Matemática Básica

Daniel Portinha

Aula 6

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Produto CartesianoDados dois conjuntos não vazios A e B, chamaremos de produto cartesiano de A por B e representaremos por A X B ao conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x A e y B.

A = {0,1,2}B = {3,4}A X B = { (0,3), (0,4), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}Obs.: A X B B X A

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Ex1.: A = {2,3} e B = {-1,2}A X B = {(2,-1), (2,2), (3,-1), (3,2)}

Ex2.: B X A = {(-1,2),(-1,3),(2,2), (2,3)}

N(AXB) = n(A) . N(B)

Produto Cartesiano

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Representação Gráfica

(x,y), onde x é marcado no eixo horizontal e y é assinalado no eixo vertical.

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Relação BináriaSejam A e B conjuntos não vazios. Chamamos de Relação Binária de A em A a todo subconjunto de A X B.

A = {2,3} e B = {-1,2}A X B = {(2,-1), (2,2), (3,-1), (3,2)}

R1 = {(2,2), (3,-1)}R2 = {(2,-1)}

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Domínio e Imagem Domínio da relação: Conjunto formado pelos valores de x. D(R1) = {2,3}

Imagem da relação: Conjunto formado pelos valores de y. Im(R1) = {-1,2}

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Aplicação com Relações BináriasDados A = {0,1,2,3} e B={1,2,3}, escreva:R1 = {(x,y) A X B : y = x}

Resp.: R1 = {(1,1), (2,2), (3,3)}D(R1) = {1,2,3} e Im(R1) = {1,2,3}

R2 = {(x,y) A X B : y + 2 = x}

Resp.: R2 = {(3,1)}D(R2) = {3} e Im(R2) = {1}

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FunçãoChamamos de função de A em B a toda relação f de A X B que obedece a duas condições:

1) Todo elemento de A tem correspondente em B;

2) Cada elemento de A tem apenas um correspondente em B.

Ex.: A = {1,2,3} e B = { 4,5}A X B = { (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}

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O subconjunto f1 = {(1,4),(2,4),(3,5)} é uma função.

O subconjunto f2 = {(2,4), (3,4)} não é uma função, pois o elemento 1 que pertence a A, não tem correspondente.

O subconjunto f3={ (1,4), (1,5)} Não é função pois o elemento 1, tem dois correspondentes.

Função

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Domínio = é o conjunto formado por todos os elementos do conjunto A, Representamos por D ou D(f). Em nosso exemplo, o conjunto A.

Contradomínio= É o conjunto formado por todos os elementos do conjunto B. É indicado por CD ou CD(f). No exemplo, conjunto B.

Imagem=É o conjunto formado por todos os elementos de B que estão associados a algum elemento de A. É indicada por Im ou Im(f).

Função

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Podemos definir uma função por uma lei de formação sem definir os conjuntos A e B. Nesse caso, o domínio será o conjunto de todos os números reais para os quais as operações indicadas na lei sejam possíveis de serem realizadas, e o contradomínio será o conjunto dos números Reais

Função

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Zeros ou raízes da funçãoChamamos de zero ou raiz da função, a todos valores x para os quais f(x) = 0

Exemplo:

f(x) = 3x-1. Fazendo f(x) = 0 teremos,

3x – 1 = 0, logo x = 1/31/3 é zero ou raiz da função f(x) = 3x-1, pois para x=1/3, f(x) = 0

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Propriedades de uma funçãoSobrejetiva: se e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio;

Injetiva: para elementos distintos no domínio, teremos imagens distintas.

Bijetiva: quando é sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo

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A função f(x) = x2 é sobrejetiva, pois todo elemento de R é imagem de pelo menos um elemento de R;

A função f(x) = 3x é injetiva, pois para cada elemento do domínio x, teremos o triplo de x na imagem.

A função f(x) = x+1 é bijetiva, pois é injetiva e sobrejetiva.

Propriedades de uma função

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Daniel Portinha

Atividade 6

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Atividade 1Dada a função f(x) = 2x – 1, ache a imagem a partir do domínio A={0,1,2,3}

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Soluçãof(0) = 2.0 - 1 = 0 – 1 = -1

f(1) = 2.1 – 1 = 2 – 1 = 1

f(2) = 2.2 – 1 = 4 – 1 = 3

f(3) = 2.3 – 1 = 6 – 1 = 5

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Atividade 2Dados os conjuntos A={-1,2,3} e B={-2,4} , construa a relação binária definida por R = {(x,y) A X B : y = 2x}. Represente esta relação no plano cartesiano.

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SoluçãoA X B = {(-1,-2), (-1,4), (2,-2), (2,4), (3,-2), (3,4)}

R = { (-1,-2), (2,4)}