MASTER 2EME ANNEE

MATHEMATIQUES

EN COACCREDITATION AVEC L’UNIVERSITE DE VALENCIENNES ET DU HAINAUT-CAMBRESIS,

L’UNIVERSITE D’ARTOIS, L’UNIVERSITE DU LITTORAL COTE D’OPALE

Année universitaire 2015 – 2016

Laboratoire Paul Painlevé CNRS UMR 8524-Lille1

Laboratoire de Mathématiques LAMAV UPRES EA 4015-UVHC

Laboratoire de Mathématiques de Lens UPRES EA 2462-Artois

Laboratoire de Math. Pures et Appliquées Joseph Liouville UPRES EA 2597-Calais

http://mathematiques.univ-lille1.fr

RESPONSABLES LILLE Parcours Recherche Mathématiques Appliquées : David DEREUDRE Parcours Agrégation : Vincent THILLIEZ Parcours Recherche Mathématiques Pures : Mihaï TIBAR

Université Lille1, Sciences et Technologies U.F.R. de Mathématiques F-59655 VILLENEUVE D’ASCQ CEDEX

SECRETARIAT Aurore SMETS math-masters2@univ-lille1.fr Tel. 03.20.43.42.33

RESPONSABLE VALENCIENNES Luc VRANCKEN

Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis LAMAV - ISTV2 Le Mont Houy 59313 VALENCIENNES Cedex 9

SECRETARIAT Nabila DAIFI nabila.daifi@univ-valenciennes.fr

Tel. 03.27.51.19.01 / Fax 03.27.51.19.00

RESPONSABLE LENS-ARTOIS Martintxo SARALEGI-ARANGUREN saralegi@euler.univ-artois.fr Tel. 03.21.79.17.20 / Fax 03.21.79.17.17 Université d'Artois Faculté des Sciences Jean Perrin Rue J. Souvraz, SP 18 F-62307 LENS CEDEX

RESPONSABLE ULCO Carole ROSIER Centre Universitaire de la Mi-Voix Université du Littoral-Côte d'Opale 50, rue F. Buisson, BP. 699 F-62228 CALAIS CEDEX

SECRETARIAT Christine GOURNAY christine.gournay@univ-littoral.fr

Tel. 03.21.46.36.16 / Fax 03.21.46.36.69

OBJECTIFS

En proposant une formation de haut niveau associant approfondissement des connaissances et initiation à la recherche en mathématiques, le Master de Mathématiques a pour objectifs :

de préparer les étudiants souhaitant poursuivre leurs études en Doctorat (parcours Recherche mathématiques pures, parcours Recherche mathématiques appliquées),

de préparer les étudiants souhaitant passer le concours de l’Agrégation Externe (parcours Agrégation),

d'approfondir la culture mathématique des enseignants de mathématiques des lycées et collèges.

La formation est centrée sur les cinq domaines des mathématiques pures et appliquées représentés dans les laboratoires:

analyse analyse numérique et EDP algèbre, arithmétique et géométrie géométrie et topologie probabilités et statistique

DEBOUCHES

Les deux parcours Recherche préparent aux fonctions d'enseignant et de chercheur. Ils donnent accès à des emplois dans les laboratoires de recherche publics ou privés, et, plus généralement, dans des sociétés de services ayant besoin de mathématiciens capables de modéliser des situations scientifiques variées. Le parcours Agrégation est une voie d’accès à la carrière de professeur agrégé dans l’enseignement secondaire ou supérieur. Tous les parcours permettent également de poursuivre en Doctorat. À l'issue du Master, le groupe de formation doctorale sélectionne au cours du mois de mai les étudiants admis à préparer un doctorat. Le doctorat donne accès aux carrières d'enseignant-chercheur dans l'enseignement supérieur ou de chercheurs dans les organismes publics ou les grandes entreprises. Voir Candidature ci-après.

BOURSES

POUR LES PARCOURS RECHERCHE DU MASTER 2 MATHEMATIQUES

Des bourses d’excellence de MASTER 2, financées par la Région Nord Pas-de-Calais et par le LABEX CEMPI ( http://math.univ-lille1.fr/~cempi/ ), peuvent être attribuées aux candidats les plus méritants. La procédure de candidature est expliquée dans le dossier de candidature du MASTER 2.

POUR PREPARER UNE THESE DE DOCTORAT :

Un nombre limité de contrats doctoraux de 3 ans peuvent être établis. Leurs sources de financement sont: Allocations de recherche du Ministère, bourse du LABEX CEMPI, bourses CNRS, bourses de la Région, bourses CIFRE, bourses financées par des programmes institutionnels. Une rémunération complémentaire pour service d'enseignement peut également être envisagée.

Candidature : Les règles du concours d’attribution des allocations de thèse et le dossier à télécharger se trouvent sur le site de l’Ecole Doctorale SPI (http://edspi.univ-lille1.fr/ ). L’étudiant choisit un sujet de thèse (la liste se trouvant sur les sites web des laboratoires), se met en contact avec un directeur de thèse et lui adresse un dossier complet avant le 1er mai.

