Marcel TENA. Marian ANDRONACHE . Dinu $ERBA}*BSCUNicolae DRAGOMIR. Carmen DRAGOMIR . Tudor DEACONU

Mirela MOLDOVEATTIU . Oana UDREA

Matema,tLcd,

culegere de exerciE, Si problemepentru clasa a XII-a

WGrW Efibrbl

Cuprins

232

Algebri

Grupuriii*tittliikf.il$t'\lilil)$r

I. I egi de compozifie interni, tabla opera{iei,parte stabill, proprietate.

PRoBLEME REZoLVATE

l. Fie mullimea M: [2, +oo;. Sd se arate cd mulfimea M este parte stabild a mulfimiinumerelor reale R in raport cu legea de cornpozifie:

x*!:xy-2x-2y+6.Solulie. Considerdm elementele oarecare x,yel2; +@):+ x>.2 Siy> 2 adicd,x - 2 ) 0 giy - 2 > 0. Rezulti cd (x - 2)(y - 2) > 0 201-t.yo

-(l+*y)

Algebri

(l)x,ye(-1,1)= {1Ll,:1 = lxl'lyl

. Algebri

7.'Definim pe R legea de compozilie ,,*" prin: x* ! = xy -3x -3y +12, (V)r,yeR.a) SI se arate cd M : (2, 4) este o parte a lui R stabilI in raport c1r legea ,,,*" .b) S[ se demonstreze c6: 26 < xyz -36(xy + yz + zx)+ 9(x + y + z)

Algebri

t tn-l

x3 = A2xr+B(l+ A), ....prin induc[ie x, = A"-t xt. r.::T, (A + l) +

* xn=(l-r- a)n-l 'x+(-r- a- qx)'l-(l-x_ a)"-t .x+ct

Pentru A: I = x * a--0, qirul (x,) este o progresie aritmeticS cura[ia r=a2,rezultdxn=x+(n-a)a2

ll. sa se determine tuncfiile .f :R* -+ R astfel inc6t G =l?^ '1'l]lxeR* ] ,u o.l\o 1 )l )parte a lui. /(2(R),stabild in raport cu inmullirea matricelor.

/ - / *,, -/r'.,\ r // +\ \sotutie. Avem: I i f {A\ (t f 0)\:(xt xf (v)+,f(r)) -'\uli[01)t6'v\'/'1'"'*')eGrezultdcdexistd'

zeR* astfel incet (x! xf (v)+ f (*)\:(" /(r)) - {r.= *, +4E^ .*rvr,tvotf 0 I I [o I )- Lftrl:xf(y)+ft*1 -

> flx .y) : xfu) + f(x).(V)x,yeR* ( I )inlocuim in (l).lr +!,,! -+ x gi oblinem:l(x 'y):yJU) +J(y), (V)r,yeR* (2)Din (1) 9i (2) avem xfu) + flx) : yJU) + fO.

y : 2 renrJtd xj?) + J@) : W) + .fiz), deci flx) : a(x - 1), (V)x e R*, *^..12. Fiind data pe mullimea M o legede compozilie ,,'" ce satisface ,rr*atou."u i'--

n?"

1o. Pentru orice x,yeM, (y. (x.y)).(tx . y).(y.(x'y)))= x.SA se arate ci orice ecualie de forma X .b : a ct a,beMadmite o solulie unic6.

Solulie.Fie a,beM.in condilia lo sdpunem x : a gi y : b'a; oblinem:((b. o).(o .(b.

"))). ((o .lb . o)).((b . ol.@ .(b . q)\)) = a .

Dardin condilia lo in care ludm y = a $i x: b se obline:(a . (b. a))' ((b.

"). (o . (b. a))) = 6 . Aqadar (ft. o) (a ")))'

D = a $i astfel:

Xs =(b.a).(a.(b.o)) este o solulie a ecualiei X'b= a .Fie c o solufie a ecualiei X'b=a; atunci c 'b: a; din condilia 1";,1u6nd x : c,

y: b, oblinem:. "=(b.(c.bt)'(tc.a).(b.(".b)))

sau "=(b'a)'(a'(b'o))=Xo. Prin

urrnare, Xn este unica solufie a ecuafiei.13. Pe mullimea N* a numerelor naturale nenule considerdm legea de compozilie:

(m, n) -+ mn. 1 ,a) S[ se aqate cI aceastb lege de compozilie nu este asociativ6 qi nici comutativS.

b) Pentru ce triplete m, n, p de numere naturale nenule avem, (*")o = m" ?

