Matematica basica

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  • 1. MATEMTICA BASICA Jos Daro Snchez HernndezBogot -Colombia. julio- [email protected]@tutopia.com [email protected] de mis apreciados visitantes me proponan un materialelemental dirigido a estudiantes un poco ms nefitos, peroconservando el espritu inicial que me he propuesto desde lainiciacin de mi trabajo en el ciberespacio. Es sta la razn paracolocar un cursillo quesea como una invitacin al aprendizaje de la matemticaavanzada en el campo virtual. CONTENIDO1. Fundamentos de Lgica............................................................. 22. Conjuntos................................................................................. 82.1 Clases de conjuntos........................................................92.2 Proposiones condicionales y cuantificadores..... 123. Mtodos de una demostracin................................................... 164. Parejas ordenadas y producto cartesiano................................... 205. Relaciones y funciones.............................................................. 236. Clases de funciones................................................................... 276.3 Funcin inversa............................................................... 286.6 Algunas propiedades de las funciones............................ 297. Leyes de composicin interna (operaciones).............................327.2 Clases de leyes de composicin...................................... 348. Concepto de Grupo..................................................................379. Los nmeros reales.................................................................. 409.3 Mtodos geomtricos y expansin decimal..................... 429.4 Propiedades algebricas..................................................429.5 Propiedades de orden.....................................................469.6 Propiedades de completitud............................................ 4910. Los nmeros naturales...........................................................5211. Los nmeros enteros.............................................................. 5412. Nmeros racionales................................................................57

2. J. Daro Snchez H.MATEMTICA BASICA 2 12.6 Construccin de los elementos racionales.................... 5813. Acotacin. Terminacin. Extremacin.....................................61 13.5 Principio de buena ordenacin......................................64 13.6 Divisibilidad..................................................................66 13.7 El algoritmo de Euclides................................................ 6914. Teorema fundamental de la aritmtica................................... 7315. Congruencias......................................................................... 7516. Clases Residuales.................................................................. 7917. Nmeros complejos...............................................................83 17.2 Valor absoluto de un nmero complejo........................ 85 17.3 Imposibilidad de ordenar los nmeros complejos........ 88 17.4 Exponenciales complejas..............................................89 17.5 Argumento de un nmero complejo............................. 90 17.6 Potencias enteras y races de nmeros complejos....... 92 17.7 Logaritmos complejos...................................................92 17.8 Potencias complejas......................................................93Bibliografia...................................................................................... 97 1. FUNDAMENTOS DE LGICA1.1 Los vocablos verdadero y falso son fundamentales en el estudio dela matemtica, se consideran completamente conocidos y se aceptan sindefinir, es decir se admiten intuitivamente como ideas iniciales y se notanZ,J1.2 Las oraciones en las cuales se pueden establecer uno de los vocablosverdadero o falso se denominan proposiciones o afirmaciones. Sonfrecuentemente notadas por letras minsculas : ; < = EJEMPLOS.Las frases: Cmo estas?, Cul es tu nombre?, que la suerte teacompae; no son proposicionesBolivar es un hombre muy conocido, Bogot es la capital de Bolivia,Venezuela es la patria del Libertador; son proposiciones.Toda proposicin suele ir acompaada de una tabla 3. J. Daro Snchez H. MATEMTICA BASICA 3:ZJllamada tabla de verdad y que indica las posibilidades de que laproposicin : sea verdadera o falsa1.3 Negar una proposicin es el procedimiento, mediante el cual unaproposicin que es verdadera se convierte en falsa y recprocamente si esfalsa se convierta en verdadera.Se usa en estos casos : para la proposicin y c: para su negacin: c:Z JJ Z1.4 PROPOSICIONES COMPUESTAS. Una propiedad fundamental de lasproposiciones se encuentra en el hecho de poderlas componer paraobtener nuevas oraciones las cuales son nuevamente proposicionesllamadas proposiciones compuestas y estan caracterizadas por tablasllamadas tradicionalmente tablas de verdad.1.4.1 