Master Partea 1_2013
-
Upload
mircea-vishi -
Category
Documents
-
view
44 -
download
0
description
Transcript of Master Partea 1_2013
![Page 1: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/1.jpg)
STUDII MASTER - HIDROTEHNICĂ2013
Modelarea matematică aplicată înhidrotehnică
Partea I Introducere in metoda
mdelării,exemple
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICĂ
![Page 2: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/2.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
1.CONSIDERATII INTRODUCTIVE DESPRE MODELARE
•MODELAREA este procesul de generare de reprezentări/imagini simplificate ale realitatii complexe, constituind astfel o parte esentială indispensabilă a oricărei activităţi de cercetarea
ştiinţifică si nu numai.
•MODELAREA reprezintă in acelasi timp un instrument si o metodologie de bază prin care cercetătorul (modelatorul) descoperă aspecte noi despre lume.
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
![Page 3: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/3.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
•MODELAREA se caracterizeaza printr-o complexitate si varietate structurală imensă si are o cuprinderespatio-temporală foarte largă (0 → ∞)
-de la particulele elementare, la galaxii
-de la organisme monocelulare, la om si mai departe la societatea umană
-de la descrierea căderii unui măr la teoria relativitătii
-de la desenul naiv al unui copil la operele lui Picasso
„ALL MODELS ARE FALSE, SOME ARE USEFUL“(Centre for Modelig and Simulation, University of Pune)
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 4: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/4.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
EXEMPLE DE
COMLEXITATE si VARIETATE
IN MODELARE
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 5: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/5.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
!
NIVELUL SI GRADUL DE PLAUZIBILITATE A MODELELOR DE REPREZENTARE
a cunoasterii in general
EXTINDEREA SPATIO-TEMPORALĂ A UNIVERSULUI SUPUS CERCETARII
0
NIVELUL DE ACCESIBILITATE
DIMENSUNE
SP
O SCHEMĂ A CUNOASTERII SI MODELARII UNIVERSULUI (MATERIAL)
0
?
-∞
∞
☺
EX.1
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 6: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/6.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
SCHEMĂ PENTRU ANALIZA MODELĂRII UNUI SISTEM ACVATIC DE SUPRAFAŢĂ
(aspecte relevante la diferite scări geometrice)EX.2
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 7: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/7.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
SCHEMĂ PENTRU ANALIZA MODELĂRII UNUI SISTEM ACVATIC SUBTERAN
(aspecte relevante la diferite scări geometrice)
EX.3
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 8: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/8.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
F
Kartographie
Monitoringul mediului
Geodezie inginereasca
Navigation
GISManagement teritorial
Modelare-3D
Fotogrametrie
OD
ELAR
COM
P L EX
EA
EX E M
UP L
EX.4
Geoid
Cartografie
Mde
Geo
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 9: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/9.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
MODELARE DE MARE COMPLEXITATESchema de modelare a proceselor fizico-chimice in atmosfera terestră
Dupa:Scientific modelling-Wilkipedia, the free encyclpedy
EX.5
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 10: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/10.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
2.NOŢIUNI SI CONCEPTE FUNDAMENTALEDEFINITORII PENTRU MODELARE
În fundamentarea bazelor modelării ca metodă si instrument indispensabil în cercetarea ştiinţifică este necesar să se
precizeze unele noţiuni şi concepte fundamentale (primare) care stau la baza construirii modelelor.
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 11: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/11.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
A. Definiţia generală descriptivă a unor concepte fundamentale
UNIVERS (U)realitatea complexă în totalitatea ei, in care suntem si noi integrati si de care luăm
cunoştinţă în mod direct sau indirect prin diferite activitati, prin percepţii şi senzaţii (real-material/social), respectiv prin informatii si gândire (abstract)
SISTEM (S)orice parte a universului, constituit din entităţi (elemente) structurate prin relatii de
conexiune/interacţionează (interacţiuni interne), formând o unitate bine delimitată si de sine stătătoare (complex whole, sau inetgrated whole) in raport cu universul complementar sistemului cu care are de asemenea interacţiuni (interacţiuni externe)
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 12: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/12.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
O reprezentare schematică simplificată a unui sistem.
