.a.

v) 1,08% ao mês equivalente ao trimestre Resp. 3,28% a.t.

w) 29% ao ano equivalente ao mês Resp. 2,14% a.m.

x) 6% ao ano equivalente ao mês Resp. 0,49% a.m.

y) 8% ao mês equivalente ao ano Resp. 151,82% a.a.

z) 0.0058 ao dia equivalente em dois anos Resp. 4,26% em 2 anos


43

CURIOSIDADE As taxas acima retratam as diversas fases da realidade da economia brasileira e mundial. As mais baixas representam épocas de inflação baixa como a que estamos vivendo na época do Real e as mais altas representam a época da inflação galopante como aquelas registradas no governo de Sarney. Outras, entretanto, não espelham a realidade, mas servem para mostrar como as taxas se comportam em termos de tamanho.

4.3. TAXAS EFETIVAS E NOMINAIS

Quando o período da taxa é diferente dos períodos de capitalização.

Ex.: 6% a.a. capitalizado mensalmente

2,8% ao mês capitalizado diariamente

Cálculo da taxa Efetiva a partir da taxa nominal:

(4.2)

j = taxa nominal

k = períodos de capitalização

i = taxa efetiva

Obs.:Lembre-se o resultado tem que ser multiplicado por 100

6% ao ano capitalizado mensalmente (Poupança)

i = ( 1 + 0,06/12)¹² - 1 = 6,17% a.a.

2,8% a.m. capitalizado diariamente

i = ( 1 + 0,028/30)³º - 1 = 2,83% a.m.

Caso queiramos encontrar uma taxa Nominal a partir da taxa efetiva

utilizamos a fórmula abaixo, que é a transformação algébrica da fórmula da taxa

efetiva:

(4.3)

i = (1 + j/k )k

- 1

j =k. [(1 + i )1/k

- 1]


44

Lembrem-se: A taxa efetiva é aquela cujo período de capitalização coincide com

o período da taxa. Como exemplo, podemos citar todas as taxas dos exercícios

anteriores onde não se fala em períodos de capitalização.

4.4. CÁLCULO DO MONTANTE COMPOSTO COM TAXA NOMINAL

Podemos calcular o montante composto utilizando a seguinte fórmula:

(4.4)

Exemplo

1. Um empréstimo de R$ 7.000,00 foi concedido para pagamento em só vez no

final de um ano e meio, à taxa negociada foi de 60% ao ano com capitalização

mensal. Calcular o valor no ato da liquidação:

FV =PV. (1 + j/k )k.n

- 1]

Solução: Algébrica: FV = 7.000.(1+0,60/12)12 x 1,5 = 16.846,33

{ 7000 E 0,60 E 1 + 12 E 18 : Yx X }



7000 7.000,00 Entra com o valor presente

60 12 5,00 Entra com a taxa mensal

12 1,5 18,00 Períodos de capitalização

16.846,33 Calcula

16 455.000,00 Calcula o montante

103.561,64 Valor dos juros – Ano Civil


45

EXERCÍCIOS DE EQUIVALÊNCIA ENVOLVENDO TAXAS NOMINAIS E

EFETIVAS

a) Calcular a taxa efetiva anual equivalente à:

1) 24% a.a. com capitalização mensal

2) 28% a.a. com capitalização trimestral

3) 21% a.a. com capitalização quadrimestral

4) 40% a.a. com capitalização semestral

5) 30% a.a. com capitalização anual

b) Calcular a taxa Nominal a partir da taxa Efetiva:

6) 90% a.a. equivalente a taxa Nominal c/ cap. Mensal

7) 60% a.a. equivalente a taxa nominal c/cap. Trimestral

8) 30% a.s. equivalente a taxa Nominal c/cap. Bimestral

9) 3% a.m. equivalente a taxa Nominal c/cap. Diária

c) Calcular ainda:

10) 60% a.a. c/cap. Mensal equiv. Taxa anual c. cap. trimestral

11) 40% a.a. c/cap. Trimestral equiv. Taxa anual com cap. Quadrimestral

12) 30% a.s. c/cap. Bimestral equiv. Taxa trimestral com cap. Mensal

13) 38% a.a. c/cap. Quadrimestral equivalente a taxa efetiva mensal

14) 58% a.a. c/cap. Mensal equivalente a taxa efetiva anual.

15) 8% a.m. c/cap. Quinzenal equiv. A taxa trimestral c/cap. Mensal

16) Qual a taxa de juros simples equivalente à taxa de 48% a.a. com

capitalização trimestral durante o prazo de 2 anos?

17) Taxa anual efetiva equivalente a 12% a.a. c/cap. Mensal

18) Taxa efetiva semestral equiv. A 6% a.a. com cap. Trimestral

19) 28% a.a. equivalente aos seguintes períodos:

a) Mensal


46

b) Bimestral

c) Trimestral

d) Quadrimestral

e) Semestral

f) 8 meses

g) 15 dias

h) 1.000 dias

i)01 dia

j) 98 dias

k) 211 dias

4.6.COMO PROGRAMAR TAXAS EQUIVALENTES NA HP-12-C

EXECUTANDO O PROGRAMA

Taxa que tem

Tempo que quer dividido pelo tempo que tem(q/t)

entra no módulo de programação da calculadora

limpa a memória de programação

recupera a taxa de juros

100 1 sai do módulo de programação da calculadora

recupera o tempo e eleva

1 100 subtrai 1 e multiplica por 100

sai do módulo de programação da calculadora

+

R/S


47

4.7. TAXAS E ÍNDICES VARIÁVEIS/ INFLAÇÃO

Operações financeiras que envolvem taxas de juros diferentes como, por

exemplo, a poupança que todo mês apresenta uma taxa de juros variável em

função da inflação. Também variam mês a mês os diversos índices de preço

como INPC, INCC, IGP-DI, IGP-M além de parâmetros fiscais como UFIR e

outros.

Fórmula para o cálculo das taxas variáveis acumuladas:

(4.5)

Leia-se: produtório das taxas variáveis

Exemplos 1. Em determinada época a poupança apresentou as seguintes taxas de

jurosmensal: Janeiro: 1,08 - fevereiro: 1,21 - março: 1,34.Calcular a

taxa acumulada do primeiro trimestre:

2. Um investidor aplicou em fundo de poupança R$ 10.000,00 às taxas de 1,03%,

2,01%, 1,8% e 1,667% nos quatro meses da aplicação. Qual o montante

resgatado no final do quadrimestre?

Solução: iac = ( 1+ 0,0108) ( 1+ 0,0121) ( 1+ 0,0134) - 1 = 3,67 % Caso queiramos calcular o montante com taxas variáveis utilizamos a

seguinte fórmula:

FV = PV . 𝜋. (1 + it)

n

t=1

Solução: Aplicando-se a fórmula:

FV = 10.000 . ( 1 + 0,0103) . ( 1 + 0,0201) . ( 1 + 0,018) . ( 1+ 0,01667) =

FV = 10.666,47

iac = 𝜋(1 + it) - 1

n

t=1


48

TAXA REAL ( r )

TAXA APARENTE (i)

TAXA DE INFLAÇÃO (I)

Podemos afirmar que: ( 1 + i ) = ( 1 + r ) . ( 1 + I )

Por dedução podemos calcular a taxa aparente (ganho aparente):

Taxa Aparente:

(4.6)

Taxa Real:

(4.7)

Taxa de Inflação:

(4.8)

A taxa real considera os efeitos inflacionários do período considerado. Para

obtê-la se faz necessário expurgar a perda ou ganho inflacionário decorrente do

processo da alta geral dos preços. A taxa real representa a taxa de juros acima da

inflação paga ou ganha em uma operação. Ela pode ser positiva ou negativa

dependendo se a taxa de inflação excedeu ou não a taxa efetiva. A taxa de

inflação é a razão entre a taxa aparente e a taxa real.

i = (1 + r).(1 + I) - 1

(1 + i)

(1 + I) r = - 1

(1 + i)

(1 + r) I = - 1


49

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Uma aplicação rende juros reais de 6% a.a. capitalizados mensalmente. Qual a

taxa de juros efetivas anual ganha pela aplicação e qual a taxa de rendimento

anual real se a taxa de inflação foi de 4,8%.

Dados:i = 6 12

2. Durante um trimestre a inflação apresentou as seguintes taxas: 3% ; 1,95% e

1,98%. Sabendo-se que no mesmo período uma aplicação apresentou taxa de

4%, calcular o ganho ou prejuízo real em termos percentuais e a taxa média da

inflação.

Dados:i = 4% a t.

Solução: i = 1 + . (1 + 0,048) – 1 =

i = 1,005 x 1,048 - 1 = 11,26%. aa Significa dizer que a taxa aparente da operação é: 11,26% a.a.

Solução: I1 = 3,00 I2 = 1,95

I3 = 1,98

Onde:

Significa dizer que a aplicação apresentou uma taxa real negativa, ou seja, houve um prejuízo real de – 2,88% no trimestre.

Taxa média de inflação é simplesmente a descapitalização da taxa trimestral de inflação para a taxa mensal que corresponde a média geométrica:

Im = [ (1 + 0,03) (1 + 0,0195) ( 1 + 0,0198)] 1/3 – 1 = 2,3% ao mês

0,0612

12

(1 + i )

π (1 + it ) r = n

t=1

(1 + 0,04 )

(1 + 0,03).(1+ 0,0195).(1+ 0,0198) r = = - 2,88%


50

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO JUROS COMPOSTOS

1. Admita que uma empresa irá necessitar de R$ 330.000 em 11 meses e R$

470.000,00 em 14 meses. Quanto deverá ela depositar hoje numa

alternativa de investimento que oferece uma taxa efetiva de rentabilidade

de 80% a.a.

Resposta: R$ 429.281,49

2. Uma taxa efetiva de juros quadrimestrais é utilizada em um investimento

gerando um total de juros, ao final de 2 anos, igual a 270% do valor do

capital aplicado. Determinar essa taxa de juros.

Resposta: 24,3656% a.q. :. 92,3538% a.a.

3. Uma pessoa deve a outra a importância de R$ 1.200,00. Para a liquidação

da dívida propõe as seguintes condições de pagamento: R$ 350,00 ao

final de 2 meses; R$ 400,00 ao final de 4 meses; R$ 170,00 ao final de sete

meses e o restante ao final de um ano. Sendo de 9% am a taxa de juros

cobrada no empréstimo pede-se calcular o último pagamento.

Resposta: R$ 1.487,95.

4. Um investidor depositou num banco um valor a juros compostos.

Sabendo-se que após 6 meses tinha um saldo de R$ 2.859,80 e, passados

mais cinco meses, o saldo passou a R$ 3.096,02, calcule quanto foi

aplicado.


5. Uma determinada mercadoria foi adquirida em quatro pagamentos

bimestrais de R$ 140.000,00. Alternativamente, esta mesma mercadoria

poderia ser adquirida pagando-se 20% de seu valor de entrada e o

restante ao final de um semestre. Sendo de 72% a.a. a taxa nominal de

juros com capitalização mensal a ser considerada nesta operação pede-

se calcular o valor da prestação vencível ao final do semestre.

Resposta: R$ 478.920,20


51

6. Quanto um investidor pagaria hoje por um título de valor nominal de R$

900.000,00 com vencimento para daqui a um semestre. Sabe-se que esse

investidor está disposto a realizar a aplicação somente se auferir uma

rentabilidade efetiva de 120% a.a.

Resposta: R$ 606.779,88

7. Uma loja está oferecendo uma mercadoria no valor de R$ 90.000,00 com

desconto de 12% para pagamento a vista. Outra opção de compra é pagar

os noventa mil após 60 dias sem desconto. Calcular o custo efetivo

mensal de venda a prazo.

Resposta: 6,6% a.m.

8. Uma pessoa adquiriu um equipamento por R$ 2.000,00 a vista, mais duas

prestações iguais de R$ 2.000,00 cada uma. Estas prestações foram

pagas um e dois meses após a compra. Suponha a taxa de juros de 5%

a.m. O equipamento ficou em estoque e não sofreu depreciação. Calcule o

preço de venda do equipamento seis meses após sua aquisição para que

não haja lucro nem prejuízo nessa transação.


9. Uma Fundação aplicou R$ 100.000,00, sendo uma parte no Banco A à

taxa de 4% a.m. e a outra parte no Banco B a taxa de 6% a.m. O prazo de

aplicação foi mesmo, ou seja 10 meses. Se após esse tempo os

montantes forem iguais nos dois bancos, quais os capitais aplicados e

qual o valor de cada montante?

Resposta: PV(A) 54.747,70 PV(B) 45.252,30

FV(A) 81.039,91 FV(B) 81.039,97

10. O BANFCAP empresta a uma empresa determinada quantia que deverá

ser liquidada no final do nono mês pelo valor de R$ 1.304.773,18.

Determinar o valor que deve ser abatido no ato da contratação, uma vez

que a empresa deseja limitar esse pagamento final em R$ 1.200.000,00,

sabendo-se que o Banco opera no regime de juros compostos, à taxa de

3% a.m.



52

11. O capital de R$ 40.000,00 é aplicado é aplicado durante seis meses e

rende R$ 19.000,00 de juros compostos. Se a aplicação fosse de 8 meses,

qual seria o montante.


12. Uma dívida de 20.000,00 vencível em 60 dias foi negociada com dois

pagamentos iguais para 90 e 120 dias. Se a negociação é realizada à taxa

de 60% ao ano, com capitalização mensal, qual o valor de cada parcela.


13. Uma aplicação do capital PV foi efetuada à taxa de juros compostos de

6% ao mês, por dez meses. A que taxa mensal de juros simples devemos

aplicar o PV, pelo mesmo prazo, para obter o mesmo montante.

Resposta: 7,91% ao mês

14. Um investidor aplicou R$ 20.000,00, durante quatro anos à taxa nominal

de 14% ao ano com capitalização semestral. Ao término desse período

somente os juros ganhos foram reaplicados por 15 meses á taxa nominal

de 12% ao trimestre capitalizada mensalmente. Qual o rendimento dessa

última operação?

Resposta: R$ 11.504,53.

15. Uma pequena empresa tomou um empréstimo. O primeiro por três meses

a juros compostos de 5% ao mês e o segundo por dez meses a juros

compostos de 4% ao mês. Sabendo-se que pagou ao todo R$ 11.181,14 de

juros, qual o valor do primeiro empréstimo, sabendo-se que ele foi igual a

metade do segundo.



53

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ENVOLVENDO EQUIVALÊNCIADE CAPITAIS

1. ANA CARLA tem condições de aplicar seu dinheiro a 3,5% AM no

mercado de capitais. Se um amigo lhe pedir emprestado R$ 12.000,00 por

um ano, quanto deverá devolver para que sua aplicação seja equivalente

neste período?

Achar o Valor Futuro: FV

2. ANDREZA possui em seus haveres dois títulos de R$ 4.000,00 e R$

5.000,00, com vencimento para 180 e 360 dias. Pretendendo comprar uma

máquina industrial, procura descontar os títulos em um Banco. A gerente

GABRIELA que é sua amiga avisa-lhe que a taxa nominal é de 30%AA,

contudo a capitalização é mensal. ANDREZA aceita as condições do

Banco, pois o valor a receber é igual ao preço da máquina. Qual é o seu

valor?

Solução:

12.000 3,5 12 → 18.182,82

CHS PV i n

PV = 12.000,00

Fv=? 0 n=12

Solução: Trata-se de uma operação de desconto composto com a taxa nominal capitalizada mensalmente: 30/12=2,5% AM. Somente podemos dividir taxa de juros compostos nessa situação em que o período da taxa é diferente do período de capitalização. 30% AA c/c mensal é nominal; 2,5% AM já é a taxa efetiva mensal.

