Matematica C-C1Algebra Lineal. Aplicaciones

Tema: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Ano 2007

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Guia de clases:

Clase 1: Introduccion. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales homogeneos. Sis-tema fundamental de soluciones.

Clase 2: Sistemas de Ec. Dif. Lineales inhomogeneos. Resolucion.

Clase 3: Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n. Sistema equivalente. Ecuacioneshomogeneas de orden n.

Clase 4:Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogeneas. resolucion.

Referencias

[1] E. Kreyszig, Matematicas Avanzadas para Ingeniera (2do.vol), Limusa, 1997.

[2] R.K. Nagle, E.B. Saff, Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison WesleyIberoamericana, 2003.

[3] M. R. Simmons, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones , McGrawHill, 2003.

[4] Dennis G. Zill , Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Grupo EditorialIberoamericana, Mexico, 1986.

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I. SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES

1. Introduccion

Objetivo Estudiaremos en este modulo sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de ecuaciones diferenciales que

contienen varias funciones incognitas y sus derivadas.Los sistemas de ecuaciones diferenciales juegan un rol esencial en la descripcion

matematica de fenomenos fısicos, ya que en general no resulta facil hallar leyes que vin-culen directamente las magnitudes que caracterizan dichos fenomenos, aunque si es posibleen muchos casos determinar la dependencia entre esas magnitudes y sus derivadas. Es-to dara origen, en general, a un sistema de ecuaciones diferenciales, que determinara laevolucion del sistema fısico.

Ejemplo 1: El sistema de ecuaciones diferenciales

{x′1 = ax1 + bx2

x′2 = bx1 + ax2

donde x′1 = dx1/dt, x′2 = dx2/dt, constituye un sistema de dos ecuaciones diferencia-les “acopladas”, que posee como funciones incognitas x1(t), x2(t), siendo t la variableindependiente.

La velocidad de variacion de x1, dada por x′1, depende tanto de x1 como de x2, y lomismo sucede con x2.

El parametro b controla el acoplamiento entre x1 y x2.Los parametros a y b pueden en principio depender de t.Soluciones: En el caso de a y b constantes, una solucion del sistema esta dada por el

par de funciones:x1(t) = e(a−b)t, x2(t) = −e(a−b)t, como puede comprobarse facilmente mediante susti-

tucion.Justificaremos mas adelante que la solucion general del sistema esta dada por el par

x1(t) = c1e(a+b)t + c2e

(a−b)t,x2(t) = c1e

(a+b)t − c2e(a−b)t, con c1, c2 constantes arbitrarias, es decir

(x1(t)x2(t)

)= c1e

(a+b)t

(11

)+ c2e

(a−b)t

(1−1

)

Cualquier solucion de este sistema corresponde a valores particulares de las constantesc1 y c2.

En particular, la solucion dada previamente se obtiene para c1 = 0, c2 = 1.

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La forma mas general que adopta un sistema de ecuaciones diferenciales es la siguiente:

F1(t, x1, . . . , xn, x′1, . . . , x

′n, . . . , x

(p)1 , . . . , x

(p)n ) = 0

F2(t, x1, . . . , xn, x′1, . . . , x

′n, . . . , x

(p)1 , . . . , x

(p)n ) = 0

. . .

Fm(t, x1, . . . , xn, x′1, . . . , x

′n, . . . , x

(p)1 , . . . , x

(p)n ) = 0

donde t es la variable independiente,

x1(t), x2(t), . . . , xn(t)

son las n funciones incognitas y

x′1(t), . . . , x′n(t), . . . , x

(p)1 (t), . . . , x(p)

n (t)

las derivadas de estas funciones, hasta el orden p.

Se dice entonces que el sistema es de orden p, pues contiene derivadas hasta orden pde las funciones incognitas.

El numero de ecuaciones es m.

Todo sistema puede siempre escribirse como un sistema de ecuaciones diferenciales deprimer orden, aumentando el numero de funciones incognitas. En efecto, introduciendolas funciones

y1 = x′1, . . . , yn = x′n, z1 = x′′1, . . . , zn = x′′n, . . . u1 = x(p−1)1 , . . . , un = x(p−1)

n

podemos escribir el sistema previo como

x′1 = y1

. . .x′n = yn

y′1 = z1

. . .y′n = zn

. . .F1(t, x1, . . . , xn, y1, . . . , yn, . . . , u1, . . . , un, u′1, . . . , u

′n) = 0

. . .Fm(t, x1, . . . , xn, y1, . . . , yn, . . . , u1, . . . , un, u

′1, . . . , u

′n) = 0

que constituye un sistema de m + (p− 1)n ecuaciones de primer orden con pn incognitasx1(t), . . . , xn(t), . . . , u1(t), . . . , un(t).

4

Caso especial importante es ...

Ejemplo 2: Cuando se tiene una ecuacion diferencial de orden p con una sola incognita x(t):

x(p) = f(t, x, x′, x′′, . . . , x(p−1))

Para llevar esta ecuacion a “un sistema de ecuaciones diferenciales”de primer orden,se definen p variables denominando:

x1 = x(t), x2 = x′(t), x3 = x′′(t), . . . xp = x(p−1)(t)

Asi, podemos siempre expresar la ecuacion dada de orden p como unsistema de p ecuaciones de primer orden:

x′1 = x2

x′2 = x3

. . .x′p−1 = xp

x′p = f(t, x1, x2, . . . , xp)

Ejemplo 3: La ecuacion de movimiento en una dimension para una partıcula de masam sujeta a la accion de una fuerza general f(t, x, x′) que depende del tiempo t, la posicionx y la velocidad x′, esta dada por la ecuacion de segundo orden

mx′′ = f(t, x, x′)

Definiendo x1 = x, x2 = x′, podemos escribir la ecuacion previa como un sistema deprimer orden para las incognitas x1(t) = x(t) y x2(t):

{x′1 = x2

mx′2 = f(t, x1, x2)

o directamente...definiendov = x′, podemos escribir la ecuacion dada como un sistema de dos ecuaciones

de primer orden en las incognitas x(t), v(t),

{x′ = vmv′ = f(t, x, v)

Por supuesto que ambas formas de representar son identicas.

Por tanto, consideraremos en lo sucesivo sistemas de ecuaciones de primer orden, sinperdida de gene ralidad.

Asumiremos ademas que es posible despejar explıcitamente las derivadas y que elnumero de ecuaciones es igual al numero de incognitas.

Un sistema de primer orden que esta escrito de esta forma se dice que esta en formanormal.

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El aspecto mas general que adopta un sistema de n ecuaciones diferenciales de primerorden en forma normal es

x′1 = f1(t, x1, . . . , xn)x′2 = f2(t, x1, . . . , xn)...x′n = fn(t, x1, . . . , xn)

Si definimos los vectores

X =

x1

x2

. . .xn

, F =

f1

f2

. . .fn

podemos escribir el sistema de primer orden normal en la forma compacta

X′ = F(t,X)

Una solucion de este sistema es un vector X(t) de n componentes xi(t), i = 1, . . . , n,que satisface la ecuacion anterior en algun intervalo de t (t ∈ I ⊂ R).

Ejercicios

1. Dado el sistema

{x′1 = 3x3

2

x′2 = x2

verificar que las funciones:

{x1 = e3t

x2 = et , satisfacen las ecuaciones dadas

2. Idem anterior, para el sistema{x′1 = 1x′2 = 3(x2)

2

y las funciones:

{x1 = t + 1x2 = t3 + 3t2 + 3t

3. Llevar la siguiente ecuacion de segundo orden: my′′+ky = 0, a un sistema de primerorden con 2 ecuaciones.

4. Llevar el siguiente sistema de segundo orden:{2x′′ + 6x− 2y = 0y′′ + 2y − 2x = 0

a un sistema de primer orden de 4 ecuaciones, usando x1 =

x, x2 = x′1, x3 = y, x4 = y′.

Problema de condiciones iniciales:

El problema de encontrar una solucion del sistema anterior que en t = t0 ∈ I satisfagaX(t0) = X0 = (x10, x20, . . . , xn0)

t, es decir,

x1(t0) = x10, x2(t0) = x20, . . . xn(t0) = xn0

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se denomina problema de condiciones iniciales(o valores iniciales).Los numeros x10, . . . , xn0 son los valores iniciales de las funciones incognitas x1(t), . . . , xn(t).Un problema de condiciones iniciales esta constituido por el par

{X′ = F(t,X)X(t0) = X0

Puede demostrarse (Teorema de Picard) que:

Si las funciones fi son continuas en una region :

|t− t0| ≤ a, |X−X0| ≤ b,

con a > 0, b > 0, y si las derivadas parciales ∂fi

∂xjexisten y estan acotadas en dicha region

para i, j = 1, . . . , n, entoncesexiste una unica solucion X(t) del sistema que satisface la condicion inicial X(t0) = X0,dentro de un cierto intervalo |t− t0| ≤ c, con c > 0.

1.1 Sistemas lineales de primer orden. Generalidades

A partir de ahora nos concentraremos en los sistemas de ecuaciones diferenciales deprimer orden lineales, es decir, sistemas cuya forma normal es

x′1 = a11(t)x1 + . . . + a1n(t)xn + b1(t)x′2 = a21(t)x1 + . . . + a2n(t)xn + b2(t). . .x′n = an1(t)x1 + . . . + ann(t)xn + bn(t)

El sistema anterior se dice homogeneo si bi(t) = 0 para i = 1, . . . , n, e inhomogeneoen caso contrario.

El sistema puede escribirse convenientemente en la forma matricial

x′1x′2. . .x′n

=

a11(t) . . . a1n(t)a21(t) . . . a2n(t)

. . .an1(t) . . . ann(t)

x1

x2

. . .xn

+

b1(t)b2(t). . .

bn(t)

o, en forma compacta,X′ = A(t) ·X + B(t)

con

A(t) =

a11(t) . . . a1n(t)a21(t) . . . a2n(t)

. . .an1(t) . . . ann(t)

, B(t) =

b1(t)b2(t). . .

bn(t)

El correspondiente problema de condiciones iniciales se escribe en la forma

{X′(t) = A(t) ·X + B(t)X(t0) = X0

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Como en este caso fi(t, x1, . . . , xn) =∑n

j=1 aij(t)xj + bj(t), con ∂fi/∂xj = aij(t), sitodos los elementos aij(t) y bi(t) son funciones continuas de t en un cierto intervalo I quecontiene a t0, el problema de condiciones iniciales posee una unica solucion X(t) endicho intervalo, para cualquier vector inicial X0 ∈ Rn.

Esto tambien implica que si no se especifica la condicion inicial, el sistemaX′(t) = A(t) ·X + B(t) posee infinitas soluciones (que dependeran de n parametros

libres: los necesarios para determinar X0).

Otra consecuencia es que si X1(t) y X2(t) son dos soluciones tales que X1(t0) 6= X2(t0)⇒ X1(t) 6= X2(t) para todo t ∈ I (pues si existiese un tiempo tc ∈ I en el que X1(tc) =X2(tc) ⇒ ambas son soluciones para la condicion inicial X(tc) = X1(tc) y deben ser porlo tanto coincidentes ∀ t ∈ I).

Ejercicios

1. Escribir en forma matricial el sistema de 2 ecuaciones de primer orden:{x′1 = 2x1 − 3x2

x′2 = x1 − 2x2

2. Escribir en forma matricial el sistema de 2 ecuaciones de primer orden:{x′1 = 2x1 − 3x2 + 3tx′2 = x1 − 2x2 − t2

3. Escribir en forma matricial el sistema obtenido en un ejercicio previo cuando con-virtio la siguiente ecuacion de segundo orden: my′′ + ky = 0.

4. De igual manera, escribir en forma matricial el sistema de cuatro ecuaciones deprimer orden obtenido en un ejercicio previo, por conversion del sistema de segundo

orden:

{2x′′ + 6x− 2y = 0y′′ + 2y − 2x = 0

a un sistema de primer orden de 4 ecuaciones, usando

x1 = x, x2 = x′1, x3 = y, x4 = y′.

