MATEK II
-
Upload
irwanto-marojahan-sianturi -
Category
Documents
-
view
193 -
download
6
Transcript of MATEK II
BAB I : PENDAHULUAN
Persamaan Diferensial (PD) adalah sebuah persamaan yang merupakan hubungan antara suatu variabel independen x (variabel bebas x), suatu variabel dependen y (tak
bebas y) , dan satu atau lebih turunan dari y terhadap x . Jadi , tak boleh.
Atau :Persamaan diferensial (differential equation) adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya (turunannya) terhadap variabel-variabel bebas.
Contoh :
1. = ex + sin (x) variabel tak bebas y , variabel bebas x
2. y” – 2 y’ + y = cos (x) variabel tak bebas y , variabel bebas x
3. 3 x2 dx + 2 y dy = 0 variabel tak bebas y atau x , variabel bebas bisa x atau y, umumnya diambil y tak bebas dan x variabel bebas .
4. x”(t) + sin x(t) = 0 variabel tak bebas x , variabel bebas t .
Persamaan Diferensial dibagi dalam 2 golongan, yaitu :
1. Persamaan Diferensial Biasa (PDB), yang mempunyai hanya satu perubah bebas (variabel bebas)
Misalnya : x + y ( )2 + xy2 = 0
2. Persamaan Diferensial Parsial (PDP) yang mempunyai lebih dari satu perubah bebas (variabel bebas).
Misalnya : ∂2Ø / ∂x2 + ∂2Ø / ∂y2 = a ∂Ø / ∂ t variabel bebas adalah x,y,t.
Orde (tingkat) dari suatu Persamaan Diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut (yang muncul dalam persamaan diferensial).Contoh :
x - y2 = 0 , adalah PDB orde (tingkat) pertama
xy - y2 sin x = 0 , adalah PDB orde ke dua (tingkat ke dua)
+ e4x = 0 , adalah PDB orde ke tiga (tingkat ke tiga)
Pangkat (derajat)
1
Pangkat dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat dari turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial.
Contoh : ( )3 + 2 + y = ln x , adalah PDB tingkat 3 (orde 3) dan
berpangkat 3 (derajat 3) .
x3 ( + 2 ( + x ( + 3 xy = 0 , adalah PDB tingkat 3
(orde 3) berpangkat 2 (derajat 2) Pemecahan Umum
Yang dimaksud dengan pemecahan/penyelesaian suatu PD adalah hubungan fungsi antara perubah-perubah yang memenuhi PD itu.Yang dimaksud pemecahan umum (general solution) suatu PD yang berorde n adalah hubungan fungsi antara perubah-perubah yang mengandung n konstanta, fungsi ini disebut fungsi primitif atau integral umum dari PD.
Contoh : y” + 4 y = 0 , memiliki sebagai pemecahan umum : y = C1 Cos 2x + C2
Sin 2x .Bilamana kepada konstanta-konstanta itu diberikan suatu harga, maka pemecahan itu
disebut pemecahan partikulir (particular solution), misalnya y = 2 Cos 2x + 3 Sin 2x.
Proses Pembentukan Persamaan Diferensial.
Persamaan Diferensial dalam prakteknya dapat dibentuk dari suatu pertimbangan masalah fisis. Secara matematis, PD dapat muncul apabila konstanta-konstanta sembarangnya di eliminasi dari fungsi yang diberikan.
Contoh :1. Tinjau y = A sin x + B cos x , dimana A dan B adalah konstanta sembarang, PD orde berapakah persamaab tsb ?Jawab : y = A sin x + B cos x
= A cos x – B sin x
= - A sin x - B cos x
= - ( A sin x + B cos x ) = - y
Jadi Persamaan Diferensialnya adalah : + y = 0 , jadi PD orde ke dua .
2. Bentuklah sebuah PD dari fungsi y = x + , A adalah konstanta
2
Jawab :
y = x +
= x + A.x-1
= 1 – A.x-2
= 1 -
Dari persamaan di atas : y = x + , maka = y - x jadi A = x (y – x)
Sehingga didapat :
= 1 -
= 1 –
=
=
Jadi x = 2x – y , Persamaan Diferensial orde pertama .