Re,i şi Ri,e sunt relaţiile de conexiune externe-interne-externe prin care se reprezintă interacţiunile sistemului cu
alte sisteme din univers;
SISTEM(entitati /elemente componente
de orice fel, structurate prin relatii de conexiune interne Ri,i)
Re,i Ri,e
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 13: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/13.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
CLASIFICAREA SISTEMELOR
•După natura existenţială-SISTEM Exitent (SE), (decupaj din natură, cum ar fi un sector de râu neamenajat, un lac de acumulare, globul pământesc, sistemul solar, ..., atomul element etc., dar si o forma de organizare politică, economică, socială etc. )
unui
-SISTEM Proiect (SP), (sistem care urmează a fi realizat cu un anumit scop pentru satisfacerea unor necesitati cum ar fi o constructie, o masină, o retea de cunicatii sau transport, dar si un set oganizat de idei sau/si principii după; o forma de organizare politică, economică, socială; maniera in care este organizată o institutie
•După natura entitătilor/componentelor-Sistem material (SM), denumit de regulă sistem real (entitatile/elementele constituentesunt materiale : obiecte, substante, fiinţe)-Sistem abstract (SA) (multimi, relatii, legi, reguli, proceduri etc.)
•După interactiunile cu universul complementar:-Sistem deschis când există interactiunii cu universul complementar (exterior) (toatesistemele: ex. alimentarea cu energie)-Sisteme inchise (exista numai ipotetic, când interactiunile cu exteriorul sunt neglijabile)
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 14: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/14.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
CLASIFICAREA SISTEMELOR (continuare)
•După comportamentul in timp:-Sistem dinamic (stări/interactiuni variabile in timp)-Sistem static (stări/interacţiuni constante in timp)
•După natura schimbării stărilor:-Sisteme continue (“umple” complet domeniul spatial)-Sisteme discrete (concentrat în subspatii/puncte izolate)
•După natura stării sistemului in raport cu interactiunile interne/externe:-Sisteme deterministe (in conditii similare evoluţia stărilor esteidentică si previzibila cu exactitate, ex. siteme mecanice si fizice newtoniene)-Sistem stochastice (in condiţii similare evoluţia stărilor este previzibila (se poate aprecia) numai cu o anumită probabilitate ( ex. sănătatea unui om, apele mari in râuri)
•După natura schimbării stărilor ca urmare a modificării interacţiunilor:-Sistem stabil (modificari normale ale interactiunilor determina modificari de stare tot normale)-Sistem instabil (modificari foarte mici ale interactiunilor determina modificari de stare foarte mari/ critice /catastrofale)
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 15: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/15.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
MODELIn procesul cunoasterii, sistemele supuse investigatiei tehnico-stiintifice cercetării/conceperii/proiectării sunt de regula de prea mare complexitate pentru a putea fi analizate/studiate la scara reală si in toata complexitaea lor. Pentru depasirea acestei dificultati se recurge la sipmlificari, schematizari, abstractizari, retinand caraceristicile esntiale ale sistemului supus investigatiei din punct de vedere al scopului urmarit.Etimologic notiunea de MODEL provine din latina “modulus”, adică “măsură”, “scară”
DefinitieIn sensul stiintelor naturii, filozofiei, sociologiei, psihologiei, stintelor economice, st. politice, informaticii, ciberneticii etc. MODELUL este un sistem real (material sau/si abstract), (SM) pe care SUBIECT-ul (cercetatorul) (SC) il concepe/construieste si il utilizeaza drept baza pentru efectuarea investigatiilor, studiilor si cercetrilor necesare rezolvarii unor probleme legate de un sistem dat, existent sau de realizat numit sistem original (SO), al cărui studiu direct nu este posibil, sau este numai partial posibil, fie din motive de cost, fie din motive de complexitate.Obs. -Pentru notiunea/conceptul de MODEL exista numeroase alte definitii si acceptiuni.
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 16: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/16.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
Exemple de acceptiuni/definitii diverse pentru notiunea de MODEL
MODEL in artele plastice (pictură) –un obiect din natură, sau o fiintă (umană) pe care artistul plasic îl utilizează în realizarea operei sale
MODEL (MACHETA) in sculptură/arhitctură/tehnică –un obiect/clădire/sistem realizat la scară redusă pe care sculptorul/arhitectul/inginerul îl utilizează în realizarea operei sale.
MODEL in moda- o îmbrăcăminte ralizată ca unicat (sau în număr limitat)
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 17: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/17.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
THE THREE BULLES
(from Picasso Bulls series)
după Centre for Modelling and Simulation of Pune
„MODELARE“-CREATIE IN DOMENIUL ARTEI
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 18: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/18.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
CLASIFICAREA MODELELOR
►Modele fizice•modele de similtudine-elementele constituente si structura SM si SO sunt de aceeasi natură fizica•modele analogice-elementele componente si structura SO si SM sunt de natura fizica diferita-ecuatii matematice generale identice (definind clasa de analogie)
►Modele matematice relaţii cantitative între simbolurile parametrilor destare ale sistemului modelat:
-deterministe,-probabiliste,-vagi/fuzzy logic, )
•Modele anlaitice (MA), (EcAlg, EcDif, EcDePa, Eintegr., EcOpt. etc.)•Modele numerice (MN), (MEDIF, MEFIN, MEFRO, etc. +Progr.)•Modele empirice (ME), (Progr. prelucr.observatiiprin regresii/corelatii etc.)
