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Matematica Attuariale
Insieme di modelli matematici relativi all’attività assicurativa.
Attività assicurativa: attività economica consistente nella gestione dei “rischi”trasferiti ad un assicuratore da un operatore economico.
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Art. 1882 c.c.
“Contratto col quale l’assicuratore, verso pagamento di un premio, si obbliga a rivalere l’assicurato, entro i limiti convenuti, del danno ad esso prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsi di un evento attinente alla vita umana”
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Matematica Attuariale
La matematica attuariale studia i principi base per la valutazione dei contratti:
• valutazione costo coperture assicurative• fissazione prezzo o premio delle coperture• gestione del premio nel tempo ⇒
definizione e calcolo riserve “tecniche”
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Aspetti
• Finanziari → differimenti nel tempo delle prestazioni assicurative
• Probabilistici → aleatorietà gestione dei rischimodelli discreti
modelli continui
processi stocastici
Varietà tipologie assicurative ⇒ diversificazione modellistica
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Classificazione assicurazioni libere
• Assicurazioni contro i danni
• Assicurazioni sulla vita
• Assicurazioni sociali
• Assicurazioni sulla salute
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Assicurazioni contro i danniRisarcimento a fronte di:• Danni materiali
– alla persona– ai beni di proprietà dell’assicurato
• Situazioni di responsabilità civilef(numero aleatorio sinistri)
Aleatorietà esborsof(entità aleatoria danno ciascun sinistro)
Durata periodo copertura breve (1 anno)
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Assicurazioni sulla vitaPagamento di somme al verificarsi di prestabiliti eventi inerenti alla vita (“durata di vita”) di una o più persone
• Esborso– aleatorio “se”– aleatorio “quando”– definito “quanto”
(somme prestabilite o determinabili)
• Durata medio-lunga (min. 10-20 anni)
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Assicurazioni socialiInsieme di coperture assicurative “obbligatorie”fornite da:
• Sistemi pubblici (Stato, enti previdenziali e sanitari)
• “Fondi” o “Casse pensioni” aziendali
Comprendono:– pensioni di anzianità e vecchiaia– pensioni ai superstiti– pensioni di invalidità– prestazioni in caso di infortuni professionali– prestazioni in caso di malattia
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Operazione aleatoria Scambio di importi monetari contro importi monetari, che si protrae in successivi istanti di tempo, gli importi e/o gli istanti essendo variabili aleatorie
Operazione aleatoria semplice:
T, X v.c.
differimento (fin.)Elementi di
incertezza (prob.)
-S
T0
+X
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Assicurazione sulla vita
Contratti in cui l’assicurazione si impegna a pagare somme in denaro in istanti futuri al verificarsi di eventi connessi con la vita umana, dietro il pagamento di un premio
L’aleatorietà è indotta dall’incertezza su eventi relativi alla vita umana
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Durata aleatoria di vita
• T0 variabile aleatoria che esprime la durata aleatoria di vita di un individuo (T=testa) alla nascita (età 0)– F0(x) = prob(T0≤x)=/xq0– l(x) = 1- F0(x) = prob(T0>x) = 1- /xq0 = xp0
funzione di sopravvivenza
• Tx variabile aleatoria che esprime la durata aleatoria di vita di un individuo di età x.
