MARKETING - vpol.webnode.gr£ΗΜΕΙΩΣΕΙΣ... · ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΣΤΕΛΕΧΗ...

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι

ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΕΣ - ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ - ΛΟΓΙΣΤΗΡΙΟΥ - MARKETING

Α’ ΕΞΑΜΗΝΟ

ΠΟΛΥΧΡΟΝΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΣΤΕΛΕΧΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ, ΛΟΓΙΣΤΗΡΙΟΥ, MARKETING

ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΟΛΥΧΡΟΝΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ – ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ

__________________________________________________________________________________

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι, ΠΟΛΥΧΡΟΝΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ – vpol.webnode.gr 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ................................................................................................................................ 3

1.1 Τι είναι στατιστική; Χρησιμότητα και πεδία εφαρμογής ............................................................. 3

1.2 Στατιστικός πληθυσμός ................................................................................................................ 5

1.3 Έννοια Στατιστικής μεταβλητής και διακρίσεις αυτής ................................................................. 5

2. ΣΥΛΛΟΓΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ....................................................................................... 8

2.1 Πηγές Συλλογής Στατιστικών Δεδομένων ..................................................................................... 8

2.2 Μέθοδοι Συλλογής Στατιστικών Δεδομένων ................................................................................ 8

2.3 Δειγματοληπτική μέθοδος ............................................................................................................ 9

2.4 Επεξεργασία Στατιστικών Δεδομένων ........................................................................................ 11

3. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ................................................................................ 12

3.1 Στατιστικοί Πίνακες ..................................................................................................................... 12

3.2 Πίνακες κατανομής συχνοτήτων ................................................................................................ 13

3.3 Αθροιστικές συχνότητες ............................................................................................................. 14

3.4 Γραφική παράσταση κατανομής συχνοτήτων ............................................................................ 16

3.5 Ομαδοποίηση των παρατηρήσεων ............................................................................................ 21

4. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ (Ή ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ) ...................................................................................... 25

4.1 Μέση τιμή ή αριθμητικός μέσος ................................................................................................ 25

4.2 Ιδιότητες της μέσης τιμής ........................................................................................................... 27

4.3 Διάμεσος ..................................................................................................................................... 28

4.4 Επικρατούσα τιμή ....................................................................................................................... 32

5. ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ................................................................................................................ 32

5.1 Εύρος μεταβολής ........................................................................................................................ 33

5.2 Μέση απόκλιση........................................................................................................................... 34

5.3 Διακύμανση και τυπική απόκλιση .............................................................................................. 34

5.4 Συντελεστής μεταβλητότητας ..................................................................................................... 36



__________________________________________________________________________________




__________________________________________________________________________________


1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

1.1 Τι είναι στατιστική; Χρησιμότητα και πεδία εφαρμογής

Ο όρος “Στατιστική” ενδεχομένως να προέρχεται από τη λατινική λέξη “status”

(πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικών

δεδομένων που αναφέρονται κυρίως στον πληθυσμό μιας χώρας. Μπορεί όμως να

προέρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη στατίζω (τοποθετώ, ταξινομώ,

συμπεραίνω).

Με την εμφάνιση της Στατιστικής και στα πρώτα στάδια της ανάπτυξής της οι

άνθρωποι την ταύτισαν με την παράθεση τεράστιων πινάκων με δεδομένα σχετικά με

τους θανάτους, τις γεννήσεις, τους φόρους και τα προϊόντα, προσπαθώντας έτσι να

περιγράψουν διάφορα δημογραφικά, οικονομικά και πολιτικά φαινόμενα.

Στην αρχαιότητα, η συγκέντρωση στατιστικών δεδομένων είχε στόχο τον εντοπισμό

των πολιτών που είχαν υποχρέωση να υπηρετήσουν ως πολεμιστές ή να πληρώσουν

φόρο. Συστηματική συλλογή δεδομένων για τον πληθυσμό και την οικονομία άρχισε

κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης στις πόλεις Βενετία και Φλωρεντία στην Ιταλία, και

γρήγορα επεκτάθηκε και σε άλλες χώρες της Δυτικής Ευρώπης.

Ενώ παλαιότερα η Στατιστική ασχολείτο μόνο με την παράθεση τεράστιων πινάκων

με δεδομένα και αναρίθμητων διαγραμμάτων, σήμερα μπορούμε να διακρίνουμε σε

μια στατιστική έρευνα τρία στάδια:

1. Τη συλλογή του στατιστικού υλικού

2. την επεξεργασία και παρουσίασή του

3. και τέλος την ανάλυση αυτού του υλικού και την εξαγωγή χρήσιμων

συμπερασμάτων

Τα τρία αυτά στάδια επιτυγχάνονται με την εφαρμογή καταλλήλων για κάθε περίπτωση

στατιστικών μεθόδων, όπως και με τη βοήθεια των Υπολογιστών, οι οποίοι σημείωσαν

τεράστια ανάπτυξη στις μέρες μας.



__________________________________________________________________________________


Συμπερασματικά λοιπόν μπορούμε να δώσουμε ως ορισμό της “Στατιστικής” το

συνηθέστερο και πλέον γνωστό ορισμό του R.A. Fisher (1890-1962), πατέρα της

σύγχρονης Στατιστικής:

Στατιστική είναι ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για:

• το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων

• τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους

• την ανάλυση και εξαγωγή αντίστοιχων συμπερασμάτων

Σύμφωνα με τα τρία στάδια η Στατιστική χωρίζεται σε αντίστοιχους κλάδους

• Σχεδιασμός Πειραμάτων (experimental design)

• Περιγραφική Στατιστική (descriptive statistics)

• Επαγωγική Στατιστική (inferential statistics)

Η ανάλυση στατιστικών ερευνών είναι το κυριότερο εργαλείο έρευνας σε ένα μεγάλο

φάσμα εφαρμογών των περισσοτέρων επιστημών (Οικονομικές Επιστήμες,

Επιστήμες Υγείας, Κοινωνικές Επιστήμες κ.α.).

Κάποια παραδείγματα για την χρησιμότητας της Στατιστικής είναι:

• Οικονομολόγοι, ψυχολόγοι, κοινωνιολόγοι και πολιτικοί επιστήμονες μελετούν

ποικίλα θέματα όπως πρότυπα εσόδων-εξόδων των οικογενειών και των

επιχειρήσεων, την επίδραση της επαγγελματικής απασχόλησης των γυναικών

στην οικογενειακή ζωή, τις συγκοινωνιακές και ταξιδιωτικές συνήθειες των

κατοίκων μιας πόλης, τις προτιμήσεις των ψηφοφόρων για τους υποψηφίους

και τις θέσεις τους.

• Ο διευθυντής μιας βιομηχανίας πρέπει να είναι σε θέση να κατανοεί στατιστικές

έρευνες που αφορούν την ποιότητα του προϊόντος και την αποδοτικότητα της

παραγωγικής διαδικασίας.

