Matematica avanzada luis enrique martinez ramirez
-
Upload
luis-enrique-martinez-ramirez -
Category
Documents
-
view
57 -
download
3
Transcript of Matematica avanzada luis enrique martinez ramirez
Solución de una ecuación diferencial
En una función desconocida y la variable independiente X definida en un intervalo y es una función que satisface la ecuación diferencial para todos los valores de X en el intervalo dado.
Y¹¹= Y biprimaría
1°-Ejemplo:
Y= sen2x + cos2x Y¹¹ + 4y =0
Y¹= 2cos2x – 4cos (2x)
Y¹¹= – 4sen2x – 4 cos (2x)
Comprobación:
– 4sen2x – 4cos2x + 4(sen2x + cos2x)=0
– 4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x =0
esto es una solución general
2° ejemplo:
Y= 5sen2x + 3cos2x Y¹¹+4y= 05 (cos) (2x) + 3 (sen) 2x)Y¹= – 6sen2x + 10cos2xY¹¹= – 20sen2x – 12cos2x
Comprobación:–20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x) = 0
– 20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x= 0
esto es una Solución particular
3° ejemplo:
Comprobar que:
Y= X² – 1 es solución de (Y¹) +Y² = – 1
Y¹ = 2x
2x + (x² – 1 ) ²= 1
4° ejemplo:
Y= 1
𝑥Y¹ + Y = 0
Y¹= –1
𝑋²
Y¹¹=2
𝑋³
–1
𝑋²+ – (
1
𝑋)² = 0
–1
𝑋²+ –
1
𝑋²= 0
5° ejemplo
Y = 𝑒2𝑥 Y¹¹ + Y¹ – 6 Y = 0
Y¹=2𝑒2𝑥
Y¹¹= 4 𝑒2𝑥
4 𝑒2𝑥 + 2 𝑒2𝑥 – 6 (𝑒2𝑥) = 0
6 𝑒2𝑥 – 6 𝑒2𝑥 = 0
6° ejemplo
Y= 𝑒−2𝑥 + 𝑒3𝑥 Y¹¹ + Y ¹ - 6Y = 0
Y ¹ = - 2 𝑒−2𝑥 + 3 𝑒3𝑥
Y¹¹ = - 4 𝑒−2𝑥 + 9𝑒3𝑥
- 4 𝑒−2𝑥+ 9 𝑒3𝑥 - 2 𝑒−2𝑥+ 3𝑒3𝑥 - 6 (𝑒−2𝑥 + 𝑒3𝑥) =0
7° ejemplo
Y= x² + 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥 Y¹¹ + Y¹ - 6Y =0
Y¹ = 2x² + 𝑒𝑥+ 𝑒−2𝑥
Y¹¹ = 2 + 𝑒𝑥+ 4𝑒−2𝑥
2+ 𝑒𝑥+ 4 𝑒−2𝑥+ 2x + 𝑒𝑥 - 2 𝑒−2𝑥-2 (x² + 𝑒𝑥+ 𝑒−2𝑥)= 0
2 + 𝑒𝑥 + 4 𝑒−2𝑥 + 2x + 𝑒𝑥 - 2 𝑒−2𝑥- 2 x²- 2 𝑒−2𝑥 =
2( 1+ X - x² )
2( 1+ X - x² ) = 2( 1+ X - x² )
8°- ejemplo
Y= C1 𝑒2𝑥+ C2 𝑒2𝑥 Y¹¹-4 Y¹+ 4Y =0Y¹= 2 C1 𝑒2𝑥+ 2C 2𝑥𝑒2𝑥+ C 2𝑒2𝑥
Y¹¹= 4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥
=4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥- 4(2 C1 𝑒2𝑥
+ 2C 2 𝑥𝑒2𝑥 + C 2 𝑒2𝑥) + 4 (C1 𝑒2𝑥 + C2 𝑒2𝑥) =0
4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥 - 8C1 𝑒2𝑥 - 8C 2 𝑥𝑒2𝑥- 4 C 2 𝑒2𝑥 + 4C1 𝑒2𝑥+ 4 C2 𝑒2𝑥= 0
8C1 𝑒2𝑥+ 8C 2 𝑥𝑒2𝑥+ 4 C 2 𝑒2𝑥 -12C2𝑒2𝑥- 8 C1𝑒2𝑥 = 0
Y= 0
9° ejemplo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑦
𝑥
∫𝑑𝑦
𝑦= ∫
𝑑𝑥
𝑥
