PreámbuloHay libros que duran un día, y sonbuenos. Hay otros que duran un año, yson mejores. Hay los que duran muchosaños, y son muy buenos. Pero hay losque duran toda la vida: esos son losimprescindibles. Y este libro es uno delos que duran toda la vida: un cofre deltesoro que, al abrirse, nos inunda depreguntas y enigmas, de números que detan grandes son infinitos (y distintosinfinitos), de personajes que uno querríatener enfrente en una charla de amigos.

Adrián Paenza no sólo se pregunta porqué la matemática tiene mala prensa: sepreocupa muy especialmente por

acercarnos a esta búsqueda de patronesy regularidades y logra contagiarnos suentusiasmo a toda prueba. Preguntóncomo pocos, Paenza nos envuelve en ununiverso en el que reina la ciencia, perodonde no quedan afuera los amigos, losenigmas, la educación y las anécdotas deuna vida dedicada a contar y enseñar.

Algunos de estos cuentos forman partede las historias que el autor nos regalaen el ciclo Científicos IndustriaArgentina, posiblemente la sección másesperada por el público, que semana asemana se esmera en resolver problemasde sombreros, ruletas o cumpleaños.Pero todas las historias son parte de ununiverso amplio y generoso que gracias

a este libro incorporará nuevoshabitantes: el universo de AdriánPaenza.

El libro nos lleva por estos nuevospaisajes a través de numerosos ejemploscon diverso grado de dificultad. Así, haycuriosidades que podrán ser leídas conel mayor deleite y comodidad y tambiénotros capítulos que desafían al lector arazonamientos audaces y demostracionesque a veces se les presentan a losmismísimos estudiantes de ciencias(algunas de las secciones incluyen temasde las mismas materias que Paenza dictaen la Facultad de Ciencias Exactas yNaturales de la UBA). Entonces,mientras nos maravillamos con las

aventuras de Paenza en el país de lasmatemáticas, podremos también, comolectores, jugar a ser estudiantes deciencias frente a la pizarra de Álgebra ode Análisis Matemático.

Matemática... ¿Estás ahí? Tal vez se esté"poniendo las preguntas", pero lo que esseguro es que sí, está a la vuelta de laesquina, en nuestra vida cotidiana yesperando a que la descubramos. Heaquí una inmejorable guía paralanzarnos a explorar.

Esta colección de divulgación científicaestá escrita por científicos que creen queya es hora de asomar la cabeza por fueradel laboratorio y contar las maravillas,grandezas y miserias de la profesión.

Porque de eso se trata: de contar, decompartir un saber que, si sigueencerrado, puede volverse inútil.

Ciencia que ladra... no muerde, sólo daseñales de que cabalga.

Diego Golombek

Dedicatoria

Dedico este libro a mis padres, Ernestoy Fruma, a quienes les debo todo. A miquerida hermana Laura A mis sobrinos:Lorena, Alejandro, Máximo, Paula,Ignacio, Brenda, Miguelito, Sabina,Viviana, Soledad, María José, Valentín,Gabriel, Max, Jason, Whitney, AmandaJonathan, Meagan y Chad. A Carlos

Griguol. Y a la memoria de mis tíasElena, Miriam y Delia, así como a lasde Guido Peskin, León Najnudel, MannyKreiter y Noemí Cuño.

Agradecimientos

A Diego Golombek: sin él, no habríalibro.

A Claudio Martínez: porque fue elprimero que insistió para que contaraestas historias por televisión y meestimuló para que lo hiciera. A misalumnos: de ellos aprendí a enseñar yentendí lo que era aprender. A misamigos, porque sí, porque son misamigos, me quieren y eso es lo únicoque me importa.

A Carmen Sessa, Alicia Dickenstein,Miguel Herrera, Baldomero RubioSegovia, Eduardo Dubuc, CarlosD'Andrea, Cristian Czubara, EnzoGentile, Ángel Larotonda y Luis Santaló.

A quienes leyeron el manuscrito (bueno,no tan manuscrito) y lo atacaron tratandode salvarlo pero no sé si lo lograron:Gerardo Garbulsky, Alicia Dickensteiny Carlos D'Andrea.

A Marcelo Bielsa, Alberto Kornblihtt,Víctor Hugo Morales y HoracioVerbitsky, por su postura ética en lavida. Gracias a ellos soy una mejorpersona.

Capítulo 1. La manode la princesaCada vez que tengo que dar una charlade matemática para público nomatemático, elijo una forma de empezar.Y es siempre la misma. Pido permiso, yleo un texto que escribió Pablo Amster,el excelente matemático, músico,experto en cábala y, además, unaextraordinaria persona.

Esta historia la utilizó Pablo en un cursode matemática que dio para un grupo deestudiantes de Bellas Artes en la CapitalFederal. Se trata de un texto maravillosoque quiero (con la anuencia de él)

compartir con ustedes.

Aquí va. El título es: "La mano de laprincesa".

Una conocida serie checa de dibujosanimados cuenta, en sucesivos capítulos,la historia de una princesa cuya mano esdisputada por un gran número depretendientes.

Éstos deben convencerla; distintosepisodios muestran los intentos deseducción que despliega cada uno deellos, de los más variados eimaginativos.

Así, empleando diferentes recursos,algunos más sencillos y otros

verdaderamente magníficos, uno trasotro pasan los pretendientes pero nadielogra conmover siquiera un poco, a laprincesa.

Recuerdo por ejemplo a uno de ellosmostrando una lluvia de luces yestrellas; a otro, efectuando unmajestuoso vuelo y llenando el espaciocon sus movimientos. Nada. Al fin decada capítulo aparece el rostro de laprincesa, el cual nunca deja ver gestoalguno.

El episodio que cierra la serie nosproporciona el impensado final: encontraste con las maravillas ofrecidaspor sus antecesores, el último de lospretendientes extrae con humildad de su

capa un par de anteojos, que da a probara la princesa; ésta se los pone, sonríe yle brinda su mano.

La historia, más allá de las posiblesinterpretaciones, es muy atractiva, ycada episodio por separado resalta deuna gran belleza. Sin embargo, sólo laresolución final nos da la sensación quetodo cierra adecuadamente.

En efecto; hay un interesante manejo dela tensión, que nos hace pensar en ciertopunto, que nada conformará a laprincesa. Con el paso de los episodios ypor consiguiente, el agotamiento cadavez mayor de los artilugios deseducción, nos enojamos con esta

princesa insaciable. ¿Qué cosa tanextraordinaria es la que está esperando?Hasta que, de pronto, aparece el datoque desconocíamos; la princesa no seemocionaba ante las maravillasofrecidas, pues no podía verlas.

Así que ése era el problema. Claro. Siel cuento mencionara este hecho un pocoantes, el final no nos sorprendería.Podríamos admirar igualmente labelleza de las imágenes, peroencontraríamos algo tontos a estosgalanes y sus múltiples intentos deseducción, ya que nosotros sabríamosque la princesa es miope. No losabemos: nuestra idea es que la fallaestá en los pretendientes que ofrecen, al

parecer, demasiado poco. Lo que haceel último, ya enterado del fracaso de losotros, es cambiar el enfoque del asunto.Mirar al problema de otra manera.

De no saber ya ustedes (Pablo se refiereaquí a los estudiantes de Bellas Artesque eran sus interlocutores) de qué trataeste curso, quizás se sorprenderíanahora como se sorprendieron con elfinal de la historia anterior: vamos ahablar (o estamos hablando) dematemática.

En efecto, hablar de matemática no essolamente demostrar el teorema dePitágoras: es, además, hablar del amor ycontar historias de princesas. Tambiénen la matemática hay belleza. Como dijo

el poeta Fernando Pessoa: "El binomiode Newton es tan hermoso como laVenus de Milo: lo que pasa es que muypoca gente se da cuenta".

Muy poca gente se da cuenta,.. Por esoel acento de la princesa: porque elproblema, como adivina el último de lospretendientes, es que "Lo másinteresante que hay en este país, no se love" (Henri Michaux, "El país de lamagia").

Muchas veces me sentí en el lugar de losprimeros galanes. Así, siempre meesforcé por exponer las cuestionesmatemáticas más bellas, pero la mayoríade las veces, debo reconocerlo, mis

apasionados intentos no tuvieron larespuesta esperada.

Trato esta vez de acercarme al galánhumilde del último capitulo. De lamatemática, según Whitehead "lacreación más original del ingeniohumano", hay bastante para decir. Poreso este curso. Sólo que hoy prefierotambién yo mirar las cosas de esa otramanera, y empezar contando un cuento...

Esta presentación de Pablo Amsterapunta directamente al corazón de estelibro, La idea es poder recorrer variashistorias, pensar libremente, imaginarcon osadía y, parar cuando uno llega aalgo que lo entusiasma. Pero buscar esospuntos. No sólo esperar que lleguen.

Estas líneas tienen ese propósito:entusiasmarles, conmoverles,enamorarles, sea con la matemática ocon una historia que no conocían.Espero lograrlo.

Capítulo 2. Números

1. Números grandes

¿Números grandes? Sí. Grandes.Difíciles de imaginar. Uno escucha quelas deudas externas se manejan en milesde millones de dólares, que las estrellasen el cielo están a años luz de la Tierra,que la molécula de ADN contiene tresmil millones de nucleótidos, que lasuperficie del sol tiene una temperaturade seis mil grados centígrados. Etcétera.Estoy seguro que cada uno que estéleyendo este párrafo tiene sus propiosejemplos para agregar.

Lo que yo hago frente a estas magnitudeses compararlas, contrastarlas con algoque me sea más fácil representar.

En el mundo hay más de seis milquinientos millones de personas. Enrealidad ya somos (en agosto de 2005)más de seis mil trescientos millones.Parece mucho, Pero ¿qué es mucho?Veamos. ¿Qué diferencia hay entre unmillón y mil millones? (aparte que elultimo tiene tres ceros más). Paraponerlo en perspectiva,transformémoslos en segundos. Porejemplo, supongamos que en un puebloen donde el tiempo sólo se mide ensegundos, una persona está acusada dehaber cometido un delito. Se enfrentan el

fiscal y el abogado defensor delante deljuez que interviene en la causa. El fiscalpide "mil millones de segundos para elreo". El defensor lo tilda de "loco" ysólo está dispuesto a aceptar "un millónde segundos, y sólo como un hechosimbólico". El juez, acostumbrado amedir el tiempo de esa forma, sabe quela diferencia es abismal. ¿Entienden lasrazones?

Piénsenlo así: un millón de segundos sonaproximadamente once días y medio. Encambio, mil millones de segundossignifican casi... ¡32 años!

Este ejemplo muestra que, en general,nosotros no tememos idea de lo querepresentan los números, aun en nuestra

vida cotidiana. Volvamos al tema de loshabitantes de la Tierra. Si somos seismil millones y pusieran fotos de todosen un libro, de manera que las hojasfueran de una décima de milímetro deespesor, colocando diez personas porpágina y utilizando las dos caras de lahoja... el libro tendría… ¡30 kilómetrosde alto! Además, si una personaestuviera muy ávida por mirar fotos, ytardara un segundo por página pararecorrer las diez que hay allí, y lededicara 16 horas diarias, le llevaría 28años y medio mirarlas todas. Con todo,cuando llegara al final, en el año 2033,el libro ya habría aumentado de tamaño,porque ya seríamos dos mil millones depersonas más, y el libro tendría otros

diez kilómetros más de espesor.

Pensemos ahora cuánto lugar nos haríafalta para poder ponemos a todos juntos.El estado de Texas (el de mayorsuperficie en los Estados Unidos.exceptuando Alaska) podría albergar atoda la población mundial. Sí. Texastiene una superficie habitable deaproximadamente 420.000 kilómetroscuadrados, Luego, nosotros, loshumanos, podríamos juntarnos en Texasy tener cada uno una parcela de 70metros cuadrados para vivir, ¿No estámal, no?

Ahora pongámonos en fila ocupandocada persona una baldosa de 30centímetros cuadrados. En este caso la

humanidad entera formaría una cola demás de 1.680.000 kilómetros, Eso nospermitiría dar 42 veces la vuelta alglobo por el Ecuador.

¿Qué pasaría si todos nos quisiéramostransformar en artistas de cine yfilmáramos una película con nosotroscomo estrellas? Si cada personaapareciera nada más que 15 segundos (osea, un poco menos de siete metros deceluloide por humano), se necesitaríanunos 40 millones de kilómetros denegativo. Además, si alguien quisieraverla, se tendría que sentar en el cinepor 23.333.333 horas, o sea 972.222días, lo que significan unos 2.663 años.Y esto sucedería siempre que decidamos

no dormir, comer ni hacer ninguna otracosa en la vida. Sugiero que nosdistribuyamos para verla y después nosencontremos para contamos lo mejor.

2. Más sobre númerosgrandes: peso de un tablerode ajedrez

Otro ejemplo más para este boletín. Hayuno muy conocido por toda persona quequiere ejemplificar el crecimientoexponencial y maravillar a susinterlocutores advirtiendo cómo losnúmeros crecen en forma... bueno,justamente, en forma exponencial.

El caso típico es el de los granitos dearroz con los que el Rey de un condadoquería premiar a un súbdito que le habíahecho un favor y le había salvado lavida. Cuando éste le dice que lo únicoque quiere es que ponga en un tablero deajedrez un granito de arroz en el primercuadrado, dos en el segundo, cuatro enel tercero, ocho en el cuarto, dieciséisen el quinto, treinta y dos en el sexto, yasí, duplicando cada vez hasta recorrertodos los cuadraditos del tablero, el Reydescubre que no alcanzan los granitos dearroz de todo su reino (ni los de todoslos reinos de los alrededores) parapoder satisfacer la demanda de su"salvador".

Vamos a actualizar un poco el ejemplo.Supongamos que en lugar de granitos dearroz ponemos pepitas de oro, de ungramo cada una. Obviamente, si el Reyse había tropezado con una dificultadterminal en el caso de los granitos dearroz, mucho peor le iría con las pepitasde oro. Pero la pregunta que quierohacer es otra: si el Rey hubiera podidosatisfacer lo que le pedían, ¿cuántopesaría el tablero de ajedrez? Es decir,suponiendo que se pudiera poner en eltablero la cantidad de pepitas de oro queel súbdito le había indicado, ¿cómolevantarían el tablero? Y, además, sípudiera ir poniéndose en el bolsillo unapepita por segundo, ¿cuánto tardarla?

Como hay 64 cuadraditos en el tablerode ajedrez, se tendrían ¡un trillón depepitas de oro! Seguro que aquí losnúmeros vuelven a ser confusos, porqueuno no tiene la más vaga idea de lo quesignifica “un trillón” de ningún objeto.Comparémoslo entonces con algo quenos sea más familiar. Si como dijimosantes, cada una de las pepitas pesa sóloun gramo, la pregunta es: ¿cuánto es untrillón de gramos?

Esto representa un billón de toneladas.Igual es un problema, porque ¿quiéntuvo alguna vez “un billón de algo"?Este peso sería equivalente a tener¡cuatro mil millones de Boeing 777 con440 pasajeros a bordo, su tripulación y

combustible para viajar 20 horas! Y aunasí, sí bien avanzamos un poco, unopodría preguntarse cuánto es cuatro milmillones de algo,

¿Y cuánto tiempo tardaría uno enponerse las pepitas de oro en el bolsillo,si uno pudiera hacerlo a una velocidadsúper rápida de una pepita por segundo?Tardaría, nuevamente, ¡un trillón desegundos!

Pero ¿cuánto es un trillón de segundos?¿Cómo medirlo con algo que nos resultefamiliar? Por ejemplo, basta pensar quenos llevaría más de cien mil millones deaños. No sé ustedes, pero yo tengoprevisto hacer otras cosas con mitiempo.

3. Átomos en el universo

Sólo como una curiosidad y a efectos demostrar otro número enorme, piensenque en el universo se estima que hay 2300 átomos. Si 2 10 es aproximadamente10 3 , entonces, 2 300 esaproximadamente 10 90 . Y escribí todoesto para poder decir entonces que en elUniverso hay tantos átomos como ponerel número uno seguido de noventa ceros.

4. ¿Qué es un año luz?

Un año luz es una medida de distancia yno de tiempo. Mide la distancia que la

luz tarda un año en recorrer. Para poneren perspectiva esto, digamos que lavelocidad de la luz es de 300.000kilómetros por segundo. El resultado demultiplicar este número por 60 (paratransformarlo en minutos) es 18.000.000km por minuto. Luego, nuevamentemultiplicado por 60, lo transforma en1.080.000.000 kilómetros por hora (milochenta millones de kilómetros porhora). Multiplicado por 24 (horas pordía), resulta que la luz viajó25.920.000.000 (25 mil millones dekilómetros en un día).

Finalmente, multiplicado por 365 días,un año luz (o sea, la distancia que la luzviaja por año) es de (aproximadamente)

9.960.000.000.000 (casi nueve billonesy medio) de kilómetros.

De manera tal que cada vez que lespregunten cuánto es un año luz, ustedes,convencidos, digan que es una manerade medir una distancia (grande, perodistancia al fin) y que es de casi nuevebillones y medio de kilómetros. Eslejos, vean.

5. Números interesantes

Voy a probar ahora que todos losnúmeros naturales son números"interesantes". Claro, la primerapregunta que surge es: ¿qué quiere decirque un número sea interesante? Vamos a

decir que un número lo es, cuando tienealgún atractivo, algo que lo distinga,algo que merezca destacarlo de losotros, que tenga algún borde o algunaparticularidad. Creo que todosentendemos ahora lo que quiero decircon interesante. Ahora, la demostración.

El número uno es interesante porque esel primero de todos. Lo distingueentonces el hecho de ser el más chico detodos los números naturales.

El número dos es interesante por variasrazones: es el primer número par, es elprimer número primo. Creo que conestos dos argumentos ya podemosdistinguirlo.

El número tres también es interesante,porque es el primer número impar quees primo (por elegir una razón de lasmuchas que habría).

El número cuatro es interesante porquees una potencia de dos. El número cincoes interesante porque es un númeroprimo. Y de aquí en adelantedeberíamos ponemos de acuerdo en quecuando un número es primo, ya tiene unacaracterística fuerte que lo distingue y lopodíamos considerar interesante sinbuscar otros argumentos.

Sigamos un poco más.

El número seis es interesante porque esel primer número compuesto (o sea, no

es un número primo) que no sea unapotencia de dos. Recuerde que el primernúmero compuesto que apareció es elcuatro, pero es una potencia de dos.

El número siete es interesante, y no hacefalta argumentar más porque es primo.

Y así podríamos seguir. Lo que quieroprobar con ustedes es que:

"Dado un número entero positivocualquiera, siempre... siempre... hay

algo que lo transforma en“interesante” o "atractivo” o

“distinguible".

¿Cómo hacer para probar esto con todoslos números, si son infinitos?

Supongamos que no fuera así. Entonces,eso quiere decir que hay números quellamaremos no interesantes. A esosnúmeros los ponemos en una bolsa (ysupondremos que esta bolsa no estávacía). Es decir, tenemos una bolsallena de números no interesantes. Vamosa ver que esto nos lleva a unacontradicción. Esa bolsa, como todoslos números que contiene son númerosnaturales, o sea, enteros positivos, tieneque tener un primer elemento. Es decir,un número que sea el menor de todos losque están en la bolsa.

Pero entonces, el supuesto primernúmero no interesante se transforma eninteresante. El hecho que lo distingue es

que sea el primero de todos los númerosno interesantes, una razón más quesuficiente para declararlo interesante.¿No les parece? El error, entonces,provino de haber pensado que habíanúmeros no interesantes. No es así. Esabolsa (la de los números nointeresantes) no puede contenerelementos, porque si los tiene, algunotiene que ser el primero, con lo quepasada a ser interesante un número quepor estar en la bolsa debería ser nointeresante.

MORALEJA: “ Todo número naturalES interesante ”.

6. Cómo conseguir un

contrato como consultorusando un poco dematemática

Uno puede hacerse pasar por adivino opor una persona muy entrenada enpredecir el futuro o aventurar lo que vaa pasar en la Bolsa de Valores: bastacon aprovechar la rapidez con la quecrecen las potencias de un número.

Éste es un ejemplo muy interesante.Supongamos que tenemos una base dedatos de 128.000 personas. (Por lasdudas, no crean que sean tantas, ya quela mayoría de las grandes empresas lastienen, las compran o las averiguan). De

todas formas, para lo que quieroinvitarles a pensar, podríamos empezarcon un número más chico, e igualmenteel efecto seria el mismo.

Supongamos que uno elige alguna accióno algún commodity cuyo precio coticeen la Bolsa. Digamos, para fijar lasideas, que uno elige el precio del oro.Supongamos también que ustedes sesientan frente a su computadora undomingo por la tarde. Buscan la base dedatos que tienen y seleccionan lasdirecciones electrónicas de todas laspersonas que allí figuran. Entonces, a lamitad de ellas (64.000) les envían unmall diciéndoles que el precio del orova a subir al día siguiente (lunes). Y a la

otra mitad les envían un maildiciéndoles lo contrario: que el preciodel oro va a bajar. (Por razones quequedarán más claras a medida queavance con el ejemplo, excluiremos loscasos en los que el oro permanece conel precio constante en la apertura y elcierre.)

Cuando llega el lunes, al finalizar el día,el precio del oro o bien subió o bienbajó. Si subió, hay 64.000 personas quehabrán recibido un mall de ustedesdiciéndoles que subiría.

Claro, qué importancia tendría. Haberacertado un día lo que pasaría con el orotiene poca relevancia. Pero sigamos conla idea: el lunes a la noche, de las

64.000 personas que habían recibido suprimer mall diciéndoles que el preciodel oro subiría, ustedes seleccionan lamitad (32.000) y les dicen que el martesvolverá a subir. Y a la otra mitad, losotros 32.000, les envían un malldiciéndoles que va a bajar.

Llegado el martes por la noche, ustedesestán seguros que hay 32.000 para loscuales ustedes no sólo acertaron lo delmartes, sino que ya habían acertado ellunes. Ahora repitan el proceso. Aldividir por la mitad, a 16.000 les dicenque va a subir y al resto, los otros16.000, que va a bajar. Resultado, elmiércoles ustedes tienen 16.000personas a las que les avisaron el lunes,

el martes y el miércoles lo que pasaríacon el precio del oro. Y acertaron lastres veces (para este grupo).

Repítanlo una vez más. Al finalizar eljueves, ustedes tienen 8.000 para los queacertaron cuatro veces. Y el viernes porla noche, tienen 4.000. Piensen bien: elviernes por la noche, ustedes tienen4.000 personas que los vieron acertartodos los días con lo que pasaría con elprecio del oro, sin fallar nunca. Claroque el proceso podría seguir a la semanasiguiente, y podrían tener dos mil alsiguiente lunes, mil al martes y, siqueremos estirarlo aún más, elmiércoles de la segunda semana, tendrán500 personas a las que les fueron

diciendo, día por día, durante diez días,lo que pasaría con el precio del oro.

SI alguno de ustedes pidiera a estaspersonas que lo contrataran comoconsultor pagándole, digamos, mildólares por año (no lo quiero poner pormes, porque tengo cierto pudor… aún)¿no creen que contratarían susservicios? Recuerden que ustedesacertaron siempre por diez díasconsecutivos.

Con esta idea y empezando con una basede datos bien más grande o más chica, oparando antes en el envío de correoselectrónicos, ustedes se pueden fabricarsu propio grupo de personas que creanen ustedes o que crean sus predicciones.

Y ganar dinero en el intento

7. Hotel de Hilbert

Los conjuntos infinitos tienen siempre uncostado atractivo: atentan contra laintuición. Supongamos que hubiera unnúmero infinito de personas en elmundo. Y supongamos también que hayun hotel, en una ciudad, que contieneinfinitas habitaciones. Estashabitaciones están numeradas, y a cadauna le corresponde un número natural.Así entonces, la primera lleva el número1, la segunda el 2, la tercera el 3,etcétera. Es decir en la puerta de cadahabitación hay una placa con un número,que sirve de identificación.

Ahora, supongamos que todas lashabitaciones están ocupadas y sólo poruna persona. En un momentodeterminado, llega al hotel un señor concara de muy cansado. Es tarde en lanoche y todo lo que este hombre esperaes terminar rápido con el papelerío parairse a descansar. Cuando el empleado dela recepción le dice: "lamentablementeno tenemos ninguna habitacióndisponible ya que todas las habitacionesestán ocupadas”, el recién llegado no lopuede creer. Y le pregunta:

-Pero cómo... ¿No tienen ustedesinfinitas habitaciones? -Sí -responde elempleado del hotel.

-Entonces, ¿cómo me dice que no le

quedan habitaciones disponibles?

-Y sí, señor. Están todas ocupadas.

-Vea. Lo que me está contestando notiene sentido. Si usted no tiene lasolución al problema, lo ayudo yo.

Y aquí conviene que ustedes piensen larespuesta. ¿Puede ser correcta larespuesta del conserje "no hay máslugar", si el hotel tiene infinitashabitaciones? ¿Se les ocurre algunasolución? Aquí va:

-Vea -continuó el pasajero-. Llame alseñor de la habitación que tiene elnúmero 1 y dígale que pase a la quetiene el 2. A la persona que está en la

habitación 2, que vaya a la del 3. A ladel 3, que pase a la del 4, y asísiguiendo. De esta forma, toda personaseguirá teniendo una habitación, que "nocompartirá" con nadie (tal como eraantes), pero con la diferencia que ahoraquedará una habitación libre: la número1.

El conserje lo miró incrédulo, perocomprendió lo que le decía el pasajero.Y el problema se solucionó.

Ahora bien, algunos problemas más:

1. Si en lugar de llegar un pasajero,llegan dos, ¿qué sucede? ¿Tienesolución el problema?

2. ¿Y si en lugar de dos, llegan cien?

3. ¿Cómo se puede resolver elproblema si llegan n pasajerosinesperadamente durante la noche?(donde n es un número cualquiera).¿Siempre tiene solución elproblema independientemente delnúmero de personas que aparezcanbuscando una pieza para dormir?

4. ¿Y si llegaran infinitas personas?¿Qué pasaría en ese caso?

Las soluciones las pueden buscar en elapéndice.

8. Repitan conmigo: ¡no sepuede dividir por cero!

Imaginen que entran en un negocio en

donde toda la mercadería que se puedecomprar cuesta mil pesos. Y ustedesentran justamente con esa cantidad: milpesos. Si yo les preguntara: ¿cuántosartículos pueden comprar?, creo que larespuesta es obvia: uno solo. Si encambio en el negocio todos los objetosvalieran 500 pesos, entonces, con losmil pesos que trajeron podrían comprar,ahora, dos objetos.

Esperen. No crean que enloquecí (estabaloco de antes). Síganme en elrazonamiento. Si ahora los objetos quevende el negocio costaran sólo un pesocada uno, ustedes podrían comprar, conlos mil pesos, exactamente mil artículos.

Como se aprecia, a medida que

disminuye el precio, aumenta la cantidadde objetos que ustedes pueden adquirir.Siguiendo con la misma idea, si ahoralos artículos costaran diez centavos,ustedes podrían comprar... diez mil. Y sicostaran un centavo, sus mil pesosalcanzarían para adquirir cien mil.

O sea, a medida que los artículos soncada vez más baratos, se puedencomprar más unidades. En todo caso, elnúmero de unidades aumenta tanto comouno quiera, siempre y cuando uno logreque los productos sean cada vez demenor valor.

Ahora bien: ¿y si los objetos fuerangratuitos? Es decir: ¿y si no costaran

nada? ¿Cuántos se pueden llevar?Piensen un poco.

Se dan cuenta que si los objetos que sevenden en el negocio no costaran nada,tener o no tener mil pesos poco importa,porque ustedes se podrían llevar todo.Con esta idea en la cabeza es que unopodría decir que no tiene sentido“dividir” mil pesos entre “objetos queno cuestan nada”. En algún sentido, losestoy invitando a que concluyan conmigoque lo que no tiene sentido es dividirpor cero.

Más aun: sí se observa la tendencia delo que acabamos de hacer, pongamos enuna lista la cantidad de artículos quepodemos comprar, en función del

precio,

Precio porartículo ($)

Cantidad acomprar con mil

pesos1,000 1500 2100 1010 1001 1,000

0,1 10,0000,01 100.000

A medida que disminuye el precio,aumenta la cantidad de artículos quepodemos comprar siempre con los milpesos originales. Si siguiéramos

disminuyendo el precio, la cantidad dela derecha seguiría aumentando..., pero,sí finalmente llegáramos a un punto endonde el valor por articulo es cero,entonces la cantidad que habría queponer en la columna de la derecha,sería... infinito. Dicho de otra manera,nos podríamos llevar todo.

Moraleja: no se puede dividir por cero,

Repitan conmigo: ¡no se puede dividirpor cero! ¡No se puede dividir por cero!

9. 1=2

Supongamos que uno tiene dos númeroscualesquiera: a y b , Supongamos,

además, que

a = b

Síganme con este razonamiento, Símultiplico a ambos miembros por a , setiene

a 2 = ab

Sumemos ahora ( a 2 - 2 ab ) en ambosmiembros, Resulta entonces la siguienteigualdad

a 2 + ( a 2 - 2 ab ) = ab + ( a 2 - 2 ab )

O sea, agrupando:

2 a 2 - 2 ab = a 2 – ab

Sacando factor común en cada miembro,

2 a ( a - b ) = a ( a - b )

Luego, simplificando en ambos ladospor (a-b) se tiene:

2 a = a

Ahora, simplificamos la a de amboslados, y se tiene:

2 = 1

¿Dónde está el error? Es que tiene quehaber alguno, ¿no? Quizá ustedes ya sedieron cuenta, quizá todavía no. Lessugiero que lean detenidamente cadapaso y traten de descubrir solos dónde

está el error.

La respuesta, de todas formas, está en lapágina de soluciones.

10. El problema 3 x + 1

Les propongo un ejercicio para quehagamos juntos. Naturalmente, ni yoestoy aquí para acompañarles ("aquí"significa donde están ustedes ahoraleyendo este libro) ni ustedes estánconmigo aquí ("aquí” es donde estoy yo,sentado frente a mi computadoraescribiendo estas líneas). De todasformas, digresión aparte, síganme eneste razonamiento.

Vamos a construir juntos una sucesiónde números naturales (enterospositivos). La regla es la siguiente:empezamos por uno cualquiera.Digamos, a manera de ejemplo, queelegimos el número 7. Ése va a ser elprimer elemento de nuestra sucesión.

Para generar el segundo elemento,hacemos lo siguiente: si el que elegimosprimero es par, lo dividimos por dos. Encambio, si es impar, lo multiplicamospor 3 y le sumamos 1. En nuestroejemplo, al haber elegido el 7, como noes par, tenemos que multiplicarlo por 3y sumarle 1. Es decir, se obtiene elnúmero 22, ya que 3 x 7 = 21 y sumandouno, queda 22.

Tenemos entonces los primeros doselementos de nuestra sucesión: {7 22}.

Para generar el tercer elemento de lasucesión, como el 22 es un número par,lo dividimos por dos, y obtenemos 11.Ahora tenemos {7, 22, 11}.

Como 11 es impar, la regla dice:"multiplíquelo por 3 y súmele 1". O sea,34. Se tiene {7 22, 11, 34}.

Luego, como 34 es par, el próximoelemento de la sucesión es 17 Y elsiguiente es 52. Luego 26, Y después 13,Y sigue 40, Luego 20, (hasta acátenemos {7, 22,11, 34, 17, 52, 26, 13,40,20}) y seguimos dividiendo por doslos pares y multiplicando por 3 y

sumando 1 a los impares:

{7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20,10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Y en el número 1, paramos,

Les invito ahora a que elijamoscualquier otro número para empezar,digamos el 24. La sucesión que se tienees:

{24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Si ahora empezamos con el 100, sesigue:

{100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44,22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5,

16, 8, 4, 2, 1}

Como se alcanza a ver, todas lassucesiones que elegí terminan en elnúmero 1.

En realidad, aunque no lo dije antes, alllegar al número 1 el proceso se detiene,porque si uno siguiera, entraría en unlazo o circulo, ya que del 1 pasaría al 4,del 4 al 2 y del 2 otra vez al 1. Por esoes que cuando al construir la sucesiónllegamos al número 1, detenemos elproceso.

Hasta hoy, agosto de 2005, en todos losejemplos conocidos siempre se terminala sucesión en el número 1. Pero no setiene ninguna demostración que pruebe

que el resultado es válido para cualquiernúmero con el que comencemos elejercicio.

Este problema se conoce con el nombrede "problema 3 x + 1", o también comoel "Problema de Collatz", o "Problemade Syracusa', o "Problema de Kakutanl"o "Algoritmo de Hasse" o "Problema deUlam". Como ven, tiene muchosnombres pero ninguna solución. Es unabuena oportunidad para empezar. Contodo, permítanme intercalar algo aquí:es muy poco probable que una persona"lega" tenga las herramientas suficientespara resolverlo. Se estima que hay sóloveinte personas en el mundo capaces de"atacarlo". Pero como escribí en alguna

otra parte de este mismo libro, eso nosignifica que alguno de ustedes, en algúnlugar del planeta, por mayor o menorentrenamiento matemático que tengan,esté impedido para que se le ocurra unaidea que nadie tuvo antes y el problemaquede resuelto por una persona que nopertenezca a ese privilegiado grupo deveinte.

Este problema que acaban de leer seinscribe dentro de una larga lista que lamatemática tiene sin resolver aún. Esfácil aceptar esto en otras ciencias. Porejemplo, la medicina no sabe aún cómoresolver algunas variedades de cáncer odel Alzheimer, por poner un par deejemplos. La física no tiene aún una

"teoría" que integre lo macro con lomicro, ni conoce todas las partículaselementales. La biología no conoce aúncómo funcionan todos los genes nicuántos son. En fin, estoy seguro queusted puede agregar muchísimosejemplos más. La matemática, decía,tiene su propia lista.

11. ¿Cuántas veces se puededoblar un papel?

Supongamos que uno tuviera una hoja depapel bien finita, como las que se usanhabitualmente para imprimir la Biblia.Es más, en algunas partes del mundoeste papel se conoce como el "papel deBiblia". En realidad, parece un papel

"de seda".

Para fijar las ideas, digamos que tieneun grosor de 1 milésima de centímetro.

O sea,

10 -3 cm = 0,001 cm

Supongamos también que uno tiene unahoja grande de ese papel, como si fuerala hoja de un diario.

Ahora, empecemos a doblarlo por lamitad.

¿Cuántas veces creen ustedes quepodrían doblarlo? Y tengo otra pregunta:si lo pudieran doblar y doblar tantas

veces como quisieran, digamos unastreinta veces, ¿cuál creen que sería elgrosor del papel que tendrían en la manoentonces?

Antes de seguir leyendo, les sugiero quepiensen un rato la respuesta y sigandespués (si les parece).

Volvamos al planteo entonces. Luego dedoblarlo una vez, tendríamos un papelde un grosor de 2 milésimas decentímetro. Si lo dobláramos una vezmás, sería de 4 milésimas de centímetro.Cada doblez que hacemos a la hoja, seduplica el grosor. Y si seguimosdoblándolo una y otra vez (siempre porla mitad) tendríamos la siguientesituación, después de diez dobleces:

2 10 (esto significa multiplicar el número2 diez veces por si mismo) = 1,024milésimas de cm = 1 cmaproximadamente. ¿Qué dice esto? Quesi uno doblara el papel 10 (diez) veces,obtendríamos un grosor de un poco másde un centímetro. Supongamos queseguimos doblando el papel, siemprepor la mitad. ¿Qué pasaría entonces?

Si lo dobláramos 17 veces, tendríamosun grosor de 2 17 = 131,072 milésima decm y es igual a un poco más de un metro.

Si pudiéramos doblarlo 27 veces, setendría:

2 27 = 134.217.728 milésimas de cm

o sea un poco más de 11.342 metros. Osea, ¡casi un kilómetro y medio!

Vale la pena detenerse un instante:doblando un papel, aun tan finito comoel papel de Biblia, sólo veintisieteveces, tendríamos un papel que casialcanzaría el kilómetro y medio deespesor.

12. ¿Qué es más? ¿El 37%de 78 o el 78% de 37?

En general una idea es más importanteque una cuenta, Es decir, atacar unproblema usando “la fuerza bruta", no

siempre es aconsejable. Por ejemplo, enel caso que a uno le preguntaran: quénúmero es mayor: ¿el 37% de 78 o el78% de 37?

Claro, uno puede hacer el cálculo yaveriguar el resultado, pero de lo que setrata es de poder decidirlo sin hacercuentas, La idea reside en advertir quepara calcular el 37% de 78, uno tieneque multiplicar 37 por 78 y luegodividir por 100. No hagan la cuenta, Nohace falta.

De la misma forma, si uno quierecalcular el 78% de 37, lo que tiene quehacer es multiplicar 78 por 37 y luegodividir por 100. Como se advierte, es lamisma cuenta, ya que la multiplicación

es conmutativa. Como usted escuchódecir muchas veces, el orden de losfactores no altera el producto. Es decir,independientemente de cuál sea elresultado (que al final es 28,86), da lomismo cualquiera de los dos. Es decir,los números son iguales.

13. Cartas binarias

Piensen en el siguiente hecho: noimporta si ustedes hablan inglés, alemán,francés, portugués, danés, sueco... si unoescribe

153 + 278 = 431

toda persona que viva en Inglaterra o

Estados Unidos, o Alemania o Francia oPortugal o Brasil o Dinamarca (porponer algunos ejemplos de países endonde se hablen idiomas distintos),entienden.

Esto quiero decir: el lenguaje de losnúmeros es "más universal" que el delos diferentes idiomas. Lo trasciende. Esque nos hemos puesto de acuerdo (aunsin saberlo) en que los números son"sagrados". Bueno, no tanto, pero lo quequiero decir es que hay ciertasconvenciones (los números obviamenteson una convención) que trascienden losacuerdos que hicimos alguna vez paracomunicamos.

Europa tardó más de cuatrocientos años

en adoptar la numeración arábiga (o sea,los números que usamos hoy) y cambiarlo que se usaba hasta entonces (losnúmeros romanos). El primero que losintrodujo en Europa fue el famosoFibonaccl, hacia 1220. Fibonaccl, cuyopadre italiano lo había llevado de niñoal norte de África, entendió claramentela necesidad de usar otra numeraciónmás apropiada. Pero si bien noquedaban dudas de las ventajas que lanueva numeración tendría, losmercaderes de la época se ocuparon deevitar el progreso que les impediría aellos hacer trampa en las cuentas.

A propósito, los romanos ignoraban alcero. La dificultad para hacer cálculos

se puede resumir en algo que escribióJuan Enríquez en “ As the FutureCatches You” : "trate de multiplicar 436por 618 en números romanos, y despuésme cuenta".

Ahora bien. Cuando uno escribe elnúmero

2.735.896

en realidad, está abreviando osimplificando la siguiente operación:

2,000,000 + 700,000 + 30,000 + 5,000+ 800 + 90 + 6

Claro: uno no se da cuenta que estáhaciendo esto (ni necesita hacerlo). Pero

en realidad, la notación es un “acuerdo"que hacemos originalmente para"abreviar" todo lo que escribimos en lafila (a).

Puesto de otra manera, sería comoescribir:

2 x 10 6 + 7 x 10 5 + 3 x 10 4 + 5 x 10 3 +8 x 10 2 + 9 x 10 1 + 6 x 10 0

con la convención que el número 10 0 =1

Es lo que estudiábamos en la escuelaprimaria y que la maestra nos enseñabacomo "las unidades de millón", las"centenas de mil", las "decenas de mil",

las "unidades de mil", las "centenas", las"decenas" y las "unidades", así, a secas.Uno nunca más utilizó esa nomenclaturani le hizo falta tampoco.

Lo curioso es que para poder escribirlos números de la forma en la que losescribimos, necesitamos decir, porejemplo, cuántas decenas de mil, cuántasunidades de mil, cuántas centenas,etcétera.

Para eso, necesitamos los números queen la ecuación (b), puse en letras"negritas" y con un tamaño un poco másgrande.

Y esos números son los que llamamosdígitos, que como todo el mundo sabe,

supongo, son diez:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Supongamos que ahora uno contarasolamente con dos dígitos: 0 y 1.

¿Cómo hacer para poder escribir unnúmero?

Si uno sigue la misma lógica que cuandotiene los diez dígitos, primero los usa atodos por separado. Es decir, usa: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Cuando llega hasta aquí, ya no los puedeusar a los dígitos solos. Necesitacombinarlos. Es decir, necesitamos usarahora dos de los dígitos Y empieza con

el 10. Y sigue, 11, 12, 13, 14... 19...(aquí necesita empezar con el siguientedígito), y usa el 20, 21, 22, 23... 29, 30...etcétera... hasta que llega al 97, 98, 99.En este punto, ya agotó todas lasposibilidades de escribir números quetengan dos dígitos. Y sirvieron paraenumerar los primeros cien (porqueempezamos con el 0. Hasta el 99, hayJusto 100).

¿Y ahora? Necesitamos usar tres dígitos(y que no empiecen con cero, porque sino, es como tener dos dígitos pero enforma encubierta). Entonces, empezamoscon 100, 101, 102... etcétera. Despuésde llegar a los mil, necesitamos cuatrodígitos Y así siguiendo. Es decir: cada

vez que agotamos todos los posiblesnúmeros que podemos escribir con undígito, pasamos a dos Cuando agotamoslos de dos, pasamos a los de tres Yluego a los de cuatro. Y así siguiendo.

