MATE-Y-RAZ

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1111

SISTEMA ROMANO DE NUMERACIÓN En este sistema se usan siete símbolos fundamentales

I V X L C D M ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 1 5 10 50 100 500 1000

El sistema romano no es posicional. Esto significa que el valor de cada símbolo no depende del lugar que ocupa en el numeral, Por esta razón el sistema romano no usa el cero. Los símbolos se combinan de acuerdo con las siguientes reglas: 1. Cuando se escriben los símbolos distintos:

a) Si el menor figura a la derecha, se suma: VI = 5 + 1 = 6; LX = 50 + 10 = 60 XV = 10 + 5 = 15 CL = 100 + 50 = 150

b) Si el menor figura a la izquierda, se resta

IV = 5 – 1 = 4 XL = 50 – 10 = 40 XC = 100 – 10 = 90 CD = 500 – 100 = 400

2. Solamente pueden restarse los tres símbolos siguientes: • I se resta solamente de los dos que le siguen:

V y X IV = 5 – 1 = 4 IX = 10 – 1 = 9

• X se resta solamente de los dos que le siguen: L y C XL = 50 – 10 = 40 XC = 100 – 10 = 90

• C se resta solamente de los dos que le siguen D y M CD = 500 – 100 = 400 CM = 1000 – 100 = 900

3. Los símbolos I, X, C y M no pueden repetirse más de tres veces seguido: 3 se escribe III y

4 se escribe IV 30 se escribe XXX y

40 se escribe XL 300 se escribe CCC y

400 se escribe CD 3000 se escribe MMM y

4000 se escribe … ¿Cómo?

4. Para números mayores que MMM se coloca una raya horizontal sobre el número: Cada raya equivale a multiplicar por mil (agregar tres ceros)

IV = 4; IV = 4000; IV = 4000 000.

XII = 12; XII = 12 000; XII = 12000 000.

Lee el número dado descompuesto en las unidades de los distintos órdenes. Ejemplo 1: 5467 =

�

VIILXCDV

sieteysesentatoscuatrociencincomil��

Ejemplo 2: 32452915 =

�� dosycincuentatoscuatrociendosyainttre

�� quincesnoveciento

Al leer mil se escribe una raya.

Al leer millón se escribe dos rayas.

∴

Forma práctica de Escribir un Numeral Romano

5467 = V CDLXVII

∴ 32452915 = XXXII CDLII CMXV


2222

TABLA QUE FACILITA LA LECTURA Y ESCRITURA DE LOS NÚ MEROS ROMANOS

Usi = Unidades simples D = Decenas Ce = Centenas UMi = unidades de mil DMi = decenas de mil CMi = centenas de mil Mos = millones Ejemplo: El número 7439 se escribe según la trayectoria indicada por las flechas.

EJERCICIOS PROPUESTOS NIVEL I

01. Escribe en sistema romano, los siguientes

números expresados en el sistema decimal a) 25 ........... b) 32 ........... c) 573 ........... d) 274 ........... e) 1798 ........... f) 4069 ........... g) 5003 ........... h) 9300 ........... i) 207508 ........... j) 730029 ........... k) 4949 ........... l) 5032005 ...........

02. Explica por qué son erróneos las siguientes escrituras en el sistema romano. a) IC d) CLL g) CXCVX b) IIV e) XV h) XXL c) III f) XXXX i) M XX CXXII

03. Escribe en el sistema decimal los siguientes números romanos a) XVII g) CCCXXXIII b) MMIV h) LXI c) MCMII i) LXIV d) MCDXCIV j) VI e) XIX k) VI IX VIII f) XXVI l) CMIV

NIVEL II 01. XVI V es:

a) 16500 b) 16005 c) 16050 d) 16055 e) 16555

02. IVI es: a) 4000100 b) 4001 c) 40001 d) 4000001 e) N.A.

03. El resultado de: XVII + XIII es a) XXVIIII b) XXXI c) XXIX d) XXX e) XXVV

04. DCCCI + CCCVII es: a) MCVIII b) MVIII c) MCVI d) CCVIII e) MVIX

05. MDXXXII + DLXXXV es: a) MCXVIII b) MMXVII c) MMCVII d) MMCXVII e) MMCIII

06. MMDCCII + CCXCVIII es: a) MMCM b) MMM c) IV d) MM e) MMDCCC

07. MCDLXVI es: a) 1666 b) 1456 c) 1466 d) 1656 e) 2476

08. 9416 es: a) X CDIV b) IX CDVI c) IX CDXVI d) X CDXVI e) VIDCVI

09. 9406 es: a) X CDIV b) IX CDVI c) IX CDXVI d) X CDXVI e) VIDCVI

Usi I II II IV V VI VII VII IX

De X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC

Ce C CC CCC CD D DC DCC DCCC CM

UMi M MM MMM IV V VI VII VIII IX

DMi X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC

CMi C CC CCC CD D DC DCC DCCC CM

Mos X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC


3333

10. 1002001 es: a) I MMI b) I II I c) I II d) I MI e) I M I

11. CCXXXVII – CLXXVIII es: a) LX b) LVII c) LIX d) LIII e) LVIII

12. LXXV – XXXVIII es: a) XXXVII b) XXVII c) XLVII d) XXXVI e) XXXIV

13. CXVII – LXXII es: a) LV b) LXV c) XL d) LX e) XLV

14. MCXLI – DCCCXVI es: a) CCCXV b) CCXXV c) CDXXV d) CCCXXV e) CCCXXIV

15. DCCCXXVII es: a) 727 b) 927 c) 837 d) 817 e) 827

Actividades de Extensión 01. Escribir en números romanos lo siguiente:

a) El año en qué descubrió América b) El año en qué se realizó la Revolución

Francesa c) El año en qué se proclamó la independencia

del Perú.

d) El año en qué estalló la 1era. y 2da. Guerra Mundial.

e) El año en qué comenzó la Guerra con Chile. f) El año de fundación de tu Centro Educativo. g) El año en qué se realizó el último Mundial

de Fútbol. h) El año de tu nacimiento.

02. Escribe en el sistema romano de numeración el Nº del DNI de tu papá y tu mamá.

03. A qué edad murió Miguel Grau Seminario el «héroe de Ángamos». Da tu respuesta en números roanos.

En casa pueblo y en cada época los números naturales se nombraron de muy distintas maneras y se representaron con signos diferentes. 5 …… Indoarábigo cinco V …… romano VVVVV …… babilónico IIIII …… egipcio

En un principio, cuando el hombre necesitaba contar pocos objetos podía representar cada número con un símbolo distinto. Pero a medida que se fueron multiplicando los objetos que lo rodeaban tuvo que ingeniarse para agrupar los elementos y poder contar en forma más simple. Algunos formaron grupos de diez elementos, otros formaron grupos de cinco. También aprendieron a combinar símbolos para formar otros números.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN Se llama Sistema de Numeración al conjunto de símbolos y reglas que nos permiten escribir y leer correctamente un número. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

0 1 2 3 4 cero uno dos tres cuatro

5 6 7 8 9 cinco seis siete ocho nueve

⇓ Estos símbolos son cifras o dígitos

SISTEMAS DE NUMERACIÓN EN OTRAS BASES - En el sistema de base 10 se usan 10 símbolos (0,

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y se agrupan los elementos de 10 en 10.

- En el sistema de base 9 se usan nueve símbolos (0 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) y se agrupan los elementos de 9 en 9.

- En el sistema de base 8 se usan ocho símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y se agrupan los elementos de 8 en 8, etc.

- En el sistema de base 2 se usan dos símbolos (0,1) y se agrupan los elementos de 2 en 2.

Sistema de Numeración

Conjunto de Símbolos

Conjunto de Reglas

+


4444

Ejemplos: Se tiene un conjunto de 31 elementos. Expresar este número de elementos en base 10, base 9, base 8, base 6, base 5 y base 3. a) En base 10

# de grupos de 10 = 3 # de unidades sueltas = 1 ⇒ N = 31(10) = 31

b) En base 9 # de grupos de 9 = 3 # de unidades sueltas = 4 ⇒ N = 34(9)

Observación 34(9) se lee: «Tres, cuatro, en base nueve»

c) En base 8

# de grupos de 8 = 3 # de unidades sueltas = 7 ⇒ N = 37(8) Observación 37(8) se lee: «Tres, siete en base ocho»

d) En base 6 # de grupos de 6 = 5 # de unidades sueltas = 1 ⇒ N = 51(6) Observación 51(6) se lee: «cinco, uno en base seis»

e) En base 5 # de grupos de 5 x 5 = 1 # de grupos de 5 = 1 # de unidades sueltas = 1 ⇒ N = 111(5) Observación 111(5) se lee: «Uno, uno, uno en base cinco»

f) En base 3 # de grupos de 3 x 3 x 3 = 1 # de grupos de 3 x 3 = 0 # de grupos de 3 = 1 # de unidades sueltas = 1 ⇒ N = 1011(3)

CASOS DE CONVERSIÓN DE SISTEMA DE NUMERACIÓN 1er. CASO. De base 10 a base n(n ≠ 10) Se aplica el método de divisiones sucesivas, que consiste en dividir sucesivamente el número que se desea convertir entre la base a la cual se desea llevar hasta que el último cociente sea menos que el divisor. Ejemplo: Convertir: 3947 a base 8 3947 8 74 496 8 ⇒ 3947 = 75538 27 13 61 8 3 5 5 7

2do. CASO. De base (n) a base (10) Se aplica el método de descomposición polinómica. Ejemplo: Convertir 3248 a decimal. 3278 = 3 x 82 + 2 x 8 + 7 = 192 + 16 + 7 = 215 3er. CASO. De base (n) a base (m) En este caso se procede de la siguiente manera: i) En primer lugar, el número de base «n» se pasa

a base diez. ii) Luego el número obtenido se convierte a base

«m» Ejemplo 1. Convertir 123(7) a base 5 • Pasamos 123(7) a base 10

123(7) = 1 x 7² + 2 x 7 + 3 = 49 + 14 + 3 = 66

• Pasamos 66 a base 5 66 5 16 13 5 ⇒ 66 = 231(5) 1 3 2

∴ 123(7) = 321(5)

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5555


A. 01. Realiza en tu cuaderno las siguientes

conversiones: a) 27 a base 5 b) 154 a base 6 c) 102 a base 3 d) 41 a base 4 e) 13 a base 2 f) 785 a base 9 g) 14 a base 3 h) 145 a base 9 i) 796 a base 6

02. Expresan en el Sistema Decimal a) 546(7) d) 523(6) g) 3240(5) b) 21002(4) e) 321(7) h) 138(9) c) 1212(3) f) 243(5) i) 10100(2)

03. Realiza las siguientes conversiones: a) 42(6) a base 7 b) 1001(2) a base 3 c) 201(4) a base 6 d) 1240(5) a base 4 e) 501(7) a base 4 f) 708(9) a base 6 g) 2107(8) a base 6 h) 701(9) a base 8 i) 2310(4) a base 8

04. En casa una de las siguientes igualdades hallar los valores de las cifras desconocidas: a) )3(abc = 15 f) )4(abcd = 413(9)

b) )7(abc = 139 g) )4(abcd = 413(5)

c) )9(ab = 135(7) f) )6(aaa = 635(9)

d) )5(aba = 102(9) i) )6(abc = 12112(3)

e) )8(abbc = 4175(9) B. 01. Hallar el valor de «n» si: 203(n) = 55(6)

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

02. Hallar el valor de «n» si: 501(n) = 154(8) a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 5

03. Hallar el valor de: «x + y» si: )7(xy = )4(yx

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

04. Hallar el valor de: «a + x», si: )3(xxx = 6a a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

05. Hallar: «a + y – x», si )4(aaaa = 0xy a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

06. Hallar el valor de: «a – a»; si:

)7()8()6( abbaab1 += a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

07. ¿Cuál de los siguientes numerales representa la mayor cantidad? a) 237(9) b) 102(14) c) 143(12) d) 124(13) e) 183(11)

08. Si: )5(xyz = 89; halle el valor de: «x + y – z»

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

09. Si: )6()1x(xy + = 142. Halle el valor de:

«x + y» a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

10. ¿Cuántos números naturales existen entre 62(8) y 78(9) a) 21 b) 22 c) 20 d) 19 e) 23

NIVEL II 01. ¿Cuántos números naturales hay desde el 45(7)

hasta el 125(6) a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23

02. Si: a + b + c = 12; halle la suma de cifras del resultado de efectuar: cabcab ++ a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

03. Calcule: «x + n»; si: )7(7x3 = 304(9) a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

04. Si: ( )( ) )7()6( xyz3m2mm =−+

Dar el valor de «x + y x m» a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

05. Sabiendo que: 121(n) = 196 Hallar el valor de «n» a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

06. ¿Cuántas centenas enteras tiene el numeral 43247? a) 432 b) 43 c) 4 d) 24 e) 2

07. Sabiendo que: baab− = 36 y a + b = 8. Hallar el valor de: «a . b». a) 6 b) 8 c) 12 d) 16 e) N.A.

08. Sabiendo que: baab+ = 77 y a – b = 1. Hallar ab en base 5. a) 43(5) b) 34(5) c) 32(5) d) 133(5) e) N.A.


6666

09. Sabiendo que: ba

ab

+ = 5

Hallar el valor de: «a . b» a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40

10. Si: )8()8( baab + = 36 y a – b = 2; hallar el valor de «a». a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11. Si: a + b + c = 23, Hallar el valor de: cabbcaabc ++

a) 2323 b) 2553 c) 2355 d) 3333 e) Faltan datos

12. Si: )6()6( yxxy + = 63 y(x – y) ) 1. Hallar el

valor de «x . y» a) 12 b) 16 c) 20 d) 24 e) 30

ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN

01. Escribe los siguientes números en el sistema

romano a) 1010(2) ...... b) 101(2) ........ c) 123(7) ........ d) 327(8) ........ e) 10100111(2) f) 3240(5) ......

02. Si: )5(aaa = 62, el valor de 3a - 1 es:

a) 6 b) 4 c) 5 d) 7 e) 3

03. Si: )7()8( n107n = el valor de nn es: a) 33 b) 55 c) 44 d) 66 e) 22

04. Si: n2 = 42n =el valor de n² es: a) 38 b) 25 c) 16 d) 49 e) 64

05. Hallar un número de 2 cifras que sea igual a 6 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta la diferencia de sus cifras. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

06. Una persona nació en el año aa19 y en el año bb19 cumplió (4a + 5b) años. ¿Cuál fue el año

en que tuvo (a + b) años de edad? a) 1981 b) 1976 c) 1967 d) 1971 e) 1955

07. En una lista hay abc seres humanos de los cuales aoc son hombres, ab son mujeres, a son niños y c son niñas; si el número de habitantes está comprendido entre 150 y 300. ¿cuántos eras los habitantes? a) 215 b) 245 c) 195 d) 235 e) 238

08. Hallar un número sabiendo que al agregarle la suma de sus cifras se obtiene 551. Dar como respuesta, la cifra mayor? a) 5 b) 4 c) 6 d) 3 e) 7

OPERACIONES ARITMÉTICAS EN BASE DIFERENTES DE DIEZ

SUMA: En base 6: «6 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior». Ej.: Sumar: 132(6) + 434(6) + 245(6) + 224(6) 22

132(6)

434(6)

245(6)

224(6)

523(6)

1er. Orden: 2 + 4 + 5 + 4 = 15 ¿15 cuántas veces contiene «seis»?

15 = 2(6) + 3 � queda ↓ se llena

2do. Orden: 2 + 3 + 3 + 4 + 2 = 14

14 = 2(6) + 2 � queda ↓ se llena

3er. Orden: 2 + 1 + 4 + 2 + 2 = 11

11 = 1(6) + 5 � queda ↓ se llena

RESTA En base 7: «1 unidad de orden cualquiera es 7 unidades del orden inmediato inferior» Ej.: Restar: 6231(7) – 3654(7)

6231(7)

3654(7)

2244(7)

1er. Orden: 7 + 1 = 8 8 – 4 = 4 2do. Orden: (3 - 1) + 7 = 9 9 – 5 = 4 3er. Orden: (2 - 1) + 7 = 8 8 – 6 = 2 4to. Orden: 6 – 1 = 5 5 – 3 = 2


7777

Recuerda que: BASE SISTEMA CIFRAS DISPONIBLES

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Binario Ternario

Cuaternario Quinario Senario Eptal Octal

Notario Decimal

0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

EJERCICIOS PROPUESTOS

NIVEL I A. Realizar las siguientes sumas en la base indicada: a) 2103(4) +

213(4)

21123(4) + 103(4)

32303(4) +

21013(4)

33332(4) + 2332(4)

b) 3124(5) +

233(5)

43234(5) + 4103(5)

44323(5) +

2443(5)

410234(5) + 324443(5)

c) 545(6) +

345(6)

4035(6) + 555(6)

43554(6) +

5453(6)

554434(6) + 4554(6)

d) 5346(7) +

451(7)

243(7) + 1456(7)

66205(7) +

3256(7)

2334(7) + 43365(7)

e) 236(8) +

432(8)

537(8) + 7651(8)

477(8) +

67153(8)

77766(8) + 456712(8)

f) 537(9) +

213(9)

876(9) + 4578(9)

53781(9) +

44572(9)

53788(9) + 56817(9)

B. 01. Si 5n3 = 103n el valor de 2n – 1 es:

a) 5 b) 9 c) 7 d) 3 e) 1

02. Si 7n5 = 105n el valor de 3n – 1 es: a) 13 b) 16 c) 22 d) 7 e) 19

03. ¿en qué sistema de numeración se realizó la operación 134 + 43 = 221? a) 6 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9

04. ¿En qué sistema de numeración se realizó la operación 345 + 46 = 424? a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 11

05. ¿En qué sistema de numeración se realizó la operación 88 + 77 = 154? a) 12 b) 9 c) 10 d) 11 e) 8

06. ¿En qué sistema de numeración el número 345 se escribe 137? a) 8 b) 7 c) 5 d) 6 e) 9

07. ¿En qué sistema de numeración el número 323 se escribe 164? a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 11

08. ¿Qué valor podría tener «b» en 75 cbaabc = a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

09. Se tiene un peso de 862 g, una balanza de dos platillos y una colección de pesas de 1g, 10 g, 10² g … 10n g. ¿Cuál es el menor número de pesas que se deben emplear utilizando un solo platillo para las pesas? a) 17 b) 18 c) 21 d) 19 e) 16

10. Se tiene un peso de 57340 g, una balanza de dos platillos y una colección de pesas de 1 g, 10 g, 10² g, … 10n g. ¿cuál es el menor número de pesas que se deben emplear utilizando un sólo platillo para las pesas? a) 18 b) 21 c) 13 d) 19 e) 17

11. Se dispone de una colección de pesas de 1 kg, 4 kg, 4² kg, 4n kg, una de cada una y con ellas se quiere equilibrar un peso de 100 kg. ¡Cuántas pesas se emplearán? a) 6 b) 4 c) 7 d) 8 e) 3

12. Se dispone una colección de pesas de 1 kg, 3 kg, 3² kg, … 3n kg, una de cada una y con ellas se quiere equilibrar un peso de 1000 kg. ¿Cuántas pesas se emplearán? a) 6 b) 8 c) 4 d) 12 e) 15


8888

NIVEL II 01. La mayor cifra significativa en el sistema

quinario del número 2436 es: a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) N.A.

02. La mayor cifra significativa en el sistema quinario del numera 2415 es:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

03. La suma decimal de las cifras del numeral 1302224 en base 8 es:

a) 14 b) 10 c) 13 d) 15 e) 16

04. El producto decimal de las cifras del numeral 101013 en base 6 es:

a) 7 b) 8 c) 6 d) 1 e) 0

05. La base del sistema en el cual 1010102 se escribe 42 es:

a) 8 b) 9 c) 7 d) 6 e) 10

06. Si 88 baab + 3115, a + b es igual a: a) 9 b) 8 c) 18 d) 81 e) 7

07. El valor de «a» en 35 b1111abb = es: a) 4 b) 2 c) 1 d) 3 e) 0

08. El mayor valor de «b» en 6abb = 3ab12 es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.A.

09. En un país donde se usa el sistema de base 8 ¿cuánto mide el área de un terreno rectangular de 148 µ de ancho por 228 µ de fondo? a) 2308 µ² b) 4308 µ² c) 3208 µ² d) 3308 µ² e) 3108 µ²

10. Un comerciante que se expresa en el mismo sistema quinario paga S/. 120015 por 2435 polos Si quiere ganar S/. 35 en cada polo, ¿a cómo debe vender cada uno? a) S/. 245 b) S/. 235 c) S/. 305 d) S/. 315 d) S/. 225

CRIPTOARITMÉTICA

Llamamos así, al arte o habilidad de encontrar valores de las cifras o dígitos representados por letras o símbolos de una operación aritmética determinada, respetando las propiedades de dicha operación.