ADMISSIONS

L'admission en 2ème année du Master de Mathématiques se fait sur dossier :

CANDIDATS TITULAIRES des 60 ECTS de l'année M1 d'un Master Recherche français de Mathématiques ou d'une Maîtrise française de Mathématiques ou d’un diplôme jugé équivalent (*) :

Un dossier de candidature est à demander au Secrétariat Pédagogique de l’U.F.R. de Mathématiques de l'Université Lille 1 ou à télécharger sur le site http://mathematiques.univ-lille1.fr, rubrique Formations.

Date limite de dépôt des candidatures : avec demande de bourse d’excellence : 15 février 2015 sans demande de bourse d’excellence : 26 juin 2015 (*)

Les candidats seront informés de la suite donnée à leur demande d'inscription avant le 20 juillet 2015.

CANDIDATS NE REMPLISSANT PAS LES CONDITIONS PRECEDENTES : Une validation d’études est nécessaire. Elle s’effectue à partir du site suivant : http://www.univ-lille1.fr/etudes/Admission-Inscription/Admission-etudiants-etrangers (*) Note concernant le parcours Agrégation : - Le parcours peut être accessible sous certaines conditions prévues par les textes légaux régissant le concours (enseignants titulaires de catégorie A, certains diplômes d’ingénieur). Voir le site SIAC2 du ministère de l'éducation nationale : http://www.education.gouv.fr/pid63/siac2.html ou contacter le responsable du parcours pour toute information complémentaire. ‐ L'inscription administrative au concours de l'Agrégation est une procédure personnelle et indépendante de l'inscription en master. Elle se fait auprès du service Examens et Concours de l'Académie. Suivant les années, la période des inscriptions peut varier entre juin-juillet et septembre-octobre. Il convient de se référer au site SIAC2 pour plus de détails : http://www.education.gouv.fr/pid63/siac2.html

ORGANISATION DE L'ENSEIGNEMENT

La deuxième année du Master (M2) comporte trois parcours : un parcours « Recherche Mathématiques Pures », un parcours « Recherche Mathématiques Appliquées » et un parcours « Agrégation ». Le M2 consiste en deux semestres de 30 crédits ECTS. Les crédits d'une unité (cours ou mémoire) sont acquis si la note finale obtenue à cette unité est supérieure ou égale à 10/20.

Le niveau Master 1ère année en Algèbre, Arithmétique, Analyse réelle, Analyse complexe, Analyse fonctionnelle, Calcul différentiel, Géométrie, Intégration, Topologie, est un pré-requis pour les unités du M2.

Les deux parcours Recherche :

Les crédits ECTS s'obtiennent en validant dans le parcours mathématiques pures :

3 cours fondamentaux de 10 ECTS parmi 5 proposés au 1er semestre. 2 cours approfondi de 8 ECTS parmi 6 proposés au 2nd semestre. un mémoire annuel de 14 ECTS.

Les crédits ECTS s'obtiennent en validant dans le parcours mathématiques appliquées :

2 cours fondamentaux de 10 ECTS parmi 5 proposés au 1er semestre. 1 cours spécialisé à 5 ECTS parmi 2 proposés au 1er semestre. 1 module numérique à 5 ECTS parmi 2 proposés au 1er semestre. 2 cours approfondi de 8 ECTS parmi 6 proposés au 2nd semestre. un mémoire annuel de 14 ECTS.

Le parcours Agrégation :

Les crédits ECTS s'obtiennent en validant :

2 cours fondamentaux de 10 ECTS parmi 5 proposés au 1er semestre. 1 module de préparation à 5 ECTS au 1er semestre. 1 module numérique à 5 ECTS parmi 2 proposés au 1er semestre. 2 cours fondamentaux de 10 ECTS au 2nd semestre. 1 module de modélisation à 7 ECTS parmi 2 proposés au 2nd semestre. un module mémoire annuel à 3 ECTS.

Chaque cours de 10 ECTS (resp. 8 ECTS et 5 ECTS) a un volume de 48 heures (resp. 40 heures et 24 heures) réparties en 12 semaines (resp. 8 semaines et 12 semaines) à raison de 3 heures (resp. 4 heures et 1.5 heures) de cours et 1 heure de Travaux (resp. 1 heure et ½ heures) Divers (exposés, discussions, exercices, etc.) chaque semaine. Chaque cours est sanctionné par un examen. Chaque module numérique consiste en 12 séances de 3 heures de travaux pratiques sur machine. Chaque module est sanctionné par un examen sur machine.

Le mémoire des deux parcours « recherche » est un travail d'initiation à la recherche encadré par un enseignant-chercheur. Il consiste en l'étude et la présentation d'un ou plusieurs articles de recherche, de chapitres de livres, etc. Il donne lieu à un rapport écrit et à une soutenance publique unique. Le mémoire est encadré par un membre des laboratoires associés. Il peut y avoir co-encadrement extérieur dans le cadre d’un stage hors de nos universités. Dans le cas du parcours « agrégation », la préparation des leçons, la rédaction des développements et la présentation publique qui en est faite au cours de l'année font l'objet d'une note sur laquelle est basée la validation du module « mémoire ». NB: (1) Un cours peut être choisi par l’étudiant parmi les cours proposés dans le cadre du programme d'échange franco-belge. Les choix doivent être validés par l'équipe pédagogique.

(2) La liste des cours approfondis est renouvelée chaque année.