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 19: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/19.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
MODELAREA (stiintifică)
este un proces prin care SUBIECTUL (SC) (cercetător, subiect-modelator) efectueaza studii si cercetări pe un Sistem Model (SM), necesare rezolvarii unor probleme legate de un sistem dat, existent sau de realizat, numit Sistem Original (SO) al cărui studiu prin observatii/masuratori directe nu este posibil, sau este numai partial posibil, fie din motive de cost, fie din motive de complexitate.MODELAREA este strucurata deci intodeauna pe trei entităti (sisteme) intr-o conexiune bine determinata:•SISTEMUL ORIGINAL (SO)•SUBIECTUL (SC)
•SISTEMUL MODEL (SM)
SO-EXISTENT
-PROIECT
☺SM
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 20: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/20.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
B. PREZENTAREA MATEMATICĂ FORMALIZATĂ A MODELĂRII
Pornind de la definiţiile descriptive prezentate (A.) se pot introduce noţiunile de UNIVERS, SISTEM, MODEL etc. Printr- o formalizare matematică (abstractă) riguroasă, obţinîndu-se astfel o generalizare a lor care se va dovedi de mare utilitate în obţinerea unei imagini globale şi sistemice in utilizarea modelării în cercetarea ştiinţifica.
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 21: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/21.jpg)
acinp ℘
eh℘aavidq
otrD d℘oan�
BHi⋅ B
Ing. eI d-.D arf. ero atP tl
UNIVERS (U) : o mulţime U care conţine la rândul ei mulţimi , elemente şi părti ale acestor mulţimi, relaţii între mulţimi,reuniuni şi intersecţii de mulţimi fiind înzestrată cu o structură definită printr-o mulţime de relaţii de conexiune. In particular universul material (Um) este un univers.
SISTEM (S) in general, ( S ( B, Γ ))orice parte conexiune
a unui univers definite pe
, împreună cu relaţiile deîn raport cu care este conexă, adică:
-reprezintă suportul sistemului
-relatie binara reprezintand structura (conexiunile) sistemului.
∀(X ,Y )∈BxB, ∃p,q∈N , p, q ≥0
(X ,Y )∈Γp ⊕Γ−q sau (X ,Y )∈Γ−q ⊗Γp
∀(X ,Y )∈BxB, ∃p,q∈N , p,q ≥0
(X ,Y )∈Γp ⊕Γ−q sau (X ,Y )∈Γ−q ⊗Γp
B(Γ)
U , B ⊂UB
B
(Γ)
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 22: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/22.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
•SISTEM MATERIAL (SM), Sm (Bm ,Γm )
este un sistem care are drept suport mulţimea materială
{Γm} reprezinta mulţimea relaţiilor de conexiune
•SISTEM ABSTRACT (SA),
Sa (Ba ,Γa )
este un sistem care are drept suport o mulţime Ba
dintr-un univers abstract
Bm
Ua
S ( M )al unui sistem material dat considerat “original” Sm
(o)
( M ) )( M ) ( ( M ) ,(o) )(o) ,(o) ( RSm Bm Γm B Γ←→ S
•MODEL-ul
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 23: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/23.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
PROPRIETATE (specie de proprietate/marime fizica P, intensiva sau extensiva)
Βm ∋X → P( x) ∈Πm(o) (o)
Bm ⊃X → P(x)∈Π m(o)
Β(o) ∋X → P(x) ∈Π(o)m m
(o) (o)( )∈ΠBm ⊃X → P X m
IMPLICAŢIE CAUZALĂ este reprezentată printr-o relaţie binară de conexiune
Λ(o) ∋( P( X ), P(Y )) ⊂Π(o) × Π(o)m m m
SISTEM REPERABIL (realizabil)
(:o) ( (o) ,
(M ) )(M ) ,(M ) ;(M ) ,(o) ; (o) , (o) ) (M ) ((o) ( (o) ,Bm Γm Πm Λm ↔ SrSmr B ΛΠΓ(o )
Γ(o ) ← RΓ → Γ ( M )
Π(o ) ← R Π → Π ( M )
Λ(o ) ← RΛ → Λ( M )
( M )R B
m
m
m
B m ← → B
MODEL-ul/MODELAREA unui sistem original (realizabil)
(o) ; (o) , (o) )Bm Γm Πm ΛmSmr
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
Prof
.Dr.-
Ing.
