Master of arts et Diplôme d'enseignement pour le degré … · Objectifs de recherche. Nous...
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Avenue de Cour 33CH 1014 Lausannewwwheplch
Master of arts et Diplocircme denseignement pour le degreacute secondaire 1
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 ______________________________________________________________________
Meacutemoire professionnel
Travail de Beacuteneacutedicte Favre et Kieran Morel
Sous la direction de Steacutephane Clivaz
Membre du jury Muriel Chaubert
Lausanne mai 2014
Tables des matiegraveres
I INTRODUCTION4
I1 Choix du sujet4
I2 Objectifs de recherche5
I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)6
I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration7
II CADRE THEORIQUE9
II1 Introduction9
II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles10
II3 Sens des nombres11
II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux12
II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo12
II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)12
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)13
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo13
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)13
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)14
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)14
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)14
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique15
II6 Obstacles aux apprentissages16
III METHODOLOGIE17
III1 Type de recherche17
III2 Population statistique17
III3 Meacutethode18
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES19
IV1 Preacutesentation du questionnaire19
IV2 Analyse a priori19
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 260 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV21 Partie 119
IV22 Partie 222
IV3 Attribution des points24
V ANALYSE DES RESULTATS 25
V1 Outil danalyse des reacutesultats25
V2 Analyse quantitative globale25
V3 Analyse qualitative des erreurs par question27
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations40
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves42
VI CONCLUSION45
VI1 Synthegravese45
VI2 Limites et prolongements46
VI3 Inteacuterecirct professionnel 46
VII BIBLIOGRAPHIE48
VIII ANNEXES50
VIII1 Annexe 1 Questionnaire50
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense 53
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats54
IX RESUME60
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 360 B Favre et K Morel (mai 2014)
I INTRODUCTION
I1 Choix du sujet
Dans le cadre de notre travail de meacutemoire nous avons souhaiteacute orienter notre thegraveme de
recherche vers un sujet en relation avec notre discipline didactique les matheacutematiques Gracircce
agrave nos expeacuteriences professionnelles anteacuterieures et au cours de didactique des matheacutematiques de
la HEP Vaud nous avons pu remarqueacute que par exemple les nombres relatifs les nombres
deacutecimaux ou encore les fractions pouvaient ecirctre sources de difficulteacutes de compreacutehension pour
les eacutelegraveves
Lorsquun eacutelegraveve1 reacutesout un exercice ou un problegraveme de matheacutematiques on peut se demander
sil applique meacutecaniquement une formule matheacutematique qui semble convenir agrave la situation
etou sil possegravede une bonne compreacutehension des notions matheacutematiques en jeu Dans
lenseignement il est freacutequemment fait allusion au contrat didactique (Brousseau 1976)
Celui-ci a souvent pour effet que les notions matheacutematiques agrave mettre en œuvre dans le cadre
dune seacutequence denseignement correspondent aux notions eacutetudieacutees au cours de celle-ci
Leacutelegraveve na donc quagrave puiser dans sa meacutemoire agrave court terme et agrave appliquer les notions ainsi
apprises Dans la taxonomie dAnderson et Krathwohl (2001) nous nous situons alors au
niveau des habileteacutes cognitives de meacutemorisation et dapplication habileteacutes faisant appel agrave des
connaissances et savoir-faire relativement simples Ainsi un eacutelegraveve nayant pas compris le
contenu du cours aura neacuteanmoins une certaine chance de reacuteussir les eacutevaluations en ne faisant
quappliquer meacutecaniquement les formules apprises Il en ressort clairement quappliquer ou
restituer ne signifie pas neacutecessairement comprendre
Suite agrave ces reacuteflexions nous avons opteacute pour leacutetude des connaissances des nombres deacutecimaux
Nous avons pu lors de nos divers stages et remplacements observer concregravetement que
lapprentissage de ceux-ci pouvaient engendrer des difficulteacutes significatives pour les eacutelegraveves du
secondaire 1 en 9H et 10H Leur utilisation geacuteneacuteraliseacutee intervient pourtant deacutejagrave au cycle 2 (7H
et 8H) (PER cycle 2 2010)
Au moment de choisir notre sujet nous ne savions pas encore quelles classes nous aurions
lanneacutee suivante et nous souhaitions donc eacuteviter leacutecueil danalyser une notion matheacutematique
que nos futurs eacutelegraveves nauraient pas encore eacutetudieacutee Ainsi en portant notre choix sur les
1 La forme masculine est utiliseacutee dans ce document pour deacutesigner les deux genres sans aucune discrimination dans un souci de lisibiliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 460 B Favre et K Morel (mai 2014)
nombres deacutecimaux nous eacutetions assureacutes que ce domaine aurait eacuteteacute suffisamment abordeacute pour
pouvoir ecirctre eacutevalueacute en 9H Toutefois nous courions le risque de devoir eacutevaluer des
connaissances largement acquises par des eacutelegraveves de 10H ou 11H Cet inconveacutenient est
cependant minimiseacute par le constat que lon a pu faire dans notre pratique certaines notions
eacuteleacutementaires et eacutetudieacutees depuis quelques anneacutees peuvent demeurer ou semblent redevenir
floues dans lesprit de certains eacutelegraveves De mecircme certaines connaissances apprises par le passeacute
peuvent rester ancreacutees dans lesprit des eacutelegraveves et constituer un obstacle aux apprentissages
nouveaux Il sera donc tout aussi inteacuteressant de porter notre attention sur des eacutelegraveves ayant reccedilu
un enseignement des nombres deacutecimaux reacutecemment ainsi que sur des eacutelegraveves ayant reccedilu cet
enseignement depuis un temps plus long
Finalement il existe dans la litteacuterature une abondance de recherches au sujet des
connaissances relatives aux nombres deacutecimaux Ceci nous a conforteacute dans notre choix et nous
a permis de cibler plus preacuteciseacutement notre eacutetude
I2 Objectifs de recherche
Nous souhaitons analyser les connaissances des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux agrave
deux niveaux
1) celui des tacircches comme ordonner comparer intercaler des nombres deacutecimaux
niveau que nous deacutesignons par la suite laquo connaissance des nombres raquo sous-entendu
deacutecimaux
2) celui de la reacutesolution dopeacuterations avec des nombres deacutecimaux agrave travers des tacircches
de calculs niveau que nous deacutesignons par la suite laquo connaissance des opeacuterations raquo
sous-entendu avec des nombres deacutecimaux
A partir de cette analyse nous espeacuterons deacuteterminer sil existe ou non une correacutelation entre ces
deux types de connaissances est-ce quune bonne maicirctrise de lun implique neacutecessairement
une bonne maicirctrise de lautre ou peut-on avoir de bons reacutesultats dans lun et de mauvais dans
lautre Nous analysons eacutegalement la preacutesence et leacuteventuelle constance de fausses
repreacutesentations relatives aux nombres deacutecimaux dans ces deux niveaux de connaissances
Notons toutefois que lexistence eacuteventuelle dune correacutelation ne permet pas de conclure agrave une
relation de cause agrave effet entre la reacuteussite ou leacutechec dans lun de ces domaines et la reacuteussite ou
leacutechec dans lautre
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 560 B Favre et K Morel (mai 2014)
I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
Lenseignement des nombres deacutecimaux intervient systeacutematiquement au cycle 2 de la scolariteacute
obligatoire Auparavant agrave leacutecole les eacutelegraveves ont principalement eacuteteacute confronteacutes aux nombres
entiers naturels Cest agrave la fin du cycle 2 en 8H que leacutelegraveve doit atteindre les objectifs
dapprentissage suivants concernant les connaissances et les opeacuterations sur les nombres
deacutecimaux (PER cycle 2 2010)
Objectifs du domaine matheacutematiques et sciences de la nature (MSN22) Poser et reacutesoudre des
problegravemes pour construire et structurer des repreacutesentations des nombres rationnels
ndash en ordonnant des nombres rationnels notamment deacutecimaux
ndash en organisant les nombres rationnels agrave travers les opeacuterations
ndash en explorant linfiniment grand et linfiniment petit
La progression des apprentissages correspondante est la suivante
ndash Comparaison classement encadrement et intercalation de nombres eacutecrits sous forme
deacutecimale
ndash Repreacutesentation et lecture de nombres sur une droite gradueacutee
ndash Extraction du nombre de dixiegravemes centiegravemes ou milliegravemes
ndash Comparaison classement de fractions unitaires ou de mecircme deacutenominateur
ndash Reconnaissance dun nombre sous diverses eacutecritures et eacutetablissement de quelques
eacutegaliteacutes (la moitieacute = 12
= 05 = 5 dixiegravemes = 510
)
ndash Expression de la quantiteacute correspondant agrave la moitieacute au tiers au quart aux trois quarts
au dixiegraveme dune quantiteacute donneacutee
Objectifs du domaine matheacutematiques et sciences de la nature (MSN23) Reacutesoudre des
problegravemes additifs et multiplicatifs
ndash en choisissant loutil de calcul le mieux adapteacute agrave la situation proposeacutee
ndash en anticipant un reacutesultat et en exerccedilant un regard critique sur le reacutesultat obtenu
ndash en utilisant les proprieacuteteacutes des quatre opeacuterations
ndash en construisant en exerccedilant et utilisant des proceacutedures de calcul avec des nombres
rationnels positifs
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 660 B Favre et K Morel (mai 2014)
La progression des apprentissages correspondante est la suivante
ndash Utilisation des proprieacuteteacutes de laddition et de la multiplication (commutativiteacute
associativiteacute distributiviteacute) et deacutecomposition des nombres (additive soustractive
multiplicative) pour organiser et effectuer des calculs de maniegravere efficace ainsi que
pour donner des estimations
ndash Utilisation des algorithmes pour effectuer des calculs de faccedilon efficace avec des
nombres eacutecrits sous forme deacutecimale infeacuterieurs agrave 10000
ndash addition et soustraction dont les termes ont au plus 2 deacutecimales
ndash multiplication dont les facteurs et le produit ont au plus 2 deacutecimales
ndash division euclidienne dont le dividende est infeacuterieur agrave 10000 et le diviseur est
infeacuterieur agrave 100
ndash division dont le dividende (lt 10000) et le diviseur (lt 100) ont au plus une
deacutecimale et le quotient au plus deux deacutecimales
I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
Notre systegraveme de numeacuteration est un systegraveme deacutecimal de position
Cest un systegraveme de position car chaque chiffre repreacutesente une valeur speacutecifique selon sa
position dans le nombre quil compose Pour les entiers le chiffre le plus agrave droite repreacutesente
les uniteacutes le suivant sur sa gauche les dizaines le suivant les centaines et ainsi de suite
Cest un systegraveme en base 10 tout groupement de dix eacuteleacutements de mecircme ordre de grandeur
permet de passer agrave lordre supeacuterieur 10 uniteacutes forment une dizaine 10 dizaines forment une
centaine de mecircme que 10 centiegravemes forment un dixiegraveme et 10 dixiegravemes une uniteacute etc Cest
la mecircme regravegle deacutechange entre les diffeacuterents ordres de grandeur le groupement par 10
Cest un systegraveme deacutecimal car les nombres deacutecimaux peuvent seacutecrire comme une somme de
puissances de 10 Chaque chiffre repreacutesente la valeur qui doit ecirctre multiplieacutee agrave la puissance de
10 qui correspond agrave sa position dans le nombre La puissance est preacuteciseacutement eacutegale agrave la
position du chiffre dans le nombre en commenccedilant par 0 pour les uniteacutes puis 1 pour les
dizaines etc
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Par exemple 8103 = 8middot10sup3 + 1middot10sup2 + 0middot10sup1 + 3middot10ordm = 8000 + 100 + 0 + 3 On peut aussi dire
8 milliers plus 1 centaine plus 0 dizaine plus 3 uniteacutes
Un nombre deacutecimal est un nombre eacutecrit avec une virgule2 Les chiffres situeacutes agrave gauche de la
virgule constituent la partie entiegravere et ceux situeacutes agrave droite constituent la partie deacutecimale La
partie entiegravere seacutecrit donc comme deacutecrit plus haut comme une somme de puissances de 10
positives Alors que la partie deacutecimale seacutecrit elle comme une somme de puissances de 10
strictement neacutegatives ou de fractions de 10 Le premier chiffre situeacute agrave droite de la virgule
repreacutesente les dixiegravemes (10-1 ou 110) le suivant repreacutesente les centiegravemes (10-2 ou 1100) etc
Par exemple 813 = 8middot10ordm + 1middot10-1 + 3middot10-2 = 8 + 110 + 3100 = 8 + 01 + 003 On peut
dire aussi 8 uniteacutes plus 1 dixiegraveme plus 3 centiegravemes
Dans le langage courant on peut qualifier un nombre deacutecimal par la longueur de sa partie
deacutecimale Dans le cas de 234 elle est de 2 On dira donc quil sagit dun nombre agrave deux
deacutecimales (PER cycle 2 2010)
Comprendre comment les deacutecimaux sont construits permet deffectuer un certain nombre de
tacircches plus aiseacutement par exemple les placer sur la droite numeacuterique (pour placer 416 il faut
avancer de 4 uniteacutes 1 dixiegraveme et 6 centiegravemes) les comparer
Toutefois lorsque les eacutelegraveves romands abordent pour la premiegravere fois les nombres deacutecimaux en
7H ils ne connaissent encore ni les puissances de 10 ni les fractions Lapprentissage se fait
alors geacuteneacuteralement agrave travers un tableau chaque colonne ayant pour en-tecircte le nom des
puissances de 10 quelle repreacutesente centaines dizaines uniteacutes dixiegravemes etc3
Selon Resnick et al (1989) ce mode dapprentissage des deacutecimaux conseacutecutif aux seuls
entiers naturels a le deacutesavantage eacuteventuellement de creacuteer des fausses repreacutesentations comme
nous le verrons dans les chapitres suivants De plus le passage par un tableau induit un
possible fonctionnement en miroir de la partie deacutecimale par rapport agrave la partie entiegravere Or
cette apparente symeacutetrie de surcroicirct inverseacutee nexiste pas par rapport agrave la virgule mais par
rapport aux uniteacutes
2 Nous utilisons dans la partie textuelle de ce document la notation francophone de la virgule Dans les pays anglo-saxons cette virgule est
repreacutesenteacutee par un point Dans les annexes par contre nous utilisons le point car la version de notre tableur est anglo-saxonne
3 Cette faccedilon de faire est une particulariteacute romande En effet en France ou dans les pays anglo-saxons les nombres deacutecimaux sont
introduits par les fractions deacutecimales
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 860 B Favre et K Morel (mai 2014)
II CADRE THEORIQUE
II1 Introduction
Une eacutetude internationale le Third International Mathematics and Science (Repeat) Study
(1999 citeacute par Steinle 2004 p 1) conduite en 1999 montre que seuls environ 50 des
enfants testeacutes de 13 ans choisissent correctement le plus petit nombre deacutecimal dune liste de
cinq nombres deacutecimaux De mecircme une eacutetude de Bana Farrell et McIntosh (1997) conclut que
la moitieacute des eacutelegraveves de 12 ans testeacutes et pregraves du quart des eacutelegraveves de 14 ans testeacutes4 pensent quil
nest pas possible dintercaler un nombre entre deux deacutecimaux successifs (par exemple entre
152 et 153) Nous nous sommes en partie inspireacutes des items de ces tests pour deacutevelopper
notre outil de reacutecolte de donneacutees
Bana et Dolma (2004) ont effectueacute une eacutetude aupregraves de 77 eacutelegraveves australiens de leacutequivalent
9H suisse Leur but eacutetait de comparer les reacutesultats destimation dopeacuterations (avec des entiers
deacutecimaux et fractions) et les reacutesultats de calcul de ces mecircmes opeacuterations Il en ressort que
pour un mecircme calcul les eacutelegraveves ont moins de reacuteussite dans lestimation du reacutesultat quavec
lutilisation proceacutedurale des algorithmes de calcul Les auteurs suggegraverent comme explication
de cette diffeacuterence le fait que lenseignement porte principalement sur les regravegles de calcul et
est moins orienteacute sur lestimation de reacutesultats dopeacuterations Degraves lors ils proposent que
lestimation soit enseigneacute agrave chaque fois que cela est possible afin de deacutevelopper le sens des
nombres (number sense) chez les eacutelegraveves Ceci impliquerait une plus grande emphase porteacutee
en classe sur le calcul reacutefleacutechi plutocirct que sur le calcul algorithmique Lampleur de ce
meacutemoire ne nous a pas permis dapprofondir cette facette de la compreacutehension des nombres
De leur cocircteacute Muir et Livy (2012) ont effectueacute une eacutetude agrave partir dune population australienne
de 80 enseignants de primaire en formation et 58 enseignants de primaire en emploi devant
reacutesoudre 49 items de niveau 10 ndash 14 ans Ils deacutecouvrent par exemple que seuls 50 des
maicirctres en emploi classent 3303 303 333 et 3033 correctement dans lordre croissant ou
que seuls 19 des maicirctres en formation obtiennent le quotient exact agrave quatre deacutecimales pregraves
de la division de 3 par 7
Plusieurs chercheurs ont identifieacute des fausses repreacutesentations (misconceptions) sur les
nombres deacutecimaux (Sackur-Grisvard amp Leacuteonard 1985 Resnick amp al 1989 Steinle 2004)
4 45 des Eacutetats-uniens 23 des Australiens et Sueacutedois 5 des Taiumlwanais
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans son eacutetude Steinle (2004) a deacuteveloppeacute des tests speacutecifiques de comparaison de paires de
nombres deacutecimaux (decimal comparison tests) Ces tests sont conccedilus de maniegravere agrave permettre
une cateacutegorisation des erreurs dune personne selon leur reacutepeacutetition et leur reacutegulariteacute Nous
nous sommes eacutegalement reacutefeacutereacutes agrave des eacutetudes effectueacutees en France (Bolon 1993 Perrin-
Glorian 1986) sur les repreacutesentations des nombres deacutecimaux drsquoeacutelegraveves de CM2 et 6egraveme
(eacutequivalent 7H et 8H en Suisse) afin deacutelaborer notre outil de reacutecolte de donneacutees
II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
Les eacutetudes de Ma (1999) et Clivaz (2011) nous ont ameneacute agrave faire la distinction entre
connaissances proceacutedurales et connaissances conceptuelles Leacutecart entre ces deux types de
connaissances a eacuteteacute eacutetudieacute par Rittle-Johnson Siegler et Alibali (2001) dans le cadre preacutecis
des nombres deacutecimaux Selon ces auteurs les connaissances proceacutedurales repreacutesentent la
capaciteacute agrave exeacutecuter des actions seacutequenceacutees (pas agrave pas) en vue de reacutesoudre des problegravemes ou
des calculs simples Ces connaissances sont lieacutees agrave des items matheacutematiques preacutecis et sont
donc difficilement transfeacuterables agrave dautres situations Les connaissances conceptuelles elles
sont la compreacutehension implicite ou explicite des principes qui sous-tendent agrave un concept ainsi
que la compreacutehension des relations avec dautres concepts Ces auteurs ont chercheacute agrave savoir si
un type de connaissances preacutecegravede lrsquoautre et sont arriveacutes agrave la conclusion que le deacuteveloppement
de ces deux types de connaissances se fait de maniegravere iteacuterative les unes ameacuteliorant les autres
et vice-versa dans un ordre chronologique non figeacute
Pour eacutevaluer les connaissances conceptuelles Rittle-Johnson et al (2001) testent la
compreacutehension de diffeacuterents concepts pris individuellement dont entre autres lampleur
relative des nombres (comparaison de nombres) et la densiteacute numeacuterique (placer un nombre
entre deux nombres donneacutes) Ils affirment que des tests eacutecrits sont suffisants et preacutefegraverent ne
pas se baser sur les explications verbales des personnes testeacutees les connaissances
conceptuelles pouvant ecirctre implicites et les enfants ne sachant pas toujours correctement
articuler leurs connaissances
Haapasalo (2003) estime pour sa part quil est tregraves difficile de pouvoir polariser ces deux
formes de connaissances dans des tests Comment peut-on sassurer que la personne reacutesout
telle ou telle question de maniegravere purement proceacutedurale ou purement conceptuelle De plus
chaque individu reacuteagit et analyse des situations de maniegravere tregraves diffeacuterente Comme le
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1060 B Favre et K Morel (mai 2014)
mentionnent McIntosh Reys et Reys (1992) le sens des nombres est tregraves personnel et est
influenceacute par le contexte et la maniegravere dont les concepts ont eacuteteacute enseigneacutes Sans
questionnement il est donc tregraves difficile de deacuteterminer si une personne met en place des
strateacutegies conceptuelles ou simplement proceacutedurales
II3 Sens des nombres
La connaissance des nombres et la connaissance des opeacuterations font partie de ce que
McIntosh et al (1992) nomment le sens des nombres (number sense) Ils le deacutefinissent
comme la compreacutehension geacuteneacuterale des nombres et des opeacuterations et la capaciteacute agrave utiliser cette
compreacutehension en fonction de la situation pour donner des justifications matheacutematiques
(make mathematical judgements) et pour deacutevelopper des strateacutegies de manipulation des
nombres et des opeacuterations
laquo Number Sense A propensity for and an ability to use numbers
and quantitative methods as a means of communicating processing
and interpreting information It results in an expectation that
numbers are useful and that mathematics has a certain regularity
(makes sense) raquo5
Dans leur cadre de reacutefeacuterence permettant de cerner le sens des nombres (cf Annexe 2)
McIntosh et al (1992) distinguent trois domaines principaux 1) la connaissance des nombres
et les aptitudes avec ceux-ci 2) la connaissance des opeacuterations et les aptitudes avec celles-ci
et 3) lapplication de ces deux domaines agrave la reacutesolution de problegravemes numeacuteriques Chacun de
ces trois niveaux est constitueacute de plusieurs composantes Entre autres pour le premier
domaine on trouve le sens de classer les nombres pour le second domaine la compreacutehension
de leffet des opeacuterations et pour le troisiegraveme la conscience des diffeacuterentes strateacutegies de
reacutesolution possibles La compreacutehension serait donc la reacutesultante dun certain nombre de
connaissances et daptitudes et serait deacutefinissable agrave travers celles-ci Nous nous sommes baseacutes
sur cette distinction pour eacutelaborer notre question de recherche qui est deacutetudier la relation
possible entre une bonne ou mauvaise connaissance des nombres et une bonne ou mauvaise
connaissance des opeacuterations
5 Traduction Sens des nombres Une aptitude et une capaciteacute agrave utiliser les nombres et des meacutethodes quantitatives dans le but de
communiquer preacuteparer et interpreacuteter de linformation Il en reacutesulte une attente que les nombres sont utiles et que les matheacutematiques ont
une certaine reacutegulariteacute (quelles font sens)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1160 B Favre et K Morel (mai 2014)
II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
Apregraves avoir deacutetermineacute le cadre geacuteneacuteral de notre recherche pour tester les deux types de
connaissances qui nous inteacuteressent nous nous sommes demandeacute quels genres derreurs
pourraient commettre les eacutelegraveves Nous nous sommes tourneacutes vers Steinle (2004) qui a eacutelaboreacute
des tests de comparaison de paires de nombres deacutecimaux et a deacutetecteacute que les enfants
pouvaient avoir un certain nombre de repreacutesentations erroneacutees sur les nombres deacutecimaux
donnant lieu agrave des choix de reacuteponses incorrects (ce quil nomme regravegle ou comportement
rule behaviour)
- regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo (longer-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus longue partie deacutecimale (contenant le plus de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
- regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo (shorter-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus courte partie deacutecimale (contenant le moins de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
Il identifie et explicite ensuite les regravegles (ou theacuteoregravemes-eacutelegraveve) que suivent les eacutelegraveves qui
aboutissent agrave ces comportements
II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
Dans ce cas les eacutelegraveves considegraverent un nombre deacutecimal comme eacutetant formeacute de deux nombres
entiers apposeacutes lun agrave cocircteacute de lautre et seacutepareacutes par une virgule
Ainsi dans la comparaison de 7281 et 76 ils comparent tout dabord le nombre placeacute avant
la virgule ici 7 consideacutereacute comme indeacutependant de celui apregraves la virgule Dans ce cas la partie
entiegravere est eacutegale pour les deux nombres agrave comparer Ils poursuivent donc leur comparaison
avec le nombre (et non les chiffres) placeacute apregraves la virgule consideacutereacute comme un nombre entier
Comme 281 contient plus de chiffres et est plus grand que 6 ils vont choisir 7281 comme
eacutetant le plus grand nombre Cette strateacutegie peut ecirctre fructueuse dans certains cas par exemple
dans la comparaison de 62603 et 625 ils choisissent correctement 62603 car 2603 est plus
grand que 25
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Brousseau (1976) preacutecise que cette regravegle des nombres entiers apparaicirct particuliegraverement
lorsque les eacutelegraveves ne sont confronteacutes quagrave des deacutecimaux de partie deacutecimale de mecircme longueur
Les eacutelegraveves construisent alors la repreacutesentation que cette partie est fixe et quil est ainsi
possible de la consideacuterer comme un nombre entier agrave part Ils ont en fait geacuteneacuteraliseacute une regravegle
qui nest correcte quavec des nombres entiers Ceci survient eacutegalement lorsque le nombre
deacutecimal est identifieacute agrave de largent Il est ainsi aiseacute pour les eacutelegraveves de comparer des centimes
Ce faisant toutefois on conforte lideacutee que la partie deacutecimale est un nombre entier Dougrave
limportance pour les enseignants de modifier les variables didactiques de maniegravere adeacutequate
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
Lors de lrsquoemploi de cette regravegle les eacutelegraveves utilisent eacutegalement la regravegle geacuteneacuterale du laquo plus long
est le plus grand raquo mais modifient leur approche lorsque les nombres contiennent des zeacuteros
apregraves la virgule Ils ont reacutealiseacute que les zeacuteros rendaient un nombre plus petit mais ils suivent
ensuite la regravegle citeacutee preacuteceacutedemment
Par exemple entre 38 et 309 ils choisiront correctement 38 comme eacutetant le plus grand car
selon eux le 0 rend le nombre 09 plus petit Par contre entre 3082 et 30804 ils commettront
la mecircme erreur que dans la regravegle preacuteceacutedente et indiqueront 30804 comme eacutetant le plus grand
nombre (car 804 gt 82)
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
Toujours dapregraves Steinle (2004) selon cette regravegle pour deacuteterminer le nombre le plus grand les
eacutelegraveves comparent les parties deacutecimales et choisissent celle qui comporte le moins de chiffres
Un nombre plus eacuteleveacute de chiffres apregraves la virgule est interpreacuteteacute comme reacuteduisant la grandeur
du nombre les centiegravemes quelle que soit leur valeur sont toujours consideacutereacutes comme eacutetant
laquo plus petits raquo que les dixiegravemes Ainsi lorsqursquoun nombre contient des centiegravemes il est
consideacutereacute plus petit qursquoun nombre qui nrsquoa que des dixiegravemes Dans la comparaison de 33 et
345 les 45 centiegravemes sont consideacutereacutes plus petits que 3 dixiegravemes et ces personnes deacutecideront
que 33 gt 345 Par contre tout en appliquant cette regravegle 375 et 38 seront compareacutes
correctement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1360 B Favre et K Morel (mai 2014)
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
Les eacutelegraveves choisissent eacutegalement le nombre le plus grand comme eacutetant celui dont la partie
deacutecimale est la plus courte mais pour une autre raison Dans le cas de cette regravegle ils font
lanalogie erroneacutee avec les fractions Ainsi 03 et 045 seront consideacutereacutes comme 13 et 145
13 eacutetant plus grand que 145 ils choisiront 03 comme eacutetant le plus grand Cette fausse
repreacutesentation apparaicirct geacuteneacuteralement apregraves que le concept de fraction a eacuteteacute introduit et il nest
donc pas exclu que des eacutelegraveves qui ne commettaient pas derreurs jusque-lagrave deacuteveloppent
soudainement cette fausse repreacutesentation
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
Dans cette fausse conception leacutelegraveve fait lanalogie entre la partie deacutecimale (non la partie
entiegravere) et les nombres neacutegatifs Elle peut en effet survenir suite agrave lintroduction de ces
derniers Pour comparer 03 et 045 leacutelegraveve assimile le fonctionnement de 3 et 45 agrave celui des
nombres neacutegatifs -3 eacutetant plus grand que -45 il conclut que 03 est plus grand que 045
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
Steinle (2004) considegravere les personnes ne commettant pas derreur comme des experts
apparents Ils sont experts jusquagrave preuve du contraire jusquagrave preuve quils utilisent une
fausse repreacutesentation qui naurait pas encore eacuteteacute deacutecouverte
Il existe en effet plusieurs algorithmes de comparaison de nombres entre eux qui peuvent ecirctre
appliqueacutes indeacutependamment de la compreacutehension du rocircle de la position de chaque chiffre dans
un nombre Ces meacutethodes fonctionnent relativement bien et pourraient ecirctre consideacutereacutees
comme expertes Les utilisateurs de ces regravegles peuvent reacutepondre agrave toutes les tacircches
notamment la comparaison correctement Il est donc aiseacute de penser quils ont une bonne
maicirctrise des nombres deacutecimaux Mais il se peut aussi quils suivent simplement un algorithme
expert de comparaison Steinle (2004) insiste sur le fait que de telles proceacutedures mecircme si
elles sont gagnantes dans un grand nombre de situations ne permettent pas agrave leacutelegraveve de
comprendre limportance du positionnement dans notre systegraveme de numeacuteration Mais surtout
elles peuvent perpeacutetuer des fausses repreacutesentations
Deux proceacutedures sont communeacutement utiliseacutees pour la comparaison
1) la comparaison de gauche agrave droite pour comparer des nombres agrave partie entiegravere
eacutegale par exemple 4205 et 435 les chiffres sont compareacutes jusquagrave ce quun chiffre soit
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1460 B Favre et K Morel (mai 2014)
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Tables des matiegraveres
I INTRODUCTION4
I1 Choix du sujet4
I2 Objectifs de recherche5
I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)6
I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration7
II CADRE THEORIQUE9
II1 Introduction9
II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles10
II3 Sens des nombres11
II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux12
II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo12
II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)12
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)13
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo13
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)13
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)14
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)14
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)14
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique15
II6 Obstacles aux apprentissages16
III METHODOLOGIE17
III1 Type de recherche17
III2 Population statistique17
III3 Meacutethode18
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES19
IV1 Preacutesentation du questionnaire19
IV2 Analyse a priori19
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 260 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV21 Partie 119
IV22 Partie 222
IV3 Attribution des points24
V ANALYSE DES RESULTATS 25
V1 Outil danalyse des reacutesultats25
V2 Analyse quantitative globale25
V3 Analyse qualitative des erreurs par question27
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations40
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves42
VI CONCLUSION45
VI1 Synthegravese45
VI2 Limites et prolongements46
VI3 Inteacuterecirct professionnel 46
VII BIBLIOGRAPHIE48
VIII ANNEXES50
VIII1 Annexe 1 Questionnaire50
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense 53
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats54
IX RESUME60
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 360 B Favre et K Morel (mai 2014)
I INTRODUCTION
I1 Choix du sujet
Dans le cadre de notre travail de meacutemoire nous avons souhaiteacute orienter notre thegraveme de
recherche vers un sujet en relation avec notre discipline didactique les matheacutematiques Gracircce
agrave nos expeacuteriences professionnelles anteacuterieures et au cours de didactique des matheacutematiques de
la HEP Vaud nous avons pu remarqueacute que par exemple les nombres relatifs les nombres
deacutecimaux ou encore les fractions pouvaient ecirctre sources de difficulteacutes de compreacutehension pour
les eacutelegraveves
Lorsquun eacutelegraveve1 reacutesout un exercice ou un problegraveme de matheacutematiques on peut se demander
sil applique meacutecaniquement une formule matheacutematique qui semble convenir agrave la situation
etou sil possegravede une bonne compreacutehension des notions matheacutematiques en jeu Dans
lenseignement il est freacutequemment fait allusion au contrat didactique (Brousseau 1976)
Celui-ci a souvent pour effet que les notions matheacutematiques agrave mettre en œuvre dans le cadre
dune seacutequence denseignement correspondent aux notions eacutetudieacutees au cours de celle-ci
Leacutelegraveve na donc quagrave puiser dans sa meacutemoire agrave court terme et agrave appliquer les notions ainsi
apprises Dans la taxonomie dAnderson et Krathwohl (2001) nous nous situons alors au
niveau des habileteacutes cognitives de meacutemorisation et dapplication habileteacutes faisant appel agrave des
connaissances et savoir-faire relativement simples Ainsi un eacutelegraveve nayant pas compris le
contenu du cours aura neacuteanmoins une certaine chance de reacuteussir les eacutevaluations en ne faisant
quappliquer meacutecaniquement les formules apprises Il en ressort clairement quappliquer ou
restituer ne signifie pas neacutecessairement comprendre
Suite agrave ces reacuteflexions nous avons opteacute pour leacutetude des connaissances des nombres deacutecimaux
Nous avons pu lors de nos divers stages et remplacements observer concregravetement que
lapprentissage de ceux-ci pouvaient engendrer des difficulteacutes significatives pour les eacutelegraveves du
secondaire 1 en 9H et 10H Leur utilisation geacuteneacuteraliseacutee intervient pourtant deacutejagrave au cycle 2 (7H
et 8H) (PER cycle 2 2010)
Au moment de choisir notre sujet nous ne savions pas encore quelles classes nous aurions
lanneacutee suivante et nous souhaitions donc eacuteviter leacutecueil danalyser une notion matheacutematique
que nos futurs eacutelegraveves nauraient pas encore eacutetudieacutee Ainsi en portant notre choix sur les
1 La forme masculine est utiliseacutee dans ce document pour deacutesigner les deux genres sans aucune discrimination dans un souci de lisibiliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 460 B Favre et K Morel (mai 2014)
nombres deacutecimaux nous eacutetions assureacutes que ce domaine aurait eacuteteacute suffisamment abordeacute pour
pouvoir ecirctre eacutevalueacute en 9H Toutefois nous courions le risque de devoir eacutevaluer des
connaissances largement acquises par des eacutelegraveves de 10H ou 11H Cet inconveacutenient est
cependant minimiseacute par le constat que lon a pu faire dans notre pratique certaines notions
eacuteleacutementaires et eacutetudieacutees depuis quelques anneacutees peuvent demeurer ou semblent redevenir
floues dans lesprit de certains eacutelegraveves De mecircme certaines connaissances apprises par le passeacute
peuvent rester ancreacutees dans lesprit des eacutelegraveves et constituer un obstacle aux apprentissages
nouveaux Il sera donc tout aussi inteacuteressant de porter notre attention sur des eacutelegraveves ayant reccedilu
un enseignement des nombres deacutecimaux reacutecemment ainsi que sur des eacutelegraveves ayant reccedilu cet
enseignement depuis un temps plus long
Finalement il existe dans la litteacuterature une abondance de recherches au sujet des
connaissances relatives aux nombres deacutecimaux Ceci nous a conforteacute dans notre choix et nous
a permis de cibler plus preacuteciseacutement notre eacutetude
I2 Objectifs de recherche
Nous souhaitons analyser les connaissances des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux agrave
deux niveaux
1) celui des tacircches comme ordonner comparer intercaler des nombres deacutecimaux
niveau que nous deacutesignons par la suite laquo connaissance des nombres raquo sous-entendu
deacutecimaux
2) celui de la reacutesolution dopeacuterations avec des nombres deacutecimaux agrave travers des tacircches
de calculs niveau que nous deacutesignons par la suite laquo connaissance des opeacuterations raquo
sous-entendu avec des nombres deacutecimaux
A partir de cette analyse nous espeacuterons deacuteterminer sil existe ou non une correacutelation entre ces
deux types de connaissances est-ce quune bonne maicirctrise de lun implique neacutecessairement
une bonne maicirctrise de lautre ou peut-on avoir de bons reacutesultats dans lun et de mauvais dans
lautre Nous analysons eacutegalement la preacutesence et leacuteventuelle constance de fausses
repreacutesentations relatives aux nombres deacutecimaux dans ces deux niveaux de connaissances
Notons toutefois que lexistence eacuteventuelle dune correacutelation ne permet pas de conclure agrave une
relation de cause agrave effet entre la reacuteussite ou leacutechec dans lun de ces domaines et la reacuteussite ou
leacutechec dans lautre
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 560 B Favre et K Morel (mai 2014)
I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
Lenseignement des nombres deacutecimaux intervient systeacutematiquement au cycle 2 de la scolariteacute
obligatoire Auparavant agrave leacutecole les eacutelegraveves ont principalement eacuteteacute confronteacutes aux nombres
entiers naturels Cest agrave la fin du cycle 2 en 8H que leacutelegraveve doit atteindre les objectifs
dapprentissage suivants concernant les connaissances et les opeacuterations sur les nombres
deacutecimaux (PER cycle 2 2010)
Objectifs du domaine matheacutematiques et sciences de la nature (MSN22) Poser et reacutesoudre des
problegravemes pour construire et structurer des repreacutesentations des nombres rationnels
ndash en ordonnant des nombres rationnels notamment deacutecimaux
ndash en organisant les nombres rationnels agrave travers les opeacuterations
ndash en explorant linfiniment grand et linfiniment petit
La progression des apprentissages correspondante est la suivante
ndash Comparaison classement encadrement et intercalation de nombres eacutecrits sous forme
deacutecimale
ndash Repreacutesentation et lecture de nombres sur une droite gradueacutee
ndash Extraction du nombre de dixiegravemes centiegravemes ou milliegravemes
ndash Comparaison classement de fractions unitaires ou de mecircme deacutenominateur
ndash Reconnaissance dun nombre sous diverses eacutecritures et eacutetablissement de quelques
eacutegaliteacutes (la moitieacute = 12
= 05 = 5 dixiegravemes = 510
)
ndash Expression de la quantiteacute correspondant agrave la moitieacute au tiers au quart aux trois quarts
au dixiegraveme dune quantiteacute donneacutee
Objectifs du domaine matheacutematiques et sciences de la nature (MSN23) Reacutesoudre des
problegravemes additifs et multiplicatifs
ndash en choisissant loutil de calcul le mieux adapteacute agrave la situation proposeacutee
ndash en anticipant un reacutesultat et en exerccedilant un regard critique sur le reacutesultat obtenu
ndash en utilisant les proprieacuteteacutes des quatre opeacuterations
ndash en construisant en exerccedilant et utilisant des proceacutedures de calcul avec des nombres
rationnels positifs
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 660 B Favre et K Morel (mai 2014)
La progression des apprentissages correspondante est la suivante
ndash Utilisation des proprieacuteteacutes de laddition et de la multiplication (commutativiteacute
associativiteacute distributiviteacute) et deacutecomposition des nombres (additive soustractive
multiplicative) pour organiser et effectuer des calculs de maniegravere efficace ainsi que
pour donner des estimations
ndash Utilisation des algorithmes pour effectuer des calculs de faccedilon efficace avec des
nombres eacutecrits sous forme deacutecimale infeacuterieurs agrave 10000
ndash addition et soustraction dont les termes ont au plus 2 deacutecimales
ndash multiplication dont les facteurs et le produit ont au plus 2 deacutecimales
ndash division euclidienne dont le dividende est infeacuterieur agrave 10000 et le diviseur est
infeacuterieur agrave 100
ndash division dont le dividende (lt 10000) et le diviseur (lt 100) ont au plus une
deacutecimale et le quotient au plus deux deacutecimales
I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
Notre systegraveme de numeacuteration est un systegraveme deacutecimal de position
Cest un systegraveme de position car chaque chiffre repreacutesente une valeur speacutecifique selon sa
position dans le nombre quil compose Pour les entiers le chiffre le plus agrave droite repreacutesente
les uniteacutes le suivant sur sa gauche les dizaines le suivant les centaines et ainsi de suite
Cest un systegraveme en base 10 tout groupement de dix eacuteleacutements de mecircme ordre de grandeur
permet de passer agrave lordre supeacuterieur 10 uniteacutes forment une dizaine 10 dizaines forment une
centaine de mecircme que 10 centiegravemes forment un dixiegraveme et 10 dixiegravemes une uniteacute etc Cest
la mecircme regravegle deacutechange entre les diffeacuterents ordres de grandeur le groupement par 10
Cest un systegraveme deacutecimal car les nombres deacutecimaux peuvent seacutecrire comme une somme de
puissances de 10 Chaque chiffre repreacutesente la valeur qui doit ecirctre multiplieacutee agrave la puissance de
10 qui correspond agrave sa position dans le nombre La puissance est preacuteciseacutement eacutegale agrave la
position du chiffre dans le nombre en commenccedilant par 0 pour les uniteacutes puis 1 pour les
dizaines etc
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Par exemple 8103 = 8middot10sup3 + 1middot10sup2 + 0middot10sup1 + 3middot10ordm = 8000 + 100 + 0 + 3 On peut aussi dire
8 milliers plus 1 centaine plus 0 dizaine plus 3 uniteacutes
Un nombre deacutecimal est un nombre eacutecrit avec une virgule2 Les chiffres situeacutes agrave gauche de la
virgule constituent la partie entiegravere et ceux situeacutes agrave droite constituent la partie deacutecimale La
partie entiegravere seacutecrit donc comme deacutecrit plus haut comme une somme de puissances de 10
positives Alors que la partie deacutecimale seacutecrit elle comme une somme de puissances de 10
strictement neacutegatives ou de fractions de 10 Le premier chiffre situeacute agrave droite de la virgule
repreacutesente les dixiegravemes (10-1 ou 110) le suivant repreacutesente les centiegravemes (10-2 ou 1100) etc
Par exemple 813 = 8middot10ordm + 1middot10-1 + 3middot10-2 = 8 + 110 + 3100 = 8 + 01 + 003 On peut
dire aussi 8 uniteacutes plus 1 dixiegraveme plus 3 centiegravemes
Dans le langage courant on peut qualifier un nombre deacutecimal par la longueur de sa partie
deacutecimale Dans le cas de 234 elle est de 2 On dira donc quil sagit dun nombre agrave deux
deacutecimales (PER cycle 2 2010)
Comprendre comment les deacutecimaux sont construits permet deffectuer un certain nombre de
tacircches plus aiseacutement par exemple les placer sur la droite numeacuterique (pour placer 416 il faut
