Mat 2080 par Hassan Younes · Mat 2080 par Hassan Younes UQÀM Mat2080 - Chapitre 7 Exercice... Une...
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Mat2080 UQÀM
Chapitre 7: Estimation d’autres paramètres
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Plan de l’exposé
Nous avons développé en détail le problème de l’estimation de lamoyenne µ d’une population. Mais la moyenne n’est pas le seulparamètre qu’on puisse vouloir estimer: il y a au moins quatreautres paramètres qu’on a souvent intérêt à connaître ou à estimer:
• Le total τ d’une population : par exemple, la production totalede blé dans les fermes d’une certaine région.
• Une proportion p: par exemple, la proportion des employésd’une compagnie qui serait favorable à un plan de soinsdentaires.
• Un effectif NC , par exemple, le nombre d’employés favorables àun plan de soins dentaires.
• Un quotient R, par exemple, le nombre de postes de radio parpersonne dans les ménages d’une population.
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Plan de l’exposé
• Estimation d’un total
• Estimation d’une proportion
• Estimation d’un effectif
• Estimation d’un quotient
• Estimation de la moyenne et du total d’un domaine
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Résumé des propriétés de y
• L’estimateur y est sans biais :
µy = µ
• L’écart type de y est
σy =
√1 − n
N
S√n
,
où S est l’écart type corrigé de la population, défini par
S =
√∑N
i=1(yi − µ)2
N − 1.
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Résumé des propriétés de y...
• L’écart type de y peut être estimé par
σy =
√1 − n
N
s√n
,
où s est l’écart type corrigé de l’échantillon, défini par
s =
√∑n
i=1(yi − y)2
n − 1.
• Un intervalle de confiance de niveau 1−α pour µ est donné par
[y − 2 × sy; y + 2 × sy] ,
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Exercice...
Une entreprise de vente au détail emploie 40 vendeurs. Le gérant
est en train de comptabiliser les ventes pour la semaine qui vient de
se terminer. Jusqu’ici, les montants des ventes par employé, ne sont
disponibles que pour 5 vendeurs. Ces 5 données sont présentées
dans le tableau suivant:Nom du vendeur Ventes de la semaines (en $)
Pierre 7 600
Céline 4 800
Rosario 6 200
Mélanie 8 500
Sophia 6 400
On a calculé pour vous :∑
y = 33 500 et∑
y2 = 232 450 000
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1. Évaluer y et sy
Solution
y =1
n
∑y
=33 500
5= 6 700
σ2
y = y2 − (y)2
=1
n
∑y2 − (y)2
=232 450 000
5− 6 7002
= 1 600 000
s2
y =n
n − 1σ2
y =5
4× 1 600 000 = 2 000 000
sy =√
2 000 000
= 1 414, 2136
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2. Estimer, par un intervalle de confiance de niveau 95%, la
valeur de la moyenne des ventes par vendeur.
Solution
L’intervalle de confiance est de la forme:
y ± 2 × sy.
En ce qui a trait à sy, on a:
sy =
√1 − n
N
sy√n
=
√1 − 5
40× 1 414, 2136√
5= 591, 607994
On trouve
y − 2 × sy ≤ µy ≤ y + 2 × sy
6 700 − 2 × 591, 607994 ≤ µy ≤ 6 700 + 2 × 591, 607994
5 516, 784 ≤ µy ≤ 7 883, 215
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Estimation d’un total
Considérons une population constituée de 850 transactions. Soit τ
le total des transactions. Supposons que ce total est inconnu et que
nous nous proposons de l’estimer à partir d’un échantillon de taille
20. Les montants des transactions de l’échantillon sont:
23,9 110,52 79,95 146,65 19,51
26,62 27,67 65,79 12,38 12,44
72,14 57,37 62,93 135,88 15,22
36,35 31,98 7,39 33,05 46,96
Nous pouvons suivre les mêmes étapes avec τ qu’avec µ: proposer
un estimateur; vérifier qu’il est sans biais; donner une formule de sa
variance, une formule de l’estimateur de la variance, et une formule
de l’intervalle de confiance.