Ioan
Daa
vid
Dep
arta
men
tul d
e H
idro
tehn
ica
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 24: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/24.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
3. SCHEMA GENERALĂ A ETAPELOR MODELARII IN
TEHNICĂ
EXEMPLE DE MODELARE
in hidrotehnică
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 25: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/25.jpg)
Sistem preexistent (SE)
Subiect (SC)
(observator)
SISTEM - MODEL ( S M )
MODEL CONCEPTUAL:- Dscrierea si structura SO- Elemente componente- Marimi fizice/relatii-Conexiuni/interactiuni relevante- Date generale caracteristici.
MODELE FIZICE
Modele MATEMATICE
Model matematic general:•Ecuatii matematice (ex.Ect. Dif.).•Formularea matematica (ex. Ect. Dif. + condt. la limita, cond. inititiale
MODELE MATEMATICE
Model fizic simil:Elemente componente deaceeasi natura ale SM si SO•Model matematic (ecuatii generale, relatii criteriale)•Legi/criterii de similitudine•Dimensionarea/relizrea modelului
Modele de SIMILITUDINE
Metode/Modele numerice :-metode numerice (MDIF,
MEF, MEFRO,...)-elaborarea/alegerea
programelor (software)
SIST
EMO
RIG
INA
L (S
O)
Sistem proiectat (SP)
cad ehni
iaav otD droan HiIng. deI-D ea.rf at.o tPr
Facul
PROIECT DHI-BAZE HIDRAULICE
SCHEMAgenerala a
MODELĂRII
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
VALIDARE/SIMULARE-Testare/calare model
-Simulare- scenarii rerezentative pentru SO
-Sinteza/Analiza obiectivelor propuse
Exploatarea/realizarea SO
Modele ANALOGICE
Model fizic analog Elemente componente de natura diferita in SM -SO• Ecuatii generale identice SO-SM.• Corespodenta marimilor fizice.
REZULTATE
Modele EMPIRICE•Observatii, masuratori
•Prelucrari
matematice:.
-metode statistice
- Corelatii
MACHETE
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 26: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/26.jpg)
ăcin hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
EXEMPLU REPREZENTATIV DE MODELARE MATEMATICĂ-NUMERICĂ
TEMA:Modelara miscarii si transportului poluanților inacvifer la depozitul de deșeuri Parța-Timiselaborata in cadrul proiectului de cooperare internationala
romano-olandez:
Establishing measures to rehabilitate the polluted groundwater altered due to landfill, in order
to reach the environmental objectives required by the EU Water Framework
Directive and the Groundwater DirectiveProiect de Cercetare-Dezvoltare (nr.737/03.09.2007)Universitatea POLITEHNICA Timisoara, Facultatea de Hidrotehnica, 2008-2009 (David,I., Beilicci, R.,
Sumalan, I.)
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 27: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/27.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
HIDROTEHNICA
PROBLEMĂ: Stabilirea evolutiei poluarii provenita de la depozitul de deseuri PARTA.
Locatia depozitului de deseuri Parta
MODELAREA MATEMATICA APLICATA INUNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 28: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/28.jpg)
SISTEM ORIGINAL (SO)
SISTEM ABSTRACTPrognoza evolutiei poluarii in SO
SCENARIISIMULARI
•MODEL CONCEPTUAL(MC)-delimitare spatiala, parametri caracteristici, interactiuni
-formularea problemelor de rezolvat etc.
MODEL
D E
S I M U L A R E
NUM
Va Li
dat
•MODEL MATEMATHIC (MM) :-Ecuatii fundamentale (EDP ale
miscarii si transportului poluantilor)-Conditii de margine si initiale
(nivele, concentratii etc.)
METODE DE REZOLVARE:
analitice numerice-MDF-MVF (MODFLOW)-MEFIN
• MODEL NUMERIC :-program (software) si/sau-calcule numerice
•TESTARE, VALIDARE-MODEL(comparatie date/calcule)
Schema/etapele modelării TRANSPORTULUI POLUANTIROR IN
ACVIEREcain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 29: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/29.jpg)
MODEL CONCEPTUAL
•Stabilirea perimetrelor hidrogeologicee semnificative pentru pentru propagarea poluarii
•Schematizari ale configuratiei/structurii hidrogeologice, a caracteristicilor acviferului (adancime,stratificatie, conductivitatea hidraulica, porositatea, niveluri de apa caracteristice etc.)
•Identificareasurselor, a locatiei si naturii poluantilor, concentratii initiale etc.