• Σήμερα κάθε γιατρός πρέπει να έχει βασικές γνώσεις Στατιστικής που θα τον

βοηθήσουν τόσο στην έρευνα όσο και στην καθημερινή άσκηση του κάθε

μορφής και είδους ιατρικού ή βιοϊατρικού, γενικότερα, επαγγέλματος.



__________________________________________________________________________________


• Η Εθνική Στατιστική Υπηρεσία κάθε χώρας διενεργεί σε τακτά χρονικά

διαστήματα δειγματοληπτικές έρευνες, για να πάρει πληροφορίες για τον

πληθωρισμό, την απασχόληση και την ανεργία στη χώρα. Ανάλογα με τα

αποτελέσματα διαμορφώνεται και η κυβερνητική πολιτική στα θέματα αυτά.

• Ακόμα και σε τηλεοπτικές αντιπαραθέσεις (κυρίως σε προεκλογικές περιόδους)

βλέπουμε τους συνομιλητές να κάνουν χρήση αριθμών, στατιστικών στοιχείων,

γραφημάτων και διαγραμμάτων, για να δώσουν εγκυρότητα στις απόψεις τους

και να πείσουν για τα λεγόμενά τους.

1.2 Στατιστικός πληθυσμός

Στατιστικός πληθυσμός ονομάζεται το σύνολο του οποίου τα στοιχεία θέλουμε

να εξετάσουμε ως προς ένα η περισσότερα χαρακτηριστικά του.

Αν για παράδειγμα θέλουμε να εξετάσουμε τις βαθμολογίες των μαθητών ενός

σχολείου, ο στατιστικός πληθυσμός είναι το σύνολο των μαθητών του σχολείου, ενώ

αν θέλουμε να εξετάσουμε τον μισθό των υπαλλήλων μιας επιχείρησης ο στατιστικός

πληθυσμός είναι το σύνολο των υπαλλήλων της επιχείρησης.

1.3 Έννοια Στατιστικής μεταβλητής και διακρίσεις αυτής

Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό

λέγονται μεταβλητές (variables) ενώ οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει μια

μεταβλητή λέγονται τιμές της μεταβλητής.

Από τη διαδοχική εξέταση των ατόμων του πληθυσμού ως προς ένα χαρακτηριστικό

τους προκύπτει μια σειρά από δεδομένα, που λέγονται στατιστικά δεδομένα ή

παρατηρήσεις. Τα στατιστικά δεδομένα δεν είναι κατ’ανάγκη διαφορετικά.

Για παράδειγμα, αν εξετάζουμε την μεταβλητή ομάδα αίματος δέκα ατόμων, τα

στατιστικά δεδομένα ή παρατηρήσεις που θα προκύψουν μπορεί να είναι:

Α, Α, Β, Α, ΑΒ, Ο, ΑΒ, ΑΒ, ΑΒ, Ο, Β.



__________________________________________________________________________________


Οι δυνατές όμως τιμές που μπορεί να πάρει η μεταβλητή “ομάδα αίματος” είναι οι εξής

τέσσερις:

Α, Β, ΑΒ και Ο.

Οι μεταβλητές διακρίνονται σε δύο κατηγορίες:

1. Σε ποιοτικές ή κατηγορικές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές τους δεν είναι

αριθμοί. Τέτοιες είναι, για παράδειγμα, η ομάδα αίματος (με τιμές Α, Β, ΑΒ, Ο),

το φύλο (με τιμές αγόρι, κορίτσι), το χρώμα μαλλιών (μαύρο, ξανθό) κ.α.

2. Σε ποσοτικές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί , όπως το ύψος,

το βάρος, η βαθμολογία κ.α.

Οι ποσοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε

• διακριτές μεταβλητές, που παίρνουν μόνο “μεμονωμένες” τιμές.

Τέτοιες μεταβλητές είναι, για παράδειγμα, ο αριθμός των

υπαλλήλων μιας επιχείρησης (με τιμές 1,2,…), το αποτέλεσμα της

ρίψης ενός ζαριού (με τιμές 1,2,…,6) κτλ.

• συνεχείς μεταβλητές, που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε

τιμή ενός διαστήματος πραγματικών αριθμών (α, β). Τέτοιες

μεταβλητές είναι το ύψος και το βάρος των μαθητών της Γ΄

Λυκείου, ο χρόνος που χρειάζονται οι μαθητές να απαντήσουν

στα θέματα μιας εξέτασης

Μεταβλητές

Ποιοτικές ή κατηγορικέςΟι τιμές τους δεν

είναι αριθμοί

ΠοσοτικέςΟι τιμές τους είναι

αριθμοί

Διακριτές

Μεμονωμένες τιμές

ΣυνεχείςΟποιεσδήποτε τιμές

σε διάστημα



__________________________________________________________________________________


Εφαρμογές

1. Ποιες από τις παρακάτω μεταβλητές είναι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές; Από τις

ποσοτικές ποιες είναι διακριτές και ποιες συνεχείς;

α) Βάρος

β) Αριθμός επιβατών

γ) Φύλο

δ) Οικογενειακή κατάσταση

ε) Στάθμη της λίμνης του Μαραθώνα

στ) Τόπος καταγωγής

ζ) Επάγγελμα

η) Αριθμός παιδιών στην οικογένεια

θ) Βαθμολογία στο μπάσκετ

ι) Νούμερο παπουτσιών

2. Στις παρακάτω περιπτώσεις ποιες μπορεί να είναι οι μεταβλητές που μας

ενδιαφέρουν; Να γίνει η διάκρισή τους σε ποιοτικές ή ποσοτικές και να αναφερθούν

μερικές δυνατές τιμές τους:

α) Εξετάζουμε ένα δείγμα υπαλλήλων μιας εταιρείας

β) Εξετάζουμε ένα δείγμα προϊόντων από μια παραγωγή.

γ) Εξετάζουμε ένα δείγμα τηλεθεατών.

δ) Εξετάζουμε το χρόνο συμμετοχής και τον αριθμό πόντων που επιτυγχάνουν οι

καλαθοσφαιριστές μιας ομάδας σε έναν αγώνα.



__________________________________________________________________________________


2. ΣΥΛΛΟΓΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

2.1 Πηγές Συλλογής Στατιστικών Δεδομένων

Υπάρχουν τριών ειδών πηγές πληροφοριών για τη διεξαγωγή έρευνας:

1. ο λόγος (συνέντευξη, ερωτηματολόγιο)

2. τα γεγονότα (παρατήρηση)

3. τα «ίχνη» (γραπτά, στατιστικές)

2.2 Μέθοδοι Συλλογής Στατιστικών Δεδομένων

Κάποιες από τις πιο γνωστές μεθόδους συλλογής στατιστικών δεδομένων είναι

• η παρατήρηση

Είναι η διαδικασία κατά την οποία κάποιο φαινόμενο ή συμπεριφορά γίνεται

αντικείμενο παρατήρησης με τρόπο προγραμματισμένο, οργανωμένο,

συστηματοποιημένο, από άτομα ειδικευμένα ή εκπαιδευμένα για τον ρόλο αυτό.

