Matemática computacional aula 001
-
Upload
flavio-freitas -
Category
Education
-
view
682 -
download
1
description
Transcript of Matemática computacional aula 001
![Page 1: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/1.jpg)
Matemática Computacional
Programação LinearAula 001
![Page 2: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/2.jpg)
Programação LinearAula 001Discussão Geral, Exemplos modelados e Exercícios
Flávio Augusto de Freitas
![Page 3: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/3.jpg)
O problema da tomada de decisão leva em conta variáveis e as condições que “prendem” estas variáveis, às quais denominaremos restrições.Há problemas que envolvem milhares de restrições e variáveis.Geralmente, uma decisão está ligada a certo objeto: minimizar os custos de produção, maximizar os lucros, melhorar as condições de vida de uma população etc.
Discussão Geral
![Page 4: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/4.jpg)
Programação LinearResolução de problemas de maximização (como lucro) ou minimização (como custo) de algum objetivo, atendendo a um conjunto de restrições.Parte da modelagem do problema culmina na obtenção da solução ótima.As variáveis são reais (isto é, números não necessariamente inteiros).
Discussão Geral
![Page 5: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/5.jpg)
Um mercado oferece n alimentos diferentes.O custo por unidade de cada alimento j é cj unidades de uma moeda (por exemplo, o alimento 1 custa R$ 15,00 por tonelada).Sabemos também que os alimentos possuem produtos nutritivos, tais como vitaminas, calorias etc., que mantêm o homem com boa saúde.
Exemplo 1
Alimento
R$ Vitamina A
Calorias
1 Carne 15,00 3,0 mg 80
2 Arroz 2,00 1,2 mg 50
3 Feijão 2,90 0,8 mg 30
... ... ... ...
![Page 6: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/6.jpg)
Consideremos m (vitamina A, calorias, por exemplo) produtos essenciais para a vida humana.Os nutricionistas fornecem a quantidade de um produto nutritivo i (m1 calorias, m2 vitaminas etc.) contida em uma unidade do alimento j (carne, arroz, feijão, por exemplo) e indicam também a quantidade mínima necessária de cada produto i para manter o homem em perfeitas condições físicas, durante certo período de tempo (uma semana, por exemplo).
Exemplo 1
![Page 7: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/7.jpg)
Seja bi (b1 calorias, por exemplo) para cada i essa quantidade mínima necessária.Considerando os dados expostos, desejamos uma dieta alimentar de menor custo total, que satisfaça às condições estabelecidas pelos nutricionistas para o período de tempo em questão, isto é, queremos saber a quantidade de cada alimento j (carne, arroz, feijão, por exemplo) que deve ser comprada, de tal maneira que o custo total da compra dos alimentos seja mínimo e atenda às condições de nutrição anteriormente mencionadas.
Exemplo 1
![Page 8: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/8.jpg)
Para equacionarmos esse problema, consideremos o conjunto de alimentos J = {1, 2, 3, ..., n}, que representa os n alimentos do mercadoe o conjunto I = {1, 2, 3, ..., m}, que indica os m produtos nutritivos colhidos nos alimentos.
Exemplo 1 - Solução
Alimento
R$ Vitamina A
Calorias
1 Carne 15,00 3,0 mg 80
2 Arroz 2,00 1,2 mg 50
3 Feijão 2,90 0,8 mg 30
... ... ... ...
J {
I{
![Page 9: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/9.jpg)
Seja aij a quantidade do produto nutritivo i contida em uma unidade do alimento j.A variável xi indica a quantidade do alimento j que será adquirida.As variáveis xj são denominadas variáveis de decisão.
Notemos que essas variáveis xj podem tomar apenas valores positivos ou nulos; uma quantidade negativa do alimento j a ser comprada não tem sentido nesse problema.
Exemplo 1 - Solução
Alimento
R$ Vitamina A
Calorias
1 Carne 15,00 3,0 mg 80
2 Arroz 2,00 1,2 mg 50
3 Feijão 2,90 0,8 mg 30
... ... ... ...