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Estimation d’un total
L’estimateur. Puisque nous avons utilisé la moyenne y pour
estimer µ, il est naturel d’utiliser
T = Ny
pour estimer le total τ = Nµ.
Écart type de l’estimateur du total
σT = Nσy = N
√1 − n
N
S√n
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Estimation d’un total
Comment estimer l’écart type de T?
Il suffira de remplacer S par s dans la formule, ce qui donne
σT = N
√1 − n
N
s√n
Intervalle de confiance à 95% est donc
[T − 2 × σT ; T + 2 × σT ] .
Remarque On peut obtenir aussi un intervalle de confiance pour
le total τ de la population en multipliant les bornes de l’intervalle
de confiance pour la moyenne µ par N .
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Estimation du montant total des transactions...
Taille de la population: N = 850 transactions.
Taille de l’échantillon : n = 20.
La moyenne et l’écart type de la variable y, montant de la
transaction, sont:
y = 51, 235
et
s = 40, 7313
donc l’estimateur du total est
T = Ny = 850 × 51, 235 = 43549, 75.
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L’écart type estimé de l’estimateur est
σy =
√1 − n
N
s√n
=
√1 − 20
850
40, 7313√20
= 9
l’écart type de l’estimateur du total est donc:
σT = Nσy = 850 × 9 = 7650
Un intervalle de confiance à 95% pour le total τ est donné par:
T − 2 × σT ≤ τ ≤ T + 2 × σT
43549, 75 − 2 × 7650 ≤ τ ≤ 43549, 75 + 2 × 7650
28250 ≤ τ ≤ 58850.
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Une autre façon de faire c’est de calculer un intervalle de confiance
à 95% pour la moyenne µ:
y − 2 × σy ≤ µ ≤ y − 2 × σy
51, 235 − 2 × 9 ≤ µ ≤ 51, 235 + 2 × 9
33, 235 ≤ µ ≤ 69, 235
on trouve alors l’intervalle de confiance pour le total τ en
multipliant les deux bornes de l’intervalle de confiance pour µ par
N = 850 et on peut enfin affirmer avec 95% de confiance que
28250 ≤ τ ≤ 58850.
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Estimation d’une proportion
Un autre paramètre qu’on veut souvent estimer est p, la proportion
des membres d’une population qui possèdent une certaine
caractéristique, ou qui appartiennent à une certaine classe C .
• p peut être:
– la proportion de comptes impayés dans une population de
comptes;
– la proportion de pièces défectueuses dans un lot de pièces
fabriquées;
– la proportion de personnes exprimant telle ou telle opinion
dans un sondage.
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Estimation d’une proportion
Ici aussi, nous pourrons exploiter les résultats obtenus pour
l’estimation d’une moyenne. Il suffira de réaliser qu’une proportion
est en fait une moyenne d’un type particulier: c’est la moyenne
d’une variable dont les seules valeurs sont 0 et 1. Ce qui signifie
que tout ce que nous avons développé jusqu’ici sur l’estimation
d’une moyenne peut être mis à profit dans l’estimation d’une
proportion. L’exemple suivant illustre ce fait.
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Exemple...
Supposons qu’on veuille estimer, à partir de l’échantillon de 50 professeurs tiré d’une populationde N = 171 professeurs, la proportion p de professeurs engagés en 1970 ou avant (la classe C ).Pour faire le lien entre une proportion et une moyenne, définissons la variable Y de la façonsuivante:
yi =
1 si le professeur i appartient à la classe C
0 sinon
Date y Date y Date y Date y
1975 0 1972 0 1968 1 1971 0
1981 0 1969 1 1967 1 1974 0
1983 0 1969 1 1966 1 1970 1
1971 0 1968 1 1969 1 1985 0
1983 0 1969 1 1969 1 1974 0
1967 1 1969 1 1969 1 1972 0
1982 0 1983 0 1971 0 1982 0
1987 0 1969 1 1975 0 1973 0
1971 0 1967 1 1967 1 1969 1
1967 1 1971 0 1970 1 1981 0
1969 1 1970 1 1968 1 1981 0
1983 0 1970 1 1978 0 1976 0
1973 0 1976 0
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Exemple...
