MAT 216 Calculo diferencial e integral 3 – 1◦ semestre de 2015

Bacharelado noturno em Fısica

Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri

Resumo das aulas e exercıcios sugeridos - Atualizado 17.6.2015

1. Segunda-feira, 23 de fevereiro de 2015

Apresentacao do curso. Veja-se o arquivo relativo as informacoes do curso na minha pagina web

www.ime.usp.br/∼pluigi

Exemplos de funcoes (ou aplicacoes) f : Rn → Rm. Geralmente, se usa o termo transformacao quando

n = m.

Exemplos: equacao vetorial de uma reta em R3 que passa por um ponto e e paralela a um vetor dado.

Trata-se de uma funcao r : R→ R3.

Equacao vetorial de um plano em R3 que passa por um ponto e e gerado por dois vetores dados

(linearmente independentes). Trata-se de uma funcao P : R2 → R3.

Exercıcio 1. Escreva dois exemplos de equacoes vetoriais de reta e plano conforme os exemplos acima.

Exercıcio 2. De a definicao de dois vetores linearmente independentes (em R3 ou R2).

Exercıcio 3. Se sabe que um plano em R3 pode ser representado por uma equacao cartesiana ax+ by+

cz + d = 0, onde os coeficientes a, b, c, d sao dados. Diga qual e a condicao sobre a, b, c, d que permite ao

plano acima passar pela origem de R3. Diga qual e a condicao que faz com que o plano seja “vertical”.

Qual poderia ser uma definicao geometrica de plano vertical? Pense um pouco nisso.

Exercıcio 4. Escolha um plano em R3 dando a equacao cartesiana (ou seja, escolha os coeficientes

a, b, c, d). Escreva uma equacao vetorial do plano, i.e., determinando um ponto P incluido no plano e dois

vetores lin. indep. e geradores do plano. (Porque o exercıcio pede uma equacao vetorial e nao a equacao

vetorial?)

Exercıcio 5. Percorra o caminho oposto do exercıcio anterior. Escolha um plano em R3 dando sua

equacao vetorial e escreva ele em forma de equacao cartesiana.

Outro exemplo em sala de aula: projecao estereografica da esfera de R3 de centro na origem e raio

1 sobre o plano z = 0 (lembre que a palavra esfera significa somente a superfıcie; se incluimos a parte

interior, chamamos o conjunto de bola).

Exercıcio 6. Escreva a projecao estereografica acima refazendo o processo visto em sala de aula. Mostre

que a projecao e sobrejetora, ou seja, que todo ponto do plano z = 0 resulta ser a projecao de um ponto

oportuno sobre a esfera.

Exercıcio 7. Escreva a projecao estereografica sobre o plano z = 0 da esfera de R3 de centro em (0, 0, 1)

e raio 1.

Faca alguns dos exercıcios do livro (ou de outros livros de calculo) sobre os exemplos de funcoes entre

espacos euclidianos de dimensao ≥ 1.

2. Quarta-feira, 25 de fevereiro de 20151

2

Exemplo em sala de aula: dado um angulo θ ∈ [0, 2π], a funcao f : R2 → R2 que expressa a rotacao

dos pontos de R2 de θ.

Exercıcio 8. Escreva a funcao como visto em sala de aula, prove que a funcao obtida e linear e que de

fato trata-se da rotacao dita acima.

Revisao dos conceitos de limite, continuidade e diferenciabilidade para funcoes de varias variaveis.

Exercıcio 9. De a definicao de limite e a definicao de continuidade para uma funcao f : Rn → Rm.

Exercıcio 10. Considere a funcao f : R2 → R definida como

f(x, y) =

2xy

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

e aborde as questoes seguintes: a) diga se f e contınua no ponto (0, 0); b) verifique se f possui derivadas

parciais na origem, ou seja,∂f

∂x(0, 0) e

∂f

∂y(0, 0). Caso afirmativo, calcule-as. c) Diga se f e diferenciavel

em (0, 0). d) Seja v =

(1√2,

1√2

). Diga se existe a derivada direcional

∂f

∂v(0, 0). Caso afirmativo,

calcule-a.

Conceito de ponto de acumulacao para subconjuntos de Rn.

Exercıcio 11. Tente escrever um exemplo de conjunto de R que tem so um ponto de acumulacao.

Exercıcio 12. Tente escrever um exemplo de conjunto de R2 que tem so um ponto de acumulacao.

Observe que o exercıcio acima pode respostas nao intuitivas devido ao fato de considerar R2 e nao R.

Exercıcio 13. Faca alguns dos exercıcios do livro (ou de outros livros de calculo) sobre os conceitos de

limite, continuidade, derivabilidade/diferenciabilidade para funcoes de varias variaveis. Inclusive, faca

exercıcios de revisao destes temas tirados do livro usado em calculo 2.

3. Sexta-feira, 27 de fevereiro de 2015

Definicao de funcao diferenciavel: caso de f : Rn → R.

Definicao de funcao diferenciavel: caso de f : Rn → Rm.

Excercıcios de revisao de calculo 2.

Exercıcio 14. (difıcil) Prove que a funcao seguinte nao e contınua na origem e que possui as derivadas

em qualquer direcao na origem.

f(x, y) =

{xex/y se y 6= 0

0 se y = 0.

Revisao do conceito de plano tangente ao grafico de uma funcao f(x, y) em um ponto (x, y, f(x, y)).

Exercıcio 15. Considere f(x, y) = x2 + y2. Escreva a equacao do plano tangente ao grafico no ponto

(1, 2, f(1, 2)).

Exercıcio 16. Escreva o gradiente em (1, π) de f(x, y) = x seny

x. Calcule o plano tangente ao grafico

no ponto (1, π, f(1, π)).

3

Exercıcio 17. Seja f(x, y) = sen (ax+y2). Diga para quais valores do parametro real a o plano tangente

ao grafico de f em (0,√π, 0) e paralelo a reta intersecao dos planos de equacoes x = y e y = 2z. Existem

valores de a tais que o plano tangente e ortogonal a reta acima?

Exercıcio 18. Verdadeiro ou falso?

a) Seja f : R2 → R tal que∂f

∂x(x, y) e

∂f

∂y(x, y) sao definidas para todos (x, y). f e diferenciavel?

b) Seja f : R2 → R tal que∂f

∂x(x, y) e

∂f

∂y(x, y) sao definidas e contınuas para todos (x, y). f e

diferenciavel?

Exercıcio 19. Calcule as derivadas parciais de f(x, y) = ex2y. Em seguida, escolha alguns pontos do

grafico e determine o plano tangente ao grafico de f nestes pontos.

Exercıcio 20. Calcule a derivada direcional na direcao v = (1/2,√

3/2) de f(x, y) = x2y − ex+y no

ponto (1, 2).

Exercıcio 21. Calcule as derivadas parciais das funcoes seguintes:

x3y2 x2y senxy arctg (x/y) xy x2y−3√x2 + y2 log(x2 + y2) tg (x+ y2)

Exercıcio 22. Considere a funcao

f(x, y) =

(

xy2

x2 + y2

)2

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

Resolva os problemas seguintes:

(1) Prove que f e contınua na origem;

(2) a continuidade acima que informacao da sobre a diferenciabilidade de f em (0, 0)?

(3) Prove que f admite derivada direcional em (0, 0) ao longo de qualquer direcao v = (cos θ, sen θ).

Compare este resultado com o produto escalar⟨∇f(0, 0), v

⟩(4) o item acima o que diz sobre a diferenciabilidade de f em (0, 0)?

Alem dos conceitos de derivada parcial e direcional, o conceito mais profundo de derivacao e aquele

que que generaliza melhor o conceito de derivada de calculo 1.

Para melhor entender isso, consideramos o problema da determinacao e da definicao da reta tangente

ao grafico de uma funcao de uma variavel. Sejam I um intervalo e f : I → R uma funcao derivavel e seja

x0 ∈ I fixado. Sejam as duas funcoes

T (x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0), e S(x) = f(x0) +m(x− x0),

onde m 6= f ′(x0) e fixado. De fato, S(x) representa uma famılia de funcoes, variando m em R. O grafico

de T representa a reta tangente ao grafico de f em (x0, f(x0)), enquanto os graficos das S representam,

para cada m, as retas secantes ao grafico de f em (x0, f(x0)) (exceto so a secante vertical).

Lembramos que a reta que e grafico de T (x) e definida como reta tangente ao grafico de f no ponto

(x0, f(x0)). Ou seja, na analise matematica nao existe uma nocao anterior de reta tangente (por exemplo

uma nocao geometrica).

T (x) e S(x) aproximam f em x0, onde ”aproximar em x0” significa que

limx→x0

f(x)− T (x) = 0 e limx→x0

f(x)− S(x) = 0.

4

Exercıcio 23. Verifique os limites acima, sabendo que f e contınua, sendo derivavel.

A aproximacao dada por T e melhor do que todas as aproximacoes dadas pelas S(x), porque

limx→x0

f(x)− T (x)

x− x0= 0 enquanto lim

x→x0

f(x)− S(x)

x− x0= f ′(x0)−m 6= 0.

Exercıcio 24. Verifique os limites acima.

Dizemos que f(x)−T (x) (o resto, ou erro, da aproximacao por T ) tende para zero ”mais rapidamente”

do que x − x0, enquanto f(x) − S(x) (o resto, ou erro, da aproximacao por S) tende para zero ”com a

mesma velocidade” do que x− x0.

Observe que a funcao x 7→ f ′(x0) · x e uma funcao linear de R em R.

Exercıcio 25. Prove a observacao acima.

Neste sentido o conceito de diferencial em calculo 2 e o operador linear que garante a melhor aprox-

imacao de primeira ordem de uma funcao dada.

4. Segunda-feira, 2 de marco de 2015

Exercıcio 26. (revisao de calculo 2) Considere a funcao

f(x, y) =

2x3

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

e aborde as questoes seguintes.

a) Calcule as derivadas parciais em (0, 0).

b) Diga se f e diferenciavel em (0, 0). (Sugestao: use a definicao de funcao diferenciavel e de diferencial

de uma funcao.)

c) Prove que f e contınua em (0, 0). Este e um caso de uma funcao que e contınua em um ponto, mas

nao diferenciavel (diversamente do caso do exercıcio 10 acima).

Lembrando o teorema do diferencial (que prova a diferenciabilidade de uma funcao supondo como

condicao suficiente a continuidade das derivadas parciais), observe que as derivadas parciais nao sao

contınuas na origem, mas isso nao implica automaticamente que f nao seja diferenciavel. Para provar

que a funcao nao e diferenciavel precisa provar que nao respeita a defini cc de funcao diferenciavel atraves

do limite.

Definicao de funcao diferenciavel no caso de f : Rn → Rm. Definicao de matriz jacobiana.

Exercıcio 27. Escreva a matriz jacobiana em um ponto generico do domınio das funcoes seguintes.

f(x, y) = (x2 + y, log(xy)), f(x, y, z) = (xyz2, x+ y − cos z), f(x, y) = (x2/y, sen (x+ 2y), exy3

).

Exercıcio 28. Escolha pontos dos domınios das funcoes acima e calcule a matriz jacobiana naqueles

pontos das funcoes acima.

Teorema da funcao implıcita. Apresentacao geral; enunciado no caso de uma funcao f : A → R,

de classe C1 e definida num subconjunto aberto A de R2.

5

5. Quarta-feira, 4 de marco de 2015

Teorema 1 (da funcao implicita - em dimensao 2). (com demonstracao) Seja F (x, y) uma funcao de

classe C1, definida em um aberto A de R2 com valores em R. Seja um ponto (x, y) ∈ A tal que

(1) F (x, y) = 0,

(2)∂F

∂y(x, y) 6= 0.

Entao, existe um retangulo U ×V = [x− δ1, x+ δ1]× [y− δ2, y+ δ2], contido em A, tal que o conjunto

dos pontos (x, y) em U × V tais que F (x, y) = 0 assume a forma de um grafico de uma funcao y = f(x)

definida em U (e com valores em V ).

