MATEMATICA BASICA - CEFEET

8/6/2019 MATEMATICA BASICA - CEFEET

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Apostila de Matemtica Bsica Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorCampus Sertozinho

APOSTILA MATEMTICA BSICA

Este material serve como introduo aos conceitos matemticos,adequando-se s necessidades dos alunos do CEFET/ SP, UNED de Sertozinho.

Nele esto contedos dos nveis bsico e intermedirio da matemtica, dos ensinos fundamental e mdio. Os pontos, aqui abordados, fazem parte de um grupo de requisitos necessrios ascenso nos cursos oferecidos pela unidade.

Este material tem por objetivo oferecer subsdios e conhecimento bsicos aos alunos que deles necessitam, a modo de proporcionar aos discentes a base matemtica para prosseguir em seus estudos.

O material contm as definies matemticas de uma maneira clara e objetiva, exemplos e uma srie de exerccios de fixao.

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Aluno: _____________________________________________________

Curso: _____________________________________ Turma: ________
http://www.cefetsp.br/


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NDICE GERAL

I. Conjuntos numricos 2II. As quatro operaes fundamentais (nmeros decimais) e

Expresses 2III. Fraes Ordinrias 9IV. Potncias 13 V. Operaes algbricas 20

VI. Equaes do 1 grau 23 VII. Equaes do 2 grau 28

VIII. Inequaes do 1 grau 30IX. Proporcionalidade 31

X. Juros 38XI. Relaes Trigonomtricas 41

XII. Plano Cartesiano (seu produto, relaes e funes) 44XIII. Noes de Geometria Plana e Espacial 48

2


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I - CONJUNTOS NUM

RICOS

Esta figura representa a classe dos nmeros.Veja a seguir:

N NaturaisSo os nmeros positivos inclusive o zero, que representem uma

contagem inteira.N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}No h nmeros naturais negativos.

Z InteirosSo os nmeros naturais e seus opostos negativos.Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}No h nmeros inteiros em frao ou decimal.Q Racionais

So todos os nmeros na forma decimal exata, peridicaou na forma de frao.

Q = ,47,

21,

31,0,

21,

34,

25,

617-,

Exemplos:Nmeros decimais na forma exata: {1,2 ; 3,654 ; 0,00005 ; 105,27272};Nmeros decimais na forma peridica:

23,10232323,1020,30222,33,2333333,2 ===I Irracionais

So todas as decimais no exatas e no peridicas.

I= ,6

,,3,62

-,

R Reais a unio dos conjuntos numricos citados acima. Portanto, todo

nmero, seja N, Z, Q ou I um nmero R (real). As razes em que o radicando seja negativo e o ndice par no soreais.

II - AS QUATRO OPERAES FUNDAMENTAIS (NMEROSDECIMAIS)

1) Adio

3


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Na adio os nmeros so chamados de parcelas, sendo a operaoaditiva, e o resultado a soma.

2 + 2 = 4

Parcelas adio Soma

Exemplos:4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049

+

429,1

3,2

32,4

parcelas

8,049 }soma

41 +

32 +

51 =

60124015 ++ =

6067 1,1166

ou

41 +

32 +

51 =

98,1625,2 ++ =

905,10 1,1166

2) Subtrao

Na subtrao os nmeros so chamados de subtraendo, sendo aoperao a subtrao, e o resultado o minuendo.

Subtrao

3 2 = 1

Minuendo Subtraendo diferena

Exemplos: As regras para a subtrao so as mesmas da adio,portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando aoperao. Numa subtrao do tipo 4-7 temos que o minuendo menor que o subtraendo; sendo assim a diferena ser negativa eigual a -3.

3) MultiplicaoNa multiplicao os nmeros so chamados de fatores, sendo aoperao multiplicativa, e o resultado o produto.

22 * 3 = 66

Fatores Multiplicao Produto Pode-se representar a multiplicao por: *, x ou .

Exemplo:

4

Observe que as parcelas sodispostas de modo que se tenha

vrgula sobre vrgula.


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7,32 * 12,5 = 91,500

} produto 500,91 732

1464

3660

fatores 12,5*

32,7

++

21

*32

*18

=6

16=

38

2,6

Na multiplicao de fraes multiplica-se divisor com divisor, dividendocom dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixopelo de baixo).

4) DivisoNa diviso, os nmeros so chamados de dividendo( a parte que estsendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte estsendo dividida), a operao a diviso, e o resultado o quociente.

Diviso

7 / 4 = 1,75

Dividendo (D) Divisor (d) Quociente (q)

Exemplo:Existe na diviso, o que se pode chamar de resto. Isto , quando umadiviso no exata ir sempre sobrar um determinado valor, veja noexemplo a seguir:843 / 5 = 16834

433 resto (r)

Se o resto for igual a zero a diviso chamada exata.

5) Casos particulares da multiplicao e divisoMultiplicao N * 1 = NN * 0 = 0

Diviso N / 1 = NN / N = 10 / N = 0 (N 0 )

N / 0 = No existe!!!!

6) Exerccios

a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =

5

Na multiplicao comea-seoperar da esquerda para a direita.Quando a multiplicao envolver

nmeros decimais (como noexemplo ao lado), soma-se aquantidade de casas aps a

vrgula.

Para verificar se o resultado verdadeiro basta substituir os valores

na seguinte frmula: D = d * q + r

843 = 5 * 168 + 3


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b) 4,03 + 200 + 51,2 =c) 32,4 21,3 =d) 48 33,45 =e) 2,1 * 3,2 =f) 48,2 * 0,031 =g) 3,21 * 2,003 =h) 8,4708 / 3,62 =i) 682,29 / 0,513 =

j) 2803,5 / 4450 =

k) (FUVEST)

0,22,33,0*2,0

=

l) 0,041 * 21,32 * 401,05 m) 0,0281 / 0,432

n)1,54,82*31,2

o) 285,0

4,32*021,0

7) Valor absoluto ou MduloRepresenta a distncia de um nmero at o zero (ou origem). Sendoassim, o mdulo, por representar distncia, sempre positivo erepresentado por | |.

Exemplos:

7700

22

99

==

==

8) Soma e subtrao algbricaSinais iguais: Somam-se os valores absolutos e d-se o sinal comum.Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e d-se o sinal do maior.

Exemplos:a) 2 + 4 = 6b) 2 4 = 6c) 5 3 = 2d) 5 + 3 = 2e) 2 + 3 1 2 = 5 3 = 2f) 1 3 + 2 4 + 21 5 32 = 23 45 = 22

9) Multiplicao e diviso algbricaSinais iguais resposta positivaSinais diferentes resposta negativa

Isto :

6

)()(*)(

)()(*)(

)()(*)(

)()(*)(

=+=++=+=++

)()(:)(

)()(:)(

)()(:)(

)()(:)(

=+=++=+=++


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Exemplos:

a) 12 * 3 = 36b) (-12) * (-3) = 36c) 2 * (-2) = -4d) (-2) * 3 = -6

e)

24

= 2

f))5(

20

= -4

g))5()20(

= 4

h)5

)20( = -4

10) Expresses numricasPara resolver expresses numricas realizamos primeiro as operaes de multiplicao e diviso, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adies e subtraes. Em expresses que

aparecem sinais de reunio: ( ): parnteses, [ ]: colchetes e { }: chaves, efetuam-se as operaes eliminando-se, na ordem: parnteses, colchetes e chaves, isto , dos sinais interiores para os exteriores. Quando frente do sinal da reunio eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.

Exemplo:

a) 2 + [ 2 ( 3 + 2 ) 1 ] = 2 + [ 2 5 1 ] = 2 + [ 2 6 ]b) 2 + { 3 [ 1 + ( 2 5 + 4 ) ] + 8 } = 11c) { 2 [ 3 * 4 : 2 2 ( 3 1 ) ] } + 1 = { 2 [ 12 : 2 2 *

2 ] } + 1 = { 2 [ 6 4] } + 1

11) Nmeros PrimosSo aqueles nmeros divisveis somente por eles mesmos e por 1.Obs.: O nmero 1, por definio, no primo.

Mtodo para obteno de nmeros primosFaremos isso atravs de um exemplo:

Encontre os nmeros primos compreendidos entre 1 e 50.

1 Passo: Enumera-los1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7


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11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 Passo: Encontrar a raiz quadrada do maior nmero quadrado dentreos indicados, ou seja, encontrar o maior nmero que se conhea a raizquadrada exata.

No caso, 749 = .