avancer de 4 uniteacutes 1 dixiegraveme et 6 centiegravemes) les comparer
Toutefois lorsque les eacutelegraveves romands abordent pour la premiegravere fois les nombres deacutecimaux en
7H ils ne connaissent encore ni les puissances de 10 ni les fractions Lapprentissage se fait
alors geacuteneacuteralement agrave travers un tableau chaque colonne ayant pour en-tecircte le nom des
puissances de 10 quelle repreacutesente centaines dizaines uniteacutes dixiegravemes etc3
Selon Resnick et al (1989) ce mode dapprentissage des deacutecimaux conseacutecutif aux seuls
entiers naturels a le deacutesavantage eacuteventuellement de creacuteer des fausses repreacutesentations comme
nous le verrons dans les chapitres suivants De plus le passage par un tableau induit un
possible fonctionnement en miroir de la partie deacutecimale par rapport agrave la partie entiegravere Or
cette apparente symeacutetrie de surcroicirct inverseacutee nexiste pas par rapport agrave la virgule mais par
rapport aux uniteacutes
2 Nous utilisons dans la partie textuelle de ce document la notation francophone de la virgule Dans les pays anglo-saxons cette virgule est
repreacutesenteacutee par un point Dans les annexes par contre nous utilisons le point car la version de notre tableur est anglo-saxonne
3 Cette faccedilon de faire est une particulariteacute romande En effet en France ou dans les pays anglo-saxons les nombres deacutecimaux sont
introduits par les fractions deacutecimales
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 860 B Favre et K Morel (mai 2014)
II CADRE THEORIQUE
II1 Introduction
Une eacutetude internationale le Third International Mathematics and Science (Repeat) Study
(1999 citeacute par Steinle 2004 p 1) conduite en 1999 montre que seuls environ 50 des
enfants testeacutes de 13 ans choisissent correctement le plus petit nombre deacutecimal dune liste de
cinq nombres deacutecimaux De mecircme une eacutetude de Bana Farrell et McIntosh (1997) conclut que
la moitieacute des eacutelegraveves de 12 ans testeacutes et pregraves du quart des eacutelegraveves de 14 ans testeacutes4 pensent quil
nest pas possible dintercaler un nombre entre deux deacutecimaux successifs (par exemple entre
152 et 153) Nous nous sommes en partie inspireacutes des items de ces tests pour deacutevelopper
notre outil de reacutecolte de donneacutees
Bana et Dolma (2004) ont effectueacute une eacutetude aupregraves de 77 eacutelegraveves australiens de leacutequivalent
9H suisse Leur but eacutetait de comparer les reacutesultats destimation dopeacuterations (avec des entiers
deacutecimaux et fractions) et les reacutesultats de calcul de ces mecircmes opeacuterations Il en ressort que
pour un mecircme calcul les eacutelegraveves ont moins de reacuteussite dans lestimation du reacutesultat quavec
lutilisation proceacutedurale des algorithmes de calcul Les auteurs suggegraverent comme explication
de cette diffeacuterence le fait que lenseignement porte principalement sur les regravegles de calcul et
est moins orienteacute sur lestimation de reacutesultats dopeacuterations Degraves lors ils proposent que
lestimation soit enseigneacute agrave chaque fois que cela est possible afin de deacutevelopper le sens des
nombres (number sense) chez les eacutelegraveves Ceci impliquerait une plus grande emphase porteacutee
en classe sur le calcul reacutefleacutechi plutocirct que sur le calcul algorithmique Lampleur de ce
meacutemoire ne nous a pas permis dapprofondir cette facette de la compreacutehension des nombres
De leur cocircteacute Muir et Livy (2012) ont effectueacute une eacutetude agrave partir dune population australienne
de 80 enseignants de primaire en formation et 58 enseignants de primaire en emploi devant
reacutesoudre 49 items de niveau 10 ndash 14 ans Ils deacutecouvrent par exemple que seuls 50 des
maicirctres en emploi classent 3303 303 333 et 3033 correctement dans lordre croissant ou
que seuls 19 des maicirctres en formation obtiennent le quotient exact agrave quatre deacutecimales pregraves
de la division de 3 par 7
Plusieurs chercheurs ont identifieacute des fausses repreacutesentations (misconceptions) sur les
nombres deacutecimaux (Sackur-Grisvard amp Leacuteonard 1985 Resnick amp al 1989 Steinle 2004)
4 45 des Eacutetats-uniens 23 des Australiens et Sueacutedois 5 des Taiumlwanais
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans son eacutetude Steinle (2004) a deacuteveloppeacute des tests speacutecifiques de comparaison de paires de
nombres deacutecimaux (decimal comparison tests) Ces tests sont conccedilus de maniegravere agrave permettre
une cateacutegorisation des erreurs dune personne selon leur reacutepeacutetition et leur reacutegulariteacute Nous
nous sommes eacutegalement reacutefeacutereacutes agrave des eacutetudes effectueacutees en France (Bolon 1993 Perrin-
Glorian 1986) sur les repreacutesentations des nombres deacutecimaux drsquoeacutelegraveves de CM2 et 6egraveme
(eacutequivalent 7H et 8H en Suisse) afin deacutelaborer notre outil de reacutecolte de donneacutees
II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
Les eacutetudes de Ma (1999) et Clivaz (2011) nous ont ameneacute agrave faire la distinction entre
connaissances proceacutedurales et connaissances conceptuelles Leacutecart entre ces deux types de
connaissances a eacuteteacute eacutetudieacute par Rittle-Johnson Siegler et Alibali (2001) dans le cadre preacutecis
des nombres deacutecimaux Selon ces auteurs les connaissances proceacutedurales repreacutesentent la
capaciteacute agrave exeacutecuter des actions seacutequenceacutees (pas agrave pas) en vue de reacutesoudre des problegravemes ou
des calculs simples Ces connaissances sont lieacutees agrave des items matheacutematiques preacutecis et sont
donc difficilement transfeacuterables agrave dautres situations Les connaissances conceptuelles elles
sont la compreacutehension implicite ou explicite des principes qui sous-tendent agrave un concept ainsi
que la compreacutehension des relations avec dautres concepts Ces auteurs ont chercheacute agrave savoir si
un type de connaissances preacutecegravede lrsquoautre et sont arriveacutes agrave la conclusion que le deacuteveloppement
de ces deux types de connaissances se fait de maniegravere iteacuterative les unes ameacuteliorant les autres
et vice-versa dans un ordre chronologique non figeacute
Pour eacutevaluer les connaissances conceptuelles Rittle-Johnson et al (2001) testent la
compreacutehension de diffeacuterents concepts pris individuellement dont entre autres lampleur
relative des nombres (comparaison de nombres) et la densiteacute numeacuterique (placer un nombre
entre deux nombres donneacutes) Ils affirment que des tests eacutecrits sont suffisants et preacutefegraverent ne
pas se baser sur les explications verbales des personnes testeacutees les connaissances
conceptuelles pouvant ecirctre implicites et les enfants ne sachant pas toujours correctement
articuler leurs connaissances
Haapasalo (2003) estime pour sa part quil est tregraves difficile de pouvoir polariser ces deux
formes de connaissances dans des tests Comment peut-on sassurer que la personne reacutesout
telle ou telle question de maniegravere purement proceacutedurale ou purement conceptuelle De plus
chaque individu reacuteagit et analyse des situations de maniegravere tregraves diffeacuterente Comme le
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1060 B Favre et K Morel (mai 2014)
mentionnent McIntosh Reys et Reys (1992) le sens des nombres est tregraves personnel et est
influenceacute par le contexte et la maniegravere dont les concepts ont eacuteteacute enseigneacutes Sans
questionnement il est donc tregraves difficile de deacuteterminer si une personne met en place des
strateacutegies conceptuelles ou simplement proceacutedurales
II3 Sens des nombres
La connaissance des nombres et la connaissance des opeacuterations font partie de ce que
McIntosh et al (1992) nomment le sens des nombres (number sense) Ils le deacutefinissent
comme la compreacutehension geacuteneacuterale des nombres et des opeacuterations et la capaciteacute agrave utiliser cette
compreacutehension en fonction de la situation pour donner des justifications matheacutematiques
(make mathematical judgements) et pour deacutevelopper des strateacutegies de manipulation des
nombres et des opeacuterations
laquo Number Sense A propensity for and an ability to use numbers
and quantitative methods as a means of communicating processing
and interpreting information It results in an expectation that
numbers are useful and that mathematics has a certain regularity
(makes sense) raquo5
Dans leur cadre de reacutefeacuterence permettant de cerner le sens des nombres (cf Annexe 2)
McIntosh et al (1992) distinguent trois domaines principaux 1) la connaissance des nombres
et les aptitudes avec ceux-ci 2) la connaissance des opeacuterations et les aptitudes avec celles-ci
et 3) lapplication de ces deux domaines agrave la reacutesolution de problegravemes numeacuteriques Chacun de
ces trois niveaux est constitueacute de plusieurs composantes Entre autres pour le premier
domaine on trouve le sens de classer les nombres pour le second domaine la compreacutehension
de leffet des opeacuterations et pour le troisiegraveme la conscience des diffeacuterentes strateacutegies de
reacutesolution possibles La compreacutehension serait donc la reacutesultante dun certain nombre de
connaissances et daptitudes et serait deacutefinissable agrave travers celles-ci Nous nous sommes baseacutes
sur cette distinction pour eacutelaborer notre question de recherche qui est deacutetudier la relation
possible entre une bonne ou mauvaise connaissance des nombres et une bonne ou mauvaise
connaissance des opeacuterations
5 Traduction Sens des nombres Une aptitude et une capaciteacute agrave utiliser les nombres et des meacutethodes quantitatives dans le but de
communiquer preacuteparer et interpreacuteter de linformation Il en reacutesulte une attente que les nombres sont utiles et que les matheacutematiques ont
une certaine reacutegulariteacute (quelles font sens)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1160 B Favre et K Morel (mai 2014)
II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
Apregraves avoir deacutetermineacute le cadre geacuteneacuteral de notre recherche pour tester les deux types de
connaissances qui nous inteacuteressent nous nous sommes demandeacute quels genres derreurs
pourraient commettre les eacutelegraveves Nous nous sommes tourneacutes vers Steinle (2004) qui a eacutelaboreacute
des tests de comparaison de paires de nombres deacutecimaux et a deacutetecteacute que les enfants
pouvaient avoir un certain nombre de repreacutesentations erroneacutees sur les nombres deacutecimaux
donnant lieu agrave des choix de reacuteponses incorrects (ce quil nomme regravegle ou comportement
rule behaviour)
- regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo (longer-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus longue partie deacutecimale (contenant le plus de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
- regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo (shorter-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus courte partie deacutecimale (contenant le moins de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
Il identifie et explicite ensuite les regravegles (ou theacuteoregravemes-eacutelegraveve) que suivent les eacutelegraveves qui
aboutissent agrave ces comportements
II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
Dans ce cas les eacutelegraveves considegraverent un nombre deacutecimal comme eacutetant formeacute de deux nombres
entiers apposeacutes lun agrave cocircteacute de lautre et seacutepareacutes par une virgule
Ainsi dans la comparaison de 7281 et 76 ils comparent tout dabord le nombre placeacute avant
la virgule ici 7 consideacutereacute comme indeacutependant de celui apregraves la virgule Dans ce cas la partie
entiegravere est eacutegale pour les deux nombres agrave comparer Ils poursuivent donc leur comparaison
avec le nombre (et non les chiffres) placeacute apregraves la virgule consideacutereacute comme un nombre entier
Comme 281 contient plus de chiffres et est plus grand que 6 ils vont choisir 7281 comme
eacutetant le plus grand nombre Cette strateacutegie peut ecirctre fructueuse dans certains cas par exemple
dans la comparaison de 62603 et 625 ils choisissent correctement 62603 car 2603 est plus
grand que 25
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Brousseau (1976) preacutecise que cette regravegle des nombres entiers apparaicirct particuliegraverement
lorsque les eacutelegraveves ne sont confronteacutes quagrave des deacutecimaux de partie deacutecimale de mecircme longueur
Les eacutelegraveves construisent alors la repreacutesentation que cette partie est fixe et quil est ainsi
possible de la consideacuterer comme un nombre entier agrave part Ils ont en fait geacuteneacuteraliseacute une regravegle
qui nest correcte quavec des nombres entiers Ceci survient eacutegalement lorsque le nombre
deacutecimal est identifieacute agrave de largent Il est ainsi aiseacute pour les eacutelegraveves de comparer des centimes
Ce faisant toutefois on conforte lideacutee que la partie deacutecimale est un nombre entier Dougrave
limportance pour les enseignants de modifier les variables didactiques de maniegravere adeacutequate
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
Lors de lrsquoemploi de cette regravegle les eacutelegraveves utilisent eacutegalement la regravegle geacuteneacuterale du laquo plus long
est le plus grand raquo mais modifient leur approche lorsque les nombres contiennent des zeacuteros
apregraves la virgule Ils ont reacutealiseacute que les zeacuteros rendaient un nombre plus petit mais ils suivent
ensuite la regravegle citeacutee preacuteceacutedemment
Par exemple entre 38 et 309 ils choisiront correctement 38 comme eacutetant le plus grand car
selon eux le 0 rend le nombre 09 plus petit Par contre entre 3082 et 30804 ils commettront
la mecircme erreur que dans la regravegle preacuteceacutedente et indiqueront 30804 comme eacutetant le plus grand
nombre (car 804 gt 82)
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
Toujours dapregraves Steinle (2004) selon cette regravegle pour deacuteterminer le nombre le plus grand les
eacutelegraveves comparent les parties deacutecimales et choisissent celle qui comporte le moins de chiffres
Un nombre plus eacuteleveacute de chiffres apregraves la virgule est interpreacuteteacute comme reacuteduisant la grandeur
du nombre les centiegravemes quelle que soit leur valeur sont toujours consideacutereacutes comme eacutetant
laquo plus petits raquo que les dixiegravemes Ainsi lorsqursquoun nombre contient des centiegravemes il est
consideacutereacute plus petit qursquoun nombre qui nrsquoa que des dixiegravemes Dans la comparaison de 33 et
345 les 45 centiegravemes sont consideacutereacutes plus petits que 3 dixiegravemes et ces personnes deacutecideront
que 33 gt 345 Par contre tout en appliquant cette regravegle 375 et 38 seront compareacutes
correctement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1360 B Favre et K Morel (mai 2014)
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
Les eacutelegraveves choisissent eacutegalement le nombre le plus grand comme eacutetant celui dont la partie
deacutecimale est la plus courte mais pour une autre raison Dans le cas de cette regravegle ils font
lanalogie erroneacutee avec les fractions Ainsi 03 et 045 seront consideacutereacutes comme 13 et 145
13 eacutetant plus grand que 145 ils choisiront 03 comme eacutetant le plus grand Cette fausse
repreacutesentation apparaicirct geacuteneacuteralement apregraves que le concept de fraction a eacuteteacute introduit et il nest
donc pas exclu que des eacutelegraveves qui ne commettaient pas derreurs jusque-lagrave deacuteveloppent
soudainement cette fausse repreacutesentation
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
Dans cette fausse conception leacutelegraveve fait lanalogie entre la partie deacutecimale (non la partie
entiegravere) et les nombres neacutegatifs Elle peut en effet survenir suite agrave lintroduction de ces
derniers Pour comparer 03 et 045 leacutelegraveve assimile le fonctionnement de 3 et 45 agrave celui des
nombres neacutegatifs -3 eacutetant plus grand que -45 il conclut que 03 est plus grand que 045
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
Steinle (2004) considegravere les personnes ne commettant pas derreur comme des experts
apparents Ils sont experts jusquagrave preuve du contraire jusquagrave preuve quils utilisent une
fausse repreacutesentation qui naurait pas encore eacuteteacute deacutecouverte
Il existe en effet plusieurs algorithmes de comparaison de nombres entre eux qui peuvent ecirctre
appliqueacutes indeacutependamment de la compreacutehension du rocircle de la position de chaque chiffre dans
un nombre Ces meacutethodes fonctionnent relativement bien et pourraient ecirctre consideacutereacutees
comme expertes Les utilisateurs de ces regravegles peuvent reacutepondre agrave toutes les tacircches
notamment la comparaison correctement Il est donc aiseacute de penser quils ont une bonne
maicirctrise des nombres deacutecimaux Mais il se peut aussi quils suivent simplement un algorithme
expert de comparaison Steinle (2004) insiste sur le fait que de telles proceacutedures mecircme si
elles sont gagnantes dans un grand nombre de situations ne permettent pas agrave leacutelegraveve de
comprendre limportance du positionnement dans notre systegraveme de numeacuteration Mais surtout
elles peuvent perpeacutetuer des fausses repreacutesentations
Deux proceacutedures sont communeacutement utiliseacutees pour la comparaison
1) la comparaison de gauche agrave droite pour comparer des nombres agrave partie entiegravere
eacutegale par exemple 4205 et 435 les chiffres sont compareacutes jusquagrave ce quun chiffre soit
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1460 B Favre et K Morel (mai 2014)
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
PER Plan deacutetudes romand cycle 3 (2010) Matheacutematiques et Sciences de la nature
Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Steinle V (2004) Changes with age in studentsrsquo misconceptions of decimal numbers
University of Melbourne Department of Science and Mathematics Education
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
IV21 Partie 119
IV22 Partie 222
IV3 Attribution des points24
V ANALYSE DES RESULTATS 25
V1 Outil danalyse des reacutesultats25
V2 Analyse quantitative globale25
V3 Analyse qualitative des erreurs par question27
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations40
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves42
VI CONCLUSION45
VI1 Synthegravese45
VI2 Limites et prolongements46
VI3 Inteacuterecirct professionnel 46
VII BIBLIOGRAPHIE48
VIII ANNEXES50
VIII1 Annexe 1 Questionnaire50
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense 53
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats54
IX RESUME60
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 360 B Favre et K Morel (mai 2014)
I INTRODUCTION
I1 Choix du sujet
Dans le cadre de notre travail de meacutemoire nous avons souhaiteacute orienter notre thegraveme de
recherche vers un sujet en relation avec notre discipline didactique les matheacutematiques Gracircce
agrave nos expeacuteriences professionnelles anteacuterieures et au cours de didactique des matheacutematiques de
la HEP Vaud nous avons pu remarqueacute que par exemple les nombres relatifs les nombres
deacutecimaux ou encore les fractions pouvaient ecirctre sources de difficulteacutes de compreacutehension pour
les eacutelegraveves
Lorsquun eacutelegraveve1 reacutesout un exercice ou un problegraveme de matheacutematiques on peut se demander
sil applique meacutecaniquement une formule matheacutematique qui semble convenir agrave la situation
etou sil possegravede une bonne compreacutehension des notions matheacutematiques en jeu Dans
lenseignement il est freacutequemment fait allusion au contrat didactique (Brousseau 1976)
Celui-ci a souvent pour effet que les notions matheacutematiques agrave mettre en œuvre dans le cadre
dune seacutequence denseignement correspondent aux notions eacutetudieacutees au cours de celle-ci
Leacutelegraveve na donc quagrave puiser dans sa meacutemoire agrave court terme et agrave appliquer les notions ainsi
apprises Dans la taxonomie dAnderson et Krathwohl (2001) nous nous situons alors au
niveau des habileteacutes cognitives de meacutemorisation et dapplication habileteacutes faisant appel agrave des
connaissances et savoir-faire relativement simples Ainsi un eacutelegraveve nayant pas compris le
contenu du cours aura neacuteanmoins une certaine chance de reacuteussir les eacutevaluations en ne faisant
quappliquer meacutecaniquement les formules apprises Il en ressort clairement quappliquer ou
restituer ne signifie pas neacutecessairement comprendre
Suite agrave ces reacuteflexions nous avons opteacute pour leacutetude des connaissances des nombres deacutecimaux
Nous avons pu lors de nos divers stages et remplacements observer concregravetement que
lapprentissage de ceux-ci pouvaient engendrer des difficulteacutes significatives pour les eacutelegraveves du
secondaire 1 en 9H et 10H Leur utilisation geacuteneacuteraliseacutee intervient pourtant deacutejagrave au cycle 2 (7H
et 8H) (PER cycle 2 2010)
Au moment de choisir notre sujet nous ne savions pas encore quelles classes nous aurions
lanneacutee suivante et nous souhaitions donc eacuteviter leacutecueil danalyser une notion matheacutematique
que nos futurs eacutelegraveves nauraient pas encore eacutetudieacutee Ainsi en portant notre choix sur les
1 La forme masculine est utiliseacutee dans ce document pour deacutesigner les deux genres sans aucune discrimination dans un souci de lisibiliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 460 B Favre et K Morel (mai 2014)
nombres deacutecimaux nous eacutetions assureacutes que ce domaine aurait eacuteteacute suffisamment abordeacute pour
pouvoir ecirctre eacutevalueacute en 9H Toutefois nous courions le risque de devoir eacutevaluer des
connaissances largement acquises par des eacutelegraveves de 10H ou 11H Cet inconveacutenient est
cependant minimiseacute par le constat que lon a pu faire dans notre pratique certaines notions
eacuteleacutementaires et eacutetudieacutees depuis quelques anneacutees peuvent demeurer ou semblent redevenir
floues dans lesprit de certains eacutelegraveves De mecircme certaines connaissances apprises par le passeacute
peuvent rester ancreacutees dans lesprit des eacutelegraveves et constituer un obstacle aux apprentissages
nouveaux Il sera donc tout aussi inteacuteressant de porter notre attention sur des eacutelegraveves ayant reccedilu
un enseignement des nombres deacutecimaux reacutecemment ainsi que sur des eacutelegraveves ayant reccedilu cet
enseignement depuis un temps plus long
Finalement il existe dans la litteacuterature une abondance de recherches au sujet des
connaissances relatives aux nombres deacutecimaux Ceci nous a conforteacute dans notre choix et nous
a permis de cibler plus preacuteciseacutement notre eacutetude
I2 Objectifs de recherche
Nous souhaitons analyser les connaissances des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux agrave
deux niveaux
1) celui des tacircches comme ordonner comparer intercaler des nombres deacutecimaux
niveau que nous deacutesignons par la suite laquo connaissance des nombres raquo sous-entendu
deacutecimaux
2) celui de la reacutesolution dopeacuterations avec des nombres deacutecimaux agrave travers des tacircches
de calculs niveau que nous deacutesignons par la suite laquo connaissance des opeacuterations raquo
sous-entendu avec des nombres deacutecimaux
A partir de cette analyse nous espeacuterons deacuteterminer sil existe ou non une correacutelation entre ces
deux types de connaissances est-ce quune bonne maicirctrise de lun implique neacutecessairement
une bonne maicirctrise de lautre ou peut-on avoir de bons reacutesultats dans lun et de mauvais dans
lautre Nous analysons eacutegalement la preacutesence et leacuteventuelle constance de fausses
repreacutesentations relatives aux nombres deacutecimaux dans ces deux niveaux de connaissances
Notons toutefois que lexistence eacuteventuelle dune correacutelation ne permet pas de conclure agrave une
relation de cause agrave effet entre la reacuteussite ou leacutechec dans lun de ces domaines et la reacuteussite ou
leacutechec dans lautre
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 560 B Favre et K Morel (mai 2014)
I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
Lenseignement des nombres deacutecimaux intervient systeacutematiquement au cycle 2 de la scolariteacute
obligatoire Auparavant agrave leacutecole les eacutelegraveves ont principalement eacuteteacute confronteacutes aux nombres
entiers naturels Cest agrave la fin du cycle 2 en 8H que leacutelegraveve doit atteindre les objectifs
dapprentissage suivants concernant les connaissances et les opeacuterations sur les nombres
deacutecimaux (PER cycle 2 2010)
Objectifs du domaine matheacutematiques et sciences de la nature (MSN22) Poser et reacutesoudre des
problegravemes pour construire et structurer des repreacutesentations des nombres rationnels
ndash en ordonnant des nombres rationnels notamment deacutecimaux
ndash en organisant les nombres rationnels agrave travers les opeacuterations
ndash en explorant linfiniment grand et linfiniment petit
La progression des apprentissages correspondante est la suivante
ndash Comparaison classement encadrement et intercalation de nombres eacutecrits sous forme
deacutecimale
ndash Repreacutesentation et lecture de nombres sur une droite gradueacutee
ndash Extraction du nombre de dixiegravemes centiegravemes ou milliegravemes
ndash Comparaison classement de fractions unitaires ou de mecircme deacutenominateur
ndash Reconnaissance dun nombre sous diverses eacutecritures et eacutetablissement de quelques
eacutegaliteacutes (la moitieacute = 12
= 05 = 5 dixiegravemes = 510
)
ndash Expression de la quantiteacute correspondant agrave la moitieacute au tiers au quart aux trois quarts
au dixiegraveme dune quantiteacute donneacutee
Objectifs du domaine matheacutematiques et sciences de la nature (MSN23) Reacutesoudre des
problegravemes additifs et multiplicatifs
ndash en choisissant loutil de calcul le mieux adapteacute agrave la situation proposeacutee
ndash en anticipant un reacutesultat et en exerccedilant un regard critique sur le reacutesultat obtenu
ndash en utilisant les proprieacuteteacutes des quatre opeacuterations
ndash en construisant en exerccedilant et utilisant des proceacutedures de calcul avec des nombres
rationnels positifs
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 660 B Favre et K Morel (mai 2014)
La progression des apprentissages correspondante est la suivante
ndash Utilisation des proprieacuteteacutes de laddition et de la multiplication (commutativiteacute
associativiteacute distributiviteacute) et deacutecomposition des nombres (additive soustractive
multiplicative) pour organiser et effectuer des calculs de maniegravere efficace ainsi que
pour donner des estimations
ndash Utilisation des algorithmes pour effectuer des calculs de faccedilon efficace avec des
nombres eacutecrits sous forme deacutecimale infeacuterieurs agrave 10000
ndash addition et soustraction dont les termes ont au plus 2 deacutecimales
ndash multiplication dont les facteurs et le produit ont au plus 2 deacutecimales
ndash division euclidienne dont le dividende est infeacuterieur agrave 10000 et le diviseur est
infeacuterieur agrave 100
ndash division dont le dividende (lt 10000) et le diviseur (lt 100) ont au plus une
deacutecimale et le quotient au plus deux deacutecimales
I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
Notre systegraveme de numeacuteration est un systegraveme deacutecimal de position
Cest un systegraveme de position car chaque chiffre repreacutesente une valeur speacutecifique selon sa
position dans le nombre quil compose Pour les entiers le chiffre le plus agrave droite repreacutesente
les uniteacutes le suivant sur sa gauche les dizaines le suivant les centaines et ainsi de suite
Cest un systegraveme en base 10 tout groupement de dix eacuteleacutements de mecircme ordre de grandeur
permet de passer agrave lordre supeacuterieur 10 uniteacutes forment une dizaine 10 dizaines forment une
centaine de mecircme que 10 centiegravemes forment un dixiegraveme et 10 dixiegravemes une uniteacute etc Cest
la mecircme regravegle deacutechange entre les diffeacuterents ordres de grandeur le groupement par 10
Cest un systegraveme deacutecimal car les nombres deacutecimaux peuvent seacutecrire comme une somme de
puissances de 10 Chaque chiffre repreacutesente la valeur qui doit ecirctre multiplieacutee agrave la puissance de
10 qui correspond agrave sa position dans le nombre La puissance est preacuteciseacutement eacutegale agrave la
position du chiffre dans le nombre en commenccedilant par 0 pour les uniteacutes puis 1 pour les
dizaines etc
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Par exemple 8103 = 8middot10sup3 + 1middot10sup2 + 0middot10sup1 + 3middot10ordm = 8000 + 100 + 0 + 3 On peut aussi dire
8 milliers plus 1 centaine plus 0 dizaine plus 3 uniteacutes
Un nombre deacutecimal est un nombre eacutecrit avec une virgule2 Les chiffres situeacutes agrave gauche de la
virgule constituent la partie entiegravere et ceux situeacutes agrave droite constituent la partie deacutecimale La
partie entiegravere seacutecrit donc comme deacutecrit plus haut comme une somme de puissances de 10
positives Alors que la partie deacutecimale seacutecrit elle comme une somme de puissances de 10
strictement neacutegatives ou de fractions de 10 Le premier chiffre situeacute agrave droite de la virgule
repreacutesente les dixiegravemes (10-1 ou 110) le suivant repreacutesente les centiegravemes (10-2 ou 1100) etc
Par exemple 813 = 8middot10ordm + 1middot10-1 + 3middot10-2 = 8 + 110 + 3100 = 8 + 01 + 003 On peut
dire aussi 8 uniteacutes plus 1 dixiegraveme plus 3 centiegravemes
Dans le langage courant on peut qualifier un nombre deacutecimal par la longueur de sa partie
deacutecimale Dans le cas de 234 elle est de 2 On dira donc quil sagit dun nombre agrave deux
deacutecimales (PER cycle 2 2010)
Comprendre comment les deacutecimaux sont construits permet deffectuer un certain nombre de
tacircches plus aiseacutement par exemple les placer sur la droite numeacuterique (pour placer 416 il faut
avancer de 4 uniteacutes 1 dixiegraveme et 6 centiegravemes) les comparer
Toutefois lorsque les eacutelegraveves romands abordent pour la premiegravere fois les nombres deacutecimaux en
7H ils ne connaissent encore ni les puissances de 10 ni les fractions Lapprentissage se fait
alors geacuteneacuteralement agrave travers un tableau chaque colonne ayant pour en-tecircte le nom des
puissances de 10 quelle repreacutesente centaines dizaines uniteacutes dixiegravemes etc3
Selon Resnick et al (1989) ce mode dapprentissage des deacutecimaux conseacutecutif aux seuls
entiers naturels a le deacutesavantage eacuteventuellement de creacuteer des fausses repreacutesentations comme
nous le verrons dans les chapitres suivants De plus le passage par un tableau induit un
possible fonctionnement en miroir de la partie deacutecimale par rapport agrave la partie entiegravere Or
cette apparente symeacutetrie de surcroicirct inverseacutee nexiste pas par rapport agrave la virgule mais par
rapport aux uniteacutes
2 Nous utilisons dans la partie textuelle de ce document la notation francophone de la virgule Dans les pays anglo-saxons cette virgule est
repreacutesenteacutee par un point Dans les annexes par contre nous utilisons le point car la version de notre tableur est anglo-saxonne
3 Cette faccedilon de faire est une particulariteacute romande En effet en France ou dans les pays anglo-saxons les nombres deacutecimaux sont
introduits par les fractions deacutecimales
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 860 B Favre et K Morel (mai 2014)
II CADRE THEORIQUE
II1 Introduction
Une eacutetude internationale le Third International Mathematics and Science (Repeat) Study
(1999 citeacute par Steinle 2004 p 1) conduite en 1999 montre que seuls environ 50 des
enfants testeacutes de 13 ans choisissent correctement le plus petit nombre deacutecimal dune liste de
cinq nombres deacutecimaux De mecircme une eacutetude de Bana Farrell et McIntosh (1997) conclut que
la moitieacute des eacutelegraveves de 12 ans testeacutes et pregraves du quart des eacutelegraveves de 14 ans testeacutes4 pensent quil
nest pas possible dintercaler un nombre entre deux deacutecimaux successifs (par exemple entre
152 et 153) Nous nous sommes en partie inspireacutes des items de ces tests pour deacutevelopper
notre outil de reacutecolte de donneacutees
Bana et Dolma (2004) ont effectueacute une eacutetude aupregraves de 77 eacutelegraveves australiens de leacutequivalent
9H suisse Leur but eacutetait de comparer les reacutesultats destimation dopeacuterations (avec des entiers
deacutecimaux et fractions) et les reacutesultats de calcul de ces mecircmes opeacuterations Il en ressort que
pour un mecircme calcul les eacutelegraveves ont moins de reacuteussite dans lestimation du reacutesultat quavec
lutilisation proceacutedurale des algorithmes de calcul Les auteurs suggegraverent comme explication
de cette diffeacuterence le fait que lenseignement porte principalement sur les regravegles de calcul et
est moins orienteacute sur lestimation de reacutesultats dopeacuterations Degraves lors ils proposent que
lestimation soit enseigneacute agrave chaque fois que cela est possible afin de deacutevelopper le sens des
nombres (number sense) chez les eacutelegraveves Ceci impliquerait une plus grande emphase porteacutee
en classe sur le calcul reacutefleacutechi plutocirct que sur le calcul algorithmique Lampleur de ce
meacutemoire ne nous a pas permis dapprofondir cette facette de la compreacutehension des nombres
De leur cocircteacute Muir et Livy (2012) ont effectueacute une eacutetude agrave partir dune population australienne
de 80 enseignants de primaire en formation et 58 enseignants de primaire en emploi devant
reacutesoudre 49 items de niveau 10 ndash 14 ans Ils deacutecouvrent par exemple que seuls 50 des
maicirctres en emploi classent 3303 303 333 et 3033 correctement dans lordre croissant ou
que seuls 19 des maicirctres en formation obtiennent le quotient exact agrave quatre deacutecimales pregraves
de la division de 3 par 7
Plusieurs chercheurs ont identifieacute des fausses repreacutesentations (misconceptions) sur les
nombres deacutecimaux (Sackur-Grisvard amp Leacuteonard 1985 Resnick amp al 1989 Steinle 2004)
4 45 des Eacutetats-uniens 23 des Australiens et Sueacutedois 5 des Taiumlwanais
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans son eacutetude Steinle (2004) a deacuteveloppeacute des tests speacutecifiques de comparaison de paires de
nombres deacutecimaux (decimal comparison tests) Ces tests sont conccedilus de maniegravere agrave permettre
une cateacutegorisation des erreurs dune personne selon leur reacutepeacutetition et leur reacutegulariteacute Nous
nous sommes eacutegalement reacutefeacutereacutes agrave des eacutetudes effectueacutees en France (Bolon 1993 Perrin-
Glorian 1986) sur les repreacutesentations des nombres deacutecimaux drsquoeacutelegraveves de CM2 et 6egraveme
(eacutequivalent 7H et 8H en Suisse) afin deacutelaborer notre outil de reacutecolte de donneacutees
II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
Les eacutetudes de Ma (1999) et Clivaz (2011) nous ont ameneacute agrave faire la distinction entre
connaissances proceacutedurales et connaissances conceptuelles Leacutecart entre ces deux types de
connaissances a eacuteteacute eacutetudieacute par Rittle-Johnson Siegler et Alibali (2001) dans le cadre preacutecis
des nombres deacutecimaux Selon ces auteurs les connaissances proceacutedurales repreacutesentent la
capaciteacute agrave exeacutecuter des actions seacutequenceacutees (pas agrave pas) en vue de reacutesoudre des problegravemes ou
des calculs simples Ces connaissances sont lieacutees agrave des items matheacutematiques preacutecis et sont
donc difficilement transfeacuterables agrave dautres situations Les connaissances conceptuelles elles
sont la compreacutehension implicite ou explicite des principes qui sous-tendent agrave un concept ainsi
que la compreacutehension des relations avec dautres concepts Ces auteurs ont chercheacute agrave savoir si
un type de connaissances preacutecegravede lrsquoautre et sont arriveacutes agrave la conclusion que le deacuteveloppement
de ces deux types de connaissances se fait de maniegravere iteacuterative les unes ameacuteliorant les autres
et vice-versa dans un ordre chronologique non figeacute
Pour eacutevaluer les connaissances conceptuelles Rittle-Johnson et al (2001) testent la
compreacutehension de diffeacuterents concepts pris individuellement dont entre autres lampleur
relative des nombres (comparaison de nombres) et la densiteacute numeacuterique (placer un nombre
entre deux nombres donneacutes) Ils affirment que des tests eacutecrits sont suffisants et preacutefegraverent ne
pas se baser sur les explications verbales des personnes testeacutees les connaissances
conceptuelles pouvant ecirctre implicites et les enfants ne sachant pas toujours correctement
articuler leurs connaissances
Haapasalo (2003) estime pour sa part quil est tregraves difficile de pouvoir polariser ces deux
formes de connaissances dans des tests Comment peut-on sassurer que la personne reacutesout
telle ou telle question de maniegravere purement proceacutedurale ou purement conceptuelle De plus
chaque individu reacuteagit et analyse des situations de maniegravere tregraves diffeacuterente Comme le
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mentionnent McIntosh Reys et Reys (1992) le sens des nombres est tregraves personnel et est
influenceacute par le contexte et la maniegravere dont les concepts ont eacuteteacute enseigneacutes Sans
questionnement il est donc tregraves difficile de deacuteterminer si une personne met en place des
strateacutegies conceptuelles ou simplement proceacutedurales
II3 Sens des nombres
La connaissance des nombres et la connaissance des opeacuterations font partie de ce que
McIntosh et al (1992) nomment le sens des nombres (number sense) Ils le deacutefinissent
comme la compreacutehension geacuteneacuterale des nombres et des opeacuterations et la capaciteacute agrave utiliser cette
compreacutehension en fonction de la situation pour donner des justifications matheacutematiques
(make mathematical judgements) et pour deacutevelopper des strateacutegies de manipulation des
nombres et des opeacuterations
laquo Number Sense A propensity for and an ability to use numbers
and quantitative methods as a means of communicating processing
and interpreting information It results in an expectation that
numbers are useful and that mathematics has a certain regularity
(makes sense) raquo5
Dans leur cadre de reacutefeacuterence permettant de cerner le sens des nombres (cf Annexe 2)
McIntosh et al (1992) distinguent trois domaines principaux 1) la connaissance des nombres
et les aptitudes avec ceux-ci 2) la connaissance des opeacuterations et les aptitudes avec celles-ci
et 3) lapplication de ces deux domaines agrave la reacutesolution de problegravemes numeacuteriques Chacun de
ces trois niveaux est constitueacute de plusieurs composantes Entre autres pour le premier
domaine on trouve le sens de classer les nombres pour le second domaine la compreacutehension
de leffet des opeacuterations et pour le troisiegraveme la conscience des diffeacuterentes strateacutegies de
reacutesolution possibles La compreacutehension serait donc la reacutesultante dun certain nombre de
connaissances et daptitudes et serait deacutefinissable agrave travers celles-ci Nous nous sommes baseacutes
sur cette distinction pour eacutelaborer notre question de recherche qui est deacutetudier la relation
possible entre une bonne ou mauvaise connaissance des nombres et une bonne ou mauvaise
connaissance des opeacuterations
5 Traduction Sens des nombres Une aptitude et une capaciteacute agrave utiliser les nombres et des meacutethodes quantitatives dans le but de
communiquer preacuteparer et interpreacuteter de linformation Il en reacutesulte une attente que les nombres sont utiles et que les matheacutematiques ont
une certaine reacutegulariteacute (quelles font sens)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1160 B Favre et K Morel (mai 2014)
II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
Apregraves avoir deacutetermineacute le cadre geacuteneacuteral de notre recherche pour tester les deux types de
connaissances qui nous inteacuteressent nous nous sommes demandeacute quels genres derreurs
pourraient commettre les eacutelegraveves Nous nous sommes tourneacutes vers Steinle (2004) qui a eacutelaboreacute
des tests de comparaison de paires de nombres deacutecimaux et a deacutetecteacute que les enfants
pouvaient avoir un certain nombre de repreacutesentations erroneacutees sur les nombres deacutecimaux
donnant lieu agrave des choix de reacuteponses incorrects (ce quil nomme regravegle ou comportement
rule behaviour)
- regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo (longer-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus longue partie deacutecimale (contenant le plus de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
- regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo (shorter-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus courte partie deacutecimale (contenant le moins de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
Il identifie et explicite ensuite les regravegles (ou theacuteoregravemes-eacutelegraveve) que suivent les eacutelegraveves qui
aboutissent agrave ces comportements
II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
Dans ce cas les eacutelegraveves considegraverent un nombre deacutecimal comme eacutetant formeacute de deux nombres
entiers apposeacutes lun agrave cocircteacute de lautre et seacutepareacutes par une virgule
Ainsi dans la comparaison de 7281 et 76 ils comparent tout dabord le nombre placeacute avant
la virgule ici 7 consideacutereacute comme indeacutependant de celui apregraves la virgule Dans ce cas la partie
entiegravere est eacutegale pour les deux nombres agrave comparer Ils poursuivent donc leur comparaison
avec le nombre (et non les chiffres) placeacute apregraves la virgule consideacutereacute comme un nombre entier
Comme 281 contient plus de chiffres et est plus grand que 6 ils vont choisir 7281 comme
eacutetant le plus grand nombre Cette strateacutegie peut ecirctre fructueuse dans certains cas par exemple
dans la comparaison de 62603 et 625 ils choisissent correctement 62603 car 2603 est plus
grand que 25
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Brousseau (1976) preacutecise que cette regravegle des nombres entiers apparaicirct particuliegraverement
lorsque les eacutelegraveves ne sont confronteacutes quagrave des deacutecimaux de partie deacutecimale de mecircme longueur
Les eacutelegraveves construisent alors la repreacutesentation que cette partie est fixe et quil est ainsi
possible de la consideacuterer comme un nombre entier agrave part Ils ont en fait geacuteneacuteraliseacute une regravegle
qui nest correcte quavec des nombres entiers Ceci survient eacutegalement lorsque le nombre
deacutecimal est identifieacute agrave de largent Il est ainsi aiseacute pour les eacutelegraveves de comparer des centimes
Ce faisant toutefois on conforte lideacutee que la partie deacutecimale est un nombre entier Dougrave
limportance pour les enseignants de modifier les variables didactiques de maniegravere adeacutequate
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
Lors de lrsquoemploi de cette regravegle les eacutelegraveves utilisent eacutegalement la regravegle geacuteneacuterale du laquo plus long
est le plus grand raquo mais modifient leur approche lorsque les nombres contiennent des zeacuteros
apregraves la virgule Ils ont reacutealiseacute que les zeacuteros rendaient un nombre plus petit mais ils suivent
ensuite la regravegle citeacutee preacuteceacutedemment
Par exemple entre 38 et 309 ils choisiront correctement 38 comme eacutetant le plus grand car
selon eux le 0 rend le nombre 09 plus petit Par contre entre 3082 et 30804 ils commettront
la mecircme erreur que dans la regravegle preacuteceacutedente et indiqueront 30804 comme eacutetant le plus grand
nombre (car 804 gt 82)
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
Toujours dapregraves Steinle (2004) selon cette regravegle pour deacuteterminer le nombre le plus grand les
eacutelegraveves comparent les parties deacutecimales et choisissent celle qui comporte le moins de chiffres
Un nombre plus eacuteleveacute de chiffres apregraves la virgule est interpreacuteteacute comme reacuteduisant la grandeur
du nombre les centiegravemes quelle que soit leur valeur sont toujours consideacutereacutes comme eacutetant
laquo plus petits raquo que les dixiegravemes Ainsi lorsqursquoun nombre contient des centiegravemes il est
consideacutereacute plus petit qursquoun nombre qui nrsquoa que des dixiegravemes Dans la comparaison de 33 et
345 les 45 centiegravemes sont consideacutereacutes plus petits que 3 dixiegravemes et ces personnes deacutecideront