2.Sistemas lineales de primer orden homogeneos. Sis-

temas fundamentales de soluciones

Estudiaremos en esta seccion tecnicas de resolucion de sistemas diferenciales linealeshomogeneos

X′ = A(t)X

(es decir, con B(t) = 0).La solucion nula X(t) = 0 ∀ t ∈ I es obviamente una solucion posible para cualquier

sistema homogeneo y se denomina solucion trivial.Podemos ahora enunciar el siguiente teorema:

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Teorema Dado el sistema lineal homogeneo X′ = A(t) ·X, donde A(t) es continua enel intervalo abierto I, se veri-fican las siguientes propiedades:1) Si X(t) es una solucion no trivial, entonces X(t) 6= 0 ∀ t ∈ I.2) Si X(t) e Y(t) son soluciones ⇒ c1X(t) + c2Y(t) es tambien solucion ∀ c1, c2 ∈ R.3) El conjunto de todas las soluciones del sistema homogeneo es un espacio vectorial dedimension n, siendo n el numero de ecuaciones e incognitas del sistema.

Demostracion. Para demostrar 1), basta con utilizar la unicidad de la solucion: SiX(t1) = 0 para algun t1 ∈ I ⇒ X(t) serıa solucion del sistema X′ = A(t) · X con lacondicion inicial X(t1) = 0.

Pero la solucion trivial es obviamente tambien solucion del sistema con dicha condicion,por lo que la unicidad implica que X(t) debe ser en tal caso la solucion trivial.

La propiedad 2) es consecuencia directa del caracter lineal del sistema: Si X′ = A(t)X,Y′ = A(t)Y ⇒

(c1X + c2Y)′ = c1X′ + c2Y

′ = c1A(t)X + c2A(t)Y = A(t)(c1X + c2Y)

Finalmente, para demostrar 3, consideremos n vectores inicialesX1

0, X20, . . . ,X

n0 ∈ Rn linealmente independientes, y las correspondientes soluciones

X1(t), . . . ,Xn(t)

para t ∈ I, tales que X1(t0) = X10, . . . ,X

n(t0) = Xn0 .

Los n vectores iniciales forman una base de Rn por ser n vectores linealmente inde-pendientes. Por tanto, cualquier condicion inicial puede expresarse en la forma

X0 = c1X10 + . . . + cnX

n0

con constantes apropiadas c1, . . . , cn ∈ R.Por la unicidad, la solucion del sistema X′ = A(t)X con la condicion inicial

X(t0) = X0 sera entonces

X(t) = c1X1(t) + . . . + cnX

n(t)

pues la combinacion lineal anterior es solucion (punto 2) y satisface la condicion inicial.Ademas, los vectores X1(t), . . . ,Xn(t) permanecen linealmente independientes ∀ t ∈ I,

pues si existiesen t1 ∈ I y constantes d1, . . . , dn no todas nulas tales que d1X1(t1) +

. . . dnXn(t1) = 0 entonces X(t) = d1X

1(t) + . . . + dnXn(t) serıa, por 1), solucion trivial

del sistema, es decir, X(t) = 0 ∀ t ∈ I.Esto implicarıa la dependencia lineal de los vectores X1(t), . . . ,Xn(t) ∀ t ∈ I, incluyendot = t0, pero esto es imposible por ser X1(t0), . . . ,X

n(t0) linealmente independientes.En consecuencia ...

Cualquier solucion X(t) del sistema homogeneo puede expresarse como combinacionlineal de las n soluciones X1(t), . . . ,Xn(t). Estas soluciones forman pues una base parael conjunto de soluciones, por ser linealmente independientes.

El conjunto de soluciones es entonces un espacio vectorial de dimension n.

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Sistema fundamental: Una base de soluciones {X1(t), . . . ,Xn(t)} se denominasistema fundamental de soluciones del sistema homogeneo.

La correspondiente matriz (de n× n)

M(t) = (X1(t),X2(t), . . . ,Xn(t))

cuyas columnas forman el sistema fundamental de soluciones se denomina matriz fun-damental.

Esta matriz es pues no singular ∀ t ∈ I y satisfaceM′(t) = A(t)M(t).Cualquier solucion del sistema X′ = A(t)X puede expresarse como

X(t) = c1X1(t) + . . . + cnX

n(t) = M(t)C

donde

C =

c1,...cn

es un vector de constantes.

La solucion que satisface la condicion inicial X(t0) = X0 corresponde entonces a

MC = X0

C = [M(t0)]−1X0

Por lo anteriormente expuesto, queda tambien demostrado el siguiente teorema (losdetalles se dejan como ejercicio):

Teorema Sean X1(t), . . . ,Xk(t), k soluciones del sistema homogeneo X′ = A(t)X, conA(t) continua en un intervalo abierto I y sea t0 ∈ I. Entonces X1, . . . ,Xk son linealmenteindependientes en el intervalo I si y solo si

los vectores X1(t0), . . . ,Xk(t0) son linealmente independientes.

Ejercicios

1. Verificar que las funciones vectoriales son linealmente independientes: en el intervalocon t ∈ <:

X1(t) =

e2t

0e2t

; X2(t) =

e2t

e2t

e−2t

; X3(t) =

et

2et

et

En este caso, basta con ver que en t0 = 0, el determinante de la matriz M(0) es nonulo, o sea que la matriz M(0) es “no singular.

Si fuesen soluciones de un sistema tambien eso implicarıa que serıa no singularM(t) en cualquier otro t. En general eso no es cierto cuando son funciones que nosatisfacen el hecho de ser soluciones del sistema lineal diferencial.

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2. (a) Verificar que las funciones vectoriales siguientes:

X1(t) =

e2t

e2t

e2t

; X2(t) =

−et

0e−t

; X3(t) =

0et

−e−t

son soluciones de: X ′(t) =

0 1 11 0 11 1 0

X(t).

(b) Luego verificar que esas soluciones son linealmente independientes en el intervalocon t ∈ <.

(c) Escribir entonces la solucion general : X(t), usando el sistema fundamental desoluciones.

(d) Hallar la solucion X(t) =

x1(t)x2(t)x3(t)

tal que satisface las condiciones iniciales:

X(0) =

x1(0)x2(0)x3(0)

=

110

3. Verificar que las funciones vectoriales son linealmente dependientes en <:

X1(t) =

et

0et

; X2(t) =

3et

03et

; X3(t) =

t10

Basta con ver aquı que X2(t) = 3X1(t) + 0X3(t).

En el caso que fuesen soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales, bas-tarıa con ver que en un punto la matriz M(t0) es singular. Si se trata de funcionescualesquiera habrıa que ver que para todo t es M(t) singular, como ocurre aquı .

2.2. Soluciones de un sistema lineal homogeneo con

coeficientes constantes

Consideremos ahora el caso, de gran importancia practica, en el que todos los coefi-cientes de la matriz A son constantes, es decir, independientes de t (aij(t) = aij ∀ i, j).En tal caso, el sistema se escribe

X′ = AX

Podemos entonces tomar I = R y la teorıa anterior asegura la existencia de n solucioneslinealmente independientes de dicho sistema validas ∀ t ∈ R.

Una forma de resolver dichos sistemas es proponer una solucion de tipo exponencialde la forma

X(t) = eλtv

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donde λ es un numero real o complejo y v un vector independiente del tiempo. En talcaso

X′(t) = λeλtv. Por lo tanto, si X(t) es solucion del sistema, v debe satisfacer

λeλtv = A(eλtv)

o sea,Av = λv

lo que implica, si exigimos v 6= 0, que λ debe ser autovalor de A (Det[A − λI] = 0) y vun autovector asociado.

En otras palabras, para que X(t) = eλtv sea solucion no trivial, es condicion necesariay suficiente que v sea autovector de A con autovalor λ.

Para resolver el sistema debemos pues hallar los autovalores y autovectores de la matrizA.

Observacion importante: Sin embargo, no debemos olvidar que para obtener lasolucion general se necesitan n soluciones linealmente independientes.

Surgen entonces dos situaciones:

a) La matriz A es diagonalizable, es decir, posee n autovectores v1, . . . ,vn

linealmente independientes, asociados a autovalores λ1, . . . , λn (no necesariamentedistintos).

Este es, por ejemplo, el caso de matrices reales simetricas, que son siempre diagonal-izables (aun cuando tengan autovalores repetidos) y tambien de matrices arbitrariasde n× n que poseen n autovalores distintos.

b) La matriz A no es diagonalizable, es decir, posee solamente k < n autovectoreslinealmente independientes.

Este caso puede darse solo si los autovalores no son todos distintos. Para matricesgenerales que dependen de parametros, este caso se da usualmente solo para aquellosvalores particulares de los parametros en los que coinciden dos o mas autovalores.

Caso a): A diagonalizable. En esta situacion se cuenta directamente con n solucioneslinealmente independientes, dadas por

X1(t) = eλ1tv1, X2(t) = eλ2tv2, . . . Xn(t) = eλntvn

donde v1,v2, . . . ,vn son n autovectores linealmente independientes.

Toda solucion del sistema puede pues expresarse en la forma

X(t) = c1eλ1tv1 + c2e

λ2tv2 + . . . + cneλntvn

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Este caso admite tambien un tratamiento mas formal que posibilita una comprensionmas profunda de la solucion general. Como la matriz A es diagonalizable, existe unamatriz S de n× n no singular tal que

S−1AS = D, D =

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0

. . .0 0 . . . λn

, S = (v1, . . . ,vn)

donde las columnas de S son autovectores linealmente independientes de A (e inde-pendientes de t).

Multiplicando entonces el sistema a izquierda por la inversa S−1, se obtiene

S−1X′ = S−1AX = (S−1AS)(S−1X)

es decir,

Y′ = DY, con Y = S−1X =

y1

. . .yn

Por ser D diagonal, las n funciones y1(t), . . . , yn(t) satisfacen un sistema de n ecua-ciones desacopladas,

y′1 = λ1y1

y′2 = λ2y2

. . .y′n = λnyn

cuya solucion es inmediata:yi(t) = cie

λit, i = 1, . . . , n, con ci constante. En estas variables, el sistema esta de-sacoplado y la variacion de cada funcion yi(t) es independiente de las demas.

Esto corresponde a ver el sistema en la base de Rn en la que el operador linealasociado a la matriz A tiene una representacion diagonal.

Podemos entonces escribir la solucion general para Y como

Y(t) =

c1eλ1t

c2eλ2t

. . .cneλnt

y la solucion general para X como

X(t) = SY(t) = c1eλ1tv1 + c2e

λ2tv2 + . . . + cneλntvn

que coincide con el resultado previo.

Una matriz fundamental de soluciones es entonces

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M(t) = (eλ1tv1, eλ2tv2, . . . , e

λntvn)

con M(0) = S y Det[M(t)] = e(λ1+...+λn)tDet[S] 6= 0

∀ t. La solucion general puede entonces escribirse como

X(t) = M(t)C

con C = (c1, . . . , cn)t. La solucion que satisface la condicion inicial

X(0) = X0 puede obtenerse a partir de

M(0)C = X0

Se obtiene ası, un sistema no singular de n ecuaciones con n incognitas c1, . . . , cn,

cuya unica solucion es

C = [M(0)]−1X0 = S−1X0

Ejemplo 4. Volvamos al primer ejemplo considerado:

{x′1 = ax1 + bx2

x′2 = bx1 + ax2

con a y b reales. En forma matricial,

(x′1x′2

)= A

(x1

x2

), A =

(a bb a

)

Los autovalores de la matriz A se obtienen de la ecuacion caracterıstica :|A− λI2| = (a− λ)2 − b2 = 0, cuyas raıces son

λ1 = a + b, λ2 = a− b

La matriz A es siempre diagonalizable porque es real simetrica. Un conjunto linealmenteindependiente de autovectores asociados es

v1 =

(11

), v2 =

(1−1

)

La solucion general del sistema podemos entonces escribirla como

(x1(t)x2(t)

)= c1e

(a+b)t

(11

)+ c2e

(a−b)t

(1−1

)

o sea,

{x1(t) = c1e

(a+b)t + c2e(a−b)t

x2(t) = c1e(a+b)t − c2e

(a−b)t

que es la solucion dada en el primer ejemplo.

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Solucion particular: Si queremos obtener la solucion particular que satisface lacondicion inicial

x1(0) = x10, x2(0) = x20,

se debe resolver. Dado que x1(0) = c1 + c2, x2(0) = c1 − c2, el sistema

{c1 + c2 = x10

c2 − c2 = x20

que es no singular y cuya unica solucion es

c1 = (x10 + x20)/2, c2 = (x10 − x01)/2

Por ejemplo, si x10 = 1, x20 = 0 ⇒ c1 = c2 = 1/2 y se obtiene la solucion particular

x1(t) = eat(ebt + e−bt)/2, x2(t) = eat(ebt − e−bt)/2

donde vemos que debido al acoplamiento, x2(t) 6= 0 para t > 0 si b 6= 0.Si b = 0 ⇒ x2(t) = 0 ∀ t.