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Probabilità di vita e di morte• npx=prob(Tx>n) probabilità che un individuo
di età x sia vivo all’età x+n• /nqx=prob(Tx≤n) probabilità che un individuo di
età x muoia prima di raggiungere l’età x+n, ossia muoia entro n anni
npx +/nqx=1
Età
Anni
x
0
x+n
n
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Probabilità di vita e di morte• per n=1
– px tasso annuo di sopravvivenza– qx tasso annuo di mortalità
• k/nqx=prob(k<Tx≤k+n) probabilità che un individuo di età x muoia tra k e k+n anni (tra l’età x+k e x+k+n), cioè muoia entro n anni a partire dall’età x+k
• n/1qx=prob(n<Tx ≤ n+1) probabilità che un individuo di età x muoia tra n e n+1 anni
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Tavole
Tavole di sopravvivenza e di mortalità• Forniscono per tutta la popolazione le
probabilità di vita e di morte• Suddivise per classi (uomini e donne) e per
sottoclassi (fasce di età)• Redatte dall’ISTAT
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Tavole di mortalità• Rischio normale
– fattori normali (età, sesso)• Rischio aggravato o tarato
– fattori biologici– fattori occupazionali– fattori ambientali
Probabilità di decesso aggravate=f (probabilità “normali” qx)
o aggravamento “moltiplicativo” → q(m)x+t=(1+k)qx+t
o aggravamento “additivo” → q(a)x+t=hqx+qx+t
o aggravamento “decrescente”
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Selezione• Caso vita
– Il contraente stipula la polizza se ritiene che la mortalità dell’assicurato sia ≤ a quella della tavola servita per il calcolo del premio
– Selezione fatta dagli assicurati• Caso morte
– L’assicurazione stipula il contratto se ritiene che l’assicurato è in buone condizioni di salute
– Selezione fatta dalla compagnia
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Terminologia• Prestazione• Premio
– Premio unico– Premio periodico o ricorrente
• Assicurato: cui si riferiscono gli eventi oggetto dell’assicurazione
• Contraente: stipula il contratto e paga il premio• Beneficiario: cui vengono (eventualmente)
pagate le somme assicurate
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Tipologie contratti
• Assicurazioni o contratti caso vita• Assicurazioni o contratti caso morte• Assicurazioni miste
→La prestazione dell’assicuratore dipende dalla durata aleatoria di vita di un’unica testa assicurata
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Caso vita
• Le prestazioni dipendono dall’evento che l’assicurato sia in vita ad una certa data
• Pagamento di un capitale se la testa assicurata raggiunge in vita una certa età o di una rendita da una certa età
• Finalità: coprire il rischio di scarse disponibilitàfinanziarie in caso di sopravvivenza ad una certa epoca osia di costituire una disponibilitàfinanziaria in caso di vita ad un’epoca stabilita.
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Assicurazioni in caso di vita
• Capitale differito
• Rendita vitalizia
• Rendita vitalizia differita
• Rendita vitalizia temporanea
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Caso morte
• Le prestazioni dipendono dall’evento “morte”dell’assicurato
• Pagamento ai beneficiari di un capitale qualora il decesso avvenga entro un fissato intervallo di tempo (ass. “temporanee”) o in qualunque epoca esso avvenga (ass. “a vita intera”)
• Finalità: coprire il rischio di morte e relative conseguenze finanziarie
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Assicurazioni in caso di morte• Assicurazione elementare
• in caso di morte “a vita intera”
• differita in caso di morte
• temporanea in caso di morte
• Assicurazione di annualità
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Assicurazioni miste
• Si copre il rischio di morte e contemporaneamente ci si garantisce un capitale o una rendita in caso di sopravvivenza
• Combinazioni degli altri due tipi
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Assicurazioni miste
• Mista semplice o ordinaria
• Doppia mista (caso di mista combinata)
• Mista a capitale raddoppiato
----------------------------------------------------------• Assicurazione a termine fisso
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Composizione contratti assicurativi
• Le varie forme assicurative possono essere definite come combinazioni lineari dei due tipi elementari
• I premi risultano allora combinazioni lineari dei premi relativi alle assicurazioni elementari (in virtù dell’additività della speranza matematica)
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Contratti assicurativi elementariFormalizzazione
• Assicurazione elementare caso vita (Capitale differito)
• Assicurazione elementare caso morte
⎩⎨⎧
=altrimenti0
p1Y xnV
n
Età x x+n
⎩⎨⎧
= −
altrimenti0q1
Y x1/1nMn
Età x x+nx+n-1
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Valutazione contrattoCriterio della speranza matematicaIl prezzo (premio) è il valore attuale della speranza matematica della prestazione aleatoria futura Yn:
. EE0(Yn) = EE(Yn) (1+i)-n
. EE0(Yn) è il premio unico puro del contratto assicurativo•Premio: prezzo•Unico: pagato in un’unica soluzione•Puro: non tiene conto dei caricamenti espliciti
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Basi tecniche• Demografica
– Distribuzione di probabilità della durata aleatoria residua di vita Tx (px e qx)
• Finanziaria– Tasso tecnico (i) al quale attualizzare le
prestazioni. Nel definirlo si determina la legge di equivalenza intertemporale
Basi tecniche del primo ordine → Quelle impiegate in valutazioni aventi per fine il calcolo del premio
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Capitale differito• Assicurazione elementare caso vita• Capitale differito di n anni su una testa di età x è l’impegno,
considerato all’epoca in cui l’individuo compie l’età x, di corrispondere dopo n anni, se la testa sarà in vita, un capitale stabilito, che si suppone unitario.