CONJUNCIN: Dadas dos proposiciones : y ; la proposicincompuesta : ; ( : y ; ) es llamada conjuncin y est definida por lasiguiente tabla: ; :;Z ZZZ JJJ ZJJ J Jes decir su tabla depende estrechamente de los valores de verdad de lasproposiciones componentes.EJEMPLO.Hoy es lunes y estamos a 28 de frebrero de 1936.Esta es una conjuncin y es una proposicin falsa por que estar a 28 defebrero de 1936 es una proposicin falsa.1.4.2. DISYUNCIN: Sean : y ; dos proposiciones, la proposicin : ;(lese : o ; ) es una proposicin compuesta llamada disyuncin y estdefinida mediante la tabla 4. J. Daro Snchez H. MATEMTICA BASICA4: ; :;Z ZZZ JZJ ZZJ JJEJEMPLO. Colombia es una nacin de Amrica del sur o estamos a 9 deabril de 1948.Esta proposicin es una disyuncin la cual es claramente una proposicinverdadera, por que es verdad que Colombia es una nacin de Amrica delsur.Se sigue entonces que la veracidad o falsedad de la disyuncin o de laconjuncin depende de la verdad o falsedad de las proposicionescomponentes.Hay una variacin de la disyuncin que se presenta en proposiones como "el papa Juan Pablo II est vivo o el papa Juan Pablo II est muerto"esta es llamada el o exclusivo o el aut y est definida por la siguientetabla: ; :;Z ZJZ JZJ ZZJ JJ1.4.3 IMPLICACIN: Sean : y ; dos proposiciones, la proposicin : ; esllamada implicacin, la cual se lee de una de las formas siguientes: implica ;si : entonces ; : slo si ;: es una condicin suficiente para ;; es una condicin necesaria para :y es una proposicin compuesta definida por la tabla 5. J. Daro Snchez H.MATEMTICA BASICA 5: ; :;Z ZZZ JJJ Z ZJ J ZEJEMPLO. Si no me da pereza, entonces estudio geometraEs de notar que la mayoria de los enunciados de la matemtica estn enforma de implicacin, de donde su importancia.EJEMPLO. Si + , y - son las longitudes de los lados de un tringulorectngulo entonces - # +# ,# .1.4.4 EQUIVALENCIA: Sean : y ; dos proposiciones, la proposicin : ; esllamada equivalencia, la cual se lee de una de las siguientes maneras : es equivalente a ; : si y slo si ;: es una condicin necesaria y suficiente para ;es una propsicin compuesta definida mediante la siguiente tabla: ; :;Z ZZZ JJJ ZJJ J ZEJEMPLO. Sean + y , nmeros enteros entonces se tiene + , si y slo si, + es un nmero natural.Los smbolos c, , , , , -son referidos como los conectivosproposicionales.En adelante, adems de : ; < = , usaremos :" :# :$ como smbolospara designar proposiciones y nos referiremos a ellos como los smbolosproposicionales. Tenemos tantos smbolos proposicionales comonmeros naturales, disponemos de una buena cantidad de ellos,suficientes para representar cualquier proposicin que tengamos en lamemoria; seguramente una persona no alcanza en toda su vida a fijar ensu mente ms proposiciones que nmeros. As, podemos considerar quecada smbolo proposional representa una nica proposicin simple. 6. J. Daro Snchez H. MATEMTICA BASICA6A cualquier combinacin de smbolos proposicionales, se le determinafrmula, y aquellas para las cuales se les puede construir su tabla deverdad son frecuentemente llamadas frmulas bien formadas a0 ,0 b.Las reglas que gobiernan las frmulas bien formadas son:a"b Los smbolos proposicionales son frmulas bien formadasa#b Si ! es una frmula bien formada, entonces su negacin ac!b es unafrmula bien formada.a$b Si ! y " son frmulas bien formadas entonces tambin lo son a! " ba! " b a! " b a ! " b y a ! " ba%b Una expresin es una frmula bien formada si y slo si el que lo sea se sigue de aplicar a"b a#b y a$b.La regla a%b significa que las nicas frmulas bien formadas son las que sepueden construir combinando a"b a#b, a$b un nmero finito de veces.Como una frmula bien formada se ha obtenido a partir de finitossmbolos proposicionales y por aplicacin de a"b a#b y a$b finitas veces,siempre es posible construir su tabla de verdad: se dan a los smbolosproposicionales que aparecen en la frmula bien formada los valores Z Jcombinndolos adecuadamente para obtener todos los casos posibles yluego se van construyendo paso a paso las tablas de verdad de lasfrmulas bien formadas que se han ido formando hasta llegar a la de lafrmula bien formada dada inicialmente (Ntese que si aparecen 8smbolos proposicionales en una frmula bien formada, su tabla deverdad tendr #8 filas, correspondientes a las #8 formas posibles decombinar Z y J )Unos ejemplos aclararn lo dicho: Construir la tabla de verdad de : c:,: ; c:, y : a: ; b ; : :c: : c: :; :; c: a: ; b ac:b ZJZ ZZ Z J J JZZ ZJ Z J J JZ Z Z Z JJ J Z J : ; :; : a: ; b : a: ; b ; Z ZZ Z Z Z JJ J Z J ZZ J Z J JZ J Z 7. J. Daro Snchez H. MATEMTICA BASICA7Observando las tablas de verdad anteriores, vemos que existen frmulasbien formadas como : c:, : a: ; b ; , tales que en su tabla deverdad nicamente aparece el valor Z , sin importar la verdad o falsedadde sus proposiciones componentes; estas frmulas se llaman tautologas.Son las frmulas bien formadas ms importantes, debido a quecorresponden a proposiciones compuestas que intuitivamente sonsiempre verdaderas