3 Passo: Extrair da lista acima os nmeros mltiplos dos nmeros {2, 3,4, 5, 6, 7}, nesta ordem, onde o 7 provm do 2 passo.

4 Passo: Os nmeros que sobraram so os nmeros primos procurados:{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.

Obs.: O nmero 2 o nico nmero primo e par.

12) Decomposio de um nmero em um produto de fatoresprimos

A decomposio de um nmero em um produto de fatores primos feita por meio do dispositivo prtico que ser mostrado nos exemplos a seguir.

Exemplos:

30

5

3

2

1

5 15

30

30 = 2 * 3 * 5

21

7

3

1

7

21

21 = 3 * 7

OBS: Nmero primo aquele divisvel somente por ele mesmo e pelonmero 1.

13) Mnimo mltiplo comum (m.m.c.)O mnimo mltiplo comum a vrios nmeros o menor nmero divisvel por todos eles.Exemplo:

a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45

8


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720

5

3

3

2

2

2

2

01\01\01

05\01\01

15\01\01

45\01\03

45\02\03

45\04\03

45\08\06

45\12\12

O m.m.c. entre 12, 16 e 45 720Confirme os resultados abaixo.

b) m.m.c. (4, 3) = 12c) m.m.c. (3, 5, 8) = 120d) m.m.c. (8, 4) = 8e) m.m.c. (60, 15, 20, 12) = 60

14)Mximo Divisor Comum (m.d.c.)O m.d.c. a vrios nmeros o maior nmero que os divide.Exemplo: Encontrar o m.d.c. entre 12, 18 e 36.

Fatorando cada um dos nmeros em fatores primos, temos:12 = 22.318 = 2.32

36 = 22.32.

Agora tomemos as menores potncias dos fatores em comumapresentados acima:m.d.c.(12, 18, 36) = 2.3 = 6.

Quando o m.d.c. entre dois nmeros igual a 1, dizemos que eles sorelativamente primos.Exemplo: 5 e 9 so relativamente primos, pois 5 = 5.1 e 9 = 32.1.Sendo 1 o nico fator comum a estes nmeros.

Confirme os resultados abaixo:b) m.m.c. (9, 6) = 3c) m.m.c. (36, 45) = 9d) m.m.c. (12, 64) = 4e) m.m.c. (20, 35, 45) = 5

15) Exerccios:

a) 2 + 3 1 =

b) 2 5 + 8 =c) 1 3 8 + 2 5 =d) 2 * (-3) =e) (-2) * (-5) =f) (-10) * (-1) =

9


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g) (-1) * (-1) * (-2) =

h)2

4

=

i)28 =

j)5

20 =

k)2

)1(*)4(

=

l) 1 7)-(2*5)-31( + =

m)1

3)-5*2-4*32(

+ =

n) 1}]2)3:2*3(4-2[2-2{2 ++ =o) })5-(2)]58-(:)33-([20-{-8 ++ =p) 0,5 * 0,4 : 0,2 =q) 0,6 : 0,03 * 0,05 =

r) 5 : 10 =s) 3 : 81 * 0,5 =t) Calcule o m.m.c. e o m.d.c. entre:

a. 36 e 60b. 18, 20 e 30

c. 12, 18 e 32

IV - FRAES ORDINRIAS

Definio:Frao um quociente indicado onde o dividendo o numerador e o divisor o denominador.

As fraes que sero apresentadas a seguir, partem de um crculo inteiro que ao ser dividido em partes iguais formam as fraes

21

=0,543

=0,75

41

=0,25 81

=0,125

87

= 0,875

1


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A frao prpria quando o numerador menor do que o

denominador:21 ,

53 ,

210120 , etc.

A frao e imprpria quando o numerador maior que odenominador, sendo possvel represent-la por um nmero misto ereciprocamente.Exemplos:

a)7

10 = 17

3 pois7

10 possui resto 3

b)5

28 =5

325 + =5

25 +53 = 5

53 pois

528 possui resto 3

c)3

11 = 332

d) 231 =

37

e) -14

1 = -4

5

16) PropriedadeMultiplicando ou dividindo os termos de uma frao por um nmero diferente de zero obtm-se uma frao equivalente inicial.

Exemplos:

a) 42

2*22*1

21

==

b)2015

5*45*3

43 ==

c)32

10:3010:20

3020 ==

d)21

-4:84:4

-84

- ==

17) Soma algbrica de fraesReduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores.OBS: O menor denominador comum o m.m.c. dos denominadores.

Exemplos:

a) 65

623

62

63

31

21

=+

=+=+

b)32

64

6

4-53

64

-65

63

32

-65

21 ==+=+=+

c)3

11-

3

4-

12

16-

12

24-169-1

12

24 -

12

16

12

9 -

12

1 2-

3

4

4

3 -

12

1 ===+=+=+

1


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18) Multiplicao de fraesMultiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores.

Exemplos:

a)103

53

*21 =

b) 81

-21

*41

=

c)152

52

*31 =

d) ( )143

-72

*41

*3 =

e)54

85

44

516 *

411

51

3*43

2 ===

19) Diviso de fraesMultiplica-se a frao dividenda pelo inverso da frao divisora.

Exemplos:

a)2

11

2

3

1

3 *

2

1

31

21

===

b)( )

31

1-34

-12

*32

-2

13

2==

=

c)61

31

*21

32

1==

d) 21

72

15

23

*15

325 ===

e) ( ) ( ) 2725

1-2752

-94

*3

13

493

13

4123

14==

=

=

20) Comparao de FraesPara comparar as fraes devemos reduzi-las ao mesmo denominador

e comparar os numeradores, a qual tiver o numerados maior ser amaior frao.OBS.: a < b l-se a menor do que b

a > b l-se a maior do que b

1


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Exemplo: Comparar76 e

32 :

Para isto, calculamos o m.m.c. entre 7 e 3:m.m.c.(3, 7) = 21.Ento, ao transformar os denominadores em 21, devemos multiplicaros numeradores pelo fatores de transformaes.

3*73*6 e

7*37*2

2118 e

2114

Como 18 maior que 14, podemos afirmar que:

2118 >

2114 .

21) Exerccios

Simplifique as fraes, ou coloque-as na forma irredutvel:

a)42 =

b) 279

=

c)4812 =

Comparar as fraes :

a)21

,32

b) 32 , 65

c)74

,83

Resolva:

a) =+ 101

51

b) =34 -32

c) =+ 61

31

-21

1

O fator de transformao da frao 3pois 3*7 = 21, e o da frao 7, pois 3*7 =21.


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d) =52

*31

e) =52

*31

*73

f) =

52

-*61

-

g) =2

13

1

h) =

51

-:32

i) =41

*32

:21

j) =51

1:52

2

k) =

+

21

:42

31

l) =+

3 3

1 1

m) =

++

2

12

21 1

1

Simplifique:

a) =

+++

++

111

1

1 1

111

1

b) =

+

+

++ 1

179

:

43

32

41

31

21

V - POTNCIAS

Definio:Potncia de grau n de um nmero A o produto de n fatores iguais a A. A n = A A.. . A

nvezes

A a base da potncia en o expoente da potncia, que determinaseu grau.

Assim:2 = 2 * 2 * 2 = 8 2 = 8(- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 (- 1)4 = 1

CASOS PARTICULARES:a) A potncia de expoente 1 (1 grau) igual base:

1


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A1 = A; 21 = 2b) Toda potncia de 1 igual a 1:1 = 1; 1 = 1c) Toda potncia de 0 igual a 0:0 = 0; 0 = 0d) Toda potncia de expoente par positiva: (- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3) = 9; 3 = 9e) Toda potncia de expoente mpar tem o sinal da base:3 = 27 ; (- 3) = - 2725 = 32 ; (- 2)5 = - 32

22) Multiplicao de potncias de mesma baseMantm-se a base comum e soma-se os expoentes.

Realmente:523

vezes5vezes2vezes3

222*2*2*2*22*2 === +

Exemplo:5 * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125

23) Diviso de potncias de mesma baseMantm-se a base comum e diminuem-se os expoentes.

Realmente: 24-6vezes6

vezes4

4

655

5*5*5*55*5*5*5*5*5

5

5 ===

Exemplo: 37 : 33 = 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81

24) Multiplicao de potncias de mesmo grau (semelhantes)Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.

Realmente: 2 * 7 = 2 * 2 * 7 * 7 = (2 * 7)Exemplo: 3 * 5 = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = (3 * 5) = 15 = 3 375

25) Diviso de potncias de mesmo grau (semelhantes)Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.