PPRROOGGRRAAMMMMEE DDEESS CCOOUURRSS

22001155 -- 22001166

COURS DU SEMESTRE 3 S3 : Analyse Fonctionnelle (36 h cours, 12h TD) – 10 ECTS Résultats fondamentaux sur les espaces normés (10h)

Théorème de Hahn-Banach dans les espaces normés. Espaces de Banach, exemple des espaces Lp et de l'espace C(X;R) où X est un espace métrique compact, théorème d'Ascoli. Théorème de Banach-Steinhaus, théorème de l'application ouverte et corollaires.

Topologies faibles et espaces réflexifs (18h)

Pré-requis de topologie générale. Topologie initiale associée à une famille d'applications. Topologie produit. Espaces compacts et théorème de Tychonoff. Topologie faible et faible- pour un espace normé, bornitude faible, théorème de Banach-Alaoglu (la boule unité du dual est faible- compacte). Espaces réflexifs, tout espace de Hilbert est réflexif, tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif. Liens avec la séparabilité. Relations entre convergence faible et convergence forte. Application aux espaces Lp : étude des propriétés de dualité, réflexivité, séparabilité, de ces espaces.

Éléments de théorie spectrale (12h)

Spectre d'un opérateur borné sur un espace normé. Opérateurs compacts sur un espace normé, exemples. Alternative de Fredholm. Adjoint d'un opérateur sur un espace de Hilbert, décomposition spectrale des opérateurs normaux compacts. Application : opérateurs intégraux, théorème de Mercer et expression de la trace.

Introduction aux algèbres de Banach (8h)

Algèbres de Banach, exemples. Résolvante, rayon spectral. Théorème de Gelfand-Mazur. Idéaux maximaux, caractères. Application : théorème de Wiener sur les séries de Fourier absolument convergentes. Spectre et transformée de Gelfand.

Références : Brézis, Analyse Fonctionnelle - Théorie et Applications, Masson. Cerda, Linear Functional Analysis, gsm 116, AMS. Rudin, Functional Analysis, Mc Graw Hill.

S3 : Algèbre (36 h cours, 12h TD) – 10 ECTS Anneaux (3 semaines)

1. Anneaux de fractions, anneaux localisés. 2. Noethérianité, factorialité pour les anneaux noethériens. Théorème de la base. Nullstellensatz. 3. Valuations discrètes, anneaux de valuation discrète, distance ultra-métrique, complétion, lemme de Hensel. Valuations sur Q, nombres p-adiques, entiers p-adiques, Ostrowski. Valuations sur k[X], anneaux des séries formelles (multiplication, composition, dérivation, inversibles).

Modules (4 semaines)

1. Modules, modules noethériens. Modules de type fini sur un anneau principal. 2. Application à la classification des groupes abéliens de type fini. 3. Application à la réduction des endomorphismes : invariants de similitudes (caractérisation des classes de similitudes, indépendance du corps de base…), réduction de Jordan. Semi-simplicité, décomposition de Dunford.

Théorie analytique des nombres (4-5 semaines) Le but de cette partie est de démontrer le théorème de la progression arithmétique.

1. Étude approfondie de (Z/nZ)* (structure, caractères). 2. Fonctions arithmétiques, fonctions multiplicatives, convolution, inversion de Möbius. 3. Séries de Dirichlet, abscisse de convergence, fonction _, séries L. 4. Répartition des nombres premiers : progression arithmétique.

Références : Amice, Les nombres p-adiques, PUF. Artin, Algebra, Pearson. Serre, Cours d'arithmétique, PUF.

S3 : Géométrie (36 h cours, 12h TD) – 10 ECTS Variétés (4 semaines)

1. Variétés, espace tangent, orientation. Partitions de l'unité, théorème de plongement de Whitney. 2. Fibrés vectoriels, fibré tangent et fibrés associés.

Formes différentielles (4 semaines)

1. Formes différentielles sur les variétés, différentiation, lemme de Poincaré. 2. Intégration, formes volumes, formule de Stokes. Application : le théorème de Brouwer.

Topologie différentielle (4 semaines) L'enseignement pourra porter sur quelques uns des thèmes suivants :

1. Cohomologie de de Rham, exemples de calculs de groupes de cohomologie. 2. Formes différentielles à support compact. Applications : invariance du domaine, théorème de Jordan différentiable. 3. Surfaces dans R3, courbure, formule de Gauss-Bonnet (par la méthode des repères mobiles et la formule de Stokes). 4. Lemme de Sard, degré et formes volumes. Formule de Hopf pour l'indice total des points singuliers des champs de vecteurs.

Références : Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, EDP Sciences 2010. Godbillon, Eléments de topologie algébrique, Hermann 1998. Chavel, Riemannian Geometry : a modern introduction, Cambridge University Press 2006. Bott-Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer 1982.