Cada uno de estos problemas debe ser resueltos en forma muy particular, pues no existen formas preestablecidas y solo es materia de INGENIO y RAZONAMIENTO al encontrar su solución o soluciones. CONCEPTOS PREVIOS � Un numeral de 3 cifras se representa así abc : � El numeral de abc se descompone así: 100a +

10b + c � El numeral ab se descompone así: 10a + b � abc = 1 4 8 a = 8

b = 4 c = 8

� abcd cifras de las: unidades decenas centenas unidades de millar

� A letras iguales, cifras iguales. Ejemplo: aba = 343

� La primera cifra de la izquierda del numeral no puede ser «cero»

� La suma de 2 cifras es 18 como máximo. Si es 18 ambos valen 9 y si es 17 una es 9 y la otra 8.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Si a + b + c = 23; hallar

cabbcaabc ++ Resolución: Primeramente disponemos los sumandos para efectuar la suma:

abc + bca cab Ahora sumamos

Las unidades: c + a + b = 23 (dato) Ponemos 3 y llevamos 2

Las decenas: b + c + a = 23 (dato) pero como llevamos 2, es 25 ⇒ ponemos 5 y llevamos 2

Las centenas: a + b + c = 23 (dato) pero como llevamos 2 ⇒ es 25


9999

Conclusión abc bca cab

2553 � Rpta

2. MIOxPERU , si:

PERU x M = 2046 PERU x I = cero PERU x ⊗ = 1023 Resolución: Como se trata de una multiplicación convencionalmente:

PERU x ⊗MI

⊗ x PERU I x PERU

M x PERU

⇒

PERU x ⊗MI

1 0 2 3 0 0 0 0

2 0 4 6

Rpta ⇒ 2 0 5 6 2 3

3. ba3ab2 + = b88. Hallar 2a + 3b Resolución: Ordenando convenientemente:

CDU ba2

ab3

88b 1º en las unidades: b + a = 8 2º en las decenas: a + b = 8 3º en las centenas: 2 + 3 = b ⇒ b = 5 y se concluye que a = 3 4º ahora calculamos 2(3) + 3(5) = 6 + 15 = 21

PROBLEMAS PROPUESTOS

NIVEL I

01. Si: AB + 35 = 88. Hallar: A + B a) 10 b) 11 c) 9 d) 12 e) 8

02. Si 8BA + Hallar: A + B

AB2 6 1 1 a) 6 b) 9 c) 10 d) 11 e) 8

03. Si A68A + Hallar: 2A + B

1B5 5 B 9 5 a) 15 b) 13 c) 11 d) 12 e) 10

04. Si: CBBA +

ACC 2 C 3 5 Además: B ≠ 0. Hallar: A + 2B + 3C a) 26 b) 31 c) 27 d) 32 e) 33

05. Si: A37B1B864A =+ . Hallar A + B a) 6 b) 8 c) 7 d) 9 e) 10

06. Si: 1A1BA426A +++ Hallar A x B a) 15 b) 18 c) 12 d) 16 e) 10

07. Si BAB4 + Hallar: A x B 1 2 1 1 8 4 6 8 4 a) 24 b) 20 c) 32 d) 21 e) 28

08. Si: A27 +

A46

BB

B041

Además: A ≠ 0. Hallar: A + B a) 10 b) 12 c) 8 d) 9 e) 11

09. Si: 6 A B x 8 5 0 7 2 Hallar: (A) (2B) a) 20 b) 24 c) 28 d) 36 e) 32

10. Si: A B 4 x 7 5 A 3 A Hallar: A – B a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 6

11. Si: x 6

7 0 Hallar el multiplicando:

a) 195 b) 145 c) 295 d) 245 e) 155

12. Si: 5 4 x 2 9 4 4 6 Hallar el segundo producto parcial


10101010

a) 5344 b) 1544 c) 1844 d) 1644 e) 1744

13. Si: 3 8 x 7 0 6 4

las 2 primeras cifras (de la izquierda) del producto total son: a) 28 b) 35 c) 63 d) 52 e) 25

14. Si: BA9C x 6 = A65BC . Hallar: A + B + C a) 13 b) 15 c) 18 d) 12 e) 10

15. Si: 4 x 7 2 1 9 2

Hallar la cifra que falta en el producto total a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 6

16. Si: 84A - Hallar: (A + B)²

5B

AAA a) 16 b) 25 c) 36 d) 49 e) 9

17. Si: D9BC - Hallar: C – B + D

9DAB

3BA1 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

18. Si: 8 B 4 4 C A 4 2 0 - 1 4 Hallar: A + B – C a) 7 b) 12 c) 11 d) 15 e) 8

19. Si: 2 4 4 8 - - 2 4 8 Hallar la suma de las cifras del dividendo y cociente a) 19 b) 26 c) 24 d) 20 e) 22

20. Hallar el cociente de: a) 11 b) 101 c) 1001 d) 1100 e) 110

NIVEL II 01. Si: A46A + = 79. Hallar A

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

02. Si: 40BOBCA42A =+ . Hallar A + B – C a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

03. Si: AA6 + Hallar: A . B

B2A

8B9 a) 12 b) 18 c) 15 d) 16 e) 6

04. Si: CBC + Hallar: B + 2C

53B

7CC1 a) 18 b) 12 c) 15 d) 16 e) 13

05. Si: AB2B7A ++ = 122 Hallar: (A + 1) (B + 1) a) 24 b) 18 c) 30 d) 20 e) 36

06. Si: BAC +

BBC Además: A ≠ 0

4AC Hallar: A + B + C

0AA1 a) 14 b) 15 c) 13 d) 18 e) 12

07. Si: AGIMA + Hallar: A + M + I + G + A

MIMI

26GIG a) 26 b) 32 c) 24 d) 28 e) 21

08. Si: BAA + Hallar: A . B

AAB

2631 a) 35 b) 32 c) 36 d) 30 e) 28

09. Si: B6A + Hallar:

C35B

AC7 6 1 C B

a) 1 b) 2

1 c)

2

3 d)

3

2 e)

5

3

10. Si: 908BBCABCABAB =++

Hallar: A + 2B + 3C a) 28 b) 32 c) 36 d) 27 e) 21

11. Si: ABCCCBBAA =++ Hallar: A x B x C a) 80 b) 64 c) 72 d) 45 e) 48

A

CxB


11111111

12. Si: BBA x Hallar: A x B x C 8 46C4 a) 36 b) 32 c) 28 d) 24 e) 30

13. Si: ABC x Hallar: A x B x C 6 A95A a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

14. Si: ABA x Hallar: 2(A + B)

A1

AB6B

ABA

A787 a) 10 b) 12 c) 16 d) 15 e) 14

15. Si: BB3A x Hallar: A + B 8 67AB4 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

16. Si: a + b + c = 12 Hallar: cabbcaabc ++ a) 336 b) 222 c) 360 d) 1332 e) 1322

17. Si: 6 8 A A Hallar: A + B – C A B 3 7 B 8 B 5 - C A C A - - a) 9 b) 8 c) 6 d) 3 e) 2

18. Si: 258A 3 6 3 6 B 3 A B 2 5 B 0 8 - B 7 2 B A A - 2 8 a) 10 b) 20 c) 3 d) 4 e) 6

19. Si: B5A4 - Hallar: A + B

A25

538A a) 11 b) 6 c) 12 d) 8 e) 10

20. Si: 9A18AB2 = . Hallar A x B

a) 15 b) 18 c) 12 d) 16 e) 24

ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN 01. Si: (a + b + c)² = 169

Hallar: cabbcaabc ++ a) 1221 b) 1332 c) 1443 d) 1554 e) 1665

02. Hallar: a + b, si: aba1a3aa2aa1a =++ a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

03. Si: 206C7.B5A = . Hallar A + B + C a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

04. Si: B1C31BBAA4 =++ . Hallar: A . B . C a) 288 b) 432 c) 639 d) 369 e) 210

05. Si: ca4a5baaab =++ . Hallar a . b . c a) 117 b) 126 c) 144 d) 135 e) 150

06. Si: ab . 99 = … 53. Hallar: a + b a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

07. Si: abc . 999 = … 274. Hallar: a . b . c a) 35 b) 64 c) 72 d) 84 e) 96

08. Si: abcd . 9999 = …3482. Hallar: a + b + c + d a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

09. En la siguiente multiplicación cada cuadradito representa una cifra, no necesariamente diferente a las demás. Hallar la suma de las cifras no conocidas del producto. 5 x a) 10 3 4 b) 11 c) 12 1 3 1 d) 13 3 8 e) 14

10. En la siguiente multiplicación, los productos parciales están incompletos y faltan tantas cifras en cada uno de ellos, como indican los guiones. Hallar: 2A + B A35 x a) 15

AB b) 16

__A_ c) 17

__B__ d) 18 3 5 2 3 9 e) 19


12121212

11. Si: ba.ab . Hallar: a + b a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

12. Si: ba.ab . Hallar: a + b a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

13. Si: zyx.xyz . Hallar: xyz a) 10 b) 2 c) 36 d) 42 e) 15

14. Completar la siguiente división, tomando en

cuenta que los espacios indicados por los cuadrados corresponden a cifras. Hallar: a . b . c 89a a b c c - - 3 a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

15. En la siguiente división, cada asterisco representa una cifra, no necesariamente igual a las demás. Hallar: A . B . C 1BA B5 * * 1 7 C * * * * * 2 a) 252 b) 396 c) 450 d) 198 e) 336

DIVISIBILIDAD 01. Cuál debe ser el valor de a > 5 para que el

número 356a2 sea divisible por 4. Para que el numero 356a2 sea múltiplo de 4;

a2 = º

4 es decir a2 = 12; 32; 72. Como a > 5, a = 7 Rpta: ………………

02. ¿Cuál es el valor de a < 4, tal que 57a4 sea divisible por 4. Además a ≠ 0. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

03. Cuál es el valor de a para que 3253a sea divisible por 8. a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

04. Cuál es el valor de a para que 31265a sea

divisible por 8. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

05. Hallar el mayor valor de a para que el número

3a2a5 sea divisible por 3. Para que un número sea divisible por 3.

3 + a + 2 + a + 5 = º

3→11 + 2a = º

3→ 2 + 2a º

3 a: 2; 5; 8. El menor valor es 2. Rpta: ………………

06. Hallar el menor valor de a para que el número

572a8 sea múltiplo de 3. a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 0

07. Hallar el valor de a para que el número 62a35

sea divisible por 3. Sumar todos los posibles valores de a. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

08. Hallar el mayor valor de a para que el número

7a2a57 sea divisible por 3. a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9

09. Hallar el valor de a para que el número

72a653 sea divisible por 9. Para que 72a653 sea divisible por 9.

7+2+a+6+5+3=º

9 → 23+a=º

9 → a = 4 Rpta: ………………

10. Hallar el valor de a para que el número 523a21 sea divisible por 9. a) 3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 7

11. Hallar el valor de x para que el número 516x43 sea divisible por 9. a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7


13131313

12. Hallar el valor de x para que el número de la forma 5x31x5 sea divisible por 9. a) 1 b) 0 c) 2 d) 4 e) 5

13. Hallar el valor de a para que el número de la

forma 357a24 sea divisible por 11. a) 2 b) 8 c) 7 d) 9 e) 6

14. Hallar el valor x para que el número de la forma

2x392 sea múltiplo de 11. a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10

15. Si el número de la forma: 92a5a7 es múltiplo de 11, ¿cuánto vale a? a) 8 b) 6 c) 5 d) 9 e) 4

16. Si el número de la forma: 5a3a2a es divisible por 11, ¿cuánto vale a? a) 2 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

17. Hallar el valor de a si el número de la forma

3a285 es múltiplo de 11.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7 18. Cuál es el valor de a que hace posible que el

número de la forma 2a7a3a sea múltiplo de 11. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

19. Hallar el valor de a para que el número de la forma 2a969 sea divisible por 7 Rpta: ………………

20. Determinar si el número 249a9 es múltiplo de

7. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5

21. Hallar el valor de a para que el número 3aa2

sea divisible por 7. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

22. Hallar el valor de a para que el número de la

forma aa1a3sea divisible por 7. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

RESTOS POTENCIALES

Es la serie de residuos (por defecto a exceso) que dejan las potencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de cero) respecto a un módulo «m» (divisor). Ejemplo: Calcular los restos potenciales de 5 respecto al módulo 6. Las potencias crecientes de 5 son: 50 51 52 53 54 …… Expresados en función del módulo y los restos por defecto. � � � � �

º

6 +1 º

6 +5 º

6 +1 º

6 +5 º

6 +1 …… � � � � � 1 5 1 5 1

Gaussiano (G)

GAUSSIANO (G): Es la cantidad de restos potenciales diferentes entre si y de cero, que se repiten en forma ordenada y periódica. En el ejemplo anterior G = 2. Ejemplo. Hallar los restos potenciales de 4 respecto al módulo 9 é indicar el valor de G.

40 = º

9 + 1 Los restos potenciales son

41 = º

9 + 4 G 1; 4; 7; 1; 4; 7 ……

42 = º

9 + 7 entonces G = 3

43 = º

9 + 1

44 = º

9 + 4 POTENCIA DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES DONDE UNO DE ELLOS ES MÚLTIPLO DE UN NÚMERO: Aplicando las propiedades operativas de divisibilidad ó multiplicidad de números podemos calcular cualquier potencia de la suma ó diferencia (∩ ± b) de dos cantidades (binomio) donde uno de ellos es múltiplo de un número, mediante las siguientes reglas:

En divisibilidad al divisor de una división se le atribuye al nombre

de MÓDULO.

Nota


14141414

(º

n± b)n º

n + bn si «n»es par

(º

n± b)n =

−

+

nº

nº

bn

bn si «n»es impar

Ejemplo: 1. Hallar el residuo de dividir 40 ÷ 13

40 13 1 3 ⇒

4050 = (o

13 + 1)50 residuo

Aplicando la regla para la potencia

(o

13 + 1)50 = o

13 + 150 = o

13 + 1 El residuo será: 1.

2. Calcular el residuo de 4746 con respecto al

módulo 5. 47 5 2 9 ⇒

4746 = (o

5 + 2)46 Aplicando la regla para la potencia

(o

5 + 2)46 = o

5 + 246 Calculando el gaussiano de 2 respecto al módulo(5) 20 = 5 + l 21 = 5 + 2 22 = 5 + 4 23 = 5 + 3 24 = 5 + 1 25 = 5 + 2

Luego o

5+ 246 = o

5 + (24)11 x 22

= o

5 + (o

5 + 1)11 x 22

= o

5 + o

5 + 111 x 22

= o

5 + 1 x 22

= o

5 + 4 Dividiendo el exponente por el Gaussiano 46 4 2 11 Por tanto el residuo es 4.


01. Calcular el gaussiano (G) de cada número

respecto al módulo. a) 4 mód. (7) b) 15 mód.(9) c) 20 mód. (56) d) 37 mód. (8) e) 28 mód.(6) f) 28 mód. (5)

02. Sí A = 717, B = 858

Calcular «x» en cada caso.

a) A + B = 7 + x b) A – B = o

7 - x 03. Hallar «x» en:

a) (o

7 + 3)9 = 7 + x b) (o

7 + 4)218 = o

7 + x

c) (o

7 + 2)625 = o

7 + x 04. El residuo de la división (374)375 ÷ 7 es:

a) 5 b) 6 c) 3 d) 4 e) N.A. 05. Indicar el triple del residuo, de la división

l29635 + 7 a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18

NIVEL II

01. ¿Cuántos números de 4 cifras son o

6 ? a) 1200 b) 1300 c) 1500 d) 1700 e) 1900

02. ¿Cuántos números de 2 cifras son múltiplos de

5? a) 19 b) 18 c) 17 d) 16 e) 15

03. Entre 1 y 1000, ¿cuántos números son divisibles

por 3? a) 331 b) 431 c) 351 d) 273 e) 333

04. ¿Cuántos múltiplos de 7 existen entre 1 y 5000?

a) 725 b) 714 c) 753 d) 717 e) 732

05. ¿Cuántos números existen entre 300 y 500, que

sean a la vez divisibles por 4 y por 5? a) 5 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

G = 4


15151515

06. ¿Cuántos números comprendidos entre 120 y 800 inclusive, son múltiplos de 3 y 5 a la vez? a) 44 b) 45 c) 46 d) 47 e) 48

07. ¿Cuántos números mayores que 100 y menores que 300 son divisibles a la vez por 9, por 8 y por 12? a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

08. Del 1 al 300. ¿Cuántos números no son múltiplos de 3? a) 36 b) 37 c) 262 d) 253 e) 264

09. ¿Cuántos números entra 1 y 10000 no son 11? a) 3568 b) 909 c) 9351 d) 909 e) 1023

10. ¿Cuántos divisores tiene 360? a) 32 b) 16 c) 12 d) 24 e) 18

11. Si un número N, es representado por N = 2 x 3, tiene 8 divisores, calcule el valor de n. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

12. Si un número N, es representado por N = 2x+2 . 3x, tiene 15 divisores, calcule el valor de 2x + 5. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

13. Un número tiene 70 divisores. Si descompuesto

en un producto de factores tiene la forma N = 10n x 52 x 11 determine el valor de n. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

14. 225a tiene 169 divisores, entonces el valor de

«a» es: a) 6 b) 8 c) 7 d) 9 e) 10

15. Si 10m x 25n tiene 33 divisores, entonces m + n

es: a) 5 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

16. ¿Cuál es el valor de N = 2n x 33 x 5 si se sabe

que tiene 32 divisores? a) 1030 b) 54.3 c) 64 d) 360 e) 720

17. ¿Cuál es la suma de las cifras de N = 12n x 15n?

Se sabe que N tiene 75 divisores a) 18 b) 19 e) 15 d)27 e) 9

18. Hallar el valor de «a» en: 5a2a5 = o

11 a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 4

19. En el número 7a361b el valor de «a + b» para

que el número sea divisible por 11 debe ser: a)2 b) 5 c) 4 d) 3 e) 6

20. ¿Cuántos valores puede tener «x» si: o

2x59 = a) 10 b) 9 c) 5 d) 4 e) 8

21. ¿Cuántos valores puede tener «x» si: o

3x28 = a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9

22. ¿Cuántos valores puede asumir «x» si: o

4x35 = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

23. ¿Cuántos valores puede asumir «x» si: o

40x5 = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

24. Hallar el valor de «k» para que: o

73K1256= a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7

25. Si o

72x525= Calcular (3x2)2 a) 798342 b) 65434 c) 13244 d) 97344 e) N.A.