Realmente:2

2

2

72

72

*72

7*72*2

7

2

===

Exemplo: 8 : 2 = 4 = 64

26) Potenciao de potnciaEleva-se a base ao produto dos expoentes.

Realmente: 23 2= 2 32= 2 6.

1


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Exemplo:( ) 0495933 1025 ==

27) Expoente nuloToda potncia de base diferente de zero e expoente zero igual a unidade.

Realmente: 1a 1a:a

aaa:a 044

04-444

==

==

Exemplo: (- 5)0 = 1

28) Expoente negativoQualquer nmero diferente de zero, elevado a expoente negativo igual a uma frao cujo numerador a unidade e cujo denominador a mesma base da potncia elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo.

Realmente: 44-

4-7-37

3

443

3

7

3

2

1 2

222

2

21

2*22

22

===

==

Exemplo:251

5*5

1

5

1 5 2

2 ===

29) Potncias de 10Efetuam-se as potncias de 10 escrevendo direita da unidade tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.

Exemplos:

a) 10 = 100

b) 107 = 10 000 000c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10d) 4000 = 4 * 10

e) 300 000 = 3 * 105

f) 3 * 108 = 300 000 000

30) Nmeros decimaisTodo nmero decimal equivalente a um produto do qual um fator o

nmero escrito como inteiro, e outro uma potncia de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas so as ordens decimais.

1n

n

a

a1

=


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Realmente: 4-4 10*2510

25

0001025

0025,0 ===

Exemplos:

a) 0,001 = 10-3

b) 0,002 = 2 * 10-3

c) 0,00008 = 8 * 10-5

d) 1,255 = 1255 * 10-3

e) 2 * 10-3 = 0,002

31) Exerccios

a) 1 =

b) 04 =c) (- 2) =d) (- 4) =

e) (- 2)4 =

f) (- 4)4 =g) 2 * 25 =h) 3 * 3 * 35 =i) 35 : 34 =

j) 34 : 3 * 35 =k) 24 * 54 =

l) (- 3)5

* (- 5)5

=m) 153 : 33 =n) (- 4)6 : 26 =o) (3)2 = p) (2)5 =q) (33)2 =r) [ (3) ] =s) (2 * 3) =

t) (3 * 5 * 2)4 =

u)5

35

=

v)3

43

2

=

w)2

3

32

5

3*2

=

x) (2 * 3)0 =y) 4-2 =z) 2 * 3-1 =

1


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aa) 432 =

bb)(2-3 * 5-2)-4 =

cc) 2x + 1 * 4x =dd)32x * 24x =ee) 54x : 252x =

Exprimir, utilizando potncias de 10:a) 20 000 =b) 4 800 000 =

c) 0,01 =d) 0,000045 =

Efetuar, utilizando potncia de 10:

a)80

00048*0002 =

b)00002,00,000032*28

=

RADICAIS

Definio:Denomina-se raiz de ndice n (ou raiz n-sima) de A , ao nmero ou expresso que, elevado potncia n reproduz A.

OBS: Representa-se a raiz pelo smbolo

radical-

radicando-A

raizdandice-n

An

Assim:

a) 416 = porque 4 = 16

b) 283 = porque 2 = 8

c) 3814 = porque 34 = 81

32) Propriedade possvel retirar um fator do radical, bastante que se divida o expoente do radicando pelo ndice do radical.

Exemplos:

a) 323*212 2 ==

b) 5653*253*2180 22 ===

1


19/56


c) 424 48 25*32*5*3 =

d) 24:84 8 333 ==

Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se oexpoente do fator pelo ndice do radical. Assim:

3 33 2*323 =

33) Adio e subtrao de radicais semelhantes

Radicais de mesmo ndice e mesmo radicando so semelhantes. Na adio e subtrao de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical.

Exemplos:

a) 22-210-28210-2523 ==+ b) 3333333 2326-292-25-2623 ==+

34) Multiplicao e diviso de radicais de mesmo ndiceMultiplicam-se (dividem-se) os radicandos e d-se ao produto (quociente) o ndice comum.

Exemplo:

a) 63*23*2 ==

b) 326

26 ==

c) 302*5*32*5*3 ==

d) 444

4

44

215

2

15

2

3*5 ==

35) Potenciao de radicais

Eleva-se o radicando potncia indicada e conserva-se o ndice.

Exemplo:

a) ( ) 44 334 2733 ==

b) ( ) 5 245 2225 2 3*23*23*2 ==

36) Radiciao de radicaisMultiplicam-se os ndices e conserva-se o radicando.

Exemplos:

a) 42*2 333 ==

1


20/56


b) 243 4 33 =

37) Expoente fracionrioUma potncia com expoente fracionrio pode ser convertida numa raiz, cujo radicando a base, o ndice o denominador do expoente,sendo o numerador o expoente do radicando.

Exemplos:

a) q pq p

aa =

b) aa 21 =

c) 33 232 422 ==

d) 434 3 66 =

38) Racionalizao de denominadores1 Caso: O denominador um radical do 2 grau. Neste caso

multiplica-se pelo prprio radical o numerador e o denominador da frao.

Exemplo:

a)22

4

2

2*2

2*1

2

1 ===

b)63

3*23

923

3*323*1

321 ====

c)36

9

6

3*3

3*2

3

2 ===

d)1512

30

122

6*5122

365

122

6*65

6*22

65

22 =====

2 Caso:O denominador uma soma ou diferena de dois termos em que um deles, ou ambos, so radicais do 2 grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expresso conjugada do denominador.OBS: A expresso conjugada dea + b a b.Na racionalizao aparecer no denominador um produto do tipo:(a + b) * (a b) = a - b

Assim:(5 + 3) * (5 3) = 5 - 3 = 25 9 = 16

Exemplos:

a)( )

( ) ( )( ) ( ) 32-5

2-5

2-5

2-5

2-5

2-5*25

2-5*1

25

122

===+

=+

2


21/56


b)( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )3-2*51

3-2*5

3-4

3-2*5

3-2

3-2*5

3-2*32

3-2*5

32

522

====+

=+

39) Exerccios

Efetuar:

a) =+ 51052-5

b) =+ 8-2332

c) =+ 729-333 4

d) =6*3e) ( ) ( )=4-*2- 33

f) =2

84

4

g) ( )=2 63

h) =

3*22

3 2

i) =33 3

j) =23

k) =223

l) =2223 3 3

Dar a resposta sob forma de radical, das expresses seguintes:a) 432 =

b) 212 =

c)2

12

12

=

d)

( )6

13*2 =

Racionalizar o denominador das fraes seguintes:

a)5

1=

b)7

3=

c)22

3 =

d)2-5

2=

2


22/56


e)11-4

5=

Simplifique:

a)2

8-50 =

b) 2352 =

c)12

1 -

2-1

1

+=

VII OPERAES ALGBRICAS

40) Expresses algbricasSo indicaes de operaes envolvendo letras ou letras e nmeros.

Exemplos:a) 5ax 4bb) ax + bx + c

c) 7ab

OBS: No exemplo 3, onde no aparece indicao de soma ou dediferena, temos um monmio em que7 o coeficiente numrico eab a parte literal.

41) Operaes com expresses algbricas1. Soma algbrica

Somente possvel somar ou subtrair termos semelhantes(monmios que possuem a mesma parte literal). Para somar ousubtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes)repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes.Exemplo:3xy 4xy + 7xy + 5xy = 8xy + 3xy

2. Multiplicao

Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todosos termos do segundo fator e reproduzem-se ostermos semelhantes.

Exemplo:(3ay) * (2ay) = 6ay

2


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3. Diviso 1 Caso: Diviso de monmios : Divide-se ocoeficiente numrico do dividendo pelo 1coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendopela do divisor, observando-se as regras paradiviso de potncias de mesma base.

2 Caso: Diviso de polinmio por monmio : Divide-se cadatermo do dividendo pelo monmio divisor.Exemplo:(42abx4) : (7ax) = 6abx

42) Produtos notveis

H certos produtos de polinmios, que, por sua importncia, devem ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles:

I. Quadrado da soma de dois termos:

O quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do

segundo.

Exemplo:(2 + x) = 2 + 2 * 2x + x = 4 + 4x + x

II. Quadrado da diferena de dois termos:

O quadrado da diferena de dois termos igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado

do segundo.

Exemplo:(x 3) = x + 2 * x * (- 3) + (- 3) = x - 6x + 9

III. Produto da soma de dois termos por sua diferena:

O produto da soma de dois termos por sua diferena igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.

Exemplo:

(1 - 3 ) * (1 + 3 ) = 1 - ( 3 ) = 1 3 = - 2

43) FatoraoFatorar um polinmio escreve-lo sob a forma de um produto indicado.

