Marius PERIANU Florian DUMITREL

Matematice

clasa a IX-a

filiera teoreticd: profil real (matematicd-informaticd, gtiinfe ale naturii)filiera tehnologicd: toate profilurile (tehnic, servicii, resurse naturale)filiera vocationald : profil militar (rnatematicS-informaticd)

1.1.

1.2.

1.3.

CupnlNS

RLCfgnA Capitolul 1. Mullimea numeretor realeNumere ra[ionale gi irationale. Reprezentdri zecimaleOperaliialgebrice cu numere reale ..........

Formule de calcul prescurtat. ldentitdti (extindere)Teste de evaluare

1.4. Ordonarea numerelor reale....1.5. lnegalitali algebrice (extindere) ....................

1.6. lntervale de numere reale. Operalii cu intervaleTeste de evaluore

'1.7. Modulul unui numdr real ..............

1.8. Partea intreagd 5i partea frac[ionard a unui numdr real ..............

1.9. AproximEri ale numerelor reale ............

Teste de evaluore1.10. Probleme pentru performan{a 5colara 5i olimpiade

ALGEBRA Capitolul2. Elemente de logici matematici2."1. Propozi[ie. Predicat. Operafii logice elementare2.2. Ra[ionament prin reducere la absurd2.3. lnductia matematici ................

Teste de evaluare2.4. Mulfimi ..................... 632.5. probreme de ",;;;;;;":::::::.:::.:...:....::.:...................... 67

Teste de evaluore 702.6. Probleme pentru performantd 5colard 5iolimpiade 71

ALGEBRA Capitolul3. $iruride numere reale3.1. $iruri de numere reale. $iruri monotone. $iruri marginite ..............

3.2. Progresii aritmetice ...................

3.3. Progresii geometrice ................3.4. Probleme cu progresii aritmetice gi geometrice .

Teste de evaluare3.5. Probleme pentru performanta 5colara giolimpiade

912

15

2022

25

2932

33

36394243

51

57

5962

FX77fi80€82 1

85H8991

ALGEBRA Capitolul4. Funclii. Lecturi grafice

4.1. Funclii. Proprietd[i generale. Lecturi grafice 97

4.2. lmaginea unei func[ii. Preimagine. Func[ii mdrginite """""" 101

4.3. Func[ia de gradul I ...........'........ """""" 105

4.4. Funclii pare. Funclii impare. Axe de simetrie. Centre de simetrie ............ 108

4.5. Funcfii monotone """""' 11 1

4.6. Funclii periodice """"""' 114

4.7. Compunerea funcliilor ...'.......... """"" 117

Testedeevaluare """"""' 121

4.8. Probleme pentru performanli gcolard 5iolimpiade """"""" 124

ALGEBRA Capitolul 5. Funclia de gradul al ll-lea

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

Ecualia de gradul al doilea. Relaliile lui Vidte ""' 131

Definilia funcliei de gradul al doilea. Reprezentarea graficd ..................... 135

Monotonia funcfiei de gradul al doilea """""""" 139

Semnul funcliei de gradul al doilea """""""""""' 141

Sisteme cu ecualii de gradul al doilea """"""""" 144

Testedeevaluare """"""' 149

Probleme pentru performanld gcolari 5i olimpiade """""""' 152

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

GEOMETRIE Capitolul 6. Vectoriin plan

Segment orientat. Relalia de echipolenla. Vectori """"""""' 157

Adunarea vectorilor """' 160

inmul[irea vectorilor cu scalari """"' 162

Descompunerea unui vectori dupS doi vectori necoliniari ........................ 164

Reper cartezian in plan """""""""""" 167

Testedeevaluare """"""" 170

GEOMETRIE Capitolul 7. Concuren!5, coliniaritate, paralelism'

Calcul vectorial in geometria plani7.1. Vectorul de pozilie al unui punct. Teorema lui Thales.... ........ 173

7.2. Centre de greutate. Relafia lui Leibniz """"""""" "177

7 .3. Teorema bisectoarei. Vectorul de pozi[ie al centrului cercului inscris ... 180

7.4. Ortocentrul unui triunghi. Relalia lui Sylvester ."""""""""""' 183

7.5. Teorema lui Menelau. Probleme de coliniaritate ............."' ""' 186

7.6. Teorema lui Ceva. Probleme de concurente ..'.............. """""" 189

Testedeevoluare """"""' 192

7.7. Probleme pentru performan!5 5colari 5i olimpiade """""""' 194

ulOE

E

=f6cG

oL

fzOEEI4.