Il est clair que p = y et on peut alors procéder exactement comme
avec une moyenne. On a
y = 0, 46
s =
√∑n
i=1(yi − y)2
n − 1=
√12, 42
49= 0, 5035
σp ≈√
1 − 50
171
0, 5035√50
= 0, 0599
Un intervalle de confiance à 95% est donné par
[0, 46 − 2 × 0, 0599; 0, 46 + 2 × 0, 0599]
= [0, 3402; 0, 5798]
34, 02% ≤ p ≤ 57, 98%
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Estimation d’une proportion: simplifications...
L’estimateur. Dans un sondage auprès de 1785 personnes, on leur
a demandé s’ils étaient satisfaits du gouvernement en place.
Le nombre de personnes qui ont répondu affirmativement est
l’effectif de l’échantillon et est une variable aléatoire X
Si la taille de l’échantillon est n, la proportion de l’échantillon est:
p =X
n
Par exemple, si 1000 des 1785 personnes ont répondu «oui», alors
p =1000
1785= 0, 56
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Simplifications...
L’estimateur:
p =X
n,
cet estimateur est sans biais, c’est à dire µp = p.
Comment estimer l’écart type de p?
σp =
√1 − n
N
√p(1 − p)
n − 1≈
√1 − f
√p(1 − p)
n − 1
Intervalle de confiance
[p − 2 × σp; p + 2 × σp] .
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Exemple...
L’estimateur. La proportion p, de professeurs engagés en 1970 ou
avant, est estimée par p = 0, 46.
Comment estimer l’écart type de p?
σp =
√1 − n
N
√p(1 − p)
n − 1
=
√1 − 50
171
√0, 46(1 − 0, 46)
49∼= 0, 06
Intervalle de confiance pour p à 95% est
p − 2 × σp ≤ p ≤ p + 2 × σp
0, 46 − 2 × 0, 06 ≤ p ≤ 0, 46 + 2 × 0, 06
0, 34 ≤ p ≤ 0, 58
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Estimation d’un effectif
Tout comme avec le total
τ = Nµ
d’une variable quantitative, nous pouvons définir l’effectif
NC = Np
d’une certaine classe C de la population.
Les techniques d’estimation de ce paramètre découlent de celles de
p, tout comme les techniques d’estimation de τ découlent de celles
de µ.
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Estimation d’un effectif
L’estimateur.
NC = Np = N × proportion au sein de l’échantillon
Comment estimer l’écart type de NC?
σNC
= N√
1 − f
√p(1 − p)
n − 1
Intervalle de confiance[NC − 2 × σ
NC; NC + 2 × σ
NC
].
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Exemple...
Supposons qu’on veuille estimer le nombre de professeurs engagés
en 1970 ou avant. Puisque p = 0, 46 et que N = 171, nous estimons
le total par NC = (171) (0, 46) = 78, 66. Puisqu’il s’agit d’un
effectif, nous arrondissons, et estimons donc que le nombre de
professeurs dans cette classe est 79.
L’écart type de l’estimateur σNC
:
Nσp = N√
1 − f
√p(1 − p)
n − 1
= 171
√1 − 50
171
√(0, 46)(0, 54)
50 − 1= 10, 24.
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Exemple...
Intervalle de confiance pour l’effectif, N : le nombre de professeursengagés en 1970 ou avant, à 95% est donc:
NC − 2 × σNC
≤ NC ≤ NC + 2 × σNC
78, 66 − 2 × 10, 24 ≤ NC ≤ 78, 66 + 2 × 10, 24
58, 18 ≤ NC ≤ 99, 14
Le nombre de professeurs engagés en 1970 ou avant est donc entre58 et 100.