Fator comum dos termos de um polinmio o monmio cujocoeficiente numrico o mximo divisor comum dos coeficientes dos

2

(a + b) = a + 2ab + b

(a - b) = a - 2ab + b

(a + b) * (a b) = a 2 b 2


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termos do polinmio e cuja parte literal formada pelas letras comunscom os menores expoentes.

Apresentando um fator comum, o polinmio pode ser escrito como oproduto de dois fatores: o 1 o fator comum e o 2 obtidodividindo-se o polinmio original pelo fator comum.

Exemplos:

a) Fatorando o polinmio4ax + 8ax + 2ax tem-se:

( )a4ax2x2ax2ax

xa2

2ax

xa8

2ax

ax42axxa2xa8ax4 ++=

++=++

b) Fatorar:5xy + x4y + 2x . O fator comum x. Assim: 5xy + x4y + 2x = x (5y + xy + 2)

44) Exerccios

Efetuar:

a) 22224b-3ab5a-4b7ab-a3 ++

=

b) ( ( 223322 3xyy8x-2y-3yy7x-xy3 ++ =c) ( ( ( )xy*y8x-*xy7 22 =d) ( ) ( ) b-a*c ba ++ =

e) ( ( y-x*xy3x-x 223 + =f) ( 2x:2x-2x4x-x6 2452 + =g) ( abc:abcc b3a bc2a 2332 + =h) ( ) ( )22 3-3x2x ++ =i) ( )228axy3 + =

j) ( ) ( )3cab5*3cab5 + =

Fatorar:

a) 15a - 10ab =b) 3ax 6bx + 12x =

VIII EQUAES DO 1 GRAU

UM BREVE RELATO DA HISTRIA DA EQUAO

As equaes foram introduzidas pelo conselheiro do rei da Frana,Henrique IV, o francs Franois Vite, nascido em 1540. Atravs damatemtica Vite decifrava cdigos secretos que era mensagens escritascom a substituio de letras por numerais. Desta forma Vite teve uma

2


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idia simples, mas genial: fez o contrrio, ou seja, usou letras pararepresentar os nmeros nas equaes.

O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde

(matemtico ingls) que escreveu em um de seus livros que para ele noexistiam duas coisas mais parecidas que duas retas paralelas. Um outromatemtico ingls, Thomas Harriot, gostou da idia de seu colega ecomeou a desenhar duas retas para representar que duas quantidadesso iguais:

Exemplo:_________

400 cm _________ 4 m

Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a us-lo nasequaes de Vite.

At o surgimento deste sistema de notao as equaes eram expressas em palavras e eram resolvidas com muita dificuldade. Anotao de Vite significou o passo mais decisivo e fundamental para construo do verdadeiro idioma da lgebra: as equaes. Por isso,Fraois Vite conhecido como o Pai da lgebra.

45) EquaoEquao uma igualdade que s se verifica para determinados valores atribudos s letras (que se denominam incgnitas).

Incgnita: Quantidade desconhecida de uma equao ou de umproblema; aquilo que desconhecido e se procura saber; enigma;mistrio.(Dicionrio Silveira Bueno Editora LISA)

Exemplo:

a)membro2membro1

5 2-x = s verdade para x = 7

b) 3x + y = 7 s verdade para alguns valores de x e y,como por exemplo x = 2 e y = 1 ou x = 1 e y = 4.

Os valores atribudos s incgnitas que tornam verdadeiras as

igualdades denominam-serazes da equao .Se a equao contiver apenas uma incgnita e se o maior expoentedessa incgnita for 1 ento a equao ditaequao do 1 grau a uma incgnita .

46) Resoluo de uma equao do 1 grau a uma incgnitaResolver uma equao determinar sua raiz. No caso de uma equao do 1 grau a uma incgnita, consegue-se resolv-la isolando-

se a incgnita no 1 membro, transferindo-se para o 2 membro os termos que no contenham a incgnita efetuando-se a operao inversa (as operaes inversas so: adio e subtrao; multiplicaoe diviso; potenciao e radiciao).

2


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Exemplos:

a) x + 2 = 7 x + 2 2 = 7 2 x = 5

b) x 3 = 0 x 3 + 3 = 0 + 3 x = 3

c) 4x28

2

2x 8x2 ===

d) 15x5*33

x*3 5

3x ===

Se o coeficiente da incgnita for negativo, convm utilizar asoperaes dos sinais:

4x2-8-

2-

2x- 8-x2 ===

Se a equao envolver simultaneamente denominadores e adio ousubtrao, o primeiro passo ser eliminar os denominadores, o que sefaz mediante a aplicao da seguinte regra:

Os passos seguintes so descritos no exemplo a seguir:

56-4x

313x

-2

2-3x =+

1 Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver: m.m.c. (2; 3; 5) = 30Logo: 15 * (3x 2) 10 * (3x + 1) = 6 * (4x 6)

2 Passo: Eliminam-se os parnteses, efetuando as multiplicaes indicadas: 45x 30 30x 10 = 24x 36

3 Passo: Transpem-se os termos que contm a incgnita para o 1 membro, e os independentes (os que no contm a incgnita) para o 2, efetuando as operaes necessrias: 45x 30x 24x = - 36 + 30 + 10

4 Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro: -9x = 4

5 Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o x est sendo multiplicado, desta maneira isola-se a incgnita:

9-4

9x9 =

2

Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c.encontrado por cada um dos denominadores emultiplicam-se os resultados pelos respectivos

numeradores.


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6 Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a frao passa a ser negativa tambm:

94

-x =

VERIFICAO OU PROVA REAL Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equao dada. Os valores numricos devem ser iguais

47) Sistema de equao do 1 grau com duas incgnitas

A forma genrica de um sistema :

=+=+

pnymx

c byaxonde a, b, c, m, n, p (Reais) e x e y so as

inggnitas.

a. Equao a duas incgnitas:Uma equao a duas incgnitas admite infinitas solues. Por exemplo, a equao 2x y = 4 verificada para um nmero ilimitado de pares de valores de x e y; entre estes pares estariam: (x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc.

b. Sistema de duas equaes a duas incgnitas:resolver um sistema de suas equaes a duas incgnitas determinar os

valores de x e y que satisfaam simultaneamente s duas equaes. Por exemplo, o sistema:

==

==+

1y

3x parasoluotem3y3x2

16yx5

Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente sduas igualdades. (Verifique!)

Estudar-se- nesta apostila trs mtodos de soluo para um sistema,so eles: Substituio, comparao e adio.

SUBSTITUIO

1) Seja o sistema: ==+

2equao 1y2x5

1equao 8y3x2

2) Isola-se uma das incgnitas em uma das equaes, por exemplo,o valor de x na equao 1:

3equao 2y38

x

y38x2

8y3x2

=

==+

3) Substitui-se x da equao 2 pelo seu valor (equao 3):

2


28/56


4equao 1y223y-8

*5 =

4) Resolve-se a equao 4 determinando-se o valor de y:

( )

2y

38y19

2y4y1540

2y4y38*5

==

==

5) O valor obtido para y levado equao 3 (em que j estisolado) e determina-se x:

( )

1x2

68x

2 2*38x

=

=

=

6) A soluo do sistema :x = 1 e y = 2

COMPARAO

1) Seja o sistema: ==+

7y2x5

33y3x7

2) Isola-se a mesma incgnita nas duas equaes:

7y333

x= e

5y27

x+=

3) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros so iguais (x= x):

5y27

73y-33 +=

4) Resolve-se a equao e determina-se y:

( ) ( )

4y

16y29

y1449y15165

y27*7y333*5

==

+=+=

5) O valor de y levado a qualquer das equaes em que x estisolado e determina-se o valor de x:

( )

3x721

71233

74*333

73y-33

x

=

====

6) A soluo do sistema :x = 3 e y = 4

2


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ADI O

Este mtodo consiste em somar, membro a membro, as duas

equaes com o objetivo de, nesta operao, eliminar uma das incgnitas e s vantajoso no caso de os coeficientes de uma das incgnitas serem simtricos.