J {
I{
![Page 10: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/10.jpg)
Uma quantidade negativa faria sentido, caso pudéssemos, também, vender o alimento j ao mercado.Portanto, xj é maior ou igual a zero para, todo alimento j que pertence ao conjunto J, isto é,
Exemplo 1 - Solução
Jjx j ,0
![Page 11: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/11.jpg)
Seja aij a quantidade do elemento i contida em uma unidade do elemento j: xj unidades conterão aijxj.
Se comprarmos x1, x2, x3, ..., xn quantidades dos alimentos 1, 2, 3, ..., n, respectivamente, então, ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + ... + ainxn indicará a quantidade total do produto nutritivo i em todos os alimentos comprados.
Exemplo 1 - Solução
![Page 12: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/12.jpg)
Essa quantidade deve ser, no mínimo, igual a bi, para cada i que pertence ao conjunto I, isto é,
Exemplo 1 - Solução
Jj
ijij Iibxa ,
![Page 13: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/13.jpg)
Supondo que haja valores de xj que satisfaçam
e ,
passaremos a expressar o custo total na compra dos alimentos.
Exemplo 1 - Solução
Jjx j ,0
Jj
ijij Iibxa ,
![Page 14: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/14.jpg)
Para comprarmos xj unidades de j, pagaremos cjxj unidades de moeda e, portanto, o custo total na compra de todos os alimentos será c1x1 + c2x2 + ... + cnxn.
Esse somatório será denominado z, isto é:
Exemplo 1 - Solução
Jj
jjxcz
![Page 15: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/15.jpg)
Podemos concluir que desejamos tomar uma decisão em relação às compras dos alimentos j, de forma que o custo total z seja mínimo e que os valores de xj satisfaçam a
e .
Formalmente, escrevemos:minimizar
Exemplo 1 - Solução
Jj
jjxcz
Jjx j ,0
Jj
ijij Iibxa ,
Jj
ijij Iibxa ,
Jjx j ,0
sujeito às seguintes restrições:
![Page 16: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/16.jpg)
O problema designado por , e
É denominado problema de programação linear (PPL) ou programa linear.A expressão
É denominada função objetivo ou função econômica, e as expressões da forma e
serão ditas restrições.
Programação Linear
Jj
jjxcz Jjx j ,0
Jj
ijij Iibxa ,
Jj
ijij Iibxa , Jjx j ,0
Jj
jjxcz
![Page 17: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/17.jpg)
Por que o problema é dito linear?Porque só há funções lineares das variáveis xj na função objetivo e nas restrições.Quando houver funções não lineares de xj nas restrições e/ou na função objetivo, teremos o caso de um problema de programação não linear.De modo geral, o problema de otimizar uma função objetivo, obedecendo às restrições nas variáveis de decisão, é considerado problema de programação matemática.
Alguém sabe?
![Page 18: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/18.jpg)
Um agricultor deseja cultivar duas variedades de cereais, digamos A e B, em uma área restrita a um hectare, sendo que cada are cultivado pelo cereal A produz 8 sacas, enquanto cada are cultivado pelo cereal B produz 10 sacas. Para o plantio, cada are cultivado de cereal tipo A precisa de 3 homens-hora (Hh) e para o cereal tipo B, 2 homens-hora, sendo que se dispõe de até 240 Hh de trabalho para o cultivo. O custo da mão-de-obra é de 200 R$/Hh. A demanda máxima é limitada pelo mercado consumidor a 480 sacas de cereal tipo A, vendido a 150 R$/saca, e 800 sacas de cereal tipo B, vendido a 120 R$/saca. O agricultor deseja planejar sua produção de forma a maximizar o lucro.
Exemplo Numérico a 2 Variáveis
![Page 19: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/19.jpg)
Sejam x1 = quantidade de ares cultivados pelo cereal tipo A, e x2 = quantidade de ares cultivados pelo cereal tipo B.Passemos agora à formulação da função objetivo: maximizar o lucro.
