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Matematica discreta: dai poliedri al DNAPianeta Galileo 2011
Giorgio Ottaviani
Dipartimento di MatematicaUniversita di Firenze
28 Novembre 2011
Giorgio Ottaviani Matematica discreta
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Introduzione
Il discreto viene rapprentato con i numeri naturali.
Il continuo viene rapprentato con i numeri reali.
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Si puo dividere all’infinito ?
Democrito, nato nel 460 a.C., e il fondatore dell’atomismo
Schema classico di un atomo di elio:
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I paradossi di Zenone
Zenone di Elea concepisce nel V secolo a.C. il paradosso di Achillee la tartaruga.
Un secolo dopo Aristotele suggerisce che lo spazio non puo esserediviso all’infinito.
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Achille e la tartaruga
Dopo la partenza
Dopo un altro attimo
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Il numero di Avogadro
Il numero di Avogadro e un ponte tra il mondo microscopico e ilmondo macroscopico.
N = 6, 02214 · 1023
N e il numero di atomi di idrogeno in un grammo di idrogeno=numero di atomi di carbonio in 12 grammi di carbonio=...
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Il discreto approssima il continuo
Archimede, per calcolare l’area del cerchio, lo approssimava conpoligoni regolari di n lati.
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Il reticolo intero
Il piano cartesiano puo essere approssimato con i punti acoordinate intere
I punti disegnati rappresentano la visione discreta del piano.
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Numeri quadrati
Ogni numero dispari e differenza di due numeri quadrati.
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L’area di un poligono nel piano discreto
Come si calcola l’area di questo poligono ?
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La formula di Pick
Consideriamo un poligono i cui vertici hanno coordinate intere. Sia
i = numero dei punti interni al poligono
b = numero dei punti sul bordo del poligono
Allora
Formula di Pick
Area = i +b
2− 1
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Applicazioni della formula di Pick
i = b = i = 14 b = i = 14 b = 9
Quindi Area = i + b2 − 1 = 14 + 9
2 − 1 = 352 = 17, 5
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Applicazioni della formula di Pick
i = b = i = 10 b = i = 10 b = 12
Quindi Area = i + b2 − 1 = 10 + 12
2 − 1 = 15
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I cinque solidi platonici
Vertici Spigoli Facce
Tetraedro 4 6 4
Cubo 8 12 6
Ottaedro 6 12 8
Dodecaedro 20 30 12
Icosaedro 12 30 20
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La caratteristica di Eulero
Vertici Spigoli Facce V-S+F
Tetraedro 4 6 4 2
Cubo 8 12 6 2
Ottaedro 6 12 8 2
Dodecaedro 20 30 12 2
Icosaedro 12 30 20 2
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Alcuni tori
χ = caratteristica di Eulero
χ = V − S + F = 2− 2g
χ
Toro 0
Bitoro -2
Tritoro -4
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Il problema dell’imballaggio di cerchi
Come sistemare dei cerchi di ugual raggio sul piano, in modo da
avere densita massima?
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L’imballaggio quadrato
Densita =π
4= 0, 7853 . . .
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Imballaggio esagonale
Teorema di Lagrange (1773)
L’imballaggio esagonale e il piu denso
Densita =π
2√
3= 0, 9068 . . .
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Imballaggio di sfere
Qual e l’imballaggio di sfere piu denso ?
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La Congettura di Keplero
La congettura prevede che l’imballaggio usato per le arance e ilmigliore possibile. Ha strati esagonali.
La sua densita e π3√
2= 0, 74048 . . ..
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La Dimostrazione della Congettura di Keplero
Nel 1998 il matematico americano Hales annuncia unadimostrazione della congettura. E’ lunga 250 pagine e richiede 3Gigabyte di spazio disponibile per calcoli su un computer.E’ stata pubblicata ma sono rimasti dei dubbi sulla sua validita.
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Il computer puo certificare la correttezza di unadimostrazione ?
Nel 2003 Hales ha annunciato l’inizio di un progetto per unadimostrazione certificata dal computer. E’ necessario scrivere ladimostrazione in un linguaggio formale. Sono stimati circa 20 annidi lavoro.
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Filogenetica
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Uomo-Scimpanze-Gorilla
Human
Chimpanzee
Gorilla
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Orango e Macaco
Orangutan
Rhesus macaque
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Confronto tra Alberi filogenetici
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Allineamento di sequenze di DNA
Homo Sapiens CTGCCTAGCAAACTCAAACTACGAACGCACT...Scimpanze CTGCCTAGCAAACTCAAATTATGAACGCACC...Gorilla CTGCCTAGCAAACTCAAACTACGAACGAACC...
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Albero filogenetico piu probabile
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Visione moderna, il continuo approssima il discreto
Il discreto descrive il mondo naturale. Ma e molto complesso...
Usiamo il continuo per approssimarlo.
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The end
Grazie dell’attenzione !
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