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Dr. Pedro V·squez

UPRM

P. V·squez (UPRM) Conferencia 1 / 15

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Problemas de optimizaciÛn

En las secciones anteriores han aprendido a hallar valores extremos,n˙meros crÌticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, cÛncava haciaarriba, cÛncava hacia abajo, puntos de ináexiÛn y la regla de LíHospital,en esta secciÛn se ponen en pr·ctica todo lo aprendido anteriormente pararesolver problemas de la vida real. Por ejemplo: maximizar ·reas,vol˙menes; minimizar costos, distancias, tiempos, etc. El gran reto esconvertir el problema dado en forma verbal en un problema deoptimizaciÛn.

Pasos para resolver problemas de optimizaciÛn:

1 Entender el problema: Recuerde leer el problema hasta entenderlo,ello incluye deÖniciÛn de variables, datos que se incluyen en elproblema.

2 Hacer un diagrama: En muchos problemas es importante que hagaun diagrama para entender mejor al problema.

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3 Introducir notaciÛn: Asigne una variable a la cantidad que va a seroptimizada (variable dependiente) y seleccione otras variables a lascantidades desconocidas.

4 Variable dependiente: Exprese a la variable dependiente en tÈrminosde las otras variables.

5 SimpliÖcar variable dependiente: Si la variable dependientedepende de m·s de una variable independiente, trate de encontrar larelaciÛn entre ellas, tal que la variable dependiente dependa de unasola variable.

6 Valores m·ximos y mÌnimos locales: Determine los n˙meroscrÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada.

7 Resolver el problema: Use los mÈtodos de las secciones 4.1 y 4.3para hallar los m·ximos o mÌnimos absolutos o locales, dependiendodel problema.

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Prueba de la primera derivada para hallar extremos absolutos:

Suponga que c es un n˙mero crÌtico de una funciÛn f continua deÖnida enun intervalo:

1 Si f 0 (x) > 0 para todo x < c y f 0 (x) < 0 para todo x > c ,entonces f (c) es el valor m·ximo absoluto de f .

2 Si f 0 (x) < 0 para todo x < c y f 0 (x) > 0 para todo x > c ,entonces f (c) es el valor mÌnimo absoluto de f .

Ejemplos: Formule y resuelva los siguientes problemas de optimizaciÛn.1. Halle dos n˙meros cuyo diferencia es 100 y cuyo suma es mÌnima.

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2. Determine la distancia mÌnima entre las par·bolas y = x2 + 1 yy = x " x2.

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3. Halle las dimensioes de un rect·ngulo con ·rea de 1000 m2, cuyoperimetro es el menor posible.

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4. Una caja con una base cuadrada y abierta tiene un volumen de 32,000cm3. Encuentre las dimensiones de la caja para que se minimize lacantidad de material usado.

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5. Halle las dimensiones del trapezoide m·s grande que que se puedeinscribir en un cÌrculo de radio 1 y cuya base es el di·metro del cÌrculo.

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6. Un cilindro triangular recto est· inscrito en un cono de altura h y radior . Halle el mayor volumen posible del cilindro.

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7. Un poster debe tener un ·rea de 180 pul2 con un margen de 1 pulgadaen los lados y la parte de abajo y dos pulgadas en la parte de arriba.Determine las dimensiones tal que el ·rea sea la mayor posible.

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8. Durante el verano Mercedes prepara y vende collares en la playa. Elverano pasado ella vendiÛ los collares por $10 cada uno y su promedio deventas fue de 20 por dÌa. Si aumentaba el precio en $1, encontrÛ que enpromedio sus ventas disminuÌan en 2 collares por dÌa.a. Halle la funciÛn de demanda, asuma que es lineal.

b.Si el material por cada collar es de $6, determine el precio de venta paraque Mercedes maximize sus ganancias.

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9. Un bote sale de un puerto a las 2:00 pm y viaja hacia el sur a unavelocidad de 20 km/h. Otro bote se dirige al este a una velocidad de 15km/h y llega al mismo puerto a las 3:00 pm. A que hora estuvieron losbotes lo m·s cercano posible?

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10. Una estatua de 6 m. de altura tiene su base a 2 m. arriba del nivel delojo de un observador. øA quÈ distancia de la estatua debe colocarse elobservador para que el ·ngulo subtendido desde su ojo a la estatua seam·ximo?.

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