Alem disso, f e de classe C1 e, para todo x ∈ U , temos

f ′(x) = −

∂F

∂x(x, f(x))

∂F

∂y(x, f(x))

.

Demonstracao. Sem perda de generalidade, podemos supor∂F

∂y(x, y) > 0 (se tal derivada parcial fosse

negativa, a demonstracao seria totalmente simetrica seguindo a mesma logica). Sendo F de classe C1, a

derivada parcial∂F

∂y(x, y) e contınua como funcao de (x, y). Portanto, pelo teorema da conservacao do

sinal (veja em qualquer livro de calculo 2), existe um retangulo W ×V = [x−α1, x+α1]× [y− δ2, y+ δ2],

contido em A, tal que∂F

∂y(x, y) > 0 para todo (x, y) ∈W × V .

Observe que, lembrando o significado do conceito de derivada parcial, se x ∈ W e fixado, a funcao

y 7→ F (x, y) (funcao somente de y) possui∂F

∂y(x, y) como derivada. Sendo ela positiva, y 7→ F (x, y) se

torna estritamente crescente em V .

Em particular, e estritamente crescente y 7→ F (x, y). Sabendo que f(x, y) = 0, podemos dizer que que

F (x, y − δ2) < 0 e F (x, y + δ2) > 0.

Usando di novo o teorema da conservacao do sinal – desta vez aplicado a F e nao a derivada – podemos

dizer que existe um intervalo U = [x− δ1, x+ δ1] (que podemos supor contido em W ) tal que, para todo

x ∈ U , vale

F (x, y − δ2) < 0 e F (x, y + δ2) > 0.

Imagine agora, de novo, x fixado em U . Sendo y 7→ F (x, y) estritamente crescente em V , e devido as

duas desigualdades acima, podemos concluir que existe e e unico um ponto y ∈ V tal que F (x, y) = 0.

Em outras palavras, esta existencia e unicidade do y, dado x, define uma funcao y = y(x), que podemos

chamar de f(x). Dado x ∈ U , o valor f(x) e o unico y em V tal que F (x, f(x)) = 0.

A primeira parte do teorema e portanto provada. Precisa agora provar que f e de classe C1 e expressar

a derivada dela. Considere dois pontos x e x1 em U e os correspondentes f(x) e f(x1) em V . Sendo F de

classe C1, podemos aplicar o teorema do valor medio para funcoes em duas varaveis (pode ser encontrado

em qualquer livro de calculo; no Guidorizzi, vol. 2 e no comeco do cap. 15 – veja-se tambem, para uma

melhor compreensao, o classico teorema do valor medio para funcoes de uma variavel) existe um ponto

(c, d) contido no segmento de extremos (x, f(x)) e (x1, f(x1)) tal que

F (x1, f(x1))− F (x, f(x)) =∂F

∂x(c, d)(x1 − x) +

∂F

∂y(c, d)(f(x1)− f(x)).

6

Lembrando que F (x1, f(x1)) = 0 e F (x, f(x)) = 0 (justamente pela construcao de f) e que∂F

∂ye nao

nula em todos os pontos de U × V , podemos dividir e obter

f(x1)− f(x)

x1 − x= −

∂F

∂x(c, d)

∂F

∂y(c, d)

. (1)

As duas derivadas parciais sao contınuas em todo o domınio, portanto em U × V , que e limitado e

fechado. Elas admitem maximo e mınimo neste retangulo (teorema de Weiestrass, Guidorizzi, vol. 2, do

cap. 16). Entao, temos

|f(x1)− f(x)| ≤max(u,v)∈U×V

∣∣∣∣∂F∂x (u, v)

∣∣∣∣min(u,v)∈U×V

∣∣∣∣∂F∂y (u, v)

∣∣∣∣ |x1 − x|. (2)

Observe o seguinte: como∂F

∂ye nao nula em todos os pontos de U × V , entao o mınimo e positivo e

nao temos o perigo de anular o denominador acima.

A desigualdade acima permite provar a continuidade de f (veja-se os exercıcios 31 e 32 seguintes).

Quando x1 tende para x, f(x1) tende portanto para x . Assim, o ponto (c, d) encaixado no segmento de

extremos (x, f(x)) e (x1, f(x1)) tende para (x, f(x)). Passando ao limite na igualdade (1) acima, temos

limx1→x

f(x1)− f(x)

x1 − x= − lim

x1→x

∂F

∂x(c, d)

∂F

∂y(c, d)

O primeiro e o limite da razao incremental e da a derivada (se existir e for finito); o segundo existe finito

porque, sendo F de classe C1, as derivadas parciais sao contınuas. Portanto

− limx1→x

∂F

∂x(c, d)

∂F

∂y(c, d)

= − limx1→x

∂F

∂x(c, d)

∂F

∂y(c, d)

e, consequentemente,

f ′(x) = limx1→x

f(x1)− f(x)

x1 − x= −

∂F

∂x(x, f(x))

∂F

∂y(x, f(x))

.

Assim, o teorema e completamente provado �

Exercıcio 29. Escreva o enunciado do teorema no caso em que a hipotese seja∂F

∂x(x, y) 6= 0.

Exercıcio 30. Estude e analise o teorema do valor medio em duas variaveis, tentando de entender a

conexao com o teorema valor medio de calculo 1. Se possıvel, veja a demonstracao.

Exercıcio 31. Prove nos detalhes a desigualdade (2), usando o teorema de Weiertrass e a igualdade (1).

Exercıcio 32. Prove nos detalhes a continuidade e f em x, usando a desigualdade (2).

Considere como exemplo F (x, y) = x2 +y2−1. Os ”zeros” desta funcao sao os pontos da circunferencia

de raio 1 e centro na origem de R2.

7

Exercıcio 33. Aplique o teorema da funcao implıcita a funcao acima. Observe onde as derivadas parciais

se anulam e como se apresenta o conjunto das solucoes (ou seja, se ele pode ser grafico de uma funcao de

x ou de y).

Exercıcio 34. Aplique o teorema da funcao implıcita a funcao F (x, y) = x2(1 + 4x)− y2. Como y pode

ser colocada em funcao de x, globalmente, desenhe o conjunto de anulamento de F . Verifique como o

teorema da funcao implıcita se aplica a funcao em relacao ao comportamento do conjunto de anulamento.

Exercıcio 35. Verifique que o conjunto C de anulamento da F acima e a imagem de curva φ : R→ R2,

φ(t) =

{x(t) = t(t− 1)

y(t) = t(t− 1)(2t− 1).

Desenhe C (ou seja, a imagem de φ).

Exercıcio 36. Faca alguns dos exercıcios do livro, pag. 63.

6. Sexta-feira, 6 de marco de 2015

No teorema da funcao implıcita, a uma maior regularidade de F corresponde uma consequente regulari-

dade de f . Podemos por exemplo provar que se F for C2, tambem f sera C2 (nao damos a demonstracao).

Exercıcio 37. Suponha F de classe C2. Usando a formula de f ′ no enunciado do teorema da funcao

implıcita, calcule f ′′(x) num ponto generico x do domınio dela.

O teorema pode ser escrito para o caso F : A→ R, onde A e um subconjunto aberto de R3.

Exercıcio 38. Escreva o enunciado do teorema da funcao implıcita no caso mencionado acima. (Nao

precisa a demonstracao.)

Exercıcio 39. Aplique o teorema da funcao implıcita para estudar as solucoes de x2 + y2 = 1 − z2

(conforme o exemplo visto em sala de aula).

Exercıcio 40. Aplique o teorema da funcao implıcita para estudar as solucoes de x2ez + zey + y2 = 0.

Exercıcio 41. Verifique em geral, e nos dois exemplos acima, que o gradiente e de fato ortogonal a

superfıcie de nıvel da funcao que gera as equacoes acima (que e o conjunto das solucoes acima).

O teorema da funcao implıcita se aplica tambem ao estudo de sistemas do tipo{F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0.

Exercıcio 42. Escreva o enunciado do teorema da funcao implıcita para este caso. (Nao precisa a

demonstracao.)

7. Segunda-feira, 9 de marco de 2015

Em azul podem ser encontradas correcoes de erros nas aulas 3 e 5.

Qualquer sinalizacao de possıveis erros nestas notas e a bem vinda e ajuda a melhorar este material.

∗ ∗ ∗

Teorema da funcao implıcita (continuacao).

8

Exercıcio 43. Considere o teorema da funcao implıcita na versao que estuda sistemas do tipo{F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0.

Suponha, por exemplo, que o terceiro menor da matriz jacobiana da funcao (x, y, z) 7→ (F (x, y, z), G(x, y, z))

tenha determinante nao nulo. Escreva, neste caso, as derivadas das funcoes implıcitas obtidas, que depen-

dem oportunamente das derivadas parciais de F e G. Prove as formulas obtida (simplesmente aplicando

a regra da cadeia - sem provas mais teoricas).

Exercıcio 44. Expresse o significado geometrico do nao anulamento de um menor da matriz jacobiana

da funcao (x, y, z) 7→ (F (x, y, z), G(x, y, z)).

Exercıcio 45. De um ponto de vista unicamente algebrico, prove que uma matriz(a b c

d e f

)possui um menor 2× 2 com determinante nao nulo se e somente se os dois vetores linha sao linearmente

independentes.

Exercıcio 46. (em sala de aula) Aplique o teorema da funcao implıcita a funcao (x, y, z, u, v) 7→ (x2 +

y2 − u2 + v2 + 3, x2 − y2 + z2 + u2 + 2v2 − 21) no ponto (1, 1, 2, 3, 2).

8. Quarta-feira, 11 de marco de 2015

O seguinte resultado, muito importante, e consequencia do teorema da funcao implıcita.

Teorema 2 (da funcao inversa). (com demonstracao) Sejam A e B dois abertos de Rn e f : A→ B

uma funcao de classe C1. Seja um ponto x ∈ A tal que o determinante da matriz jacobiana de f em x,

Jf (x), seja nao nulo.

Entao, existem duas vizinhancas U de x em A e V de y em B tal que a restricao de f a V , F |U : U → V

e injetora e sobrejetora (portanto inversıvel) e com inversa de classe C1.

Demonstracao. Aplicamos o teorema da funcao implıcita a funcao F : A × Rn → Rn, definida por

F (x, y) = y− f(x). A funcao F e obviamente C1. Denote y = f(x). A matriz jacobiana de F em (x, y) e

JF (x, y) =

Jf (x) I

ou seja, e uma matriz n× 2n, que podemos pensar formada por dois blocos de termos de duas matrizes,

ambas n× n, uma do lado da outra Jf (x) e a matriz identidade I.

Sendo det(Jf (x)) 6= 0, podemos aplicar o teorema da funcao implıcita e obter a existencia de duas

vizinhancas U de x em A e V de y em B tais que os pontos (x, y) que anulam a F sao grafico de uma

funcao x = φ(y), definida em V , com valores em U . Ou seja, F (φ(y), y) = 0 para todo y em V . Pela

definicao de F , temos

y = f(φ(y)), ∀y ∈ V,ou seja f |U ;U → V e inversıvel e φ : V → U e a inversa. E a demonstracao e completa. �

Exercıcio 47. Escreva de novo a demonstracao provando todos os detalhes contidos nela, que, em

particular, sao objeto dos exercıcios seguintes.

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Exercıcio 48. Prove que F e de fato uma funcao de classe C1.

Exercıcio 49. Escreva nos detalhes a matriz jacobiana JF (x, y), provando a formula acima.

Exercıcio 50. Calcule φ′(y) em um ponto generico y.

Problemas de maximos e mınimos condicionados. Metodo dos multiplicadores de Lagrange.

O enunciado e demonstracao do teorema nos varios casos em que se apresenta (feitos em sala de aula e

que portanto podem ser cobrados nas provas) se encontram no livro Calculo integral avancado (Boucharra

et. al.).