12.0003,5 12 → 18.182,82


54

3. Para viajar a negócio daqui a um ano CATARINA vende o seu carro hoje e

um terreno a 6 meses aplicando o dinheiro em uma instituição que paga

40%AA. O carro será vendido por R$ 30.000,00 e o terreno por

R$250.000,00, sendo que na viagem ela pretende gastar R$ 300.000,00

incluindo despesas de viagem e a compra de equipamentos para sua

indústria. Que saldo poderá deixar aplicado?

Cont. Solução:

Solução: Somar o valor atual dos títulos

4.000 2,5 6 → 3.449,19

5.000 12 → 3.717,78 3.449,19 + 3.717,78= 7.166,97 Observem que não foi necessário entrar com as funções FIN e i, pois apenas substituímos as variáveis alteradas: PV e n. 12.0003,5 12 → 18.182,82

CHS i n PV

CHS n PV

4000 5000 0 6 12

Solução:

30.000 250.000 300.000 0 6 meses 12 meses


55

4. MARCELA comprou uma enciclopédia, sem dar nada de entrada sob

condições de pagá-la em quatro parcelas quadrimestrais de R$ 1.000,00.

Como opção, o gerente da livraria lhe propôs uma entrada de R$ 1.500,00

e o saldo para 1 ano. De quanto será este saldo, se a taxa de juros for de

3% AM?

Solução:

Cont. Solução: Taxa: 40% AA Taxa efetiva anual que poderá ser convertida para mensal. Nesse caso pode-se, também, se trabalhar com a fração do ano: Solução da questão:

30.000 40 1 → 42.000,00

250.000 6 12 → 295.803,99 + 337.803,99 300.000 X><Y - →37.803,99 (valor que poderá ficar aplicado no final de um ano)

CHS PV i

CHS PV

1.000 0 1 2 3 4

1.500 X 0 n = 1 ano


56

5. O preço de um terreno é de R$ 50.000,00 ou R$ 60.000,00 a prazo. No

segundo caso o comprador deverá dar 20% como entrada e o restante em

duas parcelas iguais semestrais. Se a taxa de juros de mercado for de

30%AA. Qual será a melhor opção?

À vista: 50.000 À prazo: 60.000 20% de entradas: 12.000 Mais duas prestações de 24.000 Taxa: 30% ao ano

Cont. Solução:

1.000

1,03 4 1 100 4 →

3.002,44 →1.500

[1.502,44] 3 12 → 2.142,12

A taxa dada é 3% AM, nesse caso para a primeira opção teremos que convertê-la para quadrimestre. Para segunda opção trabalha-se com a taxa mensal

Solução:

24.000

2

1,30 2 1 100 [14,02...]

12.000 24.000 24.000 0 6 12 60.000


57

6. FLÁVIO aplicou R$ 100.000,00 em um Banco que paga 25% AA.

Pretendendo retirar o montante na época da colheita (6 meses) para evitar

problemas de capital de giro. Entretanto, decorridos 3 meses ele

necessitou de dinheiro, retirando então R$ 30.000,00. Que saldo poderá

retirar na época da colheita?

Cont. Solução: (Acha a taxa semestral)

[39.510] 12.000 + [51.510,93] Resp. A melhor opção é a compra à vista, tem o menor valor atual. Taxa efetiva:

50.000 12000

24.000 2 17,10% a.s.

1,1710 2 1 100 → 37,12% a.a. (Taxa efetiva anual)

Solução:

100.000 25 3 12

→ [105.737,13] 30.000 [75.737,13] 25

3 12

→ 80.082,26

0 3 6 meses 100.000


58

7. RACHEL deve R$ 2.000,00 hoje e R$ 5.000,00 para 1 ano. Propõe a seu

credor refinanciamento de sua dívida, comprometendo-se a liquidá-la em

3 parcelas semestrais iguais, vencendo a primeira em 6 meses. De quanto

serão as parcelas, se a taxa contratada for de 20% ao ano?

Solução: 1ª Opção:

5.000 20 1

→ [4.166,67] 2.000 → 6.166,67 2ª Opção:

6.166,67 3 1,20 2

1 100

→ 2.459,85. Valor das prestações da 2ª opção

X X X 0 6 12 18

5.000 2.000 0 1 ano


59

8. MARLY vendeu um carro para LAURA pelo preço de R$ 50.000,00. Quanto

às condições de pagamento, MARLY disse que LAURA pagar-lhe-ia na

medida do possível, sendo os juros de 40% ao ano. Os pagamentos

efetuados foram: R$ 5.000,00 (terceiro mês), R$ 10.000,00 (quinto mês),

R$ 20.000,00 (sexto mês). No fim do décimo segundo mês a compradora

diz querer saldar o seu débito total. Qual o valor do acerto final?

Solução:

5.000 40 3 12

→ 4.596,61

10.000 5 12 ; → 8.691,87 +

20.000 6 12 ; → 16.903,09 + → 30.191,57

50.000 X><Y – [19.808,43] 40 1

→ 27.731,80

20.000 X = ? 10.000 5.000 0 3 5 6 12


60

9. Uma dívida de R$ 150.000,00 para 12 meses e de R$ 300.000,00 para 24

meses foi transformada em 4 parcelas iguais semestrais, vencendo a

primeira a 6 meses. Qual é o valor das parcelas se considerarmos a taxa

de 25% ao ano?

Solução: Dívida original:

150.000 25 1 ; → 120.000

300.000 2 ; → 192.000 + → 312.000 Dívida renegociada:

312.000 4 1,25 2 1

100 [11,80...] ; → 102.296,12

300.000 150.000 0 12 24 meses

X X X X 0 6 12 18 24 312.000


61

10. Se uma instituição financeira paga 20% ao ano, quanto deverei depositar,

trimestralmente para, ao fim do quarto depósito, possuir R$ 10.000,00?

11. O preço à vista de uma casa é de R$ 500.000,00. O vendedor facilita a

transação, propondo o seguinte esquema: R$ 100.000,00 como entrada,

duas parcelas semestrais de R$ 200.000,00 e um pagamento final de R$

157.010,59. Se a taxa contratada for de 3% AM, quando será o último

pagamento?

Solução:

10.000,00 4 1,2 3 12

1 100 [4,66...]

→ 2.331,76

FV = 100.000,00 0 6 12 18 24

Solução:

500.000 100.000 [400.000] valor financiado

200.000 3 6 ; → 167.496,85

100.000 200.000 200.000 157.010,59 0 6 12 n=? 500.000


62

12. A loja ENSINOANTES vende um aparelho de som por R$ 600,00 à vista,

ou a prazo em 3 pagamentos mensais de R$ 200,00 e uma pequena

entrada. A taxa de juros adotada pela loja é de 7% ao mês. De quanto

deve ser a entrada?

Cont. Solução:

12 ; → 140.275,98 + [307.772,83]

400.000 X><Y – [92.227,17] ; 157.010,59 3 → 18 meses ou 1 ano e 6 meses

Solução:

200 3 7 ; → [524,86] 600,00 X><Y – 75,14

200,00 200,00 200,00 0 1 2 3 600,00


63

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO EQUIVALÊNCIADE CAPITAIS

1. Uma nota promissória cujo valor nominal é $ 200.000,00 vence dentro de

dois meses. O devedor propõe a troca por outra promissória a vencer

dentro de cinco meses. Qual deve ser o valor nominal da nova

promissória, para que os capitais sejam equivalentes à taxa 4% a. m?

Resposta: 224.972,80

2. O preço a vista de um fogão é de $ 1.500,00. Se eu pagar hoje a quantia de

$ 450.00 e mais $ 600.00 dentro de três meses, quanto deveria pagar

dentro de seis meses para liquidar a dívida? Suponha taxa de 5% a.a m.

Resposta: 712,53

3. Um Banco emprestou ao Sr. Jaime a quantia de $ 250.000,00 para ser paga

com juros compostos de 5% a.m, após quatro meses. Passados três

meses, o Sr. Jaime pagou $ 200.000,00 da dívida, prometendo liquidar o

restante dois meses após. Qual o valor dessa última parcela?

Resposta: 98.570,39

4. Humberto adquiriu uma moto por $ 25.000,00. No mesmo dia dessa

aquisição, seu amigo Marcelo propõe comprar-lhe a moto pelo mesmo

preço, mas de maneira parcelada. Ele pagaria $ 15.000,00 a vista, $

10.000,00 dois meses depois e daria uma terceira parcela no final do

quarto mês. Qual deverá ser o valor dessa Quarta parcela? Sabe-se que

taxa de juros cobrada é de 5% a.m.

Resposta: 1.130,10

5. Débora comprou um equipamento por $ 340.000,00 e, no mesmo dia,

recebeu proposta para vender o equipamento nas seguintes condições: $

240.000,00 à vista mais uma parcela de $ 100.000,00 no final do segundo

mês e outra de $30.746,10 no final do sexto mês. Sabendo-se que a taxa

de juros é de 10% a.m, verifique-se se haverá algum ganho nessa

transação.

Resposta: Nenhum


64

6. Certa empresa propõe a venda de um equipamento nas seguintes

condições: $200.000,00 a vista mais duas parcelas desiguais, uma de $

133.100,00 no final do terceiro mês e outra de $ 161.051,00 no final do

quinto mês. Você está interessado em pagar tudo mais rapidamente e faz

a seguinte contraproposta: duas parcelas iguais, uma no final do primeiro

mês e outra no final do quarto mês. Qual deverá ser o valor de cada

parcela, sendo a taxa de juros de 10% a.m?


7. Uma imobiliária propõe a seus clientes dois planos de venda que ela

chama de planos A e B.

Plano A: Entrada de $ 25.000,00 mais duas parcelas desiguais, uma de

$86.821,87 no final do terceiro mês e outra de $ 91.162,97 no final do quarto

mês.

Plano B: Três parcelas iguais no final do primeiro, segundo e terceiro meses

respectivamente. Sendo de 5% a.m a taxa cobrada pela empresa, qual deverá

ser o valor de cada parcela?

Resposta: 64.261,50

8. Qual deverá ser o valor de x para que os dois conjuntos de capitais sejam

iguais? Suponha taxa de juros de 5% a.m e despreze os centavos.

Resposta: 53.780,00

X X 0 1 2 3 4 50.000 28.941 30.388


65

9. Um equipamento é vendido por $ 50.000.00 a vista ou por duas prestações

mensais iguais no final do segundo e quarto meses respectivamente. Qual

o valor de cada uma dessas prestações se a taxa de juros é de 10% a.m?

Resposta: 33.124,45

10. Um televisor é vendido por $ 1.200,00 a vista ou por duas prestações

iguais, sem entrada, uma no final do primeiro mês e outra no final do

quarto mês. Sendo a taxa de juros de 5% a.m, calcule o valor de cada

prestação.

Resposta: 676,02

11. A que taxa de juros anual $ 5.000,00 no final do ano 2 equivale a $

12.000,00 no final do ano 4 ?

Resposta: 54,9193% ao ano

12. A que taxa de juros anual $ 10.000,00 no final do ano 1 é igual a $

15.735,19 no final do ano 4 ?

Resposta: 16,31% ao ano

13. Abaixo estão representados três capitais ao longo do tempo. Esses

capitais podem ser igualados por determinada taxa de juros. Calcule essa

taxa.

Resposta: 20% ao ano

14. A empresa Alfa examina a compra de um equipamento junto à Heckt e

verifica que ele é vendido nas seguintes condições: $ 31.334,10 a vista

mais uma parcela de $ 13.230,00 no final do segundo mês e outra de

$25.525,63 no final do quinto mês. Contudo, a empresa Heckt aceita

contrapropostas. A Alfa propõe, então, um novo plano que consiste no

pagamento de três parcelas iguais no final do primeiro, terceiro e quarto

25.000 43.200 89.597,52 0 1 4 8


66

meses respectivamente. Sendo a taxa de juros de 5% a.m, qual deve ser o

valor de cada uma dessas parcelas para que haja equivalência de

capitais?

Resposta: 24.000,00

15. Um negociante compra hoje mercadorias no valor de $ 1.000.000,00

pagando 30% a vista e comprometendo-se a pagar $ 300.000,00 no final de

quatro meses. Que pagamento deve ainda ser feito no final de oito meses

se a taxa cobrada é de 5% a.m?


16. A Stromboli, fabricante de bens de capital, adquiriu um equipamento por

$ 4.000,00, pagando 20% à vista e comprometendo-se a pagar $ 1.341,00

no final do sexto mês. No décimo mês, ela deverá liquidar o restante da

dívida. Sendo a taxa de juros de 5% a.m. calcule a última parcela a ser

paga.

Resposta: 3.582,47

17. Ache a equivalência de capitais abaixo tomando como data de referência

o período 5 e supondo taxa de juros de 4% a. m . . Despreze os centavos.

Resposta: 4.000

CONSIDERAR

A DATA

FOCAL 5

300,00 X=? 0 4 8 700.000

3.288 4.867 0 5 10


67

18. Uma empresa toma emprestada a quantia de $ 250.000,00

comprometendo-se a restituí-la no final de 12 meses com juros de 48% ao

ano compostos mensalmente. Após seis meses, a empresa propõe pagar

$200.000,00 imediatamente e o saldo no final do décimo mês, desde que

com taxa de juros mais baixa. A proposta foi aceita à taxa de 3% a.m,

porque os riscos diminuíram. Qual o valor do saldo a ser pago?

Obs.: No sexto mês há uma renegociação da dívida, sendo aceita a proposta de uma nova taxa de juros que passa a vigorar imediatamente. O mês 10 torna-se o mês de referência para os meses 6 e 12 .


19.Uma empresa toma emprestada a quantia de $ 1.500.000,00

comprometendo-se a restituí-la no final de 20 meses com juros de 36%

a.a capitalizados mensalmente. No final do oitavo mês, o devedor propõe

pagar imediatamente $ 800.000,00 e o restante dentro de quatro meses,

desde que a taxa de juros mensal passe a ser de 2,5%%. A proposta foi

aceita imediatamente. Calcule o saldo a ser pago.

Resposta: 1.340.489,09

20 .Um negociante comprou mercadorias cujas faturas de $ 120.000,00,

$150.000,00 e $ 200.000,00 vencem respectivamente dentro de dois, quatro

e oito meses. O devedor propõe pagar uma única fatura no valor de $

598.809,00. Supondo taxa de juros composta de 5% a.m. , quando deve ser

efetuado o pagamento ?

200,00 X=? 0 6 10 12 250.000


68

120.000 150.000 200.000

0 2 4 8

Resposta: dez meses

21. Um varejista faz a seguinte proposta a um de seus fornecedores a quem

deve certa quantia em dinheiro. Pagamentos de $ 25.000,00, $ 40.000,00 e

$ 80.000,00 vencíveis dentro de 2, 6 e 10 meses, respectivamente, ou um

único pagamento de $146.664,00. Suponha taxa de juros de 2% a.m.

Quando deve ser efetuado o pagamento único?

Resposta: Dentro de oito meses


69

5. DESCONTO 5.1. CONCEITO DE DESCONTO

É a diferença entre o valor nominal do título e o valor no ato do resgate

antecipado (valor descontado).

(5.1)

A operação de desconto é muito utilizada quando a empresa necessita

negociar com um banco o pagamento antecipado de um título, para obter capital

de giro. Em geral os títulos que sofrem descontos a curto prazo são as Nota

Promissórias, Duplicatas, cheques pré-datados, etc. A primeira é o título de

crédito tal que seu emitente se obriga a pagar, na data do vencimento o valor

nominal. A Segunda, Duplicata, são títulos vinculados a operações de venda de

bens ou serviços que casos os títulos são negociados com os bancos em troca do

valor descontado (valor líquido = valor nominal - desconto). Os cheques pré-

datados hoje estão sendo largamente descontados em FACTORING ou Banco.

As operações de desconto, tanto para juros simples quanto para juros

compostos, podem ser assim classificadas:

POR DENTRO (Racional): Trata-se do desconto matemático onde os juros

incidem sobre o valor presente (valor líquido).