S3 : Processus stochastiques - statistiques des processus (36 h cours, 12h TD) – 10 ECTS Probabilités (9 semaines)

1. Notions de base sur les processus à temps discret et continu : lois _ni-dimensionnelles, modification et équivalence, Théorème d'existence de Kolmogorov, mouvement brownien, processus de Poisson. 2. Stationnarité : Définition des deux types de stationnarité, représentation spectrale, Théorème ergodique de Birkhof. 3. Propriétés trajectorielles : critères de mesurabilité ou de continuité des trajectoires. Théorème de Kolmogorov sur la continuité Hölder des trajectoires. 4. Convergence des processus : convergence faible, Théorème de Donsker. Convergence des lignes polygonales vers le mouvement brownien. 5. Martingales à temps continu : inégalité de Doob, inégalités maximales, Théorèmes de convergence. 6. Processus gaussien : définition, caractérisation, exemples.

Statistiques (3 semaines)

Modèles de processus linéaires : définition, estimation, prévision. Références : Bouleau, Processus Stochastiques et applications, Hermann. Revuz et Yor, Continuous Martingales and Brownian motion, Springer. Karatzas et Shreeve, Brownian motion and stochastic calculus, Springer.

S3 : Introduction aux équations aux dérivées partielles non-linéaires (36 h cours,12h TD) – 10 ECTS Le but de ce cours est double : présenter les outils d'analyse essentiels pour l'étude des ÉDPs linéaires et non-linéaires, puis les appliquer à quelques équations type. Outils (18h)

1. Espaces de Sobolev sur un domaine (Wk,p(Ω) et Wk,p0 (Ω)) et sur RN : définition, densité, extensions, traces, injections de Sobolev. 2. Théorèmes de point fixe : Banach, Brouwer, Schauder. Application à des EDP elliptiques non-linéaires.

Équation de la chaleur linéaire (3h)

Représentations de la solution, propriétés de décroissance. Équation de Navier-Stokes (9h)

Existence de solutions faibles de Leray, existence de solutions fortes de Kato. Équations de transport (12h)

Solutions classiques, solutions faibles, méthode des caractéristiques, solutions entropiques. Résolution du problème de Riemann. Application à l'équation de Burgers et au trafic routier.

Équation d'Euler (6h)

Méthode d'énergie. Problème d'existence et explosion. Références : R. Adams, J. Fournier, Sobolev spaces (second edition), Elsevier. L. C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, V. 19. M. E. Taylor, Partial Differential Equations I,II, III Applied Mathematical Sciences. H. Brezis, Analyse Fonctionnelle : Théorie et Application, Dunod Université. D. Serre, Systèmes de lois de conservation, tomes i et ii, Cassini, 1996. D. Gilbarg, N. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer.

S3 : Statistiques (18h cours, 6h TD) – 5 ECTS

1. Modèles de régression : Modèle de régression multiple, estimateurs (MCO,MCP,MCG), Gauss-Markov, Tests exacts et asymptotiques, outils de sélection de modèles, analyse de la variance, régressions non paramétrique : estimation de densité par noyaux, notion de risque, estimateur de Nadaraya-Watson. 2. Analyse de données multivariées : Visualition des données (Analyse en composante principale), analyse discriminante (modèle de régression logistique), classi_cation, utilisation de modèles de mélange gaussiens, algorithme EM.

S3 : Modélisation et analyse numérique des équations aux dérivées partielles (18h cours, 6h TD) – 5 ECTS Ce cours fournit d'une part une introduction à la modélisation en expliquant l'origine physique de diverses EDPs elliptiques, paraboliques et hyperboliques. D'autre part, il présente et analyse en profondeur les méthodes servant à les résoudre numériquement (consistance, stabilité, convergence). Problèmes elliptiques (8h)

Modélisation. Stratégies de discrétisation : schémas éléments finis (rappels), différences finies, volumes finis (1D et 2D). Analyse du schéma différences finies : propriétés des solutions approchées, convergence. Application à la résolution du problème de Sturm-Liouville.

Problèmes paraboliques (8h)

Modélisation. Schémas différences finies pour l'équation de la chaleur (Euler explicite, Euler implicite et Crank-Nicolson pour la partie temporelle). Analyse numérique. Extension à des équations de réaction-diffusion (équation de Fisher).

Problèmes hyperboliques scalaires (8h)

Modélisation. Approximation par les schémas centré, décentré amont, Lax-Friedrichs. Analyse de stabilité des différents schémas. Schéma de Godunov.

Références : E. Godlewski, P.A. Raviart, Hyperbolic systems of conservation laws, Collection Mathématiques et Applications de la SMAI, Ellipses, Paris (1991) F. Hubert, J. Hubbard, Calcul scientifique : De la théorie à la pratique, Vuibert, 2006. L. Sainsaulieu, Calcul scientifique, Masson, 1996. M. Schatzmann, Analyse numérique, Interéditions, 1991. D. Serre, Systèmes de lois de conservation, tomes i et ii, Cassini, 1996. S3 : Outils informatiques en Proba-Stat (36h de TD sur machines) – 5 ECTS Ce module s'adresse aux étudiants en mathématiques appliquées Proba-Stat et aux agrégatifs ayant choisi l'option Proba-Stat. Il s'agit de 12 TP en scilab dont 2 communs avec le module "Outils informatiques en calcul scientifique". Les sujets des TP couvrent le programme du module "Probabilités et statistiques" du semestre 4 (5 TP en probabilités et 5 en statistiques). Références : Ouvrard, Probabilités 2, Maîtrise agrégation, Cassini. Jacod et Protter, L'essentiel en théorie des probabilités, Cassini. Rivoirard et Stoltz, Statistique en Action, Vuibert.

