Matematica Basica

Matemt ica Bs ica

3

Matemtica Bsica

UNIVERSIDADE CATLICA DE BRASLIA Reitor

Prof. Msc. Pe. Jos Romualdo Desgaperi

UNIVERSIDADE CATLICA DE BRASLIA VIRTUAL

Diretor Geral da UCB Virtual Prof. Dr. Francisco Villa Ulha Botelho

Diretoria de Cursos de Graduao a Distncia Prof. MSc. Bernadete Moreira Pessanha Cordeiro

Diretoria de Ps-graduao a Distncia

Prof. MSc. Ana Paula Costa e Silva

Coordenao de Produo Prof Esp. Edleide E. de Freitas Alves

Coordenao de Plos e Logstica

Prof Esp. Nbia Aparecida Rosa

Coordenao de Informtica Prof. Esp. Weslley Rodrigues Seplvida

Coordenao de Secretaria Acadmica

Esp. Benedito Lyra F. Junior

Coordenao de Atendimento ao Estudante e Relacionamento Prof. MSc. Sandra Mara Bessa

Equipe de Produo Tcnica

Conteudista Prof. Adolfo Dani Analistas Jos Eduardo Pires Campos Jnior Viviane de Melo Resende Viviane Cristina V. Sebba Ramalho Yara Dias Fortuna Montagem Acyr Frederico Leocdio Anderson Macedo da Silveira Bruno Marques Bea da Silva Olvia Cristina Gomes Bonfim

Edio de Contedo Kelly Kareline de Oliveira Torres Mrcia Regina de Oliveira

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Matemtica Bsica Sumrio

Sumrio

1. Conjuntos Numricos ...................................................................................................................... 7 1.1. Conjunto dos Naturais ............................................................................................................................. 7 1.2. Conjunto dos Inteiros Relativos Negativos e Positivos .................................................................... 7 1.3. Conjunto dos Racionais ........................................................................................................................... 7 1.4. Conjunto dos Irracionais ......................................................................................................................... 7 1.5. Conjunto dos Reais .................................................................................................................................. 7

2. Operaes Fundamentais no Conjunto dos Nmeros Reais ................................................... 9 2.1. Sinais Resultantes nas Operaes .......................................................................................................... 9

2.1.1. Regra dos Sinais nas Operaes de Adio e Subtrao ........................................................... 9 2.1.2. Regra dos Sinais nas Operaes de Multiplicao e Diviso .................................................... 9 2.1.3. Propriedades Bsicas para Realizar Operaes no Conjunto dos Reais. ............................. 10

3. Operaes e Suas Inversas ........................................................................................................... 17 3.1. Regra das Operaes Adio e Subtrao .......................................................................................... 17 3.2. Regra das Operaes Multiplicao e Diviso ................................................................................... 18 3.3. Regra das operaes Potenciao Radiciao - Logaritmao .................................................... 19

4. Prioridades nas Operaes ........................................................................................................... 23

5. Relaes e Funes ........................................................................................................................ 25 5.1. Plano Cartesiano .................................................................................................................................... 25 5.2. Funo do 1 Grau .................................................................................................................................. 26 5.3. Funo do 2 grau ou quadrtica ......................................................................................................... 30 5.4. Funo Exponencial ............................................................................................................................... 34 5.5. Funo Logartmica................................................................................................................................ 36 5.6. Funes Trigonomtricas ...................................................................................................................... 37

6. Solues de Sistemas de Equaes ............................................................................................ 39

7. Razo - Proporo Regra de trs Porcentagens Mdias ................................................ 43 7.1. Razo ........................................................................................................................................................ 43 7.2. Proporo ................................................................................................................................................ 43 7.3. Nmeros e grandezas proporcionais simples e compostas. ............................................................ 43

7.3.1. Diretamente Proporcionais ................................................................................................................... 43 7.3.2. Inversamente Proporcionais ................................................................................................................. 44 7.3.3. Regra de trs compostas com grandezas diretas e inversamente proporcionais. .................................. 46 7.3.4. Porcentagens ........................................................................................................................................ 47 7.3.4.1. Taxa de Porcentagem (i) .................................................................................................................. 47 7.3.4.2. Porcentagem .................................................................................................................................... 47

7.4. Mdia ........................................................................................................................................................ 49 7.4.1. Mdia Aritmtica Simples .................................................................................................................... 49 7.4.2. Mdia Aritmtica Ponderada ................................................................................................................ 49 7.4.3. Mdia Geomtrica ................................................................................................................................ 49

8. Operaes com Expresses Algbricas e Polinomiais ............................................................ 51 8.1. Adio e subtrao de expresses ...................................................................................................... 51 8.2. Multiplicao de Expresses Algbricas Polinomiais e Produtos Notveis. .................................. 51

8.2.1. Produtos Notveis ................................................................................................................................ 52 8.3. Diviso de expresses Algbricas e Polinomiais ................................................................................ 53 8.4. Fatorao e Simplificao .................................................................................................................... 54

9. Trigonometria e Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo ............................................... 57 9.1. Relaes Trigonomtricas ..................................................................................................................... 57 9.2. Relaes Mtricas ................................................................................................................................... 58

6

Matemtica Bsica Sumrio

10. Medidas e Grandezas Fsicas Propriedades e Operaes .............................................. 61 10.1. Grandezas Fsicas ................................................................................................................................... 61 10.2. Fenmenos Fsicos ................................................................................................................................. 61 10.3. Medio .................................................................................................................................................... 61 10.4. Sistemas de Unidades ............................................................................................................................ 61 10.5. Fatores que interferem na medio ................................................................................................... 62 10.6. Preciso de um Instrumento de Medida ............................................................................................. 62 10.7. Algarismo significativo .......................................................................................................................... 62 10.8. Arredondamentos ................................................................................................................................... 62

10.8.1. Operaes com Algarismos Significativos ...................................................................................... 63 10.8.1.1. Adio e Subtrao .......................................................................................................................... 63 10.8.1.2. Multiplicao e Diviso: ................................................................................................................. 63

10.9. Notao Cientfica ................................................................................................................................. 63 10.10. Ordem de grandeza. ......................................................................................................................... 64 10.11. Grandezas Fsicas .............................................................................................................................. 64

10.11.1. Grandezas Escalares ........................................................................................................................ 64 10.11.2. Grandezas Vetoriais ........................................................................................................................ 64 10.11.2.1. Operaes com grandezas vetoriais ............................................................................................ 65 10.11.2.1.1. Adio ........................................................................................................................................ 65 10.11.2.1.1.1. Regra da poligonal ................................................................................................................... 65 10.11.2.1.1.2. Regra do paralelogramo ........................................................................................................... 66 10.11.2.1.1.3. Regra da decomposio cartesiana ........................................................................................... 66 10.11.2.1.2. Subtrao ou Diferena .............................................................................................................. 67 10.11.2.1.2.1. Regra da poligonal ................................................................................................................... 67 10.11.2.1.2.2. Regra do paralelogramo ........................................................................................................... 67 10.11.2.1.2.3. Regra da Decomposio Cartesiana ......................................................................................... 68

7

Matemtica Bsica Aula 01

Matemtica Bsica Para podermos nos comunicar, por escrito, precisamos do alfabeto, slabas, palavras, frases, vrgulas,

pontos, etc. Semelhantemente, na matemtica precisamos dos algarismos, nmeros, smbolos, sinais,

prioridades e propriedades nas operaes para que possamos equacionar, criar frmulas, realizar clculos

to necessrios em nosso quotidiano e em todas as atividades que realizamos. Mesmo quando usamos a

calculadora ou computador, precisamos de conhecimento bsico de matemtica para o uso adequado

destes instrumentos e nos procedimentos a serem seguidos.

1. Conjuntos Numricos

O conjunto dos nmeros Reais (R) o que melhor atende a soluo dos problemas bsicos de nosso

quotidiano e composto pelos seguintes subconjuntos:

1.1. Conjunto dos Naturais

{ },...4,3,2,1,0=N 1.2. Conjunto dos Inteiros Relativos Negativos e Positivos

{ }...3,2,1,0,1,2,3... =Z 1.3. Conjunto dos Racionais

{ }...3...2...1...0...1...2...3... =Q

29

23 2,0 25,2

...555,0 1.4. Conjunto dos Irracionais

}{ ......3...2...2... =I 1.5. Conjunto dos Reais Juntando: N, Z, Q, I formamos o conjunto dos Reais (R). Note que:

RI

QZN

ou RIQ )(

est contido

N

Z

Q

I

R

Obs.: No conseguimos escrever na forma de frao

Obs.: Conseguimos escrever na forma de frao decimal exatas, dizimas peridicas simples e compostas.