que 33 gt 345 Par contre tout en appliquant cette regravegle 375 et 38 seront compareacutes
correctement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1360 B Favre et K Morel (mai 2014)
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
Les eacutelegraveves choisissent eacutegalement le nombre le plus grand comme eacutetant celui dont la partie
deacutecimale est la plus courte mais pour une autre raison Dans le cas de cette regravegle ils font
lanalogie erroneacutee avec les fractions Ainsi 03 et 045 seront consideacutereacutes comme 13 et 145
13 eacutetant plus grand que 145 ils choisiront 03 comme eacutetant le plus grand Cette fausse
repreacutesentation apparaicirct geacuteneacuteralement apregraves que le concept de fraction a eacuteteacute introduit et il nest
donc pas exclu que des eacutelegraveves qui ne commettaient pas derreurs jusque-lagrave deacuteveloppent
soudainement cette fausse repreacutesentation
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
Dans cette fausse conception leacutelegraveve fait lanalogie entre la partie deacutecimale (non la partie
entiegravere) et les nombres neacutegatifs Elle peut en effet survenir suite agrave lintroduction de ces
derniers Pour comparer 03 et 045 leacutelegraveve assimile le fonctionnement de 3 et 45 agrave celui des
nombres neacutegatifs -3 eacutetant plus grand que -45 il conclut que 03 est plus grand que 045
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
Steinle (2004) considegravere les personnes ne commettant pas derreur comme des experts
apparents Ils sont experts jusquagrave preuve du contraire jusquagrave preuve quils utilisent une
fausse repreacutesentation qui naurait pas encore eacuteteacute deacutecouverte
Il existe en effet plusieurs algorithmes de comparaison de nombres entre eux qui peuvent ecirctre
appliqueacutes indeacutependamment de la compreacutehension du rocircle de la position de chaque chiffre dans
un nombre Ces meacutethodes fonctionnent relativement bien et pourraient ecirctre consideacutereacutees
comme expertes Les utilisateurs de ces regravegles peuvent reacutepondre agrave toutes les tacircches
notamment la comparaison correctement Il est donc aiseacute de penser quils ont une bonne
maicirctrise des nombres deacutecimaux Mais il se peut aussi quils suivent simplement un algorithme
expert de comparaison Steinle (2004) insiste sur le fait que de telles proceacutedures mecircme si
elles sont gagnantes dans un grand nombre de situations ne permettent pas agrave leacutelegraveve de
comprendre limportance du positionnement dans notre systegraveme de numeacuteration Mais surtout
elles peuvent perpeacutetuer des fausses repreacutesentations
Deux proceacutedures sont communeacutement utiliseacutees pour la comparaison
1) la comparaison de gauche agrave droite pour comparer des nombres agrave partie entiegravere
eacutegale par exemple 4205 et 435 les chiffres sont compareacutes jusquagrave ce quun chiffre soit
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1460 B Favre et K Morel (mai 2014)
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
I INTRODUCTION
I1 Choix du sujet
Dans le cadre de notre travail de meacutemoire nous avons souhaiteacute orienter notre thegraveme de
recherche vers un sujet en relation avec notre discipline didactique les matheacutematiques Gracircce
agrave nos expeacuteriences professionnelles anteacuterieures et au cours de didactique des matheacutematiques de
la HEP Vaud nous avons pu remarqueacute que par exemple les nombres relatifs les nombres
deacutecimaux ou encore les fractions pouvaient ecirctre sources de difficulteacutes de compreacutehension pour
les eacutelegraveves
Lorsquun eacutelegraveve1 reacutesout un exercice ou un problegraveme de matheacutematiques on peut se demander
sil applique meacutecaniquement une formule matheacutematique qui semble convenir agrave la situation
etou sil possegravede une bonne compreacutehension des notions matheacutematiques en jeu Dans
lenseignement il est freacutequemment fait allusion au contrat didactique (Brousseau 1976)
Celui-ci a souvent pour effet que les notions matheacutematiques agrave mettre en œuvre dans le cadre
dune seacutequence denseignement correspondent aux notions eacutetudieacutees au cours de celle-ci
Leacutelegraveve na donc quagrave puiser dans sa meacutemoire agrave court terme et agrave appliquer les notions ainsi
apprises Dans la taxonomie dAnderson et Krathwohl (2001) nous nous situons alors au
niveau des habileteacutes cognitives de meacutemorisation et dapplication habileteacutes faisant appel agrave des
connaissances et savoir-faire relativement simples Ainsi un eacutelegraveve nayant pas compris le
contenu du cours aura neacuteanmoins une certaine chance de reacuteussir les eacutevaluations en ne faisant
quappliquer meacutecaniquement les formules apprises Il en ressort clairement quappliquer ou
restituer ne signifie pas neacutecessairement comprendre
Suite agrave ces reacuteflexions nous avons opteacute pour leacutetude des connaissances des nombres deacutecimaux
Nous avons pu lors de nos divers stages et remplacements observer concregravetement que
lapprentissage de ceux-ci pouvaient engendrer des difficulteacutes significatives pour les eacutelegraveves du
secondaire 1 en 9H et 10H Leur utilisation geacuteneacuteraliseacutee intervient pourtant deacutejagrave au cycle 2 (7H
et 8H) (PER cycle 2 2010)
Au moment de choisir notre sujet nous ne savions pas encore quelles classes nous aurions
lanneacutee suivante et nous souhaitions donc eacuteviter leacutecueil danalyser une notion matheacutematique
que nos futurs eacutelegraveves nauraient pas encore eacutetudieacutee Ainsi en portant notre choix sur les
1 La forme masculine est utiliseacutee dans ce document pour deacutesigner les deux genres sans aucune discrimination dans un souci de lisibiliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 460 B Favre et K Morel (mai 2014)
nombres deacutecimaux nous eacutetions assureacutes que ce domaine aurait eacuteteacute suffisamment abordeacute pour
pouvoir ecirctre eacutevalueacute en 9H Toutefois nous courions le risque de devoir eacutevaluer des
connaissances largement acquises par des eacutelegraveves de 10H ou 11H Cet inconveacutenient est
cependant minimiseacute par le constat que lon a pu faire dans notre pratique certaines notions
eacuteleacutementaires et eacutetudieacutees depuis quelques anneacutees peuvent demeurer ou semblent redevenir
floues dans lesprit de certains eacutelegraveves De mecircme certaines connaissances apprises par le passeacute
peuvent rester ancreacutees dans lesprit des eacutelegraveves et constituer un obstacle aux apprentissages
nouveaux Il sera donc tout aussi inteacuteressant de porter notre attention sur des eacutelegraveves ayant reccedilu
un enseignement des nombres deacutecimaux reacutecemment ainsi que sur des eacutelegraveves ayant reccedilu cet
enseignement depuis un temps plus long
Finalement il existe dans la litteacuterature une abondance de recherches au sujet des
connaissances relatives aux nombres deacutecimaux Ceci nous a conforteacute dans notre choix et nous
a permis de cibler plus preacuteciseacutement notre eacutetude
I2 Objectifs de recherche
Nous souhaitons analyser les connaissances des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux agrave
deux niveaux
1) celui des tacircches comme ordonner comparer intercaler des nombres deacutecimaux
niveau que nous deacutesignons par la suite laquo connaissance des nombres raquo sous-entendu
deacutecimaux
2) celui de la reacutesolution dopeacuterations avec des nombres deacutecimaux agrave travers des tacircches
de calculs niveau que nous deacutesignons par la suite laquo connaissance des opeacuterations raquo
sous-entendu avec des nombres deacutecimaux
A partir de cette analyse nous espeacuterons deacuteterminer sil existe ou non une correacutelation entre ces
deux types de connaissances est-ce quune bonne maicirctrise de lun implique neacutecessairement
une bonne maicirctrise de lautre ou peut-on avoir de bons reacutesultats dans lun et de mauvais dans
lautre Nous analysons eacutegalement la preacutesence et leacuteventuelle constance de fausses
repreacutesentations relatives aux nombres deacutecimaux dans ces deux niveaux de connaissances
Notons toutefois que lexistence eacuteventuelle dune correacutelation ne permet pas de conclure agrave une
relation de cause agrave effet entre la reacuteussite ou leacutechec dans lun de ces domaines et la reacuteussite ou
leacutechec dans lautre
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 560 B Favre et K Morel (mai 2014)
I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
Lenseignement des nombres deacutecimaux intervient systeacutematiquement au cycle 2 de la scolariteacute
obligatoire Auparavant agrave leacutecole les eacutelegraveves ont principalement eacuteteacute confronteacutes aux nombres
entiers naturels Cest agrave la fin du cycle 2 en 8H que leacutelegraveve doit atteindre les objectifs
dapprentissage suivants concernant les connaissances et les opeacuterations sur les nombres
deacutecimaux (PER cycle 2 2010)
Objectifs du domaine matheacutematiques et sciences de la nature (MSN22) Poser et reacutesoudre des
problegravemes pour construire et structurer des repreacutesentations des nombres rationnels
ndash en ordonnant des nombres rationnels notamment deacutecimaux
ndash en organisant les nombres rationnels agrave travers les opeacuterations
ndash en explorant linfiniment grand et linfiniment petit
La progression des apprentissages correspondante est la suivante
ndash Comparaison classement encadrement et intercalation de nombres eacutecrits sous forme
deacutecimale
ndash Repreacutesentation et lecture de nombres sur une droite gradueacutee
ndash Extraction du nombre de dixiegravemes centiegravemes ou milliegravemes
ndash Comparaison classement de fractions unitaires ou de mecircme deacutenominateur
ndash Reconnaissance dun nombre sous diverses eacutecritures et eacutetablissement de quelques
eacutegaliteacutes (la moitieacute = 12
= 05 = 5 dixiegravemes = 510
)
ndash Expression de la quantiteacute correspondant agrave la moitieacute au tiers au quart aux trois quarts
au dixiegraveme dune quantiteacute donneacutee
Objectifs du domaine matheacutematiques et sciences de la nature (MSN23) Reacutesoudre des
problegravemes additifs et multiplicatifs
ndash en choisissant loutil de calcul le mieux adapteacute agrave la situation proposeacutee
ndash en anticipant un reacutesultat et en exerccedilant un regard critique sur le reacutesultat obtenu
ndash en utilisant les proprieacuteteacutes des quatre opeacuterations
ndash en construisant en exerccedilant et utilisant des proceacutedures de calcul avec des nombres
rationnels positifs
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 660 B Favre et K Morel (mai 2014)
La progression des apprentissages correspondante est la suivante
ndash Utilisation des proprieacuteteacutes de laddition et de la multiplication (commutativiteacute
associativiteacute distributiviteacute) et deacutecomposition des nombres (additive soustractive
multiplicative) pour organiser et effectuer des calculs de maniegravere efficace ainsi que
pour donner des estimations
ndash Utilisation des algorithmes pour effectuer des calculs de faccedilon efficace avec des
nombres eacutecrits sous forme deacutecimale infeacuterieurs agrave 10000
ndash addition et soustraction dont les termes ont au plus 2 deacutecimales
ndash multiplication dont les facteurs et le produit ont au plus 2 deacutecimales
ndash division euclidienne dont le dividende est infeacuterieur agrave 10000 et le diviseur est
infeacuterieur agrave 100
ndash division dont le dividende (lt 10000) et le diviseur (lt 100) ont au plus une
deacutecimale et le quotient au plus deux deacutecimales
I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
Notre systegraveme de numeacuteration est un systegraveme deacutecimal de position
Cest un systegraveme de position car chaque chiffre repreacutesente une valeur speacutecifique selon sa
position dans le nombre quil compose Pour les entiers le chiffre le plus agrave droite repreacutesente
les uniteacutes le suivant sur sa gauche les dizaines le suivant les centaines et ainsi de suite
Cest un systegraveme en base 10 tout groupement de dix eacuteleacutements de mecircme ordre de grandeur
permet de passer agrave lordre supeacuterieur 10 uniteacutes forment une dizaine 10 dizaines forment une
centaine de mecircme que 10 centiegravemes forment un dixiegraveme et 10 dixiegravemes une uniteacute etc Cest
la mecircme regravegle deacutechange entre les diffeacuterents ordres de grandeur le groupement par 10
Cest un systegraveme deacutecimal car les nombres deacutecimaux peuvent seacutecrire comme une somme de
puissances de 10 Chaque chiffre repreacutesente la valeur qui doit ecirctre multiplieacutee agrave la puissance de
10 qui correspond agrave sa position dans le nombre La puissance est preacuteciseacutement eacutegale agrave la
position du chiffre dans le nombre en commenccedilant par 0 pour les uniteacutes puis 1 pour les
dizaines etc
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Par exemple 8103 = 8middot10sup3 + 1middot10sup2 + 0middot10sup1 + 3middot10ordm = 8000 + 100 + 0 + 3 On peut aussi dire
8 milliers plus 1 centaine plus 0 dizaine plus 3 uniteacutes
Un nombre deacutecimal est un nombre eacutecrit avec une virgule2 Les chiffres situeacutes agrave gauche de la
virgule constituent la partie entiegravere et ceux situeacutes agrave droite constituent la partie deacutecimale La
partie entiegravere seacutecrit donc comme deacutecrit plus haut comme une somme de puissances de 10
positives Alors que la partie deacutecimale seacutecrit elle comme une somme de puissances de 10
strictement neacutegatives ou de fractions de 10 Le premier chiffre situeacute agrave droite de la virgule
repreacutesente les dixiegravemes (10-1 ou 110) le suivant repreacutesente les centiegravemes (10-2 ou 1100) etc
Par exemple 813 = 8middot10ordm + 1middot10-1 + 3middot10-2 = 8 + 110 + 3100 = 8 + 01 + 003 On peut
dire aussi 8 uniteacutes plus 1 dixiegraveme plus 3 centiegravemes
Dans le langage courant on peut qualifier un nombre deacutecimal par la longueur de sa partie
deacutecimale Dans le cas de 234 elle est de 2 On dira donc quil sagit dun nombre agrave deux
deacutecimales (PER cycle 2 2010)
Comprendre comment les deacutecimaux sont construits permet deffectuer un certain nombre de
tacircches plus aiseacutement par exemple les placer sur la droite numeacuterique (pour placer 416 il faut
avancer de 4 uniteacutes 1 dixiegraveme et 6 centiegravemes) les comparer
Toutefois lorsque les eacutelegraveves romands abordent pour la premiegravere fois les nombres deacutecimaux en
7H ils ne connaissent encore ni les puissances de 10 ni les fractions Lapprentissage se fait
alors geacuteneacuteralement agrave travers un tableau chaque colonne ayant pour en-tecircte le nom des
puissances de 10 quelle repreacutesente centaines dizaines uniteacutes dixiegravemes etc3
Selon Resnick et al (1989) ce mode dapprentissage des deacutecimaux conseacutecutif aux seuls
entiers naturels a le deacutesavantage eacuteventuellement de creacuteer des fausses repreacutesentations comme
nous le verrons dans les chapitres suivants De plus le passage par un tableau induit un
possible fonctionnement en miroir de la partie deacutecimale par rapport agrave la partie entiegravere Or
cette apparente symeacutetrie de surcroicirct inverseacutee nexiste pas par rapport agrave la virgule mais par
rapport aux uniteacutes
2 Nous utilisons dans la partie textuelle de ce document la notation francophone de la virgule Dans les pays anglo-saxons cette virgule est
repreacutesenteacutee par un point Dans les annexes par contre nous utilisons le point car la version de notre tableur est anglo-saxonne
3 Cette faccedilon de faire est une particulariteacute romande En effet en France ou dans les pays anglo-saxons les nombres deacutecimaux sont
introduits par les fractions deacutecimales
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 860 B Favre et K Morel (mai 2014)
II CADRE THEORIQUE
II1 Introduction
Une eacutetude internationale le Third International Mathematics and Science (Repeat) Study
(1999 citeacute par Steinle 2004 p 1) conduite en 1999 montre que seuls environ 50 des
enfants testeacutes de 13 ans choisissent correctement le plus petit nombre deacutecimal dune liste de
cinq nombres deacutecimaux De mecircme une eacutetude de Bana Farrell et McIntosh (1997) conclut que
la moitieacute des eacutelegraveves de 12 ans testeacutes et pregraves du quart des eacutelegraveves de 14 ans testeacutes4 pensent quil
nest pas possible dintercaler un nombre entre deux deacutecimaux successifs (par exemple entre
152 et 153) Nous nous sommes en partie inspireacutes des items de ces tests pour deacutevelopper
notre outil de reacutecolte de donneacutees
Bana et Dolma (2004) ont effectueacute une eacutetude aupregraves de 77 eacutelegraveves australiens de leacutequivalent
9H suisse Leur but eacutetait de comparer les reacutesultats destimation dopeacuterations (avec des entiers
deacutecimaux et fractions) et les reacutesultats de calcul de ces mecircmes opeacuterations Il en ressort que
pour un mecircme calcul les eacutelegraveves ont moins de reacuteussite dans lestimation du reacutesultat quavec
lutilisation proceacutedurale des algorithmes de calcul Les auteurs suggegraverent comme explication
de cette diffeacuterence le fait que lenseignement porte principalement sur les regravegles de calcul et
est moins orienteacute sur lestimation de reacutesultats dopeacuterations Degraves lors ils proposent que
lestimation soit enseigneacute agrave chaque fois que cela est possible afin de deacutevelopper le sens des
nombres (number sense) chez les eacutelegraveves Ceci impliquerait une plus grande emphase porteacutee
en classe sur le calcul reacutefleacutechi plutocirct que sur le calcul algorithmique Lampleur de ce
meacutemoire ne nous a pas permis dapprofondir cette facette de la compreacutehension des nombres
De leur cocircteacute Muir et Livy (2012) ont effectueacute une eacutetude agrave partir dune population australienne
de 80 enseignants de primaire en formation et 58 enseignants de primaire en emploi devant
reacutesoudre 49 items de niveau 10 ndash 14 ans Ils deacutecouvrent par exemple que seuls 50 des
maicirctres en emploi classent 3303 303 333 et 3033 correctement dans lordre croissant ou
que seuls 19 des maicirctres en formation obtiennent le quotient exact agrave quatre deacutecimales pregraves
de la division de 3 par 7
Plusieurs chercheurs ont identifieacute des fausses repreacutesentations (misconceptions) sur les
nombres deacutecimaux (Sackur-Grisvard amp Leacuteonard 1985 Resnick amp al 1989 Steinle 2004)
4 45 des Eacutetats-uniens 23 des Australiens et Sueacutedois 5 des Taiumlwanais
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans son eacutetude Steinle (2004) a deacuteveloppeacute des tests speacutecifiques de comparaison de paires de
nombres deacutecimaux (decimal comparison tests) Ces tests sont conccedilus de maniegravere agrave permettre
une cateacutegorisation des erreurs dune personne selon leur reacutepeacutetition et leur reacutegulariteacute Nous
nous sommes eacutegalement reacutefeacutereacutes agrave des eacutetudes effectueacutees en France (Bolon 1993 Perrin-
Glorian 1986) sur les repreacutesentations des nombres deacutecimaux drsquoeacutelegraveves de CM2 et 6egraveme
(eacutequivalent 7H et 8H en Suisse) afin deacutelaborer notre outil de reacutecolte de donneacutees
II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
Les eacutetudes de Ma (1999) et Clivaz (2011) nous ont ameneacute agrave faire la distinction entre
connaissances proceacutedurales et connaissances conceptuelles Leacutecart entre ces deux types de
connaissances a eacuteteacute eacutetudieacute par Rittle-Johnson Siegler et Alibali (2001) dans le cadre preacutecis
des nombres deacutecimaux Selon ces auteurs les connaissances proceacutedurales repreacutesentent la
capaciteacute agrave exeacutecuter des actions seacutequenceacutees (pas agrave pas) en vue de reacutesoudre des problegravemes ou
des calculs simples Ces connaissances sont lieacutees agrave des items matheacutematiques preacutecis et sont
donc difficilement transfeacuterables agrave dautres situations Les connaissances conceptuelles elles
sont la compreacutehension implicite ou explicite des principes qui sous-tendent agrave un concept ainsi
que la compreacutehension des relations avec dautres concepts Ces auteurs ont chercheacute agrave savoir si
un type de connaissances preacutecegravede lrsquoautre et sont arriveacutes agrave la conclusion que le deacuteveloppement
de ces deux types de connaissances se fait de maniegravere iteacuterative les unes ameacuteliorant les autres
et vice-versa dans un ordre chronologique non figeacute
Pour eacutevaluer les connaissances conceptuelles Rittle-Johnson et al (2001) testent la
compreacutehension de diffeacuterents concepts pris individuellement dont entre autres lampleur
relative des nombres (comparaison de nombres) et la densiteacute numeacuterique (placer un nombre
entre deux nombres donneacutes) Ils affirment que des tests eacutecrits sont suffisants et preacutefegraverent ne
pas se baser sur les explications verbales des personnes testeacutees les connaissances
conceptuelles pouvant ecirctre implicites et les enfants ne sachant pas toujours correctement
articuler leurs connaissances
Haapasalo (2003) estime pour sa part quil est tregraves difficile de pouvoir polariser ces deux
formes de connaissances dans des tests Comment peut-on sassurer que la personne reacutesout
telle ou telle question de maniegravere purement proceacutedurale ou purement conceptuelle De plus
chaque individu reacuteagit et analyse des situations de maniegravere tregraves diffeacuterente Comme le
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1060 B Favre et K Morel (mai 2014)
mentionnent McIntosh Reys et Reys (1992) le sens des nombres est tregraves personnel et est
influenceacute par le contexte et la maniegravere dont les concepts ont eacuteteacute enseigneacutes Sans
questionnement il est donc tregraves difficile de deacuteterminer si une personne met en place des
strateacutegies conceptuelles ou simplement proceacutedurales
II3 Sens des nombres
La connaissance des nombres et la connaissance des opeacuterations font partie de ce que
McIntosh et al (1992) nomment le sens des nombres (number sense) Ils le deacutefinissent
comme la compreacutehension geacuteneacuterale des nombres et des opeacuterations et la capaciteacute agrave utiliser cette
compreacutehension en fonction de la situation pour donner des justifications matheacutematiques
(make mathematical judgements) et pour deacutevelopper des strateacutegies de manipulation des
nombres et des opeacuterations
laquo Number Sense A propensity for and an ability to use numbers
and quantitative methods as a means of communicating processing
and interpreting information It results in an expectation that
numbers are useful and that mathematics has a certain regularity
(makes sense) raquo5
Dans leur cadre de reacutefeacuterence permettant de cerner le sens des nombres (cf Annexe 2)
McIntosh et al (1992) distinguent trois domaines principaux 1) la connaissance des nombres
et les aptitudes avec ceux-ci 2) la connaissance des opeacuterations et les aptitudes avec celles-ci
et 3) lapplication de ces deux domaines agrave la reacutesolution de problegravemes numeacuteriques Chacun de
ces trois niveaux est constitueacute de plusieurs composantes Entre autres pour le premier
domaine on trouve le sens de classer les nombres pour le second domaine la compreacutehension
de leffet des opeacuterations et pour le troisiegraveme la conscience des diffeacuterentes strateacutegies de
reacutesolution possibles La compreacutehension serait donc la reacutesultante dun certain nombre de
connaissances et daptitudes et serait deacutefinissable agrave travers celles-ci Nous nous sommes baseacutes
sur cette distinction pour eacutelaborer notre question de recherche qui est deacutetudier la relation
possible entre une bonne ou mauvaise connaissance des nombres et une bonne ou mauvaise
connaissance des opeacuterations
5 Traduction Sens des nombres Une aptitude et une capaciteacute agrave utiliser les nombres et des meacutethodes quantitatives dans le but de
communiquer preacuteparer et interpreacuteter de linformation Il en reacutesulte une attente que les nombres sont utiles et que les matheacutematiques ont
une certaine reacutegulariteacute (quelles font sens)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1160 B Favre et K Morel (mai 2014)
II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
Apregraves avoir deacutetermineacute le cadre geacuteneacuteral de notre recherche pour tester les deux types de
connaissances qui nous inteacuteressent nous nous sommes demandeacute quels genres derreurs
pourraient commettre les eacutelegraveves Nous nous sommes tourneacutes vers Steinle (2004) qui a eacutelaboreacute
des tests de comparaison de paires de nombres deacutecimaux et a deacutetecteacute que les enfants
pouvaient avoir un certain nombre de repreacutesentations erroneacutees sur les nombres deacutecimaux
donnant lieu agrave des choix de reacuteponses incorrects (ce quil nomme regravegle ou comportement
rule behaviour)
- regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo (longer-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus longue partie deacutecimale (contenant le plus de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
- regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo (shorter-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus courte partie deacutecimale (contenant le moins de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
Il identifie et explicite ensuite les regravegles (ou theacuteoregravemes-eacutelegraveve) que suivent les eacutelegraveves qui
aboutissent agrave ces comportements
II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
Dans ce cas les eacutelegraveves considegraverent un nombre deacutecimal comme eacutetant formeacute de deux nombres
entiers apposeacutes lun agrave cocircteacute de lautre et seacutepareacutes par une virgule
Ainsi dans la comparaison de 7281 et 76 ils comparent tout dabord le nombre placeacute avant
la virgule ici 7 consideacutereacute comme indeacutependant de celui apregraves la virgule Dans ce cas la partie
entiegravere est eacutegale pour les deux nombres agrave comparer Ils poursuivent donc leur comparaison
avec le nombre (et non les chiffres) placeacute apregraves la virgule consideacutereacute comme un nombre entier
Comme 281 contient plus de chiffres et est plus grand que 6 ils vont choisir 7281 comme
eacutetant le plus grand nombre Cette strateacutegie peut ecirctre fructueuse dans certains cas par exemple
dans la comparaison de 62603 et 625 ils choisissent correctement 62603 car 2603 est plus
grand que 25
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Brousseau (1976) preacutecise que cette regravegle des nombres entiers apparaicirct particuliegraverement
lorsque les eacutelegraveves ne sont confronteacutes quagrave des deacutecimaux de partie deacutecimale de mecircme longueur
Les eacutelegraveves construisent alors la repreacutesentation que cette partie est fixe et quil est ainsi
possible de la consideacuterer comme un nombre entier agrave part Ils ont en fait geacuteneacuteraliseacute une regravegle
qui nest correcte quavec des nombres entiers Ceci survient eacutegalement lorsque le nombre
deacutecimal est identifieacute agrave de largent Il est ainsi aiseacute pour les eacutelegraveves de comparer des centimes
Ce faisant toutefois on conforte lideacutee que la partie deacutecimale est un nombre entier Dougrave
limportance pour les enseignants de modifier les variables didactiques de maniegravere adeacutequate
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
Lors de lrsquoemploi de cette regravegle les eacutelegraveves utilisent eacutegalement la regravegle geacuteneacuterale du laquo plus long
est le plus grand raquo mais modifient leur approche lorsque les nombres contiennent des zeacuteros
apregraves la virgule Ils ont reacutealiseacute que les zeacuteros rendaient un nombre plus petit mais ils suivent
ensuite la regravegle citeacutee preacuteceacutedemment
Par exemple entre 38 et 309 ils choisiront correctement 38 comme eacutetant le plus grand car
selon eux le 0 rend le nombre 09 plus petit Par contre entre 3082 et 30804 ils commettront
la mecircme erreur que dans la regravegle preacuteceacutedente et indiqueront 30804 comme eacutetant le plus grand
nombre (car 804 gt 82)
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
Toujours dapregraves Steinle (2004) selon cette regravegle pour deacuteterminer le nombre le plus grand les
eacutelegraveves comparent les parties deacutecimales et choisissent celle qui comporte le moins de chiffres
Un nombre plus eacuteleveacute de chiffres apregraves la virgule est interpreacuteteacute comme reacuteduisant la grandeur
du nombre les centiegravemes quelle que soit leur valeur sont toujours consideacutereacutes comme eacutetant
laquo plus petits raquo que les dixiegravemes Ainsi lorsqursquoun nombre contient des centiegravemes il est
consideacutereacute plus petit qursquoun nombre qui nrsquoa que des dixiegravemes Dans la comparaison de 33 et
345 les 45 centiegravemes sont consideacutereacutes plus petits que 3 dixiegravemes et ces personnes deacutecideront
que 33 gt 345 Par contre tout en appliquant cette regravegle 375 et 38 seront compareacutes
correctement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1360 B Favre et K Morel (mai 2014)
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
Les eacutelegraveves choisissent eacutegalement le nombre le plus grand comme eacutetant celui dont la partie
deacutecimale est la plus courte mais pour une autre raison Dans le cas de cette regravegle ils font
lanalogie erroneacutee avec les fractions Ainsi 03 et 045 seront consideacutereacutes comme 13 et 145
13 eacutetant plus grand que 145 ils choisiront 03 comme eacutetant le plus grand Cette fausse
repreacutesentation apparaicirct geacuteneacuteralement apregraves que le concept de fraction a eacuteteacute introduit et il nest
donc pas exclu que des eacutelegraveves qui ne commettaient pas derreurs jusque-lagrave deacuteveloppent
soudainement cette fausse repreacutesentation
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
Dans cette fausse conception leacutelegraveve fait lanalogie entre la partie deacutecimale (non la partie
entiegravere) et les nombres neacutegatifs Elle peut en effet survenir suite agrave lintroduction de ces
derniers Pour comparer 03 et 045 leacutelegraveve assimile le fonctionnement de 3 et 45 agrave celui des
nombres neacutegatifs -3 eacutetant plus grand que -45 il conclut que 03 est plus grand que 045
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
Steinle (2004) considegravere les personnes ne commettant pas derreur comme des experts
apparents Ils sont experts jusquagrave preuve du contraire jusquagrave preuve quils utilisent une
fausse repreacutesentation qui naurait pas encore eacuteteacute deacutecouverte
Il existe en effet plusieurs algorithmes de comparaison de nombres entre eux qui peuvent ecirctre
appliqueacutes indeacutependamment de la compreacutehension du rocircle de la position de chaque chiffre dans
un nombre Ces meacutethodes fonctionnent relativement bien et pourraient ecirctre consideacutereacutees
comme expertes Les utilisateurs de ces regravegles peuvent reacutepondre agrave toutes les tacircches
notamment la comparaison correctement Il est donc aiseacute de penser quils ont une bonne
maicirctrise des nombres deacutecimaux Mais il se peut aussi quils suivent simplement un algorithme
expert de comparaison Steinle (2004) insiste sur le fait que de telles proceacutedures mecircme si
elles sont gagnantes dans un grand nombre de situations ne permettent pas agrave leacutelegraveve de
comprendre limportance du positionnement dans notre systegraveme de numeacuteration Mais surtout
elles peuvent perpeacutetuer des fausses repreacutesentations
Deux proceacutedures sont communeacutement utiliseacutees pour la comparaison
1) la comparaison de gauche agrave droite pour comparer des nombres agrave partie entiegravere
eacutegale par exemple 4205 et 435 les chiffres sont compareacutes jusquagrave ce quun chiffre soit
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1460 B Favre et K Morel (mai 2014)
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
nombres deacutecimaux nous eacutetions assureacutes que ce domaine aurait eacuteteacute suffisamment abordeacute pour
pouvoir ecirctre eacutevalueacute en 9H Toutefois nous courions le risque de devoir eacutevaluer des
connaissances largement acquises par des eacutelegraveves de 10H ou 11H Cet inconveacutenient est
cependant minimiseacute par le constat que lon a pu faire dans notre pratique certaines notions
eacuteleacutementaires et eacutetudieacutees depuis quelques anneacutees peuvent demeurer ou semblent redevenir
floues dans lesprit de certains eacutelegraveves De mecircme certaines connaissances apprises par le passeacute
peuvent rester ancreacutees dans lesprit des eacutelegraveves et constituer un obstacle aux apprentissages
nouveaux Il sera donc tout aussi inteacuteressant de porter notre attention sur des eacutelegraveves ayant reccedilu
un enseignement des nombres deacutecimaux reacutecemment ainsi que sur des eacutelegraveves ayant reccedilu cet
enseignement depuis un temps plus long
Finalement il existe dans la litteacuterature une abondance de recherches au sujet des
connaissances relatives aux nombres deacutecimaux Ceci nous a conforteacute dans notre choix et nous
a permis de cibler plus preacuteciseacutement notre eacutetude
I2 Objectifs de recherche
Nous souhaitons analyser les connaissances des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux agrave
deux niveaux
1) celui des tacircches comme ordonner comparer intercaler des nombres deacutecimaux
niveau que nous deacutesignons par la suite laquo connaissance des nombres raquo sous-entendu
deacutecimaux
2) celui de la reacutesolution dopeacuterations avec des nombres deacutecimaux agrave travers des tacircches
de calculs niveau que nous deacutesignons par la suite laquo connaissance des opeacuterations raquo
sous-entendu avec des nombres deacutecimaux
A partir de cette analyse nous espeacuterons deacuteterminer sil existe ou non une correacutelation entre ces
deux types de connaissances est-ce quune bonne maicirctrise de lun implique neacutecessairement
une bonne maicirctrise de lautre ou peut-on avoir de bons reacutesultats dans lun et de mauvais dans
lautre Nous analysons eacutegalement la preacutesence et leacuteventuelle constance de fausses
repreacutesentations relatives aux nombres deacutecimaux dans ces deux niveaux de connaissances
Notons toutefois que lexistence eacuteventuelle dune correacutelation ne permet pas de conclure agrave une
relation de cause agrave effet entre la reacuteussite ou leacutechec dans lun de ces domaines et la reacuteussite ou
leacutechec dans lautre
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 560 B Favre et K Morel (mai 2014)
I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
Lenseignement des nombres deacutecimaux intervient systeacutematiquement au cycle 2 de la scolariteacute
obligatoire Auparavant agrave leacutecole les eacutelegraveves ont principalement eacuteteacute confronteacutes aux nombres
entiers naturels Cest agrave la fin du cycle 2 en 8H que leacutelegraveve doit atteindre les objectifs
dapprentissage suivants concernant les connaissances et les opeacuterations sur les nombres
deacutecimaux (PER cycle 2 2010)
Objectifs du domaine matheacutematiques et sciences de la nature (MSN22) Poser et reacutesoudre des
problegravemes pour construire et structurer des repreacutesentations des nombres rationnels
ndash en ordonnant des nombres rationnels notamment deacutecimaux
ndash en organisant les nombres rationnels agrave travers les opeacuterations
ndash en explorant linfiniment grand et linfiniment petit
La progression des apprentissages correspondante est la suivante
ndash Comparaison classement encadrement et intercalation de nombres eacutecrits sous forme
deacutecimale
ndash Repreacutesentation et lecture de nombres sur une droite gradueacutee
ndash Extraction du nombre de dixiegravemes centiegravemes ou milliegravemes
ndash Comparaison classement de fractions unitaires ou de mecircme deacutenominateur
ndash Reconnaissance dun nombre sous diverses eacutecritures et eacutetablissement de quelques
eacutegaliteacutes (la moitieacute = 12
= 05 = 5 dixiegravemes = 510
)
ndash Expression de la quantiteacute correspondant agrave la moitieacute au tiers au quart aux trois quarts
au dixiegraveme dune quantiteacute donneacutee
Objectifs du domaine matheacutematiques et sciences de la nature (MSN23) Reacutesoudre des
problegravemes additifs et multiplicatifs
ndash en choisissant loutil de calcul le mieux adapteacute agrave la situation proposeacutee
ndash en anticipant un reacutesultat et en exerccedilant un regard critique sur le reacutesultat obtenu
ndash en utilisant les proprieacuteteacutes des quatre opeacuterations
ndash en construisant en exerccedilant et utilisant des proceacutedures de calcul avec des nombres
rationnels positifs
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 660 B Favre et K Morel (mai 2014)
La progression des apprentissages correspondante est la suivante
ndash Utilisation des proprieacuteteacutes de laddition et de la multiplication (commutativiteacute
associativiteacute distributiviteacute) et deacutecomposition des nombres (additive soustractive
multiplicative) pour organiser et effectuer des calculs de maniegravere efficace ainsi que
pour donner des estimations
ndash Utilisation des algorithmes pour effectuer des calculs de faccedilon efficace avec des
nombres eacutecrits sous forme deacutecimale infeacuterieurs agrave 10000
ndash addition et soustraction dont les termes ont au plus 2 deacutecimales
ndash multiplication dont les facteurs et le produit ont au plus 2 deacutecimales
ndash division euclidienne dont le dividende est infeacuterieur agrave 10000 et le diviseur est
infeacuterieur agrave 100
ndash division dont le dividende (lt 10000) et le diviseur (lt 100) ont au plus une
deacutecimale et le quotient au plus deux deacutecimales
I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
Notre systegraveme de numeacuteration est un systegraveme deacutecimal de position
Cest un systegraveme de position car chaque chiffre repreacutesente une valeur speacutecifique selon sa
position dans le nombre quil compose Pour les entiers le chiffre le plus agrave droite repreacutesente
les uniteacutes le suivant sur sa gauche les dizaines le suivant les centaines et ainsi de suite
Cest un systegraveme en base 10 tout groupement de dix eacuteleacutements de mecircme ordre de grandeur
permet de passer agrave lordre supeacuterieur 10 uniteacutes forment une dizaine 10 dizaines forment une
centaine de mecircme que 10 centiegravemes forment un dixiegraveme et 10 dixiegravemes une uniteacute etc Cest
la mecircme regravegle deacutechange entre les diffeacuterents ordres de grandeur le groupement par 10
Cest un systegraveme deacutecimal car les nombres deacutecimaux peuvent seacutecrire comme une somme de
puissances de 10 Chaque chiffre repreacutesente la valeur qui doit ecirctre multiplieacutee agrave la puissance de
10 qui correspond agrave sa position dans le nombre La puissance est preacuteciseacutement eacutegale agrave la
position du chiffre dans le nombre en commenccedilant par 0 pour les uniteacutes puis 1 pour les
dizaines etc
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Par exemple 8103 = 8middot10sup3 + 1middot10sup2 + 0middot10sup1 + 3middot10ordm = 8000 + 100 + 0 + 3 On peut aussi dire
8 milliers plus 1 centaine plus 0 dizaine plus 3 uniteacutes
Un nombre deacutecimal est un nombre eacutecrit avec une virgule2 Les chiffres situeacutes agrave gauche de la
virgule constituent la partie entiegravere et ceux situeacutes agrave droite constituent la partie deacutecimale La
partie entiegravere seacutecrit donc comme deacutecrit plus haut comme une somme de puissances de 10
positives Alors que la partie deacutecimale seacutecrit elle comme une somme de puissances de 10
strictement neacutegatives ou de fractions de 10 Le premier chiffre situeacute agrave droite de la virgule
repreacutesente les dixiegravemes (10-1 ou 110) le suivant repreacutesente les centiegravemes (10-2 ou 1100) etc
Par exemple 813 = 8middot10ordm + 1middot10-1 + 3middot10-2 = 8 + 110 + 3100 = 8 + 01 + 003 On peut
dire aussi 8 uniteacutes plus 1 dixiegraveme plus 3 centiegravemes
Dans le langage courant on peut qualifier un nombre deacutecimal par la longueur de sa partie
deacutecimale Dans le cas de 234 elle est de 2 On dira donc quil sagit dun nombre agrave deux
deacutecimales (PER cycle 2 2010)
Comprendre comment les deacutecimaux sont construits permet deffectuer un certain nombre de
tacircches plus aiseacutement par exemple les placer sur la droite numeacuterique (pour placer 416 il faut
avancer de 4 uniteacutes 1 dixiegraveme et 6 centiegravemes) les comparer
Toutefois lorsque les eacutelegraveves romands abordent pour la premiegravere fois les nombres deacutecimaux en
7H ils ne connaissent encore ni les puissances de 10 ni les fractions Lapprentissage se fait
alors geacuteneacuteralement agrave travers un tableau chaque colonne ayant pour en-tecircte le nom des
puissances de 10 quelle repreacutesente centaines dizaines uniteacutes dixiegravemes etc3
Selon Resnick et al (1989) ce mode dapprentissage des deacutecimaux conseacutecutif aux seuls
entiers naturels a le deacutesavantage eacuteventuellement de creacuteer des fausses repreacutesentations comme
nous le verrons dans les chapitres suivants De plus le passage par un tableau induit un
possible fonctionnement en miroir de la partie deacutecimale par rapport agrave la partie entiegravere Or
cette apparente symeacutetrie de surcroicirct inverseacutee nexiste pas par rapport agrave la virgule mais par
rapport aux uniteacutes
2 Nous utilisons dans la partie textuelle de ce document la notation francophone de la virgule Dans les pays anglo-saxons cette virgule est
repreacutesenteacutee par un point Dans les annexes par contre nous utilisons le point car la version de notre tableur est anglo-saxonne
3 Cette faccedilon de faire est une particulariteacute romande En effet en France ou dans les pays anglo-saxons les nombres deacutecimaux sont
introduits par les fractions deacutecimales
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 860 B Favre et K Morel (mai 2014)
II CADRE THEORIQUE
II1 Introduction
Une eacutetude internationale le Third International Mathematics and Science (Repeat) Study
(1999 citeacute par Steinle 2004 p 1) conduite en 1999 montre que seuls environ 50 des
enfants testeacutes de 13 ans choisissent correctement le plus petit nombre deacutecimal dune liste de
cinq nombres deacutecimaux De mecircme une eacutetude de Bana Farrell et McIntosh (1997) conclut que
la moitieacute des eacutelegraveves de 12 ans testeacutes et pregraves du quart des eacutelegraveves de 14 ans testeacutes4 pensent quil
nest pas possible dintercaler un nombre entre deux deacutecimaux successifs (par exemple entre
152 et 153) Nous nous sommes en partie inspireacutes des items de ces tests pour deacutevelopper
notre outil de reacutecolte de donneacutees
Bana et Dolma (2004) ont effectueacute une eacutetude aupregraves de 77 eacutelegraveves australiens de leacutequivalent
9H suisse Leur but eacutetait de comparer les reacutesultats destimation dopeacuterations (avec des entiers
deacutecimaux et fractions) et les reacutesultats de calcul de ces mecircmes opeacuterations Il en ressort que
pour un mecircme calcul les eacutelegraveves ont moins de reacuteussite dans lestimation du reacutesultat quavec
lutilisation proceacutedurale des algorithmes de calcul Les auteurs suggegraverent comme explication
de cette diffeacuterence le fait que lenseignement porte principalement sur les regravegles de calcul et
est moins orienteacute sur lestimation de reacutesultats dopeacuterations Degraves lors ils proposent que
lestimation soit enseigneacute agrave chaque fois que cela est possible afin de deacutevelopper le sens des
nombres (number sense) chez les eacutelegraveves Ceci impliquerait une plus grande emphase porteacutee
en classe sur le calcul reacutefleacutechi plutocirct que sur le calcul algorithmique Lampleur de ce
meacutemoire ne nous a pas permis dapprofondir cette facette de la compreacutehension des nombres
De leur cocircteacute Muir et Livy (2012) ont effectueacute une eacutetude agrave partir dune population australienne
de 80 enseignants de primaire en formation et 58 enseignants de primaire en emploi devant
reacutesoudre 49 items de niveau 10 ndash 14 ans Ils deacutecouvrent par exemple que seuls 50 des
maicirctres en emploi classent 3303 303 333 et 3033 correctement dans lordre croissant ou
que seuls 19 des maicirctres en formation obtiennent le quotient exact agrave quatre deacutecimales pregraves
de la division de 3 par 7
Plusieurs chercheurs ont identifieacute des fausses repreacutesentations (misconceptions) sur les
nombres deacutecimaux (Sackur-Grisvard amp Leacuteonard 1985 Resnick amp al 1989 Steinle 2004)
4 45 des Eacutetats-uniens 23 des Australiens et Sueacutedois 5 des Taiumlwanais