Une autre façon de faire est de determiner un intervalle deconfiance pour p puis de multiplier les bornes par N :
0, 34 ≤ p ≤ 0, 58
171 × 0, 34 ≤ N × p ≤ 171 × 0, 58
58, 14 ≤ NC ≤ 99, 18
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Estimation d’un quotient
Considérons le tableau suivant qui présente des données sur unéchantillon de 50 logements tirés d’une population de 1 500logements.
X Y X Y X Y X Y X Y
2 87 7 116 4 95 4 98 4 95
5 112 3 90 7 122 6 105 4 92
4 95 2 85 3 92 2 83 4 98
6 95 2 86 1 80 2 85 2 83
4 95 5 112 6 95 3 96 2 83
5 108 6 115 6 115 3 96 6 120
4 98 5 108 2 83 2 87 3 90
4 92 6 100 2 86 6 95 3 90
2 86 4 92 1 80 5 96 5 104
3 94 4 92 4 95 4 98 4 95
X: Nombre de personnes dans le logementY : Superficie du logement, en mètres carrés.
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Estimation d’un quotient
Supposons que l’objectif est d’estimer le nombre de mètres carrés
par personne dans les logements de la population. Il s’agit donc
d’un paramètre nouveau, un quotient, que nous dénoterons par R,
soit
R =
∑N
i=1yi∑N
i=1xi
=µy
µx
où µy et µx sont les moyennes de Y et de X , respectivement.
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Estimation d’un quotient
L’estimateur:
R =
∑n
i=1yi∑n
i=1xi
=y
x
Comment estimer l’écart type de R?
σR≈
√1 − f
√s2
y + R2s2x − 2Rsxy
x√
n
Intervalle de confiance[R − 2 × σ
R; R + 2 × σ
R
].
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Exemple...
Nous avons:
n = 50∑xi = 193
∑yi = 4790
∑x2
i = 869∑
y2
i = 464 324∑
xy = 19 198
x = 3, 86
s2
x = 2, 53102
s2
y = 111, 061
sxy = 14, 4612
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Exemple...
L’estimation du quotient est donc
R =
∑50
i=1yi∑
50
i=1xi
=4790
193= 24, 818653
Nous estimons donc que, dans la population, l’espace dans les
logements est de 24,8 m2 par personne.
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Exemple...
On estime l’écart type de R par
σR
=√
1 − f
√s2
y + R2s2x − 2Rsxy
x√
n
=
√1 − 50
1500
×
√√√√ 111, 061 + 24, 81862 × 2, 53102
−2 × 24, 81876 × 14, 4612
3, 86√
50= 1, 11159
L’estimation semble être très précise, l’écart type n’étant que de
1,11159.
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Exemple...
Par conséquent, un intervalle de confiance approximatif à 95% est
donné par
R − 2 × σR
≤ R ≤ R + 2 × σR
24, 818 − 2 × 1, 111 ≤ R ≤ 24, 818 + 2 × 1, 111
25, 60 ≤ R ≤ 27, 94
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Exercice...
Une ville d’un million d’habitants compte 105 résidences pour
personnes âgées d’une capacité comprise entre 100 et 250 lits. Une
banque désire connaître le rendement d’opération (R) pour ce type
d’industrie de services. Elle définit R comme rapport (Y/X) de la
somme (Y ) du profit avant amortissement et des frais de
financement à long terme à l’investissement (X) constitué par la
somme de l’avoir des propriétaires et de l’emprunt à long terme. La
banque compte utiliser le rapport R = Y/X pour établir sa
stratégie de crédit industriel. L’examen des rapports financiers
d’un échantillon aléatoire de 25 établissements de la catégorie
considérée a donné les résultats suivants (en milliers de dollars):
x = 3735; y = 381; sx = 1104; sy = 57; sxy = 5852. Établissez un
intervalle de confiance approximatif à 95% pour R.