POR FORA(Comercial ou Bancário): Trata-se de um desconto irracional, pois a

taxa de desconto incide sobre o valor futuro(ValorNominal do título), acarretando

assim em pagamento antecipado dos juros o que gerauma taxa efetiva maiordo

D = FV – PV

PV

FV D

0


70

que a taxa da negociação(taxa de desconto) . Os Bancos e Factorings, aplicam o

desconto bancário simples.

5.2.DESCONTO SIMPLES

5.2.1. Desconto Racional - Por Dentro

O desconto simples "por dentro" é o juro simples do valor líquido.

ou (5.2)

A diferença entre o valor nominal e valor atual: Dr = FV – PV

(5.3)

(5.4)

5.2.2.Desconto Comercial - Por Fora

O desconto comercial "por fora" é o juro simples do valor nominal a uma taxa

chamada de taxa de desconto, durante um prazo de antecipação do resgate.

(5.5)

0 n

FV

Dr

PV

Dr = PV . i . n

Dc = FV . d . n

FV - PV

(1 + in) Dr =

FV . i . n (1 + in) Dr =

PV

FV Dc

0


71

O valor descontado (valor líquido) é: PV = FV - Dc .: PV = FV - FVin

(5.6)

5.2.3.Desconto Bancário - Por Fora

Podemos dizer que o desconto bancário é igual ao desconto comercial

acrescido dos acessórios financeiros cobrados pelo banco (IOF,

Comissões,taxas, etc.):

Db = Dc + FV . h

Db = FV . i . n + FV . h

(5.7)

Onde "h" representa a percentagem das despesas (acessórios financeiros).

Obs.: As taxas podem ser diárias ou determinadas para o período do

desconto.

O valor descontado (valor líquido) pode ser assim deduzido:

PV = FV - DB

PV = FV - FV ( i . n . + h )

(5.8)

No DESCONTO POR DENTRO os juros incidem sobre o valor líquido do

título enquanto que no DESCONTO POR FORA os juros incidem sobre o valor

nominal do título.

Mesmo sem levar em conta as taxas cobradas pelo banco o DESCONTO

POR FORA apresenta um valor líquido menor, pois os juros são cobrados

antecipadamente acarretando uma taxa efetiva maior que a taxa de desconto.

PV = FV .(1 – dn)

Db = FV .(d.n + h)

PV = FV .(1 - i.n - h)


72

Exemplos

Temos os seguintes elementos:

FV = 100 (valor do título)

d = 10% (taxa de desconto)

i = taxa efetiva?

n = 2 meses (período do desconto)

*h = 1,5% no período ( total dos acessórios financeiros)

*Somente para o Desconto Bancário.

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

a) Cálculo do Desconto Racional

Dr = = = = 16,67

- Cálculo do Valor Líquido:

FV - Dr = 100 - 16,67 = 83,33

- Taxa Efetiva (por se tratar de desconto racional é igual a da negociação:

i = = = 10% ao mês

Obs.: nesse caso a taxa efetiva é a mesma da taxa de desconto

b) Cálculo do Desconto Comercial

- Cálculo do Desconto:

Dc = FV . d . n = 100 x 0,1 x 2 = 20

FV . i . n 100 x 0,1 x 2 20 (1 + i . n) (1 + 0,1 x 2) 1,2

FV100 PV 83,33

n 2

– 1


73

- Valor Líquido:

PV = 100 - 20 = 80

- Taxa Efetiva:

d = = = 12,5% ao mês

d = taxa de desconto = taxa da negociação

i = taxa efetiva (taxa definitiva que representa o real custo da operação)

Obs.: A taxa efetiva (i) nesse caso é maior do que a taxa da negociação (d)

c)Desconto Bancário

- Cálculo do Desconto:

DB = FV (d . n + h ) = 100 ( 0,1 x 2 + 0,015 ) = 21,50

- Cálculo do Valor Líquido:

PV = 100 - 21,50 = 78,50

- Cálculo da Taxa Efetiva:

d = = = 13,50% ao mês

Obs.: Como no caso anterior a taxa efetiva é maior do que a taxa da negociação e

maior do que a taxa efetiva do DC por conta das despesas financeiras.

FV100 PV 80

n 2

– 1

FV100 PV 78,50

n 2

– 1


74

Observe que:Dr<Dc<Db.

Considerando "i " como taxa efetiva e "d " como taxa de desconto, podemos

através da equivalência entre Desconto Racional e Desconto Comercial

determinar fórmulas mais práticas para cálculo das taxas, independentemente de

se conhecer os valores da operação:

5.2.4.Outra Forma de Calcular a Taxa Efetiva

(5.9)

Considerando “d” como taxa de desconto:

(5.10)

(5.11)

(5.12)

Considerando a taxa de desconto de 10% a.m., conforme exemplo anterior. Ex.:

i = = = 12,50% ao mês (taxa efetiva)

FV.i.n

(i +i.n) = FV.d.n

i

(1 + i.n) d =

d (1 – d.n) i =

0,1 0,1

(1 – 0,1x2) 0,8 2

Dr = Dc


75

5.2.5.Exercício com base nas Operações Bancárias 1. Um Banco comercial realiza suas operações de desconto de títulos a juros

simples, com uma taxa de desconto por fora de 3,3% ao mês e cobra uma taxa de despesas financeiras na ordem de 0,693% ao semestre. Uma empresa descontou um título de R$ 88.000,00 com vencimento para 68 dias. Determinar:

a) Desconto Comercial; b) Despesas Financeiras; c) Desconto Bancário; d) Valor Líquido creditado na conta do cliente; e) A taxa efetiva do período; f) Taxa mensal de juros simples; g) Taxa efetiva mensal de juros compostos; h) Taxa efetiva anual de juros compostos. i) Taxa de juros compostos anual com cap. diária(taxa nominal)

Solução: a) Dc = FV.i.n = 88.000 x 0,033 x 68/30 = 6.582,40

b) DF = FV.h.n = 88.000 x 0,00693 x 68/180 = 230,38

c) Db = Dc +DF = 6.582,40 + 230,38 = 6.812,78

d) VL = PV = FV – Db = 88.000 - 6.812,78 = 81.187,22

e) Iep = FV/PV – 1 = 88.000/81.187,22 – 1 = 8,39% ao.período(68 dias)

f) Ijsm = iep x 30 /n = 8,39 x 30/68 = 3,7% a.m.

g) Ijca = (1 + iep)

360/d – 1 = 1,0839360/68 – 1 = 53,20% ao ano

h) J = m[ (1 + i )1/n – 1] = 360[(1+0,5320) 1/360 - 1] = 42,68% ao ano com cap. anual

Determinação de taxa de juros compostos com o software financeiro da HP-12C:

88.000 0 n = 68 81.187,22


76

Cont. Solução:



88.000 88.000,00 Introduz o valor do título

81187,22 81.187,22 Introduz o valor líquido

68 360 0,19 Introduz o tempo

53,20 Acha a taxa efetiva

FORMA PRÁTICA DE RESOLVER E ARMAZENAR OS DADOS DO PROBLEMA


88.000 88.000 Armazena o vr. do título

em FV e entra

0,033 68 30 1

6.582,40 Calcula o Dc e armazena em R1

0,00693

68 180 2

230,38 Calcula Desp. Financ e armazena em R2

3 6.812,78 Calcula o Db e armazena

em R3

X><Y 4

81.187,22 Recupera o FV e acha o valor líquido e arm. R4

X><Y 1

100 5

8,39 Acha a taxa efetiva do períodoarm. R5

68 30 6 3,7 Acha a taxa mensal de

juros simples arm R6

5 100 1 360

68 1 100

7

53,20 Acha a taxa de juros comp. Anual e armazena no R7

100 1 360 1

360 100 8

42,68 Calcula a taxa Nom. c/c diária e arm. R8

+

+


77

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO DESCONTO SIMPLES 1. Um banco desconta um título no valor de R$ 180.000,00, 50 dias antes do

seu vencimento. Nesta operação o banco cobra 48% ao ano de taxa de

desconto por fora e 0,8% de despesas financeiras. Calcular o valor líquido

liberado e a taxa mensal efetiva de juros compostos.

Resposta: R$ 166.560 e 4,77% ao mês

2. Um título com valor de resgate de R$ 120.000,00 é descontado

comercialmente a uma taxa de 2,8%a.m (já incluído o IOF). Sabendo-se

que o valor líquido recebido por seu proprietário foi de R$ 118.320, na

data do desconto, pergunta-se quantos dias faltavam para o resgate do

título.

Resposta: n = 0,5 meses ou 15 dias

3. Se o Banco X oferece uma taxa de desconto por fora de 2,8% para um

prazo de 60 dias e o banco Y oferece uma taxa de desconto por fora de

2,78% ao mês para um prazo de 90 dias, qual banco está cobrando a

maior taxa efetiva mensal de juros compostos.

Resposta: 2,92% ao mês (Banco X)

2,95% ao mês (Banco Y)

4. A taxa de desconto por fora anunciada pelo um Banco é de 27,6% ao ano.

Determinar a taxa efetiva mensal e anual composta dessa operação

admitindo-se um prazo de desconto de: a) 1 mês; b) b) 2 meses; c) 3

meses.

Resposta: a) 2,35% ao mês; 32,15% ao ano.

b) 2,38% ao mês;32,65% ao ano.

c) 2,41% ao mês; 33,11% ao ano.

5. Um banco recebe de uma empresa três duplicatas para desconto, no

valor nominal de R$ 20.000,00, R$ 45.000,00 e R$ 70.000,00, cada.As

duplicatas foram descontadas 40 dias, 70 dias e 105 dias, antes do

vencimento.Sendo 18% ao ano a taxa de desconto simples por fora,

calcular: a) desconto comercial; b) valor líquido creditado na conta da


78

empresa; c) taxa de juros efetiva mensal dessa operação, utilizando o

prazo médio ponderado; d) Taxa interna de retorno da operação.

Resposta: a) R$ 5.650,00; b) R$ 129.350; c) Taxa de juros efetiva mensal;

d) taxa Interna de retorno: 1,6% ao mês.

6. Uma empresa, com problemas de liquidez, recorre a um banco para

descontar um título no valor de R$ 190.000,00, faltando 41 dias para seu

vencimento. A operação foi realizada com a taxa de desconto por fora de

49% ao ano. O banco cobrou também uma taxa referente as despesas

financeiras de 0,189% sobre o valor nominal do título. Calcular a taxa

efetiva mensal de juros composto.

Resposta: 4,44% ao mês.

5.3. DESCONTO COMPOSTO

É utilizado basicamente em operações de longo prazo e igualmente ao

desconto simples pode ser classificado como por dentro e por fora .O desconto

composto por fora não tem uso no Brasil, ao contrário do desconto simples,

enquanto desconto composto por dentro é largamente utilizado em operações de

longo prazo, pois é o próprio juro composto

5.3.1. Desconto Comercial - Por Fora

Cálculo sobre o valor nominal do título (FV).

O valor atual (PV) poderá ser calculado como se o seu valor nominal (FV)

sofresse "n" descontos comerciais sucessivos, um para cada período que falta

para o seu vencimento, todas as taxas i.

PV1 = FV ( 1 - i ) PV2 = PV1 ( 1 - i ) = FV ( 1 - i ) ( 1 - i ) = FV ( 1 - i )² PV3 = FV ( 1 - i )² ( 1 - i ) = FV ( 1 - i )³ . . . PVn = FV ( 1 - i )n - ¹ . ( 1 - i )


79

Valor Atual (5.13) Dc = FV – FV( 1- i ) n

Desconto Comercial (5.14)

5.3.2. Desconto Racional – Por Dentro

Calculando sobre o valor atual do título:

FV (1 + i)

FV (1 + i)2 FV (1 + i)3 . . . FV (1 + i)n

Valor Atual Racional(5.15)

ou (5.16)

(5.17)

PV = FV .(1 – i)n

Dc = FV .[1 – (1 – i)n]

PV1 =

PV2 =

PV3 =

PVn =

FV (1 + i) n PVn =

FV (1 + i) n Dr = FV –

1 (1 + i) n Dr = FV 1 –


80

5.3.3. Assunção de Compromisso(Caso particular do desconto composto)

Trata-se de uma operação de curto prazo (mínimo de 3 dias). O banco

assume os compromissos do cliente. A empresa que assumir o compromisso

financeiro e disporantecipadamente dos recursos para saldar esta obrigação,

poderá ao invés de aplicar o recurso até a data do vencimento, quitá-lo com

antecedência, obtendo assim um desconto que irá corresponder a um ganho

superior aos possíveis rendimentos provenientes de outras operações do

mercado financeiro.

A Assunção de Compromisso não é considerada uma aplicação financeira,

mas sim uma simples transferência de obrigações e recursos, sendo assim não

existe a incidência de I.O.F. De acordo com a Lei 8.088/90, somente os fatos

geradores a seguir suportam a incidência do I.O.F.:

♦ Operações de Crédito

♦ Operações de Câmbio

♦ Operações de Seguro

♦ Operações relativas a títulos e valores mobiliários

Exemplo

1. Uma empresa tem um compromisso com a folha de pagamento no dia

25/05/94no valor de CR$ 7.000.000,00. Em 15/05/94 negocia com determinado

banco um deságio (desconto), trazendo a valor presente.

Solução: a) Operação iniciada com uma operação na rede bancária.

b) O banco realiza uma projeção de C.D.I.

c) A empresa negocia com o banco o percentual do CDI oferecido que varia

de 90% a 100% do CDI / Over. Dependendo do banco e das condições de

mercado.

d) Após combinar a taxa, fecha-se a operação utilizando-se os seguintes

cálculos:

- cálculo dos dias: 15/05 a 25/05 = 7 dias úteis

- cálculo do deságio:

FV

idu

3000

D = FV –

1 +


81

Cont. Solução: D = FV .[1 - (1 + i/3000)-du] - Aplicação: (considerando uma taxa CDI /Over = 2,3%) (*) D = deságio D = 7.000.000 [1 - (1 + 2,3 / 3000)7] D = 37.451,74

Mesmo exercício com a hp- 12c:



7000000 7.000.000,00 Entra com o valor presente

2,3 30 0,076666 Entra com a taxa diária

7 7,00 Entra com os dias

6.962.548,27 Calcula o valor líquido

X><Y 37.451,73 Valor do crédito


82

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO DESCONTO COMPOSTO

1. Um título com valor nominal de R$ 3.500,00 é negociado através de uma

operação de desconto composto "por fora" três meses antes do seu

vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% a.m. Pede-se

determinar o valor descontado, o desconto e a taxa de efetiva da

operação.

Resposta: D = 499,19; A = 3.000,82 I = 5,26% a.m.

2. Calcular o desconto por fora de um título de R$ 50.000,00 pagável em dois

anos, a taxa de 20% a.a., com capitalização semestral.

Resposta: D= 17.195,00

3. Um título foi descontado num banco, a uma taxa de desconto racional

composto de 3,6% ao semestre. Qual será a taxa de desconto por fora

composto equivalente para este tempo?

Resposta: i = 3,4749

4. Um título de Valor Nominal igual a R$ 8.600,00 é negociado em um Banco

48 dias antes do seu vencimento através de uma operação de desconto

composto “por fora” e proporcionou um valor líquido de R$ 8.083,11.

Qual é a taxa de desconto da operação?

Resposta: 3,8% am

5. Uma duplicata foi descontada à taxa de 2,4% am, cinco meses antes do

seu vencimento. Sabendo-se que a operação produziu um desconto

composto “por fora” de R$ 3.900,00, calcular o valor nominal do título.

Resposta: 34.097,89

6. Um título de R$ 9.000,00 proporcionou ao seu portador um valor líquido

de R$ 6.800,00, descontado “por dentro” à taxa de 3% am. Qual o prazo

de antecipação que foi descontado esse título?

Resposta: 9 meses e 14 dias


83

7. Qual o valor do desconto composto racional de uma duplicata de R$

350.000,00, a vencer no prazo de 6 meses a uma taxa de desconto

composto de 4% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra ainda uma taxa

de 1,2% referente às despesas financeiras, calcular o a taxa que

representa o verdadeiro custo financeiro da operação.

