MATEK ELMÉLET - ESTIEM Wiki · 2016-05-26 · teljességi axióma: Ha egy számhalmaz felülről...
Transcript of MATEK ELMÉLET - ESTIEM Wiki · 2016-05-26 · teljességi axióma: Ha egy számhalmaz felülről...
MATEK ELMÉLET
HALMAZOK:
részhalmaz: A halmaznak B részhalmaza, ha B bármely eleme az A halmaznak is eleme (jel: B⊆
A )
valódi részhalmaz: B valódi részhalmaza A-nak, ha részhalmaza és A-nak létezik olyan eleme, ami
nem eleme B-nek (jel: B⊂ A)
unió: A és B halmazok uniója azon elemek halmaza, amelyek A-nak vagy B-nek elemei
A ∪ B := { a | a ∈ A ∨ a ∈ B }
metszet: A és B halmaz metszete, azon elemek halmaza, amelyek A-nak és B-nek is elemei
A ∩ B := { a | a ∈ A ∧ a ∈ B }
különbség: A és B halmaz különbsége, azon elemek halmaza melyek elemei A-nak, de nem elemei
B-nek A \ B := { a | a ∈ A ∧ a ∉ B }
komplementer halmaz: A halmaz alaphalmazra vett különbsége (jel: H \ A = Ā)
direkt ( Descartes) szorzat: A és B halmazok direkt szorzata azon rendezett elempárok halmaza,
melyben minden elempár első eleme A-ból való, a második eleme pedig B-ből
AxB := { (a;b) | a∈A ; b∈B }
de Morgan azonosságok:
_
Ā = A : A halmaz komplementerének komplementere maga az A halmaz
____ _ _
A ∪ B = A ∩ B : A és B halmaz uniójának komplementere egyenlő A halmaz
komplementerének és B halmaz komplementerének metszetével
____ _ _
A ∩ B = A ∪ B : A és B halmaz metszetének komplementere egyenlő A halmaz
komplementerének és B halmaz komplementerének uniójával
kétváltozós reláció: az A halmazon vett kétváltozós relációnak nevezzük AxA direktszorzat
részhalmazait
ekvivalenciareláció: olyan reláció, amire a szimmetria, tranzitivitás és a reflexivitás egyszerre
teljesül
-szimmetria: ha a ~b (egyik halmaz elem relációban áll a másikkal) akkor b~a (másik is az
egyikkel)
-tranzitivitás: ha a~b (a és b relációban áll) és b~c (b és c relációban áll), akkor a~c (a és c is
relációban áll)
-reflexivitás: a~a teljesül (bármely halmaz relációban áll önmagával)
VALÓS SZÁMOK
Műveleti tulajdonságok
kommutativitás: felcserélhetőség a + b = b + a ; a x b = b x a
disztributivitás: műveleti sorrend felbonthatósága a x ( b+ c) = a x b + a x c
asszociativitás: zárójelre érvényesülő felbonthatóság (a + b) + c = a + ( b + c)
neutrális elem: semleges elem vagy egységelem a + 0 = a ; a x 1 = a
Rendezési axiómák
trichotómia elve: Bármely két a; b ∈ R számra az alábbi relációk közül pontosan egy
érvényes: a<b ; a>b; a= b
tranzitivitás: Ha a >b és b >c , akkor a > c
monotonitás: ha a <b és c<0 akkor a+ c < b + c és a x c < b x c
Bármely két különböző valós szám között van racionális szám
teljességi axióma: Ha egy számhalmaz felülről korlátos, nem üres akkor létezik legkisebb felső
korlátja (supT) T∈R
Teljes indukció: olyan bizonyítási módszer, melyben igaznak tekintünk egy 'n' egész számra
vonatkozó állítást és ugyanazt az állítást 'n + 1' -re az 'n'-re vonatkozó állítás alapján bizonyítjuk
lépései:
1. kicsi egészre kipróbáljuk, hogy igaz e az állítás
2. feltesszük, hogy 'n' ∈ Z- re teljesül az állítás -> INDUKCIÓS FELTEVÉS
3. belátjuk az indukciós feltevés alapján, hogy az állítás 'n + 1' -re igaz
Binomiális tétel:
halmazelméleti jelentése: n- elemű halmaz k- elemű részhalmazainak száma (tulajdonságai:
szimmetria, additivitás)
