Mat II Pract2015 II
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8/20/2019 Mat II Pract2015 II
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (UNIVERSIDAD DEL PERU, DECANA DE AMERICA)
FACULTAD DE INGENIERIAINDUSTRIAL
PRACTICA
CURSO : MATEMATICA -II
PROFESOR : GONZALES CHAVEZ, máximo g.
SEMESTRE ACADEMICO: 20 ! - II 1. INTEGRAL INDEFINIDA2. INTEGRAL DEFINIDA3. APLICACIONES
-
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GONZALES CHAVEZ , M"ximo g. - 2 - MATEMATICA II
TABLA de DERIVADA
#$x% # &$x% #$x% # &$x%1) " x # =)( , "∈ IR 0)( =′ x # 2) ' x x # =)( , ' ∈ IR 1)( −=′ ' 'x x #
3) )()( x ()* x # = )cos()( x x # =′ 4) )cos()( x x # = )()( x ()* x # −= 5) x L* x # =)( x x #
1)( =′ , x≠ 0 6) x) x # =)( x) x # =′ )(
7) )arcsin()( x x # = 211
)( x
x # −
=′ 8) )arccos()( x x # = 211
)( x
x # −−=′
9) )arctan()( x x # = 211
)( x
x # +=
′ 10) )cot()( x"'+ x # = 211
)( x
x # +−=′
11) x" x # =)( )()( " L*" x # x=′ 12) S )()()( x- x g x # =
A /i+"* o /og"'i1mo L* #$x% $x%L* g$x% , )'i3"* o+=′
)()´()(
)()´()()(
x g x g x-
x L*g x- x # x # +=′⇒ )(
)!()()()!()()(
x g x g x-
x L*g x- x # x #
REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES
%4#$x%5g$x%6& #&$x%5g&$x%2) 4#$x%g$x%6& #&$x%g$x%5#$x3) [ ]( )′=
′
−1)()(
)()(
x g x # x g x #
4) 4#$g$x%%6& # &$g$x%% g&$x% EJEMPLOS
% ( ) x g x # ' =)( , ' ∈ IR( )[ ] ( ) x g x g ' x # ' ′=′ −1)(
2% [ ])()( x g ()* x # =( ) [ ])(cos)( x g x g x # ′=′⇒
7% [ ])(cos)( x g x # =( ) [ ])()( x g ()* x g x # ′−=′⇒
8% ( ) x g ) x # =)(
( ) ( ) x g ) x g x # ′=′⇒ )(!% ( ) x g L* x # =)(
( )( ) x g x g x # ′=′ )( "(#)≠ 0 9% )(arcsin)( x g x # =
( )( ) x g x g x # 21
)(−′=′⇒
:% [ ])(arccos)( x g x # =( )
( ) x g x g
x # 21
)(−
′−=′⇒;% [ ])(arctan)( x g x # =
( )( ) x g
x g x # 21
)(+
′=′⇒
-
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GONZALES CHAVEZ , M"ximo g. - 7 - MATEMATICA II
4. ( ) x ()+ x+o1 3355. ( ) 33 3 −+ x x ()* 6. (
221 x x −
7. ( ) ( ) ( ) x+o( x ()* x x 42 52 + 8. ( )226 43 x ()* x1"* x) + 9. ( ) x ()+ x x+o( 232 −
10. ( )
1211 25
2
x ()* x
−
11.
423
2
x1g x 12. x ()* x
x/* 24
43
3
++−
13. ( ) ( )22 2242 −+ x1"* x x 14.( )( )
( )22 cos
cos x
x ()* x − 15.