26. El valor de «a» en

o

9)4a)(2a(5)5a( =−−− es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

27. La suma de tos valores de «a» en:

o

3)1a(a)2a)(3a( =−+− a) 3 b) 13 c) 5 d) 15 e) 7

28. Si A532es múltiplo de 9 y 3B58 es múltiplo de

11, hallar «A + 8». a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

29. Hallar el residuo que se obtiene al dividir 295

entre 6. a) 5 b) 4 d) 3 d) 2 e) 1

30. Habar el residuo que se obtiene al dividir 314

entre 7. a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1


16161616

31. Hallar el residuo que se obtiene al dividir 295 entre 9. a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

32. Hallar el residuo que se obtiene al dividir 1374 entre 5. a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

33. Hallar el residuo que se obtiene al dividir

123062 entre 8. a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

34. ¿Cuántas canicas tiene Manolito sise sabe que

son menos de 80 y si se cuentan de 7 en 7 sobran 4, pero si se cuentan de 11 en 11 sobran 8? a) 71 b) 79 c) 72 d) 74 e) 76

35. El número de páginas de un libro es mayor que

299 y menor que 313, sise cuentan de 4 en 4 sobran 2, si se cuentan de 6 en 6 faltan 2. ¿Cuántas páginas tiene el libro? a) 309 b) 310 c) 308 d) 306 e) 312

36. Un comerciante tiene entre 406 y 420

manzanas. si os embolsa de Sen 5 le sobran 2, si les embolsa de 7 en 7 le sobran 4. ¿Cuántas manzanas tiene el comerciante? a) 414 b) 415 c) 416 d) 417 e) 418

37. Si o

5ab=

o

9ba= HallarC

o

8abc= = a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 10

38. ¿Cuántos valores puede tener «a» si N es

múltiplo de 9? N =

��

cifras179

a23 a23 a23 ………

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 39. De un grupo de 83 personas. a tercera parte de

las mujeres tiene ojos negros y la onceava parte da los hombres tienen ojos azulas. ¿Cuantas mujeres no tienen ojos negros? a) 4 b) 48 c)26 d) Hay 2 respuestas e) Hay 3 respuestas

40. Hallar el residuo de dividir:

155154 ÷ 8 a) 1 b)2 c) 3 d) 4 e) 5

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Z

OPERACIONES EN Z NIVEL I

A. Resuelve las siguientes operaciones

01. 01. ( ) ( )[ ]232233 896:152.27 −−+−

02. ( ) ( )2320232 6:4108156.3:81 −+−−

03. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]345258 272.30:7112:2 −−+−−−−

04. ( ) ( )[ ]353 2323 9002.27:64128 +−++−

05. ( ) ( ) ( )2453052

81243343:4.31225 −−+−

06. ( ) ( )( )( ) ( ) ( )[ ]2:1001:41x125278:493252 275336

−−−−+−−

07. ( )( ) ( )[ ]{ }123 223 023 5.52643.425.25.6:216343 −−+−+−−

08. 3 22232223 135:6123108:6023 +−+−−++++

09. ( )5

3312

23 63 32

2

512

16

1442:43:3:923

205302

−

−+−


17171717

10. ( ) ( )242141315121 52:81:216x3225 +−−+

11. ( )[ ] 2143233121 1125432.627:27.54.6 +−−+−−

12. ( ) ( )[ ] 3 3 6223 23243 662125643:27812 −++−−

B. 01. Dada las expresiones:

A = 4 - [2 - (3 - (-1 + 4)) – (1 – 5) – 5] B = [2 – (-1)3 + (1 - 32) - (5)2]:[1+(- 2)2] Hallar el valor de: A2 + B2 a) 40 b) 29 c) 10 d) 45 e) 25

02. Dada las expresiones:

A = 2 42; B = -(2)2:2 + 2-18: (-9) y C =122: 12-(24:12).32

El doble de A menos el cuádruple de 8 más el quíntuple de C es igual a: a) -6 b) 5 c) -2 d)-30 e) 26

03. Efectuar:

P = 63:7 – 4 . (315 313) + (39)0 – (-1)9 a) 47 b) 13 c) -16 d) 36 e) 36

04. Ordenar de menor a mayor A = -34 + 43 +24; B = 43 - 34+ 24 ∧ C = 24 -34 - 34 a) C; A; B b) A; B; C c) A; C; B d) C; B; A e) B;A; C

05. Si K= 1-2x3-4x8 -(-2)3

L = 3 729 + (32)0 – (22)2 Hallar: L3 + 12K a) 54 b) -58 c) 60 d) 156 e) -60

06. Efectuar. 272/3 + (-27)2/3

a) 9 b) -9 c) 18 d) 19 e) 0 07. Respecto a la potenciación, se afirma:

I. Es conmutativa: 23 = 32 II. Es asociativa: (23)2 =(2)3

2

III. Es distributiva: (4 + 5)2 = 42 + 52 Señale verdadero o falso: a) VVV b) VFV c) FVF d) FFV e) FFF

08. Dado los conjuntos:

A = {x/x ∈ Z ∧ - 7 ≤ x < 9 B = {x/x ∈ Z ∧ - 9 < x ≤ 8

Hallar n(A) + n(B) a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

09. Un elevador en una mina parte del nivel del

suelo y sube 45m, luego baja 93m, sube 36 m, baja 40 m, sube 12m y para. Si consideramos las alturas sobre el nivel del suelo como positivas y bajo el nivel del suelo como negativas, ¿cuál es la posición final del elevador? a) – 32 m b) – 40 m c) + 8 m d) – 25 m e) + 15 m

10. Manuel sale de paseo en su auto con cierta suma

de dinero en su bolsillo. Regala 40 soles a un necesitado, luego le pagan 120 soles que le debían, pero comete una infracción de tránsito por lo que paga 350 soles, quedándose únicamente con 10 soles ¿Cuánto tenía inicialmente? a) S/. 280 b) S/. 310 c) S/.160 d) S/. 420 e) S/. 270

11. Víctor se encuentra impaciente en una calle.

Anda 160 metros en sentido norte, a continuación camina 236 metros en sentido sur, después cambia otra vez de sentido y camina 80 metros al norte, vuelve a cambiar al sentido contrario caminando 170 metros, finalizando su paseo. ¿A cuántos metros está del punto de partida y en qué sentido? a) 102 metros al norte. b) 136 metros al sur. c) 186 metros al norte. d) 166 metros al sur. e) 154 metros al sur.

12. De un depósito que contiene 700 litros de agua,

se sacan 150 litros, mientras tanto el depósito recibe 180 litros. Después se sacan 300 litros mientras tanto el depósito recibe «x» litros, siendo el contenido final del depósito 1000 litros ¿Cuál es el valor de «x»? a) 450 b) 380 c) 510 d) 490 e) 570


18181818

13. Un ciclista recorre por una carretera 20 kilómetros en un sentido, después vuelve y recorre en sentido contrario una cierta distancia, a continuación vuelve y recorre en el mismo sentido que al principio 5 kilómetros. Después de estos recorridos ha resultado que se encuentra a 7 kilómetros del punto de partida y en sentido opuesto al de partida. ¿Cuántos kilómetros recorrió la segunda vez? a) 21 km b) 26 km c) 30 km d) 32 km e) 40 km

14. Un día el termómetro ha marcado 16ºC, al día

siguiente bajó cierto número de grados y al siguiente subió 9ºC, después de lo cual el termómetro marcaba -2ºC. ¿Cuántos grados bajó el segundo día de observación? a) 15º C b) 27º C c) 16º C d) 28º C e) 9º C

15. Un depósito tenía 100 litros de agua. A continuación se ha sacado cierto número de litros de agua y ‘después se han devuelto sólo 20 litros, después se estas manipulaciones resulta que el depósito tiene la mitad del volumen que tenía inicialmente. ¿Cuántos litros de agua se sacaron inicialmente? a) 30 l b) 40 l c) 50 l d) 60 l e) 70 l

16. Se han multiplicado entre si dos números

enteros, siendo el multiplicando 42 y el producto 3108. Si el multiplicador aumenta en 2 docenas, calcular la suma de cifras del nuevo producto a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

17. ¿Cuál es el menor número entero que, al

multiplicador por 240, el resultado tenga raíz cuadrada exacta? a) 12 b) 15 c) 18 d) 24 e) 30

18. Compré una casa por S/. 12 500 y un automóvil

por S/. 8000. Vendí la casa en S/. 12 564 y el automóvil en S/. 11676. ¿Gané o perdí y cuánto? a) Gané S/. 3740 b) Gané S/. 3120 c) Perdí S/. 3720 d) Gané S/. 3745 e) Perdí S/. 136

19. Hallar el número de plantas que hay en un jardín sabiendo que la raíz cuadrada entera de dicho número es 21 y el reto de la raíz es 17. a) 455 b) 456 c) 457 d) 458 e) 459

20. Un ejército libró 3 batallas consecutivas, si se

sabe que en cada batalla perdió 200 soldados y recibió 50 soldados de refuerzos. ¿Qué cantidad de soldados habían antes de iniciar la batalla si al final de la segunda quedó con 800 hombres? a) 100 b) 1300 c) 1100 d) 1500 e) 1600

21. Un niño está autorizado a coger de un recipiente

tres caramelos al día y reponer uno si coge dos caramelos más de lo indicado. Si se sabe que al cabo de 3 días de consumo repuso 2 caramelos y la cantidad que sobró en el recipiente es de 29 caramelos. ¿cuántos caramelos habían al principio? a) 40 b) 39 c) 38 d) 37 e) 36

22. Si cuando ocurrió la Guerra del Pacífico el

héroe Miguel Grau Seminario tenía 45 años de edad, ¿En qué año nació? a) 1830 b) 1834 c) 1836 d) 1835 e) 1850

23. Andrea le pregunta la edad que tiene su prima

Mayté y ella responde: Si a mi edad le sumas el máximo múltiplo de tres menor que 20 y le restas el múltiplo de cinco entre 11 y 16 resulta diecisiete, ¿qué edad tiene Mayté? a) 12 años b) 13 años c) 14 años d) 15 años e) 16 años

NIVEL II 01. Un contratista ofrece a un obrero S/. 6 por cada

día de trabajo y S/. 2 por cada día en que por falta de obra no trabaje. Si después de 17 días recibe S/. 70. ¿cuántos días no trabajó? a) 9 b) 12 c) 11 d) 8 e) 13

02. En un examen de matemáticas de 19 preguntas

se asignan 9 puntos. a las preguntas bien contestadas y 4 puntos a aquellas que no fueron contestadas. Suponiendo que todas las que se contestaron fueron correctas, ¿cuántas


19191919

preguntas no se contestaron si el puntaje final fue 111 puntos? a) 15 b) 11 c) 12 d) 13 e) 9

03. Se embotellaron 101 piezas de alcohol en botellitas de 7 y de 3 onzas. Sí el total de botellas de uno y otro tamaño es 23, ¿cuántas botellitas de 3 onzas tienen alcohol? a) 15 b) 8 c) 7 d) 13 e) 9

04. Se desea envasar 279 litros de vino en toneles

de 15 y 9 litros, respectivamente. ¿Cuántos toneles de 9 litros se necesitaron si el total de toneles empleados fue 27? a) 27 b) 20 c) 23 d) 21 e) 17

05. En 41 envases, algunos de 17 litros y otros de 5

litros, se desea vaciar un total de 385 litros de agua. ¿Cuántos envases de 17 litros se tuvieron que emplear? a) 26 b) 12 c) 19 d)14 e) 15

06. Maritza hizo dos llamadas telefónicas; una a

Quito y otra a Arequipa. ¿Cuántos minutos duró su llamada a Quito si pagó por las dos llamadas S/. 244 y en las dos llamadas empleó 29 minutos? Datos: Comunicarse 1 min con Quito cuesta S/. 13. Comunicarse 1 min con Arequipa cuesta S/. 6 a) 12 min b) 10 min c) 15 min d) 13 min. e) 17 min

07. En un patio grande hay cerdos y patos. Si se

cuentan 28 cabezas y 78 patas, ¿cuántos patos hay en el patio? a) 15 b) 11 c) 17 d) 19 e) 13

08. En una granja donde existen pavos y vacas se contaron 98 patas y 31 cabezas. ¿Cuántas vacas hay en la granja? a) 14 b) 15 c) 16 d) 19 e) 17

09. Se debe vaciar ciento cinco litros de agua en

depósitos de 11 y 4 litros. ¿Cuántos son de 11 litros si en total se usaron 21 depósitos? a) 18 b) 15 c) 17 d) 3 e) 6

10. Para pagar une deuda de S/. 305 empleo billetes

de S/. 5 y S/. 20. ¿Cuántos billetes de los 28 que tengo son de S/. 5? a) 15 b) 11 c) 17 d) 19 e) 13

11. En una función de teatro se obtuvo una recaudación S/. 679. Si el total de boletos vendido fue de 183, ¿cuántos de éstos pertenecían a adultos? Datos: Valor de una entrada para adulto: S/. 5 Valor de una entrada para estudiante: S/. 3 a) 115 b) 65 c) 72 d) 47 e) 118

12. Tengo 50 billetes, unos de S/. 10 y otros de

S/. 50. Si uso todos los billetes que tengo para pagar una deuda de S/. 780, ¿cuántos billetes son de S/. 10? a) 35 b) 43 c) 26 d) 41 e) 29

13. Se vendieron, entre adultos y niños, un total de

91 boletos para una función de cine. Si un boleto de adulto costó S/. 5 y un boleto de niño se vendió a S/. 3, ¿cuántos boletos de adulto se vendieron si la recaudación total fue de S/. 311? a) 19 b) 72 c) 17 d) 21 e) 23

14. Un barril contiene 69 litros de cierto 14 líquido.

Si éste debe ser envasado en 72 botellas, unas de 2 litros y otras de 3 litros, ¿cuántas botellas de 2 litros se va a necesitar? a) 8 b) 15 c) 13 d) 14 e) 12

15. Si vendo a S/. 7 cada pelota gano S/. 12, pero si

las vendiera a S/ 5 perdería S/. 6. ¿Cuántas pelotas tengo que vender? a) 7 b) 6 c) 9 d) 11 e) 13

16. Cinco entradas para hombres y seis para

mujeres, a un teatro, nos cuesta S/. 27. Otro grupo de 8 hombres y 6 mujeres al mismo teatro paga S/. 36. ¿Cuál es el costo de cada entrada para cada mujer? a) S/.3 b) S/. 2 c) S/. 4 d) S/.5 e)S/. 1

17. En una cierta concentración de estudiantes

había triciclos y bicicletas, Si se contaron 85 timones y 185 llantas, ¿cuántos eran los triciclos que había en dicha reunión? a) 11 b) 13 c) 15 d) 16 e) 70

18. Susana tiene S/. 315 en billete de S/. 10 y de

S/. 5. Si tiene un total de 46 billetes, ¿cuántos eran de SI. 5? a) 21 b) 29 c) 23 d) 27 e) 19


20202020

19. El papá de Jorge desea invitarles un helado a él y a cada uno de sus amigos. Si cada helado le costera S/. 2 le sobraría S/. 11; y si cada helado le costara S/.3 le sobraría S/. 4. ¿Cuántos helados están pensando comprar? a) 7 b) 8 c) 9 d) 6 e) 10

20. En el problema anterior, ¿Cuánto dinero tenía el

papá de Jorge? a) S/. 21 b) S/. 18 c) S/. 25 d) S/. 27 e) S/. 28

21. Un obrero gana, diariamente, S/. más que otro.

Después de trabajar cada uno el mismo número de días, el primero recibe SI. 143 y el segundo, S/. 88. ¿Cuánto gana por día el obrero peor pagado? a) S/. 11 b) S/. 13 c) S/.5 d) S/. 12 e) S/. 8

22. Un comerciante empleó S/. 1910 en comprar 50

camisas de S/. 40 y de S/. 35 ¿Cuántas camisas de S/ 40 compró? a) 32 b) 18 c) 16 d) 30 e) 28

23. Si se desea rifar un automóvil haciéndose cierto

número de billetes. Si se vende cada uno a S/. 8, se pierde S/. 600, y si se vende a S/. 10 cada uno, se gana S/.1 400. ¿Cuál es el precio del automóvil? a) S/. 7600 b) S/. 8600 c) S/. 9400 d) S/. 8800 e) S/. 8200

24. En el problema anterior, ¿cuántos billetes se

mandaron hacer? a) 1000 b) 800 c) 1 100 d) 1200 e) 700

25. Un examen bimestral de MATEMÁTICA, de

20 preguntas, se plantea de siguiente modo: Por cada respuesta bien contestada, el alumno gana un punto, y por cada respuesta mal contestada, pierde un punto. Si la nota de un alumno es 10, ¿cuántas preguntas contestó bien? a) 5 b) 15 c) 13 d) 12 e) 9

26. Carlos y David salieron, simultáneamente, de

dos ciudades opuestas uno al encuentro del otro, el primero en motocicleta y el segundo en bicicleta. Además, el primero recorrió 4 km por hora más que el segundo y se encontraron después de 7 horas de haber partido. Si el

segundo ha recorrido 35 km, ¿cuál es la distancia entre las dos ciudades? a) 75 km b) 69 km c) 72 km d) 91 km e) 98 km

27. Diez personas efectúan un viaje e excursión a

Chosica, cuyos gastos convienen pagarlos en partes iguales. Al término del mismo, cuatro de ellos no podían pagar, entonces cada, uno de los restantes tuvo que pagar S/. 8 adicionales. ¿Cuánto le costaba a cada uno, inicialmente dicha excursión?

Rpta:…………… 28. A las 7 a.m. sale un auto de A a 55 km/h y va al

encuentro de otro que sale de B 70 km/h a la misma hora Sabiendo que se encuentran las 12 m , ¿cuál es la distancia entre A y B? a) 625 km b) 615 km c) 6l0 km d) 720 km e) 750 km

29. Entre 24 personas deciden pagar, en partes

iguales, une deuda; pero resulta que 8 de ellas sólo pueden pagar la mitad de lo que les corresponde, obligando de esta manera a que cada una de las demás añadiese a su cuota S/. 6. ¿A cuánto asciende la deuda total? a) S/.516 b) S/. 418 c) S/. 478 d) S/.520 e) S/. 576

30. Pablo tenía 30 años cuando Andrés nació.

Ambas edades suman hoy 48 años más que la edad de Esteban que tiene 30 años. ¿Qué edad tiene Francisco que nació cuando Andrés tenía 13 años? a) 14 b) 12 c) 11 d) 13 e) 15

31. Preguntando a un matemático por las horas

transcurridas responde: «Quedan 6 horas menos que tas horas transcurridas». ¿Qué horas es? a) 1 p.m. b) 12 m c) 11 a.m. d) 3 p.m. e) 4 p.m.

32. Se ha pagado una deuda de S/. 265 con

monedas de S/. 5 y 5/.2. El número de monedas de S/.2 es mayor que el de S/. 5 en 17 monedas. ¿Cuánto suman las monedas de S/. 2 y de S/. 5 (EXAMEN DE ADMISIÓN - UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA? a) 82 b) 81 c) 80 d) 83 e) 79


21212121

33. El tío de Carlos fue el domingo al hipódromo. En la primera carrera, perdió S/.40; en la segunda, ganó S/. 125; en la tercera, ganó el doble de lo que tenía hasta la segunda carrera en la cuarta carrera después de perder la mitad de lo que tenía le quedaron S/.465 ¿.Con cuánto dinero empezó a jugar? a) S/. 360 b) S/. 190 c) S/. 270 d) S/. 120 e) S/. 380

34. La suma de las edades de Carlos y Fernando es

48 años. Al acercarse Carolina, Carlos le dice: Cuando tú naciste yo tenía 4 años, pero cuando Femando nació tenía 2 años. ¿Cuál es la edad de Carolina? a) 21 años b) 23 años c) 24 años d) 27 años e) 25 años

35. En un examen de MATEMÁTICA se utiliza números, unos de una cifra y los demás de dos. Si en total hay 6 dígitos, ¿Cuántos números que aparecen en dicho examen son de dos cifras? a) 7 b) 48 c) 38 d) 9 e) 28

36. Un litro de leche pura pesa 1 gramos. Cierta

mañana se litros que pesan 6120 gramos. ¿Cuántos litros de agua contiene esta leche (EXAMEN DE ADMISIÓN UNMSM) a) 3 l b) 4 l c) 6 l d) 5 l e) 2 l

37. Con tres desarmadores se obtiene un alicate;

con tres alicates, un martillo. ¿Cuántos martillos se obtendrán con 117 desarmadores? (EXAMEN DE ADMISIÓN UNIV. CATÓLICA) a) 1 b) 10 c) 9 d) 13 e) 14

38. Efectuar

a. ( )[ ] ( ) ( )24233 2:21002371:125 −−+−+−+−

b. ( ) ( )( ) ( )[ ]( )32333 2935232398:127 +−+−−+−+−+−−+

c. ( )[ ] ( ) ( )[ ]043 85:981349:152 +−−+−−+−

d. ( )[ ] ( ) ( )24233 2:21002371:125 −−+−+−+−

e. ( )( )[ ] ( )( )23 33359227 −−−−−++−

f. ( ) ( ) ( )4 3323 3 136.2710:523.16125 −+−−−−−

g. ( )[ ] ( )[ ]54 1512169:234 +−−++−

h. ( )[ ]( ) ( ) ( ) 6252471.64:89 263 −−+−+−−−+−

Operadores Matemáticos OBJETIVO: Reconocer nueves operaciones basadas en el principio del valor numérico y aplicarlas en la solución de ejercicios. Operaciones Matemáticas: Procedimiento que valiéndose de reglas o leyes previamente establecidas, transforma cantidades o funciones en otra: Operador: Símbolo sujeto a reglas o leyes que representa una determinada operación matemática. Los operadores más conocidos son:

Con estos operadores podemos crear cualquier operación matemática teniendo como REGLA DE FORMACIÓN alguna combinación de operaciones básicas conocidas.

OPERACIÓN m ∇∇∇∇ n = m + n

OPERADOR REGLA DE FORMACIÓN

OPERADOR OPERACIÓN + Adición x Multiplicación - Sustracción ÷ División [ Radicación

A B

N9


22222222

NIVEL I PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Si se define operación (…) en los números

reales como: a…b = 2a + b²

Calcular: 4…3

02. Si m%n = nm – mn. Hallar (3%2)%4

03. Sabiendo que: x ⊕ y = yx

yx

−∇

04. Si: R = 2R – 4 y x = 19

m∇ n = ²n²m + Hallar el valor de R = (8 ⊕ 6) ∇ (3 ⊕ 4)

a) 0 b) 5 2 c) 10

d) 15 e) N.A. 05. Si:

= 3A – B y = 6

Calcular N – 2 a) 3. b) 5 c) 8 d) 11 e) 12

06. Calcular el valor de:

- 4 Si: = - K- 1

07. Si M ∇ N = 2

N2²M − y M � N =

3

N4M −

Calcular: (3 2) – (7 � 5)

a) 8,64. b) 6,83 c) 7,25 d) 8,2 e) N.A.

08. Hallar el valor de «m» en la ecuación: (2 ∇ m) * (2 ∇ 3) = 4 ∇ m si se cumple que:

m ∇ n = 2m – n a * b = 2b - a

a) 2 b) 9 c) 7 d) 5 e) -1

09. Si: = 2A² - 5 Hallar: V = + 3

a) 6715. b) 1012 c) 26 d) 999 e) 346

10. Sabiendo que: mΨ = 2m³ m > 0

mΨ = 3m³ m < 0 hallar: (9 – 7)Ψ (5 – 6)Ψ + (193 – 192)Ψ

a) 12 b) 11 c) 15 d) 9 e) -18

11. Si: m ∆n = nm

nm

−+

y 8 ∇ n = 7

Hallar «n» a) 0 b) 1 c) 6 d) 8 e) N.A.