Exercıcio 51. Escreva o enunciado do teorema dos multiplicadores de Lagrange. Observe como ele

apresenta uma condicao necessaria (e nao suficiente) para existencia de pontos de maximo e mınimo

relativos (condicionados).

9. Sexta-feira, 13 de marco de 2015

Excercıcios em sala de aula sobre maximos e mınimos condicionados.

Exercıcio 52. Estude os pontos de maximo e mınimo relativo e os maximo e mınimo absoluto das

funcoes seguintes sob o vınculos indicados ao lado. Tente usar seja o metodo dos multiplicadores de

Lagrange seja a parametrizacao do vınculo, quando possıvel.

f(x, y) = xy − y2 + 3 x+ y2 − 1 = 0

f(x, y) = 3x+ 4y + 1x2

4+y2

6= 1

f(x, y) =1

3− xyx2 + y2 = 1

f(x, y, z) = 4x2 + xy + y2 + z 4x+ y + z = 3

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

{y = x2 + 2z2

y + z = 1.

f(x, y, z) = xy + z

{x+ y − 3z = 0

4x+ y + z = 2.

Exercıcio 53. Enuncie o teorema de Weierstrass sobre existencia de maximo e mınimo absoluto de uma

funcao.

10. Segunda-feira, 16 de marco de 2015

Nos sites seguintes

http://www.ime.usp.br/~oliveira/IMPLI-1-RAEX-FINAL.pdf

http://www.ime.usp.br/~oliveira/ELE-IMPLI-INVERSA.pdf

10

http://www.ime.usp.br/~oliveira/ELE-IMPLI-PLANO.pdf

pode-se encontrar as contribuicoes do Prof. Oswaldo Rio Branco de Oliveira (IME-USP), que recen-

temente aprofundou os teoremas da funcao implıcita e da funcao inversa em varios casos.

O seguinte e o link a pagina de wikipedia dedicada a Ulisse Dini, o matematico que introduziu e

demonstrou o teorema da funcao implıcita (em 1878 aprox.)

http://en.wikipedia.org/wiki/Ulisse_Dini

Introducao a integracao dupla, capıtulo 3 do livro. Particao P de um retangulo em R2. Escolha E de

pontos relativa a particao P . Norma de P .

Dado um domınio limitado D em R2 e dada uma funcao f : D → R, limitada, definicao de soma de

Riemann1 Sf (P,E) relativa a uma particao P e uma escolha E.

Definicao de funcao integravel e de integral de uma funcao.

Definicao de volume de um solido obtido como subgrafico de uma funcao integravel.

Exercıcio 54. Apresente nos detalhes o processo que leva a definicao de funcao integravele de integral

de uma funcao.

Exercıcio 55. Seja D uma conjunto limitado em R2 e f : D → R a funcao identicamente nula. Prove,

usando a definicao que ∫D

f(x, y) dx dy = 0.

Exercıcio 56. Seja D uma conjunto limitado em R2 e f : D → R uma funcao integravel. Prove que f e

limitada.

Exercıcio 57. Seja R um retangulo qualquer em R2 (por exemplo o quadrado [0, 1] × [0, 1]). Seja

f : R→ R, a funcao definida por

f(x, y) =

{1 se x e y ∈ Q0 se x ou y 6∈ Q.

Prove que f nao e integravel.

Exercıcio 58. Seja D o subconjunto do quadrado [0, 1]× [0, 1] dos pontos de coordenadas racionais. Seja

f : D → R a funcao constante igual a 1. Prove que f nao e integravel.

11. Quarta-feira, 18 de marco de 2015

Exercıcio 59. Sejam D um retangulo [a, b]× [b, c] f : D → R uma funcao que e nula exceto um numero

finito de pontos de D. Prove que∫Df(x, y) dx dy = 0.

As definicoes de T e S na aula n. 3 estavam erradas. Agora podem-se encontrar em AZUL as definicoes

corretas.

Proposicao 3 (algebra da integracao). Sejam f : D → R e g : D → R duas funcoes integraveis. Entao:

(1) f + g e integravel e∫D

(f + g)(x, y)dxdy =

∫D

f(x, y)dxdy +

∫D

g(x, y)dxdy;

1Se trata na verdade de um conceito definido por Cauchy, na abordagem dele a teoria da integracao, de alguns anos

anteriores a abordagem de Riemann

11

(2) dado a ∈ R, af e integravel e∫D

(af)(x, y)dxdy = a

∫D

f(x, y)dxdy;

(3) se f(x, y) ≤ g(x, y) para todo (x, y) ∈ D, temos∫D

f(x, y)dxdy ≤∫D

g(x, y)dxdy;

(4) (caso particular) se f(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ D, temos∫D

f(x, y)dxdy ≥ 0.

Exercıcio 60. Em sala de aula foi provada a propriedade 1. Tente refazer a demonstracao (que usa

diretamente a definicao).

Exercıcio 61. Usando a estrategia do exercıcio anterior, tente demonstrar as outras propriedades da

proposicao.

Rapida discussao sobre os domınios de integracao. Em geometria e definido um conceito de area (em

geral se trata de uma teoria da medida que vale em qualquer dimensao) que se chama area segundo Peano

Jordan.2

Este conceito vale para definir uma teoria da medida em qualquer Rn. Aqui vamos resumir rapidamente

o conceito em dimensao 2 (usando a classica expressao “area” em vez de “medida”).

Considerando um conjunto limitado D em R2, suponhamos que exista pelo menos um retangulo de R2

contido em D (o conjunto do exercıcio 58, por exemplo, nao possui esta propriedade; assim como uma

curva o um segmento de R2 nao possuem a propriedade; um polıgono, considerando somente o perımetro

e nao o interior, por exemplo, nao possue a propriedade).

Seja P uma famılia de retangulos, P1, P2, ...Pn, contidos em D. E seja Q uma famılia de retangulos,

Q1, Q2, ..., Qs, tais que ∪sj=1Qj ⊇ D. Suponhamos que cada a intersecao de cada par Pi ∩ Pj e Qi ∩Qjseja vazia ou tenha, no maximo pontos de borda em comum. (Isso e necessario para nao contar duas

vezes porcoes de area comum.)

Dizemos que P e uma famılia interna e Q externa.

No site da wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_measure podemos encontrar desenhos

representando famılias do tipo acima.

A norma da famılia P ou Q e definida como aquela, no livro de Caluclo de Boucharra, das particoes

que sao usada para definicao de funcao integravel.

A area de um retangulo tipo Pj ou Qi, (A(Pj) e A(Qi)) e definida classicamente segundo a geometria

euclidiana. Fica claro que para todas as famılias P internas e Q externas, temosn∑j=1

A(Pj) ≤m∑i=1

A(Qi).

Se os dois limites seguintes

lim|P |→0

n∑j=1

A(Pj) e lim|Q|→0

s∑j=1

A(Qj),

2Giuseppe Peano (1858-1932) e Camille Jordan (1838-1922) sao entre os principais protagonistas da construcao da teoria

da integracao. Os resultados deles se colocam na epoca de 1885-1895.

12

onde P e uma famılia interna e Q e externa, existem, sao finitos e iguais, chamamos L este limite igual,

entao dizemos que D possue uma area e tal area vale L.

Em outras palavras, a area e definida atraves de um processo de aproximacao por areas de polıgonos

internos e externos.

Como foi corretamente observado por um aluno em sala de aula, algumas vezes conjuntos que in-

tuitivamente tem area zero nao possuem retangulos por dentro. E o caso de segmentos, de curvas, de

conjuntos de um num finito de pontos e outros mais complicados que aqui nao interessam.

Neste caso consideramos somente famılias externas e dizemos que a area de D e zero se

lim|Q|→0

s∑j=1

A(Qj) = 0.

Exercıcio 62. Prove que um conjunto feito de um ponto em R2 tem area zero.

Exercıcio 63. Prove que um segmento em R2 (por exemplo [0, 1]× {1}) tem area zero.

Exercıcio 64. Prove que o segmento em R2 entre (0, 0) e (1, 1) tem area zero.

Os conjuntos que possuem area sao os conjuntos interessantes na teoria da integracao. Por exemplo, os

polıgonos (incluindo a parte interna) e os conjuntos que sao delimitados por curvas sao exemplos simples

de conjuntos com area. Iremos calcular a integral de funcoes definidas sobre estes tipos mais simples de

conjuntos.

Uma outra possıvel definicao de area de um sunconjunto limitado de R2 e a seguinte: dado D ⊆ R2

limitado, seja f : D → R2 a funcao constante igual a 1. Suponhamos que f seja integravel em D. Entao

a area de D e definida como o valor da integral∫D

1 dx dy.

Pode-se provar um resultado (nao estudamos a demonstracao) que diz que as duas definicoes de area

sao de fato a mesma.

Inclusive pode-se provar (veja o resultado no livro) que um conjunto possui area se e somente se a area

da sua borda e zero.

Resumindo: na teoria da integracao segundo Riemann3 sao consideradas somente funcoes definidas em

conjuntos que possuem area.

O seguinte teorema fornece uma consicao suficiente para a integrabilidade de uma funcao.

Teorema 4. Seja D um domınio em R2 limitado e com area. Seja f : D → R uma funcao contınua e

cujo conjunto dos pontos de descontinuidade haja area zero. Entao, f e integravel.

O leitor pode reconhecer resultados analogos de calculo 1: se f for contınua e limitada entao e in-

tegravel. Tambem, se o numero de pontos de descontinuidade e finito, f e integravel.

3Usamos esta expressao para denotar todo o processo de construcao deste conceito que se desenvolveu ao longo do seculo

XIX e no qual B. Riemann (1826-1846) foi um do maiores protagonistas (e um dos maiores genios da matematica de todos

os tempos) ao lado de figuras como Cauchy, Dirichlet, Peano, Fubini, Jordan e outros. Atualmente a teoria de integracao

de H. Lebesgue, introduzida nos anos 1905-1925, substitue a de Riemann, sendo mais adequada na pesquisa e funcional a

problemas aplicados.

13

12. Sexta-feira, 20 de marco de 2015 e

13. Segunda-feira, 23 de marco de 2015

Teorema de Fubini (sem demonstracao) para o calculo pratico de integrais em retangulos e em domınios

y-simples ou x-simples.

Exercıcio 65. Escreva o enunciado do Teorema de Fubini nos varios casos em que se apresenta. De, em

particular a definicao de conjunto y-simples ou x-simples.

Exercıcio 66. Calcule ∫R

ey/x · x−3 dxdy, onde R = [1, 2]× [0, 1].

Exercıcio 67. Prove que o cırculo de centro a origem e raio 1 nao tem medida nula (ou seja, o disco,

nao somente a circunferencia).

Exercıcio 68. Escreva a definicao de domınio x-simples (ou y-simples.)

Exercıcio 69. Diga se os conjuntos seguintes sao y-simples ou x-simples (ou ambos). Justifique, es-

crevendo as funcoes que determinam a propriedade.

(1) O triangulo de vertices (−1, 0), (1, 0), (0, 1).

(2) O triangulo de vertices (1, 1), (2, 3), (−2, 0).

(3) B = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1,√y ≤ x ≤ 1}.

(4) O setor circular de raio 1 e centro a origem com angulo entre π/4 e π/2.

(5) A regiao compreendida entre a reta y = x e a curva y = −x2 + x+ 1

(6) B = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 3, x ≤ y ≤ 4x− x2}.(7) B = {(x, y) ∈ R2 : π/2 ≤ x ≤ π − arcsen y, 0 ≤ y}(8) A regiao compreendida entre o eixo X e as curvas y − 2x2 = 0 e y − x2 − 1 = 0

Exercıcio 70. Calcule as integrais seguintes, relativas as figuras anexadas:

a)

∫A

(x2 + y) dx dy

b)

∫A

xy dx dy

c)

∫A

ex+y dx dy

d)

∫A

xy cos(x+ y) dx dy

e)

∫A

x2exy dx dy

f)

∫A

x(y + senπy) dx dy

g)

∫A

1

(1 + x+ y)2dx dy

h)

∫A

(x2 + y2) dx dy

14

Figure 1. a letra corresponde ao exercıcio.