Solulie. a) Deoarece (r')' =4,iar 21' =2,rentltd Qt)z *21' 9i deci legea de compo-Zilie considerati nu este asociativd. Deoarece 12 : 1 qi 2t : 2,legea de compozilieconsideratd nu este comutativ[. b) Fie m, n, p numere naturale nenule astfel inbAt(r*)' =*t . Dacd m: l,atunci pentru orice n, p avemsatisfEcutr egalitatea: (t')o =( .

Algebri

Fiem> 1;atunci din m'p =m"' deducemcdngiptrebuiesisatisfac6egalitatea np=nP.Dacd p: 1, aceastd egalitate este satisftcuti pentru orice n eN.Dacd p:2, din 2n = n2 gi n + 0, rezultd cd n :2.Dacl p > 2, atnnci studiind polinomul P(X)= Xo - pX oblinem cd unica r6d[cindpozitiv[ a derivatei sale este X: l, deci polinomul poate avea o singur[ rlddcind realapozitiv[. cum P(l) : | - p < 0 $i P(2):2p '2p> 0, rezult6 cE aceastd r6d6cinb esteintervalul (1,2) gi deci nu poate fi intreagd. Prin urmare, nu existl nici un numdr neNastfel incdt flp=np. Deci tripletele de numere naturale nenule pentru care operafiaconsideratl este asociativi sunt: (1, n, p), (m, n, l), (m,2,2) a,s, m,n,peN.14. Fie M o mullime inzestratd cu o lege de compozilie notatd multiplicativ, ce satisfaccondiliile:

lo. Din ab : c rezultd ac : b-2". ab = ba pentru orice a,be M.3o. (" .b'l . @ .d): (a .c) . (b .A pentru oice a,b,c,deM.

a) Sd se arate cdpentru orice a,b,c,deM ((a .b) . ")

. d: ((a .A . c) . b.b) in plus daci legea de compozilie mai verificd gi condilia:

4'. (a . b). c : a. (b . c) implicd a : c,atunci pentru oice a,b,ceM, din aa : bb rezulti o : b,iar din (aa) . (bb): cc rezultd,ab : c. Mai mult, dacd mullimea M este finitd, atunci num5rul m al elementelor sale esteimpar. Sd se dea un exemplu de astfel de lege de compozifie pentru m:3.Solulie. a) Fie le,2o,30 verificate gi fie x t ((ab\c)d. Din condiliiel 2o gi lo rezult6succesiv (ab)c : xd, apoi c: (ab)(xd). Din 3o reziltd c: (xb)(ad), din nou, folosindcondilia 1o rezultd (ad)c : xb,apoix= ((ad)c)b-b) Fie acum verificatd gi condilia 4o. Din aa : bb rezultd in primul rdnd (aa)b : D; apoi((aa)b)c : cb. Dar ((aa)b)c : ((ac)b)a qi deci cb : ((ac)b)a gi deci a(cb) : (ac)b . Rentttadincondilia4cdo:b.

Presupunem acum cd (aa)(bb): cc. Pundnd x : ab, din condilia 3" rezultd cc :: (ab)(ab):xx, de undex : c,adicdab: c.SE presupunem acum cd M arern elemente. Aplicafia g: M -+ M datd de g(x): xx

este injectivd conform celor stabilite mai sus, deci bijectivd.S[ alegem un element ae M; putem defini aplicalia f.: M -+ M prin .f"(x): ax.

Din prima condilie rezultd cd f, este bijectivl Si cd f, " f o : 1u .Vom ardta ci exist6 un unic element beM astfel incdt f , (b) = b. intr-adev6r,. s6

lulm pe 6 ca fiind unicul element din M cu C(b): a, adicd, b . b : a. Conform condiliei1", de aici reztiltd ab = b gi deci .f,'(b): b.Dacd ceM este un alt element astfel inc6tf,(c):c,atunci a.c :c Aideci c .c : a: b .b,deunde 6 :c.