Resposta: 4,2%


84

6. SÉRIES UNIFORMES 6.1. SÉRIES DE PAGAMENTOS E RECEBIMENTOS(Rendas Certas ou

Anuidades)

6.2.RENDAS

Quando fazemos uma aplicação financeira o Capital (PV) pode ser pago ou

recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou

recebimentos.

a) Capitalização: Constituição de um capital em uma data futura.

b) Amortização: Pagamento de uma dívida.

6.3.DEFINIÇÕES

Seja uma série de pagamentos:

PMT1 n1

PMT2 n2

PMT3 n3

. . . PMTnNn

6.4.CLASSIFICAÇÃO DE ANUIDADES

a) Imediatas: termos exigíveis a partir do primeiro período (postecipadas ou

antecipadas);


85

b) Diferidas: termos exigidos a partir de uma data (postecipadas ou

antecipadas) que não seja o primeiro período.

Quanto à periodicidade podem ser:

a) Periódicos: todos os períodos iguais;

b) Não periódicos: os períodos não são iguais entre si.

6.5.MODELO BÁSICO

...

0 1 2 3 n - 1 n

O diagrama representa uma série de pagamentos periódicos e postecipados.

Exemplo

1. Uma pessoa comprou uma geladeira para pagar em 4 prestações mensais de

R$ 350,00, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte

ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros

compostos de 8% ao mês. Qual o preço da geladeira à vista?

O preço da geladeira à vista corresponde à soma dos valores atuais das

prestações na data focal zero, calculadas a taxa de 8% ao mês.

PMT + PMT + PMT + PMT

(1,08)(1,08)2(1,08)3(1,08)4

1 + 1 + 1 + 1

(1,08)(1,08)2(1,08)3(1,08)4

PV = 350,00 ( 0,9259 + 0,8573 + 0,7938 + 0,7350)

PV = 350,00 x 3,3120 = 1.159,24

PV =

PV = PMT.


86

6.6.VALOR ATUAL DO MODELO BÁSICO

... 0 1 2 3 n - 1 n

Desenvolvimento das fórmulas algébricas:

1 + 1 + 1 . . . PMT

(1 +i) (1 +i )2 (1 +i)3 (1 +i)n

Colocando-se PMT em evidência:

1 + 1 + 1 ... 1

(1 +i) (1 +i )2 (1 +i)3 (1 +i)n

Colocando-se a soma entre os colchetes, como sendo:

1 + 1 + 1 ... 1

(1 +i) (1 +i )2 (1 +i)3 (1 +i)n

Temos:

(6.1)

PV =

PV = PMT.

a = n i

PV = PMT . a n i


87

Valor de é obtido pela soma dos termos de uma PG com as seguintes

características:

(6.2)

Termo a1 = ( 1 + i ) -1

n-ésimo termo an = ( 1 + i ) -n

razão . q = ( 1 + i )-1

(1 + i) -1 - (1 + i)-n . (1 + i) -1

1 - (1 + i)-1

(1 + i) -1 - [1 - (1 + i)- n ]

1 - (1 + i)-1multiplicando por (1 + i) o num e denominador:

(1 + i)-1 (1 + i) - (1 + i)- n (1 +i)-1 (1 + i)

(1+i) - (1 + i) . (1 + i)-1

(1 + i)0 - [1 - (1 + i) - n ]

(1 + i) - (1 + i)0

1 - (1 + i)-n

(1 + i) - 1

1 - (1 + i)- n

1 + i - 1

1 - (1 + i)- n

i Multiplicando-se o numerador e o denominador por (1 + i) n

a n i

a1 – an .q 1 – q Sn =

a = n i

a = n i

a = n i

a = n i

a = n i

a = n i

a = n i


88

(1 + i)n - (1 + i)- n (1 + i)n

(1 + i)n . i

(1 + i)n - (1 + i)0 (1 + i)n - 1

(1 + i) n . i (1 + i)n . i

(6.3) Como PV = PMT . temos que:

(6.4)

Repetindo o problema da geladeira: Exemplo anterior: n = 4 i = 8% PMT = 350 (1,08)4 - 1

(1,08)4 x 0,08

0,360489

0,108839

PV = 350 x 3,312127 = 1.159,24

a = n i

a = = n i

(1+i)n – 1

(1+i)n . 1 a = n i

a n i

PV

a n i

PMT =

a = 4 18

a = = 3,312127 n i


89

6.7.MONTANTE DO MODELO BÁSICO

Aplicação de "n" parcelas iguais a PMT periódicas e postecipadas, a uma

taxa de juros "i" referida ao mesmo período de termos.

PMT . .. 0 1 2 3 n -1 n

O montante "FV" é o resultado da soma de cada um dos termos a taxa de

juros "i" na data focal "n". Admitamos fazer esta soma a partir do termo de n-

ésima ordem (último termo) e até o termo de 1ª ordem (primeiro termo):

FV = PMT + PMT(1 + i) + PMT(1 + i)2 +PMT(1 + i)3 + . . .+PMT (1 + i)n - i

Colocando-se PMT em evidência, temos:

FV = PMT . [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + . . . + (1 + i)n-1]

Logo:

(6.5)

A fórmula do é obtida a partir da soma dos termos de uma progressão

geométrica:

a1 - an . q

1 - q

a1 - an . q

1 - q

FV = PMT .S n i

S n i

SPG =

S = n i


90

a1 = 1 an = (1 + i)n-1 razão q = (1 + i) Substituindo-se:

1 – (1 + i) n-1. (1 + i)

1 - (1 + i)

1 – (1 + i) n

1 - (1 + i)

1 – (1 + i) n

– i

Multiplicando-se o numerador e o denominador por ( -1 ):

(1 + i) n– 1

i

(6.6)

6.8.VALOR PRESENTE DE UMA RENDA ANTECIPADA ............................... 0 1 2 3 n - 1 n

S = n i

S = n i

S = n i

S = n i

(1+i)n – 1

i S = n i


91

Fórmula PV = PMT . . (1 + i)

(6.7)

Utilizando-se as calculadoras eletrônicas digita-se a tecla

6.9.VALOR PRESENTE DE UMA RENDA DIFERIDA

PMT PMTPMTPMT

m = 3

0 1 2 3 4 5 6 . . . n

m = simboliza períodos de carência PV = PMT . . (1 + i)- m

(6.8)

6.10.VALOR FUTURO DE UMA RENDA ANTECIPADA

FV

....................... 0 1 2 3 n -1 n

PV

a n i

(1+i)n – 1

(1+i)n . 1 PV = PMT x (1+i)

a n i

(1+i)n – 1

(1+i) . i PV = PMT x (1+i)-m


92

FV = PMT . . (1 + i) ou;

(6.9) 6.11.VALOR FUTURO DE UMA RENDA DIFERIDA

m = 4FV 0 1 2 3 4 5 6 . . . n PV

m = simboliza períodos de carência Basta utilizar a fórmula básica:

FV = PMT . (6.10) Obs:. A carência não influi no valor futuro.

6.12. COEFICIENTES DE FINANCIAMENTO COM HP-12C

O Coeficiente de Financiamento de uma série de prestações é representado

por um fator financeiro constante que multiplicado pelo Valor presente (valor à

vista) calcula o valor das prestações.

Esse tipo de coeficiente é muito utilizado na prática e indica simplesmente o

S n i

(1+i)n – 1

i FV = PMT x (1+i)

S n i

(1+i)n – 1

i FV = PMT x


93

valor das prestações para cada unidade decapital envolvida na operação.

Vejamos os coeficientes mais utilizados na prática comercial e bancária:

a) Séries Postecipadas (end):

Como o coeficiente de financiamento é a própria prestação para cada

unidade monetária envolvida, vamos considerar 1 como Valor Presente, ou seja,

PV = 1.

Exemplo

1. Uma concessionária financia suas vendas parceladas de automóveis em 24

prestações a uma taxa de 1,2% ao mês. Calcular o coeficiente de

financiamento:

b) Série Antecipada (Beg):

Nesse caso a calculadora deve ser posicionada para cálculo de prestações

antecipadas, ou seja, com as parcelas sendo pagas no início de cada período.

Para tanto a função BEGIN deve estar acesa no visor da calculadora, bastando

acionar g BEG.

Exemplo

1.Uma loja de departamento oferece seus eletrodomésticos financiados em 36

prestações mensais, iguais, consecutivas e antecipadas à taxa de 3,3% ao

mês. Calcular o coeficiente financeiro.

Solução:



6 0,000000 Fixa seis casas decimais

1 - 1,000000 Entra com o principal

1,02 1,020000 Entra com a taxa de juros

2 24,000000 Entra com o número de prestações

0,047186 Calcula o valor da prestação

(coeficiente)


94

Solução:

c) Séries Diferidas (com carência):

Diz-se que uma série é diferida (carência) quando as prestações

começam a ser vencidas após o final do primeiro período de capitalização.

Exemplo

1.Uma loja vende equipamentos agrícolas com quatro meses de carência. Em

uma venda parcelada em 10 prestações iguais e consecutivas, a loja exige uma

taxa de juros de 4,2% ao mês. Qual o coeficiente do financiamento da loja

considerando que o primeiro pagamento é exigido no final do quinto mês

(quatro meses de carência)?

PMT PMTPMTPMTPMTPMTPMTPMTPMTPMT

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 PV = 1 FV = 1,178883 (que se transforma em PV para o Cálculo do coeficiente)

Solução:




0,000000 Posicionamento para prestações

antecipadas



36 36,000000 Entra com o número de prestações

0,046348 Calcula o valor da prestação

(coeficiente)


95

6.13. CÁLCULO DA TAXA DE JUROS A PARTIR DO COEFICIENTE

É muito comum uma empresa oferecer ao seu cliente determinada taxa e no

momento da negociação o cliente constatar que a propaganda é enganosa, pois a

taxa implícita no coeficiente de financiamento, utilizada pelos seus vendedores, é

maior do que a taxa propagada e oferecida. Vamos ver como se extrai a taxa do

coeficiente de financiamento.

Levando-se em conta que o coeficiente é a própria prestação, como vimos

nos itens anteriores, fica fácil calcular a taxa:

Exemplo

1.Uma concessionária de automóvel oferece um plano de financiamento para 36

prestações mensais, iguais, postecipadas, à taxa de 1%, utilizando o coeficiente

de 0,034960 para cálculo das parcelas.

Cont. Solução:




0,000000 Posicionamento para

prestações postecipadas



4 4,000000 Entra com os períodos de

carência

1,178883 Calcula o valor futuro no final

da carência

-1,178883 Transforma o Valor Futuro no

novo Valor Presente para cálculo do coeficiente

10 10,000000 Número de parcelas do

financiamento

4,2 4,200000 Entra com a taxa

0,146796 Coeficiente para dez

prestações mensais a partir da carência


96

Solução:

O cliente cuidadoso, que sabe operar uma calculadora financeira,

facilmente descobre que pode está sendo enganado e realiza a seguinte

operação:





0,034960 0,034960 Entra com o coeficiente da

concessionária

36 36,000000 Entra com o número de

prestações

f 2 1,30 Calcula a taxa implícita no

coeficiente

Observe que o coeficiente da loja se refere a uma taxa de 1,3% e não de

1% oferecida ao cliente. O certo seria a concessionária incorporar despesas

administrativas na taxa e oferecer a taxa efetiva.


97

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE SÉRIES UNIFORMES PROBLEMA 01

Quanto terá no final de três anos uma pessoa que aplicar R$ 400,00 por mês,

durante esse prazo, em um "Fundo de Renda Fixa", à taxa de 1,5% ao mês?

PROBLEMA 02

Quanto um empresário terá de pagar mensalmente a um banco, durante 2 anos

para liquidar um empréstimo de R$ 800.000,00 a uma taxa de 50,4% ao ano

com capitalização mensal?

Solução:



36 36,00 N de aplicações mensais

400 -400,00 Valor das aplicações

mensais


18.910,39 Valor do montante

Solução:



24 24,00 N de aplicações mensais

800.000 800.000,00 Valor do empréstimo

50,4 12 4,2 Taxa mensal

53.549,36 Valor das parcelas

mensais


98

PROBLEMA 03

Qual o prazo necessário para que aplicações trimestrais de R$ 5.000 possam

acumular R$ 67.060,45 à taxa de 2% ao mês?

PROBLEMA 04

A que taxa mensal devo aplicar Cr$ 16.000 por ano para que tenha um

montante de R$ 731.889 no final de 10 anos?

Solução:



5000

-5.000,00 Vr. das prestações

trimestrais

2 100 1 3

1 100

6,1208 Taxa trimestral

equivalente

67.060,45 67.060,45 Montante no final do

prazo

11,00 N de prestações

trimestrais

Solução:



16.000 16.000 Valor da aplicação anual

731889 731.889,00 Valor do montante

10 10,00 Nº de aplicações anuais

31,426412 Taxa anual

100 1 1,31426412 Forma o fator

12 1 100

2,3% Taxa mensal


99

PROBLEMA 05

Um empréstimo de R$ 30.000 é concedido por uma instituição financeira para

ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se

que a taxa de juros é de 3,5% ao mês, calcular o valor da prestação.

PROBLEMA 06

Determinar a que taxa anual foi firmada uma operação de empréstimo de R$

100.000, para ser liquidada em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas

de R$ 7.270,87.

Solução:



30.000 30.000,00 Valor do empréstimo

12 12,00 Nº de prestações mensais


-3.104,52 Valor da prestação

mensal

Solução:



100.000 -100.000,00 Valor do empréstimo

18 18,00 Nº de prestações Mensais

7270,87 7.270,87 Valor das prestações

mensais

3,00 Taxa mensal (%)

100 1 1,03 Forma o fator

12 1 0,43 Taxa anual de (forma

unitária)

100 42,58 Taxa anual (forma

percentual)


100

PROBLEMA 07

Um aplicador depositou anualmente R$ 1.000 num fundo de poupança em

nome do seu filho, a juros de 19,6% ao ano.O primeiro depósito foi feito no dia

em que o filho completou 1 ano e o último por ocasião do 18º aniversário. O

dinheiro continuou depositado até o dia que o filho completou 21 anos, ocasião

em que o montante foi sacado.Quanto recebeu o filho do aplicador?

PROBLEMA 08

Uma dívida foi paga em 10 pagamentos mensais, sendo as cinco primeiras

prestações iniciais de R$ 5.000 cada e as cinco prestações restantes de R$

10.000 cada uma. Sabendo-se que essa aplicação proporcionará um

rendimento de 2,75% ao mês, calcular o saldo acumulado de capital mais juros

no final do 10° mês.

Solução:



1.000 1.000,00 Valor dos depósitos anuais

19,6 19,6 Taxa anual de Juros

18 18,00 Nº de depósitos

122.808,15 Montante acumulado até o

18º ano

-122.808,15 Limpa reg. fin e conserva

visor

3

3,00 Prazo entre 18º e 21º

meses

19,6 6,00 Taxa anual de juros

210.097,43 Montante sacado pelo filho


101

PROBLEMA 09

Um casal pretende se casar dentro de 12 meses. Comoentendem ser

aconselhável adquirir à vista todos os móveis necessários pretendem fazer

aplicações mensais cujo montante deverá ser sacado 3 meses antes do

casamento, para as compras necessárias:

a) essa aplicação deverá render 1,5% ao mês;

b) o montante desejado é de R$ 15.000,00 (valor que os mesmos estimam para

os móveis daqui a 9 meses)

c) casal já aplicou hoje R$ 3.000,00.

Indaga-se: Qual o valor de cada uma das 9 aplicações mensais, iguais e

consecutivas, necessárias para totalizar um montante de R$ 15.000,00, no final

de 9 meses?

Solução:


0,00 Limpa reg, financeiros

10 10,00 Nº de aplicações mensais

5.000 5.000,00 Valor de 10 aplicações

mensais

2,75 2,75 Taxa mensal de juros

56,663,82 Montante das 10 aplicações

5 26.413,34 Montante das cinco

prestações restantes

83.077,16 Montante final no 10º Mês.