14. Quarta-feira, 25 de marco de 2015

Prova P1.

15. Sexta-feira, 27 de marco de 2015

Mudanca de variaveis na integral dupla. Teorema geral (dando a ideia da demonstracao, sem os

detalhes).

15

Exercıcio 71. Calcule, usando uma oportuna mudanca de variavel, a integral∫D

(x+ y)7

y − xdx dy,

onde D e o conjunto limitado do plano euclidiano delimitado pelas retas y − x = 3, y − x = 1, y + x = 3

e y + x = 4. A mudanca de variavel oportuna levara D em um outro retangulo R. Calcule as areas dos

dois retangulos. Depois observe que as duas areas estao numa relacao entre elas e com o determinante

da matriz jacobiana da mudanca de variavel.

Exercıcio 72. Calcule, usando uma oportuna mudanca de variavel, a integral∫D

1

xydx dy,

onde D e o conjunto limitado do plano euclidiano delimitado pelas retas y = 2x, y = x, y + x = 3 e

y + x = 1.

Exercıcio 73. Calcule, usando uma oportuna mudanca de variavel, a integral∫D

(x+ y2) dx dy,

onde D e o conjunto limitado do plano euclidiano delimitado pelas retas x− y = −1, y = x e as retas r

e s tais que r passa por (0, 1) e (2, 0) enquanto s passa por (0, 1/2) e (1, 0).

16. Segunda-feira, 6 de abril de 2015

Exercıcios em sala de aula sobre integracao dupla (em particular sobre mudanca de variavel).

Exercıcio 74. Calcule

∫D

(x + y2) dx dy onde D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0 e 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.Sugestao: use as coordenadas polares.

Exercıcio 75. Prove que o conjunto D acima e x-simples e y-simples.

Exercıcio 76. No exercıcio 74 a transformacao em coordenadas polares conduz a uma integral do tipo∫sen 2t dt. Com o auxılio do livro de calculo 1, se for necessario, encontre a primitiva usando o metodo

de integracao por partes.

Exercıcio 77. Calcule a area do conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : y > 0, x+y > 0, x2 + y2 <√x2 + y2 − 3x}.

Sugestao: lembrando que a area de um conjunto limitado E pode ser definida como o valor da integral

dupla∫E

1 dx dy (se tal integral existir), expresse C em coordenadas polares e calcule a integral.

Exercıcio 78.

-

6

���

���

a b y

z

x

z = f(y)

16

O desenho acima representa o grafico de uma funcao z = f(y), que estamos supondo positiva e contınua.

O grafico esta no plano yz. Imagine a rotacao do subgrafico de f em torno do eixo y e portanto um

solido de rotacao que chamamos de S. Intuitivamente S pode ser visto como a uniao de discos verticais,

paralelos ao plano xz. Cada disco, cuja posicao depende da coordenada y, tem centro no ponto (0, y, 0)

e raio f(y). Sempre intuitivamente o volume de S pode ser imaginado como a soma de todas as areas de

todos os discos de raio variavel. Obtendo assim:

Vol(S) = π

∫ b

a

(f(y))2 dy.

Essa intuicao todavia nao constitue uma demonstracao, que por outro lado sera possıvel gracas ao teorema

de Fubini para a integracao tripla (numa das proximas aulas). Aquilo que podemos fazer agora e o

seguinte: fazendo a rotacao do grafico de f , vamos obter o solido S. A borda de S no caso de z ≥ 0 e

uma superfıcie e e grafico de uma funcao g(x,y). Tente escrever a expressao desta g. O dominio de g

e claramente D = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ y ≤ b, −f(y) ≤ x ≤ f(y)} e e portanto x-simples. Verifique os

detalhes deste fato. Enfim, o volume de S se torna

Vol(S) = 2

∫D

g(x, y) dx dy

(explique a razao da presenca do coeficiente 2 na formula acima). No final do exercıcio podemos verificar

que a formula acima se torna igual a anterior.

Exercıcio 79. Usando a integracao dupla, calcule o volume de uma bola em R3 de raio a positivo fixado.

Exercıcio 80. Calcule a area do conjunto E (limitado) no primeiro quadrante de R2, delimitado pelas

curvas xy = 2 e xy = 1 e pelas retas y = x e y = 2x.

Exercıcio 81. Calcule as areas de regioes seguintes do plano:

D = {(x, y) ∈ R2 : 9 ≤ x2 + y2 ≤ 8x}

E = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 8, y2/4 ≤ x ≤ 2y}F = {(x, y) ∈ R2 : (x2 + y2)3 ≤ 16x2}

Exercıcio 82. Calcule a area do astoide A = {(x, y) ∈ R2 : x2/3 + y2/3 ≤ a2/3} (sugestao: use a troca

de variavel: x = r cos3 t, y = r sen 3t). Olhe o site http://en.wikipedia.org/wiki/Astroid

17. Sexta-feira, 10 de abril de 2015

18. Sexta-feira, 10 de abril de 2015 – segunda aula

19. Segunda-feira, 13 de abril de 2015

Integrais triplas. Definicao (analoga ao caso da integracao dupla). Medida ou volume de um subcon-

junto de R3 segundo Peano-Jordan. Definicao de conjuntos de volume nulos. Funcoes integraveis em

conjuntos de R3.

Tecnicas de integracao. Teorema de Fubini: integracao por fios e por laminas. Mudanca de variavel

na integracao tripla. Coordenadas esfericas.

Aplicacoes: calculo do centro de massa e do momento de inercia.

Exercıcio 83. Determine o volume das regioes seguintes:

E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 4, x2 + y2 + z2 ≤ 16}

17

E2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z2, x2 + y2 + z2 ≤ a2}

E3 = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ 2z ≤ x2 + y2 ≤ 4, x2 + y2 ≤ 2y}

E4 = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 0, x2 + y2 ≤ z2, x− 2z + 2 ≥ 0}

E5 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 2az, x2 + y2 ≤ az}

E6 = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 0, x2 + y2 ≤ z2, x2 + y2 + z2 ≤ 2ax}

Exercıcio 84. Calcule (usando uma passagem ao limite)

∫R2

e−x2−y2 dxdy. Use o resultado para provare

que a integral impropria

∫ +∞

−∞e−xdx converge para

√π.

Exercıcio 85. Calcule as integrais seguintes:∫E

z2 dxdydz E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≥ a2, x2 + y2 + z2 ≤ 4a2}∫E

√x2 + y2 dxdydz E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 2z ≤ 4x}∫

E

√x2 + y2 dxdydz E = {(x, y, z) ∈ R3 : z2 ≤ x2 + y2, (x2 + y2)2 ≤ a2(x2 − y2)}

Exercıcio 86. Calcule o volume da porcao de cilindro de equacao x2 + y2 ≤ 1, contida entre o plano

x+ y + z = 4 e o paraboloide z = −2 + x2 + y2.

Exercıcio 87. Calcule o volume do solido E = {(x, y, z) ∈ R3 : 9(

1−√x2 + y2

)2

+ 4y2 ≤ 1}

Exercıcio 88. Calcule as coordenadas do centro de massa de uma lamina homogenea com forma de um

quarto de elipse de equacao x2 + 4y2 ≤ 1 (x ≥, y ≥ 0).

Exercıcio 89. Calcule o centro de massa e o momento de inercia de um cone de altura h e raio de base

a, sabendo que a densidade de massa e proporcional a distancia da base.

Exercıcio 90. Determine o centro de massa de uma calota esferica homogenea de raio R0 e raio da

esfera R (R ≥ R0, obviamente).

Exercıcio 91. Teorema de Pappo4 Seja A um conjunto no plano yz de R3, que possui medida (area).

Seja V o solido obtido da rotacao de A em torno do eixo z. Prove que o volume de V e = 2πyB · area

(A), onde yB e a coordenada y do centro de massa de A.

Exercıcio 92. Use o Teorema de Pappo para calcular o volume de um toro de raios R e r. (quem nao

lembra ou nao conhece o toro, veja por exemplo http://pt.wikipedia.org/wiki/Toro_(topologia)

Exercıcio 93. Determine o centro de massa de uma lamina homogenea com forma de semielipse de

semieixos a e b.

Exercıcio 94. Calcule ∫D

x

x2 + y2dx dy,

sendo D o subconjunto limitado em R2 e delimitado pelas retas x = 1 e x = 2 e pelas parabolas y = x2/2

e y = x2.

4matematico grego, 300 a.C.

18

Exercıcio 95. Calcule ∫D

xy dx dy,

sendo D o subconjunto limitado em R2 dos pontos (x, y) tais que x2 + y2 ≤ 1 e y ≥ x2 − 1.

Exercıcio 96. Calcule ∫D

xsen y

ydx dy,

sendo D o subconjunto limitado em R2 dos pontos (x, y) tais que x2 + (y− 1)2 ≤ 1 e 0 ≤ y ≥ x/2. Neste

exercıcio o leitor pode verificar que D e y-simples e x-simples. Todavia a dificuldade no exercıcio depende

fortemente da escolha da ordem na decomposicao da integral, devido ao Teorema de Fubini. Isso porque

sen y/y faz parte daquela classe de funcoes que nao admite primitiva em forma elementar.

Exercıcio 97. Calcule ∫D

cos(x+ y) dx dy,

sendo D = {(x, y) ∈ R2 : −2 ≤ y ≤ |x| + 1, 2|x| ≤ |y| + 1}. Desenhe o conjunto. E possıvel provar

(verifique!) que D nao e y-simples nem x-simples. Para abordar o exercıcio e oportuno pensar em uma

decomposicao do domınio para ter uma soma de integrais.

Exercıcio 98. Calcule ∫D

x− 1

(x− 1)2 + y2dx dy,

sendo D = {(x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + y2 ≥ 1, 0 ≤ y ≤√

3(x− 1), 1 ≤ x ≤ 2}. Desenhe o conjunto.

Exercıcio 99. Calcule ∫D

x 3√x2 + y2 dx dy,

sendo D = {(x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + y2 ≤ 1, (y − 1)2 + x2 ≤ 1}. Desenhe o conjunto.

Exercıcio 100. Calcule ∫D

√4x2 + 9y2 dx dy,

sendo D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ −x, 4x2 + 9y2 ≤ 4}. Desenhe o conjunto. O domınio D e parte

do interior de uma elipse. E oportuno usar as coordenadas elıpticas.

Exercıcio 101. Calcule ∫D

(x+ y) log(x− y) dx dy,

(“log” e o logaritmo em base e) sendo D = {(x, y) ∈ R2 : 1 − x ≤ y ≤ 3 − x, x − 1 ≤ y ≤ x − 1/2}.Desenhe o conjunto.

Exercıcio 102. Calcule ∫D

e

2x− yx+ 3y dx dy,

sendo D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, 1 ≤ x+ 3y ≤ 2}. Desenhe o conjunto.

Exercıcio 103. Calcule ∫D

x5

y3sen (xy) dx dy,

sendo D = {(x, y) ∈ R2 : x < y < 2x, 1 < xy < 2}. Desenhe o conjunto.

19

Exercıcio 104. Calcule ∫D

z − 3√x2 + y2

dx dy dz,

sendo D = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y2, y ≥ −x, 4x2 + 9y2 ≤ 4}.

Exercıcio 105. Calcule ∫D

x dx dy dz,

sendo D = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≥ (x− 1)2 + y2, −x2 ≤ z ≤ 2− x− y}.

Exercıcio 106. Calcule ∫D

z√x2 + y2 dx dy dz,

sendo D = {(x, y, z) ∈ R3 : 16 ≥ x2 + y2 + z2, z ≥ 2}.