1,4159

9


2. Operaes Fundamentais no Conjunto dos Nmeros Reais

2.1. Sinais Resultantes nas Operaes 2.1.1. Regra dos Sinais nas Operaes de Adio e Subtrao ( + ) com ( + ) d ( + ). Veja: + 3 + 4 = 7

Obs. Quando positivo, podemos deixar sem o sinal na resposta.

( - ) com ( - ) d ( - ). Veja: - 3 - 4 = - 7

(+) com ( - ) pode dar ( + ) ou ( - ). Veja:

=+=+=+

2213253

( - ) com ( + ) pode dar ( + ) ou ( - ). Veja:

=+=+=+

1232253

2.1.2. Regra dos Sinais nas Operaes de Multiplicao e Diviso

( + ) com ( + ) d ( + ). Veja:

=+==++=+==++

3326)2(66623)2(3

Obs. Quando o nmero positivo, podemos deixar sem o sinal na multiplicao e

diviso.

( - ) com ( - ) d ( + ). Veja:

=+==+=

5,15,1)2(366)2(3

( + ) com ( - ) d ( - ). Veja:

=+=+

3)2(66)2(3

( - ) com ( + ) d ( - ). Veja:

=+=+

3)2(66)2(3

10


Nos smbolos de multiplicao e diviso podemos usar:

=

====

ba

ba

bababaabbaaxb

1/

2.1.3. Propriedades Bsicas para Realizar Operaes no Conjunto dos Reais. 1) Todo o nmero elevado ao expoente zero vale (1). Veja:

120 = ; ( ) 12 0 = ; 153 0

=

; ( ) 12 0 =

2) No tem diviso de nmero por zero Veja:

?07

= (impossvel, confira na calculadora).

3) Zero dividido por qualquer nmero d zero. Veja:

070

= (confira na calculadora).

4) No tem raiz quadrada ou de ndice par de nmeros negativos.

Ran

R 4

No pertence ao conjunto dos Reais

No tem soluo em R

ndice (2) no se escreve

ndice par

10 =a

)(0

impossvela =

00 =a

Diviso

Deixar o sinal negativo da frao, quando tiver, sempre no numerador.

Multiplicao

11


R4 4 Obs. Cuidado, se o ndice for impar, tem raiz. Veja:

283 = 5) Um nmero negativo elevado ao quadrado ou expoente par, o resultado fica positivo.

expoente par Maior que zero (positivo) Veja: ( ) ( ) ( ) 44222 2 =+== ( ) 813 4 = Cuidado: ( ) 22 22

diferente, pois: ( ) ( ) ( )

==

==

42224222

2

2

( ) ( ) ( ) ( ) 82222 3 == (nmero negativo elevado ao expoente impar, o resultado fica negativo). 6) Potncia de potncia, multiplicamos os expoentes. Veja:

158

54

325

4

32

32

32

32

=

=

7)Uma potncia troca de sinal quando muda de posio subindo para o numerador ou descendo para o denominador.

Veja:

a) 33

212 =

b) 55 331

=

ndice impar

ndice par

( ) nmnm aa =

nn

aa

=

1 nn

aa 1=

( ) 0> na

12


8) O expoente de uma frao muda de sinal quando invertemos a frao.

Veja:

916

34

43 22

=

=

; 812

21 33

=

=

9) Equivalncia - potenciao - radiciao (como tirar do radical e retornar)

Veja:

a) 25

2 5 33 =

b) 73

7

3

32

32

=

c) 55 151

777 == 10) Para somar e subtrair fraes precisamos reduzir ao mesmo denominador. Veja:

a) 54

42

+

Achando o m.m.c (mnimo mltiplo comum) de 4 e 5, fatoramos assim:

522

15

124

Logo: m.m.c = 2 2 5 = 20 20 o m.m.c de 4 e 5. 2

1013

0262

201610

54

42

=////

=+

=+

2

nnnn

ab

baou

ab

ba

=

=

nm

n m aa =

13


Divide 20 pelo denominador 4 e a resposta que d ( 5 ) multiplica pelo numerador 2 dando 10 etc.

Ao simplificar

2026 voc deve dividir o numerador e o denominador por um mesmo nmero.

b) 6023

603512

127

153

=

=

m.m.c de 15 e 12:

5322

136

12

15

15

Logo: m.m.c = 2 2 3 5 = 60

c) 542

23

+ lembre que 122 = logo, o m.m.c de 2, 1, 5 :

52

111512

Logo: m.m.c = 2 5 = 10

103

1082015

542

23

=+

=+

11) Para multiplicao de fraes, multiplicamos numerador pelo numerador e denominador pelo denominador. Veja:

a) 158

54

32

=

b) 724

738 =

Lembre que 188 =

4

c) 15

1064

41

32

52

=///

=

4

14


12) Para dividir fraes multiplicamos a 1 frao pela inversa da 2 frao. Veja: 2

a) 65

2101

45

32

54

32

=////

== ou 65

2101

45

32

5432

=////

==

2

b) 2

15253

523 =

=

lembre que

133 =

c) ( )152

31

523

52

=

=

lembre que -3 = 13

13) Na multiplicao de potncias de mesma base permanece a base e somam-se os expoentes

nmnm aaa = (a = base; m e n = expoentes). Veja: a) 127575 3333 == +

b) 15151

15109

32

53

32

53

222222 ====

c) 23

23

32

32

32

32

32 2

121

212

211

211

=

=

=

=

=

++

d) 10122122 10101010 == 14) Na diviso de potncias de mesma base permanece a base e subtraem-se os expoentes

nmnm aaa = (a = base; m e n = expoentes). Veja:

a) 91

313333 2

27575 ====

b) 103737

5555 ==

c) 152

151210

54

32

54

32

54

32

32

32

32

32

32

32

=

=

=

=

++

d) 515101510

10101010 ==

15) Decimal Exata: valor resultante de uma operao diviso de resto zero. Veja:

15


a) = 4,052 tem uma casa decimal (casa depois da vrgula)

b) = 25,041 tem duas casas decimais

c) 353,2 tem trs casas decimais Para obter a frao que deu origem (geratriz) a uma decimal exata, fazemos:

Numerador: colocamos o nmero todo sem a vrgula. Denominador: colocamos 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais (casas

depois da vrgula). Veja:

a) 52

0144,0 =///

=

b) 41

0015225,0 =/////

=

c) 10002353353,2 =

16) Dzima Peridica Simples: valor resultante de uma operao diviso que no d exata e logo depois da vrgula aparece um nmero que se repete, denominado de perodo. Veja: a) 0,33... Tambm representado por 3,0 b) 0,272727...ou 27,0 c) 2,444... ou 4,2 Para obter a frao que deu origem (geratriz) de uma dzima peridica simples fazemos: Numerador: Colocamos o perodo (parte que se repete) Denominador: Colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do perodo. Veja:

a) 31

9333,0 =//

=

b) 113

339

9927...272727,0 ===

c) 923

9518

952...555,02...555,2 =+=+=+=

Parte inteira no entra na regra.

16


17) Dzima Peridica Composta: Valor resultante de uma operao que no d exata e depois da vrgula aparece uma parte que no se repete (parte no peridica) seguida de um perodo (parte que se repete). Veja: Parte no peridica (que no se repete) (4) a) 0,4333... Parte peridica (que se repete) (3) No peridica (23) b) 2,23717171... Peridica (71) Para obter a frao que deu origem (geratriz) de uma dzima peridica composta, fazemos:

Numerador: colocamos a parte no peridica seguida de um perodo menor, a parte no peridica. Denominador: colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do perodo seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte no peridica. Veja:

Parte no peridica Peridica Parte no peridica

a) 3013

0993

90443...4333,0 =

////

=

=

Parte no peridica (23) Perodo (71)

b) 24755872

24755872

059447112

009984322

99002323712...23717171,2 ++=

////////

+=////////

+=

+=

Parte inteira no entra na regra (2) 24755537

24755874950

=+

Um zero s, pois a parte no peridica s constituda de um algarismo que o 4. Um nove s, pois a parte peridica s constituda de um algarismo que o 3.

17


inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

3. Operaes e Suas Inversas

Para resolver problemas e calcular valores desconhecidos denominados incgnitas ou variveis

necessitamos conhecer algumas regras de relao entre as operaes. Assim temos:

Para isolar vaiveis determinando assim seus valores, fazemos operaes inversas. Para trocar de

membro um valor qualquer, fazemos operao inversa. errado dizer que trocamos de sinal quando

passamos para outro membro. O certo dizer que fazemos operao inversa.