egy kéttagú kifejezés bármely egész, nem negatív kitevőjű hatványa szorzattá alakítható
KOMPLEX SZÁMOK
komplex számsík: a komplex számokat ábrázolhatjuk egy derékszögű koordináta- rendszerben
(síkban), ezt a síkot, azaz a komplex számok halmazát valós számsíknak nevezzük
egyenlőség: két komplex szám egyenlő, ha valós és képzetes részük is egyenlő
z = a + ib ; w = c + ib (a,b,c,d valós szám); z=w ha, a=c és b=d
konjugálás: egyik szám a másik konjugáltja ha valós részük megegyezik, képzetes része pedig az
ellentettjére változik; geometriailag: a szám és a konjugáltja egymás valós tengelyre vett tükörképei
z konjugáltja = a- ib ; a valós számok konjugáltja önmaga
összeadás/ kivonás: komplex számok összeadásánál/ kivonásánál a valós és a képzetes részük
külön összeadódik/kivonódik, geometriailag: vektorösszeadás
szorzás: geometriailag: forgatva nyújtás
algebrai alakban:
trigonometrikus alakban:
osztás: (reciprokkal való szorzás) geometriailag: forgatva összenyomás
algebrai alakban
trigonometrikus alakban
hatványozás: a komplex számok hatványozása a Moivre formulával történik
gyökvonás: a komplex számok gyökvonása többértékű művelet, annyi megoldása van ahanyadik
gyököt vonunk ; geometriailag : egy komplex szám n-edik gyökei egy szabályos n- szög csúcsait
jelölik ki
egységgyök: az 1 szám n-edik gyökei ; εk^n = n√1 közül a k-adik
POLINOMOK:
polinom: n-ed fokú polinom az a kifejezés, mely a 'z' változóhoz a következő véges összeget
rendeli
an x z^n + an-1 x z^n-1 +...a1z + a0
an nem egyenlő 0; n a polinom fokszáma, a0 = konstans, z=változó
irreducibilis polinom: valós együtthatós polinomoknál nem mindig tudjuk a polinomot kisebb
fokszámú szintén valós együtthatós polinomokra bontani, az ilyen polinomokat irreducibilis
polinomoknak nevezzük
Bézout- tétele: ha p(z) komplex együtthatós polinómnak gyöke z0 akkor létezik q(z) polinom úgy,
hogy p(z)= (z-z0) q(z) ;degp= 1+degp ; (z-z0)-> lineáris faktor: fokszáma 1
polinomok algebrai alapfeltétele: minden legalább 1. fokú komplex együtthatós polinomnak van
gyöke, ennek következménye: p(z) komplex polinom lineáris faktorok szorzatára bontható: p(z)=
(z-z1)^k1 x (z-z2)^k2....(z-zl)^kl x an
SZÁMSOROZATOK:
valós számsorozatok: {an} sorozat olyan hozzárendelés, amely minden pozitív egész számhoz egy
valós számot rendel
korlátosság: {an} valós számsorozat korlátos, ha létezi k valós szám úgy, hogy minden 'n'-re an>=
k, (k alsó korlát ) és létezik K valós szám, hogy minden n-re an<=K, (K felő korlát)
monotonitás:
{an} monoton növő, ha bármely n<m -re (n, m egész szám) igaz, hogy an<= am, monoton csökkenő
ha an>= am (szigorú monotonitás> az egyenlőség nem megengedett)
határérték: {an} valós számsorozatnak A szám határértéke, ha bármely ε>0 -ra létezik
N( ε) küszöbindex, hogy ha n> N( ε), akkor |an-A| < ε (jelölés lim an = A)
konvergencia: ha létezik lim an = A (a>végtelenbe), akkor {an} konvergens
divergencia: ha nem létezik lim an = A (a>végtelenbe), akkor divergens
torlódási pont: egy T szám torlódási pontja {an} -nek, ha bármely ε>o -ra létezik n, hogy |an-T|< ε
(minden h.é torlódási pont, de fordítva nem igaz)
részsorozat: Az an számsorozat egy részsorozatának nevezzük az ani
számsorozatot, ahol i = 1,2, . . . és ani minden tagja eleme az an részsorozatnak.