En este caso, la correspondiente matriz de autovectores S, y su inversaS−1, estan dadas por

S =

(1 11 −1

), S−1 =

1

2

(1 11 −1

)

verificandose que S−1AS = D, con D = (a+b 00 a−b).

Las variables Y = S−1X son entonces

(y1

y2

)=

1

2

(1 11 −1

)(x1

x2

)=

1

2

(x1 + x2

x1 − x2

)

o sea, y1 = (x1 + x2)/2, y2 = (x1 − x2)/2, y satisfacen las ecuaciones desacopladas

{y′1 = (a + b)y1

y′2 = (a− b)y2

como es facil verificar directamente. La solucion de este sistema esy′1 = c1e

(a+b)t, y2 = c2e(a−b)t. Podemos reobtener ası la solucion general como

(x1(t)x2(t)

)= S

(y1(t)y2(t)

)= c1e

(a+b)t

(11

)+ c2e

(a−b)t

(1−1

)

Matriz fundamental. Una matriz fundamental de soluciones de este sistema es entonces

M(t) =

(e(a+b)t e(a−b)t

e(a+b)t −e(a−b)t

)

con M(0) = S, de forma que

(x1(t)x2(t)

)= M(t)

(c1

c2

)

Se verifica que Det[M(t)] = −2e2at 6= 0 ∀ t, de modo que

15

M(t) permanece no singular ∀ t.A partir de M(t), las constantes c1, c2 para una dada condicion inicial x1(0) = x10,x2(0) = x20, pueden obtenerse escribiendo

M(0)

(c1

c2

)=

(x10

x20

)

de donde, notando que M(0) = S,

(c1

c2

)= S−1

(x10

x20

)=

1

2

(1 11 −1

)(x10

x20

)=

1

2

(x10 + x20

x10 − x20

)

es decir, c1 = (x10 + x20)/2, c2 = (x10 − x20)/2, que coincide con el resultado previo.

Ejercicios

1. (a) Hallar las soluciones linealmente independientes de :

[x′1(t)x′2(t)

]=

[2 −31 −2

] [x1(t)x2(t)

]

(b) Hallar la expresion de la solucion general del sistema dado.

(c) Hallar la solucion particular que en t = 0, satisface que x1(0) = 1, y que x2(0) =2.

2. Lo mismo que en el ejercicio previo si el sistema de dos ecuaciones de primer orden

homogeneo tiene la matriz:

[2 −3−3 −2

]

En particular, hallar la solucion que en t = 0 , x1(0) = 2 y x2(0) = 1.

Autovalores complejos

Autovalores complejos. Debe observarse que los autovalores de A pueden ser com-plejos, es decir, de la forma λ = α + iβ, con α y β reales. En estos casos se deberecordar la formula de Euler para la exponencial,

eλt = e(α+iβ)t = eαt[cos(βt) + isen(βt)]

El autovector asociado v sera tambien complejo si la matriz A es real, es decirv = u + iw, con u y w reales.

Si interesa encontrar soluciones reales, basta saber que tanto la parte real como la parteimaginaria de una solucion compleja del sistema es tambien solucion si A es real:

Si X(t) = Xr(t) + iXi(t) entonces

X′(t) = X′r(t) + iX′

i(t) = A(Xr(t) + iXr(t))

por lo que igualando partes reales e imaginarias,

X′r(t) = AXr(t), X′

i(t) = AXi(t)

16

de modo que la parte real Xr(t) y la parte imaginaria Xi(t) de X(t) son tambiensoluciones del sistema.

Luego, para una solucion X(t) = eλtv,

eλtv = eα+iβt(u + iw) = eαt[cos(βt) + isen(βt)](u + iw) (1)

= eαt[u cos(βt)−w sen(βt)] + ieαt[w cos(βt) + u sen(βt)] (2)

de modo que

Xr(t) = eαt[u cos(βt)−w sen(βt)], Xi(t) = eαt[w cos(βt) + u sen(βt)]

son dos soluciones linealmente independientes del sistema pues u y w son lineal-mente independientes.

Notese que si A es real y λ = α + iβ es autovalor de A con autovector asociadov = u + iw ⇒ el valor conjugado λ∗ = α − iβ es tambien autovalor de A conautovector asociado v∗ = u− iw.

De esta forma, un par de autovalores conjugados da lugar unicamente a dos solucioneslinealmente independientes.

Ejemplo 5. Consideremos ahora

{x′1 = ax1 + bx2

x′2 = −bx1 + ax2

En forma matricial,

(x′1x′2

)= A

(x1

x2

), A =

(a b−b a

)

Los autovalores de la matriz A se obtienen de la ecuacion caracterıstica

|A − λI2| = (a − λ)2 + b2 = 0, que conduce a autovalores complejos (suponemos ay b reales)

λ1 = a + ib, λ2 = a− ib

La matriz es siempre “ diagonalizable”pues tiene dos autovalores distintos si b 6= 0(y es diagonal cuando b = 0).

Un conjunto linealmente independiente de autovectores asociados es

v1 =

(1i

), v2 =

(1−i

)= v∗1

La solucion general del sistema podemos entonces escribirla en forma compleja como

17

(x1(t)x2(t)

)= c1e

(a+ib)t

(1i

)+ c2e

(a−ib)t

(1−i

)

Tomando partes real e imaginaria de la primera solucion e(a+ib)tv1 obtenemos laexpresion real alternativa

(x1(t)x2(t)

)= c′1e

at

(cos(bt)−sen (bt)

)+ c′2e

at

(sen (bt)cos(bt)

)

que corresponde a c1 = c′1 − ic′2, c2 = c′1 + ic′2.

Como en este caso x1(0) = c′1, x2(0) = c′2, la solucion que satisface x1(0) = x10,x2(0) = x20 corresponde a c′1 = x10, c′2 = x20.

Una matriz fundamental de soluciones reales es entonces

M(t) =

(eat cos(bt) eatsen(bt)−eatsen(bt) eat cos(bt)

)

y satisface M(0) = I2, con Det[M(t)] = e2at 6= 0 ∀ t.

La matriz S de autovectores de A, y su inversa S−1, estan dadas por

S =

(1 1i −i

), S−1 =

1

2

(1 −i1 i

)

verificandose que S−1AS = D, con D = (a+ib 00 a−ib).

Las variables Y = S−1X son entonces

(y1

y2

)=

1

2

(1 −i1 i

)(x1

x2

)=

1

2

(x1 − ix2

x1 + ix2

)

y satisfacen las ecuaciones desacopladas

{y′1 = (a + ib)y1

y′2 = (a− ib)y2

como es facil verificar directamente, cuya solucion es y′1 = c1e(a+ib)t, y2 = c2e

(a−ib)t.Podemos obtener ası la solucion general como

(x1(t)x2(t)

)= S

(y1(t)y2(t)

)= c1e

(a+ib)t

(1i

)+ c2e

(a−ib)t

(1−i

)

18

Ejercicios

1. (a) Hallar las soluciones linealmente independientes de :

[x′1(t)x′2(t)

]=

[ −1 2−1 −3

] [x1(t)x2(t)

]

(b) Hallar la expresion de la solucion general del sistema dado.

(c) Hallar la solucion particular que en t = 0, satisface que x1(0) = 1, y que x2(0) =1.

2. Idem ejercicio previo si la matriz A =

[2 −54 −2

]

3. (a) Lo mismo que en el ejercicio previo para el sistema homogeneo que se obtiene alconvertir el sistema de segundo orden siguiente, en un sistema de primer orden con4 ecuaciones:{

m1x′′1(t) = −k1x1 + k2(x2 − x1)

m2x′′2(t) = −k2(x2 − x1)− k3x2

Ese sistema representa el movimiento del sis-

tema masa-resorte, donde x1, y x2 son los desplazamientos de las masas m1 y m2

hacia la derecha de sus posiciones de equilibrio. k1, k2, k3 son las constantes de tresresortes.

Verificar que el sistema de primer orden tiene autovalores siempre imaginarios deltipo: ±iβ1, y ±iβ2.

(b) Resolver el sistema de (a) cuando m1 = m2 = 1kg; k1 = 1N/m k2 = 2N/m, yk3 = 3N/m.

Vamos ahora al caso (b) que es el mas dificil...

Caso b: A no es diagonalizable.

En este caso “existe.al menos un autovalor repetido cuya multiplicidad algebraica(multiplicidad como raız del polinomio caracterıstico) no coincide con su multipli-cidad geometrica (dimension del espacio propio correspondiente).

Si hay k, k < n, autovectores linealmente independientes, estos proporcionan k solu-ciones linealmente independientes, pero faltan otras n−k soluciones linealmente indepen-dientes.

Para obtener estas soluciones se tendra en cuenta el siguiente resultado (ver porejemplo Edwards y Penney pagina 425, seccion 5.6) :

19

Si λ es autovalor de multiplicidad algebraica m y multiplicidad geometrica 1, siendo v1

el autovector asociado, entonces “existen m soluciones linealmente independientes”de laforma:

X1(t) = eλtv1

X2(t) = eλt(v12 + tAv12)

X3(t) = eλt(v13 + tAv13 +t2

2!A2v13)

. . .

Xm(t) = eλt(v1m + tAv1m + . . . +tm−1

(m− 1)!Am−1v1m)

donde A ≡ A− λIn, y v12 es un vector que satisface

A2v12 = 0

peroAv12 6= 0,

y en general, v1k, k = 2, . . . , m, es un vector que satisface

Akv1k = 0, pero

Ak−1v1k 6= 0.

Si se comienza con v1m, se puede elegir

v1,m−k = Akv1m, con

v1 = v11 = Am−1v1m donde v1 es un autovector de A con autovalor λ, pues Av11 =0.

Los vectores v12, v13, . . . ,v1m se denominan autovectores generalizados asociados alautovalor λ.

Su existencia esta garantizada por el siguiente resultado:

Si los autovalores de A son λ1, . . . , λk y tienen multiplicidades algebraicas m1, . . . , mk

respectivamente, entonces para cada λi (i = 1, . . . , k) existen mi vectores linealmenteindependientes que verifican:

(A− λiIn)rv = 0

para algun entero positivo r, con r ≤ mi.El conjunto de los n = m1 + . . . + mk vectores ası construidos, considerando todos los

autovalores, es linealmente independiente.

20

Resumiendo:Para encontrar las n soluciones linealmente independientes de un sistema homogeneo

cuando A no es diagonalizable, se encuentran, para cada autovalor λ repetido cuya mul-tiplicidad algebraica no coincida con la multiplicidad geometrica, todos los vectores vlinealmente independientes que satisfacen

Av 6= 0 y A2v = 0, donde A ≡ A − λIn. Cada uno de estos vectores aporta unasolucion adicional

eλt(v + tAv)

linealmente independiente con las anteriores.Si aun no se tienen n soluciones linealmente independientes, para dichos autovalores

se encuentran todos los vectores v linealmente independientes que satisfacen A2v 6= 0 yA3v = 0.

Cada uno de estos vectores aporta una solucion adicional

eλt(v + tAv +t2

2!A2v)

linealmente independiente con las anteriores.

Este proceso se continua hasta obtener para “cada autovalor repetido”tantas solucioneslinealmente independientes como indique su multiplicidad algebraica.

Ejemplo 6. Consideremos el sistema{

x′1 = ax1 + bx2

x′2 = ax2

que puede escribirse en forma matricial como

(x′1x′2

)= A

(x1

x2

), A =

(a b0 a

)

La ecuacion caracterıstica es |A−λI2| = (a−λ)2 = 0, que conduce al unico autovalor

λ = a

con multiplicidad algebraica 2.Si b 6= 0, la matriz A no es diagonalizable, pues el rango de A = A− λI2 = (0 b

0 0) es 1.Esto indica que existira un solo autovector linealmente independiente.

Ası puede elegirse como autovector v1 = (10). Se obtiene ası la solucion

X1(t) = eat

(10

)

Buscamos ahora un vector v2 linealmente independiente de v1 tal que:

Av2 6= 0,

conA2v2 = 0.

21

Como A2 = (0 00 0), basta con encontrar un vector linealmente independiente de v1.

Por ejemplo, v2 = (01), que satisface Av2 = (b

0) = bv1.Obtenemos ası la “segunda solucion linealmente independiente”:

X2(t) = eat(

(01

)+ t

(b0

)) = eat(

(bt1

)

y la solucion general

X(t) = c1X1(t) + c2X

2(t) = c1eat

(10

)+ c2e

at

(bt1

)

es decir,

x1(t) = eat(c1 + btc2), x2(t) = c2eat

En este ejemplo sencillo, esta solucion puede obtenerse directamente resolviendo primerola ecuacion para x2 (que esta desacoplada de x1) y luego la ecuacion lineal para x1 (acopla-da con x2).No es posible aquı encontrar variables en las que el sistema resulte desacoplado.

