Matematica basica

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  1. 1. MATEMTICA BASICA Jos Daro Snchez Hernndez Bogot -Colombia. julio- 2009 [email protected] [email protected] [email protected] Algunos de mis apreciados visitantes me proponan un material elemental dirigido a estudiantes un poco ms nefitos, pero conservando el espritu inicial que me he propuesto desde la iniciacin de mi trabajo en el ciberespacio. Es sta la razn para colocar un cursillo que sea como una invitacin al aprendizaje de la matemtica avanzada en el campo virtual. CONTENIDO 1. Fundamentos de Lgica............................................................. 2 2. Conjuntos................................................................................. 8 2.1 Clases de conjuntos........................................................ 9 2.2 Proposiones condicionales y cuantificadores..... 12 3. Mtodos de una demostracin................................................... 16 4. Parejas ordenadas y producto cartesiano................................... 20 5. Relaciones y funciones.............................................................. 23 6. Clases de funciones................................................................... 27 6.3 Funcin inversa............................................................... 28 6.6 Algunas propiedades de las funciones............................ 29 7. Leyes de composicin interna (operaciones)............................. 32 7.2 Clases de leyes de composicin...................................... 34 8. Concepto de Grupo.................................................................. 37 9. Los nmeros reales.................................................................. 40 9.3 Mtodos geomtricos y expansin decimal..................... 42 9.4 Propiedades algebricas.................................................. 42 9.5 Propiedades de orden..................................................... 46 9.6 Propiedades de completitud............................................ 49 10. Los nmeros naturales........................................................... 52 11. Los nmeros enteros.............................................................. 54 12. Nmeros racionales................................................................ 57
  2. 2. J. Daro Snchez H. MATEMTICA BASICA 2 12.6 Construccin de los elementos racionales.................... 58 13. Acotacin. Terminacin. Extremacin..................................... 61 13.5 Principio de buena ordenacin...................................... 64 13.6 Divisibilidad.................................................................. 66 13.7 El algoritmo de Euclides................................................ 69 14. Teorema fundamental de la aritmtica................................... 73 15. Congruencias......................................................................... 75 16. Clases Residuales.................................................................. 79 17. Nmeros complejos............................................................... 83 17.2 Valor absoluto de un nmero complejo........................ 85 17.3 Imposibilidad de ordenar los nmeros complejos........ 88 17.4 Exponenciales complejas.............................................. 89 17.5 Argumento de un nmero complejo............................. 90 17.6 Potencias enteras y races de nmeros complejos....... 92 17.7 Logaritmos complejos................................................... 92 17.8 Potencias complejas...................................................... 93 Bibliografia...................................................................................... 97 1 FUNDAMENTOS DE LGICA. 1.1 Los vocablos y son fundamentales en el estudio deverdadero falso la matemtica, se consideran completamente conocidos y se aceptan sin definir, es decir se admiten intuitivamente como ideas iniciales y se notan ,Z J 1.2 Las oraciones en las cuales se pueden establecer uno de los vocablos verdadero o falso se denominan o afirmaciones. Sonproposiciones frecuentemente notadas por letras minsculas : ; < = EJEMPLOS. Las frases: Cmo estas?, Cul es tu nombre?, que la suerte te acompae; no son proposiciones Bolivar es un hombre muy conocido, Bogot es la capital de Bolivia, Venezuela es la patria del Libertador; son proposiciones. Toda proposicin suele ir acompaada de una tabla