Exercıcio 107. Calcule ∫D

z log(1 +√x2 + y2 + z2) dx dy dz,

sendo D = {(x, y, z) ∈ R3 : 4 ≥ x2 + y2 + z2, x ≤ 0, 0 ≤ y ≤√x2 + z2}.

Exercıcio 108. Calcule ∫D

(x+ y) dx dy dz,

sendo D o conjunto de R3 obtido pela rotacao triangulo de vertices (0, 0, 0), (0, 0, 4), (1, 1, 2√

3/2) entorno

da reta que passa pela origem e por (√

2/4,√

2/4,√

3/2).

OS EXERCICIOS ANTERIORES SAO MUITOS. FACA ALGUNS.

20. Quarta-feira, 15 de abril de 2015

Curvas em Rn. Definicao de curva como funcao e de traco de curva (ou trajetoria) como imagem da

curva.

Definicao de curva contınua e curva derivavel.

Exercıcio 109. Escreva as duas definicoes acima. Tente esclarecer a diferenca entre a imagem de uma

curva (o traco ou trajetoria) e o grafico. Lembrando que nunca prestaremos atencao a graficos de curvas.

Exercıcio 110. Desenhe a imagem da parabola semicubica φ(t) = (t3, t2). Verifique que e uma curva

derivavel e calcule a derivada.

Definicao de parametrizacao de uma trajetoria.

Exercıcio 111. a) Escreva uma parametrizacao em coordenadas polares da circunferencia de raio 1 e

centro na origem do plano euclidiano.

b) Em seguida, escreva uma parametrizacao em sentido horario.

c) Escreva uma parametrizacao que tenha (0, 1) como ponto inicial (imagem do extremo esquerdo do

intervalo domınio).

d) Escreva uma parametrizacao em coordenadas cartesianas.

Exercıcio 112. Escreva a equacao polar da espiral de Arquimedes e da espiral logarıtmica. Em seguida,

escreva uma parametrizacao das duas trajetorias.

Exercıcio 113. Escreva uma parametrizacao da cicloide.

20

A cicloide tem uma importancia relevante em fısica sendo a solucao dos problemas da existencia da

curva braquistocrona e da curva tautocrona. Veja-se pro exemplo

http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve

e

http://en.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_curve

Exercıcio 114. Escreva uma parametrizacao da reta que passa por (1, 2, 1) e e paralela ao vetor (−1, 0, 2).

Tente desenhar a reta.

Exercıcio 115. Escreva uma parametrizacao da helice cilındrica.

Exercıcio 116. Tente desenhar a curva obtida como solucao do sistema{x2 + y2 + z2 = 4

z = 1.

Analise a curva acima usando o Teorema da funcao implıcita.

Definicao de curva fechada, curva simples, curva regular e curva regular por partes.

Exercıcio 117. Desenhe a imagem da curva φ(t) =((t− 1)(t+ 1), t(t− 1)(t+ 1)

). Prove que nao e uma

curva simples.

Exercıcio 118. Escreva uma parametizacao nao simples da circunferencia. (Assim pode-se verificar que

o conceito de curva simples depende da parametrizacao e nao da imagem).

Exercıcio 119. Escolha uma funcao f : I → R (escolhendo tambem I). Determine uma parametrizacao

do grafico de f .

Exercıcio 120. Escreva as definicoes de curva fechada, curva simples, curva regular e curva regular por

partes. Procure exemplos de cadaum dos tipos de curvas deste exercıcio.

Definicao de vetor tangente (ou vetor velocidade) e de reta tangente.

Exercıcio 121. Desenhe a trajetoria da curva φ : [0, 2π], φ(t) = (cos t, sen t).

Exercıcio 122. Desenhe a trajetoria da curva φ : [π/4, π/2], φ(t) = (cos 2t, sen 2t).

Exercıcio 123. Desenhe a trajetoria da curva φ : [π, 2π], φ(t) = (− sen t, cos 2t).

Exercıcio 124. Determine uma parametrizacao da reta pelos pontos (1, 2− 1) e (0, 1, 3).

Exercıcio 125. Determine uma parametrizacao da trajetoria obtida como intersecao do paraboloide de

equacao z = x2 + y2 − 2 e do plano de equacao y − z = 3. Esboce o desenho da figura.

Exercıcio 126. Escreva uma parametrizacao da elipsex2

2+y2

3= 1. Use as cordenadas elıpticas.

Exercıcio 127. Desenhe a elipsex2

4+y2

9= 1.

Exercıcio 128. Escreva uma parametrizacao de um ramo da hiperbolex2

3− y2

5= 1.

Exercıcio 129. Desenhe a hiperbolex2

9− y2

16= 1.

Exercıcio 130. Escreva uma parametrizacao da espiral de equacao polar ρ = 2θ, onde θ ∈ [0,+∞).

Exercıcio 131. Escreva uma parametrizacao da espiral de equacao polar ρ = 3θeθ, onde θ ∈ [0, 4π].

21

Exercıcio 132. Desenhe as duas trajetorias acima.

Exercıcio 133. Escreva uma parametrizacao da cardioide de equacao polar ρ = 1 + cos θ, onde

θ ∈ [0, 2π].

Exercıcio 134. Escreva uma parametrizacao dos graficos das funcoes seguintes:

a) x2 + 1, x ∈ [−1, 2]; b) arctgx, x ∈ [−π, π]; c) x log x, x ∈ (0, e]; d) |x|x,

x ∈ [−2, 1].

Exercıcio 135. Analise a diferenca entre os conceitos de curva e trajetoria. Escreva um exemplo de

duas curvas com a mesma trajetoria, calcule os vetores tangentes em dois valores do parametro, mas

com mesmo ponto imagem sobre a trajetoria. Verifique que os vetores sao paralelos e determine a reta

tangente. (Pense no exercıcio feito em sala de aula; reescreva aquele exercıcio e procure um novo exemplo).

Exercıcio 136. Desenhe as trajetoria das curvas seguintes (todas definidas em tudo R):

a) φ(t) =(t(t− 1), (t− 1)(t− 2)

), b) φ(t) =

(− t(t+ 1), (t− 1/2)(t− 1)(t− 2)

).

Exercıcio 137. Estude as tres curvas seguintes (todas definidas em tudo R):

a) φ(t) =(t, |t|

), b) ψ(t) =

(t3, |t3|

), c) χ(t) =

(t2, t3

).

Diga se o vetor tangente e sempre definido, se e nulo em alguns pontos. Analise a relacao entre as duas

primeiras curvas: explique porque, na sua opiniao, do ponto de vista fısico, um particular vetor tangente

deve ser nulo. Enfim, desenhe as trajetorias.

Exercıcio 138. Escreva a equacao da reta tangente as trajetorias parametrizadas seguintes nos pontos

escritos ao lado:

x = cos t, y = 1− t, (1, 1)

x = et, y = t+ t2, (1, 0)

x = sen t cos t, y = 1/ sen t, (0, 1)

x = t2, y = t3, (1, 1)

x = log(1 + t), y = 2t− t2, (0, 0)

x = tg t, y = cos 2t, (1, 0)

x = 1− arctg t, y = 1− t2, (1− π/4, 0)

Defininicao de comprimento de uma curva.

Exercıcio 139. O leitor analise a diferenca entre o conceito de comprimento de curva e um possıvel

conceito de comprimento de trajetoria. Uso aqui o termo “possıvel conceito” porque ainda nao foi

definido. Explique atraves de um exemplo quando o comprimento de uma curva nao representa a ideia

de comprimento da trajetoria correspondente.

O problema levantado neste exercıcio sera mais claro nas proximas aulas.

21. Sexta-feira, 15 de abril de 2015

Definicao de comprimento de curva.

Exercıcio 140. Calcule o comprimento da seguinte parametrizacao da circunferencia: φ(t) = (cos t, sen t),

t ∈ [π, 2π].

22

Exercıcio 141. Escolha qualquer outra parametrizacao simples da circunferencia e verifique que o

comprimento coincide com aquele do exercıcio anterior.

Exercıcio 142. Calcule o comprimento da seguinte parametrizacao da circunferencia: φ(t) = (cos t, sen t),

t ∈ [π, 4π]. De um comentario do resultado.

Observacao: Os tres exercıcios acima mostram uma coisa interessante: a definicao de comprimento

e dada pelas curvas e nao pelas trajetorias (as imagens). Fica por outro lado claro que a nocao de

comprimento da trajetoria seria mais interessante, sendo um conceito geometrico, independente do tipo

de parametrizacao. O leitor pode ja imaginar qual poderia ser uma definicao possıvel de comprimento de

uma trajetoria a luz dos exemplos acima. Este conceito sera mais claro daqui a pouco.

Exercıcio 143. Monte o problema do calculo do comprimento de uma elipse. (O calculo, depois, nao

vai ate o fim porque aparece uma integral difıcil.)

Exercıcio 144. Calcule o comprimento de φ(t) = (t3, t2), t ∈ [−1, 2].

Exercıcio 145. Calcule o comprimento de uma qualquer parametrizacao da parabola y = x2, com

1 ≤ x ≤ 2. Desenhe a trajetoria.

Exercıcio 146. Comprimento de uma qualquer parametrizacao da cardioide de equacao polar ρ =

1 + cos θ.

Exercıcio 147. Calcule o comprimento das curvas seguintes:

(t− sen t, 1− cos t) 0 ≤ t ≤ 2π

(et − 1, e2t + 1) 0 ≤ t ≤ 1

(arccos t, log t) 1/2 ≤ t ≤ 1

( sen t− t cos t, t sen t+ cos t) 0 ≤ t ≤ π/2

( sen t− t cos t, t sen t+ cos t+ t2/2) 0 ≤ t ≤ π/2

(cos2 t, cos t sen t) 0 ≤ t ≤ π/2

(arcsen t, log(1 + t)) 0 ≤ t ≤ 1

(cos 2t

4, cos3 t, sen 3t) − π/2 ≤ t ≤ π/2

(t2 + 10t, 4t2 + 5t) − 1 ≤ t ≤ 1

Definicao 5. Duas curvas regulares φ : [a, b]→ Rn e ψ : [c, d]→ Rn sao ditas equivalentes se existe uma

funcao p : [a, b]→ [c, d] bijetora, C1 e com inversa C1 tal que φ(t) = ψ(p(t)).

A definicao e estendıvel facilmente as curvas regulares por partes.

Exercıcio 148. Verifique que as duas curvas dos exercıcios 140 e 142 nao sao equivalentes.

Exercıcio 149. Determine uma curva equivalente a curva do exercıcio 140.

A demonstracao do fato seguinte e facil e e deixada como exercıcio.

Proposicao 6. Duas curvas equivalentes tem a mesma imagem.

23

O viceversa e falso como demonstram varios casos de diferentes parametrizacoes nao equivalentes da

circunferencia.

Proposicao 7. Duas curvas equivalentes φ : [a, b]→ Rn e ψ : [c, d]→ Rn tem o mesmo comprimento.

Demonstracao. Considere o comprimento de ψ,

l(ψ) =

∫ d

c

‖ψ′(s)‖ds.

Usando o difeomorfismo p : [a, b] → [c, d], vamos operar uma mudanca de variavel na integral acima:

s = p(t). A funcao p e bijetora e vale um dos dois casos seguintes:

(1) p′(t) > 0, para todo t, p(a) = c e p(b) = d;

(2) p′(t) < 0, para todo t, p(a) = d e p(b) = c.

No caso (1) temos ∫ d

c

‖ψ′(s)‖ds =

∫ b

a

‖ψ′(p(t))‖ p′(t) dt =

∫ b

a

‖φ′(t)‖ dt = l(φ).

No segundo caso temos∫ d

c

‖ψ′(s)‖ds =

∫ a

b

‖ψ′(p(t))‖ (−p′(t)) dt =

∫ b

a

‖ψ′(p(t))‖ p′(t) dt =

∫ b

a

‖φ′(t)‖ dt = l(φ).