• η συνέντευξη

Είναι μία από τις πιο γνωστές μεθόδους συλλογής υλικού, όπου ο ερευνητής

υποβάλλει στον ερωτώμενο μια σειρά από ερωτήσεις στις οποίες καλείται να

απαντήσει. Αυτό που ενδιαφέρει τον ερευνητή είναι να ανακαλύψει τι σκέφτεται

ο ερωτώμενος σε σχέση με κάποιο θέμα και να συγκρίνει τις γνώμες και τις

απόψεις των ερωτώμενων. Στη συνέχεια, ο ερευνητής ενδιαφέρεται να

συγκρίνει και να ομαδοποιήσει τις απόψεις των ερωτώμενων.

• το ερωτηματολόγιο

Είναι ένα έντυπο, που περιλαμβάνει μια σειρά δομημένων ερωτήσεων, στις

οποίες ο ερωτώμενος καλείται να απαντήσει γραπτά και με μία συγκεκριμένη

σειρά. Με τα ερωτηματολόγια συλλέγονται δεδομένα ζητώντας από

ανθρώπους να απαντήσουν στο ίδιο ακριβώς σύνολο ερωτήσεων.

Τα κυριότερα πλεονεκτήματα των ερωτηματολογίων είναι τα εξής:



__________________________________________________________________________________


✓ είναι οικονομικότερα,

✓ μπορούν να αποσταλούν σε μεγάλο αριθμό ανθρώπων

✓ είναι εύκολη η δημιουργία και η χρήση τους

✓ οι ερωτώμενοι μπορούν να εκφραστούν ελεύθερα (έλλειψη άμεσης επικοινωνίας)

✓ οι τρόποι ανάλυσης του υλικού είναι τυποποιημένοι

✓ ο ερευνητής δεν μπορεί να επηρεάσει τις απαντήσεις

✓ είναι η λιγότερο χρονοβόρα μέθοδος

Τα κυριότερα μειονεκτήματα των ερωτηματολογίων είναι τα εξής:

o ο ερευνητής δεν είναι σε θέση να αποσαφηνίσει τις ερωτήσεις ανοιχτού

τύπου

o υποχρεώνει τον ερωτηθέντα να απαντήσει με έναν συγκεκριμένο τρόπο.

Το ερωτηματολόγιο αποτελεί το μέσο επικοινωνίας μεταξύ ερευνητή και ερωτώμενων,

με άμεσο ή έμμεσο τρόπο, ανάλογα με τη μέθοδο συλλογής των δεδομένων. Η δομή

του ερωτηματολογίου, λόγω των ιδιοτήτων που έχει, αποτελεί την πλέον κρίσιμη και

λεπτή εργασία, καθοριστικής σημασίας για την επιτυχία μιας στατιστικής έρευνας. Σε

μια έρευνα, αν εφαρμοστεί αποτελεσματικό σχέδιο δειγματοληψίας ή ακόμη και η

πλέον ενδεδειγμένη ανάλυση των δεδομένων, δεν είναι δυνατόν να εξάγουμε σωστά

συμπεράσματα, αν λάβαμε μη συγκρίσιμες απαντήσεις από ένα ακατάλληλο

ερωτηματολόγιο με ασαφείς ερωτήσεις.

2.3 Δειγματοληπτική μέθοδος

Η συγκέντρωση στατιστικών δεδομένων είναι μια από τις εξαιρετικά σημαντικές

ενέργειες που οφείλει να διεξαγάγει ο ερευνητής/στατιστικός όταν επιθυμεί να

μελετήσει στατιστικά ένα φαινόμενο. Πριν ξεκινήσει η στατιστική έρευνα οφείλουν, οι

ερευνητές, να ορίσουν με σαφήνεια το σύνολο που θα μελετήσουν, δηλαδή, τον

στατιστικό πληθυσμό, καθώς και τις στατιστικές μονάδες που θα απαρτίζουν τον

πληθυσμό. Στατιστική μονάδα είναι δυνατόν να θεωρηθεί ένα αντικείμενο, ένα άτομο,

ένα νοικοκυριό κ.α.

Δύο είναι οι μέθοδοι συγκέντρωσης στατιστικών δεδομένων:



__________________________________________________________________________________


• οι εξαντλητικές έρευνες

κατά τις οποίες εξετάζουμε όλα τα άτομα (στοιχεία) του πληθυσμού ως προς το

χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει. Η μέθοδος αυτή συλλογής των δεδομένων

καλείται απογραφή (census)

• οι δειγματοληπτικές έρευνες.

Δειγματοληψία είναι η απογραφή ορισμένων συγκεκριμένων χαρακτηριστικών

ενός τμήματος του πληθυσμού. Το τμήμα του πληθυσμού που απογράφεται

ονομάζεται δείγμα.

Σκοπός, τώρα, των δειγματοληπτικών ερευνών είναι να προσδιορίσουμε όσο γίνεται

ακριβέστερα ιδιότητες του πληθυσμού, μελετώντας απογραφικά τα στοιχεία του

δείγματος. Η συνέπεια της επέκτασης των συμπερασμάτων που προέρχονται από τη

μελέτη των χαρακτηριστικών του δείγματος, σε ολόκληρο τον πληθυσμό, εξαρτάται

από τη μέθοδο δειγματοληψίας που εφαρμόζουμε, καθώς από τη ποιότητα του

δείγματος εξαρτάται κατά πολύ η σημαντικότητα των εκτιμήσεων. Η επιλογή του

αντιπροσωπευτικού δείγματος είναι “εκ των ων ουκ άνευ”. Αποτελεί πολύ σοβαρή και

δύσκολη διαδικασία. Ο κακός σχεδιασμός και η εκτέλεση της στατιστικής έρευνας, η

μη αντιπροσωπευτικότητα του δείγματος, ο μη σωστός καθορισμός του μεγέθους του

δείγματος αποτελούν μερικά βασικά μειονεκτήματα στη διαδικασία επιλογής ενός

δείγματος.

Οι αρχές και οι μέθοδοι για τη συλλογή και ανάλυση δεδομένων από πεπερασμένους

πληθυσμούς είναι το αντικείμενο της Δειγματοληψίας (Sampling), που αποτελεί τη

βάση της Στατιστικής.

Τέλος, οι εκτιμήσεις των δειγματοληψιών δεν δίνουν ακριβείς τιμές αλλά προσεγγίσεις

για το σύνολο του πληθυσμού Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι η οργάνωση της

συλλογής και επεξεργασίας των σχετικών δεδομένων και πληροφοριών γίνεται κατά

τρόπο που για δεδομένη ακρίβεια να επιτυγχάνεται το χαμηλότερο δυνατό κόστος ή,

αντιστρόφως, να εξασφαλίζεται η μέγιστη δυνατή ακρίβεια την οποίαν επιτρέπουν τα

μέσα που διαθέτουμε.