Cuando uno tiene dos dígitos solamente,digamos el 0 y el 1, ¿cómo hacer?usamos primero los dos dígitos porseparado:

0 = 0

1 = 1

Ahora, necesitamos pasar al siguientecaso, o sea, cuando necesitamos usardos dígitos (y curiosamente, necesitamosya usar dos dígitos para escribir el

número dos):

10 = 2

11 = 3

Aquí, ya agotamos las posibilidades condos dígitos. Necesitamos usar más

100 = 4

101 = 5

110 = 6

111 = 7

Y necesitamos uno más para seguir:

1000 = 8

1 001 = 9

1010 = 10

1011 = 11

1100 = 12

1101 = 13

1110 = 14

1111 = 15

Escribo sólo un paso más:

10 000 = 16

10001 = 17

10010 = 18

10011 = 19

10100 = 20

10101 = 21

10110 = 22

10111 = 23

11000 = 24

11001 = 25

11010 = 26

11011 = 27

11100 = 28

11101 = 29

11110 = 30

11111 = 31

Y aquí los dejo a ustedes solos. Pero loque queda dato es que para poder llegaral 32, hace falta agregar un dígito más yusar el 100000.

Lo notable es que con sólo dos dígitoses posible escribir cualquier número.Los números están ahora escritos enpotencias de 2, de la misma forma en

que antes estaban escritos en potenciasde 10.

Veamos algunos ejemplos:

111 = 1 x 2 2 + 1 x 2 1 + 1 x 2 0 = 7

1010 = 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 20 = 10

1100 = 1 x 2 3 + 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 0 x 20 = 12

110101 = 1 x 2 5 + 1 x 2 4 + 0 x 2 3 + 1 x2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 = 53

10101010 = 1 x 2 7 + 0 x 2 6 + 1 x 2 5 +0 x 2 4 + 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x

2 0 = 170

(Un dato interesante es que todo númeropar termina en cero, y todo númeroimpar termina en uno).

Creo que a esta altura está claro quéhace uno para "descubrir" de quénúmero se trata en la escritura"decimal", cuando uno lo tiene escritoen "forma binarla" (se llama binada,porque se usan sólo dos dígitos: 0 y 1).

Lo que importa también es advertir quecomo uno usa "solo" los dígitos 0 y 1que multiplican a las potencias de dos;pueden pasar sólo dos cosas: o que esapotencia esté o que no esté involucradaen la escritura del número.

Por ejemplo, en la escritura del número6 (110), las potencias que es taninvolucradas son 2 2 y 2 1 ya que 2 0 queantecede a 2~ dice que esa potencia noaparece.

Justamente, este es el -secreto- quepermite resolver el enigma de las"cartas binarias' que aparecen en elapéndice del libro. Es decir: uno le pidea una persona que elija un númerocualquiera entre 0 y 255. Y le pidetambién que no se lo diga: que sólo lopiense. Le da entonces las cartasbinarias que acompañan al libro. Y ledice: "¿en cuáles de estas cartas figurael número que elegiste?".

La persona va mirando en cada carta yselecciona lo que le pidieron. Porejemplo, si eligió el número 170 entregalas cartas que en el tope superiorizquierdo tienen los siguientes números:128, 32, 8 y 2.

Si uno suma estos números, obtiene elnúmero 170. Y lo consigue sin que lapersona le hubiera confiado el número.¡Es la forma de descubrirlo!

¿Por que funciona el método? Porque lapersona, al elegir las cartas en dondefigura el número, le está diciendo a uno(sin que ellos sepan, claro) en dóndeestán los unos en la escritura binarla delnúmero que eligieron.

Por eso, si la persona que eligiómentalmente el número 170, tuviera queescribir el número en notación binaria,habría escrito:

10101010

o lo que es lo mismo:

10101010=1 x 2 7 +0 x 2 6 +1 x 2 5 +0 x2 4 +1 x 2 3 +0 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 0 =

170

Y por eso, al elegir las cartas, es lomismo que si estuviera “eligiendo" los“unos". Las cartas que "no le entrega"son las cartas que contienen los ceros.

Por último ¿como hacer para saber

cómo escribir un número cualquiera enforma binaria? Por ejemplo: si yo tengoel número 143, ¿cuál es la escritura? (esimportante aprender a resolver esteproblema, porque si no habría queempezar la lista número por númerohasta llegar al 143).

Lo que se hace es dividir el número 143por 2. Y al resultado volver a dividirlopor 2. Y seguir así, hasta el cociente quese obtenga, sea 0 o 1.

En este caso entonces:

143 = 71 x 2 + 1

O sea, acá el cociente es 71 y el resto es1. Seguimos. Ahora dividimos al 71 por

2.

71 = 35 x 2 + 1

El cociente acá es 35. Y el resto es 1.Dividimos 35 por 2

35 = 2 x 17 + 1 (cociente 17, resto 1),

17 = 8 x 2 + 1 (cociente 8, resto 1),

8 = 4 x 2 + 0 (cociente 4, resto 0),

4 = 2 x 2 + 0 (cociente 2, resto 0),

2 = 1 x 2 + 0 (cociente 1, resto 0),

1 = 0 x 2 + 1 (cociente 0, resto 1)

Y aquí termina la historia. Lo que unohace es juntar todos los restos queobtuvo y ponerlos todos juntos, de abajohacia arriba:

10 001 1111 x 2 7 +0 x 2 6 +0 x 2 5 +0 x 2 4 +1 x 2 3

+1 x 2 2 +1 x 2 1 +1 x 2 0 = 128 + 8 + 4+ 2 + 1 = 143

Ahora les sugiero que practiquenustedes con otros números. Yo voy aponer sólo un par de ejemplos más:

82 =41 x 2 + 0

41 = 20 x 2 + 1

20 = 10 x 2 + 0

10 = 5 x 2 + 0

5 = 2 x 2 +1

2 = 1 x 2 + 0

1 = 0 x 2 + 1

Luego,

82 = 1010010 = 1 x 2 6 + 0 x 2 5 + 1 x 24 + 0 x 2 3 + 0 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 0 =

64 + 16 + 2

(y el número lo obtuvimos escribiendode abajo arriba, los restos de lasdivisiones. Insisto en invitarlos a hacerlas cuentas y convencerse que esto escierto (y mucho más interesante aún es

convencerse que esto es ciertoindependientemente del número queelijamos).

Un último ejemplo:

1.357 = 678 x 2 + 1

678 = 339 x 2 + 0

339 = 169 x 2 + 1

169 = 84 x 2 + 1

84 = 42 x 2 + 0

42 = 21 x 2 + 0

21 = 10 x 2 + 1

10 = 5 x 2 + 0

5 = 2 x 2 + 1

2 = 1 x 2 + 0

1= 0 x 2 +1

Luego, el número que buscamos es:10101001101, lo que significa:

1 x 2 10 + 0 x 2 9 +1 x 2 8 + 0 x 2 7 + 1 x2 6 + 0 x 2 5 + 0 x 2 4 + 1 x 2 3 + 1 x 2 2

+ 0 x 2 1 + 1 x 2 0 = 1024 + 256 + 64 + 8+ 4 + 1 = 1.357

14. La raíz cuadrada de 2 esun número irracional

Cuando Pitágoras y su gente (hayanexistido o no) descubrieron el famosoteorema (el de Pitágoras, digo),tropezaron con un problema...Supongamos que uno tiene un triángulorectángulo cuyos dos catetos miden uno.(Aquí podríamos poner un metro o uncentímetro o una unidad, para que laabstracción no sea tan grande).

Entonces, si cada cateto mide uno, lahipotenusa tiene que medir √2. Estenúmero presenta inmediatamente unproblema. Para entenderlo, pongámonosde acuerdo en un par de puntos:

a) Un número x se llama racional siresulta ser el cociente entre dos númerosenteros.

O sea,

x = p / q

donde p y q son números enteros, yademás debe cumplirse que q ≠ 0.

Ejemplos:

1. 1,5 es un número racional, porque1,5 = 3 / 2

2. 7.6666666... es racional porque7,6666666... = 23 / 3

3. 5 es un número racional, porque 5=5 / 1

En particular, este último ejemplosugiere que todo número entero es

racional. Y este resultado es cierto, yaque cualquier número entero se puedeescribir como el cociente entre él mismoy 1.

Hasta ese momento, o sea, en elmomento en que Pitágoras demostró suteorema, los únicos números que seconocían eran lo racionales. Elpropósito de este sub-capítulo es,justamente, introducir el problema conel que tropezaron los pitagóricos.

Un paso más. Para pensar: si un númeroes par, ¿será verdad que su cuadrado espar?

Como siempre, hago una pausa (virtual)para dejarlos solos con su mente (o un

lápiz y papel). En todo caso, yo sigoaquí porque no los puedo esperar muchotiempo, pero ustedes vuelvan cuandoquieran...

La respuesta es sí. ¿Por qué? Porque siun número x es par, eso significa que xse puede escribir de esta forma:

x =2 x n

(donde n es un número entero también).Entonces, si elevamos a x al cuadrado,se tiene:

x 2 = 4 x n 2 = 2 x (2 x n )

Y esto significa que x 2 es m número partambién.

Ahora, al revés: ¿seré verdad que si x espar, entonces x tiene que ser par?Veamos: si x no fuera par, entonces,seria impar. En ese caso, x se tendríaque escribir así:

x =2k + 1

donde k es cualquier número natural.

Pero entonces, al elevarlo al cuadrado,no, puede ser par tampoco, ya que

x 2 = (2k+1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4m + 1

(en donde llamé m = k 2 + k).

Luego, si x 2 = 4m + 1, entonces x 2 es unnumero impar. La moraleja es que si el

cuadrado de un número es par, esporque el número ya era par.

Con todos estos datos, ahora estamos encondiciones de abordar el problema quese les planteó a los pitagóricos. ¿Seráverdad que el número √2 es racionaltambién? Insisto: piensen que en aquelmomento los únicos números que seconocían eran los racionales. Por lotanto, era natural que uno tratara deprobar que cualquier número con el quetropezaba fuera racional. Es decir: si enesa época los únicos números que seconocían eran los racionales, erarazonable que trataran de encontrarleuna escritura como p/q a cualquiernúmero nuevo que apareciera.

Supongamos entonces (como hicieronlos griegos) que √2 es un númeroracional. Si es así, entonces, tienen queexistir dos números enteros p y q , demanera tal que

√2 = (p / q)

Al escribir (p / q), suponemos ya quehemos "simplificado" los factorescomunes que puedan tener p y q . Enparticular, suponernos que ambos no sonpares, ya que si lo fueran,simplificaríamos la fracción yeliminaríamos el factor dos, tanto en elnumerador como en el denominador. Osea: podemos suponer que o bien p obien q no son pares.

Luego elevando al cuadrado ambosmiembros, tenemos:

2 = ( p / q ) 2 = p 2 / q 2

y si ahora "pasamos multiplicando eldenominador del segundo miembro alprimer miembro, se tiene:

2 x q 2 = p 2

Luego esta ecuación dice que el númerop 2 es un número par (ya que se escribecomo el producto de 2 por un entero).Como vimos un poco más arriba, si elnúmero p es par, es porque el propionúmero p es un número par. Entonces elnúmero p , como es un número par, se

puede escribir así:

p = 2k

Al elevarlo al cuadrado se tiene:

p 2 = 4k 2

Reemplazando en la ecuación original,se tiene:

2 q 2 = p 2 = 4k 2

v simplificando por 2 en ambos lados,

q 2 = 2k 2

Por lo tanto, el número q 2 es partambién. Pero ya vimos que si q 2 es par,

es porque el número q es par. Y en esecaso, juntando lo que hemosdemostrado, resultaría que tanto p comoq serian pares. Y eso no es posible,porque habíamos supuesto que si fueraasí, los habríamos simplificado.

Moraleja: el número √2 no es racional.Y eso abrió un campo nuevo,inexplorado y muy fructífero: el de losnúmeros irracionales, juntos losracionales y los irracionales componenel conjunto de números reales. Sontodos los números que necesitamos paramedir en nuestra vida cotidiana. (Nota:no todos los números irracionales sontan fáciles de fabricar como √2. Enrealidad, si bien √2 y π son ambos

números irracionales, son esencialmentebien distintos por razones que escapanal objetivo de este libro. El primero, √2,pertenece al conjunto de los "númerosalgebraicos”, mientras que π perteneceal de los "números trascendentes”).

15. Suma de Cinco Números

Cada vez que estoy con un grupo dejóvenes (y no tan jóvenes) y los quierosorprender con un juego con números,siempre utilizo el siguiente. Voy ahacerlo aquí con un ejemplo, perodespués vamos a analizar cómo hacerloen general y por qué funciona.

Les pido a mis interlocutores que me

den un número de cinco dígitos.Digamos 12.345 (aunque los invito aque ustedes, mientras leen. hagan otroejemplo al mismo tiempo). Entoncesanoto 12.345 y les digo que en la partede atrás del papel (o en otro papel), voya anotar el resultado de una "suma".Naturalmente, as personas se vensorprendidas porque no entienden dequé "suma" les estoy hablando si hataacá sólo me han dado un número.

Les digo que tengan paciencia, y que loque yo voy a hacer es anotar (comoqueda dicho, en la parte de atrás delpapel) otro número que va a ser elresultado de una suma, cuyos sumandosaún no conocemos, salvo uno: el 12.345.

En la parte de atrás anoto el siguientenúmero: 212.343

Ustedes se preguntarán por qué anotoese número. Se trata de agregar un 2 alprincipio del número y restarle dos alfinal. Por ejemplo. si habían elegido34.710, el número que anotarán detrásserá 23.4708. Una vez hecho esto. pidonuevamente al interlocutor que me déotro número. Como ejemplo. Digamos73.590

Entonces, ya tenemos dos números quevan a formar parte de nuestra "suma". Eloriginal. 12.345 y este segundo número73.590. Para seguir. les pido otronúmero de cinco dígitos. Por ejemplo43.099

Entonces, tenemos ya tres números decinco dígitos cada uno. que serán tres delos cinco sumandos: 12.345, 73.590 y43.099

Una vez llegado a este punto,rápidamente anoto encolumnados otrosdos números:

26.409 56.900 ¿De dónde saqué estosnúmeros?

Hice así: teniendo en cuenta el 73.590.agrego abajo lo que hace falta para quesume 99.999. O sea, abajo del número 7un número 2. abajo del 3. un 6, bajo del5 un 4, abajo del 9 un 0 y abajo del 0 un9.

73.590

26.409

99.999

De la misma forma, teniendo en cuentael otro número que me dieron, 43.099, elnúmero que hay que poner es el que hagafalta para que la suma dé otra vez99.999. En este caso, el número será56.900.

Es decir:

56.900

43.099

99.999

Resumiendo todo do que hicimos,tenemos ahora cinco números de cincodígitos cada uno. Los tres primeroscorresponden a números que nos dionuestro interlocutor:

12.345, 73.590 y 56.900

Con el primero fabriqué "la suma total”(y escribí detrás del papel, 212.343) ycon los otros dos, construí otros dosnúmeros de cinco dígitos (en este caso,26.409 y 43.099), de manera tal degarantizar que la suma con cada uno de99.999. Ahora. muy tranquilo, invito alinterlocutor a que "haga da suma”.

Y dos invito a ustedes a que da hagan:

12.345

73.590

56.900

26.409

43.099

212.313

Es decir, uno obtiene el número quehabía escrito en la parte de atrás delpapel.

Los pasos son los siguientes:

1. Usted primero pide un número (decinco dígitos (43.871).

2. Luego escribe detrás del papel otronúmero (ahora de seis dígitos) queresulta de agregarle ad anterior unnúmero 2 al principio y restar dos(243.869).

3. Pide dos números de cinco dígitosmás (35.902 y 71.388).

4. Agrega rápido dos números quesumen con los dos anteriores99.999 (64.097 y 28.611).

5. Invita a que da persona que tieneadelante haga da suma... ¡Y da!

Ahora bien. ¿por qué da?

Ésta es da parte más interesante. Fíjenseque al número inicial que la persona nos

dio, usted de agrega un 2 adelante y deresta dos, como si estuviéramossumándole al número 200.000 y luegode restáramos dos. O sea. sería comosumarle (200.000 - 2).

Cuando da persona nos da los otros dosnúmeros que completamos hasta quelleguen a sumar 99.999. pensemos que99.999 es exactamente (100.000 - 1).Pero como usted hace esto dos veces, alsumar (100.000 - 1) dos veces, se tiene(200.000 - 2).

¡Y eso es exactamente lo que hicimos!Agregarle al número original (200.000 -2). Por eso da: porque lo que terminahaciendo uno es sumar dos veces

(100.000 - 1) o, lo que es lo mismo,(200.000 - 2).

16. ¿Un atentado contra elteorema fundamental de laaritmética?

El teorema fundamentad de la aritméticadice que todo número entero (diferentede +1, -1 ó 0) o bien es primo, o bien sepuede descomponer como el productode números primos. Ejemplos:

1. 14 = 2 x 72. 25 = 5 x 53. 18 = 2 x 3 x 34. 100 = 2 x 2 x 5 x 5

5. 11 = 11 (ya que 11 es primo)6. 1.000 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 57. 73 = 73 (ya que 73 es primo)

Es más: el teorema dice que ladescomposición en primos es única,salvo el orden en que se escriben (algoasí como que el orden de los factores noaltera el producto). Sin embargo, tengoalgo para proponer. Observen el número1.001, que se puede escribir de estasdos maneras:

1.001 = 7 x 143

y también

1.001 = 11 x 91

¿Qué es lo que funciona mal? ¿Es queacaso falla el teorema?

La respuesta se encuentra en la páginade soluciones.

17. Infinitos númerosprimos

Ya sabemos lo que son los númerosprimos. Sin embargo, conviene recordarun pasaje de la obra El BurguésGentilhombre, de Molière, en el que elprotagonista, cuando se le pregunta sisabe algo en particular, contesta:"Haced como si no lo supiera yexplicádmelo". Así que para partir de unconocimiento común comenzaremos por

algunas definiciones.

En este capítulo, vamos a usar sólo losnúmeros naturales (o enteros positivos).No quiero dar aquí una definiciónrigurosa, pero sí ponemos de acuerdoacerca que números estoy hablando:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,.... 100, 101,102,...,}

Excluyamos al número 1 de las con sieteraciones que siguen, pero como ustedespueden comprobar fácilmente, cualquierotro número tiene siempre por lo menosdos divisores: sí mismo y 1. (Un númeroes divisor de otro, si lo divideexactamente. O sea, si al dividir uno porotro, no tiene resto, o lo que es lo

mismo: el resto es cero.

Por ejemplo:

El 2 es divisible por 1 y por sí mismo(el 2)

El 3 es divisible por 1 y por sí mismo(el 3)

El 4 es divisible por 1, por 2 y por símismo (el 4)

El 5 es divisible por 1 y por sí mismo(el 5)

El 6 es divisible por 1, por 2, por 3 ypor sí mismo (el 6)

El 7 es divisible por 1 y por sí mismo(el 7),

El 8 es divisible por 1, por 2, por 4 ypor sí mismo (el 8)

El 9 es divisible por 1, por 3 y por simismo (el 9),

El 10 es divisible por 1, por 2, por 5 ypor sí mismo (el 10).

Uno podría seguir con esta listaindefinidamente. Con todo, revisando loque pasa con los primeros naturales, unodetecta un patrón todos son divisiblespor el 1 y por sí mismos. Puede quetengan más divisores pero siempretienen por lo menos dos. Quiero agregar

aquí un par de ejemplos más, parainvitarle a pensar en una definición.Observen:

El 11 es divisible solamente por 1 y porsí mismo.

El 13 es divisible solamente por 1 y porsi mismo.

El 17 es divisible solamente por 1 y porsi mismo.

El 19 es divisible solamente por 1 y porsí mismo.

El 23 es divisible solamente por 1 y porsí mismo.

El 29 es divisible solamente por 1 y porsi mismo.

El 31 es divisible solamente por 1 y porsi mismo.

¿Advierten un patrón en todos estosejemplos? ¿Qué les sugiere que el 2, 3,7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31 tenganúnicamente dos divisores mientras queel resto de los números tengan más dedos? Una vez que tienen esa respuesta (ysi no la tienen también) escribo unadefinición:

Un número natural (distinto de 1) se diceque es número primo si y sólo si tieneexactamente dos divisores, el 1 y símismo.

Como se ve pretendo aislar a un grupode números porque tienen unacaracterística muy especial: sondivisibles por sólo dos números, ellosmismos y el número uno.

Ahora escribamos en una lista los queaparecen entre los primeros ciennúmeros naturales:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,

83, 89, 97.

Hay 25 primos entre los primeros ciennúmeros.

Hay 21, entre 101 y 200.

Hay 16, entre 201 y 300.

Hay 16, entre 301 y 400.

Hay 17, entre 401 y 500.

Hay 14, entre 501 y 600.

Hay 16, entre 601 y 700.

Hay 14, entre 701 y 800.

Hay 15, entre 801 y 900.

Hay 14, entre 901 y 1.000.

Es decir, hay 168 en los primeros milnúmeros. Si uno se fija en cualquier"tablita" de números primos, la

secuencia empieza a hacerse más "fina".Es decir, hay 123 primos entre 1.001 y2.000, 127 entre 2.001 y 3.000, 120entre 3.001 y 4.000. Y así podríamosseguir. Aunque surgen algunaspreguntas... muchas preguntas. Porejemplo:

1. ¿Cuántos primos hay?2. ¿Se acaban en algún momento?3. Y si no se acaban, ¿cómo

encontrarlos todos?4. ¿Hay alguna fórmula que produzca

primos?5. ¿Cómo están distribuidos?6. Si bien uno sale que no puede

haber primos consecutivos, salvoel 2 y el 3, ¿cuántos números

consecutivos podemos encontrarsin que aparezca ningún primo?

7. ¿Que es una laguna de primos?8. ¿Qué son los primos gemelos? (la

respuesta estará en el capítulosiguiente).

En este libro sólo me propongoresponder algunas, pero lo mejor quepodría pasar es que quien esté leyendoestas notas sienta la suficientecuriosidad como para ponerse a pensaralgunas de las respuestas o bien a buscaren los diferentes libros del área (Teoríade Números) qué es lo que se sabe deellos al día de hoy y qué problemaspermanecen abiertos.

El objetivo es exhibir ahora una prueba

que los números primos son infinitos. Esdecir, que la lista no termina nunca.Supongamos que no fuera así. O sea,supongamos que al tratar de "listarlos"se agotan en algún momento.

Los llamaremos entonces

p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 , …p n

de manera tal que ya estén ordenados enforma creciente.

p 1 < p 2 < p 3 < p 4 < p 5 < …p n

En nuestro caso sería como poner:

2 < 3 < 5 < 7 < 11 < 13 < 17 < 19 <...<pn

Es decir, estamos suponiendo que hay nnúmeros primos. Y además, que p n es elmás grande de todos. Está claro que sisólo hay un número finito de númerosprimos, tiene que haber uno que sea elmás grande de todos. Es decir: si unotiene un conjunto finito de números, unode ellos tiene que ser el más grande detodos. No podríamos decir lo mismo siel conjunto fuera infinito, pero en estecaso, como estamos suponiendo que haysólo finitos primos, uno de ellos tieneque ser el mayor, el más grande. A esenúmero lo llamamos p n

Vamos a fabricar ahora un número quellamaremos N.

N = (p 1 x p 2 x p 3 x p 4 x p 5 x …p n ) +1

Por ejemplo, si todos los númerosprimos fueran:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,

entonces, el nuevo número N sería:

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 + 1 =9.699.691

Ahora bien, como este número N esmayor que el más grande de todos losprimos, es decir, es mayor que p nentonces, no puede ser un número primo(ya que hemos supuesto que p n es

el mayor de todos).

Luego, como N no puede ser primo,tiene que ser divisible por un primo. 6Por lo tanto, como todos los primos sonel argumento (aunque ustedes, siquieren, comprueben que es falso...ninguno de ellos divide a N).Supongamos que 7 es el número quedivide a N. Por otro lado, el número (N- 1) es obviamente múltiplo de 7también.

Entonces tendríamos dos númerosconsecutivos, (N - 1) y N, que seríanambos múltiplos de 7, lo que esimposible. Por lo tanto, esto demuestraque es falso suponer que hay un númeroprimo que es mayor que todos y

concluye la demostración.

18. Primos gemelos

Sabemos que no puede haber primosconsecutivos, salvo el par {2, 3}. Estoresulta obvio si uno piensa que encualquier par de números consecutivos,uno de ellos será par. Y el único primopar es el 2. Luego, el único par deprimos consecutivos es el {2, 3}.

Ahora bien: si bien uno sabe que no va aencontrar primos consecutivos, ¿quépasa si uno se saltea uno? Es decir, ¿haydos impares consecutivos que seanprimos? Por ejemplo. los pares {3, 5},{5, 7}, {11, 13}, {17, 19} son primos, y

son dos impares consecutivos.

Justamente se llama primos gemelos ados números primos que difieren en dosunidades, como en los ejemplos queacabamos de ver. O sea, son de la forma{p, p+2}.

El primero en llamarlos "primosgemelos" fue Paul Stackel (1892-1919).tal como aparece en la bibliografía quepublicó Tietze en 1965.

Más pares de primos gemelos:

{29, 31}, {41, 43}, {59, 61 }, {71, 73},{101, 103}, {107, 109}, {137, 139},{149, 151}, {179, 181}, {191, 193},{197, 199}, {227, 229}, {239, 241},

{281, 283},..

La conjetura es que hay infinitos primosgemelos. Pero hasta hoy, agosto de2005, todavía no se sabe si es cierto.

El par de primos gemelos más grandeque se conoce hasta hoy es

(33,218,925) x 2 169.690 - 1 y(33,218,925) x 2 169.690 + 1

Son números que tienen 51.090 dígitos yfueron descubiertos en el año 2002. Haymuchísimo material escrito sobre estetema, pero aún hoy la conjetura de lainfinitud de primos gemelos sigue sinsolución.

19. Lagunas de primos

Uno de los problemas más interesantesde la matemática es tratar de descubrirun patrón en la distribución de losnúmeros primos.

Es decir: ya sabemos que son infinitos.Ya vimos también qué son los primosgemelos. Miremos ahora los primeroscien números naturales. En este grupohay 25 que son primos (aparecen enbastardilla y negrita ). Es fácilencontrar tres números consecutivos queno sean primos: {20, 21, 22}. Hay másen la lista, pero no importa. Busquemosahora una tira de cuatro númerosconsecutivos que no sean primos: {24,

25, 26, 27} sirven (aunque todavía estáel 28 para agregar de la lista). Y asísiguiendo, uno puede encontrar "tiras"de números (consecutivos) de manera talque sean "no primos” o "compuestos".

2 , 3 , 4, 5 , 6, 7 , 8, 9, 10, 11 ,12, 13 ,14,15, 16, 17 , 18, 19 , 20, 21, 22, 23 ,24, 25, 26, 27, 28, 29 , 30, 31 , 32, 33,34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43 ,44, 45, 46, 47 , 48, 49, 50, 51, 52, 53 ,54, 55, 56, 57, 58, 59 , 60, 61 , 62, 63,64, 65, 66, 67 , 68, 69, 70, 71 , 72, 73 ,74, 75, 76, 77, 78, 79 , 80, 81, 82, 83 ,84, 85, 86, 87, 88, 89 , 90, 91, 92, 93,94, 95, 96, 97 , 98, 99, 100

La pregunta es: las tiras, ¿pueden tener

cualquier longitud? Es decir: sí yoquiero encontrar diez númerosconsecutivos tal que ninguno sea primo,¿la podré encontrar? Y si quieroencontrar cien seguidos, todoscompuestos? ¿Y mil?

Lo que quiero tratar de contestar es queen verdad uno puede "fabricarse" tirasde números consecutivos tan grandecomo uno quiera, de manera que ningunode ellos sea un número primo. Estehecho des bastante singular, teniendo encuenta que el numero de primos esinfinito. Sin embargo, veamos cómohacer para demostrarlo.

Primero, quiero dar aquí una notaciónque es muy útil y muy usada en

matemática: se llama factorial de unnúmero n, y se escribe n! , al productode todos los números menores o igualesque n. Por ejemplo:

1 ! = 1 (y se lee, el factorial de 1 esigual a 1)

2! = 2 x 1 = 2 (el factorial de 2 es iguala 2)

3 ! = 3 x 2 x 1 = 6 (el factorial de 3 esigual a 6)

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Como se ve, el factorial va aumentandomuy rápidamente. En general,

n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … x 4 x 3x 2 x 1

Aunque parezca que esta definición esarbitraria y no se entienda muyclaramente su utilidad, definir elfactorial de un número es una necesidadpara atacar cualquier problema decombinatoria, o sea, cualquier problemaque involucre contar. Pero, una vez más,eso escapa al objeto de este libro,

Ahora bien: es bueno notar (e importanteque ustedes lo piensen) que el factorialde un número n es, en realidad, unmúltiplo de ti y de todos los números

que lo preceden. Es decir:

3! = 3 x 2, es un múltiplo de 3 y de 2

4! = 4 x 3 x 2, es un múltiplo de 4, comode 3, como de 2

5! = 5 x 4 x 3 x 2 = es un múltiplo de 5,de 4, de 3 y de 2.

Luego,

n! es un múltiplo de n, (n-1), (n-2), (n-3), … 4, 3 y de 2.

Una última cosa antes de atacar elproblema de las "tiras" de númeroscompuestos o "no primos". Si dosnúmeros son pares, su suma es par. O

sea. si dos números son múltiplos de 2,la suma también. Si dos números sonmúltiplos de 3, la suma también. Si dosnúmeros son múltiplos de 4, la sumatambién. ¿Descubren la idea general'?

Si dos números son múltiplos de k,entonces la suma es también múltiplo dek (para cualquier k) (les propongo quehagan ustedes la demostración, que esmuy fácil).

Resumo:

1. el factorial de n (o sea, n!) esmúltiplo del número n y de todoslos números menores que n

2. si dos números son múltiplos de k,entonces la suma también.

Con estos dos datos, vamos a la carga.

Como entrenamiento, voy a haceralgunos ejemplos con la idea que quienesté leyendo esto sienta que puede"conjeturar" la forma de hacerlo engeneral.

Busquemos sin necesidad de mirar en latabla de los primos y "no primos" ocompuesto, tres números compuestosconsecutivos * :

4! + 2

4! + 3

4! + 4

Estos tres números son consecutivos.Ahora descubramos que, además, soncompuestos. Miremos el primero: 4! +2. El primer sumando, 4! es múltiplo de2 (por la parte a). Por el otro lado, elsegundo sumando, 2, es obviamentemúltiplo de 2. Luego, por la parte b), lasuma de los dos números (4! + 2) esmúltiplo de 2.

El número 4! + 3 está compuesto de tressumandos. El primero, 4!, por la partea), es múltiplo de 3. Y el segundosumando, 3, es también múltiplo de 3.Por la parte b) entonces. la suma (4! +3) es múltiplo de 3,

El número 4! + 4 está compuestotambién por dos sumandos. El primero,

4! por la parte a), es múltiplo de 4. Y elsegundo sumando, 4, es tambiénmúltiplo de 4. Por la parte b) entonces,la suma (4! + 4) es múltiplo de 4.

En definitiva, los tres números queaparecen en (*) son consecutivos yninguno de los tres puede ser primo,porque el primero es múltiplo de 2, elsegundo de 3 y el tercero de 4.

Con la misma idea, construyamos ahoradiez números consecutivos que no seanprimos, o bien construyamos dieznúmeros consecutivos que seancompuestos.

Entonces procedemos así:

11! + 2 (es múltiplo de 2)

11! + 3 (es múltiplo de 3)

11! + 4 (es múltiplo de 4)

11! + 5 (es múltiplo de 5)

11! + 6 (es múltiplo de 6)

11! + 7 (es múltiplo de 7)

11! + 8 (es múltiplo de 8)

11! + 9 (es múltiplo de 9)

11! + 10 (es múltiplo de 10)

11! + 11 (es múltiplo de 11)

Estos diez números son consecutivos ycompuestos. Luego, cumplen con lopedido. Si ahora yo les pidiera queustedes fabricaran cien númerosconsecutivos compuestos, ¿lo podríanhacer? Yo estoy seguro que sí, siguiendola idea de los dos ejemplos anteriores.

En general, si uno tiene que fabricar nnúmeros consecutivos compuestos, hacelo siguiente:

(n+1)! + 2

(n+1)! + 3

(n+1)! + 4

(n+1)! + 5

…

(n+1)! + n

(n+1)! + (n+1)

Estos números son n (y les pido que loscuenten, háganme caso, porque no losveo muy convencidos...) y sonconsecutivos; además, el primero esmúltiplo de 2, el siguiente de 3, elsiguiente de 4, y así siguiendo, hasta elúltimo que es múltiplo de (n+ 1),

Es decir, esta lista cumple con lo quequeríamos: hemos encontrado n númerosconsecutivos compuestos.

MORALEJA: esto demuestra que si uno

empieza a trabajar con números grandes,muy grandes, aparecen muchos, muchos(y no hay error de imprenta... sonmuchos en serio) números compuestos.Pero, a la vez, esto dice que se puedenencontrar lagunas de primos. O sea, unalaguna es un segmento de los númerosnaturales en donde no hay ningún primo.

Creo que después de la explicación demás arriba, ustedes están en condicionesde aceptar cualquier desafío deencontrar lagunas (tan grandes como lessean propuestas).

20. El número e

Quiero plantear aquí un problema que

tiene que ver con poner dinero en unbanco que rinda un determinado interés.Para hacer la exposición más clara, voya tomar un ejemplo. Vamos a suponerque una persona tiene un capital de unpeso. Y vamos a suponer también que elinterés que le pagan anualmente por esepeso es del 100%. Ya sé... con esteinterés, uno sabe que el banco se fundeantes de empezar y que el ejemplo estácondenado al fracaso. Pero igualmente,síganme que es interesante.

Capital: 1 peso

Interés: 100% anual

Si uno hace la inversión en el banco y seva a su casa, ¿cuanto dinero tiene

cuando vuelve justo al año? Claro, comoel interés es del 100%, al año el señortiene dos pesos: uno que corresponde asu capital y otro que es producto delinterés que le pagó el banco. Hasta acá,todo claro:

Capital al cabo de un año: 2 pesos

Supongamos ahora que el señor decideponer su dinero no a un año, sino sólo aseis meses. El interés (a lo largo de todoeste ejemplo) permanecerá constante:siempre será de un 100%. Al cabo deseis meses entonces, el señor ¿cuantodinero tiene? ¿Está claro que tiene 1,5pesos?

Esto es porque el capital permanece

intocable: sigue siendo un peso. Encambio, como el interés es del 100%pero sólo dejó el dinero invertido lamitad del año, le corresponde un interésde la mitad de lo que invirtió y, por eso,le corresponden $ 0,50 de interés. Esdecir, su nuevo capital es de $ 1,5. Siahora el señor decide reinvertir sunuevo capital en el mismo banco, con elmismo interés (100%) y por otros seismeses de manera de llegar nuevamenteal año como antes, ¿cuánto dinero tieneahora?

Nuevo capital: 1,5

Interés: 100% anual

Plazo que lo deposita: 6 meses

Al finalizar el año, el señor tiene

1,5 + 1/2 x (1,5) = 2,25

¿Por qué? Porque el capital que tenía alos 6 meses iniciales, no se toca: $ 1,5.El nuevo interés que cobra es de lamitad del capital, porque el dinero lopone a un interés del 100% pero sólopor seis meses. Por eso, tiene 1/2 x (1,5)= 0,75 como nuevo dinero que le aportael banco como producto de los interesesdevengados.

MORALEJA: al señor le conviene(siempre que el banco se lo permita)depositar el dinero primero a seis mesesy luego renovar el plazo fijo a otros seismeses. Si comparamos con lo que le

hubiera tocado en el primer caso, alfinalizar el año tenia dos pesos. Encambio, reinvirtiendo en la mitad, alcabo de 365 días tiene $ 2,25.

Supongamos ahora que el señor colocael mismo peso que tenía originalmente,pero ahora por cuatro meses. Al cabo deesos cuatro meses, reinvierte el dinero,pero por otros cuatro meses. Yfinalmente, hace una última reinversión(siempre con el mismo capital) hastaconcluir en el año. ¿Cuánto dinero tieneahora?

Yo sé que ustedes pueden seguir leyendoen esta misma página y encontrar lasolución, pero siempre es deseable quelos lectores hagan un mínimo esfuerzo

(si así lo desean) de pensar solos. Detodas maneras, aquí va. Veamos si seentiende.

Al principio del año el señor tiene:

1

A los cuatro meses (o sea, transcurrido1/3 del año) tiene:

(1 + 1/3)

A los siguientes cuatro meses (ochodesde el comienzo) tiene:

(1+1/3) + 1/3 (1+1/3) = (1+1/3) x(1+1/3) = (1+1/3) 2

(Esto sucede porque a los cuatro mesesel capital es de (1+1/3) y al cabo deotros cuatro meses, tendrá el capital másun tercio de ese capital.

La cuenta que sigue después, (1+1/3) 2 ,se obtiene de "sacar factor común" (1 +1/3) en el término de la izquierda en laecuación.

Ahora bien: cuando el señor invierte(1+1/3) 2 por otros cuatro meses, alllegar justo al fin del año, el señortendrá el capital (1 +1/3) 2 más (1/3) deese capital. O sea:

(1+1/3) 2 + 1/3(1+1/3) 2 = (1+1/3) 2 x(1+1/3) = (1+1/3) 3 = 2,37037037...

Como seguramente advierten, ahora nosqueda la tentación de hacerlo no sólocada cuatro meses, sino cada tres meses.Los invito a que hagan la cuenta ustedes,pero el resultado lo escribo yo. Al cabode un año, el señor tendrá:

(1 + 1/4) 4 = 2,44140.625

Si lo hiciera cada dos meses, tendríaque reinvertir su dinero seis veces en elaño

(1 + 1/6) 6 = 2,521626372...

Si lo hiciera una vez por mes,reinvertiría doce veces por año

(1+1/2) 12 = 2,61303529...

Como usted ve, al señor le convieneponer su dinero a plazo fijo, perohacerlo con un plazo cada vez más cortoy reinvertir lo que obtiene (siempre conel mismo interés).

Supongamos que el banco le permitieraal señor renovar su plazo diariamente.En este caso, el señor tendría

(1 +1/365) 365 = 2,714567482...

Y si lo hiciera una vez por hora (comoen el año hay 8.760 horas), tendría:

(1+1/8.760) 8.760 = 2,718126692...

Y si se le permitiera hacerlo una vez por

minuto, como en el año hay 525.600minutos, su capital resultaría

(1+1/525.600) 525.600 = 2,718279243

Y por último, supongamos que lepermitieran hacerlo una vez porsegundo.

En ese caso, como en el año hay34.536.000 segundos, el capital quetendría al cabo de un año sería:

(1+1/34.536.000) 34.536.000 =2,718281793...

MORALEJA: si bien uno advierte que eldinero al finalizar el año es cada vezmayor, sin embargo, el dinero que uno

tiene al final no aumentaindiscriminadamente.

Voy a hacer un resumen de la lista quehemos escrito recién:

1 vez al año,

2 veces al año,

3 veces al año(cuatrimestral),

4 veces al año(trimestral),

6 veces al año(bimestral),

2

2,25

2,37037037...

2,44140625...

12 veces al año(mensual),

365 veces al año(diario),

8.760 veces alaño (por minuto),

525.600 veces alaño (una vez porminuto),

34.536.000 vecesal año (una vezpor segundo),

2,521626372...

2,61303529...

2,714567482...

2,718126692...

2,718279243...

2,718281793...

Lo que es muy interesante es que estos

números, si bien crecen cada vez que elinterés se cobra más frecuentemente, nolo hacen en forma ni arbitraria nidesbocada. Al contrario: tienen un tope,están acotados. Y la cota superior (esdecir, si uno pudiera imaginariamenteestar renovándolo instantáneamente) eslo que se conoce como el número e (quees la base de los logaritmos naturales,cosa que no importa en este contexto).No sólo es una cota superior, sino quees el número al cual se está acercandocada vez más la sucesión que estamosgenerando al modificar los plazos dereinversión.

El número e es un número irracional,cuyas primeras cifras decimales son:

e = 2,718281828...

El número e es uno de los números másimportantes de la vida cotidiana, aunquesu relevancia está generalmenteescondida para el gran público. Enalgún otro momento y lugar, habría quedivulgar mucho más sobre él. Por ahora,nos contentamos con celebrar suaparición en este escenario, mostrándolocomo el límite (y también la cotasuperior) del crecimiento de un capitalde $ 1 a un interés del 100% anual yrenovado periódicamente.

21. Distintos tipos deinfinito

CONTAR

Un niño, desde muy pequeño, sabecontar. Pero ¿qué quiere decir contar?En realidad, dado un conjunto de objetoscualquiera, digamos los discos quealguien tiene en su colección, ¿cómohace para saber cuántos tiene? Larespuesta parece obvia (y en realidad,parece porque lo es). Pero quierocontestarla. La respuesta es: para sabercuántos discos tiene uno en su colección,lo que tiene que hacer es ir y contarlos.

De acuerdo. Es un paso que había quedar. Pero ¿qué quiere decir contar? Vanal sitio donde tienen guardados losdiscos y empiezan: 1, 2, 3,... etcétera.

Pero:

1. Para poder contar se necesitaconocer los números (en este caso,los números naturales).

2. Los números que usamos estánordenados, pero a nosotros elorden no nos interesa, ¿Se entiendeesto? A ustedes sólo les importasaber cuántos tienen y no en quéorden está cada uno. Si yo lespidiera que los ordenaran porpreferencia, entonces sí importaríael orden. Pero para saber cuántoshay, el orden es irrelevante.

3. Ustedes saben que el procesotermina. Es decir, su colección dediscos, por más grande que sea, en

algún momento se termina.

Ahora supongamos que estamos dentrode un cine. Todavía no ha llegado nadiepara presenciar la próxima función.Sabemos que hay mucha gente en lacalle haciendo cola y esperando que seabran las puertas.

¿Cómo haríamos para saber si lasbutacas que tiene el cine alcanzarán parapoder sentar a las personas que esperanafuera? O, en todo caso, ¿cómoharíamos para saber si hay más butacasque personas, o más personas quebutacas, o si hay la misma cantidad?Evidentemente, la respuesta inmediataque todo el mundo está tentado a dar es:"Vea. Yo cuento las butacas que hay.