12. Si se cumple que: P000 A = 2HayA

3HayP

Siendo: x Hay y = (x + y)2-1 Hallar 1000011

a) 2 b) 1 c) 3 d) 0 e) 3

13. La operación Θ se define mediante la siguiente tabla:

Θ a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d

Calcular: (a Θ b) Θ (c Θ c) (d Θ a) Θ (b Θ b)

a) c/d. b) b/c c) a + b d) 1 e) N.A.

14. Con la tabla anterior calcular:

15. Dada la operación a ⊕ b = 2

ba + y la tabla

correspondiente: Llena la tabla y responde ¿cuáles son los números a escribirse en los espacios x, y, z?

⊕ 1 2 3 4 1 2 3 4

16. Si a & b = a² - b² y 8 & θ = 39

Hallar «θ» si se sabe que es positivo a) 5 b) -5 c) 1 d) -1 e) 0

17. Si: x + x = 32 é y . y . y = 64, entonces: y . x – x = ¿ ?

a) 60 b) 48 c) 62 d) 240 e) 59,5

-8 K

A

2 3


23232323

NIVEL II 01. Sea: (a # b) = a-1 + b-1

L determinar E = ( )( )( )( )5#23#2

3#54#3

Se obtiene: a) 8/15 b) 7/12 c) 5/5 d) 15/7 e) 15/8

02. Si: = 4a – 3b Determinar: a) 84 b) 14 c) 10 d) 86 e) 85

03. Si: m ∆ n = (2m * n) + 5 x * y = x² - 3y Calcular: 1 ∆ 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2

04. Se define la operación (*) por la relación

a * b ( )

>

≤+

bab

bab2aa

2

1

Calcular: 6 * [(2 * 3) + (9 * 9)] a) 65 b) 56 c) 1350 d) 3024 e) 625

05. Si: = 2a + mb = 16 Calcular a) 11 b) 9 c) 15 d) -7 e) -8

06. Se define la operación (*) por la relación a * b = a – b Calcular: (27 * 11)*1/4 a) 1/5 b) -1/2 c) 4

d) -2 e) 2

07. Si: = 1

2x

x−

+

= 2x

x

−

Hallar a) -7 b) -9 c) -11 d) -13 e) -15

08. Se define = 2abc Calcular: R = a) 120 b) 24 c) 36 d) 12 e) 720

09. Si: N = 2N + 6 Y también: = 66 Calcular: 2x d a) 26 b) 38 c) 44 d) 27 e) 17

10. Si: x(x – 1) Hallar «m» en: = 20 a) 7 b) -6 c) 5 d) -4 e) 4

11. Se sabe que: = x(x + 2) = x² - 1 Hallar: + a) 6 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9

12. Si: A = 2A² - 5 Hallar: V = + 2 a) 6715 b) 10126 c) 26 d) 3107 e) 178

13. Si p ∆ q = p + 3q M * n = mn – m + 1 Hallar: (2 ∆ 1) ∆ (2 * 1) a) 17 b) 14 c) 12 d) -7 e) 24

14. Si: = a² - bc Calcular: a) 384 b) -348 c) 248 d) -248 e) N.A.

a b

4 1 5

5 1 3

a b

3 2

-2 3

x

x

-7

a+b b+c a+c

7 9 8

x²-6

x+1

m

m

x

3 2

2 3

a b c

4 3 2

5 3 3

-6 4 2


24242424

15. Si: a b c = a² + bc

∀a, b, c, ∈ R. Hallar:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a) 123 b) 133 c) 99

d) 126 e) 132 16. Una operación es definida en la tabla

* 1 2 3 1 1 2 3 2 2 1 3 3 3 3 1

Hallar: P = [(1 * 2) * 3] * [(3 * 2) * 1] a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES

I. Simplificar

a.

4

24

6

4x

4

62

11

12

22

6

54

+

++

b.

8

2

4

3

2

1x

5

1

2

1

3

2x

4

2

2

++

+

c.

++

3

2

6

1

8

9

3

5.

3

13

1.

3

5

d.

+

+

+

−

−

−

8

11

7

11

6

11

8

11

7

11

6

11

e. 60

1088x36

32

36x2048 −++

f. 24

36x429x12030x48 ++

II. Calcular

01. Los 7

9 de los

3

14 de los

6

4 de 8

02. Los 5

2 de los

3

11 de los

44

9 de los

12

3 de

120 03. ¿Cuánto se obtiene al simplificar el

producto?

−

−

−

−

−n

11......

6

11

5

11

4

11

3

11

a) n

3 b)

n

2 c)

n

4

d) n

5 e)

n

6

04. A cuánto equivale:

3600

121

75

2

48

5

36

5 +−+

a) 3

1 b)

4

1 c)

2

1

d) 5

1 e)

7

1

05. Simplificar:

x = 78,0...34,023,0

7,0...3,02,0⌢⌢⌢

⌢⌢⌢

++++++

a) 38,0⌢

b) 62,0⌢

c) 49,0⌢

d) 48,0⌢

e) 67,0⌢

06. Simplificar:

−+

−3

2

6

1

8

9

3

53

1

3

13

5

a) 1/3 b) 3 c) 5 d) 1/6 e) 3/5


25252525

07. Simplificar:

S = 31x28

1...

10x7

1

7x4

1

4x1

1 ++++

a) 12/29 b) 13/41 c) 15/37 d) 16/33 e) 10/31

08. Calcular: E =

17

1913

19

1743

47

4123

47

4143

17

1923

19

1713

++

++

a) 2 b) 51 c) 1/3 d) 1 e) 7

09. Hallar el calor de «P» aL simplificar

P =

+

+

+

+999

11......

4

11

3

11

2

11

a) 1 b) 1000 c) 500 d) 999 e) 1201

10. Calcular:

S = ∞

+

+

+ ......5

1

5

1

5

1

5

1432

a) 1 b) 3/4 c) 1/5 d) 1/4 e) 7/5

11. Hallar a + b:

96,03

b

11

a =+

a) 5 4) 8 c) 6 d) 7 e) 9

12. Calcular la fracción equivalente:

( )2...58333,0...333,2 +

a) 21/2 b) 21/8 c) 21/4 d) 21/16 e) 7/3

13. La fracción decimal equivalente a:

( )2...666,3...91666,0 + es:

a) 7,52 b) 8,25 c) 8,77 d) 8,97 e) 8,18

14. ¿Cuánto le falta a los 2/3 de los 3/5 para ser

iguala los 3/4 de los 4/7? a) 1/15 b) l/35 c) 1/20 d) 1/25 e) 1/30

15. ¿Cuántos 16 avos hay en 5/12?

a) 15/4 b) 18/5 c) 16/3 d) 20/3 e) 12/7

16. ¿En cuántos 48 avos es mayor: 5/6 que 3/8? a) 18 b) 15 c) 32 d) 16 e) 22

17. ¿Qué parte de 3/4 le falta a 2/5 para que sea

igual a 4/7? a) 2/15 b) 3/25 c) 8/35 d) 7/19 e) 8/31

18. Una fracción reducida a su mínima expresión es igual a 3/5 si la diferencia de sus términos es 24. Halle la suma de ellos: a) 36 b) 48 c) 72 d) 96 e) 60

19. En una clase, la tercera parte de los ausentes

es igual a la séptima parte de los presentes. ¿Qué fracción a los alumnos estuvieron presentes? a) 7/10 b) 3/10 c) 5/7 d) 4/10 e) 2/5

20. Si Felipe sale a pasear con Mary y gasta los

3/5 de su dinero. Si al final le queda 30 soles para la movilidad. ¿Cuánto tenía Felipe? a) 75 soles b) 60 c) 50 d) 90 e) 150

21. Un granjero repartió sus gallinas en cuatro

grupos, en el primero la mitad del total, en el segundo 1/4; en el tercero 1/30 y finalmente en el cuarto 52 gallinas. ¿Cuántas gallinas tenía el granjero? a) 120 b) 20 c) 240 d) 360 e) 480

22. Enrique pierde 1/5 del dinero que tenía y

gana luego 3 soles; en seguida gana 3/4 de lo que queda y pierde 5 soles. Retirándose con 9 soles. ¿Cuánto tenía al comienzo? a) 6,25 b) 25 c) 40 d) 100 e) 62,5

23. Un tonel está lleno un cuarto de lo que no

está lleno. ¿Qué parte del tonel queda vacío, si se vacía un tercio de lo que no se vacía? a) 1/20 b) 216 c) 3/4 d) 11/20 e) 17/20

24. De un depósito que está lleno 1/5 de lo que

no está lleno, se extrae una cantidad igual a 1/6 de lo que no se extrae. ¿Qué parte de la


26262626

capacidad del depósito quedará con líquido? a) 1/8 b) 1/7 c) 2/9 d) 4/11 e) 5/2

25. En una oficina 2/3 de los trabajadores son mujeres; 1/4 de ellas son casadas y 4/5 de ellas tienen hijos. Si los 2/3 de los hombres son casados y 1/2 de ellos tienen hijos. ¿Qué fracción de los trabajadores no tienen hijos? a) 1/35 b) 33/34 c) 2/37 d) 34/35 e) 24/35

26. ¿Cuál es la última cifra del periodo original por 8/63? a) 6 b)2 c) 8 d) 3 e)4

27. Determinar las 3 últimas cifras del periodo original por 6/53 a) 498 b) 596 c) 698 d) 798 e) 898

28. Halle el valor de «m» si: 55

m2 = 0,m36

a) 2 b) 3 c)4 d) 5 e) 6

29. Para x1= 20, x2 = 30, x3 = 42, x4 =56…, etc. Encontrar un número entero positivo «m» tal que:

m321 x

1...

x

1

x

1

x

1 ++++ = 0,23 6⌢

a) 71 b) 72 c)73 d) 74 e) 75

30. Sabiendo que perdí 2/3 de lo que no perdí. luego recupero 1/3 de lo que no recupero y tengo entonces 42 soles. ¿Cuánto me quedaría luego de perder 1/6 de lo que no logré recuperar? a) 36 soles b) 39 c) 42 d) 48 e) 51

31. Alberto va a jugar cartas con 700 dólares y cuando va perdiendo los 3/4 de lo que no pierde, apuesta las 2/5 partes de lo que no quedaba, triplicando su apuesta, retirándose luego del juego, gana o pierde. ¿Cuánto? a) Gana 100 dólares b) Pierde 160 dólares c) Gana 20 dólares d) Pierde 20 dólares e) No gana ni pierde

32. Si en una reunión los 2/3 de los concurrentes son mujeres y los 3/5 de los varones son casados, en tanto que los otros 6 son solteros, el número de personas que asistieron a la reunión es: a) 36 b) 39 c) 42 d) 45 e) 48

33. Si: a, b, y o pertenecen al conjunto de los N.

Además

c,0abc,03 =

Hallar: 222 c b a ++

a) 10 b) 9 c) 12 d) 13 e) 11

34. Pedro reparte su fortuna entre sus cuatro

hijos, al mayor le da la mitad, al segundo le da un tercio del resto, al tercero le da un cuarto de lo que queda. Si el último recibió 600 soles. ¿Cuánto recibió el segundo? a) 250 soles b) 300 c) 350 d) 400 e) 150

35. ¿Cuánto le falta a los 2/3 de los 3/5 ser igual a los 3/4 de los 4/7? a) 1/15 b) 1/35 c) 1/20 d) 1/25 e) 1/30

36. Si a la cuarta parte de los 2/5 de un número,

se le agrega los 2/5 de sus 3/8 y se resta los 3/8 de su quinta parte, se obtiene 21. ¿Cuál es el número? a) 80 b) 120 c) 140 d) 160 e) 200

37. En un depósito tengo 27 litros de leche, si

vendo los 4/5 de lo que no vendo, ¿Cuánto vendo? a) 12 b) 15 c) 18 d) 16 e) 20

38. Un padre de familia recibe cierta cantidad de

dinero por escolaridad. Si gasta los 3/5 de lo que recibió y aún le puedan 120 soles ¿Cuánto recibió por escolaridad? a) 200 b) 250 o) 300 d) 350 e) 280


27272727

Reducción a la Unidad 01. Un hombre realiza un trabajo en 6 h. Su hijo lo

realiza en 12 h. ¿Cuánto tardará en hacerlo juntos? Solución: a) 4 b) 6 c) 9 d) 3 e) 18

02. Un tanque está las 3/4 partes lleno. El caño A puede llevarlo en 12 mm. El caño B puede desaguarlo en 8 mm. Si ambos caños están abiertos. ¿Cuánto tiempo se emplearía en desaguar el tanque? Solución: a) 14’ b) 22’ c) 16’ d) 18’ e) 9’

03. Paty puede hacer una obra en 20 días y Mary la misma obra en 80 días, después de trabajar juntas durante 4 días se retira Paty. ¿En qué tiempo terminará Muy la parte que falta? Solución: a) 64 días b) 60 c) 58 d) 72 e) 66

04. Si César es el triple de rápido que Arturo, ¿En qué tiempo harán una obra si trabajan juntos, sabiendo que Arturo hace la obra en 6 h? Solución: a) 1h 20min b) 1h 30min c) 1h 45min d) lh 50min e) lh

05. “A” y ‘B’ pueden realizar cierto trabajo en 4 días, B y C pueden hacerlo en 6 días; y A y C pueden efectuarlo en 8 días. ¿Qué tiempo utilizaría los tres juntos en realizar este trabajo? (Días) a) 8 b) 4 c) 3 d) 3 e) N.A

PRACTICANDO 01. Un caño llena una piscina en 6 h y un desagüe

lo desaloja en 7 h. Si funcionan los dos juntos, en que tiempo llenarán la piscina. a) 13 h b) l h c) 36 h d) 40 h e) 42 h

02. Pedro puede hacer una obra en 6 días y Juan lo

puede hacer en 8 días. Si trabajan juntos en qué tiempo harán la obra.

a) 7

23 b)

7

22 c)

6

21

d) 5

21 e)

7

24

03. Chiqui puede hacer una obra en 5 días. ¿Qué parte de la obra puede hacer en ‘n” días?

a) 5

a b)

n

5 c) 5n

d) 5 - n e) n + 5 04. Tenencio puede hacer una obra en 5 días y

Roxana podría hacerlo en 10 días. ¿Qué parte de la obra harían en ‘a” días?

a) 5

a b)

10

a3 c)

3

a10

d) 10

a e)

x

10

05. Toñito hizo los 3/5 de una obra en 6 días. ¿Qué parte de la obra hizo en un día?

a) 2

5 b)

5

2 c)

8

3

d) 5

6 e)

10

1

06. COCO puede hacer los 3/8 de una obra en 2 días y 1/8 de día ¿Qué parte de la obra puede hacer en “n’ días?

a) 13

n7 b)

3

n17 c)

17

n3

d) 7

n6 e)

6

n7

07. Pamela hizo los x/y de una obra en z días ¿Cuántos días demorará para hacer la obra?

a) y

xz b)

x

yz c)

xy

x

−

d) yz

x e)

xz

y

08. El Salvaje en dos días podría hacer 4/7 de una obra, pero Paty en 3 días podré hacer 2/5 de la misma. Si trabajan juntos. ¿Cuántos días emplearán?

a) 105

44 b)

44

105 c)

35

48

d) 8

35 e)

48

35

09. Si 4 hombres en un día pueden hacer 8/15 de una obra. ¿Cuánto hace un hombre en un día?

a) 15

32 b)

32

15 c)

15

2

d) 15

4 e)

17

3


28282828

10. Si 4 hombres en 10 días hacen 10/17 de una obra. ¿Cuánto hacen en un día?

a) 17

4 b)

17

10 c)

170

1

d) 17

1 e)

17

3

11. Un obrero haría un trabajo en 2 días, al paso que

otro emplearía. Si trabajan ambos juntos. ¿Cuánto tiempo emplearían en hacer el trabajo? a) 4/3 días b) 2 días c) 3/4 días d) 3 días e) 2/3 días.

12. Un grifo llena un depósito de 4 h y otro lo vacía en 5 h ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito si se abren ambos grifos a la vez? a) 10 h b) 15 h c) 20 h d) 16 h e) 18 h

13. Alfredo es 10 veces más rápido que José. Si

Alfredo puede hacer una obra en 3 días. ¿Qué tiempo demoraría silo ayudase José?

a) 30

11 b)

30

1 c)

11

6

d) 11

30 e)

11

5

14. Ana es 3 veces más rápida que Juana. Si juntas

demoran 6 h para hacer una obra, ¿cuántas horas habría demorado Ana, trabajando sola a) 6 h b) 12 h c) 10 h d) 16 h e) 18 h

15. Carlos trabajando solo, puede hacer un trabajo en 12 días, pero a los 5 días de empezar el trabajo le ponen un ayudante; trabajan juntos 3 días y concluyen la obra. ¿qué tiempo habría demorado si trabaja sólo el ayudante a) 9 b) 8 c) 6 d) 12 e) 7

16. “A” pensó hacer una obra en 9 días. Después de

haber trabajado 4 días llega “B’ en su ayuda y hacen lo que faltaba en 2 días. Si “B” trabajase solo. ¿En cuántos días haría la obra?. a) 5 b) 4 c) 8 d) 10 e) 6

17. Un grifo puede llenar un estanque en 8 h y otro

en 12 h, mientras que un tubo de desagüe lo

vacía en 15 h. Cuando el tanque está lleno hasta 1/3 de su altura se abren los 2 grifos y el desagüe durante una hora. ¿Qué fracción del estanque quedará al final sin llenar?

a) 3

1 b)

120

47 c)

5

3

d) 40

11 e)

40

21

18. Dos obreros pueden realizar un trabajo en 15

días, si uno de ellos se demore 16 días más que el otro trabajando solo. ¿En qué tiempo haría la obra el otro solo? a) 40 b) 35 c) 16 d) 24 e) 38

19. Una cañería llena una piscina en 4 h y otra la

puede dejar vacía en 6 h. ¿En qué tiempo puede llenarse la piscina, si la cañería de desagüe se abre 1 h después? a) 11 h b) 12 h c) 9 h d) 10 h e) 13 h

20. Dos albañiles pueden construir un muro en 20 días; pero trabajando por separado uno tardaría 9 días más que el otro. ¿Qué, tiempo tardará este otro? a) 36 días b) 40 días c) 45 días d) 48 días e) 54 días

21. Dos grifos Ay B llenan juntos un tanque en 30

h. Si el grifo B fuera desagüe se tardaría en llenar el tanque en 60 h. ¿En cuanto tiempo se tardarían el llenar independientemente el tanque? a) 40 h; 120 h b) 60 h; l00 h c) 80 h; 100 h d) 60 h; 120 h e) 40 h; 100 h

22. Estando el desagüe de una piscina cerrado, -un

caño demora 6 horas en llenarla, estando abierto el desagüe,- el caño se demora 9 horas en llenarla. Si llenamos la piscina y cerramos el caño. ¿En cuántas horas se vaciará completamente? a) 18 h b) 12 h c) 20 h d) 15 h e) 16 h

23. Si César es el triple de rápido que Arturo ¿En qué tiempo harán una obra si trabajan juntos, sabiendo que Arturo hace toda la obra en 6 horas? a) 1h 20’ b) 1h 30’ c) 1h d) 1h 45’ e) 1h 50’


29292929

Mezclas

01. Si tenemos una mezcla de 50 litros de agua, con

30 litros de vino, y se extrae 10

3los de dicha

mezcla. ¿Cuánto vino queda? a) 16 b) 15 c) 21 d) 22 e) 25

02. Si tenemos una mezcla de 180 litros donde 80 son de ácido y el resto de agua, sí se saca 81 litros de dicha mezcla ¿Cuánto sale de cada sustancia? a) 36 y 45 b) 15 y 86 c) 5 y 76 d) 25 y 56 e) 35 y 4

03. En un depósito se colocan 4 litros de lejía y 6 litros de agua. Se consume 1/4 de la mezcla y se reemplaza con agua. ¿Cuántos litros de agua hay en la mezcla final? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 6,5

04. En una casa trabajan 3 mayordomos: Yuri, Jaime y Ángelo. El patrón sale de viaje por 3 días. La primera noche Yuri tomó 1/5 del vino de una botella y completó con agua. La segunda noche Ángelo tomó 1/4 del contenido y completo con agua. El tercer día Jaime tomó 1/3 del contenido y completó con agua. Si la botella tenía 960 mililitros de vino. ¿Cuánto mililitros de vino queda en la botella? a) 220 b) 380 c) 322 d) 284 e) 402

05. De un depósito de 64 litros de vino y 16 litros

de agua se extraen 20 litros de la mezcla y se reemplaza con agua y nuevamente se sacan 20 litros de la nueva mezcla y son reemplazados por agua. a) 30 y 34 b) 70 y 10 c) 27 y 53 d) 50 y 30 e) 40 y 40

06. Un depósito contiene 75 litros de leche pura,

luego se extrae 1/3 de su contenido y se reemplaza, enseguida se extrae 1/5 de la mezcla

y también se reemplaza por agua y por último se extrae 1/4 de la nueva mezcla y también se reemplaza por agua. ¿Qué relación de leche pura yagua quedan en el depósito? a) 1/3 b) 2/9 c) 1/7 d) 2/3 e) 1/9

07. Un depósito esté lleno de agua, se saca la mitad

y se. llena de vino. La operación se realiza dos veces más. Hallar la relación del agua y vino final a) 1/4 b) 1/7 c) 1/8 d) 3/7 e) 5/9

08. Dos clases de vinos están mezclados en $tres recipientes. En el primero en la razón 1:1, en el segundo en la razón 1:2, en el tercero en la razón de 1:3, si se saca el mismo volumen de todos los recipientes para formar 39 litros de la primera calidad. ¿Cuántos litros se extrae? a) 24 b) 36 c) 72 d) 18 e) 92

09. Dos clases de vino se han mezclado en los

depósitos “A” y “B” En el depósito “A” la mezcla será en la proporción de 2 a 3 respectivamente y en el depósito “6” la proporción la mezcla es de la 5. ¿Qué cantidad devino debe extraerse de cada depósito para formar otra mezcla qué contenga 7 litros de la primera clase y 21 litros de la otra clase? a) 12 y 16 b) 10 y 18 c) 18 y 10 d) 13 y 15 e) 15 y 13

10. En un tonel se mezclan “m’ litros de agua, “2m”

litros de alcohol y “m2 + 2” litros de vino. Si se extraen “m +1” litros de esta mezcla. ¿Qué cantidad de alcohol se extrajo?

a) m + 2 b) 2m

m

+ c)

2m

m2

+

d) 2m

1

+ e)

2m

1m

++


30303030


31313131

TEORÍA DE CONJUNTOS

CONJUNTOS ESPECIALES: 1. CONJUNTO UNIVERSAL o REFERENCIAL

(U), se llama al conjunto que posee todos los elementos de los conjuntos dados.