•• EE0(YnV) = EE(Yn
V)vn =(1· npx + 0· /nqx )(1+i)-n = vnnpx = nEx
• Valore attuale in senso demografico e finanziario all’età x di un capitale unitario esigibile all’età x+n in caso di vita
⎩⎨⎧
=altrimenti0
p1Y xnV
n
Età x x+n
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Fattore di sconto demografico
• nEx= (1+i)-nnpx = vn
npx
• 1/nEx montante in senso demografico e finanziario all’età x+n di un capitale unitario versato all’età x
• m+nEx= mEx · nEx+m → scindibilità
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Assicurazione elementare caso morte
• è l’impegno, con riferimento ad una testa di età x, di corrispondere un capitale stabilito, che si suppone unitario, dopo n anni, se l’individuo morirà tra le età x+n-1 e x+n
•• EE0(YMn) = EE(YM
n)vn = [1· n-1/1qx+ 0·(1- n-1/1qx )]vn
= vnn-1/1qx = n-1/1Ax
⎩⎨⎧
= −
altrimenti0q1
Y x1/1nMn
Età x x+nx+n-1
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Rendita vitalizia posticipata• Annualità vitalizia immediata, unitaria, posticipata, su una testa
di età x• è l’impegno di corrispondere una rendita immediata, unitaria,
annua, posticipata (quindi con prima rata all’età x+1), tale che ogni pagamento avvenga solo se la testa sopravvive all’epoca del pagamento stesso.
•• EE0(YV)=∑ EE(YhV)vh = (1· px)v +(1· 2px)v2 +…+(1· ωpx)vω-1-x
= 1Ex + 2Ex +…+ ω-1-xEx = ax
• Principio di composizione dei contratti: portafoglio di contrattielementari caso vita (“capitale differito”)
Età x x+1 x+2 ωω-1x+3
1⋅1px 1⋅2px 1⋅3px 1⋅ω-1-xpx
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Rendita vitalizia anticipata• Annualità vitalizia immediata, unitaria, anticipata, su
una testa di età x• è l’impegno di corrispondere una rendita immediata,
unitaria, annua, anticipata (quindi con prima rata all’etàx+1), tale che ogni pagamento avvenga solo se la testa sopravvive all’epoca del pagamento stesso.
• 1 + 1Ex + 2Ex +…+ ω-1-xEx = 1+ax = äx
Età x x+1 x+2 ωω-1x+3
1⋅1px 1⋅2px 1⋅3px 1⋅ω-1-xpx1
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Montante demografico finanziario di una annualità vitalizia
• Montante demografico finanziario di una annualità vitalizia immediata, unitaria, temporanea, posticipata, su una testa di età x
• è la somma S che spetterà in caso di sopravvivenza all’età x+n in cambio dell’impegno di detta annualità.