Después cuento las personas. Y paraterminar el proceso, comparo losnúmeros".

Pero eso requiere contar dos conjuntos,Es decir: hay que contar las butacas yluego (o antes) hay que contar laspersonas, ¿Es necesario saber contarpara poder contestar si hay más butacasque personas, o personas que butacas ola misma cantidad? La respuesta quepodríamos dar es la siguiente: abramoslas puertas del cine, permitamos a lagente que entre y se siente en el lugarque quiera, y cuando el proceso termine,repito, cuando el proceso termine (yaque tanto las butacas como las personasson conjuntos finitos), nos fijamos si

quedan butacas vacías; eso significa quehabía más butacas que personas. Si haygente parada sin asiento (no se permitemás de un asiento por persona), entonceshabía más gente que lugar. Y si no sobraninguna butaca y nadie está parado, esoquiere decir que había el mismo númerode butacas que de personas, Pero lonotable de esto es que uno puede dar larespuesta sin necesidad de habercontado. Sin necesidad de saber cuál esni el número de personas ni el númerode butacas.Éste no es un dato menor eneste contexto: lo que uno está haciendoes aparear a los dos conjuntos. Es comosi tuviéramos dos bolsas: una en dondeestán las personas y otra en donde estánlas butacas. Y lo que hacemos es trazar

"flechitas" que le "asignen" a cadapersona una butaca. Sería el equivalentea cuando uno compra una entrada en elcine. Si sobran entradas o si faltanentradas o si hay la misma cantidad, esen realidad una manera de haber trazadolas flechitas. Pero lo bueno de esteproceso es que no hace falta sabercontar.

El segundo paso importante es quecuando yo quiera comparar el número deelementos de dos conjuntos, no necesitosaber contar. Lo que tengo que hacer esaparearlos, establecer flechitas entreuno y otro.

Sólo para ponemos de acuerdo con lasnotaciones, vamos a llamar cardinal de

un conjunto A (y lo vamos a notar #(A))al número de elementos de ese conjunto,

Por ejemplo,

1. (el cardinal del conjunto"jugadores titulares de un equipode fútbol profesional") = #{jugadores titulares de un equipode fútbol profesional} = 11,

2. (el cardinal del conjunto"presidentes de la nación") = #{presidentes de la nación}=1,

3. (el cardinal del conjunto"universidades nacionales en laargentina") = #{universidadesnacionales en la argentina} = 36,

4. (el cardinal del conjunto "puntos

cardinales") = # {puntoscardinales} = 4.

Como hemos visto, si queremoscomparar los cardinales de dosconjuntos no hace falta saber el cardinalde cada uno para saber cuál es el másgrande o si sor iguales, Basta conaparear los elementos de cada uno.Debe quedar claro, entonces, que paracomparar cardinales uno se libera delproceso de contar. Y esto será muyimportante cuando tengamos que"generalizar" la noción de contar,justamente.

Una última observación antes de pasar alos conjuntos infinitos. Los númerosnaturales son los conocidos e hiper-

mencionados en este libro:

N={1, 2, 3, 4, 5...}

Vamos a llamar segmento de losnaturales de longitud n al subconjunto(1, 2, 3,..., (n-2), (n-1), n}. A estesegmento lo vamos a denotar [1, n]

Por ejemplo, el segmento natural delongitud cinco,

[1, 5] = {1, 2, 3, 4, 5}

[1, 35] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 30, 31,32, 33, 34, 35}

[1, 2] = {1, 2}

[1, 1] = {1 }

Creo que se entiende entonces que todosestos "segmentos naturales" o"segmentos de números naturales"comienzan con el número uno; ladefinición entonces es:

[1, n] = {1, 2, 3, 4, 5,..., (n-3), (n-2), (n-1), n}.

En realidad podemos decir que contarlos elementos de un conjunto finitosignifica "aparear" o coordinar o "ponerlas flechitas" entre los elementos delconjunto que nos dieron y algúnsegmento natural. Dependiendo del nvamos a decir que el conjunto tienecardinal n. O, lo que es lo mismo, vamos

a decir que el conjunto tiene nelementos.

Una vez entendido esto, ya sabemosentonces lo que son los conjuntos finitos.Lo bueno es que también podemosaprovecharnos de esta definición paraentender lo que significa un conjuntoinfinito.

¿Qué definición dar? Intuitivamente, yantes que yo escriba una definicióntentativa, piensen un instante: ¿cuándodirían que un conjunto es infinito? Y porotro lado, cuando piensan en esadefinición, ¿en qué conjunto piensan?,¿qué ejemplo tienen a mano?

La definición que voy a dar de conjunto

infinito les va a parecer sorprendente,pero lo curioso es que es la más obvia:vamos a decir que un conjunto es infinitosi no es finito. ¿Qué quiere decir esto?Que si nos dan un conjunto A y nospiden que decidamos si es finito oinfinito, lo que tino tiene que tratar dehacer es buscar un segmento natural paracoordinarlo o aparearlo con él. Si unoencuentra algún número natural n, demanera tal que el segmento [1, n] y elconjunto A se pueden aparear, uno tienela respuesta: el conjunto es finito. Pero,si por más que uno trate, no puedeencontrar el tal segmento natural, o loque es lo mismo, cualquier segmentonatural que uno busca siempre se quedacorto, entonces es porque el conjunto A

es infinito.

Ejemplos de conjuntos infinitos:

1. Los números naturales (todos)2. Los números pares3. Los números múltiplos de cinco4. Los puntos de un segmento5. Los puntos de un triángulo6. Los números que no son múltiplos

de 7.

Los invito a que busquen otros ejemplos.1212 Hablemos ahora un poco de losconjuntos infinitos. En este mismo librohay \.-arios ejemplos (hotel de Hilbert,cantidad y distribución de los númerosde primos) que atentan contra laintuición. Y eso es maravilloso: la

intuición, como cualquier otra cosa, sedesarrolla, se mejora. Uno intuyedistinto cuanto más datos tiene. Cuantomás acostumbrado está a pensar encosas diferentes, mejor se prepara paratener ideas nuevas.

Agárrense fuerte entonces, porqueempezamos ahora un viaje por el mundode los conjuntos infinitos. Abróchense elcinturón y prepárense para pensardistinto.

PROBLEMA

Unos párrafos más arriba vimos comohacer para decidir cuál de dos conjuntostiene más elementos (o si tienen el

mismo cardinal). Decimos, para fijar lasideas, que dos conjuntos soncoordinables si tienen el mismocardinal, o sea, si tienen el mismonúmero de elementos. Como vimos, vano necesitamos contar en el sentidoclásico. Por ejemplo, el conjunto detodos los números naturales sabemosque es un conjunto infinito.

¿Qué pasará con los números pares? Lespropongo que hagan el ejercicio dedemostrar que también son infinitos, o loque es lo mismo, los números pares sonun conjunto infinito.

Pero la pregunta cuya respuesta pareceatentar contra la intuición es lasiguiente: si N son todos los números y

P son los números pares, ¿en quéconjunto hay más elementos? Yo sé queesto invita a una respuesta inmediata(todos los números tienen que ser más,porque los números pares estáncontenidos entre todos). Pero estarespuesta está basada en algo que nosabemos más si es cierto para conjuntosinfinitos: ¿es verdad que por el simplehecho que los pares forman parte detodos los números entonces son menos?¿,Por qué no tratamos de ver si podemosusar lo que aprendimos en el ejemplo delas butacas y las personas? ¿Qué habríaque nacer? Deberíamos tratar decoordinar o aparear o unir con flechitasa todos los números y a los númerospares. Eso nos va a dar la respuesta

correcta.

Veamos. De un lado, en una bolsa, estántodos los números naturales, los queforman el conjunto N. Del otro lado, enotra bolsa, están los números pares, losque forman el conjunto P. Si yo hago lasiguiente asignación (teniendo en cuentaque a la izquierda están los números delconjunto N y a la derecha, los elementosdel conjunto P):

1ßà 22ßà 43ßà 64ßà 85ßà 106ßà 12

7ßà 14

(¿Entienden lo que estoy haciendo?Estamos asignando a cada número de Nun número de P)

Es decir, a cada número de la izquierda,le hacemos corresponder su doble. Sisiguiéramos así, al número n le hacemoscorresponder el número 2n. Porejemplo, al numero 103 le correspondeel 206. Al número 1.751, le correspondeel 3.502, etcétera. Ahora bien: ¿estáclaro que a todo número de la izquierdale corresponde un número de laderecha? ¿Y que cada número de laderecha es par"? ¿Y está claro tambiénque a cada número par (de la derecha)

le corresponde un número de laizquierda (justamente la mitad)? ¿Quedaclaro que hay una correspondenciabiunívoca o una coordinación entreambos conjuntos? ¿Queda claro que esteproceso muestra que hay la mismacantidad de números naturales que denúmeros pares: Esta afirmación es algoque en principio atenta contra laintuición. Pero es así. Liberados delproblema de tener que contar; ya que eneste caso no podríamos hacerlo porqueel proceso no terminaría nunca en lamedida en que los conjuntos soninfinitos, lo que acabamos de hacer esmostrar que N y P son coordinables. Osea, que tienen el mismo número deelementos.

En el camino queda destruido unargumento que sólo es válido paraconjuntos finitos: aunque un conjuntoesté contenido en otro, eso no significaque par eso tenga menos elementos. Paraconjuntos infinitos, eso nonecesariamente es cierto, comoacabamos de ver en el ejemplo de todoslos números y los números pares.

Éste es ya un juguete nuevo. Con estopodemos divertirnos un rato y empezar apreguntar: ¿y los impares? Bueno,supongo que cualquiera que hayaseguido el argumento de los párrafosanteriores está en condiciones de decirque también hay tantos impares comonúmeros todos. Y por supuesto que hay

tantos impares como pares.

A esta altura, conviene que diga que alcardinal de estos conjuntos infinitos quevimos hasta acá (naturales, pares,impares), se los llama "aleph cero".(Aleph es la primera letra del alfabetohebreo, y aleph cero es la notación quese usa universalmente para indicar elnúmero de elementos de conjuntosinfinitos coordinables con el conjunto delos números naturales).

¿Qué pasará ahora si consideramos losnúmeros enteros? Recuerden que losnúmeros enteros son todos los naturales,pero a los gire se les agregare el cero ytodos los números negativos. A losenteros se los denomina con la letra Z

(del alemán Zahl) y son:

{... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Está claro, entonces, que los enterosforman len conjunto infinito. De paso, esbueno observar que si un conjuntocontiene como subconjunto a un conjuntoinfinito éste tiene que ser infinitotambién {¿no les dan ganas de pensarlosolos?}.

Pero volvamos al problema original.¿Qué pasa con Z? Es decir, ¿qué pasacon los enteros? ¿Son más que losnaturales? Para mostrar que el cardinalde ambos conjuntos es el mismo, lo quetenemos que hacer es encontrar unacorrespondencia biunívoca (es decir,

flechitas que salgan de un conjunto ylleguen al otro sin dejar (libre ningúnelemento de ninguno de los dosconjuntos).

Hagamos las siguientes asignaciones:

Al 0 le asignamos el 1

Al -1 le asignamos el 2

Al +1 le asignamos el 3

Al -2 le asignamos el 4

Al +2 le asignamos el 5

Al -3 le asignamos el 6

Al +3 le asignamos el 7

Y así podremos asignarle a cada númeroentero un número natural. Está claro queno quedará ningún entero sin que lecorresponda un natural, nirecíprocamente, ningún natural sin quetenga un entero asignado a su vez. Esdecir, hemos comprobado con esto queel conjunto Z de los números enteros yel conjunto V de los números naturalestienen el mismo cardinal. Ambos tienencardinal aleph cero. Es decir, losenteros V naturales tienen la mismacantidad de elementos.

Como ejercicio, les invito a que pruebenque también tienen cardinal aleph cero(y por lo tanto tienen la misina cantidad

de elementos que los enteros o losnaturales) los números múltiplos decinco, las potencias de dos, de tres,etcétera. Si llegaron hasta acá y todavíaestán interesados, no dejen de pensar losdistintos casos y cómo encontrar lacorrespondencia que demuestra quetodos estos conjuntos (aunque parezcaque no) tienen todos el mismo cardinal.

Ahora peguemos un pequeño salto decalidad. Consideremos los númerosracionales, que llevan el nombre de Q(por "quotient", o "cociente" en inglés).Un número se llama racional si es elcociente de dos números enteros: a/b(excluyendo el caso, obviamente. en queb sea cero). Ya sabemos, como hemos

visto en otra parte del libro, que no sepuede dividir por cero.

En realidad, los números racionales sonlos que se conocen como lasfracciones", con numerador ydenominador números enteros. Porejemplo, (-7/3), (17/5), (1/2), 7 sonnúmeros racionales. Es interesantenotar, que cualquier número entero estambién un número racional, porquetodo número entero a se puede escribircomo una fracción o como cociente de élmismo por 1. O sea:

a = a/1

Lo interesante es tratar de ver que,aunque parezcan muchísimos más los

racionales también tienen a aleph cerocomo cardinal. O sea, también soncoordinables con los naturales. Así, enel lenguaje común (que es el útil), haytantos racionales como naturales.

La demostración es interesante porquelo que vamos a hacer es una asignaciónque irá en espiral. Ya se va a entender.Y hacemos así:

Al 0/1 leasignamos el 1

Al 1/1 leasignamos el 2

Al 4/4 leasignamos el 14

Al 4/3 leasignamos el 15

Al 4/2 leasignamos el 16

Al 1/2 leasignamos el 3

Al 2/2 leasignamos el 4

Al 2/1 leasignamos el 5

Al 3/1 leasignamos el 6

Al 3/2 leasignamos el 7

Al 3/3 leasignamos el 8

Al 2/3 le

Al 4/1 leasignamos el 17

Al 5/1 leasignamos el 18

Al 5/2 leasignamos el 19

Al 5/3 leasignamos el 20

Al 5/4 leasignamos el 21

Al 5/5 leasignamos el 22

Al 4/5 le

asignamos el 9

Al 1/3 leasignamos el 10

Al 1/4 leasignamos el 11

Al 2/4 leasignamos el 12

Al 3/4 leasignamos el 13

asignamos el 23

Al 3/5 leasignamos el 24

Al 2/5 leasignamos el 25

Al 1/5 leasignamos el 26

Al 1/6 leasignamos el27...

Como se, a cada número racional nonegativo (o sea, mayor o igual que cero)le asignamos un número natural. Esta

asignación es biunívoca, en el sentidoque a todo racional le corresponde unnatural y viceversa. La únicaobservación que habría que considerares que hice todo esto para los racionalespositivos. Si uno quiere agregar losnegativos, la asignación debe serdiferente, pero creo que el lector sabráingeniarse para hacerla (en todo caso, enla página de soluciones hay unapropuesta para hacerlo).

Una observación que surge es que en lacolumna de la izquierda yo estoypasando varias veces por el mismonúmero. Por ejemplo, el 1 en la columnade la izquierda aparece como 1/1, 2/2,3/3, 4/4, etcétera, o sea, aparece muchas

veces. ¿Afecta esto la cardinalidad? Alcontrario. En todo caso, si uno tiene queconjeturar algo a priori, es que elconjunto de los racionales parece tenermás elementos que los naturales y, sinembargo, la asignación que acabo deofrecer muestra que tienen el mismocardinal. En todo caso, muestra que apesar de repetir varias veces el mismoracional, sigue habiendo naturales paratodos ellos. Lo cual es un hechofrancamente notable y anti-intuitivo.

Y ahora llegamos al punto central. Lapregunta que uno tiene que hacerse es lasiguiente: da la sensación que todos losconjuntos infinitos tienen el mismocardinal. Es decir, hemos revisado los

naturales, los pares, los impares, losenteros, los racionales, etcétera. Todoslos ejemplos que hemos visto deconjuntos infinitos resultaron sercoordinables a los naturales, o lo que eslo mismo, todos tienen el mismocardinal: aleph cero.

Con todo derecho, entonces, uno podríadecir: "Bueno. Ya sabemos cuáles sonlos conjuntos infinitos. Habrá muchos opocos, pero todos tienen el mismocardinal". Y aquí es donde aparece unpunto central en la teoría de conjuntos.Hubo un señor que hace muchos años,alrededor de 1880, se tropezó con unproblema. Tratando de demostrar quetodos los conjuntos infinitos tenían el

mismo cardinal, encontró uno que no. Elseñor por más esfuerzos que hacía porencontrar "las flechitas" para podercoordinar su conjunto con los númerosnaturales, no podía. Tal era sudesesperación que en un momentocambió de idea (e hizo algo genial,claro, porque tuvo una idea maravillosa)y pensó: "¿y si no puedo encontrar lasflechitas porque no es posibleencontrarlas? ¿No será preferible quetrate de demostrar que no se puedenencontrar las flechitas porque noexisten?".

Este señor se llamaba Georg Cantor.Van a encontrar una breve reseñabiográfica de él en otra parte del libro,

pero al margen de lo que allí diga, aCantor lo volvieron loco. La comunidadcientífica especialista en el tema,literalmente lo enloqueció.

Cuando Cantor descubrió que habíainfinitos más grandes que otros, dijo:"Lo veo y no lo creo.

Pero ¿qué es lo que hizo Cantor? Paraentenderlo, necesito recordar aquí porun momento qué es el desarrollodecimal de un número (sin entrar endemasiados detalles). Por ejemplo,cuando definí los números racionales,digamos el número 1/2, quedó claro queeste número también se puede escribirasí:

1/2 = 0,5

Y agrego otros ejemplos:

1/3 = 0,33333...

7/3 = 2,33333...

15/18 = 0,8333...

37/49 = 0,75510204...

Es decir, cada número racional tiene undesarrollo decimal (que se obtiene,justamente, haciendo el cociente entrelos dos números enteros). Lo quesabemos de los números racionales esque al hacer el cociente, el desarrollodecimal es, o bien finito (como en el

caso de 1/2 = 0,5, porque despuésvendrían sólo ceros a la derecha de lacoma), o bien es periódico, como 1/3 =0,33333..., en donde se repite un número(en este caso el 3), o podría ser unconjunto de números (que se llamaperíodo), como en el caso de

17/99 = 0,17171717...

en donde el período es 17, o bien, en elcaso de

1743/9900 = 0.176060606...

en donde el periodo es 60.

Es más: podemos decir que todo númeroracional tiene un desarrollo decimal

finito o periódico. Y al revés: dado undesarrollo decimal finito o periódicocualquiera, eso corresponde a un úniconúmero racional.

A esta altura, yo creo que puedo suponerque los lectores entienden lo que es eldesarrollo decimal.

Con todo, hay números que no sonracionales. Son números que tienen undesarrollo decimal pero que se sabe queno son racionales. El ejemplo másfamoso es p (pi). Se sabe (no lo voy aprobar aquí) que p no es un númeroracional. Si siguen interesados en másejemplos, en este mismo libro está lademostración que "enloqueció" a los

pitagóricos que "la raíz cuadrada de 2",√2 no es racional. Y por otro lado, porallí también anda el número e , quetampoco es racional.

Ustedes saben que el número p tiene undesarrollo decimal que empieza así:

p = 3,14159...

El número √2 tiene un desarrollodecimal que empieza así: √2=1,41421356...

El número e tiene un desarrollo decimalque empieza así: e = 2.71828183...

La particularidad que tienen todos estosnúmeros es que tienen un desarrollo

decimal que no termina nunca (en elsentido que no aparecen ceros a laderecha de la coma a partir de ningúnmomento) y tampoco son periódicos (enel sentido de que no hay un lugar deldesarrollo a partir del cual se repitaindefinidamente un segmento denúmeros). Estos dos hechos estángarantizados porque los números encuestión no son racionales. Es más: lascifras de cada número son imposibles depredecir en función de las anteriores. Nosiguen ningún patrón.

Creo que se entiende entonces cuálesson esta clase de números. Más aún:todo número real que no sea racional sellama irracional. Los tres ejemplos que

acabo de poner son tres númerosirracionales.

Cantor propuso entonces: “voy a probarque hay un conjunto infinito que no sepuede coordinar con los naturales". Ypara eso siguió diciendo: "el conjuntoque voy a tomar es el de todos losnúmeros reales que están en el segmento[0.1]

Un momento: tomen una recta, marquenun punto cualquiera y llámenlo cero. Lospuntos que están a la derecha se llamanpositivos y los que están a la izquierdase llaman negativos.

Cada punto de la recta corresponde auna distancia del cero. Ése va a ser elnúmero 1 para ustedes. A partir de allí,uno puede construir los números reales.Cualquier otro punto de la recta está auna distancia del cero que está medidapor la longitud del segmento que vadesde el cero hasta el punto que ustedeligió. Ese punto es un número real. Siestá a la derecha del cero, es un númeroreal positivo. Si está a la izquierda, esun número real negativo. Por ejemplo el1/2 es el punto que está a la mitad de ladistancia de la que usted marcó como 1.

El (4/5) está a cuatro quintas partes delcero (es como haber partido el segmentoque va desde el 0 hasta el 1 en cincopartes iguales, y uno se queda con elpunto que queda al elegir las primerascuatro).

Está claro, entonces, que a cada puntodel segmento que va entre el 0 y el 1, lecorresponde un número real. Esenúmero real, puede ser racional oirracional. Por ejemplo, el número ( √2

- 1) = 0.41421356.... es un númeroirracional que está en ese segmento. Elnúmero ( π /4), también. Lo mismo queel número (e - 2). Cantor tomó entoncesel segmento [0,1]. Son todos losnúmeros reales del segmento unitario.Este conjunto es un conjunto infinito depuntos. Piénsenlo así: tomen el 1,dividan al segmento por la mitad: tienenel 1/2. Divídanlo ahora por la mitad:tienen el número (1/4). Divídanlo por lamitad: tienen el (1/8). Como se advierte,dividiendo por la mitad cada vez, unoobtiene siempre un punto que está en lamitad de la distancia del que tenía antes.Eso va generando una sucesión infinitade puntos: (1/2n), todos los cuales estánen el segmento [0,1].

Falta poco. Cantor dijo entonces: "voy asuponer que este conjunto (segmentounitario) se puede coordinar con losnaturales". O sea, supuso que tenían elmismo cardinal. Si esto fuera cierto,entonces debería haber una asignación(o lo que llamamos "las flechitas") entrelos elementos del segmento [0,1] y losnúmeros naturales. Resultaría posible,como en los ejemplos anteriores, quepodríamos poner en una lista a todos loselementos del segmento [0,1].

Y eso hizo:

0, a 11 a 12 a 13 a 14 a15 a 16 ...

1

2

3

4

…

n

0, a 21 a 22 a 23 a 24 a25 a 26 ...

0, a 31 a 32 a 33 a 34 a35 a 36 …

0, a 41 a 42 a 43 a 44 a45 a 46 ...

0, a n1 a n2 a n3 a n4 an5 a n6 …

En este caso, lo que representan losdistintos símbolos de la forma a pq , sonlos dígitos del desarrollo de cadanúmero. Por ejemplo, supongamos que

éstos son los desarrollos decimales delos primeros números de la lista:

1

2

3

4

0,783798099937...

0,523787123478...

0,528734340002...

0,001732845...

Es decir,

0, a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 ... =0,783798099937...

0,a 21 , a 22 a 23 a 24 a 25 a26 ... =0,523787123478... y así siguiendo.

O sea, lo que Cantor hizo fue suponerque existe una manera de "ponerflechitas", o de hacer "asignaciones", demanera tal que todos los números realesdel segmento [0,1] estuvierancoordinados con los naturales.

Y ahora, la genialidad de Cantor: "voy aconstruir un número que está en elsegmento [0,1], pero que no está en lalista”. Y lo fabricó así: se construyó elnúmero

A = 0, b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 …

Uno sabe que este número está en elsegmento [0,1], porque empieza con 0,...

¿Pero quiénes son las letras b k? Bueno,Cantor dijo: Tomo b 1 de manera quesea un dígito diferente de a 11 , b 2 demanera que sea un dígito diferente de a22 , b 3 de manera que sea un dígitodiferente de a 33 , b n de manera que seaun dígito diferente de a nn .

De esta forma, tengo garantizado que elnúmero A no está en la lista. ¿Por qué?No puede ser el primero de la lista,porque el b 1 difiere de a 11 . No puedeser el segundo, porque el b 2 difiere de a22 . No puede ser el tercero, porque el b3 difiere de a 33 . No puede ser elenésimo, porque el b n difiere de a nn.

Luego, Cantor se fabricó un número realque está en el segmento [0,1] que no estáen la lista. Y esto lo pudo construirindependientemente de cuál fuera lalista.

Es decir, si viene cualquier otra personay le dice "yo tengo una lista diferente dela suya, y la mía sí funciona y contienetodos los números reales del intervalo[0,1] ", Cantor puede aceptarlecualquier desafío, porque él puedeconstruir un número real que deberíaestar en la lista, pero que no puede estar.

Y eso culmina la demostración, porqueprueba que si uno quiere hacer unacorrespondencia biunívoca entre losnúmeros reales y los números naturales,

va a fracasar. Cualquier lista quepresuma de tenerlos a todos pecará pordejar alguno afuera. Y no hay manera dearreglarlo.

Este método se conoce con el nombre demétodo diagonal de Cantor, fue uno delos saltos cualitativos más importantesde la historia, en términos de losconjuntos infinitos. A partir de esemomento, se supo entonces que habíainfinitos más grandes que otros.

La historia sigue y es muy profusa. Daríapara escribir muchísimos libros sobre eltema (que de hecho están escritos). Perosólo para dejarnos a todos con un saborbien dulce en la boca, quiero

proponerles pensar algunas cosas:

1. Supongamos que uno tiene un"dado" con diez caras y no seis,como los habituales. Cada caratiene anotado un dígito, del 0 al 9.Supongamos que uno empieza atirar el dado hacia arriba. Y vaanotando el numerito que vasaliendo. Empieza poniendo 0,... demanera que el resultado terminesiendo un número real del intervalo[0,1]. Piensen lo siguiente: paraque el resultado sea un númeroracional, el "dado" de diez carastiene que empezar a repetirse apartir de un determinado momento,ya sea porque da siempre cero, o

bien porque repite un período. Encualquier caso, si no repite o noempieza a dar cero constantemente,es porque dio un número irracional.Si repite o empieza a dar siemprecero es racional. ¿Qué les pareceque es más posible que pase? Delas dos alternativas, ¿cuál lesparece más factible? Esto sirvepara que intuitivamente advirtamoscuántos más son los irracionalesque los racionales.

2. Si uno tuviera una recta, y pudieraexcluir los racionales, no senotarían virtualmente los agujeros.En cambio, si excluyéramos a losirracionales, casi no se verían lospuntos que quedan. Tanto más

grande en tamaño es el conjunto delos reales comparado con el de losnaturales. (La palabra casi estáusada adrede, porque no es que nose verían los racionales sino que laidea que quiero dar es que losirracionales son muchísimos másque los racionales).

3. Hay muchas preguntas parahacerse, pero la más inmediata esla siguiente: ¿es el conjunto denúmeros reales el que tiene infinitomás grande? La respuesta es no.Uno puede construirse conjuntosarbitrariamente grandes y con uncardinal infinito "más grande" queel anterior. Y este proceso notermina nunca.

4. Otra dirección de pregunta podríaser la siguiente: vimos recién quelos reales son más que losnaturales, pero ¿hay algún conjuntoinfinito que tenga cardinal másgrande que el de los naturales ymás chico que el de los reales?Este problema es un problemaabierto de la matemática, pero sesupone que no hay conjuntosinfinitos en el medio. Sin embargo,la hipótesis del continuo dice quela matemática seguirá siendoconsistente, se pruebe que hay o nohay conjuntos con infinitos másgrandes que el de los naturales ymás chicos que el de los reales.

22. Segmentos de distintalongitud

Como hemos visto reiteradamente eneste libro, todo lo que tenga que ver conlos conjuntos infinitos es ciertamentefascinante. La intuición es puesta aprueba y los sentidos también. Lafamosa frase de Cantor ("lo veo, pero nolo creo") caracteriza bien lo que nosocurre cuando tropezamos con ellos (losconjuntos infinitos) las primeras veces.

Otro ejemplo muy ilustrativo es el de lossegmentos. Tomemos dos segmentos dedistinta longitud. Llamémoslos [A,B] y[C,D]. Uno sabe (¿sabe?) que todosegmento tiene infinitos puntos. Si

necesitan una confirmación, marquen elpunto medio del segmento. Ahora tienendos segmentos iguales. Tomencualquiera de ellos, marquen el puntomedio y continúen con el proceso. Comoadvierten, siempre hay un punto en elmedio de dos y, por lo tanto, el númerode puntos que contiene un segmento essiempre infinito.

Lo interesante es preguntarse, ¿cómo secomparan los infinitos? Es decir, ¿quiéntiene más puntos si dos segmentos tienendistintas longitudes como [A,B] y[C,D]? La respuesta es sorprendentetambién y es que ambos tienen el mismonúmero de puntos. Infinitos, ciertamente,pero el mismo número. ¿Cómo

convencerse de esto?

Como ya hemos visto en el capítulo delos distintos tipos de infinitos, esimposible tratar de contar. Necesitamosotros métodos de comparación. Y laherramienta que usé en otras partes, esla de las "asignaciones" o "flechitas"que unen los elementos de uno con loselementos de otro (recuerden elapareamiento de números naturales conlos enteros, o con los racionales,etcétera). En este caso, entonces, hago lomismo.

Ponemos los dos segmentos, [A,B] y[C,D], uno debajo del otro (como se veen la figura). Colocamos un punto Omás arriba, de manera tal de quequeden ALINEADOS (es decir, encimade la misma recta) los puntos O, B y D,y por otro lado, también estánalineados los puntos O, A y C. Para verque ambos segmentos tienen el número

de puntos, necesitamos "aparear" otrazar flechitas" entre los puntos deuno y otro segmento. Por ejemplo, alpunto 1 le corresponde al punto 1',porque lo que hacemos es trazarDESDE O, un segmento que empiece enO y pase por 1. El punto en donde“corta” al segmento [C, D], lollamamos 1'. De la misma forma, siqueremos averiguar cuál es el que lecorresponde al punto 2, hacemos lomismo: trazamos el segmento que uneal punto O con el punto 2, y nos fijamosen qué punto “corta" al segmento[C,D]. A ese punto, lo llamamos 2'. Esevidente entonces, que para cada puntodel segmento [A,B], repitiendo elproceso explicado arriba, le

corresponde un punto del segmento[C,D]. Y viceversa: dado el punto 3' enel segmento [C,D], si queremos saberqué punto del segmento [A,B] lecorresponde, "unimos" ese punto 3' conel punto O , y el lugar en donde corta a[A, B], lo llamamos 3. Y listo.

Este hecho, naturalmente, atenta contrala intuición, porque se desprende que unsegmento que una la parte externa de lapágina que ustedes están leyendo con laparte interna, tiene la misma cantidad depuntos que un segmento que una laCiudad de Buenos Aires con la deTucumán. O un segmento que una laTierra con la Luna.

23. Un punto en unsegmento

Les propongo el siguiente ejercicio paracomprobar su familiaridad con losgrandes números.

1. Tomen una hoja y algo con quéescribir.

2. Tracen un segmento (háganlogrande, no ahorren papel justoahora, aunque el ejemplo funcionaigual).

3. Pongan el número cero en elextremo izquierdo de su segmento.

4. Pongan el número un billón en elextremo derecho. Es decir, ustedesvan a suponer que el segmento que

dibujaron mide un billón. Marquenen el mismo segmento el númeromil millones. ¿Dónde lo pondrían?

La respuesta, en las páginas desoluciones.

24. Suma de las inversas delas potencias de 2 (sumainfinita)

Supongamos que dos personas (A y B)están paradas a dos metros de distancia,una de otra. Ambas personas van a servirtuales, en el sentido de quefuncionarán como puntos, como losextremos de un segmento. Este segmento

va a tener dos metros de distancia Ahorael señor A va a empezar a caminar haciaB, pero no lo va a hacer en forma libre,sino que va a seguir las siguientesinstrucciones: cada paso que dé va acubrir exactamente la mitad de ladistancia de lo que le falta recorrer parallegar hasta B. Es decir, el primer pasoque A va a dar será de un metro (ya quela distancia que lo separa de B es de dosmetros).

Luego el señor A (que ahora esta paradoen la mitad del segmento [A,B] va aseguir caminando y su próximo paso vaa ser medio metro (1/2 = 0,5) porque ladistancia que le falta recorrer hastallegar a B es justo un metro (y la

instrucción para él es bien precisa: suspasos son siempre la mitad del terrenoque le falta recorrer).

Una vez que A haya dado ese paso,estará parado en el punto 1,5. Comoestará a medio metro de B, su pasosiguiente será de 0,25 centímetros (1/4que es la mitad de 1/2). Y cuando llegueestará a 1,75 de distancia del lugar deorigen.

El señor A sigue caminando. Suspróximos pasos van a ser: 1/8, 1/16,1/32, 1/64, 1/128, 1/256, 1/512, 1/1024,etcétera. Como ustedes advierten, elseñor A no va a llegar nunca a destino(si es que su destino era llegar hasta elseñor B). No importa cuánto tiempo

camine, sus pasos van a ser cada vezmás pequeños (en realidad, cada vez severán reducidos a la mitad), pero si biensiempre va a avanzar (lo que no es pocodecir) y, además, va a avanzar nadamenos que la mitad de lo que le falta, elpobre A no va a llegar nunca a destino.

Por otro lado, los pasos que da el señorA son siempre hacia adelante, por lo queA está cada vez más cerca de B.

Uno podría poner todo esto en númerosy decir lo siguiente:

1 = 1 = 2 -1

1 + 1/2 = 3/2 = 2 – 1/2

1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 = 2 – 1/4

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 15/8 = 2 – 1/8

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 31/16 = 2 –11/6

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 =63/32 = 2-1/32

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +1/64= 127/64 = 2 – 1/64

Supongo que ustedes habrán advertidoya un patrón (que es en definitiva lo quehacemos los matemáticos... nonecesariamente con éxito). Las sumasvan siendo cada vez mayores y losresultados que se van obteniendo con

estas sumas parciales de pasos del señorA, son cada vez números más grandes.Es decir, estamos construyéndonos unasucesión de números estrictamentecreciente (en el sentido de que vancreciendo en cada renglón). Por otrolado, es claro que no sólo crecen sinoque podemos saber, además, cómocrecen, porque cada vez están más cercade 2. Si uno mira los resultados de lacolumna de la derecha, uno advierte quequeda:

2-1, 2-1/2, 2-1/4, 2-1/8, 2-1/16, 2-1/32,2-1/64...

... así es que de estos hallazgos unopodría sacar varias moralejas pero, enprincipio, quiero establecer dos hechos:

1. uno puede sumar números positivosindefinidamente y la suma no sehace un número arbitrariamentegrande. En este ejemplo, es claroque la suma de todos esos números(si es que uno hipotéticamentepudiera sumar infinitamente) nosuperaría a dos. Es más: si unoefectivamente pudiera sumarinfinitamente, el resultado finalsería dos.

2. Este proceso asegura que a medidaque el señor A va caminando, unopuede acercarse a un número tantocomo quiera (en este caso al dos),pero nunca llegar. La distancia quesepara al señor A de B es cada vez

más pequeña, y se puede hacer tanpequeña como yo quiera, pero Anunca llega a tocar a B.

Esto que hemos visto aquí encubrevarias nociones importantes y profundasde la matemática, pero la másimportante es la de limite, que fue undescubrimiento conjunto hecho porNewton y Leibniz al empezar el sigloXVIII, uno en Inglaterra y el otro enAlemania.

Y con esta noción cambió el mundo dela ciencia para siempre.

Capítulo 3. Personajes

1. Por qué uno no entiendealgo

Esta breve historia reproduce lo queescribió un amigo íntimo que falleció yahace muchos años: Ricardo Noriega.Ricardo fue un matemático argentino,fallecido a una edad muy temprana,especialista en geometría diferencial.Trabajó durante muchos años con LuisSantaló y, más allá de sus condicionesprofesionales, fue un tipo bárbaro.Siempre de buen humor, educado y muygeneroso con su tiempo y en la actitudsiempre paternal con alumnos y otros

colegas. Un gran tipo.

Con él estudié cuando ambos éramosjóvenes. En su libro Cálculo Diferenciale Integral escribió sobre una idea queme subyugó siempre: ¿por qué uno noentiende algo? ¿Y por qué lo entiendedespués? ¿Y por qué se lo olvida mástarde?

Ricardo escribió, y no lo voy aparafrasear porque prefiero contar mipropia versión:

" Muchas veces, cuando uno estáleyendo algo de matemática tropiezacon un problema: no entiende lo queleyó. Entonces, para, piensa y relee eltexto. Y la mayoría de las veces, sigue

sin entender. Uno no avanza. Quierecomprender, pero no puede. Lee elpárrafo nuevamente. Piensa. Y dedicamucho tiempo (eventualmente)... hastaque de pronto... entiende.... algo seabre en el cerebro de uno, algo seconecta... y uno pasa a entender. ¡Unoentiende! Pero no es todo: lomaravilloso es que uno no puedeentender por qué no entendía antes ".

Ésa es una reflexión que merece enalgún momento una respuesta. ¿Qué nosdetiene? ¿Por qué no entendemos en unmomento y después sí? ¿Por qué? ¿Quépasa en nuestro cerebro? ¿Quéconexiones se producen? ¿Qué es lo quejuega para que durante un buen rato no

entendamos algo y, de pronto, seproduzca un "click" y pasemos aentender? ¿No es maravilloso ponerse apensar por qué uno no entendía antes?¿Se podrá reproducir esto? ¿Se podráutilizar para cooperar con lacomprensión de otra persona? ¿Servirála experiencia de uno para mejorar lavelocidad y profundidad de aprendizajede otro?

2. Conversación entreEinstein y Poincaré.

Creo que no hace falta que presente aEinstein. Pero sí creo que merecealgunas palabras Poincaré, no porquehubiera sido menos importante su aporte

a la ciencia de fines del siglo XIX yprincipios del XX, sino porque sustrabajos y trayectoria son menosconocidos por el público en general.

Los medios se han ocupado (y con justarazón) de ubicar a Einstein como una delas personas más famosas de la historia.Es difícil encontrar a alguien que sepaleer y escribir y no sepa quién fueEinstein. Pero supongo que no yerro sidigo que el número de personas quedesconocen a Einstein coincide con elnúmero de los que conocen a Poincaré.Y quizá exagero...

Henri Poincaré nació el 28 de abril de1854 en Nancy (Francia) y murió el 17de julio de 1912 en París. Era

ambidiestro y miope. Sufrió de difteriadurante buena parte de su vida y eso letrajo severos problemas motrices y decoordinación. Pero Poincaré esconsiderado una de las mentes másprivilegiadas que pobló la Tierra. Sededicó a la matemática, la física y lafilosofía y se lo describe como el últimode los "universalistas" (en el sentido deque con su conocimiento lograba borrarlas fronteras entre las ciencias queinvestigaba).

Contribuyó en forma profusa a diversasramas de la matemática, mecánicaceleste, mecánica de fluidos, la teoríaespecial de la relatividad y la filosofíade la ciencia.

Aún hoy permanece sin respuesta sufamosa conjetura sobre la existencia devariedades tridimensionales sin bordecon grupo de homotopía nulo y que nofueran homeomorfas a la esfera encuatro dimensiones.

Más allá de haber entendido elenunciado, cosa que posiblemente noocurrió salvo para un grupo muyreducido de personas, especialistas enel tema, el hecho es que Poincaréconjeturó este resultado cuyademostración ha eludido a los mejoresmatemáticos del mundo desde hace másde un siglo.

Toda esta introducción me permite ahorapresentar un diálogo entre dos de las

figuras más prominentes de la ciencia enla primera mitad del siglo XX, poniendoénfasis en una discusión etema entre lamatemática y la física. Aquí va.

Einstein: -Vos sabés, Henri, alprincipio, yo estudiaba matemática. Perodejé y me dediqué a la física...

Poincaré: -Ah... No sabía, Alberto. ¿Ypor qué fue?

Einstein: -Bueno, lo que pasaba era quesi bien yo podía darme cuenta de cuálesafirmaciones eran verdaderas y cuáleseran falsas, lo que no podía hacer eradecidir cuáles eran las importantes....

Poincaré: -Es muy interesante lo que me

decís, Alberto, porque, originalmente,yo me había dedicado a la física, perome cambié al campo de la matemática...

Einstein: -¿Ah, sí? ¿Y por qué?

Poincaré: -Porque si bien yo podíadecidir cuáles de las afirmaciones eranimportantes y separarlas de las triviales,mi problema... ¡es que nunca podíadiferenciar las que eran ciertas!

3. Fleming y Churchill

Su nombre era Fleming, un granjeroescocés pobre. Un día, mientrasintentaba ganar el pan para su familia,oyó un lamento pidiendo ayuda que

provenía de un pantano cercano.

Dejó caer sus herramientas y corrióhacia el lugar. Allí encontró, hundidohasta la cintura, dentro del estiércolhúmedo y negro del pantano, a unmuchacho aterrorizado, gritando yesforzándose por liberarse. El granjeroFleming salvó al muchacho de lo quepodría haber sido una agonía lenta yespantosa. Al día siguiente, llegó a lagranja un carruaje muy ostentoso quetraía a un noble, elegantemente vestido,que bajó y se presentó como padre delmuchacho salvado por el granjeroFleming.

-Quiero recompensarlo -dijo el noble-.Usted salvó la vida de mi hijo.

-No, yo no puedo aceptar un pago por loque hice. Era mi deber -contestó elgranjero escocés.

En ese momento, el hijo del granjero seacercó a la puerta de la cabaña.

-¿Ese que asoma ahí es su hijo? -preguntó el noble.

-Sí -contestó el granjero orgulloso.

-Le propongo entonces hacer un trato.Permítame proporcionarle a su hijo elmismo nivel de educación que mi hijorecibe. Si el muchacho se parece a supadre no dudo que crecerá hastaconvertirse en el hombre del que ambos

estaremos orgullosos.

Y el granjero aceptó.

El hijo del granjero Fleming asistió a lasmejores escuelas y luego de un tiempose graduó en la Escuela Médica delSaint Mary's Hospital, en Londres,convirtiéndose en un renombradocientífico conocido en todo el mundopor el descubrimiento que revolucionóel tratamiento de las infecciones: lapenicilina.

Años después, el hijo del mismo nobleque fue salvado de la muerte en elpantano enfermó de pulmonía. ¿Quésalvó su vida esta vez? La penicilina,¡¡¡por supuesto!!!

¿El nombre del noble? Sir RandolphChurchill... ¿El nombre de su hijo? SirWinston Churchill.

4. Los matemáticos hacemosrazonamientos, no números

Luis Caffarelli me dio una serie deejemplos sobre el trabajo de losmatemáticos, que quiero compartir aquí.Caffarelli es uno de los mejoresmatemáticos argentinos de la historia (ycasi con seguridad el mejor hoy, en2005). A él le pedí que me dieraargumentos para publicar sobre lo quehacía un matemático profesional. Loprimero que hizo fue darme el título queutilizo para este capítulo.

Pero antes de compartir sus reflexiones,vale la pena recordar que Caffarellinació en 1948, obtuvo el título delicenciado en matemática cuando teníaveinte años y se doctoró cuando teníaveinticuatro. En 1994 fue nombradomiembro de la Academia Pontificia deCiencias, una institución creada en1603, que cuenta con sólo ochentamiembros en todo el mundo. Serintegrante de esta Academia implica unaextraordinaria calidad científica. Es, ofue, profesor en el Courant en NuevaYork, en la Universidad de Chicago, enel MIT, en Berkeley, en Stanford, en laUniversidad de Bonn y por supuesto, enla Universidad de Princeton en NuevaJersey, el centro de excelencia mundial

donde hicieron parte de susinvestigaciones Einstein, Von Neumann,Alan Turing, John Nash, entre muchosotros.

Una anécdota personal: Caffarelli y yofuimos ayudantes de una materia en lafacultad de Ciencias Exactas y Naturalessobre el final de la década de 1960. Lamateria se llamaba Funciones Reales I.Necesitábamos preparar ejercicios paralas prácticas y los exámenes. La materiapresentaba un constante desafío, no sólopara los estudiantes, sino también paralos docentes. En esencia, era la primeramateria del ciclo superior para losestudiantes de matemática. Un viernes,al finalizar la clase, quedamos en que

cada uno pensaría problemas durante elfin de semana y nos encontraríamos ellunes siguiente para discutirlos. Y asífue. Yo hice mi parte, y traje cincoproblemas. Caffarelli también hizo lasuya. Pero con una diferencia. Trajo123. Sí, ciento veintitrés. Algo más:nunca hubo un gesto de arrogancia o desuperioridad. Para él la matemática esalgo natural, que fluye por su vida comoel aire que respira cualquiera denosotros. Sólo que él piensa diferente,ve distinto, imagina de otra forma. Sinduda, una mente privilegiada. Ahora sí,vamos a lo que hace un matemáticoprofesional de acuerdo con LuisCaffarelli:

Estudiar lo que sucede con el whisky ylos cubitos de hielo está relacionado conel impacto de una nave espacial cuandoreingresa en la atmósfera, con laexplosión demográfica y con lapredicción climática.

El investigador genera un modelomatemático de un sistema, presume queéste refleja la realidad, y testea losresultados de un simulador numéricopara ver si sus cuentas son acertadas ono.

En el caso del cubito de hielo, se analizala superficie de con tacto del hielo conel agua. Si es estable, se estudia quépasaría si echáramos un chorrito más dewhisky, si se produciría un cambio

dramático en el sistema, si se va aderretir el hielo, etcétera.

Lo mismo sucede cuando uno estudia elflujo de aire alrededor del ala de unavión, o la dinámica demográfica. Elmatemático trata de encontrarecuaciones que representen estosproblemas e introducir factores decorrección adecuados para representarel fenómeno que se pretende estudiar.

La relación entre las matemáticas y lasociedad se pone de manifiesto cuandouno enciende la TV, recibe un fax,manda un e-mail, enciende unmicroondas y la comida se calienta.Pero los científicos que pensaron acerca

de los fenómenos básicos del horno amicroondas, no intentaban resolver elproblema de calentar la mamadera de unchico, sino en qué interesante seríacomprender cómo se excitan lasmoléculas frente a un cierto efecto.

Más adelante, le pedí que hiciera unareflexión respecto de los problemas decomunicación entre los científicos y lasociedad que los cobija:

No es que exista una escisión entreciencia y sociedad, sino que la gama derelaciones es muy extensa y tortuosa y amenudo no es obvia. La ciencia está muyrelacionada con la sociedad, lo que pasaes que cada vez hace falta másespecialización para llegar a ella.

En el futuro las ciencias se van amatematizar más todavía. Hay un desafíoinmenso para entender las cosas, paramatematizarlas y entender por qué sonasí. Las matemáticas tratan de sintetizarqué tienen en común cosas dispares paraluego poder decir: éste es el fenómeno yéstas son variaciones de la mismafórmula.

5. Las paradojas deBertrand Russell

Bertrand Russell vivió 97 años: desde1872 hasta 1970. Nació en Inglaterracomo miembro de una familia muy rica yligada con la realeza británica. Vivió

una vida llena de matices, abogó encontra de la guerra, peleó contra lareligión (cualquier manifestación deella), estuvo preso en variasoportunidades, se casó cuatro veces (laúltima a los 80 años) y tuvo múltiplesexperiencias sexuales de las quesiempre se manifestó orgulloso. Si bienfue uno de los grandes pensadores ymatemáticos del siglo XX, ganó unpremio Nóbel de Literatura en 1950. Fueprofesor en Harvard, en Cambridge y enBerkeley.

En fin: fue un sujeto muy especial.Ahora bien: escapa al objetivo de estelibro contar todos sus logros dentro delterreno de la lógica. Pero sin ninguna

duda, uno de los capítulos másinteresantes tiene que ver con su célebreparadoja de los conjuntos que no secontienen a sí mismos como elementos.

Antes de que pase a la sección siguiente,le propongo que me siga con tresejemplos. Y después volvemos sobre eltema.

A) SOBRE LOS BARBEROS ENALTA MAR

Un barco sale lleno de marineros y sedirige a una misión que lo tendrá muchosdías en alta mar. El capitán advierte condisgusto que alguno de los integrantesdel barco no se afeitan todos los días. Ycomo en el barco había un marinero-

barbero, lo convoca a su camarote y leda la siguiente instrucción:

"Desde mañana, toda persona del barcoque no se afeite a sí misma, la afeitausted. A los que quieren afeitarse solos,no hay problemas. Usted ocúpese de losque no lo hacen. Es una orden". Elbarbero se retiró y a la mañanasiguiente, ni bien se despertó (aún en sucamarote), se dispuso a cumplir la ordendel capitán. Pero antes, naturalmente, fuehasta el baño. Cuando se disponía aafeitarse, se dio cuenta de que no podíahacerlo, porque el capitán había sidomuy claro: él sólo podía afeitar a losque no se afeitaban a sí mismos. O sea,que en tanto que barbero no podía

intervenir en afeitarse. Debía dejarse labarba para no infringir la norma de sóloafeitar a los que no se afeitan a símismos. Pero al mismo tiempo, advirtióque no podía dejarse crecer la barbaporque incumpliría también la orden delcapitán, que le dijo que no permitieraque ningún integrante del barco no seafeitara. É1, entonces, tenía queafeitarse.

Desesperado porque ni podía afeitarse(porque el capitán le dijo que sólo seocupe de los que no se afeitaban a símismos) ni podía dejarse la barba (yaque el capitán no lo hubiera tolerado), elbarbero decidió tirarse por la borda (opedirle a alguien que lo afeite a él...)

B) SOBRE QUIEN DEBÍA MORIRAHORCADO

En una ciudad en donde las cosaserradas se pagaban caras, el rey decidióque una persona debía ser ejecutada. Ypara ello, decidió ahorcarlo. Para darleun poco más de sabor, colocaron en dosplataformas dos horcas. A una lallamaron "altar de la verdad" y a la otra,"el altar de la mentira”:

Cuando estuvieron frente al reo, leexplicaron las reglas: "Tendrásoportunidad de decir tus últimaspalabras, como es de estilo. De acuerdocon que lo que digas sea verdad omentira, serás ejecutado en este altar(señalando el de la verdad) o en el otro.

Es tu decisión".

El preso pensó un rato y dijo que estabalisto para pronunciar sus últimaspalabras. Se hizo silencio y todos seprepararon para escucharlo. Y dijo:

-"Ustedes me van a colgar en el altar dela mentira".

-"¿Es todo?”, le preguntaron.

-"Sí", respondió.

Los verdugos se acercaron a estapersona y se dispusieron a llevarla alaltar de la mentira. Cuando lo tuvieronal lado, uno de ellos dijo:

"Un momento por favor. No podemoscolgarlo acá, porque si lo hiciéramossus últimas palabras habrían sidociertas. Y para cumplir con las reglas,nosotros le dijimos que lo colgaríamosde acuerdo con la validez de sus últimaspalabras. Él dijo que “lo colgaríamos enel altar de la mentira. Luego, allí nopodemos colgarlo porque sus palabrasserían ciertas".

Otro de los que participaba arriesgó:"Claro. Corresponde que lo colguemosen el altar de la verdad".

"Falso", gritó uno de atrás. "Si fuera así,lo estaríamos premiando ya que susúltimas palabras fueron mentira. No lopodemos colgar en el altar de la

verdad".

Ciertamente confundidos, todos los quepensaban ejecutar al preso se trenzaronen una discusión eterna. El reo escapó yhoy escribe libros de lógica.

c) DIOS NO EXISTE

Seguramente, de todas las maneras depresentar la paradoja de BertrandRussell, ésta es la más llamativa. Sepretende probar que Dios no existe,nada menos.

Pongámonos primero de acuerdo con loque quiere decir Dios. Por definición, laexistencia de Dios está igualada con laexistencia de un ser todopoderoso. En la

medida en que nosotros podamos probarque nada ni nadie puede seromnipotente, entonces, nadie podráadjudicarse el "ser Dios".

Vamos a probar esto "por el absurdo"; osea, vamos a suponer que el resultado escierto y eso nos va a llevar a unacontradicción.

Supongamos que Dios existe. Entonces,como hemos dicho, en tanto que Dios,debe ser todopoderoso. Lo que vamos ahacer es probar que no puede habernadie todopoderoso. O lo que es lomismo: no puede haber nadie que tengatodos los poderes.

Y hacemos así: si existiera alguien que

tuviera todos los poderes, debería tenerel poder de hacer piedras muy grandes.No le puede faltar este poder, porque sino, ya demostraría que no estodopoderoso. Entonces, concluimos quetiene que tener el poder de hacer piedrasmuy grandes. No sólo tiene que tener elpoder de hacer piedras muy grandes,sino que tiene que ser capaz de hacerpiedras que él no pueda mover... no lepuede faltar este poder (ni ningún otro sivamos al caso). Luego, tiene que sercapaz de hacer piedras y que esaspiedras sean muy grandes. Tan grandes,que eventualmente él no las puedamover.

Ésta es la contradicción, porque si hay

piedras que él no pueda mover, esosignifica que le falta un poder. Y si talespiedras no las puede hacer, eso significaque le falta ese poder. En definitiva,cualquiera que pretenda sertodopoderoso adolecerá de unproblema: o bien le falta el poder dehacer piedras tan grandes que él nopueda mover, o bien existen piedras queél no puede mover. De una u otra forma,no puede haber nadie todopoderoso (yeso era lo que queríamos probar).

Ahora bien. Una vez que hemos vistoestas tres manifestaciones de la paradojade Bertrand Russell, pensemos qué haydetrás. En principio, un problema notrivial es dar una definición correcta de

lo que es un conjunto. Si uno trata dehacerlo (y lo invito a que pruebe),termina usando algún sinónimo: unacolección, un agrupamiento, unagregado, etcétera.

De todas formas, aceptemos ladefinición intuitiva de lo que es unconjunto, digamos, una colección deobjetos que distinguimos por algunacaracterística: todos los númerosenteros, todos mis hermanos, losequipos que participaron en el últimomundial de fútbol, las pizzas grandesque comí en mi vida, etcétera.

En general, "los elementos" de unconjunto, son los “miembros", los "quepertenecen". Si uno sigue con los

ejemplos del párrafo anterior, los"números enteros" son los elementos delprimer conjunto, "mis hermanos" son loselementos del segundo, la lista de paísesque participaron del último mundialserían los elementos del tercero, cadauna de las pizzas que comí, son loselementos del cuarto, etcétera.

Uno suele denominar o llamar unconjunto con una letra mayúscula (porejemplo: A, B, X, N) y a los elementosde cada conjunto, los pone "entrellaves":

A = {1,2,3,4,5}

B = {Argentina, Uruguay, Brasil, Chile,Cuba, Venezuela, México}

C = {Laura, Lorena, Máximo,Alejandro, Paula, Ignacio, Viviana,Sabina, Brenda, Miguel, Valentín}

N = {números naturales} = {1, 2, 3, 4,5,..., 173, 174, 175...}

P = {números primos} = {2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29, 31...}

M = {{Néstor y Graciela}, {Pedro yPablo}, {Timo y Betty}}

L = {{Números Pares}, {NúmerosImpares}}

Algunos conjuntos son finitos, como A,B y C. Otros son infinitos, como N y P.

Algunos conjuntos tienen comoelementos a otros conjuntos, como M,que tiene como miembros a "parejas".

L, en cambio, tiene dos elementos, queson conjuntos a su vez. Es decir, loselementos de un conjunto pueden serconjuntos también.

Una vez hechas todas las presentaciones,quiero plantear lo que se preguntóRussell:

"¿Puede un conjunto tenerse a sí mismocomo elemento?" Russell escribió: "meparece que hay una clase de conjuntosque sí y otra clase que no". Y dio comoejemplo el conjunto de las cucharitas deté. Obviamente, el conjunto de todas las

cucharitas de té no es una cucharita, ypor lo tanto, no se contiene a sí mismocomo elemento. De la misma forma, elconjunto de todas las personas quehabitan la Tierra no es una persona, y,por lo tanto, no es un elemento de símismo.

Aunque parezca anti-intuitivo, Russellpensó también en conjuntos que sí secontienen a sí mismos como elementos.Por ejemplo: el conjunto de todas lascosas que no son cucharitas de té. Esteconjunto es el que contiene cucharitas,sí, pero no de té, tenedores, jugadoresde fútbol, pelotas, almohadas, avionesde distinto tipo, etcétera. Todo, menoscucharitas de té.

Lo que queda claro es que este nuevoconjunto (el que consiste en todo lo queno sea una cucharita de té) ¡no es unacucharita de té! Y por lo tanto, como noes una cucharita de té, tiene que ser unelemento de sí mismo.

Otro ejemplo que dio Russell es elsiguiente: llamemos A al conjunto detodos los conjuntos que pueden describirsus miembros usando veinte palabras omenos. (En realidad, Russell lo planteóen inglés, pero para este argumento,poco importa.)

Por ejemplo, el conjunto de "todos loslibros de matemática", es un elemento deA, ya que se usan sólo cinco palabraspara describir los elementos de él. De la

misma forma, "todos los animales de laPatagonia" también es un elemento de A.Y el conjunto de "todas las sillas quehay en Europa" es otro elemento de A.

Ahora bien, los invito a pensar losiguiente: ¿pertenece A a sí mismo? Esdecir: ¿es A un elemento de sí mismo?Para que esto sea cierto, los elementosde A deberían poder ser descriptosusando veinte palabras o menos. Yjustamente, hemos definido a A como elconjunto cuyos elementos son "conjuntoscuyos elementos puedan ser descriptosusando veinte palabras o menos". Deesta forma, A resulta un subconjunto desí mismo.

A partir de este momento, entonces,podemos considerar dos clases deconjuntos: los que se contienen a símismos como elementos y los que no.

Hasta acá, todo bien. Pero Russell dioun paso más. Consideró R = "el conjuntode todos los conjuntos que no secontienen a sí mismos como elementos"= {todos los conjuntos que no secontienen a si mismos como elementos}(**)

Por ejemplo, R tiene como elementos alconjunto de "todas las capitales depaíses sudamericanos", al conjunto de"todos mis hermanos", "todos loscanguros de Australia", etcétera. Ymuchos más, obviamente.

Y por fin, la pregunta (del millón)

¿Es R un conjunto que se contiene a símismo como elemento?"

Analicemos las dos posibles respuestas.

1. Si la respuesta es sí, entonces R secontiene a sí mismo comoelemento. O sea, R es un elementode R. Pero como se ve en (**), Rno puede ser elemento de sí mismo,porque si lo fuera, no podría ser unelemento de R. Luego, R no puedeser un elemento de sí mismo.

2. Si la respuesta es no, o sea, R no esun elemento de sí mismo, entoncesR debería pertenecer a R, ya que R

está formado, justamente, por losconjuntos que no se contienen a símismos como elementos.

Este problema es el que subyace en lostres ejemplos que presenté al principiode este capítulo. Es la paradoja deBertrand Russell.

Parece imposible decidir si el conjuntocuyos elementos son los conjuntos queno se contienen a sí mismos comoelementos pertenece o no pertenece alconjunto.

Luego de muchos años, los científicosdedicados a la investigación en lógicase pusieron de acuerdo en establecerque cualquier conjunto que se tuviera a

sí mismo como elemento no es unconjunto, y de esa forma resolvieron (enapariencia) la discusión. En realidad, elproblema quedó escondido "debajo dela alfombra".

6. Biografía de Pitágoras

Pitágoras de Samos es considerado unprofeta y místico, nacido en Samos, unade las islas Dodecanesas, no muy lejosde Mileto, el lugar en donde nacióTales. Algunos pintan a Pitágoras comoalumno de Tales, pero eso no parecemuy probable debido a la diferencia decasi medio siglo entre ambos. Lo que síes muy probable es que Pitágoras hayaido a Babilonia y a Egipto, e incluso a la

India, para tener información de primeramano sobre matemática y astronomía, yeventualmente, también sobre religión.

Pitágoras fue, casualmente,contemporáneo de Budha, de Confuciusy de Lao-Tze, de manera que el sigloestaba en plena ebullición tanto desde elpunto de vista de la religión, así comode la matemática.

Cuando retornó a Grecia, se establecióen Crotón, en la costa sudeste de lo queahora es Italia, pero en ese momento seconocía como "La Magna Grecia". Ahíestableció una sociedad secreta quehacía recordar un culto órfico salvo porsu base matemática y filosófica.

Que Pitágoras permanezca como unafigura oscura se debe en parte a lapérdida de todos los documentos de esaépoca. Algunas biografías de Pitágorasfueron escritas en la antigüedad,inclusive por Aristóteles, pero nosobrevivieron. Otra dificultad enidentificar claramente la figura dePitágoras obedece al hecho de que laorden que él estableció era comunal ysecreta. El conocimiento y la propiedaderan comunes, de manera tal que laatribución de los descubrimientos no sele hacía a alguien en particular, sino queera considerado patrimonio del grupo.Es por eso que es mejor no hablar deltrabajo de Pitágoras, sino de lascontribuciones de "los pitagóricos".

EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Hace muchos años, Carmen Sessa, miamiga y extraordinaria referente encualquier terna que tenga que ver con lamatemática, me acercó un sobre convarias demostraciones del Teorema dePitágoras. No recuerdo de dónde lashabía sacado, pero ella estabaentusiasmada al ver cuántas manerasdistintas había de comprobar un mismohecho. Es más: tiempo después supe quehay un libro (The PythagoreanProposition) que contiene 367 pruebasde este teorema y que fue reeditado en1968.

De todas formas, y volviendo a laspruebas que me había dado Carmen,

hubo una que me dejó fascinado por susimpleza. Mas aún: a partir de esemomento (última parte de la década del80) nunca paro de repetirla. Y dedisfrutarla. Aquí va:

Se tiene un triángulo rectángulo T, delados a, b y h. (Se llama triángulorectángulo a un triángulo en el que unode los ángulos es de 90 grados, tambiénllamado ángulo recto.)

Imaginemos que el triángulo T estáhecho "pegando" tres hilos. Supongamosque se le puede "cortar" el lado h, y queuno puede "estirar" los lados a y b.

Con este nuevo "lado", de longitud(a+b), fabricamos dos cuadradosiguales. Cada lado del cuadrado mide

(a+b). Marcamos en cada cuadrado loslados a y b, de manera tal de poderdibujar estas figuras:

Ahora, observemos en cada cuadradocuántas veces aparece el triángulo T(para lo cual hay que marcar en un

dibujo los cuatro triángulos T en cadacuadrado).

Como los cuadrados son iguales, unavez que hemos descubierto los cuatrocuadrados en cada uno de ellos, lasuperficie que queda "libre" en cada uno

tiene que ser la misma.

En el primer cuadrado, quedan dos"cuadraditos" de superficies a 2 y b 2respectivamente. Por otro lado, en elotro cuadrado, queda dibujado un"nuevo" cuadrado de área h 2 .

Conclusión: "tiene" que ser

a 2 + b 2 = h 2

que es justamente lo que queríamosprobar: "en todo triángulo rectángulo severifica que el cuadrado de lahipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los catetos".

En este caso, los catetos son a y b,

mientras que la hipotenusa es h.

¿No es una demostración preciosa? Essólo producto de una idea maravillosaque no requiere ninguna herramientacomplicada. Sólo sentido común.

7. Historia de CarlFriedrich Gauss

Muchas veces solemos decirles a losjóvenes que lo que están pensando estámal, simplemente porque no lo estánpensando como lo pensamos nosotros.Así les enviamos un mensajeenloquecedor, equivalente al quehacemos cuando les enseñamos a hablary caminar en los primeros doce meses

de vida, para pedirles que se quedencallados y quietos en los siguientes doceaños.

El hecho es que esta historia tiene quever con alguien que pensó diferente. Yen el camino, resolvió un problema enforma impensada (para el docente). Lahistoria se sitúa alrededor de 1784, enBrunswick, Alemania.

Una maestra de segundo grado de laescuela primaria (de nombre Buttner,aunque los datos afirman que estabaacompañada por un asistente, MartinBartels también) estaba cansada del"lío" que hacían los chicos, y paratenerlos quietos un poco, les dio elsiguiente problema: "calculen la suma

de los primeros cien números". La ideaera tenerlos callados durante un rato. Elhecho es que un niño levantó la manocasi inmediatamente, sin siquiera darletiempo a la maestra para que terminarade acomodarse en su silla.

-¿Sí? -preguntó la maestra mirando alniño.

-Ya está, señorita -respondió elpequeño-. El resultado es 5.050.

La maestra no podía creer lo que habíaescuchado, no porque la respuesta fuerafalsa, que no lo era, sino porque estabadesconcertada ante la rapidez.

-¿Ya lo habías hecho antes? -preguntó.

-No, lo acabo de hacer.

Mientras tanto, los otros niños reciénhabían llegado a escribir en el papel losprimeros dígitos, y no entendían elintercambio entre su compañero y lamaestra.

-Vení y contanos a todos cómo lohiciste.

El jovencito, se levantó de su asiento ysin llevar siquiera el papel que teníaadelante se acercó humildemente hastael pizarrón y comenzó a escribir losnúmeros:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ 96 + 97 + 98 +99 + 100

-Bien -siguió el jovencito-. Lo que hicefue sumar el primero y el último número(o sea, el 1 y el 100). Esa suma da 101.

-Después, seguí con el segundo y elpenúltimo (el 2 y el 99). Esta sumavuelve a dar 101.

-Luego, separé el tercero y elantepenúltimo (el 3 y el 98). Sumandoestos dos, vuelve a dar 101.

-De esta forma, "apareando" losnúmeros así y sumándolos, se tienen 50pares de números cuya suma da 101.Luego, 50 veces 101 resulta en elnúmero 5.050 que es lo que ustedquería.

La anécdota termina aquí. El jovencitose llamaba Carl Friedrich Gauss. Nacióen Brunswick, el 30 de abril de 1777 ymurió en 1855 en Gottingen, Hanover,Alemania. Gauss es considerado el"príncipe de la matemática" y fue uno delos mejores (si no el mejor) de lahistoria.

De todas formas, no importa aquí cuánfamoso terminó siendo el niñito, sinoque lo que yo quiero enfatizar es que engeneral, uno tiende a pensar de unadeterminada manera, como si friera "lonatura U.

Hay gente que desmiente esto y encaralos problemas desde un lugar diferente.Esto no significa que los vea así a todos

los problemas que se le presentan, peroeso importa poco también.

¿Por qué no permitir que cada unopiense como quiera? Justamente, latendencia en los colegios y las escuelas,e incluso la de los propios padres, es lade "domar" a los niños (en un sentidofigurado, claro), en donde lo que sepretende es que vayan por un caminoque otros ya recorrieron.

Es razonable que así sea, porque estoofrece a los adultos, sin ninguna duda,mayores seguridades, peroinexorablemente termina por limitar lacapacidad creativa de quienes todavíatienen virgen parte de la película de la

vida.

Gauss y su manera sutil, pero elemental,de sumar los primeros cien números, sonsólo un ejemplo.

8. Conjetura de Goldbach

Estoy seguro de que a ustedes les habrápasado alguna vez que se tropezaron conuna idea pero no estaban tan seguros deque fuera cierta y se quedaron un ratopensándola. Si no les ocurrió nunca,empiecen ahora, porque nunca es tarde.Pero lo maravilloso es poder"entretener" en la cabeza de uno algúnproblema cuya solución sea incierta. Ydarle vueltas, mirarlo desde distintos

ángulos, dudar, empezar de nuevo.Enfurecerse con él. Abandonarlo parareencontrarlo más tarde. Es unaexperiencia inigualable: se lasrecomiendo.

En la historia de la ciencia, de lasdistintas ciencias, hay muchos ejemplosde situaciones como las que expuse en elpárrafo anterior. En algunos casos, losproblemas planteados pudieronresolverse sencillamente. En otros, lassoluciones fueron mucho más difíciles,llevaron años (hasta siglos). Pero comoustedes ya sospechan a esta altura, haymuchos de los que todavía no se sabe sison ciertos o falsos. Es decir: hay genteque ha dedicado su vida a pensar que el

problema tenía solución, pero no lapudieron encontrar. Y otros muchos quepensaron que era falso, pero no pudieronencontrar un contraejemplo para exhibir.

De todas formas, resolver alguna de lasque aún permanecen "abiertas", traeríafama, prestigio y también dinero alautor. En este capítulo quiero contar unpoco sobre una conjetura conocida conel nombre de "La Conjetura deGoldbach". El 7 de junio de 1742(piensen entonces que ya pasaron 263años), Christian Goldbach le escribióuna carta a Leonhard Euler (uno de losmás grandes matemáticos de todos lostiempos), sugiriéndole que pensara unademostración para la siguiente

afirmación:

Todo numero par positivo,mayor que dos, se puedeescribir como la suma de

dos números primos

Por ejemplo, veamos los casos másfáciles:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 7 + 7 = 3 + 11

16 = 5 + 11

18 = 7 + 11 = 5 + 13

20 = 3 + 17 = 7 + 13

22 = 11 + 11

24 = 11 + 13 = 7 + 17

864 = 431 + 433

866 = 3 + 863

868 = 5 + 863

870 = 7 + 863

y así podríamos seguir.

Hasta hoy (agosto de 2005), se sabe quela conjetura es cierta para todos losnúmeros pares que sean menores que 4 x10 13 . La novela Uncle Petros &Goldbach's Conjecture del escritoraustraliano (aunque creció en Grecia)Apostolos Doxiadis, publicada en 1992,en griego y traducida a diversos idiomasen el año 2000, es la que promovió quelas compañías editoras Faber y Faber deGran Bretaña y Bloomsbury Publishingde Estados Unidos ofrecieran un millónde dólares a quien pudiera resolver laConjetura. Doxiadis es tambiénreconocido como uno de los iniciadoresde las novelas con "trama matemática" y

ha dirigido además teatro y cine. Pero loque importa en este caso es que lapopularidad alcanzada por la noveladevino en la oferta (que nadie pudoreclamar aún) de los editores.

Hay otra Conjetura también planteadapor Goldbach, conocida con el nombrede "La Conjetura Impar de Goldbach'",que dice que todo número impar mayorque cinco se escribe como la suma detres números primos. Hasta el día de hoy(agosto del 2005) también permanececomo un problema abierto de lamatemática, aunque se sabe que es ciertahasta números impares de siete millonesde dígitos. Si bien toda conjetura puederesultar falsa, la opinión "educada" de

los expertos en teoría de números es quelo que pensó Goldbach es cierto y sóloes una cuestión de tiempo hasta queaparezca la demostración.

9. Historia de SrinivasaRamanujan

Conocemos muy poco de la historia y laciencia oriental. O en todo caso, todo loque no sea americano o europeo nosqueda entre lejos y desconocido. Sinembargo, hay varias historiasinteresantísimas, por no decir que haytoda una ciencia que nos queda atrasmano y que goza de extraordinariasalud. Srinivasa Ramanujan (1887-1920) fue un matemático indio que

profesaba la religión hindú. De origenmuy humilde, sólo pudo asistir a unaescuela pública gracias a una beca. Susbiógrafos dicen que les recitaba a suscompañeros las cifras decimales delnúmero π (pi) y a los doce años sesentía muy cómodo con todo lo quetuviera que ver con trigonometría. A los15 años le presentaron un libro con ¡seismil! teoremas conocidos, pero sindemostración. Ésa fue su formaciónmatemática básica.

Entre 1903 y 1907, decidió no dar másexámenes en la universidad y dedicó sutiempo a investigar y pensar sobre lascuriosidades matemáticas. En 1912, susamigos lo estimularon a comunicar todos

sus resultados a tres distinguidosmatemáticos. Dos de ellos no lecontestaron nunca. El tercero, GodfreyHarold Hardy (1877-1947), matemáticoinglés de Cambridge, fue el único que lohizo. Hardy era considerado, en esemomento, el matemático más prominentede su generación.

Hardy escribiría después que cuandorecibió la carta, estuvo a punto detirarla, pero esa misma noche se sentócon su amigo John Littlewood y sepusieron a descifrar la lista de 120fórmulas y teoremas que proponía esteseñor tan curioso que escribía desde laIndia. Horas más tarde, creían estar antela obra de un genio.

Hardy fue un hombre de unapersonalidad muy difícil. Tenía supropia escala de valores para el geniomatemático. Con el tiempo, ésta se hizopública:

100 para Ramanujan

80 para David Hilbert

30 para Littlewood

25 para sí mismo

Algunas de las fórmulas de Ramanujanlo desbordaron; y comentando suasombro, Hardy escribió: "forzoso esque fueran verdaderas, porque de noserlo, nadie habría tenido la imaginación

necesaria para inventarlas".

Hardy invitó a Ramanujan a Inglaterraen 1914 y comenzaron a trabajar juntos.En 1917, Ramanujan fue admitido en laRoyal Society de Londres y en el TrinityCollege, transformándose en el primermatemático de origen indio que lograbatal honor.

Sin embargo, la salud de Ramanujan fuesiempre una preocupación. Falleció tresaños después de mudarse a Londrescuando su cuerpo ya no pudo resistir enuna batalla desigual con latuberculosis...

Ahora, una anécdota. Se cuenta queRamanujan ya estaba internado en el

hospital en Londres del cual ya nosaldría. Hardy lo fue a visitar. Llegó enun taxi y subió a la habitación. Con laidea de romper el hielo, le dijo quehabía viajado en un taxi cuya patente era1.729, un número aburrido e insulso.

Ramanujan, sentado a medias en lacama, lo miró y le dijo: "No crea. Meparece un número muy interesante: es elprimer número entero que se puedeescribir como suma de dos cubos dediferentes maneras".

Ramanujan tenía razón:

1.729 = 1 3 + 12 3

y también

1.729 = 9 3 +10 3

Además 1.729 es divisible por la sumade sus dígitos, 19

1.729 = 19 x 91

Otros números que cumplen esto:

(9, 15) y (2, 16)

(15, 33) y (2, 34)

(16, 33) y (9, 34)

(19, 24) y (10, 27)

Es decir:

9 3 + 15 3 = 729 + 3.375 = 4104 = 2 3

+16 3 = 8 + 4.096

15 3 + 33 3 = 3.375 + 35.937 = 39.312 =2 3 +34 3 = 8 + 39.304

16 3 +33 3 = 4.096 + 35.937 = 40.033 =9 3 +34 3 = 729+39.304

19 3 +24 3 = 6.859 + 13.824 = 20.683=10 3 +27 3 = 1.000 + 19.683

En definitiva, Ramanujan estaba muy enlo cierto... 1.729 no es un número taninsulso.

10. Los modelos

matemáticos de OscarBruno

Oscar Bruno es doctor en matemática.Trabaja en el California Institute ofTechnology, más conocido comoCalTech. Se dedica a la investigación enáreas de matemática aplicada,ecuaciones en derivadas parciales yciencia computacional. En su trabajo seocupa de predecir las características dediseños de ingeniería, usando métodosmatemáticos y programas decomputadoras.

Hace un par de años le pedí que mediera algunas referencias sobre lo quehacía. Y me escribió estas líneas que

ahora transcribo, con su autorización,claro.

-¿Cómo se usan los modelosmatemáticos para mejorar la calidad deun objeto antes de construirlo?

Las ventajas ofrecidas por tales métodosson muchas y claras. Por un lado esmucho más sencillo y menos costososimular un diseño que construirlo. Por elotro, un modelo matemático puederevelar información que es muy difícil oimposible de adquirirexperimentalmente.

Por supuesto, la validez de estosmodelos debe ser verificada a través decomparaciones con experimentos, pero,

una vez que un modelo está verificado,se puede tener un alto grado deconfiabilidad en sus predicciones.

Yo me dedico a generar y verificarmodelos matemáticos para problemas deciencia de materiales. Y también meocupo de diseñar métodos numéricospara una variedad de áreas de laciencia. Estos métodos numéricospermiten implementar los modelosmatemáticos en computadoras.

Últimamente he estado trabajando en unavariedad de problemas:

1. Producción de radares,2. Producción de diamante a partir de

grafito por medio de ondas de

choque,3. Diseño de un microscopio basado

en rayos láser, en conjunto con ungrupo de biólogos y de físicos,

4. Predicción financiera,5. Diseño de materiales compuestos

de goma y pequeñísimas partículasde hierro, llamados sólidosmagnetoreológicos (cuyaelasticidad y forma pueden seralterados a través de la aplicaciónde un campo magnético).

No quiero dejar de mencionar queprogresos en estos tipos de problemasde predicción pueden llevar a:

1. nuevos conocimientos científicos,2. mejoras o abaratamientos en

procesos de producción, c) diseñosde nuevos artefactos. Por ejemplo,el microscopio que mencioné antesestá siendo diseñado con laintención de hacer posible laobservación de la actividad decélulas vivas, sus intercambios defluidos, interacciones conmicroorganismos, etcétera.

Los materiales compuestos basados engoma, por otro lado, son buscados paramejorar los mecanismos de reducción devibraciones en automóviles:dependiendo del tipo de camino, espreferible combinar gomas con distintosgrados de dureza.

Usando campos magnéticos y materialescompuestos basados en goma, se puedevariar el tipo de dureza y obtener unareducción sensible de vibraciones queson más efectivas para todo tipo decaminos.

El diseño del compuesto másconveniente (qué tipos de partículasutilizar, en qué cantidad, qué tipo degoma es más ventajoso) se facilitaenormemente gracias a los métodosnuméricos. Ciertamente, en vez deproducir un prototipo con cadacombinación posible de materialesbásicos, se utiliza un programa decomputadora por medio del cual, paradeterminar las características de un

cierto compuesto, sólo es necesarioespecificar, cuando la computadora lorequiere, una serie de números quecaracterizan las propiedades básicas delos componentes utilizados.

Hasta aquí, las reflexiones de Oscar.Ahora agrego yo: muchas veces, comomatemáticos, recibimos la pregunta:"¿para qué sirve lo que usted hace?¿Cómo se usa? ¿Gana plata con eso?"

Cuando se trata de matemáticos quededican su vida a la producción deciencia con aplicaciones más evidenteso más directas, las respuestas, como lasde Bruno, suelen ser más claras o máscontundentes. En cambio, cuando esasrespuestas provienen de científicos que

dedican su vida a la investigaciónbásica o a la vida académica, no suelenconvencer al interlocutor. El ciudadanocomún se siente apabullado y calla, perono está seguro de que le hayancontestado lo que preguntó. No entiende.

Uno de los propósitos de este libro esacercar a las partes. Mostrar la bellezaque contiene pensar un problema cuyarespuesta uno ignora. Sobre todo eso:pensar, imaginar caminos, disfrutar de laduda. Y en todo caso, aprender acoexistir con el desconocimiento, perosiempre con la idea de derrotarlo, dedescubrir el velo que esconde la verdad.

11. Respuesta de Alan

Turing sobre diferenciasentre una máquina y unapersona

De acuerdo con lo que leí en unDiccionario de Ideas de Chris Rohmann,esto fue lo que dijo Alan Turing cuandole preguntaron cómo se podía saber siuna máquina era inteligente:

La máquina es inteligente si puede pasareste test, poner una persona a hacerlepreguntas en paralelo a una máquina y aotra persona, sin que el que preguntesepa quién es el que da las respuestas.

Si después de un tiempo el interrogadorno puede distinguir si las respuestas

provenían del humano, entonces lamáquina podrá ser declarada inteligente.

Capítulo 4.Probabilidades yEstimaciones

1. Un poco de combinatoriay probabilidades

El número de resultados posibles al tiraruna moneda es dos. Obviamente, cara yceca. Si ahora tiramos dos monedas yqueremos contar el número deresultados posibles, tenemos:

Cara - Cara

Cara - Ceca

Ceca - Cara

Ceca - Ceca

Es decir, hay cuatro resultados posibles.Noten la importancia del orden, porquesi no habría sólo tres resultadosposibles:

Cara-Cara

Cara-Ceca o Ceca-Cara (que serían elmismo)

Ceca-Ceca

Al tirar tres monedas, los casos posiblessi importa el orden son 2 3 = 8.

En cambio, si no importa el orden sóloquedan cuatro casos. (Los invito a quepiensen en cada caso por qué pasa esto;es más: los invito a que piensen quépasaría si tirara n monedas y queremoscalcular la cantidad de resultadosposibles si importa y si no importa elorden). Y ahora pasemos a los dados.

El número de resultados posibles al tirarun dado es seis. El número de resultadosposibles al tirar dos dados es:

6 x 6 = 6 2 = 36

Ahora bien: si uno tira un dado rojoprimero y un dado verde después, ¿cuáles el número de resultados posibles endonde el dado verde dé un resultado

diferente del rojo?

La respuesta es 6 x 5 = 30 (hagan lacuenta si no están convencidos)

Ahora, si tenemos tres dados, el númerode resultados posibles es:

6 3 = 216

Pero si queremos que el resultado queapareció en el primero sea diferente delsegundo y diferente del tercero, entonceslos casos posibles son:

6 x 5 x 4 = 120

Estos ejemplos nos permiten pensar quépasa en otros casos. Por ejemplo,

cuando uno juega a la lotería. Se trata deextraer seis números entre el 1 y el 40,pero ordenados. Luego, los casosposibles son:

40 x 39 x 38 x 37 x 36 x 35 =2.763.633.600 posibles.

Recuerden que la definición deprobabilidad de que ocurra un eventoresulta del cociente entre los casosfavorables sobre los casos posibles.

De allí que la probabilidad de que salgacara al tirar una moneda es 1/2, porquehay un solo caso favorable (cara) y doscasos posibles (cara y ceca). Laprobabilidad de que salgan primero caray después ceca al tirar dos monedas

(siempre que importe el orden) es de1/4, porque hay un solo caso favorable(cara-ceca) y cuatro casos posibles(cara-cara, cara-ceca, ceca-cara y ceca-ceca).

Ahora volvamos al ejemplo que apareceen los casos posibles de la lotería. Esinteresante revisar este número, porquela probabilidad de ganar la lotería esciertamente muy baja. Uno tiene unaposibilidad entre más de dos milsetecientos sesenta millones. Es difícil,vea.

Si uno fuera generoso, y decideolvidarse del orden, uno tiene quedividir por 6! (¿recuerdan cuandodefinimos el número factorial?). Esto

sucede porque una vez que uno eligiólos seis números, hay 120 maneras dereordenarlos sin cambiarlos. Lo que enmatemática se llama una permutación.

Luego, si uno divide el número(2.763.633.600) por 120, se obtiene3.838.380. Es decir, si a uno lo dejaranjugar a la lotería extrayendo seisnúmeros entre los primeros cuarenta,pero sin importar el orden en que salen,entonces la probabilidad de ganaraumenta fuertemente. Ahora es una entre3.838.380. Seguimos con el juego:pasemos ahora a los juegos de cartas. Enun mazo de 52 cartas, ¿cuántas posiblesmanos de cinco cartas nos pueden tocar?(observen que cuando a uno le reparten

cartas en un juego, el orden esirrelevante. Lo que importa es la manoque se obtuvo y no el orden en el que lastiene tomadas con la mano). El resultadoes:

52 x 51 x 50 x 49 x 48 / (5!) = 2.598.960

Si ahora la pregunta es de cuántasmaneras me pueden tocar cuatro ases, larespuesta es 48, ya que ésas son lasúnicas posibilidades para la quinta carta(las otras cuatro ya están elegidas: sonases, y como en total eran 52 cartasmenos los cuatro ases, quedan 48). Laprobabilidad de que toque una mano concuatro ases es 48/(2.598.960) que escasi 1 en 50.000. O sea que para los quejuegan al póquer y tienen intriga por

saber cuál es la probabilidad de tener unpóquer de ases, es bastante baja también(estoy suponiendo que se reparten sólocinco cartas y que no hay reposiciones.Esto lo escribo para los puristas que vana observar que uno puede desprendersede ciertas cartas y pedir otras).

¿Y si uno quisiera saber la probabilidadde tener un póquer de reyes? ¿Variaríala probabilidad? La respuesta es no,porque que las cartas que se repitan seanases o reyes o reinas o lo que sea nomodifica en nada el argumento que seusa. Lo hace más pintoresco, en todocaso.

El que sigue es un hecho importante: si

dos eventos son independientes, en elsentido que el resultado de uno esindependiente del resultado del otro,entonces la probabilidad de que ambossucedan se obtiene multiplicando lasprobabilidades de ambos.

Por ejemplo, la probabilidad de quesalgan dos caras en dos tiradas de unamoneda es:

(1/2) x (1/2) = 1/4

(hay cuatro casos posibles: cara-cara,cara-ceca, ceca-cara y ceca-ceca; deellos, sólo uno es favorable: cara-cara.De allí el 1/4).

La probabilidad de que salga un número

en la ruleta es:

1/37 = 0,027...

La de que salga un número "colorado"es 18/37 = 0,48648... Pero que salgacinco veces seguidas "colorado" estámedida por

(0.48648) 5 = 0,027...

O sea, el 2,7% de las veces. Éste es unepisodio importante, porque lo queestamos midiendo tiene que ver con laprobabilidad de que salgan cinconúmeros "colorados" seguidos. Pero laprobabilidad está calculada antes de queel crupier empiece a tirar. Eso no es lomismo que saber que si uno llega a jugar

a una mesa de ruleta en un casino ypregunta "¿qué salió hasta acá?" Si lecontestan que salieron cuatro números"colorados" seguidos, eso no afecta laprobabilidad del número que está porsalir: la probabilidad de que salga"colorado" es 18/37 = 0,48648... otravez, y de que salga negro es también18/37 = 0,48648... Y de que salga ceroes 1/37 = 0,027027...

Pasemos ahora de juegos a personas(que pueden estar jugando juegos). Siuna persona es tomada al azar, laprobabilidad de que no hubiera nacidoen el mes de julio es de 11 / 12 =0,9166666... (Es decir, hay casi un 92%de posibilidades de que no haya nacido

en julio.). Pero la probabilidad tiene queser un número mayor o igual que cero ymenor o igual que uno. Por eso, si unohabla en términos probabilísticos, debedecir: la probabilidad es 0,916666... Encambio, si uno prefiere hablar deporcentajes, debe decir que elporcentaje de posibilidades de que nohubiera nacido en julio supera el91,66%.

(Nota: la probabilidad de que un eventosuceda es siempre un número entre ceroy uno. En cambio, el porcentaje deposibilidades de que ese mismo eventosuceda, es siempre un número entre 0 y100.)

Si uno toma cinco personas al azar, la

probabilidad de que ninguna hayanacido en julio es

(11/12) 5 = 0,352...

o sea, aproximadamente el 35,2% de lasveces. Entienda esto bien: dadas cincopersonas al azar la probabilidad de queninguna de las cinco haya nacido enjulio es aproximadamente 0,352 o, loque es lo mismo, en más del 35% de lasveces ninguna de las personas nació enjulio.

Como escribí antes, que el mes enconsideración sea julio es irrelevante.Lo mismo serviría para cualquier mes.Pero eso sí: hay que determinarlo de

antemano. La pregunta (para que tenga lamisma respuesta) tiene que ser ¿cuál esla probabilidad de que tomando cincopersonas al azar, ninguna de las cincohubiera nacido en el mes de... (y el lugaren blanco es para que sea rellenado porcualquier mes)?

Volvamos a los dados. ¿Qué es másprobable: sacar al menos un 6 al tirarcuatro dados o sacar dos seis al tirardos dados, si uno los tira 24 veces?

La probabilidad de "no" sacar un 6, es

5/6 = 0,833...

En este caso, como se tira cuatro vecesel dado, la probabilidad de "no" sacar

un 6 es:

(5/6) 4 = 0,48...

Luego, la probabilidad de sacar almenos un 6 al tirar un dado cuatro veceses aproximadamente

1 - 0,48 = 0,52

Por otro lado, la probabilidad de "no"sacar dos seis al tirar dos dados, es

(35/36) = 0,972...

(los casos favorables de no sacar dosseis, son 35 de los 36 posibles).

De acuerdo con lo que aprendimos hasta

aquí, si uno va a iterar el proceso 24veces, se tiene el siguiente número:

(0,972) 24 = 0,51...

Es decir, la probabilidad de sacar dosnúmeros seis al tirar dos dados 24veces, es

1 - (0,51) = 0,49...

MORALEJA: es más probable sacar unseis al tirar un dado cuatro veces quesacar dos seis tirando dos dados 24veces.

2. Encuesta con preguntaprohibida

Este ejemplo muestra una manera sutilde evitar un problema. Supongamos queuno quiere encuestar un grupo depersonas sobre un tema crítico,delicado. Pongamos, por caso, que unoquiere averiguar el porcentaje dejóvenes que consumieron alguna drogadurante el colegio secundario.

Es muy posible que la mayoría se sientaincómodo si tuviera que contestar que sí.Naturalmente, eso arruinaría el valor deverdad de la encuesta.

¿Cómo hacer entonces para"circunvalar" el obstáculo del pudor omolestia que genera la pregunta?

En el ejemplo, el entrevistador le quiere

preguntar a cada alumno si consumióalguna droga durante el secundario. Perole dice que el método que van a usar esel siguiente:

El joven entrará en un "cuarto oscuro",como si fuera a votar, y se dispondrá atirar una moneda. Nadie está viendo loque él hace. Sólo se le pide que searespetuoso de las reglas:

1) si salió cara debe responder "sí"(cualquiera sea la respuesta verdadera),

2) si salió ceca, debe responder laverdad.

De todas formas, el único testigo de loque el joven hace o dice es él mismo.

Con este método, se espera al menos un50% de respuestas positivas (que sonlas que provienen de que uno "estime"que la moneda salió cara la mitad de lasveces). En cambio, cuando alguien diceque no, es porque la respuesta verdaderaes que no. O sea, este joven no se drogó.Sin embargo, supongamos que hay un70% de respuestas positivas (dijeronque sí). ¿No dice algo esto? Es decir,¿no lo tienta decir que con estos datosuno podría sacar alguna conclusión?

Como siempre, los invito a que piensenun poco solos. Y después, sigan con elrazonamiento. Más allá del número derespuestas positivas, uno esperaba deantemano que habría (al menos) un 50%

de ellas. Y esto se produce porque unosupone que como la moneda no estácargada, la mitad de las veces deberíasalir cara. Con ese dato solo, uno sabeque, al salir del cuarto oscuro, la mitadde los participantes debe decir que si,pero al mismo tiempo, hay otro 20% derespuestas que son afirmativas y noprovienen del hecho de que la monedasalió cara. ¿Cómo interpretar este dato?

El hecho es que eso está diciendo que,de las veces que salió ceca (que es laotra mitad de las veces), un 20% de losalumnos dijo que si se había drogado.En consecuencia, uno podría inferir (y loinvito a pensar conmigo), que al menosun 40% de los alumnos fue consumidor

de alguna droga. ¿Por qué? Porque del50% restante, el 20% (¡nada menos!)contestó que sí. Y, justamente, el 20%de ese 50% implica un 40% de laspersonas.

Este sistema evita "señalar" a quiencontesta que sí y exponerlo a unasituación embarazosa. Pero, por otrolado, mantiene viva la posibilidad deencuestar lo que uno pretende.

Para aquellos que conocen un poquitomás de probabilidad y saben lo que es laprobabilidad condicional, podemosexponer algunas fórmulas.

Si llamamos x a la probabilidad deresponder que si, entonces:

x = p ("salga cara") * p ("sí", si cara) +p ("salga ceca") * p ("sí', si ceca),

en donde definimos:

p ("salga cara") = probabilidad de quela moneda salga cara

p ("sí", si cara) = probabilidad de que eljoven diga que sí, habiendo salido caraal tirar la moneda

p ("salga ceca") = probabilidad de quela moneda salga ceca,

p ("si", si ceca) = probabilidad de queel joven diga que si, habiendo salidoceca al tirar la moneda.

Por otro lado,

p (cara) = p (ceca) =1/2

p ("sí" si cara) = 1

"p ("sí, si ceca) = es la probabilidad dedrogarse, que es justamente lo quequeremos calcular. Llamémosla p

Luego

x=1/2 * 1 + 1/2 * P => P = 2 * (x-1/2)

Por ejemplo, si el porcentaje derespuestas positivas hubiera sido de un75% (o sea, 3/4 del total de lasrespuestas), reemplazando x por 3/4 enla fórmula anterior, se tiene:

P = 2 * (3/4-1/2)= 2 * (1/4) = 1/2

Esto significaría que la mitad de lapoblación estudiantil consumió algunadroga durante el colegio secundario.

3. Cómo estimar el númerode peces en una laguna

Uno de los mayores deficiencias quetienen nuestros sistemas educativos,cuando se habla de matemática almenos, es que no se nos enseña aestimar. Sí. A estimar.

Eso sirve, en principio, para aprender adesarrollar el sentido común. ¿Cuántasmanzanas tiene una ciudad? ¿Cuántas

hojas puede tener un árbol? ¿Cuántosdías vive en promedio una persona?¿Cuántos ladrillos hacen falta paraconstruir un edificio? Para este capítulotengo esta propuesta: aprender a estimarla cantidad de peces que hay en undeterminado lago. Supongamos que unoestá en los alrededores de una laguna.Es decir, un cuerpo de agua deproporciones razonables. Uno sabe queallí es posible pescar, pero querríaestimar cuántos peces hay. ¿Cómohacer? Naturalmente, estimar no quieredecir contar. Se trata de poder adquiriruna idea de lo que hay. Por ejemplo, unopodría conjeturar que en la laguna haymil peces o que hay mil millones depeces. Obviamente, no es lo mismo.

Pero ¿cómo hacer? Vamos a hacer juntosuna reflexión. Supongamos que unoconsigue una red que pide prestada aunos pescadores. Y se pone a pescarhasta conseguir mil peces. Es importanteque cualquier procedimiento que se hagapara conseguir los mil peces no losmate, porque habrá que devolverlos alagua vivos. Lo que se haceinmediatamente una vez que uno lostiene todos, es pintarlos de un color queno se borre con el agua o marcarlos dealguna manera. Digamos que, para fijarlas ideas, los pintamos de amarillo. Losdevolvemos al agua y esperamos untiempo razonable, en donde "razonable"significa que les damos tiempo para quevuelvan a mezclarse con la población

que habitaba la laguna. Una vez queestamos seguros, volvemos a sacar conel mismo método, otra vez, mil peces.Claro, algunos de los peces queobtenemos ahora estarán pintados yotros, no. Supongamos, siempre a losefectos de hacer las cuentas más fáciles,que entre los mil que acabamos depescar ahora, aparecen sólo diezpintados de amarillo.

Esto quiere decir que diez entre mil esla proporción de peces pintados que hayen la laguna. (No avance si nocomprende este argumento. Si entendió,siga en el párrafo siguiente. Si no,piense conmigo. Lo que hicimos despuésde pintarlos es tirar los mil peces a la

laguna y darles tiempo a que se mezclencon los que había antes. Cuandovolvemos a sacar nuevamente mil peces,es porque ya les dimos tiempo para quese mezclaran todos y que no se noteninguna diferencia entre los quepintamos antes y los que quedaron en elagua.)

Cuando volvemos a extraer los milpeces y vemos que hay diez pintados deamarillo, quiere decir que diez de cadamil de los que hay en la laguna estánpintados. Pero si bien nosotros nosabemos cuántos peces hay, lo que sísabemos es cuántos peces pintados hay.Sabemos que son mil. Pero entonces, side cada mil, hay diez pintados (o sea,

uno de cada cien), y en la lagunasabemos que hay mil pintados, y que lospintados representan el uno por cientodel total de peces, entonces, esosignifica que el uno por ciento de lospeces que hay en la laguna es mil.Luego, en la laguna tiene que haber cienmil peces.

Este método, obviamente no exacto,provee una estimación, no una certeza.Pero, ante la imposibilidad de contartodos los peces que hay, es preferibletener una idea.

4. El problema del palomaro pigeon hole

Una de las cosas que hacen (hacemos)los matemáticos, es buscar patrones. Esdecir, buscar situaciones que se"repiten", se asemejan. Algo así comobuscar peculiaridades, o cosas quevarios objetos tengan en común. Así,tratamos de sacar algunas conclusiones(o teoremas) que permitan deducir queante ciertos antecedentes (si se verificanciertas hipótesis), se producen ciertosconsecuentes (se deduce tal tesis). Enlugar de conjeturar, justamente, enabstracto, déjenme mostrarles ciertosejemplos.

Si yo preguntara ¿cuántas personas tieneque haber en un cine para estarseguros... (dije seguros)... de que al

menos dos de ellos cumplen años elmismo día? (no quiere decir quehubieran nacido el mismo año, sólo quefestejen el cumpleaños el mismo día).(Por supuesto, ustedes piensen solos, sinleer la respuesta que sigue.)

Antes de escribir la respuesta, quieropensar un momento con ustedes (si esque no contestaron solos antes). Porejemplo: si hubiera dos personas,obviamente no hay garantías de que losdos cumplan años el mismo día. Lo másprobable es que no sea así. Pero másallá de probable o no probable, el hechoes que estamos buscando seguridades. Yhabiendo dos personas en la sala, nuncapodríamos estar seguros de que los dos

nacieron el mismo día.

Lo mismo sucedería si hubiera trespersonas. O incluso diez. O cincuenta.¿No? O cien. O doscientos. O inclusotrescientos. ¿Por qué? Bueno, porque sibien habiendo trescientas personasdentro de una sala, es probable que hayados que celebren sus cumpleañosrespectivos el mismo día, todavía nopodemos asegurar o garantizar que seacierto lo que queremos. Es quepodríamos tener la "mala" suerte de quetodos hubieran nacido en diferentes díasdel año.

Nos vamos acercando a un puntointeresante (y estoy seguro de queustedes ya se dieron cuenta de lo que

voy a escribir ahora). Porque si hubiera365 personas en la sala, todavía noestaríamos en condiciones de asegurarque dos cumplen años el mismo día.Podría suceder que todos hubierannacido en todos los posibles días de unaño. Peor aun: ni siquiera con 366 (porlos años bisiestos). Podría ser que justocon los 366 personas que tenemos en lasala, cubran exactamente todos losposibles días de un año sin repetición.

Sin embargo, hay un argumentocategórico: si en la sala hay 367personas, no hay manera de que seescapen: al menos dos tienen que soplarlas velitas el mismo día.

Claro: uno no sabe cuáles son esaspersonas (pero ésa no era la pregunta),ni tampoco si hay nada más que dos quecumplen con la propiedad pedida. Puedeser que haya más... muchos más, peroeso no nos interesa. La garantía es quecon 367 resolvemos el problema.

Ahora, teniendo en cuenta esta idea queacabamos de discutir, propongo otroproblema: ¿qué argumento podemosencontrar para demostrarle a alguien queen la ciudad de Buenos Aires hay, por lomenos, dos personas con el mismonúmero de pelos en la cabeza?

Claramente, la pregunta se podríacontestar rápido apelando a la gente"pelada". Seguro que en Buenos Aires

hay dos personas que no tienen pelo, ypor lo tanto, tienen el mismo número depelos: ¡cero! De acuerdo. Peroobviemos estos casos. Encontremos unargumento que convenza a quienpreguntó de lo que quiere saber, y sinapelar al recurso de cero pelos.

Antes de que yo escriba aquí larespuesta, una posibilidad es imaginarque si estoy proponiendo este problemaen este lugar, inmediatamente despuésde haber discutido el problema de loscumpleaños, es que alguna relación debehaber entre ambos. No es seguro, peroes muy probable. ¿Entonces? ¿Algunaidea?

Una pregunta, entonces: ¿tiene usted ideade cuántos pelos puede tener unapersona en la cabeza? ¿Alguna vez se locuestionó? No es que haga falta paravivir, pero... si uno tiene en cuenta elgrosor de un pelo y la superficie delcuero cabelludo de cualquier persona, elresultado es que no hay manera de quenadie tenga más de 200.000 pelos. Y esosería ya en el caso de King-Kong o algoasí. Es imposible imaginar una personacon 200.000 pelos. Pero, de todasformas, sigamos con la idea.

Con este dato nuevo ahora, ¿de qué sirvesaber que hay a lo sumo 200.000 pelosen la cabeza de una persona? ¿Qué hacercon él?

¿Cuántas personas viven en BuenosAires? ¿Alguna idea? De acuerdo con elcenso del año 2000, viven 2.965.403personas en la Ciudad de Buenos Aires.Para la solución del problema, no hacefalta tener el dato con tanta precisión.Basta con decir, entonces, que hay másde dos millones novecientas sesenta milpersonas. ¿Por qué con estos datos essuficiente? ¿Por qué este problema es elmismo ahora que el de los cumpleaños?¿Podrían tener acaso todos loshabitantes de Buenos Aires un diferentenúmero de pelos en la cabeza?

Creo que la respuesta clara. Juntandolos dos datos que tenemos (el de la cotasuperior de pelos que una persona puede

tener en su cabeza y el del número dehabitantes de la ciudad), se deduce queinexorablemente se tiene que repetir elnúmero de pelos entre personas. Y nosólo una vez, sino muchas, muchasveces. Pero esto ya no nos importa. Loque nos interesa es que podemoscontestar la pregunta.

MORALEJA: hemos usado un mismoprincipio para sacar dos conclusiones.Tanto en el problema del cumpleañoscomo en el de los pelos, hay algo encomún: es como si uno tuviera unnúmero de agujeritos y un número debolitas. Si uno tiene 366 agujeritos y367 bolitas, y las tiene que distribuirtodas, es inexorable que tenga que haber

por lo menos un agujerito que tiene dosbolitas. Y si uno tiene 200.000agujeritos y casi tres millones de bolitasque piensa repartir, se reproduce elmismo escenario: seguro que hayagujeritos con más de una bolita.

Este principio se conoce con el nombrede "pigeon hole principle", o principiodel "palomar". Si uno tiene un númerode nidos (digamos "n") y un número depalomas (digamos "m"), si el número mes mayor que el número n entonces tieneque haber por lo menos dos palomas enalgún nido.

5. Afinadores de piano (enBoston)

Gerardo Garbulsky fue un granproveedor de ideas y de material, nosólo para aportar historias al programade televisión, sino para mi vida engeneral y mis clases en la facultad, enparticular.

Gerardo y su mujer, Marcela, vivieronen Boston durante varios años. Se fueronde la Argentina inmediatamente despuésde la graduación de Gerardo comoLicenciado en Física en la Universidadde Buenos Aires. Luego, él se doctoró -también en Física- en el MIT(Massachussets Institute of Technology).

En un momento determinado, ya con eltítulo en la mano, se propuso dejar lavida académica y buscar algún contrato

en una empresa privada en dondepudiera utilizar sus capacidades. Y en labúsqueda de empleo, tropezó con unainstitución que, en la selección delpotencial personal que contrataría,sometía a los candidatos a una serie deentrevistas y tests.

En una de esas citas, en unaconversación mano a mano con unejecutivo de la empresa, éste le dijo quele haría algunas preguntas que tendían aestimar "el sentido común". Gerardo,sorprendido, no entendía bien de qué setrataba, pero se dispuso a escuchar.

-¿Cuántos afinadores de piano creeusted que hay en la ciudad de Boston?

(La entrevista se hacía ahí, en esaciudad de los Estados Unidos).

No se trataba, obviamente, de que élpudiera contestar con exactitud.Posiblemente nadie sepa con precisiónel número exacto de afinadores de pianoque hay en una ciudad. De lo que sí setrataba es que alguien que viviera en unaciudad pudiera estimar. No pretendíanque él dijera ni 23 ni 450.000. Pero síquerían escucharlo razonar. Y verlollegar a una conclusión. Supongamos,por un momento, que había alrededor demil. No querían que él concluyera ni 23ni 450.000, por supuesto, porquehubiera estado alejadísimo del númeroaproximado.

De la misma forma, si a una persona lepreguntaran cuál podría ser la máximatemperatura en un día en la ciudad deBuenos Aires, nadie va a decir 450grados, ni tampoco 150 grados bajocero. Se pretende, entonces, unaestimación. Pero mucho más aún: loquerían escuchar "razonar".

Mientras tanto, yo fui a buscar los datospara poder hacer mi propia conjetura. Ylos invito a seguirla. En el momento enel que estoy escribiendo estas líneas(mayo de 2005), viven en Bostonaproximadamente 589.000 personas yhay unas 250.000 casas. Entonces, hastaaquí:

Personas: 600.000

Casas: 250.000

Aquí uno tiene que conjeturar otra vez.¿Cada cuántas casas uno diría que hayun piano? ¿Cien? ¿Mil? ¿Diez mil? Yovoy a elegir cien, que es lo que me dejamás satisfecho.

Luego, con 250.000 casas, y un pianocada cien, eso significa que estoysuponiendo que en Boston hay 2.500pianos. Ahora bien: hace falta volver ahacer una nueva estimación. Cadaafinador, ¿cuántos pianos atiende?¿Cien? ¿Mil? ¿Diez mil? Otra vez, voy ahacer mi propia estimación, y vuelvo aelegir cien. Luego, si hay 2.500 pianos,y cada afinador atiende cien pianos (en

promedio, obviamente), resulta que hay,de acuerdo con mis conjeturas,aproximadamente 25 afinadores depiano.

Otra anécdota dentro del mismocontexto. Luego de la preselección,invitaron a todos los precandidatos a unencuentro de capacitación en el BabsonCollege. Cada postulante debería pasartres semanas completas (de lunes asábado) asistiendo a cursos y seminariospreparatorios. Para ello, unas semanasantes de la cita, cada uno de ellosrecibió una caja que contenía varioslibros.

Gerardo, al recibir la caja en su casa yver el contenido, tuvo que hacer una

nueva estimación: descubrió que si elobjetivo era que leyera todos los libros"antes" de tener que presentarse en elBabson College, eso sería una tareaimposible. Haciendo un cálculo más omenos elemental, descubrió que aunqueleyera día y noche, y no hiciera ningunaotra cosa, no podría terminar con todos(ni mucho menos). Entonces, optó porleer en forma "selectiva". Eligió "quéleería" y "qué no". De alguna forma,trató de separar lo "importante" de lo"accesorio".

El objetivo, que descubrió más adelante,es que la empresa quería mandar unmensaje más: "es imposible que un serhumano pueda hacer el ciento por ciento

de las cosas que tiene que hacer. Lo queimporta es ser capaz de seleccionar elveinte por ciento más importante, paracubrir los temas más relevantes, y evitardedicarle un tiempo más largo al 80%de los temas que son menos relevantes".

En todo caso, fue una lección más.

6. Aldea global

Si pudiéramos en este momento encogerla población de la Tierra hasta llevarlaal tamaño de una villa de exactamentecien personas, manteniendo todas lasproporciones humanas existentes en laactualidad, el resultado sería elsiguiente:

• Habría 57 asiáticos, 21 europeos, 14americanos y 8 africanos

• 70 serian no blancos; 30 blancos

• 70 serían no cristianos; 30 cristianos

• 50% de la riqueza de todo el planetaestaría en manos de seis personas. Losseis serían ciudadanos de los EstadosUnidos

• 70 serian analfabetos

• 50 sufrirían de malnutrición

• 80 habitarían viviendas deconstrucción precaria

• Sólo uno tendría educación de niveluniversitario.

¿No es cierto que creíamos que laHumanidad había alcanzado un mayornivel de desarrollo?

Estos datos corresponden a unapublicación de las Naciones Unidas del10 de agosto de 1996. Si bien hanpasado casi diez años, no dejan de serdatos sorprendentes.

Historia de las patentes de losautomóviles

En la Argentina, hasta hace algunosaños, los autos tenían en las "chapaspatentes" que los identificaban, una

combinación de una letra y luego seis osiete números.

La letra se utilizaba para distinguir laprovincia. El número que seguíaidentificaba el auto. Por ejemplo, una"chapa patente" de un auto radicado enla provincia de Córdoba era así:

X357892

Y uno de la provincia de San Juan,

J243781

Los de la provincia de Buenos Aires ylos de la Capital Federal comenzaron apresentar un problema. Como el parqueautomotor superaba el millón de

vehículos, se utilizaba, aparte de la letraB para Buenos Aires y C para laCapital, un número que ahora consistíaen siete dígitos. Por ejemplo, se podíanver por la calle autos con patentes comoéstas:

B 1 793852

C 1 007253

Es decir, se necesitaba "empequeñecer"el número después de la letra (queindicaba a "qué millón" pertenecía elauto) porque ya no había más espaciodisponible.

Toda esta introducción es para presentar

la "solución" que se encontró. Sepropuso cambiar todo el sistema depatentamiento de vehículos del país, yutilizar tres letras y tres dígitos.

Por ejemplo, serían patentes posibles:

NDC 378

XEE 599

La idea era conservar la primera letracomo identificatoria de la provincia yaprovechar que, como el número deletras en el alfabeto es mayor que elnúmero de dígitos, se tendría la cantidaddeseada de "patentes" para resolver elproblema. Ahora bien: antes de exhibirqué tropiezo tuvieron las autoridades

que decidieron hacer la modificación,quiero que pensemos juntos cuántaspatentes se pueden escribir de estaforma.

Piensen en la información que viene enuna "chapa patente": se tienen tres letrasy tres números. Pero como la primeraletra va a estar fija para cada provincia,en realidad, hay dos letras y tresnúmeros con los que "jugar" en cadaprovincia.

Si el número de letras que tiene elalfabeto castellano (excluyendo la "ñ")es veintiséis, ¿cómo hacer para contarlos pares diferentes que se puedenformar? En lugar de mirar la respuestaque voy a escribir en las siguientes

líneas, piensen (un poquito) solos.

Una ayuda: los pares podrían ser AA,AB, AC, AD, AE, AF, .... AX, AY, AZ(o sea, hay 26 que empiezan con la letraA). Luego, seguirían (si los pensamosordenadamente) BA, BB, BC, BD, BE,..., BX, BY, BZ (otra vez 26, que son losque empiezan con la letra B). Podríamosahora escribir los que empiezan con laletra C, y tendríamos otros 26. Y asísiguiendo. Entonces, por cada letra paraempezar, tenemos 26 posibilidades paraaparear. O sea, hay en total, 26 x 26 =676 pares de letras.

Ya hemos contabilizado todas lascombinaciones posibles de tres letras.

La primera identifica la provincia, ypara las dos siguientes tenemos 676posibilidades.

Ahora, nos falta "contar" cuántasposibilidades tenemos para los tresnúmeros. Pero esto es más fácil.¿Cuántas temas se pueden formar contres números? Si uno empieza con laterna

000 y sigue, 001, 002, 003, hasta llegara 997, 998, 999. El total es entonces1.000 (mil) (¿entiende por qué es mil yno 999?) (si quieren pensar solos,mejor. Si no, piensen que las ternascomienzan en el "triple cero"). Yatenemos todas las herramientas quenecesitamos.

Cada provincia (luego, eso fija laprimera letra) tiene 676 posibilidadespara las letras y mil posibilidades paralas ternas de números. En total,entonces, hay 676.000 combinaciones.Como ustedes advierten, este númerohubiera sido suficiente para algunasprovincias de la Argentina, pero no paralas más pobladas y mucho menos, con laidea de resolver el problema que habíaoriginado todo el cambio.

¿Qué solución encontraron entonces,luego de haber hecho la campaña para"modernizar" el patentamiento y"actualizar" la base de datos del parqueautomotor? Tuvieron que "liberar" la

primera letra. En ese caso, cuando ya nohay restricción para la primera letra(que no necesita estar asociada a unaprovincia) hay entonces 26posibilidades más para cada una de las676.000 combinaciones de los "cinco"lugares restantes (las dos letras y lostres dígitos).

Luego, el número total es

26 x 676.000 = 17.576.000

Con más de 17 millones de "chapaspatentes" disponibles, no hay másconflictos. Eso sí: ya no se sabe a quéprovincia pertenece cada auto. Y porotro lado, no queda claro quiénes fueronlos que hicieron las cuentas iniciales

que ocasionaron semejante escándalo.Todo por no hacer una cuenta trivial.

7. ¿Cuánta sangre hay en elmundo?

Para tener una idea de los números quenos rodean, queremos saber cómoestimar la cantidad de sangre que hay enel mundo. Hagamos el siguiente cálculo:¿Cuánta sangre circula por el cuerpo deuna persona adulta? La cantidad es,obviamente, variable, dependiendo dediferentes circunstancias, pero si unoquiere hacer una estimación por exceso,es decir, si uno trata de evaluar lomáximo posible, digamos que una cotasuperior es de cinco litros (y sé que

estoy escribiendo una barbaridad porqueel promedio está mucho más cerca decuatro que de cinco litros. Pero noimporta. Se trata de una estimación). Unniño, en cambio, tieneconsiderablemente menos, pero, aun así,voy a suponer que toda persona, adulta ono, tiene cinco litros en su cuerpo.Sabemos que hay un poco más de 6 milmillones de personas en el mundo (enrealidad, se estima que ya somosalrededor de 6.300 millones).

Luego, 6 mil millones a cinco litros porpersona resultan un total (aproximado,claro), de 30 mil millones de litros desangre en el mundo.

0 sea, si somos

6.000.000.000 = 6 x 10 9 (personas)

multiplicando por cinco, se tiene:

30.000.000.000 = 30. 10 9 litros desangre

Por otro lado,

cada 10 3 litros = 1.000 litros = 1 m 3 (*)

Luego, si queremos averiguar cuántosmetros cúbicos de sangre hay, sabiendoque hay 30 mil millones de litros, hayque usar la conversión (*):

{30 x 10 9 litros} / {10 3 litros} = x [m 3

]

en donde x representa nuestra incógnita.Luego

x = 30 x 10 6 = 30.000.000

Por lo tanto, hay 30 millones de metroscúbicos de sangre.

Si uno quiere tener una mejor idea de loque esto representa, supongamos queuno quisiera poner toda esta sangre enun cubo. ¿De qué dimensiones tendríaque ser el cubo? Para eso, lo quenecesitamos, es conseguir la raíz cúbicadel número x.

3 v(x) = 3 v30 * 10 2 ˜ 3,1 * 10 2

(ya que la raíz cúbica de 30 esaproximadamente igual a 3,1).

Luego, si fabricamos un cubo de 310metros de lado, cabría toda la sangreque hay en el mundo. No parece tanto,¿no? Para tener otra referencia de cuántorepresenta este número, consideremos ellago Nahuel Huapi, en el sudoeste de laArgentina. Este lago tieneaproximadamente 500 km 2 desuperficie. La pregunta ahora es: si leagregáramos al lago toda la sangre quehay en el mundo, ¿en cuánto aumentaríasu altura?

Para poder hacer la estimación,supongamos que el lago fuera como una

caja de zapatos. ¿Cómo se calcula elvolumen? Se multiplica la superficie dela base por la altura de la caja. En es tecaso, sabemos que la base es de 500kilómetros cuadrados. Y sabemos que levamos a agregar un volumen de 30millones de metros cúbicos. Lo quenecesitamos es averiguar en cuántoaumentó la altura (que vamos a llamarh).

Escribiendo las ecuaciones se tiene:

500 km 2 * h = 30 * 10 6 m 3

500 * 10 6 m 2 * h = 30 * 10 6 m 3

(en donde hemos usado la fórmula que

dice que 1 km 2 = 10 6 m 2 )

Luego, despejando h de la ecuación, setiene:

h = (30 * 10 6 m 3 ) / (500 * 10 6 m 2 ) =(3/50) m = 0, 06 m = 6 cm

Es decir que después de todas estascuentas, la estimación que hicimos nospermite afirmar que si tiráramos en ellago Nahuel Huapi toda la sangre quehay en el mundo, la altura del lago sólose incrementaría en... ¡6 centímetros!

MORALEJA: o bien hay muy pocasangre en el mundo, o bien, haymuchísima... pero muchísima agua.

8. Probabilidades decumpleaños

Ya sabemos que debería haber 367personas en una habitación para poderafirmar que al menos dos personascumplen años el mismo día.

Ahora, cambiamos la pregunta: ¿Quépasaría si nos quedáramos contentos conque la probabilidad de que haya dos quecumplan años el mismo día, sea mayorque 1/2? O sea, si nos satisface consaber que el porcentaje de posibilidadeses mayor que el 50%, ¿cuántas personasdebería haber?

Mirémoslo de esta manera: si hubiera

dos personas, la probabilidad de que nohayan nacido el mismo día se calculaasí:

(365/365) * (364/365) = (364/365) =0,99726...

¿Por qué se calcula así la probabilidad?Elijamos una persona cualquiera. Esapersona nació uno de los 365 días delaño (estamos obviando los añosbisiestos, pero la cuenta serviría igual siincluyéramos 366 días). De todasformas, esa persona tuvo que habernacido uno de los 365 días del año.

Ahora bien, si elegimos otra persona,¿cuántos casos posibles hay de que nohayan nacido el mismo día?

Es lo mismo que calcular cuántos paresde días distintos se pueden elegir en elaño. En cualquier orden. Es decir, parael primero, hay 365 posibilidades. Parael segundo en el par, quedan 364 (ya quealguno tuvo que haber sido usado para laotra persona).

Por lo tanto, los casos favorables en elcaso de dos personas (donde favorablesignifica que no hubieran nacido elmismo día), es de

365 * 364 = 132.860

¿Y cuántos son los casos posibles?Bueno, los casos posibles son todos losposibles pares de días que se puedanformar en el año. Por lo tanto, son

365 * 365 = 133.225

Luego, si la probabilidad de que unevento ocurra se calcula dividiendo loscasos favorables sobre los casosposibles, se tiene:

(365.364) / (365.365) =132.860/133.225 = 0,997260273973...

Si ahora tuviéramos tres personas yqueremos que ninguna de las tres hayanacido el mismo día, los casosfavorables ahora son todas las posiblesternas de días del año sin repetición. Osea

365 * 364 * 363 = 48.228.180

¿Por qué? Porque para el primer lugar(o para una de las personas) hay 365posibilidades. Para la segunda persona,ahora quedan 364 posibilidades (ya queno queremos que coincida con el de laprimera). O sea, como vimos antes, 365.364. Y ahora, para la tercera persona,los días posibles que quedan para norepetir son 363.

Por lo tanto, las ternas posibles sinrepetir el día son:

365 * 364 * 363

En cambio, los casos posibles, o sea, lasternas posibles de días que podernoselegir en el año son:

365 * 365 * 365 = 365 3 = 48.627.125

Luego, la probabilidad de que dadas trespersonas ninguna de las tres haya nacidoel mismo día es:

(365 * 364 * 363)/365 3 =0,991795834115...

Si siguiéramos con cuatro personas, loscasos posibles de cuaternas de días delaño sin repetir son:

365 * 364 * 363 * 362 = 17.458.601.160

y los casos posibles son:

365 * 365 * 365 * 365 = 365 4 =17.748.900.625

Es decir, la probabilidad de que cuatropersonas hubieran nacido en cuatro díasdiferentes del año es:

(365 * 364 * 363 * 362)/365 4 =17.458.601.160117.748.900.625 =

0,983644087533...

Si uno siguiera con este proceso,¿cuántas veces tendría que iterarlo paraque la probabilidad de que ningún parde personas del grupo que cumplió añosel mismo día sea inferior a 1/2 = 0,5?

La respuesta es 23 y, por lo tanto, si unoelige cualquiera de un grupo de 23personas, la probabilidad de que hayados que cumplan años el mismo día essuperior al 50%... Será cuestión de

hacer la prueba...

Así siguiendo es que intentamos llegar aque el número que resulte de estecociente sea menor que 0,5. A medidaque uno aumenta el número de personas,la probabilidad de que hubieran nacidoen días diferentes va disminuyendo. Y elnúmero que encontramos más arribaindica que cuando uno tiene 23personas, la probabilidad de que hayannacido en días diferentes es menor que1/2. O dicho de otra manera: si uno tieneun grupo al azar de 23 personas, laprobabilidad de que dos hayan nacido elmismo día es mayor que 1/2. O si ustedprefiere, sus chances son mayores que el50%. Y este dato, fuera del contexto que

estamos analizando, era impensable, ¿noles parece?

Y si quieren poner esto a prueba, lapróxima vez que participen de unpartido de fútbol (once jugadores porequipo, un árbitro y dos jueces de línea),hagan el intento. Tienen más de 50% deposibilidades de que con las 25personas haya dos que cumplan años elmismo día. Como esto es claramenteanti-intuitivo para muchos de los queparticipen del partido, quizás ustedespuedan ganar alguna apuesta.

9. Moneda cargada

Cada vez que hay una disputa sobre algo

y hay que tomar una decisión entre dosposibilidades, se suele recurrir a tiraruna moneda al aire.

Sin que uno lo explicite en cadaoportunidad, está claro que uno acepta(sin comprobar) que la moneda no estácargada. Es decir: uno supone que laprobabilidad de que salga cara o ceca esla misma. Y esta probabilidad es 1/2, ola mitad de las veces.

Hasta aquí, nada nuevo. Ahora,supongamos que uno tiene que decidirtambién entre dos posibilidades, y tieneuna moneda, pero, a diferencia delplanteo anterior, a uno le dicen que lamoneda está cargada. No es que tengados caras o dos cecas. No. Decir que

está cargada, es decir que laprobabilidad de que salga cara es Pmientras que la posibilidad de que salgaceca es Q, pero uno no sabe que P y Qson iguales.

En todo caso, supongamos dos cosasmás:

1. P + Q = 12. P ≠ 0 y Q ≠ 0

La parte (a) dice que si bien P y Q notienen por qué ser iguales a 1/2 como enel caso de una moneda común, la sumade las probabilidades da uno. Es decir,o bien sale cara o bien sale ceca. Laparte (b) garantiza que la moneda noestá cargada de tal manera que siempre

salga cara o siempre salga ceca.

La pregunta es: ¿cómo hacer para poderdecidir entre dos alternativas cuandouno tiene una moneda de estascaracterísticas? La respuesta, en lapágina de soluciones.

Capítulo 5. Problemas

1. Pensamiento lateral

¿Qué es el pensamiento lateral?

En la página de Internet de Paul Sloane(http://rec-puzzles.org/lateral.html), seda la siguiente explicación:

A uno le presentan un problema que nocontiene la información suficiente parapoder descubrir la solución. Paraavanzar se requiere de un diálogo entrequien lo plantea y quien lo quiereresolver.

En consecuencia, una parte importante

del proceso es hacer preguntas. Las tresrespuestas posibles son: sí, no oirrelevante. Cuando una línea depreguntas se agota, se necesita avanzardesde otro lugar, desde una direccióncompletamente distinta. Y aquí escuando el pensamiento lateral hace supresentación. Para algunas personas, esfrustrante que un problema "admita " o"tolere " la construcción de diferentesrespuestas que "superen " el acertijo.Sin embargo, los expertos dicen que unbuen problema de pensamiento lateral esaquél cuya respuesta es la que tiene mássentido, la más apta y la mássatisfactoria. Es más: cuando unofinalmente accede a la respuesta sepregunta "cómo no se me ocurrió”.

La lista de problemas de este tipo másconocida es la siguiente:

1. EL HOMBRE EN EL ASCENSOR.Un hombre vive en un edificio en eldécimo piso (10). Todos los díastoma el ascensor hasta la plantabaja para ir a su trabajo. Cuandovuelve, sin embargo, toma elascensor hasta el séptimo piso yhace el resto del recorrido hasta elpiso en el que vive (el décimo) porlas escaleras. Si bien el hombredetesta caminar, ¿por qué lo hace?

2. EL HOMBRE EN EL BAR. Unhombre entra en un bar y le pide albarman un vaso de agua. El barmanse arrodilla buscando algo, saca un

arma y le apunta al hombre que leacaba de hablar. El hombre dice"gracias" y se va.

3. EL HOMBRE QUE SE "AUTOESTRANGULÓ”. En el medio deun establo completamente vacío,apareció un hombre ahorcado. Lacuerda alrededor de su cuelloestaba atada a un andamio deltecho. Era una cuerda de tresmetros. Sus pies quedaron a unmetro de altura del piso. La paredmás cercana estaba a siete metrosdel muerto. Si escalar las paredes otreparse al techo es imposible,¿cómo hizo?

4. HOMBRE EN UN CAMPOABIERTO CON UN PAQUETE

SIN ABRIR. En un campo seencuentra un señor tendido, sinvida. A su lado hay un paquete sinabrir. No hay ninguna otra criaturaviva en el campo. ¿Cómo murió?

5. EL BRAZO QUE LLEGÓ PORCORREO. Un hombre recibió unpaquete por correo. Lo abriócuidadosamente y encontró el brazode un hombre adentro. Lo examinó,lo envolvió nuevamente y lo mandóa otro hombre. Este segundohombre examinó el paquete quecontenía el brazo muycuidadosamente también, y luego,lo llevó hasta un bosque en dondelo enterró. ¿Por qué hicieron esto?

6. DOS AMIGOS ENTRAN A

COMER EN UN RESTAURANTE.Los dos lograron sobrevivir alnaufragio de un pequeño barco endonde viajaban ambos y el hijo deuno de ellos. Pasaron más de unmes juntos, en una isla desiertahasta que fueron rescatados. Losdos ordenan el mismo plato delmenú que se les ofrece. Una vezque el mozo les trae la comida,comienzan a comer. Uno de ellos,sin embargo, ni bien prueba elprimer bocado sale del restaurantey se pega un tiro. ¿Por qué?

7. UN HOMBRE VA BAJANDOLAS ESCALERAS DE UNEDIFICIO cuando adviertesúbitamente que su mujer acaba de

morir. ¿Cómo lo sabe?8. LA MÚSICA SE DETUVO. La

mujer se murió. Explíquelo.9. EN EL FUNERAL DE LA MADRE

DE DOS HERMANAS, una deellas se enamora profundamente deun hombre que jamás había visto yque estaba prestando suscondolencias a los deudos. Las doshermanas eran las únicas quequedaban ahora como miembros deesa familia. Con la desaparición dela madre ellas dos quedaban comoúnicas representantes. Después delfuneral y ya en la casa de ambas,una hermana le cuenta a la otra loque le había pasado (y le estabapasando con ese hombre) del que

no sabía quién era y nunca habíavisto antes. Inmediatamentedespués, mata a la hermana. ¿Porqué?

Más bibliografía sobre el tema enhttp://rinkworks.com/brainfood/lateral.shtml

2. Problema de los tresinterruptores

Entre todos los problemas que requierenpensamiento lateral, éste es el que másme gusta.

Quiero aclarar que no tiene "trampas",no tiene "gato encerrado". Es unproblema que, con los datos que se

brindan, uno debería estar encondiciones de resolverlo. Aquí va.

Se tiene una habitación vacía conexcepción de una bombita de luzcolgada desde el techo. El interruptorque activa la luz se encuentra en la parteexterior de la habitación. Es más: nosólo hay un interruptor, sino que hay tresiguales, indistinguibles. Se sabe quesólo una de las "llaves" activa la luz (yque la luz funciona, naturalmente).

El problema consiste en lo siguiente: lapuerta de la habitación está cerrada. Unotiene el tiempo que quiera para "jugar"con los interruptores. Puede hacercualquier combinación que quiera conellos, pero puede entrar en la habitación

sólo una vez. En el momento de salir,uno debe estar en condiciones de poderdecir: "ésta es la llave que activa laluz". Los tres interruptores son iguales yestán los tres en la misma posición: lade apagado.

Para aclarar aún más: mientras la puertaestá cerrada y uno está afuera, puedeentretenerse con los interruptores tantocomo quiera. Pero habrá un momento enque decidirá entrar en la habitación. Nohay problemas. Uno lo hace. Perocuando sale, tiene que poder contestar lapregunta de cuál de los tres interruptoreses el que activa la lamparita.

Una vez más: el problema no tiene

trampas. No es que se vea por debajo dela puerta, ni que haya una ventana que daal exterior y que le permita a uno verqué es lo que pasa adentro, nada de eso.El problema se puede resolver singolpes bajos.

Ahora les toca a ustedes.

3. 128 participantes en untorneo de tenis

En un torneo de tenis se inscriben 128participantes.

Como es bien sabido, se juega porsimple eliminación. Es decir: el jugadorque pierde un partido queda eliminado.

La pregunta es: ¿cuántos partidos sejugaron en total hasta definir elcampeón?

La solución aparece en el apéndice desoluciones.

4. Problema de las trespersonas que entran en unbar y tienen que pagar con30 pesos una cuenta de 25

Tres personas entran en un bar. Los treshacen su pedido y se disponen a comer.En el momento de pagar, el mozo trae lacuenta que suma exactamente 25 pesos.Los tres amigos decidan compartir lo

consumido y dividir el total. Para ello,cada uno mete la mano en su bolsillo ysaca un billete de 10 pesos. Uno deellos, junta el dinero y le entrega almozo los 30 pesos.

El mozo vuelve al rato con el vuelto:cinco billetes de un peso. Decidendejarle al mozo dos pesos de propina yse reparten los tres pesos restantes: unopara cada uno.

La pregunta es: si cada uno de ellospagó 9 pesos (el billete de 10 que habíapuesto menos el peso de vuelto que sellevó cuando volvió el mozo), como sontres, a 9 pesos cada uno, pagaron 27pesos. Si a ello le sumamos los dospesos de propina que se llevó el mozo,

los 27 más los dos pesos, suman ¡29pesos! ¿Dónde está el peso que falta?

La respuesta está en la página desoluciones.

5. Antepasados comunes

Para aquellos que creen en la historia deAdán y Eva, tengo una preguntainteresante. Pero para aquellos que nocreen, la pregunta puede ser inquietantetambién.

Aquí va: cada uno de nosotros nació porla unión de nuestros padres. A su vez,cada uno de ellos, tuvo dos padrestambién (y mientras la ciencia no avance

hasta clonar individuos, hasta aquísiempre fue necesaria la existencia de unhombre y una mujer para procrear... enel futuro, no lo sé, pero hasta hoy, es yfue así). Es decir: cada uno de nosotrostiene (o tuvo) cuatro abuelos. Y ochobisabuelos. Y dieciséis tatarabuelos. Yparo por un segundo aquí.

Como se puede advertir, cada salto degeneración resulta en una multiplicaciónpor dos del número de antepasados quetuvieron que intervenir para nuestronacimiento.

O sea:

1 = 2 0 = ustedes

2 = 2 1 = sus padres (madre y padre)

4 = 2 2 = sus abuelos (maternos ypaternos)

8 = 2 3 = bisabuelos

16 = 2 4 = tatarabuelos

32 = 2 5 (contando las madres y padresde sus tatarabuelos)

64 = 2 6

128 = 2 7

256 = 2 8

512 = 2 9

1.024 = 2 10

Supongamos que tuvieron que pasar 25años (en promedio) para que cadageneración procreara. Es decir, parallegar a diez generaciones hacia atrás,tuvieron que pasar alrededor de 250años. Esto significa que hace 250 años(aproximadamente) cada uno denosotros tenía más de mil (1.024 paraser exactos) antepasados, o personasque terminarían relacionadas connosotros.

Ahora bien: en este momento somosalrededor de seis mil millones de

personas (en realidad, alrededor de6.300 millones). Si esto fuera así, sicada personas tuvo hace 250 años másde mil antepasados, la población de laTierra hace dos siglos y medio tuvo quehaber sido de más de ¡seis billones depersonas! (aquí, un billón es un millónde millones).

Y eso es imposible, porque si uno revisala literatura existente, los datos señalanque la población de la Tierra alrededorde 1750 oscilaba entre 600 y 900millones de personas.

(cf. http://wwwcensus.gov/lpc/www/worldhis. html).

Es decir, en alguna parte tiene que haber

un "quiebre" del argumento. ¿En dóndeestá el error? ¿Qué es lo que estamospensando mal?

Vale la pena pensar el problema ybuscar la respuesta -eventualmente- enel apéndice de soluciones.

6. Problema de Monty Hall

En un programa de televisión, elconductor hace pasar a su invitado acompetir por el premio mayor: unautomóvil cero kilómetro. En el estradohay tres puertas cerradas. Detrás de dosde esas puertas, hay una foto de unchivo. En cambio, detrás de la tercerahay una reproducción del vehículo. El

participante tiene que elegir una de lastres puertas. Y si elige la correcta, sequeda con el automóvil.

Hasta aquí, no habría nada original.Sería un programa convencional depreguntas y acertijos de los múltiplesque existen en la televisión. Pero elproblema tiene un agregado. Una vezque el invitado "elige" una de las trespuertas, el conductor del programa, quesabe detrás de cuál está el premio,pretende colaborar con el participante, ypara hacerlo, "abre" una de las puertasen las que él sabe que no está elautomóvil.

Y después le ofrece una nueva chancepara elegir. ¿Cuál es la mejor

estrategia? O sea, ¿qué es lo que más leconviene al participante? ¿Quedarse conlo que había elegido antes? ¿Cambiar depuerta? ¿O es irrelevante a los efectosde incrementar la probabilidad deganar?

En este punto, yo les sugiero queabandonen la lectura por un momento yse concentren en pensar qué harían. Yluego, sí, vuelvan para corroborar si loque pensaron estaba bien o habíaalgunas otras cosas para considerar.

(Ahora los imagino recién retornados.)

El problema presenta una arista anti-intuitiva. ¿Por qué? Porque la tentaciónes contestar lo siguiente: ¿qué

importancia tiene que cambie o nocambie una vez que quedan dos puertasso lamente? Uno sabe que detrás de unade las dos está el automóvil, y en todocaso, la probabilidad de que esté detrásde una o de otra es la mitad.

Pero, ¿es verdad esto? Porque enrealidad, más allá de la solución (quevoy a escribir en la página desoluciones), los invito a pensar losiguiente: ¿podemos ignorar que elproblema no empezó con la segundapregunta sino que en principio había trespuertas y la probabilidad de acertar era1 en 3?

La respuesta, entonces, un poco másadelante.

7. Sentido común

¿Prestaron atención alguna vez a las"bocas de tormenta" que están en lascalles? ¿Vieron que algunas veces losoperarios las levantan y descienden paraarreglar las cañerías? ¿Por qué es mejorque sean redondas y no cuadradas orectangulares? La respuesta, en la páginade soluciones.

8. El acertijo de Einstein

Einstein escribió este acertijo en el siglopasado y dijo que el 98% de lapoblación mundial no lo podríaresolver. No creo que sea difícil. Es

cuestión de tener paciencia e interés enllegar a la respuesta. Aquí va.

Se tienen cinco casas de cinco coloresdiferentes. En cada una de las casas viveuna persona con una nacionalidaddistinta. Cada uno de los dueños bebe undeterminado tipo de bebida, fuma unadeterminada marca de cigarrillos y tieneuna determinada mascota. Ningún dueñotiene ni la misma mascota. ni fuma lamisma marca de cigarrillos ni bebe lamisma bebida.

La pregunta es: ¿quién es el dueño delpececito? Claves:

1. El británico vive en la casa roja.2. El sueco tiene un perro como

mascota.3. El danés toma te.4. La casa verde esta a la izquierda de

la casa blanca.5. El dueño de la casa verde toma

café.6. La persona que fuma Pall-Mall

tiene un pájaro.7. El dueño de la casa amarilla fuma

Dunhill.8. El que vive en la casa del centro

toma leche.9. El noruego vive en la primera casa.

10. La persona que fuma Blends vivejunto a la que tiene un gato.

11. La persona que tiene un caballovive junto a la que fuma Dunhill.

12. El que fuma Bluemasters bebe

cerveza.13. El alemán fuma Prince.14. El noruego vive junto a la casa

azul.15. El que fuma Blends tiene un vecino

que toma agua.

9. Problema de las velas

Éste es un problema para pensar. Ycomo siempre no hay trampa. No hayque resolverlo YA . Tómense un ratopara leer el texto y si no se les ocurre lasolución, no desesperen. Tener algopara pensar es una manera de disfrutar.La solución está en el apéndice desoluciones, pero les sugiero que novayan corriendo a leerla.

En todo caso, el crédito le correspondea Ileana Gigena, la sonidista delprograma Científicos IndustriaArgentina. Una tarde, cuando meescuchó proponiendo cosas para pensarque yo dejaba planteadas al finalizar unprograma y que terminaría resolviendoen el siguiente, salió de su cutícula y medijo:

-Adrián, ¿conocés el problema de lasvelas?

-No -le dije-. ¿Cuál es?

Y me planteó lo siguiente para quepensara. Ahora, la comparto conustedes:

Se tienen dos velas iguales, de maneratal que cada una tarda exactamente unahora en consumirse. Si uno tiene quemedir quince minutos y no tienecronómetro, ¿cómo tiene que hacer paraaprovechar lo que sabe de las velas?

Ella me aclaró, además, que no se laspuede cortar con un cuchillo ni se laspuede marcar. Sólo se puede usar elencendedor y los datos que se tienensobre cada vela.

10. Sombreros (parte 1)

En una cárcel (para hacerlo un poco másemocionante y dramático) hay tresreclusos, digamos A, B y C. Se supone

que los tres han tenido buena conducta yel director de la institución quierepremiarlos con la libertad.

Para eso, les dice lo siguiente:

Como ven (y les muestra) tengo aquícinco sombreros. Tres blancos y dosnegros. Lo que voy a hacer esseleccionar tres de ellos (sin queustedes puedan ver cuales elegí) y se losvoy a repartir. Luego de que cada uno deustedes tenga su respectivo sombrero,les voy a poner a los tres en la mismahabitación de manera que cada unopueda ver el sombrero que tienen puestolos otras dos, pero no el propio.

Después, yo voy a empezara interrogar a

uno por uno. Cada uno tendrá laoportunidad de decirme qué color desombrero tiene, pero sin adivinar niarriesgar. Cada uno tiene quefundamentar su opinión. Cuando uno nopuede justificar su opinión, tiene quepasar. Si al finalizar la ronda, ningunoerró y al menos uno de los tres contestócorrectamente, entonces quedarán enlibertad.

Está claro, además, que ninguno deustedes puede hablar con los otros dos,ni comunicarse mediante gestos niestablecer ninguna estrategia. Se trata decontestar lealmente.

Por ejemplo.- si yo eligiera lossombreros negros y se los diera a A y a

C, y empezara preguntándole a A quésombrero tiene, A, al ver que B tiene unsombrero blanco y C uno negro, nopodría decidir, y tendría que pasar. PeroB, al ver que tanto A como C llenen unsombrero negro, y que en total había dosde ese color, está seguro de que tienesombrero de color blanco y podríacontestar correctamente.

Una vez que las reglas estuvieron claras,los separó a los tres. Los puso en treshabitaciones diferentes, y eligió (comoera previsible) los tres sombrerosblancos.

Luego, los hizo pasar a una habitacióncomún y empezó a preguntar:

-¿Qué color de sombrero tiene? -lepreguntó a A.

-No lo sé, señor -dijo A, al ver conpreocupación que tanto B como C teníanambos sombreros blancos.

-¿Entonces?

-Entonces --dijo A-, paso.

-Bien. ¿Y usted? -siguió preguntando eldirector dirigiendo su pregunta a B.

-Señor, yo también tengo que pasar. Nopuedo saber qué color de sombrerotengo.

-Ahora, sólo me queda por preguntarle a

uno de ustedes: a C. ¿Qué color desombrero tiene?

C se tomó un tiempo para pensar. Mirode nuevo. Después cerró un instante losojos. La impaciencia crecía alrededorde él. ¿En qué estaría pensando C? Losotros dos reclusos no podíanpermanecer en silencio mucho más. Sejugaba la libertad de los tres en larespuesta de C.

Pero C seguía pensando. Hasta que en unmomento, cuando el clima ya erairrespirable, dijo: "Bien, señor. Yo sípuedo afirmar algo: mi color desombrero es blanco".

Los otros dos reclusos no podían

entender cómo había hecho, pero lohabía dicho: ellos lo escucharon. Ahora,sólo quedaba que lo pudiera explicarpara poder garantizar la libertad detodos. Ambos contenían la respiraciónesperando lo que un instante antesparecía imposible: que C pudierafundamentar su respuesta. Ambos sabíanque lo que dijo era cierto, pero faltaba...faltaba nada menos que lo pudieraexplicar.

Y eso fue lo que hizo C y que invito aque piensen ustedes. Si no se les ocurrela respuesta, pueden encontrarla al finaldel libro.

11. Sombreros (2): Sobre

cómo mejorar unaestrategia

Se tiene ahora el siguiente problema,también ligado a sombreros de colorblanco y negro:

Una vez más, supongamos que hay tresreclusos en una cárcel: A, B y C. Eldirector decidió premiarlos por buenaconducta. Pero también quiso poner aprueba la capacidad de deducción quelos tres pudieran tener. Y les propusoentonces lo siguiente. Los convocó a lostres en una habitación y les dijo:

-Como ven, tengo aquí una pila desombreros blancos y otra de sombreros

negros, -mientras con su dedo apuntabahacia dos hileras verticales desombreros de esos colores.

- Yo voy a elegir un sombrero para cadauno. Se los voy a dar sin que ustedespuedan ver de qué color es el que lestocó pero sí podrán ver el de los otrosdos. Una vez que haya hecho ladistribución, voy a preguntarles, uno poruno, qué color de sombrero tienen. Yustedes tendrán que elegir o bien blancoo bien negro. Pueden optar por nocontestar, y, en ese caso, pasan. Detodas formas, para que queden enlibertad los tres hace falta que ningunode los tres entregue una respuestaequivocada. Pueden pasar dos, pero

entonces el restante tiene que elegir:blanco o negro. Si alguno de los tres seequivoca, no hay libertad para ninguno.Pero basta una respuesta correcta yninguna incorrecta para que los tressalgan en libertad.

Les voy a mostrar una estrategia pararesolver el problema. Y es la siguiente:A y B, al ser consultados, pasan. Y Celige una posibilidad cualquiera. Luego,tiene la mitad de posibilidades deacertar (50%).

Esta estrategia, entonces, conduce a lalibertad en un 50% de los casos. Lapregunta es: ¿existe alguna estrategiaque mejore ésta?

Ustedes, -les dijo a los presos- puedenplanificar la estrategia que quieran. Perono podrán conversar más en el momentoque yo distribuyo los sombreros.

Los reclusos se encerraron en una piezay se pusieron a pensar. Y consiguieronuna solución. La respuesta, si no laconsiguen ustedes solos, está en lapágina de soluciones.

12. Mensaje interplanetario

Supongamos que uno tuviera que mandarun mensaje al espacio y aspirara a queese mensaje fuera leído por algún "serinteligente”.

¿Cómo hacer para escribir algo enningún idioma en particular, pero losuficientemente explícito como para quecualquiera que "pueda razonar" lo lea?Por otro lado, una vez superado elobstáculo del "medio", es decir, una vezque uno elija un sistema decomunicación que suponga que el otrova a entender, ¿qué escribirle?, ¿quédecirle?

Con estas hipótesis apareció un mensajehace mucho tiempo en un diario japonés.La historia es así (de acuerdo con lo queme contó Alicia Dickenstein, una muyquerida amiga mía, matemática, a quienle debo muchísimas cosas, las másimportantes las afectivas. Alicia es una

extraordinaria persona y una excelenteprofesional): de vuelta de un viaje porOriente, Alicia me comentó que habíaleído en la revista El Correo de laUNESCO, correspondiente al mes deenero de 1966, en la página siete, elsiguiente artículo (que me tomo elatrevimiento de reproducir teniendo encuenta que circula libremente porInternet desde hace muchísimo tiempo):

En 1960, Iván Bell, un profesor deinglés en Tokio, oyó hablar de] ProjectOzma', un plan de escucha de losmensajes que por radio pudieranvenimos de] espacio. Bell redactóentonces un mensaje interplanetario de24 símbolos, que el diario japonés

Japan Times (que imprime la ediciónjaponesa del Correo de la UNESCO)publicó en su edición del 22 de enero de1960, pidiendo a sus lectores que lodescifraran.

El diario recibió cuatro respuestas, entreellas, una de una lectora norteamericanaque escribió su respuesta en el mismocódigo, añadiendo que vivía en Júpiter.

Lo que propongo aquí es escribir elmensaje de Iván Bell, que, como se diceen el artículo original, "esextraordinariamente fácil de descifrar ymucho más sencillo de lo que parece asimple vista". Mientras tanto, les quieroagregar que es un entretenimiento y unentrenamiento para la mente. Es un

ejemplo para disfrutar y originalrespecto de lo que puede el intelectohumano. De cualquier raza, de cualquierreligión o hablante de cualquier idioma.Sólo se requiere tener voluntad parapensar.

1. A.B.C.D.E.FG.H.I.J.K.L.M.N.RQ.R.S.TU.V.W.Y.Z2. AA, B; AAA, C; AAAA, D;

AAAAA, E; AAAAAA, F;AAAAAAA, G;AAAAAAAA, H;AAAAAAAAA, I;AAAAAAAAAA, J.

3. AKALB; AKAKALC;AKAKAKALD, AKALB;BKALC; CKALD;DKALE,BKELG; GLEKB,

FKDLJ; JLFKD.4. CMALB; DMALC; IMGLB.5. CKNLC; HKNLH, DMDLN;

EMELN.6. JLAN; JKALAA;

JKBLAB;AAKALAB,JKJLBN; JKJKJLCN,FNKGLFG.

7. BPCLF; EPBLJ; FPJLFN.8. FQBLC; JABLE; FNQFLJ.9. CRBU; BRELCB.

10. JPJLJRBLSLANN;JPJPJLJRCLTLANNN,JPSLT; JPTLJRD.

11. AQJLU; UQJLAQSLV.12. ULWA; UPBLWB;

AWDMALWDLDPU,VLWNA; VPCLWNC.

VQJLWNNA;VQSLWNNNA,JPEWFGHLEFWGH;SPEWFGHLEFGWH.

13. GIWIHYHN; TKCYT,ZYCWADAE

14. DPZPWNNIBRCQC.

Los invito a pensar la solución.

13. Número que falta

Muchas veces en las pruebas deinteligencia (o que miden el IQ,intelligent quotient) se presentanproblemas del siguiente tipo:

Se da una tabla de números en la que

falta uno. ¿Pueden ustedes decir quénúmero falta y explicar por qué?

54

72

39

18

(117)

(154)

(513)

(?)

36

28

42

71

Se trata no sólo de que ustedes puedandecir qué número es el que debería ir enlugar del signo de interrogación, sinotambién de medir su capacidad deanálisis, para deducir una ley deformación. Es decir, hay un patrón quesubyace detrás de la gestación de esos

números, y se pretende que ustedes lodescubran.

La respuesta, en la página de soluciones.

14. Cuántas veces porsemana le gustaría a unapersona comer fuera de sucasa

Uno le propone a su interlocutor:¿cuántas veces por semana te gustaríacomer fuera de tu casa? Él tiene quepensar ese número y no comunicarlo. Esel número que nosotros vamos a tratarde descubrir.

Vamos a poner en dos columnas aquíabajo una respuesta general(representada por la letra v que indicarála cantidad de veces que a esa personale gustaría comer afuera) y también conun ejemplo, digamos con el número 3.

3 vLuego le decimos que multipliquepor dos el número que nos dio

6 2vLuego, le decimos que le sume elnúmero 5 y que ahora lomultiplique por 50

55050 (2v + 5)= 100v +

250

Si su cumpleaños ya pasó (duranteel año 2005), se le suma 1.755

2.305 100v +2.005

Si su cumpleaños aún no pasó(durante el año 2005), se le suma1.754

2.304 100v +2.004

Ahora se le pide que reste el añode nacimiento (digamos que lapersona nació en 1949).En el primer caso(2.305 - 1.949) =356

100v + 56

En el segundo caso,(2.304 - 1.949) = 100v + 55

355

Lo que da en el primer caso es 356. Yuno le pide que le diga ese número yentonces le dice lo siguiente: el númerode veces que te gustaría comer afuerapor semana es 3 y tu edad es 56. En elsegundo caso, el resultado es 355. Enesta situación se le dice a su interlocutor"el número de veces que te gustaríacomer por semana es 3 y tu edad es 55”.

Es decir, lo que hace el número 100v esjustamente multiplicar el número v por100, y agregarle luego el número 56 obien 55. Es como agregarle el número vdelante del número que es elcumpleaños, por lo que queda así: v56 o

bien v55.

Capítulo 6.Reflexiones ycuriosidades

1. Lógica cotidiana

Es muy común que uno cometa erroresde interpretación lógica en la vidacotidiana. Síganme en estos ejemplos:

1. Supongamos que un señor seencuentra en un ascensor condos señoritas y dice, mirandoa una de ellas: "Usted es muybonita”; la otra mujer, ¿tienederecho a sentirse menos

bonita?2. Si uno encuentra un cartel en

un restaurante que dice:"prohibido fumar lossábados"; ¿tiene derecho uno asuponer que en todos los otrosdías, salvo el sábado, sepuede fumar?

3. Último ejemplo, pero siemprecon la misma idea. Si en uncolegio, un maestro dice: "loslunes hay prueba", ¿significaesto que ningún otro día hayprueba?

Si uno analiza los tres casos, deduce quela otra mujer no es tan bonita. Y haceeso porque la afirmación "usted es muy

bonita", cuando hay otra mujer en lahabitación, induce (equivocadamente) apensar que la otra no lo es. Pero laafirmación tiene como única destinatariaa la primera mujer, y nada se dice de lasegunda.

De la misma forma, el hecho de que enel cartel se diga que está "prohibidofumar los sábados", no dice que estápermitido los lunes. Ni los martes. Sólodice que no se puede fumar los sábados.Cualquier otra conclusión a partir de esafrase es incorrecta.

Y, por último, si el profesor dice que"los lunes hay prueba", es obvio que nodice que se va a abstener de examinar alos alumnos cualquier otro día.

Son sólo errores de lógica, inducidospor las costumbres al hablar.

2. Diferencia entre unmatemático y un biólogo

Este ejemplo sirve para ilustrar algunasdiferencias entre personas que eligieronestudiar en la misma facultad, pero quetienen intereses distintos. Tuve latentación de escribir que presenta (nospresenta) a los matemáticos como unpoco "bobos". Sin embargo, no estoy tanseguro de que sea así. Los dejo juzgar austedes.

Una persona tiene delante de sí a dos

científicos: un matemático y un biólogo.El objeto es plantearles a ambos unproblema y ver qué tipo de respuestadaría cada uno. Les muestra entonces loselementos que tiene arriba de una mesa:

1. un calentador con kerosén en eltanque

2. una pava con agua3. fósforos4. una taza5. un saquito de té6. una cucharita

El primer problema, consiste en hacerun té.

El biólogo dice:

-Primero, pongo la pava con agua arribadel calentador. Enciendo un fósforo ycon él, el calentador. Espero que hiervael agua. Pongo el saquito de té dentro dela taza. Vierto el agua dentro de la taza yrevuelvo con la cucharita para que elsaquito de té tiña el agua.

El matemático dice (y no hay error en laimpresión):

-Primero, pongo la pava con agua arribadel calentador. Enciendo un fósforo ycon él, el calentador. Espero que hiervael agua. Pongo el saquito de té dentro dela taza. Vierto el agua dentro de la taza yrevuelvo con la cucharita para que elsaquito de té tiña el agua.

-Bien, responde el examinador-. Ahora,les planteo otro problema: supongamosque les doy el agua hervida y les pidoque hagan un té. ¿Qué haría cada uno?

El biólogo contesta: -Bueno, en esecaso, pongo el saquito de té dentro de lataza. Vierto el agua ya hervida dentro dela taza y revuelvo con la cucharita paraque el saquito de té tiña el agua.

El matemático dice, entonces:

-Yo no. Yo espero que el agua se enfríey paso al caso anterior.

Sé que muchos de ustedes coincidiráncon el biólogo (y lo bien que hacen).Pero al mismo tiempo, los invito a

reflexionar que el matemático tiene surazón: una vez que resolvió el caso máscomplicado, el primero que leplantearon, sabe que cualquier otra cosaque le propongan dentro del contexto latiene resuelta. Y apela a ello. ¿No esinteresante la vida así también?

3. El problema de losCuatro Colores

Yo sé que ustedes nunca tuvieron quecolorear un mapa desde que dejaron laescuela primaria. Y ni siquiera estoy tanseguro de que hubiera sido el caso. Dehecho, no creo que los niños de hoytengan que colorear mapas "a mano",aunque uno nunca sabe.

El hecho es que hay un teorema que tuvoa los matemáticos muchos años sinencontrar la solución. Y se trató de losiguiente: supongamos que uno tiene unmapa. Sí, un mapa. Un mapa cualquiera,que ni siquiera tiene que correspondercon la realidad de una región.

La pregunta es: "¿cuántos colores hacenfalta para colorearlo?". Sí: ya sé. Unotiene entre sus "pinturitas" o en lacomputadora muchísimos colores. ¿Porqué preguntarse cuántos coloresdistintos son necesarios, si uno puedeusar muchos más de los que necesita?¿Para qué podría servir calcular una"cota" máxima? Y en todo caso, ¿quétiene que ver el número cuatro?

La Conjetura de los Cuatro Coloressurgió de la siguiente manera: FrancisGuthrie era un estudiante de unauniversidad en Londres. Uno de susprofesores era Augustus De Morgan.Francis le mostró a su hermanoFrederick (que también había sidoestudiante de De Morgan) una conjeturaque tenía con respecto a la coloraciónde unos mapas, y como no podíaresolver el problema, le pidió a suhermano que consultara al renombradoprofesor.

De Morgan, quien tampoco pudoencontrar la solución, le escribió a SirWilliam Rowan Hamilton, en Dublín, elmismo día que le hicieron la pregunta, el

23 de octubre de 1852:

"Un estudiante me pidió que le diera unargumento sobre un hecho que yo nisiquiera sabía que era un hecho, ni lo séaún ahora. El estudiante dice que si unotoma una figura (plana) cualquiera y ladivide en compartimentos pintados condiferentes colores, de manera tal quedos adyacentes no tengan un color encomún, entonces él sostiene que cuatrocolores son suficientes”:

Hamilton le contestó el 26 de octubre de1852 y le dijo que no estaba encondiciones de resolver el problema. DeMorgan continuó pidiendo asistencia ala comunidad matemática, pero nadieparecía encontrar una respuesta. Cayley,

por ejemplo, uno de los matemáticosmás famosos de la época, enterado de lasituación, planteó el problema a laSociedad de Matemática de Londres, el13 de junio de 1878, y preguntó sialguien había resuelto la Conjetura delos Cuatro Colores.

El 17 de julio de 1879, Alfred BrayKempe anunció en la revista Nature quetenía una demostración de la Conjetura.Kempe era un abogado que trabajaba enLondres y que había estudiadomatemática con Cayley en Cambridge.

Cayley le sugirió a Kempe que enviarasu Teorema al American Journal ofMathematics, donde fue publicado en

1879. A partir de ese momento, Kempeganó un prestigio inusitado y sudemostración fue premiada cuando lonombraron Miembro de la SociedadReal ( Fellow of the Royal Society ) enla que actuó como tesorero pormuchísimos años. Es más: lo nombraron"Caballero de la Reina" en 1912.

Kempe publicó dos pruebas más delahora Teorema de los Cuatro Colores,con versiones que mejoraban lasdemostraciones anteriores.

Sin embargo, en 1890 Percy JohnHeawood encontró errores en lasdemostraciones de Kempe. Si bienmostró por qué y en dónde se habíaequivocado Kempe, Heawood probó

que con cinco colores alcanzaba paracolorear cualquier mapa.

Kempe aceptó el error ante la sociedadmatemática londinense y se declaróincompetente para resolver el error en lademostración, en su demostración.

Todavía en 1896, el famoso Charles Dela Vallée Poussin encontró también elerror en la demostración de Kempe,ignorando aparentemente que Heawoodya lo había encontrado antes.

Heawood dedicó sesenta años de suvida a colorear mapas y a encontrarpotenciales simplificaciones delproblema (la más conocida dice que siel número de aristas alrededor de cada

región es divisible por 3, entonces elmapa se puede colorear con cuatrocolores), pero no pudo llegar a laprueba final.

El problema seguía sin solución.Muchos científicos en el mundo lededicaron buena parte de sus vidas aprobar la Conjetura sin suerte. Yobviamente, hubo mucha genteinteresada en probar lo contrario. Esdecir: encontrar un mapa que no sepudiera colorear con cuatro colores.

Recién en 1976 (si, 1976) la Conjeturatuvo solución y pasó a ser, nuevamente,el Teorema de los Cuatro Colores. Lademostración corrió por cuenta deKenneth Appel y Wolfgang Haken, quien

con el advenimiento de lascomputadoras lograron probar elresultado. Ambos trabajaban en laUniversidad de Illinois en Urbana, en lalocalidad de Champaign.

Usaron más de 1.200 horas de lascomputadoras más rápidas que había enla época para poder demostrar laconjetura. Tanto es así, que el Teoremade los Cuatro Colores es uno de losprimeros casos en la historia de lamatemática, en donde la computadora hatenido una incidencia tan fuerte:permitió que un resultado que veníaevadiendo a los matemáticos durantemás de un siglo fuera resuelto.

Naturalmente, la demostración trajo grandesazón en el mundo de la matemática,no porque se esperara que el resultadofuera falso (en realidad, todo locontrario) sino porque era el primercaso en donde la máquina (en algúnsentido) estaba superando al hombre.¿Cómo no poder encontrar unademostración mejor? ¿Cómo no poderencontrar una demostración que nodependiera de un agente externo?

Es que los cálculos más optimistasestablecen que, para poder comprobarlo que hicieron Appel y Haken "amano”; por una persona que le dedicara60 horas por semana, necesitaría ¡cienmil años! para cumplir con la misma

tarea.

Los detalles de la demostración fueronpublicados en dos " papers " queaparecieron en 1977. Y lo notable deesto fue que los seres humanos, dos eneste caso, lograron reducir el problemaa casos, muchos casos, que quizáshubieran tomado varias vidas paracomprobar. Las computadoras hicieronel resto, pero lo que quiero enfatizar esque sin humanos las computadoras nohubieran sabido qué hacer (ni para qué).

4. Santa Claus

Como creo que aún hoy hay gente que lereclama a Santa Claus que no le haya

traído lo que le pidió, les pido que siganatentamente las peripecias que el pobreSanta tiene que padecer todos los años.Aquí va:

Existen aproximadamente dos milmillones de niños en el mundo. Sinembargo, como Santa Claus no visitaniños musulmanes, ni judíos ni budistas,esto reduce su trabajo en la noche deNavidad y sólo tiene que visitar 378millones de chicos.

Con una tasa promedio de 3,5 "niños"por casa, se convierte en 108 millonesde hogares (suponiendo que al menoshay un niño bueno por casa). SantaClaus tiene alrededor de 31 horas deNavidad para realizar su trabajo,

gracias a las diferentes zonas horarias ya la rotación de la Tierra, asumiendoque viaja de este a oeste (lo cual parecelógico). Esto suma 968 visitas porsegundo. como quien dice, para cadacasa cristiana con un niño bueno, Santatiene alrededor de 1/1000 de segundopara: estacionar el trineo, bajar, entrarpor la chimenea, llenar las botas deregalos, distribuir los demás regalosbajo el arbolito, comer los bocadillosque le dejan, trepar nuevamente por lachimenea, subirse al trineo... y llegar ala siguiente casa.

Suponiendo que cada una de esas 108millones de paradas están equidistribuidas geográficamente, estamos

hablando de alrededor de 1248 metrosentre casa y casa. Esto significa, unviaje total de 121 millones dekilómetros... sin contar descansos oparadas al baño. Por lo tanto, el trineode Santa Claus se mueve a unavelocidad de 1.040 kilómetros porsegundo... es decir, casi tres mil vecesla velocidad del sonido.

Hagamos una comparación: el vehículomás rápido fabricado por el hombreviaja a una velocidad máxima de 44km/seg. Un reno convencional puedecorrer (como máximo) a 24 km por horao, lo que es lo mismo, unas sietemilésimas de kilómetro por segundo. Lacarga del trineo agrega otro elemento

interesante. Suponiendo que cada niñosólo pidió un juguete de tamaño mediano(digamos de un kilo), el trineo estaríacargando más de 500.000 toneladas...sin contar a Santa Claus. En la Tierra unreno normal NO puede acarrear más de150 kg. Aun suponiendo que un renopudiera acarrear diez veces el pesonormal, el trabajo, obviamente, nopodría ser hecho por ocho o nueverenos. Santa Claus necesitaría 360.000de ellos, lo que incrementa la cargaotras 54.000 toneladas... sin contar elpeso del trineo.

Más allá de la broma, 600.000 toneladasviajando a 1.040 km/seg sufren unaresistencia al aire enorme, lo que

calentaría los renos, de la misma formaque se calienta la cubierta de una naveespacial al ingresar a la atmósferaterrestre. Por ejemplo, los dos renos deadelante, absorberían 14,3 quintillonesde joules de energía por segundo cadauno... por lo que se calcinarían casiinstantáneamente, exponiendo a losrenos siguientes y creandoensordecedores "booms" sónicos. Todoslos renos se vaporarizarían en un pocomás de cuatro milésimas de segundo...más o menos cuando Santa Claus esté apunto de realizar su quinta visita.

Si no importara todo lo anterior, hay queconsiderar el resultado de ladesaceleración de 1.040 km/seg. En

0,001 de segundo, suponiendo un pesode Santa Claus de 150 kg, estaría sujetoa una inercia de fuerza de 2.315.000 kg,rompiendo al instante sus huesos ydesprendiendo todos sus órganos,reduciéndolo al pobre Santa Claus a unamasa sin forma aguada y temblorosa.

Si aun con todos estos datos, los enojaque Santa Claus no les haya traído loque le pidieron este año, es porque sontremendamente injustos ydesconsiderados.

5. ¿Cómo construir unángulo recto?

A esta altura, todo el mundo (¿todo el

mundo?) puede recitar el teorema dePitágoras: "En todo triángulo rectángulo,el cuadrado de la hipotenusa es igual ala suma de los cuadrados de los catetos": Ahora bien: el teorema habla sobre larelación que hay entre la hipotenusa ylos catetos en un triángulo rectángulo. Sesupone, entonces, que el triángulo quenos dieron es rectángulo.

¿Qué pasaría al revés? Es decir: si unseñor llega con un triángulo y dice:

"Vea. Yo acabo de medir la hipotenusa ylos catetos de este triángulo y resultaque cuando sumo los cuadrados de loscatetos me da el mismo número que elcuadrado de la hipotenusa".

La pregunta entonces es: ¿Es rectánguloel triángulo del señor? El teorema dePitágoras no dice nada de esto. Elteorema hace afirmaciones cuando unosabe que tiene un triángulo rectángulo.Pero en este caso, no dice nada. No sepuede aplicar el teorema.

En todo caso, lo que uno tiene que haceres preguntarse si es verdad que el señordel párrafo de arriba tenía un triángulorectángulo sin que él lo supiera. Y elresultado es cierto. Cada vez que en untriángulo se observa esa relación entrelos tres catetos, es porque el triángulodebe ser rectángulo (aunque yo noescriba la demostración aquí, es un buenejercicio para pensar). Lo interesante de

esto es que con este resultado, que es elrecíproco del teorema de Pitágoras, esposible construirse triángulosrectángulos.

¿Cómo hacer? Bien. Tomen una cuerdade 12 metros (o 12 centímetros, perocreo que es mejor si se lo hace con unacuerda más manejable). Ustedes sabenque 3 2 + 4 2 = 5 2 .

Es decir, esa relación dice que si yo mefabrico un triángulo con lados que midan3, 4 y 5 respectivamente, entonces eltriángulo, de acuerdo con lo que vimosrecién, tiene que ser rectángulo.Entonces, los invito a hacer lo siguiente.Apoyen la cuerda en el piso. Pongan un

libro o la pata de una silla para queapriete una de las puntas. Estiren lacuerda. Cuando llegó a los tres metrospongan otro objeto para que sostenga lacuerda en ese lugar y ustedes giren,avancen en otra dirección cualquiera,hasta que hayan recorrido ahora cuatrometros con la cuerda. Allí vuelvan aponer algo que la sostenga y giren otravez pero ahora apuntando en ladirección en la que pusieron la otrapunta de la cuerda. Cuando lleven lasegunda punta para que coincida con laprimera, manteniendo las distancias(tres, cuatro y cinco metrosrespectivamente), el triángulo que sehabrá formado tiene que ser rectángulo.En realidad, ésta era la forma en la que

los griegos construían ángulos rectos. Ylo mismo sucede con la gente de campo,que sin necesidad de conocer esteteorema, ni tener escuadras, delimita suterreno construyendo ángulos rectos deesta forma.

6. Alfabetos del siglo XXI

A mediados del siglo XX, se definía auna persona como alfabeta si podía leery escribir. Hoy, en los primeros añosdel siglo XXI, creo que esa definiciónes claramente incompleta. Por supuesto,no ignoro que son condicioneselementales saber leer y escribir, perohoy, un niño que no tiene cultura digitaly no habla otro idioma (digamos inglés o

chino, si es que lo prefiere) presentaclaras deficiencias.

Hace poco tiempo, me comentaba EricPerle, uno de los capitanes de lacompañía aérea United, que pilotea losaviones más modernos del mundo, losBoeing 777, que cuando uno está poraterrizar en el aeropuerto Charles deGaulle, en París, las conversacionesentre las cabinas de los distintos avionesque circulan por el espacio aéreo enParís y la torre de control son en inglés,aunque el avión sea de Air France o decualquier otra compañía. Y la idea no esminimizar ninguna otra lengua. La ideaes aceptar un idioma como"normalizador", de manera tal que todos

los que están en el área entiendan lo quese está diciendo, porque lascomunicaciones ponen en contacto atodos.

Escribo esto porque muchas vecesescucho que hay fuerte resistencia aaceptar el inglés como idioma universal,como si fuera en detrimento de otros (elespañol, el francés o el chino: para elcaso es lo mismo). No trato de defendereso, sino de aceptar una realidad:mientras el mundo no se ponga deacuerdo en hablar un idioma único quepermita que todos entiendan a todos, elúnico idioma que hoy garantiza eso en elespacio aéreo es el inglés.

Claro, el objetivo es lograr que la

educación sea para todos y no para unospocos privilegiados. El objetivo estambién que la educación sea gratuita ypública.

7. Cirujanos y maestros enel siglo XXI

Una historia interesante para pensar esla siguiente: supongamos que un cirujanode principios del siglo XX, fallecidoalrededor de 1920, se despertara hoy yfuera trasladado al quirófano de unhospital moderno (aquellos a los quetienen acceso para cuidar de su salud laspersonas con alto poder adquisitivo,generando una desigualdad que escapaal motivo de este libro, pero que no por

eso ignoro).

Vuelvo al quirófano. Supongamos que enla cama de operaciones hay un cuerpoanestesiado al que están operando con latecnología actual más moderna.

¿Qué haría el tal cirujano? ¿Quésensaciones tendría? Claramente, elcuerpo de un humano no cambió. En eselugar no habría problemas. El problemalo encontraría en las "técnicasquirúrgicas", el "aparataje" que lascircundan, "el instrumental" y la "bateríade tests" que estarían a disposición delcuerpo de médicos que están en esa sala.Eso sí sería una diferencia.Posiblemente, el viejo cirujano sequedaría "admirado" de lo que ve y

completamente "fuera del circuito”: Leexplicarían el problema del paciente, yseguro que lo entendería. No tendríaproblemas en comprender el diagnóstico(al menos, en la mayoría de los casos).Pero la operación en si misma leresultaría totalmente inaccesible,inalcanzable.

Ahora cambiemos la profesión.Supongamos que en lugar de un cirujanoque vivió y murió en el primer cuartodel siglo XX, resucitamos a un maestrode esos tiempos. Y lo llevamos, no a unasala de operaciones, sino al teatro deoperaciones de un maestro: una sala endonde se dictan clases. A una escuela.¿Tendría problemas de comprensión?

¿Entendería de lo que están hablando?¿Comprendería las dificultades quepresentan los alumnos? (No me refiero alos trastornos de conducta, sino a losproblemas inherentes a la comprensiónpropiamente dicha.)

Posiblemente, la respuesta es que sí, queel maestro de otros tiempos no tendríaproblemas en comprender y hastapodría, si el tema era de su especialidadhace un siglo, acercarse al pizarrón,tomar la tiza y seguir él con la clase casisin dificultades.

MORALEJA: la tecnología cambiómucho el abordaje de ciertasdisciplinas, pero no tengo claro que lomismo se haya producido con los

métodos y programas de enseñanza. Miduda es: si elegimos no cambiar nada nohay problemas. Si evaluamos que lo quese hace desde hace un siglo es lo quequeremos hacer hoy, no hay críticas.Pero si lo que hacemos hoy es lo mismoque hace un siglo, porque lo revisamospoco o lo consensuamos menos, hay algoque funciona mal. Y vale la penacuestionarlo.

8. Sobre monos y bananas

Supongamos que tenemos seis monos enuna pieza. Del cielo raso cuelga unracimo de bananas. Justo debajo de élhay una escalera (como la de un pintor oun carpintero). No hace falta que pase

mucho tiempo para que uno de losmonos suba las escaleras hacia lasbananas.

Y ahí comienza el experimento: en elmismo momento en que toca la escalera,todos los monos son rociados con aguahelada. Naturalmente, eso detiene almono. Luego de un rato, el mismo monoo alguno de los otros hace otro intentocon el mismo resultado: todos los monosson rociados con el agua helada a pocoque uno de ellos toque la escalera.Cuando este proceso se repite un par deveces más, los monos ya estánadvertidos. Ni bien alguno de ellosquiere intentarlo, los otros tratan deevitarlo, y terminan a los golpes si es

necesario.

Una vez que llegamos a este estadio,retiramos uno de los monos de la pieza ylo sustituimos por uno nuevo (queobviamente no participó delexperimento hasta aquí). El nuevo monove las bananas e inmediatamente trata desubir por las escaleras. Para su horror,todos los otros monos lo atacan. Yobviamente se lo impiden.

Luego de un par de intentos más, elnuevo mono ya aprendió: si intenta subirpor las escaleras lo van a golpear sinpiedad.

Luego, se repite el procedimiento: seretira un segundo mono y se incluye uno

nuevo otra vez. El recién llegado vahacia las escaleras y el proceso serepite: ni bien la toca (la escalera), esatacado masivamente. No sólo eso: elmono que había entrado justo antes queél (¡que nunca había experimentado elagua helada!) participaba del episodiode violencia con gran entusiasmo.

Un tercer mono es reemplazado y ni bienintenta subir las escaleras, los otroscinco lo golpean. Con todo, dos de losmonos que lo golpean no tienen ni ideade por qué uno no puede subir lasescaleras. Se reemplaza un cuarto mono,luego el quinto y por último, el sexto,que a esta altura es el único que quedabadel grupo original. Al sacar a éste ya no

queda ninguno que haya experimentadoel episodio del agua helada. Sinembargo, una vez que el último lointenta un par de veces, y es golpeadofuriosamente por los otros cinco, ahoraqueda establecida la regla: no se puedesubir por las escaleras. Quien lo hace seexpone a una represión brutal. Sólo queahora ninguno de los seis tieneargumentos para sostener tal barbarie.

Cualquier similitud con la realidad delos humanos no es pura coincidencia nicasualidad. Es que así somos: comomonos.

9. ¿Qué es la matemática?

Las reflexiones que aparecen más abajofueron inspiradas en un libro de KeithDevlin (¿Qué es la matemática?).Sugiero que lean el texto con la mayorflexibilidad posible. Y, si pueden,léanlo con cuidado. Insisto: no espatrimonio mío (ni mucho menos). Es unrecorrido por la historia que me pareceque uno no debería ignorar.

Si hoy parara a una persona por la calley le preguntara ¿qué es la matemática,probablemente contestaría -si tuvierainterés en contestar algo- que lamatemática es el estudio de los númeroso quizás que es la ciencia de losnúmeros. Lo cierto es que estadefinición tenía vigencia hace unos

2.500 años. O sea, que la informaciónque tiene el ciudadano común respecto auna de las ciencias básicas, esequivalente... ¡¡a la de veinticinco siglosatrás!! ¿Hay algún otro ejemplo tanpatético en la vida cotidiana?

Durante el desarrollo de la historia, lahumanidad ha recorrido un camino tanlargo y tan rico que me creo con derechoa esperar una respuesta un poco másactual. La idea sobre qué es lamatemática en el imaginario popular noparece haber evolucionado demasiado através de los siglos. Algo falla. Loscanales de comunicación no funcionancomo deberían. ¿No despiertacuriosidad averiguar qué nos estamos

perdiendo?

Es probable que la mayoría de la genteesté dispuesta a aceptar que lamatemática hace aportes valiosos en losdiferentes aspectos de la vida diaria,pero no tiene idea de su esencia ni de lainvestigación que se hace actualmente enmatemática, ni hablar de sus progresos ysu expansión.

Para lograr captar algo de su espíritu, talvez convenga refrescar, a muy grandesrasgos, y en forma breve los primerospasos y la evolución de la matemática através del tiempo.

La respuesta a la pregunta ¿qué es lamatemática? ha variado mucho en el

transcurso de la historia. Hasta unos 500años antes de Cristo, aproximadamente,la matemática era - efectivamente- elestudio de los números. Hablo, porsupuesto, del período de losmatemáticos egipcios y babilonios encuyas civilizaciones la matemáticaconsistía casi absolutamente enaritmética. Se parecía a un recetario decocina: haga esto y aquello con unnúmero y obtendrá tal respuesta. Eracomo poner ingredientes en la batidora yhacer un licuado. Los escribas egipciosutilizaban la matemática para lacontabilidad, mientras que en Babiloniaeran los astrónomos los que ladesarrollaban de acuerdo con susnecesidades.

Durante el período que abarcó desde los500 años antes de Cristo hasta los 300después de Cristo, aproximadamente800 años, los matemáticos griegosdemostraron preocupación e interés porel estudio de la geometría. Tanto quepensaron a los números en formageométrica.

Para los griegos, los números eranherramientas. Así fue como los númerosde los babilonios "les quedaronchicos"... ya no les alcanzaban. Teníanlos naturales (1, 2, 3, 4, 5, etcétera) ylos enteros (que son los naturales más elcero y los números negativos) pero noeran suficientes.

Los babilonios ya tenían también los

números racionales, o sea los cocientesentre los enteros (1 /2, 1/3, 7/8, 13/15,7/3, 0, -12/13, etcétera) que proveían eldesarrollo decimal (5, 67 o 3, 8479) ylos números periódicos 0,4444... ó0,191919... Estos números les permitíanmedir, por ejemplo, magnitudes mayoresque cinco pero menores que seis. Peroaún así eran insuficientes.

Algunas escuelas como la de los"pitagóricos" (que se prometían enforma mística no difundir el saber)pretendían que todo fuera mensurable, ypor eso casi enloquecieron cuando nopodían "medir bien" la hipotenusa de untriángulo rectángulo cuyos catetosmidieran uno. O sea, había medidas para

las cuales los números de los griegos nose adecuaban o no se correspondían. Esentonces cuando "descubrieron" losnúmeros irracionales... o no les quedómás remedio que admitir su existencia.

El interés de los griegos por losnúmeros como herramientas y su énfasisen la geometría elevaron a la matemáticaal estudio de los números y también delas formas. Allí es donde empieza aaparecer algo más. Comienza laexpansión de la matemática que ya no sedetendrá.

De hecho, fue con los griegos que lamatemática se transformó en un área deestudio y dejó de ser una mera colecciónde técnicas para medir y para contar. La

consideraban como un objeto interesantede estudio intelectual que comprendíaelementos tanto estéticos comoreligiosos.

Y fue un griego, Tales de Mileto, el queintrodujo la idea de que las afirmacionesque se hacían en matemática podían serprobadas a través de argumentos lógicosy formales. Esta innovación en elpensamiento marcó el origen de losteoremas, pilares de las matemáticas.

Muy sintéticamente, podríamos decirque la aproximación novedosa de losgriegos a la matemática culmina con lapublicación del famoso libro Loselementos de Euclides, algo así como el

texto de mayor circulación en el mundodespués de la Biblia. En su época, estelibro de matemática fue tan popularcomo las enseñanzas de Dios. Y como laBiblia no podía explicar al número π(pi), lo "hacía" valer 3.

Siguiendo con esta pintura, a trazos muygruesos, de la historia, es curioso que nohaya habido demasiados cambios en laevolución de la matemática sino hastamediados del siglo XVII cuandosimultáneamente en Inglaterra y enAlemania, Newton, por un lado, yLeibniz, por el otro, "inventaron" ELCÁLCULO. El cálculo abrió todo unmundo de nuevas posibilidades porquepermitió el estudio del movimiento y del

cambio. Hasta ese momento, lamatemática era una cosa rígida yestática. Con ellos aparece la noción de"límite": la idea o el concepto de queuno puede acercarse tanto a algo comoquiera aunque no lo alcance. Así"explotan" el cálculo diferencial,infinitesimal, etcétera.

Con el advenimiento del cálculo, lamatemática, que parecía condenada acontar, medir, describir formas, estudiarobjetos estáticos, se libera de suscadenas y comienza a "moverse".

Y con esta nueva matemática, loscientíficos estuvieron en mejorescondiciones de estudiar el movimientode los planetas, la expansión de los

gases, el flujo de los líquidos, la caídade los cuerpos, las fuerzas físicas, elmagnetismo, la electricidad, elcrecimiento de las plantas y losanimales, la propagación de lasepidemias, etcétera.

Después de Newton y Leibniz, lamatemática se convirtió en el estudio delos números, las formas, el movimiento,el cambio y el espacio.

La mayor parte del trabajo inicial queinvolucraba el cálculo se dirigió alestudio de la física. De hecho, muchosde los grandes matemáticos de la épocafueron también físicos notables. Enaquel momento, no había una división

tan tajante entre las diferentesdisciplinas del saber como la hay ennuestros días. El conocimiento no eratan vasto y una misma persona podía serartista, matemática, física y otras cosasmás, como lo fueron, entre otros,Leonardo Da Vinci y Miguel Ángel.

A partir de la mitad del siglo XVIIInació el interés por la matemática comoobjeto de estudio. En otras palabras, lagente comenzó a estudiar a lamatemática ya no sólo por sus posiblesaplicaciones sino por los desafíos quevislumbraba la enorme potenciaintroducida por el cálculo.

Sobre el final del siglo XIX, lamatemática se había convertido en el

estudio del número, de la forma, delmovimiento, del cambio, del espacio ytambién de las herramientas matemáticasque se utilizaban para ese estudio.

La explosión de la actividad matemáticaocurrida en este siglo fue imponente.Sobre el comienzo del año 1900, elconocimiento matemático de todo elmundo hubiera cabido en unaenciclopedia de ochenta volúmenes. Sihoy hiciéramos el mismo cálculo,estaríamos hablando de más de cien miltomos.

El desarrollo de la matemática incluyenumerosas nuevas ramas. En algunaépoca las ramas eran doce, entre las que

se hallaban la aritmética, la geometría,el cálculo, etcétera. Luego de lo quellamamos "explosión" surgieronalrededor de 60 o 70 categorías en lascuales se pueden dividir las diferentesáreas de la matemática. Es más, alguna,como el álgebra y la topología, se hanbifurcado en múltiples sub-ramas.

Por otro lado, hay objetos totalmentenuevos, de aparición reciente, como lateoría de la complejidad o la teoría delos sistemas dinámicos.

Debido a este crecimiento tremendo dela actividad matemática, uno podría sertildado de reduccionista si a la preguntade "¿qué es la matemática?"respondiera: "es lo que los matemáticos

hacen para ganarse la vida".

Hace tan sólo unos veinte años nació lapropuesta de una definición de lamatemática que tuvo y todavía tienebastante consenso entre los matemáticos."La matemática es la ciencia de lospatterns "' (o de los patrones).

En líneas muy generales, lo que hace unmatemático es examinar " patterns "abstractos. Es decir, buscarpeculiaridades, cosas que se repitan,patrones numéricos, de forma, demovimiento, de comportamiento,etcétera. Estos " patterns " pueden sertanto reales como imaginarios, visualeso mentales, estáticos o dinámicos,

cualitativos o cuantitativos, puramenteutilitarios o no. Pueden emerger delmundo que nos rodea, de lasprofundidades del espacio y del tiempoo de los debates internos de la mente.

Como se ve, a esta altura del siglo XXIcontestar la pregunta ¿qué es lamatemática? con un simple "es elestudio de los números" es, cuantomenos, un grave problema deinformación, cuya responsabilidadmayor no pasa por quienes piensan eso,sino de los que nos quedamos de esteotro lado, disfrutando algo que nosabemos compartir.

10. Universidad de

Cambridge

Lean este mensaje:

Sgeún un etsduio de una uivenrsdiadignlsea, no ipmotra el ódren en el quelas Itears etsan ersciats, la úicna csoaipormtnate es que la pmrirea y la útlimaItera etsen ecsritas en la psio cioncocrrtea. El rsteo peuden etsartaotlmntee mal y aún pordás lerelo sinpobrleams. Etso es pquore no lemeoscada Itera por sí ms1ma sino que lapaalbra es un tdoo.

Pesornamelnte me preace icrneilbe...

Con todo, uno podría suponer que esto

sólo pasa en castellano, pero elsiguiente párrafo sugiere algo distinto:

Aoccdrnig to rscheearch at CmabrigdeVinervt1sy, it deosn't mttaer in wahtoredr the Itteers in a wrod are, the olnyiprmoatnt tihng is taht the frist and IsatItteer be at the rghit pclae. The rset canbe a total mses and you can sitll raed itwouthit porbelm. Tihs is bcuseae thehuamn mnid deos not raed ervey lteterby istlef, but the wrod as a wlohe.Amzanig huh?

Aquí es donde se me escapa totalmentemi capacidad de elaboración. ¿Cómofunciona el cerebro? ¿Cuánto, enrealidad, se lee textualmente y cuánto seanticipa lo que debería decir?

Recuerdo una anécdota con un grupo deamigos, que quizá sirva también paraejemplificar que uno, en verdad,tampoco escucha lo que se le dice en sutotalidad, sino que "rellena lo que estáporvenir" con su imaginación. Y claro,eso suele traer algunos problemas.

Allá por el año 2001 estábamos en lacantina de David (una cantina italiana enel corazón de Buenos Aires) un grupo deamigos, y el tema del fútbol esinevitable, sobre todo si en la mesaestaban Carlos Griguol, VíctorMarchesini, Carlos Aimar, Luis Bonini,Miguel "Tití" Fernández, FernandoPacini, Javier Castrilli y el propio

dueño de la cantina, Antonio Laregina.

En un momento, Tití se levantó para ir albaño. Cuando él no podía escuchar, lesdije a todos los otros que prestaranatención al diálogo que tendríamos conTití cuando él retornara a la mesa,porque quería demostrarles a todos (y amí también) lo que escribí antes: uno nosiempre escucha todo. En todo caso, unointuye lo que el otro va a decir, pone lamente en control remoto y se retira apensar cómo seguir o algo distinto.

Y entonces, esto pasó. Cuando Titívolvió a la mesa, le pregunté:

-Decime, ¿no tenés en tu casa algúnreportaje que le hubiéramos hecho a

Menotti en la época de Sport 80?.

-Sí -me contestó Tití-. Yo creo quetengo varios cassettes en mi casa... (y sequedó pensando)

-Haceme un favor -le dije-. ¿Por qué nome los traés la semana que viene? Yo,los escucho, los borro y no te losdevuelvo nunca más.

-Está bien, Adrián -me dijo sin mayoressobresaltos-. Pero no me empieces aapurar. Yo sé que los tengo, pero norecuerdo exactamente dónde. Ni bien losencuentro, te los traigo.

MORALEJA: ante la risa generalizada,Tití seguía sin poder comprender qué

había pasado. Él, en realidad, había sidosólo un "conejillo de Indias" para elexperimento. Yo creo que, muchasveces, no nos concentramos en escuchar,porque "asumimos" lo que el otro va adecir. El cerebro usa ese tiempo, ese"instante", para pensar en otra cosa,pero claro, algunas veces, comete unerror.

11. Teclado QWERTY

La máquina de escribir, con el tecladoque usamos actualmente con lascomputadoras, apareció por primera vezpara uso masivo en 1872. Pero enrealidad, la primera patentenorteamericana para una máquina de

escribir la obtuvo el ingenieroChristopher L. Sholes en 1868. Sholeshabía nacido en Milwaukee, una ciudaddel estado de Wisconsin cerca del lagoMichigan, a unos 150 kilómetros alnoroeste de Chicago.

Cuando aparecieron las primerasmáquinas en el mercado, se vio quetenían un inconveniente: losdactilógrafos escribían más rápido de loque permitía el mecanismo, de maneratal que las teclas terminaban trabadas yhacían imposible tipear con rapidez.

Por eso, Sholes se propuso diseñar unteclado que "frenara" un poco a los"tipeadores". Y así es como apareció enescena el conocidísimo qwerty, o lo que

es lo mismo, el teclado de distribucióntan estrambótico que continúa aún hoy.

Si lo único que hubiera pretendidoSholes era frenar a los tipeadores,quizás hubiera podido poner las teclasque activan las letras "A" y "S" enpuntas opuestas del teclado. En realidad,al poner en lados opuestos a pares deletras que aparecen muchas veces juntas,como "sh", "ck", "th" "pr" (siempre eninglés, claro), la idea era evitar que se"apelotonaran" y "se trabara" la máquinao trabaran el mecanismo.

En 1873, Remington & Sons, quefabricaban hasta ese momento fusiles ymáquinas de coser, se interesaron por el

invento de Sholes y comenzaron aproducir masivamente máquinas deescribir con teclado "lento".

Como averiguó la excelente periodistacientífica y licenciada en biologíaCarina Maguregui, a los dactilógrafos noles quedó más remedio que aprenderlo,las escuelas lo tuvieron que enseñar y,cuando Mark Twain se compró unaRemington, el nudo quedó atado parasiempre.

Independientemente de los intentos quehubo desde hace más de 80 años, nuncamás se pudo modificar el teclado. Y asíestamos, hasta hoy: igual que hace 132años.

12. La excepción queconfirma la regla

Una cosa maravillosa que provee lacostumbre es que uno empieza a usar unafrase, la cree, la repite, la escucha(cuando otro la dice) y después, setransforma en algo así como una verdadque no admite discusiones.

Sin embargo, la excepción que confirmala regla es una frase que deberíamortificarnos. Al menos un poco. Ydeberíamos plantearnos algunaspreguntas al respecto:

¿Cómo es eso de que uno tiene una reglaque tiene excepciones?

¿Qué significa tener una regla, entonces?

¿Y qué quiere decir que una excepciónconfirma... nada menos que... una regla?

Como ven, las preguntas podrían seguir,pero lo que me importa acá es plantearun problema con la lógica. Y luego,averiguar de dónde provino esteproblema semántico.

Primera observación: una regla deberíaser algo que tiene validez en un ciertocontexto. Es un principio que estableceuna "verdad". Sería largo y fuera de laaspiración de este libro discutir paraqué quiere uno reglas, o quién es el quedice que algo "es" o "no es" una regla.Pero creo que todos estaríamos de

acuerdo en que una regla es algo que seacepta o demuestra que es verdad.

Ahora bien: qué querría decir que unaregla contiene excepciones. Unaexcepción debería ser algo que nocumple con la regla (aunque debería).Pero la lógica más elemental obliga apreguntarse: ¿cómo hago para saber sicuando tengo un objeto o un ejemplopara usar la regla, éste o ésta es unaexcepción o tiene que estar sometido ala regla?

Para ponerlo en un ejemplo, si uno dice:todos los números naturales son mayoresque siete, y pretende que esto sea unaregla, sabe también que esto no es ciertopara todos los posibles casos. Es más:

uno puede hacer una lista de losnúmeros que no cumplen con la regla:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) (*)

Estos siete números no son mayores quesiete. En todo caso, son excepciones a laregla. Y si a nosotros nos dierancualquier número, aunque no loviéramos podríamos afirmar que elnúmero es mayor que siete, salvo quesea uno de los que figuran en (*). Lobueno que tiene esta regla es que si bientiene excepciones, nosotros sabemoscuáles son las excepciones, hay una listade esas excepciones. Entonces, uno sequeda tranquilo con la regla, porque si amí me dan un número cualquiera, yo

confronto con la lista de lasexcepciones, y si no lo encuentro allí,tengo la certeza de que es mayor quesiete.

A nadie se le ocurriría decir que si elnúmero que me dieron es el cuatro, porejemplo, que no cumple la regla, estenúmero es la excepción que confirma laregla.

Las reglas admiten excepciones, claroque sí. Pero entonces, junto con el textode la regla, tiene que haber un addendumo apéndice en donde estén escritas lasexcepciones. Entonces, sí, dadacualquier posibilidad de confrontar laregla, o bien el objeto está entre lasexcepciones, o bien tiene que cumplir la

regla.

Lo que no tendría sentido sería losiguiente:

-Me dieron este número natural.

-Fíjate, porque entonces es mayor quesiete.

-No, me dieron el cuatro.

-Entonces, es una excepción queconfirma la regla.

Este diálogo, sería interpretado como undiálogo "loco". Y estaría bien.

Otro ejemplo podría ser éste: "todas las

mujeres se llaman Alicia". Ésa es laregla. Entonces, viene una mujer y nohace falta preguntarle cómo se llama,porque la regla dice, que todas sellaman Alicia. Sin embargo, ella dicellamarse Carmen. Cuando le contamosque existe la regla de que todas lasmujeres se llaman Alicia, ella contestaque es una excepción que confirma laregla. Por supuesto, este último diálogosería considerado "loco" también.

La moraleja de esta primera parte es queno hay problemas en aceptar que unaregla pueda tener excepciones, pero esasexcepciones tienen que estar en elmismo lugar en donde figura la regla.

Avancemos un paso más. En latín, la

frase:

exceptio probar regulam in casibus nonexceptis

se traduce como "la excepción confirmaque la regla vale en los casos noexceptuados"... y yo puedo convivir conesta definición. Pero claro, también medoy cuenta de que no tendría ningúnsentido entonces hacer reglas porque, enel momento de usar una, no sabríamos sien ese caso la podemos aplicar o es unode los casos exceptuados.

Por último, rastreando el origen de esteproblema (que no es sólo patrimonio delcastellano sino también de otrosidiomas, como el inglés, por poner un

ejemplo), uno se remonta entonces a laantigua Grecia, en donde una persona(todos eran científicos y sabios en esaépoca, de manera que esto que escribono debería sorprender a nadie) estabasentada en la puerta de su casa, con uncartel que decía: "tengo una regla. Yestoy dispuesto a "testearla", a “ponerlaa prueba"'. Es más: esta personadesafiaba a quien pusiera en duda suregla a que le trajera cualquier potencialexcepción. Él estaba dispuesto aderrotar al enemigo y demostrarle queno había excepciones. Que la regla,"estaba en regla"

En consecuencia, otra persona (que porallí pasaba) sostenía que tenía una

"excepción" y desafiaba al primero. Sila "excepción" permanecía en pie luegode testear la regla es porque no habíaregla. En cambio, si al finalizar laprueba, la regla seguía viva, entonces, latal excepción... no era una excepción. Enrealidad, el problema está en que elverbo CONFIRMAR está mal traducido.Lo que se pretendía decir es que la talexcepción ponía a prueba a la regla.Confirmar la regla quería decir que lasupuesta excepción no era tal.

Nosotros, con el paso del tiempo, hemosaceptado con total ingenuidad que unaregla puede tener excepciones (lo cualno estaría mal, siempre y cuandoestuvieran "listadas" en alguna parte) y

no nos cuestionamos la validez de lafrase del principio.

13. Preguntas que se lehacen a un matemático (yaque uno no tiene ni idea dequé es lo que hace, ni paraqué lo hace)

Como escribí antes, en general si a unapersona le preguntan ¿qué hace unmatemático? o ¿qué es la matemática?,la enorme mayoría de las personascontesta: ¿Es la ciencia de los números?(y responde con temor, porque no estámuy seguro de que lo que está diciendoestá bien o mal).

Peor aún: es el único ejemplo que tengode que los padres de los chicos que vanal colegio tienen la tendencia a aceptarcomo lógico que sus hijos acepten conresignación que no entienden "nada dematemática”; porque ellos mismostuvieron múltiples problemas con ella.Luego, ¿cómo no comprenderlos? Perono sólo eso: no conozco ningún otroejemplo en el que la gente se ufane deque no entiende nada. Como sisaborearan que fuera así, como si lodisfrutaran. ¿Ustedes conocen algún otroejemplo en donde alguien diga casi conorgullo... "yo, de esto, no entiendonada"?

Veamos aquí algunas preguntas que les

(nos) hacen a los matemáticos:

1. ¿De qué trabajas?2. ¿Para qué se usa eso que hacés?3. ¿Siempre te dan las cuentas?4. 132 por 1.525. Vos que sos rápido

para eso... ¿Cuánto da?5. ¿Se usan todavía los “

longarritmos ”? (sic).6. ¿Es verdad eso de que das el

nombre y por el orden de las letraste dicen el futuro?

7. ¿Qué número viene después deltres y medio?

8. ¿Cuánto es pi?9. ¿Me enseñás eso de la superficie?

10. ¿Tres dividido cero es uno, cero otres?

11. ¿Los "capicúas" traen suerte?12. ¿Viste la de Donald en el país de la

matemática?13. ¿Hay algo de matemática que sirva

para conquistar chicas?14. ¿Cuando hay cero grados no hay

temperatura?15. ¿Conocés esta calculadora?16. ¿Sirve esto para jugar a la ruleta?17. ¿Tuviste que estudiar mucho?18. ¿Sos inteligente, no?19. ¿Cómo se lee este número:

52739839303030393873736353535353322?20. ¿Por qué elegiste eso?

En fin: la lista podría continuar, y estoyseguro de que quien llegó hasta aquí,tiene muchas otras para aportar. Lo

desesperante es que nosotros, quienestendríamos que tener la obligación decomunicar adecuadamente lamatemática, estamos en una situación dedeudores permanentes, porque nologramos el objetivo: mostrar la bellezaque tiene.

Créanme: no son los alumnos ni lospadres. Somos nosotros, los docentes.

14. Votaciones ¿sonrealmente la manera másjusta de decidir?

Esto que voy a contar aquí pretendehacerlos pensar si algo que uno da por

sobreentendido (que una votación es lamanera más justa de elegir algo)realmente lo es.

Supongamos que uno tiene que elegirpresidente de un país (lo mismo sería siuno tiene que elegir cuál es la favoritaentre algunos tipos de torta). Sin ningunaduda, la manera que todo el mundoconsidera más justa es una votación. Yasí debería ser. De todas formas, hayalgunas personas (no necesariamenteantidemocráticas... espere un poco antesde criticarlas) que tienen otras ideas.Cuando uno analiza la situación desdeun punto de vista matemático puedeencontrar algunos tropiezos. Veamos.

De acuerdo con el matemático Donald

Saari (quien probó recientemente unimportante resultado con respecto a lateoría de la votación), es posible crear,a través del voto, cualquier elección queuno quiera. Es decir, distorsionar lavoluntad popular hasta hacerla coincidircon lo que uno quiere. Aunque uno no lopueda creer. Todo lo que uno tiene quesaber es aproximadamente qué es lo quepiensa la población o los potencialesvotantes (cosa que se puede lograr através de encuestas con niveles de errormuy bajos en la actualidad). Entonces esposible crear "fórmulas" de manera talque los votantes elijan o aprueben unaspor encima de otras, hasta lograr quevoten por lo que uno quiere, aunqueellos crean que están votando

libremente. La clave es que quienmaneja la "mayoría" son quienes estánen control.

Veamos un ejemplo. Lo vamos a hacercon número reducido de votantes (30) ypocos candidatos (3). Pero la idea queuno saca de este caso será suficientepara advertir que esto puede hacerse encasos más generales. Supongamosentonces que hay 30 votantes ysupongamos que hay 3 candidatos paraelegir: A, B y C. Voy a usar unanotación para indicar que los votantesprefieren al candidato A sobre el B. Esdecir, si escribimos A > B, estosignifica que la población, puesta aelegir entre A y B, elegiría a A. Por otro

lado, si escribiéramos A > B > C, estosignifica que puestos a elegir entre A yB, preferirían a A, y entre B y Celegirían a B. Pero también dice que sihubiera que elegir entre A y C elegiríana A. Ahora, pasemos al ejemplo:

10 votantes quieren A > B > C

10 votantes prefieren B > C > A

10 votantes elegirían C > A > B. (*)

Es decir, tenemos esa distribución delos votantes en el caso de que tuvieranque ir eligiendo entre los trescandidatos. Supongamos ahora que unotiene una elección, en donde primero hayque elegir entre dos candidatos, y el

ganador compite con el tercero que noparticipó. Y supongamos que queremoshacer presidente a C. Primero, hacemoscompetir a B contra A. Mirando en latabla (*), vemos que A ganaría con 20votos si la gente tuviera que elegir entreA y B. Luego, lo hacemos competir alganador (A) con el que queda (C), ymirando otra vez el diagrama (*) gana C(obtendría también 20 votos). Y con estoconseguimos el resultado quequeríamos.

Si, para comprobar la teoría, unoprefiere que salga presidente A,hacemos "confrontar" primero a Bcontra C. Entonces, gana B. Esteganador, B, luego compite con A, y

nosotros sabemos que A le gana (deacuerdo con *). Y queda presidente. Porúltimo, si uno prefiere que B sea elpresidente, hacen competir a A con C, ymirando otra vez la lista de (*)advertimos que ganaría C. Este ganador,C, compite con B, y en ese caso ganaríaB. Y logramos nuestro cometido.

Vale la pena notar que en cada elecciónel ganador obtiene el 66% de los votos,con lo cual la gente diría que fue "unapaliza". Nadie cuestionaría al ganador,ni al método.

El resultado de Saari es aún másinteresante, porque sostiene que escapaz de "inventar" escenarios másincreíbles con más candidatos, en

donde, por ejemplo, todos prefieren a Asobre B, pero que él logra que B sea elganador. El trabajo del matemáticoapareció en un artículo que se llama"Una exploración caótica de paradojasde sumas" o bien, "A ChaoticExploration of Aggregation Paradoxes”, publicado en marzo de 1995, en elSIAM Review, o sea, por la Society forIndustrial and Applied Mathematics(Sociedad para la Matemática Industrialy Aplicada).

15. Jura ética

Cada vez que en la facultad de CienciasExactas y Naturales de la Universidadde Buenos Aires egresa algún alumno,

debe jurar enfrente de sus pares y eldecano de la facultad. En general, losjuramentos se hacen por Dios y por laPatria; por Dios, la Patria y los SantosEvangelios; por el honor o por la Patriasolamente. Las variantes son muchaspero esencialmente ésas son lasprincipales.

Sin embargo, desde el año 1988, en lafacultad de Ciencias Exactas y Naturalesde la Universidad de Buenos Aires, ungrupo de estudiantes, coordinados porGuillermo A. Lemarchand y apoyadospor las autoridades de esa casa de altosestudios y por el Centro de Estudiantes,organizaron el Simposio Internacionalsobre "Los Científicos, la Paz y el

Desarme".

En plena vigencia de la Guerra Fría, sedebatió el papel social que debendesempeñar los científicos y suresponsabilidad como generadores deconocimientos que, eventualmente,podrían poner en peligro a lahumanidad. Como resultado de eseCongreso se elaboró una fórmula dejuramento de graduación, similar aljuramento hipocrático de los médicos,mediante la cual los egresados de laFacultad de Ciencias Exactas yNaturales se comprometen a usar susconocimientos en favor de la paz. Estejuramento se realiza en forma optativa,afortunadamente lo eligen casi el 90%

de los graduados, y su texto quedóredactado de la siguiente manera:

Teniendo conciencia de que la ciencia yen particular sus resultados puedenocasionar perjuicios a la sociedad y alser humano cuando se encuentranausentes los controles éticos, Juráis quela investigación científica y tecnológicaque desarrollaréis será para beneficiode la humanidad y a favor de la paz, queos comprometéis firmemente a quevuestra capacidad como científicosnunca servirá a fines que lesionen ladignidad humana guiándoos por vuestrasconvicciones y creencias personales,asentadas en auténtico conocimiento delas situaciones que os rodean y de las

posibles consecuencias de losresultados que puedan derivarse devuestra labor, no anteponiendo laremuneración o el prestigio, nisubordinándolos a los intereses deempleadores o dirigentes políticos?

Si así no lo hiciereis, vuestra concienciaos lo demande.

Creo que el texto es auto explicativo.Pero más allá de una jura simbólica, esuna toma de posición frente a la vida.Como la celebro, la quería compartiraquí en este libro y ponerla aconsideración de aquellas universidadesque no tengan una fórmula de juramentocomo la que antecede.

16. Cómo tomar un examen

Hace muchos años que me hago unapregunta: ¿es razonable el sistema deexámenes que se usa en la Argentina? Oen todo caso, el tipo de exámenes que seutiliza hoy en día, en casi todo el mundo,¿es razonable? (Me refiero a losexámenes en los colegios primarios ysecundarios en particular.)

Yo sé que lo que voy a escribir tiene uncostado provocativo y que muchosdocentes (y muchos no docentestambién) van a estar en desacuerdo.Pero no importa. Sólo pretendo llamarla atención sobre algunos puntos quecreo vale la pena investigar. Y discutir.

Creo que el siglo XXI será testigo de uncambio estructural en este rubro. Losestudiantes tendrán otra participación.La relación docente-alumno tiene quecambiar. Y los sistemas de evaluacióntambién.

El examen tipo, el que conocemoshabitualmente, en donde un profesorpiensa una serie de problemas y elalumno tiene un determinado tiempopara contestarlos, tiene un componen deperverso difícil de disimular: unapersona, generalmente un docente, tienea un grupo de jóvenes o chicos a sumerced y sutilmente abusa de suautoridad. El docente es quien establecetodas las reglas y sus decisiones son

casi inapelables. Así jugado, el juego esmuy desparejo. Los jóvenes suelen estara merced de este(a) señor(a) que hadecidido tomar en sus manos la tarea de"examinar". Nada menos.

Hasta hace relativamente poco, lasmaestras usaban las reglas para pegar alos niños en los nudillos o en las manos,les ataban el brazo izquierdo a loschicos para estimularlos a que esescribieran con la derecha y setransformaran en "normales", no sepodía usar bolígrafo, ni secante, niborrar, ni tachar, ni tener agujeros en lacarpeta, etcétera. Se estimulaba amemorizar y se premiaba al jovenrápido que recordaba mucho y se sacaba

diez en todo. Se lo ponía como ejemplode mejor persona porque parecía mejoralumno. Dentro de unos años, vamos amirar hacia atrás y nos vamos aencontrar tan avergonzados comoquienes se reconocen en los ejemplosanteriores.

EL EXAMEN DESDE UN ALUMNO

El docente es quien asume, entre sustareas, la de averiguar si los alumnosestudiaron, se prepararon, sicomprendieron, si dedicaron tiempo yesfuerzo... si saben. Pero en generalsuelen omitir una pregunta a ellosmismos muy importante: ¿los interesaronantes?

¿Quién tiene ganas de dedicar su tiempo,su energía y esfuerzo a algo que no leinteresa? ¿Sabemos los docentesdespertar curiosidad? ¿Quién nospreparó para eso? ¿Quién nos enseñó oenseña a generar apetito por aprender?¿Quién se preocupa por bucear en losgustos o inclinaciones de los jóvenespara ayudarlos a desarrollarse por allí?

Hagan una prueba: tomen un niño de tresaños y cuéntenle cómo se concibe unacriatura. Es muy posible que si ustedestienen buena sintonía con el niño, él losescuche, pero después salga corriendo ajugar con otra cosa. En cambio, siustedes hacen las mismas reflexionesdelante de un niño de seis o siete años,

verán cómo el interés es diferente, laatención es distinta. ¿Por qué? Porque loestán ayudando a encontrar la respuestaa una pregunta que él ya se hizo. Elmayor problema de la educación en losprimeros niveles es que los docentesdan respuestas a preguntas que los niñosno se hicieron; tener que tolerar eso esdecididamente muy aburrido. ¿Por quéno prueban al revés? ¿Puede tododocente explicar por qué enseña lo queenseña? ¿Puede explicar para qué sirvelo que dice? ¿Es capaz de contar elorigen del problema que llevó a lasolución que quiere que aprendamos?

¿Quién dijo que la tarea del docente essólo dar respuestas? La primera cosa

que un buen docente debiera hacer estratar de generar preguntas. ¿Ustedes sesentarían a escuchar respuestas apreguntas que no se hicieron? ¿Lo haríancon ganas? ¿Lo harían con interés?¿Cuánto tiempo le dedicarían? ¿Por quélo harían? Para cumplir, por elegancia,por respeto, porque no les queda másremedio, porque están obligados, perotratarían de escapar lo más rápido quepudieran. Los jóvenes o los niños nopueden. En cambio, si uno logradespertar la curiosidad de alguien, si lepulsa la cuerda adecuada, el jovensaldrá en búsqueda de la respuestaporque le interesa encontrarla. Laencontrará solo, se la preguntará alcompañero, al padre, al maestro, la

buscará en un libro, no sé. Algo va ahacer, porque está motorizado por supropio interés.

La situación, vista desde un alumno,podría resumirse así: "¿Por qué estoyobligado a venir en el momento que medicen, a pensar en lo que me dicen, a nomirar lo que otros escribieron ypublicaron al respecto, a no poderdiscutirlo con mis compañeros, a tenerque hacerlo en un tiempo fijo, a nopoder ir al baño si necesito hacerlo, ano poder comer si tengo hambre o bebersi tengo sed, y encima puede que mesorprendan con preguntas sin darmetiempo para prepararlas?"

Puesto todo junto, ¿no luce patético? Es

probable que varios alumnos no logrennunca resolver los problemas delexamen que tienen delante, pero noporque desconozcan la solución, sinoporque no lleguen nunca a superar todaslas vallas que vienen antes.

Desde el año 1993 estamos haciendouna experiencia en la Competencia deMatemática que lleva el nombre de mipadre. Los alumnos de todo el país quese presentan a rendir la prue ba puedenoptar por anotarse en pareja. Esto es: siquieren, pueden rendir individualmente,pero si no, pueden elegir un compañeroo compañera para pensar los problemasen conjunto, buscarse alguien con quiendiscutir y polemizar los ejercicios. Este

método, ¿no se parece más a la vidareal? ¿No nos llenamos la boca diciendoque tratamos de fomentar el trabajo engrupo, las consultas bibliográficas, lasinterconsultas con otros especialistas,las discusiones en foros, los debates...en el mundo de todos los días? ¿Por quéno tratamos de reproducir estassituaciones en la ficción de unaprendizaje circunstancial?

En el colegio primario o secundario, endonde los maestros o profesores tienenun contacto cotidiano con los alumnos -si la relación interactiva docente-alumnofuncionara efectivamente como tal- noentiendo las pruebas por sorpresa. ¿Noes suficiente esa relación que dura

meses para detectar quién es el queentendió y quién no? ¿Hace falta comométodo didáctico tirarles la pelota comosi estuvieran jugando al distraído? Estossistemas de examinación tienen un fuertecomponente de desconfianza. Parecieraque el docente sospecha que el alumnono estudió o que no sabe, o que se va acopiar, y entonces lo quiere descubrir. Yallí empieza la lucha. Una lucha estéril eincomprensible, que exhibe ladisociación más curiosa: nadie pelearíacontra quien lo ayuda, ni trataría deengañarlo. Quizás el problema ocurraporque el alumno no logra descubrir quela relación está dada en esos términos, ycomo la responsabilidad mayor pasa porlos que estamos de este lado, no hay

dudas de que los que tenemos quecambiar somos nosotros.

No propongo el "no examen". Es obvioque para poder progresar en cualquiercarrera, en cualquier estadio de laeducación, uno tiene que demostrar -dealguna manera- que sabe lo que deberíasaber. Eso está fuera de discusión.Discrepo con la metodología, me resistoa este "tipo" de examen, sencillamenteporque no tengo claro que mida lo quepretende medir.

De lo que sí estoy seguro, como escribímás arriba, es que en este siglo habrámuchos cambios al respecto. Pero hacefalta que empecemos. Y una buenamanera es empezar por casa, discutiendo

por qué enseñamos lo que enseñamos,por qué enseñamos esto en lugar de estootro, para qué sirve lo que enseñamos,qué preguntas contesta lo que enseñamosy aun más importante: ¿quién hizo laspreguntas: el alumno o el docente?

17. Niños prodigios

¿Qué significa ser un "niño prodigio"?¿Qué condiciones hay que reunir? ¿Sermás rápido que tus pares o estar másadelantado, o ser más profundo, másmaduro? ¿O es hacer más temprano loque otros hacen más tarde o nunca?