Si x1(0) = x10, x2(0) = x20 ⇒ c1 = x10, c2 = x20.Una matriz fundamental de soluciones es entonces

M(t) =

(eat bteat

0 eat

)

que satisface M(0) = I2, Det[M(t)] = e2at 6= 0 ∀ t.

Observacion: Notemos finalmente que si b 6= 0, la matriz A = (a bε a) es diagonalizable

∀ ε 6= 0, ya que tendra dos autovalores distintos λ± = a±√

bε.El caso no diagonalizable ocurre unicamente cuando ε = 0.

2.3 Matriz fundamental.

Tanto para el caso (a) (Aes diagonalizable) como para el caso (b) (A no diagonal-izable), puede demostrarse que la matriz

M(t) = eAt =∞∑

k=0

(At)k

k!

es una matriz fundamental del sistema

X′ = AX

para A constante.Esto puede verse directamente a partir de la serie, notando que

M′(t) =∞∑

k=1

kAktk−1

k!=

∞∑

k=1

A(At)k−1

(k − 1)!= A

∞∑

k′=0

(At)k′

k′!= AM(t)

22

donde k′ = k − 1 y hemos tenido en cuenta que A0t0/0! ≡ In (matriz identidad).Esto implica que cada columna Xi(t) de e[At] satisface (Xi)′ = AXi, siendo por lo

tanto solucion del sistema homogeneo. Ademas, si t = 0, el primer termino de la serie esel unico termino no nulo y por lo tanto

M(0) = e[A0] = In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0

. . .0 0 . . . 1

lo que implica que las n columnas Xi(t) de e[At] son linealmente independientes, pues losn vectores Xi(0) son linealmente independientes (forman la base canonica de Rn).

Eso muestra que e[At] es una matriz fundamental del sistema en todos los casos, siendola unica matriz fundamental que satisface M(0) = In.

La solucion X(t) que satisface X(0) = X0 esta entonces dada por

X(t) = exp[At]X0

en completa analogıa con el caso elemental de un sistema de 1×1 (la solucion de x′ = ax,con a constante y x(0) = x0 es x(t) = eatx0).

Este resultado es muy importante en diversos estudios analıticos de sistemas de ecuacionesdiferenciales.

En el caso diagonalizable: tenemos A = SDS−1, con D diagonal y S = (v1, . . . ,vn) lamatriz de autovectores. Por lo tanto

exp[At] = exp[S(Dt)S−1] = S exp[Dt]S−1

Como D es diagonal,

Dk =

λk1 0 . . . 00 λk

2 . . . 0. . .

0 0 . . . λkn

para k = 0, 1, . . . , y por lo tanto,

exp[Dt] =∞∑

k=0

Dktk

k!=

eλ1t 0 . . . 00 eλ2t . . . 0

. . .0 0 . . . eλnt

De esta forma puede evaluarse explıcitamente exp(At) en el caso diagonalizable.Esto conduce nuevamente a la solucion general ya vista

X(t) = M(t)C = S exp[Dt]S−1C =n∑

i=1

cieλitvi

con (c1, . . . , cn)t = S−1C.

23

En el caso no diagonalizable: la matriz exp[At] puede evaluarse explıcitamente a partirde la denominada forma canonica de Jordan de la matriz A, que no trataremos aquı,lo cual conduce a la solucion dada anteriormente. Cabe agregar que en programascomo mathematica o maple existen funciones ya instaladas para evaluar directamenteexp[At] en cualquier caso.

Ejemplo 7: Volviendo al sistema del ejemplo 4, obtenemos

exp[At] = S exp[Dt]S−1 =1

2

(1 11 −1

) (e(a+b)t 0

0 e(a−b)t

)(1 11 −1

)

= eat

(cosh(bt) sinh(bt)sinh(bt) cosh(bt)

)

donde cosh(x) = (ex + e−x)/2, sinh(x) = (ex − e−x)/2.Las columnas X1(t), X2(t) proporcionan un conjunto de soluciones linealmente inde-

pendientes del sistema que satisfacen las condiciones inicialesX1(0) = (1

0), X2(0) = (01).

En el ejemplo 5,

exp[At] = S exp[Dt]S−1 =1

2

(1 1i −i

)(e(a+ib)t 0

0 e(a−ib)t

)(1 −i1 i

)

= eat

(cos(bt) sin(bt)− sin(bt) cos(bt)

)

Y en el ejemplo 6, escribiendo A = a(1 00 1)+ b(0 1

0 0) y teniendo en cuenta que i) la matrizidentidad conmuta con cualquier matriz y ii) (0 1

0 0)2 = (0 0

0 0), se obtiene

e[At] = e[at(1 00 1)+bt(0 1

0 0)] = e[at(1 00 1)]e[bt(0 1

0 0)] = (eat 00 eat)[(1 0

0 1) + bt(0 10 0)] = eat(1 bt

0 1)

24

3. Sistemas lineales de primer orden no homogeneos

Consideremos ahora el sistema no homogeneo

X′ = A(t)X + B(t)

donde supondremos que A(t) y B(t) son continuas en un intervalo I.Esto asegura la existencia y unicidad de la solucion X(t) para una dada condicion

inicial X(t0) = X0, con t0 ∈ I.Una propiedad fundamental de las soluciones del sistema no homogeneo es la siguiente:

Si Xp(t) es una solucion del sistema no homogeneo y X(t) es otra solucion del mismo(que satisface otra condicion inicial) entonces la funcion diferencia Xh = X(t)−Xp(t) esnecesariamente una solucion del sistema homogeneo, pues satisface

X′h = X′ −X′

p = A(t)X + B(t)− [A(t)Xp + B(t)] = A(t)(X−Xp) = A(t)Xh

Por tanto, podemos escribir cualquier solucion X(t) del sistema inhomogeneo como

X(t) = Xp(t) + Xh(t),

donde Xh(t) es una solucion del sistema homogeneo.

Hemos pues demostrado el siguiente teorema:

Teorema Si Xp(t) es una solucion particular del sistema no homogeneo y Xg(t) es lasolucion general del sistema homogeneo, entonces todas las soluciones X(t) del sistemano homogeneo se pueden expresar en la forma

X(t) = Xg(t) + Xp(t)

Esta expresion constituye la solucion general del sistema no homogeneo.

Observacion: Notemos que el conjunto de soluciones del sistema no homogeneo noes un espacio vectorial.

Esto es obvio ya que no contiene la solucion nula (solucion trivial). Ademas es facilver que una combinacion lineal de soluciones no es en general solucion del mismo sistema.No obstante, es valida una propiedad fundamental muy importante y util, denominadaprincipio de superposicion:

Si X1(t) y X2(t) satisfacen las ecuaciones

X′1 = A(t)X1 + B1(t)

X′2 = A(t)X2 + B2(t)

entonces la combinacion lineal X(t) = c1X1(t) + c2X2(t), donde c1, c2 son constantes, essolucion del sistema

X′ = A(t)X + c1B1(t) + c2B2(t)

En efecto, multiplicando la primera ecuacion por c1, la segunda por c2 y sumando, seobtiene esta ultima ecuacion.

25

Esta propiedad implica que la solucion particular para la combinacion linealB(t) =

∑i ciBi(t) es la combinacion lineal

∑i ciXi(t) de las soluciones particulares

Xi(t) para cada termino Bi(t).Esto permite descomponer una inhomogeneidad general

B(t)

en terminos o sumandos simples para los cuales es mas facil obtener una solucion.Tanto esta propiedad como la anterior son analogas a las de sistemas de ecuaciones

lineales inhomogeneos (del tipo AX = b).En resumen: para resolver el sistema no homogeneo X′ = A(t)X + B(t), basta

con encontrar la solucion general Xg del sistema homogeneo X = A(t)X y una solucionparticular Xp(t) del sistema completo.

Ya hemos desarrollado un metodo para obtener la solucion general Xg(t) del sistemahomogeneo cuando los coeficientes son constantes.

Ahora nos dedicaremos a desarrollar metodos para encontrar una solucion particular delsistema completo, suponiendo que se tiene resuelto el sistema lineal homogeneo asociado.

3.2- Metodos

Primer Metodo:Variacion de parametros (o constantes).

Supongamos que X1(t), . . . ,Xn(t) son n soluciones linealmente independientes delsistema homogeneo X′ = A(t)X, y que por tanto su solucion general puede escribirseen la forma

Xg(t) = c1X1(t) + . . . + cnXn(t)= M(t)C

donde M(t) = (X1(t), . . . ,Xn(t)) es una matriz fundamental de soluciones delsistema homogeneo (que satisface M′(t) = A(t)M(t) y es no singular) y C =(c1, . . . , cn)t un vector de constantes.

Si ahora sustituimos C por una funcion vectorial C(t), veremos que es posible de-terminar esta funcion para que

Xp(t) = M(t)C(t)

sea una solucion particular del sistema completo

X′ = A(t)X + B(t).

En efecto, derivando la expresion anterior obtenemos

X′p = M′(t)C(t) + M(t)C′(t)

= A(t)M(t)C(t) + M(t)C′(t)

= A(t)Xp + M(t)C′(t)

Si exigimos que X′p = A(t)Xp + B(t) debe cumplirse

M(t)C′(t) = B(t)

26

de donde C′(t) = M−1(t)B(t) y por tanto

C(t) =

∫M−1(t)B(t)dt

Una solucion particular del sistema completo es entonces

Xp(t) = M(t)[

∫M−1(t)B(t)dt]

Considerando un tiempo inicial t0 ∈ I, la expresion anterior suele escribrise tambienen la forma

Xp(t) = M(t)

∫ t

t0

M−1(t′)B(t′)dt′

que es la solucion particular que satisface Xp(t0) = 0.

En el caso de sistemas con coeficientes constantes (A independiente del tiempo)podemos escribir M(t) = exp[At], con M−1(t) = exp[−At], y por lo tanto,

Xp(t) = exp[At]∫ t

t0exp[−At′]B(t′)dt′

=∫ t

t0exp[A(t− t′)]B(t′)dt′

donde hemos utilizado la igualdad exp[At] exp[−At′] = exp[A(t− t′)].

Teniendo en cuenta que en este caso Xg(t) = exp[At]C, la solucion general delsistema inhomogeneo X′ = AX + B(t) puede entonces escribirse como

X(t) = exp[At]C +

∫ t

t0

exp[A(t− t′)]B(t′)dt′

y la solucion que satisface X(t0) = X0 como

X(t) = exp[A(t− t0)]X0 +

∫ t

t0

exp[A(t− t′)]B(t′)dt′

Ejemplo 8 Hallar la solucion particular del sistema

{x′1 = ax1 + bx2 + f1(t)x′2 = ax2 + bx1 + f2(t)

que satisface x1(0) = 0, x2(0) = 0.

En este caso B(t) = (f1(t)f2(t)).

Hemos visto (ejemplo 7) que en este sistema

exp[At] = eat

(cosh(bt) sinh(bt)sinh(bt) cosh(bt)

)

27

Por lo tanto, teniendo en cuenta que t0 = 0 y X0 = 0, se obtiene, para

Xp(t) = (x1(t)x2(t)),

Xp(t) =

∫ t

0

exp[A(t− t′)]B(t′)dt′

=

∫ t

0

(ea(t−t′)[cosh(b(t− t′))f1(t

′) + sinh(b(t− t′))f2(t′)]dt′

ea(t−t′)[sinh(b(t− t′))f1(t′) + cosh(b(t− t′))f2(t

′)]dt′

)

Por ejemplo, si f2(t) = 0 y f1(t) = e−t, se obtiene, para a = b = −1,

x1(t) = e−t sinh(t) =1− e−2t

2, x2(t) = e−t(1− cosh(t)) = −e−2t + 1

2+ e−t

Se observa que para t →∞, x1(t) → 1/2, x2(t) → −1/2.

Segundo Metodo: Coeficientes indeterminados.

Si consideramos un sistema diferencial de coeficientes constantes X′ = AX+B(t) enel cual B(t) posee una estructura determinada (por ej., esta formado por funcionespolinomicas, exponenciales, senos, cosenos, o sumas y productos de estas) podemosrecurrir al metodo de los coeficientes indeterminados, que consiste esencialmente enla busqueda de una solucion particular Xp(t) del mismo tipo que la funcion vectorialB(t).