• /nax = S nEx ⇒ S = /nax / nEx
Età x x+1 x+2 x+nx+n-1x+3
1⋅1px 1⋅2px 1⋅3px 1⋅n-1px 1⋅npx
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Caso morte a vita intera• È l’impegno di corrispondere un capitale unitario alla fine
dell’anno in cui avviene il decesso di una testa di età x
•• EE0(YM)=∑ EE(YhM)vh=(1·qx)v+(1·1/1qx)v2 +…+(1·ω-1-x/1qx)vω-x
= /1Ax + 1/1Ax +…+ ω-1-x/1Ax = ∑ h-1/1Ax = Ax
• Principio di composizione dei contratti: portafoglio di ω-x contratti elementari caso morte
Età x x+1 x+2 ωω-1x+3
1⋅qx 1⋅1/1qx 1⋅2/1qx 1⋅ω-2-x/1qx 1⋅ω-1-x/1qx
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Caso morte temporanea• È l’impegno di corrispondere un capitale unitario alla fine
dell’anno in cui avviene il decesso di una testa di età x, solo se la morte avviene entro n anni (entro l’età x+n)
•• EE0(YM) = ∑ EE(YhM)vh = (1·qx)v+(1·1/1qx)v2 +…+(1·n-1/1qx)vn
= /1Ax + 1/1Ax +…+ n-1/1Ax = Ax - n/Ax = /nAx
• Principio di composizione dei contratti: portafoglio di n contratti elementari caso morte
Età x x+1 x+2 ωω-1x+3
1⋅qx 1⋅1/1qx 1⋅2/1qx
x+n
1⋅n-1/1qx
… …x+n+1
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Ass. mista semplice o ordinaria• è l’impegno di corrispondere un capitale unitario
dopo n anni se l’assicurato sarà in vita all’etàx+n, o alla morte dell’assicurato se questo muore prima dell’età x+n.
• nEx + /nAx = Ax n⎤
• Principio di composizione dei contratti: portafoglio composto da un “capitale differito di n anni” e una “temporanea in caso di morte”
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Premio puro e lordo• Premio puro
– Se come impegni della compagnia (a cui far fronte con i premi) si considerano solo quelli nei confronti del contraenteLa compagnia con i premi puri riesce a far fronte agli impieghi verso gli assicurati (un gran numero di assicurati) sela mortalità effettivamente verificatasi e il tasso di mercato sono uguali a quelli stabiliti per il calcolo dei premi
• Premio lordo (o caricato) (o di tariffa)– E’ il premio che effettivamente si paga, che tiene
conto della copertura di impegni diversi da quelli nei confronti degli assicurati e dello sfavorevole andamento della mortalità e del tasso di interesse
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Caricamento• Caricamento implicito
– Basi tecniche prudenzialii bassotavola a forte mortalità (ass. in caso di morte)tavola a bassa mortalità (ass. in caso di vita)
• Caricamento razionale– Spese iniziali (spese di acquisizione)– Spese di gestione
Spese di incasso premiSpese generali di amministrazione
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Premio unico e periodico• Premio unico
– Un solo premio alla stipula del contratto– Uguale al valore attuale medio degli impegni
dell’assicuratore• Premio periodico
– Più premi uguali o variabili a intervalli uguali di tempo pagati anticipatamente a partire dalla data di stipula e subordinatamente a determinate condizioni di sopravvivenza dell’assicurato
– Il valore attuale medio dei premi periodici deve essere uguale al valore attuale medio degli impegni dell’assicuratore
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Premi periodiciP costante per s anni (a condizione che la testa
sia in vita) deve soddisfare:
P/säx=U ⇒ P = U / /säx
P costante per tutta la vita (finchè la testa è in vita) deve soddisfare:
P äx=U ⇒ P = U / äx
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Premi naturali
• Sono quei premi (puri) che coprono esattamente gli impegni dell’assicuratore nei confronti del contraente, relativi all’anno stesso a cui competono
• Pt(N): premio naturale pagato in t-1 che copre
esattamente l’impegno dell’assicuratore per il t-esimo anno
• Garantiscono l’equità dell’operazione anche su tutta la durata contrattuale:
U = P1(N) + 1Ex P2
(N) + 2Ex P3(N) + …
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Valutazione in t del contratto assicurativo• Polizza in vigore dopo t anni dalla stipula del
contratto, cioè in vigore al tempo t assumendo come tempo 0 quello della stipula
• t= istante di valutazione che supponiamo intero (t= antidurata)
• Premi puri e impegni coperti da tali premi
Valutazione in t del contratto assicurativo⇓
Riserva matematica “pura”
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Riserva matematicain t>0
• Valore attuale medio delle prestazioni future della Compagnia
• Valore residuo del debito che la Compagnia ha nei confronti degli assicurati
L’attuario certifica che il valore della riserva èdeterminato secondo i corretti criteri di valutazione
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Riserva matematica prospettiva
Vt(P) = Prest[t,n] – Premi[t,n]
• Valutazione che riassume i movimenti futuri• Fabbisogno di un’operazione assicurativa sulla
vita • Vt
(P) + Premi[t,n] = Prest[t,n] ⇒ Vt(P) importo
che, se l’assicurazione non fosse già stipulata sarebbe equo pagare (se positivo all’assicuratore) in t per ivi istituire la situazione assicurativa
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Riserva matematica retrospettiva
• Valutazione che riassume i movimenti passati• Premi[0,t] = Prest[0,t] + Vt
(R) tEx ⇒ Vt
(R) importo atto a garantire l’equilibrio (in senso attuariale) tra le prestazioni delle due parti relative all’intervallo (0,t)
• È l’importo che sin dall’inizio si sarebbe pouto conveniredi corrispondere all’assicurato in caso di vita dopo un tempo t dalla stipula, ferme restando tutte le prestazioni precedenti t e venendo a cadere quelle seguenti t. E’ un “prezzo di uscita”dall’assicurazione”.
Vt(R) = Premi[0,t]– Prest[0,t]
tEx
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Equità contrattoSi consideri un contratto stipulato in 0 di durata n
• Prest[0,n] = Premi[0,n]
• Prest[t,n] ≠ Premi[t,n]– infatti: Prest[t,n] = Premi[t,n] + Vt
(P)
• Prest[0,t] ≠ Premi[0,t]– infatti: Premi[0,t] = Prest[0,t] + Vt
(R) tEx
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Relazione tra Vt(P) e Vt
(R)
Vt(P) = Vt
(R) se:• Il gruppo assicurato non è soggetto a
trasformazioni– ciò accade per le usuali forme a una testa, mentre
può non verificarsi nelle assicurazioni su 2 o piùteste
• Si utilizzano le stesse basi tecniche nelle due valutazioni– che dovranno coincidere con quelle usate per la
determinazione dei premi (basi tecniche del 1°ordine)
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Segno riserva• V0 =0 alla stipula del contratto per l’equità• Vt =0 all’inizio di ogni anno se il contratto è
a premi naturali• Vt >0 se è a premio unico (Vt
(P)=Prest[t,n])• Vt >0 se il contratto è “liberato” in s<t • Vt >0 se è a premi costanti essendo a rischio
crescente (premi naturali crescenti)• Vt <0 se è a premi costanti essendo a rischio
decrescente (premi naturali decrescenti)• lim t→∞ Vt
(P) =1
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Bilancio – Stato Patrimoniale
ATTIVO PASSIVOBeni immobili Riserva MatematicaTitoli DebitiLiquidità Capitale nettoCrediti → capitale sociale
→ riserve legali→ riserve patrimoniali→ utile d’esercizio
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Bilancio – Profitti e Perdite
PERDITE PROFITTI∑Vt+1 = RM dei contratti
in vigore allafine di (t, t+1)
∑Vt = RM dei contratti in vigore all’inizio di (t, t+1)
S = somme pagate ∑P∑(α+β+γ) = spese I = reddito ricavato,
nell’esercizio, dal patrimonio
• schematicamente• solo per quanto riguarda la gestione assicurativa
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Riferimenti bibliografici
Ermanno Pitacco“Elementi di matematica delle assicurazioni”Ed. LINT - Trieste