Konvergens sorozatok korlátossága: Konvergens számsorozat mindig korlátos
Monoton, korlátos sorozatok konvergenciája: Minden korlátos, monoton sorozat konvergens.
Rendőr- elv: ha {an} és {cn} konvergens és határértékük megegyezik továbbá {bn} sorozatról
tudjuk, hogy minden an ≤ bn ≤cn akkor {bn} határértéke megegyezik a másik két sorozat
határértékével
Műveletek konvergens sorozatokkal:
Nevezetes határértékek:
FÜGGVÉNYEK:
függvény: legyen A és B két valós számhalmaz. Ekkor f: A->B függvény, ha a eleme A-hoz
hozzárendelünk egy b eleme B számot.
Injektív függvény: injektívnek nevezzük azokat a , függvényeket, melyek az értelmezési tartomány
különböző elemeihez az értékkészlet különböző elemeit rendelik. ( a1; a2 eleme A halmaznak, a1
nem egyenlő a2vel és f(a1) sem egyenlő f(a2) -vel)
szürjektív függvény: Ha minden B halmazbeli b számhoz létezik A halmazbeli a szám, hogy
f(a)=b
bijektív: ha injektív és szürjektív, más néven: egyértelmű hozzárendelés
inverz függvény:Az f függvény inverz függvényének nevezzük és 1 f − -el jelöljük azt a függvényt,
mely minden valós 'a' számhoz (mely az f függvény az értékkészletéhez tartozik), azt a
b számot rendeli, melyhez az f az a-t rendelte. Geometriai jelentése: Az 1 f − függvény és az f
függvény grafikonja egymásnak az y x = egyenesre vett tükörképe.
Függvénykompozíció: legyen f A->B és g B-> C , akkor ezeknek kompozíciója az a függvény,
melynek értelmezési tartománya az A azon elemeiből áll, melyeket a g az f értelmezési
tartományába képezi.
értelmezési tartomány: Az f funkció szempontjából lehetséges x-ek halmaza jele: Df
értékkészlet: a lehetséges f(x) függvényértékek halmaza jele: Rf
paritás:
páros ha minden x eleme Df-re f(x) = f(-x) geom: y tengelyre tükrös fgv
páratlan ha minden x eleme Df-re -f(x)= f(-x) geom: origóra tükrös fgv
periódikusság: az f függvény periodikus és periódusa a p valós szám, ha f(x)= f(x+p) bármely
értelmezési tartománybeli x-re
korlátosság: az f fgv korlátos, ha Rf korlátos mint halmaz
)inf( na : legnagyobb alsó korlát, a sorozatnak nincsen ennél kisebb eleme
)sup( na : legkisebb felső korlát, a sorozatnak nincsen ennél nagyobb eleme
monotonitás: f fgv szigorúan monoton nő ha bármely x1; x2 eleme Df-re igaz h x1<x2, akkor
f(x1)<f(x2), szigorúan monoton csökken, ha f(x1)>f(x2)
határérték: legyen f fgv értelmezve az 'a' pont egy környezetében ekkor f-nek az 'a'-ban A a
határértéke ha bármely ε>0- ra létezik δ(ε) >0 úgy hogy ha |x-a| <δ(ε), akkor|f(x)-A|< ε