El metodo es mas efectivo y sistematico cuando se aplica sobre ecuaciones diferen-ciales lineales de orden n con una sola funcion incognita, lo que se discutira en laproxima seccion.

Como ejemplo, si B(t) = at + b, el metodo consiste en proponer una solucionparticular Xp del mismo tipo, es decir,

Xp(t) = vt + w

donde v y w son vectores constantes por determinar (v y w son los “coeficientes”indeterminados).

Exigiendo que Xp(t) sea solucion del sistema, se obtiene, dado que X′p = v,

v = A(vt + w) + at + b

es decir,t(Av + a) + Aw − v + b = 0

Esto conduce al sistema

Av = −a, Aw − v = −b

de donde, en el caso de que A sea no singular,

v = −A−1a, w = A−1(v − b)

28

Como segundo ejemplo, consideremos el importante caso B(t) = eλtb. Proponiendo

Xp(t) = eλtv

se obtiene, exigiendo que Xp sea solucion del sistema y teniendo en cuenta queX′

p = λeλtv, la ecuacion

λeλtv = A(eλtv) + eλtb

es decir, Av − λv = −b, o sea

(A− λIn)v = −b

Si λ no es autovalor de A ⇒ A− λIn es no singular y en tal caso podemos obtenerv como

v = −(A− λIn)−1 b

Ejemplo 9: Consideremos nuevamente el ejemplo 8 para el caso

f2(t) = 0, f1(t) = e−t, con a = b = −1, es decir

{x′1 = −x1 − x2 + e−t

x′2 = −x1 − x2

El metodo de coeficientes indeterminados consiste aquı en proponer una solucionparticular del tipoXp(t) = e−tv, con v = (v1

v2), es decir, x1(t) = v1e

−t, x2(t) = v2e−t, con v1, v2 con-

stantes.

Se obtiene, utilizando el resultado anterior en el caso λ = −1, b = (10), A = (−1 −1

−1 −1),

v = −(A + In)−1b =

(0 11 0

)−1 (10

)=

(0 11 0

)(10

)=

(01

)

de donde la solucion particular proporcionada por este metodo es

Xp(t) = e−t

(01

)

es decir x1(t) = 0, x2(t) = e−t.Para t = 0 esta solucion satisface x1(0) = 0 pero x2(0) = 1. Para hallar la solu-cion que satisface x1(0) = x2(0) = 0, debemos agregar la solucion general de laecuacion homogenea y luego determinar las constantes para ajustar la condicioninicial. Utilizando el resultado del ejemplo 4 para la solucion general de la ecuacionhomogenea y reemplazando a = b = −1, obtenemos ası la solucion general de laecuacion inhomogenea,

{x1(t) = c1e

−2t + c2

x2(t) = c1e−2t − c2 + e−t

29

La condicion inicial x1(0) = x2(0) = 0 implica el sistema

{c1 + c2 = 0c1 − c2 + 1 = 0

cuya solucion es c1 = −1/2, c2 = 1/2. La solucion final es entonces

{x1(t) = 1−e−2t

2

x2(t) = −1+e−2t

2+ e−t

que coincide con la obtenida por el primer metodo en el ejemplo 8.

Ejercicios

1. Resolver las siguientes sistemas de ecuaciones lineales:(a) {

x′1 = −2x1 − 4x2 + 1x′2 = −x1 + x2 + 3t2/2

Verificar que la solucion general es

{x1(t) = C1e

2t + 4C2e−3t + t + t2

x2(t) = −C1e2t + C2e

−3t − t2/2

(b) Resolver: {x′ = 3x + 2y + 2e−t

y′ = −2x− y + e−t

Verificar que la solucion general es

{x(t) = C1e

t + C2tet + (1/2)e−t

y(t) = −C1et + C2((1/2)− t)et − 2e−t

(c) Resolver :

x′ = x + y + et

y′ = x + y + e2t

z′ = 3z + e3t

Verificar que la solucion general es

x(t) = C1 + C2e2t − (1/4)e2t + (1/2)te2t

y(t) = −C1 + C2e2t − et + (1/4)e2t + (1/2)te2t

z(t) = C3e3t + te3t

2. Resolver los siguientes problemas de condiciones iniciales.(a) {

x′ = −2y + 3y′ = 2x− 2t

30

cumpliendo {x(0) = 1y(0) = 1

Verificar que se cumple: {x(t) = t + cos(2t)y(t) = 1 + sen(2t)

(b) {x′ = 3x− 4y + et

y′ = x− y + et

cumpliendo {x(0) = 1y(0) = 1

Verificar que se cumple: {x(t) = et(1− t− t2)y(t) = et(1− t2/2)

31

4. Ecuaciones diferenciales de orden superior

4.1 Introduccion

Llamamos ecuacion diferencial lineal de orden n a toda ecuacion diferencial que puedaexpresarse en la forma

y(n) + a1(t)y(n−1) + . . . + an−1(t)y

′ + an(t)y = f(t) (3)

donde la incognita es la funcion y(t).Tanto los coeficientes ai(t), i = 1, . . . , n, como el segundo miembro f(t) son funciones

definidas en un cierto intervalo I ⊂ <.Si f(t) = 0 ∀ t ∈ I la ecuacion (3) se dice homogenea. En caso contrario se denomina

no homogenea.El problema de valor inicial asociado a la ecuacion (3) es

y(n) + a1(t)y(n−1) + . . . + an−1y

′ + any = f(t)

y(t0) = y0, y′(t0) = y′0, . . . , y(n−1)(t0) = y(n−1)0

(4)

donde t0 ∈ I e y0, y′0, . . . , y

(n−1)0 son constantes arbitrarias conocidas (datos del problema).

Como vimos en la seccion anterior, definiendo las nuevas variables

x1 = y, x2 = y′, x3 = y′′, . . . , xn = y(n−1)

la ecuacion (3) puede escribirse como un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales deprimer orden:

x′1 = x2

x′2 = x3

. . .x′n−1 = xn

x′n = −an(t)x1 − an−1(t)x2 − . . .− a1(t)xn + f(t)

Mas aun, definiendo

X =

x1

x2...

xn−1

xn

, X ′ =

x′1x′2...

x′n−1

x′n

, B(t) =

00. . .0

f(t)

y la matriz

A(t) =

0 1 0 0 . . . 00 0 1 0 . . . 0...

......

......

...0 0 0 . . . 1 00 0 0 . . . 0 1

−an(t) −an−1(t) −an−2(t) . . . −a2(t) −a1(t)

32

podemos escribir el sistema anterior en la concisa forma matricial

X ′ = A(t)X + B(t) (1∗)

Evidentemente si X(t) es solucion de (1∗), la primera de sus componentes y(t) = x1(t)sera solucion de la ecuacion diferencial (3) mientras que las restantes componentes xi(t)seran las derivadas sucesivas de y(t) hasta el orden n− 1.

El problema (4) de valores iniciales puede analogamente escribirse como

X ′ = A(t)X + B(t), X(t0) = X0, con X0 =

y0

y′0. . .

y(n−1)0

(2∗)

Por lo tanto, toda la teorıa desarrollada anteriormente para sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales puede aplicarse directamente a las ecuaciones diferenciales linealesde orden superior. En particular, los teoremas del tema anterior implican para la ecuacion(3) los siguientes teoremas:

Teorema 4.1 (Existencia y unicidad): Si las funciones a1(t), . . . , an(t) y f(t) soncontinuas en un intervalo abierto I ⊂ < que contiene a x0, entonces el problema de valoresiniciales (4) posee una unica solucion y(t) definida en el intervalo I, para cada n-upla de

valores iniciales (y0, y′0, y

′′0 , . . . , y

(n−1)0 ).

Teorema 4.2: Para las mismas condiciones del teorema anterior, la ecuacion difer-encial lineal homogenea de orden n

y(n) + a1(t)y(n−1) + . . . + an−1(t)y

′ + an(t)y = 0 (5)

posee n soluciones linealmente independientes y1(t), y2(t), . . . , yn(t) en el intervalo I, talque toda solucion y(t) de (5) puede escribirse en la forma:

y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + . . . + cnyn(t)

con c1, . . . , cn constantes.

Es decir, el conjunto de soluciones de la ecuacion homogenea (5) es un espacio vectorialde dimension n, con las operaciones usuales de suma de funciones y multiplicacion porescalar.

El teorema 4.2 es consecuencia inmediata del teorema analogo para sistemas de n× n,el cual establece que para B(t) = 0 en (1∗), el sistema homogeneo resultante

X ′(t) = A(t)X (3∗)

posee n soluciones Xi(t), i = 1, . . . , n, linealmente independientes, que forman una basedel subespacio de soluciones.

33

Dado que en este caso Xi(t) es de la forma

Xi(t) =

yi(t)y′i(t). . .

y(n−1)i (t)

el teorema implica que las n funciones:

yi(t), i = 1, . . . .n,

son “linealmente independientes”(de lo contrario los vectores Xi(t) serıan linealmentedependientes) y forman base del espacio de soluciones de (5).

En realidad...

La formulacion matricial (3∗) nos muestra que las n soluciones yi(t) anteriores nosolo son linealmente independientes, sino que ademas el correspondiente determinante(llamado Wronskiano)

W (y1, . . . , yn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

y1(t) . . . yn(t)y′1(t) . . . y′n(t)

. . .

y(n−1)1 (t) . . . y

(n−1)n (t)

∣∣∣∣∣∣∣∣

es no nulo ∀ t ∈ I, dado que es el determinante de la matriz fundamental del sistemahomogeneo (3∗).

Observacion 1. Notese que si un conjunto de n funciones arbitrarias gi(t) es lin-ealmente dependiente ⇒ W (g1, . . . , gn) = 0 (probar como ejercicio). No obstante, si elconjunto es linealmente independiente, el determinante W (g1, . . . , gn) puede aun ser nulo(basta con que las gi sean no nulas en intervalos disjuntos).Por lo tanto, la condicion W (y1, . . . , yn) 6= 0 es aun mas fuerte que la independencia linealdel conjunto (y1, . . . , yn).

Observacion 2.En general, resulta dificil encontrar las soluciones de una ecuacionlineal de orden n si los coeficientes ai(t) no son constantes. Se utilizan en general metodosbasados en el desarrollo en serie de potencias de la solucion, que no trataremos aquı.

Consideramos el caso especial....

4.2 Ecuaciones diferenciales homogeneas de coeficientes constantes

Obtencion de la solucion general.Consideremos ahora la ecuacion diferencial lineal de orden n con coeficientes ai(t)

constantes (o sea, independientes de t):

y(n) + a1y(n−1) + . . . + an−1y

′ + any = 0 (6)

Por el Teorema 4.2., existiran n soluciones linealmente independientes y1(t), . . . , yn(t).Para hallarlas, si bien es posible emplear los metodos generales para sistemas de ecua-

ciones utilizando la forma matricial (3∗), resulta mas conveniente proceder de la siguientemanera:

34

Se plantea una solucion exponencial de la forma

y(t) = eλt

Reemplazando en (6) se obtiene, dado que y′(t) = λy(t) y en general, y(k)(t) = λky(t),

eλt[λn + a1λn−1 + . . . + an−1λ + an] = 0

lo cual conduce a la ecuacion caracterıstica

λn + a1λn−1 + . . . + an−1λ + an = 0 (7)

Esto implica que y(t) = eλt sera solucion de (6) si y solo si λ es solucion de la ecuacioncaracterıstica (7).

Puede demostrarse que la ecuacion (7) es equivalente a la ecuacion de autovaloresasociada a la matriz del sistema lineal equivalente,

A =

0 1 0 0 . . . 00 0 1 0 . . . 0...

......

......

...

0 0 0 . . . 0 1−an −an−1 −an−2 . . . −a2 −a1

que es ahora constante. Se tiene Det[A− λI] = (−1)n(λn + a1λn−1 + . . . + an−1λ + an).

Caso de n raıces distintas:

Si la ecuacion (7) posee n raıces distintas λi, i = 1, . . . , n, se obtienen de esta forma nsoluciones linealmente independientes de (6),

yi(t) = eλit, i = 1, . . . , n

siendo entonces la solucion general

yi(t) = c1eλ1t + c2e

λ2t + . . . + cneλnt

En este caso la multiplicidad algebraica de cada raız λi es 1 y la matriz A anterior esdiagonalizable.