2. CONJUNTO DE CONJUNTO: Es aquel conjunto donde al menos uno de sus elementos es un conjunto. Si todos los elementos son conjuntos se denomina familia de conjunto.

3. CONJUNTO POTENCIA: Dado un conjunto A. se llama conjunto potencia de A, aquel conjunto formado portados los conjuntos que se puedan formar con los elementos del conjunto dado, incluido el conjunto nulo ó vacío. Se denote por P(A): potencia del conjunto A, donde el número de elementos del conjunto potencia es: n(P(A)) = 2m: donde «m» número de elementos.

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS: 1. RELACIÓN DE INCLUSIÓN (⊂): Se dice que

A ⊂ B, si todos los elementos de A pertenecen también al conjunto B. Se lee incluido, subconjunto, contenido. Si existe por lo menos un elemento de 6 que no está en A, entonces se dice que A es subconjunto propio o parte propia de B. Se considera incluido en todo conjunto al conjunto nulo o vacío, portante el conjunto vacío es subconjunto propio de cualquier conjunto no vacío.

2. IGUALDAD DE CONJUNTOS: A = B, cuando dos conjuntos tienen los mismos elementos. Si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no tiene el otro entonces se llama conjuntos diferentes.

3. CONJUNTOS COMPARABLES: Se dice así cuando uno de ellos esta incluido en el otro.

4. CONJUNTO DISJUNTO: Sino tienen elementos en común.

5. CONJUNTO EQUIVALENTE O EQUIPOTENTE: Se dice que dos conjuntos son equipotentes si se puede establecer una correspondencia biunívoca o una biyección entre sus respectivos elementos (tiene el mismo número de elementos).

OPERACIONES CON CONJUNTOS a. INTERSECCIÓN Esta formado cortos ele-

mentos que pertenecen a la vez a los dos conjuntos. Se denota por A ∩ B. En dos

conjuntos disjuntos su intersección es el conjunto vació.

Observación: n(A ∪ B) n(A) +n(B)-n(A ∩ B) Si A y B son disjuntos (A ∩ B) = φ n(A ∩ B) 0; n(A ∪ B) n(A) + n(B)

b. UNIÓN: Unión o reunión de los elementos

dedos conjuntos, se denote por A ∪ B; formado por los elementos que pertenecen a A, a B, o a ambos.

c. DIFERENCIACIÓN: Se llama así cuando al

primer conjunto mencionado se resta el segundo conjunto en el orden indicado, se denota por A -B, también se dice que son todos los elementos que pertenecen a A, pero no pertenecen a B.

d. COMPLEMENTACIÓN: Son todos aquellos

elementos que pertenecen al conjunto universal pero que no pertenecen al mencionado conjunto. Así podemos denotar AC o A’, el cual se lee: complemento del conjunto A.

e. DIFERENCIA SIMÉTRICA: Son aquellos

elementos solamente que pertenecen al conjunto A y al conjunto B, pero que no pertenecen a (A ∩ D), se denota por (A ∆ B). A ∆ B = (A - 8) ∪ (B - A) A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)

EJERCICIOS PARA LA CLASE

01. Indica a que tipo de conjunto corresponden:

A = { φ}; B(x∈N/5 < x < 6} a) Vacío; vacío; b) Unitario; vacío; c) Unitario; infinito d) Vació, vació e) Vacío; unitario;

02. Si el siguiente conjunto es unitario. Hallar los

valores de b y a; dar como respuesta su diferencia.

A = {a + b; b + 4; 11} 03. La suma de elementos del conjunto:

A = {(3x + 1)/x ∈ N ∧5 < x < 10} es:


32323232

04. ¿Cuántos subconjuntos tiene: A = {1 ; 2; 3;{3}; {1}}

05. Determinar por extensión: A = {x 2/ x ∈ N ∧1 ≤ x < 5} Dar como respuesta la suma de elementos de A.

06. Si los conjuntos A y B son iguales.

A = (32; 32x) ∧ B={81; 22y+1} Hallar «x + y»

07. Traducir a un diagrame lineal:

NIVEL I 01. Dado los conjuntos;

A = {x/5 <x ~ 7; «x» es número natural} 6 = {x/3x - 1 = 8; «x» es número natural} De ellos cuál o cuáles son unitarios. a) A b) B c) A y B d) Nulos e) N.A.

02. Si

A = (x/«x» es un número natural mayor que 5} B = {x/«x» es una fiera} C = {x/«x» es un mamífero} De ellos cuál es conjunto o cual no de acuerdo a ello marque F. si es falso y V si es verdadero, según corresponda. a) VFV b) VFF c) VVV d) FFF e) FFV

03. Dado el diagrama y las proposiciones; Decir

cuáles son verdaderos y cuáles son falsos: I. 8 ∈ A II. 4 ∈ C III. 4 ∉ B IV. 1 ∈ B V. 5 ∉ A VI. 9 ∉ C a) WFVVF b) VFVVFF c) VVVVFV d) VVVFVV e) VFFVFV

04. Si: A { {a}; b; {o}; {d; e} }, cuál de las siguientes relaciones es verdadera. a) {c} ⊂ A b) a ⊂ A c) b ⊂ A d) {d; e} ⊂ A e) «d; e» ⊂ A

05. Observa el diagrama; Decir cuáles la respuesta

correcta a) M = {1;3;4;5;6;7} b) N = {4;5;6;7} c) P = {2;3;4;6} d) N = {4;5;7} e) Ninguna

06. Si: A = {4x/x ∈ N; 3 < x ≤ 6} ∧

B = {5x/x ∈ N; 3 < x ≤ 5} Cuál de tas siguientes relaciones es falsa. a) B ⊂ A b) 20 ∈ (16;20;24} c) 20 y 25 ∈ {20:25} d) {20} ⊂ {20;25} e) B ⊄ A

07. Si: B = {x2 - 3/x ∈ N; 3 ≤ x < 6}; entonces por

extensión será: a) B = {3;4;5} b) B = {3;4:5;6} c) B = {6;13;22} d) B = {6;13:22;33} e) Ninguna

08. Determinar por comprensión el siguiente

conjunto: D = {1:3;5;7;9;11}

a) D = (x/x ∈ N ∧ x ≤ 11} b) D = (2x + 1/x ∈ N ∧ x ≤ 11} c) D = (2x - 1/x ∈ N ∧ 0 < x ≤ 6} d) D = (2x - 1/x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 6} e) D = (x - 1/x ∈ N ∧ 2 ≤ x ≤ 10}

09. Si B = {x2-3/x ∈ N;3 ≤ x < 6} entonces por extensión Será; a) B = {3;4;5} b) B = {3;4;6} c) B = (6; 13; 22} d) B = {6;13;22;33} e) Ninguna

NIVEL II

01 Sí P = (2, 4, 6; 8:10}, al transformar el conjunto

por comprensión tenemos: I. P = {x/x ∈ N ∧ x < 9} II. P = {(2x + 2)/x ∈ N ∧ 0 ≤ x < 5} III. P = (2x/x ∈ N ∧ 0 ≤ x ≤ 5} a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo III e) Sólo II y III

A B

C

U

A

B

C 1

2 3 4

5 8

9 6

7

P

M N

1

2 3

4 5

6

7


33333333

02 Traducir a un diagrame lineal el siguiente diagrame de Venn-Euler. a) U b) U C A A B B C c) U d) U C A B C A B e) Ninguna

03 Traducir a un diagrame lineal el siguiente

diagrama de Venn-Euler. a) U b) U c) U C D B C A C B A D D d) U e) Ninguna B A C D

04 Determinar cuántas elementos tiene cada uno de

los siguientes conjuntos: a) P(A) = 128 subconjuntos b) P(B) 16~ subconjuntos a) 7 y 7 b) 7 y 6 c) 5 y 5 d) 7 y 12 e) N.A.

05 Si los conjuntos A y B son iguales, hallar la suma de los elementos del conjunto «C»; tal que: A = {5a-1; 4b+2}; B = {125; 64} ∧ C = {x3/x ∈ N ∧ b ≤ x ≤ a} a) 36 b) 27 c) 100 d) 80 e) 90

06 Si: A = {2: 8; {9}}. ¿Cuántas de las

afirmaciones son ciertas? I. 2 ⊂ A II.{8} ∈ A III. {2;8} ⊂ A IV. {9} ∈ A a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

07 Dados los conjuntos unitarios;

A = {x + 7; 2 x 4. 5> ∧ B = {y - 3; 5 y – 15} Hallar el valor de «x +y» a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

08 Dados los conjuntos

A = φ ;B = {0}; C { φ}; indique lo correcto. a) A =.8 b) B = C c) n(B) = n(C) d) n(B) = (C) e) Todos son iguales

09 Si; M = (3; 5; 7; 9:11} al transformar el

conjunto por comprensión, tenemos que: I. M={x/x ∈ |N ∧ x < 6} II. M = {(2x + 1)/x ∈ |N ∧ 1 ≤ x < 6} III. M = {(2x - 1)/x ∈ |N ∧ 1 < x < 6} a) Sólo II b) Sólo I c) Sólo III d) Solo I y II

10 Dado el conjunto:B = {x/x ∈ N ∧ 0 < x ≤ 6}

Determinar n(P(B)] a) 16 b) 32 c) 64 d) 8 e) 24

11 Determinar el siguiente conjunto por extensión:

A = {2x/x ∈ N ∧ 0 ≤ x ≤ 6} a) {1;2;4;8;16:34} b) {1;2;4;8;16} c) {2;4;8;16;32} d) {1;2;4;16;32}

EJERCICIOS PARA LA CLASE

01. Dados los conjuntos:

A = {x/x es un número natural menor que 13} E = {x/x es divisor de 12} Hallar A ∩ 6

U

A B

C

U A B

C D

A B


34343434

02. Dados los conjuntos A = {x ∈ N/2 ≤ x ≤ 8) B = {x ∈ N/6 < x < 10 c) = (6; 7; 8} Hallar (A ∩ B) ∩ C

03. Si: A = {1;2;5;6} B(2;3;4; 5} C = (4; 5; 8; 7} ¿Cuáles son los elementos que deben estar en la parte achurada del diagrama?

04. Dados los conjuntos: A = (x/4 ≤ x2 ≤ 100; x ∈ N} B = (x/2x - 1 ≤ 11; x ∈ N} Hallar n(AUB)

05. Se tienen los datos:

n(M)32; n(N)-=27 y n(M ∩ N) = 11 entonces el número elementos de MUN es:

06. Del siguiente diagrame. ¿Cuántos elementos

tiene el conjunto (A ∩ B)UC

07. La operación (A - B)UB es igual a;

08. Dado los conjuntos: U = {0; 2; 4; 6: 8} A = {4; 8} y B ={2; 6} Determinar (A ∩ B) U (B ∩ A)

EJERCICIOS PROPUESTOS DE

OPERACIONES CON CONJUNTOS

NIVEL I 01. Dados los siguientes conjuntos:

A = {x/x es letra de la palabra «teléfono»}

B = {x/x es letra de la palabra «elefante»} Hallar A ∩ 8 a) {e;l;f} b) {e;f;n} c) {e;l;f;n} d) {l;f} e) {e;l;f,n;t}

02. Si: A = {1:2; 3; 7}; B = (2; 5; 6; 7};

C = (3; 4; 5; 7} Entonces; cuáles son los elementos que deben estar en las partes achuradas del diagrama. a) 2;5;7 b) 2;3;7 c) 2;3 d) 3;5; 7 e) 2;5;6;7

03. Si: A = {x ∈ N/3 ≤ x ≤ 9} B = {x ∈ N/5 < x < 11} ∧ C = {7;8;9} Hallar (A∩8) ∩C a) {6;7;8} b) {6,7} c) {8,9} d) {7;8;9} e) N.A.

04. Dados los conjuntos: A = {x ∈ N/x es múltiplo de 5 y 4 < x < 12} B = {x ∈ N/x es múltiplo de 4 y 3 < x < 30} ¿Cuántos elementos tienen el conjunto: AUB? a) 11 b) 7 c) 10 d) 9 e) 15


A = {x/x es dígito y 2 ≤ x ≤ 6} B = {x ∈ N/x² = 9} ∧ C = {x ∈ N/x - 2 = 4} Hallar (BUC) ∩ A a) {2;4;5} b) {3;4;5} c) {3~6} d) {2; 3; 4; 5; 6} e) N.A.

06. Del siguiente diagrama:

Hallar: «(PUR)∩Q» a) {2: 4; 6} b) {2; 4; 5; 6} c) {5; 6} d) {2; 3; 4; 5; 6} e) N.A.

07. ¿Cuál es el siguiente número de elementos que

puede tener: (PUQ)∪R

Si: n(P) 5; n(Q) = 3 y n(R) 8? (Q, R y P son conjuntos? a) 13 b) 14 c) 16 d) 8 e) 11

A B

C

A B

1 2 3

4 5

6

7

C

A B

U

2

6 3

5 7

A B

C

1

2

3 4

5 6 7

8

9


35353535

08. ¿Cuál es el mínimo número de elementos que puede tener: (A∩B)UC; si: n(A) = 5, n(B) = 4 y n(C) = 3? (A, B y C son conjuntos, además: n(A) significa el número de elementos del conjunto (A) a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 12


A = {2;3;4;5;6;7;8} B = {4;6;8} C = (2; 4, 5, 6; 7) Hallar «A – (C – B)» a) {2;5;7} b){3;46,8} c) (2,5,6,8} d) {4,6,8} e) N.A

10. Del siguiente diagrama:

Hallar «(A-B)U(B-C) a) {1:2:4:6} b) {2;3;4;5;6} c) {1;2;3;4} d) {1;2;3;5} e) {1;2;3;4;5;6}

11. Dados los conjuntos

A = {3;5;7;9} B = {1,2;4;6;8} ∧ C = {3; 5; 7; 8; 9; 10} Hallar: (AUB)∆C a) {3;5;7;9} b) {1;2;4;6;9} c) {2;3;4;5;6} d) {1;2;4;6;10} e) N.A.

NIVEL II

01. Dado que: N = {0; 1; 2; 3; 4....} A = {x/x ∈ N; x es múltiplo de 3} B = {x/x ∈ N; x es múltiplo de 4} C = {x/x ∈ N; x <25} Determinar n[A∩B∩C] a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1


A = (x/9 ≤ x² ≤ 300; x ∈ N} B = {x/2x – 5 ≤ 3; x ∈ N} Hallar n(A ∩ 8) a) 17 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21

03. Del siguiente diagrama.

Hallar (BUC)’ - (A∩D)’ a) {2;6;7;8;9;10;11} b) {1;5} c) (4} d) {1;4;5} e) N.A.

04. Dado los conjuntos Ay B.se tiene que:

B⊂A; 3n(B) = 2n(A) y.n(AUB) = 15. ¿Cuántos elementos tiene B? a) 5 b) 10 c) 15 d) 12 e) 8

05. Si: M = {a,c,d,e,f,g}; N = {b,c,f,h} ∧ T = {e.f,i} Entonces: cuáles son los elementos que deben estar en las partes achuradas del diagrama. a) c, f, i b) a, f, e c) b, c d) a, f, i e) f, e, i

06. En la figura A, B y C son conjuntos no vacíos.

Cuál de las siguientes expresiones representa el área achurada? a) (A∩C)UB b) (A-C) ∩ B c) (A∩C) – B d) (A∩C) – C e) (AUO) - B


A = {x/x ∈ N; x es múltiplo de 4, 3 < x < 17} B = {x/x ∈ N; x es múltiplo de 6 y 5 < x ≤ 30}∧ C = {x/x ∈ N; x ≤ 15}. Hallar (A∆B)∩ (B∆C) a) {4; 8:12} b) {6; 12; 18:24; 30} c) {4; 8; 18; 24} d) (4:8:18; 24; 30} e) N.A.

08. La operación que corresponde al diagrama es:

I. (A-B)∩(C-B) lI. (A∩C)-B III. (A ∩B)-C a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) Todas

C

7 B

6 A

5 4

3

2 1

A

B

C

D

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11

M N

T

C B

A

A B

C


36363636

09. Hallar n[(AU8)-C] Si: A = {1;2;3;4;5;6} B = {2; 4; 6; 8; 10} C = {n/n = 2k+1 ∧ 0 < k < 5} a) 5 b) 8 c)7 d) 8 e) 9

10. La parte sombreada corresponde a:

a) (B∩C) – A b) (A∩C) – B c) (A∩B) – C d) (A∪C) – B e) (B∪C) – A

PROBLEMAS PROPUESTOS QUE SE RESUELVEN CON 2 CONJUNTOS

NIVEL I 01. De un grupo de 65 alumnos

30 prefieren Lenguaje; 40 prefieren Matemática; 5 prefieren otros cursos. ¿Cuántos prefieren Matemática y Lenguaje? a) 8 b) 10 c) 5 d) 15 e) 12

02. De 50 estudiantes encuestados:

20 practican sólo fútbol; 12 practican fútbol y natación; 10 no practican ninguno de estos deportes. ¿Cuántos practican natación y cuántos sólo natación? a) 32 y 20 b) 12 y 8 c) 8 y 4 d) 20 y 8 e) 30 y 12

03. En un salón de 100 alumnos:

65 aprobaron Raz. Matemático; 25 aprobaron Raz. Matemático y Raz. Verbal; 15 aprobaron solamente Raz. Verbal. ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados? a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

04. En una encuesta realizada a 120 personas: 40

leen solamente la revista «Gente»; 60 leen solamente la revista «Caretas»; 12 no leen ninguna de estas revistas. ¿Cuántos no leen a revista Caretas? a) 52 b) 68 c) 48 d) 20 e) 38

05. Entre 97 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de mayonesa y ketchup: 57 consumen mayonesa; 45 consumen ketchup; 10 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen mayonesa pero no ketchup? a) 15 b) 30 c) 42 d) 52 e) 40

06. De 300 alumnas que salen al recreo.

90 bebieron Inca Kola; 60 bebieron Coca Cola; 10 bebieron ambas bebidas. ¿Cuántas alumnas bebieron sólo una de estas bebidas? a) 130 b) 160 c) 210 d) 170 e) 150

07. En una reunión de profesores de ciencias: 47 eran de Matemática; 40 eran sólo de Física, 4 no enseñaban ninguno de estos cursos. ¿Cuántos profesores integraban la reunión? a) 83 b) 70 c) 100 d) 91 e) 87

08. En una encuesta realizada a un grupo de

deportistas: 115 practican básquet; 35 practican básquet y ajedrez; 90 practican sólo ajedrez;-105 no practican básquet. ¿A cuántos deportistas se encuestó? a) 220 b) 230 c) 210 d) 200 e) 190

09. Durante el mes de febrero de 1999, Santiaguito

sólo desayunó jugo de naranja y/o jugo de papaya. Si: 12 días desayunó solamente jugo de naranja; 3 días desayunó jugo de naranja y jugo de papaya. ¿Cuántos días desayunó solamente jugo de papaya? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

10. Al estudiar la calidad de un producto se

consideran dos tipos de defectos; A y 8. Se analizaron 350 artículos con los resultados siguientes: 50 no tienen ninguno de estos defectos; 150 no tienen el defecto A; 230 no tienen el defecto 8; ¿Cuántos artículos tienen exactamente un defecto?