3 34 4$n 1 $n 3 x x− + +
16. ( ) x ()* x x) x−33 17. ( )2 x) ()* x)"'+1g −
18. ( ) x"'++o( x3
19. x+o( x) ()*x 33 2 20. ( ) ( ) ( )322
3
13
31
−+
x ()*x x
x1g x1g
21. ( )
x+o(/* x x
x1"* 333
23
−22. ( ) x()*x
x x ()*) x
22cos$n
12 −+
23. ( ) ( ) x x ()* x)"'+()* 3cos22 23+ 24. ( ) ( )2532 cos3costan x x x −25. ( ) ( )1314 24 −− x ()+ x x)
26. ( ) x+o1 ) x
"'+1"* x
++
145
22
27. ( ) ( ) x ()* x x/*
x1"* x
34
41
2 24
3
+−+28. ( ) ( ) x x x
x x/* 2
434
+−−
29. ( )
-
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GONZALES CHAVEZ , M"ximo g. - 8 - MATEMATICA II
∫ ∫ = 0== # "0x"x # )(1)( "x= =
1. ( )∫ 0x x 44 2. ( )∫ 0x x ()* 6 3. ( )∫ 0x x+o( 2 4. ( )∫ 0x x1"* 5
5. ( )0x x1"*∫ − 3 6. ( )0x x ()+∫ − 2 7. ∫ − 0x % x$ ()+ 22 8. ( )0x x+o(∫ 5
9. ∫ + 2251 x0x
10. ∫ + 24 x0x
11. ∫ + 2161 x0x
12. ∫ + 2169 x0x
13. ∫ − 291 x0x
14. ∫ − 29 x0x
15. ∫ − 249 x0x
16. ∫ −92 x x0x
17. ∫ −142 2 x x0x 18. ∫ −193 2 x x
0x 19. ∫ − 942 2 x x0x 20. ∫ − 9164 2 x x
0x
S stit ci n Si* $&
∫ ∫ −= 30==3=03
S stit ci n Tri"ono*,trica
222 +>" =+ - +>" =+ 22( ) +" ()* .=α
( ) +> .cos =α ( ) >" .tan =α
222 >+" −= - 22 >+" −=
%on%& ( ) x # = =
/or /art&s
r
c
b
a
= x =
2
tan
u
12+=
x?2
( ) = x ()* =
u
x 21 =−
( ) = x =tan
u1
2 += x
-
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GONZALES CHAVEZ , M"ximo g. - ! - MATEMATICA II
SUSTITU I N SI /L
21. ( ) x0x x 2142∫ + 22. ( ) ( )0x x x x 131 2
43 +−+∫ 23. ( ) ( )0x x x x 132 2323 −−∫
24. ( )∫ + 0x x x
42 1
225.
( )( )∫ −+
+43
2
1
13
x x
0x x26.
( )( )∫ −
−323
2
32
1
x x
0x x
27.( )
( )∫ + x ()*0x x31
3cos2 28.
( )( )∫ + x
0x x ()*5cos1
52 29. ∫ − 241
2 x
0x30. ∫ − 41
2 x
0x x
31.( )
( )∫ + x ()*0x x21
2cos2 32.
( )∫ −−
23
2
4
83
x x
0x x x33. ∫ −
−
− x x
)
0x)21
34. ∫ +142
x
x
)0x)
35. ∫ −142 2 x x0x
36.( ) ( )
( ) ( )∫ −15s&c5s&c5tan5s&c
2 x x
0x x x
37.( )
( ) ( )∫ −13tan3tan3s&c
2
2
x x
0x x38. ∫ −12 4 x x
0x
∫ ∫ =+ 0== # "0x>"x # )(1
)( - >"x= +=
39. ( ) 0x x∫ − 531 40. ( )0x x ()*∫ + 32 41. ( )0x x ()*∫ − 2342.