Obs.:Para o cálculo do montante das cinco aplicações iguais de R$

5.000,00 não houve necessidade de fazer 2.75 e 5.000 pois

esses valores já se encontravam armazenados em e em .


102

PROBLEMA 10

Um veículo foi financiado em 24 prestações iguais e consecutivas, conforme

dados abaixo:

a) valor do veículo: R$ 25.000

b) Entrada 20% sobre o valor do veículo : R$ 5.000,00

c) Taxa de juros: 2,2% ao mês.

d) Prazo: 24 meses (mesmo número de prestações)

Calcular o valor das prestações

Solução:



financeiros

3.000

3.000,00 Entra com o valor da

aplicação inicial

15.000 15.000,00 Entra com o montante

desejado

9 9,00 Quantidade de aplicações

mensais


1.210,32 Valor de cada uma das

aplicações mensais

Solução:



24 20,00 Nº de prestações Iguais

25.000 5.000

-20.000,00 Valor financiado

2,2 4,00 Taxa mensal de Juros

1.081,53 Valor das prestações


103

PROBLEMA 11

Um banco empresta R$ 70.000 para serem liquidados em prestações mensais

de R$ 7.372,35 cada uma. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada na

operação é de 45,6% ao ano com capitalização mensal, calcular o número de

prestações.

PROBLEMA 12

Qual o valor de um empréstimo que pode ser liquidado em 16 prestações

mensais à taxa de 3,5% ao mês sendo as seis primeiras prestações de R$

3.000,00 e as 10 últimas prestações de R$ 4.500,00?

Solução:



70.000 -70.000,00 Valor do empréstimo

45,6 12 3,80 Taxa efetiva

7.372,35 7.372,35 Prestações mensais

12 Número de prestações

mensais

Solução:




6 6,00 Nº de prestações

3.000 3.000,00 Valor das prestações

Iniciais

-15.985,66 Vr. presente das 6

primeiras prestações

0 15.985,66 Troca o sinal e armazena

10 10,00 Nº de Prestações


104

PROBLEMA 13

Quanto terei de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de

36 meses um montante de R$ 300.000, sabendo que o rendimento firmado é de

34,489% ao ano, e que as prestações são iguais e consecutivas e em número

de 36?

Cont. Solução:


4.500 4.500,00 Vr. das 10 últimas

prestações

-37.424,72 Valor Presente

-37.424,72 Armazena o vr. presente

em FV


6 6,00 Nº de meses

30.445,04 Vr. presente das 10 últimas

prestações na data do

empréstimo

0 46.430,70 Valor do empréstimo

Solução:



1.34489 1,34 Forma o fator

12 1,03 1 +taxa mensal unitária

1 100 2,50 Taxa mensal (forma percentual)

2,50 Pagamentos antecipados

3000 300.000,00 Valor do montante


-5.107,77 Valor das aplicações mensais


105

PROBLEMA 14

Quantas aplicações mensais de R$ 1.000 são necessárias para obter um

montante de R$ 33.426,47, sabendo-se que a taxa é de 3% ao mês e que a

primeira aplicação é feita no ato da assinatura do contrato e a última 30 dias

antes do resgate daquele resgate valor?

PROBLEMA 15

Um "Fundo de Renda Fixa" assegura, a quem aplicar 60 parcelas iguais e

mensais de R$ 500 o resgate de um montante de R$ 58.166,29 no final do 60º

mês sabendo-se que a primeira aplicação é feita na data do contrato, calcular a

taxa de rendimento proporcionada pelo fundo.

Solução:



0,00 Calc. Posicionada para

pagtosantecipados -BEGIN

100 1.000,00 Valor das aplicações mensais

33426.47 33.426,47 Valor do montante

3 3,00 Taxa Mensal de Juros

23,00 Nº de aplicações mensais

Solução:




500 -500,00 Valor das aplicações mensais

58166.29 58.166,29 Valor do montante

2,00 Taxa mensal paga pelo fundo


106

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO SÉRIES UNIFORMES

1. Até que ponto a taxa de mercado é mais rentável financeiramente na

aquisição de bens e serviços à vista com uma bonificação ou desconto

de 10% sobre o valor da compra, quando existe a opção a prazo na

condição de (1+4) pagamentos sem juros?

Resposta: I= 5,56% ao mês

2. Calcular fatores ou coeficientes financeiros que serão aplicados sobre o

preço à vista de mercadorias ou de financiamentos realizar objetivando

com isso, a determinação de prestações mensais. A taxa de juro implícita

nos coeficientes deverá ser de 2% a.m. para os prazos a seguir:

a) 3 meses Resposta: 0,346755

b) 4 meses Resposta: 0,262624

c) 12 meses Resposta: 0,094560

d) 24 meses Resposta: 0,052871

e) 36 meses Resposta: 0,039233

3. Uma mercadoria é vendida à vista por R$ 500.000,00 ou na condição a

prazo: Entrada correspondente a 40% do valor à vista seguida de 4

prestações trimestrais iguais de R$ 200.000,00. Nestas condições quais

as taxas trimestral, mensal e anual cobradas?

Resposta: i = 55,166%a.t.= 15,77% a.m. = 479,7% a.a.

4. Uma loja estabeleceu um coeficiente de 0,328705 para suas vendasà

prazo, mediante quatro parcelas mensais postecipadas. Sabendo-se que

a loja cobrauma taxa de 5% sobre o valor financiado, a título de despesas

administrativas e contabilizada no ato da efetivação da venda, pergunta-

se: qual a taxa efetiva mensal de financiamento?

Resposta: i = 14,4% a.m.

5. Considerando a questão anterior, se os pagamentos forem antecipados,

na condição de um mais quatro pagamentos, qual a taxa efetiva mensal?

Resposta: I= 38,55% a.m.


107

6. Uma mercadoria é vendida mediante quatro prestações de R$ 40.000,00;

R$ 30.000,00; R$ 20.000,00 e R$ 10.000,00, vencíveis a 1, 3, 9 e 12 meses,

respectivamente, a partir da data atual. Considerando que o lucro

estimado corresponde a uma taxa de juros de 11,5% a.m., determinar até

que preço é válido adquirir a mercadoria na condição à vista.

Resposta: 67.733,28

7. Se o proprietário da mercadoria da questão anterior cobrar R$ 60.000,00

pelo produto, que taxa mensal estará pagando aquele que optar pela

compra a prazo?

Resposta: I= 16,4756% a.m.

8. Durante 12 meses são depositadas quantias postecipadas mensais de R$

10.000,00 em fundo de investimento que oferece uma taxa de 10% a.m.

Determinar o valor da quantia mensal que poderemos retirar durante 6

meses (com a primeira retirada se realizando ao final do vigésimo quinto

mês) de forma que nada reste de saldo na data da última retirada mensal.


9. Qual o valor da octogésima parcela de juros de um financiamento

firmado com uma instituição bancária em 240 meses, à taxa de juros

compostos de 36% a.a. com capitalização mensal, para um capital de R$

90.000,00? Informar o saldo devedor da parcela imediatamente posterior.

Resposta: J80= 2.679,07; SD81 = 89.255,38

10. Um automóvel é vendido através do seguinte plano: R$ 20.000,00 de

entrada e mais dez prestações mensais de R$ 2.000,00. Se a taxa de juros

de mercado for de 2% a.m., que preço máximo estaríamos disposto a

pagar pelo veículo na condição à vista?

Resposta: 37.965,17

11. Uma empresa possui um fluxo de caixa com um desembolso de R$

20.000,00 no início do primeiro ano, um desembolso de R$ 20.000,00 no

fim do primeiro ano, e dez entradas líquidas anuais e consecutivas de R$

10.000,00 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18%


108

ao ano, obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro

ano. (AFTN)


12. Um eletrodoméstico será pago por meio de uma entrada e doze

prestações mensais iguais e consecutivas. Se cada prestação for igual a

10% do valor à vista, sendo a primeira paga ao término de um período de

quatro meses, considerando-se uma taxa de juros efetiva de 4% ao mês,

qual o percentual sobre o valor à vista que deverá ser pago como

entrada? (TCI).

Resposta: 16,567%

13. Uma máquina tem um preço de 2.000.000,00, podendo ser financiada com

10% de entrada e o restante em prestações trimestrais , iguais e

sucessivas. Sabendo-se que a financiadora, cobra juros compostos de

28% ao ano, capitalizados trimestralmente e que o comprador está

pagando R$ 205.821, por trimestre, em quanto tempo será o vencimento

da última prestação? (AFTN)

Resposta: 3 anos e 6 meses.

14. Um banco emprestou recursos a uma empresa com o seguinte esquema

de pagamento: primeiro pagamento: R$ 10.000, após dois meses, e o

segundo de R$ 12.000,00, oito meses após o primeiro. Na data de

vencimento da primeira parcela, por não dispor de recursos, o devedor

propôs repactuar sua dívida da seguinte forma: pagamento de R$

6.000,00, após quatro meses e o saldo, quatro meses após a primeira

parcela . Se a taxa de juros considerada para repactuação da dívida foi de

24% ao ano, com capitalização mensal, qual o valor da segunda parcela?

(AN.ORÇ. RJ)

Resposta: R$ 17.222,00.

15. Foi feita uma aplicação de renda anual em 12 termos iguais a R$

20.000,00, diferida de quatro anos. Considerando apenas a taxa de juros

compostos de 9% ao ano, qual o valor dessa renda? (FISCAL –

TRANSP.URBANOS)



109

7. FLUXO DE CAIXA 7.1. TAXA INTERNA DE RETORNO - IRR

É a taxa de juros (desconto) que iguala em determinado momento do tempo o

valor presente das entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos)

previstas de caixa. A identidade da Taxa Interna de Retorno é identificada da

forma seguinte:

(7.1)

Exemplo 1 Vejamos um primeiro exemplo para obtenção da Taxa Interna de Retorno de um

Fluxo de Caixa:

Investimento Inicial (Cfo) = $100.

1a. entrada: $ 10;

2a. entrada: $ 30;

3a. entrada: $ 50;

4a. entrada: $ 40.

50 30 40 10 CFo 100

CFj

(1 + i )j

n

j=1

∑ Cfo =


110

7.2.PASSOS PARA INTRODUÇÃO DE UM FLUXO DE CAIXA

a) Pressione (limpa todos os registradores de armazenamento);

b) Introduz-se o Fluxo de Caixa Inicial, pressionando se negativo e

. Se não existir fluxo inicial pressionar0 ;

c) Introduz-se o valor do próximo fluxo e pressiona-se .Se não

houver fluxo de caixa pressiona-se 0 ;

d) No caso do fluxo de caixa e repetir por mais de um período (n vezes),

pressionar (representa número de ocorrências iguais e

consecutivas);

e) Proceder da mesma forma até que todos os fluxos de caixa estejam

inseridos.

Vejamos ao exercício anterior:


0,00 Limpa os registradores

100 - 100,00 Fluxo de caixa inicial

10 10,00 Introduz 1º. Grupo

30 30,00 Introduz 2º. Grupo

50 50,00 Introduz 3º.Grupo

40 40,00 Introduz 4º.Grupo

9,52 Calcula a Taxa Interna de

Retorno


111

Exemplo 2

Agora vamos calcular um fluxo com períodos irregulares, conforme diagrama

abaixo:

CF12 = 1.700 CF4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CFo = 1.200



1200 -1.200,00 Fluxo de caixa inicial

0 0,00 Introduz 1º. grupo de

FLX CX

3 3,00 Vezes que o fluxo se

repete

40 40,00 Introduz 2º. grupo



repete

1700 1.700,00 Introduz 4º. grupo

3,20 Calcula a Taxa Interna

de Retorno


112

Exemplo 3

CF36 = 1.300

CFo = 60

0 15 36

CF15 = 1.300



60 60,00 Fluxo de caixa inicial

0 0,00 Introduz 1º. grupo de

FLX CX


repete




repete


ERROR 3 A calculadora não pôde

concluir

Por se tratar de uma situação na qual o cálculo da taxa é muito

complexo, podendo envolver múltiplas respostas ou raízes, a calculadora

apresenta uma mensagem de erro (ERROR 3).

Nesse caso faz-se necessário tomar as seguintes providências:

Estima-se uma taxa de juros (no nosso caso vamos introduzir na calculadora a

taxa 18).

Introduza 18 em e em seguida 22,65%


113

7.3. REVISÃO DE UM FLUXO DE CAIXA

A instrução g Cfo armazena o valor do Fluxo de Caixa inicial no registro Ro,

a instrução g Cfj armazena os Fluxos de Caixa nos registradores disponíveis R1,

R2, R3, ..., Rn. O número do Fluxo de Caixa é acumulado no registro "n".

Vejamos o Fluxo de Caixa abaixo:

CF2 = 420 CF10 = 450 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CFo = 400 CF8 400



400 - 400,00 Fluxo de caixa inicial

0 0,00 Introduz 1º. Grupo de

FLX CX



repete



repete

400 400,00 Introduz o 4º. grupo



48,05 Calcula a Taxa Interna

de Retorno


114

Como revisar:


0 - 400,00 Fluxo de Caixa Inicial

1 0,00 1º. grupo

2 420,00 2º. grupo

3 0,00 3º. grupo

4 -400,00 4º. grupo

5 0,00 5º. grupo

6 450,00 6º. grupo

n 6,00 Número de grupos de

Flxs. de Caixa

7.4.COMO ALTERAR UM FLUXO DE CAIXA

a) Introduz-se o valor do fluxo a ser alterado no visor;

b) Armazena ;

c) Introduz-se o índice do registrador contendo o valor do fluxo de caixa a ser

alterado.

Vamos alterar o 4º grupo de fluxo de caixa para -500

500 4

47,44 %a.p. (Nova IRR)


115

7.5.COMO ALTERAR UM NÚMERO DE OCORRÊNCIAS CONSECUTIVAS IGUAIS

a) Armazenar o índice do montante desse fluxo de caixa (o valor de j) no registro "n";

b) Introduz-se no visor o número de vezes consecutivas que o valor do f. caixa ocorre;

c) Pressionar ;

d) Recompor o valor original no registrador "".

Vamos alterar o número de ocorrências consecutivas de segundo grupo do

fluxo de caixa anterior para cinco e calcular a nova taxa interna de retorno.


2 N Índice a ser alterado

5 g Nj Número de vezes

6 n Recompõe o valor original de n

59,07 Taxa Interna de Retorno

7.6.VALOR PRESENTE LÍQUIDO – NPV

Permite a tomada de decisão baseada no valor presente líquido, que é a

soma de todos os valores existentes no fluxo de caixa, trazidos a valor presente

para uma determinada taxa de juros.

O método do valor presente líquido consiste em calcular o valor presente

líquido (NPV) do fluxo de caixa (saldo das entradas e saídas de caixa) do

investimento que está sendo analisado usando a taxa de atratividade.

Caso o valor encontrado (NPV) seja igual à zero, a taxa do rendimento (i)

coincide com a taxa de atratividade (ia).

Caso o valor encontrado (NPV) seja positivo, esse valor representa o

quanto a renda do investimento excede a renda esperada de taxa ia, ou seja, a

taxa de renda que o investimento proporciona, ultrapassa a taxa de atratividade.

Neste caso o investimento interessa ao investidor.


