Matematica basica

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  • Apostila de Matemtica Bsica Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorCampus Sertozinho

    APOSTILA MATEMTICA BSICA

    Este material serve como introduo aos conceitos matemticos,

    adequando-se s necessidades dos alunos do CEFET/ SP, UNED de

    Sertozinho.

    Nele esto contedos dos nveis bsico e intermedirio da

    matemtica, dos ensinos fundamental e mdio. Os pontos, aqui

    abordados, fazem parte de um grupo de requisitos necessrios ascenso

    nos cursos oferecidos pela unidade.

    Este material tem por objetivo oferecer subsdios e conhecimento

    bsicos aos alunos que deles necessitam, a modo de proporcionar aos

    discentes a base matemtica para prosseguir em seus estudos.

    O material contm as definies matemticas de uma maneira

    clara e objetiva, exemplos e uma srie de exerccios de fixao.

    1

    Aluno: _____________________________________________________

    Curso: _____________________________________ Turma: ________

  • Apostila de Matemtica Bsica Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorCampus Sertozinho

    NDICE GERAL

    I. Conjuntos numricos 2

    II. As quatro operaes fundamentais (nmeros decimais) e

    Expresses 2

    III. Fraes Ordinrias 9

    IV. Potncias 13

    V. Operaes algbricas 20

    VI. Equaes do 1 grau 23

    VII. Equaes do 2 grau 28

    VIII. Inequaes do 1 grau 30

    IX. Proporcionalidade 31

    X. Juros 38XI. Relaes Trigonomtricas 41

    XII. Plano Cartesiano (seu produto, relaes e funes) 44

    XIII. Noes de Geometria Plana e Espacial 48

    2

  • Apostila de Matemtica Bsica Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorCampus Sertozinho

    I - CONJUNTOS NUMRICOS

    Esta figura representa a classe dos nmeros.

    Veja a seguir:

    N Naturais

    So os nmeros positivos inclusive o zero, que representem uma

    contagem inteira.

    N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

    No h nmeros naturais negativos.

    Z Inteiros

    So os nmeros naturais e seus opostos negativos.

    Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

    No h nmeros inteiros em frao ou decimal.

    Q Racionais

    So todos os nmeros na forma decimal exata, peridica

    ou na forma de frao.

    Q =

    ,47,

    21,

    31,0,

    21,

    34,

    25,

    617- ,

    Exemplos:

    Nmeros decimais na forma exata: {1,2 ; 3,654 ; 0,00005 ; 105,27272};

    Nmeros decimais na forma peridica:

    23,10232323,1020,30222,33,2333333,2 ===

    I Irracionais

    So todas as decimais no exatas e no peridicas.

    I=

    ,6

    ,,3,62- , pipi

    R Reais

    a unio dos conjuntos numricos citados acima. Portanto, todo

    nmero, seja N, Z, Q ou I um nmero R (real).

    As razes em que o radicando seja negativo e o ndice par no so

    reais.

    II - AS QUATRO OPERAES FUNDAMENTAIS (NMEROS

    DECIMAIS)

    1) Adio

    3

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    Na adio os nmeros so chamados de parcelas, sendo a operao

    aditiva, e o resultado a soma.

    2 + 2 = 4

    Parcelas adio Soma

    Exemplos:

    4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049

    +

    429,13,232,4

    parcelas

    8,049 } soma

    41

    + 32

    + 51

    = 60

    124015 ++ =

    6067

    1,1166

    ou

    41

    + 32

    + 51

    = 9

    8,1625,2 ++ =

    905,10

    1,1166

    2) Subtrao

    Na subtrao os nmeros so chamados de subtraendo, sendo a

    operao a subtrao, e o resultado o minuendo.

    Subtrao

    3 2 = 1

    Minuendo Subtraendo diferena

    Exemplos: As regras para a subtrao so as mesmas da adio,

    portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a

    operao. Numa subtrao do tipo 4-7 temos que o minuendo

    menor que o subtraendo; sendo assim a diferena ser negativa e

    igual a -3.

    3) Multiplicao

    Na multiplicao os nmeros so chamados de fatores, sendo a

    operao multiplicativa, e o resultado o produto.

    22 * 3 = 66

    Fatores Multiplicao Produto

    Pode-se representar a multiplicao por: *, x ou .

    Exemplo:

    4

    Observe que as parcelas so dispostas de modo que se tenha

    vrgula sobre vrgula.

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    7,32 * 12,5 = 91,500

    } produto 500,91 732

    1464 3660

    fatores 12,5 *

    32,7

    +

    +

    21

    * 32

    * 18

    = 6

    16 =

    38

    2,6

    Na multiplicao de fraes multiplica-se divisor com divisor, dividendo

    com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo

    pelo de baixo).

    4) Diviso

    Na diviso, os nmeros so chamados de dividendo( a parte que est

    sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte est

    sendo dividida), a operao a diviso, e o resultado o quociente.