Rpta:

A B

C


37373737

11. En una encuesta de mercado sobre el consumo de pescado y pollo se encontró que de los 1000 encuestados: 200 no consumen ninguno de estos productos; 500 no consumen pollo; 600 no consumen pescado; ¿Cuántos consumen pescado y pollo? a) 50 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120

12. A 60 alumnos de un salón les preguntaron por el

deporte que practican y respondieron: 40 juegan fútbol; 36 juegan vóley. ¿Cuántos alumnos practican los dos deportes? a) 20 b) 14 c)18 d) 12 e) 16

13. En un salón de 100 alumnos que practican

álgebra y/o geometría 80 practican geometría 60 practican álgebra ¿Cuántos practican solamente un curso? a) 60 b) 40 c) 20 d) 50 e) 30

14. En una fiesta donde había 100 personas, se

observó que se bailaba la salsa o el rock. Si; 65 personas bailaban la salsa; 60 personas bailaban el rock; ¿Cuántas personas no bailaban el rock, sabiendo que todos bailaban por lo menos uno de estos tipos de baile? a) 40 b) 25 c) 35 d) 15 e) 30

15. De 200 lectores: 80 leen las revistas A y B; 110

son lectores de la revista B. ¿Cuántos leen sólo la revista A? a) 30 b) 90 c) 60 d) 50 e) 70

16. De un grupo de 110 personas:

70 hablan inglés: 20 no hablan ni inglés ni francés; el número de los que hablan francés es el doble de los que hablan solamente inglés. ¿Cuántos hablan inglés y francés? a) 10 b) 20 c) 25 d) 30 e) 40

17. En una reunión de 58 caballeros se observó que

los que usan corbata y anteojos representan la

tercera parte de los que usan corbata; los que usan anteojos son el doble de los que usan corbata y anteojos; si 10 personas no usan ni corbata, ni anteojos. ¿Cuántos usan corbata pero no anteojos? a) 12 b) 24 c) 36 d) 18 e) 10

18. De 75 alumnos de un aula.

Los 3/5 usa reloj; 1/3 de los alumnos sólo usa anteojos; los 2/5 usa anteojos y reloj. ¿Cuántos no usan anteojos ni reloj? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

PROBLEMAS PROPUESTOS QUE SE

RESUELVEN CON 3 CONJUNTOS

01. De 60 deportistas se observa que 24 de ellos practican fútbol, 26 practican básket y 25 practican vóley; 13 practican fútbol y básket 10 practican básket y vóley, 9 practican fútbol y vóley. Si 6 practican los tres deportes. ¿Cuántos no practican ninguno de estos deportes? a) 11 b) 12 c) 13 d) 10 e) 15

02. En una encuesta realizada a un grupo de 100

estudiantes de un instituto de idiomas se obtuvo el siguiente resultado: 28 estudian español; 30 estudian alemán; 42 estudian francés; 8 estudian español y alemán; 10 estudian español y francés; 5 estudian alemán y francés; 3 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos estudiantes toman el francés como único idioma de estudio? a) 20 b) 30 c)13 d) 32 e) 28

03. De un grupo de 59 personas se observa lo

siguiente: - 8 personas leen sólo el «Comercio». - 16 personas leen sólo la «República». - 20 personas leen sólo el «Expreso». - 7 personas leen el «Comercio» y la

«República». - 8 personas leen el «Comercio y el


38383838

«Expreso». - 3 personas leen la «República», el

«Expreso» y el «Comercio». - 2 personas no leen ninguno de estos diarios. ¿Cuántas personas leen el «Expreso»? a) 25 b) 28 c)29 d) 20 e) 24

04. De un grupo de estudiantes que llevan por lo

menos uno de los tres cursos que se indican se sabe que: 70 estudian Inglés, 40 estudian Química, 40 estudian Matemática, 15 estudian Matemática y Química 20 estudian Matemática e Inglés 25 estudian Inglés y Química. 5 estudian los tres cursos. ¿Cuántos son los alumnos en total? a) 100 b) 80 c) 85 d) 90 e) 95

05. Una encuesta realizada entre 82 madres de

familia arrojó el siguiente resultado: 43 saben costura; 47 saben repostería; 58 saben tejido, 19 saben costura y repostería; 28 saben costura y tejido; 30 saben repostería y tejido; 11 saben las tres ocupaciones. ¿Cuántas amas de casa saben sólo una de las tres especialidades? a) 25 b) 27 c) 29 d) 30 e) 31

06. De 185 lectores de revistas:

47 leen la revista «A» 53 leen la revista «B» 65 leen la revista «C» 15 leen las revistas «A» y «B» 13 leen las revistas «B» y.«C» 5 leen las revistas «A», «B» y «C» 17 leen las revistas «A» y «C» ¿Cuántos leen la revista A pero no la revista B? a) 20 b) 30 c) 37 d) 32 e) 52

07. En un campeonato atlético interescolar

participaron 285 personas entre público y atletas. Todos los atletas recibieron medallas

distribuidas dala siguiente manera; 95 reciben medalla de oro. 60 reciben medalla de plata. 130 reciben medalla de bronce. 40 reciben medalla de oro y plata. 25 reciben medalla de plata y bronce. 65 reciben medalla de oro y bronce. 20 reciben las tres medallas. ¿Qué cantidad de personas estuvieron como espectadores? a) 100 b) 115 c) 110 d) 105 e) 120

08. De 400 alumnos, se sabe con certeza que:

110 estudian Matemática. 240 estudian Geografía. 190 estudian Literatura. 80 estudian Matemática y Geografía. 100 estudian Geografía y Literatura. 50 estudien Matemática y Literatura. 40 estudian los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian por lo menos dos de los cursos mencionados? a) 130 b) 140 c) 150 d) 160 e) 170

09. De 38 estudiantes que desfilaron en un batallón:

18 usaban anteojos. 19 llevan saco 20 usaban corbata 9 usaban anteojos y saco 7 usaban saco y corbata 7 usaban anteojos y corbata ¿Cuántos estudiantes usaban anteojos, saco y corbata? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. En una encuesta realizada a 129 televidentes:

37 ven el canal 4. 34 ven el canal 5. 52 ven el canal 2. 12 ven los canales 4 17 ven los canales 5 y 2 15 ven los canales 4 y 2 40 ven otros canales. ¿Cuántos televidentes ven los canales 4; 5 y 2? a) 15 b) 17 c) 8 d) 20 e) 10 Las siguientes preguntas se refieren al siguiente problema:


39393939

Problema: Entre 150 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de las salsas de mayonesa, ketchup y mostaza: 80 consumen mayonesa; 70 consumen ketchup; 90 consumen mostaza; 50 consumen mayonesa y ketchup; 35 consumen ketchup y mostaza; 40 consumen mayonesa y mostaza: 30 consumen las tres salsas.

11. ¿Cuántas personas no consumen ninguna de

estas tres salsas? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

12. ¿Cuántas personas consumen solamente

ketchup? a) 10 b) 20 c) 70 d) 15 e) 45

13. ¿Cuántas personas consumen solamente mostaza? a) 90 b) 45 c) 30 d) 40 e) 35

14. ¿Cuántas personas consumen mostaza pero no

ketchup? a) 55 b) 45 c) 50 d) 70 e) 30

15. ¿Cuántas personas consumen exactamente las

dos salsas? a) 20 b) 30 c) 35 d) 25 e) 40

16. ¿Cuántas personas no consumen ni mayonesa ni

ketchup? a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 65

17. ¿Cuántas personas no consumen mostaza?

a) 60 b) 70 c) 45 d) 85 e) 80


40404040

RELACIONES

DEFINICIÓN Dados dos conjuntos A y B, llamaremos Relación Binada entre los elementos de ambos conjuntos a un subconjunto R del producto cartesiano A x B Simbólicamente:

Ejemplo:

Si: A = {5;6} y B{3;4;7;8} Hallar: R: A → B para la condición o relación es menor que

Resolución: 1. Hallamos A x B

A x B = {5;6} x {3;4;7;8} A x B = {5;3), (5;4), (5,7), (5;8), (6; 3) (6; 4), (6;

7), (6; 8)} 2. Buscamos los “pares ordenados” que cumplan

la condición o relación “es menor que” R {(5; 7), (5; 8), (6; 7), (6; 8)} Observamos que R es un subconjunto de A x B

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN BINARIA. - Dominio de una Relación R: Es el conjunto

formado por todos los números elementos o componentes de los pares ordenados que pertenecen a R, se denota por: D(R).

- Rango de una Relación R: Es el conjunto formado por todos los segundos elementos o componentes de los pares ordenados que pertenecen a R, se denota por: R(R). Dada la Relación del ejemplo anterior: R = {(5; 7), (5:8), (6:7) ,<6;8)} D = {5:6} R = {7; 8}

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA RELACIÓN BINARIA Puede hacerse de las siguientes formas: a) Diagrama Sagital. b) Diagrama Cartesiano.

Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {3; 5;7} y B = {2;4;6;8} Hallar y graficar la relación R, definida con la condición: «a > b». Resolución: 1. Hallamos A x B

A x B = {3; 5: 7} x {2; 4; 6; 8} A x B = {3;2), (3;4), (3:6), (3:8),(5;2), (5;4),

(5:6), (5;8) ,(7:2), (7;4), (7;8), (7:8)} 2. buscamos los pares (a; b) que cumplan la

condición “a > b” ⇒ R = {(3:2), (5:2), (5:4), (7:2), (7:4). (7,6)} D(R) = {3; 5; 7} R(R) = {2; 4; 6}

Diagrama Sagital

Diagrama Cartesiano RELACIÓN EN A EN A Se da entre todos los elementos de un mismo conjunto llamada R: A → A o simplemente R en A Sea el conjunto A = {1; 3; 5} Hallar: R: A → A, para «a = b»

R ⊂ A x B

R={(a:b)e A x B/a∈A y b∈B; según aRb}

3

5

7

2

4

6

8 R(R) D(R)

A B

R

B

R(R)

8

6 (7;6)

4 (5;4) (7;4)

2 (3;2) (5;2) (7;2)

A 3 5 7

D(R)


41414141

Hallamos: A x A = {1;3;5} x {1;3;5} A x A = {(1;1), (1;3), (1;5), (3:1),

(3;3), (3:5), (5:1), (5:3), (5:5)}

Luego: R ={(1:1), (3;3), (5;5)}:

aquí también: R ⊂ A x A Gráficamente: • Diagrama Sagital • Diagrama Cartesiano Dominio = D(R) = {1;3;5} Rango = R(R) = {1;3;5} TIPOS DE RELACIONES * Relación Reflexiva * Relación Simétrica * Relación Transitiva * Relación de Equivalencia * Relación Antisimétrica * Relación de Orden 1. Relación Reflexiva.

Una relación R en un conjunto A se llama reflexiva si para todo:

Ejemplo: Dado: A = {1; 2; 3} es una relación reflexiva. R = {(a;b) ∈ A x A/a divide a b} ya que: R = {(1;1) , (1;2), (1:3), (2;2), (3:2)}

2. Relación Simétrica

Una relación R en un conjunto A se dice que es simétrica si:

Ejemplo La perpendicularidad entre rectas de un piano es una relación simétrica porque si:

L1 ⊥ L2 ⇒ L2 ⊥ L1

3. Relación Transitiva

Una relación R es un conjunto A, se dice que es transitiva si se cumple lo siguiente: Si: (a; b) ∈ R y (b; c) ∈ R ⇒ (a; c) ∈ R Ejemplo: Dado A = {1;2; 3; 4} y la relación R1 = {(1;1), (1;2), (4;3); (2;2), (3;1) (4;1)} Establecer si es transitiva: ⇒ con R1: (1; 1) ∈ R1 ∧ (1; 2) ∈ R1 ⇒ (1; 2) ∈ R1 (1; 2) ∈ R1 ∧ (2; 2) ∈ R1 ⇒ (1; 2) ∈ R1 (4; 3) ∈ R1 ∧ (3; 1) ∈ R1 ⇒ (4; 1) ∈ R1 (3; 1) ∈ R1 ∧ (1; 1) ∈ R1 ⇒ (3; 1) ∈ R1

∴ es transitiva

4. Relación de Equivalencia. Dada la relación: R ⊂ A x A R es de equivalencia si: 1) R es reflexiva:

∀ x ∈ A; (x; x) ∈ R 2) R es simétrica:

∀ (x; y) x ∈ → (y; x) ∈ R 3) R es transitiva:

(x; y) ∈ R ∧ (y; z) ∈ R → (x; z) ∈ R Ejemplo: Dados: A = {2; 3; 4; 5} B = {(x; y) ∈ A x A/(x+y) es par} Indicar si es de equivalencia: Solución: R = {(2;2), (2;4), (3;3), (3;5), (4;2), (4;4), (5:5)

(5:3)}

1) R es reflexiva: (2; 2) ∈ R;(3; 3) ∈ R; (4; 4) ∈ R; (5; 5) ∈ R ∴ ∀ x ∈ A → (x; x) ∈R

2) R es simétrica.

(2; 4) ∈ R → (4; 2) ∈R (3; 5) ∈ R → (5; 3) ∈R ∴ (x; y) ∈ A → (y; x) ∈R

a ∈ A ⇒ (a; a) ∈ R

∀(a; b) ∈ R → (b; a) ∈ R

1

3

5

A

A

R(R)

5 (5;3)

3 (3;3)

1 (1;1) (3;2)

A

1 3 5

D(R)


42424242

3) R es transitiva: (2; 2) ∈ R ∧ (2; 4) ∈ R → (2; 4) ∈ R (2; 4) ∈ R ∧ (4; 2) ∈ R → (2; 2) ∈ R (3; 5) ∈ R ∧ (5; 3) ∈ R → (3; 3) ∈ R ∴ (x; y) ∈ R ∧ (y; z) ∈ R → (x; z) ∈ R

5. Relación Antisimétrica

Una relación R, definida en un conjunto A, se dice que es antisimétrica, si y sólo si se cumple: (x; y) ∈ R ∧ (y; x) ∈ R → x = y Ejemplo: La relación de inclusión de conjuntos es una relación antisimétrica, pues si: A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A = B

6. Relación de Orden.

Una relación R, definida en un conjunto A, se dice que es una relación de orden, si y sólo si, se cumple: 1) R es reflexiva:(a; a) ∈ R, ∀ a ∈ A 2) R es antisimétrica:

Si: (a, b) ∈ R, ∧ (b; a) ∈ R → a = b 3) R es transitiva:

Si: (a; b) ∈ R ∧ (b; c) ∈ R → (a; c) ∈ R

1. Sean: A = {1;2;3;4} ∧ B = {2;4;6;8} Hallar: R: A → B definida por «a < b»

2. Sean: P = {2;3;5;7} ∧ Q = {4;5;6}

Hallar R: P → Q definida por «a>b» 3. Sean: A = {2,4,6} ∧ B = {3;5;8}

y R1 = {(x;y) ∈ A x B/x < y}

4. Dados A = {3,5;7;9} ∧ B = {1;2;4:6} y R2 = (x,y) ∈ A x B/x + y > 4}

01. Dado los conjuntos: A = {3; 7; 9; 11}

B = {1; 5; 6; 10} Hallar la relación de A en B definida por la condición: a) Primera componente es menor que la

segunda componente.

b) Primera componente es mayor que la segunda componente.

c) Segunda componente es la tercera parte de la primera componente.

02. Dado los conjuntos: P = {1;3;5}

O = {2:3:6} Definidos la retaco R1 de la siguiente manera:

R1 = {(x; y) ∈ P x Q/x < y} Esta notación nos indica que a relación esté formado por ares ordenados donde as elemento del conjunto P, e Y es elemento del conjunto O tal que x es menor que y” - Hallar su dominio y su rango. - Representar gráficamente.

03. Dado os conjuntos: A = {2; 4; 5}

B = {1; 3; 4} Definimos la relación R2 de a siguiente manera:

R2 = {(x; y) ∈ A x B/x > y} Esta notación nos indica que a relación está formado por pares ordenados donde “x” es elemento del conjunto A. e ‘y” es elemento del conjunto B tal que “x” es mayor que “y” - Hallar su dominio y su rango. - Representar gráficamente.

04. Dado los conjuntos: P = {1; 4; 5; 8}

Q = {2; 3: 6} Definidos a relación R3 de la siguiente manera:

R3 = {(x; y) ∈ P x Q/x = 2y} Esta natación nos indica que fa relación está formado por pares ordenados donde x’ es elemento del conjunto P, e y es elemento del conjunto Q tal que “x” es el doble de “y” - Hallar su dominio y su rango. - Representar gráficamente.

05. Dado los conjuntos: C = {1; 2; 3; 4}

D = {2; 4; 5; 8} Delirados a relación R4 de la siguiente manera:

R4 = {(x; y) ∈ C x D/x = y/2} Esta natación nos indica que la relación está formado por pares ordenados donde “x” es elemento del conjunto C, e “y” elemento del conjunto D tal que “x” es la mitad ce “y”. - Hallar su dominio y su rango. - Representar gráficamente.

¡Practiquemos!

Nivel I

PRÁCTICA DIRIGIDA


43434343

06. Representar a relación siguiente, como un conjunto de pares ordenados si: S = {3 x/2 ≤ x < 6 x ∈ N} T = {3 x -2/2 < x ≤ 5; x ∈ N} Entonces: R2 = {(x; y) ∈ S x T/y = x + 1} - Hallar su domingo y su rango. - Representar gráficamente.


A = {3 - x / -1 ≤ x < 3; x ∈ Z} B = {2x + 3/-2 < x ≤ 3; x ∈ Z} Definimos la relación R3 como: R3 = {(x; y) ∈ A x B/y = 3x – 2} Representar R3, como un conjunto de pares. - Hallar su domingo y su rango. - Representar gráficamente.

01. Dado el conjunto:

G = {x2 - 3/-3 ≤ x < 2; x ∈ Z} Definimos: R4 = {(x; y) ∈ G x N/y = x² + 1} Representar R4 como un conjunto de pares ordenados. Hallar su dominio y su rango.

02. Siendo E = {3 - x2 / -2 < x ≤ 4; x ∈ Z} Definimos: R5 = {(x; y} ∈ E x Z/y = 3x - 1} Representar R5 como un conjunto de pares ordenados: - Hallar su domingo y su rango. - Representar gráficamente.

03. Dado: A = {2;4;6;8} y las relaciones en A:

R1 = {(2; 4), (6; 4), (4; 6), (4; 2)} R2 = {(2; 2), (4; 4), (6; 6), (8; 8)} R3 = {(4; 2), (2; 6), (4; 6)} R4 = {(4; 2), (2; 8), (4; 8), (2; 6), (6; 4)} Indicar cuál es reflexiva, cuál es simétrica y cuales transitiva. Construye el diagrama sagital y el diagrama cartesiano para cada relación.

04. Dado: A = {3;4;5;6} ∧ F = {4;6;8} y a relación: R = {(x; y) ∈ A x B/x + y ≥ 11} ¿Cuántos pares ordenados satisfacen a relación R?

05. Dados: E = {1;2;3;4} ∧ F={1:4;6;9} y a

relación: R = {(x; y) ∈ E x F/y = x²} ¿Cuántos pares ordenados satisfacen la relación R?

06. Si tenernos el siguiente cuadro de doble entrada: B

A 1 2 3 4 5

1 ( ; ) 2 ( ; ) 3 ( ; ) 4 ( ; ) 5 ( ; )

¿Cuál de las siguientes relaciones corresponde a este cuadro? a) {(5; 5), (4; 5), (2; 3), (3; 2), (1; 2)} b) {(1; 1), (2; 3), (5; 5), (2; 3), (4; 4)} c) {(1; 2); (2; 3), (3; 2), (4; 4), (5; 5)} d) {(1; 1), (5; 5), (4; 4), (4; 3), (4; 1)}

07. La relación. R = {(3:6), (6;3), (6;9), (9;6)}

Definida en el conjunto A = {3; 6; 9} ¿Será simétrica?

08. La relación: R = {(2; 4), (4; 2), (2; 6)}

Definida en el conjunto: A {(2; 4), (4; 2), (2; 6)} ¿Será simétrica?

09. ¿Cuál de estos diagramas de flechas representa

una relación que tiene a propiedad reflexiva?

10. Tenemos el conjunto M = (1;2;3;4}; se ha establecido una relación cuyos pares son: {(11;1), (1;2), (2;2), (2;4), (3;3), (3;1), (3;4), (4;4)} i) Confecciona el diagrama de flechas de esa

relación. ii) Cuáles de estos pares son los que indican

que dicha relación tiene la propiedad reflexiva.

11. ¿Cuál de estas relaciones tiene propiedad

simétrica?

Nivel II

A B C

M N P


44444444

12. Tenemos el conjunto T = (a; b; c; d}; se ha establecido una relación cuyos pares son: {(a;c), (c;a), (b;d), (d;b), (b:c)} i) Confecciona su diagrama de flechas. ii) ¿Tiene esta relación la propiedad simétrica?