Pentru oice xeM diferit de b avern -f,(*) + x, adic6 ax * x, mai mult f,(rx): x;astfel putem grupa toate elementele lui M diferite de b in perechi (x, ax). Aqadar Mareun num6r impar de elemente.

Un exemplu de lege de compozifie ce satisface condifiile lo - 4o este dat deurmdtoarea, definitdpe mtrllimea M: {a, b, c} astfel:

bl c b

Algebri

alac bac

15. Pe M = {o, b, c, d, J} se d[ legea de compozifietabl6 este:

g i M x M + M, g@,y) = xy, a cdrei

S[ se arate c[ legea g este asociativE'Solufie. Fie If c M, H = lueMl@u)y = x(uy), (V)x,yew.Vom ar[ta cd ceH. Pe M

definim legile ,oJ-" gi ,,T" astfel : x L y Y 6rjy, (V)x,yeM, iat x t yY 1@y), (Y)x,yeM.Este clar cLceH ex r != xT !,(v)x,yeM, adic6 dacr tablele operafiilor,l" $i

,,T" coincid. insi aceste table se pot completa folosind tabla lui ,,tp". lntr-adev[r, cuma I y = (ac)y = ay", (Y\yeM, rezult[ cI linia lui a din tabla operatiei ,,I" coincide culinia lui a din tablb operafiei ,,(p". Dar bc = c, cc = b, dc = d. Si fc =.f, deci liniile luib, c, d, f din tabla lui ,J" coincid respectiv cu liniile c, b, d, f din tabla lui ,,9"' La fel secompleteazd tabla opera1iei,,T". Din cele de mai sus deducem cd ceH. Cum I/este parte

ahi M stabilarelativ la,,g" avemcE a =ffeH, b = cceH, d = cfeH,deciH = Mri,,(p" este asociativd,

16. Pe -llz(R)definim legea de compozifie V, alY fi -BA,(v)A,Be-//z(R).a) Si se arate cdpentru orice A,B,Ce..//2(R) avem;

llA, B), q+ ilr., q, A)+ l[c, A], Bl : 0.b) Legea de mai sus nu este comutativi, nici asociativ6 gi nu areelement neutru.

Solulie. a) Folosind definilia legii, avem: llA, B), q + [[8, q, A1+ llc' A), B]-:(AB -BA)C -C(AB -BA)+ (BC -CB)A-A(BC -CB)+ (CA,-AqB - B(CA -AC)=: ABC _BAC _CAB + CBA + BCA _CBA -ABC + ACB + CAB _ACB -BCA + BAC = O.b) cum inmullirea in .,// 2(R) esJe necomutativL,'putem gdsi A,Be.d/ 2(R) pentru careAB * BA, deci 1.,4, Bl + [8, A). F(erulthci legea din enun{ este necomutativa.

Fi" I :(? 3), , = (l 3), *"'" tA, B): A, deci trA,,Bt, B): ta' B): A eilA,lA, B]|1: lA,0l : 0 deci legea nu este asociativS,

Presupundnd cI E este elementul neutru pentru legea datd, avem ludnd / matriceaunitate din .,// 2(R) cb I = lE, 4 :0, contradic,tie. Deci legea din enunt nu are elementneutru.

17. Pe IR definim legea x*y=xy+3x+3y+6. Sd se calcaleze 4*r2*."*rn unde

abcdf

aaaddabcdda c b d'ddddaaaffita

Algebri

Solufie. xt*x2=@r+3)(xr+3)-3. Vom demonstra prin inducfie cd xr*xr*...*xn-=(xr+3)(x2+!)..,(x,+3)-3. Inipotezacd, P(n) este adevlrati,dacd x1,x2,...,14,r,11 lR,atunci x1*x2*...tt16n*xn+t=l@r+3)(xr+3)...(x,+3)-3]*x,*r =(4 * 3)(xr+3)...(x, +3)(xn*r+3)-3, deci gi P(n+l) este adeviratI.lE. Se consider6mullimea Z3 = {uIo= (r, 2 a2e a3), a,eZ).

