Matematica Basica Utp

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  • MATEMTICA BSICA I

    1

    UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL PER

    Vice Rectorado de Investigacin

    "MATEMTICA BSICA I"

    TINS Bsicos

    DERECHO, ADMINISTRACIN, CONTABILIDAD Y CIENCIAS DE LA

    COMUNICACIN

    TEXTOS DE INSTRUCCIN BSICOS (TINS) / UTP

    Lima - Per

    2007

  • MATEMTICA BSICA I

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    MATEMTICA BSICA I Desarrollo y Edicin: Vice Rectorado de Investigacin Elaboracin del TINS: Dr. Juan Jos Sez Vega

    Diseo y Diagramacin: Julia Mara Saldaa Balandra

    Fiorella Zender Espinoza Villanueva

    Soporte acadmico: Instituto de Investigacin

    Produccin: Imprenta Grupo IDAT

    Queda prohibida cualquier forma de reproduccin, venta, comunicacin pblica y transformacin de esta obra.

  • MATEMTICA BSICA I

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    PRESENTACIN

    La matemtica, ciencia de la ms alta jerarqua, en el concierto

    de las Ciencias, desde los albores de la civilizacin humana sigue

    siendo la base del desarrollo cientfico y tecnolgico de nuestro

    mundo.

    De all, que en la formacin acadmica, la UTP privilegia el estudio

    de la matemtica, en la conviccin de dotar a sus estudiantes

    firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.

    En esta proyeccin se ha desarrollado el presente texto de

    instruccin, dirigido a estudiantes de las Carreras de: Derecho,

    Administracin, Contabilidad y Ciencias de la Comunicacin,

    para la Asignatura de Matemtica Bsica I.

    Plasma la preocupacin institucional de innovacin de la

    orientacin del aprendizaje en educacin universitaria, que en

    acelerada continuidad promueve la produccin de materiales

    educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de

    estos tiempos.

    La estructura del contenido del texto permitir lograr

    conocimientos de Matemtica; progresivamente modelada en

    funcin del syllabus de la Asignatura acotada lneas arriba;

    contenido elaborado mediante un proceso acucioso de

  • MATEMTICA BSICA I

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    recopilacin de temas, desarrollados en diferentes fuentes

    bibliogrficas.

    La conformacin del texto ha sido posible gracias al esfuerzo y

    dedicacin acadmica del Profesor: Dr. Juan Jos Sez Vega. La

    recopilacin aludida de temas pertinentes, consistentes y

    actualizados, para estudiantes del primer ciclo, tiene el siguiente

    ordenamiento temtico:

    Conjuntos bsicos y numricos que permiten aclarar las nociones

    de nmeros y su clasificacin en naturales, enteros, racionales,

    irracionales hasta completar los reales.

    Ecuaciones e inecuaciones que son bsicas para el estudio del

    lgebra.

    Relaciones binarias que son fundamentales para la comprensin

    de las funciones bsicas al estudio de la Geometra Analtica.

    Los lugares geomtricos: rectas y circunferencias conectadas a

    nociones algebraicas con problemas diversos dentro de la

    carrera.

    Al cerrar esta presentacin debemos reconocer el esfuerzo y

    trabajo de los profesores que han permitido la elaboracin del

    presente texto y la dedicacin paciente del Dr. Jos Reategui

    Canga en la revisin de los contenidos.

    Vice-Rectorado de Investigacin

  • MATEMTICA BSICA I

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    INDICE

    CAPITULO I: LOGICA SIMBOLICA Y CALCULO PROPOSICIONAL SEMANA 01

    1. Enunciados . 8 2. Proposiciones Simples . 8 3. Relaciones Proposicionales . 10

    SEMANA 02 4. Proposiciones Compuestas: Leyes del Algebra Proposicional 16 5. Regla de Inferencia 20 6. Cuantificadores .. 24 7. Negacin de Cuantificadores .. 25

    CAPITULO II: ALGEBRA DE CONJUNTOS

    SEMANA 03 1. Determinacin de un Conjunto 31 2. Clases de Conjuntos . 33 3. Relaciones entre conjuntos . 36 4. Representacin grfica de los Conjuntos . 40

    SEMANA 04 5. Operaciones con los conjuntos 43

    SEMANA 05 6. Problemas con los conjuntos 47

    CAPITULO III: ALGEBRA DE NUMEROS

    1. Teora de los Nmeros .. 63 SEMANA 06

    2. Exponentes y Radicales 76 CAPITULO IV: MATRICES

    1. Definicin. Generalidades . 113 2. Suma de matrices .. 114

    SEMENA 07 3. Multiplicacin de matrices por una escalar. 115 4. Multiplicacin de matrices . 115

    SEMANA 08 5. La matriz de identidad ... 117 6. Problemas de matrices ... 121

    SEMANA 09 7. Determinacin de la matriz A 127 8. Problemas de determinantes ... 131

    SEMANA 11

    CAPITULO V: ALGEBRA DE ECUACIONES 1. Desigualdad: Propiedades 188 2. Inecuaciones ... 190 3. Resolucin de ecuaciones con radicales 194

  • MATEMTICA BSICA I

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    SEMANA 12 4. Ejercicios: Ecuaciones Exponenciales .. 196 5. Ejercicios: Ecuaciones Logartmicas . 203