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Solution...
L’estimation du quotient est
R =y
x=
381
3 735= 0, 1020008 .
On estime l’écart type de R par
σR
=
√1 − n
N
√s2
y + R2s2x − 2Rsxy
x√
n
=
√1 − 25
105
√572 + (0, 102)2(1 104)2 − 2(0, 102)(5 852)
3735√
25= 0, 0056742 .
L’intervalle de confiance approximatif à 95% pour R est
[R − 2 × σR, R + 2 × σ
R], soit 0, 092 ≤ R ≤ 0, 112.
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Un autre exemple...
Pour estimer le revenu par personne dans un quartier de 1 120
ménages, vous tirez un échantillon de 50 ménages. Vous trouvez
que, dans l’échantillon, le revenu moyen par ménage est de 35 100$
avec un écart type de 13 000$ et que le nombre moyen de personnes
par ménage est de 3.2 avec un écart type de 1.2 personne. Sachant
que le coefficient de corrélation de l’échantillon (r = sxy/ (sxsy))
est égal à 0,631, déterminez un intervalle de confiance à 95% pour
le revenu par personne dans le quartier.
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Solution...
Le revenu R par personne est le quotient µy/µx où µy est le revenu
moyen par ménage et où µx est le nombre moyen de personnes par
ménage. L’estimation de R est
R =y
x=
35 100
3, 2= 10 968, 75 .
On peut trouver sxy par la formule
sxy = rsxsy = 0, 631 × 1, 2 × 13 000 = 9 843, 6 .
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Solution...
On en déduit l’estimateur de l’écart type de R:
σR =
√1 − n
N
√s2
y + R2s2x − 2Rsxy
x√
n
=
√1 − 50
1 120
×
√130002 + (10 968, 75)2(1, 2)2 − 2(10 968, 75)(9 843, 6)
3, 2√
50
= 485, 47 .
L’intervalle de confiance approximatif à 95% pour R est
[R − 2 × σR, R + 2 × σR], soit 9 997, 81 ≤ R ≤ 11 939, 69.
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Encore...
Afin d’évaluer des obligations émises par une municipalité
comptant 11 000 propriétés résidentielles unifamiliales, une agence
de quotation désire évaluer l’équité moyenne du propriétaire pour
cette catégorie de propriétés. Il s’agit du rapport
R =Y
X=
évaluation − reste de l’hypothèqueévaluation
.
Un échantillon de 43 propriétés donne – à partir des données
fournies par le bureau d’enregistrement et par la municipalité en
question – que (en millier de dollars) x = 93, y = 52, que sx = 22,
sy = 9 et que sxy = (0, 22) (sxsy). Établissez une intervalle de
confiance approximatif à 95% pour l’équité moyenne dans la
municipalité.
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Solution...
R = 52/93 = 0, 559,
Sxy = 43, 56,
σR
= 0, 2217551,
R − 2 × σR≤ R ≤ R + 2 × σ
R;
soit
51, 57% ≤ R ≤ 60, 26%
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Échantillonnage d’un domaine
• Considérons une population P qui comprend comme partie, ou
sous-population D.
• Dénotons par τd, µd, et Nd le total, la moyenne et la taille,
respectivement, de D.
• Il arrive qu’on décide d’estimer τd ou µd après avoir prélevé un
échantillon de la population entière P.
• Une sous-population dont on veut estimer un paramètre est
appelée: domaine.
• Soit nd le nombre d’éléments de l’échantillon qui appartiennent
à D.
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Échantillonnage d’un domaine
D
Population : N, µ, S
Sous-population
Échantillon
N , µ , S d d d
d d d n, y, s
Sous-échantillonn , y , s
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Échantillonnage d’un domaine
L’estimation de µd: faire comme si on avait prélevé unéchantillon de taille nd du domaine D. C’est-à-dire, on estime µd
par la moyenne yd des nd éléments de l’échantillon quiappartiennent à D.