'tr(E

=I

6

GEOMETRIE Capitolul 8. Elemente de trigonometrie8.1. Cercul trigonometric. Funcliile sin 5i cos definite pe [0,2n] ........................ 2018.2. Funcfiile trigonometrice sin, cos, tg, ctg ............... ...................... 2058.3. Relatii intre functiile trigonometrice sin, cos, tg, ctg ..................................... 2108.4. Formule trigonometrice pentru sume gi diferen[e ................. 2148.5. Transformarea sumelor in produse gi a produselor in sume ...................... 218

Teste de evaluare ............ ........................ 2228.6. Probleme pentru performanli gcolard giolimpiade ............... 223

GEOMETRIE Capitolu! 9. Aplicatii ale trigonometrieigi ale produsuluiscalarin geometria plani

Produsul scalar a doi vectori .................... 227Aplica[ii ale produsului scalar in geometrie. Teorema cosinusului .......... 230Aplicatii ale trigonometriei in geometrie. Teorema sinusurilor.

9.1.

9.2.

9.3.

Rezolvarea triunghiurilor oarecare . .

Formule pentru aria triunghiului.Raza cercului inscris gi raza cercului circumscris in triunghiTeste de evaluore

SINTEZE Capitolul 10. Variante de subiecte pentru tezi10. Variante de subiecte pentru tezi

soLUTil

lndice de autori

Bibliografie

237239

233

243

249

351

3s2

tE

x(g6

!t)I

IElll

=I

CAPITOLUL

MUIIIMEA NUMERELOR REALE

Tema 1.1. Numere rationale gi ira[ionale. Reprezentiri zecimale

Tema 1.2. Opera[iialgebrice cu numere reale

Tema 1.3. Formule de calcul prescurtat. ldentitdti (extindere)

Teste de evaluare

Tema 1.4. Ordonarea numerelor reale

Tema 1.5. lnegalitdti algebrice (extindere)

Tema 1.5. lntervale de numere reale. Opera[ii cu intervale

Teste de evaluare

Tema I.7. Modulul unuinumdr real

Tema 1.8. Partea intreagd gi partea fractionard a unui numdr real

Tema 1.9. Aproximiriale numerelor reale

Teste de evaluare

Tema 1.10. Probleme pentru performanld 5colari giolimpiade

Tema I.tNumere rationale gi ira[ionale. Reprezentiri

zecimale

NotIm cu N mu[imea numerelor naturale qi w Z mul]imea numerelor intregi. Astfel,N: {0,1,2,3,...\ Si Z- {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\ .

Fracfiile i qi I (a,ceZ,b,deZ*) se numesc echivolente dacd ad=6c; scriem'bd

+ =: . Mullimea tuturor fractiilor echivalente cu o fracfie datii se numeqte numdr ralional.bdPentru simplificarea exprimlrii, vom identifica un numir rafional cu oricare dintre fracliileechivalente care il reprezinti. Mu[imea numerelor rafionale se noteazd cu Q . Agadar,

a={4lq

Cu ajutorul algoritmului de impirlire a doul numere naturale, orice fraclie ordinard Lq

(p20, q > 0) se poate scrie sub formi de fraclie zecimall periodicd, cu perioada diferita

de (9). Reciproc, orice fraclie periodicd, cu perioada diferiti de (9), se poate scrie sub

forml de fraclie ordinard.

Dacd a este o fraclie periodicd simpld, adic[ are forma a = eo,(ara2...or) , unde

ao e N qi a*dr,...,a0 e {0,1,2,...,9}, atunci

. QrA2...Apq=d^+-."uJ

p ori

in cazul cilnd a estefraclie periodicd mixtd, adicd a = qo,ata2...ak(ao*reu*r...a0,, ) , avem

p,e eZ, n *O\

. ataz...akrp - ala2...akd=d0T-.

-#'r;iQ este mu[imea tuturor fracliilor periodice (frac]iile zecimale finite sunt considerate

fraclii periodice cu perioada (0) ).Existd fracf;i zecimale infinite qi neperiodice, de exemphr a= 0,1010010001.... O

astfel de frac\ie zecimal5 se numegte numdr iralional.Reunind mullimea numerelor rafionale cu mu[imea numerelor iralionale oblinem

mullimea numerelor reale pe care o notim cu lR.. Agadar, JR este mullimea tuturor fracfiilorzecimale, periodice sau neperiodice. Notiim lR* = IR. \ {0} .

Au loc incluziunile: N c Z c Q c IR .