Caso general.Si la ecuacion (7) posee una raız λ de multiplicidad algebraica m > 1, puede demostrarseque m soluciones linealmente independientes de (6) son

y1 = eλt, y2(t) = teλt, . . . , ym(t) = tm−1eλt

Si la ecuacion (7) posee k < n raıces distintas λi, i = 1, . . . , k, con multiplicidadesalgebraicas mi (que deben satisfacer m1 + . . . + mk = n), n soluciones linealmente inde-pendientes de (6) son entonces

35

yij(t) = tj−1eλit, j = 1, . . . , mi, i = 1, . . . , k

y la solucion general puede expresarse como

y(t) =k∑

i=1

mi∑j=1

cij tj−1eλit

o sea,

y(t) = c11eλ1t + . . . + c1m1t

m1−1eλ1t + . . . + ck1eλkt + . . . + ckmk

tk−1eλkt

Justificacion.Denotando con d

dtla operacion de derivacion (operador lineal), se tiene d

dteλt = λeλt y

por lo tanto ( ddt− λ)eλt = 0.

Analogamente, ddt

(teλt) = eλt(1 + λt) y por lo tanto( d

dt− λ)(teλt) = eλt.

Esto implica ( ddt− λ)2(teλt) = ( d

dt− λ)[( d

dt− λ)eλt] = ( d

dt− λ)eλt = 0.

En general, ( ddt− λ)(tjeλt) = jtj−1eλt y por lo tanto,

(d

dt− λ)m(tjeλt) = 0, j = 0, . . . , m− 1, m ≥ 1

Si la ecuacion (7) posee k < n raıces distintas λi con multiplicidades algebraicas mi,el polinomio

P (λ) = λn + a1λn−1 + . . . + an−1λ + a1

en (7) puede escribirse como

P (λ) = (λ− λ1)m1 . . . (λ− λk)

mk (∗)

Notando que ( ddt

)2 = d2

dt2y en general ( d

dt)k = dk

dtk, la ecuacion diferencial (6) puede

tambien escribirse como P ( ddt

)y = 0, o sea, ( ddt− λ1)

m1 . . . ( ddt− λk)

mky = 0 (el orden delas raıces es arbitrario).

De aquı vemos que y(t) = tjeλkt sera solucion de P ( ddt

)(y) = 0 para j = 0, . . . , mk − 1,y en general, que y(t) = tjeλit sera solucion para j = 0, . . . , mi − 1.

Raıces complejas.

Si existe una raız complejaλ = a + ib

con a, b ∈ <, podemos aplicar directamente todas las expresiones anteriores recordandola formula de Euler

eix = cos(x) + i sin(x),

que implicae(a+ib)t = eateibt = eat[cos(bt) + i sin(bt)]

Si todas las constantes a1, . . . , an son reales, las raıces complejas aparecen en paresconjugados λ = a + ib, λ∗ = a− ib.

36

En tal caso podemos elegir como soluciones linealmente independientes asociadas obien el par de soluciones complejas

y1(t) = eλt = eat[cos(bt) + i sin(bt)]y2(t) = eλ∗t = eat[cos(bt)− i sin(bt)]

o bien el par de soluciones reales

y1(t) = Re[y1(t) = eat cos(bt)y2(t) = Im[y1(t)] = eat sin(bt)

.En el caso de que λ posea multiplicidad m > 1 se procede en forma similar.Un conjunto de 2m soluciones reales linealmente independientes asociadas a las raıces

λ = a + ib y λ∗ = a− ib, cada una de multiplicidad m, es:

y1(t) = eat cos(bt), y2(t) = teat cos(bt), . . . ym(t) = tm−1eat cos(bt)

ym+1(t) = eat sin(bt), ym+2(t) = teat sin(bt), . . . y2m(t) = tm−1eat sin(bt)

4.3 Casos particulares, de acuerdo al orden de la Ec. diferencial

Caso n = 1(Ecuacion de primer orden): Si

y′ + a1y = 0

reemplazando y(t) = eλt obtenemos la ecuacion caracterıstica λ + a1 = 0, de dondeλ = −a1.Obtenemos ası la solucion y(t) = e−a1t.La solucion general es

y(t) = ce−a1t

La constante c puede determinarse a partir de la condicion inicial:

y(t0) = ce−a1t0 = y0,

que implica c = ea1t0y0.

Caso n = 2(Ecuacion de segundo orden): Si

y′′ + a1y′ + a2y = 0

reemplazando y(t) = eλt se obtiene la ecuacion caracterıstica λ2 + a1λ + a2 = 0, cuyasraıces son

λ1,2 = (−a1 ±√

a21 − 4a2)/2

Subcaso 1) λ1 6= λ2 (a21 − 4a2 6= 0). Dos soluciones linealmente independientes son

y1(t) = eλ1t, y2(t) = eλ2t y la solucion general es

y(t) = c1eλ1t + c2e

λ2t (λ1 6= λ2)

37

Las constantes c1, c2 pueden determinarse a partir de las condiciones iniciales y(t0) = y0,y′(t0) = y′0, o sea, {

c1eλ1t0 + c2e

λ2t0 = y0,c1λ1e

λ1t0 + c2λ2eλ2t0 = y′0

Subcaso 2) λ1 = λ2 (a21 − 4a2 = 0). Dos soluciones linealmente independientes son

y1(t) = eλ1t, y2(t) = teλ1t y la solucion general es

y(t) = c1eλ1t + c2te

λ1t (λ1 = λ2)

La determinacion de las constantes c1, c2 a partir de las condiciones iniciales y(t0) = y0,y′(t0) = y′0 conduce ahora al sistema

{c1e

λ1t0 + c2t0eλ1t0 = y0

c1λ1eλ1t0 + c2e

λ1t0(1 + λ1t0) = y′0,

Tanto en 1) como en 2), el sistema resultante de dos ecuaciones lineales no homogeneaspara c1 y c2 es siempre compatible y con solucion unica, para cualquier valor de y0, y′0 yt0 (por Teorema 4.1).

Ejemplos:1) y′′ − 4y = 0Reemplazando y(t) = eλt obtenemos la ecuacion caracterıstica

λ2 − 4 = 0

cuyas raıces son λ1 = 2 y λ2 = −2. Dos soluciones linealmente independientes son entoncesy1(t) = e2t, y2(t) = e−2t y la solucion general es

y(t) = c1e2t + c2e

−2t

2) y′′ + 4y = 0La ecuacion caracterıstica es ahora λ2 +4 = 0, cuyas raıces son λ1,2 = ±2i. Dos solucioneslinealmente independientes son y1(t) = e2it, y2(t) = e−2it y la solucion general puedeescribirse como

y(t) = c1e2it + c2e

−2it

Pueden tambien elegirse dos soluciones reales linealmente independientes, y1(t) = Re[y1(t)] =cos(2t), y2(t) = Im[y1(t)] = sin(2t). La solucion general puede entonces escribirse tambiencomo

y(t) = c1 cos(2t) + c2 sin(2t)

que corresponde a c1 = (c1 − ic2)/2, c2 = (c1 + ic2)/2.

3) y′′(t) + 2y′ + y = 0La ecuacion caracterıstica es λ2 + 2λ + 1 = 0, cuya unica raız es λ = −1. Dos solucioneslinealmente independientes son entonces y1(t) = e−t, y2(t) = te−t, y la solucion general es

y(t) = c1e−t + c2te

−t

38

4) y′′′ − 4y′ = 0La ecuacion caracterıstica es λ3 − 4λ = 0, cuyas raıces son λ1 = 0, λ2 = 2, λ3 = −2. Tressoluciones linealmente independientes son entonces y1(t) = 1, y2(t) = e2t, y3(t) = e−2t yla solucion general es

y(t) = c1 + c2e2t + c3e

−2t

Comentario: Todas las raıces de la ecuacion caracterıstica, ya sean reales o complejas,deben tenerse en cuenta. Por ejemplo, si y(4)−y = 0, la ecuacion caracterıstica es λ4−1 =0, cuyas cuatro raıces son 1,−1, i,−i. Se deja como ejercicio escribir la solucion generalen este caso.

Ejercicios:

1. Hallar la solucion general de las siguientes ecuaciones:a) y′′ − 4y′ + 4y = 0 b) y′′ − 3y′ − 4y = 0 c) y′′ + 2y′ + 5y = 0d) y′′ + ω2y = 0 , ω ∈ <, ω 6= 0 e) y′′ = 0 f) y′′′′ − 16y = 0.

2. Hallar la solucion de cada una de las ecuaciones anteriores que satisface y(0) = 0,y′(0) = 1.

3. Hallar la solucion general de la ecuacion

my′′ + by′ + ky = 0

para m > 0, b > 0, k > 0, la cual representa la ecuacion de movimiento de unapartıcula de masa m unida a un resorte de constante k bajo los efectos de una fuerzade rozamiento proporcional a la velocidad (Fr = −by′, b > 0). Considerar los casos:i) b2 < 4km, ii) b2 = 4km, y iii) b2 > 4km.Explicar por que el movimiento en el caso i) se denomina oscilatorio amortiguado yen el caso iii) sobreamortiguado.

4. Hallar la solucion general de la ecuacion y′′ + y′/t− y/t2 = 0 (t > 0).Sugerencia: Considerar soluciones del tipo y(t) = tm.

39

4.4 Ecuaciones diferenciales lineales no homogeneas

Para una ecuacion diferencial lineal no homogenea de orden n,

y(n) + a1(t)y(n−1) + . . . + an−1(t)y

′ + an(t)y = f(t) (8)

el teorema general para sistemas lineales no homogeneos implica aquı el siguiente resul-tado:

Teorema 4.3. Supongamos a1(t), . . . , an(t), f(t) continuas en un intervalo abierto I.Si yp(t) es una solucion particular de (8) y la funcion yG(t) es la solucion general de laecuacion homogenea correspondiente (y(n) + a1(t)y

(n−1) + . . . + an−1(t)y′ + an(t)y = 0)

entonces todas las soluciones y(t) de la ecuacion no homogenea son de la forma

y(t) = yG(t) + yp(t)

Esta expresion constituye la solucion general de la ecuacion no homogenea.Eso dice que conociendo la solucion general de la homogenea asociada, basta conocer

una solucion particular yp(t) de la no homogenea para tener todas las soluciones.

Remarquemos tambien que el conjunto de soluciones de la ecuacion no homogenea no esun espacio vectorial, ya que en particular no contiene la solucion trivial y(t) = 0.

Pero una propiedad importante que facilita la resolucion de las lineales no homogeneas,es el Principio de Superposicion, que consiste en considerar:

Debido a la linealidad de la ecuacion, si la y1p(t) es una solucin particular de (8) cuando

el termino f(t) = f1(t) y la funcion y2p(t) es una solucion de (8) cuando f(t) = f2(t)

entonces la funciony(t) = c1y

1p(t) + c2y

2p(t)

es una solucion de (8) para el termino

f(t) = c1f1(t) + c2f2(t)

(probar como ejercicio!).Ejemplo: Dada y′′ + 4y′ + y = 2et + 3sen(t), se puede hallar una solucion y1

p(t) dey′′ + 4y′ + y = et, otra y2

p(t) para y′′ + 4y′ + y = sen(t), y luego:la funcion Y (t) = 2y1

p(t) + 3y2p(t) sera una solucion de la ecuacion con termino inde-

pendiente: y′′ + 4y′ + y = 2et + 3sen(t).Esto permite expresar la solucion para un termino general f(t) como suma de solu-

ciones yi(t) para terminos mas simples fi(t) tales que f(t) =∑

i fi(t).

4.4.1- METODO DE VARIACION DE PARAMETROS

Esta basado en lo descripto para sistemas. Suponiendo calculada la solucion generalde la ecuacion homogenea asociada, dada por

yG(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + . . . + cnyn(t)

el metodo consiste en buscar una solucion particular de la ecuacion no homogenea de laforma

yp(t) = c1(t)y1(t) + c2(t)y2(t) + . . . + cn(t)yn(t)

40

En forma matricial, recordemos que el sistema no homogeneo puede escribirse como

X ′ = A(t)X + B(t)

y la solucion particular anterior yp(t) es la primer componente de

Xp(t) = M(t)C(t)

donde

M(t) =

y1(t) . . . yn(t)y′1(t) . . . y′n(t)

. . .

y(n−1)n (t) . . . y

(n−1)n (t)

Como M ′(t) = A(t)M(t), obtenemos entonces X ′p(t)− A(t)Xp(t) = M(t)C ′(t) = B(t), lo

que da lugar al sistema

y1(t) . . . yn(t)y′1(t) . . . y′n(t)

. . .

y(n−1)1 (t) . . . y

(n−1)n (t)

c′1(t)c′2(t). . .

c′n(t)

=

00. . .f(t)

(9)

de donde se puede despejar c′i(t), para luego obtener ci(t) por integracion.Formalmente, C ′(t) = M−1(t)B(t), de donde C(t) =

∫M−1(t)B(t)dt y Xp(t) =

M(t)∫

M−1(t)B(t)dt, siendo yp(t) la 1er. componente de Xp(t).Caso n = 2 (orden 2).Aquı

yp(t) = c1(t)y1(t) + c2(t)y2(t)

y el sistema (9) se reduce a

(y1(t) y2(t)y′1(t) y′2(t)

)(c′1(t)c′2(t)

)=

(0

f(t)

)

Recordando que (a bc d)

−1 = 1ad−bc

( d −b−c a) para ad− bc 6= 0, obtenemos

(c′1(t)c′2(t)

)=

1

W (t)

(y′2(t) −y2(t)−y′1(t) y1(t)

)(0

f(t)

)=

1

W (t)

( −y2(t)f(t)y1(t)f(t)

)

donde

W (t) =

∣∣∣∣y1(t) y2(t)y′1(t) y′2(y)

∣∣∣∣ = y1(t)y′2(t)− y2(t)y

′1(t) es el Wronskiano ( 6= 0 ∀ t ∈ I).