¿Por qué? 13. ¿Cuál de estas relaciones tiene la propiedad

transitiva?

14. ¿Cuál de estos diagramas ce flechas representa una relación de equivalencia?

15. Dado el conjunto: A = {2; 3; 4; 5; 6; 7} se define en A: R1 = {(a;b)/a + 2 = b} R2 = {(a;b)/a + 3 = b} Calcule el número de elementos del dominio de R1 más el número de elementos del rango de R2. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

16. Si: A = {2n+1/1< n < 6; n ∈ Z+), además R es una relación reflexiva y simétrica en A, calcula a + b + c. R = {(a;a), (b;b), (c;a), (9;c), (d;d), (c+b-1;1)} a) 21 b) 27 c) 25 d) 23 e) 29

17. Dado el conjunto: A = {2; 3; 4; 7}

Si la relación R: A →A es reflexiva, calcule a + b + c y verificar si R es transitiva R = {(2;3), (2;4), (4;4), (a;3), (b;a-1), (c;c)} a) 12; es transitiva b) 14; es transitiva c) 12; no es transitiva d) 10; es transitiva e) 10; no es transitiva

18. Dado el conjunto: A = (4; 5; 8; 9), y la relación R definida en A x A de la siguiente manera: R = {(x; y)/x + y es un número par} Determine el número de elementos de R. a) 5 b) 8 c) 9 d) 10 e) 15

19. Indique verdadero o falso, en cada una de las

siguientes proposiciones I. Una relación R definida en el

conjunto A es simétrica si (x;y) ∈ R entonces (y;x) ∈ R ................................ ( )

II. Toda relación de equivalencia es una relación simétrica .................................. ( )

III. n(A x B) = n(A)x n(B) .......................... ( ) IV. Toda función es una relación ................ ( ) a) VFVF b) VVVV c) FFVV d) VFVV e) FVFV

20. En un conjunto de 2 elementos. ¿Cuántas

relaciones a lo más se pueden definir en a) 8 b) 4 c) 32 d) 64 e) 15

21. Indique verdadero (y) o falso (F) según

corresponda: I. Si R es una relación de equivalencia

entonces R es simétrica ......................... ( ) II. Dado A = {2; 3; 4}, en él se pueden

definir 512 relaciones diferentes ........... ( ) III. Dado B = {a;b;c;d}. Se define R ⊂ B

x B tal que: R = {(a;c), (b;d), (c;a),(a;a)} Entonces R es transitiva ..... ( )

a) VVV b) VFV o) VVF d) FVV e) FFV

22. El siguiente diagrama de flechas muestra la

relación R entre los elementos de A. Marque la alternativa que indique las propiedades de esta relación. a) Simétrica b) Reflexiva c) Transitiva d) Reflexiva y Simétrica e) Reflexiva y Transitiva

A B C

P Q

2 4

5 3

A


45454545

23. En M = {8;9;10} se define la relación reflexiva: R = {(c+5;2c), (a;8) (b+5; 9),(c+3;b+ 6)} Halle: a + b - c a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

24. Halle a + b + c: si R es una relación simétrica:

a) 15 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10

25. Halle: a + b + c + d; si R es una relación binaria

de equivalencia. R = {(4:4),(a;a),(b;b),(4;5),(5;c},(5;6),(e;e+2),

(6:4), (d;5)} a) 15 b) 20 c) 19 d) 18 e) 25

26. Si se cumple que:

Calcular x + y a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

27. Dado A {2; 3; 4}, indica la relación que es

reflexiva en A. a) {(2;3), (3;2), (4;3), (3;4), (4;4)} b) {(2;3), (2;2), (3;3), (4;4), (4;3)} c) {(2;2), (3;3), (4;3), (3;4), (4:2)} d) {(2;4), (2;3), (3;2), (4;2), (2;2) e) {(2:3), (3;3), (4;4)}

28. Si a relación ‘R” as una relación simétrica.

R = {(Lima. Perú), (Perú: x), (Caracas, z), (Santiago; y), (Chile; Santiago)}

Entonces el conjunto A = {x. y z} es: a) {(Lima. Caracas, Chile} b) {(Perú Chile. Santiago} c) {(Urna. Chile. Santiago) d) {Caracas, Chile, Santiago} e) {Lima Caracas, Santiago}

29. Dado el conjunto M{1; 23} indicar la relación

que es simétrica en M a) {(1;1), (1;2), (1;2), (3;1) b) {(3:2), (2;3). (3;1)} c) {(1;3), (1;2), (1:1)} d) {(1;2), (2;1), 3;3)} e) {(3;2), (2:3), (1:3)}


L = {-3; -1; 1; 1; 3; 5} N = {-11; -7;-3; 1; 5} Se define la relación:

R = {(x; y) ∈L x N/y = 2x + 3} Hallar el dominio y el rango de esta relación: a) Dominio = {1; 3; 5}, Rango = (5; 9; 13) b) Dominio = {-1; 1; 3), Rango = {1; 5; 9} c) Dominio = {-3; -1; 1), Rango = {-3; 1; 5} d) Dominio = {-3; 3; 5), Rango = {-3; 9; 13} e) Dominio = {1; 2; 3), Rango = {-7; -3; 5}

31. De las siguientes relaciones indicar la que es

una función. a) R1 = {(1; -7), (2; -7), (3: 5)} b) R2 = {(3; -7), (3: -3), (2; 5)} c) R3 = {(1; 5), (2; -3), (2; -7)} d) R4 = {(2; -5), (2; -7), (2; -3)} e) R5 = {(2; 3), (5:1), (5; -7)}


A = {-1; 3; 4; 7} B = {-2; 0; 5}

¿Cuál de las siguientes funciones, no es una función de 3 en A? a) f1 = {(-2; -1), (, 3), (5, 4)} b) f2 = {(-2; 3), (5; 7)} c) f3 = {(0; -1). (5; 3), (-2; 3)} d) f4 = {(3; -2), (4; 0), (7: 5)} e) f5 = {(-2; 7), (0: 7), (5; 7)}

33. Si el conjunto:

{(-5; a + 1), (-2; b-7), (-2; 9), (-5; 10)}, es una

función, indicar el valor numérico de ba + a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

34. Si: f(x) 3x2 - 4x + 5 y g(x) = 5 - 2x2

Hallar: f(2) + g(-3) a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5


M = {x ∈ Z /-2 ≤ x < 2} N = {3x – 2/4 < x < 7, x ∈ N} Indicar el par ordenado que no pertenece a M x N a) (-2; 16) b) (-2; 5) c) (-1; 13) d) (0; 16) e) (1; 13)

36. Si: A = {1; ;: 3; 4}

B = {2; 4; 6; 8} C = {2; 3; 7} ¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene más elementos?

a) (A - B) x C b) (A ∩ B) x C


46464646

c) A x (B - C) d) A x (B ∪ C) e) A x (B ∩ C)

37. Sabiendo que:

S = {6 - 3x/5 ≤ x < 7; x ∈ Z} Hallar S² a) = {(5; 6). (5; 5), (6; 5), (6; 6)} b) = {(-9; -9), (-9; -12), (-12; -9), (-12, -12)} c) = {(6; 6), (6; 7), (7; 6), (7; 7)} d) = {(-.8; -3), (-8; 12), (12; -8), (12;12)} e) = {(3; 3), (3; 7), (7; 3), (7; 7)}


A = {3x + 4 / -6 < x ≤ 1; x ∈ Z

B =

∈<≤−−

Zx;3x6/2

2x

Representar la relación:

R =

+∈

2

5xy/AxB y) (x;

Como un conjunto de pares ordenados: a) {(-2; 3/2), (1; 3), (7; 6)} b) {(-3; 1), (-2; 3/2), (0; 5/2)} c) {(-5; 0), (-4; 1/2)} d) {(-11; -3), (-8; 3/2), (-5; 0)} e) {(5; 5), (7;6), (11; 8)}

39. Si: T = 2x2 -10/-3 ≤ x < 4; X ∈ Z

Indicar el dominio de la relación: R = {(x;y) ∈ T x N / y = 4 – 2 x} a) = {8; -2; 8} b) {-2;-8} c) {8; -2} d) = {-3, -2; -1; 0; 1; 2; 3} e) {-2; -8; -10}

40. Si: J = {10-x2/-6 < x 2; x ≤ Z}

Hallar el rango de la siguiente relación: R = {(x;y) ∈ J x Z / y = 30 – 3 x} a) = {75;48;27;12;3;0} b) = {63;42;30;11;5;2} c) = {72; 44; 21; 15; 7; 1} d) = {42: 38; 27; 18; 1} e) = {57; 48; 32; 29; 7}

41. Si el conjunto:

{(a;3b, (a; a + b), (2b;12)} es una función, hallar (a –b} a)2 b)3 c)4 d)5 e)6


A= {x ∈ N/1 ≤ x ≤ 7; x es impar} B = {x ∈ Z/-1 < x < 3} ¿Cuál de las siguientes no es una función de A n

B? a) {(1; 0), (3; 1), (7; 2} b) {(3; 1), (5; 1), (7; 0)} c) {(1;-1), (5; 2), (9, 0)} d) {(7:1), (5; 0), (3; 0)} e) {(1; 2, (3; 2), (7; 1)}

43. Indicar el diagrama de flechas que corresponde

a la relación: R = {(2; 5), (3; 7), (3; 3), (5; 2)} Definida de A en A siendo A = {2; 3; 5; 7} a) b) c) d) e)

44. Dado el conjunto A = {2:3:4}, se tiene a relación reflexiva R en A. R = {(2; a), (2; 3), (b; 4), (3; c), (3:2)} Calcular: a + b + c a)6 b)7 c>8 d)9 e)10

45. Dado el conjunto:

A = {x ∈ N /1 < x ≤ 10} Definimos la relación R en A. R = {(a; b)/a = 2b} ¿qué podemos afirmar acerca de esta relación? a) Es reflexiva b) Es simétrica c) Su dominio es {4; 5; 7} d) Su rango es (2; 3;4} e) Tiene 8 elementos

5 2 A

7 3

5 2 A

7 3

5 2 A

7 3

5 2 A

7 3

5 2 A

7 3


47474747

46. Dado A = {x/x es un ser humano} Se establecen las siguientes relaciones en A. R1 = {(x; y) / x es hermano de y} R2 = {(x; y) / x es de la misma raza que y} R3 = {(x; y) / x es el padre de y} ¿Cuál o cuáles de estas relaciones son transitivas? a}Sólo R1 b)Sólo R2 c) Sólo R3 d)R1 y R2 e) R2 y R3


48484848

TEST DE DECISIONES

01. PA y PE poseen la misma suma de dinero, pero

PA tiene mas que PI y PI mas que PO, PU tiene mas que PO pero menos que PA y no tiene tanto como PI, yo tengo mas que PE. Ordenar adecuadamente.

02. Miguel y Enrique nacieron el mismo día. Oliver es menor que Enrique. Claudio es menor que Oliver, pero Genaro es mayor que Miguel. Por lo tanto el menor de todo es:

a) Enrique b) Genaro c) Miguel d) Oliver e) Claudio

03. Pedro es más alto que Mario, Daniel mas bajo

que Alfredo y mas salto que Luis, Alfredo mas bajo que Mario. Pedro es mas bajo que Roberto.

a) Pedro b) Mario c) Daniel d) Roberto e) Alfredo

04. El volcán Temboro esta ubicado al este del Krakatoa. El volcán Singapur al oeste del Krakatoa, el Sumatra a su vez esta ubicado al oeste de Singapur. ¿Cuál es el volcán ubicado más al este?

a) Sumatra b) Singapur c) Krakatoa d) Temboro e) A ó B

05. Si tiene un castillo de cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia Drácula vive un piso mas arriba que la familia Frankestein, los Rasputín habitan mas arriba que los Monster, y los Dráculas viven mas abajo que los Monster,, ¿En que piso viven los Dráculas?

a) 1er. Piso b) 2do. Piso c) 3er. Piso d) 4to. Piso e) N.A.

06. Cinco personas A, B, C, D y E trabajan en un edificio de 6 pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que: - A trabaja en un piso adyacente al que trabajan B y C. - D trabaja en el quinto piso - Adyacente y debajo de B, hay un piso vacío ¿Quiénes trabajan en el 4º y 6º piso respectivamente?

a) B-C b) C-A c) E-C d) C-E e) C-B

07. En un comedor de estudiantes, 8 comensales se sientan en una mesa circular, se identifican mediante letras mayúsculas así: H esta frente a E y entre G y F, C esta a la izquierda de E y frente a G; frente a F esta D, este a su vez esta a la siniestra de A. ¿Cuál de ellos esta entre B y E?

a) A b) E c) B d) C e) F

08. 4 amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 silas distribuidas simétricamente, se sabe: PI no se sienta a PU PA se sienta junto y a la derecha de PU ¿Dónde se sienta PO?

a) Frente a PA b) Frente a PI c) A la izquierda de PU d) A la derecha de PI e) Mas de una correcta

09. 06 amigos se ubican alrededor de una fogata. Toño no esta sentado al lado de Nino, ni Pepe, Felix no esta al lado de Raúl, ni de Pepe, Nino no esta al lado de Raúl ni de Felix. Daniel esta junto a Nino, a su derecha. ¿Quién esta sentado a la izquierda de Felix?

a) Daniel b) Raul c) Nino e) Pepe e) N.A.

10. A, B y C se encuentran en la antigua parada y comentan sobre sus vicios. * A dice: a mi no me gusta fumar no beber. * C dice: Me hubiera gustado aprender a fumar. Considerando que solo hay 3 vicios; fumar, beber y jugar, y que cada uno de ellos tienen un solo vicio. ¿Cuál es el vicio de A?

a) Fumar b) Beber c) Jugar e) F.D. e) a y b

11. Hay 3 ciudades cuyos nombres son:

Pomacocha, Lauribamba y Tantamarca; cada una tiene un clima particular. En una hace mucho frío, en otra hace mucho calor y en otra siempre llueve. Se sabe que en Lauribamba hay unas playas bellísimas; casi no hay vegetación en Pomacocha. Entonces, es cierto que: a) En Pomacocha no hace frío b) En Lauribamba llueve mucho


49494949

c) En Tantamarca no hace calor d) En Pomacocha hace frío e) Mas de una es correcta

12. Luis y Carlos tiene diferentes ocupaciones y

viven en distritos diferentes. Se sabe que el vendedor visita a su amigo en Lince. Carlos vive en Breña. Uno de ellos es doctor. Luego es cierto que: a) El doctor vive en Breña b) Carlos no es vendedor c) El que vive en Lince es vendedor d) Luis es doctor e) Ninguna de cierta

13. Tres personas viven en 3 ciudades distintas y tienen ocupaciones diversas. Se sabe que: - José no vive en Lima - Luis no vive en Piura - El que vive en Lima no es religioso - El que vive en Piura es político - Luis no es profesional - Uno de ellos se llama Fernando - Uno de ellos vive en Huancayo Entonces, es cierto que: a) El piurano es profesional b) El religioso es limeño c) Fernando es limeño y político d) El político es de Piura e) José es profesional

14. La señora Carmela y sus hijas Rosa y Liliana fueron a almorzar al restaurante HOLLIWOOD. Cada una de ellas pidió un plato, una comió carne de res, otra de pollo y la otra de pescado; además pidieron un jugo, una de ellas de papaya, otra de piña y otra de manzana. Se sabe que Liliana pidió CEVICHE, Rosa no pidió el LOMO SALTADO, quien comió pollo, tomo el jugo de papaya. A Carmela le dio sueño después de tomar su jugo. Entonces es cierto que: a) Carmela comió el lomo saltado y tomo jugo de piña b) Rosa tomo ó jugo de papaya c) Liliana comió pescado y tomó jugo de manzana d) Rosa no comió pollo. e) Mas de una es cierta

15. En una oficina trabajan 3 chicas cuyas edades son 18, 21 y 24 años; después del trabajo gustan

ver TV, viendo cada una un programa diferente. Maritza es mayor que la menos, pero menos que la mayor. A la mayor de todas le gustan los noticieros. Mercedes para cantando todo el día en la oficina. Gladis ha engordado ahora último. Una de ellas siempre llega cuando su telenovela favorita ha comenzado; la que usa cabello largo ve musicales. Entonces se puede afirmar que: a) La de 18 años ve telenovelas b) Quien ve noticieros es la mayor c) A Maritza no le gustan los noticieros d) Gladys ve telenovelas e) Más de una es correcta.

16. Tres parejas de esposos asisten al matrimonio de un amigo. Ellos son: Jorge, Herbert y Oswaldo y ellas son Rosa, Maribel y Lourdes (no respectivamente). Una de ellas fue con un vestido negro, otra con azul y la otra con rojo, la esposa de Jorge fue de negro; Oswaldo no bailo con Maribel en ningún momento, Rosa y la del vestido azul fueron al matrimonio de Lourdes, Herbert es primo de Lourdes, Jorge y el esposo de Lourdes siempre se reúnen con el hermano de Herbert. Entonces, es cierto que: a) Rosa fue con Jorge y estuvo vestida de negro. b) La esposa de Oswaldo fue de rojo c) Maribel y Herbert son esposos d) Lourdes fue de negro e) Más de una es cierta

17. Tres luchadores practican las artes marciales en gimnasios diferentes; uno practica Judo, otro Karate y otro Kung Fu, además uno de ellos es cinturón negro, otro res cinturón marrón y otro cinturón naranja. Sus nombres son: Wen Li, Chi, Lau, Pio, Kiu. Se sabe que Wen Li y Chi Lau practicaban antes Karate, pero ahora ya no. El Judoka cinturón naranja: Pio Kiu y el de cinturón marron se conocen. Wen Li es amigo de los otros dos. Entonces, se puede afirmar que: a) Wen Li es judoka cinturón negro b) El que practica Kung-fu es cinturón negro c) Pio Kiu es cinturón negro d) EL Karateca es Wen Li e) El Judoka es cinturón marrón


50505050

x

=a

OPERADORES MATEMÁTICOS 01. Si

*5::2

1* calcular

aa

+=

a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4

02. Si =x(x+1)

Calcular = 8 + 2

a) 74 b) 56 c) 80 d) 72 e) 78

03. Si

X = 3

2−x

Calcular Calcular “n” en:

n = 8

a) 22 b) 24 c) 30 d) 26 e) 28

04. x @ y = 2x – y

Calcular : )32(1

)12()34(

∂∂∂∂∂=E

a) 7 b) 6 c) 5 d) 9 e) 3

05. Definimos la operación

2a, si “a” es impar a, si “a” es par

Calcular E = 3 + 7 – 6 - 5

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

06. Se define

≥

⟨+

=basi

basiba

ba

;8/3

;2*

Calcular a) 7/8 b) 5/7 c) 3/8 d) 1 e) 2/5

07. Si se sabe que * se define por numero positivo, y:

0;* ≠++

= yxyx

xyyx

¿Son verdaderas? I. x * x = x/2 II. x * y = y * x III. (x * y) * z = x * (y * z)

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) Todas

08. En el conjunto A = { }dcba ,,, se definen las operaciones binarias

abcdd

bdacc

cadbb

dcbaa

dcbaθ

cbdad

bdcac

dcbab

aaaaa

dcbaθ

Si a = x θ c, determinar:

[ ] )())( dbabxcK φφθφθ ( a) a b) b c) c d) d e) N.A.