(!

x6(o

roU

I

t,

=II

E

I

11

{,,F

1. a) 1ridtalicd, pentru ortce me N , fracfia 4+ este ireductibil[.' 3m+2

D) Determinali n e N pentru care frac{ia !+2, "rt"reductibild.' 3n+l

2. Scrieli ca ftaclie zecimald fiecare dintre numerele:

o)5; I 13 3 3 '14/T, 4i, o-;; e)r;

n X; e -l; ntf,: tt fl; i,-#3. Transformali in fracfii ordinare urmltoarele fraclii zecimale:

a) 5,(7); b) - l,(13); c) 0,23(7); d) - t,0t(02); e) -3,2(123).4. Fie a e 1R \ Q . Este posibil caaz qia3 sd fie numere ra{ionale?

5. a) Aflali a 100- a zecimalda numlrului rational 1 .'13b) Ariiali cd exist[ un multiplu de 13 format numai cu cifral.

6.Fie a eQ Ci rn,n eN*, (m,n)=l.Ardtali cd,dacd maeZ Si naeZ,atunci aeZ.7. Ardtati cd, dacd o singur[ cifrl din reprezentarea zecimald, a unui numdr real se repetl

de o infinitate de ori, atunci numdrul este rafional.

8. Ar[tafi cb un numlr ra]ional pozitiv 1 @,n e N*, (p,q) = l) se reprezintdca fraclieq

zecimald. finiti dacd qi numai dacd q = 2" .50, unde a, B e N .

**

J 9. Se consider[ numdrul a = 0,101001000100001... .ulE a) Ardtali cd a este numdr irafional.

= b) AfTalia 1000-a zecimald,anumirului a.

e Q Calcda[isumaprimelor 1000 zecimaleale numlrului a.

55 10. a)Fie r,.yeQ gi aeJR.\Q.tu5tali cd x+y.a=0 dacdqinumai dacd x=!=0.

* b)Fie x,y,zeQ.Ar[ta]i ca xJi+yJi*rJi=0 daclginumai dacd, x:y-z=0.Z 11. Demonstrali afirmaliile:

# a)dacd reQ 9i aelR.\Q,atunci r+aeR\Q;H Qdacd reQ* gi aeR\Q,atunci raeR\e;rlE c)dacd aeR\Q,atunci -elR.\Q;=ar d) dacd,aeJR\Q, a)0,atunci GelR\e.

12

14.

15.

12. Fie zeN. Ardta\icd:

0 Ji.N<>n =k2,fteN; U JieQeJieN.13. Ardta,ti cd existi o infinitate de perechi (a,b) de mrmere iralionale ct a+beQ Si

a.beQ.

ArItali cd numdrul ",6 *.6 *.fr este iralional.

Ar[tali c[, pentru orice n e N*, urmitoarele numere sunt iralionale:

O 'ls'ii b) J1rfi; c) \i7 +sr+? : d) @Determinali numerele naturale k pentru care numdrul "[k' +31, +lA este ra]ional.

Fie mullimea y ={r+bJl I a,b e q, a2 -3b'= 1} . Aratati ca:

a)2+JieM;b) x,yeM > xyeM;c) M este infiniti.

18. a) Fie rn,n e N* . Demonshali cA Ji + Ji e Q dacd 9i numai dacd Ji, fi e X .

b) Determinali perechile (x, y) de numere naturale astfel incdt Ji * J y = 10\6 .

19. Fie a,be1R\Q astfelincdt a+beQ qi m,neN, ra *n. Ardtati cinumerele a-bqr ma + nb sunt iralionale.

***

Determinali x,y e N* astfel incdt I * I = 0,58(3) .xy

fudta,ti ci, pentru oice ne N*, numlrut Ji +J"+t este iralional.

Determinali numerele naturale n pentru care num[ru] Jn+l+J4nil este ra{ional .

16.

17,

20.

21.

22.

.E

x6(6(oU

I

U

=uJF

=I

13

Tema 1.2Operalii algebrice cu numere reale

Calculul cu numere reale se bazeazdpeproprietilile adunlrii qi inmu(irii numerelor reale.

Adunarea este operalia prin care oriclrei perechi de numere reale (x,y) i se asociazd

unnnmdrreal,notat cu x+y,ntmitsumanumerelor x ,i y.Proprietitile adunirii

1. Adunarea este asociativd: (a + b) + c = a + (b + c), oricare ar ft a,b,c eR .

2. Adunarea este comutativd: a+b =b+a,oicare arfi a,D e IR. '

3. Num[rul real 0 este element neutru pentru adunare, adicd oricare ar fi a e IR ,

avem a+0=0+a=a.4. Orice numlr real a are un opus, adicd exist[ un num[r real notat cu -a, astfel inc6t

a+(-a)=(-a)+a=0.Daca x,y elR., se noteazd x-y=x+(-x) (diferenlanumerelor x Si y).

inmullirea este operalia prin care oric[rei perechi de numere reale (x,y) i se asociazd

unnumlrreal,notat ct x'y sau rJ, ,nrttitproduszlnumerelor x qi y.ProprietSf ile inmultidi

f . inmullirea este asociativd: (ab)c = a(bc), oricare ar fr a,b,c eR .