__________________________________________________________________________________


2.4 Επεξεργασία Στατιστικών Δεδομένων

Η ανάλυση των δεδομένων καθορίζεται εκ των προτέρων από τον προβληματισμό της

έρευνάς μας. Πρέπει να προσαρμόσουμε τη μεθοδολογία έρευνας, που θα

ακολουθήσουμε, σε αυτό που ψάχνουμε και όχι το αντίστροφο. Οι ερωτήσεις που

θέτουμε είναι: «Ποιο είναι το βασικό ερώτημα της έρευνάς μου;» «Ποιες είναι οι

πληροφορίες που θα πρέπει να έχω στο τέλος της έρευνας;»

Συχνά η διατύπωση του προβληματισμού και η ανάλυση των δεδομένων

διαμορφώνονται κατά τη διάρκεια της έρευνας. Ωστόσο, είναι απαραίτητο να

διατυπωθούν από την αρχή.

Είναι απαραίτητο να διευκρινίσουμε διεξοδικά τις ερευνητικές υποθέσεις, γιατί είναι

αυτές που καθορίζουν, όχι μόνο τα ερευνητικά εργαλεία που θα χρησιμοποιήσουμε,

αλλά και την ανάλυση που θα πραγματοποιήσουμε

Όλα τα ερευνητικά εργαλεία και μέθοδοι έχουν πλεονεκτήματα αλλά και

μειονεκτήματα. Η χρήση ενός ερευνητικού εργαλείου δεν αποκλείει τη χρήση ενός

δεύτερου ή και ενός τρίτου. Αυτό σημαίνει ότι ο ερευνητής μπορεί να χρησιμοποιήσει

διαφορετικά ερευνητικά εργαλεία και να διασταυρώσει τα αποτελέσματα, εάν οι

ανάγκες της εργασίας το απαιτούν.



__________________________________________________________________________________


3. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

3.1 Στατιστικοί Πίνακες

Μετά τη συλλογή των στατιστικών δεδομένων είναι αναγκαία η κατασκευή συνοπτικών

πινάκων ή γραφικών παραστάσεων, ώστε να είναι εύκολη η κατανόησή τους και η

εξαγωγή σωστών συμπερασμάτων. Η παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων σε

πίνακες γίνεται με την κατάλληλη τοποθέτηση των πληροφοριών σε γραμμές και

στήλες, με τρόπο που να διευκολύνεται η σύγκριση των δεδομένων και η καλύτερη

ενημέρωση του αναγνώστη σχετικά με τη δομή του πληθυσμού που ερευνάμε.

Οι πίνακες διακρίνονται στους:

A. Γενικούς πίνακες, οι οποίοι περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν

από μία στατιστική έρευνα (συνήθως με αρκετά λεπτομερειακά δεδομένα) και

αποτελούν πηγές στατιστικών πληροφοριών στη διάθεση των επιστημόνων-

ερευνητών για παραπέρα ανάλυση και εξαγωγή συμπερασμάτων,

B. Ειδικούς πίνακες, οι οποίοι είναι συνοπτικοί και σαφείς. Τα δεδομένα τους

συνήθως έχουν ληφθεί από τους γενικούς πίνακες.

Κάθε πίνακας που έχει κατασκευαστεί σωστά πρέπει να περιέχει:

i. τον τίτλο, που γράφεται στο επάνω μέρος του πίνακα και δηλώνει με σαφήνεια

και συνοπτικά το περιεχόμενο του πίνακα,

ii. τις επικεφαλίδες των γραμμών και στηλών, που δείχνουν συνοπτικά τη φύση

και τις μονάδες μέτρησης των δεδομένων,

iii. το κύριο σώμα (κορμό), που περιέχει διαχωρισμένα μέσα στις γραμμές και

στις στήλες τα στατιστικά δεδομένα,

iv. την πηγή, που γράφεται στο κάτω μέρος του πίνακα και δείχνει την προέλευση

των στατιστικών δεδομένων, έτσι ώστε ο αναγνώστης να ανατρέχει σε αυτήν,

όταν επιθυμεί, για επαλήθευση δεδομένων ή για λήψη περισσότερων

πληροφοριών.

Πίνακας 1 - Δημόσιο χρέος ως ποσοστό(%) του ΑΕΠ



__________________________________________________________________________________


2008 2009 2012

Η.Π.Α. 73,3 86,3 102,7

ΕΥΡΩΖΩΝΗ 70,3 80,1 93,0

ΕΛΛΑΔΑ 109,4 126,7 159,6

Πηγή: Ευρωπαϊκή Στατιστική Υπηρεσία, 2018

3.2 Πίνακες κατανομής συχνοτήτων

Έστω Χ μια μεταβλητή ενός δείγματος μεγέθους ν, με τιμές xi , i=1,2,…,κ και κ≤ν.

►Συχνότητα νi ή απόλυτη συχνότητα νi της τιμής xi ονομάζεται ο φυσικός αριθμός

που προσδιορίζει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή xi της μεταβλητής Χ στο σύνολο των

παρατηρήσεων.

Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος ν του

δείγματος δηλαδή: 𝝂𝟏 + 𝝂𝟐 + ⋯ + 𝝂𝜿 = 𝝂

►Σχετική συχνότητα fi της τιμής xi ονομάζεται το πηλίκο της αντίστοιχης απόλυτης

συχνότητας νi προς το μέγεθος ν του δείγματος, δηλαδή

𝒇𝒊 =𝝂𝒊

𝝂.

Συχνά η σχετική συχνότητα fi εκφράζεται και επί τοις εκατό και συμβολίζεται fi%,

δηλαδή ισχύει

𝒇𝒊% = 𝟏𝟎𝟎 × 𝒇𝒊

Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• 𝟎 ≤ 𝒇𝒊 ≤ 𝟏 , 𝟎 ≤ 𝒇𝒊% ≤ 𝟏𝟎𝟎

• 𝒇𝟏 + 𝒇𝟐 + ⋯ 𝒇𝜿 = 𝟏

• 𝒇𝟏% + 𝒇𝟐% + ⋯ + 𝒇𝜿% = 𝟏𝟎𝟎

Παράδειγμα



__________________________________________________________________________________


Ρωτήσαμε 40 μαθητές σχετικά με τον αριθμό αδελφών τους και καταγράψαμε τις

απαντήσεις τους σε ερωτηματολόγια. Κάνοντας διαλογή, διατρέχοντας δηλαδή με τη

σειρά τη λίστα των απαντήσεων καταγράφουμε κάθε παρατήρηση με συμβολικό

τρόπο σαν μια γραμμή “ | ” στην αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής.για τη μεταβλητή Χ:

“αριθμός αδελφών” του παρακάτω πίνακα. Έτσι, οι συχνότητες για τις τιμές

x1 = 0, x2 =1, x3 = 2, x4 = 3 είναι, αντίστοιχα,

ν1 = 8, ν2 = 22 , ν3 = 7, ν4 = 3 με ν1 + ν2 + ν3 + ν4 = 40.