Os dois casos coincidem em verificar que l(ψ) = l(φ). �

Exercıcio 150. o leitor desenvolva de novo a demonstracao acima tentando explicar todos os passos

intermediarios, que usam resultados da teoria basica da integracao de calculo 1 (a troca de variavel).

22. Quarta-feira, 22 de abril de 2015

Proposicao 8. Sejam φ : [a, b] → Rn e ψ : [c, d] → Rn duas curvas regulares, simples e com a mesma

imagem. Entao φ e ψ sao equivalentes.

Demonstracao. Apresentamos a prova no caso particular de que φ e ψ nao sao fechadas, ou seja,

φ(a) 6= φ(b) e ψ(c) 6= ψ(d). Neste caso φ e ψ sao injetoras e podemos definir a funcao p : [a, b] → [c, d]

da definicao 5 de um jeito bastante natural. Dado t ∈ [a, b], seja P = φ(t) o elemento correspondente da

trajetoria. Sendo ψ injetora, existe um unico valor s ∈ [c, d] tal que ψ(s) = P . Definimos p(t) = s. E

facil provar que p assim definida e injetora e sobrejetora. Falta provar agora que e C1 e que tambem a

inversa e C1. Seja portanto t ∈ [a, b] fixado e denotamos s = p(t). Sendo por hipotese ψ regular, temos

ψ′(s) 6= 0, ou seja, pelo menos uma das coordenadas deste vetor nao e zero. Suponhamos, sem perder em

generalidade, que seja a primeira, ou seja, ψ′1(s) 6= 0. Isso implica que ψ1 e inversıvel num intervalo de tipo

I = (s− δ, s+ δ) (intersectado com [c, d] se for necessario). Portanto, sendo, φ1(t) = ψ1(p(t)), podemos

escrever p(t) = (ψ1)−1(φ1(t)), numa oportuna vizinhanca J de t. Portanto p se torna composicao de

funcoes C1 e e enfim C1. Sendo t generico, tal propriedade vale em tudo [a, b]. Para provar que a inversa

e tambem C1 o raciocınio e analogo e e deixado por exercıcio. �

Exercıcio 151. O leitor desenvolva de novo a demonstracao acima explicando os detalhes dos passos

deixados por exercıcio ou somente acenados.

24

Gracas a combinacao dos resultados anteriores podemos finalmente definir o comprimento de uma

trajetoria, ou seja de um lugar geometrico de pontos em Rn de uma equacao, conceito bem mais natural

do que o comprimento de uma curva, que e uma funcao (veja-se o exercıcio 139).

Definicao 9. Dada uma trajetoria T em Rn, limitada, que admite pelo menos uma parametrizacao

regular e simples, o comprimento de T e definido como o comprimento de uma qualquer parametrizacao

regular e simples de T .

Observacao: os conceitos acima podem ser facilmente generalizados ao caso de curvas regulares por

partes.

Exercıcio 152. Calcule o comprimento das trajetorias seguintes, escritas em coordenadas polares:

a) ρ = 2a(1 + cos θ), −π ≤ θ ≤ π (cardioide);

b) ρ = aθ, a > 0 fixado, 0 ≤ θ ≤ π/6 (espiral de Arquimedes);

c) ρ = a sen 5θ, a > 0 fixado, 0 ≤ θ ≤ 5π/6.

Exercıcio 153. Calcule o comprimento das trajetorias seguintes, que sao graficos de funcoes:

a) y =ex + 1

ex − 1, 1 ≤ x ≤ 2;

b) y = ex, 1 ≤ x ≤ 2;

c) y = (a2/3 − x2/3)3/2, 0 ≤ x ≤ a.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Temos dois tipos de integral de linha, dada uma curva regular φ : [a, b]→ Rn:

1) a integral de um campo vetorial F : Rn → Rn;

2) a integral de uma funcao escalar f : Rn → R.

Os dois conceitos sao muito diferentes, sejam como definicao, seja como significado geometrico e fısico.

Exercıcio 154. As definicoes destes dois tipo de integral sao claras em todos os livros. Nao precisa

aqui repetı-las. O leitor escreva as duas definicoes e veja os primeiros exemplos dos livros, para ajudar a

primeira compreensao da diferenca entre os dois conceitos.

Vimos na proposicao 7 que duas curvas equivalentes tem o mesmo comprimento. Sobre a integral de

linha de um campo vetorial vale um resultado parecido, mas nao igual (Teorema 11). Antes de apresentar

o resultado, precisamos da definicao seguinte.

Definicao 10. Sejam dadas duas curvas regulares e equivalentes φ : [a, b]→ Rn e ψ : [c, d]→ Rn e uma

funcao p : [a, b]→ [c, d] bijetora, C1 e com inversa C1 tal que φ(t) = ψ(p(t)). Dizemos que:

a) φ e ψ tem a mesma orientacao se p e crescente;

b) φ e ψ tem a orientacao oposta se p e decrescente.

25

Exercıcio 155. Tente representar com um desenho o significado da definicao anterior. Em particular

observe que no caso da mesma orientacao temos φ(a) = ψ(c) e φ(b) = ψ(d). Do ponto de vista geometrico

(ou cinematico) significa que φ e ψ representam dois ”caminhos” ao longo da trajetoria comum no mesmo

sentido.

Teorema 11. Sejam dadas duas curvas regulares e equivalentes φ : [a, b] → Rn e ψ : [c, d] → Rn e um

campo vetorial F : Rn → Rn. Entao,

a)∫φF =

∫ψF se φ e ψ tem a mesma orientacao;

b)∫φF = −

∫ψF se φ e ψ tem orientacao oposta.

Exercıcio 156. De a demonstracao do teorema acima.

Exercıcio 157. Escreva duas parametrizacoes equivalentes com a mesma orientacao da circunferencia

centrada na origem de R2 e de raio 1. Depois escreva duas parametrizacoes nao equivalentes com ori-

entacao oposta.

Exercıcio 158. Faca a mesma coisa do exercıcio acima para as trajetorias do exercıcio 134.

Exercıcio 159. Calcule a integral dos campos vetoriais seguintes em relacao as curvas ao lado:

F (x, y) = (xy2, x+ y), φ(t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ π/2;

F (x, y) = (y2,−x2), φ(t) = (R cos t, R sen t), 0 ≤ t ≤ π;

F (x, y) = ∇(xyex+y), φ(t) = (t, 2 + t), 0 ≤ t ≤ 1; (”∇” e o sımbolo do gradiente; neste caso

da funcao ao lado)

F (x, y) = (xy, yex), φ(t) = (t, t2), 0 ≤ t ≤ 1;

F (x, y) =1

x2 + y2 + z2(x, y,−2z), φ(t) = (t, 2t, t2), 1 ≤ t ≤ 2;

Exercıcio 160. Calcule as integrais seguintes:∫γ(y, x2 − y2), onde γ e o arco da circunferencia x2 + y2 = 4, que vai do ponto (−2, 0) ao ponto (0, 2)

no sentido horario;∫γ(xey, senx), onde γ e o segmento de (0, 1) a (1, 2), acompanhado do segmento de (2, 1) a (3, 2).

23. Sexta-feira, 24 de abril de 2015

Segundo tipo de integral de linha: de uma funcao escalar f : Rn → R sobre uma curva regular

φ : [a, b]→ Rn.

Exercıcio 161. Reescreva a definicao acima.

Exercıcio 162. Explique o significado geometrico deste tipo integral de linha, como visto em sala de

aula. Explique, atraves de um exemplo, o significado do fator ‖φ′(t)‖ na formula.

Exercıcio 163. Prove o seguinte resultado: sejam dadas duas curvas regulares e equivalentes φ : [a, b]→Rn e ψ : [c, d]→ Rn e uma funcao contınua f : Rn → R. Entao,

∫φf dσ =

∫ψf dσ.

Exercıcio 164. Calcule as integrais seguintes:

a)∫γe2z dσ, onde γ e parametrizada por (cos log t, sen log t, t), 1 ≤ t ≤ e2;

26

b)∫γ

√1 + x2 + 3y dσ, onde γ e o arco y = x2, 0 ≤ x ≤ 1;

c)∫γxyz dσ, onde γ e parametrizada por (R sen t, R cos t, ht), 0 ≤ t ≤ 2.

24. Segunda-feira, 27 de abril de 2015 e

25. Quarta-feira, 29 de abril de 2015

Teorema de Green. Definicao de conjunto conexo e com froteira regular

Exercıcio 165. Escreva todas as hipotese sobre os conjuntos envolvidos no enunciado do teorema de

Green.

Exercıcio 166. De a definicao de conjunto conexo por caminhos.

Exercıcio 167. Escreva quais sao as hipoteses sobre a fronteira dos conjuntos no enunciado do teorema

de Green; o que significam estas hipoteses. em particular, explique a questao da orientacao da borda.

Exercıcio 168. De o enunciado do teorema de Green.

Exercıcio 169. De a demonstracao do teorema de Green no caso em que o domınio seja um retangulo

e no caso em que o domınio seja do tipo D = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b], p(x) ≤ y ≤ q(x)}, onde

p : [a, b]→ [c, d] sao duas funcoes C1, inversıveis e com inversa C1.

Exercıcio 170. Usando o teorema de Green, calcule o trabalho do campo de forcas F (x, y) = (x4 −y3, x3 + y5) ao longo da circunferencia centrada na origem do plano euclidiano, de raio 1, e percorrida

em sentido antihorario.

Exercıcio 171. Considere o campo vetorial F (x, y) =1

x2 + y2(−y, x) e observe que e definido em

R2 \ {(0, 0)}. Calcule a integral de F ao longo da circunferencia centrada na origem e de raio r (escolha

a orientacao da curva). Use o resultado obtido e o teorema de Green para calcular a integral de F ao

longo de qualquer curva regular, fechada e que inclue na parte interna dela a origem de R2.

Definicao de campo vetorial conservativo (que e dada, acompanhando a definicao do livro, em termos

de independencia da integral a respeito das curvas, e nao como na maior parte da literatura usando a

existencia do potencial – as duas definicoes sao por outro lado equivalentes).

Exercıcio 172. Escreva a definicao de campo vetorial conservativo.

26. Segunda-feira, 4 de maio de 2015

Teorema 12. Seja dado um aberto (conexo) D ⊆ Rn. Um campo vetorial contınuo F : D → Rn e

conservativo se e somente se existe uma funcao C1, U : D → R, que sera chamada potencial de F tal

que

∇U(x) = F (x) ∀x ∈ D.

O teorema foi provado em sala de aula e a demonstacao se encontra nos livros de calculo (e de analise).

Observacao: na maioria dos livros um campo que possue um pontencial e conservativo por definicao.

Exercıcio 173. Desenvolva a prova do teorema anterior.

27

Exercıcio 174. Prove que um campo vetorial F : D → Rn e conservativo se e somente para qualquer

curva fechada e regular φ vale ∫φ

= 0.

Sugestao: e uma consequencia muito facil da definicao.

Definicao de rotacional para campos em R3 que sejam C1. Extensao do conceito de rotacional aos

campos em R2.

Teorema 13. Seja dado um aberto (conexo) D ⊆ Rn. Se um campo vetorial C1 F : D → Rn e

conservativo, entao rotF = 0.

Exercıcio 175. Desenvolva a prova do teorema anterior.

O viceversa nao vale a menos que o omınio D nao tenha uma propriedade particular que iremos ver

na proxima aula. O campo do exercıcio 171 possui rotacional nulo, mas nao e conservativo.

Exercıcio 176. Verifique os detalhes da observacao acima.

27. Quarta-feira, 6 de maio de 2015

Definicao de domınio simplesmente conexo.

Teorema 14. Seja dado um aberto simplemente conexo D ⊆ Rn. Um campo vetorial C1 F : D → Rn e

conservativo se e somente se

∂Fj∂xi

(x) =∂Fi∂xj

(x), ∀x ∈ D, e ∀i, j = 1, ..., n.