Por lo tanto,

c1(t) = −∫

y2(t)f(t)

W (t)dt, c2(t) =

∫y1(t)f(t)

W (t)dt (10)

Luego desde esa formula se calcula para cada caso : los coeficientes c1(t) y c2(t), y lasolucion yp(t) es:

yp(t) = c1(t)y1(t) + c2(t)y2(t) (11)

41

Otra forma mas general para obtener la solucion particular yp(t) ...Funcion respuesta: Se puede observar que reemplazando las integrales in-

definidas por integrales definidas entre t0 y t, la solucion particular resultante puedetambien escribirse en la forma, usando como variable en la integral ‘u:

yp(t) =

∫ t

t0

K(t, u)f(u)du

donde

K(t, u) =−y1(t)y2(u) + y2(t)y1(u)

W (u)(12)

Esta funcion (denominada funcion respuesta) determina pues completamente la soluciondel sistema inhomogeneo para cualquier f(t).

Observacion 1: Si a K(t, u) la miramos solo como funcion de t, K(t, u) = Ku(t),como funcion de t, es una solucion del sistema homogeneo que satisface las condiciones:y(u) = 0, y′(u) = 1.

Para ver eso, hay que ver que Ku(t) = c1(u)y1(t) + c2(u)y2(t) es una combinacion delas soluciones del Sist. homogeneo, y tambien luego verificar que en t = u, vale 0, y suderivada en t = u vale 1. VERIFICARLO.

Por ejemplo: En especial, si u = 0, en la representacion de arriba, quedaK0(t) = c1(0)y1(t) + c2(0)y2(t), es una solucion del sistema homogeneo que , que en

t = 0, vale 0, y la derivada en t = 0 vale 1.Observacion 2: La forma anterior para yp(t) satisface yp(t0) = y′p(t0) = 0, que es

inmediato reemplazando en la integral t = t0.

Consideramos ahora el caso particular.....

4.5 -Ecuaciones diferenciales lineales no homogeneas de coefi-cientes constantes.

4.5.1- Metodo de variacion de parametros

Consideremos ahora el caso en que los coeficientes ai(t) son constantes (independientesde t) para i = 1, . . . , n.

Caso n = 2. La ecuacion a resolver es

y′′ + a1y′ + a2 = f(t)

Si las raıces de la ecuacion caracterıstica son λ1 y λ2, con λ1 6= λ2, entonces y1(t) = eλ1t,y2(t) = eλ2t, y W (t) = −e(λ1+λ2)t(λ1 − λ2). Se obtiene entonces

c1(t) =1

λ1 − λ2

∫e−λ1tf(t)dt, c2(t) =

−1

λ1 − λ2

∫e−λ2tf(t)dt (λ1 6= λ2)

y la solucion particular puede escribirse, reemplazando los c1(t) y c2(t) calculados con lasformulas de arriba:

yp(t) = eλ1tc1(t) + eλ2tc2(t) (13a)

42

Si λ1 = λ2,y1(t) = eλ1t, y2(t) = teλ1t,

con W (t) = e2λ1t, y se obtiene:

c1(t) = −∫

te−λ1tf(t)dt, c2(t) =

∫e−λ1tf(t)dt (λ1 = λ2)

siendo la solucion particular que se obtiene usando esos coeficientes calculados:

yp(t) = eλ1tc1(t) + teλ1tc2(t) (13b)

En ambos casos, la Funcion Respuesta (12) tiene una forma particular. Se puede verreconstruyendo la K(t, u) para ambos casos, segun λ1 6= λ2, o si λ1 = λ2, usando

K(t, u) =−y1(t)y2(u) + y2(t)y1(u)

W (u)

y reemplazando cada y1(t) e y2(t), en cada caso, que se llega a una funcion dependientede u, y de t, que concuerda con el formato de la K0(τ), pero remplazando la variableτ = t− u:

K(t, u) = K0(t− u)

habiamos visto en Observacion 1, que la K0(t) es la solucion de la ecuacion homogeneay′′ + a1y

′ + a2y = 0 que satisface y(0) = 0, y′(0) = 1.Se concluye entonces que para tener en estos casos la K(t, u), basta con encontrar la

solucion particular de la ecuacion homogenea y′′ + a1y′ + a2y = 0 que satisface y(0) = 0,

y′(0) = 1.Luego cualquiera sea f(t), obtener

yp(t) =

∫ t

t0

K(t, u)f(u)du

Para λ1 6= λ2,

K0(t) =eλ1t − eλ2t

λ1 − λ2

(λ1 6= λ2)

mientras que para λ1 = λ2,

K0(t) = teλ1t (λ1 = λ2)

que coincide con el lımite de la expresion previa para λ2 → λ1.

Podemos finalmente expresar la solucion particular en ambos casos como

yp(t) =

∫ t

t0

K0(t− u)f(u)du (14)

Para λ1 6= λ2, (14) implica

yp(t) =

∫ t

t0

eλ1(t−u) − eλ2(t−u)

λ1 − λ2

f(u)du (λ1 6= λ2)

43

que coincide con (13a) (reemplazando la integral indefinida en c1(t) y c2(t) por una integraldefinida entre t0 y t) mientras que para λ1 = λ2,

yp(t) =

∫ t

t0

eλ1(t−u)(t− u)f(u)du (λ1 = λ2)

que coincide con (13b) (con la misma observacion).Caso general. Para ecuaciones inhomogeneas de orden n de coeficientes constantes,

el resultado es similar. La solucion particular de

y(n) + a1y(n−1) + . . . + an−1y

′ + any = f(t)

puede expresarse como

yp(t) =

∫ t

t0

K0(t− u)f(u)du (15)

donde K0(t) es la solucion de la ecuacion homogenea

y(n) + a1y(n−1) + . . . + an−1y

′ + any = 0

que satisface y(0) = 0, y′(0) = 0, . . . , y(n−2)(0) = 0, y(n−1)(0) = 1.

Ejemplo 1: Hallar la solucion general de la ecuacion

y′′ + y = f(t)

En este caso la ecuacion caracterıstica es λ2+1 = 0, siendo entonces λ1,2 = ±i. Obtenemosy1(t) = eit, y2(t) = e−it, y

K(t) = (eit − e−it)/2i = sin(t)

que es la solucion de la ecuacion homogenea que satisface y(0) = 0, y′(0) = 1.Finalmente la solucion general de la no homogenea puede escribirse como

y(t) = c1 cos(t) + c2 sin(t) +

∫ t

t0

sin(t− u)f(u)du

donde∫ t

t0

sin[(t− u)]f(u)du = sin(t)

∫ t

t0

cos(u)f(u)du− cos(t)

∫ t

t0

sin(u)f(u)du

Por ejemplo, si f(t) = tan(t) y t0 = 0 se obtiene, para t ∈ (−π/2, π/2),

∫ t

0

cos(u) tan(u)du =

∫ t

0

sin(u)du = 1− cos(t)

∫ t

0

sin(u) tan(u)du =

∫ t

0

sin2(u)

cos(u)du =

∫ t

0

1− cos2(u)

cos(u)du =

∫ t

0

(sec(u)− cos(u))du

44

cuyo resultado es ln(sec(t)+tan(t))−sin(t), donde hemos utilizado el resultado∫

sec(u)du =ln(sec(u) + tan(u)) + C.

Finalmente

y(t) = c1 cos(t) + (1 + c2) sin(t)− cos(t) ln(sec(t) + tan(t))

Si y(0) = y′(0) = 0 entonces c1 = c2 = 0.Ejemplo: Hallar la solucion general de la ecuacion

my′′ + ky = f(t) , m > 0, k > 0

(Corresponde a la ecuacion de movimiento de una partıcula de masa m unida a un resortede constante k, sujeto a la accion de una fuerza externa adicional f(t) dependiente deltiempo, siendo y(t) la posicion medida a partir de la posicion de equilibrio).

En este caso la ecuacion caracterıstica es λ2 + ω2 = 0, con ω2 = k/m, siendo entoncesλ1,2 = ±iω.Obtenemos y1(t) = eiωt, y2(t) = e−iωt, y

K(t) =eiωt − e−iωt

2iω=

sin(ωt)

ω

que es la solucion de la ecuacion homogenea que satisface y(0) = 0, y′(0) = 1.Finalmente la solucion general de la no homogenea puede escribirse como

y(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) + 1ω

∫ t

t0sin[ω(t− u)]f(u)du

= c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) + sin(ωt)ω

∫ t

t0cos(ωu)f(u)du− cos(ωt)

ω

∫ t

t0sin(ωu)f(u)du

Si y(t0) = 0, y′(t0) = 0 (resorte en reposo en t = t0) entonces c1 = c2 = 0.Por ejemplo, para t0 = 0 y f(t) = A cos(λt) (fuerza externa oscilante de frecuencia

anglar λ) obtenemos, con estas condiciones iniciales y para λ 6= ω,

y(t) =A

λ2 − ω2[cos(ωt)− cos(λt)] λ 6= ω

que satisface y(0) = y′(0) = 0 y donde el primer termino proporcional a cos ωt es unasolucion de la ecuacion homogenea, y el segundo, que oscila con la frecuencia externa λ,una solucion particular de la ecuacion inhomogenea.Notemos que si λ esta proximo a ω, la amplitud de la oscilacion resultante, |A/(λ2−ω2)|,se torna muy grande (fenomeno de resonancia).

Si λ = ω (resonancia) se obtiene

y(t) =1

2ωAt sin(ωt)

En este caso la “amplitud efectiva” At/(2ω) crece al aumentar t y la solucion no esacotada.

Ejercicios:

45

1. Hallar la solucion general de las siguientes ecuaciones:a) y′′ − 4y′ + 4y = f(t) b) y′′ − 3y′ − 4y = f(t) c) y′′ + 2y′ + 5y = f(t)d) y′′ + ω2y = f(t) , ω ∈ <, ω 6= 0

2. Hallar, en el caso b), la solucion para f(t) = e−t cos(2t) que satisface y(0) = 0,y′(0) = 0(Utilizar

∫ert cos(st)dt = ert

r2+s2 [r cos(st) + s sin(st)]).

3. Hallar la solucion general de la ecuacion y′′+ y′/t− y/t2 = f(t) (t > 0). Sugerencia:Considerar soluciones de la homogenea del tipo y(t) = tm.

4. Resolver:y′′ + 4y = sec(2t)

5. Resolver: y′′ − 2y′ + y = 2et

t3

6. Resolver: y′′ + 2y′ + y = 4e−tln(t)

7. Resolver: y′′ − 4y′ + 5y = e2t

sen(t)

8. Resolver:y′′ + 4y = sen(3t)

9. Resolver:y′′ − 4y′ + 4y = 2e2t

4.5.2 -Metodo de Coeficientes Indeterminados

Este metodo nos facilita el calculo de la solucion particular cuando la funcion f(t) esexponencial, polinomica, seno , coseno o sumas y productos de estas.

Seguidamente ilustramos la idea subyacente en el metodo con algunos casos particu-lares.

Consideremos la ecuacion lineal no homogenea de orden 2:

y′′ + a1y′ + a2y = f(t) (∗∗)

Caso f(t) = ebt

Puesto que la derivacion de la funcion f(t) reproduce dicha funcion con un posiblecambio en el coeficiente numerico, es natural presuponer que la ecuacion (**) poseecomo solucion alguna del tipo:

yp(t) = Bebt

para algun valor del coeficiente B.