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans son eacutetude Steinle (2004) a deacuteveloppeacute des tests speacutecifiques de comparaison de paires de
nombres deacutecimaux (decimal comparison tests) Ces tests sont conccedilus de maniegravere agrave permettre
une cateacutegorisation des erreurs dune personne selon leur reacutepeacutetition et leur reacutegulariteacute Nous
nous sommes eacutegalement reacutefeacutereacutes agrave des eacutetudes effectueacutees en France (Bolon 1993 Perrin-
Glorian 1986) sur les repreacutesentations des nombres deacutecimaux drsquoeacutelegraveves de CM2 et 6egraveme
(eacutequivalent 7H et 8H en Suisse) afin deacutelaborer notre outil de reacutecolte de donneacutees
II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
Les eacutetudes de Ma (1999) et Clivaz (2011) nous ont ameneacute agrave faire la distinction entre
connaissances proceacutedurales et connaissances conceptuelles Leacutecart entre ces deux types de
connaissances a eacuteteacute eacutetudieacute par Rittle-Johnson Siegler et Alibali (2001) dans le cadre preacutecis
des nombres deacutecimaux Selon ces auteurs les connaissances proceacutedurales repreacutesentent la
capaciteacute agrave exeacutecuter des actions seacutequenceacutees (pas agrave pas) en vue de reacutesoudre des problegravemes ou
des calculs simples Ces connaissances sont lieacutees agrave des items matheacutematiques preacutecis et sont
donc difficilement transfeacuterables agrave dautres situations Les connaissances conceptuelles elles
sont la compreacutehension implicite ou explicite des principes qui sous-tendent agrave un concept ainsi
que la compreacutehension des relations avec dautres concepts Ces auteurs ont chercheacute agrave savoir si
un type de connaissances preacutecegravede lrsquoautre et sont arriveacutes agrave la conclusion que le deacuteveloppement
de ces deux types de connaissances se fait de maniegravere iteacuterative les unes ameacuteliorant les autres
et vice-versa dans un ordre chronologique non figeacute
Pour eacutevaluer les connaissances conceptuelles Rittle-Johnson et al (2001) testent la
compreacutehension de diffeacuterents concepts pris individuellement dont entre autres lampleur
relative des nombres (comparaison de nombres) et la densiteacute numeacuterique (placer un nombre
entre deux nombres donneacutes) Ils affirment que des tests eacutecrits sont suffisants et preacutefegraverent ne
pas se baser sur les explications verbales des personnes testeacutees les connaissances
conceptuelles pouvant ecirctre implicites et les enfants ne sachant pas toujours correctement
articuler leurs connaissances
Haapasalo (2003) estime pour sa part quil est tregraves difficile de pouvoir polariser ces deux
formes de connaissances dans des tests Comment peut-on sassurer que la personne reacutesout
telle ou telle question de maniegravere purement proceacutedurale ou purement conceptuelle De plus
chaque individu reacuteagit et analyse des situations de maniegravere tregraves diffeacuterente Comme le
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1060 B Favre et K Morel (mai 2014)
mentionnent McIntosh Reys et Reys (1992) le sens des nombres est tregraves personnel et est
influenceacute par le contexte et la maniegravere dont les concepts ont eacuteteacute enseigneacutes Sans
questionnement il est donc tregraves difficile de deacuteterminer si une personne met en place des
strateacutegies conceptuelles ou simplement proceacutedurales
II3 Sens des nombres
La connaissance des nombres et la connaissance des opeacuterations font partie de ce que
McIntosh et al (1992) nomment le sens des nombres (number sense) Ils le deacutefinissent
comme la compreacutehension geacuteneacuterale des nombres et des opeacuterations et la capaciteacute agrave utiliser cette
compreacutehension en fonction de la situation pour donner des justifications matheacutematiques
(make mathematical judgements) et pour deacutevelopper des strateacutegies de manipulation des
nombres et des opeacuterations
laquo Number Sense A propensity for and an ability to use numbers
and quantitative methods as a means of communicating processing
and interpreting information It results in an expectation that
numbers are useful and that mathematics has a certain regularity
(makes sense) raquo5
Dans leur cadre de reacutefeacuterence permettant de cerner le sens des nombres (cf Annexe 2)
McIntosh et al (1992) distinguent trois domaines principaux 1) la connaissance des nombres
et les aptitudes avec ceux-ci 2) la connaissance des opeacuterations et les aptitudes avec celles-ci
et 3) lapplication de ces deux domaines agrave la reacutesolution de problegravemes numeacuteriques Chacun de
ces trois niveaux est constitueacute de plusieurs composantes Entre autres pour le premier
domaine on trouve le sens de classer les nombres pour le second domaine la compreacutehension
de leffet des opeacuterations et pour le troisiegraveme la conscience des diffeacuterentes strateacutegies de
reacutesolution possibles La compreacutehension serait donc la reacutesultante dun certain nombre de
connaissances et daptitudes et serait deacutefinissable agrave travers celles-ci Nous nous sommes baseacutes
sur cette distinction pour eacutelaborer notre question de recherche qui est deacutetudier la relation
possible entre une bonne ou mauvaise connaissance des nombres et une bonne ou mauvaise
connaissance des opeacuterations
5 Traduction Sens des nombres Une aptitude et une capaciteacute agrave utiliser les nombres et des meacutethodes quantitatives dans le but de
communiquer preacuteparer et interpreacuteter de linformation Il en reacutesulte une attente que les nombres sont utiles et que les matheacutematiques ont
une certaine reacutegulariteacute (quelles font sens)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1160 B Favre et K Morel (mai 2014)
II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
Apregraves avoir deacutetermineacute le cadre geacuteneacuteral de notre recherche pour tester les deux types de
connaissances qui nous inteacuteressent nous nous sommes demandeacute quels genres derreurs
pourraient commettre les eacutelegraveves Nous nous sommes tourneacutes vers Steinle (2004) qui a eacutelaboreacute
des tests de comparaison de paires de nombres deacutecimaux et a deacutetecteacute que les enfants
pouvaient avoir un certain nombre de repreacutesentations erroneacutees sur les nombres deacutecimaux
donnant lieu agrave des choix de reacuteponses incorrects (ce quil nomme regravegle ou comportement
rule behaviour)
- regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo (longer-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus longue partie deacutecimale (contenant le plus de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
- regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo (shorter-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus courte partie deacutecimale (contenant le moins de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
Il identifie et explicite ensuite les regravegles (ou theacuteoregravemes-eacutelegraveve) que suivent les eacutelegraveves qui
aboutissent agrave ces comportements
II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
Dans ce cas les eacutelegraveves considegraverent un nombre deacutecimal comme eacutetant formeacute de deux nombres
entiers apposeacutes lun agrave cocircteacute de lautre et seacutepareacutes par une virgule
Ainsi dans la comparaison de 7281 et 76 ils comparent tout dabord le nombre placeacute avant
la virgule ici 7 consideacutereacute comme indeacutependant de celui apregraves la virgule Dans ce cas la partie
entiegravere est eacutegale pour les deux nombres agrave comparer Ils poursuivent donc leur comparaison
avec le nombre (et non les chiffres) placeacute apregraves la virgule consideacutereacute comme un nombre entier
Comme 281 contient plus de chiffres et est plus grand que 6 ils vont choisir 7281 comme
eacutetant le plus grand nombre Cette strateacutegie peut ecirctre fructueuse dans certains cas par exemple
dans la comparaison de 62603 et 625 ils choisissent correctement 62603 car 2603 est plus
grand que 25
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Brousseau (1976) preacutecise que cette regravegle des nombres entiers apparaicirct particuliegraverement
lorsque les eacutelegraveves ne sont confronteacutes quagrave des deacutecimaux de partie deacutecimale de mecircme longueur
Les eacutelegraveves construisent alors la repreacutesentation que cette partie est fixe et quil est ainsi
possible de la consideacuterer comme un nombre entier agrave part Ils ont en fait geacuteneacuteraliseacute une regravegle
qui nest correcte quavec des nombres entiers Ceci survient eacutegalement lorsque le nombre
deacutecimal est identifieacute agrave de largent Il est ainsi aiseacute pour les eacutelegraveves de comparer des centimes
Ce faisant toutefois on conforte lideacutee que la partie deacutecimale est un nombre entier Dougrave
limportance pour les enseignants de modifier les variables didactiques de maniegravere adeacutequate
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
Lors de lrsquoemploi de cette regravegle les eacutelegraveves utilisent eacutegalement la regravegle geacuteneacuterale du laquo plus long
est le plus grand raquo mais modifient leur approche lorsque les nombres contiennent des zeacuteros
apregraves la virgule Ils ont reacutealiseacute que les zeacuteros rendaient un nombre plus petit mais ils suivent
ensuite la regravegle citeacutee preacuteceacutedemment
Par exemple entre 38 et 309 ils choisiront correctement 38 comme eacutetant le plus grand car
selon eux le 0 rend le nombre 09 plus petit Par contre entre 3082 et 30804 ils commettront
la mecircme erreur que dans la regravegle preacuteceacutedente et indiqueront 30804 comme eacutetant le plus grand
nombre (car 804 gt 82)
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
Toujours dapregraves Steinle (2004) selon cette regravegle pour deacuteterminer le nombre le plus grand les
eacutelegraveves comparent les parties deacutecimales et choisissent celle qui comporte le moins de chiffres
Un nombre plus eacuteleveacute de chiffres apregraves la virgule est interpreacuteteacute comme reacuteduisant la grandeur
du nombre les centiegravemes quelle que soit leur valeur sont toujours consideacutereacutes comme eacutetant
laquo plus petits raquo que les dixiegravemes Ainsi lorsqursquoun nombre contient des centiegravemes il est
consideacutereacute plus petit qursquoun nombre qui nrsquoa que des dixiegravemes Dans la comparaison de 33 et
345 les 45 centiegravemes sont consideacutereacutes plus petits que 3 dixiegravemes et ces personnes deacutecideront
que 33 gt 345 Par contre tout en appliquant cette regravegle 375 et 38 seront compareacutes
correctement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1360 B Favre et K Morel (mai 2014)
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
Les eacutelegraveves choisissent eacutegalement le nombre le plus grand comme eacutetant celui dont la partie
deacutecimale est la plus courte mais pour une autre raison Dans le cas de cette regravegle ils font
lanalogie erroneacutee avec les fractions Ainsi 03 et 045 seront consideacutereacutes comme 13 et 145
13 eacutetant plus grand que 145 ils choisiront 03 comme eacutetant le plus grand Cette fausse
repreacutesentation apparaicirct geacuteneacuteralement apregraves que le concept de fraction a eacuteteacute introduit et il nest
donc pas exclu que des eacutelegraveves qui ne commettaient pas derreurs jusque-lagrave deacuteveloppent
soudainement cette fausse repreacutesentation
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
Dans cette fausse conception leacutelegraveve fait lanalogie entre la partie deacutecimale (non la partie
entiegravere) et les nombres neacutegatifs Elle peut en effet survenir suite agrave lintroduction de ces
derniers Pour comparer 03 et 045 leacutelegraveve assimile le fonctionnement de 3 et 45 agrave celui des
nombres neacutegatifs -3 eacutetant plus grand que -45 il conclut que 03 est plus grand que 045
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
Steinle (2004) considegravere les personnes ne commettant pas derreur comme des experts
apparents Ils sont experts jusquagrave preuve du contraire jusquagrave preuve quils utilisent une
fausse repreacutesentation qui naurait pas encore eacuteteacute deacutecouverte
Il existe en effet plusieurs algorithmes de comparaison de nombres entre eux qui peuvent ecirctre
appliqueacutes indeacutependamment de la compreacutehension du rocircle de la position de chaque chiffre dans
un nombre Ces meacutethodes fonctionnent relativement bien et pourraient ecirctre consideacutereacutees
comme expertes Les utilisateurs de ces regravegles peuvent reacutepondre agrave toutes les tacircches
notamment la comparaison correctement Il est donc aiseacute de penser quils ont une bonne
maicirctrise des nombres deacutecimaux Mais il se peut aussi quils suivent simplement un algorithme
expert de comparaison Steinle (2004) insiste sur le fait que de telles proceacutedures mecircme si
elles sont gagnantes dans un grand nombre de situations ne permettent pas agrave leacutelegraveve de
comprendre limportance du positionnement dans notre systegraveme de numeacuteration Mais surtout
elles peuvent perpeacutetuer des fausses repreacutesentations
Deux proceacutedures sont communeacutement utiliseacutees pour la comparaison
1) la comparaison de gauche agrave droite pour comparer des nombres agrave partie entiegravere
eacutegale par exemple 4205 et 435 les chiffres sont compareacutes jusquagrave ce quun chiffre soit
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1460 B Favre et K Morel (mai 2014)
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
Lenseignement des nombres deacutecimaux intervient systeacutematiquement au cycle 2 de la scolariteacute
obligatoire Auparavant agrave leacutecole les eacutelegraveves ont principalement eacuteteacute confronteacutes aux nombres
entiers naturels Cest agrave la fin du cycle 2 en 8H que leacutelegraveve doit atteindre les objectifs
dapprentissage suivants concernant les connaissances et les opeacuterations sur les nombres
deacutecimaux (PER cycle 2 2010)
Objectifs du domaine matheacutematiques et sciences de la nature (MSN22) Poser et reacutesoudre des
problegravemes pour construire et structurer des repreacutesentations des nombres rationnels
ndash en ordonnant des nombres rationnels notamment deacutecimaux
ndash en organisant les nombres rationnels agrave travers les opeacuterations
ndash en explorant linfiniment grand et linfiniment petit
La progression des apprentissages correspondante est la suivante
ndash Comparaison classement encadrement et intercalation de nombres eacutecrits sous forme
deacutecimale
ndash Repreacutesentation et lecture de nombres sur une droite gradueacutee
ndash Extraction du nombre de dixiegravemes centiegravemes ou milliegravemes
ndash Comparaison classement de fractions unitaires ou de mecircme deacutenominateur
ndash Reconnaissance dun nombre sous diverses eacutecritures et eacutetablissement de quelques
eacutegaliteacutes (la moitieacute = 12
= 05 = 5 dixiegravemes = 510
)
ndash Expression de la quantiteacute correspondant agrave la moitieacute au tiers au quart aux trois quarts
au dixiegraveme dune quantiteacute donneacutee
Objectifs du domaine matheacutematiques et sciences de la nature (MSN23) Reacutesoudre des
problegravemes additifs et multiplicatifs
ndash en choisissant loutil de calcul le mieux adapteacute agrave la situation proposeacutee
ndash en anticipant un reacutesultat et en exerccedilant un regard critique sur le reacutesultat obtenu
ndash en utilisant les proprieacuteteacutes des quatre opeacuterations
ndash en construisant en exerccedilant et utilisant des proceacutedures de calcul avec des nombres
rationnels positifs
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 660 B Favre et K Morel (mai 2014)
La progression des apprentissages correspondante est la suivante
ndash Utilisation des proprieacuteteacutes de laddition et de la multiplication (commutativiteacute
associativiteacute distributiviteacute) et deacutecomposition des nombres (additive soustractive
multiplicative) pour organiser et effectuer des calculs de maniegravere efficace ainsi que
pour donner des estimations
ndash Utilisation des algorithmes pour effectuer des calculs de faccedilon efficace avec des
nombres eacutecrits sous forme deacutecimale infeacuterieurs agrave 10000
ndash addition et soustraction dont les termes ont au plus 2 deacutecimales
ndash multiplication dont les facteurs et le produit ont au plus 2 deacutecimales
ndash division euclidienne dont le dividende est infeacuterieur agrave 10000 et le diviseur est
infeacuterieur agrave 100
ndash division dont le dividende (lt 10000) et le diviseur (lt 100) ont au plus une
deacutecimale et le quotient au plus deux deacutecimales
I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
Notre systegraveme de numeacuteration est un systegraveme deacutecimal de position
Cest un systegraveme de position car chaque chiffre repreacutesente une valeur speacutecifique selon sa
position dans le nombre quil compose Pour les entiers le chiffre le plus agrave droite repreacutesente
les uniteacutes le suivant sur sa gauche les dizaines le suivant les centaines et ainsi de suite
Cest un systegraveme en base 10 tout groupement de dix eacuteleacutements de mecircme ordre de grandeur
permet de passer agrave lordre supeacuterieur 10 uniteacutes forment une dizaine 10 dizaines forment une
centaine de mecircme que 10 centiegravemes forment un dixiegraveme et 10 dixiegravemes une uniteacute etc Cest
la mecircme regravegle deacutechange entre les diffeacuterents ordres de grandeur le groupement par 10
Cest un systegraveme deacutecimal car les nombres deacutecimaux peuvent seacutecrire comme une somme de
puissances de 10 Chaque chiffre repreacutesente la valeur qui doit ecirctre multiplieacutee agrave la puissance de
10 qui correspond agrave sa position dans le nombre La puissance est preacuteciseacutement eacutegale agrave la
position du chiffre dans le nombre en commenccedilant par 0 pour les uniteacutes puis 1 pour les
dizaines etc
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Par exemple 8103 = 8middot10sup3 + 1middot10sup2 + 0middot10sup1 + 3middot10ordm = 8000 + 100 + 0 + 3 On peut aussi dire
8 milliers plus 1 centaine plus 0 dizaine plus 3 uniteacutes
Un nombre deacutecimal est un nombre eacutecrit avec une virgule2 Les chiffres situeacutes agrave gauche de la
virgule constituent la partie entiegravere et ceux situeacutes agrave droite constituent la partie deacutecimale La
partie entiegravere seacutecrit donc comme deacutecrit plus haut comme une somme de puissances de 10
positives Alors que la partie deacutecimale seacutecrit elle comme une somme de puissances de 10
strictement neacutegatives ou de fractions de 10 Le premier chiffre situeacute agrave droite de la virgule
repreacutesente les dixiegravemes (10-1 ou 110) le suivant repreacutesente les centiegravemes (10-2 ou 1100) etc
Par exemple 813 = 8middot10ordm + 1middot10-1 + 3middot10-2 = 8 + 110 + 3100 = 8 + 01 + 003 On peut
dire aussi 8 uniteacutes plus 1 dixiegraveme plus 3 centiegravemes
Dans le langage courant on peut qualifier un nombre deacutecimal par la longueur de sa partie
deacutecimale Dans le cas de 234 elle est de 2 On dira donc quil sagit dun nombre agrave deux
deacutecimales (PER cycle 2 2010)
Comprendre comment les deacutecimaux sont construits permet deffectuer un certain nombre de
tacircches plus aiseacutement par exemple les placer sur la droite numeacuterique (pour placer 416 il faut
avancer de 4 uniteacutes 1 dixiegraveme et 6 centiegravemes) les comparer
Toutefois lorsque les eacutelegraveves romands abordent pour la premiegravere fois les nombres deacutecimaux en
7H ils ne connaissent encore ni les puissances de 10 ni les fractions Lapprentissage se fait
alors geacuteneacuteralement agrave travers un tableau chaque colonne ayant pour en-tecircte le nom des
puissances de 10 quelle repreacutesente centaines dizaines uniteacutes dixiegravemes etc3
Selon Resnick et al (1989) ce mode dapprentissage des deacutecimaux conseacutecutif aux seuls
entiers naturels a le deacutesavantage eacuteventuellement de creacuteer des fausses repreacutesentations comme
nous le verrons dans les chapitres suivants De plus le passage par un tableau induit un
possible fonctionnement en miroir de la partie deacutecimale par rapport agrave la partie entiegravere Or
cette apparente symeacutetrie de surcroicirct inverseacutee nexiste pas par rapport agrave la virgule mais par
rapport aux uniteacutes
2 Nous utilisons dans la partie textuelle de ce document la notation francophone de la virgule Dans les pays anglo-saxons cette virgule est
repreacutesenteacutee par un point Dans les annexes par contre nous utilisons le point car la version de notre tableur est anglo-saxonne
3 Cette faccedilon de faire est une particulariteacute romande En effet en France ou dans les pays anglo-saxons les nombres deacutecimaux sont
introduits par les fractions deacutecimales
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 860 B Favre et K Morel (mai 2014)
II CADRE THEORIQUE
II1 Introduction
Une eacutetude internationale le Third International Mathematics and Science (Repeat) Study
(1999 citeacute par Steinle 2004 p 1) conduite en 1999 montre que seuls environ 50 des
enfants testeacutes de 13 ans choisissent correctement le plus petit nombre deacutecimal dune liste de
cinq nombres deacutecimaux De mecircme une eacutetude de Bana Farrell et McIntosh (1997) conclut que
la moitieacute des eacutelegraveves de 12 ans testeacutes et pregraves du quart des eacutelegraveves de 14 ans testeacutes4 pensent quil
nest pas possible dintercaler un nombre entre deux deacutecimaux successifs (par exemple entre
152 et 153) Nous nous sommes en partie inspireacutes des items de ces tests pour deacutevelopper
notre outil de reacutecolte de donneacutees
Bana et Dolma (2004) ont effectueacute une eacutetude aupregraves de 77 eacutelegraveves australiens de leacutequivalent
9H suisse Leur but eacutetait de comparer les reacutesultats destimation dopeacuterations (avec des entiers
deacutecimaux et fractions) et les reacutesultats de calcul de ces mecircmes opeacuterations Il en ressort que
pour un mecircme calcul les eacutelegraveves ont moins de reacuteussite dans lestimation du reacutesultat quavec
lutilisation proceacutedurale des algorithmes de calcul Les auteurs suggegraverent comme explication
de cette diffeacuterence le fait que lenseignement porte principalement sur les regravegles de calcul et
est moins orienteacute sur lestimation de reacutesultats dopeacuterations Degraves lors ils proposent que
lestimation soit enseigneacute agrave chaque fois que cela est possible afin de deacutevelopper le sens des
nombres (number sense) chez les eacutelegraveves Ceci impliquerait une plus grande emphase porteacutee
en classe sur le calcul reacutefleacutechi plutocirct que sur le calcul algorithmique Lampleur de ce
meacutemoire ne nous a pas permis dapprofondir cette facette de la compreacutehension des nombres
De leur cocircteacute Muir et Livy (2012) ont effectueacute une eacutetude agrave partir dune population australienne
de 80 enseignants de primaire en formation et 58 enseignants de primaire en emploi devant
reacutesoudre 49 items de niveau 10 ndash 14 ans Ils deacutecouvrent par exemple que seuls 50 des
maicirctres en emploi classent 3303 303 333 et 3033 correctement dans lordre croissant ou
que seuls 19 des maicirctres en formation obtiennent le quotient exact agrave quatre deacutecimales pregraves
de la division de 3 par 7
Plusieurs chercheurs ont identifieacute des fausses repreacutesentations (misconceptions) sur les
nombres deacutecimaux (Sackur-Grisvard amp Leacuteonard 1985 Resnick amp al 1989 Steinle 2004)
4 45 des Eacutetats-uniens 23 des Australiens et Sueacutedois 5 des Taiumlwanais
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans son eacutetude Steinle (2004) a deacuteveloppeacute des tests speacutecifiques de comparaison de paires de
nombres deacutecimaux (decimal comparison tests) Ces tests sont conccedilus de maniegravere agrave permettre
une cateacutegorisation des erreurs dune personne selon leur reacutepeacutetition et leur reacutegulariteacute Nous
nous sommes eacutegalement reacutefeacutereacutes agrave des eacutetudes effectueacutees en France (Bolon 1993 Perrin-
Glorian 1986) sur les repreacutesentations des nombres deacutecimaux drsquoeacutelegraveves de CM2 et 6egraveme
(eacutequivalent 7H et 8H en Suisse) afin deacutelaborer notre outil de reacutecolte de donneacutees
II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
Les eacutetudes de Ma (1999) et Clivaz (2011) nous ont ameneacute agrave faire la distinction entre
connaissances proceacutedurales et connaissances conceptuelles Leacutecart entre ces deux types de
connaissances a eacuteteacute eacutetudieacute par Rittle-Johnson Siegler et Alibali (2001) dans le cadre preacutecis
des nombres deacutecimaux Selon ces auteurs les connaissances proceacutedurales repreacutesentent la
capaciteacute agrave exeacutecuter des actions seacutequenceacutees (pas agrave pas) en vue de reacutesoudre des problegravemes ou
des calculs simples Ces connaissances sont lieacutees agrave des items matheacutematiques preacutecis et sont
donc difficilement transfeacuterables agrave dautres situations Les connaissances conceptuelles elles
sont la compreacutehension implicite ou explicite des principes qui sous-tendent agrave un concept ainsi
que la compreacutehension des relations avec dautres concepts Ces auteurs ont chercheacute agrave savoir si
un type de connaissances preacutecegravede lrsquoautre et sont arriveacutes agrave la conclusion que le deacuteveloppement
de ces deux types de connaissances se fait de maniegravere iteacuterative les unes ameacuteliorant les autres
et vice-versa dans un ordre chronologique non figeacute
Pour eacutevaluer les connaissances conceptuelles Rittle-Johnson et al (2001) testent la
compreacutehension de diffeacuterents concepts pris individuellement dont entre autres lampleur
relative des nombres (comparaison de nombres) et la densiteacute numeacuterique (placer un nombre
entre deux nombres donneacutes) Ils affirment que des tests eacutecrits sont suffisants et preacutefegraverent ne
pas se baser sur les explications verbales des personnes testeacutees les connaissances
conceptuelles pouvant ecirctre implicites et les enfants ne sachant pas toujours correctement
articuler leurs connaissances
Haapasalo (2003) estime pour sa part quil est tregraves difficile de pouvoir polariser ces deux
formes de connaissances dans des tests Comment peut-on sassurer que la personne reacutesout
telle ou telle question de maniegravere purement proceacutedurale ou purement conceptuelle De plus
chaque individu reacuteagit et analyse des situations de maniegravere tregraves diffeacuterente Comme le
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1060 B Favre et K Morel (mai 2014)
mentionnent McIntosh Reys et Reys (1992) le sens des nombres est tregraves personnel et est
influenceacute par le contexte et la maniegravere dont les concepts ont eacuteteacute enseigneacutes Sans
questionnement il est donc tregraves difficile de deacuteterminer si une personne met en place des
strateacutegies conceptuelles ou simplement proceacutedurales
II3 Sens des nombres
La connaissance des nombres et la connaissance des opeacuterations font partie de ce que
McIntosh et al (1992) nomment le sens des nombres (number sense) Ils le deacutefinissent
comme la compreacutehension geacuteneacuterale des nombres et des opeacuterations et la capaciteacute agrave utiliser cette
compreacutehension en fonction de la situation pour donner des justifications matheacutematiques
(make mathematical judgements) et pour deacutevelopper des strateacutegies de manipulation des
nombres et des opeacuterations
laquo Number Sense A propensity for and an ability to use numbers
and quantitative methods as a means of communicating processing
and interpreting information It results in an expectation that
numbers are useful and that mathematics has a certain regularity
(makes sense) raquo5
Dans leur cadre de reacutefeacuterence permettant de cerner le sens des nombres (cf Annexe 2)
McIntosh et al (1992) distinguent trois domaines principaux 1) la connaissance des nombres
et les aptitudes avec ceux-ci 2) la connaissance des opeacuterations et les aptitudes avec celles-ci
et 3) lapplication de ces deux domaines agrave la reacutesolution de problegravemes numeacuteriques Chacun de
ces trois niveaux est constitueacute de plusieurs composantes Entre autres pour le premier
domaine on trouve le sens de classer les nombres pour le second domaine la compreacutehension
de leffet des opeacuterations et pour le troisiegraveme la conscience des diffeacuterentes strateacutegies de
reacutesolution possibles La compreacutehension serait donc la reacutesultante dun certain nombre de
connaissances et daptitudes et serait deacutefinissable agrave travers celles-ci Nous nous sommes baseacutes
sur cette distinction pour eacutelaborer notre question de recherche qui est deacutetudier la relation
possible entre une bonne ou mauvaise connaissance des nombres et une bonne ou mauvaise
connaissance des opeacuterations
5 Traduction Sens des nombres Une aptitude et une capaciteacute agrave utiliser les nombres et des meacutethodes quantitatives dans le but de
communiquer preacuteparer et interpreacuteter de linformation Il en reacutesulte une attente que les nombres sont utiles et que les matheacutematiques ont
une certaine reacutegulariteacute (quelles font sens)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1160 B Favre et K Morel (mai 2014)
II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
Apregraves avoir deacutetermineacute le cadre geacuteneacuteral de notre recherche pour tester les deux types de
connaissances qui nous inteacuteressent nous nous sommes demandeacute quels genres derreurs
pourraient commettre les eacutelegraveves Nous nous sommes tourneacutes vers Steinle (2004) qui a eacutelaboreacute
des tests de comparaison de paires de nombres deacutecimaux et a deacutetecteacute que les enfants
pouvaient avoir un certain nombre de repreacutesentations erroneacutees sur les nombres deacutecimaux
donnant lieu agrave des choix de reacuteponses incorrects (ce quil nomme regravegle ou comportement
rule behaviour)
- regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo (longer-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus longue partie deacutecimale (contenant le plus de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
- regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo (shorter-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus courte partie deacutecimale (contenant le moins de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
Il identifie et explicite ensuite les regravegles (ou theacuteoregravemes-eacutelegraveve) que suivent les eacutelegraveves qui
aboutissent agrave ces comportements
II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
Dans ce cas les eacutelegraveves considegraverent un nombre deacutecimal comme eacutetant formeacute de deux nombres
entiers apposeacutes lun agrave cocircteacute de lautre et seacutepareacutes par une virgule
Ainsi dans la comparaison de 7281 et 76 ils comparent tout dabord le nombre placeacute avant
la virgule ici 7 consideacutereacute comme indeacutependant de celui apregraves la virgule Dans ce cas la partie
entiegravere est eacutegale pour les deux nombres agrave comparer Ils poursuivent donc leur comparaison
avec le nombre (et non les chiffres) placeacute apregraves la virgule consideacutereacute comme un nombre entier
Comme 281 contient plus de chiffres et est plus grand que 6 ils vont choisir 7281 comme
eacutetant le plus grand nombre Cette strateacutegie peut ecirctre fructueuse dans certains cas par exemple
dans la comparaison de 62603 et 625 ils choisissent correctement 62603 car 2603 est plus
grand que 25
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Brousseau (1976) preacutecise que cette regravegle des nombres entiers apparaicirct particuliegraverement
lorsque les eacutelegraveves ne sont confronteacutes quagrave des deacutecimaux de partie deacutecimale de mecircme longueur
Les eacutelegraveves construisent alors la repreacutesentation que cette partie est fixe et quil est ainsi
possible de la consideacuterer comme un nombre entier agrave part Ils ont en fait geacuteneacuteraliseacute une regravegle
qui nest correcte quavec des nombres entiers Ceci survient eacutegalement lorsque le nombre
deacutecimal est identifieacute agrave de largent Il est ainsi aiseacute pour les eacutelegraveves de comparer des centimes
Ce faisant toutefois on conforte lideacutee que la partie deacutecimale est un nombre entier Dougrave
limportance pour les enseignants de modifier les variables didactiques de maniegravere adeacutequate
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
Lors de lrsquoemploi de cette regravegle les eacutelegraveves utilisent eacutegalement la regravegle geacuteneacuterale du laquo plus long
est le plus grand raquo mais modifient leur approche lorsque les nombres contiennent des zeacuteros
apregraves la virgule Ils ont reacutealiseacute que les zeacuteros rendaient un nombre plus petit mais ils suivent
ensuite la regravegle citeacutee preacuteceacutedemment
Par exemple entre 38 et 309 ils choisiront correctement 38 comme eacutetant le plus grand car
selon eux le 0 rend le nombre 09 plus petit Par contre entre 3082 et 30804 ils commettront
la mecircme erreur que dans la regravegle preacuteceacutedente et indiqueront 30804 comme eacutetant le plus grand
nombre (car 804 gt 82)
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
Toujours dapregraves Steinle (2004) selon cette regravegle pour deacuteterminer le nombre le plus grand les
eacutelegraveves comparent les parties deacutecimales et choisissent celle qui comporte le moins de chiffres
Un nombre plus eacuteleveacute de chiffres apregraves la virgule est interpreacuteteacute comme reacuteduisant la grandeur
du nombre les centiegravemes quelle que soit leur valeur sont toujours consideacutereacutes comme eacutetant
laquo plus petits raquo que les dixiegravemes Ainsi lorsqursquoun nombre contient des centiegravemes il est
consideacutereacute plus petit qursquoun nombre qui nrsquoa que des dixiegravemes Dans la comparaison de 33 et
345 les 45 centiegravemes sont consideacutereacutes plus petits que 3 dixiegravemes et ces personnes deacutecideront
que 33 gt 345 Par contre tout en appliquant cette regravegle 375 et 38 seront compareacutes
correctement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1360 B Favre et K Morel (mai 2014)
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
Les eacutelegraveves choisissent eacutegalement le nombre le plus grand comme eacutetant celui dont la partie
deacutecimale est la plus courte mais pour une autre raison Dans le cas de cette regravegle ils font
lanalogie erroneacutee avec les fractions Ainsi 03 et 045 seront consideacutereacutes comme 13 et 145
13 eacutetant plus grand que 145 ils choisiront 03 comme eacutetant le plus grand Cette fausse
repreacutesentation apparaicirct geacuteneacuteralement apregraves que le concept de fraction a eacuteteacute introduit et il nest
donc pas exclu que des eacutelegraveves qui ne commettaient pas derreurs jusque-lagrave deacuteveloppent
soudainement cette fausse repreacutesentation
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
Dans cette fausse conception leacutelegraveve fait lanalogie entre la partie deacutecimale (non la partie
entiegravere) et les nombres neacutegatifs Elle peut en effet survenir suite agrave lintroduction de ces
derniers Pour comparer 03 et 045 leacutelegraveve assimile le fonctionnement de 3 et 45 agrave celui des
nombres neacutegatifs -3 eacutetant plus grand que -45 il conclut que 03 est plus grand que 045
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
Steinle (2004) considegravere les personnes ne commettant pas derreur comme des experts
apparents Ils sont experts jusquagrave preuve du contraire jusquagrave preuve quils utilisent une
fausse repreacutesentation qui naurait pas encore eacuteteacute deacutecouverte
Il existe en effet plusieurs algorithmes de comparaison de nombres entre eux qui peuvent ecirctre
appliqueacutes indeacutependamment de la compreacutehension du rocircle de la position de chaque chiffre dans
un nombre Ces meacutethodes fonctionnent relativement bien et pourraient ecirctre consideacutereacutees
comme expertes Les utilisateurs de ces regravegles peuvent reacutepondre agrave toutes les tacircches
notamment la comparaison correctement Il est donc aiseacute de penser quils ont une bonne
maicirctrise des nombres deacutecimaux Mais il se peut aussi quils suivent simplement un algorithme
expert de comparaison Steinle (2004) insiste sur le fait que de telles proceacutedures mecircme si
elles sont gagnantes dans un grand nombre de situations ne permettent pas agrave leacutelegraveve de
comprendre limportance du positionnement dans notre systegraveme de numeacuteration Mais surtout
elles peuvent perpeacutetuer des fausses repreacutesentations
Deux proceacutedures sont communeacutement utiliseacutees pour la comparaison
1) la comparaison de gauche agrave droite pour comparer des nombres agrave partie entiegravere
eacutegale par exemple 4205 et 435 les chiffres sont compareacutes jusquagrave ce quun chiffre soit
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1460 B Favre et K Morel (mai 2014)
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
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- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
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- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
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- IV3 Attribution des points
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- V ANALYSE DES RESULTATS
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- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
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- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
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- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
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- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
La progression des apprentissages correspondante est la suivante
ndash Utilisation des proprieacuteteacutes de laddition et de la multiplication (commutativiteacute
associativiteacute distributiviteacute) et deacutecomposition des nombres (additive soustractive
multiplicative) pour organiser et effectuer des calculs de maniegravere efficace ainsi que
pour donner des estimations
ndash Utilisation des algorithmes pour effectuer des calculs de faccedilon efficace avec des
nombres eacutecrits sous forme deacutecimale infeacuterieurs agrave 10000
ndash addition et soustraction dont les termes ont au plus 2 deacutecimales
ndash multiplication dont les facteurs et le produit ont au plus 2 deacutecimales
ndash division euclidienne dont le dividende est infeacuterieur agrave 10000 et le diviseur est
infeacuterieur agrave 100
ndash division dont le dividende (lt 10000) et le diviseur (lt 100) ont au plus une
deacutecimale et le quotient au plus deux deacutecimales
I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
Notre systegraveme de numeacuteration est un systegraveme deacutecimal de position
Cest un systegraveme de position car chaque chiffre repreacutesente une valeur speacutecifique selon sa
position dans le nombre quil compose Pour les entiers le chiffre le plus agrave droite repreacutesente
les uniteacutes le suivant sur sa gauche les dizaines le suivant les centaines et ainsi de suite
Cest un systegraveme en base 10 tout groupement de dix eacuteleacutements de mecircme ordre de grandeur
permet de passer agrave lordre supeacuterieur 10 uniteacutes forment une dizaine 10 dizaines forment une
centaine de mecircme que 10 centiegravemes forment un dixiegraveme et 10 dixiegravemes une uniteacute etc Cest
la mecircme regravegle deacutechange entre les diffeacuterents ordres de grandeur le groupement par 10
Cest un systegraveme deacutecimal car les nombres deacutecimaux peuvent seacutecrire comme une somme de
puissances de 10 Chaque chiffre repreacutesente la valeur qui doit ecirctre multiplieacutee agrave la puissance de
10 qui correspond agrave sa position dans le nombre La puissance est preacuteciseacutement eacutegale agrave la
position du chiffre dans le nombre en commenccedilant par 0 pour les uniteacutes puis 1 pour les
dizaines etc
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Par exemple 8103 = 8middot10sup3 + 1middot10sup2 + 0middot10sup1 + 3middot10ordm = 8000 + 100 + 0 + 3 On peut aussi dire
8 milliers plus 1 centaine plus 0 dizaine plus 3 uniteacutes
Un nombre deacutecimal est un nombre eacutecrit avec une virgule2 Les chiffres situeacutes agrave gauche de la
virgule constituent la partie entiegravere et ceux situeacutes agrave droite constituent la partie deacutecimale La
partie entiegravere seacutecrit donc comme deacutecrit plus haut comme une somme de puissances de 10
positives Alors que la partie deacutecimale seacutecrit elle comme une somme de puissances de 10
strictement neacutegatives ou de fractions de 10 Le premier chiffre situeacute agrave droite de la virgule
repreacutesente les dixiegravemes (10-1 ou 110) le suivant repreacutesente les centiegravemes (10-2 ou 1100) etc
Par exemple 813 = 8middot10ordm + 1middot10-1 + 3middot10-2 = 8 + 110 + 3100 = 8 + 01 + 003 On peut
dire aussi 8 uniteacutes plus 1 dixiegraveme plus 3 centiegravemes
Dans le langage courant on peut qualifier un nombre deacutecimal par la longueur de sa partie
deacutecimale Dans le cas de 234 elle est de 2 On dira donc quil sagit dun nombre agrave deux
deacutecimales (PER cycle 2 2010)
Comprendre comment les deacutecimaux sont construits permet deffectuer un certain nombre de
tacircches plus aiseacutement par exemple les placer sur la droite numeacuterique (pour placer 416 il faut
avancer de 4 uniteacutes 1 dixiegraveme et 6 centiegravemes) les comparer
Toutefois lorsque les eacutelegraveves romands abordent pour la premiegravere fois les nombres deacutecimaux en
7H ils ne connaissent encore ni les puissances de 10 ni les fractions Lapprentissage se fait
alors geacuteneacuteralement agrave travers un tableau chaque colonne ayant pour en-tecircte le nom des
puissances de 10 quelle repreacutesente centaines dizaines uniteacutes dixiegravemes etc3
Selon Resnick et al (1989) ce mode dapprentissage des deacutecimaux conseacutecutif aux seuls
entiers naturels a le deacutesavantage eacuteventuellement de creacuteer des fausses repreacutesentations comme
nous le verrons dans les chapitres suivants De plus le passage par un tableau induit un
possible fonctionnement en miroir de la partie deacutecimale par rapport agrave la partie entiegravere Or
cette apparente symeacutetrie de surcroicirct inverseacutee nexiste pas par rapport agrave la virgule mais par
rapport aux uniteacutes
2 Nous utilisons dans la partie textuelle de ce document la notation francophone de la virgule Dans les pays anglo-saxons cette virgule est
repreacutesenteacutee par un point Dans les annexes par contre nous utilisons le point car la version de notre tableur est anglo-saxonne
3 Cette faccedilon de faire est une particulariteacute romande En effet en France ou dans les pays anglo-saxons les nombres deacutecimaux sont
introduits par les fractions deacutecimales
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 860 B Favre et K Morel (mai 2014)
II CADRE THEORIQUE
II1 Introduction
Une eacutetude internationale le Third International Mathematics and Science (Repeat) Study
(1999 citeacute par Steinle 2004 p 1) conduite en 1999 montre que seuls environ 50 des
enfants testeacutes de 13 ans choisissent correctement le plus petit nombre deacutecimal dune liste de
cinq nombres deacutecimaux De mecircme une eacutetude de Bana Farrell et McIntosh (1997) conclut que
la moitieacute des eacutelegraveves de 12 ans testeacutes et pregraves du quart des eacutelegraveves de 14 ans testeacutes4 pensent quil
nest pas possible dintercaler un nombre entre deux deacutecimaux successifs (par exemple entre
152 et 153) Nous nous sommes en partie inspireacutes des items de ces tests pour deacutevelopper
notre outil de reacutecolte de donneacutees
Bana et Dolma (2004) ont effectueacute une eacutetude aupregraves de 77 eacutelegraveves australiens de leacutequivalent
9H suisse Leur but eacutetait de comparer les reacutesultats destimation dopeacuterations (avec des entiers
deacutecimaux et fractions) et les reacutesultats de calcul de ces mecircmes opeacuterations Il en ressort que
pour un mecircme calcul les eacutelegraveves ont moins de reacuteussite dans lestimation du reacutesultat quavec
lutilisation proceacutedurale des algorithmes de calcul Les auteurs suggegraverent comme explication
de cette diffeacuterence le fait que lenseignement porte principalement sur les regravegles de calcul et
est moins orienteacute sur lestimation de reacutesultats dopeacuterations Degraves lors ils proposent que
lestimation soit enseigneacute agrave chaque fois que cela est possible afin de deacutevelopper le sens des