Exemplos:

a) ==+

2equao 0yx

1equao 4yx

Somando, membro a membro, vem:

2x 4x2 ==Substituindo o valor de x na equao 1 (ou na equao 2, fica acritrio do aluno), vem:

2y 4y2 ==+

b)

=

=+

=

=+

62y-10x

72y3x

(2)* 3yx5

7y2x3

Somando, membro a membro, vem:

1x 13x13 ==Substituindo o valor de x na 1 equao (ou na 2, fica a critriodo aluno), vem:

2y 42y 72y3 72y1*3 ===+=+

48) Exerccios

Resolver as seguintes equaes:

a) 8x4 = b) 10x5 =

c) 8x7 =+d) 7x23 =

e) 12x4x416 +=+

f) x527x13x78 =+

g)43

3x2 =

h)10

x341 =

i) ( ) 3x45x42x9 +=++ j) ( ) ( ) 5x410x27*5x2*3 +=k) 1

436x5

2x12

32x =

l)6

x592

312x

3x43

83x5 =++

2


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Resolver os seguintes sistemas de equaes:

a) =+=+

24yx3

12yx

b) =+=+

1y2x7

19y6x5

c) ==+

2y4x3

12y5x

d)=+

=+

22

3y

3

1x2

25y

4x

Considere o problema: A idade do pai o dobro da idade do filho. H 10 anos atrs, a idade do pai era o triplo da idade do filho. Qual a idade do pai e do filho?

IX EQUAES DO 2 GRAU

Equao do 2 grau na incgnita x, toda igualdade do tipo:

ondea, b, c so nmeros reais ea no nulo (a 0).

A equao chamada de 2 grau ou quadrtica devido incgnita xapresentar o maior expoente igual a 2.Se tivermos b0 e c0 teremos uma equao completa.Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equao incompleta.

49) Resolvendo Equaes de 2 Grau

Quando a equao de 2 grau for incompleta sua resoluo bastantesimples, veja:

1 caso : b = 0 e c = 0; temos ento:

Exemplo:

3 x = 0 x = 0 x = 0 S = {0}

2 caso : c = 0 e b 0; temos ento:

Exemplo:3 x - 12 x = 0 x . (3 x 12) = 0 x = 0 ou 3 x 12 =

0 3 x = 12 x = 4 S = {0; 4}

3 caso : b = 0 e c 0; temos ento:

3

a . x + b . x + c = 0

a . x = 0

a . x + b . x = 0


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Exemplo:

x - 4 = 0 x = 4 x = 4 x = 2 e x = -2 S = {-2; 2}

A resoluo da equao completa de 2 grau obtida atravs de umafrmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemtico hindu nascidoem 1 114, por meio dela sabemos que o valor da incgnita satisfaz aigualdade:

A frmula apresentada uma simplificao de duas formulas; veja:

> 0 tm-se duas razes reais e diferentes = 0 tm-se duas razes reais e iguais < 0 tm-se duas razes imaginrias

OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, no existir a equao de segundo grau visto que o x seria anulado.

50) ExercciosDeterminar as razes das seguintes equaes quadrticas:

a) 06x7x 2 =+ b) 028x3x 2 =+c) 02x5x3 2 =+d) 03x16x16 2 =++e) 016x4 2 =f) 018x2 2 =

g) x5x32

=h) 0x8x2 2 =+

i) ( ) ( )22 3x43x2 =

Prever a natureza das razes das equaes:

a) 01x3x2 2 =+ b) 03xx 2

=++c) 02x4x2 2 =+

Determinar mentalmente as razes das equaes:

a) 05x6x 2 =+3

a . x + c = 0

Frmula de Bhaskara

a.2c.a.4 b b

x=

acb 42 =


32/56


b) 015x2x 2 =+c) 012x4x 2 =

d) 021x10x 2 =+e) 050x5x 2 =+

Resolver as seguintes equaes:

a) bax 2 = b) ( ) ( )181x2x1xx =

XI INEQUAES DO 1 GRAUSmbolos de desigualdades

So smbolos que permitem uma comparao entre duas grandezas.

Exemplos:

a) 7 > 5 (7 maior do que 5).b) 3 < 6 (3 menor do que 6).

c) x 1 (x menor ou igual a 1).

d) y4 (y maior ou igual a 4).e) 1 < x 4 (x maior do que 1 e menor ou igual a

4).

51) Inequao do 1 grauInequao do 1 grau uma desigualdade condicionada em que a incgnita de 1 grau.Exemplo:

2x > 4 A veracidade da desigualdade est condicionada ao valor de x.Observa-se que o 1 membro ser maior do que o 2 membro quando se atribui a x qualquer valor maior do que 2. Isto :

x > 2 x > 2 indica um conjunto de valores denominado soluo da inequao. Para determinar-se o conjunto-soluo de uma inequao do 1 grau isola-se x no 1 membro de forma soluo de uma equao do 1 grau, e sempre que se multiplicar ou dividir a inequao por um nmero negativo, inverte-se o sinal da desigualdade.

Exemplos:

3

a > b (a maior do queb)a < b (a menor do queb)a b (a maior ou igual ab)a b (a menor ou igual ab)


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a)

2x

2x

42x

2x4

b)

0x

0x2

11x2

11x2

+

52) Exerccios

Resolver as seguintes inequaes:

a) 11x2 + b) 2xx3 +c) 16x5x >

d) ( ) x75x31x2 >++e) 1

5x4

21

x52

f)32

x73x7 +

g) 47

x29

4

x3 +


34/56


53

2x = ento 3*2x*5 =

A principal aplicao desta propriedade a determinao de umelemento desconhecido na proporo. Exemplificando:Determine x na proporo:

520

4x = ento 20*4x*5 = ou 16x =

54) Grandezas diretamente ou inversamente proporcionaisDuas grandezas x e y so denominadas:

Diretamente proporcionais: quando a razo entre x e y

constante.

k yx = ou kyx =

Inversamente proporcionais: quando o produto delas constante.

k y*x = ouyk

x =

Sendok denominada constante de proporcionalidade.Exemplos:

a) Seja um carro que se desloca com velocidade constanteem trajetria retilnea. A tabela mostra o deslocamento docarro em funo do tempo.

Tempo (s) Deslocamento (m)1 202 403 604 805 10010 200

Chamado de x o deslocamento et o tempo, observa-se que a

razo tx constante.

2010200

5100

480

360

240

120

tx =======

Assim x e t so grandezas diretamente proporcionais e a

constante de proporcionalidade vale20 (que a velocidadedo carro).

b) Um gs mantido temperatura constante em umrecipiente de volume varivel. Quando se altera ovolume do gs a sua presso tambm se modifica.Registraram-se em uma tabela os valorescorrespondentes da presso (P) e volume (V).

Presso Volume20 2040 1080 5100 4200 2

3

A pergunta : tempo edeslocamento so

grandezas diretamente ouinversamente

proporcionais?

P e V so grandezasdiretamente ouinversamente

proporcionais?


35/56


400 1Note que PV constante.

4001.4002.2004.1005.8010.4020.20PV =======

Assim:P e V so grandezas inversamente proporcionais comconstante de proporcionalidade igual a400.

55) Regra de trs simplesUtilizamos regra de trs simples na soluo de problemas que envolvem grandezas proporcionais.

Exemplos:

a) Um automvel se desloca com velocidade constantepercorrendo 40 km em 1 hora. Qual o tempo gasto parapercorrer 100 km?

SOLUO As grandezas envolvidas sodiretamente proporcionais .Teremos ento uma regra de trs simples edireta .Dispomos os dados do problema colocando frente `frenteaqueles que se correspondem. Marcamos x no local do valor

procurado:Distncia Tempo40 km 1h100 km x

Sendo a regra de trs simples e direta, tem-se:

x1

10040 = (as grandezas so dispostas na mesma ordem de

correspondncia).

Aplicando a propriedade fundamental das propores, vem:horas2,5x 100*1x*40 ==

b) Dois litros de gs exercem uma presso de 0,4 atm. Cincolitros do mesmo gs, mesma temperatura, exerceroque presso?

SOLUO As grandezas soinversamente proporcionais . Assim sendo,teremos uma regra de trs simples einversa .Dispondo os dados do problema: Volume Presso

2L 0,4 atm5L x

Sendo a regra de trs inversa, as grandezas so dispostas deforma que na proporo os termos do 2 membro ficaminvertidos.