116

Caso o valor encontrado (NPV) seja negativo, esse valor representa o

quanto falta para que a renda do investimento atinja a renda ou seja, a taxa de

renda que o investidor proporciona é menor que a taxa de atratividade. Neste

caso o investimento não interessa ao investidor. A identidade de cálculo do NPV é

expressa da seguinte forma:

(7.2)

Resumo:

NPV = 0 i = ia

NPV > 0 i > ia

NPV < 0 i < ia

Exemplo 1. Considerando uma taxa de 6,2% a.m. qual é o melhor retorno para uma

aplicação de R$ 500.000:

a) Receber 700.000 no fim de 6 meses

b) Receber 2 parcelas trimestrais de R$ 330.000

c) Receber 3 parcelas bimestrais de R$ 210.000

d) Receber 6 parcelas mensais de R$ 100.000

Utilizando-se as funções de fluxo de caixa da HP - 12C:

Item CF0 CF1 CF2 CF3 CF4 CF5 CF6 NPV

a)

b)

c)

d)

500.000

500.000

500.000

500.000

- - -

100.000

- -

210.000

100.000

-

330.000 -

100.000

- -

210.000

100.000

- - -

100.000

700.000

330.000

210.000

100.000

-12.077,39

5.532,57

-2337,08

-11.342.41

CFj

(1 + i )j

NPV = – Cfo

n

j=1

∑


117

Como utilizou-se as funções da HP -12C: a)



500000 - 500.000,00 Fluxo de caixa inicial

0 0,00 Introduz 1º. grupo de FLX CX

5 5,00 Vezes que o fluxo se repete

700000 700.000,00 Introduz 2º. grupo

6,2 6,20 Introduz a taxa de juros

-12.077,39 Acha Valor Presente Líquido

b)




0 0,00 Introduz o 1º. Grupo de FLX CX


330000 330.000,00 Introduz o 2º. grupo




5.532,57 Acha o Valor Presente Líquido

c)





118

0 0,00 Introduz 1º. grupo de FLX CX






2.237,08 Acha Valor Presente Líquido

d)




100000 100.000,00 Introduz 1º. grupo de FLX CX


-11.342,41 Acha Valor Presente Líquido


119

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE TAXA INTERNA DE RETORNO E VALOR

PRESENTE LÍQUIDO

PROBLEMA 01

Determine a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de R$

100.000 a ser liquidado em três pagamentos mensais de R$ 30.000, R$ 50.000,

e R$ 40.000.O fluxo de caixa correspondente a essa operação, tomando-se

como referência o doador de cursos, é representado como segue:

PROBLEMA 02

Um equipamento no valor de R$ 70 milhões é integralmente financiado, para

pagamento em sete parcelas mensais, sendo as três primeiras de R$ 10

milhões, as duas seguintes de R$ 15 milhões, a 6ª de R$ 20 milhões e a 7ª de

R$ 30 milhões. Determinar a taxa interna de retorno dessa operação.

Solução:


0,00 Limpa Registradores

100000 -100.000,00 Valor do Empréstimo

30000 30.000,00 Valor do 1º Pagamento




Mensal

Em que significa Fluxo de Caixa do Momento Zero (Fluxo de

Caixa Inicial ) e , Fluxo de Caixa de Ordem j (sendo j = 1,2,3,...).


120

PROBLEMA 03

Um construtor adquire uma motoniveladora pelo sistema de crédito para

pagamento em seis prestações mensais de R$ 73.570. Sabendo-se que o valor

financiado foi de R$ 245.000 e que a primeira prestação será paga no final do

5º mês (quatro meses de carência), determinar a taxa de juros cobrada pela

loja.

Solução:



70 -70,00 Valor do financiamento

10 10,00 Valor dos fluxos do 1º grupo

3 3,00 Nº de vezes que este valor

se repete

15 15,00 Valor dos Fluxos do 2º grupo

2 2,00 Nº de Vezes que este valor

se repete

20 20,00 Valor do fluxo do 3º grupo


10,40 Taxa interna de retorno

mensal

Solução:



245000 245.000,00 Valor financiado


4 4,00 Nºocorrências iguais

73570 -73.570,00 Valor dos fluxos do 2º grupo

6 6,00 Nº ocorrências iguais

8,30 Taxa mensal de juros .


121

PROBLEMA 04

Um banco credita R$ 180.530 na conta de um cliente referente ao desconto de

três duplicatas de valores R$ 52.600, R$ 63.400 e R$ 93.570 com prazos de 42,

57 e 85 dias, respectivamente. Determinar a taxa mensal de juros cobrada

nessa operação, calculada de acordo com o regime de capitalização composta.

Neste caso há necessidade de trabalhar com fluxos de caixa diários. Como o

banco somente terá o primeiro recebimento no 42º dia após a operação, isto

significa que durante 41 dias o banco nada receberá e, portanto, teremos de

considerar 41 fluxos iguais à zero, entre o vencimento da 1º e da 2º duplicatas

teremos mais 14 fluxos iguais a zero e assim por diante. A solução desse

problema é obtido como segue:

Solução:



180530 -180.530,00 Valor líquido do desconto

0 0,00 Vr. fluxos do primeiro grupo

41 41,00 Nº de ocorrências iguais

52600 52.600,00 Valor dos fluxos do 2º grupo



63400 63.400,00 Valor do flluxo do 4º grupo

0 0,00 Valor dos Fluxos do 5º

grupo



0,23 Taxa diária de Juros (em %)

100 1 1,00 1 + a taxa diária de juros

30 1 0,07 Taxa mensal(forma decimal)

100 7,09 Taxa mensal de Juros

(em %)


122

PROBLEMA 05

Um empréstimo de R$ 22.000 será liquidado em três prestações mensais e

sucessivas de R$ 12.000, R$ 5.000 e R$ 8.000. Considerando-se uma taxa de

juros de 7% ao mês, calcular o valor presente líquido.

PROBLEMA 06

Uma máquina industrial é financiada em 18 prestações mensais, iguais e

sucessivas de R$ 325.000,00 e mais três prestações semestrais (prestação-

reforço ou prestação-balão) de R$ 775.000,00, R$ 875.000,00 e R$ 975.000,00.

Calcular o valor financiado, sabendo-se que a taxa cobrada pela financeira foi

de 8,7% ao mês (já incluso o Imposto sobre de Operações de Crédito IOC).

Solução:



22000 -22.000,00 Valor do empréstimo

12000 12.000,00 Valor do primeiro

pagamento

500 5.000,00 Valor do 2º pagamento

8000 8.000,00 Valor do 3º pagamento

7 7,00 Taxa mensal de juros

112,53 Valor presente líquido

Solução:



0 0,00 Fluxo inicial

325000 325.000,00 Vr. fluxo do primeiro grupo


1100000 1.100.000,00 Valor do fluxo do 2º grupo


123

Cont. Solução:


325000 325.000,00 Valor do fluxo do 3º grupo

5 5,00 Nº de fluxos iguais

1200000 1.200.000,00 Valor do fluxo do 4º grupo

325000 325.000,00 Valor dos fluxos do 5º grupo


1300000 1.300.000,00 Valor do fluxo do 6º grupo)


3.911.995,93 Valor financiado

NPV


124

8. EMPRÉSTIMOS E AMORTIZAÇÕES 8.1. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – SFA

(Conhecido também como Sistema da Tabela Price ou Tabela Price)

Consiste em um Plano de Amortização de uma divida em prestações

periódicas, iguais e sucessivas dentro do conceito de termos vencidos, que o

valor de cada prestação, ou pagamento é composto por duas parcelas distintas:

Uma de juros e outra de capital (chamada amortização).

Vejamos como se calcula:

a) Calcula-se as prestações com base na mesma fórmula usada para série de

pagamento com termos vencidos (ou postecipados), isto é:

PMT = PV . ; ou com os passos da HP-12C: →

b) A parcela de juros é obtida multiplicando-se a taxa de juros (diária, mensal,

trimestral, semestral, anual...) pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior.

i . Pvt - 1; ou com os passos da HP-12C:1 c) A parcela de amortização é determinada pela diferença entre o valor da

prestação e o valor da parcela de juros:

PMT - J; ou com os passos da HP-12C: d) O saldo devedor é determinado pela diferença entre o saldo devedor

imediatamente anterior e a parcela de amortização:

PVt - 1 –AMORTIZAÇÃO; ou com os passos da HP-12C

a n i


125

8.2.EXERCÍCIO PRÁTICO COM HP-12 C

Considerando os seguintes parâmetros: Dados: PV = 1000 n = 10 i = 10% Calcular:

Solução:



1000 -1.000,00 Entra com o valor do principal

10 3,00 Entra com a taxa de juros

10 10,00 Entra com tempo

162,75 Calcula a prestação que é

constante

1 100,00 Calcula os juros da 1ª. Linha

62,75 Calcula a amortização da 1ª.

Linha

-937,25 Calcula o saldo devedor da 1ª.

Linha



Linha


Linha



Linha


Linha

.

.

.

.

.

.

.

.

.


126

Cont. Solução:


.

.

.

.

.

.

.

.

.



Linha

147,95 Calcula o saldo devedor da 9ª.

Linha



Linha


Linha

Para somar basta calcular a prestação novamente procedendo como segue:







constante

1 627,50 Soma os juros

1.000,00 Soma a amortização

1.627,50 Soma as prestações

Obs. Pode haver um resíduo no saldo devedor< 0,07 que pode variar de calculadora para calculadora. A tabela Price calculada com Excelsempre

zera o saldo devedor mesmo com uma quantidade grande de prestações


127

8.3. ROTINA DO CÁLCULO DA TABELA PRICE

ROTINA DO CÁLCULO COM A HP-12C - TABELA PRICE

PRIMEIRO PASSO

SEGUNDO PASO

TERCEIRO PASSO

QUARTO PASSO

Calcula-se os Juros

1

Calcula-se a Amortização

Calcula-se o Saldo devedor

Calcula-se as Prestações

Cont. Solução:

TABELA PRICE:

t S/DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

1.000,00 937,25 868,23 792,31 708,80 616,93 515,88 404,72 282,45 147,95

0,00

- 62,75 69,02 75,92 83,51 91,87

101,05 111,16 122,27 134,50 147,95

- 100,00 93,73 86,82 79,23 70,88 61,69 51,59 40,47 28,25 14,80

- 162,75 162,75 162,75 162,75 162,75 162,75 162,75 162,75 162,75 162,75

TOTAL 1.000,00 627,45 1.627,45


128

8.4. COMO CALCULAR OS DADOS DE UMA LINHA DE ORDEM "t" Calcular os juros a amortização e o saldo devedor da sétima parcela (t=7):







constante

6 492,35 Calcula a soma até a parcela

anterior (6ª)

1 51,59 Calcula os juros da 7ª. parcela

111,16 Calcula amortização da 7ª.

Parcela


parc.

Calcule a trigésima parcela de juros e o saldo devedor de um financiamento no

valor de 300.000,00, parcelado em 36 meses a taxa de juros de 2% a.m.:






11.769.85 Calcula a prestação

29 117.500,22 Calcula a soma até a parcela

anterior (29ª)

1 1.523,49 Calcula os juros da 30ª. parcela

65.928,03 Calcula o saldo devedor da 30ª.

parc.


129

8.5.SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE –SAC

O SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE ou Sistema SAC, tem como

principal característica a constância das amortizações periódicas, ao contrário do

Sistema Price, quando as prestações crescem exponencialmente à medida que o

prazo aumenta. É de fundamental importância no Brasil devido a sua ampla

utilização no Sistema Financeiro de um modo geral.

Vejamos como se calcula: a) Calcula-se a amortização dividindo-se o valor do principal pelo número de

parcelas:

(8.1)

b) Em seguida calcula-se o saldo devedor subtraindo-se do saldo devedor

anterior a parcela de amortização:

(8.2)

c) Os juros são calculados multiplicando-se a taxa da operação pelo saldo

devedor anterior:

(8.3)

d) As prestações representam a soma dos juros com a amortização:

(8.4)

EXERCÍCIO PRÁTICO

Considerando-se os mesmos parâmetros da Tabela Price:

PV = 1000

i = 10%

N = 10

A = PV n

SD = SDt-1 – A

J = SDt-1 . i

PMT = Jt + A


130

SISTEMA SAC

T Saldo devedor Amortização Juros Prestações

00 1000 - - -

01 900 100 100 200

02 800 100 90 190

03 700 100 80 180

04 600 100 70 170

05 500 100 60 160

06 400 100 50 150

07 300 100 40 140

08 200 100 30 130

09 100 100 20 120

10 0 100 10 110

SOMA 1000 550 1550

Comentários:

a) Como podemos observar as amortizações são constantes e ao contrário da

tabela Price as prestações são variáveis e decrescentes.

b) Na metade do prazo de amortização a parcela de pagamento do Sistema SAC

se aproxima em grandeza da prestação paga pelo Sistema Price.

c) Assim como Sistema Price, o Sistema SAC é utilizado em larga escala na

maioria dos países, com a vantagem de ter cálculos bem mais fáceis do que os

realizados no Sistema Price.

COMPARAÇÃO ENTRE AS TABELAS

SAC PRICE

t S.DEV AMORT JUROS PMT t S.DEV AMORT JUROS PMT

0 1000 - - - 0 1.000,00 - - -

1 900 100 100 200 1 937,25 62,75 100,00 162,75

2 800 100 90 190 2 868,23 69,02 93,73 162,75

3 700 100 80 180 3 792,31 75,92 86,82 162,75

4 600 100 70 170 4 708,80 83,51 79,23 162,75

5 500 100 60 160 5 616,93 91,87 70,88 162,75

6 400 100 50 150 6 515,88 101,05 61,69 162,75

7 300 100 40 140 7 404,72 111,16 51,59 162,75

8 200 100 30 130 8 282,45 122,27 40,47 162,75

9 100 100 20 120 9 147,95 134,50 28,25 162,75

10 0 100 10 110 10 0,00 147,95 14,80 162,75

SOMA 1.000 550 1550 SOMA 1.000,00 627,50 1.627,50


131

8.6.PLANILHAS DE EMPRÉSTIMO COM CARÊNCIA

a) Valor do Financiamento: 80.000

b) Taxa de juros ; 5% am

c) Prazo de Amortização: 5 meses

d) Prazo de carência: 3 meses

e) Juros acumulados na carência

t Saldo devedor

Amortização Juros Prestações

0 80.000,00 0 0 0

1 84.000,00 0 0 0

2 88.200,00 0 0 0

3 92.610,00 0 0 0

4 75.849,92 16.760,08 4.630,50 21.390,58

5 56,251,84 17.598,08 3.792,50 21.390,58

6 39.773,85 18.477,99 2.912,53 21.390,58

7 20.371,96 19.401,89 1.988,69 21.390,58

8 0,02 20.371,98 1.018,60 21.390,58

SOMA 92.610,02 14.342,88 106.952,90

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA DA TABELA

PMT= 21.390,58

0 1 2 3 4 5 6 7 8

PV = 80.000 PV3 = 92.610,00


132

8.7. CUSTO EFETIVO DE UM EMPRÉSTIMO/FINANCIAMENTO

Quando um empréstimo ou financiamento é concedido cobrando-se apenas

a taxa de juros, sem nenhum adicional, essa taxa é considerada efetiva porque

representa o custo definitivo da operação. Entretanto, é comum os empréstimos e

financiamentos serem concedidos com despesas adicionais como taxas de

abertura de crédito, taxas administrativas, despesas financeiras, despesas com

aposição de placa, com o projeto e outras despesas eventuais. Para tanto se faz

necessário calcular o Custo Efetivo da Operação, que expressará quanto

realmente custou o dinheiro envolvido no projeto.

Vejamos o exemplo abaixo:

1. Um empréstimo de R$ 470 mil foi negociado para ser pago em 6 prestações

anuais a uma taxa de de 13% ao ano. O banco ainda cobra uma taxa de

abertura de 3,8% sobre o valor do empréstimo e despesas administrativas de

2,0 % ao ano sobre o saldo devedor. Com base na Tabela Price. Construir a

Planilha de Financiamento e calcular a taxa efetiva da operação,

t Saldo devedor

amort juros Despesas Administ.