nombres (number sense) chez les eacutelegraveves Ceci impliquerait une plus grande emphase porteacutee
en classe sur le calcul reacutefleacutechi plutocirct que sur le calcul algorithmique Lampleur de ce
meacutemoire ne nous a pas permis dapprofondir cette facette de la compreacutehension des nombres
De leur cocircteacute Muir et Livy (2012) ont effectueacute une eacutetude agrave partir dune population australienne
de 80 enseignants de primaire en formation et 58 enseignants de primaire en emploi devant
reacutesoudre 49 items de niveau 10 ndash 14 ans Ils deacutecouvrent par exemple que seuls 50 des
maicirctres en emploi classent 3303 303 333 et 3033 correctement dans lordre croissant ou
que seuls 19 des maicirctres en formation obtiennent le quotient exact agrave quatre deacutecimales pregraves
de la division de 3 par 7
Plusieurs chercheurs ont identifieacute des fausses repreacutesentations (misconceptions) sur les
nombres deacutecimaux (Sackur-Grisvard amp Leacuteonard 1985 Resnick amp al 1989 Steinle 2004)
4 45 des Eacutetats-uniens 23 des Australiens et Sueacutedois 5 des Taiumlwanais
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans son eacutetude Steinle (2004) a deacuteveloppeacute des tests speacutecifiques de comparaison de paires de
nombres deacutecimaux (decimal comparison tests) Ces tests sont conccedilus de maniegravere agrave permettre
une cateacutegorisation des erreurs dune personne selon leur reacutepeacutetition et leur reacutegulariteacute Nous
nous sommes eacutegalement reacutefeacutereacutes agrave des eacutetudes effectueacutees en France (Bolon 1993 Perrin-
Glorian 1986) sur les repreacutesentations des nombres deacutecimaux drsquoeacutelegraveves de CM2 et 6egraveme
(eacutequivalent 7H et 8H en Suisse) afin deacutelaborer notre outil de reacutecolte de donneacutees
II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
Les eacutetudes de Ma (1999) et Clivaz (2011) nous ont ameneacute agrave faire la distinction entre
connaissances proceacutedurales et connaissances conceptuelles Leacutecart entre ces deux types de
connaissances a eacuteteacute eacutetudieacute par Rittle-Johnson Siegler et Alibali (2001) dans le cadre preacutecis
des nombres deacutecimaux Selon ces auteurs les connaissances proceacutedurales repreacutesentent la
capaciteacute agrave exeacutecuter des actions seacutequenceacutees (pas agrave pas) en vue de reacutesoudre des problegravemes ou
des calculs simples Ces connaissances sont lieacutees agrave des items matheacutematiques preacutecis et sont
donc difficilement transfeacuterables agrave dautres situations Les connaissances conceptuelles elles
sont la compreacutehension implicite ou explicite des principes qui sous-tendent agrave un concept ainsi
que la compreacutehension des relations avec dautres concepts Ces auteurs ont chercheacute agrave savoir si
un type de connaissances preacutecegravede lrsquoautre et sont arriveacutes agrave la conclusion que le deacuteveloppement
de ces deux types de connaissances se fait de maniegravere iteacuterative les unes ameacuteliorant les autres
et vice-versa dans un ordre chronologique non figeacute
Pour eacutevaluer les connaissances conceptuelles Rittle-Johnson et al (2001) testent la
compreacutehension de diffeacuterents concepts pris individuellement dont entre autres lampleur
relative des nombres (comparaison de nombres) et la densiteacute numeacuterique (placer un nombre
entre deux nombres donneacutes) Ils affirment que des tests eacutecrits sont suffisants et preacutefegraverent ne
pas se baser sur les explications verbales des personnes testeacutees les connaissances
conceptuelles pouvant ecirctre implicites et les enfants ne sachant pas toujours correctement
articuler leurs connaissances
Haapasalo (2003) estime pour sa part quil est tregraves difficile de pouvoir polariser ces deux
formes de connaissances dans des tests Comment peut-on sassurer que la personne reacutesout
telle ou telle question de maniegravere purement proceacutedurale ou purement conceptuelle De plus
chaque individu reacuteagit et analyse des situations de maniegravere tregraves diffeacuterente Comme le
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1060 B Favre et K Morel (mai 2014)
mentionnent McIntosh Reys et Reys (1992) le sens des nombres est tregraves personnel et est
influenceacute par le contexte et la maniegravere dont les concepts ont eacuteteacute enseigneacutes Sans
questionnement il est donc tregraves difficile de deacuteterminer si une personne met en place des
strateacutegies conceptuelles ou simplement proceacutedurales
II3 Sens des nombres
La connaissance des nombres et la connaissance des opeacuterations font partie de ce que
McIntosh et al (1992) nomment le sens des nombres (number sense) Ils le deacutefinissent
comme la compreacutehension geacuteneacuterale des nombres et des opeacuterations et la capaciteacute agrave utiliser cette
compreacutehension en fonction de la situation pour donner des justifications matheacutematiques
(make mathematical judgements) et pour deacutevelopper des strateacutegies de manipulation des
nombres et des opeacuterations
laquo Number Sense A propensity for and an ability to use numbers
and quantitative methods as a means of communicating processing
and interpreting information It results in an expectation that
numbers are useful and that mathematics has a certain regularity
(makes sense) raquo5
Dans leur cadre de reacutefeacuterence permettant de cerner le sens des nombres (cf Annexe 2)
McIntosh et al (1992) distinguent trois domaines principaux 1) la connaissance des nombres
et les aptitudes avec ceux-ci 2) la connaissance des opeacuterations et les aptitudes avec celles-ci
et 3) lapplication de ces deux domaines agrave la reacutesolution de problegravemes numeacuteriques Chacun de
ces trois niveaux est constitueacute de plusieurs composantes Entre autres pour le premier
domaine on trouve le sens de classer les nombres pour le second domaine la compreacutehension
de leffet des opeacuterations et pour le troisiegraveme la conscience des diffeacuterentes strateacutegies de
reacutesolution possibles La compreacutehension serait donc la reacutesultante dun certain nombre de
connaissances et daptitudes et serait deacutefinissable agrave travers celles-ci Nous nous sommes baseacutes
sur cette distinction pour eacutelaborer notre question de recherche qui est deacutetudier la relation
possible entre une bonne ou mauvaise connaissance des nombres et une bonne ou mauvaise
connaissance des opeacuterations
5 Traduction Sens des nombres Une aptitude et une capaciteacute agrave utiliser les nombres et des meacutethodes quantitatives dans le but de
communiquer preacuteparer et interpreacuteter de linformation Il en reacutesulte une attente que les nombres sont utiles et que les matheacutematiques ont
une certaine reacutegulariteacute (quelles font sens)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1160 B Favre et K Morel (mai 2014)
II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
Apregraves avoir deacutetermineacute le cadre geacuteneacuteral de notre recherche pour tester les deux types de
connaissances qui nous inteacuteressent nous nous sommes demandeacute quels genres derreurs
pourraient commettre les eacutelegraveves Nous nous sommes tourneacutes vers Steinle (2004) qui a eacutelaboreacute
des tests de comparaison de paires de nombres deacutecimaux et a deacutetecteacute que les enfants
pouvaient avoir un certain nombre de repreacutesentations erroneacutees sur les nombres deacutecimaux
donnant lieu agrave des choix de reacuteponses incorrects (ce quil nomme regravegle ou comportement
rule behaviour)
- regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo (longer-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus longue partie deacutecimale (contenant le plus de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
- regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo (shorter-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus courte partie deacutecimale (contenant le moins de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
Il identifie et explicite ensuite les regravegles (ou theacuteoregravemes-eacutelegraveve) que suivent les eacutelegraveves qui
aboutissent agrave ces comportements
II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
Dans ce cas les eacutelegraveves considegraverent un nombre deacutecimal comme eacutetant formeacute de deux nombres
entiers apposeacutes lun agrave cocircteacute de lautre et seacutepareacutes par une virgule
Ainsi dans la comparaison de 7281 et 76 ils comparent tout dabord le nombre placeacute avant
la virgule ici 7 consideacutereacute comme indeacutependant de celui apregraves la virgule Dans ce cas la partie
entiegravere est eacutegale pour les deux nombres agrave comparer Ils poursuivent donc leur comparaison
avec le nombre (et non les chiffres) placeacute apregraves la virgule consideacutereacute comme un nombre entier
Comme 281 contient plus de chiffres et est plus grand que 6 ils vont choisir 7281 comme
eacutetant le plus grand nombre Cette strateacutegie peut ecirctre fructueuse dans certains cas par exemple
dans la comparaison de 62603 et 625 ils choisissent correctement 62603 car 2603 est plus
grand que 25
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Brousseau (1976) preacutecise que cette regravegle des nombres entiers apparaicirct particuliegraverement
lorsque les eacutelegraveves ne sont confronteacutes quagrave des deacutecimaux de partie deacutecimale de mecircme longueur
Les eacutelegraveves construisent alors la repreacutesentation que cette partie est fixe et quil est ainsi
possible de la consideacuterer comme un nombre entier agrave part Ils ont en fait geacuteneacuteraliseacute une regravegle
qui nest correcte quavec des nombres entiers Ceci survient eacutegalement lorsque le nombre
deacutecimal est identifieacute agrave de largent Il est ainsi aiseacute pour les eacutelegraveves de comparer des centimes
Ce faisant toutefois on conforte lideacutee que la partie deacutecimale est un nombre entier Dougrave
limportance pour les enseignants de modifier les variables didactiques de maniegravere adeacutequate
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
Lors de lrsquoemploi de cette regravegle les eacutelegraveves utilisent eacutegalement la regravegle geacuteneacuterale du laquo plus long
est le plus grand raquo mais modifient leur approche lorsque les nombres contiennent des zeacuteros
apregraves la virgule Ils ont reacutealiseacute que les zeacuteros rendaient un nombre plus petit mais ils suivent
ensuite la regravegle citeacutee preacuteceacutedemment
Par exemple entre 38 et 309 ils choisiront correctement 38 comme eacutetant le plus grand car
selon eux le 0 rend le nombre 09 plus petit Par contre entre 3082 et 30804 ils commettront
la mecircme erreur que dans la regravegle preacuteceacutedente et indiqueront 30804 comme eacutetant le plus grand
nombre (car 804 gt 82)
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
Toujours dapregraves Steinle (2004) selon cette regravegle pour deacuteterminer le nombre le plus grand les
eacutelegraveves comparent les parties deacutecimales et choisissent celle qui comporte le moins de chiffres
Un nombre plus eacuteleveacute de chiffres apregraves la virgule est interpreacuteteacute comme reacuteduisant la grandeur
du nombre les centiegravemes quelle que soit leur valeur sont toujours consideacutereacutes comme eacutetant
laquo plus petits raquo que les dixiegravemes Ainsi lorsqursquoun nombre contient des centiegravemes il est
consideacutereacute plus petit qursquoun nombre qui nrsquoa que des dixiegravemes Dans la comparaison de 33 et
345 les 45 centiegravemes sont consideacutereacutes plus petits que 3 dixiegravemes et ces personnes deacutecideront
que 33 gt 345 Par contre tout en appliquant cette regravegle 375 et 38 seront compareacutes
correctement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1360 B Favre et K Morel (mai 2014)
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
Les eacutelegraveves choisissent eacutegalement le nombre le plus grand comme eacutetant celui dont la partie
deacutecimale est la plus courte mais pour une autre raison Dans le cas de cette regravegle ils font
lanalogie erroneacutee avec les fractions Ainsi 03 et 045 seront consideacutereacutes comme 13 et 145
13 eacutetant plus grand que 145 ils choisiront 03 comme eacutetant le plus grand Cette fausse
repreacutesentation apparaicirct geacuteneacuteralement apregraves que le concept de fraction a eacuteteacute introduit et il nest
donc pas exclu que des eacutelegraveves qui ne commettaient pas derreurs jusque-lagrave deacuteveloppent
soudainement cette fausse repreacutesentation
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
Dans cette fausse conception leacutelegraveve fait lanalogie entre la partie deacutecimale (non la partie
entiegravere) et les nombres neacutegatifs Elle peut en effet survenir suite agrave lintroduction de ces
derniers Pour comparer 03 et 045 leacutelegraveve assimile le fonctionnement de 3 et 45 agrave celui des
nombres neacutegatifs -3 eacutetant plus grand que -45 il conclut que 03 est plus grand que 045
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
Steinle (2004) considegravere les personnes ne commettant pas derreur comme des experts
apparents Ils sont experts jusquagrave preuve du contraire jusquagrave preuve quils utilisent une
fausse repreacutesentation qui naurait pas encore eacuteteacute deacutecouverte
Il existe en effet plusieurs algorithmes de comparaison de nombres entre eux qui peuvent ecirctre
appliqueacutes indeacutependamment de la compreacutehension du rocircle de la position de chaque chiffre dans
un nombre Ces meacutethodes fonctionnent relativement bien et pourraient ecirctre consideacutereacutees
comme expertes Les utilisateurs de ces regravegles peuvent reacutepondre agrave toutes les tacircches
notamment la comparaison correctement Il est donc aiseacute de penser quils ont une bonne
maicirctrise des nombres deacutecimaux Mais il se peut aussi quils suivent simplement un algorithme
expert de comparaison Steinle (2004) insiste sur le fait que de telles proceacutedures mecircme si
elles sont gagnantes dans un grand nombre de situations ne permettent pas agrave leacutelegraveve de
comprendre limportance du positionnement dans notre systegraveme de numeacuteration Mais surtout
elles peuvent perpeacutetuer des fausses repreacutesentations
Deux proceacutedures sont communeacutement utiliseacutees pour la comparaison
1) la comparaison de gauche agrave droite pour comparer des nombres agrave partie entiegravere
eacutegale par exemple 4205 et 435 les chiffres sont compareacutes jusquagrave ce quun chiffre soit
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1460 B Favre et K Morel (mai 2014)
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
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Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Par exemple 8103 = 8middot10sup3 + 1middot10sup2 + 0middot10sup1 + 3middot10ordm = 8000 + 100 + 0 + 3 On peut aussi dire
8 milliers plus 1 centaine plus 0 dizaine plus 3 uniteacutes
Un nombre deacutecimal est un nombre eacutecrit avec une virgule2 Les chiffres situeacutes agrave gauche de la
virgule constituent la partie entiegravere et ceux situeacutes agrave droite constituent la partie deacutecimale La
partie entiegravere seacutecrit donc comme deacutecrit plus haut comme une somme de puissances de 10
positives Alors que la partie deacutecimale seacutecrit elle comme une somme de puissances de 10
strictement neacutegatives ou de fractions de 10 Le premier chiffre situeacute agrave droite de la virgule
repreacutesente les dixiegravemes (10-1 ou 110) le suivant repreacutesente les centiegravemes (10-2 ou 1100) etc
Par exemple 813 = 8middot10ordm + 1middot10-1 + 3middot10-2 = 8 + 110 + 3100 = 8 + 01 + 003 On peut
dire aussi 8 uniteacutes plus 1 dixiegraveme plus 3 centiegravemes
Dans le langage courant on peut qualifier un nombre deacutecimal par la longueur de sa partie
deacutecimale Dans le cas de 234 elle est de 2 On dira donc quil sagit dun nombre agrave deux
deacutecimales (PER cycle 2 2010)
Comprendre comment les deacutecimaux sont construits permet deffectuer un certain nombre de
tacircches plus aiseacutement par exemple les placer sur la droite numeacuterique (pour placer 416 il faut
avancer de 4 uniteacutes 1 dixiegraveme et 6 centiegravemes) les comparer
Toutefois lorsque les eacutelegraveves romands abordent pour la premiegravere fois les nombres deacutecimaux en
7H ils ne connaissent encore ni les puissances de 10 ni les fractions Lapprentissage se fait
alors geacuteneacuteralement agrave travers un tableau chaque colonne ayant pour en-tecircte le nom des
puissances de 10 quelle repreacutesente centaines dizaines uniteacutes dixiegravemes etc3
Selon Resnick et al (1989) ce mode dapprentissage des deacutecimaux conseacutecutif aux seuls
entiers naturels a le deacutesavantage eacuteventuellement de creacuteer des fausses repreacutesentations comme
nous le verrons dans les chapitres suivants De plus le passage par un tableau induit un
possible fonctionnement en miroir de la partie deacutecimale par rapport agrave la partie entiegravere Or
cette apparente symeacutetrie de surcroicirct inverseacutee nexiste pas par rapport agrave la virgule mais par
rapport aux uniteacutes
2 Nous utilisons dans la partie textuelle de ce document la notation francophone de la virgule Dans les pays anglo-saxons cette virgule est
repreacutesenteacutee par un point Dans les annexes par contre nous utilisons le point car la version de notre tableur est anglo-saxonne
3 Cette faccedilon de faire est une particulariteacute romande En effet en France ou dans les pays anglo-saxons les nombres deacutecimaux sont
introduits par les fractions deacutecimales
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 860 B Favre et K Morel (mai 2014)
II CADRE THEORIQUE
II1 Introduction
Une eacutetude internationale le Third International Mathematics and Science (Repeat) Study
(1999 citeacute par Steinle 2004 p 1) conduite en 1999 montre que seuls environ 50 des
enfants testeacutes de 13 ans choisissent correctement le plus petit nombre deacutecimal dune liste de
cinq nombres deacutecimaux De mecircme une eacutetude de Bana Farrell et McIntosh (1997) conclut que
la moitieacute des eacutelegraveves de 12 ans testeacutes et pregraves du quart des eacutelegraveves de 14 ans testeacutes4 pensent quil
nest pas possible dintercaler un nombre entre deux deacutecimaux successifs (par exemple entre
152 et 153) Nous nous sommes en partie inspireacutes des items de ces tests pour deacutevelopper
notre outil de reacutecolte de donneacutees
Bana et Dolma (2004) ont effectueacute une eacutetude aupregraves de 77 eacutelegraveves australiens de leacutequivalent
9H suisse Leur but eacutetait de comparer les reacutesultats destimation dopeacuterations (avec des entiers
deacutecimaux et fractions) et les reacutesultats de calcul de ces mecircmes opeacuterations Il en ressort que
pour un mecircme calcul les eacutelegraveves ont moins de reacuteussite dans lestimation du reacutesultat quavec
lutilisation proceacutedurale des algorithmes de calcul Les auteurs suggegraverent comme explication
de cette diffeacuterence le fait que lenseignement porte principalement sur les regravegles de calcul et
est moins orienteacute sur lestimation de reacutesultats dopeacuterations Degraves lors ils proposent que
lestimation soit enseigneacute agrave chaque fois que cela est possible afin de deacutevelopper le sens des
nombres (number sense) chez les eacutelegraveves Ceci impliquerait une plus grande emphase porteacutee
en classe sur le calcul reacutefleacutechi plutocirct que sur le calcul algorithmique Lampleur de ce
meacutemoire ne nous a pas permis dapprofondir cette facette de la compreacutehension des nombres
De leur cocircteacute Muir et Livy (2012) ont effectueacute une eacutetude agrave partir dune population australienne
de 80 enseignants de primaire en formation et 58 enseignants de primaire en emploi devant
reacutesoudre 49 items de niveau 10 ndash 14 ans Ils deacutecouvrent par exemple que seuls 50 des
maicirctres en emploi classent 3303 303 333 et 3033 correctement dans lordre croissant ou
que seuls 19 des maicirctres en formation obtiennent le quotient exact agrave quatre deacutecimales pregraves
de la division de 3 par 7
Plusieurs chercheurs ont identifieacute des fausses repreacutesentations (misconceptions) sur les
nombres deacutecimaux (Sackur-Grisvard amp Leacuteonard 1985 Resnick amp al 1989 Steinle 2004)
4 45 des Eacutetats-uniens 23 des Australiens et Sueacutedois 5 des Taiumlwanais
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans son eacutetude Steinle (2004) a deacuteveloppeacute des tests speacutecifiques de comparaison de paires de
nombres deacutecimaux (decimal comparison tests) Ces tests sont conccedilus de maniegravere agrave permettre
une cateacutegorisation des erreurs dune personne selon leur reacutepeacutetition et leur reacutegulariteacute Nous
nous sommes eacutegalement reacutefeacutereacutes agrave des eacutetudes effectueacutees en France (Bolon 1993 Perrin-
Glorian 1986) sur les repreacutesentations des nombres deacutecimaux drsquoeacutelegraveves de CM2 et 6egraveme
(eacutequivalent 7H et 8H en Suisse) afin deacutelaborer notre outil de reacutecolte de donneacutees
II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
Les eacutetudes de Ma (1999) et Clivaz (2011) nous ont ameneacute agrave faire la distinction entre
connaissances proceacutedurales et connaissances conceptuelles Leacutecart entre ces deux types de
connaissances a eacuteteacute eacutetudieacute par Rittle-Johnson Siegler et Alibali (2001) dans le cadre preacutecis
des nombres deacutecimaux Selon ces auteurs les connaissances proceacutedurales repreacutesentent la
capaciteacute agrave exeacutecuter des actions seacutequenceacutees (pas agrave pas) en vue de reacutesoudre des problegravemes ou
des calculs simples Ces connaissances sont lieacutees agrave des items matheacutematiques preacutecis et sont
donc difficilement transfeacuterables agrave dautres situations Les connaissances conceptuelles elles
sont la compreacutehension implicite ou explicite des principes qui sous-tendent agrave un concept ainsi
que la compreacutehension des relations avec dautres concepts Ces auteurs ont chercheacute agrave savoir si
un type de connaissances preacutecegravede lrsquoautre et sont arriveacutes agrave la conclusion que le deacuteveloppement
de ces deux types de connaissances se fait de maniegravere iteacuterative les unes ameacuteliorant les autres
et vice-versa dans un ordre chronologique non figeacute
Pour eacutevaluer les connaissances conceptuelles Rittle-Johnson et al (2001) testent la
compreacutehension de diffeacuterents concepts pris individuellement dont entre autres lampleur
relative des nombres (comparaison de nombres) et la densiteacute numeacuterique (placer un nombre
entre deux nombres donneacutes) Ils affirment que des tests eacutecrits sont suffisants et preacutefegraverent ne
pas se baser sur les explications verbales des personnes testeacutees les connaissances
conceptuelles pouvant ecirctre implicites et les enfants ne sachant pas toujours correctement
articuler leurs connaissances
Haapasalo (2003) estime pour sa part quil est tregraves difficile de pouvoir polariser ces deux
formes de connaissances dans des tests Comment peut-on sassurer que la personne reacutesout
telle ou telle question de maniegravere purement proceacutedurale ou purement conceptuelle De plus
chaque individu reacuteagit et analyse des situations de maniegravere tregraves diffeacuterente Comme le
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1060 B Favre et K Morel (mai 2014)
mentionnent McIntosh Reys et Reys (1992) le sens des nombres est tregraves personnel et est
influenceacute par le contexte et la maniegravere dont les concepts ont eacuteteacute enseigneacutes Sans
questionnement il est donc tregraves difficile de deacuteterminer si une personne met en place des
strateacutegies conceptuelles ou simplement proceacutedurales
II3 Sens des nombres
La connaissance des nombres et la connaissance des opeacuterations font partie de ce que
McIntosh et al (1992) nomment le sens des nombres (number sense) Ils le deacutefinissent
comme la compreacutehension geacuteneacuterale des nombres et des opeacuterations et la capaciteacute agrave utiliser cette
compreacutehension en fonction de la situation pour donner des justifications matheacutematiques
(make mathematical judgements) et pour deacutevelopper des strateacutegies de manipulation des
nombres et des opeacuterations
laquo Number Sense A propensity for and an ability to use numbers
and quantitative methods as a means of communicating processing
and interpreting information It results in an expectation that
numbers are useful and that mathematics has a certain regularity
(makes sense) raquo5
Dans leur cadre de reacutefeacuterence permettant de cerner le sens des nombres (cf Annexe 2)
McIntosh et al (1992) distinguent trois domaines principaux 1) la connaissance des nombres
et les aptitudes avec ceux-ci 2) la connaissance des opeacuterations et les aptitudes avec celles-ci
et 3) lapplication de ces deux domaines agrave la reacutesolution de problegravemes numeacuteriques Chacun de
ces trois niveaux est constitueacute de plusieurs composantes Entre autres pour le premier
domaine on trouve le sens de classer les nombres pour le second domaine la compreacutehension
de leffet des opeacuterations et pour le troisiegraveme la conscience des diffeacuterentes strateacutegies de
reacutesolution possibles La compreacutehension serait donc la reacutesultante dun certain nombre de
connaissances et daptitudes et serait deacutefinissable agrave travers celles-ci Nous nous sommes baseacutes
sur cette distinction pour eacutelaborer notre question de recherche qui est deacutetudier la relation
possible entre une bonne ou mauvaise connaissance des nombres et une bonne ou mauvaise
connaissance des opeacuterations
5 Traduction Sens des nombres Une aptitude et une capaciteacute agrave utiliser les nombres et des meacutethodes quantitatives dans le but de
communiquer preacuteparer et interpreacuteter de linformation Il en reacutesulte une attente que les nombres sont utiles et que les matheacutematiques ont
une certaine reacutegulariteacute (quelles font sens)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1160 B Favre et K Morel (mai 2014)
II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
Apregraves avoir deacutetermineacute le cadre geacuteneacuteral de notre recherche pour tester les deux types de
connaissances qui nous inteacuteressent nous nous sommes demandeacute quels genres derreurs
pourraient commettre les eacutelegraveves Nous nous sommes tourneacutes vers Steinle (2004) qui a eacutelaboreacute
des tests de comparaison de paires de nombres deacutecimaux et a deacutetecteacute que les enfants
pouvaient avoir un certain nombre de repreacutesentations erroneacutees sur les nombres deacutecimaux
donnant lieu agrave des choix de reacuteponses incorrects (ce quil nomme regravegle ou comportement
rule behaviour)
- regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo (longer-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus longue partie deacutecimale (contenant le plus de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
- regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo (shorter-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus courte partie deacutecimale (contenant le moins de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
Il identifie et explicite ensuite les regravegles (ou theacuteoregravemes-eacutelegraveve) que suivent les eacutelegraveves qui
aboutissent agrave ces comportements
II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
Dans ce cas les eacutelegraveves considegraverent un nombre deacutecimal comme eacutetant formeacute de deux nombres
entiers apposeacutes lun agrave cocircteacute de lautre et seacutepareacutes par une virgule
Ainsi dans la comparaison de 7281 et 76 ils comparent tout dabord le nombre placeacute avant
la virgule ici 7 consideacutereacute comme indeacutependant de celui apregraves la virgule Dans ce cas la partie
entiegravere est eacutegale pour les deux nombres agrave comparer Ils poursuivent donc leur comparaison
avec le nombre (et non les chiffres) placeacute apregraves la virgule consideacutereacute comme un nombre entier
Comme 281 contient plus de chiffres et est plus grand que 6 ils vont choisir 7281 comme
eacutetant le plus grand nombre Cette strateacutegie peut ecirctre fructueuse dans certains cas par exemple
dans la comparaison de 62603 et 625 ils choisissent correctement 62603 car 2603 est plus
grand que 25
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Brousseau (1976) preacutecise que cette regravegle des nombres entiers apparaicirct particuliegraverement
lorsque les eacutelegraveves ne sont confronteacutes quagrave des deacutecimaux de partie deacutecimale de mecircme longueur
Les eacutelegraveves construisent alors la repreacutesentation que cette partie est fixe et quil est ainsi
possible de la consideacuterer comme un nombre entier agrave part Ils ont en fait geacuteneacuteraliseacute une regravegle
qui nest correcte quavec des nombres entiers Ceci survient eacutegalement lorsque le nombre
deacutecimal est identifieacute agrave de largent Il est ainsi aiseacute pour les eacutelegraveves de comparer des centimes
Ce faisant toutefois on conforte lideacutee que la partie deacutecimale est un nombre entier Dougrave
limportance pour les enseignants de modifier les variables didactiques de maniegravere adeacutequate
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
Lors de lrsquoemploi de cette regravegle les eacutelegraveves utilisent eacutegalement la regravegle geacuteneacuterale du laquo plus long
est le plus grand raquo mais modifient leur approche lorsque les nombres contiennent des zeacuteros
apregraves la virgule Ils ont reacutealiseacute que les zeacuteros rendaient un nombre plus petit mais ils suivent
ensuite la regravegle citeacutee preacuteceacutedemment
Par exemple entre 38 et 309 ils choisiront correctement 38 comme eacutetant le plus grand car
selon eux le 0 rend le nombre 09 plus petit Par contre entre 3082 et 30804 ils commettront
la mecircme erreur que dans la regravegle preacuteceacutedente et indiqueront 30804 comme eacutetant le plus grand
nombre (car 804 gt 82)
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
Toujours dapregraves Steinle (2004) selon cette regravegle pour deacuteterminer le nombre le plus grand les
eacutelegraveves comparent les parties deacutecimales et choisissent celle qui comporte le moins de chiffres
Un nombre plus eacuteleveacute de chiffres apregraves la virgule est interpreacuteteacute comme reacuteduisant la grandeur
du nombre les centiegravemes quelle que soit leur valeur sont toujours consideacutereacutes comme eacutetant
laquo plus petits raquo que les dixiegravemes Ainsi lorsqursquoun nombre contient des centiegravemes il est
consideacutereacute plus petit qursquoun nombre qui nrsquoa que des dixiegravemes Dans la comparaison de 33 et
345 les 45 centiegravemes sont consideacutereacutes plus petits que 3 dixiegravemes et ces personnes deacutecideront
que 33 gt 345 Par contre tout en appliquant cette regravegle 375 et 38 seront compareacutes
correctement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1360 B Favre et K Morel (mai 2014)
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
Les eacutelegraveves choisissent eacutegalement le nombre le plus grand comme eacutetant celui dont la partie
deacutecimale est la plus courte mais pour une autre raison Dans le cas de cette regravegle ils font
lanalogie erroneacutee avec les fractions Ainsi 03 et 045 seront consideacutereacutes comme 13 et 145
13 eacutetant plus grand que 145 ils choisiront 03 comme eacutetant le plus grand Cette fausse
repreacutesentation apparaicirct geacuteneacuteralement apregraves que le concept de fraction a eacuteteacute introduit et il nest
donc pas exclu que des eacutelegraveves qui ne commettaient pas derreurs jusque-lagrave deacuteveloppent
soudainement cette fausse repreacutesentation
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
Dans cette fausse conception leacutelegraveve fait lanalogie entre la partie deacutecimale (non la partie
entiegravere) et les nombres neacutegatifs Elle peut en effet survenir suite agrave lintroduction de ces
derniers Pour comparer 03 et 045 leacutelegraveve assimile le fonctionnement de 3 et 45 agrave celui des
nombres neacutegatifs -3 eacutetant plus grand que -45 il conclut que 03 est plus grand que 045
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
Steinle (2004) considegravere les personnes ne commettant pas derreur comme des experts
apparents Ils sont experts jusquagrave preuve du contraire jusquagrave preuve quils utilisent une
fausse repreacutesentation qui naurait pas encore eacuteteacute deacutecouverte
Il existe en effet plusieurs algorithmes de comparaison de nombres entre eux qui peuvent ecirctre
appliqueacutes indeacutependamment de la compreacutehension du rocircle de la position de chaque chiffre dans
un nombre Ces meacutethodes fonctionnent relativement bien et pourraient ecirctre consideacutereacutees
comme expertes Les utilisateurs de ces regravegles peuvent reacutepondre agrave toutes les tacircches
notamment la comparaison correctement Il est donc aiseacute de penser quils ont une bonne
maicirctrise des nombres deacutecimaux Mais il se peut aussi quils suivent simplement un algorithme
expert de comparaison Steinle (2004) insiste sur le fait que de telles proceacutedures mecircme si
elles sont gagnantes dans un grand nombre de situations ne permettent pas agrave leacutelegraveve de
comprendre limportance du positionnement dans notre systegraveme de numeacuteration Mais surtout
elles peuvent perpeacutetuer des fausses repreacutesentations
Deux proceacutedures sont communeacutement utiliseacutees pour la comparaison
1) la comparaison de gauche agrave droite pour comparer des nombres agrave partie entiegravere
eacutegale par exemple 4205 et 435 les chiffres sont compareacutes jusquagrave ce quun chiffre soit
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1460 B Favre et K Morel (mai 2014)
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
II CADRE THEORIQUE
II1 Introduction
Une eacutetude internationale le Third International Mathematics and Science (Repeat) Study
(1999 citeacute par Steinle 2004 p 1) conduite en 1999 montre que seuls environ 50 des
enfants testeacutes de 13 ans choisissent correctement le plus petit nombre deacutecimal dune liste de
cinq nombres deacutecimaux De mecircme une eacutetude de Bana Farrell et McIntosh (1997) conclut que
la moitieacute des eacutelegraveves de 12 ans testeacutes et pregraves du quart des eacutelegraveves de 14 ans testeacutes4 pensent quil
nest pas possible dintercaler un nombre entre deux deacutecimaux successifs (par exemple entre
152 et 153) Nous nous sommes en partie inspireacutes des items de ces tests pour deacutevelopper
notre outil de reacutecolte de donneacutees
Bana et Dolma (2004) ont effectueacute une eacutetude aupregraves de 77 eacutelegraveves australiens de leacutequivalent
9H suisse Leur but eacutetait de comparer les reacutesultats destimation dopeacuterations (avec des entiers
deacutecimaux et fractions) et les reacutesultats de calcul de ces mecircmes opeacuterations Il en ressort que
pour un mecircme calcul les eacutelegraveves ont moins de reacuteussite dans lestimation du reacutesultat quavec
lutilisation proceacutedurale des algorithmes de calcul Les auteurs suggegraverent comme explication
de cette diffeacuterence le fait que lenseignement porte principalement sur les regravegles de calcul et
est moins orienteacute sur lestimation de reacutesultats dopeacuterations Degraves lors ils proposent que
lestimation soit enseigneacute agrave chaque fois que cela est possible afin de deacutevelopper le sens des
nombres (number sense) chez les eacutelegraveves Ceci impliquerait une plus grande emphase porteacutee
en classe sur le calcul reacutefleacutechi plutocirct que sur le calcul algorithmique Lampleur de ce
meacutemoire ne nous a pas permis dapprofondir cette facette de la compreacutehension des nombres
De leur cocircteacute Muir et Livy (2012) ont effectueacute une eacutetude agrave partir dune population australienne
de 80 enseignants de primaire en formation et 58 enseignants de primaire en emploi devant
reacutesoudre 49 items de niveau 10 ndash 14 ans Ils deacutecouvrent par exemple que seuls 50 des
maicirctres en emploi classent 3303 303 333 et 3033 correctement dans lordre croissant ou
que seuls 19 des maicirctres en formation obtiennent le quotient exact agrave quatre deacutecimales pregraves
de la division de 3 par 7
Plusieurs chercheurs ont identifieacute des fausses repreacutesentations (misconceptions) sur les
nombres deacutecimaux (Sackur-Grisvard amp Leacuteonard 1985 Resnick amp al 1989 Steinle 2004)
4 45 des Eacutetats-uniens 23 des Australiens et Sueacutedois 5 des Taiumlwanais
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans son eacutetude Steinle (2004) a deacuteveloppeacute des tests speacutecifiques de comparaison de paires de
nombres deacutecimaux (decimal comparison tests) Ces tests sont conccedilus de maniegravere agrave permettre
une cateacutegorisation des erreurs dune personne selon leur reacutepeacutetition et leur reacutegulariteacute Nous
nous sommes eacutegalement reacutefeacutereacutes agrave des eacutetudes effectueacutees en France (Bolon 1993 Perrin-
Glorian 1986) sur les repreacutesentations des nombres deacutecimaux drsquoeacutelegraveves de CM2 et 6egraveme
(eacutequivalent 7H et 8H en Suisse) afin deacutelaborer notre outil de reacutecolte de donneacutees
II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
Les eacutetudes de Ma (1999) et Clivaz (2011) nous ont ameneacute agrave faire la distinction entre
connaissances proceacutedurales et connaissances conceptuelles Leacutecart entre ces deux types de
connaissances a eacuteteacute eacutetudieacute par Rittle-Johnson Siegler et Alibali (2001) dans le cadre preacutecis
des nombres deacutecimaux Selon ces auteurs les connaissances proceacutedurales repreacutesentent la
capaciteacute agrave exeacutecuter des actions seacutequenceacutees (pas agrave pas) en vue de reacutesoudre des problegravemes ou
des calculs simples Ces connaissances sont lieacutees agrave des items matheacutematiques preacutecis et sont
donc difficilement transfeacuterables agrave dautres situations Les connaissances conceptuelles elles
sont la compreacutehension implicite ou explicite des principes qui sous-tendent agrave un concept ainsi
que la compreacutehension des relations avec dautres concepts Ces auteurs ont chercheacute agrave savoir si
un type de connaissances preacutecegravede lrsquoautre et sont arriveacutes agrave la conclusion que le deacuteveloppement
de ces deux types de connaissances se fait de maniegravere iteacuterative les unes ameacuteliorant les autres
et vice-versa dans un ordre chronologique non figeacute
Pour eacutevaluer les connaissances conceptuelles Rittle-Johnson et al (2001) testent la
compreacutehension de diffeacuterents concepts pris individuellement dont entre autres lampleur
relative des nombres (comparaison de nombres) et la densiteacute numeacuterique (placer un nombre
entre deux nombres donneacutes) Ils affirment que des tests eacutecrits sont suffisants et preacutefegraverent ne
pas se baser sur les explications verbales des personnes testeacutees les connaissances
conceptuelles pouvant ecirctre implicites et les enfants ne sachant pas toujours correctement
articuler leurs connaissances
Haapasalo (2003) estime pour sa part quil est tregraves difficile de pouvoir polariser ces deux
formes de connaissances dans des tests Comment peut-on sassurer que la personne reacutesout
telle ou telle question de maniegravere purement proceacutedurale ou purement conceptuelle De plus
chaque individu reacuteagit et analyse des situations de maniegravere tregraves diffeacuterente Comme le
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1060 B Favre et K Morel (mai 2014)
mentionnent McIntosh Reys et Reys (1992) le sens des nombres est tregraves personnel et est
influenceacute par le contexte et la maniegravere dont les concepts ont eacuteteacute enseigneacutes Sans
questionnement il est donc tregraves difficile de deacuteterminer si une personne met en place des
strateacutegies conceptuelles ou simplement proceacutedurales
II3 Sens des nombres
La connaissance des nombres et la connaissance des opeacuterations font partie de ce que
McIntosh et al (1992) nomment le sens des nombres (number sense) Ils le deacutefinissent
comme la compreacutehension geacuteneacuterale des nombres et des opeacuterations et la capaciteacute agrave utiliser cette
compreacutehension en fonction de la situation pour donner des justifications matheacutematiques
(make mathematical judgements) et pour deacutevelopper des strateacutegies de manipulation des
nombres et des opeacuterations
laquo Number Sense A propensity for and an ability to use numbers
and quantitative methods as a means of communicating processing
and interpreting information It results in an expectation that
numbers are useful and that mathematics has a certain regularity
(makes sense) raquo5
Dans leur cadre de reacutefeacuterence permettant de cerner le sens des nombres (cf Annexe 2)
McIntosh et al (1992) distinguent trois domaines principaux 1) la connaissance des nombres
et les aptitudes avec ceux-ci 2) la connaissance des opeacuterations et les aptitudes avec celles-ci
et 3) lapplication de ces deux domaines agrave la reacutesolution de problegravemes numeacuteriques Chacun de
ces trois niveaux est constitueacute de plusieurs composantes Entre autres pour le premier
domaine on trouve le sens de classer les nombres pour le second domaine la compreacutehension
de leffet des opeacuterations et pour le troisiegraveme la conscience des diffeacuterentes strateacutegies de
reacutesolution possibles La compreacutehension serait donc la reacutesultante dun certain nombre de
connaissances et daptitudes et serait deacutefinissable agrave travers celles-ci Nous nous sommes baseacutes
sur cette distinction pour eacutelaborer notre question de recherche qui est deacutetudier la relation
possible entre une bonne ou mauvaise connaissance des nombres et une bonne ou mauvaise
connaissance des opeacuterations
5 Traduction Sens des nombres Une aptitude et une capaciteacute agrave utiliser les nombres et des meacutethodes quantitatives dans le but de
communiquer preacuteparer et interpreacuteter de linformation Il en reacutesulte une attente que les nombres sont utiles et que les matheacutematiques ont
une certaine reacutegulariteacute (quelles font sens)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1160 B Favre et K Morel (mai 2014)
II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
Apregraves avoir deacutetermineacute le cadre geacuteneacuteral de notre recherche pour tester les deux types de
connaissances qui nous inteacuteressent nous nous sommes demandeacute quels genres derreurs
pourraient commettre les eacutelegraveves Nous nous sommes tourneacutes vers Steinle (2004) qui a eacutelaboreacute
des tests de comparaison de paires de nombres deacutecimaux et a deacutetecteacute que les enfants
pouvaient avoir un certain nombre de repreacutesentations erroneacutees sur les nombres deacutecimaux
donnant lieu agrave des choix de reacuteponses incorrects (ce quil nomme regravegle ou comportement
rule behaviour)
- regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo (longer-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus longue partie deacutecimale (contenant le plus de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
- regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo (shorter-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus courte partie deacutecimale (contenant le moins de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
Il identifie et explicite ensuite les regravegles (ou theacuteoregravemes-eacutelegraveve) que suivent les eacutelegraveves qui
aboutissent agrave ces comportements
II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
Dans ce cas les eacutelegraveves considegraverent un nombre deacutecimal comme eacutetant formeacute de deux nombres
entiers apposeacutes lun agrave cocircteacute de lautre et seacutepareacutes par une virgule
Ainsi dans la comparaison de 7281 et 76 ils comparent tout dabord le nombre placeacute avant
la virgule ici 7 consideacutereacute comme indeacutependant de celui apregraves la virgule Dans ce cas la partie
entiegravere est eacutegale pour les deux nombres agrave comparer Ils poursuivent donc leur comparaison
avec le nombre (et non les chiffres) placeacute apregraves la virgule consideacutereacute comme un nombre entier
Comme 281 contient plus de chiffres et est plus grand que 6 ils vont choisir 7281 comme
eacutetant le plus grand nombre Cette strateacutegie peut ecirctre fructueuse dans certains cas par exemple
dans la comparaison de 62603 et 625 ils choisissent correctement 62603 car 2603 est plus
grand que 25
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Brousseau (1976) preacutecise que cette regravegle des nombres entiers apparaicirct particuliegraverement
