MATEMATICA BASICA - CEFEET

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  • 8/6/2019 MATEMATICA BASICA - CEFEET

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    Apostila de Matemtica Bsica Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorCampus Sertozinho

    APOSTILA MATEMTICA BSICA

    Este material serve como introduo aos conceitos matemticos,adequando-se s necessidades dos alunos do CEFET/ SP, UNED de Sertozinho.

    Nele esto contedos dos nveis bsico e intermedirio da matemtica, dos ensinos fundamental e mdio. Os pontos, aqui abordados, fazem parte de um grupo de requisitos necessrios ascenso nos cursos oferecidos pela unidade.

    Este material tem por objetivo oferecer subsdios e conhecimento bsicos aos alunos que deles necessitam, a modo de proporcionar aos discentes a base matemtica para prosseguir em seus estudos.

    O material contm as definies matemticas de uma maneira clara e objetiva, exemplos e uma srie de exerccios de fixao.

    1

    Aluno: _____________________________________________________

    Curso: _____________________________________ Turma: ________

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    NDICE GERAL

    I. Conjuntos numricos 2II. As quatro operaes fundamentais (nmeros decimais) e

    Expresses 2III. Fraes Ordinrias 9IV. Potncias 13 V. Operaes algbricas 20

    VI. Equaes do 1 grau 23 VII. Equaes do 2 grau 28

    VIII. Inequaes do 1 grau 30IX. Proporcionalidade 31

    X. Juros 38XI. Relaes Trigonomtricas 41

    XII. Plano Cartesiano (seu produto, relaes e funes) 44XIII. Noes de Geometria Plana e Espacial 48

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    I - CONJUNTOS NUM

    RICOS

    Esta figura representa a classe dos nmeros.Veja a seguir:

    N NaturaisSo os nmeros positivos inclusive o zero, que representem uma

    contagem inteira.N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}No h nmeros naturais negativos.

    Z InteirosSo os nmeros naturais e seus opostos negativos.Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}No h nmeros inteiros em frao ou decimal.Q Racionais

    So todos os nmeros na forma decimal exata, peridicaou na forma de frao.

    Q = ,47,

    21,

    31,0,

    21,

    34,

    25,

    617-,

    Exemplos:Nmeros decimais na forma exata: {1,2 ; 3,654 ; 0,00005 ; 105,27272};Nmeros decimais na forma peridica:

    23,10232323,1020,30222,33,2333333,2 ===I Irracionais

    So todas as decimais no exatas e no peridicas.

    I= ,6

    ,,3,62

    -,

    R Reais a unio dos conjuntos numricos citados acima. Portanto, todo

    nmero, seja N, Z, Q ou I um nmero R (real). As razes em que o radicando seja negativo e o ndice par no soreais.

    II - AS QUATRO OPERAES FUNDAMENTAIS (NMEROSDECIMAIS)

    1) Adio

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    Na adio os nmeros so chamados de parcelas, sendo a operaoaditiva, e o resultado a soma.

    2 + 2 = 4

    Parcelas adio Soma

    Exemplos:4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049

    +

    429,1

    3,2

    32,4

    parcelas

    8,049 }soma

    41 +

    32 +

    51 =

    60124015 ++ =

    6067 1,1166

    ou

    41 +

    32 +

    51 =

    98,1625,2 ++ =

    905,10 1,1166

    2) Subtrao

    Na subtrao os nmeros so chamados de subtraendo, sendo aoperao a subtrao, e o resultado o minuendo.

    Subtrao

    3 2 = 1

    Minuendo Subtraendo diferena

    Exemplos: As regras para a subtrao so as mesmas da adio,portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando aoperao. Numa subtrao do tipo 4-7 temos que o minuendo menor que o subtraendo; sendo assim a diferena ser negativa eigual a -3.

    3) MultiplicaoNa multiplicao os nmeros so chamados de fatores, sendo aoperao multiplicativa, e o resultado o produto.

    22 * 3 = 66

    Fatores Multiplicao Produto Pode-se representar a multiplicao por: *, x ou .

    Exemplo:

    4

    Observe que as parcelas sodispostas de modo que se tenha

    vrgula sobre vrgula.

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    7,32 * 12,5 = 91,500

    } produto 500,91 732

    1464

    3660

    fatores 12,5*

    32,7

    ++

    21

    *32

    *18

    =6

    16=

    38

    2,6

    Na multiplicao de fraes multiplica-se divisor com divisor, dividendocom dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixopelo de baixo).

    4) DivisoNa diviso, os nmeros so chamados de dividendo( a parte que estsendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte estsendo dividida), a operao a diviso, e o resultado o quociente.

    Diviso

    7 / 4 = 1,75

    Dividendo (D) Divisor (d) Quociente (q)

    Exemplo:Existe na diviso, o que se pode chamar de resto. Isto , quando umadiviso no exata ir sempre sobrar um determinado valor, veja noexemplo a seguir:843 / 5 = 16834

    433 resto (r)

    Se o resto for igual a zero a diviso chamada exata.