4,0x

52 = ou atm0,16x x*54,0*2 ==

56) ExercciosResolva os seguintes exerccios:

3

DP

IP


36/56


a) Uma bomba eleva 272 litros de gua em 16 minutos.Quantos litros elevar em 1 hora e 20 minutos?

b) Doze operrios levaram 25 dias para executar umadeterminada obra. Quantos dias levaro 10 operrios paraexecutar a mesma obra?

c) Num livro de 200 pginas h 30 linhas em cada pgina. Sehouvesse 25 linhas em cada pgina, quantas pginasteriam o livro?

d) Metade de uma obra foi feita por 10 operrios em 13 dias.Quantos tempo levaro para terminar essa obra com 3

operrios a mais?e) Com uma certa quantidade de cobre, fabricam-se 1600

metros de fio com seo de 12 mm. Se a seo for de 8mm, quantos metros de fio podero ser obtidos?

f) Um quintal pode ser ladrilhado com 500 ladrilhos de 225cm2 de rea cada um. Quantas lajotas de 900 cm2, cadauma, so necessrias para recobrir o mesmo quintal?

g) Um galpo pode ser construdo em 48 dias por 7 pedreiros

que trabalham num certo ritmo. Como ele deve serconstrudo em duas semanas, no mesmo ritmo detrabalho, quantos pedreiros devero ser contratados?

h) Uma mquina tem duas rodas dentadas que se engrenam. A maior tem 30 dentes e a menor, 18 dentes. Quantasvoltas d a menor enquanto a maior d 150 voltas?

i) Um Boeing vai do Rio de Janeiro a Recife em 2 horas e 40minutos, num vo sem escalas. Numa das viagens,ocorreu um pequeno defeito em seus motores e ele fez aviagem em 3 horas e 20 minutos, a uma velocidade de540 km/ h. Qual a velocidade mdia com que ele fazessa viagem em condies normais?

j) Para asfaltar 345 km de estrada, uma equipe de 15pessoas levaria 8 dias. Se forem contratados outras 9

pessoas que trabalhem no mesmo ritmo das pessoas daequipe que j existe, em quantos dias a nova equipeasfaltar o mesmo trecho de estrada?

k) Para asfaltar 345 km de estrada, uma equipe de 15pessoas levaria 8 dias. Qual o nmero de pessoas quedevem ser contratadas para que a mesma obra fiquecompleta em 5 dias, desde que todos trabalhadorestenham o mesmo ritmo de trabalho.

l) Lisa e Rute aproveitaram uma liquidao. Lisa comprou 18camisetas e pagou o equivalente a 14 camisetas. Rutetambm comprou camisetas na mesma liquidao e pagouo equivalente a 49 camisetas. Quantas camisetas Rutecomprou?

3


37/56


57) Regra de trs Composta

Algumas situaes envolvem mais de duas grandezas. A anlise ea resoluo de problemas desta natureza podem envolver uma regra detrs composta.

Exemplos:a) 20 pintores, trabalhando 6 horas por dia, pintam um edifcio em

4 dias. Quantos dias sero necessrios para que 6 pintores, trabalhando 8horas por dia, pintem o mesmo edifcio?

SOLUO:Qtde de Pintores Trabalho dirio (Hs) Tempo (dias)

20 6 46 8 X

A partir de agora, adotaremos o procedimento da anlise com relao avarivel X, ou seja, analisaremos as colunas Qtde de Pintores e a colunaTrabalho dirio (Hs) em relao coluna Tempo (dias), onde est avarivel.

Anlise I:Qtde de Pintores Tempo (dias)

20 46 X

Quando o nmero de pintores 20, a obra fica pronta em 4 dias, parauma carga de trabalho diria fixa. Se diminuirmos o nmero de pintores, otempo para concluso da obra, aumenta ou diminui? claro que aumenta.

Logo, pode-se concluir que essas colunas soIP (pois as flechas estoapontando em direes opostas.)

Anlise II:Trabalho dirio (Hs) Tempo (dias)

6 48 X

Fixado o nmero de pintores. Quando o nmero de horas trabalhadas por

dia 6, a obra fica pronta em 4 dias. Se aumentarmos a carga horria pordia para 8, o tempo para concluso da obra, aumenta ou diminui? claroque diminui.Logo, pode-se concluir que essas colunas soIP (pois as flechas estoapontando em direes opostas.)

Agora, faremos o seguinte procedimento, como as colunas Qtde depintores e Trabalho dirio (Hs) so IP com relao coluna Tempo (dias)teremos que inverter as fraes das duas colunas mencionadas, e manter,

do outro lado da igualdade, a coluna que contm a varivel.

x

468

.206 =

3


38/56


Resolvendo essa igualdade, temos 20.6.4 = 6.8.x, que resulta em

.10

8.6

4.6.20 == x x

Logo, Sero necessrios 10 dias para pintar o edifcio.

b) Paulo representante da Loja A Barateira. Ele costumapercorrer 1260 km em 5 dias viajando 6 horas por dia. Em quantos diasele percorrer 2520 km, viajando 4 horas por dia?

SOLUO:Distncia (km) Tempo (dias) Horas em viagem

1260 5 62520 X 4

A partir de agora, adotaremos o procedimento da anlise com relao avarivel X, ou seja, analisaremos as colunas Distncia e a coluna Horas emviagem em relao coluna Tempo (dias), onde est a varivel.

Anlise I:Distncia (km) Tempo (dias)

1260 52520 X

Quando a distncia percorrida 1260 km o tempo gasto na viagem de 5dias, para um tempo de viagem por dia fixo. Se aumentarmos a distnciaa ser percorrida, o tempo para concluso da viagem, aumenta ou diminui?

claro que aumenta. Isto , ele precisar de mais tempo para cumprir adistncia.Logo, pode-se concluir que essas colunas soDP (pois as flechas esto

apontando em mesma direo.)

Anlise II:Tempo (dias) Horas em viagem

5 6 X 4

Fixada a distncia a ser percorrida. Quando gasta-se 6 horas por dia naviagem, o tempo necessrio para concluir a mesma de 5 dias. Quando

diminui-se o nmero de horas de viagem por dia para 4, pode-se concluirque: Ser necessrio mais tempo para concluir a viagem.Logo, essas colunas soIP (pois as flechas esto apontando em direesopostas.)Dessa forma, faremos o seguinte procedimento: Manteremos a frao dacoluna DP, e invertemos a frao da coluna que IP com a coluna quecontm a varivel, sendo esta isolada no outro lado da igualdade.

x

564.

25201260 =

3

DP

IP


39/56


Resolvendo essa igualdade, temos 2520.6.5 = 1260.4.x, que resulta em

.15

4.1260

5.6.2520 == x x

Logo, Paulo far esse percurso em 15 dias.

EXERCCIOS:a) 4 trabalhadores colhem 200 caixas iguais de laranja, em 5 dias,trabalhando num certo ritmo. Quantas caixas de laranjas, iguais a essas,sero colhidas em 3 dias, por 6 trabalhadores, no mesmo ritmo decolheita?

b) Uma viagem entre duas cidades foi feita de carro, em 4 dias, auma velocidade de 75 km/h, viajando-se 9 horas por dia. Viajando a 90km/h, durante 5 horas por dia, em quantos dias iramos de uma cidade outra?

c) 3 torneiras iguais enchem um tanque de 5000l de capacidade, em 10horas. Fechando uma das torneiras, em quanto tempo as outrasdespejaro 3000l nesse tanque?

d) Em 50 dias, uma escola usou 6000 folhas de papel para imprimirprovas do tipo A e do Tipo B, para 1200 alunos. A escola tem 1150 alunos,no momento. Quantas folhas sero usadas, durante 20 dias, para imprimirdois tipos de provas semelhantes s anteriores?

e) Um criador usava 2400kg de rao para alimentar 120 cesdurante 45 dias. Para economizar gastos com o canil, ele vendeu alguns

ces e passou a usar 1200kg de rao para 3 meses. Quantos ces elevendeu? (Use 1 ms = 30 dias.)

XIII - JUROS

58) Juros Simples

O regime de Juros Simples aquele no qual os juros sempre incidem

sobre o capital inicial. Atualmente as transaes comerciais no utilizamdos juros simples e sim o regime de juros compostos.

A frmula utilizada para o clculo dos juros simples :

Exemplo 1:

Um comerciante contraiu de umamigoum emprstimo de R$ 600,00,comprometendo a pagar a dvida em 3 meses, taxa de juros simples de

3

J = C . i . nJ = juros

C = capitali = taxa da aplicao

n = tempo que durou a aplicao
http://www.brasilescola.com/matematica/juros-simples.htmhttp://www.cefetsp.br/http://www.brasilescola.com/matematica/juros-simples.htm


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5% ao ms (a.m).Para calcularmos os juros a serem pagos, fazemos:

1) em um ms, os juros so de:5% de 600,00 = 0,05 x 600 = 30,00

2) como o prazo de 3 meses o comerciante dever pagar:J = 3 x 30,00 = 90,00

Assim ao final dos 3 meses o comerciante dever pagar:600,00 + 90,00 = 690,00

O valor total a ser pago (R$ 690,00) chamado de montante.e montante M igual a :

Observao importante: a taxa deve ser sempre compatvel com a unidade

de tempo considerada. Por exemplo, se a taxa for de 4%a.m., para umprazo de 60 dias adotaremos n = 2 (2 meses).