lorsque les eacutelegraveves ne sont confronteacutes quagrave des deacutecimaux de partie deacutecimale de mecircme longueur
Les eacutelegraveves construisent alors la repreacutesentation que cette partie est fixe et quil est ainsi
possible de la consideacuterer comme un nombre entier agrave part Ils ont en fait geacuteneacuteraliseacute une regravegle
qui nest correcte quavec des nombres entiers Ceci survient eacutegalement lorsque le nombre
deacutecimal est identifieacute agrave de largent Il est ainsi aiseacute pour les eacutelegraveves de comparer des centimes
Ce faisant toutefois on conforte lideacutee que la partie deacutecimale est un nombre entier Dougrave
limportance pour les enseignants de modifier les variables didactiques de maniegravere adeacutequate
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
Lors de lrsquoemploi de cette regravegle les eacutelegraveves utilisent eacutegalement la regravegle geacuteneacuterale du laquo plus long
est le plus grand raquo mais modifient leur approche lorsque les nombres contiennent des zeacuteros
apregraves la virgule Ils ont reacutealiseacute que les zeacuteros rendaient un nombre plus petit mais ils suivent
ensuite la regravegle citeacutee preacuteceacutedemment
Par exemple entre 38 et 309 ils choisiront correctement 38 comme eacutetant le plus grand car
selon eux le 0 rend le nombre 09 plus petit Par contre entre 3082 et 30804 ils commettront
la mecircme erreur que dans la regravegle preacuteceacutedente et indiqueront 30804 comme eacutetant le plus grand
nombre (car 804 gt 82)
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
Toujours dapregraves Steinle (2004) selon cette regravegle pour deacuteterminer le nombre le plus grand les
eacutelegraveves comparent les parties deacutecimales et choisissent celle qui comporte le moins de chiffres
Un nombre plus eacuteleveacute de chiffres apregraves la virgule est interpreacuteteacute comme reacuteduisant la grandeur
du nombre les centiegravemes quelle que soit leur valeur sont toujours consideacutereacutes comme eacutetant
laquo plus petits raquo que les dixiegravemes Ainsi lorsqursquoun nombre contient des centiegravemes il est
consideacutereacute plus petit qursquoun nombre qui nrsquoa que des dixiegravemes Dans la comparaison de 33 et
345 les 45 centiegravemes sont consideacutereacutes plus petits que 3 dixiegravemes et ces personnes deacutecideront
que 33 gt 345 Par contre tout en appliquant cette regravegle 375 et 38 seront compareacutes
correctement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1360 B Favre et K Morel (mai 2014)
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
Les eacutelegraveves choisissent eacutegalement le nombre le plus grand comme eacutetant celui dont la partie
deacutecimale est la plus courte mais pour une autre raison Dans le cas de cette regravegle ils font
lanalogie erroneacutee avec les fractions Ainsi 03 et 045 seront consideacutereacutes comme 13 et 145
13 eacutetant plus grand que 145 ils choisiront 03 comme eacutetant le plus grand Cette fausse
repreacutesentation apparaicirct geacuteneacuteralement apregraves que le concept de fraction a eacuteteacute introduit et il nest
donc pas exclu que des eacutelegraveves qui ne commettaient pas derreurs jusque-lagrave deacuteveloppent
soudainement cette fausse repreacutesentation
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
Dans cette fausse conception leacutelegraveve fait lanalogie entre la partie deacutecimale (non la partie
entiegravere) et les nombres neacutegatifs Elle peut en effet survenir suite agrave lintroduction de ces
derniers Pour comparer 03 et 045 leacutelegraveve assimile le fonctionnement de 3 et 45 agrave celui des
nombres neacutegatifs -3 eacutetant plus grand que -45 il conclut que 03 est plus grand que 045
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
Steinle (2004) considegravere les personnes ne commettant pas derreur comme des experts
apparents Ils sont experts jusquagrave preuve du contraire jusquagrave preuve quils utilisent une
fausse repreacutesentation qui naurait pas encore eacuteteacute deacutecouverte
Il existe en effet plusieurs algorithmes de comparaison de nombres entre eux qui peuvent ecirctre
appliqueacutes indeacutependamment de la compreacutehension du rocircle de la position de chaque chiffre dans
un nombre Ces meacutethodes fonctionnent relativement bien et pourraient ecirctre consideacutereacutees
comme expertes Les utilisateurs de ces regravegles peuvent reacutepondre agrave toutes les tacircches
notamment la comparaison correctement Il est donc aiseacute de penser quils ont une bonne
maicirctrise des nombres deacutecimaux Mais il se peut aussi quils suivent simplement un algorithme
expert de comparaison Steinle (2004) insiste sur le fait que de telles proceacutedures mecircme si
elles sont gagnantes dans un grand nombre de situations ne permettent pas agrave leacutelegraveve de
comprendre limportance du positionnement dans notre systegraveme de numeacuteration Mais surtout
elles peuvent perpeacutetuer des fausses repreacutesentations
Deux proceacutedures sont communeacutement utiliseacutees pour la comparaison
1) la comparaison de gauche agrave droite pour comparer des nombres agrave partie entiegravere
eacutegale par exemple 4205 et 435 les chiffres sont compareacutes jusquagrave ce quun chiffre soit
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1460 B Favre et K Morel (mai 2014)
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
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- II CADRE THEORIQUE
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- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
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- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
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- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
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- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
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- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
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- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
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- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
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- III METHODOLOGIE
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- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
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- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
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- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
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- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
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- IV3 Attribution des points
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- V ANALYSE DES RESULTATS
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- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
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- VI CONCLUSION
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- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
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- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
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- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
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- IX RESUME
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Dans son eacutetude Steinle (2004) a deacuteveloppeacute des tests speacutecifiques de comparaison de paires de
nombres deacutecimaux (decimal comparison tests) Ces tests sont conccedilus de maniegravere agrave permettre
une cateacutegorisation des erreurs dune personne selon leur reacutepeacutetition et leur reacutegulariteacute Nous
nous sommes eacutegalement reacutefeacutereacutes agrave des eacutetudes effectueacutees en France (Bolon 1993 Perrin-
Glorian 1986) sur les repreacutesentations des nombres deacutecimaux drsquoeacutelegraveves de CM2 et 6egraveme
(eacutequivalent 7H et 8H en Suisse) afin deacutelaborer notre outil de reacutecolte de donneacutees
II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
Les eacutetudes de Ma (1999) et Clivaz (2011) nous ont ameneacute agrave faire la distinction entre
connaissances proceacutedurales et connaissances conceptuelles Leacutecart entre ces deux types de
connaissances a eacuteteacute eacutetudieacute par Rittle-Johnson Siegler et Alibali (2001) dans le cadre preacutecis
des nombres deacutecimaux Selon ces auteurs les connaissances proceacutedurales repreacutesentent la
capaciteacute agrave exeacutecuter des actions seacutequenceacutees (pas agrave pas) en vue de reacutesoudre des problegravemes ou
des calculs simples Ces connaissances sont lieacutees agrave des items matheacutematiques preacutecis et sont
donc difficilement transfeacuterables agrave dautres situations Les connaissances conceptuelles elles
sont la compreacutehension implicite ou explicite des principes qui sous-tendent agrave un concept ainsi
que la compreacutehension des relations avec dautres concepts Ces auteurs ont chercheacute agrave savoir si
un type de connaissances preacutecegravede lrsquoautre et sont arriveacutes agrave la conclusion que le deacuteveloppement
de ces deux types de connaissances se fait de maniegravere iteacuterative les unes ameacuteliorant les autres
et vice-versa dans un ordre chronologique non figeacute
Pour eacutevaluer les connaissances conceptuelles Rittle-Johnson et al (2001) testent la
compreacutehension de diffeacuterents concepts pris individuellement dont entre autres lampleur
relative des nombres (comparaison de nombres) et la densiteacute numeacuterique (placer un nombre
entre deux nombres donneacutes) Ils affirment que des tests eacutecrits sont suffisants et preacutefegraverent ne
pas se baser sur les explications verbales des personnes testeacutees les connaissances
conceptuelles pouvant ecirctre implicites et les enfants ne sachant pas toujours correctement
articuler leurs connaissances
Haapasalo (2003) estime pour sa part quil est tregraves difficile de pouvoir polariser ces deux
formes de connaissances dans des tests Comment peut-on sassurer que la personne reacutesout
telle ou telle question de maniegravere purement proceacutedurale ou purement conceptuelle De plus
chaque individu reacuteagit et analyse des situations de maniegravere tregraves diffeacuterente Comme le
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1060 B Favre et K Morel (mai 2014)
mentionnent McIntosh Reys et Reys (1992) le sens des nombres est tregraves personnel et est
influenceacute par le contexte et la maniegravere dont les concepts ont eacuteteacute enseigneacutes Sans
questionnement il est donc tregraves difficile de deacuteterminer si une personne met en place des
strateacutegies conceptuelles ou simplement proceacutedurales
II3 Sens des nombres
La connaissance des nombres et la connaissance des opeacuterations font partie de ce que
McIntosh et al (1992) nomment le sens des nombres (number sense) Ils le deacutefinissent
comme la compreacutehension geacuteneacuterale des nombres et des opeacuterations et la capaciteacute agrave utiliser cette
compreacutehension en fonction de la situation pour donner des justifications matheacutematiques
(make mathematical judgements) et pour deacutevelopper des strateacutegies de manipulation des
nombres et des opeacuterations
laquo Number Sense A propensity for and an ability to use numbers
and quantitative methods as a means of communicating processing
and interpreting information It results in an expectation that
numbers are useful and that mathematics has a certain regularity
(makes sense) raquo5
Dans leur cadre de reacutefeacuterence permettant de cerner le sens des nombres (cf Annexe 2)
McIntosh et al (1992) distinguent trois domaines principaux 1) la connaissance des nombres
et les aptitudes avec ceux-ci 2) la connaissance des opeacuterations et les aptitudes avec celles-ci
et 3) lapplication de ces deux domaines agrave la reacutesolution de problegravemes numeacuteriques Chacun de
ces trois niveaux est constitueacute de plusieurs composantes Entre autres pour le premier
domaine on trouve le sens de classer les nombres pour le second domaine la compreacutehension
de leffet des opeacuterations et pour le troisiegraveme la conscience des diffeacuterentes strateacutegies de
reacutesolution possibles La compreacutehension serait donc la reacutesultante dun certain nombre de
connaissances et daptitudes et serait deacutefinissable agrave travers celles-ci Nous nous sommes baseacutes
sur cette distinction pour eacutelaborer notre question de recherche qui est deacutetudier la relation
possible entre une bonne ou mauvaise connaissance des nombres et une bonne ou mauvaise
connaissance des opeacuterations
5 Traduction Sens des nombres Une aptitude et une capaciteacute agrave utiliser les nombres et des meacutethodes quantitatives dans le but de
communiquer preacuteparer et interpreacuteter de linformation Il en reacutesulte une attente que les nombres sont utiles et que les matheacutematiques ont
une certaine reacutegulariteacute (quelles font sens)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1160 B Favre et K Morel (mai 2014)
II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
Apregraves avoir deacutetermineacute le cadre geacuteneacuteral de notre recherche pour tester les deux types de
connaissances qui nous inteacuteressent nous nous sommes demandeacute quels genres derreurs
pourraient commettre les eacutelegraveves Nous nous sommes tourneacutes vers Steinle (2004) qui a eacutelaboreacute
des tests de comparaison de paires de nombres deacutecimaux et a deacutetecteacute que les enfants
pouvaient avoir un certain nombre de repreacutesentations erroneacutees sur les nombres deacutecimaux
donnant lieu agrave des choix de reacuteponses incorrects (ce quil nomme regravegle ou comportement
rule behaviour)
- regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo (longer-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus longue partie deacutecimale (contenant le plus de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
- regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo (shorter-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus courte partie deacutecimale (contenant le moins de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
Il identifie et explicite ensuite les regravegles (ou theacuteoregravemes-eacutelegraveve) que suivent les eacutelegraveves qui
aboutissent agrave ces comportements
II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
Dans ce cas les eacutelegraveves considegraverent un nombre deacutecimal comme eacutetant formeacute de deux nombres
entiers apposeacutes lun agrave cocircteacute de lautre et seacutepareacutes par une virgule
Ainsi dans la comparaison de 7281 et 76 ils comparent tout dabord le nombre placeacute avant
la virgule ici 7 consideacutereacute comme indeacutependant de celui apregraves la virgule Dans ce cas la partie
entiegravere est eacutegale pour les deux nombres agrave comparer Ils poursuivent donc leur comparaison
avec le nombre (et non les chiffres) placeacute apregraves la virgule consideacutereacute comme un nombre entier
Comme 281 contient plus de chiffres et est plus grand que 6 ils vont choisir 7281 comme
eacutetant le plus grand nombre Cette strateacutegie peut ecirctre fructueuse dans certains cas par exemple
dans la comparaison de 62603 et 625 ils choisissent correctement 62603 car 2603 est plus
grand que 25
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Brousseau (1976) preacutecise que cette regravegle des nombres entiers apparaicirct particuliegraverement
lorsque les eacutelegraveves ne sont confronteacutes quagrave des deacutecimaux de partie deacutecimale de mecircme longueur
Les eacutelegraveves construisent alors la repreacutesentation que cette partie est fixe et quil est ainsi
possible de la consideacuterer comme un nombre entier agrave part Ils ont en fait geacuteneacuteraliseacute une regravegle
qui nest correcte quavec des nombres entiers Ceci survient eacutegalement lorsque le nombre
deacutecimal est identifieacute agrave de largent Il est ainsi aiseacute pour les eacutelegraveves de comparer des centimes
Ce faisant toutefois on conforte lideacutee que la partie deacutecimale est un nombre entier Dougrave
limportance pour les enseignants de modifier les variables didactiques de maniegravere adeacutequate
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
Lors de lrsquoemploi de cette regravegle les eacutelegraveves utilisent eacutegalement la regravegle geacuteneacuterale du laquo plus long
est le plus grand raquo mais modifient leur approche lorsque les nombres contiennent des zeacuteros
apregraves la virgule Ils ont reacutealiseacute que les zeacuteros rendaient un nombre plus petit mais ils suivent
ensuite la regravegle citeacutee preacuteceacutedemment
Par exemple entre 38 et 309 ils choisiront correctement 38 comme eacutetant le plus grand car
selon eux le 0 rend le nombre 09 plus petit Par contre entre 3082 et 30804 ils commettront
la mecircme erreur que dans la regravegle preacuteceacutedente et indiqueront 30804 comme eacutetant le plus grand
nombre (car 804 gt 82)
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
Toujours dapregraves Steinle (2004) selon cette regravegle pour deacuteterminer le nombre le plus grand les
eacutelegraveves comparent les parties deacutecimales et choisissent celle qui comporte le moins de chiffres
Un nombre plus eacuteleveacute de chiffres apregraves la virgule est interpreacuteteacute comme reacuteduisant la grandeur
du nombre les centiegravemes quelle que soit leur valeur sont toujours consideacutereacutes comme eacutetant
laquo plus petits raquo que les dixiegravemes Ainsi lorsqursquoun nombre contient des centiegravemes il est
consideacutereacute plus petit qursquoun nombre qui nrsquoa que des dixiegravemes Dans la comparaison de 33 et
345 les 45 centiegravemes sont consideacutereacutes plus petits que 3 dixiegravemes et ces personnes deacutecideront
que 33 gt 345 Par contre tout en appliquant cette regravegle 375 et 38 seront compareacutes
correctement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1360 B Favre et K Morel (mai 2014)
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
Les eacutelegraveves choisissent eacutegalement le nombre le plus grand comme eacutetant celui dont la partie
deacutecimale est la plus courte mais pour une autre raison Dans le cas de cette regravegle ils font
lanalogie erroneacutee avec les fractions Ainsi 03 et 045 seront consideacutereacutes comme 13 et 145
13 eacutetant plus grand que 145 ils choisiront 03 comme eacutetant le plus grand Cette fausse
repreacutesentation apparaicirct geacuteneacuteralement apregraves que le concept de fraction a eacuteteacute introduit et il nest
donc pas exclu que des eacutelegraveves qui ne commettaient pas derreurs jusque-lagrave deacuteveloppent
soudainement cette fausse repreacutesentation
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
Dans cette fausse conception leacutelegraveve fait lanalogie entre la partie deacutecimale (non la partie
entiegravere) et les nombres neacutegatifs Elle peut en effet survenir suite agrave lintroduction de ces
derniers Pour comparer 03 et 045 leacutelegraveve assimile le fonctionnement de 3 et 45 agrave celui des
nombres neacutegatifs -3 eacutetant plus grand que -45 il conclut que 03 est plus grand que 045
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
Steinle (2004) considegravere les personnes ne commettant pas derreur comme des experts
apparents Ils sont experts jusquagrave preuve du contraire jusquagrave preuve quils utilisent une
fausse repreacutesentation qui naurait pas encore eacuteteacute deacutecouverte
Il existe en effet plusieurs algorithmes de comparaison de nombres entre eux qui peuvent ecirctre
appliqueacutes indeacutependamment de la compreacutehension du rocircle de la position de chaque chiffre dans
un nombre Ces meacutethodes fonctionnent relativement bien et pourraient ecirctre consideacutereacutees
comme expertes Les utilisateurs de ces regravegles peuvent reacutepondre agrave toutes les tacircches
notamment la comparaison correctement Il est donc aiseacute de penser quils ont une bonne
maicirctrise des nombres deacutecimaux Mais il se peut aussi quils suivent simplement un algorithme
expert de comparaison Steinle (2004) insiste sur le fait que de telles proceacutedures mecircme si
elles sont gagnantes dans un grand nombre de situations ne permettent pas agrave leacutelegraveve de
comprendre limportance du positionnement dans notre systegraveme de numeacuteration Mais surtout
elles peuvent perpeacutetuer des fausses repreacutesentations
Deux proceacutedures sont communeacutement utiliseacutees pour la comparaison
1) la comparaison de gauche agrave droite pour comparer des nombres agrave partie entiegravere
eacutegale par exemple 4205 et 435 les chiffres sont compareacutes jusquagrave ce quun chiffre soit
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1460 B Favre et K Morel (mai 2014)
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Steinle V (2004) Changes with age in studentsrsquo misconceptions of decimal numbers
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
mentionnent McIntosh Reys et Reys (1992) le sens des nombres est tregraves personnel et est
influenceacute par le contexte et la maniegravere dont les concepts ont eacuteteacute enseigneacutes Sans
questionnement il est donc tregraves difficile de deacuteterminer si une personne met en place des
strateacutegies conceptuelles ou simplement proceacutedurales
II3 Sens des nombres
La connaissance des nombres et la connaissance des opeacuterations font partie de ce que
McIntosh et al (1992) nomment le sens des nombres (number sense) Ils le deacutefinissent
comme la compreacutehension geacuteneacuterale des nombres et des opeacuterations et la capaciteacute agrave utiliser cette
compreacutehension en fonction de la situation pour donner des justifications matheacutematiques
(make mathematical judgements) et pour deacutevelopper des strateacutegies de manipulation des
nombres et des opeacuterations
laquo Number Sense A propensity for and an ability to use numbers
and quantitative methods as a means of communicating processing
and interpreting information It results in an expectation that
numbers are useful and that mathematics has a certain regularity
(makes sense) raquo5
Dans leur cadre de reacutefeacuterence permettant de cerner le sens des nombres (cf Annexe 2)
McIntosh et al (1992) distinguent trois domaines principaux 1) la connaissance des nombres
et les aptitudes avec ceux-ci 2) la connaissance des opeacuterations et les aptitudes avec celles-ci
et 3) lapplication de ces deux domaines agrave la reacutesolution de problegravemes numeacuteriques Chacun de
ces trois niveaux est constitueacute de plusieurs composantes Entre autres pour le premier
domaine on trouve le sens de classer les nombres pour le second domaine la compreacutehension
de leffet des opeacuterations et pour le troisiegraveme la conscience des diffeacuterentes strateacutegies de
reacutesolution possibles La compreacutehension serait donc la reacutesultante dun certain nombre de
connaissances et daptitudes et serait deacutefinissable agrave travers celles-ci Nous nous sommes baseacutes
sur cette distinction pour eacutelaborer notre question de recherche qui est deacutetudier la relation
possible entre une bonne ou mauvaise connaissance des nombres et une bonne ou mauvaise
connaissance des opeacuterations
5 Traduction Sens des nombres Une aptitude et une capaciteacute agrave utiliser les nombres et des meacutethodes quantitatives dans le but de
communiquer preacuteparer et interpreacuteter de linformation Il en reacutesulte une attente que les nombres sont utiles et que les matheacutematiques ont
une certaine reacutegulariteacute (quelles font sens)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1160 B Favre et K Morel (mai 2014)
II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
Apregraves avoir deacutetermineacute le cadre geacuteneacuteral de notre recherche pour tester les deux types de
connaissances qui nous inteacuteressent nous nous sommes demandeacute quels genres derreurs
pourraient commettre les eacutelegraveves Nous nous sommes tourneacutes vers Steinle (2004) qui a eacutelaboreacute
des tests de comparaison de paires de nombres deacutecimaux et a deacutetecteacute que les enfants
pouvaient avoir un certain nombre de repreacutesentations erroneacutees sur les nombres deacutecimaux
donnant lieu agrave des choix de reacuteponses incorrects (ce quil nomme regravegle ou comportement
rule behaviour)
- regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo (longer-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus longue partie deacutecimale (contenant le plus de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
- regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo (shorter-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus courte partie deacutecimale (contenant le moins de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
Il identifie et explicite ensuite les regravegles (ou theacuteoregravemes-eacutelegraveve) que suivent les eacutelegraveves qui
aboutissent agrave ces comportements
II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
Dans ce cas les eacutelegraveves considegraverent un nombre deacutecimal comme eacutetant formeacute de deux nombres
entiers apposeacutes lun agrave cocircteacute de lautre et seacutepareacutes par une virgule
Ainsi dans la comparaison de 7281 et 76 ils comparent tout dabord le nombre placeacute avant
la virgule ici 7 consideacutereacute comme indeacutependant de celui apregraves la virgule Dans ce cas la partie
entiegravere est eacutegale pour les deux nombres agrave comparer Ils poursuivent donc leur comparaison
avec le nombre (et non les chiffres) placeacute apregraves la virgule consideacutereacute comme un nombre entier
Comme 281 contient plus de chiffres et est plus grand que 6 ils vont choisir 7281 comme
eacutetant le plus grand nombre Cette strateacutegie peut ecirctre fructueuse dans certains cas par exemple
dans la comparaison de 62603 et 625 ils choisissent correctement 62603 car 2603 est plus
grand que 25
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Brousseau (1976) preacutecise que cette regravegle des nombres entiers apparaicirct particuliegraverement
lorsque les eacutelegraveves ne sont confronteacutes quagrave des deacutecimaux de partie deacutecimale de mecircme longueur
Les eacutelegraveves construisent alors la repreacutesentation que cette partie est fixe et quil est ainsi
possible de la consideacuterer comme un nombre entier agrave part Ils ont en fait geacuteneacuteraliseacute une regravegle
qui nest correcte quavec des nombres entiers Ceci survient eacutegalement lorsque le nombre
deacutecimal est identifieacute agrave de largent Il est ainsi aiseacute pour les eacutelegraveves de comparer des centimes
Ce faisant toutefois on conforte lideacutee que la partie deacutecimale est un nombre entier Dougrave
limportance pour les enseignants de modifier les variables didactiques de maniegravere adeacutequate
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
Lors de lrsquoemploi de cette regravegle les eacutelegraveves utilisent eacutegalement la regravegle geacuteneacuterale du laquo plus long
est le plus grand raquo mais modifient leur approche lorsque les nombres contiennent des zeacuteros
apregraves la virgule Ils ont reacutealiseacute que les zeacuteros rendaient un nombre plus petit mais ils suivent
ensuite la regravegle citeacutee preacuteceacutedemment
Par exemple entre 38 et 309 ils choisiront correctement 38 comme eacutetant le plus grand car
selon eux le 0 rend le nombre 09 plus petit Par contre entre 3082 et 30804 ils commettront
la mecircme erreur que dans la regravegle preacuteceacutedente et indiqueront 30804 comme eacutetant le plus grand
nombre (car 804 gt 82)
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
Toujours dapregraves Steinle (2004) selon cette regravegle pour deacuteterminer le nombre le plus grand les
eacutelegraveves comparent les parties deacutecimales et choisissent celle qui comporte le moins de chiffres
Un nombre plus eacuteleveacute de chiffres apregraves la virgule est interpreacuteteacute comme reacuteduisant la grandeur
du nombre les centiegravemes quelle que soit leur valeur sont toujours consideacutereacutes comme eacutetant
laquo plus petits raquo que les dixiegravemes Ainsi lorsqursquoun nombre contient des centiegravemes il est
consideacutereacute plus petit qursquoun nombre qui nrsquoa que des dixiegravemes Dans la comparaison de 33 et
345 les 45 centiegravemes sont consideacutereacutes plus petits que 3 dixiegravemes et ces personnes deacutecideront
que 33 gt 345 Par contre tout en appliquant cette regravegle 375 et 38 seront compareacutes
correctement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1360 B Favre et K Morel (mai 2014)
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
Les eacutelegraveves choisissent eacutegalement le nombre le plus grand comme eacutetant celui dont la partie
deacutecimale est la plus courte mais pour une autre raison Dans le cas de cette regravegle ils font
lanalogie erroneacutee avec les fractions Ainsi 03 et 045 seront consideacutereacutes comme 13 et 145
13 eacutetant plus grand que 145 ils choisiront 03 comme eacutetant le plus grand Cette fausse
repreacutesentation apparaicirct geacuteneacuteralement apregraves que le concept de fraction a eacuteteacute introduit et il nest
donc pas exclu que des eacutelegraveves qui ne commettaient pas derreurs jusque-lagrave deacuteveloppent
soudainement cette fausse repreacutesentation
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
Dans cette fausse conception leacutelegraveve fait lanalogie entre la partie deacutecimale (non la partie
entiegravere) et les nombres neacutegatifs Elle peut en effet survenir suite agrave lintroduction de ces
derniers Pour comparer 03 et 045 leacutelegraveve assimile le fonctionnement de 3 et 45 agrave celui des
nombres neacutegatifs -3 eacutetant plus grand que -45 il conclut que 03 est plus grand que 045
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
Steinle (2004) considegravere les personnes ne commettant pas derreur comme des experts
apparents Ils sont experts jusquagrave preuve du contraire jusquagrave preuve quils utilisent une
fausse repreacutesentation qui naurait pas encore eacuteteacute deacutecouverte
Il existe en effet plusieurs algorithmes de comparaison de nombres entre eux qui peuvent ecirctre
appliqueacutes indeacutependamment de la compreacutehension du rocircle de la position de chaque chiffre dans
un nombre Ces meacutethodes fonctionnent relativement bien et pourraient ecirctre consideacutereacutees
comme expertes Les utilisateurs de ces regravegles peuvent reacutepondre agrave toutes les tacircches
notamment la comparaison correctement Il est donc aiseacute de penser quils ont une bonne
maicirctrise des nombres deacutecimaux Mais il se peut aussi quils suivent simplement un algorithme
expert de comparaison Steinle (2004) insiste sur le fait que de telles proceacutedures mecircme si
elles sont gagnantes dans un grand nombre de situations ne permettent pas agrave leacutelegraveve de
comprendre limportance du positionnement dans notre systegraveme de numeacuteration Mais surtout
elles peuvent perpeacutetuer des fausses repreacutesentations
Deux proceacutedures sont communeacutement utiliseacutees pour la comparaison
1) la comparaison de gauche agrave droite pour comparer des nombres agrave partie entiegravere
eacutegale par exemple 4205 et 435 les chiffres sont compareacutes jusquagrave ce quun chiffre soit
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1460 B Favre et K Morel (mai 2014)
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
Apregraves avoir deacutetermineacute le cadre geacuteneacuteral de notre recherche pour tester les deux types de
connaissances qui nous inteacuteressent nous nous sommes demandeacute quels genres derreurs
pourraient commettre les eacutelegraveves Nous nous sommes tourneacutes vers Steinle (2004) qui a eacutelaboreacute
des tests de comparaison de paires de nombres deacutecimaux et a deacutetecteacute que les enfants
pouvaient avoir un certain nombre de repreacutesentations erroneacutees sur les nombres deacutecimaux
donnant lieu agrave des choix de reacuteponses incorrects (ce quil nomme regravegle ou comportement
rule behaviour)
- regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo (longer-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus longue partie deacutecimale (contenant le plus de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
- regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo (shorter-is-larger rule behaviour) leacutelegraveve choisit
systeacutematiquement le nombre ayant la plus courte partie deacutecimale (contenant le moins de
chiffres) comme eacutetant le plus grand
Il identifie et explicite ensuite les regravegles (ou theacuteoregravemes-eacutelegraveve) que suivent les eacutelegraveves qui
aboutissent agrave ces comportements
II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
Dans ce cas les eacutelegraveves considegraverent un nombre deacutecimal comme eacutetant formeacute de deux nombres
entiers apposeacutes lun agrave cocircteacute de lautre et seacutepareacutes par une virgule
Ainsi dans la comparaison de 7281 et 76 ils comparent tout dabord le nombre placeacute avant
la virgule ici 7 consideacutereacute comme indeacutependant de celui apregraves la virgule Dans ce cas la partie
entiegravere est eacutegale pour les deux nombres agrave comparer Ils poursuivent donc leur comparaison
avec le nombre (et non les chiffres) placeacute apregraves la virgule consideacutereacute comme un nombre entier
Comme 281 contient plus de chiffres et est plus grand que 6 ils vont choisir 7281 comme
eacutetant le plus grand nombre Cette strateacutegie peut ecirctre fructueuse dans certains cas par exemple
dans la comparaison de 62603 et 625 ils choisissent correctement 62603 car 2603 est plus
grand que 25
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Brousseau (1976) preacutecise que cette regravegle des nombres entiers apparaicirct particuliegraverement
lorsque les eacutelegraveves ne sont confronteacutes quagrave des deacutecimaux de partie deacutecimale de mecircme longueur
Les eacutelegraveves construisent alors la repreacutesentation que cette partie est fixe et quil est ainsi
possible de la consideacuterer comme un nombre entier agrave part Ils ont en fait geacuteneacuteraliseacute une regravegle
qui nest correcte quavec des nombres entiers Ceci survient eacutegalement lorsque le nombre
deacutecimal est identifieacute agrave de largent Il est ainsi aiseacute pour les eacutelegraveves de comparer des centimes
Ce faisant toutefois on conforte lideacutee que la partie deacutecimale est un nombre entier Dougrave
limportance pour les enseignants de modifier les variables didactiques de maniegravere adeacutequate
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
Lors de lrsquoemploi de cette regravegle les eacutelegraveves utilisent eacutegalement la regravegle geacuteneacuterale du laquo plus long
est le plus grand raquo mais modifient leur approche lorsque les nombres contiennent des zeacuteros
apregraves la virgule Ils ont reacutealiseacute que les zeacuteros rendaient un nombre plus petit mais ils suivent
ensuite la regravegle citeacutee preacuteceacutedemment
Par exemple entre 38 et 309 ils choisiront correctement 38 comme eacutetant le plus grand car
selon eux le 0 rend le nombre 09 plus petit Par contre entre 3082 et 30804 ils commettront
la mecircme erreur que dans la regravegle preacuteceacutedente et indiqueront 30804 comme eacutetant le plus grand
nombre (car 804 gt 82)
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
Toujours dapregraves Steinle (2004) selon cette regravegle pour deacuteterminer le nombre le plus grand les
eacutelegraveves comparent les parties deacutecimales et choisissent celle qui comporte le moins de chiffres
Un nombre plus eacuteleveacute de chiffres apregraves la virgule est interpreacuteteacute comme reacuteduisant la grandeur
du nombre les centiegravemes quelle que soit leur valeur sont toujours consideacutereacutes comme eacutetant
laquo plus petits raquo que les dixiegravemes Ainsi lorsqursquoun nombre contient des centiegravemes il est
consideacutereacute plus petit qursquoun nombre qui nrsquoa que des dixiegravemes Dans la comparaison de 33 et
345 les 45 centiegravemes sont consideacutereacutes plus petits que 3 dixiegravemes et ces personnes deacutecideront
que 33 gt 345 Par contre tout en appliquant cette regravegle 375 et 38 seront compareacutes
correctement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1360 B Favre et K Morel (mai 2014)
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
Les eacutelegraveves choisissent eacutegalement le nombre le plus grand comme eacutetant celui dont la partie
deacutecimale est la plus courte mais pour une autre raison Dans le cas de cette regravegle ils font
lanalogie erroneacutee avec les fractions Ainsi 03 et 045 seront consideacutereacutes comme 13 et 145
13 eacutetant plus grand que 145 ils choisiront 03 comme eacutetant le plus grand Cette fausse
repreacutesentation apparaicirct geacuteneacuteralement apregraves que le concept de fraction a eacuteteacute introduit et il nest
donc pas exclu que des eacutelegraveves qui ne commettaient pas derreurs jusque-lagrave deacuteveloppent
soudainement cette fausse repreacutesentation
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
Dans cette fausse conception leacutelegraveve fait lanalogie entre la partie deacutecimale (non la partie
entiegravere) et les nombres neacutegatifs Elle peut en effet survenir suite agrave lintroduction de ces
derniers Pour comparer 03 et 045 leacutelegraveve assimile le fonctionnement de 3 et 45 agrave celui des
nombres neacutegatifs -3 eacutetant plus grand que -45 il conclut que 03 est plus grand que 045
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
Steinle (2004) considegravere les personnes ne commettant pas derreur comme des experts
apparents Ils sont experts jusquagrave preuve du contraire jusquagrave preuve quils utilisent une
fausse repreacutesentation qui naurait pas encore eacuteteacute deacutecouverte
Il existe en effet plusieurs algorithmes de comparaison de nombres entre eux qui peuvent ecirctre
appliqueacutes indeacutependamment de la compreacutehension du rocircle de la position de chaque chiffre dans
un nombre Ces meacutethodes fonctionnent relativement bien et pourraient ecirctre consideacutereacutees
comme expertes Les utilisateurs de ces regravegles peuvent reacutepondre agrave toutes les tacircches
notamment la comparaison correctement Il est donc aiseacute de penser quils ont une bonne
maicirctrise des nombres deacutecimaux Mais il se peut aussi quils suivent simplement un algorithme
expert de comparaison Steinle (2004) insiste sur le fait que de telles proceacutedures mecircme si
elles sont gagnantes dans un grand nombre de situations ne permettent pas agrave leacutelegraveve de
comprendre limportance du positionnement dans notre systegraveme de numeacuteration Mais surtout
elles peuvent perpeacutetuer des fausses repreacutesentations
Deux proceacutedures sont communeacutement utiliseacutees pour la comparaison
1) la comparaison de gauche agrave droite pour comparer des nombres agrave partie entiegravere
eacutegale par exemple 4205 et 435 les chiffres sont compareacutes jusquagrave ce quun chiffre soit
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1460 B Favre et K Morel (mai 2014)
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Brousseau (1976) preacutecise que cette regravegle des nombres entiers apparaicirct particuliegraverement
lorsque les eacutelegraveves ne sont confronteacutes quagrave des deacutecimaux de partie deacutecimale de mecircme longueur
Les eacutelegraveves construisent alors la repreacutesentation que cette partie est fixe et quil est ainsi
possible de la consideacuterer comme un nombre entier agrave part Ils ont en fait geacuteneacuteraliseacute une regravegle
qui nest correcte quavec des nombres entiers Ceci survient eacutegalement lorsque le nombre
deacutecimal est identifieacute agrave de largent Il est ainsi aiseacute pour les eacutelegraveves de comparer des centimes
Ce faisant toutefois on conforte lideacutee que la partie deacutecimale est un nombre entier Dougrave
limportance pour les enseignants de modifier les variables didactiques de maniegravere adeacutequate
II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
Lors de lrsquoemploi de cette regravegle les eacutelegraveves utilisent eacutegalement la regravegle geacuteneacuterale du laquo plus long
est le plus grand raquo mais modifient leur approche lorsque les nombres contiennent des zeacuteros
apregraves la virgule Ils ont reacutealiseacute que les zeacuteros rendaient un nombre plus petit mais ils suivent
ensuite la regravegle citeacutee preacuteceacutedemment
Par exemple entre 38 et 309 ils choisiront correctement 38 comme eacutetant le plus grand car
selon eux le 0 rend le nombre 09 plus petit Par contre entre 3082 et 30804 ils commettront
la mecircme erreur que dans la regravegle preacuteceacutedente et indiqueront 30804 comme eacutetant le plus grand
nombre (car 804 gt 82)
II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
Toujours dapregraves Steinle (2004) selon cette regravegle pour deacuteterminer le nombre le plus grand les
eacutelegraveves comparent les parties deacutecimales et choisissent celle qui comporte le moins de chiffres
Un nombre plus eacuteleveacute de chiffres apregraves la virgule est interpreacuteteacute comme reacuteduisant la grandeur
du nombre les centiegravemes quelle que soit leur valeur sont toujours consideacutereacutes comme eacutetant
laquo plus petits raquo que les dixiegravemes Ainsi lorsqursquoun nombre contient des centiegravemes il est
consideacutereacute plus petit qursquoun nombre qui nrsquoa que des dixiegravemes Dans la comparaison de 33 et
345 les 45 centiegravemes sont consideacutereacutes plus petits que 3 dixiegravemes et ces personnes deacutecideront
que 33 gt 345 Par contre tout en appliquant cette regravegle 375 et 38 seront compareacutes
correctement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1360 B Favre et K Morel (mai 2014)
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
Les eacutelegraveves choisissent eacutegalement le nombre le plus grand comme eacutetant celui dont la partie
deacutecimale est la plus courte mais pour une autre raison Dans le cas de cette regravegle ils font
lanalogie erroneacutee avec les fractions Ainsi 03 et 045 seront consideacutereacutes comme 13 et 145
13 eacutetant plus grand que 145 ils choisiront 03 comme eacutetant le plus grand Cette fausse
repreacutesentation apparaicirct geacuteneacuteralement apregraves que le concept de fraction a eacuteteacute introduit et il nest
donc pas exclu que des eacutelegraveves qui ne commettaient pas derreurs jusque-lagrave deacuteveloppent
soudainement cette fausse repreacutesentation
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
Dans cette fausse conception leacutelegraveve fait lanalogie entre la partie deacutecimale (non la partie
entiegravere) et les nombres neacutegatifs Elle peut en effet survenir suite agrave lintroduction de ces
derniers Pour comparer 03 et 045 leacutelegraveve assimile le fonctionnement de 3 et 45 agrave celui des
nombres neacutegatifs -3 eacutetant plus grand que -45 il conclut que 03 est plus grand que 045
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
Steinle (2004) considegravere les personnes ne commettant pas derreur comme des experts
apparents Ils sont experts jusquagrave preuve du contraire jusquagrave preuve quils utilisent une
fausse repreacutesentation qui naurait pas encore eacuteteacute deacutecouverte
Il existe en effet plusieurs algorithmes de comparaison de nombres entre eux qui peuvent ecirctre
appliqueacutes indeacutependamment de la compreacutehension du rocircle de la position de chaque chiffre dans
un nombre Ces meacutethodes fonctionnent relativement bien et pourraient ecirctre consideacutereacutees
comme expertes Les utilisateurs de ces regravegles peuvent reacutepondre agrave toutes les tacircches
notamment la comparaison correctement Il est donc aiseacute de penser quils ont une bonne
maicirctrise des nombres deacutecimaux Mais il se peut aussi quils suivent simplement un algorithme
expert de comparaison Steinle (2004) insiste sur le fait que de telles proceacutedures mecircme si
elles sont gagnantes dans un grand nombre de situations ne permettent pas agrave leacutelegraveve de
comprendre limportance du positionnement dans notre systegraveme de numeacuteration Mais surtout
elles peuvent perpeacutetuer des fausses repreacutesentations
Deux proceacutedures sont communeacutement utiliseacutees pour la comparaison
1) la comparaison de gauche agrave droite pour comparer des nombres agrave partie entiegravere
eacutegale par exemple 4205 et 435 les chiffres sont compareacutes jusquagrave ce quun chiffre soit
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1460 B Favre et K Morel (mai 2014)
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