Ο υπολογισμός των συχνοτήτων γίνεται με τη διαλογή των παρατηρήσεων, όπως

φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Μετά τη διαλογή και την εύρεση των απόλυτων συχνοτήτων νi, χρησιμοποιούμε τους

τύπους 𝒇𝒊 =𝝂𝒊

𝝂 και 𝒇𝒊% = 𝟏𝟎𝟎 × 𝒇𝒊 για να υπολογίσουμε τις αντίστοιχες σχετικές

συχνότητες και σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό. Δηλαδή,

𝑓1 =𝜈1

𝜈=

8

40= 0,2 , 𝑓1% = 100 × 𝑓1 = 100 × 0,2 = 20

𝑓2 =𝜈2

𝜈=

22

40= 0,55 , 𝑓2% = 100 × 𝑓2 = 100 × 0,55 = 55

𝑓3 =𝜈3

𝜈=

7

40= 0,175 , 𝑓3% = 100 × 𝑓3 = 100 × 0,175 = 17,5

𝑓4 =𝜈4

𝜈=

3

40= 0,075 , 𝑓4% = 100 × 𝑓4 = 100 × 0,075 = 7,5

3.3 Αθροιστικές συχνότητες



__________________________________________________________________________________


Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών εκτός από τις συχνότητες νi και fi

χρησιμοποιούνται συνήθως και οι λεγόμενες αθροιστικές συχνότητες (cumulative

frequencies) Ni και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες (cumulative relative

frequencies) Fi.

►Αθροιστική συχνότητα Νi της τιμής xi ονομάζεται ο φυσικός αριθμός που

προσδιορίζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής xi.

Ισχύουν οι σχέσεις:

• 𝜨𝒊 = 𝝂𝟏 + 𝝂𝟐 + ⋯ + 𝝂𝜾, ό𝝅𝝄𝝊 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝜿

• 𝜨𝟏 = 𝝂𝟏, 𝜨𝟐 = 𝝂𝟏 + 𝝂𝟐, … , 𝜨𝜿 = 𝝂

►Αθροιστική σχετική συχνότητα Fi της τιμής xi ονομάζεται ο αριθμός που εκφράζει

το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής xi.

Συχνά η αθροιστική σχετική συχνότητα Fi εκφράζεται και επί τοις εκατό και

συμβολίζεται Fi%, δηλαδή Fi% = 100 Fi

Ισχύουν οι σχέσεις:

• 𝑭𝒊 = 𝒇𝟏 + 𝒇𝟐 + ⋯ + 𝒇𝒊, ό𝝅𝝄𝝊 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝜿

• 𝑭𝟏 = 𝒇𝟏, 𝑭𝟐 = 𝒇𝟏 + 𝒇𝟐 , … , 𝑭𝜿 = 𝟏

Και

• 𝑭𝒊% = 𝒇𝟏% + 𝒇𝟐% + ⋯ + 𝒇𝒊%, ό𝝅𝝄𝝊 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝜿

• 𝑭𝟏% = 𝒇𝟏%, 𝑭𝟐% = 𝒇𝟏% + 𝒇𝟐%, … . . , 𝑭𝜿% = 𝟏𝟎𝟎

Επιστρέφοντας στο προηγούμενο παράδειγμα, για τη μεταβλητή Χ: “αριθμός

αδελφών” έχουμε

Ν1 = ν1 = 8 , Ν2 = ν1 + ν2 = 30 , Ν3 = ν1 + ν2 + ν3 = 37, Ν4 = ν1 + ν2 + ν3 + ν4 = ν = 40

F1 = f1 = 0,20 , F2 = f1 + f2 = 0,75 , F3 = f1 + f2 + f3 = 0,925 , F4 = f1 + f2 + f3 + f4 = 1

F1%=20%, F2%=75% , F3%=92,5% και F4%=100%



__________________________________________________________________________________


Έτσι υπολογίζοντας και τις αθροιστικές συχνότητες ο πίνακας διαμορφώνεται ως εξής:

3.4 Γραφική παράσταση κατανομής συχνοτήτων

Τα στατιστικά δεδομένα παρουσιάζονται πολλές φορές και υπό μορφή γραφικών

παραστάσεων ή διαγραμμάτων. Οι γραφικές παραστάσεις παρέχουν πιο σαφή εικόνα

του χαρακτηριστικού σε σχέση με τους πίνακες, είναι πολύ πιο ενδιαφέρουσες και

ελκυστικές, χωρίς βέβαια να προσφέρουν περισσότερη πληροφορία από εκείνη που

περιέχεται στους αντίστοιχους πίνακες συχνοτήτων. Επί πλέον με τα διαγράμματα

διευκολύνεται η σύγκριση μεταξύ ομοειδών στοιχείων για το ίδιο ή για διαφορετικά

χαρακτηριστικά.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι γραφικής παρουσίασης, ανάλογα με το είδος των

δεδομένων που έχουμε. Όπως όμως οι στατιστικοί πίνακες έτσι και τα στατιστικά

διαγράμματα πρέπει να συνοδεύονται από

• τον τίτλο

• την κλίμακα με τις τιμές των μεγεθών που απεικονίζονται

• το υπόμνημα που επεξηγεί συνήθως τις τιμές της μεταβλητής

• την πηγή των δεδομένων.

Α. Ραβδόγραμμα



__________________________________________________________________________________


Το ραβδόγραμμα (barchart) χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών

μιας ποιοτικής μεταβλητής. Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ορθογώνιες στήλες

που οι βάσεις τους βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο ή τον κατακόρυφο άξονα. Σε κάθε

τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχεί μια ορθογώνια στήλη της οποίας το ύψος είναι ίσο

με την αντίστοιχη συχνότητα ή σχετική συχνότητα. Έτσι έχουμε αντίστοιχα το

ραβδόγραμμα συχνοτήτων και το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. Τόσο η

απόσταση μεταξύ των στηλών όσο και το μήκος των βάσεων τους καθορίζονται

αυθαίρετα.

