MAT 475 Tópicos em Matemática Aplicada
Transcript of MAT 475 Tópicos em Matemática Aplicada
MAT 475
Topicos em Matematica Aplicada
Lana M. R. dos Santos
Departamento de MatematicaUniversidade Federal de Vicosa
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Uma desvantagem de usar relaxacoes para obter limitantes e que
somente uma solucao otima do problema relaxado garante um
limitante dual para o valor otimo do problema original.
A dualidade elimina esta dificuldade pois como sera demonstrado,
toda solucao factıvel do problema dual e um limitante para o
problema primal.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
A todo problema de programacao linear esta associado um outro
problema tambem de programacao linear. Esse par de PPL’s sao
chamados de problemas primal e dual.
Se um PPL e de minimizacao, o outro e de maximizacao;
O vetor de custos c de um problema e o vetor de recursos b do outro
e vice-versa;
As restricoes de um problema estao relacionadas com as variaveis do
outro.
A dualidade estuda a relacao entre problemas.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Problema primal
zL = min cTx
s.a. Ax = b
x ≥ 0
Problema dual
zD = max bT y
s.a. AT y ≤ cy livre
x variaveis primais
y variaveis duais
Ax = b restricoes primais
AT y ≤ c restricoes duais
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Alguns resultados importantes:
Em um problema de minimizacao, uma solucao factıvel para o
problema primal e um limitante superior para o problema dual e uma
solucao factıvel para o problema dual e um limitante inferior para o
problema primal;
(Teorema da Dualidade Fraca)
Se um PPL tem solucao otima, o outro tambem tem e ambos tem
mesmo valor otimo (Teorema da Dualidade Forte);
Se um PPL e ilimitado, o outro e infactıvel;
Se um PPL e infactıvel, o outro e ou ilimitado ou infactıvel;
O dual do dual e o primal.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade. Exemplo 1
Problema primal
min 15x1 + 12x2 + x3
s.a. x1 + 2x2 + x3 = 3
2x1 − 4x2 = 5
x1, x2, x3 ≥ 0
Problema dual
max 3y1 + 5y2
s.a. 1y1 + 2y2 ≤ 15
2y1 − 4y2 ≤ 12
y1 ≤ 1
y1, y2 ∈ R
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade. Exemplo 2
Problema primal
min 15x1 + 12x2
s.a. x1 + 2x2 ≥ 3
2x1 − 4x2 ≤ 5
x1, x2 ≥ 0
PPL na forma padr~ao
min 15x1 + 12x2 + 0x3 + 0x4
s.a. x1 + 2x2 − x3 + 0x4 = 3
→ y1
2x1 − 4x2 + 0x3 + x4 = 5
→ y2
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Problema dual
max 3y1 + 5y2
s.a. 1y1 + 2y2 ≤ 15
2y1 − 4y2 ≤ 12
−1y1 + 0y2 ≤ 0
0y1 + 1y2 ≤ 0
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade. Exemplo 2
Problema primal
min 15x1 + 12x2
s.a. x1 + 2x2 ≥ 3
2x1 − 4x2 ≤ 5
x1, x2 ≥ 0
PPL na forma padr~ao
min 15x1 + 12x2 + 0x3 + 0x4
s.a. x1 + 2x2 − x3 + 0x4 = 3
→ y1
2x1 − 4x2 + 0x3 + x4 = 5
→ y2
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Problema dual
max 3y1 + 5y2
s.a. 1y1 + 2y2 ≤ 15
2y1 − 4y2 ≤ 12
−1y1 + 0y2 ≤ 0
0y1 + 1y2 ≤ 0
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade. Exemplo 2
Problema primal
min 15x1 + 12x2
s.a. x1 + 2x2 ≥ 3
2x1 − 4x2 ≤ 5
x1, x2 ≥ 0
PPL na forma padr~ao
min 15x1 + 12x2 + 0x3 + 0x4
s.a. x1 + 2x2 − x3 + 0x4 = 3→ y1
2x1 − 4x2 + 0x3 + x4 = 5→ y2
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Problema dual
max 3y1 + 5y2
s.a. 1y1 + 2y2 ≤ 15
2y1 − 4y2 ≤ 12
−1y1 + 0y2 ≤ 0
0y1 + 1y2 ≤ 0
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade. Exemplo 3
Problema primal
max 5x1 + 12x2 + 4x3
s.a. x1 + 2x2 + x3 ≤ 10
2x1 − x2 + 3x3 = 8
x1, x2, x3 ≥ 0
PPL na forma padr~ao
min −5x1 − 12x2 − 4x3 + 0x4
s.a. x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10
→ y1
2x1 − x2 + 3x3 = 8
→ y2
x1, x2, x3 ≥ 0
Problema dual
min 10y1 + 8y2
s.a. 1y1 + 2y2 ≥ 5
2y1 − y2 ≥ 12
1y1 + 3y2 ≥ 4
y1 ≥ 0, y2 ∈ R
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade. Exemplo 3
Problema primal
max 5x1 + 12x2 + 4x3
s.a. x1 + 2x2 + x3 ≤ 10
2x1 − x2 + 3x3 = 8
x1, x2, x3 ≥ 0
PPL na forma padr~ao
min −5x1 − 12x2 − 4x3 + 0x4
s.a. x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10
→ y1
2x1 − x2 + 3x3 = 8
→ y2
x1, x2, x3 ≥ 0
Problema dual
min 10y1 + 8y2
s.a. 1y1 + 2y2 ≥ 5
2y1 − y2 ≥ 12
1y1 + 3y2 ≥ 4
y1 ≥ 0, y2 ∈ R
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade. Exemplo 3
Problema primal
max 5x1 + 12x2 + 4x3
s.a. x1 + 2x2 + x3 ≤ 10
2x1 − x2 + 3x3 = 8
x1, x2, x3 ≥ 0
PPL na forma padr~ao
min −5x1 − 12x2 − 4x3 + 0x4
s.a. x1 + 2x2 + x3 + x4 = 10→ y1
2x1 − x2 + 3x3 = 8→ y2
x1, x2, x3 ≥ 0
Problema dual
min 10y1 + 8y2
s.a. 1y1 + 2y2 ≥ 5
2y1 − y2 ≥ 12
1y1 + 3y2 ≥ 4
y1 ≥ 0, y2 ∈ R
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Sejam os seguintes PPLs:
Problema primal (P)
zL = max cTx
s.a. Ax ≤ bx ≥ 0
Problema dual (D)
zD = min bT y
s.a. AT y ≥ cy ≥ 0
Exercıcios:
Mostre que os PPLs sao problemas primal e dual.
Escreva o dual do problema (D) para verificar que o dual do dual e o
primal.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Tabela: Regras para a construcao do dual
Primal(dual) Dual(primal)
Minimizacao Maximizacao
Vetor de recursos b Vetor de custos c
Vetor de custos c Vetor de recursos b
Restricao Variavel
= livre
≤ ≤≥ ≥
Variavel Restricao
livre =
≤ ≥≥ ≤
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Problema primal
zL = min cTx
s.a. Ax = b
x ≥ 0
Problema dual
zD = max bT y
s.a. AT y ≤ cy livre
Teorema (Dualidade Fraca)
Se x e uma solucao factıvel para o problema primal e y uma solucao
factıvel para o problema dual, entao bT y ≤ cTx.
Demonstracao.
Como x e factıvel, Ax = b e x ≥ 0. Como y e factıvel, AT y ≤ c.Portanto, bT y = (Ax)T y = xTAT y ≤ xT c = cTx.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade. Propriedades
Corolario (1)
(i) Se o problema primal e ilimitado, entao o dual e infactıvel;
(ii) Se o problema dual e ilimitado, entao o primal e infactıvel.
Demonstracao.
(i) Suponha que o problema dual tenha uma solucao factıvel y. Pelo
Teorema da Dualidade Fraca, bT y ≤ cTx para todo x factıvel. Por
outro lado, como o primal e ilimitado, existe x factıvel tal que
cT x < bT y, o que gera uma contradicao.
(ii) (similar)
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
O Corolario 1 pressupoe que um dos problema e factıvel (ainda que
ilimitado).
Mas se um problema e infactıvel, o que podemos afirmar sobre o
outro? – Pode ser ilimitado ou infactıvel!
Exemplo de ambos os problemas primal e dual infactıveis:
min x1 + 2x2
s.a. x1 + x2 = 1
2x1 + 2x2 = 3
x1, x2 ≥ 0
max y1 + 3y2
s.a. y1 + 2y2 = 1
y1 + 2y2 = 2
y1, y2 ∈ R
Exemplo de primal infactıvel e dual ilimitado:
min x1 + x2
s.a. −x1 + x2 ≥ 1
x1 − 2x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0
max y1 + y2
s.a. −y1 + y2 ≤ 1
y1 − 2y2 ≤ 1
y1, y2 ≥ 0
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade. Propriedades
Corolario (2)
Sejam x e y solucoes factıveis dos problemas primal e dual,
respectivamente, tais que bT y = cT x. Entao, x e y sao solucoes otimas
dos problemas primal e dual, respectivamente.
Demonstracao.
Pelo Teorema da Dualidade Fraca, temos bT y ≤ cTx para todo x primal
factıvel e para todo y dual factıvel. Por hipotese, cT x = bT y. Desta
forma, cT x = bT y ≤ cTx, para todo x factıvel primal e
bT y ≤ cT x = bT y, para todo y factıvel dual. Portanto, x e solucao otima
do problema primal e y e solucao otima do problema dual.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade. Propriedades
Sejam P = {x ∈ Rn+ : Ax = b} e D = {y ∈ Rm : AT y ≤ c}.
Corolario (3)
O problema primal tem solucao otima se e somente se o dual tiver
solucao otima.
Demonstracao.
Suponha que o primal tem solucao otima. Portanto, P 6= ∅. Do corolario
1, segue que D 6= ∅. Como P 6= ∅ e D 6= ∅, do corolario 2, tem-se que o
dual nao e ilimitado. Portanto, tem solucao otima (a unica possibilidade
que resta dado que nao e infactıvel ou ilimitado). De forma analoga,
mostra-se que se o problema dual tem solucao otima, entao o problema
primal tem solucao otima.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade. Resumo das relacoes primal–dual
Primal
Factıvel Infactıvel
existe
otimo dual
dual
infactıvel
dual factıvel
nao existe otimo
existe otimo nao existe otimo
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Sejam P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} e D = {y ∈ Rm : AT y ≤ c} as
regioes factıveis dos problemas primal e dual, respectivamente.
Teorema (Teorema da Dualidade Forte)
As solucoes x ∈ P e y ∈ D sao otimas, primal e dual respectivamente,
se, e somente se, cT x = bT y.
. A demonstracao pode ser encontrada em:
Marcos Arenales et al. Pesquisa Operacional: para cursos de engenharia.
Elsevier, 2007
Nelson Maculan e Marcia HC Fampa. Otimizacao Linear. UFRJ. 2004.
url: https://linux.ime.usp.br/~felipecp/50861875-livropdf-
Otimizacao-Linear-Maculan-Fampa.pdf
Marılia Pires. Programacao Matematica. Universidade do Algarve. 2006.
url: http://w3.ualg.pt/~mpires/PMtexto.pdf
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Sejam P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} e D = {y ∈ Rm : AT y ≤ c} as
regioes factıveis dos problemas primal e dual.
AT y ≤ c ⇔
aT1 y ≤ c1aT2 y ≤ c2
...
aTny ≤ cn
⇔
aT1 y + µ1 = c1, µ1 ≥ 0
aT2 y + µ2 = c2, µ2 ≥ 0...
aTny + µn = cn, µn ≥ 0
⇔
µ1 = c1 − yTa1 ≥ 0
µ2 = c2 − yTa2 ≥ 0...
µn = cn − yTan ≥ 0
em que µ e o vetor das variaveis
de folga do problema dual.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Para todo x primal factıvel e para todo y dual factıvel (µ ≥ 0), temos
que yi(aix− bi) ≥ 0, i = 1, . . . ,m, em que ai e a linha i da matriz A, e
(cj − yTaj)xj ≥ 0, j = 1, . . . , n, em que aj e a coluna j da matriz A.
Alem disto,
m∑i=1
yi(aix− bi) +
n∑j=1
(cj − yTaj)xj =
m∑i=1
yiaix−
m∑i=1
yibi +
n∑j=1
cjxj −n∑
j=1
yTajxj =
yTAx−m∑i=1
yibi +
n∑j=1
cjxj − yTAx =
cTx− bT y
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Suponha x ∈ P e y ∈ D (portanto, µ ≥ 0)
cTx = yT b = yTAx⇔ (cT − yTA)x = 0⇔n∑
j=1
(cj − yTaj)xj = 0⇔
µ1x1 + mu2x2 + . . .+munxn = 0.
Como µj , xj ≥ 0, j = 1, . . . , n, tem-se que:
µ1x1 = 0, µ2x2 = 0, . . . , µnxn = 0 (Folgas complementares)
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Teorema (Teorema das Folgas Complementares)
Sejam x e y solucoes factıveis dos problemas primal e dual,
respectivamente. As solucoes x e y sao otimas, primal e dual, se, e
somente se:
(i) yi(aix− bi) = 0, i = 1, . . . ,m
(ii) (cj − yTaj)xj = 0, j = 1, . . . , n
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
(⇐) Se yi(aix− bi) = 0, i = 1, . . . ,m e
(cj − yTaj)xj = 0, j = 1, . . . , n, entao
m∑i=1
yi(aix− bi) +
n∑j=1
(cj − yTaj)xj = 0
Portanto, cTx− bT y = 0. Como x e factıvel primal e y factıvel dual, pelo
corolario 2, o vetor x e otimo primal e o vetor y e otimo dual.
(⇒) Se x e otimo primal e y e otimo dual, pelo Teorema de Dualidade
Forte, temos que cTx− bT y = 0. Como x e factıvel primal e y factıvel
dual, temos que:
yi(aix− bi) = 0, i = 1, . . . ,m e (cj − yTaj)xj = 0, j = 1, . . . , n
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade. Exemplo
Seja o problema primal cuja solucao otima e x∗1 = 35, x∗2 = 200 e z∗ = 235.
z = min x1 + x2 + x3
s.a. 2x1 + x2 = 270
2x2 + 3x3 = 400
x1, x2, x3 ≥ 0
Pelo Teorema das Folgas Complementares, tem-se que as variaveis de
folga do problema dual sao µ1 = µ2 = 0, o que gera o problema dual:
zD = max 270y1 + 400y2
s.a. 2y1 = 1
y1 + 2y2 = 1
3y2 ≤ 1
Portanto, a solucao otima do problema dual e y1 = 1/2, y2 = 1/4 e
zD = 270(1/2) + 400(1/4) = 235, como era de se esperar.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
A teoria de dualidade tem suas raızes nos trabalhos de Lagrange;
A otimizacao de uma funcao restrita a um domınio e tratada como a
otimizacao de uma funcao irrestrita penalizada.
Na Relaxac~ao Lagrangiana relaxa-se um conjunto de restricoes
para a funcao objetivo, multiplicando-as por fatores de penalizacao
(multiplicadores de Lagrange) que tornam pouco atraentes as
solucoes que violam as restricoes relaxadas.
Pz = min cx
s.a Ax = b
x ∈ X
L(u) [Problema Lagrangiano]
z(u) = minx∈X{cx+ u(b−Ax)}
u ∈ Rm [multiplicadores de Lagrange]
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Suponha que o seguinte problema P tenha solucao otima x∗
z = min cTx
s.a. Ax = b
x ≥ 0
Dado um vetor u ∈ Rm, seja o problema Lagrangiano L(u):
z(u) = minx≥0{cTx+ uT (b−Ax)}
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Quest~ao: Sera que existe um vetor (multiplicador de lagrange) u∗ ∈ Rm
tal que o Problema Lagrangiano L(u∗) tenha valor otimo igual ao valor
otimo de P? isto e, tal que
z = z(u∗) = minx≥0{cTx+ (u∗)
T(b−Ax)}
. O melhor limitante dual que se pode obter com um problema
lagrangiano e o valor otimo do problema nomeado Problema Dual
(Lagrangiano). Neste caso:
zD = maxu∈Rm
{z(u)}
= maxu∈Rm
{minx≥0{cTx+ uT (b−Ax)}}
. A questao entao e determinar se existe u∗ ∈ Rm tal que zD = z.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Quest~ao: Sera que existe um vetor (multiplicador de lagrange) u∗ ∈ Rm
tal que o Problema Lagrangiano L(u∗) tenha valor otimo igual ao valor
otimo de P? isto e, tal que
z = z(u∗) = minx≥0{cTx+ (u∗)
T(b−Ax)}
. O melhor limitante dual que se pode obter com um problema
lagrangiano e o valor otimo do problema nomeado Problema Dual
(Lagrangiano). Neste caso:
zD = maxu∈Rm
{z(u)}
= maxu∈Rm
{minx≥0{cTx+ uT (b−Ax)}}
. A questao entao e determinar se existe u∗ ∈ Rm tal que zD = z.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Dado um vetor arbitrario u ∈ Rm, seja
z = minx≥0{cTx : Ax = b}
= minx≥0{cTx+ uT (b−Ax) : Ax = b}
≥ minx≥0{cTx+ uT (b−Ax)} = z(u)
Portanto, para qualquer u ∈ Rm, z(u) ≤ z.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
z(u) = minx≥0{cTx+ uT (b−Ax)}
= minx≥0{uT b+ (cT − uTA)x}
= uT b+minx≥0{(cT − uTA)x}
= uT b+minx≥0
n∑
j=1
(cj − uTaj)xj
(∗)= uT b+
n∑
j=1
minxj≥0
(cj − uTaj)xj
(*) A decomposicao na soma de n subproblemas foi possıvel pois as
variaveis xj , j = 1, . . . , n sao independentes entre si.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Como para cada j = 1, . . . , n, a unica restricao do problema
z(u)j = minxj≥0{(cj − uTaj)xj} e xj > 0, temos que:
Se cj − uTaj < 0, z(u)j → −∞ (xj →∞)
Se cj − uTaj ≥ 0, z(u)j = 0 (xj = 0)
Portanto, para cada j = 1, . . . , n:
minxj≥0{(cj − uTaj)xj} =
−∞, se (cj − uTaj)xj < 0 (xj →∞)
0, caso contrario (xj = 0)
Como estamos buscando o limitante maximo, devemos evitar que
z(u)j → −∞. Para isto, devemos impor que:
cj − uTaj ≥ 0, para j = 1, . . . , n
.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Logo, para todo u ∈ Rm tal que cj − uTaj ≥ 0, j = 1, . . . , n, temos que:
z(u) = uT b+
n∑
j=1
minxj≥0{(cj − uTaj)xj : cj − uTaj ≥ 0}
= uT b+
n∑
j=1
0
= uT b
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Dualidade
Para todo u ∈ Rm tal que cj − uTaj ≥ 0, j = 1, . . . , n, temos que:
cj − uTaj ≥ 0, j = 1, . . . , n⇔ aTj u ≥ cj , j = 1, . . . , n⇔ ATu ≤ c.
Portanto,
zD = maxu∈Rm
{z(u)}
= maxu∈Rm
{z(u) : ATu ≤ c}
= maxu∈Rm
{uT b : ATu ≤ c} (Problema Dual)
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
PI: Dualidade. Dualidade em Programacao Inteira
Seja o Problema de Programacao Inteira P:
z = max{cx : x ∈ X}, em que X = {x ∈ Zn+ : Ax ≤ b}
.
Definicao (Dualidade Fraca)
Um problema dual fraco do problema de programacao inteira (P) e
qualquer problema de minimizacao (DP) zD = min{ub : u ∈ PD}, em
que PD = {u ∈ Rm+ : uA ≥ c}.
Proposicao
Se DP e factıvel entao z ≤ zD. Se DP e ilimitado, entao P e infactıvel.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
PI: Dualidade
Um problema dual (fraco) e facil de construir. Por exemplo, um
problema dual (fraco) de um problema de programacao inteira P e o
problema dual da relaxacao linear de P.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
PI: Dualidade
De maneira geral:
Proposicao
Se um problema DP e um problema dual para uma relaxacao de um
problema de programacao inteira P, entao DP e tambem um problema
dual para P.
Demonstracao.
Seja zDR = min{zDR(u) : u ∈ XDR} um problema dual para o problema
RP, uma relaxacao do problema de programacao inteira P. Entao
zR(x) ≤ zDR(u), ∀x ∈ XR e ∀u ∈ XDR.
Pela definicao de relaxacao, cx ≤ zR(x), ∀x ∈ X ⊂ XR. Portanto,
cx ≤ zDR(u), ∀x ∈ XR e ∀u ∈ XDR.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
PI: Dualidade
Definicao (Dualidade Forte)
Um problema dual forte de um problema de programacao inteira P e
qualquer problema dual fraco que tambem satisfaca:
Se X 6= ∅ e z e limitado, entao (x∗, u∗) ∈ X ×XD e tal que
zD(u∗) = cx∗.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Desigualdades Validas
Um problema de Programacao Inteira P e facil de resolver se a
regiao das solucoes factıveis da relaxacao linear tiver todos os pontos
extremos inteiros. Nesse caso, ao resolver a relaxacao linear de Pobtem-se a solucao otima de P.
Quanto mais a regiao das solucoes factıveis da relaxacao linear se
aproximar da envoltoria convexa da regiao das solucoes factıveis de
P, melhor e a qualidade do limitante dual obtido com a relaxacao
linear do modelo e, usualmente, mais facil de se provar a otimalidade
em algoritmos do tipo branch–and–bound
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Desigualdades validas
Metodos de planos de corte visam obter uma aproximacao da
envoltoria convexa da regiao factıvel de um problema de
programacao inteira.
Usualmente busca-se por desigualdades validas que violem a solucao
otima corrente do problema relaxado.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Desigualdades validas
Metodos de planos de corte visam obter uma aproximacao da
envoltoria convexa da regiao factıvel de um problema de
programacao inteira.
Usualmente busca-se por desigualdades validas que violem a solucao
otima corrente do problema relaxado.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Desigualdades validas
Definicao (Desigualdade Valida)
Uma desigualdade πx ≤ πo, denotada por (π, πo) e uma desigualdade
valida para X ⊂ Rn se πx ≤ π0 para todo x ∈ X.
πx = πo
X
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Desigualdades validas
Uma desigualdade e valida para um PPI se ela e satisfeita para todas
solucoes factıveis (inteiras) do modelo.
Portanto, em particular, se X = {x : Ax ≤ b, x ∈ Zn+} e
conv(X) = {x : Ax ≤ b, x ≥ 0}, aix ≤ bi e aix ≤ bi sao desigualdades
validas para X e para conv(X).
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Desigualdades validas. Exemplo 1
(P)max 3x1 + 14x2 + 18x3
s.a 3x1 + 5x2 + 6x3 ≤ 10
x1, x2, x3 ∈ {0, 1}
solucao inteira: x∗1 = 1, x∗2 = 0, x∗3 = 1, z∗ = 21
solucao do problema relaxado: x1 = 0, x2 = 0.8, x3 = 1, z∗ = 29.2
Ao inserir a restricao x2 + x3 ≤ 1 no modelo, a solucao
x = (0, 0.8, 1) torna-se infactıvel.
A solucao do problema relaxado com a restricao adicional e:
x∗1 = 1, x∗2 = 0, x∗3 = 1, z∗ = 21, que e a solucao otima de P.
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Desigualdades validas. Exemplo 2
Seja X = {(x, y) : x ≤ 10y, 0 ≤ x ≤ 5, y ∈ {0, 1}} a regiao factıvel de
um problema inteiro misto.
Entao, uma desigualdade valida para o problema e: x ≤ 5y.
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
x = 10y
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Desigualdades validas. Exemplo 2
Seja X = {(x, y) : x ≤ 10y, 0 ≤ x ≤ 5, y ∈ {0, 1}} a regiao factıvel de
um problema inteiro misto.
Entao, uma desigualdade valida para o problema e: x ≤ 5y.
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
x = 10yx = 5y
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Desigualdades validas
Problema de Localizacao de Facilidades Capacitado
minm∑i=1
n∑j=1
cijxij +
n∑j=1
fjyj
s.an∑
j=1
xij = ai, i = 1, . . . ,m
m∑i=1
xij ≤ bjyj , j = 1, . . . , n
xij ≥ 0, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
yj ∈ {0, 1}, j = 1, . . . , n.
Como para todas as solucoes factıveis temos que xij ≤ bjyj e xij ≤ ai,uma desigualdade valida para o problema e: xij ≤ min{ai, bj}
MAT 475 - Topicos em Matematica Aplicada (Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 24: Dualidade
Desigualdades validas. Arredondamento de variaveis inteiras
Seja X = {x ∈ Z4+ : 13x1 + 20x2 + 11x3 + 6x4 ≥ 72}.
Dividindo a restricao por 11, obtemos:13
11x1 +
20
11x2 + x3 +
6
11x4 ≥
72
11.
Mas⌈13
11
⌉x1 +
⌈20
11
⌉x2 + x3 +
⌈6
11
⌉x4 ≥
13
11x1 +
20
11x2 + x3 +
6
11x4 ≥
72
11.
Portanto: 2x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥ 7211 .
Como x1, x2, x3, x4 ∈ Z+, podemos substituir 7211 por d 7211e na restricao.
Desta forma, obtemos a seguinte desigualdade valida:
2x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥ 7