MATEMATICA III

TITULO:

APLICACIÓN DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN LA INGENIERÍA CIVIL

APPLICATION OF DIFFERENTIAL CALCULUS IN CIVIL ENGINEERING

INTEGRANTES:

CHRISTIAN LAUREANO REYESMORENO VELASQUEZ GREISI

ESTUDIANTES DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL VI CICLO DE LA UNIVERSIDAD CATÓLICA LOS ÁNGELESDE CHIMBOTE

EMAIL:

Ing.cris.01@gmail.com

greis_21@hotmail.com

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DECLARACIÓN DE FINANCIAMIENTO Y CONFLICTO DE INTERESES:

Declaro bajo juramento que no he recibido ningún tipo de financiamiento, ni existió conflicto de intereses para la ejecución de esta monografía : APLICACIÓN DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN LA INGENIERÍA CIVIL

Atentamente: Los integrante

RESUMEN:

Es común en todas las ramas de la ingeniería el uso del cálculo integral y diferencial, ya que su uso facilita la comprensión de fenómenos que necesitan una determinación numérica, ya sea para el cálculo de áreas, velocidades, resistencia y fuerzas distribuidas.

La Ingeniería civil como rama de la ingeniería, también usa con frecuencia el cálculo, sin lugar a dudas para obtener un análisis estructural adecuado, que se considera una subdiciplina dentro de la ingeniería civil. Este proyecto pretende demostrar como esa disciplina usa los fundamentos del cálculo que aprendimos durante el curso de Cálculo integral y diferencial de una variable, además de su aplicación en el análisis de estructuras.

SUMMARY:

It is common bathroom in all branches of Engineering of the use of integral calculus and differential , as Do USE facilitates understanding of phenomena that need a Distributed numerical determination , either for the calculation of areas , velocities, forces and resistance .

The Civil Engineering as a branch of engineering , also with US calculating frequency , sin doubt for structural Get proper analysis that a subdiciplina considered within civil engineering. This project aims to demonstrate how that discipline US That calculation fundamentals learned during the course variable calculation and integral differential : In addition to its application in the analysis of structures .

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INTRODUCCIÓN

La madera ha sido en el pasado el material más utilizado para construir, hasta que los

avances tecnológicos en hormigón y acero la relegaron a un segundo plano. El uso del

cálculo diferencial es muy amplio tanto en los trabajos de ingeniería civil, al igual que en

diversas ramas. Teniendo en cuenta la importancia de la madera, no solo en el sentido

tradicional o decorativo, sino también como material suplente del hormigón (tal como se lo

hacía hasta unas cuantas décadas atrás en nuestro país), se ha dedicado un espacio para

presentar un ejemplo práctico y muy útil, como es el cálculo de la máxima resistencia de

una viga en función de sus dimensiones; lo cual es muy útil al momento de cortar una barra

a partir de un tronco, aprovechando completamente su espesor y su anchura.

Una demostración muy sencilla, pero ventajosa al momento de decidir las medidas de la

viga que será extraída. Un problema matemático que, sin el conocimiento del cálculo de

máximos y mínimos a través de la derivada, sería muy complejo de solucionar.

En la ingeniería civil la aplicación del cálculo diferencial, principalmente las derivadas de

puntos máximos y mínimos son de gran relevancia ya que nos ayudan a identificar la

flexibilidad de una viga de madera dependiendo de la calidad de esta. Los futuros

ingenieros civiles debemos tener dominio de estos conceptos que sustentan los sistemas de

la ciencia y usar adecuadamente modelos matemáticos para analizar y precisar el

comportamiento de dichos sistemas en su carrera profesional. En este proyecto se detalla la

aplicación de máximos y mínimos en una función para calcular la viga con mayor

resistencia que se puede obtener a partir de un tronco en general.

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Objetivo: Reconocer y comprobar la aplicación de los fundamentos básicos de la

ingeniería dentro del análisis de estructuras como subdiciplina de la ingeniería civil.

Marco Teórico:

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERÍA CIVIL

Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan

para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. A

partir de la formulación matemática de distintas  situaciones se describen procesos reales

aproximados.

 Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil,  una de las múltiples

aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el estudio de las flexiones, un

ejemplo es:

·         FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS FLEXIONES:

Una viga o una barra delgada son sólidos

homogéneos e isótropos cuya longitud es

grande comparada con las dimensiones

de su sección trasversal.

Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican, existen algunas

partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se alargan. Pero hay una línea,

denominada eje  neutro, que no se acorta ni se alarga. Este eje  se encuentra en el centro de

gravedad de la sección trasversal.

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Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de anchura a y de

espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una fuerza en su extremo libre.

Mediremos el desplazamiento del extremo libre y(L) o flecha en función de la fuerza

aplicada F, comprobando su relación de proporcionalidad, mientras que la flexión de la

barra sea pequeña.

A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo en detalle,

calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una fuerza en dicho

extremo que produce una flexión considerable.

Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al

Cálculo de la raíz de una ecuación.

Integral definida.

Supongamos que

La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección

trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.

Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra

es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy

poco.

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En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento

flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada

El radio de curvatura de una función y(x) es

Para pequeñas pendientes (dy/dx)2≈0

Si despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el

extremo libre, respecto del punto P (x, y) es M=F(xf-x)≈F(L-x)

 Que integramos dos veces con las siguientes condiciones iníciales x=0, y=0, dy/dx=0

El desplazamiento yf del extremo libre x=L es proporcional a la fuerza F aplicada    

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Y es el módulo de Young del material

I se denomina momento de inercia de la sección trasversal respecto de la fibra

neutra

Se considera que la aproximación de pequeñas flexiones: el desplazamiento y del

extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce resultados

aceptables hasta un cierto valor del parámetro a dimensional α<0.375, (véase al final del

siguiente apartado) o bien, hasta un valor máximo de la fuerza aplicada Fm=2Y·I·α/L2

Ejemplo:

Sea L=30 cm=0.3 m, la longitud de la barra.

Sea b=0.78 mm=0.00078 m, el espesor de la barra.

La anchura a=0.03 m está fijada por el programa interactivo y no se puede cambiar.

Elegimos como material, el Acero.

Después de realizar la experiencia. La pendiente de la recta que relaciona la desviación del

extremo libre y(L) con la fuerza aplicada F en dicho extremo es

m=3.683 cm/N=0.03683 m/N

·         El momento de inercia I vale

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Dada la pendiente (coeficiente de proporcionalidad de F) calculamos el módulo de Young Y

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