Για παράδειγμα, σύμφωνα με τα στοιχεία του παρακάτω πίνακα σχετικά με τον αριθμό

πρωταθλημάτων που κατέκτησε η κάθε ομάδα

i ΟΜΑΔΑ Χi

ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΡΩΤΑΘΛΗΜΑΤΩΝ

- Συχνότητα νi

Σχετική συχνότητα

fi

Σχετική συχνότητα

fi%

1 ΑΕΚ 12 0.15 15

2 ΟΣΦΠ 44 0.54 54

3 ΠΑΟ 20 0.24 24

4 ΑΕΛ 1 0.01 1

5 ΠΑΟΚ 2 0.02 2

6 ΑΡΗΣ 3 0.04 4

ΣΥΝΟΛΟ 82 1.00 100

Μπορούμε να κατασκευάσουμε το παρακάτω ραβδόγραμμα συχνοτήτων



__________________________________________________________________________________


Ή το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό

Β. Διάγραμμα συχνοτήτων

12

44

20

1 2 3

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

ΑΕΚ ΟΣΦΠ ΠΑΟ ΑΕΛ ΠΑΟΚ ΑΡΗΣ

νi -

Πρ

ωτα

θλή

μα

τα

Xi - Ομάδες

Ραβδόγραμμα συχνοτήτων κατάκτησης πρωταθλημάτων

15

54

24

1 2 4

0

10

20

30

40

50

60


fi%

Xi - Ομάδες

Ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων % κατάκτησης πρωταθλημάτων



__________________________________________________________________________________


Στην περίπτωση που έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή αντί του ραβδογράμματος

χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων (line diagram). Αυτό μοιάζει με το

ραβδόγραμμα με μόνη διαφορά ότι αντί να χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώνια

υψώνουμε σε κάθε xi (υποθέτοντας ότι x1 < x2 <...< xκ) μία κάθετη γραμμή με μήκος

ίσο προς την αντίστοιχη συχνότητα.

Μπορούμε επίσης αντί των συχνοτήτων νi στον κάθετο άξονα να βάλουμε τις σχετικές

συχνότητες fi, οπότε έχουμε το διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων. Ενώνοντας τα

σημεία (xi, νi) ή (xi, fi) έχουμε το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο

σχετικών συχνοτήτων, αντίστοιχα, που μας δίνουν μια γενική ιδέα για τη μεταβολή

της συχνότητας ή της σχετικής συχνότητας όσο μεγαλώνει η τιμή της μεταβλητής που

εξετάζουμε.

Γ. Κυκλικό διάγραμμα

Το κυκλικό διάγραμμα (piechart) χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο

των ποιοτικών όσο και των ποσοτικών δεδομένων, όταν οι διαφορετικές τιμές της

μεταβλητής είναι σχετικά λίγες.

Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς, τα

εμβαδά ή, ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες



__________________________________________________________________________________


συχνότητες νi ή τις σχετικές συχνότητες fi των τιμών xi της μεταβλητής. Αν

συμβολίσουμε με αi το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα

συχνοτήτων, τότε 𝜶𝒊 = 𝝂𝒊𝟑𝟔𝟎°

𝝂= 𝟑𝟔𝟎°𝒇𝒊

Δ. Χρονόγραμμα

Το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική

απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου

μεγέθους. Ο οριζόντιος άξονας χρησιμοποιείται συνήθως ως άξονας μέτρησης του

χρόνου και ο κάθετος ως άξονας μέτρησης της εξεταζόμενης μεταβλητής.

Στο παρακάτω χρονόγραμμα παρουσιάζεται η εξέλιξη του ποσοστού ανεργίας της

Ελλάδας από τον Ιανουάριο του 2004 έως τον Ιούλιο του 2017.

12

44

20

1

2 3

Κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων κατάκτησης πρωταθλημάτων




__________________________________________________________________________________


3.5 Ομαδοποίηση των παρατηρήσεων

Οι πίνακες συχνοτήτων και κατ’ αναλογία τα αντίστοιχα διαγράμματα είναι δύσκολο να

κατασκευαστούν, όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο.

Αυτό μπορεί να συμβεί είτε στην περίπτωση μιας διακριτής μεταβλητής είτε, πολύ

περισσότερο, στην περίπτωση μιας συνεχούς μεταβλητής, όπου αυτή μπορεί να πάρει

οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα ορισμού της.

Σ’ αυτές τις περιπτώσεις είναι απαραίτητο να ταξινομηθούν (ομαδοποιηθούν) τα

δεδομένα σε μικρό πλήθος ομάδων, που ονομάζονται και κλάσεις (class intervals),

έτσι ώστε κάθε τιμή να ανήκει μόνο σε μία κλάση. Τα άκρα των κλάσεων καλούνται

όρια των κλάσεων (class boundaries).

Συνήθως υιοθετούμε την περίπτωση που μια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της

(κλειστή αριστερά) αλλά όχι το άνω άκρο της (ανοικτή δεξιά), δηλαδή που οι κλάσεις

είναι της μορφής [ α, β).



__________________________________________________________________________________


Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες, οπότε μπορούν να

“αντιπροσωπευθούν” από τις κεντρικές τιμές, τα κέντρα δηλαδή κάθε κλάσης, οι

οποίες υπολογίζονται ως ο μέσος όρος των δύο άκρων της κλάσης δηλαδή

𝜥𝜺𝝂𝝉𝝆𝜾𝜿ή 𝜯𝜾𝝁ή (𝒙𝒊 ή 𝜿𝒊) =𝜶 + 𝜷

𝟐

➢ Το πρώτο βήμα στην ομαδοποίηση των δεδομένων είναι η εκλογή του

αριθμού κ των ομάδων ή κλάσεων. Ο αριθμός αυτός συνήθως ορίζεται

αυθαίρετα από τον ερευνητή σύμφωνα με την πείρα του.

➢ Το δεύτερο βήμα είναι ο προσδιορισμός του πλάτους των κλάσεων.

Πλάτος μιας κλάσης ονομάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το ανώτερο

όριο της κλάσης.

➢ Τέλος, γίνεται η διαλογή των παρατηρήσεων. Το πλήθος των παρατηρήσεων

νi που προκύπτουν από τη διαλογή για την κλάση i καλείται συχνότητα της

κλάσης αυτής ή συχνότητα της κεντρικής τιμής xi, i = 1,2,..., κ.


Έστω ότι ύστερα από έρευνα συγκεντρώνουμε τα παρακάτω δεδομένο σχετικά με το

ύψος 40 σπουδαστών.

Χωρίζοντας τα δεδομένα σε 6 ομάδες-κλάσεις με πλάτος 6 θα έχουμε τον παρακάτω

πίνακα



__________________________________________________________________________________


Ιστόγραμμα Συχνοτήτων

Η αντίστοιχη γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα

δεδομένα γίνεται με το λεγόμενο ιστόγραμμα (histogram) συχνοτήτων.

Στον οριζόντιο άξονα ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων σημειώνουμε, με

κατάλληλη κλίμακα, τα όρια των κλάσεων.

Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια (ιστούς), από καθένα από τα

οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδόν του

ορθογωνίου να ισούται με τη συχνότητα της κλάσης αυτής.

Στον κατακόρυφο άξονα σε ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων βάζουμε τις συχνότητες. Με

ανάλογο τρόπο κατασκευάζεται και το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων, οπότε

στον κάθετο άξονα βάζουμε τις σχετικές συχνότητες.

Αν στα ιστογράμματα συχνοτήτων θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στην

αρχή και στο τέλος, με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των

άνω βάσεων των ορθογωνίων, σχηματίζεται το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων

(frequency polygon) ή το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων αντίστοιχα.



__________________________________________________________________________________


Με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζονται και τα ιστογράμματα αθροιστικών συχνοτήτων

και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.