S3 : Outils informatiques en calcul scientifique (36h de TD sur machines) – 5 ECTS Ce module numérique s'adresse aux agrégatifs ayant choisi l'option Calcul Scientifique et aux étudiants en mathématiques appliquées Analyse Numérique et Équations aux Dérivées Partielles. Il s'agit de séances de TPs en Scilab/Matlab (avec compléments de cours) dont 2 communs avec le module "Outils informatiques en Proba-Stat". Dans les 30 heures propres à l'option calcul scientifique, on abordera les thèmes suivants :

1. Résolution de systèmes linéaires et non linéaires 2. Méthodes de différences finies pour l'approximation d'une équation elliptique 3. Méthodes numériques pour l'approximation de l'équation de la chaleur et d'équations de réaction-diffusion 4. Résolution approchée d'une équation de transport scalaire.

COURS DU SEMESTRE 4 – PARCOURS AGREGATION

S4 : Compléments pour la préparation à l'agrégation externe : Analyse et Probabilités pour l'Agrégation (48h) – 10 ECTS Ce cours est destiné aux étudiants du parcours "Agrégation". Sauf changement, les écrits ont lieu fin mars/début avril, les oraux en juin. Il s'agit donc d'un cours "utilitaire", qui rassemble des révisions de notions de L et M figurant au programme de l'agrégation et des compléments mettant en œuvre ces notions, notamment s'ils sont susceptibles de donner matière à des développements dans l'épreuve orale du concours. L'enseignant pourra s'adapter aux demandes éventuellement formulées par les étudiants. S4 : Compléments pour la préparation à l'agrégation externe : Maths générales (48h) – 10 ECTS Ce cours est destiné aux étudiants du parcours "Agrégation". Sauf changement les écrits ont lieu début avril, les oraux en juin. Il s'agit donc d'un cours "utilitaire", rassemblant divers compléments. En particulier, l'enseignant pourra s'adapter aux demandes éventuellement formulées par les étudiants. S4 : Préparation à l'épreuve de modélisation, option Probabilités Statistiques (50h de cours-TD sur machines) – 7 ECTS Ce cours s'adresse aux étudiants préparant l'agrégation, il prépare à l'épreuve de modélisation, option Probabilités Statistiques. S4 : Préparation à l'épreuve de modélisation, option Calcul Scientifique (50h de cours-TD sur machines) – 7 ECTS Ce cours s'adresse aux étudiants préparant l'agrégation. Son objectif est de préparer à l'épreuve de modélisation, option Calcul Scientifique : méthodologie pour la préparation des textes, entraînement pratique. Des compléments de cours, avec des applications sur machine, seront également apportés sur les thèmes suivants (au programme de l'option B):

1. Interpolation, approximation, intégration numérique 2. Équations différentielles ordinaires 3. Optimisation

COURS DU SEMESTRE 4 SPECIALISES

POUR LES DEUX PARCOURS RECHERCHE S4 : Géométrie et topologie systolique (Florent BALACHEFF) – 8 ECTS Descriptif La géométrie/topologie systolique est une branche de la géométrie différentielle globale dont le principe est d'étudier l'analogue d'inégalités isopérimétriques pour des variétés fermées. Cette thématique interfère avec de nombreuses autres telles la géométrie métrique, la dynamique, la théorie des graphes, la géométrie symplectique et de contact ou encore la théorie géométrique des nombres. Ceci en fait un point de vue intéressant pour aborder de nombreux d'outils mis à profit du discours systolique. A titre d'exemple, la première inégalité isosystolique a été démontrée par C. Loewner et peut être formulée comme suit : tout tore riemannien de dimension 2 admet une géodésique fermée de longueur au plus . Cette inégalité est optimale et le cas d'égalité réalisé pour le tore plat hexagonal. Contenu Dans ce cours, nous proposons d'aborder les points suivants. - Métrique riemannienne, géodésique et notion de volume - Inégalité isosystolique pour les graphes - Théorème d'uniformisation et inégalités isosystoliques de Loewner et de Pu - Construction de graphes sur les surfaces et famille de lacets courts homologiquement indépendants sur les surfaces - Filling radius et inégalité isosystolique de Gromov - Complexités des groupes de présentation finie et application en géométrie systolique Pré-requis Les pré-requis sont les cours suivants. - S1 * Géométrie et équations différentielles - S2 * Géométrie différentielle et topologie algébrique - S3 * Géométrie Bibliographie - Balacheff F., Parlier H. et Sabourau, S. - Short loop decompositions of surfaces and the geometry of Jacobians. Geom. And Funct. Analysis, Vol. 22 (2012), No 1 , 37-73. - Gallot S., Hulin D. et JLafontaine J., Riemannian Geometry, Springer. - Gromov, M. - Filling Riemannian manifolds, J. Di_. Geom. 18 (1983), 1-147 - Gromov, M. - Systoles and intersystolic inequalities. (English, French summary) Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992), 291-362, Sémin. Congr., 1, Soc. Math. France, Paris, 1996. - Guth, L. - Notes on Gromov's systolic inequality, Geometriae Dedicata 123, 2006, 113-129 - Katz, M. - Systolic geometry and topology. With an appendix by J. Solomon. Mathematical Surveys and Monographs, volume 137. American Mathematical Society, 2007. - Pu, P. M. - Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds. Pacific J.Math. 2 (1952), 55-71.