    CAPITULO VI: RELACIONES

    SEMANA 13 1. Relacin binaria: propiedades . 205 2. Relaciones de equivalencia . 207 3. Particin de un Conjunto .. 208

    SEMANA 14 4. Postulado de Cantor-Dedekind 212 5. Sistema Cartesiano Rectangular 214 6. Carcter de la Geometra Analtica 218

    SEMANA 15 7. Distancia entre puntos .. 219 8. Pendiente de una recta . 224 9. Discutir y graficar una recta . 231

    CAPITULO VII: LA CIRCUNFERENCIA

    SEMANA 16 1. Ecuacin de la Circunferencia . 269 2. Familias de Circunferencias .... 289

    CAPITULO VIII: LA PARABOLA

    SEMANA 17 1. Definiciones 305 2. Ecuacin de la Parbola .. 306

    SEMANA 18 3. Ecuacin de la Tangente a una Parbola . 325

  • MATEMTICA BSICA I

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    CAPTULO I

    LGICA SIMBLICA Y

    CLCULO PROPOSICIONAL

    El autor que defini por primera vez en la historia fue Russell: Una

    proposicin es todo lo que es cierto o lo que es falso. Uno de los fines

    del clculo de proposiciones es la solucin de ciertas contradicciones de

    la matemtica; as, apela al llamado principio del circulo vicioso de todo

    lo que afecta a una coleccin total y no, a una parte de la misma; tal

    como lo indica Burali-Forti: Si una coleccin tuviera un total, tendr

    miembros que slo se podran definir en funcin de ese total, y por tanto

    dicha coleccin no tiene total.

    Partiendo de esto, los autores de los Principia (diremos de pasada que

    ese es un tipo de descripcin ampliamente analizado en su obra)

    separaron las funciones proporcionales en tipos segn posibles

    argumentos. Pero para los que prefieren expresar el axioma en el

    lenguaje de la lgica clsica, los autores dicen que su axioma de

    reducibilidad es equivalente a la hiptesis de que toda combinacin o

    desintegracin de predicados es equivalente a un solo predicado en la

    inteligencia de que la combinacin o desintegracin se supone dada en

    contenido.

    Algunos hechos trascendentes y singularmente importantes; como es la

    estructura matemtica supone la necesidad de razonar en forma vlida.

    Es necesaria una absoluta claridad y distinguir todo lo concerniente al

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    razonamiento deductivo vlido; significado de palabras usuales,

    proposiciones, definiciones, teoremas, eliminacin de complicaciones,

    eliminar falacias y ambigedades.

    La prestancia y calidad de la matemtica es necesaria para evitar el

    rechazo del estudiante a esta ciencia formal, bsico para el desarrollo de

    otras ciencias, denominadas fcticas. Es la misin de todo maestro:

    Educar y formar sin rechazo al estudiante.

    1.1 ENUNCIADOS

    Son palabras que se emiten para comunicarse con otras

    personas. Ej:

    1. Estuviste de viaje?

    2. Pase adelante y sintese.

    3. El clima est fresco.

    4. 8 es un nmero impar.

    5. Vamos al estadio.

    6. Antonio es amigo de Lizet.

    Se trata de 6 proposiciones: una pregunta, una orden y cuatro

    declarativas. Las primeras no son verdaderas, ni falsas; las cuatro

    ltimas pueden ser verdaderas o falsas; a las que se conocen

    como: proposiciones.

    1.2 PROPOSICIONES

    Son enunciados de las que podemos afirmar, sin errores, que son

    verdaderas o falsas.

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    Podemos decir con propiedad que: Proposicin es el

    significado de toda oracin declarativa. Toda proposicin se

    representa con una letra minscula: p; q; r; s; t ................

    Ejemplos:

    p : El sol est radiante.

    q : Carlos es estudioso.

    r : Fernando es un buen profesional.

    s : Lizet es bonita.

    t : La rosa es bella.

    u : Est lloviendo.

    De todas las oraciones declarativas podemos afirmar: si son

    verdaderas o falsas.

    Negacin de Proposiciones.- La negacin de la proposicin p es

    ~ p (no p); obtenida anteponiendo el adverbio no a la primera.

    Ejemplo:

    p : Hace fro

    ~p : No hace fro.

    ~q : Carlos no es deportista.

    q : Carlos es deportista.

    EJERCICIOS PROPUESTOS

    1. Indique 10 ejemplos de enunciados.

    2. Diga cules son proposiciones y represente con una letra.

    3. Niegue las proposiciones indicadas.

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    1.3 RELACIONES PROPOSICIONALES

    1.3.1 EL CONECTIVO CONJUNCIN ( ).- Se dice que, dos o

    ms proposiciones quedan relacionadas mediante el conectivo

    conjuncin ( ) si se les interponen la letra y. Ejemplo.

    p : Est lloviendo.

    q : Hace fro.

    p q : Est lloviendo y hace fro.

    q : Carlos estudia.

    s : Carlos es deportista.

    q r : Carlos estudia y es deportista.

    Principio del valor de verdad.- La conjuncin es verdadera, s y

    slo si, ambas proposiciones son verdaderas.

    Considera la corriente elctrica; si pasa la corriente es verdadera