2. inmulfirea este comutativd: ab = ba, oricare ar fi a,D e IR .

3. Numdrul real I este element neutru pentru inmulflre, adicl oricare ar fi a e )R ,

avema-l=l.a=a.4. Orice num[r real a+0 are un invers, adic[ exist[ un numir real, notat cu a-', astfel

-l -tincdt aa':a'a=7.5. inmu[irea este distributivd fald de adunare, adicd oricare at fr a,b,c elR., au loc

egalitdlile:a(b+ c) = ab + qc,

Daca x,y eJR qi /*0,senoteazd

(a+b)c=ac+bc.

= xy-t lcatul numerelor reale x qi y ).xv

ulEE

==o(o

oL

=zsElI|o.

'=(o

=E

14

2.carcurali: ,)i6-#-#; u#C E+-T_G3. a)Dacd,

S=o,ararq..., calculali dzooo-erooo si q+ar*...taroo.

rl,,F

1. Calculali (-l)' . 0, 1(3) + (-1)"*' . 0, I + (-l)'*2'Zu * r-rr*'' ], u"de n e N .

b) Dacd, S = 0, ororor..., calculali as + arc + als + ...+ qoo .

4. a) Calcula,ti suma dintre opusul gi inversul numlrului Ji 'Z .

b) Calculali suma inverselor urmltoarelor numere: -1, 2 - J1,2 + Ji .

5. Determinati x e lR in fiecare dintre cazurile:a,) opusul numIrului 2x-3 este 15 ;

6) inversul numlrului 3x-2 este 5;

c) numlrul x2 -.r este inversabil.

6. Calculali media aritmetic[ gi media geometricd a numerelor:

Q 3-2Ji qi 3+2Jr; u $o+Ji+J7 si Jm- J\-J, .

7.Sedaunumerele: "=zJl-l,l-2, b:3Ji-2Jj , "=5d1-J . Calculafi:

a) a+b+c; b) a2 +b2 +c2; c) ab+bc+ca.

8. Calculali:a)2,Q)+7,(6);

c) l,l(3)-2,07(27);

**

D,) 0,(3) + 0,0(3) + 0,00(3) ;

a1 1, - o,tg1 * | - o,lztst t+1 .

9. Calculali:

, '(+-?.3)-,(,-;.i+),,rffi-+(,-,,1)', ,-{[#-+ -t:?a+)),(-i)-i} (-,+)

ro.Determinali numerele reate x din egalitatea, i {r-*lr-i tO-t)]}= t

11. Calculali cu doui zecimale exacte:

a) Ji; b) 0,013; c) "[-slt; o + t 4 +

r 2. carcurati . ?'s * s l' (t + o'z' z i) - 1' Pt= s .,

^ .

(s].+!*2,+s,4?) ?-[,s62s - s

1 3. Se consider6 numerele reale a, b, x, y astfel incafi q - b =,{fra gi x + y :,'l; .ffiCalculali m-by+ay-bx.

14. Calculali:

ot (zJ-z +tJi- s6xds - JO - Ji) ;

(o

xlE(E

(otJ

I

rJ

=ltl

=I

15

q ,!z*{t.,1{z-11 -

4 Jt. rlo + $..t/: +.,/: +.,6 . J: - Jg *.6 .

15. Aritali c6;

o ,li& -,li-iTe =zJi; q ,!i -ifz *,li *,8 =+.16. Calculafi:

,(#r./5-vs) '

, (#ffi. #Ni)' {:,s*o,{o)) ;

"t --2iil* =2-Ji - I' Jz+,lz+Ji A-Jz_Jj ,lt;i$17. Ardtati"u q-€.€-€ *4. 4.4:4

= x.' Jto +J0 +Js +'.6 ',

Jio -G*\6-\fi = " '

***

18. cdturile oblinute prin imprrlirea numerelor #, #, f ,uun num6r rational r > 0

sunt numere intregi. Aflali cel mai mare numlr ralional r cu aceastii proprietate.

19.Fie a,6eIR* astfelincdt t=!-* Calcutali ffi2O.a) Ardtati cd ;-p I I L pentru orice k e N*.kJk +i(k;DJi- = G-Tt *, '

D,) Calculali suma

' t@+rt r4.;'[="-;m+(n+|fr, rr€rr-.

c,) Determinali rz e N * astfel inc6t S. = 0, 75 .

.("-*)(*.#)'

utOE

ts

==ocIE

oL

3zsctUA.

f.U

=I

16