Αν ενώσουμε σε ένα ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων τα δεξιά άκρα (όχι μέσα)

των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα βρίσκουμε το

πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων της κατανομής.



__________________________________________________________________________________


4. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ (Ή ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ)

Τα μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης είναι στατιστικές παράμετροι οι οποίες

καθορίζουν μια τιμή της μεταβλητής, γύρω από την οποία τείνουν να

συγκεντρωθούν οι παρατηρήσεις.

Τα κυριότερα μέτρα θέσης που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της γενικής τάσης

των τιμών της μεταβλητής που εξετάζουμε είναι:

• Η μέση τιμή ή αριθμητικός μέσος

• Η διάμεσος

• Η επικρατούσα τιμή

• Τα τεταρτημόρια

4.1 Μέση τιμή ή αριθμητικός μέσος

Έστω ότι μια μεταβλητή Χ παίρνει τιμές x1,x2,…,xν

Ορίζουμε ως μέση τιμή ή αριθμητικό μέσο των τιμών x1,x2,…,xν της μεταβλητής Χ,

το πηλίκο του αθροίσματος των τιμών αυτών, προς το πλήθος τους ν.

𝜧έ𝝈𝜼 𝜯𝜾𝝁ή (𝜲) =𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝝂

𝝂=

∑ 𝑿

𝝂

►Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται στην περίπτωση των αταξινόμητων

δεδομένων, δηλαδή όταν δεν έχουμε πίνακα συχνοτήτων.

Παράδειγμα (αταξινόμητα δεδομένα)

Δίνονται οι βαθμοί ενός σπουδαστή Οικονομίας και Διοίκησης του ΙΕΚ ΔΕΛΤΑ για τα

επτά μαθήματα του πρώτου εξαμήνου

8, 9, 8, 3, 5, 7, 9

Να υπολογίσετε τον μέσο όρο (μέση τιμή) της βαθμολογίας του σπουδαστή.



__________________________________________________________________________________


Απάντηση

Τα δεδομένα είναι αταξινόμητα (δεν έχουμε συχνότητες) άρα έχουμε

𝛭έ𝜎𝜂 𝛵𝜄𝜇ή (𝛸) =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝜈

𝜈=

8 + 9 + 8 + 3 + 5 + 7 + 9

7=

49

7= 7

►Σε πολλές περιπτώσεις, το πλήθος των παρατηρήσεων είναι αρκετά μεγάλο και οι

υπολογισμοί γίνονται ευκολότεροι αν κατασκευάσουμε πίνακα συχνοτήτων.

Έτσι, στην περίπτωση που έχουμε πίνακα συχνοτήτων, για να υπολογίσουμε τη μέση

τιμή πρέπει να λάβουμε υπόψη μας και τις συχνότητες εμφάνισης των παρατηρήσεων,

και χρησιμοποιούμε τον τύπο

𝜧έ𝝈𝜼 𝜯𝜾𝝁ή (𝜲) =(𝒙𝟏 × 𝝂𝟏) + (𝒙𝟐 × 𝝂𝟐) + ⋯ + (𝒙𝝂 × 𝝂𝝂)

𝝂=

∑ 𝒙𝒊𝝂𝒊

𝝂

Παράδειγμα (Πίνακας Συχνοτήτων)

Δίνονται παρακάτω οι βαθμοί των σπουδαστών ενός εικοσαμελούς τμήματος

Οικονομίας και Διοίκησης του ΙΕΚ ΔΕΛΤΑ στο μάθημα της Στατιστικής.

8, 9, 5, 10, 8, 7, 9, 10, 1, 4, 9, 6, 2, 10, 5, 7, 8, 10, 3, 9

Να κατασκευαστεί πίνακας κατανομής συχνοτήτων και να υπολογιστεί ο μέσος όρος

της βαθμολογίας του τμήματος.

Απάντηση

Κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων κάνοντας διαλογή.



__________________________________________________________________________________


Βαθμολογία Διαλογή Συχνότητα Βοηθητική

Στήλη Xi νi xi * νi 1 | 1 1 2 | 1 2 3 | 1 3 4 | 1 4 5 || 2 10 6 | 1 6 7 || 2 14 8 ||| 3 24 9 |||| 4 36

10 |||| 4 40 ΣΥΝΟΛΟ - ν=20 140 = Σ xi νi

Υπολογίζουμε έτσι την μέση τιμή με τον παραπάνω τύπο

𝛭έ𝜎𝜂 𝛵𝜄𝜇ή (𝛸) =(𝑥1 × 𝜈1) + (𝑥2 × 𝜈2) + ⋯ + (𝑥𝜈 × 𝜈𝜈)

𝜈=

∑ 𝑥𝑖𝜈𝑖

𝜈=

140

20= 7

►Όταν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα , δηλαδή ομάδες-τάξεις-κλάσεις, για να

υπολογίσουμε την μέση τιμή χρησιμοποιούμε τον παραπάνω τύπο αφού πρώτα

βρούμε τις κεντρικές τιμές των κλάσεων με τον τύπο

𝜥𝜺𝝂𝝉𝝆𝜾𝜿ή 𝜯𝜾𝝁ή (𝒙𝒊 ή 𝜿𝒊) =𝜶 + 𝜷

𝟐

όπου α και β τα άκρα της κάθε κλάσης.

4.2 Ιδιότητες της μέσης τιμής

Η μέση τιμή έχει κάποιες χαρακτηριστικές ιδιότητες:

►Αν όλες οι τιμές της μεταβλητής Χ είναι ίσες μεταξύ τους, τότε η μέση τιμή των

τιμών της είναι ίδια με τις τιμές αυτές.

𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = ⋯ = 𝒙𝝂 = 𝒌, 𝝉ό𝝉𝜺 �� = 𝒌



__________________________________________________________________________________


►Αν σε όλες τις τιμές μιας μεταβλητής Χ προσθέσουμε (ή αφαιρέσουμε) μια

σταθερή ποσότητα c , τότε η μέση τιμή αυξάνεται (ή μειώνεται) κατά την σταθερή

αυτή ποσότητα.

𝑿𝟐 = 𝑿𝟏

± 𝒄

Αν στο παράδειγμα που είδαμε νωρίτερα οι βαθμοί του σπουδαστή αυξηθούν κατά

έναν βαθμό σε κάθε μάθημα λόγω των εργασιών που έκανε για τα μαθήματα αυτά, θα

έχουμε

Παλιές βαθμολογίες: 8, 9, 8, 3, 5, 7, 9

Νέες βαθμολογίες: 9, 10, 9, 4, 6, 8, 10

Νέα μέση τιμή: 𝑋2 = 𝑋1

+ 𝑐 = 7 + 1 = 8

Κάνοντας την επαλήθευση υπολογίζοντας κανονικά την νέα μέση τιμή με την χρήση

του τύπου έχουμε

𝑥2 =9 + 10 + 9 + 4 + 6 + 8 + 10

7=

56

7= 8

►Αν όλες οι τιμές μιας μεταβλητής Χ πολλαπλασιαστούν επί μία σταθερή

ποσότητα c, τότε και η μέση τιμή πολλαπλασιάζεται επί την σταθερή ποσότητα

c.