Les eacutelegraveves choisissent eacutegalement le nombre le plus grand comme eacutetant celui dont la partie
deacutecimale est la plus courte mais pour une autre raison Dans le cas de cette regravegle ils font
lanalogie erroneacutee avec les fractions Ainsi 03 et 045 seront consideacutereacutes comme 13 et 145
13 eacutetant plus grand que 145 ils choisiront 03 comme eacutetant le plus grand Cette fausse
repreacutesentation apparaicirct geacuteneacuteralement apregraves que le concept de fraction a eacuteteacute introduit et il nest
donc pas exclu que des eacutelegraveves qui ne commettaient pas derreurs jusque-lagrave deacuteveloppent
soudainement cette fausse repreacutesentation
II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
Dans cette fausse conception leacutelegraveve fait lanalogie entre la partie deacutecimale (non la partie
entiegravere) et les nombres neacutegatifs Elle peut en effet survenir suite agrave lintroduction de ces
derniers Pour comparer 03 et 045 leacutelegraveve assimile le fonctionnement de 3 et 45 agrave celui des
nombres neacutegatifs -3 eacutetant plus grand que -45 il conclut que 03 est plus grand que 045
II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
Steinle (2004) considegravere les personnes ne commettant pas derreur comme des experts
apparents Ils sont experts jusquagrave preuve du contraire jusquagrave preuve quils utilisent une
fausse repreacutesentation qui naurait pas encore eacuteteacute deacutecouverte
Il existe en effet plusieurs algorithmes de comparaison de nombres entre eux qui peuvent ecirctre
appliqueacutes indeacutependamment de la compreacutehension du rocircle de la position de chaque chiffre dans
un nombre Ces meacutethodes fonctionnent relativement bien et pourraient ecirctre consideacutereacutees
comme expertes Les utilisateurs de ces regravegles peuvent reacutepondre agrave toutes les tacircches
notamment la comparaison correctement Il est donc aiseacute de penser quils ont une bonne
maicirctrise des nombres deacutecimaux Mais il se peut aussi quils suivent simplement un algorithme
expert de comparaison Steinle (2004) insiste sur le fait que de telles proceacutedures mecircme si
elles sont gagnantes dans un grand nombre de situations ne permettent pas agrave leacutelegraveve de
comprendre limportance du positionnement dans notre systegraveme de numeacuteration Mais surtout
elles peuvent perpeacutetuer des fausses repreacutesentations
Deux proceacutedures sont communeacutement utiliseacutees pour la comparaison
1) la comparaison de gauche agrave droite pour comparer des nombres agrave partie entiegravere
eacutegale par exemple 4205 et 435 les chiffres sont compareacutes jusquagrave ce quun chiffre soit
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1460 B Favre et K Morel (mai 2014)
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
identifieacute comme eacutetant plus grand dans un nombre que dans lautre Ici 3 est plus grand que 2
(donc 435 gt 4205)
2) la comparaison par lajout de zeacuteros lorsque les longueurs des parties deacutecimales ne
sont pas identiques des zeacuteros sont ajouteacutes agrave la fin de la partie deacutecimale la plus courte jusquagrave
ce que les deux longueurs soient eacutegales Ensuite les parties deacutecimales sont compareacutees entre
elles Elles sont donc consideacutereacutees comme des parties entiegraveres et indeacutependantes du nombre
initial Par exemple dans 38 et 375 38 est eacutecrit comme 380 et ensuite 80 et 75 sont
compareacutes Cette meacutethode peut perpeacutetuer la regravegle des nombres entiers
Steinle (2004) a aussi deacutecouvert que certains eacutelegraveves sont des experts apparents dans lusage de
nombres jusquagrave deux deacutecimales seulement Cest ce quil nomme les laquo experts jusquagrave deux
deacutecimales raquo (money thinkers) Ceux-ci pensent en termes dargent ou de centimegravetres Certains
vont mecircme jusquagrave systeacutematiquement arrondir ou tronquer les deacutecimaux agrave la deuxiegraveme
deacutecimale avant de les comparer
Lutilisation de ces regravegles permet daccomplir correctement des tacircches de comparaison mais
naident pas neacutecessairement agrave la compreacutehension du nombre
II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
Dans des interviews Steinle et Stacey (1998 citeacute par Steinle 2004 p 57) deacutecouvrent que
parmi les experts apparents certains navaient pas conscience de la densiteacute numeacuterique et ne
pouvaient pas intercaler un nombre entre 035 et 036
Dans le cursus scolaire lapprentissage des nombres deacutecimaux intervient nous lavons vu agrave la
suite des nombres entiers Or dans cette phase dapprentissage leacutelegraveve a construit certaines
repreacutesentations qui deviennent fausses lorsquelles sont transposeacutees telles quelles aux nombres
deacutecimaux par exemple quentre 4 et 6 il ny a pas dautre nombre que 5 Lrsquointercalation de
nombres entre deux nombres deacutecimaux peut donc donner lieu agrave des erreurs lieacutees aux obstacles
eacutepisteacutemologiques et didactiques issus de lrsquoenseignement des nombres entiers (Charnay amp
Mante 1990) Ainsi si lrsquoeacutelegraveve a appris qursquoentre deux nombres conseacutecutifs on ne peut en
intercaler aucun il nen trouvera pas ni entre 5 et 6 ni entre 141 et 142
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Dans cette logique des eacutetudes meneacutees par Bana et al (1997) montrent que presque un quart
des eacutelegraveves australiens et sueacutedois testeacutes acircgeacutes de 14 ainsi que pratiquement la moitieacute des eacutelegraveves
eacutetasuniens testeacutes du mecircme acircge pensaient quil ny avait pas de nombre entre 152 et 153
II6 Obstacles aux apprentissages
Steinle (2004) affirme que ces fausses repreacutesentations peuvent ecirctre dues agrave des obstacles
auxquels les enfants font face lors de leur apprentissage des nombres deacutecimaux Elles
apparaissent parce que leacutelegraveve construit son savoir interpregravete et modifie les concepts qui lui
sont enseigneacutes Les obstacles peuvent ecirctre de nature eacutepisteacutemologique didactique
relationnelle conceptuelle etc Il est donc essentiel pour lenseignant den avoir conscience
afin de les repeacuterer et de permettre aux eacutelegraveves de les franchir dans le cadre de son
enseignement
Un obstacle eacutepisteacutemologique peut ecirctre renforceacute par des obstacles didactiques Il y a plusieurs
situations denseignement qui peuvent freiner la compreacutehension des deacutecimaux par exemple
en les convertissant systeacutematiquement en nombres entiers Dans les uniteacutes de mesure 156
megravetre peut seacutecrire 156 centimegravetres ou 03 litre peut seacutecrire 3 deacutecilitres Ces proceacutedeacutes
renforcent lideacutee que tout nombre deacutecimal peut ecirctre traiteacute dune maniegravere ou dune autre
comme un nombre entier Cette repreacutesentation survient dautant plus facilement que la langue
de leacutelegraveve tend agrave exprimer ces deux parties comme deux entiers 316 se dit trois virgule
seize en franccedilais (Bolon 1993) De plus la voix marque une pause apregraves la mention de la
virgule accentuant lideacutee que les chiffres situeacutes de part et dautre de la virgule sont des
nombres bien distincts
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1660 B Favre et K Morel (mai 2014)
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
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PER Plan deacutetudes romand cycle 2 (2010) Matheacutematiques et Sciences de la nature
Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Steinle V (2004) Changes with age in studentsrsquo misconceptions of decimal numbers
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
III METHODOLOGIE
III1 Type de recherche
La reacutecolte des donneacutees seffectue par le biais dun questionnaire (cf Annexe 1) sous forme de
test de matheacutematiques que les eacutelegraveves passent en classe de maniegravere individuelle Nous
proceacutedons ensuite agrave des analyses de reacutesultats et de traces Nous eacutetudions les reacutesultats selon des
critegraveres quantitatifs (correacutelation entre les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations nombres drsquoerreurs) puis nous effectuons une analyse qualitative (types drsquoerreurs
rencontreacutees erreurs par eacutelegraveve) Nous avons choisi de baser notre analyse sur les seules traces
eacutecrites des eacutelegraveves et de ne pas proceacuteder agrave des entretiens Les travaux de Rittle-Johnson et al
(2001) corroborent cette faccedilon de proceacuteder
III2 Population statistique
En vertu de la deacutecision 102 du 1er mai 2006 de la cheffe du Deacutepartement de la formation et de
la jeunesse du canton de Vaud la population totale qui est agrave notre disposition pour
entreprendre une recherche est constitueacutee de nos seules classes assigneacutees lors de nos stages
Notre population se compose donc de quatre classes que nous avons nommeacutees A B C et D
Chaque eacutelegraveve est ensuite identifieacute par la lettre de sa classe et par un numeacutero dordre (ex A12
B7)
bull classe A 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe B 9H VP de 16 eacutelegraveves
bull classe C 10H VSB de 14 eacutelegraveves
bull classe D 9H VG de 15 eacutelegraveves
Soit un total de 59 eacutelegraveves
Anneacutee voie VSB ndash VP VG Total
9H 16 15 31
10H 28 0 28
Total 44 15 59
Tableau 1 Nombre deacutelegraveves par voie et anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Les classes A et C sont des classes de 10H Pour ces eacutelegraveves les nombres deacutecimaux ont eacuteteacute
eacutetudieacutes de maniegravere systeacutematique et intensive en 9H et le contenu du PER (cf Chapitre I3) y
relatif a eacuteteacute enseigneacute entiegraverement Il est possible que le test soit trop simple pour eux et que les
reacutesultats ne soient pas tregraves reacuteveacutelateurs
Pour les classes B et D (9H) nous avons demandeacute aux professeurs de matheacutematiques
titulaires quels avaient eacuteteacute les sujets abordeacutes durant la peacuteriode comprise entre la rentreacute scolaire
et le passage du questionnaire (mi-octobre) Au niveau des nombres seuls les entiers et les
relatifs avaient eacuteteacute eacutetudieacutes les nombres deacutecimaux eux navaient pas encore fait lobjet dun
enseignement systeacutematique cette anneacutee-lagrave
III3 Meacutethode
Nous demandons agrave nos eacutelegraveves de reacutepondre agrave un questionnaire sous forme de test de
matheacutematiques Celui-ci a pu ecirctre affineacute gracircce agrave un preacute-test effectueacute en juin 2013 dans une
classe de 6egraveme en France (eacutequivalent agrave la 8H en Suisse)
Le questionnaire a eacuteteacute distribueacute aux eacutelegraveves lors dune de nos peacuteriodes denseignement
respectives Nous avons preacuteciseacute agrave haute voix les consignes inscrites au deacutebut du test Nous
nrsquoavons pas apporteacute drsquoaide agrave la reacutesolution uniquement agrave la compreacutehension de lrsquoeacutenonceacute si
neacutecessaire Aucune feuille suppleacutementaire na eacuteteacute donneacutee Les eacutelegraveves disposaient de
suffisamment despace blanc sur le questionnaire pour lutiliser eacutegalement comme brouillon
Il a eacuteteacute rempli de maniegravere anonyme Nous avons noteacute uniquement le degreacute et le niveau de la
classe La calculatrice nrsquoeacutetait pas autoriseacutee La temps laisseacute agrave disposition des eacutelegraveves eacutetait de 20
minutes
Nous avons au preacutealable demandeacute lautorisation de soumettre ce test agrave nos directeurs
deacutetablissement respectifs ainsi que si neacutecessaire aux enseignants de matheacutematiques
concerneacutes
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1860 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
IV1 Preacutesentation du questionnaire
Le questionnaire (cf Annexe 1) comporte dix questions Les questions 1 agrave 4 eacutevaluent les
connaissances des nombres deacutecimaux (partie 1) Ce sont des exercices de classement de
comparaison et dintercalation de nombres deacutecimaux choisis selon les types drsquoerreurs
identifieacutes dans le chapitre II2 Les six derniegraveres questions sont des opeacuterations (addition
soustraction et multiplication) agrave effectuer (partie 2) Elles sont preacutesenteacutees en ligne mais
lrsquoeacutelegraveve a la possibiliteacute de les poser en colonnes sur lespace libre de sa feuille Ce deacutecoupage
en deux parties nest pas mentionneacute dans le questionnaire
Nous avons fait le choix de ne travailler quavec des nombres deacutecimaux positifs hors de tout
contexte (mesures grandeurs monnaies etc)
Suite au preacute-test nous avons abandonneacute lideacutee de tester la division dont lalgorithme de calcul
nest pas encore maicirctriseacute par de nombreux eacutelegraveves Nous avons eacutegalement supprimeacute certaines
questions afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves et de conserver une dureacutee de
passation infeacuterieure agrave 30 minutes
IV2 Analyse a priori
IV21 Partie 1
Les mentions laquo Partie 1 raquo et laquo Partie 2 raquo ne sont pas indiqueacutees dans le questionnaire distribueacute
aux eacutelegraveves
Question 16 (ordonnancement)
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Reacuteponse correcte 50796 lt 54428 lt 5466 lt 557 lt 56
6 Nous nous sommes inspireacutes de Muir et Livy (2012) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 1960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Les nombres deacutecimaux de cette question ont eacuteteacute choisis de telle sorte que la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo puisse eacuteventuellement ressortir Si un eacutelegraveve
suit une telle repreacutesentation il ordonnera tout ou partie de ces nombres de maniegravere incorrecte
Dans un tel cas nous devrions alors obtenir les mecircmes erreurs agrave la question 2
Question 27 (comparaison)
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Reacuteponses correctes
36 gt 350575736 gt 56203026 lt 032
7942 gt 76303 lt 042674084 lt 747
4673 lt 4812526 lt 28325
063 lt 09420758 lt 08
En nous reacutefeacuterant agrave Steinle (2004) nous avons creacuteeacute cinq items pouvant faire eacutemerger la fausse
repreacutesentation laquo le plus long est le plus grand raquo et cinq autres la fausse repreacutesentation laquo le plus
court est le plus grand raquo Les items correspondants agrave ces deux cateacutegories sont meacutelangeacutes
Steinle (2004) considegravere quune occurrence unique derreur dans chaque cateacutegorie est toleacuterable
pour laisser la place agrave une erreur dinattention A partir de deux erreurs on peut consideacuterer que
leacutelegraveve fait appel agrave une fausse repreacutesentation
Question 38 (intercalation)
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
7 Nous nous sommes inspireacutes de Steinle (2004) pour eacutelaborer cette question
8 Nous nous sommes inspireacutes de Bana et al (1997) pour eacutelaborer cette question
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Cette activiteacute permet de tester la repreacutesentation que se font les eacutelegraveves de la densiteacute numeacuterique
des nombres deacutecimaux Il est toujours possible dintercaler trois nombres les reacuteponses sont
infinies
Dans la premiegravere question (Q3A) il est aiseacute de trouver deux nombres 38 et 39 Pour en
trouver un troisiegraveme il faut mener la reacuteflexion jusquagrave au moins deux deacutecimales Nous nous
attendons donc agrave observer des difficulteacutes quant agrave ce dernier nombre
La deuxiegraveme question (Q3B) semble aiseacutement reacutealisable Lempan permet de placer trois
nombres conseacutecutifs avec le mecircme nombre de deacutecimales Nous ne nous attendons pas agrave avoir
derreurs ici Cette question peut avoir une influence sur les reacuteponses donneacutees agrave la preacuteceacutedente
ainsi que sur celles qui seront donneacutees agrave la suivante car elle laquo deacutevoile raquo la cleacute de la reacutesolution
de cette question 3
La derniegravere question (Q3C) peut faire non seulement ressortir des eacuteventuels problegravemes de
densiteacute mais aussi de fausses repreacutesentations relevant de la laquo regravegle des nombres entiers raquo par
exemple en indiquant 19 ou 13 comme plus petit que 111 9 et 3 eacutetant plus petits que 11 si
la partie deacutecimale est consideacutereacutee comme un nombre entier
Question 4 (strateacutegie de comparaison)
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Cette question ouverte devrait nous permettre didentifier le processus mental impliqueacute dans la
comparaison de nombres Nous aimerions pouvoir faire un lien entre la faccedilon de proceacuteder des
eacutelegraveves et les erreurs eacuteventuellement commises dans le reste du questionnaire
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2160 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
IV22 Partie 2
Les questions suivantes constituent la partie connaissance des opeacuterations lapplication
dalgorithmes de calcul du questionnaire Nous avons laisseacute de la place pour effectuer les
calculs par eacutecrit si neacutecessaire et avons deacutecideacute de seacuteparer clairement les trois types
drsquoopeacuterations afin de ne pas surcharger cognitivement les eacutelegraveves Ceci aurait pu geacuteneacuterer des
erreurs non lieacutees agrave notre propos Nous analysons les connaissances au niveau de laddition de
la soustraction et de la multiplication avec chaque fois deux calculs le premier avec des
nombres agrave une deacutecimale le deuxiegraveme avec des nombres agrave deux deacutecimales
Question 5 (addition agrave une deacutecimale)
27 + 35 =
Reacuteponse correcte 27 + 35 = 62
Erreurs possibles attendues
ndash 512 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(3 + 1 = 5 7 + 5 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 52 non prise en compte du groupement des dixiegravemes par dizaines pour former une
uniteacute suppleacutementaire Pour les questions suivantes comme dans le langage courant
nous dirons que les retenues nont pas eacuteteacute prises en compte
Question 6 (addition agrave deux deacutecimales)
1917 + 184 =
Reacuteponse correcte 1917 + 184 = 2101
Erreurs possibles attendues
ndash 20101 addition seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(19 + 1 = 20 17 + 84 = 101) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 2001 non prise en compte des retenues
ndash 2091 non prise en compte des retenues
Question 7 (soustraction agrave une deacutecimale)
127 ndash 19 =
Reacuteponse correcte 127 ndash 19 = 108
Erreurs possibles attendues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2260 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
ndash 112 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave la regravegle
des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
(12 ndash 1 = 11 9 ndash 7 = 2 ou 7 ndash 9 = +2 et non -2 un nombre neacutegatif nayant pas de sens
pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de maniegravere indeacutependante
et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 118 non prise en compte des retenues
Question 8 (soustraction agrave deux deacutecimales)
1232 ndash 239 =
Reacuteponse correcte 1232 ndash 239 = 993
Erreurs possibles attendues
ndash 1007 ou 107 soustraction seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales due agrave
la regravegle des nombres entiers coupleacutee avec une fausse repreacutesentation au niveau des
opeacuterations (12 ndash 2 = 10 39 ndash 32 = 7 ou 32 ndash 39 = +7 (et non -7 un nombre neacutegatif
nayant pas de sens pour la partie deacutecimale) La partie deacutecimale est donc traiteacutee de
maniegravere indeacutependante et lordre de lopeacuteration imposeacute nest pas respecteacute
ndash 1003 non prise en compte des retenues
Question 9 (multiplication agrave une deacutecimale)
546 middot 2 =
Reacuteponse correcte 546 middot 2 = 1092
Erreurs possibles attendues
ndash 10812 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(54 middot 2 = 108 6 middot 2 = 12) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 1082 non prise en compte des retenues
Question 10 (multiplication agrave deux deacutecimales)
2 middot 268 =
Reacuteponse correcte 2 middot 268 = 536
Erreurs possibles attendues
ndash 4136 multiplication seacutepareacutee des parties entiegraveres et des parties deacutecimales
(2 middot 2 = 4 2 middot 68 = 136) due agrave la regravegle des nombres entiers
ndash 436 426 526 non prise en compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2360 B Favre et K Morel (mai 2014)
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
IV3 Attribution des points
Pour deacuteterminer sil existe un lien entre les connaissances des nombres deacutecimaux et les
connaissances des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nous avons seacutepareacute les questions
appartenant agrave lune ou lautre des parties du questionnaire agrave des fins danalyse (partie 1
questions 1 agrave 4 - connaissance des nombres deacutecimaux partie 2 questions 5 agrave 10 -
connaissance des opeacuterations avec des nombres deacutecimaux)
Chaque question peut obtenir un ou aucun point Les critegraveres de reacuteussite et donc dobtention
du point sont deacutefinis dans le tableau suivant
Question Critegraveres de reacuteussite pour lobtention du pointQ1 Reacuteussite si tous les nombres sont ordonneacutes correctement
Q2 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de chaque type de fausserepreacutesentation (il y a cinq items concernant la regravegle laquo le plus long est le plusgrand raquo et cinq autres concernant la regravegle laquo le plus court est le plus grand)
Q3 Reacuteussite sil y a au maximum une occurrence derreur de fausse repreacutesentationsur la densiteacute numeacuterique dans les trois questions (9 items)9
Q4 Reacuteussite si la justification deacutecrite fait partie des meacutethodes dites laquodexpertapparentraquo quelque soit le nombre entoureacute
Q5 agrave Q10 Reacuteussite si la reacuteponse est exacte
Tableau 2 Critegraveres de reacuteussite pour lattribution du point aux questions
Pour les questions 2 et 3 nous nous sommes baseacutes sur la maniegravere de proceacuteder de Steinle
(2004) qui cateacutegorise les erreurs en fonction de leur occurrence deux erreurs ou plus sur cinq
items lieacutes agrave une mecircme fausse repreacutesentation ne donne donc pas le droit au point car il y a
alors effectivement une forte probabiliteacute que leacutelegraveve fasse usage dune fausse repreacutesentation
Ses erreurs peuvent ainsi ecirctre cateacutegoriseacutees
Nous justifions lextrapolation de cette docimologie agrave la question 3 qui comporte pourtant
neuf items par le fait que la question 3B ne preacutesente pas de difficulteacutes comme discuteacute plus
haut
Au total il y a quatre points agrave obtenir dans la partie 1 et six dans la partie 2 Le fait que le
nombre de points ne soit pas eacutegal entre les deux parties nest pas une indication dimportance
relative des parties et na pas dinfluence sur lanalyse des reacutesultats
9 Par exemple agrave la question 3 si leacutelegraveve indique laquo 38 39 4 raquo laquo 625 626 627 raquo et laquo 1 11 12 raquo il nobtiendra pas le point car il fait
deux erreurs (le nombre 4 ne compte pas car il est deacutejagrave indiqueacute dans la donneacutee et le nombre 12 est en dehors de la borne supeacuterieure)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2460 B Favre et K Morel (mai 2014)
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
V ANALYSE DES RESULTATS
V1 Outil danalyse des reacutesultats
Nous avons utiliseacute un tableur (OpenOffice calc) pour saisir et analyser les reacutesultats du
questionnaire Pour chaque eacutelegraveve et chaque question nous indiquons le nombre de points
obtenus ainsi que les erreurs commises Cet outil est preacutesenteacute agrave lannexe 3
V2 Analyse quantitative globale
A (10VSB) B (9VP) C (10VSB) D (9VG) Total
Moyenne Partie 1 37 34 38 37 36
Eacutecart-type Partie 1 04 05 03 05 05
Moyenne Partie 2 48 49 5 40 47
Eacutecart-type Partie 2 10 09 07 17 11
Tableau 3 Moyenne et eacutecart-type par partie et par classe
Globalement les eacutelegraveves obtiennent en moyenne 36 points sur 4 (eacutecart-type 05)10 pour la
partie connaissance des nombres et 47 points sur 6 agrave la partie connaissance des opeacuterations
(eacutecart-type 11) Dans la partie 1 le faible eacutecart-type relativement agrave la moyenne indique que
les connaissances des nombres deacutecimaux de la part des eacutelegraveves des quatre classes sont tregraves
homogegravenes Par contre dans la partie 2 leacutecart-type relativement agrave la moyenne indique un
niveau de connaissance des opeacuterations plus variable entre ces eacutelegraveves
10 Leacutecart-type est une mesure de la dispersion des donneacutees autour de la moyenne Un faible eacutecart-type indique que les valeurs sont
principalement regroupeacutees autour de la moyenne Par exemple si la moyenne dune population est m et leacutecart-type σ 95 de la
population se trouve dans lintervalle [m-196σ m+196σ] et 682 dans lintervalle [m-σ m+σ]
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Les coefficients de correacutelation11 entre les reacutesultats des deux parties sont les suivants
Classe Population Correacutelation Commentaire
A (10VSB) 14 075 Correacutelation forte
B (9VP) 16 -021 Correacutelation faible
C (10VSB) 14 -041 Correacutelation faible
D (9VG) 15 -016 Correacutelation faible
Total 59 -005 Correacutelation faible
Tableau 4 Correacutelation entre les reacutesultats des deux parties du questionnaire par classe
La valeur totale de -005 indique une correacutelation tregraves faible voire nulle Cela indiquerait pour
notre population de test que les connaissances des nombres et les connaissances des
opeacuterations ne deacutependent pas les unes des autres ou nont pas dinfluence reacuteciproque Les
reacutesultats des deux classes de 9H preacutesentent eacutegalement une correacutelation faible Quant aux
classes de 10egraveme elle est neacutegative et faible pour lune et positive et forte pour lautre
Ces reacutesultats nous amegravenent agrave reacutepondre agrave notre question initiale laquo Existe-t-il une relation
entre les connaissances des nombres et les connaissances des opeacuterations raquo par la neacutegative
En effet pour nos quatre classes lanalyse de la correacutelation ne nous permet pas deacutetablir ce
lien Les eacutelegraveves peuvent avoir de bons reacutesultats dans une des deux parties et des reacutesultats
bons moyens ou mauvais dans lautre et vice-versa
11 Le coefficient de correacutelation mesure lintensiteacute de la relation lineacuteaire qui peut exister entre deux variables Il est eacutegal au rapport des
covariances et du produit non nul des eacutecarts-types des variables Il est compris entre -1 (correacutelation fortement neacutegative) et +1
(correacutelation fortement positive) Entre -05 et +05 la correacutelation est faible Toutefois une correacutelation ne signifie pour autant pas quil y
ait une relation de causaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2660 B Favre et K Morel (mai 2014)
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
V3 Analyse qualitative des erreurs par question
Nous analysons dans cette partie les diffeacuterentes erreurs qui apparaissent pour chaque question
et tentons de deacutegager celles qui proviennent de fausses repreacutesentations
Partie 1
Question 1 (classer cinq nombres dans lordre croissant)
Tous les eacutelegraveves placent correctement les cinq nombres dans lordre croissant12 Ce reacutesultat
global est en fort contraste avec ceux de Steinle (2004) et Bana Farrell et McIntosh (1997)
ainsi que ceux que nous avions obtenus lorsque nous avions soumis notre questionnaire
preacuteliminaire agrave une classe franccedilaise eacutequivalente agrave la 8H en Suisse ndash donc environ deux ans plus
jeune En effet pregraves de 40 des eacutelegraveves navaient pas su les arranger correctement Nous
pouvons supposer que lacircge lexpeacuterience des eacutelegraveves ou lenseignement dispenseacute sont
responsables de leurs meilleures connaissances Les raisons exactes de cette divergence ne
nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus pousseacutee
Question 2 (comparer dix paires de nombres)
9H 10H Total 9H 10H Total
03 gt 0426 4 0 4 74084 gt 747 1 1 2
2526 gt 28325 0 2 2 0758 gt 08 1 1 2
063 gt 0942 0 1 1 03026 gt 032 0 1 1
5736 lt 562 2 0 2 4673 gt 481 1 0 1
7942 lt 763 1 1 2 Total 10(17)
7(12)
17(29)
Tableau 5 Question 2 nombre derreurs par anneacutee
Pour les cinq erreurs dans la partie gauche du tableau nous pouvons supposer que les eacutelegraveves
concerneacutes utilisent la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo Dans le cas des quatre autres
12 Deux eacutelegraveves classent tous les nombres dans lordre deacutecroissant Sils avaient fait appel agrave la fausse repreacutesentation laquo le plus long est le plus
grand raquo ils auraient aussi fait des erreurs dans la comparaison des paires de nombres agrave la question 2 Or ils y reacutepondent entiegraverement
correctement Nous supposons donc que ce sont des erreurs dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute leurs
reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2760 B Favre et K Morel (mai 2014)
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
erreurs (partie droite du tableau) nous pouvons supposer quelles proviennent de lapplication
de la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
On peut remarquer quun seul item de cette question na jamais eacuteteacute source derreurs Il sagit de
la paire 36 et 35057 qui est la premiegravere de la liste Est-ce parce-que les eacutelegraveves ne sont pas
surchargeacutes cognitivement agrave ce moment du test quils ne commettent pas derreurs agrave cet
endroit Ou se peut-il que le 0 des centiegravemes induise plus facilement chez les eacutelegraveves quils
ont agrave comparer 36 et 35 qui serait alors la plus simple des comparaisons de lexercice
A2 B7 B8 B12
7942 lt 763 4673 gt 481 0758 gt 08
03 gt 0426 5736 lt 562 2526 gt 28325
0758 gt 08 03 gt 0426
7942 lt 763 063 gt 0942 5736 lt 562 03 gt 0426
2526 gt 28325
B13 B14 C3 C9
03026 gt 032 03 gt 0426 74084 gt 747 74084 gt 747
Tableau 6 Question 2 erreurs par eacutelegraveve
Ce tableau nous donne le deacutetail des erreurs commises par les 8 eacutelegraveves sur 5913 (14) qui ne
parviennent pas agrave comparer chacune des dix paires de nombres correctement Parmi ceux-ci
trois eacutelegraveves commettent plus dune erreur et les cinq autres une seule 5 de ces eacutelegraveves
proviennent dune mecircme classe de 9VP (B7 B8 B12 B13 et B14)
Selon Steinle (2004) deux occurrences derreurs sur cinq items utilisant la mecircme regravegle sont
suffisantes pour pouvoir les cateacutegoriser
ndash A2 utilise la regravegle laquo du plus long est le plus grand raquo dans deux de ses trois erreurs Il
effectue trois des six calculs faux agrave la partie 2 sans que nous puissions cateacutegoriser ses
erreurs-lagrave
ndash B8 utilise la regravegle laquo du plus court est le plus grand raquo dans trois de ses quatre erreurs Il
semble utiliser la regravegle des nombres entiers agrave la question 3A en reacutepondant faussement
que 12 se trouve entre 099 et 111 Il ne commet pourtant aucune erreur de calcul agrave la
partie 2
13 Un eacutelegraveve (diffeacuterent des deux deacutecrits agrave la note de bas page preacuteceacutedente) compare systeacutematiquement tous les nombres en utilisant le signe
opposeacute (lt au lieu de gt et vice-versa) mais reacutepond correctement agrave la question 1 Nous supposons donc que ce sont des erreurs
dinterpreacutetation ou de compreacutehension de la donneacutee et avons consideacutereacute ses reacuteponses comme correctes dans notre analyse
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Sackur-Grisvard C amp Leacuteonard F (1985) Intermediate cognitive organizations in the process
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and instruction 2(2) 157-174
Steinle V (2004) Changes with age in studentsrsquo misconceptions of decimal numbers
University of Melbourne Department of Science and Mathematics Education
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Leur reacuteponse agrave la question 4 indique que ces deux eacutelegraveves utilisent la meacutethode de la
comparaison des deacutecimales Il y a une contradiction entre ce quils disent effectuer et les
reacuteponses quils donnent agrave la question 2
ndash Leacutelegraveve B12 utilise la regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo pour arriver agrave ces
reacutesultats erroneacutes et il confirme cet emploi dans sa reacuteponse agrave la question 4 (il eacutecrit
laquo car il a moins de chiffres agrave virgule raquo sous-entendu laquo car il y a moins de chiffres
apregraves la virgule raquo)
Globalement le faible nombre deacutelegraveves commettant des erreurs est eacutegalement en fort contraste
avec les reacutesultats obtenus par Steinle (2004) qui avait trouveacute quenviron 50 des eacutelegraveves testeacutes
utilisaient systeacutematiquement soit la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo soit celle du
laquo plus court est le plus grand raquo Comme pour la question 1 les raisons exactes de cette
divergence ne nous sont pas connues et demanderaient une investigation plus approfondie
Question 3 (intercaler des nombres)
Question 3A
9H 10H Total
38 39 V 8 0 8
38 39 4 3 0 3
5 6 V 0 2 2
5 6 65 0 1 1
37 V V 1 0 1
Total 12(20)
3 (5)
15(25)
Tableau 7 Question 3A nombre derreurs par anneacutee (laquo V raquo signifie vide)
A la question 3A 15 eacutelegraveves sur les 59 (25) ne parviennent pas agrave intercaler trois nombres
diffeacuterents entre 37 et 4 Parmi ceux-ci
ndash 3 dentre eux eacutecrivent correctement 38 et 39 mais pensent que 4 sera eacutegalement une
bonne reacuteponse
ndash 8 eacutecrivent 38 et 39 mais ne parviennent pas agrave en trouver un troisiegraveme et le laissent
vide
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 2960 B Favre et K Morel (mai 2014)
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
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- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Ces 11 eacutelegraveves restent donc bloqueacutes sur des nombres agrave une seule deacutecimale et ne pensent pas agrave
intercaler des nombres comprenant par exemple des centiegravemes
ndash 3 eacutelegraveves ne semblent pas avoir compris lexercice 1 eacutelegraveve laisse deux cases vides
Question 3B
9H 10H Total
V V V 2 0 2
626 628 V 1 0 1
Total 3(5)
03
(5)
Tableau 8 Question 3B nombre derreurs par anneacutee
La question 3B est tregraves aiseacutee il est en effet facile de trouver trois nombres en gardant la
mecircme preacutecision deacutecimale que celle des deux nombres bornes proposeacutes Seuls trois eacutelegraveves
(1) y eacutechouent Alors que la cleacute de la reacutesolution de ces trois questions (A B et C) est
deacutevoileacutee par cette question 3B nous nobservons que peu de ratures pour corriger apregraves coup
la question 3A (il y en a trois mais nous le pouvons pas ecirctre sucircrs quelles ont eu lieu agrave la suite
de la reacutesolution de la question 3B) De plus 16 eacutelegraveves (27) ne reacutepondent pas correctement agrave
la question 3C qui est certes plus compliqueacutee mais qui vient apregraves la question deacutevoilant la
cleacute de reacutesolution
Question 3C
9H 10H Total 9H 10H Total
1 11 12 3 2 5 0998 05 101 0 1 1
V V V 1 1 2 1 11 V 0 1 1
1 19 110 0 1 1 11 12 13 1 0 1
1 13 16 1 0 1 01 011 012 1 0 1
11 14 17 1 0 1 1 12 19 1 0 1
Total 9(15)
6(10)
15(25)
Tableau 9 Question 3C nombre derreurs par anneacutee
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Pour la question 3C 10 eacutelegraveves (17) se laissent pieacuteger par la regravegle des nombres entiers Ils
semblent en effet consideacuterer un nombre deacutecimal comme deux entiers indeacutependants seacutepareacutes par
la virgule et proposent ainsi 12 13 14 16 17 ou encore 19 comme nombres preacuteceacutedant
111 (en effet dans les nombres entiers 2 lt 3 lt 4 lt 6 lt 7 lt 9 lt 11) Il se peut que 11 et 110
aient eacuteteacute proposeacutes dans la mecircme logique et soient justes laquo par hasard raquo
Deux eacutelegraveves (3) ne trouvent aucun nombre agrave intercaler Seuls 16 eacutelegraveves (27) pensent agrave
aller au-delagrave des centiegravemes pour reacutesoudre la question 3C correctement
On remarque un eacutecart moins important entre les eacutelegraveves de 9egraveme et ceux de 10egraveme pour cette
derniegravere question Il est possible que celle-ci preacutesente donc une difficulteacute de compreacutehension
qui peut perdurer contrairement aux deux questions preacuteceacutedentes (3A et 3B)
Question 4 (deacutecrire la proceacutedure de comparaison dune paire de nombres)
9H 10H Total
VG VP VSB
Comparaison des deacutecimales 9 (60) 9 (56) 24 (86) 42 (71)
Ajout de 0 5 (33) 6 (38) 3 (11) 14 (24)
Pas expliqueacute 1 0 1 2 (3)
Regravegle des nombres entiers 0 1 0 1 (2)
Total 15 16 28 59
Tableau 10 Question 4 meacutethode de comparaison par anneacutee et par voie
14 eacutelegraveves (24) deacuteclarent comparer des nombres deacutecimaux dont les parties deacutecimales ne
comportent pas le mecircme nombre de chiffres par lajout de zeacuteros 42 eacutelegraveves (71)
reacutefleacutechissent en termes de comparaison des deacutecimales (dixiegravemes avec dixiegravemes centiegravemes
avec centiegravemes)
Parmi les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de zeacuteros seul environ un tiers ne commet pas
derreur dans la partie connaissance des nombres (partie 1) contre plus de la moitieacute des eacutelegraveves
disant comparer les deacutecimales De mecircme pour les eacutelegraveves utilisant la meacutethode des ajouts de
zeacuteros seulement 29 ne commettent aucune erreur dans la partie connaissance des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3160 B Favre et K Morel (mai 2014)
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
(partie 2) contre 43 des eacutelegraveves disant comparer les deacutecimales Au niveau du test dans son
inteacutegraliteacute les pourcentages sont respectivement de 0 et 24
TotalPartie 1
aucune erreurPartie 2
aucune erreurTest entier
aucune erreur
Comparaison des deacutecimales 42 (71) 24 (57) 18 (43) 10 (24)
Ajout de zeacuteros 14 (24) 5 (36) 4 (29) 0 (0)
Tableau 11 Question 4 pourcentage deacutelegraveves ne faisant aucune erreur selon la meacutethode de
comparaison choisie
Il se pourrait donc que le fait de comparer les deacutecimales soit un signe dune meilleure
connaissance des nombres et des opeacuterations et potentiellement eacutegalement des concepts sous-
jacents Inversement ces reacutesultats suggeacutereraient que la meacutethode de lajout de zeacuteros ne soit par
contre pas tregraves efficace Or ces deux meacutethodes sont comme nous lavons vu plus haut (cf
Chapitre II43) des meacutethodes dexperts apparents
Neacuteanmoins ces pourcentages et le lien possible entre ces deux meacutethodes et le nombre
derreurs sont agrave consideacuterer avec preacutecaution Tout dabord ils ne concernent que notre
population de 59 eacutelegraveves Ensuite il se peut que ce soit les eacutelegraveves ayant le plus de difficulteacutes
qui utilisent la regravegle de lajout des zeacuteros Peut-ecirctre parce quils ne connaissent pas lautre ou
parce que celle-ci leur paraicirct plus aiseacutee agrave utiliser Il serait donc preacutecipiteacute de tirer la conclusion
que la regravegle de lajout des zeacuteros est le reflet dune mauvaise connaissance des nombres et des
opeacuterations
Il est aussi inteacuteressant de noter ici que les eacutelegraveves de VSB-VP recourent agrave 75 agrave la meacutethode
de comparaison des deacutecimales ainsi que 60 des eacutelegraveves de VG En comparant par anneacutee
(voies meacutelangeacutees) en 10H 86 des eacutelegraveves comparent les deacutecimales contre seulement 58 en
9H Lagrave encore on peut penser quavec lexpeacuterience les eacutelegraveves semblent ameacuteliorer leurs
connaissances des nombres deacutecimaux
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Partie 2
Questions 5 agrave 10
1 deacutecimale 2 deacutecimales
9H 10H Total 9H 10H Total
Addition (questions 5 et 6) 5 1 6 10 8 9 17 29
Soustraction (questions 7 et 8) 8 3 11 19 14 12 26 44
Total 13 4 17 29 22 21 43 73
Tableau 12 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par anneacutee et par type dopeacuteration
Tant pour laddition que pour la soustraction nous observons quil y a presque le double
deacutelegraveves qui ne parviennent pas agrave reacutesoudre correctement les calculs agrave deux deacutecimales que
deacutelegraveves qui narrivent pas agrave reacutesoudre les calculs agrave une deacutecimale Alors quagrave une deacutecimale les
eacutelegraveves de 10H sont plus performants que ceux de 9H degraves quil y a deux deacutecimales ceux-lagrave
nobtiennent pas de meilleurs scores
1 deacutecimale 2 deacutecimales
VSB-VP VG Total VSB-VP VG Total
Addition (questions 5 et 6) 1 (2) 5 (33) 6 13 (30) 4 (27) 17
Soustraction (questions 7 et 8) 6 (14) 5 (33) 11 19 (43) 7 (47) 26
Total 7 11 17 32 11 43
Tableau 13 Questions 5 agrave 10 nombre derreurs par voie et par type dopeacuteration
De la mecircme maniegravere alors que les eacutelegraveves de VSB-VP reacuteussissent mieux les calculs agrave une
deacutecimale ils ne sont pas plus performants pour les calculs agrave deux deacutecimales tant que les
calculs restent simples ils sont meilleurs mais degraves que les calculs se complexifient leacutecart
avec les eacutelegraveves de VG se reacuteduit
Par la suite nous ne deacutecrivons pas les erreurs typiques qui ont deacutejagrave fait lobjet dune
description dans lanalyse a priori Nous ne faisons que les relever et en indiquer la cause la
plus plausible Pour certaines erreurs il nest pas possible de deacuteterminer la ou les causes de
leur survenue (inattention difficulteacute au niveau du calcul mental surcharge cognitive faute
intentionnelle ) Lorsque quun eacutelegraveve ne laisse aucune trace de calcul sur le questionnaire
nous faisons lhypothegravese quil a effectueacute le calcul mentalement
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Question 5 27 + 35 = 62
6 eacutelegraveves (10) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
512 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
062 2 (3)14 Un des eacutelegraveves a eacutecrit le calcul en colonnes quil fait correctement
avec le report de dix dixiegravemes vers les uniteacutes Par contre le
placement de la virgule nest pas correct Cette faccedilon meacutecanique de
proceacuteder semble avoir inhibeacute son sens des nombres car il trouve 0
uniteacute alors que le calcul est une addition duniteacutes positives
64 63
61
3 (5) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 14 Erreurs agrave la question 5
Ainsi un seul eacutelegraveve (2) leacutelegraveve D12 semble commettre lerreur de consideacuterer le nombre
deacutecimal comme deux nombres entiers seacutepareacute par une virgule et dadditionner les parties
entiegraveres et deacutecimales de maniegravere indeacutependante (27 + 35 = 512) Il fait cinq calculs faux sur
six Nous analysons ses reacutesultats plus loin
14 Les pourcentages sont arrondis agrave luniteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Question 6 1917 + 184 = 2101
17 eacutelegraveves (29) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
211 13 (22) Les treize eacutelegraveves semblent effectuer ce calcul de tecircte car il ny a pas
de trace sur leur feuille Il est inteacuteressant de noter quils calculent
correctement limpact des deacutecimales sur les uniteacutes Par contre ils
trouvent 1 au lieu de 01 pour la partie deacutecimale
Vu le nombre important derreurs nous sommes retourneacutes vers une
partie de nos eacutelegraveves pour comprendre comment cette erreur eacutetait
apparue15 Il en est ressorti quils calculent mentalement de gauche agrave
droite Ainsi 1917 + 184 donne 19 + 1 = 20 puis 1 + 8 = 9 donc
209 puis 7 + 4 = 11 A ce moment ils imaginent que le 11 remplace
la deacutecimale deacutejagrave trouveacutee et reacutepondent 211
Nous avons reacutepeacuteteacute lexpeacuterience avec un autre calcul
1937 + 194 et la reacuteponse des eacutelegraveves optant pour cette meacutethode de
calcul fut 19 + 1 = 20 puis 3 + 9 = 12 donc 212 puis 7 + 4 = 11 et
ici aussi leacutelegraveve remplace la deacutecimale trouveacutee preacuteceacutedemment et
conclu 221
Il semblerait donc que cette meacutethode les surcharge cognitivement
En effet en leur demandant deffectuer ces mecircmes calculs mais de
droite agrave gauche ils ne se trompent plus
2001 2 (3) Un des deux eacutelegraveves fait le calcul en colonnes lautre de tecircte Ils
omettent de tenir compte des retenues
2101 1 (2) Cette erreur pourrait sapparenter agrave la regravegle des nombres entiers mais
nous nous serions attendus agrave avoir 20101 Cet eacutelegraveve ayant effectueacute
le calcul en colonnes il semblerait que la faccedilon meacutecanique de
proceacuteder ait inhibeacute son sens des nombres car 20 uniteacutes + 1 uniteacute ne
peut en aucun cas donner 2 uniteacutes
21 1 (2) Cet eacutelegraveve exeacutecute le calcul mentalement et ne tient pas compte de la
partie deacutecimale
Tableau 15 Erreurs agrave la question 6
Aucun eacutelegraveve ne semble faire appel agrave une fausse repreacutesentation