S4 : Algèbre linéaire numérique et fonctions de matrices (Bernhard BECKERMANN) – 8 ECTS Descriptif Dans ce module on étudiera le calcul approché d'une expression f(A) ou f(A)b, avec A une matrice carrée, f une fonction suffisamment lisse sur un voisinage du spectre de A, et b un vecteur. A titre d'exemple, pour f(z)=1/z on résout un système d'équations linéaires, mais f(z)=exp(z), f(z)=log(z) et d'autres fonctions jouent un rôle essentiel dans des nombreux applications comme par exemple la résolution d'une EDO obtenue après discrétisation en espace d'une équation aux dérivées partielles. On comparera certaines méthodes directes (pour les matrices de taille modeste) avec les méthodes de projection qui se prêtent mieux pour les grandes matrices creuses. Un accent particulier sera mis sur des techniques modernes de l'estimation d'erreur. Plan du cours

Fonctions de matrices - Définitions et propriétés - Applications - Approximation polynômiale et rationnelle - Estimations d'erreur : le pseudo-spectre et l'image numérique

Calcul direct - Diagonalisation versus décomposition de Schur - Algorithme de Schur-Parlett

Méthodes itératives - Méthode de Newton pour puissances et pour le signe - Méthode d'Arnoldi et son extension aux espaces de Krylov rationnels - Lien entre Arnoldi, interpolation et meilleure approximation - Localisation de valeurs de Ritz - Estimations d'erreur pour Arnoldi rationnel

Techniques adaptées à des fonctions particulières Bibliographie - G.A. Baker & P.R. Graves-Morris, Padé Approximants, 2ème edition, Cambridge University press. - Brezinski, C., Computational Aspects of Linear Control, Kluwer, Dordrecht, 2002. - N.J. Higham, Functions of Matrices : Theory and Computation, SIAM, 2008. - A. Greenbaum, Iterative Methods for Solving Linear Systems, SIAM, Philadelphia, 1997. - Y. Saad, Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems, Halstead Press, New-York,1992. http://www-users.cs.umn.edu/_saad/books.html - Y. Saad, Iterative methods for sparse linear systems, PWS Publishing, Boston, MA, 1996. - L. N. Trefethen, D. Bau, Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania,USA, 1997. - L. N. Trefethen, M. Embree, Spectra and Pseudospectra, Princton University Press,USA, 2005.

S4 : Grandes matrices aléatoires : théorie et applications (Mylène MAIDA – Thomas SIMON) – 8 ECTS Descriptif La théorie des matrices aléatoires s'est largement développée dans les vingt dernières années pour devenir un domaine incontournable des probabilités contemporaines, en interactions avec de nombreux autres domaines des mathématiques, des plus théoriques aux plus appliqués. Le but de ce cours est de donner une introduction à ce domaine de recherche très actif, de comprendre quel type de questions on s'y pose, quelles sont les principaux outils de démonstration et également de donner un petit aperçu de certaines de ses applications. L'entrée en matière se fera par un résultat particulièrement frappant, connu sous nom de "théorème de Wigner" et qui, à la fin des années 50, a marqué le début de la théorie des matrices aléatoires en mathématiques comme en physique. Il peut s'énoncer de la façon suivante : "Si on considère une matrice symétrique réelle dont les entrées au-dessus de la diagonale sont indépendantes, centrées et toutes de même variance, la distribution des valeurs propres est proche, si notre matrice de départ est de grande taille, de la loi dite semi-circulaire, qui est à support compact et qui ne dépend pas du détail de la loi des entrées !" On énoncera et on démontrera ce théorème et quelques autres résultats asymptotiques sur le spectre des matrices aléatoires, en essayant d'illustrer les méthodes de preuve les plus utilisées (combinatoire des moments, grandes déviations, polynômes orthogonaux...). Dans une deuxième partie du cours, on s'intéressera à l'utilisation des matrices aléatoires à la statistique en grande dimension. En effet, les méthodes statistiques (au sens large) doivent faire face aujourd'hui à d'énormes quantités de données de grande dimension et être capable de les traiter efficacement (Big Data). Dans les problèmes d'estimation, on est souvent amené à étudier la matrice de covariance empirique associée au problème et en particulier à estimer ses valeurs propres et vecteurs propres. Nous essaierons d'illustrer comment, dans le cadre de certains modèles, des résultats de la théorie des matrices aléatoires permettent de comprendre le comportement de ces matrices de covariance empirique quand la taille de l'échantillon est très grand mais reste comparable à la dimension des données. La première partie occupera environ 2/3 du volume horaire et la deuxième partie 1/3. Le cours sera validé par des exposés des étudiants à partir d'articles de recherche ou d'ouvrages de référence. Ces exposés permettront d'approfondir certains aspects abordés dans le cours ou d'en découvrir de nouveaux. Références - G. Anderson, A. Guionnet and O. Zeitouni, An Introduction to Random Matrices, Cambridge University Press (2011) - Z. Bai and J. Silverstein, Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices, Springer (2010) - R. Couillet and M. Debbah, Random Matrix Methods for Wireless Communications, Cambridge University Press (2011)

