Matemáticas III

Modulo I Ecuaciones Lineales

Una ecuación lineal es toda expresión de la forma: Ax + By + C = 0 De tal manera que A, B y C son constantes reales. Se denominan ecuaciones lineales por que al trazar la grafica de expresiones como la anterior, el resultado será una línea recta. La condición que debe cumplir la forma Ax + By + C = 0 para definir una ecuación lineal, es que A y B no sea cero simultáneamente. Es decir pueden tener las sig. Combinaciones: 1.- A = 0 entonces By + C = 0 2.- B = 0 entonces Ax + C = 0 3.- C = 0 entonces Ax + By = 0 4.- A = C = 0 entonces By = 0

5.- B = C = 0 entonces Ax = 0 Nunca se podrá tener A = B = 0 por que ya no se cumple con la definición.

Funciones Lineales Ax + By + C = 0 Despejando y y = - Ax – C B B Como y = f(x) por lo tanto f(x)= - Ax – C pero –A = m y -C = b B B B B f(x) = mx + b función lineal, donde: m = Pendiente (inclinación). b = Ordenada al origen. Caso 1 m > 0 (+)

Caso 2 m < 0 (-)

Caso 3 m = 0

Pendiente

Toda recta requiere por lo menos de dos puntos para ser trazada. Indico que la pendiente es un parámetro que define a una función lineal. La pendiente se define como la variación de la altura (ordenadas) respecto a la horizontal (abscisas), por lo tanto la pendiente, dados dos puntos, se calcula como: m = y2 – y1 = y1 – y2 Es decir m = y = Variación. x2 – x1 x1 – x2 x

Familias de Rectas. Caso 1 Misma pendiente m = Constante

Caso 2 Misma Ordenada b = Constante

Ejercicios: Dadas las siguiente expresiones represéntelo como una ecuación lineal, obtén sus parámetros, posteriormente obtén su función lineal, determine pendiente y ordenada de 3 posibles soluciones y grafique. 2y + 4x = 6 Se acomoda como una ecuación lineal, 4x + 2y – 6 = 0 Se identifican coeficientes, A = 4 B = 2 C = -6 Se despeja y, y = - 4x + 6 2 y = -4x + 6 2 2 Se resuelve la operación, y = -2x + 3 y queda f(x) = -2x + 3 (Función Lineal) m = -2 b = 3 Se da un valor cualquiera a x y se sustituye en la Función Lineal x = -1

f(x) = -2 (-1) + 3 = 2 + 3 = 5 f(x) = 5 x= 1

f(x) = -2(1) + 3 = -2 + 3 f(x) = 1 x = 3

f(x) = -2(3) + 3 =-6 + 3 f(x) = -3

Determine el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1/7 ,0) (-2/5, 1/3) y2 – y1 x2 – x1 1 – 0 1 1 3 = 3 = 3 = -35 -2 – 1 - 14 -5 -19 57 5 7 35 35 Graficar las sig. Familias 1.- y = 2x + b 3

2.- y = mx – 5 3.- y = -1/5 +b

4.- y= mx + 2

Modulo II

Sistemas de ecuaciones Lineales (2 x 2) Un sistema de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas es de la forma: A1x + B1y = C1 Ecuación 1 A2x + B2y = C2 Ecuación 2 El objetivo de hallar la solución de un sistema de ecuaciones es el determinar las coordenadas del punto P(x1, y1) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones, es decir: A1x1 + B1y1 = C1 A2x1 + B2y1 = C2 Métodos de solución = A. Método Grafico. Caso 1 Rectas que se intersecan. A1x + B1y = C1 A2x + B2y = C2

(Solución Única)

Caso 2 Rectas Coincidentes. A1x + B1y = C1 A2x + B2y = C2

(Solución Infinito)

Pero A2 = KA, B2 =KB, C2 =KC1 donde K ∈ℝ (∈ = pertenece) (ℝ = Conjunto

Reales)

A. Grafico B. Algebraicos.

Suma y Resta Sustitución Kramer

Entonces A1x + B1y = C1

KA1x + KB1y = KC

Caso 3 Rectas Paralelas. A1x + B1y = C1 A2x + B2y = C2

(No tiene solución) Pero A1 = A2 y B1 = B2 A1x + B1y = C1

A1x + B1y = C2

B. Método Kramer Sea el sistema de la forma A1x + B1y = C1 A2x + B2y = C2

Paso 1.- Hacer representación Matricial Matriz de = Matriz o Vector Cocientes de Resultados Paso 2.- Calculamos los determinantes.

a) Determinante del Sistema (si el resultado de este determinante es 0 entonces el sistema no tiene solución)

Determinante del Sistema = A1B2 - A2B1 Ds Determinante = C1B2 – C2B1 Para “x” Dx

A1 B1 A2 B2

C1 C2

A1 B1

A2 B2

C1 B1

C2 B2

Determinante =A1C2 – A2C1 Para “y” Dy Paso 3.- Obtengo la Solución. Dx (Determinante para “x”) x = Ds (Determinante del Sistema) Dy (Determinante para “y”) y = Ds (Determinante del Sistema) Ejercicios. Resolver el sistema

a) x – 3y = 1 x – 2y = 0

Matriz de = Matriz o Vector Cocientes de Resultados Determinante del Sistema = -2- (-3) Ds = - 2 + 3 = 1 Determinante = -2 –(0) Para “x” = -2 Dx Determinante = 0 - 1 Para “y” = -1 Dy Solución -2 (Determinante para “x”) x = 1 (Determinante del Sistema) x = -2 -1 (Determinante para “y”) y = 1 (Determinante del Sistema) y = -1 P (-2, -1)

b) 5x + 4y = 14 -5x – 4y = 14

Matriz de = Matriz o Vector Cocientes de Resultados

5 4 -5 -4

1 1 1 0

1 -3

0 -2

1 -3

1 -2

A1 C1 A2 C2

1 -3 1 -2

1 0

14 14

Determinante del Sistema = -20 – (20) Ds = -20 + 20 = 0 El sistema no tiene solución.