Contoh 3 : Bentuklah PD untuk y = A x2 + B x Jawab : y = A x2 + B x ............................(1)
= 2 A x + B ..............................(2)
= 2 A , didapat A =
Subsitusi 2 A ke persamaan (2), didapat :
= x + B atau B = - x
Dengan memasukan nilai A dan B ke dalam persamaan (1), kita dapatkan :
y = x2 . + x ( - x )
= x2 + x - x2
3
y = x - , ini adalah PD orde ke dua .
Jika kita kumpulkan beberapa hasil terakhir, kita dapatkan :
1. y = A sin x + B cos x , menghasilkan PD + y = 0 , orde ke dua .
2. y = Ax2 + Bx , menghasilkan PD y = x , orde ke dua
3. y = x + menghasilkan PD x = 2 x - y , orde pertama.
K e s i m p u l a n :
1. Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan PD orde pertama.2. Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan PD orde ke dua ,
Maka fungsi dengan n konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde ke n.
Jadi tanpa menyelesaikan secara rinci, dapat kita katakan bahwa :
a. y = e-2x(A +Bx) , menghasilkan PD orde ke dua
b. y = A , menghasilkan PD orde ke satu (pertama)
c. y = e3x(A cos 3x + B sin 3x), menghasilkan PD orde ke dua.
BAB II Persamaan Diferensial Orde Pertama (PD Orde Satu)
Suatu PD orde pertama mempunyai bentuk umum (secara implisit) sebagai berikut :
F(x,y, ) = 0 ................................................................... ( 1 )
Contoh :
1. x + y2 + x2 + 2 = 0
2. - 2 y + ex = 0
3. x - y2 = 0
Dalam bentuk eksplisit PD orde pertama (orde satu) berbentuk sebagai berikut :
= f(x,y) ........................................................................... ( 2 )
Contoh :
1. = 2 y + ex
4
2. = xy + x2
3 =
Suatu fungsi y = y(x) dikatakan solusi PD (1) atau PD (2), apabila y = y(x) atau
turunannya yaitu memenuhi PD (1) atau PD (2) .
Contoh :
y = x2 + 1 , adalah solusi PD = 2 x
y = x2 + C , untuk C konstanta sembarang juga merupakan solusi dari PD = 2 x ,
sedangkan solusi y = x2 + C , yang memuat konstanta C disebut sebagai solusi umum
dari persamaan diferensial = 2 x .
Jadi solusi umum suatu PD masih memuat konstanta C, sedangkan solusi khusus diperoleh dari solusi umum dengan mengambil konstanta C suatu bilangan tertentu atau suatu solusi yang memenuhi syarat-syarat yang diberikan, misalnya syarat awal.
Beberapa cara penyelesaian dari PD 0rde pertama (orde satu) derajat satu dapat diperoleh sebagai berikut :
Bentuk Umum dari PD :
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
1. Dengan cara memisahkan variabelnya.
Bentuk M(x,y)dx + N(x,y)dy di ubah ke bentuk P(x)dx +Q(y)dy, dengan :P(x) suatu fungsi dari x saja ,Q(y) suatu fungsi dari y saja
Penyelesaian diperoleh dengan mengintegralkannya sebagai berikut :
Contoh :
a). xy + x2 + 1 = 0
y + = 0
5
y dy + = 0
y dy = -
y2 = -
- ( ) + C
y2 = - x2 – 2 ln x + C
b).
dy = x2 y3 dx
y-3 dy = x2 dx
-
2 x3 + 3 y-2 + C = 0
c). (x2 + 4) sin y - x = 0
sin y - = 0
sin y dy =
- cos y =
Jadi solusi umumnya adalah : Cos y + = 0
2. Persamaan Diferensial Homogen (PD Homogen)
Dari bentuk M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 , dikatakan PD Homogen apabila M(x,y)dx dan N(x,y)dy homogen dan berderajat sama (berpangkat sama).Metode penyelesaian PD orde pertama (orde satu) homogen dilakukan dengan
subsitusi z = , sehingga PD berubah menjadi variabel terpisah.
Dengan subsitusi z = , maka y = x z dan dy = x dz + z dx .