S4 : Introduction à la géométrie algébrique (Dimitri MARKOUCHEVITCH) – 8 ECTS Descriptif Le cours s’adresse aux étudiants qui souhaitent approfondir leur connaissance d’algèbre. Son contenu est fondamental pour les étudiants qui poursuivront en doctorat en géométrie algébrique ou géométrie arithmétique, mais les domaines d’application des techniques exposées incluent aussi topologie et géométrie analytique. Des polycopiés du cours seront distribués aux étudiants. Pré-requis La connaissance de l’algèbre de niveau L3 sera supposée. La connaissance du cours Algèbre et géométrie, ou Théorie de Galois de Master 1, ou encore du cours d’Algèbre du semestre 1 de Master 2 est souhaitable. Programme du cours 1. Anneaux et algèbres. Extensions algébriques. Eléments entiers et extensions entières. Algèbres de type fini sur un corps. Bases de transcendance. Propriété noethérienne. Théorème de zéros de Hilbert. Bases de Groebner. Ensembles algébriques et schémas affines. Produits directs. Topologie de Zariski. Morphismes. 2. Variétés algébriques. Anneau local et faisceau de fonctions d’un ensemble algébrique. Définition d’une variété algébrique. Variétés projectives. Plan tangent et lissité. Applications rationnelles. Dimension. Théorèmes sur l’image et la dimension des fibres d’un morphisme. 3. Algèbre multilinéaire. Applications multilinéaires. Produit tensoriel et algèbre tensorielle. Algèbre extérieure et algèbre symétrique. Variétés de Segre, Veronese et grassmanniennes. Schémas de Fano. 4. Cohomologie des faisceaux Notions d’algèbre homologique : complexes, lemme du serpent, homomorphisme de Bockstein, théorème de cinq isomorphismes. Faisceaux et cohomologie de Cech. Théorème d’annulation. Définition et propriétés de base de la cohomologie de Grothendieck (sans preuves). Foncteurs Tor et Ext. Platitude. Résolutions localement libres. Théorème des syzygies de Hilbert (admis). Bibliographie : - D. Perrin : Géométrie algébrique : une introduction. Interéditions/CNRS Editions, 1995. - I. R. Shafarevich : Basic algebraic geometry. 1. Varieties in projective space. Springer, 2013. - G. Harder : Lectures on algebraic geometry I, II. Aspects of Mathematics, E35, E39. Vieweg,2011. - N. Bourbaki : Algèbre homologique, Springer-Verlag, Berlin, 2007.

S4 : Contrôle Optimal d'Equations aux Dérivées Partielles (Luc PAQUET) – 8 ECTS Descriptif Le but de ce cours est par exemple de contrôler la température d'une plaque de verre soumise au rayonnement d'un corps noir à la température u(t) à l'instant t. L'équation d'état est dans cet exemple une équation aux dérivées partielles de type parabolique, équation de la chaleur instationnaire, et l'on introduit une fonctionnelle coût prenant en compte l'écart quadratique moyen entre la température dans la plaque et la température désirée de l'instant initial à l'instant final. On recherche un contrôle u:tu(t) qui minimise cette fonctionnelle coût (contrôle optimal). On démontre l'existence de contrôles optimaux (pas unique en général) et l'on cherche à les caractériser par une inéquation variationnelle (condition nécessaire de type KKT). La dérivée au sens de Fréchet de la fonctionnelle coût s'exprime en résolvant le problème adjoint. Le calcul approché d'un contrôle optimal peut se faire par l'algorithme du gradient conditionné ou du gradient projeté. Nous commencerons notre étude par le cas plus simple des problèmes stationnaires linéaires, l'équation d'état étant dans ces problèmes une équation aux dérivées partielles de type elliptique linéaire, par exemple le laplacien. Références - Fredi Tröltzsch, "Optimal Control of Partial Differential Equations Theory, Methods and Applications", Graduate Studies in Mathematics Volume 112, American Mathematical Society (2010). - Michael Hinze, Michael Ulbrich, Stefan Ulbrich, René Pinnau, "Optimization with PDE Constraints", Springer (2009). - Jean-Pierre Yvon, "Contrôle des systèmes à paramètres distribués", Techniques de l'Ingénieur, AF1372, (2009). - Maïtine Bergounioux, "Optimisation et contrôle des systèmes linéaires Cours et exercices avec solutions", Dunod (2001). - L. Paquet, R. El Cheikh, D. Lochegnies, N. Siedow, "Radiative Heating of a Glass Plate", Mathematics In Action, Vol. 5, 1-30 (2012). - L. Paquet, "Control of the Radiative Heating of a Glass Plate", prepublication of our laboratory LAMAV, Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis, June 2013. - L. Paquet, "Control of the Radiative Heating of a Glass Plate", submitted to Afrika Matematika in 2014. - Enrique Fernàndez-Cara, Arnaud Münch, "Strong convergent approximations of null controls for the 1D heat equation", SeMA (2013) 61:49-78.