Exemplos

1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15dias.

0.13 / 6 = 0.02167

logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195j = 1200 x 0.195 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos: J = P.i.nA taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.Agora, como a taxa e o perodo esto referidos mesma unidade de

tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rendeR$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)Observe que expressamos a taxai e o perodon em relao mesma

unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Da, vem:P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicao de 150% ao ano, quantos meses seronecessrios para dobrar um capital aplicado atravs de capitalizaosimples?

Objetivo: M = 2.PDados: i = 150/100 = 1,5Frmula: M = P (1 + i.n)Desenvolvimento:

2P = P (1 + 1,5 n)2 = 1 + 1,5 nn = 2/3 ano = 8 meses

4

M = C + J = C + C i n M = C ( 1 + in)


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59) Juros Compostos

O regime de juros compostos conhecido como juro sobre juro, poiso juro incide sempre no capital anterior contrrio dos juros simples. Asfinanceiras, bancos, optam pela aplicao dos juros compostos, pois huma possibilidade maior de lucro.

Imagine a seguinte aplicao: Vamos supor que aplicamos um capitalqualquer em um banco. Esse capital ir render uma taxa qualquer, assim,de perodo em perodo render um montante.

Veja agora como ficaria essa aplicao de perodo em perodo:

Ao trmino do 1 perodo:Iremos resgatar o primeiro montante M1 = C + i . C

Ao trmino do 2 perodo:Como se trata de regime de juros compostos o capital aplicado nessesegundo perodo da aplicao ser o montante do perodo anterior e no ocapital inicial como feito no regime de juros simples. Portanto, osegundo montante ser: M2 = M1 + i . M1.

Ao trmino do 3 perodo:Seguindo a mesma regra do segundo perodo teremos: M3 = M2 + i . M2.

Com a aplicao nesses trs perodos obtivemos trs frmulas:M1 = C + i . C M2 = M1 + i . M1M3 = M2 + i . M2Colocando os termos em evidncia teremos:M1 = C (1 + i) M2 = M1 (1 + i) M3 = M2 (1 + i)Substituindo o montante 1 no segundo montante os termos:M2 = C (1 + i) (1 + i)M2 = C (1 + i)2

Substituindo o montante 2 no terceiro montante os termos:M3 = C (1 + i)2 (1 + i)M3 = C (1 + i)3 Se seguirmos essa seqncia veja as aplicaes seguintes:

Ao trmino do 4 perodo:M4 = C (1 + i)4 Ao trmino do n-simo perodo:Mn = C (1 + i)n Ento, para fazermos o clculo do montante do juro compostos, utilizamosa seguinte frmula:

Ao final do n-simo perodo:

Exemplo 1:

Joana aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% a.m. a juroscompostos. O montante, ao final de 3 meses, dado por:

M3 = 400 (1 + 0,02)3 = 400 . 1,061 = 424,48

Ao final de 6 meses:

M6 = 400 (1 + 0,02)6

= 400 . 1,126 = 450,46 Ao final de 1 ano (12 meses):

M12 = 400 (1 + 0,02)12 = 400 . 1,26 = 507,29

4

M n = C (1 + i) n


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2 - Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juroscompostos, durante 1 ano, taxa de 3,5% ao ms.

(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788 )

Resoluo: P = R$6.000,00

t = 1 ano = 12 mesesi = 3,5 % a.m. = 0,035M = ?

Usando a frmulaM=P.(1+i) n, obtemos:

M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788

=> x = 1,509Ento M = 6000.1,509 = 9054.Portanto o montante R$9.054,00

60)Exerccios

01) O capital de R$ 530,00 foi aplicado taxa de juros simples de 3% aoms. Qual o valor do montante aps 5 meses de aplicao?

01) O capital de R$ 530,00 foi aplicado taxa de juros compostos de 3%ao ms. Qual o valor do montante aps 5 meses de aplicao?

02) Um capital de R$ 600,00, aplicado a uma taxa de juros simples de20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo.Qual foi esse tempo?

02) Um capital de R$ 600,00, aplicado a uma taxa de juros compostos de20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo.Qual foi esse tempo?

03) Qual foi o capital que, aplicado taxa de juros simples de 1,5% aoms, rendeu R$ 90,00 em um trimestre?

03) Qual foi o capital que, aplicado taxa de juros compostos de 1,5% aoms, rendeu R$ 90,00 em um trimestre?

04) A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4500,00, no sistema decapitalizao simples, para que depois de 4 meses, o montante seja de R$5040,00?

04) A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4500,00, no sistema decapitalizao composta, para que depois de 4 meses, o montante seja deR$ 5040,00?

05) Quanto rendeu a quantia de RS 600,00, aplicado a juros simples, comtaxa de 2,5 % a ms, no final de 1 ano e 3 meses?

06) Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros compostos com uma taxade 2% ao ms, resultou um montante de R$ 880,00 aps certo tempo.Qual foi o tempo da aplicao?

06) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$7050,00. O mesmo capital, diminudo dos seus juros simples de 13 meses,reduz-se a R$ 5350,00. O valor desse capital :

07) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herana, sob a condio deinvestir todo o dinheiro em dois tipos particulares de aes, X e Y. Asaes do tipo X pagam 7% a.a e as aes do tipo Y pagam 9% a.a. A

4


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maior quantia que a pessoa pode investir nas aes x, de modo a obter R$500,00 de juros em um ano, :

08) No sistema de juros compostos com capitalizao anual, um capital de

R$ 20.000,00, para gerar em dois anos um montante de R$ 23.328,00,deve ser aplicada a uma taxa:

09) (Cespe/UnB - TRT 6 Regio - 2002) Suponha que uma pessoaaplique R$ 2000,00 por dois meses, a juros compostos com umadeterminada taxa mensal, e obtenha um rendimento igual a R$ 420,00,proveniente dos juros. Se essa pessoa aplicar o mesmo valor por doismesses a juros simples com a mesma taxa anterior, ela ter, no finaldesse perodo, um montante de R$ 2.400,00.

10) (Cespe/UnB - TRT 6 Regio - 2002) Considere que um capital de R$4000,00 ficou aplicado por 2 meses taxa de juros compostos de 10%

a.m. Se o montante obtido foi corrigido pela inflao do perodo obtendo-se um total de R$ 5082,00, ento a inflao do perodo foi superior a 7%.

XIII RELAES TRIGONOMTRICAS

61) Tringulo retnguloUm tringulo retngulo aquele que tem um ngulo reto (90).

A

B Ca

bc

X

Y

Zx

y

z

R

S

Tr

st

Em um tringulo retngulo temos:

a) Hipotenusa : o lado oposto ao ngulo reto. Nasfiguras acima so hipotenusas:a, x e r .

b) Catetos : so os outros dois lados do tringulo. Nasfiguras so catetos:b, c; y, z e s, t .

62) Relaes trigonomtricas no tringulo retngulo

A

B

C

a

b

c

No tringulo retngulo ao lado consideremos o nguloC formado peloladob e a hipotenusaa.

O ladob denomina-secateto adjacente ao nguloC. ( o catetoque faz parte da constituio do ngulo).O ladoc denomina-secateto oposto ao nguloC.Os lados do tringulo e um dos ngulos (no o reto), podem serrelacionados por:

ac

hipotenusaopostocateto

Csen ==

a b

hipotenusaadjacentecateto

Ccos ==

4


44/56


bc

adjacentecatetoopostocateto

CcosCsen

Ctg ===

Existem tabelas que fornecem os diversos valores de senos, co-senose tangentes dos mais diversos ngulos. Assim, conhecido um ngulode um tringulo retngulo e um dos lados, pode-se determinar osdemais lados. A seguir temos uma tabela com os valores das funestrigonomtricas para os ngulos de 30, 45 e 60.

30 graus 45 graus 60 graus

Seno 21

22

23

Co-seno 23

22

21

Tangente 33

1 3

Exemplos:a) Em um tringulo retngulo a hipotenusa vale 4 m e

dos ngulos agudos vale 60. Determine os doiscatetos do tringulo.

m221

*4 b

60cosa b a

b60cos

m322

3*4c

60senac ac

60sen

==

==

==

==

A

B

C

a

b

c

60

b) Em um tringulo retngulo a hipotenusa mede 5 m eum dos catetos 2,5 m. Determinar o ngulo formadopela hipotenusa e por esse cateto. Determine o outrocateto.

m32,5 b

23

*560sen*5sena b )2

60 tabelada 21

55,2

ac

cos )1

=

===

=

===

A

B Ca = 5 m

bc = 2,5 m

4


45/56


c) Em um tringulo retngulo os lados valem 3 m, 4 m e5 m. Determine o seno, o co-seno e a tangente do

ngulo formado entre o lado de 3 m e o de 5 m.