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 30: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/30.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
• Stabilirea perimetrului hidrogeologic PARTA(Harta interfluviu Timis-Bega)
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
Locatia depozitului de
la Parta
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 31: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/31.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
Localizare depozitululi de deseuri Partavedere in plan
Sectine transversala interfluviu Tims-Bega in zona Parta
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 32: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/32.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
•Stabilirea perimetrului hidrogeologic semnificativ pentru depozitul de deseuri PARTA
Limitele zonei reprezentative pentru modelare au fost stabilite de comun acord cu hidrologii DAB şi cu reprezentanţii firmelor olandeze pe baza hartii cu hidroizohipse multianuale la scara 1:100.000, pusă la dispozitie de DAB dupa cum urmeaza:
-cursurile de apă Timis si Bega care constitue condiţii demargine hidrogeologice naturale si
-hidroizoipsele de 84.00 amonte, respectiv de 81.00 în aval, suficient de îndepărtate de amplasamentul depozitului de deşeuri Parţa (cca. 2-3 km în amonte şi 5-7 km în aval)
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 33: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/33.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
• Stabiliraea perimetrului hidrogeologic PARTA.
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
perimeter
Landfill location
MODEL
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 34: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/34.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
• Parametri hidrogeologici ai acviferului
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
•Cooficientul de filtratie ( conductivitatea hidraulica)
•Grosimea acviferului: 10 m
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
F1 F2 F3
kf in m/zi 31,50 23,20 26,5
kf in m/s 3,6x10-4 2,7x10-4 3,07x10-4
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 35: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/35.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
•Porozitatea
-Din datele de la forajele Parta F1, F2, F3 structura acviferului seincadrează in categoria nisip mijlociu cu d60/d10=2,5 – 5,0
-Dupa Busch, Luckner, „Geohydraulik” pg.26 este indicat pentru acest tip de acvifer (nisip mijlociu- depuneri naturale) sunt precizate următoarele valori:
Porozitatea:Porizitatea efctivă:
n=0,30 – 0,38ne =0,10 – 0,15
Pentru modelarea transportului s-a acceptat valoare maidefavorabilă din pdv. al transportului de:
ne =0,10
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 36: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/36.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
•Niveluri caracteristice ale apei in puturile de observatie
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
Tab. 1 Nivele medii multianulale in puturi-Parta
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
F1 F2 F3 F4
82,28 82,36 81,99 80,11 (cade în afara
domeniului)
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 37: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/37.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
•Identificarea surselor si locatiilor poluantilor:
•Sursa de poluare principala-depozitul de deseuri Parta•Concentratia poluantilor-C=0 in zone indepartate-C=100% in zona (sub) depozitului ca sursa permanenta de poluare
•dispersivitatea: αL=50; αT/αL=0.1
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 38: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/38.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
Modelul matematic general pentru miscarea apei si transportul poluantior in
acvifere
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 39: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/39.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
MODELARE MATEMATICA NUMERICA
Baze teoretice
MODELUL MATEMATIC :
•Ecuatii de baza si conditii restrictive•Conditii la limita si initiale
Solutii:-analitice (limitate)-numerice (general aplicabile)
-FDM-FVM (MODFLOW)-FEMNUMERICAL MODEL :-calcule numerice (cu o metoda numerica)-softuri (programe) (MT3D)-constructia modelului numeric folosind softul
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 40: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/40.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
SCARI ALE DOMENIULUI DE CURGERE IN AQUIFER
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 41: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/41.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu x
zy
M(x,y,z)
Marcostructura (Aquifer)
Mircostructura
p* v*
v*
z
h
z
v* : Fluid Velocity p*: Pressure inFluid
• Modelul de mediu continuu in Aquifer si Ape subterane
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 42: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/42.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
•Porozitatea
•Porozitatea medie a acviferului
V -voluma acvifer
VP-Volum pori
• Porositatea efectiva
=ne (x, y, z)VV fne = REV
Sandy Gravel: n = 0, 25 - 0, 30,ne = 0, 20 – 0, 25;
Medium Sand: n = 0, 30 – 0, 38,n e = 0, 10 – 0, 15;
Sandy Silt: n = 0, 35 - 0, 45,ne = 0,05 – 0,10;