A demonstracao, feita em sala de aula no caso de campos vetorial em R2, e obtida atraves de uma

aplicacao simples do teorema de Green.

∗ ∗ ∗Introducao as superfıcies parametrizadas regulares em R3.

28. Sexta-feira, 8 de maio de 2015

Parametrizacao do toro em R3.

Excercıcios de preparacao para a prova P2.

Em azul pode-se encontrar a correcao do exercıcio 77.

29. Segunda-feira, 11 de maio de 2015

Plano tangente a uma superfıcie (definicao).

Excercıcios de preparacao para a prova P2.

30. Quarta-feira, 13 de maio de 2015

Prova P2.

28

31. Sexta-feira, 15 de maio de 2015

Significado geometrico da matriz jacobiana JΓ(u, v) de uma superfıcie parametrizada regular. Signifi-

cado dos dois vetores coluna. Plano tangente e vetor normal. Produto vetorial (externo) de Γu(u, v) e

Γv(u, v).

Area de uma superfıcie parametrizada regular. Exemplo: area de uma esfera.

Exercıcio 177. Escreva a definicao de superfıcie parametrizada regular. As definicoes que se encontram

nos varios livros podem ser diferentes. Considere aquela do livro onde voce esta acompanhando o curso.

Analise o domınio, tentando entender porque o domınio possui as hipoteses que foram escolhidas. E

entenda o significado da independencia linear das colunas da matriz jacobiana.

Exercıcio 178. Estude a definicao de plano tangente a uma superfıcie parametrizada regular. Entenda

e explique o significado geometrico dos vetores Γu(u, v) e Γv(u, v). Prove que o produto vetorial deles e

normal a todos os vetores do plano tangente.

Exercıcio 179. Parametrize a esfera S de raio 1 e centro na origem de R3. Determine o plano tangente

a S em um ponto por voce escolhido. Determine aqueles pontos nos quais nao e possıvel calcular o

plano tangente (por culpa da parametrizacao inadequada naqueles pontos). Mude a parametrizacao para

calcular o plano tangente naqueles pontos.

Exercıcio 180. Calcule a area de uma esfera de raio r.

32. Segunda-feira, 18 de maio de 2015

Ainda sobre a area de uma superfıcie.

Exercıcio 181. Calcule a area e o volume do toro de raios a e b. Observe que o toro pode ser representado

como superfıcie de revolucao.

Exercıcio 182. Calcule a area da procao comum aos dois cilindros x2 + y2 = a2 e y2 + z2 = a2.

Exercıcio 183. Chamamos S a esfera centrada na origem de R3 e de raio R fixado. Calcule a area da

porcao de S que fica no interior do cilindro de equacao x2 + y2 = Rx.

Exercıcio 184. Escreva uma parametrizacao do emisferio y ≥ 0 da esfera centrada na origem de R3 e

de raio R fixado.

33. Quarta-feira, 20 de maio de 2015 e

34. Sexta-feira, 22 de maio de 2015

Definicao de vetor e versor normal a uma superfıcie num ponto dela. Definicao de orientacao de uma

superfıcie.

Integral de uma funcao escalar sobre uma superfıcie. aplicacoes: calculo do centro de massa e do

momento de inercia.

Exercıcio 185. Calcule o centro de massa da semiesfera de equacao x2 + y2 + z2 = R2, com z ≥ 0 e

densidade superficial de massa igual a x2 + y2.

Exercıcio 186. Calcule o momento de inercia de um toro homogeneo de raios 1 e 2 em torno do eixo de

revolucao.

29

Exercıcio 187. Calcule∫

Γx dσ onde Γ e uma parametrizacao da superfıcie S = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥

0, y ≥ 0, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 2, e z = arctg (y/x)}. Procure pelo menos duas parametrizacoes de S e faca o

exercıcio com as duas parametrizacoes encontradas.

Exercıcio 188. Prove que a esfera e o toro sao orientaveis. Prove que a faixa de Moebius nao e orientavel.

Exercıcio 189. Determine uma parametrizacao da porcao S do hiperpoloide x2 + y2 − z2 = 1 tal que

z ≥ 0. Determine a equacao do plano tangente a S num ponto generico (x0, y0, z0) e o vetor normal

produzido pela parametrizacao escolhida. Prove que a superfıcie e orientavel.

Exercıcio 190. Determine uma parametrizacao da superfıcie S de equacao z = xy. Determine a equacao

do plano tangente a S num ponto generico (x0, y0, z0) e o vetor normal produzido pela parametrizacao

escolhida. Prove que a superfıcie e orientavel.

Exercıcio 191. Determine uma parametrizacao da superfıcie S obtida da rotacao em torno do eixo z da

curva no plano y = 0 de equacao x = z(1− z), z ∈ [0, 1]. Calcule Γu e Γv.

Exercıcio 192. Calcule o baricentro e o momento de inercia da superfıcie lateral de um cone homogeneo

de massa M , raio R e altura h. Faca depois o calculo para a superfıcie completa do cone.

Exercıcio 193. Seja S a semisfera de raio 1, centro na origem e z ≥ 0. Calcule∫Sx2 + z dσ.

Exercıcio 194. Calcule∫S

(x2−z)/√

1 + 4(x2 + y2) dσ, onde S e a procao de z = x2−y2 e x2 +4y2 ≤ 4.

35. Segunda-feira, 25 de maio de 2015 e

36. Quarta-feira, 27 de maio de 2015

Exercıcio 195. Escreva a formula que define a area de uma superfıcie regular.

Exercıcio 196. De a definicao de integral de uma funcao escalar sobre uma superfıcie.

Exercıcio 197. De a definicao de integral de um campo vetorial sobre uma superfıcie.

Exercıcio 198. Calcule ∫S

F · ndσ,

onde F (x, y, z) = (−y, x, 1) e S e a porcao do paraboloide z = x2 + y2, com 0 ≤ z ≤ 4, e a orientacao de

S e dada da parametrizacao que representa a superfıcie como grafico z = f(x, y).

Exercıcio 199. Calcule ∫S

F · ndσ,

onde F (x, y, z) = (z, z, y2) e S e a porcao do hiperboloide x2 + y2 − z2 = 1 e z entre zero e 1. Escolha a

normal que aponta para o sentido negativo de z

Exercıcio 200. Em relacao a porcao S do hiperboloide do exercıcio anterior, tente parametrizar S em

todas a maneiras que voce lembra. Veja se orientacao concorda ou nao com a do exercıcio acima.

Exercıcio 201. No caso de uma superfıcie com borda, constituida por sua vez da uniao de um numero

finito di curvas regulares, diga qual e a orientacao induzida sobre a borda a partir da orientacao da

superfıcie. Diga como esta escolha permite, por outro lado, a definicao de orientacao de uma superfıcie

regular por partes, mas nao globalmente regular.

30

Exercıcio 202. Diga como o conceito de orientacao induzida acima se relaciona a orientacao da borda

de um aberto de R2 no enunciado do Teorema de Green.

Exercıcio 203. Escreva o enunciado do teorema de Gauss (ou teorema da divergencia). De a definicao

de divergencia de um campo vetorial.

Exercıcio 204. Verifique (se trata de um exemplo que nao e uma demonstracao) o teorema de Gauss no

caso de F (x, y, z) = (x2,−y2, z2) e S e o cilindro x2 +y2 = 4 onde z e entre zero e 2. Analize a orientacao

das porcoes regulares de S em relacao com as bordas delas, que sao as partes de nao regularidade (falta

de versor normal) de S.

Exercıcio 205. Discuta, como visto em sala de aula, a conexao entre o Teorema de Gauss e o Teorema

de Green.

Exercıcio 206. Apresente a divergencia de um campo F como limite do fluxo de F por unidade de

volume (densidade). Esboca o processo (como visto em sala de aula).

37. Sexta-feira, 29 de maio de 2015,

38. Segunda-feira, I de junho de 2015 e

39. Quarta-feira, 3 de junho de 2015

Teorema de Stokes.

Exercıcio 207. De o enunciado do Teorema de Stokes.

Exercıcio 208. Dado um campo de classe C2, verifique que a divergencia do ratocional e sempre nula.

Sejam duas superfıcies S1 e S2 cuja borda seja uma superfıcie regular e sejam S1 e S2 orientadas a

partir da mesma orientacao da borda comum. Seja F um campo vetorial C1. Prove que∫S1

F · ndσ =

∫S2

F · ndσ

Exercıcio 209. Verifique a correteza do Teorema de Stokes no caso em que a superfıcie S seja a semiesfera

de centro a origem de R3 e raio R, com z ≥ 0, e o campo e f(P ) = P/‖P‖3 e orientado S de maneira

que a normal tenha coordenada z nao negativa.

Exercıcio 210. Verifique a correteza do Teorema de Stokes no caso em que a superfıcie S seja a semiesfera

acima com a mesma orientacao e F = ωk ∧ r onde ωk = (0, 0, ω), ω ∈ R fixado, e r = (x, y, z).

Exercıcio 211. Verifique, na linguagem usada em sala de aula, que, dada uma curva γ orientada, temos∫γ

F · T dσ =

∫γ

F,

onde T e o versor tangente de acordo com a orientacao. Explique os dois integrais acima.

Exercıcio 212. Verifique a correteza do Teorema de Stokes no caso em que a superfıcie S seja o

paraboloide 1− x2 − y2 = z, com z ≥ 0 e F = (z, x, y). Escolha parametrizacao e orientacao de S.

Exercıcio 213. Explique, como feita em sala de aula, a conexao entre o teorema de Stokes e o teorema

de Green.

Exercıcio 214. Apresente o rotacional de um campo F como limite da circulacao de F por unidade de

area (densidade superficial). Esboca o processo (como visto em sala de aula).

31

Exercıcio 215. Calcule ∫S

F · ndσ,

onde F = (−y2, x2, z2) e S e a porcao de elipsoide x2 + y2/4 + z2 = 2, e z ≥ 1 e a normal que aponta

para cima.

40. Segunda-feira, 8 de junho de 2015

Definicao de equacao diferencial ordinaria: uma equacao onde a incognita e uma funcao real de variavel

real e a funcao incognita aparece junta com as suas derivadas ate uma certa ordem n. Formalmente:

F (t, y(t), y′(t), ..., y(n)(t)) = 0, (3)

onde F : U ⊆ Rn+2 → R.

Uma solucao de (3) e uma funcao z : I → R, definida em um intervalo I de R, que verifica a igualdade

acima para todo t ∈ I, ou seja

F (t, z(t), z′(t), ..., z(n)(t)) = 0, ∀t ∈ I.

Exemplos: modelos de dinamica populacional de Malthus e Verhulst. Movimento armonico, com e

sem atrito do ar.

Exercıcio 216. Determinar a funcao F como na formula acima (3) relativa as equacoes seguintes:

(1) y′′(t)(t2 + cos y′(t)) + y(t)− 1

y′(t) y′′(t)− t3 = 0;

(2) y′′′(t)− 2y′′(t) + 2y′(t) = t2;

(3) y′(t) =2 + y(t)

t− y′(t).

Exercıcio 217. De a definicao de equacao diferencial ordinaria. Qual e o sentido da palavra ordinaria

na definicao? De a definicao de solucao de uma equacao diferencial ordinaria. Qual e a definicao de

ordem de uma equacao diferencial ordinaria?

Exercıcio 218. Prove que as funcoes sen (t2 + c), definidas em R, onde c e um parametro real, sao

solucoes da equacao y′ = 2t√

1− y2. A equacao possui tambem solucoes constantes. Quais?

Exercıcio 219. Prove que as funcoes y(t) =ceat

1 + cbeat, onde a, b, c sao constantes reais, sao solucoes da

equacao logıstica y′(t) = ay(t)(1− by(t)). Onde foi encontrada esta equacao?

Definicao de equacao em forma normal:

y(n)(t) = f(t, y(t), y′(t), ..., y(n−1)(t)).

