Apostila de Matemtica Bsica Prof. Msc. Luiz Carlos Leal JuniorCampus Sertozinho

APOSTILA MATEMTICA BSICA

Este material serve como introduo aos conceitos matemticos,

adequando-se s necessidades dos alunos do CEFET/ SP, UNED de

Sertozinho.

Nele esto contedos dos nveis bsico e intermedirio da

matemtica, dos ensinos fundamental e mdio. Os pontos, aqui

abordados, fazem parte de um grupo de requisitos necessrios ascenso

nos cursos oferecidos pela unidade.

Este material tem por objetivo oferecer subsdios e conhecimento

bsicos aos alunos que deles necessitam, a modo de proporcionar aos

discentes a base matemtica para prosseguir em seus estudos.

O material contm as definies matemticas de uma maneira

clara e objetiva, exemplos e uma srie de exerccios de fixao.

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Aluno: _____________________________________________________

Curso: _____________________________________ Turma: ________

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NDICE GERAL

I. Conjuntos numricos 2

II. As quatro operaes fundamentais (nmeros decimais) e

Expresses 2

III. Fraes Ordinrias 9

IV. Potncias 13

V. Operaes algbricas 20

VI. Equaes do 1 grau 23

VII. Equaes do 2 grau 28

VIII. Inequaes do 1 grau 30

IX. Proporcionalidade 31

X. Juros 38XI. Relaes Trigonomtricas 41

XII. Plano Cartesiano (seu produto, relaes e funes) 44

XIII. Noes de Geometria Plana e Espacial 48

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I - CONJUNTOS NUMRICOS

Esta figura representa a classe dos nmeros.

Veja a seguir:

N Naturais

So os nmeros positivos inclusive o zero, que representem uma

contagem inteira.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

No h nmeros naturais negativos.

Z Inteiros

So os nmeros naturais e seus opostos negativos.

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

No h nmeros inteiros em frao ou decimal.

Q Racionais

So todos os nmeros na forma decimal exata, peridica

ou na forma de frao.

Q =

,47,

21,

31,0,

21,

34,

25,

617- ,

Exemplos:

Nmeros decimais na forma exata: {1,2 ; 3,654 ; 0,00005 ; 105,27272};

Nmeros decimais na forma peridica:

23,10232323,1020,30222,33,2333333,2 ===

I Irracionais

So todas as decimais no exatas e no peridicas.

I=

,6

,,3,62- , pipi

R Reais

a unio dos conjuntos numricos citados acima. Portanto, todo

nmero, seja N, Z, Q ou I um nmero R (real).

As razes em que o radicando seja negativo e o ndice par no so

reais.

II - AS QUATRO OPERAES FUNDAMENTAIS (NMEROS

DECIMAIS)

1) Adio

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Na adio os nmeros so chamados de parcelas, sendo a operao

aditiva, e o resultado a soma.

2 + 2 = 4

Parcelas adio Soma

Exemplos:

4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049

+

429,13,232,4

parcelas

8,049 } soma

41

+ 32

+ 51

= 60

124015 ++ =

6067

1,1166

ou

41

+ 32

+ 51

= 9

8,1625,2 ++ =

905,10

1,1166

2) Subtrao

Na subtrao os nmeros so chamados de subtraendo, sendo a

operao a subtrao, e o resultado o minuendo.

Subtrao

3 2 = 1

Minuendo Subtraendo diferena

Exemplos: As regras para a subtrao so as mesmas da adio,

portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a

operao. Numa subtrao do tipo 4-7 temos que o minuendo

menor que o subtraendo; sendo assim a diferena ser negativa e

igual a -3.

3) Multiplicao

Na multiplicao os nmeros so chamados de fatores, sendo a

operao multiplicativa, e o resultado o produto.

22 * 3 = 66

Fatores Multiplicao Produto

Pode-se representar a multiplicao por: *, x ou .

Exemplo:

4

Observe que as parcelas so dispostas de modo que se tenha

vrgula sobre vrgula.

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7,32 * 12,5 = 91,500

} produto 500,91 732

1464 3660

fatores 12,5 *

32,7

+

+

21

* 32

* 18

= 6

16 =

38

2,6

Na multiplicao de fraes multiplica-se divisor com divisor, dividendo

com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo

pelo de baixo).

4) Diviso

Na diviso, os nmeros so chamados de dividendo( a parte que est

sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte est

sendo dividida), a operao a diviso, e o resultado o quociente.