09. Se definen par dos números a y b el operador # según la regla.

;22 baba −=≠

Simplificar 3*5

5*13=F

a) 3 b) 5 c) 3.2 d) 4 e) 8

10. Se define

+

−

=imparesasi

a

paresasia

a

"";4

23

"";5

32

Calcular E = 10 + 8 + 7 - 11

a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8


51515151

11. Si: 12)( 2 +−= xxxf Calcular

))2()2(()2( −++ ffff

a) 8 b) 9 c) 20 d) 11 e) 15

12. Si: yxyx 23 −=∆

Calcular 25 ∆ 9

a) 8 b) 9 c) 20 d) 11 e) 15

13. Si 0; ≠−−+= ba

ba

ba

a

b

Calcular : E = 5

3

20

1010

6

+

a) 3

24 b)

3

26 c)

2

17

d) 3

15 e)

3

25

14. Si

baa

b32 +=

Calcular

3

4

5

2

a) 84 b) 85 c) 86 d) 87 e) 90

15. Sabiendo que: a ≠ b

nmnmba

baba 32*; +=

−+=∆

Calcular E = (5 ∆ 3)*(18 ∆ 16)

a) 59 b) 60 c) 61 d) 62 e) 63

16. Si 22* baba −=

baba

baba

baba

≠−+=≠

−=∆

;

)( 2

Calcular :

∆=

3

1*

2

1

3

1

2

13

1*

2

1

E

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

17. Si 39*8* 22 =−= θybaba Calcular θ :

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

18. Se define en Z* m = m(m-1) Si : 2x – 17 = 380 Calcular “x”:

a) 1 b) 10 c) 11 d) 15 e) 20

19. Si:

0;52

35*3 ≠−+= yxy

xyyx

Calcular: )7*5()5*3()3*1(=Q

a) 0 b) 1 c) 1/2 d) 1/5 e) -1

20. Si

a = a2 - 1

a = a(a+2) Calcular: 8 - 2 a) 1 b) 5 c) 6 d) 0 e) -1


52525252

SUCESIONES ARITMÉTICAS Es un conjunto de números regidos por una Ley de formación o criterio de ordenamiento. I. Sucesiones Aritméticas

Hallar “x” en cada sucesión 01. 1, 4, 7, 10, 13, x

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

02. 50, 44, 38, 32, 26, x

a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

03. -3, 3, 13, 27, x

a) 41 b) 42 c) 43 d) 44 e) 45

04. 1, 2, 5, 15, 37, x

a) 76 b) 77 c) 89 d) 90 e) 100

II. Sucesiones Geométricas

Hallar “x” en cada sucesión 05. 2, 6, 18, 54, x

a) 160 b) 161 c) 162 d) 163 e) 164

06. 243, 81, 27, 9, x

a) 1 b) 3 c) 18 d) 12 e) 33

07. 1, 1, 2, 6, 24, 120, x

a) 120 b) 320 c) 420 d) 620 e) 720

08. 2, 2, 4, 16, 128, x

a) 5048 b) 3048 c) 2048 d) 4048 e) 1048

III. Sucesiones Combinadas

Hallar “x” en cada sucesión 09. 1, 4, 11, 22, 25, 50, x

a) 42 b) 43 c) 63 d) 53 e) 73

10. 6, 22, 54, 118, 246, x

a) 123 b) 506 c) 212 d) 606 e) 706

11. 2, 4, 1, 4, 9, 3, 21, x

a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33

12. 120, 24, 144, 151, x a) 153 b) 123 c) 133 d) 163 e) 143

IV. Sucesiones Alternadas Hallar “x” en cada sucesión

13. 2, 5, 4, 8, 8, 11, 16, x a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

14. 15, 16, 11, 20, 7, 24, x

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

V. Sucesiones Exponenciales Hallar “x” en cada sucesión

15. 1, 8, 27, 64, 125, x a) 116 b) 146 c) 216 d) 122 e) 196

16. 3, 12, 27, 48, 75, x

a) 108 b) 109 c) 110 d) 111 e) 112

VI. Sucesiones Especiales

a) Sucesiones de Números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…………. b) Sucesión de Fibonacci 1, 12, 3, 5, 8, 13, 21,………….. c) Sucesión de Tribonacci 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44,……….. d) Sucesión de Lucas 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,…………... e) Sucesión de Números Pares 2, 4, 6, 8, 10, 12,…………..., 2n f) Sucesión de Números Impares 1, 3, 5, 7, 9, 11,………….. 2m-1 g) Sucesión de Números Triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 2

)1( +nm


53535353

SUCESIONES LITERALES Es el conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio como es: No se consideran las letras CH, LL; a no ser que se indique lo contrario. Tabla alfabética A B C D E F G H I J K L M N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ñ O P Q R S T U V W X Y Z 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

HALLAR LA QUE CONTINUA 01. A, D, G, J, M,……….

a) Ñ b) N c) P d) O e) Q

02. H, G, F, E, D, C,……. a) A b) B c) C d) D e) E

03. L, N, O, Q, S,……….

a) M b) Ñ c) R d) S e) U

04. D, E, G, J, N, R,…….. a) Z b) X c) Y d) T e) V

COMPLETA LA SUCESIÓN 05. L, M, V,…………………

a) X b) B c) C d) D e) N

06. E, F, M, A, M,…………..

a) J b) K c) L d) M e) N

07. O, C, I, G, O,……………

a) M b) Ñ c) O d) L e) Q

08. A, C, H, O,……………… a) A b) L c) Y d) X e) Z

SUCESIÓN ALFANUMÉRICA Es una sucesión alternada formada por números y letras. 01. 2, B, 3, E, 5, H, 8, K, ?, ?

a) 12, M b) 13, R c) 12, N d) 11, E e) 20, N

02. 5, A, 9, C, 17, F, 29, ?, ? a) J, 45 b) J, 48 c) J, 20 d) I, 45 e) I, 48

ANALOGÍAS Y DISTRIBUCIONES

ANALOGÍAS: Llamamos así a la comparación de relaciones operativas entre 2 números (extremos ), que siguiendo una secuencia lógica se encuentra un numero central. Ejemplos: Hallar el término central en: 1. 13 (27) 14 25 (4) 21 9 ( ) 15 34 ( ) 13 2. 13 (58) 16 27 (36) 81 9 ( ) 12 9 ( ) 3 3. Hallar “x” en:

24 (41) 17 63 (x) 15

4. Hallar “x” en 8 (104) 13 9 ( ) 7

DISTRIBUCIONES: Al igual que las analogías son relaciones entre números, pero sin paréntesis. Las relaciones operativas no necesariamente son relaciones entre números extremos dispuestos en forma horizontal sino también vertical diagonal, etc. Es decir más arbitrarias. Ejemplos: 1. 4 9 2 3 9 11 x 3 7 8 13 20 4 2 5 2 7 x 2 Hallar “x” en: 8 7 10 4 5 1 6 6 x 3. Hallar “x” en: 4 6 18 5 7 16 x 20 2


54545454

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Completar la sucesión

10, 12, 16, 22, 30, 36, 40 a) 40 b) 49 c) 44 d) 42 e) 46

02. Hallar “x+y” en: 2, 4, 6, 10, x, y

a) 30 b) 42 c) 26 d) 48 e) 50

03. ¿Qué numero completa? 40, 420, 60, 360, 90,…….

a) 240 b) 320 c) 720 d) 480 e) 540

04. ¿4, 9, 28, 113, ? La incógnita es:

a) 452 b) 656 c) 566 d) 465 e) 665

05. A, D, F, G, J,………. a) L b) M c) K d) N e) O

06. A, B, A, E, A, A, H, A, K

a) I b) J c) K d) L e) M

07. R, O, M, J a) G b) H c) I d) J e) K

08. D,H,L,R,Z

a) V b) X c) W d) Y e) Z

09. Completar La sucesión

7, 13, 24, 45, 86,……….. a) 163 b) 147 c) 142 d) 167 e) 125

10. ¿Qué numero sigue? 6, 15, 36, 93, 258

a) 373 b) 489 c) 621 d) 747 e) 1005

11. 4, 7, 13, 25, 49, 97 ¿Qué numero sigue?

a) 214 b) 193 c) 145 d) 185 e) 354

12. Hallar “n” 0, 1, 6, 20, 50, n

a) 90 b) 105 c) 115 d) 150 e) 85

13. 12, 48, 9, 36, 6, 24, a, b Hallar “a + b”

a) 12 b) 28 c) 24 d) 18 e) 15

14. ¿Qué termino sigue? 128, 96, 80, 72, 68, ?

a) 60 b) 62 c) 64 d) 65 e) 66

15. Hallar el numero que sigue 3, 6, 12, 21, 33, ………

a) 42 b) 50 c) 45 d) 46 e) 48

16. ¿Qué numero sigue a la serie? 2, 7, 22, 67,………….

a) 202 b) 203 c) 204 d) 205 e) 206

17. Hallar el numero que sigue 8, 13, 9, 3,……….

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

18. Que numero falta

a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 17

19. Hallar “x”

a) 15 b) 16 c) 17 d) 14 e) 13

20. Hallar “x” en:

7 4 11 6 8 14 X 4 15

8 1 7

7 7 ? 3 5 4 2 9 3

4 19

8 13

8 120

16 8

1 1

2 1

x 40

10 y


55555555

a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12


7 4 11 6 8 14 X 4 15

a) 16 b) 20 c) 24 d) 40 e) 48


6 12 X 18 24 6 40 7 1

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60


a) 15 b) 16 c) 17 d) 14 e) 13

24. En la figura reemplazar las letras por números

del 1 al 8 de tal forma que en ningún caso, un número cualquiera coincida con un consecutivo. Hallar B + C

E F A B C D G H

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 6

PRACTICANDO LO APRENDIDO

01. ¿Qué numero continúa?

4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, ? a) 168 b) 172 c) 180 d) 192 e) 204

02. Hallar el numero que sigue 2, 4, 12, 48,………..

a) 192 b) 220 c) 240 d) 288 e) 260

03. 2, 14, 3, 16, 6, 20, 1, 26, x, y Hallar “x + y”

a)52 b) 50 c) 48 d) 46 e) 44

04. W, S, O, L

a) J b) K c) L d) H e) I

05. A, Z, B, Y, C

a) W b) X c) V d) Z e) T

SUCESIÓN GEOMÉTRICA

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Sea: T1; T2; T3;………………; Tn xq xq Tiene como termino general a:

I. Hallar el termino que sigue en: a) 3; 12; 48; 192;…….……… b) 243; 81; 81; 27; 9;……….. c) 4; 16; 64; 256;…………… d) 256, 128, 64, 32, 16,……..

e) 1296; 216; 36;……………. f) 6; 18; 54; 162; …………… g) 5; 30; 180; 1080; ………….

II. Hallar el termino enésimo en: a) 6; 24; 96; 384; ………….. b) 486; 162; 54; 18; ……….. c) 8; 32; 128; 512; ………… d) 512; 256; 128; 64; 32;…... e) 648; 108; 18;……………. f) 12; 36; 108; 324; ………… g) 10; 60; 360; 2160; ………..

11

5 8

2 1

3

16 3

4 4

?

3 9

4 3

Tn=T1qn-1

Ejercicios


56565656

Tipos de serie

SUMAS ESPECIALES SERIE NUMÉRICA Es la adición indicada de los términos de una secesión numérica y al resultado de dicha adición se le llama valor de la serie Ejemplo: 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º Sucesión � 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13 Serie � 1+ 1+ 2+ 3+ 5+ 8+ 13= 33 Valor de

La serie

I. SERIE ARITMÉTICA Es la adición indicada de los términos de una sucesión o progresión aritmética:

Ejemplos: 1. Hallar el valor de la serie en:

a) S = 4 + 7 + 10 + 13 + ….… + 61 b) S = 5 + 10 + 15 + ………. + 100 c) S = 16 + 21 + 26 + ……... + 116 d) S = 7 + 15 + 23 + …….…… +87 e) S = 21 + 23 + 25 + ………... +45

2. Caito repartió caramelos entre sus amigos, si dio 3 al primero, 7 al segundo, 11 al tercero, 15 al cuarto y así sucesivamente. ¿Cuántos caramelos repartió, si tenía 24 amigos? Rpta.: Para hallar el valor de una serie aritmética basta con ejemplar: Donde: t1 : Primero termino tn : Ultimo termino o enésimo termino n : Numero de términos

SUMAS NOTABLES

1. Suma de los “n” primero números naturales

sumandosn

n

nnS

""

)1(................321

+=++++=

Ejemplos: 1) Hallar el valor de:

a) S = 1 + 2 +3 + ………….. + 20 b) S = 1 + 2 + 3 + …………. + 30 c) S = 1 + 2 + 3 + …………. + 41 d) S = 5 + 6 + 7 + ……….… + 72 e) S = 13 + 14 + 15 + …….. +100

2. Carlitos tiene 210 naranja y quiere colocarlas en forma triangular de modo que en la primera fila halla 1, en la segunda 2, en la tercera cara 3, y así sucesivamente ¿Cuántas filas se formarán?

Rpta.:

3. Suma de los “n” primeros números pares naturales

sumandosn

nnnS

""

)1()2(...........8642 +=+++++=

Ejemplos: 1) Hallar el valor de “S”

a) S = 2 + 4 + 6 + 8 + ……….. + 26 b) S = 2 + 4 + 6 +…….………. + 40

c) S = 2 + 4 + 6 + …………… + 100 d) S = 12 + 14 + 16 +……… + 50 e) S = 18 + 20 + 22 + ……… +60

2) Hallar “x” en: a) 2 + 4 + 6 + 8 + …………. + x = 420 b) 2 + 4 + 6 + 8 + …………..+ x = 240

4. Suma de “n” primeros impares naturales

sumandosn

nnS

""

)12(...........7531 2=−+++++=

Ejemplo: 1. Hallar el valor de:

a) S = 1 +3 + 5 + 7 +……….. + 29 b) S = 1 + 3 + 5 +….……….. + 43 c) S = 1 + 3 + 5 + ….………. + 61 d) S = 13 + 15 + 17 + …….… + 81 e) S = 21 + 23 + …………….. +53

2. Hallar “x” en: a) 1 + 3 + 5 + 7 +…………. + x = 225 b) 1 + 3 + 5 + ….…………..+ x = 400

5. Suma de los “n” primeros números naturales al cuadrado

6

)12)(1(........321 2222 ++=++++= nn

nS


57575757

Ejemplos: 1) Hallar la suma

a) S = 1 + 4 + 9 + 16 +…….. + 256 b) S = 1 + 4 9 +…….………. + 361 c) S = 1 + 4 9 +…….………. + 625 d) S = 16 + 25 + 36 +…….… + 400 e) S = 25 + 36 + 49 +…… + 10000

2) Hallar “x” en: a) 1 + 4 +9 + …………. + x = 1015 b) 1 + 4 +9 + ….……….+ x = 385

6. Suma de los “n” primeros números naturales al cubo

+=++++=2

)1(..........321

23333 nn

nS

Ejemplos: 1. Hallar el valor de:

a) S = 1 + 8 + 27 + 64 +……….. + 8000 b) S = 1 + 8 +27 +….………….. + 1000 c) S = 1 + 8 + 27 +….…………. + 1728 d) S = 27 + 64 + ………………… + 729 e) S = 64 + 125 +…………………. +512


a) 1 + 8 + 27 +……………… + x = 2025 b) 1 + 8 +27 + ….…………..+ x = 3025

7. Suma de los “n” primeros productos

consecutivos tomados de 2 en 2.

3

)2)(1()1(...84433221

÷÷=÷+÷÷÷+= nnnnnxxxxxS

Ejemplos: 1. Hallar el valor de:

a) S = 2 + 6 +12 + 20 + ……….. + 110 b) S = 2 + 6 + 12 + …………….. + 132 c) S = 2 + 6 +12 + ……………… + 210 d) S = 2 + 6 + 12 + ……………... + 272 e) S = 20 + 30 + ………………… + 240

8. Suma de los términos de una serie conociendo

su termino enésimo. 358 2 ++= nntn

Nro. Naturales al cuadrado

Números naturales Constante

nnnnnn

S 32

)1(5

6

)12)(1(8 +

++

++=

Aplicación: a) S = 4 + 11 + 22 + 37 + 56 + ……. b) S = 1 + 3 + 7 +13 + 21 + ….……. c) S = 0 + 3 + 10 + 21 + 36 + ….….. d) S = 8 + 21 + 40 + 65 + 96 + ……. e) S = 6 + 11 + 18 + 27 + 38 + …….

PROBLEMAS

01. Anita llega al colegio con cierto retraso diariamente. El primero día llego 1 minuto tarde, el segundo día 2 minutos. Tarde, el tercer día 3 minutos tarde ya si sucesivamente, al cabo de 20 días de asistencia. ¿Cuánto tiempo ha perdido por las tardanzas?

a) 2.5 h b) 231 c) 780 d) 630 e) 390

02. Un comerciante compra el día de hoy 21 cajas de tomate y ordena que cada día que transcurre se compre una caja mas que el día anterior. ¿Cuántas cajas compro en total, si el penúltimo día se compraron 39 cajas?.

a) 610 b) 231 c) 780 d) 630 e) 390

03. Calcular la suma de los 30 primeros números impares

a) 400 b) 480 c) 490 d) 860 e) 900

04. ¿Cuántos cuadrados hay en una superficie cuadriculada de 20 cuadraditos por lado?

a) 400 b) 210 c) 2870 d) 270 e) 2780

05. Hallar la suma de la siguiente serie:

S = 1x2+2x3+3x4+ …….. +20x21 a) 3080 b) 4200 c) 2100 d) 9240 e) 4380

06. Calcular: 11 1...3.02.01.0)19......531( +++++++

a) 16 b) 12 c) 15 d) 20 e) 10


58585858

07. Calcular la suma de los 100 primero términos de: 1; 2; 3; -4; 5; 6; 7; -8; 9; 10; 1; -12

a) 1940 b) 2450 c) 2540 d) 5050 e) no se puede

08. Un obrero ahorra cada día 5 soles más que el día

anterior. ¿Cuántos días ahorro si el primer día ahorro S/. 7.0 y el ultimo día S/. 232?

a) 42 b) 46 c) 48 d) 52 e) 54

09. Sabiendo que:

nSn ++++= .......321

Hallar : 20321 ..... SSSSS ++++=

a) 2560 b) 1620 c) 1520 d) 3080 e) 1540

10. Calcular “s”

oster

S

min20

.........141185 ++++=

a) 602 b) 670 c) 720 d) 600 e) 210

11. La suma de 20 números enteros consecutivos es

430, ¿Cuál es la suma de los 20 siguientes? a) 820 b) 870 c) 830 d) 630 e) 420

12. El primer día de trabajo gané S/. 3, el segundo

día gané S/. 7, el tercer día gane S/. 13, el cuarto día gané S/. 21. si el número de días que trabaje es 20. ¿Cuánto gane en total?

a) S/. 3100 b) S/. 3200 c) S/. 3400 d) S/. 3500 e) S/. 3800

13. Calcular la suma de todos los números de la

forma : (2k2+3k+4): nSn ++++= .........321

a) 5160 b) 5170 c) 5190 d) 5140 e) 5180

14. El abuelo “Rochi” tiene 20 nietos, repartió

cierta cantidad de caramelos de la siguiente forma; al primero le dió 10, al segundo 12, al tercero 14 y asi sucesivamente. ¿Cuántas bolsas de caramelo he tenido que comprar el abuelo, si cada bolsa trae 21 caramelos?

a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 27

15. Por motivo de una fiesta infantil se repartieron un tota, de 1600 juguetes entre 25 niños,. Dándole a cada uno 2 juguetes más que el anterior ¿Cuántos juguetes se les dio a los 15 primeros?

a) 800 b) 820 c) 290 d) 810 e) 560

16. Hallar “n”

nnnnn 81)5()....63()43()23( =++++++ a) 25 b) 21 c) 20 d) 22 e) 18

17. El guardián de un pozo ha plantado a partir del pozo, cada 5m, un total de 30 árboles, y puede sacar del pozo solo para un árbol cada vez. ¿Cuántos metros camina diariamente hasta llegar al ultimo árbol si comienza del mas cerca al pozo?

a) 4650 b) 4350 c) 4500 d) 4000 e) 4150

18. Un agricultor posee 20 troncos de árbol que los planta en línea recta, separados 7m y 2m alternadamente. Hallar el recorrido total a partir del instante que muestra la figura hasta que termina, si se debe que solo carga y planta un tronco a la vez.

a) 1850 b) 1980 c) 1840 d) 1920 e) 1640

19. Augusto y Celia leen una novela de 3000

páginas. Augusto lee 100 paginas diarias y Celia lee 10 paginas el 1er día, 20 el 2do día, 30 el tercero y así sucesivamente. Si ambos comienzan el 22 de febrero de un año bisiesto. ¿En que fecha coincidirán en leer la misma pagina, por primera vez, y cuantas paginas habrán leído hasta ese día? a) 10 de marzo; 1800 b) 12 de marzo; 1600 c) 11 de marzo; 1600 d) 10 de marzo; 1900 e) 11 de marzo; 1900


59595959

20. Hesitar esta apilando las canicas que tiene formando una pirámide tetraédrica. ¿Cuántas canicas tiene como máximo sabiendo que solamente le es posible obtener una pirámide de 20 niveles?

a) 1460 b) 1540 c) 1560 d) 1650 e) 1640

21. Calcular la suma en:

sumandos

S

130

39563754 +++++++=

a) 2625 b) 2665 c) 2964 d) 2425 e) 2825

22. hallar el valor de: 22222 20.........111098 +++++=S

a) 2730 b) 2870 c) 2821 d) 2750 e) 400

23. calcular la suma de:

sumandos

S

40

......332313 +++=

a) 8320 b) 5610 c) 4520 d) 6220 e) 5910

24. calcular la suma de los 20 primeros múltiplos de 5:

a) 1100 b) 1050 c) 1000 d) 995 e) 990

25. ¿Cuántos números pares hay entre 31 y 128?

a) 46 b) 47 c) 48 d) 49 e) 50

26. Hallar la suma de los números impares desde 29

hasta 137. a) 4500 b) 4565 c) 4215 d) 4200 e) 4360

27. un alumno recibe S/. 1 por el primer problema

resuelto, S/. 4 por el segundo, S/. 9 por el tercero y así sucesivamente. Si en total son 30 problemas y resolvió todos. ¿Cuánto obtuvo de dinero en total?

a) 9450 b) 9455 c) 9345 d) 9550 e) 9000

28. Hallar el valor de “S”

240........201262 +++++=S a) 1260 b) 1360 c) 1420 d) 1370 e) 1470

MATE-Y-RAZ

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