Matemática Básica · Demonstração por absurdo Nesta técnica, para demonstrar que a sentença...
Transcript of Matemática Básica · Demonstração por absurdo Nesta técnica, para demonstrar que a sentença...
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 2
9 de março de 2012
Aula 2 Matemática Básica 1
Se A, então B: notações
Aula 2 Matemática Básica 2
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Matemática Básica 3
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Matemática Básica 4
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Matemática Básica 5
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Matemática Básica 6
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Matemática Básica 7
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Matemática Básica 8
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Matemática Básica 9
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Matemática Básica 10
Se A, então B: notações
Notação Exemplo
Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.
A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.
A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.
A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.
B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Aula 2 Matemática Básica 11
Demonstrações: direta e por absurdo
Aula 2 Matemática Básica 12
Demonstração direta
Nesta técnica, para demonstrar que a sentença “se A, então B” é verdadeira,mostramos que todas os objetos matemáticos que satisfazem a hipótese Atambém satisfazem a tese B. Se fizermos isso, teremos mostrado quea sentença “se A, então B” não possui contraexemplos, uma vez que umcontraexemplo é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A, mas nãosatisfaz a tese B.
Demonstração direta
Aula 2 Matemática Básica 13
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Matemática Básica 14
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Matemática Básica 15
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Matemática Básica 16
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Matemática Básica 17
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Matemática Básica 18
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Matemática Básica 19
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Matemática Básica 20
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Matemática Básica 21
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Matemática Básica 22
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Matemática Básica 23
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Matemática Básica 24
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Aula 2 Matemática Básica 25
Demonstração por absurdo
Nesta técnica, para demonstrar que a sentença “se A, então B” é verdadeira,supomos inicialmente que ela seja falsa. A seguir, a partir desse pressuposto,usando argumentos válidos, deve-se chegar a dois fatos contraditórios (porexemplo, que um número inteiro é par e ímpar ao mesmo tempo ou queuma sentença é verdadeira ou falsa ao mesmo tempo). Feito isto, comoem uma teoria consistente não podem existir contradições, concluímos quenosso pressuposto da sentença “se A, então B” ser falsa está errado e, assim,a sentença “se A, então B” deve ser verdadeira.
Demonstração por absurdo
Aula 2 Matemática Básica 26
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 27
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 28
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 29
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 30
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 31
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 32
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 33
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 34
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 35
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 36
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 37
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 38
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 39
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 40
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 41
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 42
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 43
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!
Aula 2 Matemática Básica 44
A se, e somente se, B
Aula 2 Matemática Básica 45
A se, e somente se, B
Dizemos que uma sentença
A se, e somente se, B
é verdadeira quando as sentenças
“se A, então B” e “se B, então A”
são simultaneamente verdadeiras.
Regras do Jogo
Aula 2 Matemática Básica 46
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).
Aula 2 Matemática Básica 47
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).
Aula 2 Matemática Básica 48
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).
Aula 2 Matemática Básica 49
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).
Aula 2 Matemática Básica 50
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).
Aula 2 Matemática Básica 51
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).
Aula 2 Matemática Básica 52
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Matemática Básica 53
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Matemática Básica 54
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Matemática Básica 55
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Matemática Básica 56
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Matemática Básica 57
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Matemática Básica 58
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Matemática Básica 59
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Aula 2 Matemática Básica 60
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Matemática Básica 61
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Matemática Básica 62
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Matemática Básica 63
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Matemática Básica 64
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Matemática Básica 65
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Matemática Básica 66
A se, e somente se, B: notações
Notação Exemplo
A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.
A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.
A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Aula 2 Matemática Básica 67
Quatro observações
Aula 2 Matemática Básica 68
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Matemática Básica 69
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Matemática Básica 70
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Matemática Básica 71
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Matemática Básica 72
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Matemática Básica 73
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Matemática Básica 74
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.
Aula 2 Matemática Básica 75
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez quenão existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença éverdadeira por vacuidade.
Aula 2 Matemática Básica 76
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez quenão existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença éverdadeira por vacuidade.
Aula 2 Matemática Básica 77
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez quenão existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença éverdadeira por vacuidade.
Aula 2 Matemática Básica 78
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez quenão existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença éverdadeira por vacuidade.
Aula 2 Matemática Básica 79
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez quenão existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença éverdadeira por vacuidade.
Aula 2 Matemática Básica 80
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x (x2 − 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese(no caso, os números x = 0 e x = 1) também satisfazem a tese.
Aula 2 Matemática Básica 81
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x (x2 − 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese(no caso, os números x = 0 e x = 1) também satisfazem a tese.
Aula 2 Matemática Básica 82
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x (x2 − 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese(no caso, os números x = 0 e x = 1) também satisfazem a tese.
Aula 2 Matemática Básica 83
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x (x2 − 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese(no caso, os números x = 0 e x = 1) também satisfazem a tese.
Aula 2 Matemática Básica 84
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x (x2 − 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese(no caso, os números x = 0 e x = 1) também satisfazem a tese.
Aula 2 Matemática Básica 85
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importân-cia central no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração deuma outra proposição.
Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de umaoutra proposição.
Uma conjectura é uma proposição que suspeita-se ter um determinadoatributo (verdadeira, por exemplo), mas ainda não se tem uma justificativa parao atributo.
Aula 2 Matemática Básica 86
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importân-cia central no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração deuma outra proposição.
Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de umaoutra proposição.
Uma conjectura é uma proposição que suspeita-se ter um determinadoatributo (verdadeira, por exemplo), mas ainda não se tem uma justificativa parao atributo.
Aula 2 Matemática Básica 87
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importân-cia central no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração deuma outra proposição.
Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de umaoutra proposição.
Uma conjectura é uma proposição que suspeita-se ter um determinadoatributo (verdadeira, por exemplo), mas ainda não se tem uma justificativa parao atributo.
Aula 2 Matemática Básica 88
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importân-cia central no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração deuma outra proposição.
Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de umaoutra proposição.
Uma conjectura é uma proposição que suspeita-se ter um determinadoatributo (verdadeira, por exemplo), mas ainda não se tem uma justificativa parao atributo.
Aula 2 Matemática Básica 89
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importân-cia central no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração deuma outra proposição.
Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de umaoutra proposição.
Uma conjectura é uma proposição que suspeita-se ter um determinadoatributo (verdadeira, por exemplo), mas ainda não se tem uma justificativa parao atributo.
Aula 2 Matemática Básica 90
Uma demonstração por absurdo famosa
Aula 2 Matemática Básica 91
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 92
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 93
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 94
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 95
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 96
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 97
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 98
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 99
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 100
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 101
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 102
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 103
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 104
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 105
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 106
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 107
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 108
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.
Aula 2 Matemática Básica 109