Diviso

7 / 4 = 1,75

Dividendo (D) Divisor (d) Quociente (q)

Exemplo:

Existe na diviso, o que se pode chamar de resto. Isto , quando uma

diviso no exata ir sempre sobrar um determinado valor, veja no

exemplo a seguir:

843 / 5 = 168

34

43

3 resto (r)

Se o resto for igual a zero a diviso chamada exata.

5) Casos particulares da multiplicao e divisoMultiplicao

N * 1 = N

N * 0 = 0

Diviso

N / 1 = N

N / N = 1

0 / N = 0 (N 0 )

N / 0 = No existe!!!!

6) Exerccios

a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =

5

Na multiplicao comea-se operar da esquerda para a direita.Quando a multiplicao envolver

nmeros decimais (como no exemplo ao lado), soma-se a quantidade de casas aps a

vrgula.

Para verificar se o resultado verdadeiro basta substituir os valores

na seguinte frmula:D = d * q + r

843 = 5 * 168 + 3

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b) 4,03 + 200 + 51,2 =

c) 32,4 21,3 =

d) 48 33,45 =

e) 2,1 * 3,2 =

f) 48,2 * 0,031 =

g) 3,21 * 2,003 =

h) 8,4708 / 3,62 =

i) 682,29 / 0,513 =

j) 2803,5 / 4450 =

k) (FUVEST) 0,22,33,0*2,0

=

l) 0,041 * 21,32 * 401,05

m) 0,0281 / 0,432

n) 1,54,82 * 31,2

o) 285,04,32 * 021,0

7) Valor absoluto ou Mdulo

Representa a distncia de um nmero at o zero (ou origem). Sendo

assim, o mdulo, por representar distncia, sempre positivo e

representado por | |.

Exemplos:

7 7

0 0

2 2

9 9

=

=

=

=

8) Soma e subtrao algbrica

Sinais iguais: Somam-se os valores absolutos e d-se o sinal

comum.

Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e d-se o sinal

do maior.

Exemplos:

a) 2 + 4 = 6

b) 2 4 = 6

c) 5 3 = 2

d) 5 + 3 = 2

e) 2 + 3 1 2 = 5 3 = 2

f) 1 3 + 2 4 + 21 5 32 = 23 45 = 22

9) Multiplicao e diviso algbrica

Sinais iguais resposta positiva

Sinais diferentes resposta negativa

Isto :

6

)()(*)()()(*)()()(*)()()(*)(

=+

=+

+=

+=++

)()(:)()()(:)()()(:)()()(:)(

=+

=+

+=

+=++

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Exemplos:

a) 12 * 3 = 36

b) (-12) * (-3) = 36

c) 2 * (-2) = -4

d) (-2) * 3 = -6

e)24

= 2

f) )5(20

= -4

g) )5()20(

= 4

h)5

)20(= -4

10) Expresses numricas

Para resolver expresses numricas realizamos primeiro as operaes

de multiplicao e diviso, na ordem em que estas estiverem

indicadas, e depois adies e subtraes. Em expresses que

aparecem sinais de reunio: ( ): parnteses, [ ]: colchetes e { }:

chaves, efetuam-se as operaes eliminando-se, na ordem:

parnteses, colchetes e chaves, isto , dos sinais interiores para os

exteriores. Quando frente do sinal da reunio eliminado estiver o

sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.

Exemplo:

a) 2 + [ 2 ( 3 + 2 ) 1 ] = 2 + [ 2 5 1 ] = 2 + [ 2 6 ]

b) 2 + { 3 [ 1 + ( 2 5 + 4 ) ] + 8 } = 11

c) { 2 [ 3 * 4 : 2 2 ( 3 1 ) ] } + 1 = { 2 [ 12 : 2 2 *

2 ] } + 1 = { 2 [ 6 4] } + 1

11) Nmeros Primos

So aqueles nmeros divisveis somente por eles mesmos e por 1.

Obs.: O nmero 1, por definio, no primo.

Mtodo para obteno de nmeros primos

Faremos isso atravs de um exemplo:

Encontre os nmeros primos compreendidos entre 1 e 50.

1 Passo: Enumera-los

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 Passo: Encontrar a raiz quadrada do maior nmero quadrado dentre

os indicados, ou seja, encontrar o maior nmero que se conhea a raiz

quadrada exata.

No caso, 749 = .

3 Passo: Extrair da lista acima os nmeros mltiplos dos nmeros {2, 3,

4, 5, 6, 7}, nesta ordem, onde o 7 provm do 2 passo.

4 Passo: Os nmeros que sobraram so os nmeros primos procurados:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.

Obs.: O nmero 2 o nico nmero primo