Silt Clay: n = 0, 45 - 0, 65,n = 0, 02 – 0, 05e
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
VV
n p=
![Page 43: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/43.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
AREV
Qv =Fluid
Q
AREV
v*n
•Viteza liniara
Solid
•Specific Discharge/Linear Velocity
•Debit specific
REVf
vf = AQ v =ne ⋅vf
AREV :Suprafata totala
AREVf
:Suprafata disponibila curgerii tinand cont de pori
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 44: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/44.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
•Definitia inaltimii piezometrice
ρgPresiune M(x,y,z) acviferDensitate apa subteranaAcceleratia gravitationala (9,81 m/s2)
•Inaltime geodezica z•Inaltime piezometrica p
p:ρ:g:
Piezometru
x
zy
M(x,y,z)h
z
Bottom impermeable layer
Acvifer
Top impermeable layer
ρgp
h = p + zρg
h =h(x, y, z, t)
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 45: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/45.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
•Ecuatii de baza in modelarea curgerii in apele subterane
Ecuatii:
•Ecuatia clasica Darcy•Ecuatii de curgere in forma diferentiala(1D, 2D,3D)
Ecuatia de continuitate•Ecuatii in forma diferentiala (1D, 2D,3D)
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 46: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/46.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
Impermeabilh
Acviferv
Impermeabil
Gradient Hidraulic
x
•1D-Acvifer sub presiune
Reprezentare Matematica
Ecuatii de curgere in forma diferentiala (1D, 2D,3D)
Schema curgerii 1D
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
xhKvx ∂∂
−=
Inaltime piezometrica Debit specific
h = h(x) v y = 0
vz = 0
![Page 47: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/47.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
xReprezentare Matematica
Gradient hidraulic
impermeabil
•2D-Acvifer sub presiune
Schema 2 D cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
h (x,y) vy
y v
vx
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
yhKv
xhKv
y
x
∂∂
−=
∂∂
−=
Inaltime piezometrica
Componente debit specific
Debit specific forma vectoriala
h = h(x, y) v = − kf ∇h
![Page 48: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/48.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
•Ecuatii de continuitate•1D curgere stationara acvifer sub presiune
•Sectiune de volum elementar
mQ(x) +dQQ(x)
ql
dx
x x + dx
h(x)
m
V(x)
x
HO HU
x
0ql
h(x)Q(x)
m
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
= qld(mV)
dx
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 49: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/49.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
•Formulare matematica a problemelor de curgere a apelor subterane
Exemplu 1: 1D acvifer sub presiune
leakingAquiferq L
H O Aquifer 1
Aquife r 2
H U
River 1 River 2S ection A - A
Section A - A:
predominating parallel Flow lines
River 3
H L
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 50: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/50.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
qLHO HUh (x)m vkf
x0
HL
k0
Ecuatii fundamentale
m0
•Conditii de margine
Conditii la limita: h(x = 0) = HO; h(x = L) = HU
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
xhKvx ∂∂
−= ( ) qmvdxd
= qdxdhkm
dxd
=
Curgere Continuitate Fundamentale
![Page 51: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/51.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
river 2
river1
x
y A
D
CB
E
mqn
(Top view)
Natural Section:
Ax
D
C
Impermeable boundary
B
E
Potential boundary
Flow AreaG ( x,y )Potential boundary
Inflow boundaryqn
Flow Line (no cross flow) impermeable
y
Conditii la limita tip 1
h AB∪BC = H(xR , yR ); (xR , yR )∈AB∪BC
Conditii la limita tip 2
∂h |CD∪AE
∂h= 0
= − qn
T∂n |CD
∂h
∂ (k m ∂h )+ ∂ (k m ∂h )=0∂x f ∂x ∂y f ∂y
T=kf m:with
•Boundary value problem for 2D Groundwater FlowsEcuatii de baza
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
![Page 52: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/52.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
Solutii
Analitice Numerice
Finite Differences Method FDMFinite Volume Method FVMFinite Element Method FEMBoundary Element Method BEMMethod of Characteristics MOCRandom-Walk-Process RWP
Discretizare
exacte din integrare
Aproximative
Solutii in forma inchisa
Solutii discrete
Resultate: Solutii ale curgerii in distributie spatiala si temporala
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 53: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/53.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
Metode Numerice
Finite Difference Method FDM Finite Volume Method FVM
Finite Element Method FEM Boundary Element Method BEM
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 54: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/54.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
Modelare 2D curgere stationara cu FDM
(x,y)
h(x,y)
x
y
h
h
Schema standard
x
y
Discretizare cu noduri (FDM)
hi,j-1
hi,jhi,j+1
j+1j-1 j
i-1i
i+1
(x i,yj)
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 55: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/55.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
i x
y
j
i-1,j i,j i+1,j
i,j+1
i,j-1
δδ
δ
δ
FDM → Discretizare cu noduri knots
ii-1 x
hi,j(k+1)
hi,j(k)
i+1
δx
t
yk+1
k
δt
j-1j
j+1δy