Para que yp(t) = Bebt sea una solucion de (**) se debe cumplir, al reemplazary′p(t) = Bbebt y y′′p(t) = Bb2ebt en (**): B(b2 + a1b + a2)e

bt = ebt, es decir que debecumplirse que : B = 1

b2+a1b+a2cuando el denominador no es cero, o sea que B se

46

puede despejar siempre que b no coincida con una raız (autovalor) de la ecuacioncaracterıstica :

λ2 + a1λ + a2 = 0

Por tanto, cuando b no sea raız de la ecuacion caracterıstica (es decir, el denominadoranterior es “no nulo”) tendremos una solucion particular de la ecuacion (**), dadapor:

yp(t) = Bebt.

Por otra parte, si b es raız de la ecuacion caracterıstica, ensayando:

yp(t) = Btebt

como posible solucion de la ecuacion, tenemos al reemplazar sus derivadas primerasy segundas en la ecuacion (**):

yp(t) = Btebt

es solucion de (**) si

B(b2 + a1b + a2)tebt + B(2b + a1)e

bt = ebt

Por igualacion, considerando que el primer parentesis se anula, al ser b raız de laecuacion caracterıstica, se obtiene que debe cumplirse

B(2b + a1) = 1

Por tanto, existe un B y una solucion particular con el formato

yp(t) = Btebt

si no se anula: (2b + a1), o sea si b “no es raız doble”de la ecuacion caracterıstica.

Por consiguiente, obtenemos una solucion particular de (**) si2b + a1 no se anula.Esto es, si b no es raız doble de la ecuacion caracterıstica.

Por otra parte, si b fuese una raız doble de λ2 + a1λ + a2 = 0, se puede comprobarque la funcion:

yp(t) = t2ebt/2

es una solucion particular de la ecuacion diferencial (**).

En definitiva, si f(t) = ebt, la ecuacion (**) tiene una solucion particular de alguna delas tres formas siguientes:

Bebt, o Btebt, o Bt2ebt

donde el coeficiente indeterminado B se obtendra de imponer que sea solucion particularde (**).

47

Observar: que se descartan la primera o las dos primeras posibilidades cuandola ecuacion homogenea asociada posee ese tipo de soluciones (pues esas propuestassatisfacen la igualdad y′′+a1y

′+a2 = 0, y no serıan soluciones de la no homogenea).

Caso f(t) = sen(bt),o f(t) = cos(bt). Tambien puede ser cualquier combinacion linealde estas funciones.

Las derivadas sucesivas de este tipo de funciones nos hacen pensar que la ecuacion(**) puede admitir una solucion particular del forma:

yp(t) = αsen(bt) + βcos(bt)

Se puede comprobar que esto es ası siempre que la ecuacion homogenea asociadano posea soluciones del tipo propuesto.

Si la ecuacion homogenea asociada tuviese este tipo de soluciones, se ensayara unasolucion particular del tipo:

yp(t) = t(αsen(bt) + βcos(bt))

Ejemplo: Daday′′ + 4y = sen(2t) (∗ ∗ (2))

Como la ecuacion caracterıstica: λ2 + 4 = 0,tiene raıces : λ = ±2i, imaginarias, lassoluciones reales l.i que se usan son : y1(t) = sen(2t) y2(t) = cos(2t).

Por tanto, no sirve la propuesta

y(t) = αsen(2t) + βcos(2t)

por ser esa funcion solucion de la homogenea, asıque se ensaya:

yp(t) = t(αsen(2t) + βcos(2t))

Verificar que es posible hallar α y β, reemplazando las derivadas de esa propuestaen la ecuacion dada (**(2)), usando la igualacion con el segundo termino.

Ejemplo: Daday′′ + 4y = etsen(2t) (∗ ∗ (3))

En este caso podrıa proponer

yp(t) = et(αsen(2t) + β cos(2t))

Porque?.

Caso f(t) = Pm(t). Funcion polinomica de grado m en t

En este caso, es logico pensar que (**) admita como solucion particular un polinomiode grado m :

yp(t) = α0 + α1t + + αmtm.

48

Ejemplo:y′′ + y = t + 1 (∗ ∗ (4))

La propuesta serıa de acuerdo al polinomio t + 1

yp(t) = α0 + α1t

salvo que algun termino de esa funcion propuesta sea solucion de la ecuacion “ho-mogenea asociada”.

Para eso hay que hallar las raıces de la ecuacion caracterıstica:

λ2 + λ = 0,

y hallar el sistema fundamental de soluciones de la ecuacion diferencial homogenea.Resolviendo:

λ2 + λ = 0 = λ(λ + 1) = 0,

se obtienen las raıces : λ1 = 0 y λ2 = −1. Ası las soluciones del sistema fundamentalson:

y1(t) = e0t = 1, y2(t) = e−t.

Por tanto, vemos que la funcion propuesta yp(t) tiene uno de sus terminos (elprimero) que es solucion de la Ec. dif. homogenea. Entonces hay que cambiar lapropuesta y proponer ahora:

yp(t) = t.(α0 + α1t)

Ver ahora, si es posible encontrar esa solucion particular sugerida.

Los casos resenados anteriormente se pueden generalizar a ecuaciones diferenciales deorden n.

El siguiente cuadro muestra el tipo de solucion particular yp(t) a ensayar cuando f(t)es de los tipos anteriormente citados o su forma es aun mas general combinando estasfunciones.

f(t) yp(t)ebt Bebt

Pm(t) P ∗m(t)

eatsen(bt) Aeatsen(bt) + Beatcos(bt)ebtPm(t) ebtP ∗

m(t)Pm(t)eatcos(bt) + Qm(t)(eatsen(bt)) P ∗

m(t)(eatcos(bt)) + Q∗m(t)(eatsen(bt))

eat + sen(bt) Aeat + Bsen(bt) + Ccos(bt)eat + Pm(t) Aeat + P ∗

m(t)

Observacion: Pm(t) es un polinomio de grado m, e yp(t) = P ∗m(t) es un polinomio de

grado m con coeficientes indeterminados los cuales se deben calcular para que esa funcionpropuesta sea solucion particular.

49

Siempre se debe tener presente que si cualquiera de los sumandos de la solucion propues-ta yp(t) es ya “solucion de la ecuacion diferencial homogenea”, entonces se debe ensayarcomo solucion particular una del tipo

tr.yp(t),

donde r es el menor numero natural tal que ningun sumando de tryp(t) sea solucion de laecuacion homogenea.

Ejemplo: Determinar una solucion particular yp(t) de:

y′′ + 3y′ + 2y = e3t

Las raıces de la ecuacion caracterıstica de la ecuacion homogenea es : λ2 + 3λ + 2 = 0, cuyas raıces son: λ1 = −1, y λ2 = −2. Asıque la solucion general de la homogenea es:

yG(t) = c1e−t + C2e

−2t

Proponemos yp(t) = Be3t como solucion particular de la ecuacion dada (ya que e3t noes solucion de la homogenea).

Para que sea solucion de la completa o inhomogenea debe satisfacer al sustituir: y′′p(t) =B9e3t y su y′p(t) = B3e3t en la ecuacion dada:

e3t(9B + 3B,3 + 2B) = e3t

Por igualacion debe cumplirse: 20B = 1, ası B = 1/20. Ası la solucion particular yp(t) =(1/20)e3t

Y la solucion general de la inhomogenea es:

y(t) = yG(t) + yp(t) = C1e−t + C2e

−2t + (1/20)e3t

Otro ejemplo: Sea la ecuacion:

y′′ + 3y′ + 2y = 3t + 1

la solucion general de la homogenea es:

yG(t) = C1e−t + C2e

−2t

Proponemos yp(t) = A + Bt un polinomio del mismo grado que el termino independi-ente f(t) = 3t + 1 ( salvo que parte de esa propuesta ya sea solucion de la homogenea, eneste caso eso no ocurre).

Luego derivando y′p(t) = B, y y′′p(t) = 0, ası que sustituyendo en la ecuacion dada, eigualando, se obtiene:

0 + 3B + 2(A + Bt) = 3t + 1

Por igualcion se advierte que debe cumplirse:3B+2A = 1, y 2B = 3, entonces B = 3/2, y A = −7/4. Entonces la solucion particular

es yp(t) = (3/2)t− 7/4, y la general :

50

y(t) = yG(t) + yp(t) = C1e−t + C2e

−2t + (3/2)t− 7/4

Ejemplo: Determinar la solucion general de :

y′′ + 3y′ + 2y = sent

Se propone yp(t) = Asen(t)+Bcos(t), pues la Soluciones de la homogenea no coincidencon esta propuesta. Ası derivando la funcion propuesta , sustituyendo en la ecuacioncompleta, y por igualacion: y′p(t) = Acos(t) − Bsen(t), y′′p(t) = −Asen(t) − Bcos(t), seobtiene

−(Asen(t) + Bcos(t)) + 3(A cos(t)−Bsen(t)) + 2(Asen(t) + Bcos(t)) = sent

Luego reagrupando con coeficiente sen(t) y con cos(t), se obtiene:

sen(t)(−A− 3B + 2A) + cos(t)(−B + 3A + 2B) = sen(t)

Se deduce que (−A− 3B + 2A) = 1 , y que (−B + 3A + 2B) = 0, es decirA − 3B = 1, y B + 3A = 0, luego se obtiene A = −1/8 y B = 3/8 Ası la solucion

general de la ecuacion diferencial completa es :

y(t) = yG(t) + yp(t) = C1e−t + C2e

−2t − (1/8)sen(t) + (3/8)cos(t)

Otro ejemplo: Seay′′ − y′ − 12y = e4t

Para hallar la solucion de la homogenea consideramos la ecuacion caracterıstica de lahomogenea:

λ2 − λ− 12 = 0

cuyas raıces son: λ1 = 4, y λ2 = −3. Ası que un sistema fundamental de soluciones de lahomogenea es:

y1(t) = e4t, y y2(t) = e−3t

Se advierte que debemos proponer para la ecuacion no homogenea la solucion yp(t) =t.B.e4t, dado que ya e4t es solucion de la homogenea. Luego, derivando lo propuesto yreemplazando en la ecuacion dada, se obtiene:

y′p(t) = Be4t+4.t.Be4t, y′′p(t) = 4.Be4t+4.Be4t+16.t.Be4t,. Sustituyendo y reagrupandose debe obtener B .

Observacion: Como muestran nuestros ejemplos, cuando el termino no homogeneof(t) es un polinomio, una exponencial, una funcion sen(t) o coseno, la propia funcion f(t)sugiere la forma de la solucion particular.

De hecho, podemos ampliar la lista de funciones f(t) a las que puede aplicarse elmetodo de coeficientes indeterminados para incluir tambien productos de estas funcionescomo aparecen en la tabla.

Al usar la tabla, el lector debe recordar que cuando se multiplica por una potenciatr, se elige r como el menor entero no negativo tal que ningun termino de la funcionpropuesta sea solucion de la ecuacion homogenea correspondiente.

Ası para las ecuaciones lineales de segundo orden, r sera 0, 1 o 2, a lo sumo.Una eleccion incorrecta de r conduce a un sistema inconsistente de ecuaciones para

los coeficientes.

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Observacion Observar que la idea basica de este metodo no se puede extrapolar aecuaciones con coeficientes no constantes.

Ejercicios

1. Resolver: z′′ + z = 2e−t, satisfaciendo que z(0) = 0, y que z′(0) = 0

2. Idem, si y′′ + 9y = 27, satisfaciendo que y(0) = −7/20, y que y′(0) = 1/5

3. Idem, si y′′ + y′ − 2y = 14 + 2t− 2t2, satisfaciendo que y(0) = 0, y que y′(0) = 0

4. Idem, considerando el principio de superposicion : si y′′ + y′ − 12y = et + e2t − 1,satisfaciendo que y(0) = 1, y que y′(0) = 3

5. Idem, si y′′ + 9y = sen(3t).

6. Idem, si y′′ + 9y = cos(2t).

7. Idem, si y′′ + 9y = 3t + 1.

8. Idem, y′′ − 9y = e−3t + t

9. Idem, y′′′ − 9y′ = e−3t + t

10. y′′′ + 9y′ = e−3t + t

11. Si y′′ − 9y = 3t + 1, hallar la solucion particular tal que y(0) = 1, y que y′(0) = 0 .

12. y′′ + y = tan(t),

13. y′′ + 2y′ + y = e−tln(t), verificar que y(t) = C1e−t + C2te

−t + (ln(t)− 3/2) t2e−t

2

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