lnZs sedefinegte o operafie algebric6 astfel:dac|a,BeZ3,s=(at2 a22 ct3), F= (br, bz, b3),atunci:o o B : (a, br+ a, bz* as b3, a2 bt* at bz* q b3, a3 br* ai br+ a2 \).

a) Sd se studieze asociativitatea gi comutativitatea operafiei induse. Admiteaceasttr operafie element neutru?

b) Se definegte o funclie T: 23 -> 23 ln modul urmltor, dac6 aeZ3,, a= (a1, a2;a, ), atunci T($ =al + ol + al- 3 a, a2 at. SI se arate cd T(a o p) = (cr) . fG).Solulie. a) Operalia definit6 in enun! nu este nici asociativd, nici comutativ[. Pentru ademonstra acest lucru este suficient sd aritdm cI exist[ 1n 23 nigte triplete particularepentru care nu se verific[ axioma asociativitilii gi comutativit[tii unei opera]ii algebrice.tntr-adev6r, str consider6m tripletele q = (1, 0; 0), B = (0, l, Ol li V = (0, 0, l). Vom avea:(ct" 9)oy= [(1, 0, 0) o (0, 1,0)] o(0, 0, l)=(0, 0, l) o (0,0, l)=(1,0,0).o o (B oy)= (1,0,0) o [(0, 1,0) o (0,0, l)] = (1, 0, 0) o (0, 0, l) = (0, l, 0).cum (cr, o F) " T* o " (B oy),rczultdcd operalianu este asociativ[. pe de alttrparte,avem: cr o B = (1,0,0) o (0, 1,0): (0,0, l)

B o cr = (0, 1, 0). (1, 0, 01 = (0, l, 0).Se observd cd cr o F * F o cr gi deci operalia nu este nici comutativ6.

SI presupunem acum cI operalia algebric[ datd ar avea un element neutrue:(et. 22 3). lJrmeazdc6pentru oriceo,eZ3,etrebuiesisatisfacdrelaliileooe:: 6 o cr, : cr. in particular, sd alegem G : (0, l, 0). Vorn avea atunci:

(0,1,0):cr:rou,:(el , 21 3)o(0,1,0):(er, e2, 3).Pe de altd parte ins6:

(0, 1,0):cr=croe:(0, 1,0)o(e,, 21 3):(rr, 22 e3)ceea ce conduce la concluzia er:er: l, et: 0.Cum aceste doud concluzii suntcontradictorii,trmeazd cI operafia nu admite element neutru.b) Vom'face int6i observalia cd pentru a.eZ3, a: (ar 2 ctyl o3), numirul intreg (cr) se

Ilat a2 a3poate reprezenta sub forma: Z(c):l at at a2

lo, a3 qlAtunci, pentru orice BeZ3, F: Qt, bz, bz), vom avea egalitdlile:(ct . P) : T (q \*.az br+ a, b3, a2 bt* at bz* q b3, a3 br+ a, br+ a, br):

Algebrd

I arb, + arb, + a3b3 arb, + arb, + arb, arb, + arb, + arb,:l orb, + arb, + arb, arb, + arb, + arb, arb, + arb, + arb,I orb, + arb, + orb, arbt + arb, + arb, arb, + arb, + arb,lo, az orllb, 4 brl lr, a2 orllbt 4 brl:l o. at or l.l b, bt br l:l o, at or l'l b, bt b, l: r(cr) ' r(B).lo, a3 o,,llb, b2 b, I lo, a3 otllb, bz b'l

Relinem din acest lan! de egalitdfi, verigile externe, rezultS c6: I(cr " p): f(ct) ' f(F)ceea ce aratd cb funcfia 7 este multiplicativi'

3. Fie M= { (,i, 1)1",u. R }

PROBLEME PROPUSEA

1. Stabilifi dac[ legea de compozilie,,*" definitdprin x * != x*3y + 4 estecomutativ[.

2. Pe R se consideralegea de compozilie ,,*" definita prin .x * y: xy I ax* 1y + 11'sr se determine ae R astfel inctt ,,*" sE fie comutativa'

a) SI se arate cd M este parte stabiltr aluj. .//z(R) in raport cu:i) adunarea; ii) inmulfirea.

b) Este inmulgirea comutativd pe lunc) Si se determine elementul neutru pentru inmullirea pe M.