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 56: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/56.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
FVM → Discretizare cu celule (volume)
(x,y)
h(x,y)
x
y
h
Schita standard problema 2D
h
h(x,y)
x
y
2D Discretizare cu volume (celule)
hi,j-1 hi,j hi,j+1
i
j-1 j j+1
i-1i+1
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 57: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/57.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
FVM → Discretizare cu celule 2D (Volumes 3D)
i x
y
j
Vij
i,j+1δ
Ti,j+1
δ
i-1,j i,j i+1,j
i,j-1
δδδ
Ti-1,j Ti,j Ti+1,j
Ti,j-1
h =i , j T (ä)
Ti−1, j Ti , j
T + Th +
Ti , j Ti+1, j
T + Th +
Ti , j Ti , j+1
T + Th +
Ti , j Ti , j−1
T + T
h
q δ+ L
2Ti , j
T (ä ) = Ti , j i , j
Ti−1, j
T + T
Ti+1, j
T + T
i , j i−1, j i , ji−1, j
i , j i+1, ji+1, j
i , j i , j+1i , j+1
i , j i , j−1i , j−1
(ä )
i , j i−1, j i , j
+
1
2
i+1, j
Ti , j−1
i , j i , j−1
Ti , j+1
i , j i , j+1 T + T T + T+ +
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 58: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/58.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
FEM → Discretizare cu elemente finite (2D elemente triunghiulare)
2x
Solutie de aproximare RITZ's element (e) cu trei noduri (1,2,3) :
y
h
(e)
h1(e) h3
(e)
(e)
h2(e)
13
h(e)(x,y)
h(e)(x,y)
h( e)( x, y) = h( e)φ( e)( x, y)+ h( e)φ( e)( x,y)+ h( e)φ( e)( x, y) =
3
∑ h( e)φ ( e) ( x, y )i ii =1
1 1 2 2 3 3
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 59: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/59.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
Modelare matematica numerica
Baze teoretice- Transportul poluantilor
MODEL MATEMATIC :
•Ecuatii de baza si conditii restrictive•Conditii initiale se de margine-Constructie modelSolutii:
analitice (cazuri limitate) numerical (general applicable)
-FDM-FVM (MODFLOW)
-FEM
Primul pas: descrierea curgerii
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 60: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/60.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
• Transportul poluantilor
Exemple de poluare a apelor subterane din depozite:
Old Deposit Site
GW -Flow
Pollutant Dispersion
Impermeable Layer
Old Depos it Site
Ton
Pollutant Dispersion
Impermeable Layer
GroundW ater-Flow Sand
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 61: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/61.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
•Descrierea si reprezentarea matematica a proceselor de transport in apele subterane
•convectia•difuzia moleculara•dispersia
- dispersia datorata structurii (10-3 m)- dispersia la scara mica (100 m)- dispersion la scara macro (103 m)
•adsorbtia,•degradare (chimica, biologica, radioactiva.)
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 62: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/62.jpg)
cain h
drotei;Hdeeatat l
Facu
•Advectia/Convectia
t = 0
Poluant
t = t 1
Poluant
va
z
y
xLinie de curent actuala
Linie de curent Ideal
•flux convectiv
q = n cvK e a
• Difuzia moleculara~q = q = −n D ∇CDf Df e m
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 63: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/63.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
Datorata structurii La scara mica La scara mega
macrodispersia
10-3 m 10 0 m 10 3 m
a.)
b.)
c.)
•Dispersia
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 64: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/64.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
•Adsorbia / Desorbtia
Corn matrix
DesorptionPolluted grundwater
Adsorption
Adsorbed material
REV
ca = f (c)Functia f(c) izoterma
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 65: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/65.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
σ =−λcne + (1−ne )ρkca in mgs ab m3s
•Degradare
Aport de poluant in acvifer
M E (V ) = ∫ σVE dvV
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 66: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/66.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
•Ecuatii fundamentale de transportFluxuri de masa
Convectia
Difuzia
Dispersia
qK = necva
qDf = −neDm∇c−
qDS = −neDDS ⋅∇c
Principiul generalizat al conservarii masei de poluant
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 67: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/67.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
•Ecuatia de transport in forma locala
σVE
(Rn c) +∇⋅ v n c −n D ⋅∇c −λcn R = ∇⋅q c∂t e a e e e E inj
0
∂
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 68: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/68.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
•Conditii initiale si la limita
c(x, y, z; t = 0) = c0 (x, y, z) x, y, z ∈ G ∪ R
c(x,y,z,t)(R =c (x ,y,z ,t)
1 R R R R
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 69: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/69.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
REZULTATE
PARTA LANDFILL
Timis
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 70: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/70.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELUL de CURGEREcu PMWIN PARTA
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 71: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/71.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
Harta cu (hidroizohipse)
PARTA
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
Prof
.Dr.-
Ing.