Lucro = Receitas – Custos
Receita cereal A é igual a8 sacas/are x x1 ares x 150 R$/saca = R$ 1200x1
Receita cereal B é igual a10 sacas/are x x2 ares x 120 R$/saca = R$ 1200x2
Receitas = 1200x1 + 1200x2
Exemplo Numérico a 2 Variáveis - Modelagem
![Page 20: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/20.jpg)
Os únicos custos considerados nesse modelo são os de pagamento de mão-de-obra.A mão-de-obra de cultivo do cereal A será 3 Hh/are x x1 ares = 3x1 Hh.
Esse trabalho é remunerado a 200 R$/Hh = R$ 600x1, para o cereal A.
Para o cereal B, 2x2 Hh x 200 R$/Hh = R$ 400x2. Assim,
Custos = 600x1 + 400x2
Exemplo Numérico a 2 Variáveis - Modelagem
![Page 21: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/21.jpg)
Tomando-se agora o lucro Z = Receitas – Custos, tem-se Z = 1200x1 + 1200x2 - (600x1 + 400x2), ou Z = 600x1 + 800x2.
Agora serão formadas as restrições.Um hectare de terra disponível para o cultivo corresponde a 100 ares. Assim, a área cultivada pelo cereal tipo A mais a área cultivada pelo cereal tipo B devem ocupar parte ou toda essa área de 100 ares, o que se traduz por meio da restrição x1 + x2 ≤ 100.
Exemplo Numérico a 2 Variáveis - Modelagem
![Page 22: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/22.jpg)
Já o consumo de homens-hora mede-se por 3x1 para o cultivo do cereal tipo A, pois cada are cultivado por cereal A precisa de 3 homens-hora.O cultivo de cereal tipo B necessita ao todo de 2x2 homens-hora.
O consumo total será a soma dessas quantias e não poderá exceder a 240. Assim, 3x1 + 2x2 ≤ 240.
Exemplo Numérico a 2 Variáveis - Modelagem
![Page 23: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/23.jpg)
A quantidade total de sacas do cereal tipo A é de 8x1, pois cada are produz 8 sacas.
Essa quantidade produzida será não superior à demanda máxima do mercado consumidor, e assim 8x1 ≤ 480, ou, o que é o mesmo, x1 ≤ 60.
Para a demanda máxima do cereal tipo B, teremos 10x2 ≤ 800, ou x2 ≤ 80.
Além do mais, essas quantidades não podem assumir valores negativos, pois não há nenhum sentido nisso.
Exemplo Numérico a 2 Variáveis - Modelagem
![Page 24: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/24.jpg)
O modelo matemático completo para esse problema traduz-se por:
Max Z = 600x1 + 800x2
sujeito a x1 + x2 ≤ 100
3x1 + 2x2 ≤ 240
x1 ≤ 60
x2 ≤ 80
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Exemplo Numérico a 2 Variáveis - Modelagem
![Page 25: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/25.jpg)
Uma empresa pode fabricar, com uma máquina trabalhando 45 horas por semana, três artigos diferentes: P1, P2 e P3.
O artigo P1 dá um lucro líquido de R$ 4, o artigo P2 de R$ 12 e o artigo P3 de R$ 3.
Os rendimentos da máquina são, respectivamente, para os três produtos, 50, 25 e 75 artigos por hora.Um estudo de mercado mostrou que as possibilidades de venda não ultrapassam 100 objetos P1, 500 objetos P2 e 1500 objetos P3, por semana.
Pede-se que se reparta a capacidade de produção entre os três produtos, de maneira que se maximize o lucro líquido total (equacionar o problema sob forma de programação linear; não é preciso solucioná-lo).
Modelagem – Exercício 1 fácil pequena dificuldade razoável dificuldade difícil desafio
![Page 26: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/26.jpg)
Uma empresa pode fabricar, com uma máquina trabalhando 45 horas por semana, três artigos diferentes: P1, P2 e P3.