Lo que me queda claro es que loshumanos necesitamos categorizar,

compartimentar. Eso nos tranquiliza. Sien promedio un niño empieza el colegioa los seis años, el secundario a los trecey la facultad cuando ya puede votar...cualquier "corrimiento" de lopreestablecido lo distingue, lo separa, lo"anormaliza". Mi vida fue distinta, peroyo no lo supe hasta que pasaron algunosaños. Yo hice el primer grado de laescuela primaria como alumno libre yeso me permitió entrar en lo que hoysería segundo grado cuando teníatodavía cinco años. Cuando terminé"quinto" me propusieron hacer elingreso en el Colegio Nacional deBuenos Aires. Lo preparé, pero despuésno me dejaron rendir el examen porquedijeron que era demasiado pequeño:

tenía diez años. Entonces, mientrascursaba sexto grado estudié todas lasmaterias del primer año del secundariopara rendirlas como alumno libre otravez. Y lo hice. Por eso, entré con onceaños al segundo ciclo lectivo. Y luego,mientras cursaba el quinto año por lamañana hacía en paralelo el curso deingreso a Ciencias Exactas por la noche.Es decir, hice mi primera incursión enuna facultad cuando sólo tenía catorceaños. Ah, me recibí como licenciado enmatemática cuando tenía diecinueve ycomo doctor un poco más adelante. Yademás estudiaba piano con el granpianista argentino Antonio De Raco,quien me llevó a tocar La Tempestad deBeethoven en Radio Provincia cuando

sólo tenía once años.

Ése es el racconto. Ahora, algunasreflexiones. Para los de alrededor yoentraba en la categoría de "prodigio":¡es un bocho en matemática!, ¡sabelogaritmos! (qué estupidez, por Dios).¡Tenés que escucharlo tocar el piano!¿Prodigio yo? Yo no tenía idea de lo queestaba haciendo. Me costaba conseguirlas cosas igual que a mis compañeros.Es obvio que podía hacerlo, perotambién es obvio que tenía todas lascondiciones para poder desarrollarlo.En la casa que yo nací, con los padresque tuve, ¿cómo no me iba a desarrollarmás rápido si no había virtualmenterestricciones? ¿De qué prodigio me

hablan? No desconozco los trastornosemocionales que puede acarrear tenercompañeros mayores. Pero ¿la madurezes sólo una cuestión cronológica? Yo norecuerdo haber tenido problemas coneso. Y quería jugar a la pelota. Y lohacía.

Aún hoy no encontré una buenadefinición de lo que es la "inteligencia",pero hay una fuerte tendencia entre loshumanos a considerarla un bien"heredado" o "genético". Y eso lleva ala veneración. Y como no depende deuno, es inalcanzable: "Lo que Natura nonda, Salamanca non presta". ¡Mentira! Yome inclino por valorar las condicionesdel medio ambiente donde un niño se

desarrolla. Todos los niños nacen conhabilidades, con destrezas. El problemareside en tener los medios económicosque permitan descubrirlas y un entornofamiliar que las potencie y estimule. Yolo tuve, y eso no me transformó en unprodigio, sino en un privilegiado.

18. Historia de los cincominutos y los cinco años

Un señor estaba trabajando en sufábrica, cuando, súbitamente, una de lasmáquinas vitales para su línea deproducción se detuvo. El señor,acostumbrado a que esto sucedieraalgunas veces, intentó ver si podíaresolver el problema. Probó con la

electricidad, revisando el aceite queutilizaba la máquina, y probó tratando dehacer arrancar el motor en formamanual. Nada. La máquina seguía sinfuncionar.

El dueño empezó a transpirar.Necesitaba que la máquina funcionara.La línea de producción completa estabadetenida porque esta pieza delrompecabezas estaba roto.

Cuando ya se habían consumido variashoras y el resto de la fábrica estabapendiente de lo que pasaba con lamáquina, el dueño se decidió a llamar aun especialista. No podía perder mástiempo. Convocó a un ingenieromecánico, experto en motores. Se

presentó una persona relativamentejoven o, en todo caso, más joven que eldueño. El especialista miró la máquinaun segundo, intentó hacerla arrancar y nopudo, escuchó un ruido que le indicóalgo y abrió la "valijita" que habíatraído. Extrajo un destornillador, abrióuna compuerta que no permitía ver almotor y se dirigió a un lugar preciso.Sabía dónde ir: ajustó un par de cosas eintentó nuevamente. Esta vez, el motorarrancó.

El dueño, mucho más tranquilo, respiróaliviado. No sólo la máquina sino quetoda la fábrica estaban nuevamente enfuncionamiento. Invitó al ingeniero apasar a su oficina privada y le ofreció

un café. Conversaron de diferentestemas pero siempre con la fábrica y sumovimiento como tópico central. Hastaque llegó el momento de pagar.

-¿Cuánto le debo? -preguntó el dueño.

-Me debe 1.500 dólares.

El hombre casi se desmaya.

-¿Cuánto me dijo? ¿1.500 dólares?

-Sí -contestó el joven sin inmutarse yrepitió-, 1.500 dólares.

-Pero escúcheme-, casi le gritó eldueño-. ¿Cómo va a pretender que lepague 1.500 dólares por algo que le

llevó cinco minutos?

-No, señor -siguió el joven-. Me llevócinco minutos y cinco años de estudios.

19. ¿Por qué escribí estelibro?

Es una historia repetida. No importadónde, no importa con quién, no importacómo, siempre hay espacio paraexpresar el odio hacia la matemática.Pero ¿por qué? ¿Por qué genera tantareacción contraria? ¿Por qué tiene tanmala prensa?

Como matemático me tropiezomuchísimas veces con las preguntas

obvias: ¿para qué sirve? ¿Cómo seusa?... y ustedes pueden completar aquícon las propias. O peor aún: niños (ypadres) dicen: "no entiendo nada", "meaburro", "nunca fui bueno para eso"...Así... "eso". La matemática es unaespecie de "eso" o eventualmente "ésa",que está poco menos que omnipresenteen los colegios y escuelas, y que seexhibe como la torturadora universal.

La matemática es sinónimo de casi todoslos momentos tristes de nuestrocrecimiento escolar. Es sinónimo defrustración. Cuando éramos pequeños,nada exhibía mejor nuestra impotenciaque un problema de matemática. Unpoco más adelante, ya en los colegios

secundarios, uno se encuentra conproblemas de física y química, pero,esencialmente, las mayores dificultadesestán siempre asociadas con lamatemática.

No conozco el dato exacto, peroapostaría a que si uno hiciera unarevisión en todos los colegiossecundarios y se hiciera la siguientepregunta: dado un alumno que se llevamás de una asignatura a examen (sea endiciembre o en marzo), ¿en cuántoscasos una de las dos será matemática,estoy seguro de que el resultado seríasorprendente. ¿Cuánto dará? ¿El 80% delos casos? ¿Más? Estoy seguro de querondará ese número.

Un estudiante detecta rápidamente que lahistoria es algo que pasó. Le gustará ono, le interesará o no, pero pasó. Unopuede analizar los hechos del presentecomo una consecuencia de lo pasado. Entodo caso, el estudiante (y el docente)podrán o no entender para qué les sirveestudiarla, pero el estudiante no necesitapreguntarse qué es.

Con la biología lo mismo: las plantasestán, los animales también, la clonaciónsale en los diarios y uno escucha hablarde ADN y la decodificación del genomahumano por televisión. Geografía,contabilidad, lenguaje, gramática,idioma... todo tiene una autoexplicación.La matemática no tiene abogado que la

defienda. No hay ninguna otra asignaturade la currícula que se pueda comparar.La matemática pierde siempre. Y comono tiene buena prensa, se haceincomprensible que a uno lo obliguen aestudiarla. ¿Para qué?

Los propios padres de los jóvenes estánde acuerdo, porque ellos mismostuvieron malas experiencias también.

Para mí hay una conclusión obvia. Lospeores enemigos que tiene la matemáticasomos los propios docentes, porque nologramos despertar en los jóvenes quetenemos enfrente la curiosidad mínimapara poder disfrutarla. La matemáticacontiene una belleza infinita, pero si laspersonas que la tienen que disfrutar no

la pueden ver, la culpa es de quien laexpone.

Enseñar a disfrutar de pensar, de tenerun problema, de regodearse aun cuandouno no puede encontrar la solución perolo tiene como un desafío, es una tarea delos docentes. Y no es sólo un problemautilitario. No abogo por eso tampoco: nopretendo que alguien haga una lista depotenciales usos para convencer a laaudiencia. No. Hablo de la magia depoder pensar, seducir mostrando lo quese ignora, desafiar a la mente.

Eso es lo que no tiene la matemática: notiene quién la defienda.

Capitulo 7. Soluciones

1. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DEL HOTELDE HILBERT

1. Si en lugar de una persona llegandos, lo que el conserje tiene quehacer es pedirle al de la habitación1 que vaya a la 3, al de la 2 a la 4,al de la 3 a la 5, al de la 4 a la 6,etcétera. Es decir, pedirle a cadauno que se corra dos habitaciones.Eso dejará las dos primerashabitaciones libres que serviránpara alojar a los dos pasajeros

recién llegados.2. Si en lugar de dos pasajeros llegan

cien, entonces lo que hay que haceres decirle al señor de la habitación1 que pase a la 101, al de la 2, a lahabitación 102, al de la 3, a lahabitación 103, y a si siguiendo. Laidea es que cada uno se corraexactamente cien habitaciones. Esodejará cien habitaciones libres, queocuparán los cien nuevos pasajerosque recién arribaron.

3. Con la misma idea quesolucionamos las partes a) y b) seresponde ésta. Si los que llegan sonn nuevos pasajeros, la solución escorrer cada pasajero que yaocupaba una habitación, n

habitaciones. Es decir: si alguienestá en la habitación x, pasarlo a lahabitación (x + n). Eso dejará nhabitaciones libres para los reciénllegados, y para terminar decontestar la pregunta que plantea elítem c), la respuesta es si, sea cualfuere el número de personas quellega, SIEMPRE se puede resolverel problema como acabamos deindicar.

4. Por ultimo, si los que llegan soninfinitos nuevos pasajeros,entonces, ¿qué hacer? Unaposibilidad es decirle al de lapieza 1 que pase a la 2, al de la 2que pase a la 4, al de la 3 que pasea la 6, al de la 4 que pase a la 8, al

de la 5 que vaya a la 10, etcétera.Es decir, cada uno pasa a lahabitación que está indicada con eldoble del número que tiene en esemomento. De esta forma, todos losrecién llegados tienen unahabitación (las que están marcadascon un número impar) mientras quelos pasajeros que ya estaban antesde la invasión de nuevos turistas,ocuparán ahora todas lashabitaciones con números pares enla puerta.

MORALEJA: los conjuntos infinitostienen propiedades muy peculiares,pero, entre otras, la que atenta contra laintuición es que un subconjunto "más

pequeño”, “contenido" dentro de unconjunto, puede contener el mismonumero de elementos que el todo. Sobreeste tema hablamos bastante en elcapitulo de los distintos tipos deinfinitos.

2. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DE QUE 1 = 2

El razonamiento es perfecto hasta unpunto: cuando en el texto dice:

Sacando factor común en cada miembro,2a (a - b) = a (a - b)

Luego, simplificando en ambos ladospor (a - b), se tiene: 2a = a.

Y aquí me quiero detener: ¿se puedesimplificar? Es decir, analicemos lo quequiere decir "simplificar" y si se puedesiempre simplificar.

Por ejemplo:

Si uno tiene

10 = 4 + 6

2 x 5 = 2 x 2 + 2 x 3

2 x 5 = 2(2 + 3) (*)

en este caso, aparece el número 2 en losdos términos y uno, si simplifica (esdecir, como el número 2 aparece comofactor en ambos lados, uno se "deshace"

de él) y resulta:

5 = (2 + 3) (**)

Como se ve, en este caso, la igualdadque había en (*), sigue valiendo en (**)

En general, si uno tiene a x b = a x c, ¿sepuede siempre simplificar? O sea, ¿sepuede siempre eliminar el factor a queaparece en ambos miembros? Si unosimplifica, ¿siempre vale la igualdad b= c?

Fíjense en el siguiente caso:

0 = 2 x 0 = 3 x 0 = 0 (***)

Es decir, como uno sabe que 0 = 0, y

tanto 2 x 0 como 3 x 0 son cero, sededuce la igualdad (***).

Luego, de la igualdad

2 x 0 =3 x 0

uno podría hacer lo mismo que hizo enel caso del número 2 un poco másarriba. Ahora, lo que debería valer, esque si uno "elimina" el número 0 decada miembro (ya que en ambos estácomo factor), se tendría:

2 = 3

que claramente es falso. El problema,entonces, es que para que uno pueda"eliminar" o "simplificar”; el factor del

que se va a deshacer tiene que serdiferente de 0. O sea, una vez más,aparece la imposibilidad de dividir porcero.

Lo que seguía de la deducción de que 1= 2, ahora resulta irrelevante, porque elproblema se plantea cuando uno quieredividir por (a-b), que es cero, porque alprincipio de todo, escribimos que a = b,y por lo tanto,

a - b = 0

3. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DE LAPOTENCIAL DOBLE

DESCOMPOSICIÓN DEL NÚMERO1.001

El numero 1.001 = 7 x 143 = 11 x 91

Esto parecería atentar contra la validezdel teorema fundamental de laaritmética, porque pareciera que elnumero 1.001 tiene dosdescomposiciones. Sin embargo, elproblema es que ni 143 ni 91 sonprimos.

143 = 11 x 13

y

91 = 7 x 13

Luego, podemos respirar tranquilos. Elteorema sigue vivito y coleando.

4. SOLUCIÓN A LACORRESPONDENCIAENTRE LOS NÚMEROSNATURALES Y LOSRACIONALES POSITIVOSY NEGATIVOS

Al 0/1 le asignamos el 1

Al 1/1 le asignamos el 2

Al -1/1 le asignamos el 3

Al 1/2 le asignamos el 4

Al -1/2 le asignamos el 5

Al 2/2 le asignamos el 7

Al -2/2 le asignamos el 8

Al 2/1 le asignamos el 9

Al -2/1 le asignamos el 10

Al 3/1 le asignamos el 11

Al -3/1 le asignamos el 12

Al 3/2 le asignamos el 13

Al -3/2 le asignamos el 14

Al 3/3 le asignamos el 15

Al -3/3 le asignamos el 16

Al 2/3 le asignamos el 17

Al -2/3 le asignamos el 18

Al 1/3 le asignamos el 19

Al -1/3 le asignamos el 20

Al 1/4 le asignamos el 21

Al -1/4 le asignamos el 22

Al 2/4 le asignamos el 23

Al -2/4 le asignamos el 24

Al 3/4 le asignamos el 25

Al -3/4 le asignamos el 26

Al 4/4 le asignamos el 27...

...y así sucesivamente.

5. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DE UNPUNTO EN UNSEGMENTO

6. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DE LAMONEDA CARGADA

Supongamos que la probabilidad de quesalga cara es p y la probabilidad de quesalga ceca es q.

Antes de escribir la solución,analicemos qué pasaría si tiráramos estamoneda al aire dos veces seguidas.¿Cuales son los resultados posibles?

1. Cara – Cara 2. Cara – Ceca 3. Ceca –Cara [*] 4. Ceca – Ceca

Es decir, hay cuatro resultados posibles.

¿Cuál es la probabilidad de que salga(1) (o sea, cara-cara)? La probabilidadserá igual a p * p = p 2 . ¿Por qué? Yasabemos que la probabilidad de quesalga cara la primera vez es p. Si ahorarepetimos el proceso, la probabilidad deque vuelva a salir cara, sigue siendo p.Como estamos tirando la moneda dosveces seguidas, las probabilidades semultiplican y resulta

(p * p) = p 2 (**)

Una vez que esto está claro, entoncescalculemos la probabilidad de quesuceda cada uno de los eventos quefiguran en la lista

1. Probabilidad de que salga cara-cara = p 2

2. Probabilidad de que salga cara-ceca = p * q

3. Probabilidad de que salga ceca-cara = q * p

4. Probabilidad de que salga ceca-ceca = q 2

Mirando entonces esta ultima "tablita",¿no se les ocurre qué habría que hacer?

Lo que corresponde entonces paradecidir entre dos alternativas con unamoneda cargada es tirar la moneda dosveces y pedirle a cada participante queella: o bien cara-ceca o bien ceca-cara.Como se ve en esta última lista, las

probabilidades son las mismas: una es p* q y la otra es q * p Sin embargo, sisale cara-ceca, gana uno. Y si sale ceca-cara, gana el otro.

La pregunta que falta hacer es: ¿y si salecara-cara o ceca-ceca? En ese caso, loque hay que hacer es tirar de nuevo lamoneda dos veces hasta desempatar.

7. PENSAMIENTOLATERAL

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DELASCENSOR

Obviamente, el señor en cuestión sufrede enanismo. Ése es el problema por el

cual no puede subir hasta sudepartamento por el ascensor: el señorno llega con sus manos hasta el décimopiso.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DELBAR

El señor tiene hipo. Lo que hace elbarman es asustarlo y eso es suficientepara quitarle el problema. Por eso elseñor agradece y se va.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DEL“AHORCADO"

El señor se colgó luego de treparse a unbloque enorme de hielo, que luego sederritió, obviamente.

Varias veces, este problema aparece conun agregado: en el piso aparecía uncharco de agua, o bien el piso estabamojado o húmedo.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DEL"MUERTO" EN EL CAMPO

El señor había saltado de un avión conun paracaídas que no se abrió. Y ése esel paquete que está "sin abrir" a su lado.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DELBRAZO QUE LLEGA PORCORREO

Tres hombres quedaron atrapados en unaisla desierta. Desesperados de hambre,decidieron amputarse los tres brazos

izquierdos respectivos para comerlos.Se juraron entre si que cada unopermitiría que le cortaran el brazo. Unode ellos era médico y fue quien cortó elbrazo de sus dos compañeros. Sinembargo, cuando terminaron de comerlos brazos fueron rescatados. Pero comoel juramento todavía estaba pendiente, elmédico se hizo amputar el brazo y se losenvió a sus colegas en la expedición.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DELHOMBRE QUE PRUEBA LACOMIDA Y SE PEGA UN TIRO

El hecho es que ambas personas habíannaufragado en un barco en dondeviajaban ellos dos y el hijo de uno de

ellos. En el accidente murió el hijo.Cuando el padre, ahora en el restaurante,probó el plato que habían pedido(albatros), se dio cuenta de que él nuncahabía percibido ese gusto y descubrió loque había pasado: había estadocomiendo la carne de su propio hijo y nola carne del animal (albatros) comosiempre le habían hecho creer.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DELHOMBRE QUE DESCUBRIÓ QUESU MUJER HABLA MUERTOBAJANDO LAS ESCALERAS

El señor estaba bajando las escaleras deun edificio en donde había un hospital.Mientras lo hacia, se cortó la luz y él

sabia que no había un aparato generadorde corriente. Su mujer estaba conectadaa un respirador artificial que requería deelectricidad para mantenerla viva. Nibien se dio cuenta de que se habíacortado la corriente, eso implicabaforzosamente la muerte de s u mujer.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE LAMUJER QUE SE MURIÓ CUANDOSE DETUVO LA MÚSICA

La mujer era una equilibrista del circoque caminaba sobre una cuerda muytensa que unía dos postes con una cabinaen cada esquina. Mientras la mujercaminaba con una varilla en sus manos yla cara tapada, la señal de que había

llegado a destino era que el director dela orquesta detenía la música. Una vez,el director enfermó y fue reemplazadopor otro que no conocía el dato. Laorquesta se detuvo antes. La mujer creyóestar a salvo e hizo un movimientoinesperado. Cayó y murió al detenerse lamúsica.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE LAHERMANA QUE MATA A LAOTRA

Ellas eran las dos únicas que quedabanrepresentando ala familia; una de lashermanas se había enamorado a primeravista de este hombre y nunca sabríacomo hacer para encontrarlo. Sin

embargo, era evidente que él conocía aalguien de la familia; por eso había idoal funeral de la madre. Entonces, laúnica manera de volver a verlo, sería enun nuevo funeral. Y por eso mata a lahermana.

8. PROBLEMA DE LOSTRES INTERRUPTORESDE LUZ

Lo que uno hace es lo siguiente. Mueveuno de los interruptores (cualquiera)hacia la posición de "encendido" yespera quince minutos (sólo para fijarlas ideas, no es que haga falta tanto). Nibien pasó este tiempo, uno vuelve el

interruptor que tocó a la posición de"apagado" y "enciende" uno de los otrosdos. En ese momento entra en lahabitación.

Si la luz está encendida, uno sabe que elinterruptor que está buscando es el quemovió en segundo lugar.

Si la luz está apagada pero la bombitaestá caliente, eso significa que elinterruptor que activa la luz es elprimero, el que uno dejó en la posiciónde "encendido" durante quince minutos(por eso queríamos el tiempo... para quela "bombita" aumentara su temperatura).

Por último, si la bombita está apagada yademás, al tocarla, no nota que haya

diferencias con la temperatura ambiente,eso significa que el interruptor queactiva la luz es el tercero, el que unonunca tocó.

9. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DE LOS 128PARTICIPANTES EN UNTORNEO DE TENIS

La tentación que uno tiene es la dedividir el número de participantes pordos, con lo que quedan 64 partidos parala primera ronda. Como se elimina lamitad de ellos, quedarán, después deesos 64 partidos, 64 competidores.Luego, los dividimos en dos otra vez, y

tendremos 32 partidos. Y así siguiendo.Resultaría que uno tiene que sumar lacantidad de partidos hasta llegar alpartido final.

Pero les propongo pensar el problemade una forma distinta. Como hay 128participantes, para que uno quedeeliminado tiene que perder un partido.Nada más que uno. Pero tiene queperderlo. Luego, si hay 128participantes al comienzo del torneo, yal final queda uno (el campeón, quien esel único que no perdió ninguno de lospartidos que jugó), significa que losrestantes 127, para haber quedadoeliminados tienen que haber perdidoexactamente un partido. Y como en cada

partido siempre hay exactamente unganador y un perdedor, lo que tuvo quepasar es que tuvieron que jugarse 127partidos para que quedaran eliminadostodos y quedara uno sólo que fue elúnico que los ganó todos.

Moraleja: se jugaron exactamente 127partidos.

Si lo hubiéramos hecho de la otra forma,el resultado es (obviamente) el mismo:64 partidos en la primera ronda, 32después, 16 en los dieciseisavos definal, 8 en los octavos de final, 4 en loscuartos de final, dos en las semifinales yuno en la final. Si uno suma todos estospartidos:

64+32+16+8+4+2+1 =127

En el caso de ser únicamente 128participantes, es fácil ir sumando ohaciendo la cuenta. Pero la idea anteriorserviría en el caso de que hubierahabido 1.024 participantes, en cuyocaso, el total de partidos a jugarse seríade 1.023.

10. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DEL BAR

Cada persona entró con 10 pesos en subolsillo. Tenían que pagar la cuenta de25 pesos. Cada uno puso sus 10 pesos yel mozo se llevó los 30.

Cuando volvió, trajo 5 billetes de unpeso. Cada uno de los comensales sellevó un billete de un peso y le dio dosbilletes al mozo.

Eso quiere decir que, como cada unopagó 9 pesos (el billete de 10 que pusomenos el billete de un peso que ledevolvieron), en total, pagaron 27pesos. ¡Y eso es exactamente lo quesuma la cuenta (25 pesos) más lapropina (2 pesos)!

Es incorrecto decir que los tres pagaron9 pesos (lo cual suma 27) más los dospesos de propina para el mozo (quesumados a los 27 resulta en los 29),porque en realidad, la cuenta más lapropina suman 27, que es exactamente lo

que pagaron entre los tres.

Cuando uno quiere multiplicar por treslos 9 pesos que cada uno puso y obtienelos 27 pesos, es porque uno ya incluyola propina mas la cuenta.

El problema engaña, porque a uno lepresentan como dificultad que pagaran27 pesos más los dos pesos de propina,cuando en realidad, en esos 27 pesos yaestá incluida la recompensa para elmozo.

11. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DE LOSANTEPASADOS

Lo que no tiene en cuenta el argumentoes que cada antepasado pudo (y dehecho tiene) un montón de hijos y nietos(por no seguir con bisnietos otataranietos, etcétera).

Por ejemplo, mi hermana Laura y yocompartimos los mismos antepasados:ambos tenemos los mismos padres, losmismos abuelos, los mismos bisabuelos,etcétera. Pero si uno se corre "un poco"y considera un primo (no un númeroprimo, sino una prima hermana), la cosacambia: mi prima Lili y yo tenemos sóloseis abuelos distintos (y no ocho comolos que tendría con cualquier otrapersona que no fuera ni un primohermano ni un hermanola).

Es verdad que hace 250 años yo teníamás de mil antepasados, pero también esverdad que los compartía con muchaotra gente que ni siquiera conozco.

Por ejemplo (y los invito a que hagan un"árbol genealógico”; (aunque noconozcan los nombres de susantepasados): si alguna persona yustedes tuvieron un bisabuelo en común,entonces, de los 1.024 antepasados queustedes tienen, comparten con esapersona 128. Hagan la cuenta y vean queentonces llegan a tener exactamente 128antepasados en común.

Esta situación, naturalmente, reducemuchísimo el número de antepasados,porque hace que dos personas que no se

conocen tengan muchísimos antepasadoscomunes. Insisto: siéntense con un papely un lápiz y hagan un "dibujito" paraconvencerse. También habría queconsiderar que quizá los 1.024antepasados que teníamos hace 250 añosno fueran todos distintos.

12. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DE MONTYHALL

En principio, cuando el participantehace su primera elección, tiene unachance de acertar entre tres. O sea, laprobabilidad de que se quede con elautomóvil es un tercio. Aunque parezca

redundante, este hecho es importante: elfinalista tiene una chance para acertarentre tres, y dos de errar.

¿Qué preferirían ustedes en este caso?¿Tener dos puertas o una sola?Claramente, uno elegiría tener dos y nouna. Eso significa que, al elegir una, seestá en desventaja con respecto a lasotras dos. Y por eso, si hubiera otroparticipante y a él lo dejaran elegir dos,ustedes sentirían que quedaron eninferioridad de condiciones. Es más:siguiendo con esta idea, es seguro que sihubiera otro participante que se quedócon dos puertas para él, en una de ellashabría un chivo. Por eso, no es unasorpresa que el conductor del programa

abra una de las que le correspondió a ely allí no estuviera el automóvil.

En eso, justamente, radica la idea delproblema. Es preferible tener dospuertas, que tener una sola. Y por eso,cuando a uno le dan la chance decambiar, debe cambia inmediatamenteporque aumenta uno las chances deacertar al doble, nada menos. Es que unono puede ignorar que el problemaempieza con las tres puertas y uno eligeuna de las tres.

Ahora, para convencerse aun más (si esque todavía le hace falta), veamosexhaustivamente todas las posibilidades.

Éstas son las tres posibles

configuraciones:

Puerta 1 Puerta 2 Puerta 3Posición1 Automóvil Chivo Chivo

Posición2 Chivo Automóvil Chivo

Posición3 Chivo Chivo Automóvil

Supongamos que tenemos la posición 1.

POSIBILIDAD 1: Ustedes eligen lapuerta 1. El conductor abre la 2. Siustedes cambian, PIERDEN.

Si ustedes se quedan, GANAN.

Es obvio que si el conductor hubieraabierto la puerta 3, el resultado sería elmismo.

POSIBILIDAD 2: Ustedes eligen lapuerta 2. El conductor abre la 3. Siustedes cambian, GANAN.

Si ustedes se quedan, PIERDEN.

POSIBILIDAD 3: Ustedes eligen lapuerta 3. El conductor abre la 2. Siustedes cambian, GANAN.

Si ustedes se quedan, PIERDEN.

En resumen, ustedes GANAN en dos delas veces si cambian y sólo GANAN unavez si se quedan. Es decir, GANAN en

el doble de las veces si cambian. Estoque parece" anti-intuitivo" o que "atentacontra la intuición; deberíaconvencerlos. Pero si aún no es así, lessugiero que se sienten un rato con unlápiz.

En todo caso, otra manera de pensarloes la siguiente: supongamos que en lugarde haber tres puertas, hubiera un millónde puertas y les dan a elegir una sola(como antes). Por supuesto, como antes,sólo detrás de una hay un automóvil.Para hacerlo aun más evidente,supongamos que hay dos competidores:uno de ustedes y otro. A uno le dan aelegir una sola puerta y, al otro, le danlas 999.999 restantes. No hace falta que

le pregunte si a usted no le gustaría tenerla chance de ser el otro, ya que larespuesta seria obvia. El otro tiene999.999 más posibilidades de ganar.Ahora supongamos que una vez elegidauna puerta, el conductor del programaabre 999.998 de las puertas del otro endonde él sabe que no esta el automóvil yle da la chance ahora de elegir denuevo: ¿se queda con la que eligió enprincipio o elige la que tiene el otro?Creo que ahora se entiende mejor(espero) que es conveniente cambiar. Entodo caso, los invito a que piensen loque sería tener que fabricar la tablitaque aparece adjunta, pero en lugar dehacerla con tres puertas hacerla con unmillón.

13. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DE LA TAPADE LAS "BOCAS DETORMENTA"

Como estas tapas son de metal (hierro)muy pesado y son muy gruesas, sicupiera la posibilidad de que "cayeran"en el mismo pozo que están tapando,podrían obviamente lastimar gravementea un humano. La única "formageométrica regular" que impide que latapa "caiga" esté en la posición en queesté, es que la tapa sea redonda. Porejemplo, si fuera cuadrada, uno podríarotarla hasta ponerla en diagonal y enese caso, caería fácilmente por el

agujero. En consecuencia la respuesta esque son redondas por razones deseguridad y simplicidad.

14. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DELACERTIJO DE EINSTEIN

Mi idea fue numerarlos

1 2 3 4 5 Rojo1 2 3 4 5 Azul1 2 3 4 5 Verde1 2 3 4 5 Amarillo1 2 3 4 5 Blanco1 2 3 4 5 Perro

1 2 3 4 5 Gato1 2 3 4 5 Pájaro1 2 3 4 5 Caballo1 2 3 4 5 Pescado1 2 3 4 5 Pall Mall1 2 3 4 5 Blends1 2 3 4 5 Dunhill1 2 3 4 5 Prince1 2 3 4 5 Bluemaster1 2 3 4 5 Cerveza1 2 3 4 5 Agua1 2 3 4 5 Leche1 2 3 4 5 Té1 2 3 4 5 Café

Así se puede pasar cada condición a

números. Por ejemplo: como el danéstoma té, no puede vivir en el centro(porque en la casa del centro se tomaagua). Eso significa que hay que tacharel número 3 en donde está el danés(porque la casa 3 es la del centro).Como el alemán fuma Prince, esosignifica que el noruego es distinto dePrince (no pueden fumarlo mismo elnoruego y el alemán).

Como amarillo = Dunhill y azul = 2entonces, azul es distinto de Dunhill, osea Dunhill no puede ser 2 (y hay quetacharlo). Como Bluemaster = cerveza,entonces Bluemaster es distinto de 3.Como verde = café, entonces verdedistinto de 3. Como noruego = 1 y azul =

noruego + 1 = 2, y además británico =rojo, entonces británico es distinto de 2.Como británico = rojo y hemos visto quebritánico no puede ser ni 1 ni 2,entonces rojo no puede ser 1, ni rojopuede ser 2. Como sueco = perro ysueco distinto de 1, entonces perrodistinto de 1. Como danés = té y danéses distinto de 1, entonces té es distintode 1. Como verde = café y verde nopuede ser ni 2 ni 3 ni 5, entonces café nopuede ser ni 2 ni 3 ni 5. Como noruego =1 y azul = noruego + 1 entonces, azul =2. Como blends = agua + o - 1, y agua nopuede ser 3, entonces:

1. si agua = 1, entonces blends = 22. si agua = 2, entonces blends = 1 o 3

3. si agua = 4, entonces blends = 5 o 34. si agua = 5, entonces blends = 4

Por otro lado se sabe que:

verde es menor que blanco

verde = café

pall mall = pájaro bluemaster = cervezablends = agua + 0 = 1

rojo = británico

sueco = perro

danés = té

blends = gato + 0 -1

caballo = dunhill + 0 – 1

alemán = prince

amarillo = dunhill

Puse todas estas condiciones en lastablitas que están más arriba, de maneratal de equiparar. Por ejemplo:

británico = rojo (por lo tanto, la líneadel británico tiene que ser igual a la delrojo. Si hay algo que uno no puede ser,entonces el otro tampoco, y viceversa).

De un análisis surge, que verde puedeser 4 o 1. Pero si verde es = 4, comoverde es menor que blanco, esto obliga aque blanco = 5... y de aquí, surge que

rojo = 3 y amarillo = 1... con lo cualqueda la siguiente situación (que es laque va a terminar siendo correcta):

amarillo = 1

azul = 2

rojo =3

verde = 4

blanco = 5

De otro análisis, surge que Bluemasterpuede ser 2 o 5. Si Bluemaster es 2,como Bluemaster = cerveza, entoncescerveza = 2, té = 5 y agua = 1 pero lahipótesis 15 obliga a que Blends = agua

+ 1, por lo que Blends = 2.

Luego, Bluemaster = 5, cerveza = 5, té =2. Todo esto obliga a que Prince = 4 yesto implica que Pall Mall = 3 peroentonces Pall mall = 3, obliga a pájaro =3 y entonces caballo = 2 y por lo tantosueco = 5. Desde aquí, sedesencadenaba todo. Hasta dar con él.

15. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DE LASVELAS

Se toma una vela y se la enciende de losdos extremos. Al mismo tiempo, seenciende la otra vela.

Cuando la primera se terminó deconsumir, pasó media hora. Eso quieredecir que queda también exactamentemedia hora hasta que la segunda velatermine de consumirse. En ese momento,se prende el otro extremo de la segundavela.

En el instante en que se termina deconsumir esta segunda vela, se cumplenexactamente quince minutos desde queempezó el proceso.

16. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DE LOSSOMBREROS (1)

¿Cómo hizo C para poder contestar quetenía un sombrero blanco? Lo que hizo Ces pensar en silencio lo siguiente.Supuso que él tenía un sombrero decolor negro. Y entonces, con elrazonamiento que voy a escribir ahora,se dio cuenta de que si él tuviera unsombrero de color negro, o bien A obien B debieron haber contestado antesque él, el color del sombrero. Y comono lo hicieron, es porque el sombreroque el tiene que tener es blanco.

Su línea de razonamiento fue lasiguiente: "si yo tengo un sombreronegro, ¿que pasó antes? A no pudocontestar. Claro, A no pudo contestar,porque al ver que B tenia un sombrero

blanco no importaba que yo (C) tuvierauno negro. Él (A) no podía deducir nadade esta información. Pero... ¡pero B si!Porque B, al ver que A no podíacontestar, porque estaba viendo que Btenia un sombrero blanco, porque si no,si A hubiera visto que ambos teníansombreros negros, hubiera dicho que eltenia uno blanco. Y no lo hizo. Por lotanto, A tenia que haber visto que Btenia uno blanco. Pero B ¡tampococontestó! Tampoco él pudo contestar”.Lo cual significaba que B estaba viendoque C no podía tener un sombrero negro.

Conclusión: si C hubiera tenido unsombrero negro, A o bien B hubierantenido que poder contestar antes.

Ninguno de los dos pudo hacerlo, losdos tuvieron que pasar, porque C teníaun sombrero blanco.

17. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DE LOSSOMBREROS (2)

¿Cómo hacer para mejorar la estrategiadel 50%?

Lo que uno hace es lo siguiente. ¿Cualesson las posibilidades de distribución delos sombreros? Pongamos en columnaslos ocho casos (hagan la cuenta paraconvencerse de que hay sólo ochoposibles alternativas):

A B Cblanco blanco blancoblanco blanco negroblanco negro blancoblanco negro negronegro blanco blanconegro blanco negronegro negro blanconegro negro negro

La estrategia que establecen los tres esla siguiente: "cuando el director nospregunte a uno de nosotros el color desombrero, miramos los colores desombrero de los otros dos. Si soniguales entre sí, elegimos el contrario.Si son distintos, pasamos". Veamos qué

pasa con esta estrategia. Para eso, losinvito a que analicemos la tabla quefigura en (*).

A B C1) blanco blanco blanco2) blanco blanco negro3) blanco negro blanco4) blanco negro negro5) negro blanco blanco6) negro blanco negro7) negro negro blanco8) negro negro negro

Veamos en cuales de las ochoposibilidades la respuesta garantiza lalibertad (es decir, una correcta por lo

menos y ninguna incorrecta). En el caso(1), A, al ver dos sombreros de igualcolor (blanco en este caso), dice negro.Y pierden. Este caso es perdedor. En elcaso (2), A, al ver colores distintos,pasa. B, al ver distintos, pasa también.Pero C, como ve que A y B tienensombreros blancos, dice negro y ganan.Este caso es ganador. En el caso (3), A,al ver colores distintos, pasa. B ve doscolores iguales (blancos para A y C),entonces elige el contrario y gana. Estecaso es ganador. En el caso (4), A, alver sombreros de igual color (negro ynegro), elige el contrario y ganatambién. Este caso es ganador.

Ahora, creo que puedo ir más rápido: en

el caso (5), A gana porque dice negro ylos otros dos pasan. Este caso esganador. El caso (6), A pasa, pero Bdice blanco (al ver que A y C tienennegro. Y este caso es ganador también.

En el caso (7), A pasa, B pasa también yC dice blanco y gana, ya que tanto Acomo B tienen el mismo color. Este casoes ganador. Por ultimo, el caso (8): Apierde, porque ve que B y C tienen elmismo color de sombrero (negro) y élelige el contrario, blanco, y pierde. Estecaso es perdedor.

Si uno mira la cuenta, de los ocho casosposibles, la estrategia permite acertar enseis casos. Luego, la probabilidad deéxito es de 314, o sea, de un 75%, que,

claramente, mejora la estrategia inicial.

18. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DELMENSAJEINTERPLANETARIO

K Representa + (suma)L “ = (igualdad)M “ - (resta)N “ 0 (cero)p “ x (producto)Q “ - (división)

R “ elevar a...(potencia)

S “ 100 (cien)

T “ 1.000 (mil)u “ 0,1 (un décimo)

V “ 0,01 (uncentésimo)

W “ , (coma odecimal)

Y “ aproximadamenteigual

Z “ ðA “ número 1B “ número 2C “ número 3D “ número 4E “ número 5F “ número 6G “ número 7

H “ número 8I “ número 9J “ número 10D “ número 4E “ número 5F “ número 6G “ número 7H “ número 8I “ número 9J “ número 10

MENSAJE: (4/3)π (0,0092) 3

En este caso, el mensaje esta escrito enun código que sólo asume del ser que lova a leer que es lo suficientemente"inteligente" como para entender la

lógica subyacente. Es decir: no ha cefalta que quien lo lea sepa ninguna letra,ningún número, ni ningún símbolo.Fueron usados para escribir el mensajepor comodidad de quien lo hizo, peropodría haber utilizado cualquier otrasimbología.

Una vez aclarado esto, el mensaje dice:

(4/3)π (0,0092) 3

Aquí lo que hay que agregar es que elvolumen de una esfera es (4/3)π r 3 ,donde r es el radio de la esfera. Y lavalidez de esta fórmula es independientede quien sea el que lo lea. Además seusa la constanteπ o pi, cuyo valor

tampoco depende de la escritura, sinoque es una constante que resulta delcociente entre el perímetro de unacircunferencia y su diámetro.

Ahora bien: ¿qué es 0,0092?

El objetivo del mensaje es advertirle aquien lo lea que fue enviado desde laTierra. ¿Cómo decírselo? La Tierratiene un diámetro de aproximadamente12.750 kilómetros. Pero ni bienapareciera este número (sea en millas osu equivalente en kilómetros) se planteaun problema, porque quien lo lee notiene la convención incorporada de loque es una milla o un kilómetro o lo quefuere. Había que decirle algo que noutilizara ninguna medida. ¿Cómo hacer?

Entonces, piensen que si alguien quierecomentarle a otro ser el diámetro de laTierra o el del Sol, necesita utilizaralguna unidad de medida. En cambio, sisólo le importa hablarle de la relaciónque hay entre ambos, basta con decirlecuál es el cociente entre ambos. Y estenúmero si que es constante,independientemente de la unidad que seuse para medirlo.

Justamente, eso es lo que hace elmensaje: Tomar el diámetro de la Tierray dividirlo por el diámetro del Sol(1.392.000 kilómetros) (todos los datosson aproximados, obviamente). Esecociente es aproximadamente 0,0092,

que es el numero que aparece en elmensaje (en realidad, el cociente es0,00911034...).

Por otro lado, si uno hace el cociente delos diámetros de todos los otros planetascon el diámetro del Sol, el único númeroque da parecido a ése es el de la Tierra.De esa forma, el mensaje es claro: ¡Leestá diciendo que lo mandamos desdeaquí!

19. SOLUCIÓN ALPROBLEMA DELNÚMERO QUE FALTA(EN LOS TESTS DEINTELIGENCIA)

El numero que falta es el 215. Miren losnúmeros que hay en la primera fila en laprimera y tercera columna: 54 y 36. Lasuma de los dos exteriores (5 + 6) = 11.La suma de los dos interiores (4 + 3)= 7.

De esa forma, se obtuvo el número 117:juntando la suma de los dos exteriorescon la de los dos interiores.

Pasemos a la siguiente fila y hagamos elmismo ejercicio. Los dos números de laprimera y tercera columna son: 72 y 28.Sumando los dos exteriores (7 + 8) = 15y sumando los dos interiores (2 + 2) = 4.Luego, el número que va en el centro es154.

Si uno sigue en la tercera fila, tiene 39 y

42. La suma de los dos exteriores (3 +2) = 5 y los dos internos (9 + 4) = 13.Por lo tanto, el número que va en elcentro es 513.

Por ultimo, con este patrón, dados losnúmeros 18 y 71, los dos exterioressuman (1 + 1) = 2. Y los dos centrales(8 + 7) = 15. Corolario: el número quefalta es 215.

Apéndice. ColumnasBinarias