jobboldali határérték: legyen f fgv értelmezve az 'a' pont egy jobboldalú környezetében (létezik δ ,
hogy (a; a+ δ ) kisebb egyenlő Df). Ekkor az f-nek jobboldali határértéke az 'a'-ban az A szám, ha
bármely ε>0- ra létezik δ(ε) >0 úgy hogy ha |x-a| <δ(ε), akkor|f(x)-A|< ε
baloldali határérték: legyen f fgv értelmezve az 'a' pont egy baloldalú környezetében (létezik δ ,
hogy ( a-δ ; a ) kisebb egyenlő Df). Ekkor az f-nek baloldali határértéke az 'a'-ban az A szám, ha
bármely ε>0- ra létezik δ(ε) >0 úgy hogy ha 0 <|x-a| <δ(ε), akkor|f(x)-A|< ε
folytonosság: legyen f fgv értelmezve 'a' pont környezetében és 'a' pontban is, ekkor f folytonos, ha
bármely ε>0- ra létezik δ(ε) >0 úgy hogy ha |x-a| <δ(ε), akkor|f(x)-f(a)|< ε
végtelenbe tartó függvény: legyen f fgv értelmezve 'a' pont környezetében ekkor f -nek végtelen a
határértéke 'a'-ban, ha bármely K>0- ra létezik δ(K) >0 úgy hogy ha |x-a| <δ(K), akkor f(x) >K
végtelenben vett határérték: legyen f fgv értelmezve az (a;∞) ekkor f-nek az '∞'-ben A a
határértéke ha bármely ε>0- ra létezik k(ε) >0 úgy hogy ha |x-a| <k(ε), akkor|f(x)-A|< ε
szakadási helyek típusai:
hézagpont: ha létezik adott pontban határérték, de nincs értelmezve ott
megszüntethető szakadás: ha létezik adott pontban határérték, de az nem egyezik meg az adott
pontbeli helyettesítési értékkel
lényeges szingularitás: ha nincs az adott pontban határértéke
pólus: lényeges szingularitás egy típusa, ha adott pontban végtelen a határérték
átviteli elv: legyen az f fgv értelmezve 'a' környezetében. Ekkor az f-nek 'a'-ban A a határértéke
akkor és csak akkor, ha MINDEN {xn} -re vett n= végtelen beli határérték 'a' (bármely xn eleme
Df) az {f(xn)} az A pontba tart.
Függvények összegének, szorzatának, hányadosának határértéke:
a) nnnn baba limlim)lim(
b) nnnn baba limlim)lim(
c) nnnn baba lim/lim)/lim( ( 0lim nb )
Boltzano és Weierstrass tételei:
- ha f fgv folytonos értelezési tartománybeli intervallumon, akkor ott korlátos is
(létezik k és K, hogy hogy bármely intervallumbeli pont a kettő közé esik)
- ha f folytonos adott intervallumon, akkor létezik x1; x2 (eleme az intervallumnak) úgy hogy
bármely intervallumbeli pont f(x1) és f(x2) közé esik, azaz f felveszi egy alsó és egy felső korlátját
Elemi függvények:
racionális törtfgv
racionális egészfgv
hatványfgv
logaritmusgfgv
trigonometrikusfgv (inverzeik arc)
hiperbolikusfgv (inverz arcsh)
DERIVÁLÁS:
differenciálhányados: legyen f fgv (Df: R) értelmezve egy x0 pontban és annak környezetében.