O artigo P1 dá um lucro líquido de R$ 4, o artigo P2 de R$ 12 e o artigo P3 de R$ 3.
Os rendimentos da máquina são, respectivamente, para os três produtos, 50, 25 e 75 artigos por hora.Um estudo de mercado mostrou que as possibilidades de venda não ultrapassam 100 objetos P1, 500 objetos P2 e 1500 objetos P3, por semana.Pede-se que se reparta a capacidade de produção entre os três produtos, de maneira que se maximize o lucro líquido total (equacionar o problema sob forma de programação linear; não é preciso solucioná-lo).
Modelagem – Exercício 1
x1, x2, x3 = horas de máquina
x1 + x2 + x3 ≤ 45
50x1 ≤ 100 ⇒ x1 ≤ 225x2 ≤ 500 ⇒ x2 ≤ 2075x3 ≤ 1500 ⇒ x3 ≤ 20
Z = 50x1.4 + 25x2.12 + 75x3.3Z = 200x1 + 300x2 + 225x3
Max Z = 200x1 + 300x2 + 225x3
Sujeito ax1 + x2 + x3 ≤ 45x1 ≤ 2x2 ≤ 20x3 ≤ 20x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
Resposta: x1 = 2, x2 = x3 = 20
Artigo Lucro líquido (R$)
Artigos/hora
Vendas/semana
P1 4,00 50 100
P2 12,00 25 500
P3 3,00 75 1500
![Page 27: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/27.jpg)
Liga Especial de Baixa Resistência
(*)
Liga Especial de Alta Resistência
(*)
Disponibilidade de Matéria-
prima
Cobre 0,5 0,2 16 ton.
Zinco 0,25 0,3 11 ton.
Chumbo 0,25 0,5 15 ton.
Preço de Venda (R$/ton.)
R$ 3000 R$ 5000 ton. de minério(*) -------------- ton. de liga
Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A Tabela 1 ilustra a proporção de cada material na mistura para a obtenção das ligas passíveis de fabricação. O preço está cotado em R$/tonelada da liga fabricada. Também em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade de matéria-prima. Formule o modelo de Programação Matemática.
Modelagem – Exercício 2
Tabela 1: Restrições/custos
![Page 28: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/28.jpg)
Liga Especia
l de Baixa
Resistência (*)
Liga Especia
l de Alta
Resistência (*)
Disponibilidade de Matéria-
prima
Cobre 0,5 0,2 16 ton.
Zinco 0,25 0,3 11 ton.
Chumbo 0,25 0,5 15 ton.
Preço de Venda (R$/ton.)
R$ 3000 R$ 5000 ton. de minério(*) -------------- ton. de liga
Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A Tabela 1 ilustra a proporção de cada material na mistura para a obtenção das ligas passíveis de fabricação. O preço está cotado em R$/tonelada da liga fabricada. Também em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade de matéria-prima. Formule o modelo de Programação Matemática.
Modelagem – Exercício 2
Tabela 1: Restrições/custos
x1, x2 = quantidade de toneladas produzidas das ligas
Cobre: 0,5x1 + 0,2x2 ≤ 16Zinco: 0,25x1 + 0,3x2 ≤ 11Chumbo: 0,25x1 + 0,5x2 ≤ 15
Z = 3000x1 + 5000x2
Max Z = 3000x1 + 5000x2
Sujeito a0,5x1 + 0,2x2 ≤ 160,25x1 + 0,3x2 ≤ 110,25x1 + 0,5x2 ≤ 15x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Resposta: x1 = x2 = 20
![Page 29: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/29.jpg)
?
![Page 30: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/30.jpg)
Flávio Augusto de Freitashttp://sites.google.com/site/flavioifetrp
http://www.riopomba.ifsudestemg.edu.br/[email protected]
![Page 31: Matemática computacional aula 001](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081508/557f050cd8b42af44a8b50b7/html5/thumbnails/31.jpg)
FIM