c) 5x + 4y = -17 3x – 2y = 3

Matriz de = Matriz o Vector Cocientes de Resultados Determinante del Sistema = -10 - 12 Ds = -22 Determinante = 34 - 12 Para “x” = 22 Dx Determinante = 15 - 51 Para “y” = -36 Dy Solución 22 (Determinante para “x”) x = -22 (Determinante del Sistema) x = -1 -36 (Determinante para “y”) Se simplifica el resultado en este caso y = -22 (Determinante del Sistema) se saca mitad y queda y = 18/11 P (-1, 18/11)

d) Si el perímetro de un rectángulo mide 26m y uno de sus lados excede al otro en 3m cuales son las dimensiones de rectángulo.

y x Perímetro = 26m 2x + 2y = 26 x - y = 3 Matriz de = Matriz o Vector Cocientes de Resultados

5 4

-5 -4

5 -17 3 3

-17 4

3 -2

5 4

3 -2

5 4 3 -2

-17 3

2 2 1 -1

26 3

Determinante del Sistema = -2 -2 Ds = - 4 Determinante = -26 - 6 Para “x” = -32 Dx Determinante = 6 – 26 Para “y” = -20 Dy Solución -32 (Determinante para “x”) x = - 4 (Determinante del Sistema) x = 8 -20 (Determinante para “y”) Se simplifica el resultado en este caso y = - 4 (Determinante del Sistema) se saca mitad y queda y = 5 P (8, 5) Modulo 3

Sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas (3 x 3) Se define como un sistema de 3 x 3 a toda expresión de la forma. A1x + B1y + C1z = D1 A2x + B2y + C2z = D2 A3x + B3y + C3z = D3

Las tres ecuaciones anteriores también son de carácter lineal pero en este caso para hacer su representación grafica se requiere de un sistema tridimensional, motivo por el cual solo analizaremos su solución algebraica. Su solución será aquel valor de x, y, z, que satisfaga simultáneamente las 3 ecuaciones su solución se interpreta como una terna cartesiana es decir P(x, y, z) Método Kramer Sea el sistema de la forma A1x + B1y + C1z = D1 A2x + B2y + C2z = D2 A3x + B3y + C3z = D3

Paso 1.- Hacer representación Matricial

b) el sistema no tiene solución)

Matriz de = Matriz o Vector Cocientes de Resultados

2 26 1 3

26 2

3 -1

2 2

1 -1

A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3

D1 D2

D3

Paso 2.- Calculamos los determinantes.

c) Determinante del Sistema (si el resultado de este determinante es 0 entonces el sistema no tiene solución)

Determinante del Sistema = (A1B2C3) (A2B3C1) (A3B1C2) – (A2B1C3) Ds (A1B3C2) (A3B2C1) Determinante = (D1B2C3) (D2B3C1) (D3B1C2) – (D2B1C3) Para “x” (D1B3C2) (D3B2C1) Dx Determinante =(A1D2C3) (A2D3C1) (A3D1C2) – (A2D1C3) Para “y” (A1D3C2) (A3D2C1) Dy Determinante = (A1B2D3) (A2B3D1) (A3B1D2) – (A2B1D3) Para “z” (A1B3D2) (A3B2D1) Dz Paso 3.- Obtengo la Solución. Dx (Determinante para “x”) x = Ds (Determinante del Sistema) Dy (Determinante para “y”) y = Ds (Determinante del Sistema) Dz (Determinante para “z”) z = Ds (Determinante del Sistema) Ejercicios. 1 Resolver el sistema. 2x – 3y + z = -1 x + 2y + z = 2 -5x + 2y –3z = -2

Matriz de = Matriz o Vector Cocientes de Resultados

A1 B1 D1 A2 B2 D2 A3 B3 D3 A1 B1 D1 A2 B2 D2

A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3 A1 B1 C1 A2 B2 C2

D1 B1 C1 D2 B2 C2 D3 B3 C3 D1 B1 C1 D2 B2 C2

A1 D1 C1 A2 D2 C2 A3 D3 C3 A1 D1 C1 A2 D2 C2

2 -3 1 1 2 1 -5 2 -3

-1 2 -2

Determinante del Sistema = [2 (2) (-3)] [1 (2)(1)] [-5 (-3) (1)] – [1 (-3) (-3)] [2 (2) (1)] Ds [-5 (2) (1)] = -12 + 2 + 15 – (9 + 4 -10 ) = 5 –3 = 2 Determinante = [-1 (2) (-3)] [2 (2) (1)] [-2 (-3) (1)] – [2 (-3) (-3)] Para “x” [-1 (2) (1)] [-2 (2) (1)] Dx = 6 + 4 + 6 – (18 – 2 – 4) = 16 – (12) = 16 – 12 = 4 Determinante = [2 (2) (-3)] [1 (-2) (1)] [-5 (-1) (1)] – [1 (-1) (-3)] Para “y” [2 (-2) (1)] [-5 (2) (1)] Dy = -12 – 2 + 5 – (3 – 4 –10) = -9 – (-11) = -9 + 11 = 2 Determinante = [2 (2) (-2)] [1 (2) (-1)] [-5 (-3) (2)] – [1 (-3) (-2)] Para “z” [2 (2) (2)] [-5 (2) (-1)] Dz = -8 – 2 + 30 – (6 + 8 + 10) = 20 – (24) = 20 – 24 = - 4 4 (Determinante para “x”) x = 2 (Determinante del Sistema) x = 2 2 (Determinante para “y”) y = 2 (Determinante del Sistema) y = 1 -4 (Determinante para “z”) z = 2 (Determinante del Sistema) z = -2 2 Se Creo un equipo de investigadores conformado por 60 individuos, el equipo esta conformado por Doctores, Maestros y Licenciados. Se sabe que hay 10 Licenciados menos que la suma de Doctores y Maestros, y que la suma de Maestros y Licenciados equivale al doble de los Doctores. Determine el No. De Integrantes según el nivel académico. Doctores = x Maestros = y Licenciados = z x + y +z = 60 x + y – 10 = z y + z = 2x

2 -3 -1 1 2 2 -5 2 -2 2 -3 -1 1 2 2

2 -3 1 1 2 1 -5 2 -3 2 -3 1 1 2 1

-1 -3 1 2 2 1 -2 2 -3 -1 -3 1 2 2 1

2 -1 1 1 2 1 -5 -2 -3 2 -1 1 1 2 1

Acomodamos las ecuaciones. x + y + z = 60 x + y – z = 10 -2x + y + z = 0

Matriz de = Matriz o Vector Cocientes de Resultados

Determinante del Sistema = [1 (1) (1)] [1 (1)(1)] [-2 (1) (-1)] – [1 (1) (1)] [1 (1) (-1)] Ds [-2 (1) (1)] = 1 + 1 + 2 – (1 – 1 – 2) = 4 – (-2) = 4 + 2 = 6 Determinante = [60 (1) (1)] [10 (1) (1)] [0 (1) (-1)] – [10 (1) (1)] Para “x” [60 (1) (-1)] [0 (1) (1)] Dx = 60 + 10 + 0 – (10 – 60 + 0) = 70 – (-50) = 70 + 50 = 120 Determinante = [1 (10) (1)] [1 (0) (1)] [-2 (60) (-1)] – [1 (60) (1)] Para “y” [1 (0) (-1)] [-2 (10) (1)] Dy = 10 + 120 – (60 – 20) = 130 – (40) = 130 – 40 = 90 Determinante = [1 (1) (0)] [1 (1) (60)] [-2 (1) (10)] – [1 (1) (0)] Para “z” [1 (1) (10)] [-2 (1) (60)] Dz = 60 – 20 – (10 – 120) = 40 – (-110) = 40 + 110 = 150 120 (Determinante para “x”) x = 6 (Determinante del Sistema) x = 20 90 (Determinante para “y”) y = 6 (Determinante del Sistema) y = 15 150 (Determinante para “z”) z = 6 (Determinante del Sistema) z = 25 Modulo IV

Desigualdades lineales y sistemas de desigualdades lineales. Son todas aquellas expresiones que involucran la forma general de la ecuación lineal, pero presentando los signos de desigualdad (<, >, <, >) y en consecuencia a estas se tendrán los siguientes casos.

1 1 1 1 1 -1 -2 1 1

60 10 0

1 1 60 1 1 10 -2 1 0 1 1 60 1 1 10

1 1 1 1 1 -1 -2 1 1 1 1 1 1 1 -1

60 1 1 10 1 -1 0 1 1 60 1 1 10 1 -1

1 60 1 1 10 -1 -2 0 1 1 60 1 1 10 -1

Caso 1 Ax + By + C < 0 Caso 2 Ax + Bx + C < 0

Caso 3 Ax + By + C > 0 Caso 4 Ax + By + C > 0

Cuando la desigualdad es igual a <, > la línea se marca punteada, esto quiere decir que los puntos por donde pasa la línea no son parte del conjunto solución. Conjunto Solución, es aquella sección o porción del plano que contiene todos los pares ordenados que satisfacen a una desigualdad lineal o un sistema de desigualdades. Ejercicios Resolver –2x + y + 3 < 0 Paso 1 Convertir a una ecuación lineal -2x + y +3 = 0 Paso 2 Despejo la variable dependiente (y) y = 2x –3 y = mx + b m = 2 y b = 3 m = 2 m = 2/1 [lo cual quiere decir que partiendo del punto b nos movemos 2 posiciones para arriba (2) y una para la derecha (1)] Paso 3 Grafico la recta.

Resolver el siguiente Conjunto de desigualdades. x – 2y + 4 > 0 ... 1 2x + y – 2 < 0 ... 2

-x + y – 3 < 0 ... 3 2x – 3y – 6 < 0 ... 4 1.- x – 2y + 4 = 0 y = -x – 4 y = x + 4 y = x + 2 ... 1 -2 2 2 2 2.- 2x + y – 2 = 0 y = -2x + 2 ... 2 3.- -x + y – 3 = 0 y = x + 3 ... 3 4.- 2x – 3y – 6 = 0 y = -2x + 6 y = -2x + 6 y = 2x – 2 ... 4 -3 -3 -3 3

Programación Lineal Ejercicio. Un sastre dispone de 60 m2 de tela de algodón y 80 m2 de lana. Su empresa elabora abrigos y sacos. Sus proveedores no le han distribuido materia prima, por lo cual quiere optimizar sus recursos. El precio de cada saco es de 2,000 y de los abrigos 3,000. Haciendo un análisis sabe que un saco ocupa 2 m2 de algodón y 4 m2 de lana y para hacer un abrigo necesita 3m2 de algodón y 2 m2 de lana. ¿Determine la cantidad exacta de abrigos y sacos que debe confeccionar? Definir variables. x = # de Sacos y = # de abrigos. Definir el objetivo. Función objetivo. Utilidad Máxima = UM = 2000x + 3000y

Obtenemos las ecuaciones. 2x + 3y < 60 Cantidad que se requiere de algodón para hacer 1 saco y 1 abrigo 4x + 2y < 80 Cantidad que se requiere de lana para hacer 1 saco y 1 abrigo Restricciones. Sacos (x) m2 Abrigos (y) m2 Limitantes (m2)

Algodón 2 3 60 Lana 4 2 80

2x + 3y = 60 4x + 2y = 80 = Ds = = 4 – 12 = -8 Dx = = 120 – 240 = -120 Dy = = 160 – 240 = -80 x = -120 = 15 -8 y = -80 = 10 -8 Respuesta = La máxima utilidad se obtendría elaborando 15 sacos y 10 gabardinas. Utilidad Máxima = UM = 2000 (15) + 3000 (10) = 30,000 + 30,000 = 60,000

Módulos V al VIII

Números Complejos. Procedencia Sea la ecuación de la forma x2 + K = 0; K > 0 x2 = -K x = + √-K x = + √K I x

1 = √K i

x2 = - √K i

Ejemplo: x2 + 4 = 0

x2 = - 4

x = + √- 4 x = + √4 i x = + 2i x

1 = 2i

x2 = - 2i

2 3 4 2

60 80

2 3 4 2

60 3 80 2

2 60 4 80

Nota: i2 = -1 Comprobación x = 2 i (2i)2 + 4 = 0 4i2

+ 4 = 0 4 (-1) + 4 = 0 0 = 0 Definición: Un numero complejo “z” se define como un par ordenado, tal que su primera coordenada es la parte real de “z” y su segunda coordenada es su parte imaginaria. Forma polar Forma rectangular 678 678

￠ = ⎨3/3 = (a, b) = a + bi; a , b ∈ ℝ⎬

￠ = Conjunto de números complejos

R = Conjunto de números reales. a = Parte real b = Parte imaginaria Ejemplos Forma polar Forma rectangular z1 = (2, 3) 2 + 3i z2 = (-1 , 3) - 1 + 3i z3 = (-3 , 1) -3 + i Forma Rectangular Forma Polar z4 = -2i (0 , -2) z5 = 5 (5 , 0) z6 = -7 – i (-7 , -1) z8 = -9 + xi (-9 , x) Representación Geométrica Los z E C, se representan gráficamente como vectores, en un sistema de referencia que se conoce como el plano Argand, el cual funciona de la misma forma que el cartesiano. Suponga z = a + bi z = (a , b)

z = 2 + 3i z = (2 , 3)

Operaciones con números complejos. Suma algebraica. z1 = a + bi y z2 = c + di z1 + z2 = (a + c) + (b + d)I Ejemplo z1 = 2 – 5i y z2 = - 8 – 3i 2 + (-8) + (-5i) + (-3i) = -6 – 8i Producto Sean z1 = a + bi y z2 = c + di (z1) (z2) = (a + bi) (c + di) z1 * z2 = ac + adi + bci + bdi2

Simplificando y recordando que i2 = -1 se obtendrá z1 * z2 = ac + (ad + bc)i + bd (-1) z1 * z2 = (ac +- bd) + (ad + bc)i Ejemplo. z1 = 2 + 4i y z2 = -3 +5i (2 + 4i) (-3 + 5i) z1 * z2 = -6 + 10i – 12i +20i2

= - 6 – 2i + 20i2 = - 6 – 20 –2i z1 * z2 = - 26 – 2i Definición A Sea Z = a + bi. Se concibe como conjugado de Z y se denota por “Z” a aquel complejo que codifica su signo “únicamente en su parte imaginaria” es decir. a Si z = a + b Z = a – bi Teorema a Sea Z = a + bi entonces si se realiza el producto de un Z ∈ C con su Z ∈ C se obtendrá un numero real, equivalente a una suma de cuadrados. A

Z * Z = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2 Donde a2 + b2 ∈ℝ

Demostración Z = a + bi z = a + bi z = (a + bi) (a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 – b2(-1) = a2 + b2 a2 + b2 E R, qed (queda esto demostrado)

Cociente z1 = a + bi y z2 = c + di a z1 = z1 ⎛ z2 ⎞ z2 z2 ⎝ z2 ⎠ agjg z1 = (a + bi) ⎛ c - di ⎞ = ac – adi + bci + bd z2 (c + di) ⎝ c - di ⎠ c2 + d2 = (ac + bd) + (bd – ad)i c2 + d2 z1 = ac + bd + bc – adi z2 c2 + d2 c2 + d2 Ejercicios. z1 = -3 + 8i z2 = 5 –3i -3 + 8i ⎛ 5 + 3i ⎞ = -15 – 9i + 40i + 24i2 = -15 +31i +24 (-1) = -15 + 31i -24 5 – 3i ⎝ 5 + 3i ⎠ (5)2 + (3)2 25 + 9 34 = -39 + 31i = -39 + 31i 34 34 34

Valor absoluto de un complejo

Sea z ∈￠ de la forma z = a + bi se dice que el valor absoluto de un complejo se determina por. |z| = √ a2 + b2

donde |z| ∈ℝ Gráficamente es

Ej. Sea z = 3 – 4i; obtener |z| |z| = √ (3)2 + (-4)2 = √9 + 16 = √25 = 5 |z| = 5 Siempre que se pida graficar un valor absoluta, se tendra una circunferencia, es decir.

Ejercicios

a) Obtener (3, -5) + (6, 7) = (9 , 2) = 9 + 2i

b) Obtener (-3 , 5) (-2 , 6) = 6 – 18i - 10i + 30i2 = 6 –28i + 30 (-1) = 6 – 28i –30 = -24 – 28i = (-24 , -28)

c) Si Z1 = (-4 , -3) y z2 (1 , 2) Hallar z2 – z1 (1 + 2) – (-4 –3) = (1 + 2i) + (4 +3i) = 5 + 5i = (5 , 5)

d) hallar 2 – 4i ⎛ 2 - 4i ⎞ = 2 + 4i ⎝ 2 - 4i ⎠ 4 –8i –8i + 16i2 = 4 – 16i –16 = -12 –16i = (2)2 + (4)2 4 + 16 20 -12 – 16i = -3 – 4i = ⎛ -3 - 4i ⎞ 20 20 5 5 ⎝ 5 5 ⎠

e) Si z = 3 +i hallar z * z (3 + i) (3 - i) = (3)2 + (i)2 = 9 + (-1)2 = 9 + 1 = 10

f) Resolver x2 + 9 = 0 x2 = -9 x = ± √-9 x = ± √9i x = ± 3i x1 = 3i x2 = -3i

g) Representar gráficamente z = 2 – 4i

h) si z = -3 –2i entonces |z| =

z = √(-3)2 + (-2)2 = √9 + 4 = √13

i) Hallar (0 , 2)2 = [2i]2 = 4(-1) = - 4 entonces (0 , 2) = (-4 , 0)

j) Obtener ⎛ 7 , 2 ⎞ + ⎛ -3 , 1 ⎞ = ⎝ 8 3 ⎠ ⎝ 4 3 ⎠ 7 – 3 = 7 – 6 = 1 Reales 8 4 8 8 2 + 1 = 3 = 1 Imaginarios 3 3 3 ⎛ 1 , 1 ⎞ = 1 + i ⎝ 8 ⎠ 8

k) Obtener 1 + 2i ⎛ 3 + i ⎞ = 3 – i ⎝ 3 + i ⎠ 3 + i + 6i + 2i2 = 3 + 7i – 2 = 1 + 7i (3)2 + (i)2 9 + 1 10 10 =⎛ 1 , 7 ⎞ ⎝10 10⎠ Modulo IX

Función Cuadrática Es toda expresión de la forma: ƒ(x) = ax2 + bx + c gráficamente se tendra una parábola y su geometría dependerá del valor de “a”, es decir Caso 1 a < 0 (-)

Caso 2 a > 0 (+)

Donde Vértice = Punto donde nace la parábola. Se calcula V (x , y) = V ⎛- b , 4ac – b2⎞ ⎝ 2a 4a ⎠

Si a < 0 ⇨ V es el valor máximo

Si a > 0 ⇨ V es el valor mínimo x1 y x2 = Raíces; puntos donde se corta al eje de las “x” En x1 y x2 las raíces siempre

valdran 0

Raíces imaginarias Ejercicios ƒ(x) = 2x2 – 8x + 6 Paso 1 localizar el vértice V (x , y) = V ⎛- (-8) ⎞ = 2 ⎝ 2(2) ⎠ V (x , y) = V ⎛ 4(2)(6) – (-8)2⎞ = 48 - 64 = -16 = -2 ⎝ 4(2) ⎠ 8 8 V ( 2 , -2) Paso 2 Tabular Sustituyo en la función. ƒ(0) = 2(0)2 – 8(0) + 6 = 6 ƒ(1) = 2(1)2 – 8(1) + 6 = 2 – 8 + 6 = 0 ƒ(3) = 2(3)2 – 8(3) + 6 = 18 – 24 + 6 = 0 ƒ(4) = 2(4)2 – 8(4) + 6 = 32 – 32 + 6 = 6 x 0 1 2 3 4 y 6 0 -2 0 6 Paso 3 Grafico

Ejercicios

a) Cuales son las coordenadas del vértice de la parábola representada por y = -x2 + 3x – 5?

V (x , y) = V ⎛- 3 ⎞ = 3 ⎝ 2(-1) ⎠ 2 V (x , y) = V ⎛ 4(-1)(-5) – (3)2⎞ = 20 - 9 = -11 ⎝ 4(-1) ⎠ 4 4

V = ⎛ 3 , - 11⎞ ⎝ 2 4 ⎠ Modulo X

Solución de ecuaciones de 2º grado. ax2 + bx + c = 0 ┌ Grafico Métodos de Solución ┤ ┌ Factorización

└Algebraicos ┤ └ Formula general Factorización Caso 1 a = 1 x2 + bx + c = 0 m + n = b (m y n son cualquier numero) (m)(n) = c (x + m) (x + n) = 0 x + m = 0 x + n = 0 x1 = -m x2 = -n 1.- x2 – x – 110 = 0 ( que números multiplicados dan –110 y que sumados den –1) 10 y –11 (x + 10) ( x – 11) = 0 x + 10 = 0 x – 11 = 0 x = -10 x = 11 2.- x2 – 12x + 35 = 0 (que números multiplicados dan 35 y que sumados den –12) -7 y –5 (x – 7) (x – 5) x – 7 = 0 x –5 = 0 x = 7 x = 5 Caso 2 a ≠ 1 Ax2 + bx + c = 0 Paso 1 Multiplicar la ecuación por “a” A [ax2 + bx + c] = 0 Paso 2 Acomodo como sigue. (ax)2 + b(ax) + ac = 0 Paso 3 hallar: m + n = b Paso 4 (ax + m)(ax + n) = 0 Paso 5 Divido un solo factor entre “a” ⎛ ax + m⎞ (ax + n) = 0 ⎝ a ⎠ (x + m⎞ (ax + n) = 0 a⎠ x + m = 0 ax + n = 0 a x1 = - m x2 = -n a a Ejemplo 1.- 6x2 + 10x – 4 = 0 6 (6x2 + 10x – 4) = 0

(6x)2 + 10 (6x) – 24 = 0 (que números multiplicados dan - 24 y que sumados den 10) -2 y 12 (6x – 2) ⎛6x + 12) = 0 (6x – 2) ⎛6x + 12⎞ = 0 ⎝ 6 ⎠ (6x – 2) (x + 2) = 0 6x – 2= 0 x2 = - 2 x1= 2 6 x1 = 1 3 2.- 3x2 + 11x +10 = 0 (3x)2 + 11(3x) + 30 = 0 (que números multiplicados dan 30 y que sumados den 11) 6 y 5 ⎛3x + 6⎞ (3x + 5) = 0 ⎝ 3 ⎠ (x + 2) (3x + 5) = 0 x + 2 = 0 3x + 5 = 0 x1 = -2 x 2 = -5 3 Formula General de 2º grado X = - b ± √b2 – 4ac 2a Ejemplo 6x2 – 7x – 5 = 0 - (-7) ± √72 – 4(6)(-5) = 7 ± √49 + 120 = 7 ± √ 169 = 7 ± 13 2(6) 12 12 12 x1 = 7 + 13 = 20 = 5 12 12 3 x2 = 7 – 13 = - 6 = -1 12 12 2 x2 + 10x + 41 = 0 x = - 10 ± √102 – 4(1)(41) = -10 ± √100 – 164 = -10 ± √-64 = -10 ± √64i = -10± 8i 2(1) 2 2 2 2 x1 = -10 + 8i = -5 + 8i 2 x2 = -10 – 8i = -5 – 8i 2 Modulo XI

Desigualdades cuadráticas Caso 1 ax2 + bx + c ; con a > 0

a) ax2 + bx + c > 0

x ∊ (-∞ , x1) ∪ (x2 , ∞)

b) ax2 + bx + c < 0

x ∊ (x1 , x2) Cuando termina en paréntesis y no en corchetes significa que no toca el punto indicado.

c) ax2 + bx + c ≥ 0

x ∊ (-∞ , x1] ∪ [x2 , ∞)

d) ax2 + bx + c ≤ 0

x ∊ [x1 , x2] Caso 2 ax2 + bx + c ; con a < 0

a) ax2 +bx +c > 0

x ∊ (x1 , x2)

b) ax2 + bx + c < 0

x ∊ (-∞ , x1) ∪(x2 , ∞)

c) ax2 + bx + c ≥ 0

x ∊ [x1 , x2]

d) ax2 + bx +c ≤ 0

x ∊ (-∞ , x1] ∪[x2 , ∞) Ejemplo 1.- Dar el conjunto solución de x2 – 5x + 6 ≥ 0

a) convierto a ecuación cuadrática.

x2 – 5x + 6 = 0 b) hallar las raíces.

(x – 3) (x – 2) = 0 x1 = 3 x2 = 2

x ∊ (-∞ , 2] ∪[3 , ∞) 2.- -2x + x – 10 < 0 convierto a ecuación cuadrática. -2x + x – 10 = 0 x = - 1 ± √12 – 4(-2)(-10) = -1 ± √1 – 80 = -1 ± √-79 = -1 ± √79i 2(-2) -4 -4 -4 x1 = -1 + √79i x2 = -1 - √79i -4 -4 3.- Determine una ecuación cuadrática cuyas raíces sean de las raíces de la ecuación x2 – 4x – 32 = 0 (x – 8) (x + 4) = 0 x1 = 8 x2 = - 4 Para la ecuación deseada dividimos entre 4 x1 = 2 x2= -1 Para generar la ecuación desarrollamos la ecuación x –2 = 0 x + 1 = 0 (x – 2) (x + 1) = 0 x2 + x – 2x – 2 = 0 x2 – x – 2 = 0 4.- Determine el valor de k para que la ecuación cuadrática 2x2 + kx – 15 = 0 tenga una raíz igual con 3 2x2 + kx – 15 = 0 con x1 = 3 2(3)2 + k(3) – 15 = 0 18 + 3k – 15 = 0 3 + 3k = 0 k = -3 3 k = -1 Esto quedaría como sigue: 2x2 + x – 15 = 0 Modulo XII

Sistemas de ecuaciones de 2º grado. Tipo 1 cuadrático – lineal

Ax2 + by2 + dx + ey = f → 1 gx + hy = k → 2 cuadrático – lineal por que esta integrado por una ecuación de 2º y una recta. Para estos sistemas se tendrán dos soluciones P1 (x1 , y1) P2 (x2 , y2) x2 – 6x – y = -5 → 1 -2x + y = -7 → 2 SUMA

a) sumo 1 y 2 x2 – 6x – y = - 5 - 2x + y = - 7 x2 – 8x = - 12

b) igualo a 0 x2 – 8x +12 = 0

c) obtengo raíces (x – 6) (x – 2) = 0 x – 6 = 0 x – 2 = 0 x1 = 6 x2 = 2

d) sustituyo x1 y x2 en la ecuación 2 para conocer y Para x1 = 6 Para x2 = 2 -2(6) + y = -7 - 2(2) + y = -7 -12 + y = -7 - 4 + y = -7 y = -7 + 12 y = -7 + 4 y = 5 y = - 3 P1 (6 , 5) P2 (2 , -3) SUSTITUCIÓN

a) Despejo y de la ecuación 2 Y = 2x – 7 → 2´

b) sustituir 2´en la ecuación 1 x2 – 6x – (2x – 7) = -5

c) resuelvo igualando a 0 x2 – 6x – 2x + 7 + 5 = 0 x2 – 8x + 12 = 0

d) encuentro raíces (x – 6) (x – 2) = 0 x = 6 x = 2

e) Sustituyo x1 y x2 en 2´ y = 2(6) – 7 y = 12 – 7 = 5 y = 2(2) – 7 y = 4 – 7 = -3 P1 (6 , 5) P2 (2 , -3) Tipo 2 cuadrático – cuadrático A1x2 + b1y2 = c1 → 1 A2x2 + b2y2 = c2 → 2 Como se observa 1 y 2 son curvas, por lo tanto se tendrán las siguientes condiciones. x1 y1

Para x { Para y { x2 y2 Ahora tendremos que combinar todas las soluciones parciales y se generaran 4 puntos con intersección, es decir P1 (x1 , y1) P2 (x1 , y2) P3 (x2, y1) P4 (x2, y2) 2x2 + 4y2 = 20 x2 - 2y2 = 50 Kramer Matriz de = Matriz o Vector Cocientes de Resultados Determinante del Sistema = -4 - 4 Ds = - 8 Determinante = -40 - 200 Para “x” = -240 Dx Determinante = 100 – 20 Para “y” = 80 Dy Solución -240 (Determinante para “x”) x = - 8 (Determinante del Sistema) x = 30 80 (Determinante para “y”) y = - 8 (Determinante del Sistema) y = - 10 x2 = 30 x = ± √30 x1 = √30 x2 = -√30 y2 =-10 y1 = √10i y = ± √-10 y2 = -√10i y = ± √10i Solución P1 (√30 , √10i) P2 (√30 , -√10i) P3 (-√30 , √10i) P4 (-√30 , -√10i) Ejercicios 1.- 5x2 – 11y2 = 69 2x2 – 7y2 = 25

2 20 1 50

20 4

50 -2

2 4

1 -2

2 4 1 -2

20 50

Matriz de = Matriz o Vector Cocientes de Resultados Determinante del Sistema = -35 + 22 Ds = - 13 Determinante = -483 + 275 Para “x” = -208 Dx Determinante = 125 – 138 Para “y” = -13 Dy Solución -208 (Determinante para “x”) x = - 13 (Determinante del Sistema) x = 16 -13 (Determinante para “y”) y = -13 (Determinante del Sistema) y = 1 x2 = 16 x = ± √16 x1 = 4 x2 = -4 y2 =-1 y = ± √1 y1 = 1 y2 = -1 Solución P1 (4 , 1) P2 (4 , -1) P3 (-4 , 1) P4 (-4 , -1) 2.- x2 + 8x – y + 5 = 0 → 1 2x – y = 0 → 2 Despejo y de 2 y = 2x → 2´ Sustituyo en 1 x2 + 8x – 2x + 5 = 0 x2 + 6x + 5 = 0 (que números multiplicados dan 30 y que sumados den 11) Hallar raíces 1 y 5 (x + 1) (x + 5) = 0 x = -1 x = -5

5 69 2 25

69 -11

25 -7

5 -11

2 -7

5 -11 2 -7

69 25

Sustituyo en 2´ y1 = 2(-1) y2 = 2(-5) y1 = -2 y2 = -10 P1 (-1 , -2) P2 (-5 , -10) 3.- 2x2 + 6y2 = 8 x2 + 2y2 = 3 Matriz de = Matriz o Vector Cocientes de Resultados Determinante del Sistema = 4 - 6 Ds = - 2 Determinante = 16 - 18 Para “x” = - 2 Dx Determinante = 6 - 8 Para “y” = - 2 Dy Solución -2 (Determinante para “x”) x = -2 (Determinante del Sistema) x = 1 -2 (Determinante para “y”) y = -2 (Determinante del Sistema) y = 1 x2 = 1 x = ± √1 x1 = 1 x2 = -1 y2 = 1 y = ± √1 y1 = 1 y2 = -1 P1 (1 , 1) P2 (1 , -1) P3 (-1 , 1) P4 (-1 , -1) 4.- Si la suma de dos números es 6 y la suma de sus cuadrados es 20, ¿cuáles son esos números? Una ecuación que resuelve este problema es: x + y = 6 → 1 x2 + y2 = 20 → 2 Despejo la y de la ecuación 1

2 8 1 3

8 6

3 2

2 6

1 2

2 6 1 2

8 3

y = 6 – x → 1´ Sustituyo 1´en 2 Respuesta: x2 + (6 – x )2 = 20 5.- Una persona desea cercar un terreno rectangular y dispone de 180 m de alambre. ¿Cuáles deben de ser las dimensiones del terreno para que su área sea máxima? z y = área x 2x + 2z = 180 xz = y Despejo z de 1 y sustituyo en 2 z = - 2x + 180 = - x + 90 2 x(- x + 90) = - x2 + 90x Sacamos el vértice de la función ya que es el punto mas alto en la grafica. x = -b 2a x = - 90 x = - 90 = 45 2(-1) - 2 Respuesta: Largo = 45 m, Ancho = 45 m 6.- Una de las soluciones de x2 – 7x + 6 = 0 es Encontramos raíces (x – 1) (x – 6) = 0 x = 1 x = 6 7.- El conjunto solución de x2 – x – 12 < 0 es: Igualo a cero x2 – x – 12 = 0 Encuentro las raíces. (x + 3) (x – 4) x = -3 x = 4 Respuesta: x ∊ R ∣(-3 < x < 4) Módulos XIII – XV

Polinomios Es toda expresión de la forma P(x) = Anxn + An-1xn-1 + ... + A2x2 + A1x + A0 Donde “n” es el máximo exponente del polinomio e indica el grado y el numero de raíces que tiene. Ejemplos Grado Raíces P1(x) = 6x2 + 9x7 – 2 7º 7 P2(x) = 3x4 + 2x3 – 7x2 + 6x – 9 4o 4 P3(x) = 3 0 0 P4(x) = x2 + 2x – 1 2º 2 Operaciones con polinomios Suma algebraica, producto y cociente, Cociente polinomio / Monomio y cociente polinomio / polinomio 

División Ordinaria y División Sintética. Ejemplo P(x) y Q(x) Realice las operaciones indicadas. P(x) = 2x3 – 3x2 + 2x +1 Q(x) = 4x4 + 3x3 – 4x2 + 2x +1

a) P(x) + Q(x) 2x3 – 3x2 + 2x +1 + 4x4 + 3x3 – 4x2 + 2x +1 = (Suma de términos semejantes x4 + x4, x3 + x3... etc.) 4x4 + 5x3 – 7x2 + 4x + 2

b) P(x) – Q(x) 2x3 – 3x2 + 2x +1 – (4x4 + 3x3 – 4x2 + 2x +1) = 2x3 – 3x2 + 2x +1 – 4x4 - 3x3 + 4x2 - 2x –1 = -4x4 – x3 + x2

c) Q(x) – P(x) 4x4 + 3x3 – 4x2 + 2x +1 – (2x3 – 3x2 + 2x +1) = 4x4 + 3x3 – 4x2 + 2x +1 – 2x3 + 3x2 - 2x –1 = 4x4 + x3 – x2

d) P(x)Q(x) (2x3 – 3x2 + 2x +1) (4x4 + 3x3 – 4x2 + 2x +1) = (multiplicar termino por termino y se suman exponentes) 8x7 + 6x6 – 8x5 + 4x4 + 2x3

-12x6 – 9x5 + 12x4 – 6x3 – 3x2 8x5 + 6x4 - 8x3 + 4x2 + 2x 4x4 + 3x3 – 4x2 + 2x + 1 8x7 – 6x6 – 9x5 + 26x4 –9x3 – 3x2 + 4x + 1 Cociente Caso 1 Polinomio / monomio P(x) 16x7 – 4x5 + 8x4 +6x2 Q(x) -2x3 = 16x7 – 4x5 + 8x4 + 6x2 = -8x7-3 + 2x5-3 – 4x4-3 – 3x2-3 -2x3 -2x3 - 2x3 - 2x3 = -8x4 + 2x2 – 4x – 3x-1 = -8x4 + 2x2 – 4x - 3 x Caso 2 Polinomio / Polinomio

Teorema de Residuo P(x) = c(x) + R(x) Q(x) Q(x) Donde: C(x) → Cociente Q(x)⃒P(x) → Dividendo │ R(x) → Residuo ────── → Divisor

Regla de exponentes am an = am+n

am = am-n an a-n = 1 an 1 = an a-1

1.- Obtener P(x)/Q(x) y entregar el resultado en base al teorema del residuo, indicando sus componentes. P(x) = x4 + 3x2 – 16 Q(x) = x2 + 2x + 1 Q(x) x2 – 2x + 6 C(x) x2 + 2x + 1 ⃒x4 + 3x2 – 16 P(x)

-x4 - 2x3 – x2 0 - 2x3 + 2x2 – 16

+ 2x3 + 4x2 + 2x 0+ 6x2 + 2x – 16 - 6x2 – 12x - 6

0 - 10x – 22 R(x) P(x) = x2 – 2x + 6 + 0 – 10x - 22 Q(x) x2 + 2x + 1 2.- P(x) = 2x3 – 2ax2 + 3a2x – 4a3 Q(x) = x – a 2x2 + 3a2 x – a ⃒2x3 – 2ax2 + 3a2x – 4a3 -2x3 + 2ax2 3a2x – 4a3 -3a2x – 3a3 -a3 P(x) = 2x2 + 3a2 – a3 Q(x) x – a 3.- Determine el valor de K con el residuo indicado P(x) = x3 + 2x2 + Kx + 3 Q(x) = x + 1 R(x) = - 6 x2 + x + (k – 1) x +1 ⃒x3 + 2x2 + Kx + 3 -x3 – x2 + x2 + Kx

-x2 + x 0 + Kx – x + 3 + x (K – 1) + 3

- x (K –1) – (K – 1) 0 + 3 – K + 1 4 – K 4 – K = - 6

-K = - 6 – 4 -K = - 10 K = 10

División Sintética P(x) Q(x) → n = 1 Q(x) 1.- P(x) = 4x3 – 3x2 + 2x – 1 Q(x) = x – 2

4 -3 2 -1 8 10 24 24 5 12 23

Residuo P(x) = 4x2 + 5x + 12 + 23 Q(x) x – 2 2.- P(x) = x3 + 2x2 + 10x + 3 Q(x) = x + 1 1 2 10 3 -1 -1 -9 21 1 9 -6 P(x) = x2 + x + 9 - 6 Q(x) x + 1

Obtención de Raíces de un Polinomio Paso 1) Identifico el numero de raíces Paso 2) Aplico la regla de Descartes.

a) El numero de cambios de signo en P(x), indica el máximo de raíces positivas.

b) El numero de cambios de signo en P(-x) indica el máximo de raíces negativas

c) Todas las raíces complejas vienen en pares. Paso 3) Generar tabla de raíces Paso 4) Determino posibles raíces racionales (PRR) Paso 5) Aplico División Sintética Paso 6) Si el resultado es “cero” entonces esa PRR es una raíz de P(x) Paso 7) Aplica División sintética hasta degradar a un polinomio de 2º grado Paso 8) Resuelvo por factorizacion o por formula general Paso 9) Doy las raíces Paso 10) Doy factores. 1.- P(x) = 3x4 + 2x3 – 18x2 + 8 Paso 1) 4 raíces Paso 2) Regla de Descartes P(x) = 3x4 + 2x3 – 18x2 + 8 Dos veces cambia de signo, entonces tiene 2 raíces positivas. P(x) = 3(-x)4 + 2(-x)3 – 18(-x)2 + 8 = -3x4 –2x3 - 18x2 + 8 Dos veces cambia de signo, entonces tiene 2 raíces negativas. Paso 3) Tabla de raíces.

(+) (-) ￠ 2 2 0 2 22 0 21 1 2 0 0 4

Paso 4) PRR = (del ultimo factor, en este caso el 8, sacamos sus múltiplos) ±1, ±2, ±4, ±8 (y cada uno de estos números los ponemos sobre el coeficiente del primer factor, en este caso el 3) ±1/3, ±2/3, ± 4/3, ± 8/3. Paso 5) Aplicamos división sintética. 3 2 -18 0 8 3 5 -13 -13 3 5 -13 -13 -5 1 No es raíz

3 2 -18 0 8 -3 1 17 -17 3 -1 -17 17 -9 -1No es raíz

3 2 -18 0 8 6 16 -4 -8 3 8 -2 -4 0 2 Es raíz

Paso 6) El residuo es cero entonces es una raíz de P(x) Paso 7) Aplico la división sintética hasta degradar a un polinomio de 2º grado 3 8 -2 -4 -2 -4 4 - 2/3Es raíz 3 6 -6 0

Paso 8) Resuelvo por Formula general 3x2 + 6x – 6 = 0 / 3 lo divido entre 3 x2 + 2x – 2 = 0 x = -2 ± √4 – 4(1)(-2) 2(1) x = -2±√12 2 x = -2 ±√4 3 2 x = - 2 ± 2√3 2 x = -1 ± √3 Paso 9) Raíces Paso 10) Factores x1 = 2 (x –2) = 0 x2 = -2/3 (x + 2/3) = 0 x3 = - 1 + √3 (x + 1 -√3) = 0 x4 = - 1 - √3 (x + 1 + √3) = 0

P(x) = (x –2)(x + 2/3)(x + 1 -√3)(x + 1 + √3) 2.- P(x) = x3 – 5x2 + 9x – 5 P(x) = x3 – 5x2 + 9x – 5 tres veces cambia de signo, entonces tiene 3 raíces positivas. P(-x) = (-x)3 – 5(-x)2 + 9(-x) – 5 = -x3 - 5x2 – 9x – 5 no tiene cambio de signo, entonces tiene 0 raíces negativas.

(+) (-) ￠ 3 0 01 0 2

PRR = ± 1, ± 5, 1 -5 9 -5 1 -4 5 1 -4 5 0 1Es raíz

x2 – 4x + 5 = 0 x = - (-4) ± √(-4)2 - 4(1)(5) = 4 ± √16 - 20 2(1) 2 x = 4 ± √ - 4 = 4± √4i = 4 ± 2i = 2 ± I 2 2 2 Raíces Factores x1 = 1 x – 1 = 0 x2 = 2 + i x – 2 – i = 0 x3 = 2 – i x – 2 + i = 0 Comprobación P(x) (x – 2 – i)(x – 2 + i) = x2 – 2x + ix – 2x + 4 – 2i – ix + 2i – (-1) = x2 – 4x + 5 P(x) (x2 – 4x + 5)(x – 1) = x3 – x2 – 4x2 + 4x + 5x – 5 = x3 – 5x2 + 9x - 5