15 Le questionnaire ayant eacuteteacute anonyme nous avons ducirc pour obtenir des explications interroger une classe a posteriori
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3560 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Question 7 127 ndash 19 = 108
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
112 1 (2) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
102 2 (3) Ces eacutelegraveves tiennent bien compte de limpact des deacutecimales sur les
uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques (cf Chapitre IV2 Analyse a priori)
146 2 (3) Ces eacutelegraveves ont additionneacute au-lieu de soustraire
108 1 (2) Cet eacutelegraveve applique meacutecaniquement lalgorithme de soustraction puis
semble utiliser la technique de positionnement de la virgule propre agrave
la multiplication (en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir
inhibeacute son sens des nombres car il trouve une uniteacute alors que le
calcul demandait den soustraire environ 2 agrave 12
103
94 28
109
128
5 (8) Ces eacutelegraveves nont pas laisseacute de trace les calculs ont donc eacuteteacute
apparemment effectueacutes mentalement Il ne nous est pas possible de
deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 16 Erreurs agrave la question 7
Un seul eacutelegraveve (2) semble donc faire lutilisation de la regravegle des nombres entiers dans sa
reacuteponse et deux (3) semblent avoir une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3660 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Question 8 1232 ndash 239 = 993
26 eacutelegraveves (44) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
107 2 (3) Utilisation de la regravegle des nombres entiers et problegraveme de
repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (cf Chapitre IV2
Analyse a priori)
987
997
907
967
87
7 (12) Ici les eacutelegraveves se rendent bien compte de limpact des dixiegravemes sur
les uniteacutes mais ont un problegraveme de repreacutesentation des opeacuterations
matheacutematiques ils soustraient indeacutependamment les centiegravemes les
plus petits aux plus grands sans tenir compte de lordre de calcul
puis tentent vainement de calculer leur impact sur les dixiegravemes et les
uniteacutes
Leacutelegraveve trouvant 967 a probablement effectueacute ce qui est deacutecrit plus
haut pour les centiegravemes mais a additionneacute au niveau des dixiegravemes
903 5 (8) Comme agrave la question 6 nous sommes retourneacutes vers les eacutelegraveves pour
comprendre cette erreur freacutequente La plupart des eacutelegraveves fait le calcul
de gauche agrave droite
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 2 ndash 9 = -7 au niveau des centiegravemes Ils
diminuent luniteacute de 1 mais rajoutent 10 centiegravemes moins 7 ce qui
donne (10 ndash 1) + (10 centiegravemes ndash 7) = 903
Parmi les eacutelegraveves qui reacuteussissent nous avons le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et inversion de la partie deacutecimale pour obtenir un
nombre positif 39 ndash 32 = 7 Puis inversion agrave nouveau et prise en
compte que ce sont des centiegravemes 10 ndash 007 = 993
Un autre eacutelegraveve qui reacuteussit effectue le calcul suivant
12 ndash 2 = 10 et 32 ndash 39 = -7 Il transforme ce dernier reacutesultat en
centiegravemes et calcule 10 ndash 007 = 993
93 5 (8) Un eacutelegraveve nous a expliqueacute sa meacutethode
12 ndash 2 = 10 03 ndash 03 = 0 et 2 ndash 9 = -7 Ainsi 10 ndash 07 = 93 Il a
donc laquo oublieacute raquo quil y a avait un dixiegraveme nul
893
1093
2 (3) Ils omettent de tenir compte des retenues
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3760 B Favre et K Morel (mai 2014)
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Erreur Freacutequence Cause
003 1 (2) Cet eacutelegraveve calcule en colonnes et a clairement un problegraveme avec la
technique de calcul Il confond la retenue accoleacutee aux 2 des uniteacutes
avec un 1 de dizaine au lieu de soustraire 1 + 2 il soustrait 12
1471 3 (5) Ces eacutelegraveves additionnent au-lieu de soustraire
994 1 (2) Leacutelegraveve avait dabord effectueacute une addition quil a ratureacutee Il na pas
laisseacute dautres traces Il ne nous est pas possible de deacuteterminer la
cause de cette erreur
Tableau 17 Erreurs agrave la question 8
Seuls deux eacutelegraveves (3) semblent faire clairement lutilisation de la regravegle des nombres entiers
dans leur reacuteponse Sept eacutelegraveves (12) inversent le calcul afin dextraire les centiegravemes pour les
consideacuterer comme des nombres indeacutependants et soustraire le plus petit du plus grand (fausse
repreacutesentation au niveau des opeacuterations)
Question 9 546 2 = 1092
8 eacutelegraveves (14) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
10812 3 (5) Utilisation de la regravegle des nombres entiers (cf Chapitre IV2 Analyse
a priori)
10912 1 (2) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale mais leacutelegraveve tient quand mecircme compte des retenues
1092 2 (3) Pour lun il a y une mauvaise technique de positionnement de la
virgule dans une multiplication Pour lautre il a poseacute le calcul en
colonnes comme une addition de 546 et 546 puis semble utiliser la
technique de positionnement de la virgule propre agrave la multiplication
(en divisant le reacutesultat par 100) Ceci semble avoir inhibeacute son sens
des nombres car il trouve environ 11 uniteacutes pour une addition
denviron deux fois 55 uniteacutes
10902
1052
2 (3) Aucun trace na eacuteteacute laisseacutee par ces eacutelegraveves Il ne nous est pas possible
de deacuteterminer les causes de ces erreurs
Tableau 18 Erreurs agrave la question 9
Quatre eacutelegraveves (7) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers et obtiennent une reacuteponse
dont la partie deacutecimale est eacutegale agrave 12
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3860 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Question 10 2 268 = 536
11 eacutelegraveves (19) inscrivent une reacuteponse incorrecte
Erreur Freacutequence Cause
5216
5136
3136
3 (5) Utilisation partielle de la regravegle des nombres entiers au niveau de la
partie deacutecimale Deux eacutelegraveves tiennent tout de mecircme compte des
retenues
134 1 (2) Cet eacutelegraveve a diviseacute 268 par 2 au lieu de multiplier
576
538
526
516
336 52
7 (12) Ces erreurs surviennent en partie agrave cause dune mauvaise gestion des
retenues
Toutefois sauf pour 336 on peut dire que le sens des nombres
(number sense) nest pas bafoueacute lordre de grandeur 5 est correct
Tableau 19 Erreurs agrave la question 10
Trois eacutelegraveves (5) semblent utiliser la regravegle des nombres entiers
Synthegravese concernant la partie 2
Il y a donc 79 (22) items erroneacutes sur 35416 agrave la partie 2 Nous avons identifieacute lutilisation
probable dune fausse repreacutesentation pour 20 de ces items Cette analyse nous permet de
mettre en eacutevidence les problegravemes de compreacutehension suivants
ndash conception du nombre deacutecimal comme eacutetant la juxtaposition de deux entiers (selon la
regravegle des nombres entiers) pour 11 items (15)
ndash fausse conception au niveau des opeacuterations matheacutematiques soustraire la partie
deacutecimale la plus petite agrave la plus grande sans tenir compte de lordre de calcul imposeacute
pour 9 items (11)
ndash mauvaise maicirctrise des techniques de calcul en colonnes et perte de lien avec le sens
des nombres
ndash zeacutero dixiegraveme consideacutereacute comme non significatif lorsquil existe des centiegravemes
ndash confusion des regravegles de positionnement de la virgule et perte de lien avec le sens des
nombres
ndash confusion dans la gestion des retenues et dans le groupement des eacuteleacutements dordre
infeacuterieur avec les eacuteleacutements dordre supeacuterieur
16 Les questions 5 agrave 10 comportent un item chacune Le nombre ditems total est connu en multipliant par la population totale
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 3960 B Favre et K Morel (mai 2014)
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses
repreacutesentations
Le tableau suivant preacutesente le nombre deacutelegraveves faisant ou non lutilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse
repreacutesentation dans lune et lautre des parties du questionnaire
Partie 1 Pas dutilisation reacutepeacuteteacuteediscernable dune mecircme
fausse repreacutesentation
Partie 1 Utilisation probable dune
mecircme fausserepreacutesentation deux fois
ou plus
Partie 2 0 ou 1 reacuteponse incorrecte
22 (37) 1317 (22)
Partie 2 2 reacuteponses incorrectes ou plus
Pas dutilisationreacutepeacuteteacutee discernabledune mecircme fausse
repreacutesentation
1518 (25) 619 (10)
Utilisation probabledune mecircme fausserepreacutesentation deux
fois ou plus
320 (5) 0
Tableau 20 Nombre derreurs dans les deux parties du questionnaire selon lutilisation ou
non dune fausse repreacutesentation
Ce tableau nous indique donc que
ndash 15 + 3 = 18 (31) eacutelegraveves semblent avoir de bonnes connaissances sur les nombres
deacutecimaux (partie 1) mais sont deacuteficitaires au niveau des opeacuterations avec ceux-ci
(partie 2)
ndash 13 (22) eacutelegraveves ont des lacunes sur les nombres deacutecimaux mais semblent maicirctriser les
opeacuterations avec ceux-ci
17 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique B1 B3 B15 C12 C13 C14 D3
Regravegle des nombres entiers B9 B13 D2 D5
Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo B8
Regravegles multiples B12 (regravegle des nombres entiers et regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo)
18 Les eacutelegraveves A3 A10 A12 B7 B11 B16 C1 C2 C4 C5 C6 D1 D8 D11 D15
19 Fausse repreacutesentation au niveau de la densiteacute numeacuterique A1 B2 B14 D4
Regravegle des nombres entiers A4
Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo A2
20 Regravegle des nombres entiers D10 D12 et D14
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4060 B Favre et K Morel (mai 2014)
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
ndash 6 (10) eacutelegraveves ont des lacunes tant dans la connaissance des nombres deacutecimaux que
dans la connaissance des opeacuterations
Nous avons donc 18 + 13 = 31 eacutelegraveves (53) qui semblent bien maicirctriser une partie mais
moins bien lautre Ceci est un indicateur quil est tout agrave fait possible de bien reacuteussir dans un
domaine sans pour autant avoir une connaissance complegravete de celui-ci et confirme notre
interpreacutetation des coefficients de correacutelation discuteacutes au chapitre V2
Le tableau suivant indique le nombre deacutelegraveves utilisant plusieurs fois une mecircme fausse
repreacutesentation (un eacutelegraveve ne peut ecirctre associeacute quagrave une seule repreacutesentation)
Parties 1 et 2
Regravegle des nombresentiers
laquo le plus long estle plus grand raquo
laquo le plus court estle plus grand raquo
Problegraveme dedensiteacute numeacuterique
2 occurrencesou plus
9 (15)A4 B9 B13 B14 D2 D5
D10 D12 D14
1 (2)A2
2 (3)B8 B12
10 (17)A1 B1B2 B3 B15 C12
C13 C14 D3 D4
Tableau 21 Nombre deacutelegraveves utilisant une fausse repreacutesentation de maniegravere reacutepeacuteteacutee
Nous avons donc 22 eacutelegraveves (37) qui semblent utiliser agrave plusieurs reprises une mecircme fausse
repreacutesentation
9H 10H Total
VG VP VSB
Total 7 (47) 9 (56) 6 (21) 22 (37)
Tableau 22 Nombre deacutelegraveve de chaque voie utilisant une fausse repreacutesentation de faccedilon
reacutepeacuteteacutee en pourcentage du nombre deacutelegraveves de lanneacutee et de la voie
Les eacutelegraveves en 9H de VP recourent de faccedilon reacutepeacuteteacutee agrave une fausse repreacutesentation aussi
freacutequemment que les eacutelegraveves de VG En 10H par contre les eacutelegraveves sont beaucoup moins
nombreux agrave utiliser plusieurs fois une mecircme fausse repreacutesentation
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4160 B Favre et K Morel (mai 2014)
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
Nous analysons ici les erreurs de certains eacutelegraveves qui preacutesentent une certaine constance des
erreurs dans une des parties du questionnaire mais qui reacuteussissent bien lautre Loutil
danalyse est le mecircme que preacutesenteacute preacuteceacutedemment (cf Annexe 3) Les eacutelegraveves et les raisons de
ces choix sont
- D14 la partie 1 est entiegraverement correcte mais la partie 2 est entiegraverement fausse
- D12 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D10 la partie 1 est entiegraverement correcte mais il commet cinq erreurs sur six agrave la partie 2
- D3 il semble avoir des difficulteacutes avec la densiteacute numeacuterique mais ne commet aucune
erreur agrave la partie 2
- B12 il semble utiliser la regravegle du laquo plus court est plus grand raquo dans la partie 1 et eacutecrit agrave la
question 4 que cest sa faccedilon de comparer les deacutecimaux mais ne commet quune erreur que
nous ne pouvons cateacutegoriser agrave la partie 2
Elegraveve D14 classe de 9VG
Il reacuteussit la premiegravere partie du questionnaire sans fautes et utilise la meacutethode de comparaison
des deacutecimales pour comparer deux nombres deacutecimaux Il semblerait donc ecirctre un expert (regravegle
de lexpert apparent) Au niveau des calculs par contre il nen reacuteussit aucun Tous semblent
avoir eacuteteacute effectueacutes mentalement aucune trace ne figure sur le questionnaire
Les sources potentielles derreur sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers coupleacutee (question 9) ou non (questions 7 et
8) avec une fausse repreacutesentation au niveau des opeacuterations
127 ndash 19 = 112 1232 ndash 239 = 107 et 546 middot 2 = 10812
ndash une confusion entre le zeacutero significatif des dixiegravemes lorsquil y a des centiegravemes et le
zeacutero non significatif lorsquil ny a pas de centiegravemes (question 6) 1917 + 184 = 211
ndash une fausse conception sur les opeacuterations en matheacutematiques (questions 7 et 8)
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 10
Pour cet eacutelegraveve on remarque quune bonne connaissance des nombres deacutecimaux nrsquoentraicircne pas
une bonne connaissance des opeacuterations avec ceux-ci nous avons typiquement le cas de
lexpert apparent
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4260 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Elegraveve D12 9VG
Tout comme leacutelegraveve preacuteceacutedent cet eacutelegraveve reacuteussit sans fautes la premiegravere partie du questionnaire
agrave la diffeacuterence pregraves quil ajoute des zeacuteros aux parties deacutecimales pour les comparer entre elles
Au niveau des calculs il nen reacuteussit quun seul sur six Quatre des calculs erroneacutes sont
effectueacutes mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 5 9 et 10)
27 + 35 = 512 546 middot 2 = 10812 et 2 middot 268 = 5136
ndash une fausse conception sur les opeacuterations matheacutematiques (questions 7 et 8)
127 ndash 19 = 102 (fait en colonnes) 1232 ndash 239 = 987
Elegraveve D10 9VG
Cet eacutelegraveve reacutepond agrave question 1 dans lordre deacutecroissant Ce reacutesultat agrave la question peut provenir
dune mauvaise compreacutehension du sens du mot deacutecroissant car il reacuteussit la question 2
entiegraverement Nous navons pas chercheacute dexplications suppleacutementaires Le reste de la premiegravere
partie est correcte Il compare les deacutecimaux en observant les deacutecimales soit un comportement
dexpert apparent
Dans les calculs il commet 5 erreurs sur les 6 calculs tous semblent avoir eacuteteacute effectueacutes
mentalement
Les sources potentielles derreurs sont
ndash lutilisation de la regravegle des nombres entiers (questions 9 et 10)
2 middot 546 = 10812 2 middot 268 = 3136
ndash une fausse repreacutesentation des opeacuterations matheacutematiques (question 8)
1232 ndash 239 = 807
Nous ne pouvons expliquer les erreurs aux questions 5 et 7
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4360 B Favre et K Morel (mai 2014)
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Elegraveve D3 9VG
Contrairement aux trois autres cet eacutelegraveve se distingue par le fait quil reacuteussit tous les calculs
tous effectueacutes en colonnes Cependant on observe une certaine difficulteacute avec la densiteacute des
nombres
ndash il ne trouve pas de troisiegraveme nombre agrave intercaler agrave la question 3A
ndash et laisse vide les deux questions suivantes 3B et 3C
Sa strateacutegie pour comparer des nombres est dajouter des zeacuteros agrave la partie deacutecimale
Les trois premiers eacutelegraveves eacutetudieacutes effectuent leurs calculs mentalement et obtiennent
freacutequemment des reacutesultats erroneacutes alors que celui-ci les effectue en colonnes et correctement
Cet eacutelegraveve semble posseacuteder une bonne maicirctrise des algorithmes de calcul par contre il
nrsquoapparaicirct pas ecirctre agrave laise avec la manipulation des nombres deacutecimaux Il semble confirmer
que des proceacutedures peuvent ecirctre appliqueacutees meacutecaniquement sans comprendre le sens de ce qui
est obtenu
Elegraveve B12 9VP
Cet eacutelegraveve commet cinq erreurs agrave la partie 1 toutes imputables a priori agrave la regravegle laquo du plus
court est le plus grandraquo Les cinq autres items sont corrects mais ils peuvent lecirctre eacutegalement
si on utilise cette regravegle (36 gt 35057 0758lt08 )
De plus agrave la question 4 leacutelegraveve reacutepond quil a trouveacute le plus grand laquo car il a moins de chiffres
agrave virgules raquo Ceci confirme donc lemploi de cette fausse repreacutesentation
Toutefois celle-ci semble ecirctre utiliseacutee uniquement pour les comparaisons de paires Il ne
commet pas derreur dans le classement des nombres (question 1) ou lintercalation (question
4) Dans la partie concernant les opeacuterations (partie 2) il effectue cinq calculs sur six de tecircte et
ne comment quune seule erreur Ici aussi il semblerait quune bonne connaissance des
opeacuterations avec des nombres deacutecimaux nentraicircne pas neacutecessairement une bonne connaissance
de la construction dun nombre deacutecimal
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4460 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
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PER Plan deacutetudes romand cycle 2 (2010) Matheacutematiques et Sciences de la nature
Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
PER Plan deacutetudes romand cycle 3 (2010) Matheacutematiques et Sciences de la nature
Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Steinle V (2004) Changes with age in studentsrsquo misconceptions of decimal numbers
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
VI CONCLUSION
VI1 Synthegravese
Lanalyse des reacutesultats nous a permis de reacutefuter lhypothegravese quune bonne connaissance des
nombres deacutecimaux est lieacutee agrave une bonne connaissance des opeacuterations avec les nombres
deacutecimaux (ou linverse) en ce qui concerne notre population statistique En effet nous avons
vu que 31 eacutelegraveves (53) reacuteussissent relativement bien une partie du questionnaire mais moins
bien lautre Ils parviennent agrave reacutepondre correctement agrave certaines tacircches ou calculs avec les
nombres deacutecimaux sans avoir neacutecessairement une bonne connaissance geacuteneacuterale de ce
concept
Ce travail nous a permis de deacuteceler les fausses repreacutesentations que peuvent avoir les eacutelegraveves
sur les nombres deacutecimaux et les opeacuterations matheacutematiques relatives Nous avons en effet pu
identifier ce qui semble ecirctre lutilisation reacuteguliegravere dune mecircme fausse repreacutesentation chez 22
eacutelegraveves (37) (la regravegle des nombres entiers la regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo la regravegle
du laquo plus court est le plus grand raquo ou une fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique)
Nous avons eacutegalement remarqueacute que si les eacutelegraveves de 10H sont meilleurs que leur camarades
de 9H pour la reacutesolution ditems simples cet eacutecart se reacuteduit pour les items plus complexes
Lutilisation de la meacutethode de comparaison des deacutecimales pour comparer des paires de
nombres deacutecimaux semble suggeacuterer une meilleure maicirctrise des nombres deacutecimaux
Neacuteanmoins nous devons limiter cette conclusion agrave notre population Il se peut eacutegalement que
cette meacutethode soit principalement choisie par les eacutelegraveves les plus agrave laise avec ce domaine des
matheacutematiques
Les eacutelegraveves reacutepondent tous agrave la question 1 correctement contrastant avec les reacutesultats obtenus
par Steinle (2004) et Muir et Livy (2012) Les reacutesultats pour la question 2 sont aussi meilleurs
que ceux obtenus par ces auteurs Le nombre derreurs dans les items dopeacuterations (partie 2)
nous a sembleacute eacuteleveacute peut-ecirctre ducirc agrave un manque dentraicircnement dans le calcul mental Nous
avons pu deacuteterminer que pour onze des septante-neuf items dont la reacuteponse eacutetait erroneacutee il y
avait probablement eu utilisation de la regravegle des nombres entiers et que pour neuf items il y
avait probablement eu utilisation dune fausse repreacutesentation sur les opeacuterations
matheacutematiques
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4560 B Favre et K Morel (mai 2014)
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Steinle V (2004) Changes with age in studentsrsquo misconceptions of decimal numbers
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
VI2 Limites et prolongements
Ce travail de recherche est une eacutetude sur la compreacutehension quont les eacutelegraveves du secondaire 1
des nombres deacutecimaux Il ne se preacutetend pas complet Il ne se veut pas non plus une source de
solutions pour faire face agrave ces fausses conceptions ni un recueil de recommandations pour les
maicirctres concerneacutes par ce niveau de formation De plus notre population statistique eacutetant petite
(59 eacutelegraveves) les reacutesultats obtenus ne peuvent pas ecirctre geacuteneacuteraliseacutes agrave toute la population des
eacutelegraveves de 9H et 10H voies VSB VP ou VG
Nous avons remarqueacute que les eacutelegraveves de 10H avaient globalement de meilleurs reacutesultats que
ceux de 9H Il aurait eacuteteacute inteacuteressant de connaicirctre les reacutesultats de classes supeacuterieures afin de
constater si cette ameacutelioration des connaissances est durable ou non
Il serait eacutegalement inteacuteressant de suivre ces mecircmes eacutelegraveves afin de deacuteterminer la proportion de
ceux-ci qui devient expert avec le temps et potentiellement la proportion de ceux qui
reacutegresserait dune position dexpert agrave une position en proie agrave des difficulteacutes Dans ce cas le
questionnaire initial naurait pas ducirc ecirctre anonyme De plus ce travail de suivi neacutecessiterait une
organisation mateacuterielle et en temps au delagrave des moyens disponibles pour un meacutemoire
Lanonymat ne nous a pas permis de mener des entretiens compleacutementaires afin de connaicirctre
explicitement certaines proceacutedures utiliseacutees par certains eacutelegraveves Nous navons pu eacutemettre que
des hypothegraveses agrave leur sujet
Finalement il est probable que de fausses repreacutesentations autres que celles eacutetudieacutees dans le
cadre de ce meacutemoire aient eacuteteacute utiliseacutees Chaque eacutelegraveve est susceptible de construire la sienne
Selon Steinle (2004) il reste probablement encore des fausses repreacutesentations qui nont pas
encore eacuteteacute identifieacutees
VI3 Inteacuterecirct professionnel
Gracircce agrave ce meacutemoire professionnel nous pensons pouvoir mieux appreacutehender la maniegravere dont
les eacutelegraveves comprennent les concepts matheacutematiques lieacutes dans ce cas preacutecis aux nombres
deacutecimaux Nous serons mieux agrave mecircme drsquoidentifier les erreurs commises dans ce domaine
ayant une bonne connaissance des fausses repreacutesentations possiblement ancreacutees chez certains
eacutelegraveves De plus certaines lectures donnent des pistes pour lenseignement de cette matiegravere
recommandations que nous avons lues avec grand inteacuterecirct nous naborderons plus
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4660 B Favre et K Morel (mai 2014)
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
VII BIBLIOGRAPHIE
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Assessing A Revision of Blooms Taxonomy of Educational Objectives Boston MA
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Comptes rendus de la XXVIIIe rencontre organiseacutee par la Commission Internationale
pour lrsquoEtude et lrsquoAmeacutelioration de lrsquoEnseignement des Matheacutematiques (pp 101-117)
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connaissances matheacutematiques denseignants vaudois sur leur enseignement des
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Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
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PER Plan deacutetudes romand cycle 2 (2010) Matheacutematiques et Sciences de la nature
Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
PER Plan deacutetudes romand cycle 3 (2010) Matheacutematiques et Sciences de la nature
Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
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Steinle V (2004) Changes with age in studentsrsquo misconceptions of decimal numbers
University of Melbourne Department of Science and Mathematics Education
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
lenseignement des nombres deacutecimaux (ou de tout autre concept) de la mecircme maniegravere suite agrave
la reacutedaction de ce meacutemoire professionnel
Les reacutesultats apporteacutes par celui-ci confirment eacutegalement que la reacuteussite dun exercice ou dun
examen nimplique pas neacutecessairement la compreacutehension des objets dapprentissage en jeu
Drsquoun point de vue plus geacuteneacuteral ce travail de meacutemoire nous aura permis de nous familiariser
avec la recherche en matheacutematiques et les eacutetudes scientifiques y relatives Il nous sera
deacutesormais plus aiseacute de trouver des informations concernant drsquoautres sujets en rapport avec
notre didactique ou avec la profession drsquoenseignant dans sa globaliteacute
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4760 B Favre et K Morel (mai 2014)
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In W amp J Vanhamme La probleacutematique et lrsquoenseignement de la matheacutematique
Comptes rendus de la XXVIIIe rencontre organiseacutee par la Commission Internationale
pour lrsquoEtude et lrsquoAmeacutelioration de lrsquoEnseignement des Matheacutematiques (pp 101-117)
Charnay R amp Mante M (1990) De lrsquoanalyse drsquoerreurs en matheacutematiques aux dispositifs de
remeacutediation quelques pistes Grand N 48 37-64
Clivaz S (2011) Des matheacutematiques pour enseigner analyse de linfluence des
connaissances matheacutematiques denseignants vaudois sur leur enseignement des
matheacutematiques agrave leacutecole primaire Universiteacute de Genegraveve
Haapasalo L (2003) The conflict between conceptual and procedural knowledge Should we
need to understand in order to be able to do or vice versa Proceedings of the IXX
Symposium of the Finnish Mathematics and Science Education Research Association
University of Joensuu Bulletins of the Faculty of Education 86 1-20
Ma L P (1999) Knowing and Teaching Elementary Mathematics Teachers understanding
of fundamental mathematics in China and the United States Mahwah New Jersey
Lawrence Erlbaum Associates
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
McIntosh A Reys B J amp Reys R E (1992) A proposed framework for examining basic
number sense For the learning of mathematics 12(3) 2-8
Muir T amp Livy S (2012) What Do They Know A Comparison of Pre-Service Teachers and
In-service Teachers Decimal Mathematical Content Knowledge International Journal
for Mathematics Teaching and Learning 1-15
PER Plan deacutetudes romand cycle 2 (2010) Matheacutematiques et Sciences de la nature
Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
PER Plan deacutetudes romand cycle 3 (2010) Matheacutematiques et Sciences de la nature
Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
Perrin-Glorian M-J (1986) Repreacutesentation des fractions et des nombres deacutecimaux chez les
eacutelegraveves de CM2 et du collegravege Petit x 10 5-29
Resnick L B Nesher P Leonard F Magone M Omanson S amp Peled I (1989)
Conceptual bases of arithmetic errors The case of decimal fractions Journal for
research in mathematics education 8-27
Rittle-Johnson B Siegler R S amp Alibali M W (2001) Developing conceptual
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educational psychology 93(2) 346-362
Sackur-Grisvard C amp Leacuteonard F (1985) Intermediate cognitive organizations in the process
of learning a mathematical concept The order of positive decimal numbers Cognition
and instruction 2(2) 157-174
Steinle V (2004) Changes with age in studentsrsquo misconceptions of decimal numbers
University of Melbourne Department of Science and Mathematics Education
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
VII BIBLIOGRAPHIE
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Assessing A Revision of Blooms Taxonomy of Educational Objectives Boston MA
Allyn amp Bacon (Pearson Education Group)
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remeacutediation quelques pistes Grand N 48 37-64
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connaissances matheacutematiques denseignants vaudois sur leur enseignement des
matheacutematiques agrave leacutecole primaire Universiteacute de Genegraveve
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need to understand in order to be able to do or vice versa Proceedings of the IXX
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of fundamental mathematics in China and the United States Mahwah New Jersey
Lawrence Erlbaum Associates
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4860 B Favre et K Morel (mai 2014)
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number sense For the learning of mathematics 12(3) 2-8
Muir T amp Livy S (2012) What Do They Know A Comparison of Pre-Service Teachers and
In-service Teachers Decimal Mathematical Content Knowledge International Journal
for Mathematics Teaching and Learning 1-15
PER Plan deacutetudes romand cycle 2 (2010) Matheacutematiques et Sciences de la nature
Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
PER Plan deacutetudes romand cycle 3 (2010) Matheacutematiques et Sciences de la nature
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eacutelegraveves de CM2 et du collegravege Petit x 10 5-29
Resnick L B Nesher P Leonard F Magone M Omanson S amp Peled I (1989)
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University of Melbourne Department of Science and Mathematics Education
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
McIntosh A Reys B J amp Reys R E (1992) A proposed framework for examining basic
number sense For the learning of mathematics 12(3) 2-8
Muir T amp Livy S (2012) What Do They Know A Comparison of Pre-Service Teachers and
In-service Teachers Decimal Mathematical Content Knowledge International Journal
for Mathematics Teaching and Learning 1-15
PER Plan deacutetudes romand cycle 2 (2010) Matheacutematiques et Sciences de la nature
Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
PER Plan deacutetudes romand cycle 3 (2010) Matheacutematiques et Sciences de la nature
Neuchacirctel Secreacutetariat geacuteneacuteral de la CIIP
Perrin-Glorian M-J (1986) Repreacutesentation des fractions et des nombres deacutecimaux chez les
eacutelegraveves de CM2 et du collegravege Petit x 10 5-29
Resnick L B Nesher P Leonard F Magone M Omanson S amp Peled I (1989)
Conceptual bases of arithmetic errors The case of decimal fractions Journal for
research in mathematics education 8-27
Rittle-Johnson B Siegler R S amp Alibali M W (2001) Developing conceptual
understanding and procedural skill in mathematics An iterative process Journal of
educational psychology 93(2) 346-362
Sackur-Grisvard C amp Leacuteonard F (1985) Intermediate cognitive organizations in the process
of learning a mathematical concept The order of positive decimal numbers Cognition
and instruction 2(2) 157-174
Steinle V (2004) Changes with age in studentsrsquo misconceptions of decimal numbers
University of Melbourne Department of Science and Mathematics Education
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 4960 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
VIII ANNEXES
VIII1 Annexe 1 Questionnaire
Questionnaire
Dans le cadre de nos eacutetudes agrave la Haute Ecole Peacutedagogique de Lausanne nous effectuons une
recherche sur les habileteacutes des eacutelegraveves relatives aux nombres deacutecimaux
Pour ce faire nous avons besoin de reacutecolter des informations par le biais de ce questionnaire
sous forme de test Nous te remercions donc de bien vouloir y reacutepondre Le test est anonyme
Le temps neacutecessaire est drsquoenviron 25 minutes Utilise si neacutecessaire les espaces agrave cocircteacute des
questions comme espace brouillon Ecris tes reacuteponses deacutefinitives sur les pointilleacutes
Le test est reacutealiseacute avec un stylo bille ou feutre La calculatrice nest pas admise
____________________________________________________________
Question 1
Ecris les nombres suivants dans lrsquoordre croissant (du plus petit au plus grand)
5466 56 50796 54428 557
lt lt lt lt
Question 2
Complegravete avec le symbole qui convient lt gt ou =
36 35057
5736 562
03026 032
7942 763
03 0426
74084 747
4673 481
2526 28325
063 0942
0758 08
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5060 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Question 3
Ecris si possible 3 nombres compris entre
37 et 4
624 et 629
099 et 111
Question 4
Parmi ces 2 nombres entoure le plus grand 02875 031
Explique ci-dessous comment tu as fait pour trouver le plus grand
Questions 5 agrave 10 effectue les calculs suivants
Question 5
27 + 35 =
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5160 B Favre et K Morel (mai 2014)
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Question 6
1917 + 184 =
Question 7
127 ndash 19 =
Question 8
1232 ndash 239 =
Question 9
546 middot 2 =
Question 10
2 middot 268 =
MERCI
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5260 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
(McIntosh et al 1992)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5360 B Favre et K Morel (mai 2014)
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
Informations pour la lecture de notre outil danalyse des reacutesultats
ndash Les eacutelegraveves sont preacutesenteacutes en colonnes et les questions en lignes
ndash Les cases rouges donnent le nombre de points obtenus par question
ndash Les cases bleues renseignent sur les erreurs commises
ndash A la question 3 laquo V raquo signifie que leacutelegraveve a laisseacute lemplacement vide
ndash A la question 4 laquo deacutecimales raquo signifie que leacutelegraveve a compareacute les dixiegravemes puis les centiegravemes
ndash Aux questions 5 agrave 10 nous avons renseigneacute si leacutelegraveve a effectueacute le calcul en colonnes ou sil a laisseacute dautres traces (des notes) Lorsque la case
est vide cela signifie que leacutelegraveve a probablement effectueacute le calcul de tecircte ou mentalement aucune trace nayant eacuteteacute visible sur le questionnaire
ndash Nous avons utiliseacute le point au lieu de la virgule pour seacuteparer la partie deacutecimale la version de notre tableur (Open Office calc) eacutetant anglo-
saxonne
ndash Les eacuteleacutements en gras indiquent quil y a probablement eu utilisation reacutepeacuteteacutee dune fausse repreacutesentation (regravegle des nombres entiers laquo le plus
long est le plus grand raquo et laquo le plus court est le plus grand raquo)
ndash Les eacuteleacutements entoureacutes de la question 3 indiquent quil y a eu deux items incorrects ou plus et que le point na pas eacuteteacute accordeacute car il y a une
fausse repreacutesentation sur la densiteacute numeacuterique
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5460 B Favre et K Morel (mai 2014)
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5560 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE APartie 1 10 VSB
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7942lt763
4673gt481
0758gt08
Q3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V V V 1 19 110 1 11 12
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4
Partie 2 10 VSBQ5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
64
Q6 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1
211 211 211 211 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
Q8 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
colonnes colonnes colonnes
994 93 893 93 93 903
Q9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
1092
Q10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
576 538 526
Total partie 2 4 3 4 3 5 6 6 6 5 4 5 4 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5660 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE BPartie 1 9VP
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
03gt0426 5736lt562 7942lt763 03026gt032 03gt0426
063gt0942
0758gt08 5736lt562
03gt0426 03gt0426
2526gt28325
Q3 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
38 39 V 37 V V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V 38 39 V
V V V 626 628 V
1 11 12 1 11 12 1 13 16 11 14 17 1 11 12 01 011 012
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales regravegle nb entiers deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 3 3 3 4 4 4 4 3 3 4 4 2 3 3 3 4
Partie 2 9VPQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes
Q6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
colonnes colonnes colonnes colonnes
2001 2001 211 211
Q7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
103 94 28
Q8 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
distributiviteacute colonnes colonnes colonnes colonnes
967 907 93 1093 907 997 997
Q9 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
colonnes colonnes
10912 10902
Q10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
516 5216
Total partie 2 5 4 6 6 5 6 3 6 6 5 3 5 6 3 5 4
2526gt28325
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5760 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE CPartie 1 10VSB
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
74084gt747
Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
5 6 V 5 6 65 5 6 V
0998 05 101 1 11 V
Q4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3
Partie 2 10VSBQ5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Q6 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
211 21 211
Q7 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
146 146 128
Q8 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
colonnes
1471 1471 903 903 903 903
Q9 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1052
Q10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
336
Total partie 2 4 4 5 4 4 4 6 5 6 5 6 5 6 6
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5860 B Favre et K Morel (mai 2014)
CLASSE DPartie 1 9VG
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15
Q1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute inverseacute
Q2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
inverseacute 74084gt747
Q3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38 39 V 38 39 V 38 39 4 38 39 4 38 39 4
V V V
11 12 13 V V V 091 0992 0993 1 12 19 1 11 12
Q4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ajout de 0 deacutecimales Ajout de 0 Pas expliqueacute Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales deacutecimales Ajout de 0 Ajout de 0 deacutecimales deacutecimales deacutecimales
Total partie 1 4 3 3 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Partie 2 9VGQ5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
062 062 63 512 61
Q6 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
2101 211 211 211
Q7 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
108 109 102 102 112
Q8 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes avec notes colonnes
003 1471 87 107 987 107 93
Q9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
1092 10812 10812 10812
Q10 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes colonnes
538 134 3136 5136 52
Total partie 2 2 6 6 3 5 6 6 4 6 1 4 1 6 0 4
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 5960 B Favre et K Morel (mai 2014)
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
-
- IX RESUME
-
IX RESUME
Lorsquun eacutelegraveve reacutesout correctement un exercice ou un problegraveme matheacutematique nous
pouvons nous demander si conjointement agrave de bonnes faculteacutes drsquoapplication drsquoalgorithmes
appris en classe il a reacuteellement compris les concepts propres au domaine eacutetudieacute
Partant de cette interrogation nous nous sommes inteacuteresseacutes aux connaissances relatives aux
nombres deacutecimaux de 59 eacutelegraveves du secondaire 1 Pour cela nous avons eacutelaboreacute un
questionnaire sous forme de test de matheacutematiques soumis agrave nos eacutelegraveves Ce questionnaire est
composeacute de deux parties la premiegravere relative agrave la connaissance des nombres comportent des
activiteacutes drsquoordonnancement de classement et dintercalation la seconde relative agrave la
connaissance des opeacuterations comportent des opeacuterations agrave effectuer
Nous avons ensuite articuleacute notre analyse selon deux approches
- Une approche quantitative par laquelle nous avons chercheacute agrave savoir srsquoil existait ou
non une correacutelation entre les aptitudes des eacutelegraveves agrave reacutepondre correctement agrave la partie
connaissance des opeacuterations de notre questionnaire et les aptitudes des eacutelegraveves agrave
reacutepondre correctement agrave la partie connaissance des nombres Autrement dit nous nous
sommes demandeacute srsquoil eacutetait possible de reacutesoudre des opeacuterations avec des nombres
deacutecimaux sans comprendre le concept de nombre deacutecimal sans avoir le sens du
nombre approprieacute
- Une approche qualitative par laquelle nous avons analyseacute la preacutesence et leacuteventuelle
constance de fausses repreacutesentations dans lrsquoesprit des eacutelegraveves concernant les nombres
deacutecimaux Une fausse repreacutesentation courante consiste agrave consideacuterer un nombre
deacutecimal comme deux entiers seacutepareacutes par une virgule Ces fausses repreacutesentations
peuvent eacutemaner dobstacles eacutepisteacutemologiques didactiques ou encore des
connaissances anteacuterieures des eacutelegraveves acquises scolairement ou non Elles constituent
alors des obstacles agrave lrsquoapprentissage
Finalement nous avons eacutetudieacute plus particuliegraverement les erreurs de cinq eacutelegraveves
Mots-cleacutes matheacutematiques nombres deacutecimaux opeacuterations sens des nombres obstacles
fausses repreacutesentations
Les nombres deacutecimaux au secondaire 1 6060 B Favre et K Morel (mai 2014)
- I INTRODUCTION 4
- II CADRE THEORIQUE 9
- III METHODOLOGIE 17
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES 19
- V ANALYSE DES RESULTATS 25
- VI CONCLUSION 45
- VII BIBLIOGRAPHIE 48
- VIII ANNEXES 50
- IX RESUME 60
- I INTRODUCTION
-
- I1 Choix du sujet
- I2 Objectifs de recherche
- I3 Les nombres deacutecimaux dans le plan deacutetudes romand (PER)
- I4 Les nombres deacutecimaux dans notre systegraveme de numeacuteration
-
- II CADRE THEORIQUE
-
- II1 Introduction
- II2 Connaissances proceacutedurales et conceptuelles
- II3 Sens des nombres
- II4 Fausses repreacutesentations sur les nombres deacutecimaux
-
- II41 Regravegle du laquo plus long est le plus grand raquo
-
- II41a La regravegle des nombres entiers (whole number rule)
- II41b Regravegle du zeacutero (zero rule)
-
- II42 Regravegle du laquo plus court est le plus grand raquo
-
- II42a Regravegle du laquo deacutenominateur raquo (denominator focussed thinking rule)
- II42b Regravegle de la fraction (reciprocal thinking rule)
- II42c Regravegle du raisonnement neacutegatif (negative thinking rule)
-
- II43 Regravegle de lrsquoexpert apparent (apparent expert rule)
-
- II5 Fausses repreacutesentations sur la densiteacute numeacuterique
- II6 Obstacles aux apprentissages
-
- III METHODOLOGIE
-
- III1 Type de recherche
- III2 Population statistique
- III3 Meacutethode
-
- IV OUTIL DE RECOLTE DES DONNEES
-
- IV1 Preacutesentation du questionnaire
- IV2 Analyse a priori
-
- IV21 Partie 1
- IV22 Partie 2
-
- IV3 Attribution des points
-
- V ANALYSE DES RESULTATS
-
- V1 Outil danalyse des reacutesultats
- V2 Analyse quantitative globale
- V3 Analyse qualitative des erreurs par question
- V4 Analyse qualitative selon lutilisation de fausses repreacutesentations
- V5 Analyse qualitative des erreurs de certains eacutelegraveves
-
- VI CONCLUSION
-
- VI1 Synthegravese
- VI2 Limites et prolongements
- VI3 Inteacuterecirct professionnel
-
- VII BIBLIOGRAPHIE
- VIII ANNEXES
-
- VIII1 Annexe 1 Questionnaire
- VIII2 Annexe 2 Framework for considering number sense
- VIII3 Annexe 3 Outil danalyse des reacutesultats
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- IX RESUME
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