lny= lnx + ln C1
lny = lnC1x
Aplicado antilogaritmos
Y= C1x
Comprobacion
Y= C1x𝑑𝑦
𝑑𝑥= C1
Sustituyendo:𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦
𝑥
C1= 𝐶1𝑥
𝑥C1= C1
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥
𝑦
∫y dy = ∫x dx
[= 𝑦²
2= 𝑥²
2+𝐶¹
2]²
y² = x² + C1
Ecuaciones diferenciales exactas
(x² + 2xy + x) dx + Y² dy =0
X²dx + 2xy dx + x dx + Y² dyno se puede separar
M= x² + 2xg + x𝑀
𝑑𝑦= 2x no se puede con los exactos
N= y² 𝑁
𝑑𝑋= 0
2° ejemplo:
(X² + Y² + X ) dx + xydy =0
M (x,y) dx + N (x,y) dy =0 │𝜕𝑀
𝜕𝑦= 𝜕𝑁
𝜕𝑥
M= X² + Y² + X * 𝜕𝑀
𝜕𝑦= 2Y
N= XY * 𝜕𝑁
𝜕𝑥= Y
No es exacta porque: 𝜕𝑀
𝜕𝑦+ 𝜕𝑁
𝜕𝑥
3° ejemplo:
(5x + 4y) dx + (4x – 8y³) dy =0(5x + 4y) + (4x+8y)
𝑑𝑥
20𝑥³−
𝑑𝑦
32𝑦5
5x dx – 4y dx + 4x dy - 8y³ dy =0M= 5x + 4y𝑑𝑚
𝑑𝑦= 4
N= 4x – 8y³ 𝑑𝑛
𝑑𝑥= 4
4° ejemplo:
a veces es posible encontrar un factor (que llamamos factor integrante) el cual al multiplicarse por la ecuación diferencial la convierte en exacta para encontrar este factor integrante se utiliza la sig. Formula:
𝜕𝑀
𝜕𝑦=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
__________
N
Ahora utilizamos este resultado para obtener el factor integrante por medio de la siguiente expresión.
M (x)= e∫𝑔 𝑥 𝑑𝑥
= e∫1
𝑥𝑑𝑥
= e∫𝑑𝑥
𝑥 = 𝑒𝑙𝑛𝑥 = x
A continuación simplemente aplicamos
Integramos:
(x³+ xy² + x² ) dx
(x³+ xy² + x² )dx =∫ x³dx + y² ∫ x dx + ∫ x² dx
𝑥4
4+ y²
𝑥2
2+ 𝑥3
3+ g (y)
Solo nos falta encontrar el valor de g (y) para determinar el valor g (y) derivamos la función ƒ encontrada con respecto a Y
𝜕𝑓
𝜕𝑦= 2y
𝑥2
2+ g (y)*
𝜕𝑓
𝜕𝑦= x²y + g¹(y)
Este resultado se iguala con N (x²y)X²y + g¹ (y) = X²y
Simplificado:+g¹ (y)= X²y - X²y g¹ (y) = 0
Si g¹ (y) = 0 entonces g(y) = C1 es una constante cualquiera
Por lo tanto la función buscada es:
ƒ = 𝑥4
4+ y²
𝑥2
2+𝑥3
3+ C1
Y la solucion se obtiene igualando esta función a una constante (C2)
𝑥4
4+ y²
𝑥2
2+
𝑥3
3+ C1 = C2
Simplificando:𝑥4
4+
𝑥2𝑦2
2+
𝑥3
3= C
5° ejemplo
Integramos:
Ƒ (3 +𝑦²
𝑥²) dx
∫(3 +𝑦²
𝑥²)dx = 3∫dx + y² ∫
𝑑𝑥
𝑥²= 3xy² ∫ x-²
Ƒ= 3x+y² 𝑥−¹
−1+ g (y)
Ƒ= 3x-𝑦²
𝑥+ g (y)
Derivar función f𝜕𝑓
𝜕𝑦= 2𝑦
𝑥+ g¹(y)
g¹(y) =0sustitución:
F= 3x−𝑦²
𝑥+ C1
Reduciendo
3x−𝑦²
𝑥= C
Multiplicado por X
[3x−𝑦²
𝑥= C] 3x³- y² = cx
Solución :
3x𝑥𝑦²
𝑥+ c1= c2