4. Pe R se definegte legea de conipozitie ,,'r" prin: x * ! ? xy -x -y - 2.

s. i#'J:HIJI#Lff:'Jiffi:I[,,*,, prin: a * Q : -a - bi) SI se atabileascd dacl legea este asociativd.ii) S[severifice egalit[1ile: (a* b)* b: a; a* (a* b):b.iii) Sa se rezolve ecualiile: 3 t* x :- 7 qi (m * 2)* (x * 5) : ll * m'

6. Fie mullimeti M : 15,+oo) c R 9i legea x * ! : xy - 5(x + y) + 30.a) Sd se arate cd M este parte stabild a lui R faf[ de legea ,,*".b) Sd se determine elementul neutru.

4x+4v7. Fie intervalul G: (-2,2). SA se arate ci daci x,yeG, atunci: +;f .C.

8. Pe mullimea nevidi Mse considerd legea de compozilie * : Mx M -+ Mcu propri-etatea cA (x * Y) x x: l, (Y) x'YeM.Si se demonstreze c[ x * (l * x): y, (Y) x,yeM.

9. Definimpe R legea de compozilie,,o" prin x oy:xy- 4(x +y) + 20, oriczire ar fia/eR. Fie I/: [3, 5].a) Ar5ta[i cdlegea,,o" este atat comutativd cdt 9i asociativ6'

10

Algebrd

b) Demonstra(i cd H este parte a lui R stabila in raport cu legea de compozilie ,.o,'.cercetali dacd legea de compozilie indusd de .,o" pe H admite element neutru.

10. Pentru be valori ale parametrului real z intervalul (5, oo) este o parte a lui R stabillin raport cu legea de compozi{ie x r y: x! - 5(x + y) + m, (V)aye R.

11. Pe mullimea Q* se definegte legea de compozi{ie x * ! cu proprietafile: pentru oricex,y,z,teQ* avem:a)(x* y)* (z* 7):Q5z)*tStt); b)xxx: l; c)x* I :x.Ar6tafi cd I * x: 1 9i calculali 15 * 125 * lZ.

12. Pe Z se defineqte legea de compozilie xoy=xy-2x-2y+6, (y)x,yeZ.Determinali elementele inversabile din Z inraport cu legea,oo,,.

13. Fiind datd operafia binard a L b:ab, pentru a qi b pozitivi gi intregi, sE se indicecare din relaliile:a) a Lb: b La; b)aI(bIc):(a.I b) Lc;c)aLb' :(aLn)Lb; d) (aI bln =aLbn:este adevdratl pentru orice a,b,c,neN*.

14. Sa se arate cd legea x Ly: xy -2x -2y + 6 definitdpe R, este asociativi, comuta-tiv6, are element neutru gi sr se determine elementele simetrizabire.

B

15. Se dd legeade compoziliex* !- Ary'+ Bx+Cy+ P. Sd se arate cr relatia x x e: x' axy+bx+cy+d:---_-,: -y - bx' + (B - d)x.+ D ltmpltcd e:---:-----------

--. lncecondilii e esteindependentde x astfer caax'+(c- A)x-C

legea ,,*" sd admitd un element neutru?

16. Sd se studieze legea de compunere a rezistenfelor in paralelr a=l*l ,u,.RRIR2R = Rr * R2 = I' t . Aceastl lege este asociativl? Admite un element neutru?R' + R' -o- ----.----

17. in mullirrrea numerelor intregi se definesc aplicaliile ,,*,, qi ,,o" prin relaliile:

ai,b: a + ab + b; ao b: q -ab + b.Sd se demonstreze cd:a) Operaliile sunt comutative gi asociative.b) Admit acelaqi element neutru.

c) Existd inegalitatea: ("-*) (""*) > (e x 1).(e. l).18. Fie M:Rqi legea x * !': xy - 3x - 3y + 12.

a) Dacd H : (3, 4) gi H': (4. 5) sunt submullimi din R sd se arate cd 11 este parre alui R stabilS in raport cu legea ,,'tr" , iar H , flu are aceastd proprietate.b) Sd se arate ed legea ,,*" induce pe (3, 4) o lege de compozilie asociativ[.

l1