( )0x
x−∫ 37 43. 0x) x52 −
∫ 44. ( )0x x1"*∫ − 32
45. ( )0x x ()+∫ − 42 46. ∫ + 0x x )1(s&c 2 47. ( )0x x∫ + 3cos
48. ( )∫ −+ 219 x0x
49. ( )∫ −+ 2441 x0x
50. ( )∫ −+ 2249 x0x
51. ∫ ++ 232 x x0x
52. ∫ +− 432 x x0x
53. ∫ ++ 259 x x0x
54. ( )∫ +− 2141 x0x
55. ( )∫ −− 234 x0x
56. ( )∫ −− 2494 x0x
% [ ]∫ + 0x x ()* x )4(4 2% ( )s&n 4 13cos4 x x 0x−∫ 7% ( )s&n cos 4 x x 0x+∫ 8%
( )3
7 7s&n x x 0x−
∫ !% 71 4
7 x 0x
x
− − ÷− ∫
9% ( )3 6cos 5 x x 0x− +∫ :% ( )3 215 3 x x 0x−∫ ;% 33 22s&n
5 x x 0x− − ÷ ∫
-
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( )
( )[ ] −=+
−≠++=
+
1$n
11
1
*C x #
*C *
x # *
1. ( ) 0x x x 22
3 32∫ + 2. ( ) ( )0x x x x 3632 23
3 −−∫ 3. ( ) 0x x x ()* )cos(3
∫
4. ( ) 0x x x )tan(s&c2∫ 5. ( ) 0x x x )(tans&c 22∫ 6. ( )0x x x) x∫
22
7. ∫ +12 x x0x
8. ∫ −12 x x0x
9. ( )∫ + 32 1 x x0x
10. ( )∫ − 32 1 x x0x
11. ( )∫ ++
+13
322 x x
0x x12.
( )( )∫ ++
+32 13
32
x x
0x x13. ∫ +12 x
x0x14. ∫ −12 x
x0x
15.( )∫ −
− x x
0x x
2
222 16.
( )( )∫ x
0x x ()*3cos
17. ( )∫ x
0x x$n18. ( )∫ x x
0x
$n
I ) Int&"raci n +or +art&s∫ ∫ −= 30==3=03
1) x x s&n2 2) x x s&n3 3) x ()* x 23 4) x x 32 s&n
5) x x 23 cos 6) x x 32 cos 7) x) x 3 8) x) x 4
9) 23 x) x 10) x x $n2 11) x x $n3
12) x x $n2−
13) )( x ()*) x 14) )($n x ()* 15) )(s&c 3 x 16) )(s&c 2 x x
17) ( )0x x∫ arctan 18) ( )0x x x∫ arctan 19) ( )0x x x∫ arctan2
20) ( )0x x x"'+()*∫ 21) ( )0x x"'+()* x∫ 2 22) ( )0x x"'+()* x∫ − 2
23) ∫ + x
x0x
1 24)
( )
∫ 3$n
x
0x x
25) ( )
∫ x0x xarctan
∫ ′ 0x x # x # * )()(
-
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9)1
1
+ x x 10) 231
− x x 11) 11
2 + x x12)
x x x 2
12 +
13) 23 − x x 14) x−6 15) ( )( )142 ++ x x 16) ( )( ) x x −− 32
17)1− x
x18)
1
2
− x x
19)6
3
+ x x
20)8
4
− x x
21)12
2
− x x
22)12
2
+ x x
23) 2
3
4 x
x
− 24) 123
+ x x
25)14 3 + x
x26)
11
−+
x x
27)3 7
3−−
x x
28)4
3
47
−+
x x
29) 24 1
1
x x + 30) 44
2
24
++
x
x x31) ( ) 2222
3
x" x"
x
−−
32)1− x
x33)
11
2 +− x x
x34)
4
33
6 x
x x + 35)33
1
x x +
36) ( ) 2132 −+− x x 37) ( )2321 1 x x + 38) ( ) 211 1 x x +− 39) ( ) 31823 −− x x
40) ( )104 11
+ x x41)
1
12
2
+−++
x x x
x x42)
5
3
21
−−
x x
43) ( ) 21221 −++−− x x x 44) ( ) 31
423 −
+ x x 45)22
4322
23
+++++
x x
x x x
1) x3s&n 2) x4s&n 3) x ()* 5 4) x ()* 65) ( ) ( ) x x ()* 23 cos 6) ( ) ( ) x x ()* 24 cos 7) ( ) ( ) x x ()* 25 cos
8) ( ) ( ) x x ()* 26 cos 9) ( ) ( ) x x ()* 27 cos 10) ( ) ( ) x x ()* 38 cos
11) ( ) ( ) x x ()* 33
cos 12) ( ) ( ) x x ()* 34
cos 13) ( ) ( ) x x ()* 35
cos
14) ( ) x1"g 3 15) ( ) x1"g 4 16) ( ) x1"g 5 17) x x ()* 36 cos18) ( ) x1"g 6 19) ( ) x1"g 7 20) x3s&c 21) x4s&c22) x5s&c 23) x6s&c 24) ( ) x7s&c 25) ( ) x8s&c
26) ( ) ( ) x x 33 s&ctan 27) ( ) ( ) x x
34 s&ctan 28) ( ) ( ) x x 35 s&ctan
29) ( ) ( ) x x 43 s&ctan 30) ( ) ( ) x x
53 s&ctan 31) ( ) ( ) x x 63 s&ctan
-
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VIII%H"//"' /"( Fom=/"( o' R)+=')*+i" ) /"( (ig=i)*1)( I*1)g'"/)( $ m , * *=m)'o( )*1)'o( o(i1i3o( %
1. 0x x*
∫ sen
2. 0x x g *
∫ cot3. 0x) x x*∫
4. 0x x*∫ cos 5. 0x x*∫ sec 6. 0x x x *∫ ln 7. 0x x1"g *∫ 8.
0x x x *∫ sen 9. 0x x x *∫ cos
10. 0x x x m*∫ cossen 11. 0x x x1"g m*∫ sec
12. ( )∫ + * x0x
12 13. ( )∫ − * x0x
12
1) ( ) x ()*+11
2) ( ) xcos11
+ 3) ( ) x ()*−51
4) ( ) xcos231
+
5) ( ) x ()*231
+ 6) ( ) xcos21
− 7) ( ) x2cos41
− 8) ( ) x ()* 291
−
9) ( ) x ()* x ()*
+1)(
10) ( ) x x
cos4)cos(
+ 11) ( ) x ()* x ()*
+1)(2
12) ( ) x ()* x ()*
+1)(3
13)( )
( ) x ()* x
−9cos
14) ( ) x x ()*
cos1)(3
+15)
x x x
s&n2coss&n
++
16) x
x xcos23
coss&n+
−
17)
x
x
s&n5
2cos
−
−18)
x2
s&n2
1
+19)
x2
cos23
1
+20)
x2
s&n5
1
−
21) ( ) x x ()*
cos)(3 22)
x22 s&ncos21
+23)
x22 coss&n1
−24)
x x coss&n1+
25) x x s&nt"1
+ 26) x xt"34
s&c− 27) x
xcos2
s&n3
+28)
x2s&n21
−
29)
x
x2
2
cos1
s&n
+30)
( ) 2
cos1
1
x+31)
( ) x ()*
x4
5
1
)(cos
−32)
( )
( ) x ()*
x
+1
csc
-
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33) x x
t"1t"1
−+
34) ( ) ( ) x x coscot1+ 35) x x 22 t"s&n
1+ 36)
( )( ) x
xcos1
s&c+
37) x x
x22 s&ncos
s&n−
38) x x coss&n1
1++ 39) x
x x2coss&ns&n 3+
40) x x
x44 s&ncos
2cos
+ 41) ( ) ( ) x>">" cos1
2222 −−+
42) x x x x
cos3s&n2cos2s&n3
++
43) x x x x 22 coscoss&ns&n
1−+
UTILIZAR m"(B DE UN METODOS DE INTEGRACION$(i )( o(i>/)%
1) 0x x
x x∫ +++4
42
2
2) ∫ +− 12 x x ))0x
3) ∫ )cos()( x x ()*0x
4) ∫ + x x 0x
3
3
412 5) ∫ + )(cos2)( 22 x x ()*
0x6) ∫ − 45 6 x
0x
7) ∫ − 62
1 x0x x
8) 1 x
0x x
+∫ 9) 22 2 x
0x x +
∫ 10)2
2
4 x0x
x−∫
11) ∫ −+−
0x x x
x43
722 12) ∫ +−
+0x
x x x
13643
2 13) 2 2
3
1( ) x 0x
x+∫
14) ( )∫ 0x x x 2arctan 15) ( )0x x∫ + 4$n 2 16) x x 3s&n4cos 3∫
17)3t" x 0x∫ 18) ∫ + 0x x x1arcs&n 19) 1 42( ) x x 0x− +∫
20) ( ) ( ) =−+
+∫ 0x x x x
1312
21) ∫ − 0x x x
1arcs&n
22) 0x x x
x∫
−+
44
$n
23) ( ) 624 3
x0x
x
−+∫
24) ∫ −− x x
)
0x)21
25) ( )0x x x∫ + 4$n 2
-
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AREA. S)" #$x% =*" #=*+i * +o*1i*=" !"#$%$&a )* 4",>6,() )#i*) )/ A')" ) /" R)gi *>" o /" g'"#i+" ) #$x%
LONGITUD DE ARCO.S)" #$x% =*" #=*+i * +o*1i*=" )* 4",>6 )'i3">/) )* $",>%, () )#i*) /" /o*gi1=
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VOLUMEN %S gi'"mo( /" R)gi * >" o /" g'"#i+"
) #$x%"/') ) o' )/ E E , () o>1i)*) =* So/i o, //"m" o (o/i o ) R)3o/=+i *
2% S gi'"mo( /" R)gi * >" o /" g'"#i+" ) #$x% "/') ) o' )/ E E , () o>1i)*) =* (o/i o ) R)3o/=+i *
7%CENTROIDE E/ +)*1'oi ) ) /" ')gio* ( )00 D xC = #$x%
∫ =>
"
0x x # A )(
%#'!(#)1 L :
a
2∫ +=
-#$x%
'" io
'( ) x a b
∫ =>
"
0 x # V )(2π
a b x
#$x%
a b
'" io
#$x%
x
a b
'" i
o
J
x∫
∫ = >
"
>
"
0x x #
0x x # D
)(2
)(2
0
∫ ∫
= >
"
>
"
0x x #
0x x x# x
)(
)(
0
∫ =>
"
0x % x$ x# V π 2
-
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I. U1i/iK"* o I*1)g'"/)( , "//"'
II.U1i/iK"* o I*1)g'"/)( , "//"'
;1 2
III. E* /" #ig='" "//"'
V. E* /" #ig='" "//"'
> % A# E/ A')" ) /" R)gi * Som>')" "
+ %V # E/ VOLUMEN )/ SOLIDO o>1)*i o
"/ GIRAR /" R)gi * Som>')" " A/') ) o' )
i% 0 i3% 0
" % P e E/ P)' m)1'o ) /" R)gi * Som>')" "
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+ %V # E/ VOLUMEN )/ SOLIDO o>1)*i o
"/ GIRAR /" R)gi * Som>')" " "/') ) o' ) i% 0 i3% 0
" % P e E/ P)' m)1'o ) /" R)gi * Som>')" "
> %V E/ VOLUMEN )/ SOLIDO o>1)*i o"/ GIRAR /" R)gi * Som>')" "
"/') ) o' )
i% 0 i3% 0
"% A # E/ A')" ) /" R)gi * Som>')" "
#$x% 2x
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-
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GONZALES CHAVEZ , M"ximo g. - 8 - MATEMATICA II
V% H"//"' )/ á')" ) /" ')gi * (om>')" " ) o( #o'm"( i#)')*1)(
∫ =>
"
0x % x$ # % R$ A ∫ =0
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0D % D$ g % R$ A
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% RECTANGULO
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2
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3
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-
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3) $ rit*o %& cr&ci*i&nto 01 0P %& na +o:$acion %& :act&rias &s +ro+orciona$
a $a raiE c a%ra%a %& t %on%& / &s &$ ta*a=o %& $a +o:$acion > t &$ ti&*+o &n%ias (0≤ t≤ 12). sto &s 1 N 01
0P = . $ ta*a=o %& $a +o:$acion &s 500 $ &"o %& n
%ia &s 600. sti*ar $a +o:$acion a $os 7 %ias4) Un a
-
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11)La a+ro#i*acion "a ssiana +or c a%rat ra %& %os + ntos %& na ' ncion
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+
−≈∫
− 31
311
1
# # 0x % x$ #
Usar &sta 'or* $a +ara a+ro#i*ar ∫ − +1
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0x > ?a$$ar &$ &rror %& a+ro#i*acion
12)Ar i*&%&s %&*ostro & &$ ar&a %& n arco +ara:o$ico &s i" a$ a 2 3 %&$ +ro% cto %& $a :as& +or $aa$t ra. o*o in%ica $a 'i" raa) Di: a &$ arco +ara:o$ico $i*ita%o +or 216 x D −= > &$& & O. a$c $ar &$ Fr&a san%o int&"ra$&s > s&"Gn $a'or* $a %& ar i*&%&s. BC & + &%& %&cir
:) Di: a &$ arco +ara:o$ico $i*ita%o +or 28 x D −= > &$ & & O. a$c $ar &$ Fr&asan%o int&"ra$&s > s&"Gn $a 'or* $a %& ar i*&%&s. BC & + &%& %&cir
13) Unas
-
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( ) ( ) x # x F x F 0x x # >">
"
=′⇔=∫ )()(
HALLAR EL AREA DE LA REGION LIMITADA POR LA GRAFICA DE #$x% EL E E , DESDE x " , "(1" x >
1. ∫ π 2
0
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4
2 0x x 3. ∫ −
=−6
2
2 4 0x x
4. [ ]∫ −
=+3
2
2 0x x 5. ( )∫ −
=+4
2
2 0x x 6. [ ]( )∫ −
+−3
2
1 0x x x
7. ∫ =2
0
4 s&ncos
π
x0x x 8. ∫ −
− =−1
1
12 )916( 0x x 9. ( )∫ =− −7
3
11 0x x
10. =+
∫ − 49
2
10
7 x
0x11. ∫ =+
5
1
2
3
2 )1
( 0x
x
x 12. =−
∫ −
0x
x
x6
21
1 5
13. ( )∫ =−5
2
1 $n 0x x x 14. ∫ =9
3
0x x x) 15. ∫ =4
8
cscπ
π
x0x
16. ∫ =π
0
0x x()*x 17. ∫ −
=+
0
32 22
0x x
x18. ∫ =+
16
4
10x
x x
19.D&*ostrar & $a $on"it % %& na circ n'&r&ncia %&ra%io R &s
20.D&*ostrar & &$ Ar&a %& n circ $o %& ra%io R &s21.D&*ostrar & &$ o$ *&n %& na &s'&ra %& &s ..22.D&*ostrar & &$ o$ *&n %& n cono %& &s23.D&*ostrar & &$ o$ *&n %&$tronco %& cono %& &s24.D&*ostrar & &$ o$ *&n %& n s&"*&nto &s'&rico
%& &s
-
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I% AVERIGUAR SI LAS SIGUIENTES INTEGRALESCONVERGEN DIVERGEN
1) ∫ −
∞−+
2
)2( 0x x 2) ∫ ∞
+6
)2( 0x x 3) ∫ −
+7
2
)2( 0x x 4) ∫ ∞
+6
3 )2( 0x x
5) 0x x
∫ 1
0
1 6) 0x x∫ ∞
1
17) 0x
x∫ −1
1
1 8) 0x x∫ ∞
∞−
1
9) 0x x∫ 1
02
1 10) 0x x∫ ∞
12
111) 0x
x∫ −1
12
1 12) 0x x∫ ∞
∞−2
1
13) 0x x∫ 1
03
1 14) 0x x∫ ∞
13
115) 0x
x∫ −1
13
1 16) 0x x∫ ∞
∞−3
1
17) ∫ 1
0
x
0x 18) ∫ ∞
1 x
0x19) ∫
−
1
1
x
0x 20) ∫ ∞
∞− x
0x
21) ∫ − +9
12 4 x0x
22) ∫ ∞− +0
2 4 x0x 23) ∫
∞
+2 2 4 x0x
24) ∫ ∞
∞− + 42 x0x
II%C="/ ) /"( Sig=i)*1)( I*1)g'"/)( Co*3)'g)* Di3)'g
1) ∫ ∞
∞− x0xs&n 2) ∫ −
π
π
2
0x+1gx 3) ∫ −π
π
2
0x x ()+ 4) ∫ ∞
∞− 0x x2
s&n
5)2
21
s&n 0x x
∞∫ 6) ∫ ∞
+0 5 1 x x0x
7) ∫ ∞
+0 2 1t"
x x0x"'
8) ∫ −2
0 2
5
4 x
0x x
9) ∫ ∞
+2 3 4 x0x
10) ( )
∫ ∞ +1
1$n x
0x x 11) ∫ ∞ −
12
2
x0x) x 12) ∫
∞
+0 3 1t"
x
x0x x"'
13) 0x x∫ ∞
−1
2cos1 14) ∫
∞
−0 t" x x0x
15) ∫ ∞
+0 x) x0x 16) 0x) x∫
∞ −0
2
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( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )∫ ∫
∫ ∫
+−=
+−=
−−+−−=
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π
π
π π
π
π π
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02
0
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2
11
11
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()*x x01
1 +o(1 ()*1
01 1 +o(1 ()*1
x+o( x()*x