Ioan
Daa
vid
Dep
arta
men
tul d
e H
idro
tehn
ica
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 72: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/72.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
Harta cu (hidroizohipse)PARTA
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 73: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/73.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
Calibrare model
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 74: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/74.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODEL de TRANSPORTcu PMWIN PARTA
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 75: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/75.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
Localizarea sursei de poluare: depozit PARTA
C=0
Exterior depozit
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
C=100%Sursa
permanenta
![Page 76: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/76.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
Distributia Concentratiei
10 years
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 77: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/77.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
Distributia Concentratiei
20 years
![Page 78: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/78.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
Distributia Concentratiei
30 years
![Page 79: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/79.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
Distributia Concentratiei
40 years
![Page 80: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/80.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
Distributia Concentratiei
50 years
![Page 81: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/81.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
Distributia Concentratiei
60 years
![Page 82: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/82.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
Distributia Concentratiei
70 years
![Page 83: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/83.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
Distributia Concentratiei
80 years
![Page 84: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/84.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
Distributia Concentratiei
90 years
![Page 85: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/85.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
Distributia Concentratiei
100 years
![Page 86: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/86.jpg)
cain h
droteiHdeeatat l
Facu
cain hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
10 a 50 a
100a
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 87: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/87.jpg)
ăcin hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
EXEMPLE DE MODELARE FIZICA:
»MODELARE prin ANALOGIE(ex. Analogie electrohidrodinamica)
MODELAREE prin SIMILITUDINE(apa-apa)
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 88: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/88.jpg)
ăcin hdrote aav
dii DH oanIde .ng.I-
r Dea Pr
.fo
tat l
Facu
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
EXEMPLU DE MODELARE FIZICAprin
ANALOGIE (electrohidrodinamica)
SO- miscarea apei subtrane
SM-“miscarea“ curentului electric intr-o cuva cu electrolit
ϕ- functia de potential specific celor doua sistemeT- parametrul conductivitatii/transmsivitatii/rezistivitatii specific celor doua sisteme
0zφT
zyφT
yxφT
x=
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
![Page 89: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/89.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
l
S0
2r0LF
qn (l)Q
LB
q (l) hv << S0
Flow-rate distribution along the laterals
hv ≈ S0
Initial piezometric surfacepiezometric head pressure head distribution
in the lateral:- with inner head loss- without inner head loss
hv (l)
Sk (l)hv (LF)
m
SO-Sistemul fizic Original - put cu 3 drenuri radiale orizontale
sectiune tranversala sectiune orizontla
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 90: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/90.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
Exemplu de modelare prin analogie electrohidrodinamicaPut cu drenuri radiale (Sistemul fizic Model→tanc electrolitic)
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 91: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/91.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
Alte modele analogice (laboratorul de Hidrotehnica Timioara)
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 92: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/92.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
EXEMPLU DE MODELARE FIZICAprin
»SIMILITUDUNE
SO- miscarea apei peste deversorul amenajarii hidrotehnice (Stanca- Costesti)
SM- miscarea apei peste un deversor model in laboratorul de hidrotehnica
Baza matematica:-Ecuatiile de miscare Navier-Stokes (Reynolds)
-Legile de similitudine (Froude)
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 93: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/93.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
•Modelul hidraulic prin similitudine al descarcatorului de ape mari Stanca-Costesti
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 94: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/94.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
HIDROTEHNICA
•Alte modele de similitudine (laboratorul de Hidrotehnica UP Timisoara, 1980-1990)
MODELAREA MATEMATICA APLICATA INUNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA
![Page 95: Master Partea 1_2013](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022032004/55cf9995550346d0339e1af8/html5/thumbnails/95.jpg)
aci nehaavid otrD doan HiIng. eI d-.D arf. ero atP tlu cFa
Bibiografie
1. Nichici, A. Formarea profesională în inginerie, Editura Politehnica, Timişoara, 2004
2.David, I. Mathematisch numerische Modellierung technischer Systeme im Bauwesen. Cuvillier Verlag, Göttingen, 2005, ISBN 3-86537-590-1
3.David, I. Grundwasserhydraulik. Strömungs und Transporprozesse. Vieweg Verlag, Wiesbaden, 1998, ISBN 3-528-07713-1
3.Kastens, U., Büning Kleine, H. Modellierung. Grundlagen und formale Methoden.HANSER Verlag München, 2008, ISBN 978-3-446-41537
4.*** Scientific modelling-Wilkipedia, the free encyclopedia
5.*** Contracte de Cercetare, Catedra de Hidrotehnica, 1980-1990
MODELAREA MATEMATICA APLICATA IN HIDROTEHNICA
UNIVERSITATEA“POLITEHNICA”TIMISOARA