3.1. Regra das Operaes Adio e Subtrao

Veja os exemplos: a) x + 4 = 12 : isolando o x, passamos o (+ 4 ) que est fazendo adio(somando) com o ( x ) para o segundo membro fazendo operao inversa, isto , subtrao. Logo: x = 12 4

Adio

Subtrao

Multiplicao Diviso

Potenciao Radiciao Logaritmao

1 Membro esquerda da igualdade

2 Membro direita da igualdade. =

inversa

inversa

Adio

Subtrao

18


inversa

x = 8 b) x - 7 = 17 isolando o x, passamos o 7 que est subtraindo para o 2 membro onde estar somando fazendo assim operao inversa. Logo: x = 17 + 7 x = 24 c) 20 - x = 30, passando +20 para o 2 membro, como estava somando, passa subtraindo. 20 - x = 30 - x = 30 20 - x = 10 Em (-x) o valor do x isolado deve sempre ficar positivo. Para tanto, podemos multiplicar por (- 1) os dois membros da igualdade. - x = 10 (-1) x = -10 3.2. Regra das Operaes Multiplicao e Diviso

Veja os exemplos: a) 2 x = - 14: isolando o ( x ), passamos o ( +2 ) que est multiplicando o ( x ) para o segundo membro fazendo operao inversa, isto , dividindo.

Logo: 7214

=

= xx

b) 43

2=

x isolando o ( x ), passamos o ( +3 ) que est dividindo para o 2 membro multiplicando,

operao inversa. Veja: 122432 == xx e o 2 que est multiplicando o x para o 2 membro dividindo, operao inversa.

62

12== xx

c) 28

443

2

=

+ xx achando o m.m.c. de 3, 8 e 1, pois

122 =

Multiplicao Diviso

19


inversa

inversa

inversa

inversa

3222

11

1248

13

Logo: m.m.c = 2 2 2 3 = 24

=+

24481212

24168 xx

= 481216128 xx Passamos os termos semelhantes em x para o 1 membro e os

nmeros para o 2 membro fazendo operaes inversas.

= 7620x Multiplicando por (-1) ambos os membros temos. 7620 = x (-1) = 7620x Isolando o x, passamos o (+ 20) que est multiplicando o x para o 2 membro dividindo

e depois simplificamos: 5

190183

0267

=////

=////

=x

3.3. Regra das operaes Potenciao Radiciao - Logaritmao

Determinar (b) calcular o logaritmo (log)

cab = Determinar o (c) calcular a potncia Determinar o (a) calcular a raiz

(isola a potncia)

Radiciao== bb cxcx (isola a base) Aplicando radiciao ( )b c em ambos os membros para isolar o x, temos:

bb b cx =/ de onde obtemos: b cx =

oLogaritmaloglog

==abxba x (isola o expoente)

Mesmo denominador em ambos os membros podemos simplificar.

oPotencia= bax

Potenciao Radiciao Logaritmao

20


Aplicando logaritmao (log) em ambos os membros para isolar o x, temos: ba x loglog = onde, usando uma propriedade dos logaritmos, podemos escrever bax loglog = de onde obtemos:

abx

loglog

= .

Propriedades dos logaritmos. Quando a base 10, no representamos. AA loglog10 = Para nmeros fatorveis, calculamos estes valores como segue. Veja o exemplo. a) Potncia822223 === xxx b) == 32282 xx Mesma base igualamos os expoentes. Fatorando (8)

32222

1248

Logo: x = 3 Logaritmo c) == 333 28 xx Mesmo expoente igualamos as bases. Logo: raiz2 =x . Obs. 8 (fatorando) 328 == Quando no for possvel concluir a resposta pelo mtodo da fatorao, usamos a calculadora cientifica ou as tabelas produzidas para esta finalidade. Veja alguns exemplos usando a calculadora cientifica. a) x=32

8=x b) 82 =x

2log8log

=x

3=x

1) yxyx logloglog +=

2) yxyx logloglog =

3) xmxm loglog =

Tecla: 2 Tecla: yx ou Tecla: 3 Tecla: =

Tecla: log ou ln Tecla: 8 Tecla: Tecla: log ou ln Tecla: 2 Tecla: =

21


Obs. Nesta seqncia ou com pequenas mudanas para diferentes marcas de calculadoras. Pode usar a calculadora padro do Windows (Iniciar > Executar > Cal). Configure para ter opes da calculadora cientfica (no menu Exibir > Cientfica) c) 83 =x

3 8=x 2=x

Resolvendo outros exemplos: d) x=5,12

...828427,2=x e) x= 5,12 f) 7,45,2 =x ou 5,2 7,4=x

g) 32 =x ou ...584962,12log3log

==x

h) 7,195,1 =x

35,75,1log7,19log

==x

Tecla: 2 Tecla: yx ou Tecla: 1,5 Tecla: =

Tecla: 2 Tecla: ou xy Tecla: 1,5 Tecla: Tecla: =

Tecla: 2,5 Tecla: 2ndF ou Shift Tecla: x Tecla: 4,7 Tecla: =

Tecla: log Tecla: 3 Tecla: Tecla: log Tecla: 2 Tecla: =

Tecla: log Tecla: 19,7 Tecla: Tecla: log Tecla: 1,5 Tecla: =

Tecla: 3 Tecla: 2ndF ou Shift Tecla: x Tecla: 8 Tecla: =

22


i) Veja a utilidade de saber isolar varivel fazendo operaes inversas para obter frmulas. Dada a frmula do montante no sistema de capitalizao composta tiCM )1( += M = Montante no final do perodo de aplicao C = Capital i = Taxa t = Tempo de aplicao Isolar cada uma das variveis M, C, i, t utilizando operaes inversas. 1) Para calcular o (M) a frmula j est pronta, pois o mesmo j est isolado: tiCM )1( += 2) Para calcular (C) passamos ti)1( + que est multiplicando o C para o outro lado (membro)

dividindo. Logo: tiMC

)1( +=

3) Para calcular o (t) que expoente, usamos logaritmos. Em tiCM )1( += passamos o (C) que

est multiplicando para o outro lado dividindo, ficando assim: ( )tiCM

+= 1 . Agora aplicamos

logaritmo em ambos os membros e depois isolamos o (t). Veja: )1log(

log

iCM

t+

=

4) Para calcular o (i) que base, usamos radiciao. Em tiCM )1( += passamos o (C) para o

outro lado, ficando assim: ( )CMi t =+1 . Agora aplicamos radiciao isolando o (i). Veja:

11 == ttCMi

CMi

Notou como precisamos das (sete) 7 operaes para trabalhar com esta frmula mais usada no mundo dos juros e montante composto.

23


4. Prioridades nas Operaes

(Quem resolver primeiro?).

Quando as (sete) 7 operaes esto aparecendo em parte ou todas numa mesma expresso numrica ou algbrica com: ( ), [ ], { }, devemos dar a seguinte preferncia de resoluo: 1 ( ), 2 [ ], 3 { }, e dentro de cada um desses smbolos, ou mesmo na ausncia deles, devemos resolver na seguinte ordem: (1) lugar: Potenciao Radiciao Logaritmao na ordem que aparecem da esquerda para a direita. (2) lugar: Multiplicao e Diviso na ordem que aparecem. (3) lugar: Adio e Subtrao na ordem que aparecem. Exemplos: a) 33 8100log4425242 + 1 lugar (potenciao, radiciao, logaritmao)

224285242 + 2 lugar (multiplicao, diviso)

375,17282625,082 =+ 3 lugar (adio e subtrao) b) 24538log416243 22 + 1 lugar

24539031,01642432 + 2 lugar

1531,31039031,025,029 =+ 3 lugar

2 9 0,25 -10

4 16 0,9031

0,625 8 8

2 2 8

24


c) ( )[ ]{ }342423543 2 1 lugar (parnteses)

( )[ ]{ }35,0229543 ( )[ ]{ }35,049543 ( )[ ]{ }35,4543

2 lugar (colchetes)

[ ]{ }35,2243 { }3903

3 lugar (chaves)

{ } 261873 =

d)

+

+

+ 162

81

32

413224

m.m.c de 3 e 8 24

+

+

+ 162

24316

413224

+

+

+ 162

2413

413224

+

++ 162

96133224

m.m.c de 1; 96;1 96

+

++ 16

9619213307224

+

///+ 16

69325124

484211

48960325120

48325116

4832514 =+=+=

++

25


5. Relaes e Funes

As relaes e funes so frmulas teis na anlise e soluo de problemas no nosso dia a dia. Todo o

controle bancrio, a anlise da economia, os clculos de engenharia, estatstica, enfim, tudo o que

envolve aspectos quantitativos usa de alguma forma relaes e funes. O que a matemtica denomina

de ( x ) e ( y ) => variveis e a, b, c => coeficientes, as outras reas do conhecimento atribuem outros

nome. Veja um exemplo s:

+= baxy Funo do 1 grau em matemtica

escoeficientba , yx, variveis

)(livreteindependenx dependentey (depende de x)

As frmulas a seguir tambm so funes do 1 grau que resolvem problemas nas diversas reas de conhecimentos.