Ekkor az f fgv x0 pontbeli differenciálhányados függvényének nevezzük és
adja a differenciálhányadost; geometriai jelentés: (x; f(x)) és (x0;f(x0))
pontokat összekötő szakasz emelkedési meredeksége
derivált: legyen f értelmezve x0 pontban és egy környezetében. Ekkor ha létezik A∈R és ε(x) fgv
úgy, hogy f(x)- f(x0)= A (x-x0) + ε(x) (x-x0) és lim ε(x)= 0 (ha x tart x0-ba) akkor f deriváltja A
szám x0 pontban
függvény érintője: vegyük az (x0;f(x0)) és (x;f(x)) grafikonpontok közötti szakaszokat, amihez
vegyünk olyan x értékeket, amik egyre közelebb vannak x0-hoz, ekkor a szakaszok határhelyzetét
nevezzük f grafikonjának x0 pontban vett érintőjének
bal- és jobboldali derivált: f fgv deriválható az [a;b]-n (Df részhalmaza), ha minden xo∈ ]a;b[ -ra
deriválható x0-ban és f deriválható jobbról a-ban és balról b-ben
deriválási technikák:
folytonosság és deriválhatóság kapcsolata: ha f fgv deriválható adott pontban, akkor ott folytonos
is
egyváltozós függvények monotonitása: ha [a;b]-n f ' (x) >0igaz bármely x ∈ [a;b]-ra, akkor a fgv monoton nő adott intervallumom
ha [a;b]-n f ' (x) <0igaz bármely x ∈ [a;b]-ra, akkor a fgv monoton csökken adott intervallumon
lokális szélsőérték: lokális szélsőértéke van a fgv-nek adott x0 pontban, ha f ' (x0) = 0
(szükséges feltétel)és f ' (x) az x0-ban előjelet vált (elégséges feltétel)
konvexitás: f fgv legyen értelmezve x0-ban és egy környezetében, ekkor f x0-ban szigorúan
lokálisan konvex ha bármely x-re x0 egy adott környezetében f(x)> f ' (x0) (x-x0) + f (x0) , ha
kétszer deriválható és f '' (x) >0 akkor lokálisan konvex, ha f '' (x) < 0, akkor lokálisan konkáv
inflexiós pont: azt a pontot jelenti, ahol a függvénygörbe görbületet vált. A görbe alakja az
inflexiós pontban változik konkávból konvexbe vagy fordítva. Vizsgálata: az a pont ahol a második
derivált egyenlő 0-val( szükséges feltétel) és a második derivált előjelet vált (elégséges feltétel)
Középérték tételek:
Rolle-tétele: Ha a f függvény folytonos az [a;b] intervallumban, differenciálható az intervallum
belső pontjaiban és f (a) = f(b), akkor van olyan a<x0<b szám, hogy f ' (x0)= 0 teljesül
Lagrange- tétele: ha f(x) [a;b]-on folytonos és ]a;b[ -n differenciálható, akkor van olyan a<x0<b ,
hogy
f ' (x0) = (f(b)-f(a) )/ b-a
Cauchy- tétele: f és g függvények folytonosak és deriválhatóak [a;b]-n. Ekkor van olyan x0 eleme
]a;b[ pont, hogy
L’Hospital-szabály: ha egy hányados határértéke a 0
0 vagy
határozatlan alakban áll elő (
helyett lehet is), akkor )('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
axax . Ha ez szintén határozatlan alakú, a szabály
újból alkalmazható. A többi határozatlan alakra is alkalmazható a szabály a következő átalakítások
után:
Határérték alakja Átalakítás
0 → hányadossá alakítás
)(
1
)(lim
)(
1
)(lim)()(lim
xf
xg
xg
xfxgxf
axaxax ,
ez már 0
0 vagy
alakú
00 , 0 ,
1 → logaritmizálás )(ln)()(ln)( limlim)(lim)( xfxg
ax
xf
ax
xg
axeexf
xg
,
ahol a kitevő már 0 alakú
→ törtté alakítás pl. közös
nevezőre hozással
n-ed fokú Taylor-poliom és hiba becslése:
Taylor-formula Lagrange-féle maradéktaggal – Ha az f valós-valós függvény (n+1)-szer
differenciálható az értelmezési tartománya belsejének egy a pontja körüli I intervallumban, akkor
tetszőleges, I-beli x ponthoz létezik az a és x között olyan szám, amire:
INTEGRÁLÁS:
alsó/felső közelítő összeg: f függvény korlátos [a;b;]-n és felosztjuk [a;b] -t. A részintervallumokon
is korlátos f, azaz minden i-re létezik mi≤f(x)≤Mi ( x eleme [xi-xi-1]
– ekkor az alsó közelítő összeg:
– a felső közelítő összeg:
(ha n a végtelenbe tart akkor ezek limsn = limSn határértékek pontosan f határozott integrálját adják
[a;b]-n)
Riemann összeg szerinti határozott integrál: f egy adoot valós és [a;b]-n korlátos és folytonos
függvény. Vegyük [a;b] felosztását, jelölje az osztópontokat növekvő sorrendben x1; x2....xn.
Legyen továbbá a=x0; b=xn. Ekkor tetszőleges ξi eleme ]xi-1; xi[,-t választva (i=1,2,3...n)
összeget a Riemann- összegnek nevezzük.