3,134

tg

6,053

cos

8,054

sen

==

==

==

3 m

4 m

5 m

Todo tringulo de lado 3, 4 e 5, ou mltiplos destes

valores, denominado Tringulo Pitagrico.

63) Exercciosa) Dado o tringulo retngulo abaixo, calcular:

52

52

4

2

i. sen ii. cos iii. tg

b) Um ngulo de um tringulo mede 30 e o cateto quese ope a este ngulo vale 5 cm. Calcular ahipotenusa e o outro cateto.

c) Num tringulo retngulo a hipotenusa mede 3 cm eum dos ngulos agudos vale 45. Calcular a medidacomum dos catetos.

d) Num tringulo retngulo, as medidas dos dois catetosso iguais. Calcular a medida comum dos ngulosagudos.

e) Calcular os ngulos formados pelos catetos com ahipotenusa de um tringulo retngulo sabendo queum dos catetos a metade da hipotenusa.

f) Calcularx e y na figura a seguir:

x

y6 m

60

4


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XIV PLANO CARTESIANO (SEU PRODUTO, RELAES EFUNES)

64) Os eixos cartesianosDois eixos graduados, perpendiculares entre si, com origens coincidentes, so denominados eixos cartesianos.

x

y

54321-1-2-3-4

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5

0(eixo das abscissas)

(eixo das ordenadas)

origem

65) Um ponto no plano cartesianoUm ponto situado em um plano cartesiano tem sua posio definida por um par de nmeros ( coordenadas do ponto ).

( )( )( )( )02,-P

1-0,P

2-1,P

23,P

4

3

2

1

x

y

54321-1-2-3-4

5

4

3

21

-1

-2

-3

-4

-5

-5

P1

P2

P3P4

O primeiro valor numrico representa aabscissa do ponto e o segundo

a ordenada do ponto .

66) Uma reta no plano cartesianoUm conjunto de pontos representados em um plano cartesiano pode resultar em uma reta. Tal fato acontece quando atribumos os mais diversos valores a x em uma equao caracterstica (a seguirrepresentada) e obtemos os valores dey correspondentes.

Esta equao denominadaequao reduzida da reta , sendo quea eb necessariamente so valores constantes.

A sua representao grfica nos mostra que:

4

y = a * x + b


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x

y

0

b

67) Casos particulares

a) Reta que passa pela origemO coeficiente linear (b) igual a zero.

x

y

0

b) Reta paralela ao eixo xO coeficiente angular (a) igual a zero.

x

y

0

c) Reta paralela ao eixo yO valor de x constante.

x

y

0

Exemplos:

a) Representar graficamente a equao x*3y = .

Soluo: O coeficiente angular 3 . Como tg 60 = 3 ,

o ngulo que a reta forma com o eixo x 60. Ainda, a retano apresenta coeficiente linear, isto , a reta passa pelaorigem. Representando-a:

x

y

060

b) Representar graficamente y = 20.

4

a = tg (coeficiente angular). b = valor de y onde a reta

intercepta o eixo das ordenadas(coeficiente linear) .

A equao fica: y = a * x

A equao fica y = b


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Soluo: Como y constante a reta deve serperpendicular ao eixo y.

x

y

0

20

68) Exercciosa) Situe os pontos A, B, C e D no plano cartesiano a seguir.

( )( )( )( )3-2,-D

31,C

0,4B

2-,0Ax

y

54321-1-2-3-4

54

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5

b) D as coordenadas dos pontos P, Q, R e S da figura a seguir.

x

y

54321-1-2-3-4

5

4

3

21

-1

-2

-3

-4

-5

-5P

Q

R

S

c) Qual a representao grfica da reta de equao

2x3y =

a.x

y

060

b.

x

y

-2

30

4


49/56


c.x

y

0

60

2

d.

x

y

060

-2

e.x

y

030

2

d) O grfico da reta y = 5 :

a.x

y

05

b.

x

y

0

5

5 45

c.x

y

0

5

d.x

y

0 5

e.x

y

0

5

45

4


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XVI NOES DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

GEOMETRIA PLANA

69) Definio e apresentao da Geometria PlanaGeometria Plana possui como sua principal caracterstica pertencer ao R2, isto , possui duas dimenses sendo estas x e y como em um plano cartesiano, tambm conhecidas como base (b) e altura (h).OBS: ob da base e oh da altura provem do ingls onde base = base

e altura = height.

Na Geometria Plana podemos encontrar a rea (A) e o permetro (P) das figuras, onde:

Toda figura plana possui uma frmula para encontrar o valor de seupermetro e sua rea, veja:

70) Apresentao das figuras planas e suas frmulas

Quadrado

Retngulo

Losango

5

rea o regio do plano limitado pelo

permetro

Podemos definir Permetros como sendo

o comprimento docontorno de uma

figura.

A = b * h mas comob = l e h = l

A = l * l logo A = l

P = l + l + l + l P = 4 * l

A = b * h

P = 2 * a + 2 * b
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Paralelogramo

Trapzio

Tringulo Qualquer

Tringulo Eqiltero

Crculo

Circunferncia

5

2d*D

A =

P = 4 * l

h* bA =P = 2 * a + 2 * b

( )2

h* b*BA =

P = a + b + c + d

2h* b

A =

P = a + b + c

43l

A2

=

P = 3 * l

2r *A =


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GEOMETRIA ESPACIAL

71) Definio e apresentao da Geometria Espacial

Geometria Espacial possui como sua principal caracterstica pertencer ao R, isto , possui trs dimenses sendo estas x, y e z como no espao, tambm conhecidos como base (b) e altura (h) e espessura (e).

Na Geometria Espacial podemos encontrar o volume (V) e a rea lateral (S), onde:

72) Apresentao das figuras espaciais e suas frmulasCubo

Pirmide

Cilindro circular reto

5

R **2A =

V = b * h * e

S = 6 * l

h*B*31

V =

B a rea da base da pirmide

V = * r * h

h*r **2S =


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r

Cone circular reto

Esfera

EXERCCIOS:

1) Determine a rea das seguintes figuras (em cm):

a)b)

c) d)

5

h*r **31

V 2=

22 hr *r *S +=

3r **34

V =

2r **4S =


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e)

2) Temos um tringulo eqiltero de lado 6cm. Qual o permetro e qual a rea deste tringulo?

3) Um trapzio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e aaltura igual a 10. Qual a rea deste trapzio?

4) Sabendo que a rea de um quadrado 36cm, qual seu permetro?

5) Calcule a rea e o permetro (em metros) dos retngulos descritos:

a) a = 25 e b = 12

b) a = 14 e b = 10

6) Achar a rea total da superfcie de um cilindro reto, sabendo que o raioda base de 10cm e a altura de 20cm.

7) A pirmide de Quops, conhecida como a Grande Pirmide, tem cercade 230m de aresta na base e altura aproximada de 147m. Qual o seuvolume?

8) A casquinha de um sorvete tem a forma de um cone reto. Sabendo queo raio da base mede 3cm e a altura de 12cm. Qual o volume dacasquinha?

5


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9) Considere a Terra como uma esfera de raio 6.370km. Qual sua reasuperficial? Descobrir a rea da superfcie coberta de gua, sabendo queela corresponde a aproximadamente 3/4 da superfcietotal.

10) Um lquido que est num recipiente em forma de cone ser despejadoem outro recipiente que possui forma cilndrica. Se o raio da base dos doisrecipientes for 25 cm e a altura dos dois for 1m, que alturaatingir o lquido no cilindro?

11) Um pedao de cartolina possui a forma de um semicrculo de raio 20cm. Com essa cartolina, um menino constri um chapu cnico e o colocacom a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distncia do bico dochapu mesa? Dica = com um semi-crculo se origina um coneeqiltero.

12) As reas das bases de um cone circular reto e de um prismaquadrangular reto so iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual aodobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

13) Uma pirmide tem a altura medindo 30 cm e rea da base igual a 150cm. Qual a rea da seo superiordo tronco desta pirmide, obtido pelo corte desta pirmide por um planoparalelo base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirmide 17 cm?

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MATEMATICA BASICA - CEFEET

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