+= oVatV Funo da velocidade no MRUV

+= oSVtS Funo da posio no MRU

+= baPD Funo demanda de mercado

+= baPS Funo oferta de mercado

+= baqC Funo custo Etc., etc., etc. Como voc percebe, cada relao e funo tm infinitas aplicaes no nosso quotidiano produzindo respostas numricas e permitindo anlises grficas no plano cartesiano. 5.1. Plano Cartesiano

O plano cartesiano possui dois eixos perpendiculares entre si denominados de eixo (x) (abscissas) e eixo (y) (das ordenadas) e os dois eixos permitem estabelecer as coordenadas de cada ponto. Ordenada (y) (a, b) Coordenadas do ponto (P) Abscissa (x)

a

b P

y

x

26


Vejamos a localizao de alguns pontos.

5.2. Funo do 1 Grau

uma relao do tipo baxy += cujo grfico no plano cartesiano uma reta. a => Coeficiente angular ou declividade da reta em relao ao eixo ( x ) b => Coeficiente linear, onde a reta corta o eixo ( y )

=abx raiz, onde a reta corta o eixo ( x )

-4 -6

-3 0

-5

4

2

4

6

y

x

A ( 0 ,0 )

B ( 4 , 2 )

C ( 0, 4 )

F ( -4 , 0)

E ( -6 , -5)

D ( -3, 6 )

b

x

a < 0

decrescente x

y

P ( x , y )

x b

crescente x

y

a > 0 b

y

x

a = 0

constante

27


Para traar o grfico no plano cartesiano podemos usar um dos mtodos a seguir: 1 Mtodo: Atribuindo de forma arbitrria (livre) valores para x e depois calculando os valores de y (mtodo da tabela) 2 Mtodo: Determinando alguns pontos importantes como os pontos de interseco com os eixo (x) e (y) e outras propriedades dos grficos que veremos a seguir. 1) Atribuindo valores para (x) e calculando (y), temos: Exemplo (1) 62 = xy b = - 6 a = 2 1 Mtodo: Atribumos valores para (x) e calculamos (y). Para a reta basta dois valores (pontos)

46126602

46

10

==

==

yy

yx

Ou escolha outros que achar mais fcil e til e determine os correspondentes em (y). 2 Mtodo: Determinando os pontos de interseco com os eixos. Em += baxy O coeficiente linear (b) sempre o ponto de interseco da reta com o eixo (y) Em 662 == bxy Em += baxy Fazemos y = 0 e isolando x o valor encontrado sempre o ponto de interseco da reta com o eixo x que denominamos de raiz. Logo:

baxy += 0=+ bax

==abxbax raiz ou ponto de interseco da reta com o eixo x.

Em

==

=6

262

ba

xy

( )

=

=

= 32

6abx raiz

y x

-4 -6

(0,-6)

(1,-4)

28


Interseco com o eixo (y)

Com os valores obtidos podemos traar o grfico a = 2 > 0 funo crescente pois: x => cresce y => cresce Note que: y = ax + b y = 2x - 6 a = 2 > 0 => indica que a funo crescente Exemplo (2) y = -3x + 8 1 Mtodo

2 Mtodo:

baxyxy+=

+= 83

+=

=

=

=

...66,238

8

abx

b

cresce y => decresce

x 3

-6

y

y

x

8

-1

3

(0,8)

(3,-1)

Interseco com o eixo (x) ou raiz

8/3

8

y

x

2,66...

18338803

18

30

=+=

=+=

yy

yx

29


Exemplo (3) 044 +== xyxy 1 Mtodo:

4144)1(4

44

11

==

=/=

yxy

yx

2 Mtodo:

baxyxy

+=

+= 04

=

=

=

=

040

0

abx

b

>= 04a Funo crescente, pois:

x => cresce y => cresce Exemplo (4) 606 +== xyy 1 Mtodo:

66106600

66

10

=+=

=+=

yy

yx

Interseco com o eixo (x) raiz

x

y

-1 1

-4

y4

6

y

x 0 1

Interseco com o eixo (y)

0 x

y

30


2 Mtodo: y = 6 ou y = 0x + 6

=

=

=

)(06

6

impossvelabx

b

Logo a reta no tem raiz, no corta o eixo (x), paralela a este eixo

= 0a funo constante pois: x => cresce y => constante (valor sempre 6) 5.3. Funo do 2 grau ou quadrtica

uma relao do tipo: cbxaxy ++= 2 cujo grfico no plano cartesiano uma curva denominada de parbola. c => indica onde a parbola corta o eixo (y) a => indica: se a > 0: CVC = Concavidade Voltada para Cima. Se a < 0: CVB = Concavidade Voltada para Baixo.

Frmula de Bscara onde x e x, indica onde a parbola corta o eixo (x) que denominamos de razes.

abxV 2

=

ayV 4

=

6

y

x

CVB CVC

==a

bxx2

"' cab = 42

Interseco (y)

31


(Xv, YV) => indica as coordenadas do vrtice da parbola.

Podemos aqui tambm traar o grfico da parbola usando um dos mtodos j vistos. 1 Mtodo: Mtodo da tabela, atribuindo valores para (x) e calculando correspondentes em y. 2 Mtodo: Mtodo dos pontos importantes e propriedades. Vamos traar alguns grficos pelos dois mtodos. Exemplo (1)

cbxaxy ++= 2

62 += xxy

=

=

=

611

cba

1 Mtodo: Atribumos valores para (x) e calculamos (y). Para a parbola precisamos de diversos pontos. E este mtodo no o mais recomendado, pois no garante o traado completo da parbola.

x xv

c

y

yv

x x

32


764)3(062)2(

660)0(462)2(

664)4(

70

64

6

32024

2

2

2

2

2

=+=

=+=

=+===

==

yyy

yy

yx

1 Mtodo: Os pontos importantes e propriedades

cbxaxy ++= 2

62 += xxy

=

=

=

611

cba

a) C = -6 => Ponto onde a parbola corta o eixo (y) b) razes => Ponto onde a parbola corta o eixo (x)

cab = 42 25)6(1412 ==

==a

bxx2

"'

=+

=

=

=

=

=2

251"

32

51'

251

12251

x

xx

c) vrtice:

25,6425

1425

4

5,021

121

2

=

=

=

=

=

=

=

=

ay

abx

V

V

6

2 3

-4

y

7

-2 -4

x

33


d) a = 1 > 0: CVC Juntando as concluses a, b, c, d traamos a parbola.

Exemplo (2)

532 2 += xxy Resolvendo s pelo 2 mtodo a) c = 5 => ponto de interseco da parbola com o eixo (y) b) razes => interseco da parbola com o eixo (x)

acb 42 = 494095)2(4)3( 2 =+==

473

)2(249)3(

2

=

=

=a

bx

5,2473' =

+

=x

1473" =

=x

c) vrtice

a) a = -2 < 0: Logo CVB Exemplo (3)

24xy = note que uma funo do 2 grau incompleta, pois para cbxaxy ++= 2 faltam os termos bx e c, onde conclumos que: a = 4 b = 0 c = 0

y

x -0,5

-6,25

6

2 -3

125,6849

)2(449

4

75,043

43

)2(2)3(

2

+=

=

=

=

=

=

=

=

=

ay

abx

V

V CVB

-2,5 -0,75 1

6,125

5

34


Podemos traar o grfico usando o 1 mtodo (tabela) atribuindo valores ou o 2 mtodo (pontos principais e propriedades). Vamos usar o 2 mtodo. a) c = 0 => onde a parbola intercepta o eixo (y) b) Razes: onde intercepta o eixo (x)

acb 42 = = 004402 =

080

800

)4(200

2==

=

=

=a

bx

c) vrtice

016

0440

4

080

420

2

=

=

=

=

=

=

=

=

ay

abx

V

V

d) a = 4 > 0 : CVC logo 5.4. Funo Exponencial

uma relao do tipo cujo grfico depende do valor de (a). Se a > 1, temos grfico do tipo: Crescente. Se 0 < a< 1, temos grfico do tipo: Decrescente.

xay =

CVC

x

y

x

y

1

y

1

x

35


Exemplo (1) xy 2=

Usando o 1 mtodo (da tabela) atribumos valores para (x) e calculamos (y).

x y -2 0,25 25,04

121)2( 2

2 ==== y

-1 0,5 ( ) 5,02

1212 1

1 ==== y

0 1 1)2( 0 == y 1 2 2)2( 1 == y Crescente x => cresce y => cresce Exemplo (2)

x

y

=

21 :

Usando o mtodo da tabela temos: x y

-2 0,25 25,04

121)2( 2

2 ==== y

-1 0,5 ( ) 5,02

1212 1

1 ==== y

0 1 1)2( 0 == y 1 2 2)2( 1 == y Decrescente x => cresce y => decresce

1

0,5 0,25

1

-2 -1

2

1

2

4

0,5

1 -1 -2

36


5.5. Funo Logartmica

uma relao do tipo cujo grfico depende do valor de (a) se a > 1, obtemos grfico do tipo: Se 0 < a < 1, obtemos grfico do tipo: Exemplo: xxy log2log2 10 == usando o 1 mtodo (da tabela) atribuindo valores para x, temos: Usando (log) na calculadora cientfica.