Folytonos és integrálható függvények kapcsolata: ha egy függvény folytonos [a;b]-n, akkor ott
integrálható, azaz létezik
(ellenpélda: Priman összeg, Dirishlet fgv)
Határozott integrálási szabályok:
határozott integrál additivitása: f(x) integrálható [a;b]-n, ekkor minden [c;d]-n ami részhalmaza
[a;b]- nek, integrálható és
primitív függvény: ha f fgv értelmezett egy [a;b]-n, akkor F(x) -et az f(x) primitív függvényének
nevezzük, ha F'(x)=f(x) az [a;b]-n
Newton- Leibniz szabály: legyen f(x) [a;b]-n integrálható és F(x) a primitív függvénye ott, ekkor:
(ez megadja a kapcsolatot határozott és határozatlan integrál között)
Integrálfüggvény: az f(x) fgv legyen integrálható [a;b] -n , ekkor f(x) integrálfüggvénye:
Parciális integrálás:
Helyettesítéses integrálás:
Racionális törtfüggvények felbontása résztörtekre:
Improprius integrálok fő típusai:
– f(x) [a;∞[ -on korlátos és minden [a;b]-n integrálható, ekkor
– f(x) nem korlátos fgv az [a;b]-n, minden ε>0 -ra az f(x) integrálható az [a+ε; b]-n, azaz f(x) az
'a' fele haladva, nem korlátos, ekkor
– ha f fgv nem korlátos az [a;∞[-on akkor:
→ 1. és 2. típusú integrálok összegére bontható
az integrálszámítás alkalmazásai:
ívhossz számítása:
forgástest felszín:
paraméteresen adott
Forgástest térfogat:
-sima
-paraméteres
Szektorterület:
-paraméteres:
VEKTORANALÍZIS:
vektorműveletek:
-összeadás: a és b vektor összvektorját a paralelogramma szabály alapján kapom meg (kommutatív,
asszociatív)
paralelogramma szabály: a vektor végpontjába vesszük fel b vektor kezdőpontját, az így kapott 2
összefűzött vektor meghatározza az összegvektort,ami a vektor kezdőpontjából, b vektor
végpontjába mutató vektor
- kivonás: a vektort és b vektort közös kezdőpontból felvéve a b vektor végpontjából az a vektor
végpontjába mutató vektor, a két vektor különbsége
- ellentett: az a vektor amit 'a' vektorhoz adva a nullvektort kapjuk
- vektorok szorzása konstanssal: adott 'a' vektor és λ x a olyan, hogy
λ x a = λ x a és ha λ>0 irányuk megegyezik, ha λ<0 ellentétes
nullvektor: olyan vektor aminek hossza 0, iránya tetszőleges lehet
lineáris kombináció: az a1; a2; ….an 'n' db vektor lineáris kombinációja λ1x a1 + λ1 x a2 +.... λn
x an összeg, ahol mindegyik lambda valós szám
lineáris függetlenség: az a1; a2; ….an 'n' db vektor lineárisan független, ha λ1x a1 + λ1 x a2 +....
λn x an =0 esetén a kombinációban szereplő összes lambda = 0 és nincsen más kombinációja a
vektoroknak, mert a nullvektort adná eredményül
lineáris összefüggőség: az a1; a2; ….an 'n' db vektor lineárisan összefüggő, ha bármely lambda
valós szám, úgy hogy nem mindegyik 0 és λ1x a1 + λ1 x a2 +.... λn x an =0 (nem triviális lineáris
kombináció)
skaláris szorzat: a és b vektorok skalárszorzata , eredménye mindig egy
valós szám. Geometriai jelentés: ha a x b =0 , akkor a két vektor derékszöget zár be
vektoriális szorzat: 3 dimenziós vektorokkal végzett művelet, melynek eredménye egy
vektor: Geometriai jelentés: az eredményvektor állása merőleges
a és b vektorra is, irány pedig olyan, hogy a 3 vektor jobbsodrású vektorrendszert alkot
c vektor koordinátái: