MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5...
Transcript of MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5...
![Page 1: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/1.jpg)
MAT1030 – Diskret MatematikkForelesning 18: Generell rekursjon og induksjon
Dag Normann
Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo
17. mars 2010(Sist oppdatert: 2010-03-17 12:52)
![Page 2: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/2.jpg)
Forelesning 18
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 2
![Page 3: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/3.jpg)
Rekurrenslikninger
• Forrige uke sa vi pa rekurrenslikninger.• En rekurrenslikning er en funksjonslikning pa formen
at(n) + bt(n − 1) + ct(n − 2) = 0
hvor en løsning er en funksjonF : N → R slik at
aF(n) + bF(n − 1) + cF(n − 2) = 0
for alle n ! 3
(eller for alle n hvor n, n − 1 og n − 2 er idefinisjonsomradet til F, nar vi vil bruke maskineriet vart i en mergenerell situasjon).
• Den karakteristiske likningen er da
ax2 + bx + c = 0
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 3
![Page 4: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/4.jpg)
Rekurrenslikninger• Forrige uke sa vi pa rekurrenslikninger.
• En rekurrenslikning er en funksjonslikning pa formen
at(n) + bt(n − 1) + ct(n − 2) = 0
hvor en løsning er en funksjonF : N → R slik at
aF(n) + bF(n − 1) + cF(n − 2) = 0
for alle n ! 3
(eller for alle n hvor n, n − 1 og n − 2 er idefinisjonsomradet til F, nar vi vil bruke maskineriet vart i en mergenerell situasjon).
• Den karakteristiske likningen er da
ax2 + bx + c = 0
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 3
![Page 5: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/5.jpg)
Rekurrenslikninger• Forrige uke sa vi pa rekurrenslikninger.• En rekurrenslikning er en funksjonslikning pa formen
at(n) + bt(n − 1) + ct(n − 2) = 0
hvor en løsning er en funksjon
F : N → R slik at
aF(n) + bF(n − 1) + cF(n − 2) = 0
for alle n ! 3
(eller for alle n hvor n, n − 1 og n − 2 er idefinisjonsomradet til F, nar vi vil bruke maskineriet vart i en mergenerell situasjon).
• Den karakteristiske likningen er da
ax2 + bx + c = 0
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 3
![Page 6: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/6.jpg)
Rekurrenslikninger• Forrige uke sa vi pa rekurrenslikninger.• En rekurrenslikning er en funksjonslikning pa formen
at(n) + bt(n − 1) + ct(n − 2) = 0
hvor en løsning er en funksjonF : N → R slik at
aF(n) + bF(n − 1) + cF(n − 2) = 0
for alle n ! 3
(eller for alle n hvor n, n − 1 og n − 2 er idefinisjonsomradet til F, nar vi vil bruke maskineriet vart i en mergenerell situasjon).
• Den karakteristiske likningen er da
ax2 + bx + c = 0
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 3
![Page 7: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/7.jpg)
Rekurrenslikninger• Forrige uke sa vi pa rekurrenslikninger.• En rekurrenslikning er en funksjonslikning pa formen
at(n) + bt(n − 1) + ct(n − 2) = 0
hvor en løsning er en funksjonF : N → R slik at
aF(n) + bF(n − 1) + cF(n − 2) = 0
for alle n ! 3
(eller for alle n hvor n, n − 1 og n − 2 er idefinisjonsomradet til F, nar vi vil bruke maskineriet vart i en mergenerell situasjon).
• Den karakteristiske likningen er da
ax2 + bx + c = 0
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 3
![Page 8: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/8.jpg)
Rekurrenslikninger• Forrige uke sa vi pa rekurrenslikninger.• En rekurrenslikning er en funksjonslikning pa formen
at(n) + bt(n − 1) + ct(n − 2) = 0
hvor en løsning er en funksjonF : N → R slik at
aF(n) + bF(n − 1) + cF(n − 2) = 0
for alle n ! 3 (eller for alle n hvor n, n − 1 og n − 2 er idefinisjonsomradet til F, nar vi vil bruke maskineriet vart i en mergenerell situasjon).
• Den karakteristiske likningen er da
ax2 + bx + c = 0
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 3
![Page 9: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/9.jpg)
Rekurrenslikninger• Forrige uke sa vi pa rekurrenslikninger.• En rekurrenslikning er en funksjonslikning pa formen
at(n) + bt(n − 1) + ct(n − 2) = 0
hvor en løsning er en funksjonF : N → R slik at
aF(n) + bF(n − 1) + cF(n − 2) = 0
for alle n ! 3 (eller for alle n hvor n, n − 1 og n − 2 er idefinisjonsomradet til F, nar vi vil bruke maskineriet vart i en mergenerell situasjon).
• Den karakteristiske likningen er da
ax2 + bx + c = 0
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 3
![Page 10: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/10.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis r og s er to forskjellige løsninger av den karakteristiskelikningen, er den generelle løsningen av rekurrenslikningen
F(n) = Arn + Bsn
hvor A og B er vilkarlige reelle tall.• Hvis den karakteristiske likningen bare har en løsning r, er den
generelle løsningen av rekurrenslikningen
(A + Bn)rn.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 4
![Page 11: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/11.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis r og s er to forskjellige løsninger av den karakteristiskelikningen, er den generelle løsningen av rekurrenslikningen
F(n) = Arn + Bsn
hvor A og B er vilkarlige reelle tall.• Hvis den karakteristiske likningen bare har en løsning r, er den
generelle løsningen av rekurrenslikningen
(A + Bn)rn.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 4
![Page 12: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/12.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis r og s er to forskjellige løsninger av den karakteristiskelikningen, er den generelle løsningen av rekurrenslikningen
F(n) = Arn + Bsn
hvor A og B er vilkarlige reelle tall.• Hvis den karakteristiske likningen bare har en løsning r, er den
generelle løsningen av rekurrenslikningen
(A + Bn)rn.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 4
![Page 13: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/13.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis r og s er to forskjellige løsninger av den karakteristiskelikningen, er den generelle løsningen av rekurrenslikningen
F(n) = Arn + Bsn
hvor A og B er vilkarlige reelle tall.
• Hvis den karakteristiske likningen bare har en løsning r, er dengenerelle løsningen av rekurrenslikningen
(A + Bn)rn.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 4
![Page 14: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/14.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis r og s er to forskjellige løsninger av den karakteristiskelikningen, er den generelle løsningen av rekurrenslikningen
F(n) = Arn + Bsn
hvor A og B er vilkarlige reelle tall.• Hvis den karakteristiske likningen bare har en løsning r, er den
generelle løsningen av rekurrenslikningen
(A + Bn)rn.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 4
![Page 15: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/15.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis r og s er to forskjellige løsninger av den karakteristiskelikningen, er den generelle løsningen av rekurrenslikningen
F(n) = Arn + Bsn
hvor A og B er vilkarlige reelle tall.• Hvis den karakteristiske likningen bare har en løsning r, er den
generelle løsningen av rekurrenslikningen
(A + Bn)rn.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 4
![Page 16: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/16.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis vi i tillegg har krav om at t(1) = a og t(2) = b, kan vibestemme A og B i den generelle løsningen ved a sette inn forn = 1 og n = 2 i den generelle løsningen, og løse likningene mhp A
og B.• Dette vil alltid fungere.• Boka ser bare pa tilfellet med initialbetingelser pa t(1) og t(2).• Hadde vi satt krav til t(17) og t(256), eller til t-verdien for to andre,
forskjellige tall, kunne vi fortsatt bestemt A og B fra deninformasjonen.
• Initialbetingelser for n = 0 og n = 1 kan gi den enkleste regningen.• Dette skal vi se nærmere pa om en stund.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5
![Page 17: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/17.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis vi i tillegg har krav om at t(1) = a og t(2) = b, kan vibestemme A og B i den generelle løsningen ved a sette inn forn = 1 og n = 2 i den generelle løsningen, og løse likningene mhp A
og B.
• Dette vil alltid fungere.• Boka ser bare pa tilfellet med initialbetingelser pa t(1) og t(2).• Hadde vi satt krav til t(17) og t(256), eller til t-verdien for to andre,
forskjellige tall, kunne vi fortsatt bestemt A og B fra deninformasjonen.
• Initialbetingelser for n = 0 og n = 1 kan gi den enkleste regningen.• Dette skal vi se nærmere pa om en stund.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5
![Page 18: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/18.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis vi i tillegg har krav om at t(1) = a og t(2) = b, kan vibestemme A og B i den generelle løsningen ved a sette inn forn = 1 og n = 2 i den generelle løsningen, og løse likningene mhp A
og B.• Dette vil alltid fungere.
• Boka ser bare pa tilfellet med initialbetingelser pa t(1) og t(2).• Hadde vi satt krav til t(17) og t(256), eller til t-verdien for to andre,
forskjellige tall, kunne vi fortsatt bestemt A og B fra deninformasjonen.
• Initialbetingelser for n = 0 og n = 1 kan gi den enkleste regningen.• Dette skal vi se nærmere pa om en stund.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5
![Page 19: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/19.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis vi i tillegg har krav om at t(1) = a og t(2) = b, kan vibestemme A og B i den generelle løsningen ved a sette inn forn = 1 og n = 2 i den generelle løsningen, og løse likningene mhp A
og B.• Dette vil alltid fungere.• Boka ser bare pa tilfellet med initialbetingelser pa t(1) og t(2).
• Hadde vi satt krav til t(17) og t(256), eller til t-verdien for to andre,forskjellige tall, kunne vi fortsatt bestemt A og B fra deninformasjonen.
• Initialbetingelser for n = 0 og n = 1 kan gi den enkleste regningen.• Dette skal vi se nærmere pa om en stund.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5
![Page 20: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/20.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis vi i tillegg har krav om at t(1) = a og t(2) = b, kan vibestemme A og B i den generelle løsningen ved a sette inn forn = 1 og n = 2 i den generelle løsningen, og løse likningene mhp A
og B.• Dette vil alltid fungere.• Boka ser bare pa tilfellet med initialbetingelser pa t(1) og t(2).• Hadde vi satt krav til t(17) og t(256), eller til t-verdien for to andre,
forskjellige tall, kunne vi fortsatt bestemt A og B fra deninformasjonen.
• Initialbetingelser for n = 0 og n = 1 kan gi den enkleste regningen.• Dette skal vi se nærmere pa om en stund.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5
![Page 21: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/21.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis vi i tillegg har krav om at t(1) = a og t(2) = b, kan vibestemme A og B i den generelle løsningen ved a sette inn forn = 1 og n = 2 i den generelle løsningen, og løse likningene mhp A
og B.• Dette vil alltid fungere.• Boka ser bare pa tilfellet med initialbetingelser pa t(1) og t(2).• Hadde vi satt krav til t(17) og t(256), eller til t-verdien for to andre,
forskjellige tall, kunne vi fortsatt bestemt A og B fra deninformasjonen.
• Initialbetingelser for n = 0 og n = 1 kan gi den enkleste regningen.
• Dette skal vi se nærmere pa om en stund.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5
![Page 22: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/22.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis vi i tillegg har krav om at t(1) = a og t(2) = b, kan vibestemme A og B i den generelle løsningen ved a sette inn forn = 1 og n = 2 i den generelle løsningen, og løse likningene mhp A
og B.• Dette vil alltid fungere.• Boka ser bare pa tilfellet med initialbetingelser pa t(1) og t(2).• Hadde vi satt krav til t(17) og t(256), eller til t-verdien for to andre,
forskjellige tall, kunne vi fortsatt bestemt A og B fra deninformasjonen.
• Initialbetingelser for n = 0 og n = 1 kan gi den enkleste regningen.• Dette skal vi se nærmere pa om en stund.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5
![Page 23: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/23.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis vi har en rekurrenslikning
at(n) + bt(n − 1) + ct(n − 2) = 0
hvor a = 0 eller c = 0, er likningen strengt tatt ikke av 2. orden, ogvi ma være litt forsiktige.
• Dette er nøyaktig den situasjonen hvor vi kan ha at 0 er en rot iden karakteristiske likningen.
• Da vil den generelle løsningen være pa formen
F(n) = Arn
hvor r "= 0 er en rot i den karakteristiske likningen.• Egentlig kan vi her betrakte den karakteristiske likningen som en
førstegradslikning med r som den eneste løsningen.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 6
![Page 24: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/24.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis vi har en rekurrenslikning
at(n) + bt(n − 1) + ct(n − 2) = 0
hvor a = 0 eller c = 0, er likningen strengt tatt ikke av 2. orden, ogvi ma være litt forsiktige.
• Dette er nøyaktig den situasjonen hvor vi kan ha at 0 er en rot iden karakteristiske likningen.
• Da vil den generelle løsningen være pa formen
F(n) = Arn
hvor r "= 0 er en rot i den karakteristiske likningen.• Egentlig kan vi her betrakte den karakteristiske likningen som en
førstegradslikning med r som den eneste løsningen.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 6
![Page 25: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/25.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis vi har en rekurrenslikning
at(n) + bt(n − 1) + ct(n − 2) = 0
hvor a = 0 eller c = 0, er likningen strengt tatt ikke av 2. orden, ogvi ma være litt forsiktige.
• Dette er nøyaktig den situasjonen hvor vi kan ha at 0 er en rot iden karakteristiske likningen.
• Da vil den generelle løsningen være pa formen
F(n) = Arn
hvor r "= 0 er en rot i den karakteristiske likningen.• Egentlig kan vi her betrakte den karakteristiske likningen som en
førstegradslikning med r som den eneste løsningen.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 6
![Page 26: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/26.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis vi har en rekurrenslikning
at(n) + bt(n − 1) + ct(n − 2) = 0
hvor a = 0 eller c = 0, er likningen strengt tatt ikke av 2. orden, ogvi ma være litt forsiktige.
• Dette er nøyaktig den situasjonen hvor vi kan ha at 0 er en rot iden karakteristiske likningen.
• Da vil den generelle løsningen være pa formen
F(n) = Arn
hvor r "= 0 er en rot i den karakteristiske likningen.
• Egentlig kan vi her betrakte den karakteristiske likningen som enførstegradslikning med r som den eneste løsningen.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 6
![Page 27: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/27.jpg)
Rekurrenslikninger
• Hvis vi har en rekurrenslikning
at(n) + bt(n − 1) + ct(n − 2) = 0
hvor a = 0 eller c = 0, er likningen strengt tatt ikke av 2. orden, ogvi ma være litt forsiktige.
• Dette er nøyaktig den situasjonen hvor vi kan ha at 0 er en rot iden karakteristiske likningen.
• Da vil den generelle løsningen være pa formen
F(n) = Arn
hvor r "= 0 er en rot i den karakteristiske likningen.• Egentlig kan vi her betrakte den karakteristiske likningen som en
førstegradslikning med r som den eneste løsningen.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 6
![Page 28: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/28.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel
• En litt hapløs mate a sende en kryptert binær sekvens pa vil være asende 10 eller 01 valgt vilkarlig der det skulle statt 1 og 0 der detskulle statt 0.
• Det er da opp til mottageren, som er den eneste som kjennerkrypteringsmaten, a liste opp alle mulige opprinnelige meldingerog finne den som gir mening.
• Hva er det maksimale antall F(n) opprinnelige meldinger som kanligge bak en mottatt bitsekvens av lengde n?
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 7
![Page 29: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/29.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel
• En litt hapløs mate a sende en kryptert binær sekvens pa vil være asende 10 eller 01 valgt vilkarlig der det skulle statt 1 og 0 der detskulle statt 0.
• Det er da opp til mottageren, som er den eneste som kjennerkrypteringsmaten, a liste opp alle mulige opprinnelige meldingerog finne den som gir mening.
• Hva er det maksimale antall F(n) opprinnelige meldinger som kanligge bak en mottatt bitsekvens av lengde n?
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 7
![Page 30: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/30.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel
• En litt hapløs mate a sende en kryptert binær sekvens pa vil være asende 10 eller 01 valgt vilkarlig der det skulle statt 1 og 0 der detskulle statt 0.
• Det er da opp til mottageren, som er den eneste som kjennerkrypteringsmaten, a liste opp alle mulige opprinnelige meldingerog finne den som gir mening.
• Hva er det maksimale antall F(n) opprinnelige meldinger som kanligge bak en mottatt bitsekvens av lengde n?
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 7
![Page 31: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/31.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel
• En litt hapløs mate a sende en kryptert binær sekvens pa vil være asende 10 eller 01 valgt vilkarlig der det skulle statt 1 og 0 der detskulle statt 0.
• Det er da opp til mottageren, som er den eneste som kjennerkrypteringsmaten, a liste opp alle mulige opprinnelige meldingerog finne den som gir mening.
• Hva er det maksimale antall F(n) opprinnelige meldinger som kanligge bak en mottatt bitsekvens av lengde n?
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 7
![Page 32: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/32.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel
• En litt hapløs mate a sende en kryptert binær sekvens pa vil være asende 10 eller 01 valgt vilkarlig der det skulle statt 1 og 0 der detskulle statt 0.
• Det er da opp til mottageren, som er den eneste som kjennerkrypteringsmaten, a liste opp alle mulige opprinnelige meldingerog finne den som gir mening.
• Hva er det maksimale antall F(n) opprinnelige meldinger som kanligge bak en mottatt bitsekvens av lengde n?
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 7
![Page 33: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/33.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (Fortsatt)
• Hvis n = 1 har vi bare en mulighet, den sendte biten er 0
• Hvis n = 2 har vi to muligheter, bitsekvensen representerer 1 ellerbitsekvensen representerer 00.
• For n ! 3 har vi to muligheter:
• Siste siffer er 0 og representerer en 0. Det totale antall muligheter iden situasjonen er F(n − 1) ettersom resten av meldingen ogsa skalrepresentere en bitsekvens.
• De siste to sifrene representerer 1. Dette svarer egentlig til F(n − 2)muligheter totalt.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 8
![Page 34: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/34.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (Fortsatt)
• Hvis n = 1 har vi bare en mulighet, den sendte biten er 0
• Hvis n = 2 har vi to muligheter, bitsekvensen representerer 1 ellerbitsekvensen representerer 00.
• For n ! 3 har vi to muligheter:
• Siste siffer er 0 og representerer en 0. Det totale antall muligheter iden situasjonen er F(n − 1) ettersom resten av meldingen ogsa skalrepresentere en bitsekvens.
• De siste to sifrene representerer 1. Dette svarer egentlig til F(n − 2)muligheter totalt.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 8
![Page 35: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/35.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (Fortsatt)
• Hvis n = 1 har vi bare en mulighet, den sendte biten er 0
• Hvis n = 2 har vi to muligheter, bitsekvensen representerer 1 ellerbitsekvensen representerer 00.
• For n ! 3 har vi to muligheter:
• Siste siffer er 0 og representerer en 0. Det totale antall muligheter iden situasjonen er F(n − 1) ettersom resten av meldingen ogsa skalrepresentere en bitsekvens.
• De siste to sifrene representerer 1. Dette svarer egentlig til F(n − 2)muligheter totalt.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 8
![Page 36: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/36.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (Fortsatt)
• Hvis n = 1 har vi bare en mulighet, den sendte biten er 0
• Hvis n = 2 har vi to muligheter, bitsekvensen representerer 1 ellerbitsekvensen representerer 00.
• For n ! 3 har vi to muligheter:
• Siste siffer er 0 og representerer en 0. Det totale antall muligheter iden situasjonen er F(n − 1) ettersom resten av meldingen ogsa skalrepresentere en bitsekvens.
• De siste to sifrene representerer 1. Dette svarer egentlig til F(n − 2)muligheter totalt.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 8
![Page 37: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/37.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (Fortsatt)
• Hvis n = 1 har vi bare en mulighet, den sendte biten er 0
• Hvis n = 2 har vi to muligheter, bitsekvensen representerer 1 ellerbitsekvensen representerer 00.
• For n ! 3 har vi to muligheter:
• Siste siffer er 0 og representerer en 0. Det totale antall muligheter iden situasjonen er F(n − 1) ettersom resten av meldingen ogsa skalrepresentere en bitsekvens.
• De siste to sifrene representerer 1. Dette svarer egentlig til F(n − 2)muligheter totalt.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 8
![Page 38: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/38.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (Fortsatt)
• Hvis n = 1 har vi bare en mulighet, den sendte biten er 0
• Hvis n = 2 har vi to muligheter, bitsekvensen representerer 1 ellerbitsekvensen representerer 00.
• For n ! 3 har vi to muligheter:• Siste siffer er 0 og representerer en 0. Det totale antall muligheter i
den situasjonen er F(n − 1) ettersom resten av meldingen ogsa skalrepresentere en bitsekvens.
• De siste to sifrene representerer 1. Dette svarer egentlig til F(n − 2)muligheter totalt.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 8
![Page 39: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/39.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (Fortsatt)
• Hvis n = 1 har vi bare en mulighet, den sendte biten er 0
• Hvis n = 2 har vi to muligheter, bitsekvensen representerer 1 ellerbitsekvensen representerer 00.
• For n ! 3 har vi to muligheter:• Siste siffer er 0 og representerer en 0. Det totale antall muligheter i
den situasjonen er F(n − 1) ettersom resten av meldingen ogsa skalrepresentere en bitsekvens.
• De siste to sifrene representerer 1. Dette svarer egentlig til F(n − 2)muligheter totalt.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 8
![Page 40: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/40.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (Fortsatt)
• Svaret pa problemet far vi ved a løse rekurrenslikningen
t(n) = t(n − 1) + t(n − 2)
med initialbetingelser t(1) = 1 og t(2) = 2
• Løsningen er da at F(n) er Fibonaccitall nr. n + 1, noe som viser atmetoden er svært upraktisk.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 9
![Page 41: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/41.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (Fortsatt)
• Svaret pa problemet far vi ved a løse rekurrenslikningen
t(n) = t(n − 1) + t(n − 2)
med initialbetingelser t(1) = 1 og t(2) = 2
• Løsningen er da at F(n) er Fibonaccitall nr. n + 1, noe som viser atmetoden er svært upraktisk.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 9
![Page 42: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/42.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (Fortsatt)
• Svaret pa problemet far vi ved a løse rekurrenslikningen
t(n) = t(n − 1) + t(n − 2)
med initialbetingelser t(1) = 1 og t(2) = 2
• Løsningen er da at F(n) er Fibonaccitall nr. n + 1, noe som viser atmetoden er svært upraktisk.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 9
![Page 43: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/43.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (Fortsatt)
• Svaret pa problemet far vi ved a løse rekurrenslikningen
t(n) = t(n − 1) + t(n − 2)
med initialbetingelser t(1) = 1 og t(2) = 2
• Løsningen er da at F(n) er Fibonaccitall nr. n + 1, noe som viser atmetoden er svært upraktisk.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 9
![Page 44: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/44.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi har vært lojale mot læreboka og latt løsninger avrekurrenslikninger være følger, eller funksjoner definert pa N.
• Det er imidlertid ikke noe i veien for at vi ser pa løsninger definertpa hele J, eller fra 0 og oppover.
• Vi kan tolke likningen
t(n) − t(n − 1) − t(n − 2) = 0
for Fibonacci-følgen som en likning der n varierer over hele J.• Det ville eksempelvis gitt oss at vi kan finne F(0) fra
F(2) − F(1) − F(0) = 0,
hvilket gir F(0) = 0.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 10
![Page 45: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/45.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi har vært lojale mot læreboka og latt løsninger avrekurrenslikninger være følger, eller funksjoner definert pa N.
• Det er imidlertid ikke noe i veien for at vi ser pa løsninger definertpa hele J, eller fra 0 og oppover.
• Vi kan tolke likningen
t(n) − t(n − 1) − t(n − 2) = 0
for Fibonacci-følgen som en likning der n varierer over hele J.• Det ville eksempelvis gitt oss at vi kan finne F(0) fra
F(2) − F(1) − F(0) = 0,
hvilket gir F(0) = 0.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 10
![Page 46: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/46.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi har vært lojale mot læreboka og latt løsninger avrekurrenslikninger være følger, eller funksjoner definert pa N.
• Det er imidlertid ikke noe i veien for at vi ser pa løsninger definertpa hele J, eller fra 0 og oppover.
• Vi kan tolke likningen
t(n) − t(n − 1) − t(n − 2) = 0
for Fibonacci-følgen som en likning der n varierer over hele J.• Det ville eksempelvis gitt oss at vi kan finne F(0) fra
F(2) − F(1) − F(0) = 0,
hvilket gir F(0) = 0.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 10
![Page 47: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/47.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi har vært lojale mot læreboka og latt løsninger avrekurrenslikninger være følger, eller funksjoner definert pa N.
• Det er imidlertid ikke noe i veien for at vi ser pa løsninger definertpa hele J, eller fra 0 og oppover.
• Vi kan tolke likningen
t(n) − t(n − 1) − t(n − 2) = 0
for Fibonacci-følgen som en likning der n varierer over hele J.
• Det ville eksempelvis gitt oss at vi kan finne F(0) fra
F(2) − F(1) − F(0) = 0,
hvilket gir F(0) = 0.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 10
![Page 48: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/48.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi har vært lojale mot læreboka og latt løsninger avrekurrenslikninger være følger, eller funksjoner definert pa N.
• Det er imidlertid ikke noe i veien for at vi ser pa løsninger definertpa hele J, eller fra 0 og oppover.
• Vi kan tolke likningen
t(n) − t(n − 1) − t(n − 2) = 0
for Fibonacci-følgen som en likning der n varierer over hele J.• Det ville eksempelvis gitt oss at vi kan finne F(0) fra
F(2) − F(1) − F(0) = 0,
hvilket gir F(0) = 0.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 10
![Page 49: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/49.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi kan godt fortsette nedover med F(1) − F(0) − F(−1) = 0 og finneat F(−1) = 1.
• Den praktiske nytten vil være at det ofte er enklere a bestemmeløsningen til en rekurrenslikning med initialverdier fra F(0) og F(1)
fordi de lineære likningene vil bli penere.• Hvis s og r er løsninger av den karakteristiske likningen, kan vi
finne A og B fra
• A + B = F(0)• Ar + Bs = F(1)
• Har vi bare en løsning r, er forenklingen ved a ga til F(0) endastørre.
• A = F(0)• (A + B)r = F(1)
• Bruker man rekurrenslikningen til a regne ut F(0) er dette en lovligmate a løse oppgaver pa.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 11
![Page 50: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/50.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi kan godt fortsette nedover med F(1) − F(0) − F(−1) = 0 og finneat F(−1) = 1.
• Den praktiske nytten vil være at det ofte er enklere a bestemmeløsningen til en rekurrenslikning med initialverdier fra F(0) og F(1)
fordi de lineære likningene vil bli penere.• Hvis s og r er løsninger av den karakteristiske likningen, kan vi
finne A og B fra
• A + B = F(0)• Ar + Bs = F(1)
• Har vi bare en løsning r, er forenklingen ved a ga til F(0) endastørre.
• A = F(0)• (A + B)r = F(1)
• Bruker man rekurrenslikningen til a regne ut F(0) er dette en lovligmate a løse oppgaver pa.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 11
![Page 51: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/51.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi kan godt fortsette nedover med F(1) − F(0) − F(−1) = 0 og finneat F(−1) = 1.
• Den praktiske nytten vil være at det ofte er enklere a bestemmeløsningen til en rekurrenslikning med initialverdier fra F(0) og F(1)
fordi de lineære likningene vil bli penere.
• Hvis s og r er løsninger av den karakteristiske likningen, kan vifinne A og B fra
• A + B = F(0)• Ar + Bs = F(1)
• Har vi bare en løsning r, er forenklingen ved a ga til F(0) endastørre.
• A = F(0)• (A + B)r = F(1)
• Bruker man rekurrenslikningen til a regne ut F(0) er dette en lovligmate a løse oppgaver pa.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 11
![Page 52: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/52.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi kan godt fortsette nedover med F(1) − F(0) − F(−1) = 0 og finneat F(−1) = 1.
• Den praktiske nytten vil være at det ofte er enklere a bestemmeløsningen til en rekurrenslikning med initialverdier fra F(0) og F(1)
fordi de lineære likningene vil bli penere.• Hvis s og r er løsninger av den karakteristiske likningen, kan vi
finne A og B fra
• A + B = F(0)• Ar + Bs = F(1)
• Har vi bare en løsning r, er forenklingen ved a ga til F(0) endastørre.
• A = F(0)• (A + B)r = F(1)
• Bruker man rekurrenslikningen til a regne ut F(0) er dette en lovligmate a løse oppgaver pa.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 11
![Page 53: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/53.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi kan godt fortsette nedover med F(1) − F(0) − F(−1) = 0 og finneat F(−1) = 1.
• Den praktiske nytten vil være at det ofte er enklere a bestemmeløsningen til en rekurrenslikning med initialverdier fra F(0) og F(1)
fordi de lineære likningene vil bli penere.• Hvis s og r er løsninger av den karakteristiske likningen, kan vi
finne A og B fra• A + B = F(0)
• Ar + Bs = F(1)
• Har vi bare en løsning r, er forenklingen ved a ga til F(0) endastørre.
• A = F(0)• (A + B)r = F(1)
• Bruker man rekurrenslikningen til a regne ut F(0) er dette en lovligmate a løse oppgaver pa.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 11
![Page 54: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/54.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi kan godt fortsette nedover med F(1) − F(0) − F(−1) = 0 og finneat F(−1) = 1.
• Den praktiske nytten vil være at det ofte er enklere a bestemmeløsningen til en rekurrenslikning med initialverdier fra F(0) og F(1)
fordi de lineære likningene vil bli penere.• Hvis s og r er løsninger av den karakteristiske likningen, kan vi
finne A og B fra• A + B = F(0)• Ar + Bs = F(1)
• Har vi bare en løsning r, er forenklingen ved a ga til F(0) endastørre.
• A = F(0)• (A + B)r = F(1)
• Bruker man rekurrenslikningen til a regne ut F(0) er dette en lovligmate a løse oppgaver pa.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 11
![Page 55: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/55.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi kan godt fortsette nedover med F(1) − F(0) − F(−1) = 0 og finneat F(−1) = 1.
• Den praktiske nytten vil være at det ofte er enklere a bestemmeløsningen til en rekurrenslikning med initialverdier fra F(0) og F(1)
fordi de lineære likningene vil bli penere.• Hvis s og r er løsninger av den karakteristiske likningen, kan vi
finne A og B fra• A + B = F(0)• Ar + Bs = F(1)
• Har vi bare en løsning r, er forenklingen ved a ga til F(0) endastørre.
• A = F(0)• (A + B)r = F(1)
• Bruker man rekurrenslikningen til a regne ut F(0) er dette en lovligmate a løse oppgaver pa.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 11
![Page 56: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/56.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi kan godt fortsette nedover med F(1) − F(0) − F(−1) = 0 og finneat F(−1) = 1.
• Den praktiske nytten vil være at det ofte er enklere a bestemmeløsningen til en rekurrenslikning med initialverdier fra F(0) og F(1)
fordi de lineære likningene vil bli penere.• Hvis s og r er løsninger av den karakteristiske likningen, kan vi
finne A og B fra• A + B = F(0)• Ar + Bs = F(1)
• Har vi bare en løsning r, er forenklingen ved a ga til F(0) endastørre.
• A = F(0)
• (A + B)r = F(1)
• Bruker man rekurrenslikningen til a regne ut F(0) er dette en lovligmate a løse oppgaver pa.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 11
![Page 57: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/57.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi kan godt fortsette nedover med F(1) − F(0) − F(−1) = 0 og finneat F(−1) = 1.
• Den praktiske nytten vil være at det ofte er enklere a bestemmeløsningen til en rekurrenslikning med initialverdier fra F(0) og F(1)
fordi de lineære likningene vil bli penere.• Hvis s og r er løsninger av den karakteristiske likningen, kan vi
finne A og B fra• A + B = F(0)• Ar + Bs = F(1)
• Har vi bare en løsning r, er forenklingen ved a ga til F(0) endastørre.
• A = F(0)• (A + B)r = F(1)
• Bruker man rekurrenslikningen til a regne ut F(0) er dette en lovligmate a løse oppgaver pa.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 11
![Page 58: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/58.jpg)
Rekurrenslikninger
• Vi kan godt fortsette nedover med F(1) − F(0) − F(−1) = 0 og finneat F(−1) = 1.
• Den praktiske nytten vil være at det ofte er enklere a bestemmeløsningen til en rekurrenslikning med initialverdier fra F(0) og F(1)
fordi de lineære likningene vil bli penere.• Hvis s og r er løsninger av den karakteristiske likningen, kan vi
finne A og B fra• A + B = F(0)• Ar + Bs = F(1)
• Har vi bare en løsning r, er forenklingen ved a ga til F(0) endastørre.
• A = F(0)• (A + B)r = F(1)
• Bruker man rekurrenslikningen til a regne ut F(0) er dette en lovligmate a løse oppgaver pa.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 11
![Page 59: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/59.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel
• Vi har gitt rekurrenslikningen
t(n) − t(n − 1) − 2t(n − 2) = 0
og skal finne løsningen som tilfredstiller initialbetingelse F(1) = 3
og F(2) = 5.• Den karakteristiske likningen er
x2 − x − 2 = 0
som har løsninger r = 2 og s = −1.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 12
![Page 60: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/60.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel
• Vi har gitt rekurrenslikningen
t(n) − t(n − 1) − 2t(n − 2) = 0
og skal finne løsningen som tilfredstiller initialbetingelse F(1) = 3
og F(2) = 5.• Den karakteristiske likningen er
x2 − x − 2 = 0
som har løsninger r = 2 og s = −1.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 12
![Page 61: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/61.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel
• Vi har gitt rekurrenslikningen
t(n) − t(n − 1) − 2t(n − 2) = 0
og skal finne løsningen som tilfredstiller initialbetingelse F(1) = 3
og F(2) = 5.
• Den karakteristiske likningen er
x2 − x − 2 = 0
som har løsninger r = 2 og s = −1.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 12
![Page 62: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/62.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel
• Vi har gitt rekurrenslikningen
t(n) − t(n − 1) − 2t(n − 2) = 0
og skal finne løsningen som tilfredstiller initialbetingelse F(1) = 3
og F(2) = 5.• Den karakteristiske likningen er
x2 − x − 2 = 0
som har løsninger r = 2 og s = −1.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 12
![Page 63: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/63.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (fortsatt)
• Den generelle løsningen er derfor
F(n) = A · 2n + B · (−1)n.
• Vi ser at F(0) = 1 er en alternativ initialbetingelse
ved a se paF(2) − F(1) − 2F(0) = 0
.• Da løser vi likningene A + B = 1 og 2A − B = 3 og far A = 4
3 ogB = −1
3 .• Det kan være en smaksak hva som er den enkleste metoden i hvert
enkelt tilfelle.• Hvis røttene til den karakteristiske likningen er kompliserte uttrykk
med kvadratrøtter, er det normalt enklere a ta utgangspunkt i F(0)
og F(1) for a bestemme A og B.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 13
![Page 64: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/64.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (fortsatt)
• Den generelle løsningen er derfor
F(n) = A · 2n + B · (−1)n.
• Vi ser at F(0) = 1 er en alternativ initialbetingelse
ved a se paF(2) − F(1) − 2F(0) = 0
.• Da løser vi likningene A + B = 1 og 2A − B = 3 og far A = 4
3 ogB = −1
3 .• Det kan være en smaksak hva som er den enkleste metoden i hvert
enkelt tilfelle.• Hvis røttene til den karakteristiske likningen er kompliserte uttrykk
med kvadratrøtter, er det normalt enklere a ta utgangspunkt i F(0)
og F(1) for a bestemme A og B.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 13
![Page 65: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/65.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (fortsatt)
• Den generelle løsningen er derfor
F(n) = A · 2n + B · (−1)n.
• Vi ser at F(0) = 1 er en alternativ initialbetingelse
ved a se paF(2) − F(1) − 2F(0) = 0
.• Da løser vi likningene A + B = 1 og 2A − B = 3 og far A = 4
3 ogB = −1
3 .• Det kan være en smaksak hva som er den enkleste metoden i hvert
enkelt tilfelle.• Hvis røttene til den karakteristiske likningen er kompliserte uttrykk
med kvadratrøtter, er det normalt enklere a ta utgangspunkt i F(0)
og F(1) for a bestemme A og B.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 13
![Page 66: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/66.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (fortsatt)
• Den generelle løsningen er derfor
F(n) = A · 2n + B · (−1)n.
• Vi ser at F(0) = 1 er en alternativ initialbetingelse
ved a se paF(2) − F(1) − 2F(0) = 0
.
• Da løser vi likningene A + B = 1 og 2A − B = 3 og far A = 43 og
B = −13 .
• Det kan være en smaksak hva som er den enkleste metoden i hvertenkelt tilfelle.
• Hvis røttene til den karakteristiske likningen er kompliserte uttrykkmed kvadratrøtter, er det normalt enklere a ta utgangspunkt i F(0)
og F(1) for a bestemme A og B.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 13
![Page 67: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/67.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (fortsatt)
• Den generelle løsningen er derfor
F(n) = A · 2n + B · (−1)n.
• Vi ser at F(0) = 1 er en alternativ initialbetingelse ved a se paF(2) − F(1) − 2F(0) = 0.
• Da løser vi likningene A + B = 1 og 2A − B = 3 og far A = 43 og
B = −13 .
• Det kan være en smaksak hva som er den enkleste metoden i hvertenkelt tilfelle.
• Hvis røttene til den karakteristiske likningen er kompliserte uttrykkmed kvadratrøtter, er det normalt enklere a ta utgangspunkt i F(0)
og F(1) for a bestemme A og B.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 13
![Page 68: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/68.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (fortsatt)
• Den generelle løsningen er derfor
F(n) = A · 2n + B · (−1)n.
• Vi ser at F(0) = 1 er en alternativ initialbetingelse ved a se paF(2) − F(1) − 2F(0) = 0.
• Da løser vi likningene A + B = 1 og 2A − B = 3 og far A = 43 og
B = −13 .
• Det kan være en smaksak hva som er den enkleste metoden i hvertenkelt tilfelle.
• Hvis røttene til den karakteristiske likningen er kompliserte uttrykkmed kvadratrøtter, er det normalt enklere a ta utgangspunkt i F(0)
og F(1) for a bestemme A og B.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 13
![Page 69: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/69.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (fortsatt)
• Den generelle løsningen er derfor
F(n) = A · 2n + B · (−1)n.
• Vi ser at F(0) = 1 er en alternativ initialbetingelse ved a se paF(2) − F(1) − 2F(0) = 0.
• Da løser vi likningene A + B = 1 og 2A − B = 3 og far A = 43 og
B = −13 .
• Det kan være en smaksak hva som er den enkleste metoden i hvertenkelt tilfelle.
• Hvis røttene til den karakteristiske likningen er kompliserte uttrykkmed kvadratrøtter, er det normalt enklere a ta utgangspunkt i F(0)
og F(1) for a bestemme A og B.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 13
![Page 70: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/70.jpg)
Rekurrenslikninger
Eksempel (fortsatt)
• Den generelle løsningen er derfor
F(n) = A · 2n + B · (−1)n.
• Vi ser at F(0) = 1 er en alternativ initialbetingelse ved a se paF(2) − F(1) − 2F(0) = 0.
• Da løser vi likningene A + B = 1 og 2A − B = 3 og far A = 43 og
B = −13 .
• Det kan være en smaksak hva som er den enkleste metoden i hvertenkelt tilfelle.
• Hvis røttene til den karakteristiske likningen er kompliserte uttrykkmed kvadratrøtter, er det normalt enklere a ta utgangspunkt i F(0)
og F(1) for a bestemme A og B.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 13
![Page 71: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/71.jpg)
Rekursjon og programmering
• Vi startet innføringen av rekursjon med a gi eksempler pa hvordanvi kunne finne pseudokoder som svarer til rekursivekonstruksjoner.
• Vi kan minne om at hvis
• f(1) = a• f(n + 1) = g(f(n), n)
er en rekursiv funksjon, og vi har en pseudokode for g, kan vierstatte denne pseuokoden (som en del av en større kode) med
x← g(i, j)
i betydningen at variabelen x far verdien til f nar inputvariablenefar verdiene til i og j.
• Det er flere mater vi kan lage en pseudokode for g pa, vi skal se pato av dem:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 14
![Page 72: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/72.jpg)
Rekursjon og programmering
• Vi startet innføringen av rekursjon med a gi eksempler pa hvordanvi kunne finne pseudokoder som svarer til rekursivekonstruksjoner.
• Vi kan minne om at hvis
• f(1) = a• f(n + 1) = g(f(n), n)
er en rekursiv funksjon, og vi har en pseudokode for g, kan vierstatte denne pseuokoden (som en del av en større kode) med
x← g(i, j)
i betydningen at variabelen x far verdien til f nar inputvariablenefar verdiene til i og j.
• Det er flere mater vi kan lage en pseudokode for g pa, vi skal se pato av dem:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 14
![Page 73: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/73.jpg)
Rekursjon og programmering
• Vi startet innføringen av rekursjon med a gi eksempler pa hvordanvi kunne finne pseudokoder som svarer til rekursivekonstruksjoner.
• Vi kan minne om at hvis
• f(1) = a• f(n + 1) = g(f(n), n)
er en rekursiv funksjon, og vi har en pseudokode for g, kan vierstatte denne pseuokoden (som en del av en større kode) med
x← g(i, j)
i betydningen at variabelen x far verdien til f nar inputvariablenefar verdiene til i og j.
• Det er flere mater vi kan lage en pseudokode for g pa, vi skal se pato av dem:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 14
![Page 74: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/74.jpg)
Rekursjon og programmering
• Vi startet innføringen av rekursjon med a gi eksempler pa hvordanvi kunne finne pseudokoder som svarer til rekursivekonstruksjoner.
• Vi kan minne om at hvis• f(1) = a
• f(n + 1) = g(f(n), n)
er en rekursiv funksjon, og vi har en pseudokode for g, kan vierstatte denne pseuokoden (som en del av en større kode) med
x← g(i, j)
i betydningen at variabelen x far verdien til f nar inputvariablenefar verdiene til i og j.
• Det er flere mater vi kan lage en pseudokode for g pa, vi skal se pato av dem:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 14
![Page 75: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/75.jpg)
Rekursjon og programmering
• Vi startet innføringen av rekursjon med a gi eksempler pa hvordanvi kunne finne pseudokoder som svarer til rekursivekonstruksjoner.
• Vi kan minne om at hvis• f(1) = a• f(n + 1) = g(f(n), n)
er en rekursiv funksjon, og vi har en pseudokode for g, kan vierstatte denne pseuokoden (som en del av en større kode) med
x← g(i, j)
i betydningen at variabelen x far verdien til f nar inputvariablenefar verdiene til i og j.
• Det er flere mater vi kan lage en pseudokode for g pa, vi skal se pato av dem:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 14
![Page 76: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/76.jpg)
Rekursjon og programmering
• Vi startet innføringen av rekursjon med a gi eksempler pa hvordanvi kunne finne pseudokoder som svarer til rekursivekonstruksjoner.
• Vi kan minne om at hvis• f(1) = a• f(n + 1) = g(f(n), n)
er en rekursiv funksjon, og vi har en pseudokode for g, kan vierstatte denne pseuokoden (som en del av en større kode) med
x← g(i, j)
i betydningen at variabelen x far verdien til f nar inputvariablenefar verdiene til i og j.
• Det er flere mater vi kan lage en pseudokode for g pa, vi skal se pato av dem:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 14
![Page 77: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/77.jpg)
Rekursjon og programmering
• Vi startet innføringen av rekursjon med a gi eksempler pa hvordanvi kunne finne pseudokoder som svarer til rekursivekonstruksjoner.
• Vi kan minne om at hvis• f(1) = a• f(n + 1) = g(f(n), n)
er en rekursiv funksjon, og vi har en pseudokode for g, kan vierstatte denne pseuokoden (som en del av en større kode) med
x← g(i, j)
i betydningen at variabelen x far verdien til f nar inputvariablenefar verdiene til i og j.
• Det er flere mater vi kan lage en pseudokode for g pa, vi skal se pato av dem:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 14
![Page 78: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/78.jpg)
Rekursjon og programmering
• Vi startet innføringen av rekursjon med a gi eksempler pa hvordanvi kunne finne pseudokoder som svarer til rekursivekonstruksjoner.
• Vi kan minne om at hvis• f(1) = a• f(n + 1) = g(f(n), n)
er en rekursiv funksjon, og vi har en pseudokode for g, kan vierstatte denne pseuokoden (som en del av en større kode) med
x← g(i, j)
i betydningen at variabelen x far verdien til f nar inputvariablenefar verdiene til i og j.
• Det er flere mater vi kan lage en pseudokode for g pa, vi skal se pato av dem:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 14
![Page 79: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/79.jpg)
Rekursjon og programmering
• Vi startet innføringen av rekursjon med a gi eksempler pa hvordanvi kunne finne pseudokoder som svarer til rekursivekonstruksjoner.
• Vi kan minne om at hvis• f(1) = a• f(n + 1) = g(f(n), n)
er en rekursiv funksjon, og vi har en pseudokode for g, kan vierstatte denne pseuokoden (som en del av en større kode) med
x← g(i, j)
i betydningen at variabelen x far verdien til f nar inputvariablenefar verdiene til i og j.
• Det er flere mater vi kan lage en pseudokode for g pa, vi skal se pato av dem:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 14
![Page 80: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/80.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 Output x
4 For i = 1 to n − 1 do
4.1 x← g(x, i)4.2 Output x
Merk
Denne pseudokoden vil skrive ut f(1), f(2), . . . , f(n) i rekkefølge.Hvis vi bare vil ha ut f(n) blir koden enda enklere:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 15
![Page 81: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/81.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 Output x
4 For i = 1 to n − 1 do
4.1 x← g(x, i)4.2 Output x
Merk
Denne pseudokoden vil skrive ut f(1), f(2), . . . , f(n) i rekkefølge.Hvis vi bare vil ha ut f(n) blir koden enda enklere:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 15
![Page 82: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/82.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]
2 x← a
3 Output x
4 For i = 1 to n − 1 do
4.1 x← g(x, i)4.2 Output x
Merk
Denne pseudokoden vil skrive ut f(1), f(2), . . . , f(n) i rekkefølge.Hvis vi bare vil ha ut f(n) blir koden enda enklere:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 15
![Page 83: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/83.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 Output x
4 For i = 1 to n − 1 do
4.1 x← g(x, i)4.2 Output x
Merk
Denne pseudokoden vil skrive ut f(1), f(2), . . . , f(n) i rekkefølge.Hvis vi bare vil ha ut f(n) blir koden enda enklere:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 15
![Page 84: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/84.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 Output x
4 For i = 1 to n − 1 do
4.1 x← g(x, i)4.2 Output x
Merk
Denne pseudokoden vil skrive ut f(1), f(2), . . . , f(n) i rekkefølge.Hvis vi bare vil ha ut f(n) blir koden enda enklere:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 15
![Page 85: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/85.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 Output x
4 For i = 1 to n − 1 do
4.1 x← g(x, i)4.2 Output x
Merk
Denne pseudokoden vil skrive ut f(1), f(2), . . . , f(n) i rekkefølge.Hvis vi bare vil ha ut f(n) blir koden enda enklere:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 15
![Page 86: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/86.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 Output x
4 For i = 1 to n − 1 do4.1 x← g(x, i)
4.2 Output x
Merk
Denne pseudokoden vil skrive ut f(1), f(2), . . . , f(n) i rekkefølge.Hvis vi bare vil ha ut f(n) blir koden enda enklere:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 15
![Page 87: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/87.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 Output x
4 For i = 1 to n − 1 do4.1 x← g(x, i)4.2 Output x
Merk
Denne pseudokoden vil skrive ut f(1), f(2), . . . , f(n) i rekkefølge.Hvis vi bare vil ha ut f(n) blir koden enda enklere:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 15
![Page 88: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/88.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 Output x
4 For i = 1 to n − 1 do4.1 x← g(x, i)4.2 Output x
Merk
Denne pseudokoden vil skrive ut f(1), f(2), . . . , f(n) i rekkefølge.Hvis vi bare vil ha ut f(n) blir koden enda enklere:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 15
![Page 89: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/89.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 Output x
4 For i = 1 to n − 1 do4.1 x← g(x, i)4.2 Output x
Merk
Denne pseudokoden vil skrive ut f(1), f(2), . . . , f(n) i rekkefølge.
Hvis vi bare vil ha ut f(n) blir koden enda enklere:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 15
![Page 90: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/90.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 Output x
4 For i = 1 to n − 1 do4.1 x← g(x, i)4.2 Output x
Merk
Denne pseudokoden vil skrive ut f(1), f(2), . . . , f(n) i rekkefølge.Hvis vi bare vil ha ut f(n) blir koden enda enklere:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 15
![Page 91: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/91.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 For i = 1 to n − 1 do
3.1 x← g(x, i)
4 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 16
![Page 92: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/92.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 For i = 1 to n − 1 do
3.1 x← g(x, i)
4 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 16
![Page 93: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/93.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]
2 x← a
3 For i = 1 to n − 1 do
3.1 x← g(x, i)
4 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 16
![Page 94: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/94.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 For i = 1 to n − 1 do
3.1 x← g(x, i)
4 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 16
![Page 95: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/95.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 For i = 1 to n − 1 do
3.1 x← g(x, i)
4 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 16
![Page 96: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/96.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 For i = 1 to n − 1 do3.1 x← g(x, i)
4 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 16
![Page 97: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/97.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
1 Input n [n ∈ N]2 x← a
3 For i = 1 to n − 1 do3.1 x← g(x, i)
4 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 16
![Page 98: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/98.jpg)
Rekursjon og programmering
• Læreboka har et lite avsnitt om plassen til rekursjon i enkelteprogrammeringssprak.
• Dette er lesestoff, som ikke blir utdypet pa forelesningene.• Enkelte programmeringssprak tillater til og med en sterkere form
for rekursjon, selvkallende prosedyrer.• Rekursjon er et spesialtilfelle av selvkallende prosedyrer, hvor vi
definerer en funksjon f(x) ved a bruke verdier f(y) for enkelte y
avhengige av x.• En slik definisjon kan lett lede til løkkeberegninger eller uendelige
beregninger, uten at det er lett a se hvorfor det er tilfelle.• Vi skal ikke komme nærmere inn pa det etter følgende eksempel
som vi har sett før i flere varianter.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 17
![Page 99: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/99.jpg)
Rekursjon og programmering
• Læreboka har et lite avsnitt om plassen til rekursjon i enkelteprogrammeringssprak.
• Dette er lesestoff, som ikke blir utdypet pa forelesningene.• Enkelte programmeringssprak tillater til og med en sterkere form
for rekursjon, selvkallende prosedyrer.• Rekursjon er et spesialtilfelle av selvkallende prosedyrer, hvor vi
definerer en funksjon f(x) ved a bruke verdier f(y) for enkelte y
avhengige av x.• En slik definisjon kan lett lede til løkkeberegninger eller uendelige
beregninger, uten at det er lett a se hvorfor det er tilfelle.• Vi skal ikke komme nærmere inn pa det etter følgende eksempel
som vi har sett før i flere varianter.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 17
![Page 100: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/100.jpg)
Rekursjon og programmering
• Læreboka har et lite avsnitt om plassen til rekursjon i enkelteprogrammeringssprak.
• Dette er lesestoff, som ikke blir utdypet pa forelesningene.
• Enkelte programmeringssprak tillater til og med en sterkere formfor rekursjon, selvkallende prosedyrer.
• Rekursjon er et spesialtilfelle av selvkallende prosedyrer, hvor videfinerer en funksjon f(x) ved a bruke verdier f(y) for enkelte y
avhengige av x.• En slik definisjon kan lett lede til løkkeberegninger eller uendelige
beregninger, uten at det er lett a se hvorfor det er tilfelle.• Vi skal ikke komme nærmere inn pa det etter følgende eksempel
som vi har sett før i flere varianter.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 17
![Page 101: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/101.jpg)
Rekursjon og programmering
• Læreboka har et lite avsnitt om plassen til rekursjon i enkelteprogrammeringssprak.
• Dette er lesestoff, som ikke blir utdypet pa forelesningene.• Enkelte programmeringssprak tillater til og med en sterkere form
for rekursjon, selvkallende prosedyrer.
• Rekursjon er et spesialtilfelle av selvkallende prosedyrer, hvor videfinerer en funksjon f(x) ved a bruke verdier f(y) for enkelte y
avhengige av x.• En slik definisjon kan lett lede til løkkeberegninger eller uendelige
beregninger, uten at det er lett a se hvorfor det er tilfelle.• Vi skal ikke komme nærmere inn pa det etter følgende eksempel
som vi har sett før i flere varianter.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 17
![Page 102: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/102.jpg)
Rekursjon og programmering
• Læreboka har et lite avsnitt om plassen til rekursjon i enkelteprogrammeringssprak.
• Dette er lesestoff, som ikke blir utdypet pa forelesningene.• Enkelte programmeringssprak tillater til og med en sterkere form
for rekursjon, selvkallende prosedyrer.• Rekursjon er et spesialtilfelle av selvkallende prosedyrer, hvor vi
definerer en funksjon f(x) ved a bruke verdier f(y) for enkelte y
avhengige av x.
• En slik definisjon kan lett lede til løkkeberegninger eller uendeligeberegninger, uten at det er lett a se hvorfor det er tilfelle.
• Vi skal ikke komme nærmere inn pa det etter følgende eksempel
som vi har sett før i flere varianter.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 17
![Page 103: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/103.jpg)
Rekursjon og programmering
• Læreboka har et lite avsnitt om plassen til rekursjon i enkelteprogrammeringssprak.
• Dette er lesestoff, som ikke blir utdypet pa forelesningene.• Enkelte programmeringssprak tillater til og med en sterkere form
for rekursjon, selvkallende prosedyrer.• Rekursjon er et spesialtilfelle av selvkallende prosedyrer, hvor vi
definerer en funksjon f(x) ved a bruke verdier f(y) for enkelte y
avhengige av x.• En slik definisjon kan lett lede til løkkeberegninger eller uendelige
beregninger, uten at det er lett a se hvorfor det er tilfelle.
• Vi skal ikke komme nærmere inn pa det etter følgende eksempel
som vi har sett før i flere varianter.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 17
![Page 104: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/104.jpg)
Rekursjon og programmering
• Læreboka har et lite avsnitt om plassen til rekursjon i enkelteprogrammeringssprak.
• Dette er lesestoff, som ikke blir utdypet pa forelesningene.• Enkelte programmeringssprak tillater til og med en sterkere form
for rekursjon, selvkallende prosedyrer.• Rekursjon er et spesialtilfelle av selvkallende prosedyrer, hvor vi
definerer en funksjon f(x) ved a bruke verdier f(y) for enkelte y
avhengige av x.• En slik definisjon kan lett lede til løkkeberegninger eller uendelige
beregninger, uten at det er lett a se hvorfor det er tilfelle.• Vi skal ikke komme nærmere inn pa det etter følgende eksempel
som vi har sett før i flere varianter.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 17
![Page 105: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/105.jpg)
Rekursjon og programmering
• Læreboka har et lite avsnitt om plassen til rekursjon i enkelteprogrammeringssprak.
• Dette er lesestoff, som ikke blir utdypet pa forelesningene.• Enkelte programmeringssprak tillater til og med en sterkere form
for rekursjon, selvkallende prosedyrer.• Rekursjon er et spesialtilfelle av selvkallende prosedyrer, hvor vi
definerer en funksjon f(x) ved a bruke verdier f(y) for enkelte y
avhengige av x.• En slik definisjon kan lett lede til løkkeberegninger eller uendelige
beregninger, uten at det er lett a se hvorfor det er tilfelle.• Vi skal ikke komme nærmere inn pa det etter følgende eksempel
som vi har sett før i flere varianter.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 17
![Page 106: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/106.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
• Da vi ga eksempler pa pseudokoder, ga vi et eksempel pa enalgoritme som ingen enna vet om vil terminere for alle verdier painput, og vi ga algoritmen i form av en pseudokode.
• Vare pseudokoder fanger ikke opp muligheten for selvkallendeprosedyrer, men hadde vi hatt den muligheten, kunne vi betraktetfølgende som en meningsfylt algoritme.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 18
![Page 107: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/107.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
• Da vi ga eksempler pa pseudokoder, ga vi et eksempel pa enalgoritme som ingen enna vet om vil terminere for alle verdier painput, og vi ga algoritmen i form av en pseudokode.
• Vare pseudokoder fanger ikke opp muligheten for selvkallendeprosedyrer, men hadde vi hatt den muligheten, kunne vi betraktetfølgende som en meningsfylt algoritme.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 18
![Page 108: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/108.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
• Da vi ga eksempler pa pseudokoder, ga vi et eksempel pa enalgoritme som ingen enna vet om vil terminere for alle verdier painput, og vi ga algoritmen i form av en pseudokode.
• Vare pseudokoder fanger ikke opp muligheten for selvkallendeprosedyrer, men hadde vi hatt den muligheten, kunne vi betraktetfølgende som en meningsfylt algoritme.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 18
![Page 109: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/109.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel
• Da vi ga eksempler pa pseudokoder, ga vi et eksempel pa enalgoritme som ingen enna vet om vil terminere for alle verdier painput, og vi ga algoritmen i form av en pseudokode.
• Vare pseudokoder fanger ikke opp muligheten for selvkallendeprosedyrer, men hadde vi hatt den muligheten, kunne vi betraktetfølgende som en meningsfylt algoritme.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 18
![Page 110: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/110.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel (Fortsatt)
• La f(1) = 1.• La f(n) = f(n
2 ) + 1 hvis n er et partall.• La f(n) = f(3n + 1) + 1 hvis n > 1 er et oddetall.• Vi kan da eksempelvis regne ut
f(20) = f(10) + 1 = f(5) + 2 = f(16) + 3
= f(8) + 4 = f(4) + 5 = f(2) + 6 = f(1) + 7 = 8
• f er veldefinert som en partiell funksjon som vi ikke vet om er total.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 19
![Page 111: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/111.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel (Fortsatt)
• La f(1) = 1.• La f(n) = f(n
2 ) + 1 hvis n er et partall.• La f(n) = f(3n + 1) + 1 hvis n > 1 er et oddetall.• Vi kan da eksempelvis regne ut
f(20) = f(10) + 1 = f(5) + 2 = f(16) + 3
= f(8) + 4 = f(4) + 5 = f(2) + 6 = f(1) + 7 = 8
• f er veldefinert som en partiell funksjon som vi ikke vet om er total.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 19
![Page 112: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/112.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel (Fortsatt)
• La f(1) = 1.
• La f(n) = f(n2 ) + 1 hvis n er et partall.
• La f(n) = f(3n + 1) + 1 hvis n > 1 er et oddetall.• Vi kan da eksempelvis regne ut
f(20) = f(10) + 1 = f(5) + 2 = f(16) + 3
= f(8) + 4 = f(4) + 5 = f(2) + 6 = f(1) + 7 = 8
• f er veldefinert som en partiell funksjon som vi ikke vet om er total.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 19
![Page 113: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/113.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel (Fortsatt)
• La f(1) = 1.• La f(n) = f(n
2 ) + 1 hvis n er et partall.
• La f(n) = f(3n + 1) + 1 hvis n > 1 er et oddetall.• Vi kan da eksempelvis regne ut
f(20) = f(10) + 1 = f(5) + 2 = f(16) + 3
= f(8) + 4 = f(4) + 5 = f(2) + 6 = f(1) + 7 = 8
• f er veldefinert som en partiell funksjon som vi ikke vet om er total.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 19
![Page 114: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/114.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel (Fortsatt)
• La f(1) = 1.• La f(n) = f(n
2 ) + 1 hvis n er et partall.• La f(n) = f(3n + 1) + 1 hvis n > 1 er et oddetall.
• Vi kan da eksempelvis regne ut
f(20) = f(10) + 1 = f(5) + 2 = f(16) + 3
= f(8) + 4 = f(4) + 5 = f(2) + 6 = f(1) + 7 = 8
• f er veldefinert som en partiell funksjon som vi ikke vet om er total.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 19
![Page 115: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/115.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel (Fortsatt)
• La f(1) = 1.• La f(n) = f(n
2 ) + 1 hvis n er et partall.• La f(n) = f(3n + 1) + 1 hvis n > 1 er et oddetall.• Vi kan da eksempelvis regne ut
f(20) = f(10) + 1 = f(5) + 2 = f(16) + 3
= f(8) + 4 = f(4) + 5 = f(2) + 6 = f(1) + 7 = 8
• f er veldefinert som en partiell funksjon som vi ikke vet om er total.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 19
![Page 116: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/116.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel (Fortsatt)
• La f(1) = 1.• La f(n) = f(n
2 ) + 1 hvis n er et partall.• La f(n) = f(3n + 1) + 1 hvis n > 1 er et oddetall.• Vi kan da eksempelvis regne ut
f(20) = f(10) + 1 = f(5) + 2 = f(16) + 3
= f(8) + 4 = f(4) + 5 = f(2) + 6 = f(1) + 7 = 8
• f er veldefinert som en partiell funksjon som vi ikke vet om er total.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 19
![Page 117: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/117.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel (Fortsatt)
• La f(1) = 1.• La f(n) = f(n
2 ) + 1 hvis n er et partall.• La f(n) = f(3n + 1) + 1 hvis n > 1 er et oddetall.• Vi kan da eksempelvis regne ut
f(20) = f(10) + 1 = f(5) + 2 = f(16) + 3
= f(8) + 4 = f(4) + 5 = f(2) + 6 = f(1) + 7 = 8
• f er veldefinert som en partiell funksjon som vi ikke vet om er total.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 19
![Page 118: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/118.jpg)
Rekursjon og programmering
Eksempel (Fortsatt)
• La f(1) = 1.• La f(n) = f(n
2 ) + 1 hvis n er et partall.• La f(n) = f(3n + 1) + 1 hvis n > 1 er et oddetall.• Vi kan da eksempelvis regne ut
f(20) = f(10) + 1 = f(5) + 2 = f(16) + 3
= f(8) + 4 = f(4) + 5 = f(2) + 6 = f(1) + 7 = 8
• f er veldefinert som en partiell funksjon som vi ikke vet om er total.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 19
![Page 119: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/119.jpg)
Rekursjon og programmering
Oppgave
• Det er ikke helt sant at vi ikke kan bruke pseudokoder til a lagealgoritmer som svarer til selvkallende prosedyrer.
• Siden dette ikke er en del av MAT1030-pensum skal vi ikke leggestor vekt pa det.
• Den som har lyst, kan imidlertid prøve a lage en pseudokode somberegner funksjonen definert ved
• f(n) = n2 hvis n kan deles pa 3.• f(n) = f(5n + 1) hvis n ikke kan deles pa 3.
• Vil algoritmen gi et svar uansett hva input er?
Skal du løse denne oppgaven ma du sannsynligvis bevise noe vedinduksjon, og du ma selv kunne formulere det du skal bevise.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 20
![Page 120: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/120.jpg)
Rekursjon og programmering
Oppgave
• Det er ikke helt sant at vi ikke kan bruke pseudokoder til a lagealgoritmer som svarer til selvkallende prosedyrer.
• Siden dette ikke er en del av MAT1030-pensum skal vi ikke leggestor vekt pa det.
• Den som har lyst, kan imidlertid prøve a lage en pseudokode somberegner funksjonen definert ved
• f(n) = n2 hvis n kan deles pa 3.• f(n) = f(5n + 1) hvis n ikke kan deles pa 3.
• Vil algoritmen gi et svar uansett hva input er?
Skal du løse denne oppgaven ma du sannsynligvis bevise noe vedinduksjon, og du ma selv kunne formulere det du skal bevise.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 20
![Page 121: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/121.jpg)
Rekursjon og programmering
Oppgave
• Det er ikke helt sant at vi ikke kan bruke pseudokoder til a lagealgoritmer som svarer til selvkallende prosedyrer.
• Siden dette ikke er en del av MAT1030-pensum skal vi ikke leggestor vekt pa det.
• Den som har lyst, kan imidlertid prøve a lage en pseudokode somberegner funksjonen definert ved
• f(n) = n2 hvis n kan deles pa 3.• f(n) = f(5n + 1) hvis n ikke kan deles pa 3.
• Vil algoritmen gi et svar uansett hva input er?
Skal du løse denne oppgaven ma du sannsynligvis bevise noe vedinduksjon, og du ma selv kunne formulere det du skal bevise.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 20
![Page 122: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/122.jpg)
Rekursjon og programmering
Oppgave
• Det er ikke helt sant at vi ikke kan bruke pseudokoder til a lagealgoritmer som svarer til selvkallende prosedyrer.
• Siden dette ikke er en del av MAT1030-pensum skal vi ikke leggestor vekt pa det.
• Den som har lyst, kan imidlertid prøve a lage en pseudokode somberegner funksjonen definert ved
• f(n) = n2 hvis n kan deles pa 3.• f(n) = f(5n + 1) hvis n ikke kan deles pa 3.
• Vil algoritmen gi et svar uansett hva input er?
Skal du løse denne oppgaven ma du sannsynligvis bevise noe vedinduksjon, og du ma selv kunne formulere det du skal bevise.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 20
![Page 123: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/123.jpg)
Rekursjon og programmering
Oppgave
• Det er ikke helt sant at vi ikke kan bruke pseudokoder til a lagealgoritmer som svarer til selvkallende prosedyrer.
• Siden dette ikke er en del av MAT1030-pensum skal vi ikke leggestor vekt pa det.
• Den som har lyst, kan imidlertid prøve a lage en pseudokode somberegner funksjonen definert ved
• f(n) = n2 hvis n kan deles pa 3.• f(n) = f(5n + 1) hvis n ikke kan deles pa 3.
• Vil algoritmen gi et svar uansett hva input er?
Skal du løse denne oppgaven ma du sannsynligvis bevise noe vedinduksjon, og du ma selv kunne formulere det du skal bevise.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 20
![Page 124: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/124.jpg)
Rekursjon og programmering
Oppgave
• Det er ikke helt sant at vi ikke kan bruke pseudokoder til a lagealgoritmer som svarer til selvkallende prosedyrer.
• Siden dette ikke er en del av MAT1030-pensum skal vi ikke leggestor vekt pa det.
• Den som har lyst, kan imidlertid prøve a lage en pseudokode somberegner funksjonen definert ved
• f(n) = n2 hvis n kan deles pa 3.
• f(n) = f(5n + 1) hvis n ikke kan deles pa 3.
• Vil algoritmen gi et svar uansett hva input er?
Skal du løse denne oppgaven ma du sannsynligvis bevise noe vedinduksjon, og du ma selv kunne formulere det du skal bevise.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 20
![Page 125: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/125.jpg)
Rekursjon og programmering
Oppgave
• Det er ikke helt sant at vi ikke kan bruke pseudokoder til a lagealgoritmer som svarer til selvkallende prosedyrer.
• Siden dette ikke er en del av MAT1030-pensum skal vi ikke leggestor vekt pa det.
• Den som har lyst, kan imidlertid prøve a lage en pseudokode somberegner funksjonen definert ved
• f(n) = n2 hvis n kan deles pa 3.• f(n) = f(5n + 1) hvis n ikke kan deles pa 3.
• Vil algoritmen gi et svar uansett hva input er?
Skal du løse denne oppgaven ma du sannsynligvis bevise noe vedinduksjon, og du ma selv kunne formulere det du skal bevise.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 20
![Page 126: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/126.jpg)
Rekursjon og programmering
Oppgave
• Det er ikke helt sant at vi ikke kan bruke pseudokoder til a lagealgoritmer som svarer til selvkallende prosedyrer.
• Siden dette ikke er en del av MAT1030-pensum skal vi ikke leggestor vekt pa det.
• Den som har lyst, kan imidlertid prøve a lage en pseudokode somberegner funksjonen definert ved
• f(n) = n2 hvis n kan deles pa 3.• f(n) = f(5n + 1) hvis n ikke kan deles pa 3.
• Vil algoritmen gi et svar uansett hva input er?
Skal du løse denne oppgaven ma du sannsynligvis bevise noe vedinduksjon, og du ma selv kunne formulere det du skal bevise.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 20
![Page 127: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/127.jpg)
Rekursjon og programmering
Oppgave
• Det er ikke helt sant at vi ikke kan bruke pseudokoder til a lagealgoritmer som svarer til selvkallende prosedyrer.
• Siden dette ikke er en del av MAT1030-pensum skal vi ikke leggestor vekt pa det.
• Den som har lyst, kan imidlertid prøve a lage en pseudokode somberegner funksjonen definert ved
• f(n) = n2 hvis n kan deles pa 3.• f(n) = f(5n + 1) hvis n ikke kan deles pa 3.
• Vil algoritmen gi et svar uansett hva input er?
Skal du løse denne oppgaven ma du sannsynligvis bevise noe vedinduksjon, og du ma selv kunne formulere det du skal bevise.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 20
![Page 128: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/128.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Vi har argumentert for at konstruksjoner ved rekursjon virker og atinduksjon er en gyldig bevisteknikk.
• Vi har begrunnet dette med at vi kan na alle naturlige tall ved astarte med 1 og sa legge til 1 sa mange ganger vi trenger.
• En mate a forklare hvorfor induksjonsbevis er matematiskholdbare argumenter pa er følgende:
• Vi har at N er den minste mengden som oppfyller
• 1 ∈ N• Hvis x ∈ N vil x + 1 ∈ N
• Hvis vi da viser en egenskap P ved induksjon, viser vi at
• 1 ∈ {y : P(y)}• Hvis x ∈ {y : P(y)} vil x + 1 ∈ {y : P(y)}.
• Siden N var den minste mengden med denne egenskapen, maN ⊆ {y : P(y)},eller, som vi sier, P(x) holder for alle x ∈ N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 21
![Page 129: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/129.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Vi har argumentert for at konstruksjoner ved rekursjon virker og atinduksjon er en gyldig bevisteknikk.
• Vi har begrunnet dette med at vi kan na alle naturlige tall ved astarte med 1 og sa legge til 1 sa mange ganger vi trenger.
• En mate a forklare hvorfor induksjonsbevis er matematiskholdbare argumenter pa er følgende:
• Vi har at N er den minste mengden som oppfyller
• 1 ∈ N• Hvis x ∈ N vil x + 1 ∈ N
• Hvis vi da viser en egenskap P ved induksjon, viser vi at
• 1 ∈ {y : P(y)}• Hvis x ∈ {y : P(y)} vil x + 1 ∈ {y : P(y)}.
• Siden N var den minste mengden med denne egenskapen, maN ⊆ {y : P(y)},eller, som vi sier, P(x) holder for alle x ∈ N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 21
![Page 130: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/130.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Vi har argumentert for at konstruksjoner ved rekursjon virker og atinduksjon er en gyldig bevisteknikk.
• Vi har begrunnet dette med at vi kan na alle naturlige tall ved astarte med 1 og sa legge til 1 sa mange ganger vi trenger.
• En mate a forklare hvorfor induksjonsbevis er matematiskholdbare argumenter pa er følgende:
• Vi har at N er den minste mengden som oppfyller
• 1 ∈ N• Hvis x ∈ N vil x + 1 ∈ N
• Hvis vi da viser en egenskap P ved induksjon, viser vi at
• 1 ∈ {y : P(y)}• Hvis x ∈ {y : P(y)} vil x + 1 ∈ {y : P(y)}.
• Siden N var den minste mengden med denne egenskapen, maN ⊆ {y : P(y)},eller, som vi sier, P(x) holder for alle x ∈ N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 21
![Page 131: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/131.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Vi har argumentert for at konstruksjoner ved rekursjon virker og atinduksjon er en gyldig bevisteknikk.
• Vi har begrunnet dette med at vi kan na alle naturlige tall ved astarte med 1 og sa legge til 1 sa mange ganger vi trenger.
• En mate a forklare hvorfor induksjonsbevis er matematiskholdbare argumenter pa er følgende:
• Vi har at N er den minste mengden som oppfyller
• 1 ∈ N• Hvis x ∈ N vil x + 1 ∈ N
• Hvis vi da viser en egenskap P ved induksjon, viser vi at
• 1 ∈ {y : P(y)}• Hvis x ∈ {y : P(y)} vil x + 1 ∈ {y : P(y)}.
• Siden N var den minste mengden med denne egenskapen, maN ⊆ {y : P(y)},eller, som vi sier, P(x) holder for alle x ∈ N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 21
![Page 132: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/132.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Vi har argumentert for at konstruksjoner ved rekursjon virker og atinduksjon er en gyldig bevisteknikk.
• Vi har begrunnet dette med at vi kan na alle naturlige tall ved astarte med 1 og sa legge til 1 sa mange ganger vi trenger.
• En mate a forklare hvorfor induksjonsbevis er matematiskholdbare argumenter pa er følgende:
• Vi har at N er den minste mengden som oppfyller
• 1 ∈ N• Hvis x ∈ N vil x + 1 ∈ N
• Hvis vi da viser en egenskap P ved induksjon, viser vi at
• 1 ∈ {y : P(y)}• Hvis x ∈ {y : P(y)} vil x + 1 ∈ {y : P(y)}.
• Siden N var den minste mengden med denne egenskapen, maN ⊆ {y : P(y)},eller, som vi sier, P(x) holder for alle x ∈ N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 21
![Page 133: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/133.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Vi har argumentert for at konstruksjoner ved rekursjon virker og atinduksjon er en gyldig bevisteknikk.
• Vi har begrunnet dette med at vi kan na alle naturlige tall ved astarte med 1 og sa legge til 1 sa mange ganger vi trenger.
• En mate a forklare hvorfor induksjonsbevis er matematiskholdbare argumenter pa er følgende:
• Vi har at N er den minste mengden som oppfyller• 1 ∈ N
• Hvis x ∈ N vil x + 1 ∈ N• Hvis vi da viser en egenskap P ved induksjon, viser vi at
• 1 ∈ {y : P(y)}• Hvis x ∈ {y : P(y)} vil x + 1 ∈ {y : P(y)}.
• Siden N var den minste mengden med denne egenskapen, maN ⊆ {y : P(y)},eller, som vi sier, P(x) holder for alle x ∈ N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 21
![Page 134: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/134.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Vi har argumentert for at konstruksjoner ved rekursjon virker og atinduksjon er en gyldig bevisteknikk.
• Vi har begrunnet dette med at vi kan na alle naturlige tall ved astarte med 1 og sa legge til 1 sa mange ganger vi trenger.
• En mate a forklare hvorfor induksjonsbevis er matematiskholdbare argumenter pa er følgende:
• Vi har at N er den minste mengden som oppfyller• 1 ∈ N• Hvis x ∈ N vil x + 1 ∈ N
• Hvis vi da viser en egenskap P ved induksjon, viser vi at
• 1 ∈ {y : P(y)}• Hvis x ∈ {y : P(y)} vil x + 1 ∈ {y : P(y)}.
• Siden N var den minste mengden med denne egenskapen, maN ⊆ {y : P(y)},eller, som vi sier, P(x) holder for alle x ∈ N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 21
![Page 135: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/135.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Vi har argumentert for at konstruksjoner ved rekursjon virker og atinduksjon er en gyldig bevisteknikk.
• Vi har begrunnet dette med at vi kan na alle naturlige tall ved astarte med 1 og sa legge til 1 sa mange ganger vi trenger.
• En mate a forklare hvorfor induksjonsbevis er matematiskholdbare argumenter pa er følgende:
• Vi har at N er den minste mengden som oppfyller• 1 ∈ N• Hvis x ∈ N vil x + 1 ∈ N
• Hvis vi da viser en egenskap P ved induksjon, viser vi at
• 1 ∈ {y : P(y)}• Hvis x ∈ {y : P(y)} vil x + 1 ∈ {y : P(y)}.
• Siden N var den minste mengden med denne egenskapen, maN ⊆ {y : P(y)},eller, som vi sier, P(x) holder for alle x ∈ N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 21
![Page 136: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/136.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Vi har argumentert for at konstruksjoner ved rekursjon virker og atinduksjon er en gyldig bevisteknikk.
• Vi har begrunnet dette med at vi kan na alle naturlige tall ved astarte med 1 og sa legge til 1 sa mange ganger vi trenger.
• En mate a forklare hvorfor induksjonsbevis er matematiskholdbare argumenter pa er følgende:
• Vi har at N er den minste mengden som oppfyller• 1 ∈ N• Hvis x ∈ N vil x + 1 ∈ N
• Hvis vi da viser en egenskap P ved induksjon, viser vi at• 1 ∈ {y : P(y)}
• Hvis x ∈ {y : P(y)} vil x + 1 ∈ {y : P(y)}.
• Siden N var den minste mengden med denne egenskapen, maN ⊆ {y : P(y)},eller, som vi sier, P(x) holder for alle x ∈ N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 21
![Page 137: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/137.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Vi har argumentert for at konstruksjoner ved rekursjon virker og atinduksjon er en gyldig bevisteknikk.
• Vi har begrunnet dette med at vi kan na alle naturlige tall ved astarte med 1 og sa legge til 1 sa mange ganger vi trenger.
• En mate a forklare hvorfor induksjonsbevis er matematiskholdbare argumenter pa er følgende:
• Vi har at N er den minste mengden som oppfyller• 1 ∈ N• Hvis x ∈ N vil x + 1 ∈ N
• Hvis vi da viser en egenskap P ved induksjon, viser vi at• 1 ∈ {y : P(y)}• Hvis x ∈ {y : P(y)} vil x + 1 ∈ {y : P(y)}.
• Siden N var den minste mengden med denne egenskapen, maN ⊆ {y : P(y)},eller, som vi sier, P(x) holder for alle x ∈ N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 21
![Page 138: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/138.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Vi har argumentert for at konstruksjoner ved rekursjon virker og atinduksjon er en gyldig bevisteknikk.
• Vi har begrunnet dette med at vi kan na alle naturlige tall ved astarte med 1 og sa legge til 1 sa mange ganger vi trenger.
• En mate a forklare hvorfor induksjonsbevis er matematiskholdbare argumenter pa er følgende:
• Vi har at N er den minste mengden som oppfyller• 1 ∈ N• Hvis x ∈ N vil x + 1 ∈ N
• Hvis vi da viser en egenskap P ved induksjon, viser vi at• 1 ∈ {y : P(y)}• Hvis x ∈ {y : P(y)} vil x + 1 ∈ {y : P(y)}.
• Siden N var den minste mengden med denne egenskapen, maN ⊆ {y : P(y)},
eller, som vi sier, P(x) holder for alle x ∈ N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 21
![Page 139: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/139.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Vi har argumentert for at konstruksjoner ved rekursjon virker og atinduksjon er en gyldig bevisteknikk.
• Vi har begrunnet dette med at vi kan na alle naturlige tall ved astarte med 1 og sa legge til 1 sa mange ganger vi trenger.
• En mate a forklare hvorfor induksjonsbevis er matematiskholdbare argumenter pa er følgende:
• Vi har at N er den minste mengden som oppfyller• 1 ∈ N• Hvis x ∈ N vil x + 1 ∈ N
• Hvis vi da viser en egenskap P ved induksjon, viser vi at• 1 ∈ {y : P(y)}• Hvis x ∈ {y : P(y)} vil x + 1 ∈ {y : P(y)}.
• Siden N var den minste mengden med denne egenskapen, maN ⊆ {y : P(y)},eller, som vi sier, P(x) holder for alle x ∈ N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 21
![Page 140: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/140.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• I logikk og informatikk (og ogsa innen andre deler avmatematikken og i andre fag) ser man definisjoner som likner pavar beskrivelse av N; man beskriver en strukturert mengde ved a sihva som kommer inn som start og hvordan man finner merkomplekse elementer av mengden.
• Innen informatikk og logikk beskriver vi gjerne formelle sprak paden maten.
• Det er viktig for de som skal studere f.eks. informatikk videre atman har en god forstaelse av induksjon og rekursjon og at man harkjennskap til rekursjon over andre strukturer enn N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 22
![Page 141: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/141.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• I logikk og informatikk (og ogsa innen andre deler avmatematikken og i andre fag) ser man definisjoner som likner pavar beskrivelse av N; man beskriver en strukturert mengde ved a sihva som kommer inn som start og hvordan man finner merkomplekse elementer av mengden.
• Innen informatikk og logikk beskriver vi gjerne formelle sprak paden maten.
• Det er viktig for de som skal studere f.eks. informatikk videre atman har en god forstaelse av induksjon og rekursjon og at man harkjennskap til rekursjon over andre strukturer enn N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 22
![Page 142: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/142.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• I logikk og informatikk (og ogsa innen andre deler avmatematikken og i andre fag) ser man definisjoner som likner pavar beskrivelse av N; man beskriver en strukturert mengde ved a sihva som kommer inn som start og hvordan man finner merkomplekse elementer av mengden.
• Innen informatikk og logikk beskriver vi gjerne formelle sprak paden maten.
• Det er viktig for de som skal studere f.eks. informatikk videre atman har en god forstaelse av induksjon og rekursjon og at man harkjennskap til rekursjon over andre strukturer enn N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 22
![Page 143: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/143.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• I logikk og informatikk (og ogsa innen andre deler avmatematikken og i andre fag) ser man definisjoner som likner pavar beskrivelse av N; man beskriver en strukturert mengde ved a sihva som kommer inn som start og hvordan man finner merkomplekse elementer av mengden.
• Innen informatikk og logikk beskriver vi gjerne formelle sprak paden maten.
• Det er viktig for de som skal studere f.eks. informatikk videre atman har en god forstaelse av induksjon og rekursjon og at man harkjennskap til rekursjon over andre strukturer enn N.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 22
![Page 144: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/144.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• I de følgende eksemplene skal vi anta at vi har et alfabet sombestar av alle de symbolene vi kan finne pa tastaturet til enstandard datamaskin (norsk standard om presisjonen ernødvendig), hvor tomrom er a betrakte som et eget symbol. Vibruker bokstaver i kursiv som variable over bokstavene patastaturet, og vi kan bruke andre bokstaver i kursiv som variablefor ord, hvor:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 23
![Page 145: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/145.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• I de følgende eksemplene skal vi anta at vi har et alfabet sombestar av alle de symbolene vi kan finne pa tastaturet til enstandard datamaskin (norsk standard om presisjonen ernødvendig), hvor tomrom er a betrakte som et eget symbol. Vibruker bokstaver i kursiv som variable over bokstavene patastaturet, og vi kan bruke andre bokstaver i kursiv som variablefor ord, hvor:
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 23
![Page 146: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/146.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Et ord er en ordnet sekvens av bokstaver, hvor bokstavene erskrevet uten ekstra tegn i mellom.
• Det er vanlig a la e betegne det tomme ordet.• Vi føyer en bokstav til et ord ved ganske enkelt a skrive det inntil
ordet pa høyre side.• Dette kan vi bruke til a gi en induktiv beskrivelse av mengden av
ord.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 24
![Page 147: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/147.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Et ord er en ordnet sekvens av bokstaver, hvor bokstavene erskrevet uten ekstra tegn i mellom.
• Det er vanlig a la e betegne det tomme ordet.• Vi føyer en bokstav til et ord ved ganske enkelt a skrive det inntil
ordet pa høyre side.• Dette kan vi bruke til a gi en induktiv beskrivelse av mengden av
ord.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 24
![Page 148: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/148.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Et ord er en ordnet sekvens av bokstaver, hvor bokstavene erskrevet uten ekstra tegn i mellom.
• Det er vanlig a la e betegne det tomme ordet.
• Vi føyer en bokstav til et ord ved ganske enkelt a skrive det inntilordet pa høyre side.
• Dette kan vi bruke til a gi en induktiv beskrivelse av mengden avord.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 24
![Page 149: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/149.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Et ord er en ordnet sekvens av bokstaver, hvor bokstavene erskrevet uten ekstra tegn i mellom.
• Det er vanlig a la e betegne det tomme ordet.• Vi føyer en bokstav til et ord ved ganske enkelt a skrive det inntil
ordet pa høyre side.
• Dette kan vi bruke til a gi en induktiv beskrivelse av mengden avord.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 24
![Page 150: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/150.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Et ord er en ordnet sekvens av bokstaver, hvor bokstavene erskrevet uten ekstra tegn i mellom.
• Det er vanlig a la e betegne det tomme ordet.• Vi føyer en bokstav til et ord ved ganske enkelt a skrive det inntil
ordet pa høyre side.• Dette kan vi bruke til a gi en induktiv beskrivelse av mengden av
ord.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 24
![Page 151: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/151.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Definisjon
Mengden av ord er den minste mengden som oppfyller
• Det tomme ordet e er et ord.• Hvis w er et ord og b er en bokstav, er wb et ord.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 25
![Page 152: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/152.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Definisjon
Mengden av ord er den minste mengden som oppfyller
• Det tomme ordet e er et ord.• Hvis w er et ord og b er en bokstav, er wb et ord.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 25
![Page 153: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/153.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Definisjon
Mengden av ord er den minste mengden som oppfyller
• Det tomme ordet e er et ord.• Hvis w er et ord og b er en bokstav, er wb et ord.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 25
![Page 154: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/154.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Definisjon
Mengden av ord er den minste mengden som oppfyller• Det tomme ordet e er et ord.
• Hvis w er et ord og b er en bokstav, er wb et ord.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 25
![Page 155: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/155.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Definisjon
Mengden av ord er den minste mengden som oppfyller• Det tomme ordet e er et ord.• Hvis w er et ord og b er en bokstav, er wb et ord.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 25
![Page 156: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/156.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Merk
• Dette eksemplet virker en smule kunstig, fordi vi ikke oppfatter ordslik, selv om de fleste av oss starter med tom linje, og sa skriver enog en bokstav fra venstre mot høyre.
• Det spiller imidlertid en rolle for hvordan ord representeres somdata om de sees pa som ordnede sekvenser med en gitt lengdeeller som bygget opp ved at nye bokstaver legges til.
• Ord, slik vi har definert dem, er et spesialtilfelle av lister.• En liste oppfattes som oftes som at enten er den den tomme listen
e, eller sa er den et ordnet par av siste element og resten av listen.• Mange tenker seg at ytterste element (hodet) i en liste star til
venstre for resten (halen) av listen.• Programmeringspraket LISP er basert pa listerekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 26
![Page 157: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/157.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Merk
• Dette eksemplet virker en smule kunstig, fordi vi ikke oppfatter ordslik, selv om de fleste av oss starter med tom linje, og sa skriver enog en bokstav fra venstre mot høyre.
• Det spiller imidlertid en rolle for hvordan ord representeres somdata om de sees pa som ordnede sekvenser med en gitt lengdeeller som bygget opp ved at nye bokstaver legges til.
• Ord, slik vi har definert dem, er et spesialtilfelle av lister.• En liste oppfattes som oftes som at enten er den den tomme listen
e, eller sa er den et ordnet par av siste element og resten av listen.• Mange tenker seg at ytterste element (hodet) i en liste star til
venstre for resten (halen) av listen.• Programmeringspraket LISP er basert pa listerekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 26
![Page 158: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/158.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Merk
• Dette eksemplet virker en smule kunstig, fordi vi ikke oppfatter ordslik, selv om de fleste av oss starter med tom linje, og sa skriver enog en bokstav fra venstre mot høyre.
• Det spiller imidlertid en rolle for hvordan ord representeres somdata om de sees pa som ordnede sekvenser med en gitt lengdeeller som bygget opp ved at nye bokstaver legges til.
• Ord, slik vi har definert dem, er et spesialtilfelle av lister.• En liste oppfattes som oftes som at enten er den den tomme listen
e, eller sa er den et ordnet par av siste element og resten av listen.• Mange tenker seg at ytterste element (hodet) i en liste star til
venstre for resten (halen) av listen.• Programmeringspraket LISP er basert pa listerekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 26
![Page 159: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/159.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Merk
• Dette eksemplet virker en smule kunstig, fordi vi ikke oppfatter ordslik, selv om de fleste av oss starter med tom linje, og sa skriver enog en bokstav fra venstre mot høyre.
• Det spiller imidlertid en rolle for hvordan ord representeres somdata om de sees pa som ordnede sekvenser med en gitt lengdeeller som bygget opp ved at nye bokstaver legges til.
• Ord, slik vi har definert dem, er et spesialtilfelle av lister.• En liste oppfattes som oftes som at enten er den den tomme listen
e, eller sa er den et ordnet par av siste element og resten av listen.• Mange tenker seg at ytterste element (hodet) i en liste star til
venstre for resten (halen) av listen.• Programmeringspraket LISP er basert pa listerekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 26
![Page 160: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/160.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Merk
• Dette eksemplet virker en smule kunstig, fordi vi ikke oppfatter ordslik, selv om de fleste av oss starter med tom linje, og sa skriver enog en bokstav fra venstre mot høyre.
• Det spiller imidlertid en rolle for hvordan ord representeres somdata om de sees pa som ordnede sekvenser med en gitt lengdeeller som bygget opp ved at nye bokstaver legges til.
• Ord, slik vi har definert dem, er et spesialtilfelle av lister.
• En liste oppfattes som oftes som at enten er den den tomme listene, eller sa er den et ordnet par av siste element og resten av listen.
• Mange tenker seg at ytterste element (hodet) i en liste star tilvenstre for resten (halen) av listen.
• Programmeringspraket LISP er basert pa listerekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 26
![Page 161: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/161.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Merk
• Dette eksemplet virker en smule kunstig, fordi vi ikke oppfatter ordslik, selv om de fleste av oss starter med tom linje, og sa skriver enog en bokstav fra venstre mot høyre.
• Det spiller imidlertid en rolle for hvordan ord representeres somdata om de sees pa som ordnede sekvenser med en gitt lengdeeller som bygget opp ved at nye bokstaver legges til.
• Ord, slik vi har definert dem, er et spesialtilfelle av lister.• En liste oppfattes som oftes som at enten er den den tomme listen
e, eller sa er den et ordnet par av siste element og resten av listen.
• Mange tenker seg at ytterste element (hodet) i en liste star tilvenstre for resten (halen) av listen.
• Programmeringspraket LISP er basert pa listerekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 26
![Page 162: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/162.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Merk
• Dette eksemplet virker en smule kunstig, fordi vi ikke oppfatter ordslik, selv om de fleste av oss starter med tom linje, og sa skriver enog en bokstav fra venstre mot høyre.
• Det spiller imidlertid en rolle for hvordan ord representeres somdata om de sees pa som ordnede sekvenser med en gitt lengdeeller som bygget opp ved at nye bokstaver legges til.
• Ord, slik vi har definert dem, er et spesialtilfelle av lister.• En liste oppfattes som oftes som at enten er den den tomme listen
e, eller sa er den et ordnet par av siste element og resten av listen.• Mange tenker seg at ytterste element (hodet) i en liste star til
venstre for resten (halen) av listen.
• Programmeringspraket LISP er basert pa listerekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 26
![Page 163: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/163.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Merk
• Dette eksemplet virker en smule kunstig, fordi vi ikke oppfatter ordslik, selv om de fleste av oss starter med tom linje, og sa skriver enog en bokstav fra venstre mot høyre.
• Det spiller imidlertid en rolle for hvordan ord representeres somdata om de sees pa som ordnede sekvenser med en gitt lengdeeller som bygget opp ved at nye bokstaver legges til.
• Ord, slik vi har definert dem, er et spesialtilfelle av lister.• En liste oppfattes som oftes som at enten er den den tomme listen
e, eller sa er den et ordnet par av siste element og resten av listen.• Mange tenker seg at ytterste element (hodet) i en liste star til
venstre for resten (halen) av listen.• Programmeringspraket LISP er basert pa listerekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 26
![Page 164: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/164.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Som et eksempel pa en rekursivt definisjon av en funksjon pamengden av ord kan vi betrakte PL (Push Left) som virker pa etord w og en bokstav a ved:
• PL(e, a) = a• PL(wb, a) = PL(w, a)b
Det som her skjer er at PL tar for seg et ord w og en bokstav a, ogskriver bokstaven foran ordet, slik at vi far aw.Egentlig burde vi vist denne egenskapen ved PL ved induksjon,men vi avstar i denne omgangen.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 27
![Page 165: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/165.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Som et eksempel pa en rekursivt definisjon av en funksjon pamengden av ord kan vi betrakte PL (Push Left) som virker pa etord w og en bokstav a ved:
• PL(e, a) = a• PL(wb, a) = PL(w, a)b
Det som her skjer er at PL tar for seg et ord w og en bokstav a, ogskriver bokstaven foran ordet, slik at vi far aw.Egentlig burde vi vist denne egenskapen ved PL ved induksjon,men vi avstar i denne omgangen.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 27
![Page 166: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/166.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Som et eksempel pa en rekursivt definisjon av en funksjon pamengden av ord kan vi betrakte PL (Push Left) som virker pa etord w og en bokstav a ved:
• PL(e, a) = a• PL(wb, a) = PL(w, a)b
Det som her skjer er at PL tar for seg et ord w og en bokstav a, ogskriver bokstaven foran ordet, slik at vi far aw.Egentlig burde vi vist denne egenskapen ved PL ved induksjon,men vi avstar i denne omgangen.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 27
![Page 167: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/167.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Som et eksempel pa en rekursivt definisjon av en funksjon pamengden av ord kan vi betrakte PL (Push Left) som virker pa etord w og en bokstav a ved:
• PL(e, a) = a
• PL(wb, a) = PL(w, a)b
Det som her skjer er at PL tar for seg et ord w og en bokstav a, ogskriver bokstaven foran ordet, slik at vi far aw.Egentlig burde vi vist denne egenskapen ved PL ved induksjon,men vi avstar i denne omgangen.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 27
![Page 168: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/168.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Som et eksempel pa en rekursivt definisjon av en funksjon pamengden av ord kan vi betrakte PL (Push Left) som virker pa etord w og en bokstav a ved:
• PL(e, a) = a• PL(wb, a) = PL(w, a)b
Det som her skjer er at PL tar for seg et ord w og en bokstav a, ogskriver bokstaven foran ordet, slik at vi far aw.Egentlig burde vi vist denne egenskapen ved PL ved induksjon,men vi avstar i denne omgangen.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 27
![Page 169: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/169.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Som et eksempel pa en rekursivt definisjon av en funksjon pamengden av ord kan vi betrakte PL (Push Left) som virker pa etord w og en bokstav a ved:
• PL(e, a) = a• PL(wb, a) = PL(w, a)b
Det som her skjer er at PL tar for seg et ord w og en bokstav a, ogskriver bokstaven foran ordet, slik at vi far aw.
Egentlig burde vi vist denne egenskapen ved PL ved induksjon,men vi avstar i denne omgangen.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 27
![Page 170: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/170.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Som et eksempel pa en rekursivt definisjon av en funksjon pamengden av ord kan vi betrakte PL (Push Left) som virker pa etord w og en bokstav a ved:
• PL(e, a) = a• PL(wb, a) = PL(w, a)b
Det som her skjer er at PL tar for seg et ord w og en bokstav a, ogskriver bokstaven foran ordet, slik at vi far aw.Egentlig burde vi vist denne egenskapen ved PL ved induksjon,men vi avstar i denne omgangen.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 27
![Page 171: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/171.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
Følgende regne-eksempel viser hvordan PL virker:PL(aba, c) =
PL(ab, c)a =
PL(a, c)ba =
PL(e, c)aba =
caba
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 28
![Page 172: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/172.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
Følgende regne-eksempel viser hvordan PL virker:PL(aba, c) =
PL(ab, c)a =
PL(a, c)ba =
PL(e, c)aba =
caba
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 28
![Page 173: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/173.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
Følgende regne-eksempel viser hvordan PL virker:
PL(aba, c) =
PL(ab, c)a =
PL(a, c)ba =
PL(e, c)aba =
caba
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 28
![Page 174: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/174.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
Følgende regne-eksempel viser hvordan PL virker:PL(aba, c) =
PL(ab, c)a =
PL(a, c)ba =
PL(e, c)aba =
caba
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 28
![Page 175: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/175.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
Følgende regne-eksempel viser hvordan PL virker:PL(aba, c) =
PL(ab, c)a =
PL(a, c)ba =
PL(e, c)aba =
caba
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 28
![Page 176: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/176.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
Følgende regne-eksempel viser hvordan PL virker:PL(aba, c) =
PL(ab, c)a =
PL(a, c)ba =
PL(e, c)aba =
caba
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 28
![Page 177: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/177.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
Følgende regne-eksempel viser hvordan PL virker:PL(aba, c) =
PL(ab, c)a =
PL(a, c)ba =
PL(e, c)aba =
caba
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 28
![Page 178: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/178.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
Følgende regne-eksempel viser hvordan PL virker:PL(aba, c) =
PL(ab, c)a =
PL(a, c)ba =
PL(e, c)aba =
caba
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 28
![Page 179: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/179.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Med utgangspunkt i eksemplet PL fra forrige side skal vi definereen speilingsfunksjon R ved rekursjon. R vil ta et ord som input ogoutput vil være ordet skrevet baklengs:
• Vi definerer R ved:
• R(e) = e• R(wb) = PL(R(w), b)
Igjen overlater vi bekreftelsen av at funksjonen virker i henhold tilspesifikasjonen til den enkelte.Vi skal se pa et eksempel, og i tillegg gi en oppgave, som skalhjelpe til med dette.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 29
![Page 180: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/180.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Med utgangspunkt i eksemplet PL fra forrige side skal vi definereen speilingsfunksjon R ved rekursjon. R vil ta et ord som input ogoutput vil være ordet skrevet baklengs:
• Vi definerer R ved:
• R(e) = e• R(wb) = PL(R(w), b)
Igjen overlater vi bekreftelsen av at funksjonen virker i henhold tilspesifikasjonen til den enkelte.Vi skal se pa et eksempel, og i tillegg gi en oppgave, som skalhjelpe til med dette.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 29
![Page 181: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/181.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Med utgangspunkt i eksemplet PL fra forrige side skal vi definereen speilingsfunksjon R ved rekursjon. R vil ta et ord som input ogoutput vil være ordet skrevet baklengs:
• Vi definerer R ved:
• R(e) = e• R(wb) = PL(R(w), b)
Igjen overlater vi bekreftelsen av at funksjonen virker i henhold tilspesifikasjonen til den enkelte.Vi skal se pa et eksempel, og i tillegg gi en oppgave, som skalhjelpe til med dette.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 29
![Page 182: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/182.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Med utgangspunkt i eksemplet PL fra forrige side skal vi definereen speilingsfunksjon R ved rekursjon. R vil ta et ord som input ogoutput vil være ordet skrevet baklengs:
• Vi definerer R ved:
• R(e) = e• R(wb) = PL(R(w), b)
Igjen overlater vi bekreftelsen av at funksjonen virker i henhold tilspesifikasjonen til den enkelte.Vi skal se pa et eksempel, og i tillegg gi en oppgave, som skalhjelpe til med dette.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 29
![Page 183: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/183.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Med utgangspunkt i eksemplet PL fra forrige side skal vi definereen speilingsfunksjon R ved rekursjon. R vil ta et ord som input ogoutput vil være ordet skrevet baklengs:
• Vi definerer R ved:• R(e) = e
• R(wb) = PL(R(w), b)
Igjen overlater vi bekreftelsen av at funksjonen virker i henhold tilspesifikasjonen til den enkelte.Vi skal se pa et eksempel, og i tillegg gi en oppgave, som skalhjelpe til med dette.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 29
![Page 184: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/184.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Med utgangspunkt i eksemplet PL fra forrige side skal vi definereen speilingsfunksjon R ved rekursjon. R vil ta et ord som input ogoutput vil være ordet skrevet baklengs:
• Vi definerer R ved:• R(e) = e• R(wb) = PL(R(w), b)
Igjen overlater vi bekreftelsen av at funksjonen virker i henhold tilspesifikasjonen til den enkelte.Vi skal se pa et eksempel, og i tillegg gi en oppgave, som skalhjelpe til med dette.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 29
![Page 185: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/185.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Med utgangspunkt i eksemplet PL fra forrige side skal vi definereen speilingsfunksjon R ved rekursjon. R vil ta et ord som input ogoutput vil være ordet skrevet baklengs:
• Vi definerer R ved:• R(e) = e• R(wb) = PL(R(w), b)
Igjen overlater vi bekreftelsen av at funksjonen virker i henhold tilspesifikasjonen til den enkelte.
Vi skal se pa et eksempel, og i tillegg gi en oppgave, som skalhjelpe til med dette.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 29
![Page 186: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/186.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Med utgangspunkt i eksemplet PL fra forrige side skal vi definereen speilingsfunksjon R ved rekursjon. R vil ta et ord som input ogoutput vil være ordet skrevet baklengs:
• Vi definerer R ved:• R(e) = e• R(wb) = PL(R(w), b)
Igjen overlater vi bekreftelsen av at funksjonen virker i henhold tilspesifikasjonen til den enkelte.Vi skal se pa et eksempel, og i tillegg gi en oppgave, som skalhjelpe til med dette.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 29
![Page 187: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/187.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =PL(R(ab), c) =PL(PL(R(a), b), c) =PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =PL(PL(PL(e, a), b), c) =PL(PL(a, b), c) =PL(PL(e, b)a, c) =PL(ba, c) =PL(b, c)a =PL(e, c)ba =cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 188: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/188.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =PL(R(ab), c) =PL(PL(R(a), b), c) =PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =PL(PL(PL(e, a), b), c) =PL(PL(a, b), c) =PL(PL(e, b)a, c) =PL(ba, c) =PL(b, c)a =PL(e, c)ba =cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 189: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/189.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.
Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =PL(R(ab), c) =PL(PL(R(a), b), c) =PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =PL(PL(PL(e, a), b), c) =PL(PL(a, b), c) =PL(PL(e, b)a, c) =PL(ba, c) =PL(b, c)a =PL(e, c)ba =cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 190: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/190.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =PL(R(ab), c) =PL(PL(R(a), b), c) =PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =PL(PL(PL(e, a), b), c) =PL(PL(a, b), c) =PL(PL(e, b)a, c) =PL(ba, c) =PL(b, c)a =PL(e, c)ba =cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 191: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/191.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =
PL(R(ab), c) =PL(PL(R(a), b), c) =PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =PL(PL(PL(e, a), b), c) =PL(PL(a, b), c) =PL(PL(e, b)a, c) =PL(ba, c) =PL(b, c)a =PL(e, c)ba =cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 192: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/192.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =PL(R(ab), c) =
PL(PL(R(a), b), c) =PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =PL(PL(PL(e, a), b), c) =PL(PL(a, b), c) =PL(PL(e, b)a, c) =PL(ba, c) =PL(b, c)a =PL(e, c)ba =cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 193: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/193.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =PL(R(ab), c) =PL(PL(R(a), b), c) =
PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =PL(PL(PL(e, a), b), c) =PL(PL(a, b), c) =PL(PL(e, b)a, c) =PL(ba, c) =PL(b, c)a =PL(e, c)ba =cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 194: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/194.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =PL(R(ab), c) =PL(PL(R(a), b), c) =PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =
PL(PL(PL(e, a), b), c) =PL(PL(a, b), c) =PL(PL(e, b)a, c) =PL(ba, c) =PL(b, c)a =PL(e, c)ba =cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 195: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/195.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =PL(R(ab), c) =PL(PL(R(a), b), c) =PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =PL(PL(PL(e, a), b), c) =
PL(PL(a, b), c) =PL(PL(e, b)a, c) =PL(ba, c) =PL(b, c)a =PL(e, c)ba =cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 196: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/196.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =PL(R(ab), c) =PL(PL(R(a), b), c) =PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =PL(PL(PL(e, a), b), c) =PL(PL(a, b), c) =
PL(PL(e, b)a, c) =PL(ba, c) =PL(b, c)a =PL(e, c)ba =cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 197: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/197.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =PL(R(ab), c) =PL(PL(R(a), b), c) =PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =PL(PL(PL(e, a), b), c) =PL(PL(a, b), c) =PL(PL(e, b)a, c) =
PL(ba, c) =PL(b, c)a =PL(e, c)ba =cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 198: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/198.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =PL(R(ab), c) =PL(PL(R(a), b), c) =PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =PL(PL(PL(e, a), b), c) =PL(PL(a, b), c) =PL(PL(e, b)a, c) =PL(ba, c) =
PL(b, c)a =PL(e, c)ba =cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 199: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/199.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =PL(R(ab), c) =PL(PL(R(a), b), c) =PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =PL(PL(PL(e, a), b), c) =PL(PL(a, b), c) =PL(PL(e, b)a, c) =PL(ba, c) =PL(b, c)a =
PL(e, c)ba =cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 200: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/200.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =PL(R(ab), c) =PL(PL(R(a), b), c) =PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =PL(PL(PL(e, a), b), c) =PL(PL(a, b), c) =PL(PL(e, b)a, c) =PL(ba, c) =PL(b, c)a =PL(e, c)ba =
cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 201: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/201.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Vi skal vise ved et regneeksempel i full detalj at R(abc) = cba slik R
og PL er definerte.Vi vil bare bruke symbolet e nar vi ellers matte skrevet ingenting,sa eab er det samme som ab.
R(abc) =PL(R(ab), c) =PL(PL(R(a), b), c) =PL(PL(PL(R(e), a), b), c) =PL(PL(PL(e, a), b), c) =PL(PL(a, b), c) =PL(PL(e, b)a, c) =PL(ba, c) =PL(b, c)a =PL(e, c)ba =cba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 30
![Page 202: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/202.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Oppgave
a) Ved a bruke den rekursive definisjonen av PL, vis hvordan vi skrittfor skritt kan finne verdiene av
• PL(e, d)• PL(a, d)• PL(ab, d)• PL(aba, d)
Husk at variablene a og b kan sta for hvilken som helst avbokstavene a, b og d.
b) Vis, ved a bruke definisjonen av R og egenskapen til PL atR(abac) = caba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 31
![Page 203: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/203.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Oppgave
a) Ved a bruke den rekursive definisjonen av PL, vis hvordan vi skrittfor skritt kan finne verdiene av
• PL(e, d)• PL(a, d)• PL(ab, d)• PL(aba, d)
Husk at variablene a og b kan sta for hvilken som helst avbokstavene a, b og d.
b) Vis, ved a bruke definisjonen av R og egenskapen til PL atR(abac) = caba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 31
![Page 204: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/204.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Oppgave
a) Ved a bruke den rekursive definisjonen av PL, vis hvordan vi skrittfor skritt kan finne verdiene av
• PL(e, d)• PL(a, d)• PL(ab, d)• PL(aba, d)
Husk at variablene a og b kan sta for hvilken som helst avbokstavene a, b og d.
b) Vis, ved a bruke definisjonen av R og egenskapen til PL atR(abac) = caba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 31
![Page 205: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/205.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Oppgave
a) Ved a bruke den rekursive definisjonen av PL, vis hvordan vi skrittfor skritt kan finne verdiene av
• PL(e, d)
• PL(a, d)• PL(ab, d)• PL(aba, d)
Husk at variablene a og b kan sta for hvilken som helst avbokstavene a, b og d.
b) Vis, ved a bruke definisjonen av R og egenskapen til PL atR(abac) = caba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 31
![Page 206: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/206.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Oppgave
a) Ved a bruke den rekursive definisjonen av PL, vis hvordan vi skrittfor skritt kan finne verdiene av
• PL(e, d)• PL(a, d)
• PL(ab, d)• PL(aba, d)
Husk at variablene a og b kan sta for hvilken som helst avbokstavene a, b og d.
b) Vis, ved a bruke definisjonen av R og egenskapen til PL atR(abac) = caba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 31
![Page 207: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/207.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Oppgave
a) Ved a bruke den rekursive definisjonen av PL, vis hvordan vi skrittfor skritt kan finne verdiene av
• PL(e, d)• PL(a, d)• PL(ab, d)
• PL(aba, d)
Husk at variablene a og b kan sta for hvilken som helst avbokstavene a, b og d.
b) Vis, ved a bruke definisjonen av R og egenskapen til PL atR(abac) = caba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 31
![Page 208: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/208.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Oppgave
a) Ved a bruke den rekursive definisjonen av PL, vis hvordan vi skrittfor skritt kan finne verdiene av
• PL(e, d)• PL(a, d)• PL(ab, d)• PL(aba, d)
Husk at variablene a og b kan sta for hvilken som helst avbokstavene a, b og d.
b) Vis, ved a bruke definisjonen av R og egenskapen til PL atR(abac) = caba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 31
![Page 209: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/209.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Oppgave
a) Ved a bruke den rekursive definisjonen av PL, vis hvordan vi skrittfor skritt kan finne verdiene av
• PL(e, d)• PL(a, d)• PL(ab, d)• PL(aba, d)
Husk at variablene a og b kan sta for hvilken som helst avbokstavene a, b og d.
b) Vis, ved a bruke definisjonen av R og egenskapen til PL atR(abac) = caba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 31
![Page 210: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/210.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Oppgave
a) Ved a bruke den rekursive definisjonen av PL, vis hvordan vi skrittfor skritt kan finne verdiene av
• PL(e, d)• PL(a, d)• PL(ab, d)• PL(aba, d)
Husk at variablene a og b kan sta for hvilken som helst avbokstavene a, b og d.
b) Vis, ved a bruke definisjonen av R og egenskapen til PL atR(abac) = caba.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 31
![Page 211: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/211.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Den siste funksjonen vi skal se pa i forbindelse med den induktivedefinisjonen av mengden av ord er sammensetningsfunksjonenw ∗ v = wv.Denne kan ogsa defineres ved rekursjon som følger:
• w ∗ e = w• w ∗ (vb) = (w ∗ v)b
Vi kunne gjort det vanskeligere, nemlig brukt rekursjon pa førsteargument:
• S(e, v) = v• S(wb, v) = S(w, PL(v, b))
Hvis vi na vil vise at S(w, v) = w ∗ v for alle ord w og v, kan vi hagod bruk for induksjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 32
![Page 212: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/212.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Den siste funksjonen vi skal se pa i forbindelse med den induktivedefinisjonen av mengden av ord er sammensetningsfunksjonenw ∗ v = wv.Denne kan ogsa defineres ved rekursjon som følger:
• w ∗ e = w• w ∗ (vb) = (w ∗ v)b
Vi kunne gjort det vanskeligere, nemlig brukt rekursjon pa førsteargument:
• S(e, v) = v• S(wb, v) = S(w, PL(v, b))
Hvis vi na vil vise at S(w, v) = w ∗ v for alle ord w og v, kan vi hagod bruk for induksjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 32
![Page 213: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/213.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Den siste funksjonen vi skal se pa i forbindelse med den induktivedefinisjonen av mengden av ord er sammensetningsfunksjonenw ∗ v = wv.
Denne kan ogsa defineres ved rekursjon som følger:
• w ∗ e = w• w ∗ (vb) = (w ∗ v)b
Vi kunne gjort det vanskeligere, nemlig brukt rekursjon pa førsteargument:
• S(e, v) = v• S(wb, v) = S(w, PL(v, b))
Hvis vi na vil vise at S(w, v) = w ∗ v for alle ord w og v, kan vi hagod bruk for induksjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 32
![Page 214: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/214.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Den siste funksjonen vi skal se pa i forbindelse med den induktivedefinisjonen av mengden av ord er sammensetningsfunksjonenw ∗ v = wv.Denne kan ogsa defineres ved rekursjon som følger:
• w ∗ e = w• w ∗ (vb) = (w ∗ v)b
Vi kunne gjort det vanskeligere, nemlig brukt rekursjon pa førsteargument:
• S(e, v) = v• S(wb, v) = S(w, PL(v, b))
Hvis vi na vil vise at S(w, v) = w ∗ v for alle ord w og v, kan vi hagod bruk for induksjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 32
![Page 215: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/215.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Den siste funksjonen vi skal se pa i forbindelse med den induktivedefinisjonen av mengden av ord er sammensetningsfunksjonenw ∗ v = wv.Denne kan ogsa defineres ved rekursjon som følger:
• w ∗ e = w
• w ∗ (vb) = (w ∗ v)b
Vi kunne gjort det vanskeligere, nemlig brukt rekursjon pa førsteargument:
• S(e, v) = v• S(wb, v) = S(w, PL(v, b))
Hvis vi na vil vise at S(w, v) = w ∗ v for alle ord w og v, kan vi hagod bruk for induksjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 32
![Page 216: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/216.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Den siste funksjonen vi skal se pa i forbindelse med den induktivedefinisjonen av mengden av ord er sammensetningsfunksjonenw ∗ v = wv.Denne kan ogsa defineres ved rekursjon som følger:
• w ∗ e = w• w ∗ (vb) = (w ∗ v)b
Vi kunne gjort det vanskeligere, nemlig brukt rekursjon pa førsteargument:
• S(e, v) = v• S(wb, v) = S(w, PL(v, b))
Hvis vi na vil vise at S(w, v) = w ∗ v for alle ord w og v, kan vi hagod bruk for induksjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 32
![Page 217: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/217.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Den siste funksjonen vi skal se pa i forbindelse med den induktivedefinisjonen av mengden av ord er sammensetningsfunksjonenw ∗ v = wv.Denne kan ogsa defineres ved rekursjon som følger:
• w ∗ e = w• w ∗ (vb) = (w ∗ v)b
Vi kunne gjort det vanskeligere, nemlig brukt rekursjon pa førsteargument:
• S(e, v) = v• S(wb, v) = S(w, PL(v, b))
Hvis vi na vil vise at S(w, v) = w ∗ v for alle ord w og v, kan vi hagod bruk for induksjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 32
![Page 218: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/218.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Den siste funksjonen vi skal se pa i forbindelse med den induktivedefinisjonen av mengden av ord er sammensetningsfunksjonenw ∗ v = wv.Denne kan ogsa defineres ved rekursjon som følger:
• w ∗ e = w• w ∗ (vb) = (w ∗ v)b
Vi kunne gjort det vanskeligere, nemlig brukt rekursjon pa førsteargument:
• S(e, v) = v
• S(wb, v) = S(w, PL(v, b))
Hvis vi na vil vise at S(w, v) = w ∗ v for alle ord w og v, kan vi hagod bruk for induksjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 32
![Page 219: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/219.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Den siste funksjonen vi skal se pa i forbindelse med den induktivedefinisjonen av mengden av ord er sammensetningsfunksjonenw ∗ v = wv.Denne kan ogsa defineres ved rekursjon som følger:
• w ∗ e = w• w ∗ (vb) = (w ∗ v)b
Vi kunne gjort det vanskeligere, nemlig brukt rekursjon pa førsteargument:
• S(e, v) = v• S(wb, v) = S(w, PL(v, b))
Hvis vi na vil vise at S(w, v) = w ∗ v for alle ord w og v, kan vi hagod bruk for induksjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 32
![Page 220: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/220.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
Den siste funksjonen vi skal se pa i forbindelse med den induktivedefinisjonen av mengden av ord er sammensetningsfunksjonenw ∗ v = wv.Denne kan ogsa defineres ved rekursjon som følger:
• w ∗ e = w• w ∗ (vb) = (w ∗ v)b
Vi kunne gjort det vanskeligere, nemlig brukt rekursjon pa førsteargument:
• S(e, v) = v• S(wb, v) = S(w, PL(v, b))
Hvis vi na vil vise at S(w, v) = w ∗ v for alle ord w og v, kan vi hagod bruk for induksjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 32
![Page 221: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/221.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Automatateori er den matematiske teorien for studiet av formelleregnemaskiner som tar for seg et inputord, og enten prosesserer etoutputord eller svarer pa et spørsmal om inputordet.
• Flere av disse formelle maskinene leser inputordet fra venstre mothøyre, og utfører en beregning underveis.
• Eksempler pa dette er de sakalte endelige tilstandsmaskinene ogpushdownautomater eller stakkautomater.
• Hvordan en slik automat virker pa et ord defineres ved rekursjonpa oppbyggingen av ordet.
• Vi skal ikke innføre automatateori, men vi skal i eksempler ogoppgaver se pa et par tilfeller hvor rekursjon pa ord kan brukes tila erstatte slike formelle regnemaskiner.
• De kraftigste formelle maskinene fanges ikke opp av ord-rekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 33
![Page 222: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/222.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Automatateori er den matematiske teorien for studiet av formelleregnemaskiner som tar for seg et inputord, og enten prosesserer etoutputord eller svarer pa et spørsmal om inputordet.
• Flere av disse formelle maskinene leser inputordet fra venstre mothøyre, og utfører en beregning underveis.
• Eksempler pa dette er de sakalte endelige tilstandsmaskinene ogpushdownautomater eller stakkautomater.
• Hvordan en slik automat virker pa et ord defineres ved rekursjonpa oppbyggingen av ordet.
• Vi skal ikke innføre automatateori, men vi skal i eksempler ogoppgaver se pa et par tilfeller hvor rekursjon pa ord kan brukes tila erstatte slike formelle regnemaskiner.
• De kraftigste formelle maskinene fanges ikke opp av ord-rekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 33
![Page 223: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/223.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Automatateori er den matematiske teorien for studiet av formelleregnemaskiner som tar for seg et inputord, og enten prosesserer etoutputord eller svarer pa et spørsmal om inputordet.
• Flere av disse formelle maskinene leser inputordet fra venstre mothøyre, og utfører en beregning underveis.
• Eksempler pa dette er de sakalte endelige tilstandsmaskinene ogpushdownautomater eller stakkautomater.
• Hvordan en slik automat virker pa et ord defineres ved rekursjonpa oppbyggingen av ordet.
• Vi skal ikke innføre automatateori, men vi skal i eksempler ogoppgaver se pa et par tilfeller hvor rekursjon pa ord kan brukes tila erstatte slike formelle regnemaskiner.
• De kraftigste formelle maskinene fanges ikke opp av ord-rekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 33
![Page 224: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/224.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Automatateori er den matematiske teorien for studiet av formelleregnemaskiner som tar for seg et inputord, og enten prosesserer etoutputord eller svarer pa et spørsmal om inputordet.
• Flere av disse formelle maskinene leser inputordet fra venstre mothøyre, og utfører en beregning underveis.
• Eksempler pa dette er de sakalte endelige tilstandsmaskinene ogpushdownautomater eller stakkautomater.
• Hvordan en slik automat virker pa et ord defineres ved rekursjonpa oppbyggingen av ordet.
• Vi skal ikke innføre automatateori, men vi skal i eksempler ogoppgaver se pa et par tilfeller hvor rekursjon pa ord kan brukes tila erstatte slike formelle regnemaskiner.
• De kraftigste formelle maskinene fanges ikke opp av ord-rekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 33
![Page 225: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/225.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Automatateori er den matematiske teorien for studiet av formelleregnemaskiner som tar for seg et inputord, og enten prosesserer etoutputord eller svarer pa et spørsmal om inputordet.
• Flere av disse formelle maskinene leser inputordet fra venstre mothøyre, og utfører en beregning underveis.
• Eksempler pa dette er de sakalte endelige tilstandsmaskinene ogpushdownautomater eller stakkautomater.
• Hvordan en slik automat virker pa et ord defineres ved rekursjonpa oppbyggingen av ordet.
• Vi skal ikke innføre automatateori, men vi skal i eksempler ogoppgaver se pa et par tilfeller hvor rekursjon pa ord kan brukes tila erstatte slike formelle regnemaskiner.
• De kraftigste formelle maskinene fanges ikke opp av ord-rekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 33
![Page 226: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/226.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Automatateori er den matematiske teorien for studiet av formelleregnemaskiner som tar for seg et inputord, og enten prosesserer etoutputord eller svarer pa et spørsmal om inputordet.
• Flere av disse formelle maskinene leser inputordet fra venstre mothøyre, og utfører en beregning underveis.
• Eksempler pa dette er de sakalte endelige tilstandsmaskinene ogpushdownautomater eller stakkautomater.
• Hvordan en slik automat virker pa et ord defineres ved rekursjonpa oppbyggingen av ordet.
• Vi skal ikke innføre automatateori, men vi skal i eksempler ogoppgaver se pa et par tilfeller hvor rekursjon pa ord kan brukes tila erstatte slike formelle regnemaskiner.
• De kraftigste formelle maskinene fanges ikke opp av ord-rekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 33
![Page 227: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/227.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
• Automatateori er den matematiske teorien for studiet av formelleregnemaskiner som tar for seg et inputord, og enten prosesserer etoutputord eller svarer pa et spørsmal om inputordet.
• Flere av disse formelle maskinene leser inputordet fra venstre mothøyre, og utfører en beregning underveis.
• Eksempler pa dette er de sakalte endelige tilstandsmaskinene ogpushdownautomater eller stakkautomater.
• Hvordan en slik automat virker pa et ord defineres ved rekursjonpa oppbyggingen av ordet.
• Vi skal ikke innføre automatateori, men vi skal i eksempler ogoppgaver se pa et par tilfeller hvor rekursjon pa ord kan brukes tila erstatte slike formelle regnemaskiner.
• De kraftigste formelle maskinene fanges ikke opp av ord-rekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 33
![Page 228: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/228.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
• La w være et ord hvor vi vet at bare bokstavene a og b forekommer.• Vi vil finne en algoritme som avgjør om det er like mange
bokstaver av hvert slag, eller om det er et overskudd av den ene.• Som en hjelpefunksjon definerer vi en funksjon f(w) slik at f(w) er
differansen mellom antall a’er og antall b’er i w.
• f(e) = 0• f(wa) = f(w) + 1• f(wb) = f(w) − 1
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 34
![Page 229: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/229.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
• La w være et ord hvor vi vet at bare bokstavene a og b forekommer.• Vi vil finne en algoritme som avgjør om det er like mange
bokstaver av hvert slag, eller om det er et overskudd av den ene.• Som en hjelpefunksjon definerer vi en funksjon f(w) slik at f(w) er
differansen mellom antall a’er og antall b’er i w.
• f(e) = 0• f(wa) = f(w) + 1• f(wb) = f(w) − 1
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 34
![Page 230: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/230.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
• La w være et ord hvor vi vet at bare bokstavene a og b forekommer.
• Vi vil finne en algoritme som avgjør om det er like mangebokstaver av hvert slag, eller om det er et overskudd av den ene.
• Som en hjelpefunksjon definerer vi en funksjon f(w) slik at f(w) erdifferansen mellom antall a’er og antall b’er i w.
• f(e) = 0• f(wa) = f(w) + 1• f(wb) = f(w) − 1
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 34
![Page 231: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/231.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
• La w være et ord hvor vi vet at bare bokstavene a og b forekommer.• Vi vil finne en algoritme som avgjør om det er like mange
bokstaver av hvert slag, eller om det er et overskudd av den ene.
• Som en hjelpefunksjon definerer vi en funksjon f(w) slik at f(w) erdifferansen mellom antall a’er og antall b’er i w.
• f(e) = 0• f(wa) = f(w) + 1• f(wb) = f(w) − 1
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 34
![Page 232: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/232.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
• La w være et ord hvor vi vet at bare bokstavene a og b forekommer.• Vi vil finne en algoritme som avgjør om det er like mange
bokstaver av hvert slag, eller om det er et overskudd av den ene.• Som en hjelpefunksjon definerer vi en funksjon f(w) slik at f(w) er
differansen mellom antall a’er og antall b’er i w.
• f(e) = 0• f(wa) = f(w) + 1• f(wb) = f(w) − 1
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 34
![Page 233: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/233.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
• La w være et ord hvor vi vet at bare bokstavene a og b forekommer.• Vi vil finne en algoritme som avgjør om det er like mange
bokstaver av hvert slag, eller om det er et overskudd av den ene.• Som en hjelpefunksjon definerer vi en funksjon f(w) slik at f(w) er
differansen mellom antall a’er og antall b’er i w.• f(e) = 0
• f(wa) = f(w) + 1• f(wb) = f(w) − 1
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 34
![Page 234: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/234.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
• La w være et ord hvor vi vet at bare bokstavene a og b forekommer.• Vi vil finne en algoritme som avgjør om det er like mange
bokstaver av hvert slag, eller om det er et overskudd av den ene.• Som en hjelpefunksjon definerer vi en funksjon f(w) slik at f(w) er
differansen mellom antall a’er og antall b’er i w.• f(e) = 0• f(wa) = f(w) + 1
• f(wb) = f(w) − 1
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 34
![Page 235: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/235.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel
• La w være et ord hvor vi vet at bare bokstavene a og b forekommer.• Vi vil finne en algoritme som avgjør om det er like mange
bokstaver av hvert slag, eller om det er et overskudd av den ene.• Som en hjelpefunksjon definerer vi en funksjon f(w) slik at f(w) er
differansen mellom antall a’er og antall b’er i w.• f(e) = 0• f(wa) = f(w) + 1• f(wb) = f(w) − 1
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 34
![Page 236: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/236.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
• Vi kan da regne ut
f(aababba) = f(aababb) + 1 = f(aabab) − 1 + 1 = f(aabab)
= f(aaba) − 1 = f(aab) = f(aa) − 1 = f(a) = f(e) + 1 = 1.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 35
![Page 237: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/237.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
• Vi kan da regne ut
f(aababba) = f(aababb) + 1 = f(aabab) − 1 + 1 = f(aabab)
= f(aaba) − 1 = f(aab) = f(aa) − 1 = f(a) = f(e) + 1 = 1.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 35
![Page 238: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/238.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
• Vi kan da regne ut
f(aababba) = f(aababb) + 1 = f(aabab) − 1 + 1 = f(aabab)
= f(aaba) − 1 = f(aab) = f(aa) − 1 = f(a) = f(e) + 1 = 1.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 35
![Page 239: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/239.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
• Vi kan da regne ut
f(aababba) = f(aababb) + 1 = f(aabab) − 1 + 1 = f(aabab)
= f(aaba) − 1 = f(aab) = f(aa) − 1 = f(a) = f(e) + 1 = 1.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 35
![Page 240: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/240.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
• Vi kan da regne ut
f(aababba) = f(aababb) + 1 = f(aabab) − 1 + 1 = f(aabab)
= f(aaba) − 1 = f(aab) = f(aa) − 1 = f(a) = f(e) + 1 = 1.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 35
![Page 241: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/241.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
• Siden ord er ordnede sekvenser av symboler, kan vi finnepseudokoder som erstatter ord-rekursjon.
• Vi skal gi en pseudokode for beregning av f fra dette eksemplet.• Her er det viktig at input er et ord hvor bokstavene a og b
forekommer, og at output er et helt tall.• Vanligvis ma man deklarere typene til variablene som en del av
programmet, men det formaliserer vi ikke her.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 36
![Page 242: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/242.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
• Siden ord er ordnede sekvenser av symboler, kan vi finnepseudokoder som erstatter ord-rekursjon.
• Vi skal gi en pseudokode for beregning av f fra dette eksemplet.• Her er det viktig at input er et ord hvor bokstavene a og b
forekommer, og at output er et helt tall.• Vanligvis ma man deklarere typene til variablene som en del av
programmet, men det formaliserer vi ikke her.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 36
![Page 243: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/243.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
• Siden ord er ordnede sekvenser av symboler, kan vi finnepseudokoder som erstatter ord-rekursjon.
• Vi skal gi en pseudokode for beregning av f fra dette eksemplet.• Her er det viktig at input er et ord hvor bokstavene a og b
forekommer, og at output er et helt tall.• Vanligvis ma man deklarere typene til variablene som en del av
programmet, men det formaliserer vi ikke her.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 36
![Page 244: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/244.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
• Siden ord er ordnede sekvenser av symboler, kan vi finnepseudokoder som erstatter ord-rekursjon.
• Vi skal gi en pseudokode for beregning av f fra dette eksemplet.
• Her er det viktig at input er et ord hvor bokstavene a og bforekommer, og at output er et helt tall.
• Vanligvis ma man deklarere typene til variablene som en del avprogrammet, men det formaliserer vi ikke her.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 36
![Page 245: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/245.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
• Siden ord er ordnede sekvenser av symboler, kan vi finnepseudokoder som erstatter ord-rekursjon.
• Vi skal gi en pseudokode for beregning av f fra dette eksemplet.• Her er det viktig at input er et ord hvor bokstavene a og b
forekommer, og at output er et helt tall.
• Vanligvis ma man deklarere typene til variablene som en del avprogrammet, men det formaliserer vi ikke her.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 36
![Page 246: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/246.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
• Siden ord er ordnede sekvenser av symboler, kan vi finnepseudokoder som erstatter ord-rekursjon.
• Vi skal gi en pseudokode for beregning av f fra dette eksemplet.• Her er det viktig at input er et ord hvor bokstavene a og b
forekommer, og at output er et helt tall.• Vanligvis ma man deklarere typene til variablene som en del av
programmet, men det formaliserer vi ikke her.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 36
![Page 247: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/247.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
1 Input n [n ∈ N0]2 Input w [w = v1 · · · vn er et ord av lengde n]3 x← 0
4 For i = 1 to n do
4.1 If vi = a then
4.1.1 x← x + 1
else
4.1.2 x← x − 1
5 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 37
![Page 248: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/248.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
1 Input n [n ∈ N0]2 Input w [w = v1 · · · vn er et ord av lengde n]3 x← 0
4 For i = 1 to n do
4.1 If vi = a then
4.1.1 x← x + 1
else
4.1.2 x← x − 1
5 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 37
![Page 249: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/249.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
1 Input n [n ∈ N0]
2 Input w [w = v1 · · · vn er et ord av lengde n]3 x← 0
4 For i = 1 to n do
4.1 If vi = a then
4.1.1 x← x + 1
else
4.1.2 x← x − 1
5 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 37
![Page 250: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/250.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
1 Input n [n ∈ N0]2 Input w [w = v1 · · · vn er et ord av lengde n]
3 x← 0
4 For i = 1 to n do
4.1 If vi = a then
4.1.1 x← x + 1
else
4.1.2 x← x − 1
5 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 37
![Page 251: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/251.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
1 Input n [n ∈ N0]2 Input w [w = v1 · · · vn er et ord av lengde n]3 x← 0
4 For i = 1 to n do
4.1 If vi = a then
4.1.1 x← x + 1
else
4.1.2 x← x − 1
5 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 37
![Page 252: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/252.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
1 Input n [n ∈ N0]2 Input w [w = v1 · · · vn er et ord av lengde n]3 x← 0
4 For i = 1 to n do
4.1 If vi = a then
4.1.1 x← x + 1
else
4.1.2 x← x − 1
5 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 37
![Page 253: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/253.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
1 Input n [n ∈ N0]2 Input w [w = v1 · · · vn er et ord av lengde n]3 x← 0
4 For i = 1 to n do4.1 If vi = a then
4.1.1 x← x + 1
else
4.1.2 x← x − 1
5 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 37
![Page 254: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/254.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
1 Input n [n ∈ N0]2 Input w [w = v1 · · · vn er et ord av lengde n]3 x← 0
4 For i = 1 to n do4.1 If vi = a then
4.1.1 x← x + 1
else
4.1.2 x← x − 1
5 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 37
![Page 255: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/255.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
1 Input n [n ∈ N0]2 Input w [w = v1 · · · vn er et ord av lengde n]3 x← 0
4 For i = 1 to n do4.1 If vi = a then
4.1.1 x← x + 1
else
4.1.2 x← x − 1
5 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 37
![Page 256: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/256.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
1 Input n [n ∈ N0]2 Input w [w = v1 · · · vn er et ord av lengde n]3 x← 0
4 For i = 1 to n do4.1 If vi = a then
4.1.1 x← x + 1
else4.1.2 x← x − 1
5 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 37
![Page 257: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/257.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Eksempel (Fortsatt)
1 Input n [n ∈ N0]2 Input w [w = v1 · · · vn er et ord av lengde n]3 x← 0
4 For i = 1 to n do4.1 If vi = a then
4.1.1 x← x + 1
else4.1.2 x← x − 1
5 Output x
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 37
![Page 258: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/258.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Merk
• Hvis vi arbeider med algoritmer som skal virke pa ord i et alfabeteller lister av data, vil det være aktuelt a innføre egnekontrollstrukturer for listerekursjon.
• Det fins programmeringssprak av teoretisk interesse, og ogsa avpraktisk betydning, hvor det er enkelt a uttrykke listerekursjon ogandre former for generell rekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 38
![Page 259: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/259.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Merk
• Hvis vi arbeider med algoritmer som skal virke pa ord i et alfabeteller lister av data, vil det være aktuelt a innføre egnekontrollstrukturer for listerekursjon.
• Det fins programmeringssprak av teoretisk interesse, og ogsa avpraktisk betydning, hvor det er enkelt a uttrykke listerekursjon ogandre former for generell rekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 38
![Page 260: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/260.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Merk
• Hvis vi arbeider med algoritmer som skal virke pa ord i et alfabeteller lister av data, vil det være aktuelt a innføre egnekontrollstrukturer for listerekursjon.
• Det fins programmeringssprak av teoretisk interesse, og ogsa avpraktisk betydning, hvor det er enkelt a uttrykke listerekursjon ogandre former for generell rekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 38
![Page 261: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/261.jpg)
Generell induksjon og rekursjon
Merk
• Hvis vi arbeider med algoritmer som skal virke pa ord i et alfabeteller lister av data, vil det være aktuelt a innføre egnekontrollstrukturer for listerekursjon.
• Det fins programmeringssprak av teoretisk interesse, og ogsa avpraktisk betydning, hvor det er enkelt a uttrykke listerekursjon ogandre former for generell rekursjon.
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 38
![Page 262: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/262.jpg)
Paskeferie
Uansett hva klokken er na, har vi gatt igjennom nok stoff, sa detgjenstar bare a siLykke til med midtermin til de som skal ta en slik en.
GOD PASKE
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 39
![Page 263: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/263.jpg)
Paskeferie
Uansett hva klokken er na, har vi gatt igjennom nok stoff, sa detgjenstar bare a si
Lykke til med midtermin til de som skal ta en slik en.
GOD PASKE
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 39
![Page 264: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/264.jpg)
Paskeferie
Uansett hva klokken er na, har vi gatt igjennom nok stoff, sa detgjenstar bare a siLykke til med midtermin til de som skal ta en slik en.
GOD PASKE
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 39
![Page 265: MAT1030 – Diskret Matematikk2010/03/17 · MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 5 Rekurrenslikninger • Hvis vi har en rekurrenslikning at(n)+bt(n−1)+ct(n−2)=0 hvor](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022071410/6105be7ed039f36e8e1161f6/html5/thumbnails/265.jpg)
Paskeferie
Uansett hva klokken er na, har vi gatt igjennom nok stoff, sa detgjenstar bare a siLykke til med midtermin til de som skal ta en slik en.
GOD PASKE
MAT1030 – Diskret Matematikk 17. mars 2010 39