401,0log222)1(21,0log22

0)0(21log2021210log21

01,01,0

110

=====

===

===

yy

yy

yx

xy alog=

crescente y

x 1

decrescente

y

x 1

1

0,01 0,1

10

-4

-2

2

37


So infinitas as relaes funes e para cada uma delas corresponde um grfico. Vejamos s mais uma. 5.6. Funes Trigonomtricas

Exemplo: )(10 xseny = ngulo Seno Pelo mtodo da tabela temos:

X Y 0 y = 10 sen 0 = 10 (0) = 0 90 y = 10 sen 90 = 10 (1) = 10 180 y = 10 sen 180 = 10 (0) = 0 270 y = 10 sen 270 = 10 (-1) = -10 360 y = 10 sen 360 = 10 (0) 0 450 y = 10 sen 450 = 10 (1) = 10 540 y = 10 sen 540 = 10 (0) = 0 630 y = 10 sen 630 = 10 (-1) = -10 720 y = 10 sen 720 = 10 (0) = 0

540 450

x

y

-10

10

360 720 630 0 270 180 90

39


6. Solues de Sistemas de Equaes

Resolver sistemas de equaes significa determinar os valores de (x, y) que atendem simultaneamente ao sistema, ou seja, se so comuns s funes. Graficamente significa determinar o ponto de interseco das curvas das funes colocadas no mesmo plano cartesiano. So inmeras as aplicaes deste campo da matemtica de pontos comuns como:

Equilbrio oferta-demanda Ponto de nivelamento custo-receita Ponto de encontro (cruzamento) de corpos em movimento Pontos de mesma velocidade, acelerao, inflao, etc.

So muitos os mtodos utilizados para a soluo de sistemas. Os bsicos so: Mtodo da adio Mtodo da substituio Mtodo da comparao

Exemplo (1) Resolva o sistema e represente no plano cartesiano. 2x - y = 6 - x + 3y = - 2 Resolvendo pelo mtodo da adio, multiplicamos a 2 equao por (2) para que, somando com a 1, possamos eliminar uma das variveis.

( )

=+=

22362

yxyx

=+//=//

462

62yx

yx 2

510105 === yyy

Substituindo o valor encontrado em uma das duas equaes acharemos x correspondente. Escolhendo a 1 temos:

42882

262622

6)2(262

===

==+

=

=

xxx

xxx

yx

Logo: a soluo do sistema (-4, -2) Para traar o grfico das duas funes no mesmo plano cartesiano podemos usar o 1 mtodo (tabela) ou 2 mtodo (pontos de interseco com os eixos) j visto. Veja: Usando o 2 mtodo, isolando (y), temos:

)1(626262 funoxyxyyx +===

)2(32

312323 funoxyxyyx ===+

y

x x

y2

y1

40


= 6b onde corta o eixo (y) para 1 funo

=32b onde corta o eixo (y) para 2 funo

)2,4( ponto comum para a 1 e 2 funo. Exemplo (2)

==

)2(22)1(42

yxyx

Resolvendo pelo mtodo da substituio, isolamos uma das variveis de uma das equaes e substitumos na outra.

=+==

224242

yxyxyx

Substituindo o (x) por 2y + 4 na 2 equao.

23663823284

2)42(2

=

====+

=+

yyyyyy

yy

Agora substitumos y = -2 em x = 2y + 4. Para determinar (x), teremos: x = 2 (-2)+4 = -4+4=0 logo (0, -2) a soluo do sistema(interseco das retas). Para traar o grfico, podemos isolar o (y) nas duas equaes e achar as razes (onde cada uma corta o eixo x)

=+==

=+==

222222

2214242

xyxyyx

xyxyyx

raizfunoabxba

raizfunoabxba

)2(12

)2(2;2

)1(4

21

)2(2;21

=

=

===

=

=

===

(0, -2) => ponto comum para a 1 e 2 funo

6

-4

1

2

-2/3 -2

Isolamos (x) da 1 equao e substitumos na 2

onde corta o eixo x

onde corta o eixo x

41


Exemplo (3) Determinar o preo de equilbrio e a quantidade de equilbrio para as seguintes funes de demanda e oferta.

+==

pSpD

28534

ou

=+=+==8228345534

xxyxxy

Pois

==

xpyD

D => demanda (procura, compra de bens e servios) S => oferta (venda de bens e servio) P => preo por unidade Resolvendo pelo mtodo da comparao, igualamos: D = S 34 5p = -8 +2p -5p -2p = -8 -34 -7p = -42 P = 6 substituindo em uma das equaes, temos: D = 34 5p D = 34 5 . 6 D = 34 30 D = 4 Logo, para o preo P = 6 teremos as quantidades de demanda e oferta D = S = 4 em equilbrio para a quantidade 4. logo (6, 4) soluo do sistema.

6

D

S

S, D

34

-8

4 P

y

x

1 f

1 4

-2

2 f

43


7. Razo - Proporo Regra de trs Porcentagens Mdias 7.1. Razo

uma relao do tipo quociente entre dois valores. L-se a para b. Exemplo (1) Num concurso concorreram para 50 vagas 4000 candidatos. Qual a relao candidatos vagas?

Resoluo: 1

8005

0004=

//////

==ba

vagacandidato

So 80 candidatos para dada vaga Exemplo (2) Um carro de marca (A) vende por ms 200 unidades e da marca (B) 40 unidades. Qual a razo entre (A) e (B).

Resoluo: 14

05002

=/////

=BA . A relao de 4 da marca (A) para 1 da marca (B) ou a marca (A) vende

4 vezes mais que a marca B. 7.2. Proporo

a igualdade entre duas razes. =dc

ba a est para b assim como c est para d.

Propriedade das propores: a . d = b . c 7.3. Nmeros e grandezas proporcionais simples e compostas.

7.3.1. Diretamente Proporcionais So diretamente proporcionais quando a razo de cada nmero da seqncia A (a1, a2, a3...) pela correspondente da seqncia B (b1, b2, b3...) derem origem a uma constante (K).

kba

ba

ba

==== ...3

3

2

2

1

1

No caso de grandezas vale a mesma relao, pois sero diretamente proporcionais se o aumento do valor de uma leva ao aumento proporcional do valor da outra e ento as razes de dois valores de uma igual razo dos dois valores correspondentes a eles na outra.

2

1

2

11221

2

2

1

1

bb

aaoubaba

ba

ba

===

Se colocarmos na mesma coluna grandezas de mesma natureza (unidade), ento esta montagem denominada de regra de trs simples. No esquema prtico, como so grandezas diretamente proporcionais, as setas tero mesmo sentido.

44


2

1

)(

aa

AGrandeza

2

1

)(

bb

BGrandeza

2

1

2

1

bb

aa

= ou 1221 baba =

Exemplo (1) Calcular x e y se a sucesso dos nmeros (20, x, y) so diretamente proporcionais aos nmeros da sucesso (4, 2, 1).

Resoluo: 124

20 yx== === 4042024

2420 xxx 10=x

== 120414

20 yy 5=y

Exemplo (2) Cinco metros de um tecido custam R$: 80,00. Quanto custam oito metros? Resoluo: Comprimento (m) preo (R$)

Comprimento(m) Preo (R$)

85

x

80

Setas no mesmo sentido por serem diretamente proporcionais. (quanto maior a compra em metros maior ser o preo)

00,128:$5

64080858085 Rxxx

x====

Exemplo (3) Se um pedreiro rebocar 20m2 de parede em 4 dias, quanto pode rebocar em 25 dias?

Dias Reboco (m2)

254

x

20

2125

45002520420

254 mxx

x====

Exemplo (4) Se a distncia no mapa, medido com a rgua, entre duas cidades de 10cm e a escala do mapa 1/100000, qual a distncia real entre elas?

===== kmcmccmxxcm

realocomprimentmapaocomprimentescala 10100000010100000110

1000001

)()(

7.3.2. Inversamente Proporcionais So inversamente proporcionais quanto razo de cada nmero da seqncia A (a1, a2, a3,...) pelo inverso de cada nmero correspondente da seqncia B(b1, b2, b3...) derem origem a uma constante (k) ou o produto de cada nmero da seqncia A (a1, a2, a3,...) pelo correspondente da seqncia B(b1, b2, b3...) derem origem a uma constante (k).

45


kbababaK

b

a

b

a

b

a ......111 332211

3

3

2

2

1

1 =======

No caso de grandezas, vale a mesma relao, pois sero inversamente proporcionais se o aumento do valor de uma leva a diminuio proporcional do valor da outra e ento as razes dos valores de uma pelo inverso da correspondente igual a razo da outra pela inversa da correspondente.

2

2

1

1

11b

a

b

a= ou 2211 baba =

Se colocarmos na mesma coluna grandezas de mesma natureza (unidade), ento esta montagem denominada de regra de trs simples. No esquema prtico, como so grandezas inversamente proporcionais, as setas tero sentidos contrrios.

2

1

)(

aa

AGrandeza

2

1

)(

bb

BGrandeza

Para igualar, invertemos a seta da grandeza (B) com seus valores fazendo com que as duas grandezas apontem para o mesmo sentido.

2

1

aa

1

2

2

1

1

2

bb

aa

bb

= ou 2211 baba =

Exemplo (1) Calcular x e y se a sucesso de nmeros (4, x, y) so inversamente proporcionais aos nmeros da sucesso (9, 12, 36). Resoluo:

136363694

31236

1294361294

===

==

=

==

yyy

xx

xyx

Exemplo (2) Trs torneiras nas mesmas condies enchem um tanque em 90 min. Quantas torneiras de mesma vazo que essas seriam necessrias para encher o mesmo tanque em 54 min?

Tempo(m) n torneias

5490

x3

46


Setas em sentido contrrio por se tratar de grandezas inversamente proporcionais, pois diminuindo o tempo teremos que aumentar o nmero de torneiras. Invertendo uma das setas para ficarem com mesmo sentido, temos:

Tempo(m) n torneias

5490

x3

)(539054354

90 torneirasxxx ===

7.3.3. Regra de trs compostas com grandezas diretas e inversamente proporcionais. Seguem as mesmas regras j vistas para as regras de trs simples com grandezas diretas e inversamente proporcionais. S que agora uma grandeza varia em dependncia com duas ou mais grandezas. Exemplo (1) Dez pessoas, trabalhando 5 dias, 6h por dia produzem 400 peas. Quantas pessoas trabalhando 7dias, 8h por dia produzem 500 peas? Resoluo: 1 Passo: Montamos a tabela com as grandezas do mesmo tipo em coluna

x

Pessoasn10

75

Diasn

86

Horasn

500400

Peasn

2 Passo: Colocamos uma seta na coluna da varivel sentido qualquer e depois comparamos esta coluna com cada uma das demais colocando seta no mesmo sentido se tratar de grandezas diretamente proporcionais e sentido contrrio se tratar de grandezas inversamente proporcionais, sem olhar para os nmeros da coluna. S pense no comportamento da idia da coluna.

x

Pessoasn10

75

Diasn

86

Horasn

500400

Peasn

Comentrio: Deve-se pensar que (mesmo que os nmeros da tabela no confirmem): Se aumentar o n de pessoas diminui o nmero de dias (setas contrrias). Se aumentar o n de pessoas diminui o nmero de horas (setas contrrias). Se aumentar o n de pessoas aumenta o nmero peas. 3 Passo: Para resolver fazemos todas as setas apontarem no mesmo sentido da coluna da varivel (x)

x10

57

68

500400

47


4 Passo: A razo da coluna da varivel igualada a razo do produto das demais colunas.

////////

=003650048710

xSimplificando

41124504510112

4511210

=== xxxx

(aproximadamente 4 pessoas)

7.3.4. Porcentagens uma razo onde o denominador 100. Esta forma de pensar sobre 100 muito utilizada no nosso quotidiano como taxa de impostos, taxa de juros, taxa previdncia, etc. Exemplo (1) 10% de minha produo de soja se perdeu por falta de chuva.

=10010%10 de cada 100 partes 10 foram perdidas.

Exemplo (2) 20% dos alunos tiraram nota superior a 8.

=10020%20 de cada 100 alunos ou sobre 100 alunos 20 obtiveram nota superior a 8.

7.3.4.1. Taxa de Porcentagem (i) Razo centesimal toda a razo com denominador igual a 100

Exemplo: ipercentualtaxaunitriataxacentesimalrazo === )%(2)(02,0)(100

2

== %202,0100

2 (l-se 2 por centro) e representamos i = 2% ou i=0,02 ou i=2/100.

7.3.4.2. Porcentagem Quando aplicamos uma taxa de porcentagem a um dado valor, o resultado obtido tambm recebe um nome especial: porcentagem.

P = Porcentagem i = Taxa de porcentagem p = Valor sobre o qual aplicamos uma taxa (valor principal) Exemplo (1) Quanto 4% de 750. Resoluo:

P = i . p

4

3

48


?750

04,0100

4%4

==

===

Pp

i

3075004,0 == piP Podemos tambm usar regra de trs simples. Veja:

%4%100

)( mporcentageTaxa

x

mPorcentage750

3010030007504100750

4100

==== xxxx

Exemplo (2) Quinze por cento do preo de um objeto R$: 800,00. Qual o preo desse objeto?

800?

15,010015%15

==

===

Pp

i

33,5333:$15,0

80015,0800 RpppiP ====

Usando regra de trs:

x

%100800%15

ou x

80010015

=

33,5333:$15

8000080010015 Rxxx ===

Exemplo (3) Ao pagar uma dvida no valor de R$: 1800, 00, tive que pagar R$ 130,00 de multa. De quantos por cento foi a multa? Resoluo:

00,1800

130?

==

=

Ppi

%2,7072,018001301800130 ===== iipiP

Ou regra de trs:

%2,7%1001301800

130%1001800

=

=

xx

x

49


7.4. Mdia

a obteno de um resultado nico partindo de uma seqncia de dados com a finalidade de obter uma informao classificatria ou para comparar com outros valores similares. 7.4.1. Mdia Aritmtica Simples Mdia aritmtica simples (XS) a razo entre a soma dos valores (x1, x2, x3, ...xn) e n (quantidade destes valores).

Exemplo: As notas nos (4) bimestres em matemtica de um aluno foram: 1 B = 3; 2 B = 5; 3 B = 6 e 4 B = 8. Qual a mdia aritmtica do ano?

5,54

8653=

+++=SX

7.4.2. Mdia Aritmtica Ponderada Mdia aritmtica ponderada (XP) a razo entre a soma do produto dos pesos ( nppp ,...21 ) pelos seus respectivos valores ),...,( 21 nxxx e a soma dos pesos.

Exemplo: As notas nos (4) bimestres em matemtica de um aluno foram 1 B = 3; 2 B = 5; 3 B = 6 e 4 B = 8. Qual a mdia aritmtica ponderada se os pesos dos bimestres foram: 1 B = 1; 2 B = 2; 3 B = 3; 4 B = 4

3,61063

432184635231

==+++

+++=PX

7.4.3. Mdia Geomtrica A mdia geomtrica de (n) nmeros reais positivos a raiz n-sima do produto entre esses nmeros, isto :

nnG xxxxX ...321 =

n

nnP ppp

xpxpxpX+++

++=

......

21

2211

nxxxxX nS

...321 +++=

50


Exemplo (1) A mdia geomtrica entre os nmeros 7, 13, 18, 35 dada por: 47,15573303518137 44 ===GX

Exemplo (2) Qual o retngulo de menor permetro com rea de 64 cm2?

64= ba A mdia geomtrica de ba fornece este valor: == 864GX o quadrado de lado 8 cujo permetro vale 32 cm.

51


8. Operaes com Expresses Algbricas e Polinomiais As expresses algbricas contm parte numrica e parte literal (letras) e so usadas na soluo de problemas e demonstraes de frmulas em todas as reas do conhecimento quantitativo. Polinmios: As expresses algbricas so denominadas de polinmios quando possurem s um tipo de varivel na forma dos exemplos a seguir:

x3 Monmio (um termo) + 23x Binmio (dois termos)

+ 122 2 xx Trinmio (trs termos) ++ 2325 23 xxx Polinmio (denominao genrica).

8.1. Adio e subtrao de expresses

S podemos operar (juntar) termos semelhantes, isto , que tem a mesma parte literal com mesmo expoente. Exemplo (1) )4323()342()3( zyxxyzyxzyxy ++=++ Exemplo (2)

58311)642545()6425()45( 33333 +=+++=++ yxxyxyyxyxxyxyzxyxxy 8.2. Multiplicao de Expresses Algbricas Polinomiais e Produtos Notveis.