Comment estimer l’écart type de yd?
Si Nd est connu,
σyd=
√1 − nd
Nd
sd√nd
,
Si Nd n’est pas connu,
σyd=
√1 − n
N
sd√nd
,
Intervalle de confiance
[yd − 2 × σyd; yd + 2 × σyd
] .
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Échantillonnage d’un domaine
L’estimation de τd: faire comme si on avait prélevé un
échantillon de taille nd du domaine D. C’est-à-dire, on estime τd
par Td = Ndyd en se restreignant aux nd éléments de l’échantillon
qui appartiennent à D.
Comment estimer l’écart type de Td?
• Si Nd est connu,
σTd= Nd
√1 − nd
Nd
sd√nd
.
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• Si Nd n’est pas connu.
Pour estimer un total dans ce cas, nous définissons une nouvelle
variable Y ′ dont les valeurs y′i remplacent les yi et sont:
y′
i =
yi si l’unité i est dans D0 sinon
– Y ′ est définie pour la population entière.
– Le total τ ′ pour la population est précisément égal au total τd
du domaine.
Faire comme s’il s’agissait d’estimer le total d’une population
entière et non celui d’un domaine.
En pratique, on remplace toutes les données échantillonnales
qui n’appartiennent pas à D par 0, et procéder ensuite à
l’estimation d’un total.
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Exercice 6.2
A la fin d’une journée, le gérant d’un marché Monoprix prélève un
échantillon de 40 coupons de caisse parmi les 350 de la journée afin
d’estimer le montant total des ventes de produits pharmaceutiques.
Il trouve que seulement 10 coupons parmi les 40 comprenaient des
achats de produits pharmaceutiques. Les montants pour ces 10
coupons sont:
21,28 2,32 18,76 16,36 4,59
4,99 6,67 7,28 8,10 6,60
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Solution
1. Estimer le montant total des ventes en produits pharmaceu-tiques et estimer l’écart type de votre estimateur.
Solurion: les données peuvent être présentées sous la formesuivante:
i y′i
ni
1 21,28 1
2 2,32 1
4 16,36 1
5 4,59 1
6 4,99 1
7 6,67 1
8 7,28 1
9 8,10 1
10 6,60 1
11 à 40 0,00 30
c’est à dire: définir la nouvelle variable Y ′ dont les valeurs y′i
remplacent les yi et sont:
y′
i =
yi si l’unité i est dans D : achats pharmaceutiques
0 sinon
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Solution...
.
i y′i
ni y′ini y′2
i ni
1 21,28 1 21,28 452,8384
2 2,32 1 2,32 5,3824
3 18,76 1 18,76 351,9376
4 16,36 1 16,36 267,6496
5 4,59 1 4,59 21,0681
6 4,99 1 4,99 24,9001
7 6,67 1 6,67 44,4889
8 7,28 1 7,28 52,9984
9 8,1 1 8,1 65,61
10 6,6 1 6,6 43,56
11 à 40 0 30 0 0
Total 40 96,95 1330,4335
Moyenne y′ = 2,42375 y′2 = 33, 2608375
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Solution...
La variance échantillonnale non corrigée est:
σ′2 = y′2 − y′2
= 33, 2608375 − 2, 423752 = 27, 3862734
et la variance échantillonnale corrigée est:
s′2
=n
n − 1× (variance échant. non corrigée)
=40
39× 27, 3862734
= 28, 0884856
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Solution...
Ce qui nous conduit à un écart type échantillonnal (corrigé) de
s′ =√
28, 0884856 = 5, 29985713
On calcule alors l’écart type de y′ :
s′y′ =
√1 − n
N
s′√n
=
√1 − 40
350
5, 2999√40
= 0, 7886
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Solution...
L’estimation ponctuelle de τd est :
Td = N × y′ = 350 × 2, 42375 = 848, 3125
L’écart type de cette estimation du total est
sTd= N × s′y′ = 350 × 0, 788644 = 276, 025392.