Problema de Cauchy relativo a uma equacao de primeira ordem:{y′(t) = f(t, y(t))

y(t0) = y0

(4)

O ponto (t0, y0) pertence ao domınio de f . Entre todas as solucoes de y′ = f(t, y) (se existem), procuramos

aquela (ou aquelas) que tem valor y0 em t0. Esta se chama solucao do problema de Cauchy (4).

32

Temos um resultado importante sobre os problemas de Cauchy para as equacoes de primeira ordem.

Teorema (de existencia e unicidade local da solucao para um problema de Cauchy – versao simplifi-

cada). Seja o problema de Cauchy {y′(y) = f(t, y(t))

y(t0) = y0

(5)

onde sao verificadas as condicoes seguintes:

(1) f : U → R e definida e contınua em um aberto U de R2;

(2) (t0, y0) ∈ U ;

(3) existem dois intervalos I = (t0 − r0, t0 + r0) e J = (y0 − r0, y0 + r0) tais que I × J ⊆ U e que f e

de classe C1 em I × J na segunda variavel.

Entao, o problema (5) possui solucao unica em (t0 − r0, t0 + r0).

Exercıcio 220. Escreva a primeira parte da demonstracao, aquela que foi feita em sala de aula, e que

e entre os limites dos nossos conhecimentos.

Exercıcio 221. Em um problema de Cauchy{y′(y) = f(t, y(t))

y(t0) = y0,

se f e contınua, mas nao sabemos se e C1 na segunda variavel, o sistema possui solucao (a prova deste

fato e difıcil), que pode nao ser unica. Exemplo: o sistema{y′ = y2/3

y(0) = 0,

possui a funcao nula como solucao e as infinitas solucoes:

y(t) =

{(t− c)3 t ≥ c0 t < c,

onde c e um parametro real positivo. Verifique que as funcoes acima sao, de fato, solucoes do problema.

Exercıcio 222. Verifique se as funcoes seguintes sao solucoes da equacao ao lado:

a) y(t) = t tg t, ty′ = y + y2 + t2,

b) y(t) = e2t + 3e−2t + 2, y′′ − 4y = −8,

c) y(t) = c2 + c/t, y + ty′ = t4(y′)2.

Exercıcio 223. Determine para quais valores do parametro real α a funcao y(t) = eαt e solucao da

equacao y′′ − 5y′ + 6y = 0.

Exercıcio 224. Determine para quais valores de a, b, c a funcao y(t) = (beat, ceat) e solucao do sistema{y′1 = y1 − 2y2

y′2 = 8y1 − y2

Exercıcio 225. Determine as equacoes diferenciais ordinarias satisfeitas pelas funcoes que verificam as

condicoes seguintes: a) y2 − 2c(t+ c/2) = 0, c > 0 fixado; b) c(t− d)3 − y = 0, c, d reais fixados.

∗ ∗ ∗

Introducao as equacoes com variaveis separaveis.

33

41. Quarta-feira, 10 de junho de 2015

Exercıcio 226. Escreva a tecnica, provando todos os passos, para determinar o integral geral (i.e. o

conjunto das solucoes) de uma equacao separavel de ordem 1.

Exercıcio 227. Determine o integral geral das equacoes seguintes:

(1) y′ = 2ty2;

(2) t(1 + y2)y′ = 3;

(3) (t2 − yt2)y′ + y2ty2 = 0.

Exercıcio 228. Resolva os problemas de Cauchy seguintes:

a)

{y′ = (1 + y2) sen t

y(0) = 1.

b)

{y′ = et cos2 y

y(1) = π/4.

c)

{y′ + t(y2 − 1)/y = 0

y(1) = 1.

d)

{y′ =

√(1 + y)/(1 + t2)

y(0) = 2.

e)

{y′ + 2ty = t3y

y(0) = 0.

Exercıcio 229. Resolva o problema de Cauchy seguinte: y =1− y2

2

′

sen t

y(0) = 2.

Em particular determine o domınio da solucao e diga porque o domınio deve ser um intervalo.

42. Sexta-feira, 12 de junho de 2015

Equacoes diferenciais lineares.

Exercıcio 230. Escreva, como visto em sala de aula, a forma geral de uma equacao diferencial linear.

Exercıcio 231. Considere uma equacao diferencial linear completa

y(n) + an−1(t) y(n−1) + ...+ a1(t) y′ + a0(t) y = f(t) (6)

e a equacao homogenea associada

y(n) + an−1(t) y(n−1) + ...+ a1(t) y′ + a0(t) y = 0. (7)

Escreva dois sistemas de equacoes de ordem 1, equivalentes as equacoes acima.

Exercıcio 232. Escreva um problema de Cauchy relativo a equacao (6) (ou a equacao (7)) e diga porque

tem solucao unica.

34

Exercıcio 233. Mostre que o operador L que associa a cada funcao y de classe Cn a funcao Ly definida

por

Ly = y(n)(t) + an−1(t) y(n−1)(t) + ...+ a1(t) y′(t) + a0(t) y(t)

e linear.

Exercıcio 234. Prove, explicando todos os detalhes, como visto em sala de aula, que o conjunto das

solucoes da equacao (7) tem uma estrutura de espaco vetorial de dimensao n.

Exercıcio 235. Explique como e feito o conjunto das solucoes da equacao (6).

Exercıcio 236. Determine a integral geral (conjunto das solucoes) da equacao u′ + u/t = et. Nao

esqueca de determinar o domınio das solucoes.

43. Segunda-feira, 15 de junho de 2015

Exercıcio 237. Explique como funciona o “metodo de variacao da constante” usado para resolver a

equacao (6) (exercıcio 235 acima).

Para abordar equacoes lineares de ordem≥ 2 e bom trabalhar com equacoes com coeficientes constantes

(senao pode ser demais complicado).

Exercıcio 238. Determine a integral geral (conjunto das solucoes) da equacoes homogeneas seguintes:

1. u′′ = 2u

2. u′′ = −2u

3. u′′ − 3u′ + 2u = 0

4. u′′ + 3u′ = 0

5. u′′ + 4u′ + 4u = 0

6. u′′ − 4u′ + 13u = 0

Exercıcio 239. Explique os detalhes do raciocınio que se faz no caso em que as solucoes da equacao

polinomial caracterıstica tenha solucoes complexas (conjugadas).

Exercıcio 240. Determine a integral geral da equacao (completa) u′′ − 3u′ + 2u =1

1 + et.

Exercıcio 241. A partir do exercıcio anterior explique os detalhes do metodo da variacao da constante

para as equacoes de segunda ordem.

Exercıcio 242. Determine as solucoes da equacao u(4) + 2u′′ + 1 = 0.

Exercıcio 243. Determine (pelo menos) uma solucao da equacao de Bernoulli u′ + a(t)u = b(t)un,

onde a e b sao contınuas em um oportuno intervalo I. Na equacao acima un denota a potencia, nao a

derivada de ordem n (que tem sımbolo u(n)). Observe que a equacao de Bernoulli nao e linear e portanto

o conjunto das solucoes nao e um espaco vetorial.

Exercıcio 244. Determine as solucoes das seguintes equacoes de Bernoulli:

a) (1− t2)y′− ty−aty2 = 0, b) y− y′ cos t− y2 cos t(2− sen t) = 0, c) ty′+ y(1− tyn) = 0, n ∈ N .

Exercıcio 245. Determine a solucao geral das equacoes seguintes:

1. u′ + u tg t = 1/ sen t

35

2. u′ + 2tu = t+ t3

3. u′ + u/(t+ t2) = t− 2

4. u′ + u/ sen (2t) = sen t+ cos t

5. u′ + 2tu = te−t2

Exercıcio 246. Determine pelo menos uma solucao das equacoes seguintes:

1. u′ − u/t = u2 sen t

2. u′ + 2tu = u3t3

Exercıcio 247. Seja a equacao y(n) = an−1y(n−1) + ... + a1y

′ + a0y = 0. Prove que eλ1t e solucao da

equacao se e somente se λ1 e solucao da equacao caracterıstica associada λn−an−1λn−1−...−a1λ−a0 = 0.

Exercıcio 248. Seja a equacao y(n) = an−1y(n−1) + ... + a1y

′ + a0y = 0. Suponhamos que a equacao

caracterıstica associada possua n solucoes reais distintas. Determine uma base do espaco das solucoes de

y(n) = an−1y(n−1) + ...+ a1y

′ + a0y = 0.

Exercıcio 249. Sejam a1, ..., ak, k numeros reais distintos. Prove que as funcoes eait, i = 1, ..., k, sao

linearmente independentes.

Exercıcio 250. Sabemos que o integral geral da equacao x′′ + ω2x = 0 e da forma z(t) = c1 cosωt +

c2 senωt. Escreva a solucao na forma z(t) = A cos(ωt− φ), determinando A e φ em funcao de c1 e c2.

44. Quarta-feira, 17 de junho de 2015

Exercıcio 251. Determine a integral geral da equacao u′′′ − u′ = 2t2 − 3t. Na busa de uma solucao

particular da completa, use um “metodo de semelhanca”, procurando uma solucao polinomial, em vez

do metodo de variacao da constante, aqui mais complicado.

Exercıcio 252. Determine a integral geral da equacao u′′′ − u′ = (3− t)e2t.

Exercıcio 253. Determine a integral geral da equacao u′′ + u = sen t. Observe que neste caso sen t

e solucao da homogenea associada. Este fato comporta um certo cuidado na aplicacao do metodo de

semelhanca.

Exercıcio 254. Explique o que e uma equacao diferencial exata. Explique o metodo para resolucao da

uma equacao diferencial exata.

Exercıcio 255. Resolva o problema de Cauchy y′ =t+ cos y

t sen yy(1) = π/2.

Exercıcio 256. Resolva o problema de Cauchy y′ = − t+ y

t− 3yy(0) = 1.

Exercıcio 257. Determine as solucoes das seguintes equacoes exatas:

36

a) y′ = − 2ty3 + y

t+ 3t2y2, b) y′ =

y

y3 − t, c) y′ = −2

3

3ty2 + 2t3

2t2y + y2.

Um sistema de primeira ordem em n incognitas e importante porque e equivalente a uma equacao de

ordem n.

Exercıcio 258. Ecreva como sistemas de ordem 1 as equacoes seguintes:

a) y′′′(t) = 3t(y′′(t))2 + ey(t) sen (t);

b) y′′ + 5y′ − eyt = 0;

c) y′′′ + 3ty cos y2 = 0;

d) y′′ + ty′(1 + y2) = sen t;

e) y(4) + 2y′′y′ey = t(1 + y′′).

Exercıcio 259. Determine o espaco das solucoes das seguintes equacoes homogeneas:

1) y′′ + ωy = 0, ω constante positiva

2) y′′′ = 3y′′ − 4y′ + 2y

3) y(4) = 8y′′′ − 42y′′ + 104y′ − 169y

4) y′′ − 2y′ + y = 0

5) y(4) + 2y′′ + 2y′ = 0

Exercıcio 260. Determine o espaco das solucoes das seguintes equacoes nao homogeneas:

1) y′′′ − y′ = (3− t)e2t

2) y′′ − y = (t+ 1)et

3) y′′ + y′ = cos t

4) y′′ + 4y = 1 + et

5) y′′′ + y = 2tet

6) y′′ + y = 1/(1 + sen t)

7) y′′′ + y′ = t(cos t+ 1)

8) y(4) − y′′ = t+ sen t

9) y′′′ − y′′ − y′ + y = e−t

10) y′′ + 4y = 1 + et

Exercıcio 261. Diga para quais a o seguinte problema possui solucoes nao nulas.y′′ + 2y′ + ay = 0

y(0) = 0

y(1) = 0

Exercıcio 262. Resolva o sistemas seguintes.{y′ − 2v = sen t

v′ − y − v = t+ et{y′ − y − v = t+ 2

v′ − y − v = te2t

37{y′ − v = sen t

v′ + y = t cos t{y′ − v = 0

v′ − y = log(1 + et)