Multiplicamos parte numrica com parte numrica e parte literal com literal. Exemplo (1)

xyyx 15)3()5( = Exemplo (2)

4734343)1()43( 2222222 +++++=++ yxxyxyxxxyxxyx Exemplo (3)

)2()222( 223 xxxx Podemos tambm usar o algoritmo em colunas. Obs. O (-2) e o (x2) multiplicam cada termo e os resultados so postos em colunas por semelhana para somarmos em seguida.

semelhantes

semelhantes

semelhantes

semelhantes

52


243

2

23

xxxx

8226 23 +++ xxx

2345 43 xxxx

82273 2345 ++ xxxxx

8.2.1. Produtos Notveis Denominamos de produtos notveis quando multiplicamos binmios iguais. Veja:

22222 2)()()(1 bababbaababababa ++=+++=++=+

22 2))(()()(2 babababababa +==

22)()(3 bababa =+ Desenvolva usando produtos notveis. Exemplo (1)

22222 25309)5(532)3()53( yxyxyyxxyx ++=++=+ Exemplo (2) Usando o 2 produto notvel

2222 44222)2( xxxxx =+= Exemplo (3) Usando o 3 produto notvel

9253)5()35)(35()53()53( 222 ==+=++ xxxxxx

a b b2 a2 2ab

a2- 2ab + b2 a b

a2 b2 a b a b

53


8.3. Diviso de expresses Algbricas e Polinomiais

Dividimos nmero por nmero e parte algbrica por parte algbrica de cada termo do numerador pelo termo do denominador. Exemplo (1)

xxxxxx

xxxx 33

421412 3

232 =

//////=

/////=

Exemplo (2)

yxxyx

yxyxx

yxyxyxxyx 2222

333

38

34

34

38

34

343)844( ++=++++

Exemplo (3)

)2()233( 23 xxxx Podemos tambm usar o algoritmo, neste caso, para a diviso de polinmios. Lembre:

CR

RCBABA +=

A = Dividendo B = Divisor C = Quociente R = Resto

2210

512

22512 +=

23

23

63233

xxxxx

////

1793

22 +

xx

x

xxxx

18929

2

2

+//+//

3471271

+///

///

xx

32 Podemos provar que: 32)2()1793(233 223 ++= xxxxxx Divide sempre 1 termo do dividendo pelo 1 do divisor e a resposta que d no quociente multiplica por cada termo do divisor colocando o resultado de baixo do dividendo com sinal contrrio em

A resposta da diviso 1793 2 + xx com resto 32

54


colunas semelhantes para somar e retornar ao mesmo procedimento podendo sobrar no final resto diferente de zero. 8.4. Fatorao e Simplificao

Sempre que for possvel fatorar e simplificar para tornar mais simples uma expresso numrica ou algbrica devemos faz-lo com os seguintes procedimentos.

Colocando em evidncia o que comum a cada termo (fatorao) Cancelando fatores do numerador com fatores do denominador da frao que sejam

semelhantes (simplificao) Dividindo numerador e denominador por um mesmo valor (simplificao) Juntando (adio e subtrao) termos semelhantes (fatorao)

Fatore e ou simplifique as expresses a seguir sempre que for possvel. Exemplo (1)

1) Colocando em evidncia (3xy) no numerador por serem comuns a cada termo e (y) do denominador por ser comum a cada termo.

)1()2(3

2

xyyxy

2) Dividimos cada termo dado inicialmente pela parte posta em evidncia. Vejamos.

236

33 2

=//////=

///// /

yxyxy

yxyx

Veja denominador

122

==/

/yyx

yxy

3) Simplificamos (y) (parte comum em evidncia do numerador e denominador) e obtemos a resposta

)1()2(3

2 /

/xy

yyx

1)2(3

2

xyx

Exemplo (2)

yyxxyxy

2

2 63

55


9116 2a (Fatoramos) lembrando o produto notvel 22)()( bababa =+ . s extrair a

raiz para obter os valores anteriores.

31

91

416 2

=

= aa

Logo:

+=

314

314

9116 2 aaa

Exemplo (3)

+ 1682 xx vem de um produto notvel do tipo: bababababa +== 2)()()( 22 . Para achar a e b s extrair a raiz de x2 e 16.

xx =2 416 =

Logo: )4()4(1682 =+ xxxx Exemplo (4)

+

96

92

2

xxx Fatorando numerador e denominador com os produtos notveis temos:

)3()3(92 += xxx

)3()3(962 =+ xxxx

xx =2 39 =

Logo:

33

)3)(3()3)(3(

969

2

2

+

=+

=+

xx

xxxx

xxx

Exemplo (5) Cuidado nas simplificaes numricas.

Nas adies e subtraes, todos os termos do numerador devem ser simplificados com o denominador, pois equivale a pr em evidencia. Veja:

yxyx 845

4020+=

+ pois yxyxyx 84)2(45

)2(20+=+=

+

Na multiplicao e diviso, um fator do numerador com um do denominador. Veja:

xyyxyx 1601404

54020

=

=/

56


yx

yxyx

315

12420)124(20

=

= pois:

)31(5

)31(420

yy =

57


9. Trigonometria e Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo A trigonometria bsica do tringulo uma das partes da matemtica mais antiga e aplicada pelos povos antigos em suas construes de pirmides, clculos de distncias, alturas, topografia, etc. Estudaremos aqui s as relaes mtricas e trigonomtricas do triangulo retngulo. 9.1. Relaes Trigonomtricas

(Relaes lados - ngulos)

tggenteseno

senosenoalfangulo

tancoscos

)(

cos

1cos22

sentg

sen

=

=+

casen =

a cateto oposto ao ngulo )( hipotenusac

cb

=cos

b cateto adjacente ao ngulo )( hipotenusac

batg =

a cateto oposto ao ngulo )( b cateto adjacente ao ngulo )(

Exemplo: Calcular o seno, cosseno e tangente do ngulo ( ) e comprovar as demais relaes.

a c

b

3 5

4

58


75,043

8,054cos

6,053

==

==

==

tg

sen

1cos22 =+ sen

12516

2591

54

53 22

=+=

+

cossentg =

75,043

45

53

5453

43

==/

/

==

O ngulo vale 36,86989765, usando sen-1 (0,6) na calculadora podemos obter este valor. sen 36,86989765= 0,6 cos 36,86989765=0,8 tg 36,86989765=0,75 9.2. Relaes Mtricas

Pitgoras A soma dos quadrados dos catetos (a2 + b2) igual ao quadrado da hipotenusa (c2)

222 cba =+ Relaes secundrias

hcbanmcnmh

ncbmca

cba

=+=

=

=

=

=+

2

2

2

222

h

n

m

b

a

c

59


Exemplo: Conferir as relaes mtricas do tringulo retngulo.

25169543 222 =+=+

51654

5953

22

22

===

===

nnncb

mmmca

==+

=+

5525

516

59

cnm

4,25

12543

516

592 ====== nmhnmh

12124,2543 === hcba

m

n

b = 4

h a = 3 c = 5

61


10. Medidas e Grandezas Fsicas Propriedades e Operaes 10.1. Grandezas Fsicas

Grandezas fsicas (fsicas, qumicas, biolgicas, etc) so todas as grandezas que podemos medir ou contar e que para tal tem instrumentos de medio e contagem e um significado fsico padro tambm denominado de unidade. 10.2. Fenmenos Fsicos

O homem observa os fenmenos para descobrir as leis que os regem. As descobertas cientficas se traduzem em aplicaes tecnolgicas como o avio, o carro, o telefone celular, etc. 10.3. Medio

A medio a operao pela qual associamos um nmero a uma grandeza fsica. Ex: massa de uma poro de ouro, m = 3 kg, medida com a balana. 10.4. Sistemas de Unidades

Sistema Internacional (SI) grandezas fundamentais da fsica. Uma unidade fsica um padro de comparao. O sistema internacional de medidas (SI) tambm denominado MKS (metro-kilograma segundo) que constituem as grandezas fundamentais da mecnica. Existem, ainda, dois outros sistemas em uso, veja a seguir.