S4 : Modélisation probabiliste et inférence statistique pour l’analyse des données spatialisées (Radu STOICA) – 8 ECTS Objectif du cours L’objectif du cours est de donner aux étudiants des outils avancés pour l’analyse et la caractérisation des données spatialisées. Ces outils sont la modélisation probabiliste, la simulation Monte Carlo et l’inférence statistique. La combinaison de ces outils permet la détection et la caractérisation morpho-statistique de l’information ou de la structure cachée dans les données. Description Le cours est organisé en quatre parties :

I Présentation des exemples concrets et des données spatialisées: cosmologie, sciences de l’environnement, analyse d’images

II Modélisation stochastique: processus ponctuels marqués (définition, construction, les distributions de Palm, le théorème de Campbell-Mecke, statistiques exploratoires), processus ponctuels de Poisson, processus ponctuel de Gibbs

III Simulation de type Monte Carlo: construction et étude des propriétés de convergence des algorithmes de simulation pour des densités de probabilités non-normalisées (processus spatiaux de type naissance-mort, Metropolis-Hastings, simulation parfaite)

IV Inférence statistique: estimation des paramètres (pseudo-vraisemblance, maximum de vraisemblance Monte Carlo pour des données complètes ou incomplètes), construction des tests statistiques, technique d’optimisation globale, analyse bayesienne, détection des structures et évaluation des résultats.

A part les séances classiques de type cours et TD, le cours se propose en fonction du temps une ou deux séances de TP, pendant laquelle les étudiants pourront tester et appliquer les méthodes apprises.

S4 : Singularités des applications (Mihaï TIBAR) – 8 ECTS Descriptif Ce cours a pour but d’introduire à l’étude des singularités des espaces et des applications, dans le cadre de la géométrie complexe et réelle. Dans la première partie on s’intéressera aux courbes planes et à leur étude locale au voisinage d’un point singulier. Ceci est l’un des points de départ de plusieurs théories remarquables en mathématiques : la géométrie algébrique complexe et réelle et certaines théories modernes en physique mathématique, la théorie topologique et algébrique des noeuds, etc. On étudiera ensuite les singularités des fonctions holomorphes. Ceci est un thème ouvert par Milnor, Brieskorn, Thom, Arnold et Mather autour des années 1970 et qui a connu des progrès importants depuis. Des nouvelles branches sont apparues ce dernier temps : singularités des applications polynomiales, singularités des fonctions méromorphes. D’autres se sont développées en lien avec des domaines connexes, comme : analyse différentielle, structures de Hodge mixtes, systèmes différentiels et leur monodromie, variétés de Frobenius, arrangements des hyperplans, théorie des discriminants, certains aspects de la physique mathématique, etc. On aboutira à l’étude de certains aspects des fonctions dites “mixtes”, terme apparu récemment et qui désigne des applications réelles analytiques de Cn vers C. Dans ce cadre et plus généralement celui des applications f:RnRp (locales ou globales) on envisage les extensions des résultats obtenus par Milnor (et d’autres) dans le cas holomorphe. Pré-requis Cours d’algèbre de licence, cours de géométrie ou topologie de M1 ou M2. Quelques détails (1) Courbes planes. Théorème de Bézout. Polygones de Newton et développement de Puiseux. Résolution des singularités par transformations quadratiques. (2) Invariants algébriques et topologiques attachés aux singularités isolées. Algèbre de Milnor, fibration de Milnor. Théorèmes de Milnor. Équivalence des définitions du nombre de Milnor. Singularités quasi-homogènes et singularités quotient. Les singularités simples d’Arnold. (3) Singularités mixtes et applications. Références - [AGV] V. Arnold, A. Varchenko, S. Gusein-Zade, Singularities of differentiable maps, I. The classification of critical points, caustics and wave fronts. Monographs in Mathematics, 82. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1985. - [ACT] R.N. Araújo dos Santos, Y. Chen, M. Tibar, Singular open book structures from real mappings, Cent. Eur. J. Math. 11 (2013) no. 5, 817-828. - [B] E. Brieskorn, H. Knörrer, Plane algebraic curves. Birkhäuser Verlag, Basel, 1986. - [Fi] G. Fischer, Plane algebraic curves. Student Mathematical Library, 15. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. - [Mi] J. Milnor, Singular points of complex hypersurfaces. Ann. of Math. Studies 61, Princeton 1968. - [Oka2] M. Oka, Non degenerate mixed functions, Kodai Math. J. 33 (2010), no. 1,1-62. - [Ti] M. Tibar, Polynomials and vanishing cycles, Cambridge Tracts in Mathematics 170. Cambridge University Press 2007.

S4 : Intégrale d'Itô, formule d'Itô et applications à la finance (Ciprian TUDOR – Antoine AYACHE) – 8 ECTS Descriptif Le cours porte sur la théorie des martingales, la construction de l'intégrale d'Itô par rapport au mouvement brownien et la formule d'Ito. Il développera les applications de cette théorie aux équations différentielles stochastiques et aux mathématiques financières (principalement le modèle de Black et Scholes). Bibliographie: - Karatzas, I. , St. E. Shreve: Brownian motion and stochastic calculus. Springer-Verlag, New York 1988, XXIII - Revuz, D , Yor, M: Continuous Martingales and Brownian Motion , Springer-Verlag, New York 1994 - Lamberton, D, Lapeyre : Introduction au Calcul Stochastique appliqué à la finance, Ellipses.