Tx. abertura

Prestação

Fluxo de caixa

0 470,0 17,9 (452,1)

1 413,5 56,5 61,1 9,4 0 117,6 127,0

2 349,7 63,8 53,8 8,3 0 117,6 125,9

3 277,6 72,1 45,5 7,0 0 117,6 124,6

4 196,1 81,5 36,1 5,6 0 117,6 123,2

5 104,0 92,1 25,5 3,9 0 117,6 121,5

6 -0,1 104,1 13,5 2,1 0 117,6 119,7

soma 470,1 235,5 36,3 14,1 705,6 IRR=16,5%

CUSTO EFETIVO DO EMPRÉSTIMO



452,1 - 452,1 Valor líquido do empréstimo

127,0 127,00 Introduz 1º. fluxo de caixa



133

124,6 124,60 Introduz 3º fluxo de caixa



119,7 119,70 Introduz o 6ºfluxo de caixa


O custo efetivo do empréstimo foi 16,5% ao ano uma taxa superior à taxa firmada

na assinatura do contrato 13% ao ano.


134

9. MANUAL DA HP-12C 9.1. INTRODUÇÃO

A calculadora HP-12C é uma ferramenta indispensável para os profissionais

e estudantes da área financeira. Essa calculadora tem se constituído um

fenômeno de venda em todo o mundo, apesar de ter mais de 20 anos no mercado.

A própria HEWLETT PACKARD tem lançado modelos mais modernos de

calculadoras financeiras, mas nenhuma conseguiu desbancar o modelo HP-12C

que continua firme e muito procurada devido a sua praticidade e portabilidade.

9.2. LIGANDO E DESLIGANDO A CALCULADORA

A função permite ligar e desligar a calculadora. Caso a máquina fique

ligada e não foi desligada manualmente entre 8 e 17 minutos, sem que alguma

tecla seja acionada, desligar-se-á automaticamente.


135

9.3. PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS

A calculadora HP-12C opera com o sistema RPN(Reverse PolishNotation),

ou seja, Notação Polonesa Reversa, onde primeiro são introduzidos os dados,

separados pela tecla e em seguida os operadores, processo

diferenciado do Sistema Algébrico.

Exemplo: 2 + 6

Sistema Algébrico: 2 + 6 =

Sistema RPN: 2 6 +

O processo RPN permite a solução de cálculos extensos com muito mais

rapidez e simplicidade.

A HP-12C está equipada com um sistema de memória contínua que mantém

os dados armazenados mesmo com a calculadora desligada.

Uma tecla pode ter até três funções diferentes reconhecidas pelos

caracteres: Branco(face superior), Amarelo(função acima da tecla) e Azul(face

inferior da tecla).

Função Amarela

Função Branca(principal)

Função Azul

Para utilizarmos as funções amarelas e azuis devemos pressionar antes a

tecla de prefixo correspondente:

Amarela Azul

Se uma tecla de prefixo for acionada por engano basta pressionar a tecla

ou .


136

9.4. ADEQUAÇÃO DA MÁQUINA

A calculadora HP-12C tem que ser adequada a nossa linguagem, pois é

vendida com a notação americana. Para adequação se faz necessário eliminar

todos os dados armazenados;

9.4.1. Eliminação de dados armazenados

a) Desligue a calculadora: Tecla ;

b) Pressione a tecla , mantendo-a pressionada;

c) Pressione a tecla mantendo-a pressionada.

d) Solte

e) Solte

Aparecerá no visor a mensagem PrError.

Desligando e ligando a máquina aparecerá no visor 0,00. Com essa operação a

calculadora ficou limpa como saiu da fábrica.

9.4.2. Trocar o ponto pela vírgula

Se colocarmos o valor de quatro milhões na calculadora e digitarmos

vamos observar que o mesmo terá a seguinte configuração:

4,000,000.00. Esse é o modelo americano que utiliza o ponto para separar a parte

fracionária da parte inteira de um número. Para adequarmos a calculadora para o

sistema brasileiro procederemos a troca do ponto pela vírgula:

a) Desliga a calculadora: Tecla ;

b) Pressionar a tecla , mantendo-a pressionada;


137

c) Pressione a tecla mantendo-a pressionada.

f) Solte ;

g) Solte

O número agora é 4.000.000,00 no formato brasileiro.

9.4.3. Número de casas decimais no visor

Para acionarmos o número de casa decimais no visor, basta acionarmos a

função e em seguida o número de casas decimais desejadas:

Exemplo:

Função

Número de

casas decimais

desejadas

Visor Significado

1 0,0 Fixou em uma casa decimal

2 0,00 Fixou em duas casas decimais

9 0,000000000 Fixou em nove casas decimais

- - - -

0 0, Fixou em 0 casas decimais

9.4.4. Trocar o sinal de um número

Tecla utilizada para trocar o sinal de um número

Ex. 4.500 → − 4.500

2.600 → − 2.600

- 600 → 600


138

9.4.5. Adequação da função calendário

Quando no visor da máquina não estiver acesa a função D.MY (day,

monthandyear) que quer dizer dia, mês e ano a calculadora somente fará os

cálculos de data através do sistema americano, ou seja: M.DY (month,

dayandyear) que quer dizer mês, dia e ano conforme se usa no Brasil. Para

adequarmos a calculadora a notação brasileira basta acionar a função

(tecla quatro função azul).

Obs.: Quando no visor da HP-12C não constar nenhuma notação de data significa

dizer que a mesma está operando com o sistema americano.

(O assunto referente à função calendário será aprofundado no item 9.12 desta

apostila)

9.4.6. Anúncio “C”

Quando estiver sendo utilizada a capitalização composta o anúncio “C”

deve estar aceso na parte inferior direita do visor. Dessa forma a calculadora

adota o regime de capitalização composta na parte fracionária do período. Caso

contrário a HP-12C usa a chamada convenção linear, ou seja, calcula no regime

de capitalização composta os períodos inteiros e calcula no regime de

capitalização simples os períodos fracionários, o que distorce o resultado. Para

colocar o anúncio “C”, basta pressionar as teclas e . Para retirar

a função basta repetir a operação. É importante que o anúncio “C” esteja sempre

aceso na máquina. O assunto será aprofundado no capítulo que trata de

capitalização composta.

Visor com adequação ao sistema brasileiro

h

p

0,00 D.MY C


139

9.5. FUNÇÕES DE LIMPEZA

Chave de funções amarelas referentes à limpeza: CLEAR Σ PRGM FIN REG PREFIX CLx (limpa somente o visor) FUNÇÕES DE LIMPEZA DA CALCULADORA HP-12C

FUNÇÕES SIGNIFICADO

Clx Apaga somente o visor

Apaga os registradores estatísticos e as pilhas operacionais

Apaga a memória de programação(quando no módulo de programação)

Apaga a memória financeira e conserva o visor

Apaga tudo menos a memória de programação

Limpa os prefixos RCL, STO ou GTO, pressionando antes f ou g

A máquina somente será totalmente limpa se repetirmos a operação

constante do item 9.4.1.

9.6. TESTES

A HP-12C possui três programas de testes que asseguram maior

confiabilidade ao seu uso:

1º Teste:

a) Desligue a calculadora

b) Pressione a tecla e mantenha a pressão;


140

c) Pressione a tecla ;

d) Libere ;

e) Libere ;

f) Aparecerá no visor a palavra RUNNING significando que o programa teste está

em execução. Após aproximadamente 15 segundos o visor apresentará:

2º Teste:

a) Desligue a calculadora;



d) Libere ;

e) Libere – aparecerá quatro tracinhos;

f ) Pressione todas as teclas da esquerda para direita e de cima para baixo. A

tecla deverá ser pressionada tanto na terceira linha como na quarta

linha A cada tecla pressionada os tracinhos deverão se movimentar. Quando a

última tecla for pressionada aparecerá no meio do visor o número 12.

3º Teste

a) Desligue a calculadora;


h

p

-8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM

12


141


d) Libere ;

e) Libere ;

f) É semelhante ao primeiro teste, diferindo apenas na duração que é

indeterminada. Para interrupção desse teste, pressione qualquer tecla e após 15

segundos aproximadamente o teste cessará.

9.7. REGISTRADORES DE ARMAZENAMENTO

A calculadora HP-12C armazena números em memórias chamadas de

registradores distribuídas de acordo com suas funções:

9.7.1.Registro da pilha automática (pilhas operacionais)

Referenciados como X, Y, Z e T e mais um, chamado deLASTxusado para

armazenar o último número mostrado antes da execução da última operação.

LASTx

VISOR

A pilha X armazena a informação contida no visor;

A pilha Y é aquela que opera diretamente com a pilha X;

As pilhas Z e T são utilizadas basicamente para retenção automática de

resultados intermediários em cálculos mais complexos.

Exemplo

Efetuar o cálculo: 5 + 6

T

Z

Y

X

h

p

-8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM


142

T 0 0 0 0

Z 0 0 0 0

Y 0 5 5 0

X 5 5 6 11

5 ENTER 6 +

Observe que quando se dar um ENTER a calculadora copia a informação do

registrador X no registrador Y.

Vejamos um cálculo mais complexo:

Exemplo

Efetuar o cálculo: [(8 x 4) + (6 x 7)] ÷ 2 = 37

T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Z 0 0 0 0 0 32 32 0 0 0 0

Y 0 8 8 0 32 6 6 32 0 74 0

X 8 8 4 32 6 6 7 42 74 2 37

8 E 4 X 6 E 7 X + 2 :

É importante entender que não podemos dar mais de três ENTER

consecutivos. Quatro ENTER consecutivos inviabiliza uma operação, pois a

primeira informação será perdida. Ex. vamos registrar nas pilhas operacionais os

números 20, 30, 40 e 50, consecutivamente:

20 informação perdida

T 0 0 0 0 0 20 20 30

Z 0 0 0 20 20 30 30 40

Y 0 20 20 30 30 40 40 60

X 20 20 30 30 40 40 60 60

20 E 30 E 40 E 60 E

Aprofundaremos a questão quando estudarmos o item referente ao Cálculo

em Cadeia.


143

9.7.2.Registradores de Armazenamento de Dados

Além da memória automática, a calculadora HP-12C tem 20 memórias para

armazenar dados manualmente. São os registros designados de R0a R9eR.0 a R.9

R0

R.0

R1 R.1

R2 R.2

R3 R.3

R4 R.4

R5 R.5

R6 R.6

R7 R.7

R8 R.8

R9 R.9

9.7.2.1.Armazenamento e Recuperação de Números

Para armazenar um número qualquer que esteja no visorbasta seguir a

seguinte rotina:

Pressione

Digite o número do registro: de 0 a 9 para os registradores R0 a R9.

de .0 a .9 para os registradores R.0 a R.9

Para recuperar basta digita (recuperar) e depois o número do registro

Exemplo

Armazenar (estocar) os números 40, 50, 2000, 35.000 e 12 nos

Registradores R1, R6, R.0, R.1 e R9 respectivamente.


144

Solução:

ARMAZENAMENTO RECUPERAÇÃO

NÚMERO OPERAÇÃO ENDEREÇO RECUPERAÇÃO ENDEREÇO NÚMERO

40 1

R1 1

R1 40

50 6

R6 6

R6 50

2.000 .0

R.0 .0

R.0 2.000

35.000 .1

R.1 .1

R.1 35.000

12 9

R9 9

R9 12

IMPORTANTE: O número de registradores de armazenamento disponível pode

diminuir em função da quantidade de programas contidos na calculadora.

Para se saber o número de memórias disponíveis para uso basta pressionar

(tecla 9) . Se a calculadora não contiver nenhum programa aparecerá a

indicação P-08 r-20no visor. Esta indicação demonstra que a calculadora possui 8

passos de programação tomados (padrão da máquina) e os 20 registradores

existentes estão livres para uso.

A calculadora HP-12C possui 99 linhas de programação, sendo que cada

memória, se necessário, é convertida em sete novos passos de programação:

Exemplo

Capacidade máxima de programação: 99;

Padrão interno da calculadora: 8 passos de programação (sem interferir na

quantidade de memórias disponíveis);

Cada memória pode ser convertida em 7 passos de programação;

Número de memórias que podem ser convertidas em passos: 13 (pois 13 x 7 =

91);

Total de memórias disponíveis a qualquer momento: 7 (0 a 6)


145

9.7.2.2.Como limpar as memórias

Para limpar uma única memória basta armazenar 0 no endereço desejado.

Exemplo

0 4. O conteúdo da memória 4 foi substituído por 0.

Para limpar todos os registradores de uma só vez devemos pressionar

(conforme vimos no CAPÍTULO 5).

9.7.2.3.Operações aritméticas utilizando os registradores

Os cálculos só poderão ser efetuados utilizando-se os registradores:

0 – 4. Vamos escolher o registrador R3para efetuar a seguinte operação

matemática: [(1.000 + 2.000) x 2 -500] ÷ 5

NÚMERO TECLA OPERADOR ENDEREÇO SIGNIFICADO

1.000

3 Estoca 1.000 em R3

2.000

3 Soma 2.000 ao conteúdo de R3

2

3 Multiplica o resultado por 2

500

3 Subtrai 500 do valor acumulado em R3

5

3 Divide o saldo por 5

3 Recupera o conteúdo de R3 1.100

9.8. CALCULOS EM CADEIA

a) Exemplo de Cálculo Simples: 80 x 30 = 80 ENTER 30 X


146


80 80 O número registrado em X (visor) foi

copiado em Y

30 2.400 O número digitado em X multiplicou o valor

de Y

b) Outro exemplo: 40 + 30 -20 + 60 – 5 =


40 40 Iniciamos a operação

30 70 Saldo após a soma

20 50 Saldo após a subtração

60 110 Saldo após a soma

5 105 Resultado da operação

c) Cálculos mais complexos: (70 X 3) + (40 X 2 + 20) =


70 3 210 Resultado do primeiro

parêntese

40 2 20 100 Resultado do segundo

parêntese

310 Resultado final (soma dos

dois parênteses)

d) Cálculos mais complexos (outro exemplo):

[(20 x 4 ) + (70 : 2 )] x 6

[5 + (4 x 5) ]

IMPORTANTE: Temos que observar as regras da matemática, resolvendo-se

primeiro os parênteses e dando-se prioridade às potências e às raízes, às

multiplicações e divisões, na ordem que se encontram. Por fim realizam-se as

adições e subtrações, também na ordem que se encontram.

= 27,60


147

Linguagem RPN 20 E 4 X 70 E 2 ÷ + 6 X 4 E 5 X 5 + ÷



parêntese

70 2 6 690 Resultado do numerador

4 5 5 25 Resultado do denominador

27,60 Resultado final

e) Cálculos mais complexos:

{4 x 3 [( 6 + 2 ) X ( 5 + 3 ) – 8 ( 4 + 3 )]} = Linguagem RPN 6 E 2 + 5 E 3 + X 4 E 3 +8 X – 3 X 4 X



parêntese

5 3 8 Resultado do segundo

parêntese

64 Multiplica os dois

parênteses

4 3 7 Resultado do terceiro

parêntese

8 8 Resultado do colchete

3 4 96 Resultado final

9.9.PRINCIPAIS FUNÇÕES ALGÉBRICAS

9.9.1.Potenciação

4 3 = 4 x 4 x 4 = 64 Como resolver: 4 E 3 YX

Por que ? Vamos entender através das pilhas operacionais.


148

T 0 0 0 0

Z 0 0 0 0

Y 0 4 4 0

X 4 4 3 64

4 E 3 YX

Observe que a base ocupa a pilha Y e o expoente ocupa a pilha X (visor).

9.9.2.Inverso de um número

A Função ao ser pressionada calcula o inverso de um número contido

no visor:

Exemplo

Digite o número e em seguida a função

4 0,25

8 0,125

10 0,10

9.9.3.Radiciação Operação inversa da potenciação Exemplo 43 = 64 portanto 641/3 = 4 ou 64

Como calcular na HP: 64 3 4

3


149

Outros exemplos:

1.296 1.296 4 6

32 32 2 O cálculo da raiz quadrada é mais Simples: Basta digitar o número e

pressionar .

Exemplo Calcular a raiz quadrada de: 144 e 900

144 144 12

900 900 30 Podemos observar que o cálculo da raiz quadrada envolve somente a pilha X, ao

contrário da raiz enésima que envolve também a pilha Y.