6
Contoh :a). (x+y) dx + (y-x) dy = 0
+ = 0
.............................................................................. ( a )
Misal : z = atau y = x z , maka dy = x dz + z dx
Subsitusikan ke dalam persamaan (a) , didapat :
x
x
=
=
(
- =
Arc tg z - = ln x + C
Arc tg z = ln ( 1 + z2 )1/2 + ln x + C
7
Arc tg = ln ( 1 + 1/2 + C
b). Tentukan solusi umum PD :
2 x y + x2 - 2 y2 = 0
Jawab :
2 xy + x2 - 2 y2 = 0
......................................................................................... ( b )
Misal : z = atau y = x z dan dy = x dz + z dx
Subsitusikan ke dalam persamaan ( b ), didapat :
z + x = z -
x
- 2 z dz =
=
- z2 = ln x + C
- ln x + C atau y2 = - x2 (ln x + C)
Persamaan Diferensial yang dapat di homogenkan :
Bentuk Umum
( ax + by + c ) dx + ( px + qy + r ) dy = 0
8
Subsitusi : x = x0 + u maka dx = du y = y0 + v maka dy = dv
Persamaan Diferensial menjadi : ( a x0 + a u + b y0 + b v + c ) du + ( p x0 + p u + q y0 + q v + r ) dv = 0
Atau
( ax0 + by0 + c + au + bv ) du + ( px0 + qy0 + r + pu + qv ) dv = 0
Pilih x0 dan y0 sedemikian rupa, sehingga persamaan :
a x0 + b y0 + c = 0
p x0 + q y0 + r = 0
dengan cara determinan atau cramer dapat dicari atau dihitung x0 dan y0 , dengan syarat determinan dari persamaan tersebut tidak boleh sama dengan nol . Persamaan Diferensial sekarang menjadi :
( a u + b v ) du + ( p u + q v ) dv = 0 , sudah homogen.
PD dapat diselesaikan bila determinan ≠ 0
Contoh :
( 2 x – 4 y – 10 ) dx + ( 5 x – y – 7 ) dy = 0
= - 2 + 20 = 18 ≠ 0
Misal : x = x0 + u maka dx = du y = y0 + v maka dy = dvPD menjadi :
( 2 x0 + 2 u – 4 y0 – 4 v – 10 )du + ( 5 x0 + 5 u – y0 – v – 7 ) dv = 0( 2 x0 – 4 y0 – 10 + 2 u – 4 v )du + ( 5 x0 – y0 – 7 + 5 u – v ) dv = 0
2 x0 – 4 y0 – 10 = 0 5 x0 – y0 – 7 = 0
Dari persamaan tersebut dengan cara determinan didapat :
9
x0 = = = 1 ; y0 = = = - 2
Jadi : x = 1 + u atau u = x - 1
y = - 2 + v atau v = y + 2
Sehingga PD menjadi :
( 2u – 4v )du + ( 5u – v ) = 0
Misal : z = atau v = u z maka dv = u dz + z du, disubsitusikan menjadi :
( 2u – 4 uz )du + ( 5u – uz ) (u dz + z du) = 0
(2u – 4uz +5uz – uz2) du + ( 5u2 – u2z ) dz = 0
(2u + uz – uz2)du + u2 (5 – z) = 0
u (2 + z – z2) du + u2 (5 – z) dz = 0
+ = 0
ln u – ln (z – 2) + 2 ln (z + 1) = C
ln = C
= C1 ; z = , u = x – 1 dan v = y + 2
= C1
(x-1) ( = C1 (
= C1 (
10
( y + x + 1 )2 = C1 ( y – 2x + 4 )
Note : =
=
= =
Disamakan koefisiennya , yg ada z : 1 = A + B
tak ada z: -5 = A -2 BDidapat : A = -1 dan B = 2
Cara lain untuk menghomogenkan Persamaan Diferensial
B U :
(ax + by + c) dx ± (px + qy + r) dy = 0
Misal : ax + by + c = u maka a dx + b dy = du px + qy + r = v maka p dx + q dy = dv
didapat :
dx = ; dy =
Persamaan Diferensial menjadi :
u( = 0
u q du – u b dv + v a dv – v p du = 0
11
( u q – v p ) du + ( v a – u b ) dv = 0 , sudah homogen dapat diselesaikan.
Contoh : ( 3y – 7x + 7 ) dx + ( 7y – 3x + 3 ) dy = 0
= -9 + 49 = 40 ≠ 0
Misal : 3y – 7x + 7 = u maka 3 dy – 7 dx = du
7y – 3x + 3 = v maka 7dy – 3 dx = dv
dy =
dx =
Persamaan Diferensial menjadi :
u (
(-7 u – 3 v) du + ( 3 u + 7 v ) dv = 0
Misal : z = atau v = u . z maka dv = u dz + z du
Sehingga PD menjadi : (-7u –3 uz)du + (3u + 7uz) (u dz + z du) = 0
-7u du – 3uz du + 3 u2 dz + 3 uz du + 7 u2 z dz + 7 u z2 du = 0
(-7u + 7 uz2) du + ( 3 u2 + 7 u2z ) dz = 0
7u (z2 – 1) du + u2 (7 z + 3) dz = 0
7 (z2 - 1)du + u (7z + 3)dz = 0
7 dz = 0
12
7
7 ln u +
ln u7 + 2 ln (z+1) + 5 ln (z-1) = C
ln u7 (z+1)2 (z-1)5 = C u7 .(z+1)2 . (z-1)5 = C1
u7.(
u7 (
(v+u)2 . (v-u)5 = C1
( 7y – 3x + 3 + 3y – 7x + 7 )2 . (7y – 3x + 3 – 3y + 7x – 7)5 = C1
(10y – 10x + 10)2. (4y + 4x – 4)5 = C1
Yang kita bicarakan sebelumnya determinannya tidak boleh sama dengan 0, jika
determinannya sama dengan 0 maka penyelesaiannya sbb :
BU : ( ax + by + c ) dx ± ( px + qy + r ) dy = 0
= 0
Misal : maka (ax + by) = m (px + qy)
Andaikan : z = px + qy maka dz = p dx + q dy , dan
dy =
P D menjadi :
( m z + c ) dx + ( z + r ) dy = 0 , dy disubsitusi sehingga menjadi :
(mz + c) dx + (z + r) ( ) = 0
(qmz + qc) dx + (z + r) (dz – p dx) = 0
13
(qmz + qc) dx + ( z + r)dz – (z p + pr) dx = 0
qmz dx + qc dx + z dz + r dz – zp dx – pr dx = 0
(qm – p) z dx + (qc – pr) dx + (z + r) dz = 0
dx + (z + r) dz = 0
dx =
Contoh :
(x – 2y + 9) dx – (3x – 6y + 19) dy = 0
= - 6 + 6 = 0
Maka m =
z = px + qy = 3 x – 6 y maka dz = 3 dx – 6 dy dan
dy =
Sehingga P D menjadi :
(
(2 z + 54) dx – (z + 19) (3 dx – dz ) = 0
2 z dx + 54 dx – 3 z dx – 57 dx + z dz + 19 dz = 0
- z dx – 3 dx + z dz + 19 dz = 0
- (z + 3) dx + (z + 19) dz = 0
dx =
x =
14
x = z + 16 ln (z + 3) + C = (3x – 6y) + 16 ln (3x – 6y + 3) + C
(2x – 6y) + 16 ln (3x – 6y +3) + C = 0
Atau
3. Persamaan Diferensial Exact (PD Eksak) dan Faktor Integral
Persamaan umum M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 , dikatakan PD Exact apabila :
Untuk mendapatkan jawaban persamaan diferensial, kita peroleh dengan cara sbb :
= M(x,y) ......................................................................... ( 1 )
= N(x,y) ........................................................................... ( 2 )
Dari persamaan ( 1 ) :
= M(x,y)
(2x-6y) + ln (3x-6y+3)16 + C = 0
15
f(x,y) =
Dari persamaan ( 2 ) :
= N(x,y)
atau
C(y) = -
Jadi jawaban PD adalah :
F(x,y) = 0
= 0
Contoh :
1). ( 3 x2 + 3 y2 ) dx + 6 x y dy = 0 M(x,y) = 3 x2 + 3 y2 N(x,y) = 6 x y
f(x,y) =
16
f(x,y) = x3 + 3 x y2 + C(y)
= 6 x y + C’(y)
6 x y + C’(y) = 6 x y C’(y) = 0 C(y) = k
Jadi fungsinya :
f(x,y) = x3 + 3 x y2 + k
2). ey dx + ( x ey + 2 y ) dy = 0
M(x,y) = ey ; N(x,y) = x ey + 2 y
= M(x,y) = ey
f(x,y) = = x ey + C(y)
= x ey + C’(y)
= N(x,y) = x ey + 2 y
x ey + C’(y) = x ey + 2 y
17
C’(y) = 2 y C(y) = y2
Jadi fungsinya :
f(x,y) = x ey + y2
Faktor Integral
Jika PD tersebut tidak exact maka dapat dijadikan exact dengan mengalikan suatu faktor tertentu, sehingga mudah diselesaikan dengan integral , faktor ini disebut faktor integral ( ).
Cara untuk menentukan faktor integral ( )
Misal PD : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 Tidak Exact Maka :
atau
.................................................... ( 1 )
Sekarang kita tinjau beberapa kasus sbb :
Kasus 1 :
Misalkan yaitu fungsi dari x saja , maka dan
Persamaan ( 1 ) menjadi :
=
= ............................................................. ( 2 )
18
Bila suatu fungsi dari x saja ; jadi misalkan
= g(x) , maka dari persamaan ( 2 ) dapat di tulis :
= g(x) atau
=
ln µ = =
Jadi faktor integralnya adalah :
=
Dimana : g(x) =
Contoh : y dx + ( x2 y - x ) dy = 0
M = y N = x2 y - x
≠ Tidak Exact
g(x) =
19
= = =
= -
=
= e -2 ln x
= faktor integralnya
Faktor integralnya dikalikan dengan PD semula didapat :
= 0
= 0
M = N = y -
Sudah Exact dapat diselesaikan .
Kasus 2 :
Misalkan fungsi dari y saja, maka dan
Dari persamaan ( 1 ) di dapat :
=
=
= ................................................................. ( 3 )
20
Bila - suatu fungsi dari y saja , misalnya :
= g(y)
Maka persamaan ( 3 ) menjadi :
atau
ln
Jadi faktor integralnya :
Dimana : g(y) =
Contoh : 2 x y dx + ( y2 - 3 x2 ) dy = 0
M = 2 x y N = y2 - 3 x2
≠ Tidak Exact
g(y) =
= =
21
=
= e- 4 ln y
= y-4 = dapat diselesaikan
Persamaan Diferensial menjadi :
= 0
= 0
M = 2x y-3 N = ( y-2 - 3 x2 y-4 )
= Sudah Exact
f(x,y) =
= x2 y-3 + C(y)
- 3 x2 y-4 + C’(y) = y-2 - 3 x2 y-4
C’(y) = y-2
C(y) =
= -
22
Jadi f(x,y) = x2 y-3 – y-1 atau f(x,y) =
Kasus 3 :
Miasal fungsi dari x dan y , kita subsitusi z = x y
dan
. = . y ......................................................... ( a )
= . x ............................................................... ( b )
. Persamaan ( a ) dan ( b ) dimasukkan ke dalam persamaan ( 1 ) :
) = .............................................................. ( 1 )
) =
( y N – x M ) =
=
Bila :
= h(z) ; z = x y ,
Maka faktor integralnya adalah
23
Contoh : y dc + ( x + 3 x3 y4 ) dy = 0
M = y N = ( x + 3 x3 y4)
≠ Tidak Exact
h(z) =
=
=
= -
= -
Maka faktor integralnya :
=
= e-3ln z
=
=
Sehingga persamaan diferensial menjadi :
= 0
24
+ ( = 0
M = x-3 y-2 N = ( x-2 y-3 + 3 y )
- 2 x-3 y-3 = - 2 x-3 y-3
Sudah Exact dapat diselesaikan
= x-3 y-2
f(x,y) = x-3 y-2 dx + C(y)
= - + C(y)
. 2 y-3 + C’(y)
= x-2 y-3 + C’(y)
sedangkan
x-2 y-3 + C’(y) = x-2 y-3 + 3 y
C’(y) = 3 y
C(y) =
Jadi fungsinya adalah : f(x,y) = - = - ( x-2 y-2 – 3 y2 ) .
BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU
Suatu persamaan diferensial disebut linear bilamana dan y berpangkat satu dan
tidak diperbanyakan satu dengan yang lain (tidak boleh dikalikan y dan y’)
B U
± P(x). y = Q(x) ................................................................. ( 1 )
25
Persamaan diferensial semacam ini dapat diselesaikan menurut cara :
a). Bernoulli
b). Lagrange
c). Faktor Integral
a. Cara Bernoulli
Masukkan subsitusi y = U V , dimana U dan V fungsi dari x saja , sehingga :
y = U V
Persamaan ( 1 ) menjadi :
U + P(x) . UV = Q(x)
U + V ( = Q(x) ..................................................... ( 2 )
U ditentukan sedemikian rupa, sehingga :
+ P(x) U = 0
+ P(x) dx = 0
= - P(x) dx
ln U = ln atau U =
Sehingga persamaan ( 2 ) menjadi :
U = Q(x)
26
= Q(x)
dV = . Q(x) dx
V = . Q(x) dx + C
Jadi :
y = U . V
y = . . Q(x) dx + C
Contoh : 1) -
Misal : y = U V
P D menjadi :
U - = ( x + 1 )3
U + V ( = ( x + 1 )3
= 0
ln U = 2 ln (x+1) U = (x+1)2
U = (x+1)3
(x+1)2 = (x+1)3
= (x+1) dV = (x+1) dx
V =
V =
27
Jadi : y = U . V
= (x+1)2 . (
2). + = 3 x
Misal : y = U V
P D menjadi :
U + = 3 x
U = 3 x
= 0
ln U = - ln x
U =
U = 3 x
+ C
y = U V = ) = x2 +
Soal : 1. 2 xy
2.
3.
4. ( x2 – a2 ) dy - y dx = 0
28
b. Cara Lagrange
Ruas ke dua dari PD ............................................ ( 1 )
di tiadakan terlebih dahulu, sehingga
.................................................................................... ( 2 )
ln y + ln = ln C
ln y = ln C - ln
= ln
y = C . ........................................................................( 3 )
C dianggap sebagai suatu fungsi dari x, dan ditentukan sedemikian rupa sehingga
persamaan ( 3 ) juga memenuhi persamaan ( 1 ) .
ln y + ln = ln C di deferensialkan, menjadi
=
. y =
Q(x) = .
= .
29
= Q(x) .
dC = Q(x) . dx
C = dx + C1
Jadi :
y = ................................................. ( 3 )
Contoh :
ln y + ln x = ln C
ln xy = ln C
x y = C
x dy + y dx = dC
x
30
a = . dx
dC
a x dx = dC =
C = a x2 + C1
x y = a x2 + C1
2 x y = a x2 + C1
c. Cara faktor Integral
B U : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Ruas kiri adalah suatu differensial total, berarti ada fungsi F(x,y) yang memenuhi :
M(x,y) = ; N(x,y) =
Pemecahannya / solusinya sbb : F(x,y) = C
Dari M(x,y) = = M(x,y)
F = + C(y)
Dari + C’(y) = N(x,y)
C'(y) = N(x,y) -
31
C(y) =
Jadi :
F(x,y) = +
Contoh :
(x2 – 4 xy – 2 y2) dx + (y2 – 4 xy – 2 x2 ) dy = 0
M = x2 – 4 xy – 2 y2 N = y2 – 4 xy – 2 x2
PD Exact
M =
= (x2 – 4 xy – 2 y2)
F =
= ( + C(y)
C’(y)
= N(x,y)
( - 2 x2 – 4 x y ) + C’(y) = ( y2 – 4 x y – 2 x2 )
32
C’(y) = y2
C(y) =
C(y) = + C1
Jadi :
F(x,y) = + C1
S o a l – S o a l
A . Selesaikan dengan cara Bernoulli
1. - a y = x4
2.
3.
4.
5.
B. Selesaikan dengan cara Lagrange
1.
2. ( 1 – x2 ) x y = a
3. 2 y’ + x y = 3 x
4. y’ + 3 y = x
33
C. Selesaikan dengan cara faktor Integrasi ( Integral )
1. ( 3 x2 + 8 x y ) dx + ( 4 x2 + 3 y2 ) dy = 0
2. ( x2 y + y + 1 ) dx + ( x + x2 ) dy = 0
3. x y3 dx + ( x2 y2 – 1 ) dy = 0
4.
5. y ( x2 + y2 – 1 ) dx + x ( x2 + y2 + 1 ) dy = 0
6. ( 3 x y2 – x2 ) dx - ( 1 – 3 x2 y + 6 y2 ) dy = 0
7.
8.
9. ( 3 x2 y + 2 x y ) dx + ( x3 + x2 + 2 y ) dy = 0
10. ey + y ex + ( x ey + ex ) = 0
BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI
BU :
+ y. P(x) = yn . Q(x)
Penyelesaiannya :
Persamaan tersebut dibagi dengan yn , sehingga menjadi :
P(x) = Q(x)
Misal : = Z y1-n = Z
34
(1-n) y-n =
Persamaan Diferensial menjadi :
+ z. P(x) = Q(x)
Disederhanakan menjadi :
- + z. P(x) = Q(x)
sudah dapat diselesaikan karena sudah linear
Contoh :
x y2
= - x
Misal : = z y-1 = z
- y-2
PD menjadi :
. - y2 = - x
- = - x atau = x
Misal : z = u . v
, sehingga PD menjadi :
35
( u. - = x
u + v ( = x
= 0
ln u = ln x atau u = x
u x
dv = dx v = x + C
z = u . v
= x ( x + C )
= x2 + x C
= x2 + x C atau y =
BAB V Persamaan Diferensial Linear Orde Dua Homogen
Bentuk Umum :
a ............................................................................... ( 1 )
dimana : a , b dan c adalah konstanta .
Bila dipakai operator D = , jadi Dy = , maka bentuk PD tersebut menjadi
( a D2 + b D + c ) y = 0 ............................................................................ ( 2 )
Persamaan ( 2 ) ini dikenal sebagai persamaan karakteristik dari PD ( 1 ) dan akar-
akarnya disebut akar-akar karakteristik PD ( 1 ).
Ada 3 kemungkinan akar-akar persamaan karakteristik ( 2 ) yaitu :
1. Akar Real Berbeda
36
Bila D1 dan D2 , dua akar real berbeda maka : eD1x dan eD2x adalah solusi
yang bebas linear, jadi solusi umum PD ( 1 ) adalah : y = k1 eD1x + k2 eD2x
Contoh :
a). PD : = 0
Penyelesaian :
Persamaan karakteristiknya adalah :
( D2 – 3 D + 2 ) y = 0
( D – 2 ) ( D – 1 ) y = 0
D1 = 2 dan D2 = 1
Maka solusi umum PD adalah :
y = k1 e2x + k2 ex
b). PD : = 0
Persamaan karakteristiknya adalah :
( D2 – 2 D – 3 ) y = 0
( D + 1 ) ( D – 3 ) y = 0
D1 = - 1 dan D2 = 3
Maka solusi umum PD tersebut adalah :
y = k1 e-x + k2 e3x
37
2. Ke dua Akar Sama
Umpama ke dua akar persamaan ( 2 ) adalah sama yaitu D1 = D2 , maka solusi umumnya adalah sbb :
y = k1 eDx + k2 x eDx atau y = eDx ( k1 + k2 x )
Contoh :
a). PD : = 0
( D2 – 4 D + 4 ) y = 0 ( D – 2 ) ( D – 2 ) y = 0 D1 = D2 = 2
Maka solusi umumnya adalah : y = e2x ( k1 + k2 x ) b). Tentukan solusi umum dari PD
= 0
Jawab : Persamaan karakteristiknya adalah :
( D2 – 2 D + 1 ) y = 0
( D – 1 )2 y = 0 D1 = D2 = 1
Maka solusinya :
y = ex ( k1 + k2 x )
3. Akar Komplek
38
Apabila persamaan ( 2 ) adalah komplek atau b2 – 4 a c < 0 , maka akar-akarnya
adalah :
D1.2 = , dimana i2 = - 1
Maka harga
D1 = dan D2 =
Karena D1 ≠ D2 maka :
Q1 = eD1x = e(
Q2 = eD2x = e(
Adalah penyelesaian dasar untuk penyelesaian persamaan ( 1 ), jadi solusi umum untuk PD ( 1 ) adalah sbb :
y = k1 e( + k2 e(
= k1 e( e( + k2 e( e(
= k1 e( ( cos + i sin x ) + k2 e( ( cos x - i sin x )
= e(
Dengan memisalkan k1 + k2 = A dan k1 i - k2 i = B , maka solusi umum
persamaan diferensial ( 1 ) dapat ditulis dalam bentuk :
y = e( ( A cos x + B sin x )
Contoh :
39
1. Selesaikan PD = 0
Persamaan karakteristiknya adalah : ( D2 – 2 D + 2 ) y = 0
Akar-akarnya adalah :
D1.2 =
=
=
= 1 i
Jadi solusi umum PD adalah :
y = ex ( A cos x + B sin x )
2. PD : = 0
Persamaan karakteristiknya : ( D2 + 4 D + 8 ) y = 0 Akar-akarnya adalah :
D1.2 =
=
=
= -2 2 i (ambil yang positip saja)
Jadi solusi umumnya adalah :
y = e-2x ( A cos 2 x + B sin 2 x )
3. Tentukan solusi umum dari PD = 0 ,
40
dengan syarat awal y(0) = 4 dan (0) = 1 .