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π
02
02 121
0x+o(
()*x
x+o(
x()*x
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So/=+io*i% L" /o*gi1=
( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ++=++=++=
′++= −
1
0
32
31
1
032
321
0
321
0
232 49
31
2949
294
12
12
0x x x
0x x
x0x x0x x L ? ? ?
? ? ? π π π π
7% E* /" #ig='" /" ')gi * (om>')" " )(1" /imi1" " o' /"( +='3"(222 D D x −+= @ 422 −−= D D x @ " @ "5
H"//"' i%E/ "')" máxim" ) /" ')gi *
ii%E/ "')" mi*im" ) /" ')gi *
So/=+io*% EL AREA LIMITADA ES
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422221
22 ," ,""
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"
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A
-
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π
π
π
π
π
π
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0x ()*x
x
0x ()*x
x
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x
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4
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"
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π π
π
π
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π π
π π
π π
22
2
iii% ( ) +∞=−== −∫ − −−→→
π
π
π
π
π π
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0x ()*x/im/im
"
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3
23
23
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""+−
→→
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2% H"//"' )/ ')" ) /" ')gi * /imi1" " o' /"( g'á#i+"( x DFC −−= 51 , 632 −= x DFC @ 43
63 −−= x DFC @ 03 = DFC
So/=+io*% EL AREA LIMITADA ES
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65
2
0
0
181
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x A.
=−+
+−−−−= ∫ ∫ −
7% E* /" #ig='", "//"' )/ 3"/o' ) "B, "'" =) i% E/ ')" ) /"( ')gio*)(
(om>')" "( ()"* ig="/)(
So/=+io*# "
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2+= x D
# "57
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31
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375051179
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3
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# "
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1+= x D
# "52
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x x
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x0x +−
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x x0x
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x0x
++−
=−∫ 11
$n21
12
∫ += +" L*"
0x" x
x
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x
x
x
0x ++
=+∫ 2232 11