9.9.4. Logaritmo

A Calculadora HP-12C possui a função (Logaritmo Neperiano) cuja

base é 2,718281828459, que também é chamado de Logaritmo Natural, cujo autor

foi John Neper(1550-1617).

4

5


150

Exemplo

Achar o Logaritmo Neperiano dos seguintes números 1.000, 800 e 35.

1.000 6,907755

800 6,684611

35 3,555348

A calculadora não tem função específica para o cálculo do logaritmo base

10, entretanto este logaritmo pode ser calculado com base na seguinte regra: O

LogarítmoNeperiano de um número dividido pelo LogarítmoNeperiano de 10 é

igual ao Logaritmo base 10.

1.000

10

Como calcular: 1000 10 10

9.10. FUNÇÕES AUXILIARES

9.10.1. Tecla

Permuta os valores das memórias X (visor) e Y

T 0 0 0 0

Z 0 0 0 0

Y 0 400 400 600

X 400 400 600 400

400 ENTER 600 X <> Y

= 3


151

9.10.2.Tecla

Promove a troca nos conteúdo das quatro memórias transitórias:

O conteúdo da memória X é transferido para a memória Y

O conteúdo de Y é transferido para Z

O conteúdo de Z é transferido para T

O conteúdo de T para X e assim sucessivamente.

9.10.3. Função

Permite eliminar as casas decimais da memória X que não aparecem no visor

mediante o critério de arredondamento matemático.

Exemplo

150 8,5= 150 8,5 17,64705882 (8 casas decimais).

Caso se queira arredondar com critério matemático para duas casas decimais,

basta fixar 2 casas decimais (f 2) e em seguida executar a função . O visor

vai indicar o número 17,65, mas, se voltarmos a fixar em 8 casas decimais, o visor

apresentará a seguinte configuração: 17,65000000. Se quisermos recuperar o

número anterior basta executar a função (que recupera a última

informação antes da operação).

9.10.4. Função

Permite extrair a parte fracionária de um número. Vamos tomar como exemplo o

número 17,64705882.

Basta executar a função que o número perde a sua parte inteira e

apresenta no visor somente a fração: 0,64705882.


152

9.10.5.Função

Ao contrário de , extrai a parte inteira do número.

Utilizando-se como exemplo o mesmo número do item anterior: 17,64705882.

Basta executar a função que o número perde sua parte fracionária e

apresenta no visor somente: 17,00000000.

9.11. FUNÇÕES PERCENTUAIS

9.11.1.Percentagem de um número

A função calcula o percentual de um número.

Exemplo

1. 20% de 88.000

15% de 36.800

80% de 600.000

2. Um carro no valor de R$ 25.000 foi comprado à vista com 15% de desconto. O

valor da compra sofreu um acréscimo de 6% referente a despesas com frete,

seguro e outros custos indiretos de aquisição. Calcular o valor efetivamente

pago à concessionária:

Solução:


88.000 20 17.600,00 Calcula 20% de 88.000

36.800 15 5.520,00 Calcula 15% de 5.520

600.000 80 480.000,00 Calcula 80% de 480.000

Solução:


25.000 15 21.250,00 Valor à vista do carro

6 22.525,00 Valor efetivamente pago


153

3.Um equipamento no valor de R$ 96.000 foi comprado com 12% de desconto.

Sobre o valor líquido foram descontadas despesas referentes a impostos e

outros custos cujas taxas percentuais correspondem respectivamente a 6% e

4%. Calcular o valor efetivo da compra:

9.11.2.Variação percentual

Calcula a variação percentual entre dois números:

Exemplo

1. Um carro foi comprado por R$ 28.000 e foi vendido por R$ 32.000. Qual foi o

lucro (variação percentual positiva):

2. Uma casa foi comprada por R$ 120.000 e foi vendida por R$ 98.000, qual foi o

prejuízo da operação:

Solução:


96.000 12 84.480,00 Valor da compra menos o

desconto

1 84.480,00 Valor armazenado em R1

(valor líquido)

6 2 89.548,00 Valor acrescido do

imposto – Armazena em

R2

1 84.480,00 Recupera o Valor líquido

4 3.379,20 Calcula os outros custos

2 92.928,00 Recupera o valor

acumulado e soma

RCL

Solução:


28.000 28.000,00 Valor do carro

32.000 14,29 Percentagem referente ao lucro


154

9.11.3.Percentagem do total

Calcula a percentagem de um número com relação ao total ou a distribuição

percentual de vários números com relação ao total.

Exemplo

1. Uma fatura no valor de R$ 9.700 apresenta no rodapé uma despesa de R$ 375.

Que percentual corresponde este valor com relação ao valor original da fatura:

2. O capital de uma empresa foi dividido em quotas:R$ 600.000, distribuídos da

seguinte forma: R$ 100.000, R$ 200.000 e R$ 300.000. Calcular o percentual

de cada quota:

Solução:


120.000 120.000 Valor da compra

98.000 - 18,33 Percentagem negativa referente ao

prejuízo

Solução:


9.700 9.700,00 Valor original da fatura

375 3,87 Percentagem referente à despesa

Solução:


600.000 600.000,00 Valor do capital social

100.000 16,67 16,67% do valor total

0,00 Limpa o visor

200.000 33,33 33,33% do valor total

0,00 Limpa o visor

300.000 50,00 50% do valor total

Obs.: A soma dos percentuais tem que dar 100%


155

9.12. FUNÇÃO CALENDÁRIO

A função calendário calcula as seguintes informações:

a) Número real de dias entre duas datas. Fornece também o número de dias

baseado no ano comercial (360 dias);

b) Data futura ou passada, correspondente a um número fixo de dias, tomando-se

como base uma data de referência;

c) Dia da semana correspondente a uma data futura ou passada.

As informações acima podem ser obtidas para datas entre 15 de outubrode

1.582 e 25 de novembro de 4.046.

data anterior data de referência data posterior

parâmetros para o cálculo das datas

Adequação da máquina para cálculo de datas:

Limpar a calculadora (registradores)

Tabular a calculadora para 6 casas decimais: (f6) XX,XXXXXX.

São necessários dois dígitos para dias e meses e quatro dígitos para ano.

Adequar a calculadora à notação brasileira, acendendo no visor a notação

(dia, mês e ano).

9.12.1.Variação de dias entre duas datas

Permite calcular a variação de dias entre duas datas.

△DYS


156

Exemplo

1. Uma pessoa nasceu em 04 de fevereiro de 1974, calcule quantos dias viveu até

23 de julho de 2005.

Curiosidade: Para transformar os dias em anos basta dividir 11.492 por 365

dias. O resultado dá 31,48, ou seja, 31 anos e uma fração do de 0,48.

Multiplicando-se 0,48 por 12 teremos 5,82. Ou seja, a pessoa tem

aproximadamente 31 anos e 6 meses.

Veja como calculamos com a HP-12C:

11.492 365 31,48 0,48 12 X 5,82

2. Calcular quantos dias são decorridos entre 13 de maio de 1888 e 13 de maio de

1988.

Solução:


6 0,000000D.MY Estabelece notação brasileira e

fixa 6 casas

04.021974 4,021974 Introduz a data de nascimento

23.072005 23.072005 Introduz a data de referência

11.492 Quantidade de dias entre as

duas datas

△DYS

Solução:



fixa 6 casas

13.051888 13,051888 Introduz a data da Lei Áurea.

13.051988 13,051988 Introduz a data do centenário

36.524 Quantidade de dias entre as duas

datas

△DYS


157

3. Uma pessoa aplicou certo valor em 30-03-2005 e no dia 05-05-2005 resgatou o

capital mais os juros. Calcular por quantos dias o capital esteve aplicado.

9.12.2. Cálculo de datas futuras e passadas

Permite calcular datas futuras ou passadas com base nos dias decorridos entre as

mesmas, inclusive calcula o dia da semana a que se refere a data, mostrando um

código no canto direito do visor.

O cálculo de datas, mostrando o dia da semana, obedece a seguinte tabela:

Exemplo

1. No dia 20-06-2005 uma pessoa assinou uma duplicata cujo vencimento se dará

com 99 dias. Calcule a data do vencimento.

DIA DA SEMANA CÓDIGO

SEGUNDA-FEIRA 1

TERÇA-FEIRA 2

QUARTA-FEIRA 3

QUINTA-FEIRA 4

SEXTA-FEIRA 5

SÁBADO 6

DOMINGO 7

Solução:


6 0,000000D.MY Estabelece notação brasileira

e fixa 6 casas

30.032005 30,032005 Introduz a data de

nascimento

05.052005 05.052005 Introduz a data de referência

36 Quantidade de dias da

aplicação

△DYS


158

2. Há 120 dias tomei um empréstimo cujo vencimento se deu em 30-07-2005.

Qual a data que a operação foi contraída?

Solução:



fixa 6 casas

20,062005

20,062005 Introduz a data da assinatura do

compromisso

99 99 Introduz a quantidade de dias

27.09.2005 2 Fornece a data e dia da semana

(terça-feira)

Veja como a data é expressa no visor: Terça-feira

Solução:



fixa 6 casas

30,072005 30,072005 Introduz a data do vencimento

120 120 CHS Introduz a quantidade de dias

(sinal negativo)*

1.04.2005 5 Fornece a data e dia da

semana (sexta-feira)

Quando a data for passada troca-se o sinal (CHS)

h

p

27.09.2005 2


159

3. Uma pessoa nasceu em 02-01-2002. Calcular o dia da semana referente a esta

data:

4. Qual o dia da semana que se deu as seguintes datas históricas:

Independência do Brasil - 07 de setembro de 1822

Proclamação da República – 15 de novembro de 1889

Dia do Fico – 09 de janeiro de 1822

Golpe Militar de 1964 – 31 de março de 1964

Morte de Getúlio Vargas – 24 de agosto de 1954

Solução:



fixa 6 casas

02,012002

02,012002 Introduz a data de nascimento

0 0 Introduz a quantidade de dias

02,012002 3 Fornece a data e dia da semana

(quarta-feira)

Agora procure saber o dia da semana que você nasceu!

Solução:


07,091822 0 SABADO Independência

15,111889 0 SEXTA-FEIRA Proclamação

da República

09,011822 0 QUINTA-FEIRA Dia do Fico

31,031964 0 TERÇA-FEIRA Golpe Militar

24,081954 0 SEGUNDA

FEIRA

Morte de

Getúlio


160

EXERCÍCIOS COM CÁLCULO EM CADEIA

Nº EXPRESSÃO RESP

01 ( 4 X 8) ÷ 3 10,67

SEQUÊNCIA COM A HP-12C :

4 8 3

Nº EXPRESSÃO RESP

02 6 ÷ 3 + (8 -3) ÷ 5 3


6 3 8 3 5

Nº EXPRESSÃO RESP

03 40[(18 – 6 ) ÷ 6] 80


40 18 6 6

Nº EXPRESSÃO RESP

04 [(25 + 30) (18 – 9)] ÷ 7 70,71


25 30 18 9 7

Nº EXPRESSÃO RESP

05 (60 + 40) ÷2 50


60 40 2

Nº EXPRESSÃO RESP

06 4 -2 0,06


4 2

Nº EXPRESSÃO RESP

07 4,86 12.230,59


4,8 6


161

Nº EXPRESSÃO RESP

08 (3÷6)3 0,13


3 6 3

Nº EXPRESSÃO RESP

09 702,5 40.996,34


70 2,5

Nº EXPRESSÃO RESP

10 3 ¼ 1,32


3 4

Nº EXPRESSÃO RESP

11 2251/2 15


225 2

Nº EXPRESSÃO RESP

12 27.0001/3 30


27.000 3

Nº EXPRESSÃO RESP

13 50.6251/4 15


50.625 4

Nº EXPRESSÃO RESP

14 (82)1/4 2,83


8 2 4

Nº EXPRESSÃO RESP

15 [(1+0,07)6 -1] ÷ [(1+0,07)6.0,07] 4,77


1,07 6 1 1,07 6 0,07


162

Nº EXPRESSÃO RESP

16 [(1 +0,03)4 -1] ÷ 0,03 4,18


1,03 4 1 0,03

Nº EXPRESSÃO RESP

17 [(1+20,3÷100)45/30-1].100 31,95


1 20,3 100 45 30 1 100

Nº EXPRESSÃO RESP

18 [(4+14÷100).(4+2÷3)7-1] ÷100 1.995,48


4 14 100 2 3 4 7 1

100

Nº EXPRESSÃO RESP

19 (4+15÷100).(8+1/5)3 2.288,18


4 15 100 8 5 3

Nº EXPRESSÃO RESP

20 LN 1,5035 ÷ LN 1,03567 11,64


1,5035 1,03567

Nº EXPRESSÃO RESP

21 400.(1+8÷100)5 x 3 1.268,87


400 8 100 1 5 3

Nº EXPRESSÃO RESP

22 8.800.(1+2,8÷300)6 9.304,44


8.800 2,8 300 1 6

Nº EXPRESSÃO RESP

23 (1+0,03).{[(1+0,03)4-1] ÷[(1+0,03)4.0,03]} 3,82861


163


1,03 1,03 4 1 1,03 4 0,03

Nº EXPRESSÃO RESP

24 (8+3X5+6X7) ÷40 65


8 3 5 6 7

Nº EXPRESSÃO RESP

25 5300(1+0,015)6 5.795,25


5300 1,015 6

EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE O FUNCIONAMENTO DA CALCULADORA


164

HP 12-C

1.Cite quatro vantagens para utilização da HP-12C.

2.Como liga e desliga a HP-12C?

3.Como podemos saber se a pilha está fraca?

4.Descreva 3 testes para sabermos se a HP-12C está funcionando

normalmente.

5.Como chamamos os elementos que aparecem no visor após o teste?

6.Qual a mensagem que aparece no visor quando a calculadora não está

funcionando bem?

7.O Código 34 representa que tecla?

8.Qual código da tecla X?

9.Quais são os registros aritméticos da HP-12C?

10.Explique a finalidade das funções f e g?

11.Qual a importância do anúncio “C” no visor da calculadora?

12.Quando a máquina é ligada pela primeira vez o que aparece no visor?

13.Como altear a representação do ponto para vírgula evice-versa.

14.Qual o critério de arredondamento utilizado pela HP-12C?

15.Digite o número 8,86473 e pressione f 2. O que acontece com as demais

casas que não aparecem no visor?

16.Qual a tecla que troca o sinal um número?

17.O que significa limpar literalmente a máquina?

18.Como podemos extrair a parte inteira de um número?


165

19.Após a utilização da função RND o que acontece comas casas decimais

além da precisão estabelecida?

20. Quantos registradores de memória a calculadora possui?

21. O que se entende por pilha operacional?

22. Qual a diferença entre memória automática e memóriamanual!

23. O que acontece com a calculadora quando o anúncio “C” não estiver

aceso no visor?


166

Assaf Neto, Alexandre. Matemática Financeira e Suas Aplicações. São Paulo.

2ª edição. Ed. Atlas.

César, Benjamin. Matemática Financeira (Série Provas e Concursos). Rio de

Janeiro. Impetus – 2.000.

Ferreira, Roberto Gomes. Matemática Financeira Aplicada. 6ª. Ed. Ed. Atlas,

São Paulo - 2008

Lapponi, Juan Carlos. Matemática Financeira. São Paulo. 1ª edição. Lapponi

Treinamento e Editora Ltda.

Mathias, WashingtonFranco; Gomes, José Maria. Matemática Financeira. 2ª.Ed.

Ed. Atlas, São Paulo.

Puccini, Abelardo de Lima. Matemática Financeira. Rio de Janeiro. 5ª Edição.

Ed. Saraiva .

Siqueira, Ésio – Manual da Calculadora HP-12C aplicado à Matemática

Financeira – (apostila – FCAP/UPE).

Tosi, Armando José. Matemática Financeira com Ênfase em produtos

Bancários. São Paulo. Atlas.

Vieira Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira. São Paulo. 5ª Edição.

Ed.Atlas.

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