Si nous voulons un intervalle de confiance à 95% pour le total
des ventes en produits pharmaceutiques (τd):
Td ± 2 × sTd= 848, 3125 ± 2 × 276, 025392
d’où l’intervalle
296 ≤ τd ≤ 1400.
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Attention...
L’intervalle de confiance à 95% pour la moyenne des ventes en
produits pharmaceutiques n’est pas:
y′ ± 2 × s′y′ = 2, 42375 ± 2 × 0, 788644
c’est à dire l’intervalle
0, 846462 ≤ µ ≤ 4, 001038.
Analyser les valeurs des ventes! La moyenne de ces valeurs est
plus élevée que $4. Cet intervalle peut juste servir comme
première étape pour le calcul de l’intervalle de confiance pour
le τd dans le cas où Nd est inconnue en multipliant les bornes
de cet intervalle par N .
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Question 2...
2. Supposons qu’on fasse un travail préliminaire pour séparer,
dans la population, les coupons qui comprennent des produits
pharmaceutiques de ceux qui n’en comprennent pas, et qu’on
trouve que dans la population 80 des coupons ont des produits
pharmaceutiques.
Estimer le total en utilisant cette information et estimer l’écart
type de l’estimateur.
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Solution...
.
Solution:i yi ni yini y2
ini
1 21,28 1 21,28 452,83842 2,32 1 2,32 5,38243 18,76 1 18,76 351,93764 16,36 1 16,36 267,64965 4,59 1 4,59 21,06816 4,99 1 4,99 24,90017 6,67 1 6,67 44,48898 7,28 1 7,28 52,99849 8,1 1 8,1 65,6110 6,6 1 6,6 43,56
Total 10 96,95 1330,4335
Moyenne yd =9,695 y2
d=133,04335
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Solution...
La variance échantillonnale non corrigée est:
σd2 = y2
d − yd2 = 133, 04335 − 9, 6952 = 39, 050325
et la variance échantillonnale corrigée est:
nd
nd − 1× (variance échantillonnale non corrigée)
=10
9× 39, 0503254
= 43, 38925
Ce qui nous conduit à un écart type échantillonnal (corrigé) de
sd =√
43, 38925 = 6, 58705169
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Solution...
On calcule alors l’écart type de yd :
syd=
√1 − nd
Nd
sd√nd
=
√1 − 10
80
6, 58705169√10
= 1, 9485
Faisons donc un intervalle de confiance à 95% pour la moyenne:
yd ± 2 × syd= 9, 695 ± 2 × 1, 9485
d’où l’intervalle
5, 798 ≤ µd ≤ 13, 592.
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Solution...
Si nous voulons un intervalle de confiance à 95% pour le totaldes ventes en produits pharmaceutiques (τd), il suffit demultiplier les bornes par la taille de la population, à savoir,N = 80.
80 × 5, 798 ≤ τd = Nd × µd ≤ 80 × 13, 592.
463, 84 ≤ τd ≤ 1087, 36.
N.B.:
L’estimation ponctuelle de τd est :
Td = Nd × yd = 80 × 9, 695 = 775, 60
L’écart type de cet estimateur est
sTd= Nd × syd
= 0, 7591884 × 1, 9845 = 155, 878093.
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Remarque...
Si Nd est inconnue et on veut de terminer un intervalle de confiance
pour µd alors, l’estimation ponctuelle de µd est:
yd = 9, 695
L’écart type échantillonnal est:
sd = 6, 58705169
Un seul changement est au niveau de calcul de l’écart type de yd:
syd=
√1 − nd
Nd
sd√nd
=
√1 − n
N
sd√nd
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Remarque...
Soit
syd=
√1 − 40
350
6, 58705169√10
= 1, 960
et l’intervalle de confiance à 95% pour la moyenne est donc
yd ± 2 × syd= 9, 695 ± 2 × 1, 960
d’où l’intervalle
5, 775 ≤ µd ≤ 13, 615.
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