    5) Casos particulares da multiplicao e divisoMultiplicao N * 1 = NN * 0 = 0

    Diviso N / 1 = NN / N = 10 / N = 0 (N 0 )

    N / 0 = No existe!!!!

    6) Exerccios

    a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =

    5

    Na multiplicao comea-seoperar da esquerda para a direita.Quando a multiplicao envolver

    nmeros decimais (como noexemplo ao lado), soma-se aquantidade de casas aps a

    vrgula.

    Para verificar se o resultado verdadeiro basta substituir os valores

    na seguinte frmula: D = d * q + r

    843 = 5 * 168 + 3

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    b) 4,03 + 200 + 51,2 =c) 32,4 21,3 =d) 48 33,45 =e) 2,1 * 3,2 =f) 48,2 * 0,031 =g) 3,21 * 2,003 =h) 8,4708 / 3,62 =i) 682,29 / 0,513 =

    j) 2803,5 / 4450 =

    k) (FUVEST)

    0,22,33,0*2,0

    =

    l) 0,041 * 21,32 * 401,05 m) 0,0281 / 0,432

    n)1,54,82*31,2

    o) 285,0

    4,32*021,0

    7) Valor absoluto ou MduloRepresenta a distncia de um nmero at o zero (ou origem). Sendoassim, o mdulo, por representar distncia, sempre positivo erepresentado por | |.

    Exemplos:

    7700

    22

    99

    ==

    ==

    8) Soma e subtrao algbricaSinais iguais: Somam-se os valores absolutos e d-se o sinal comum.Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e d-se o sinal do maior.

    Exemplos:a) 2 + 4 = 6b) 2 4 = 6c) 5 3 = 2d) 5 + 3 = 2e) 2 + 3 1 2 = 5 3 = 2f) 1 3 + 2 4 + 21 5 32 = 23 45 = 22

    9) Multiplicao e diviso algbricaSinais iguais resposta positivaSinais diferentes resposta negativa

    Isto :

    6

    )()(*)(

    )()(*)(

    )()(*)(

    )()(*)(

    =+=++=+=++

    )()(:)(

    )()(:)(

    )()(:)(

    )()(:)(

    =+=++=+=++

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    Exemplos:

    a) 12 * 3 = 36b) (-12) * (-3) = 36c) 2 * (-2) = -4d) (-2) * 3 = -6

    e)

    24

    = 2

    f))5(

    20

    = -4

    g))5()20(

    = 4

    h)5

    )20( = -4

    10) Expresses numricasPara resolver expresses numricas realizamos primeiro as operaes de multiplicao e diviso, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adies e subtraes. Em expresses que

    aparecem sinais de reunio: ( ): parnteses, [ ]: colchetes e { }: chaves, efetuam-se as operaes eliminando-se, na ordem: parnteses, colchetes e chaves, isto , dos sinais interiores para os exteriores. Quando frente do sinal da reunio eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.

    Exemplo:

    a) 2 + [ 2 ( 3 + 2 ) 1 ] = 2 + [ 2 5 1 ] = 2 + [ 2 6 ]b) 2 + { 3 [ 1 + ( 2 5 + 4 ) ] + 8 } = 11c) { 2 [ 3 * 4 : 2 2 ( 3 1 ) ] } + 1 = { 2 [ 12 : 2 2 *

    2 ] } + 1 = { 2 [ 6 4] } + 1

    11) Nmeros PrimosSo aqueles nmeros divisveis somente por eles mesmos e por 1.Obs.: O nmero 1, por definio, no primo.

    Mtodo para obteno de nmeros primosFaremos isso atravs de um exemplo:

    Encontre os nmeros primos compreendidos entre 1 e 50.

    1 Passo: Enumera-los1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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    2 Passo: Encontrar a raiz quadrada do maior nmero quadrado dentreos indicados, ou seja, encontrar o maior nmero que se conhea a raizquadrada exata.

    No caso, 749 = .

    3 Passo: Extrair da lista acima os nmeros mltiplos dos nmeros {2, 3,4, 5, 6, 7}, nesta ordem, onde o 7 provm do 2 passo.

    4 Passo: Os nmeros que sobraram so os nmeros primos procurados:{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.

    Obs.: O nmero 2 o nico nmero primo e par.

    12) Decomposio de um nmero em um produto de fatoresprimos

    A decomposio de um nmero em um produto de fatores primos feita por meio do dispositivo prtico que ser mostrado nos exemplos a seguir.

    Exemplos:

    30

    5

    3

    2

    1

    5 15

    30

    30 = 2 * 3 * 5

    21

    7

    3

    1

    7

    21

    21 = 3 * 7

    OBS: Nmero primo aquele divisvel somente por ele mesmo e pelonmero 1.

    13) Mnimo mltiplo comum (m.m.c.)O mnimo mltiplo comum a vrios nmeros o menor nmero divisvel por todos el