Jawab :
Persamaan karakteristiknya adalah :
( D2 – 2 D + 10 ) y = 0
D1.2 =
= 1 3 i
Jadi solusi umumnya adalah y = ex ( A cos 3 x + B sin 3 x )
Konstanta A dan B dapat di cari dengan menggunakan syarat awal y(0) = 4 dan
= 1 , sebagai berikut :
Solusi umumnya : y = ex ( A cos 3 x + B sin 3 x ) ; y(0) = e0 ( A cos 0 + B sin 0 ) 4 = A
= ex ( A cos 3 x + B sin 3 x ) + ex (-3A sin 3 x + 3B cos 3 x )
= A + 3 B
1 = 4 + 3 B B = - 1
Jadi solusi PD yang memenuhi y(0) = 4 dan adalah :
y = ex ( 4 cos 3 x – sin 3 x )
Kita tinjau persamaan yang berbentuk :
± n2 y = 0
Ini adalah sebuah kasus khusus dari persamaan :
a PD Linear Orde 2 Homogen
41
Maka : a + c y = 0 atau + y = 0 yang dapat ditulis
sebagai ± n2 y = 0 , agar bisa mencakup kalau-kalau koefisien dari y
bernilai positip atau negatip .
a). Jika + n2 y = 0
( D2 + n2 ) y = 0
D2 = - n2 D1.2 = ± i n ( ini seperti D = α ± i β , dimana α = 0
dan β = n )
Jadi : y = e0.x ( A cos n x + B sin n x )
y = A cos nx + B sin nx
b) Jika : - n2 y = 0
( D2 - n2 ) y = 0
D2 = n2 D1.2 = ± n
D1 = + n dan D2 = - n .
Solusinya adalah :
y = k1 . enx + k2 . e- nx
Hasil yang terakhir ini dapat ditulis dalam bentuk lain, yang kadang kala jauh lebih mudah sebagai berikut : ( hiperbolik )
Cosh n x = enx + e-nx = 2 cosh nx
42
Sinh n x = enx - e-nx = 2 sinh nx
Penjumlahan dari kedua persamaan di atas didapat :
2 enx = 2 cosh nx + 2 sinh nx atau
enx = cosh nx + sinh nx
Pengurangan dari kedua persamaan diatas didapat :
2 e-nx = 2 cosh nx + 2 sinh nx atau
e-nx = cosh nx - sinh nx
Sehingga penyelesaian dari persamaan kita adalah :
y = k1 . enx + k2 . e-nx
dapat kita tulis sebagai :
y = k1 ( cosh nx + sinh nx ) + k2 ( cosh nx – sinh nx )
= cosh nx ( k1 + k2 ) + sinh nx ( k1 – k2 )
y = A cosh nx + B sinh nx
Kesimpulan :
1. + n2 y = 0 y = A cos nx + B sin nx
2. - n2 y = 0 y = A cosh nx + B sinh nx
43
BAB VI. PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT TINGGI (Ordo n)
Definisi :Sebuah persamaan diferensial tingkat tinggi (ordo n) disebut linear bilamana fungsi yang tak diketahui dan masing-masing hasil bagi diferensialnya berpangkat satu dan tidak diperbanyakan satu sama lainnya.
B U :
ao = f(x)
dimana : a0 , a1 , a2 ....... an adalah fungsi dari x.Bilaman ruas kanan sama dengan nol atau f(x) = 0 , persamaan disebut PD tanpa ruas kedua atau homogen atau PD yang diredusir. Dan bila a0 , a1 , a2 ..... an konstan, disebut persamaan diferensial dengan koefisien-koefisien konstan.
Persamaan diferensial yang diredusir dan koefisien konstan
a0 = 0
Metode Euler :Misal : y = etx
= t2 etx
= t3 etx
= tn etx
Sehingga persamaan diferensial menjadi :
a0 tn etx + a1 tn-1 etx + a2 tn-2 etx + ........ + an etx = 0
a0 tn + a1 tn-1 + a2 tn-2 + .......... + an = 0
Akar-akarnya :
44
t1 y1 = c1 et1x
t2 y2 = c2 et2x
t3 y3 = c3 et3x
tn yn = cn etnx
Jadi solusi umumnya adalah :
y = y1 + y2 + y3 + ............
= C1et1x + C2 et2x + C3 et3x + ...............+ Cn etnx
45