Unidades e subunidades

1 tonelada = 1t = 1.000 kg tempo: 1h = 60 min = 3.600s Exemplos: 1 km = 1.000 m 1 kg = 1.000 g 8 h = 28.800 s 5,80 m = 580 cm

62


600 g = 0,6 kg 1 mm = 0,001 m 1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000

2 km2 = 2.000.000 m2 500 = 0,5 m3

sm

sm

hkm 10

600.3600.336 ==

10.5. Fatores que interferem na medio

impossvel medir uma grandeza fsica com preciso absoluta devido a fatores como incompetncia e desateno do medidor, imperfeies do aparelho, grau de preciso do instrumento, etc. Fenmenos como dilataes, temperatura, umidade do ar e outros interferem no valor da medida. 10.6. Preciso de um Instrumento de Medida

A preciso de um instrumento de medida corresponde menor diviso do instrumento. Ex.: uma rgua graduada em milmetros tem preciso de milmetros e uma balana graduada em dg (decigrama) tem preciso de decigrama. 10.7. Algarismo significativo

todo o algarismo relacionado com a medio e o instrumento utilizado. Os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso, isto , que vai alm da menor diviso oferecida pelo instrumento, so chamados de algarismos significativos. Exemplo: Em uma rgua cuja menor diviso o milmetro, deve-se obter medidas at dcimos

de mm. Assim, por exemplo, ao se medir o comprimento de um lpis com esta rgua podemos obter valores como:

duvidoso em dcimos de mm (vai alm do instrumento) preciso do instrumento em (mm)

10.8. Arredondamentos

Os valores das grandezas so arredondados para manter o nmero de algarismos significativos da medio. Assim, o procedimento mais simples utilizado o seguinte: se o algarismo imediatamente direita do ltimo algarismo a ser conservado for inferior a 5, suprimimos o algarismo e todos os subseqentes a ele, e o anterior fica como est; se for igual ou superior a 5, o anterior aumentado de uma unidade.

15,32 cm

63


Ex.: se desejamos uma preciso de duas casas decimais, fazemos: 10.8.1. Operaes com Algarismos Significativos 10.8.1.1. Adio e Subtrao O resultado dever ter o nmero de casas decimais da parcela que menos os tiver: Exemplos: a) b) c) 10.8.1.2. Multiplicao e Diviso: O resultado dever ter o nmero de algarismos significativos do fator que menos os tiver. Exemplos: a)

2

.2

2

.2.4

49443,492,342,15 cmcmcmcmsignsignsignif

///=

b)

mmmmsignsignsignif .3.2

2

.4

82,15975681,141,2378,4 /=

10.9. Notao Cientfica

Notao cientfica de uma grandeza fsica escrever este valor num produto de dois fatores, onde o 1 um nmero situado entre 1 e 10 e o 2 uma potncia de 10. Ex.: 0,0003s = 3,0 . 10-4s.

20,345 cm = 20,35 cm. 20,3449 cm = 20, 34 cm.

7,49 kg 2 casas 3,2 kg 1 casa 4,29 kg 4,3 kg 1 casa

8,389 m 3 casas + 0,40 m 2 casas 8,789 m 8,79 m 2 casas

125,12 cm 2 casas + 40,3 cm 1 casa 165,42 165,4 cm 1 casa

64


1231m = 1,231 . 103m. 0,0021g = 2,1 . 10-3g. carga eltrica elementar 1,6 . 10-19 coucomb Ano-luz 9,46 . 1015 metros. N de Avogadro 6,02 . 1023 Massa da Terra 5,983 . 1024 quilogramas. Operaes:

Adio: 2107 + 23106 = 2107 + 2,3107 = 4,3107 Subtrao: 4108 4107 = 4108 0,4108 = 3,6108 Multiplicao: (2.103).(4.106)=8.109

Diviso: 437

37 102102104102104 =

=

10.10. Ordem de grandeza.

a potncia de dez mais prxima do valor da medida. Para facilitar a obteno da ordem de grandeza de um nmero adotamos os seguintes passos: 1 passo: escrevemos o nmero em notao cientifica. 2 passo: se o nmero que multiplica a potncia de dez for igual ou superior a 5,5, isto gera 101 que vai se juntar potncia j existente. Caso for inferior a 5,5, gera 100 que no vai alterar a potncia anterior. Ex.: 822 8,22 102 101 102 103 110 1,10 102 100 102 102 2,5 104 100 106 106 5,8 106 101 106 107 0,0055 5,5 10-3 101 10-3 10-2 10.11. Grandezas Fsicas

toda a grandeza que podemos medir. 10.11.1. Grandezas Escalares so as que ficam bem definidas quando expressas por: um nmero um significado fsico (unidade) Ex.: 10.11.2. Grandezas Vetoriais so as que ficam bem definidas quando expressas por: um nmero um significado fsico (unidade)

3kg, 2 s significado fsico nmero

65


uma orientao (direo e sentido que dado por uma flecha que denominamos de vetor.) Ex.:

3 nmero (intensidade) N Newton (unidade de fora) direo: horizontal sentido: para direita 10.11.2.1. Operaes com grandezas vetoriais 10.11.2.1.1. Adio

21 VVS

+= ou 21 VVR

+= Seja a soma dos vetores 1V

e 2V

Vejamos trs mtodos para determinar o vetor resultante. 10.11.2.1.1.1. Regra da poligonal Os vetores so postos um aps o outro.

08,63712916

120cos34234

cos222

212

22

1

=++=

+=

+=

R

R

VVVVR

66


10.11.2.1.1.2. Regra do paralelogramo Os vetores tm a mesma origem.

08,660cos34234

cos222

212

22

1

=++=

++=

RR

VVVVR

10.11.2.1.1.3. Regra da decomposio cartesiana

V2x = V2 cos 60 = 3 . 0,5 = 1,5 V2y = V2 sen 60 = 3 . 0,866 = 2,598 Note que: V2 = 3 foi projetado sobre o eixo x e sobre o eixo y, j o vetor V1 = 4 j est sobre o eixo ou

seja, j se encontra projetado onde: V1x = V1 = 4 (sobre o eixo x) V1y = 0 (sobre o eixo y) Logo:

= 60

67


08,69996,36

7496,625,30

)598,2()5,5( 22

22

=

+=

+=

+=

R

R

R

RRR yx

10.11.2.1.2. Subtrao ou Diferena

21 VVD

= Procede-se como na adio, bastando inverter o vetor. Veja:

10.11.2.1.2.1. Regra da poligonal

61,3131225

60cos34234

cos222

212

22

1

==

+=

+=

D

D

VVVVD

10.11.2.1.2.2. Regra do paralelogramo

61,3

)5,0(34234

120cos222

212

22

1

=

++=

++=

DD

VVVVD

ou

Rx = V2x + V1 = 1,5 + 4 = 5,5 resultante sobre o eixo x Ry = V2y = 2,598

resultante sobre o eixo y

68


61,3

5,034234

60cos222

212

22

1

+=

+=

DD

VVVVD

10.11.2.1.2.3. Regra da Decomposio Cartesiana

V2x = V2 cos 60 = 3.0,5 = 1,5 V2y = V2 sen 60 = 3.0,866 = 2,598 Rx = V1 + V2y = 4 1,5 = 2,5 Ry = V2y = 2,598

61,39996,12

7496,625,6

22

=

+=

+=

DD

D

RRD yx

Conjuntos NumricosConjunto dos Inteiros Relativos Negativos e PositivosConjunto dos Reais

Operaes Fundamentais no Conjunto dos Nmeros ReaisSinais Resultantes nas OperaesRegra dos Sinais nas Operaes de Adio e SubtraoRegra dos Sinais nas Operaes de Multiplicao e DivisoPropriedades Bsicas para Realizar Operaes no Conjunto dos Reais.

Operaes e Suas InversasRegra das Operaes Adio e SubtraoRegra das Operaes Multiplicao e DivisoRegra das operaes Potenciao Radiciao - Logaritmao

Prioridades nas OperaesRelaes e FunesPlano CartesianoFuno do 1 GrauFuno do 2 grau ou quadrticaFuno ExponencialFuno LogartmicaFunes Trigonomtricas

Solues de Sistemas de EquaesRazo - Proporo Regra de trs Porcentagens MdiasRazoProporoNmeros e grandezas proporcionais simples e compostas.Diretamente ProporcionaisInversamente ProporcionaisRegra de trs compostas com grandezas diretas e inversamente proporcionais.PorcentagensTaxa de Porcentagem (i)Porcentagem

MdiaMdia Aritmtica SimplesMdia Aritmtica PonderadaMdia Geomtrica

Operaes com Expresses Algbricas e PolinomiaisAdio e subtrao de expressesMultiplicao de Expresses Algbricas Polinomiais e Produtos Notveis.Produtos Notveis

Diviso de expresses Algbricas e PolinomiaisFatorao e Simplificao

Trigonometria e Relaes Mtricas no Tringulo RetnguloRelaes TrigonomtricasRelaes Mtricas

Medidas e Grandezas Fsicas Propriedades e OperaesGrandezas FsicasFenmenos FsicosMedioSistemas de UnidadesFatores que interferem na medioPreciso de um Instrumento de MedidaAlgarismo significativoArredondamentosOperaes com Algarismos SignificativosAdio e SubtraoMultiplicao e Diviso:

Notao CientficaOrdem de grandeza.Grandezas FsicasGrandezas EscalaresGrandezas VetoriaisOperaes com grandezas vetoriaisAdioRegra da poligonalRegra do paralelogramoRegra da decomposio cartesianaRegra da poligonalRegra do paralelogramoRegra da Decomposio Cartesiana

Matematica Basica

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