    Diviso

    7 / 4 = 1,75

    Dividendo (D) Divisor (d) Quociente (q)

    Exemplo:

    Existe na diviso, o que se pode chamar de resto. Isto , quando uma

    diviso no exata ir sempre sobrar um determinado valor, veja no

    exemplo a seguir:

    843 / 5 = 168

    34

    43

    3 resto (r)

    Se o resto for igual a zero a diviso chamada exata.

    5) Casos particulares da multiplicao e divisoMultiplicao

    N * 1 = N

    N * 0 = 0

    Diviso

    N / 1 = N

    N / N = 1

    0 / N = 0 (N 0 )

    N / 0 = No existe!!!!

    6) Exerccios

    a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =

    5

    Na multiplicao comea-se operar da esquerda para a direita.Quando a multiplicao envolver

    nmeros decimais (como no exemplo ao lado), soma-se a quantidade de casas aps a

    vrgula.

    Para verificar se o resultado verdadeiro basta substituir os valores

    na seguinte frmula:D = d * q + r

    843 = 5 * 168 + 3

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    b) 4,03 + 200 + 51,2 =

    c) 32,4 21,3 =

    d) 48 33,45 =

    e) 2,1 * 3,2 =

    f) 48,2 * 0,031 =

    g) 3,21 * 2,003 =

    h) 8,4708 / 3,62 =

    i) 682,29 / 0,513 =

    j) 2803,5 / 4450 =

    k) (FUVEST) 0,22,33,0*2,0

    =

    l) 0,041 * 21,32 * 401,05

    m) 0,0281 / 0,432

    n) 1,54,82 * 31,2

    o) 285,04,32 * 021,0

    7) Valor absoluto ou Mdulo

    Representa a distncia de um nmero at o zero (ou origem). Sendo

    assim, o mdulo, por representar distncia, sempre positivo e

    representado por | |.

    Exemplos:

    7 7

    0 0

    2 2

    9 9

    =

    =

    =

    =

    8) Soma e subtrao algbrica

    Sinais iguais: Somam-se os valores absolutos e d-se o sinal

    comum.

    Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e d-se o sinal

    do maior.

    Exemplos:

    a) 2 + 4 = 6

    b) 2 4 = 6

    c) 5 3 = 2

    d) 5 + 3 = 2

    e) 2 + 3 1 2 = 5 3 = 2

    f) 1 3 + 2 4 + 21 5 32 = 23 45 = 22

    9) Multiplicao e diviso algbrica

    Sinais iguais resposta positiva

    Sinais diferentes resposta negativa

    Isto :

    6

    )()(*)()()(*)()()(*)()()(*)(

    =+

    =+

    +=

    +=++

    )()(:)()()(:)()()(:)()()(:)(

    =+

    =+

    +=

    +=++

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    Exemplos:

    a) 12 * 3 = 36

    b) (-12) * (-3) = 36

    c) 2 * (-2) = -4

    d) (-2) * 3 = -6

    e)24

    = 2

    f) )5(20

    = -4

    g) )5()20(

    = 4

    h)5

    )20(= -4

    10) Expresses numricas

    Para resolver expresses numricas realizamos primeiro as operaes

    de multiplicao e diviso, na ordem em que estas estiverem

    indicadas, e depois adies e subtraes. Em expresses que

    aparecem sinais de reunio: ( ): parnteses, [ ]: colchetes e { }:

    chaves, efetuam-se as operaes eliminando-se, na ordem:

    parnteses, colchetes e chaves, isto , dos sinais interiores para os

    exteriores. Quando frente do sinal da reunio eliminado estiver o

    sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.

    Exemplo:

    a) 2 + [ 2 ( 3 + 2 ) 1 ] = 2 + [ 2 5 1 ] = 2 + [ 2 6 ]

    b) 2 + { 3 [ 1 + ( 2 5 + 4 ) ] + 8 } = 11

    c) { 2 [ 3 * 4 : 2 2 ( 3 1 ) ] } + 1 = { 2 [ 12 : 2 2 *

    2 ] } + 1 = { 2 [ 6 4] } + 1

    11) Nmeros Primos

    So aqueles nmeros divisveis somente por eles mesmos e por 1.

    Obs.: O nmero 1, por definio, no primo.

    Mtodo para obteno de nmeros primos

    Faremos isso atravs de um exemplo:

    Encontre os nmeros primos compreendidos entre 1 e 50.

    1 Passo: Enumera-los

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    7

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    11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 50

    2 Passo: Encontrar a raiz quadrada do maior nmero quadrado dentre

    os indicados, ou seja, encontrar o maior nmero que se conhea a raiz

    quadrada exata.

    No caso, 749 = .

    3 Passo: Extrair da lista acima os nmeros mltiplos dos nmeros {2, 3,

    4, 5, 6, 7}, nesta ordem, onde o 7 provm do 2 passo.

    4 Passo: Os nmeros que sobraram so os nmeros primos procurados:

    {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.

    Obs.: O nmero 2 o nico nmero primo