  3. 3. J. Daro Snchez H. MATEMTICA BASICA 3 : Z J llamada tabla de verdad y que indica las posibilidades de que la proposicin sea verdadera o falsa: 1.3 Negar una proposicin es el procedimiento, mediante el cual una proposicin que es verdadera se convierte en falsa y recprocamente si es falsa se convierta en verdadera. Se usa en estos casos para la proposicin y para su negacin: c: : c: Z J J Z 1.4 . Una propiedad fundamental de lasPROPOSICIONES COMPUESTAS proposiciones se encuentra en el hecho de poderlas componer para obtener nuevas las cuales son nuevamente proposicionesoraciones llamadas proposiciones compuestas y estan caracterizadas por tablas llamadas tradicionalmente .tablas de verdad 1.4.1 : Dadas dos proposiciones y la proposicinCONJUNCIN : ; compuesta ( y ) es llamada y est definida por la: ; : ; conjuncin siguiente tabla : ; : ; Z Z Z Z J J J Z J J J J es decir su tabla depende estrechamente de los valores de verdad de las proposiciones componentes. EJEMPLO. Hoy es lunes y estamos a 28 de frebrero de 1936. Esta es una conjuncin y es una proposicin falsa por que estar a 28 de febrero de 1936 es una proposicin falsa. 1.4.2. : Sean y dos proposiciones, la proposicinDISYUNCIN : ; : ; (lese o ) es una proposicin compuesta llamada y est: ; disyuncin definida mediante la tabla
  4. 4. J. Daro Snchez H. MATEMTICA BASICA 4 : ; : ; Z Z Z Z J Z J Z Z J J J EJEMPLO. Colombia es una nacin de Amrica del sur o estamos a 9 de abril de 1948. Esta proposicin es una disyuncin la cual es claramente una proposicin verdadera, por que es verdad que Colombia es una nacin de Amrica del sur. Se sigue entonces que la veracidad o falsedad de la disyuncin o de la conjuncin depende de la verdad o falsedad de las proposiciones componentes. Hay una variacin de la disyuncin que se presenta en proposiones como "el papa Juan Pablo II est vivo o el papa Juan Pablo II est muerto" esta es llamada el o y est definida por la siguienteo exclusivo el aut tabla : ; : ; Z Z J Z J Z J Z Z J J J 1.4.3 : Sean y dos proposiciones, la proposicin esIMPLICACIN : ; : ; llamada , la cual se lee de una de las formas siguientesimplicacin implica si entonces slo si es una condicin suficiente para es una condicin necesaria para : ; : ; : ; : ; ; : y es una proposicin compuesta definida por la tabla
  5. 5. J. Daro Snchez H. MATEMTICA BASICA 5 : ; : ; Z Z Z Z J J J Z Z J J Z EJEMPLO. Si no me da pereza, entonces estudio geometra Es de notar que la mayoria de los enunciados de la matemtica estn en forma de implicacin, de donde su importancia. EJEMPLO. Si y son las longitudes de los lados de un tringulo+ , - rectngulo entonces .- + ,# # # 1.4.4 : Sean y dos proposiciones, la proposicin esEQUIVALENCIA : ; : ; llamada la cual se lee de una de las siguientes manerasequivalencia, es equivalente a si y slo si es una condicin necesaria y suficiente para : ; : ; : ; es una propsicin compuesta definida mediante la siguiente tabla : ; : ; Z Z Z Z J J J Z J J J Z EJEMPLO. Sean y nmeros enteros entonces se tiene si y slo si+ , + , , + es un nmero natural. Los smbolos , , , , , son referidos como los-c conectivos proposicionales. En adelante, adems de , usaremos como smbolos: ; < = : : : " # $ para designar proposiciones y nos referiremos a ellos como los smbolos proposicionales. Tenemos tantos smbolos proposicionales como nmeros naturales, disponemos de una buena cantidad de ellos, suficientes para representar cualquier proposicin que tengamos en la memoria; seguramente una persona no alcanza en toda su vida a fijar en su mente ms proposiciones que nmeros. As, podemos considerar que cada smbolo proposional representa una nica proposicin simple.
  6. 6. J. Daro Snchez H. MATEMTICA BASICA 6 A cualquier combinacin de smbolos proposicionales, se le determina frmula, y aquellas para las cuales se les puede construir su tabla de verdad son frecuentemente llamadas .frmulas bien formadas a b0,0 Las reglas que gobiernan las frmulas bien formadas son: a b" Los smbolos proposicionales son frmulas bien formadas a b a b# cSi es una frmula bien formada, entonces su negacin es una! ! frmula bien formada. a b a b$ Si y son frmulas bien formadas entonces tambin lo son! " ! " a b a b a b a b! " ! " ! " ! " y a b% Una expresin es una frmula bien formada si y slo si el que lo sea se sigue de aplicar y .a b a b a b" # $ La regla significa que las nicas frmulas bien formadas son las que sea b% pueden construir combinando , un nmero finito de veces.a b a b a b" # $ Como una frmula bien formada se ha obtenido a partir de finitos smbolos proposicionales y por aplicacin de y finitas veces,a b a b a b" # $ siempre es posible construir su tabla de verdad: se dan a los smbolos proposicionales que aparecen en la frmula bien formada los valores Z J combinndolos adecuadamente para obtener todos los casos posibles y luego se van construyendo paso a paso las tablas de verdad de las frmulas bien formadas que se han ido formando hasta llegar a la de la frmula bien formada dada inicialmente (Ntese que si aparecen 8 smbolos proposicionales en una frmula bien formada, su tabla de verdad tendr filas, correspondientes a las formas posibles de# #8 8 combinar y )Z J Unos ejemplos aclararn lo dicho: Construir la tabla de verdad de ,: c: : ; c: : : ; ;, y :a b : c: : c: : ; : ; c: : ; c: Z J Z Z Z Z J J J Z Z Z J Z J J J Z Z Z Z J J J Z J a b a b : ; : ; : : ; : : ; ; Z Z Z Z Z Z J J J Z J Z Z J Z J J Z J Z a b a b
  7. 7. J. Daro Snchez H. MATEMTICA BASICA 7 Observando las tablas de verdad anteriores, vemos que existen frmulas bien formadas como , , tales que en s