𝑿𝟐 = 𝒄 × 𝑿𝟏

4.3 Διάμεσος

Γενικά, διάμεσος (δ) λέγεται η τιμή της μεταβλητής που χωρίζει το σύνολο των

παρατηρήσεων σε δύο ίσα μέρη, με το 50% των παρατηρήσεων να είναι

μικρότερες από αυτή και το υπόλοιπο 50% των παρατηρήσεων μεγαλύτερες από

αυτή, όταν οι παρατηρήσεις έχουν διαταχθεί κατά αύξουσα σειρά.

Αν οι τιμές μια μεταβλητής έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά (από την μικρότερη στη

μεγαλύτερη παρατήρηση), τότε η διάμεσος (δ) είναι:



__________________________________________________________________________________


• η τιμή που αντιστοιχεί στη μεσαία παρατήρηση, αν το πλήθος των

παρατηρήσεων είναι περιττό

• το ημιάθροισμα των τιμών που αντιστοιχούν στις δύο μεσαίες

παρατηρήσεις, αν το πλήθος τους είναι άρτιο

►Αταξινόμητα δεδομένα

Παράδειγμα (ν περιττό)

Έστω οι βαθμολογίες ενός σπουδαστή

9, 7, 10, 9, 8

Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά

7, 8, 9, 9, 10

Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι ν=5 περιττό, άρα η διάμεσος θα είναι η τιμή της

μεσαίας παρατήρησης, δηλαδή δ=9

Παράδειγμα (ν άρτιο)

Έστω οι βαθμολογίες ενός σπουδαστή

9, 7, 10, 9, 8, 7

Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά

7, 7, 8, 9, 9, 10

Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι ν=6 άρτιο, άρα η διάμεσος θα είναι το

ημιάθροισμα των τιμών που αντιστοιχούν στις δύο μεσαίες παρατηρήσεις, δηλαδή

𝜹 =𝟖 + 𝟗

𝟐=

𝟏𝟕

𝟐= 𝟖, 𝟓

►Ταξινομημένα δεδομένα (πίνακας συχνοτήτων)

Όταν οι τιμές της μεταβλητής δίνονται σε πίνακα συχνοτήτων ακολουθούμε την

παρακάτω διαδικασία



__________________________________________________________________________________


• Συμπληρώνουμε τον πίνακα συχνοτήτων με την στήλη των αθροιστικών

συχνοτήτων Νi.

• Προσδιορίζουμε τις αθροιστικές συχνότητες Νi-1 και Νi μεταξύ των οποίων

βρίσκεται ο αριθμός 𝜈+1

2 που αντιστοιχεί στη θέση της διαμέσου.

• Η τιμή xi της μεταβλητής Χ που βρίσκεται στην 𝜈+1

2 θέση είναι η διάμεσος.


Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι βαθμολογίες των σπουδαστών στο μάθημα της

Στατιστικής.

Βαθμός (xi) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Αριθμός Σπουδαστών

(νi)

5 3 5 2 20 20 25 10 5 5

Να βρεθεί η διάμεσος των τιμών της μεταβλητής «Βαθμολογία».

Κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων

Βαθμολογία Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα

Xi νi Νi

1 5 5

2 3 8

3 5 13

4 2 15

5 20 35

6 20 55 Ν/2 = 50

7 25 80

8 10 90

9 5 95

10 5 100

ΣΥΝΟΛΟ ν=100 -

Η διάμεσος θα αφήνει το 50% των παρατηρήσεων κάτω από αυτή και το 50% πάνω

από αυτή. Θα είναι λοιπόν η τιμή της μεταβλητής που αντιστοιχεί στην 𝜈+1

2 θέση,

δηλαδή στην 50+1

2= 50,5 θέση. Επειδή προφανώς δεν υπάρχει 50,5 παρατήρηση, στη



__________________________________________________________________________________


συγκεκριμένη περίπτωση εννοούμε ότι η διάμεσος θα βρίσκεται ανάμεσα στην 50η και

στην 51η παρατήρηση, επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο και δεν

υπάρχει μεσαία παρατήρηση. Από την στήλη της αθροιστικής συχνότητας Νi

παρατηρούμε ότι οι πρώτοι 35 σπουδαστές (Ν5=35) έχουν βαθμό μέχρι και 5, ενώ 55

σπουδαστές έχουν βαθμό μέχρι και 6, οπότε ο βαθμός του 50ου και του 51ου

σπουδαστή θα είναι 6. Άρα η διάμεσος είναι η τιμή της μεταβλητής που έχει αθροιστική

συχνότητα Ν6=55 και ισούται με

𝛿 =6 + 6

2

►Ομαδοποιημένα δεδομένα

Όταν οι τιμές της μεταβλητής είναι ομαδοποιημένες, για να υπολογίσουμε τη διάμεσο

εργαζόμαστε όπως στο παρακάτω παράδειγμα.


Ρωτήσαμε 1200 οικογένειες για το πόσα χρήματα καταναλώνουν κάθε μήνα για

αγορές σε super market και οι απαντήσεις τους παρουσιάζονται στον παρακάτω

πίνακα.

Έξοδα σε ευρώ Αριθμός

Οικογενειών

Τάξεις νi

0-50 50

50-100 200

100-150 250

150-200 250

200-250 200

250-300 150

300-350 60

350-400 20

400-450 10

450-500 10

Να υπολογιστεί η διάμεσος της μεταβλητής «έξοδα super market».

Απάντηση



__________________________________________________________________________________


Συμπληρώνουμε τον πίνακα συχνοτήτων υπολογίζοντας τις κεντρικές τιμές και την

αθροιστική συχνότητα.

Έξοδα σε ευρώ

Κεντρική Τιμή

Αριθμός Οικογενειών

Αθροιστική Συχνότητα

Τάξεις xi ή κi νi Νi

0-50 25 50 50

50-100 75 200 250

100-150 125 250 500

150-200 175 250 750 <--

N/2=600 Θέση

Διαμέσου

200-250 225 200 950

250-300 275 150 1100

300-350 325 60 1160

350-400 375 20 1180

400-450 425 10 1190

450-500 475 10 1200

ΣΥΝΟΛΟ -------- ν=1200 --------

Η θέση της διαμέσου είναι η ν/2 = 600 που βρίσκεται στην 4η κλάση, άρα η διάμεσος

θα είναι το ημιάθροισμα των τιμών της 600ης και 601ης παρατήρησης καθώς το πλήθος

των παρατηρήσεων είναι άρτιο.

Θεωρώντας ότι οι τιμές που ανήκουν στην 4η κλάση αντιπροσωπεύονται από

την κεντρική τιμή x4=175, η διάμεσος θα είναι

𝛿 =175 + 175

2= 175

4.4 Επικρατούσα τιμή

Επικρατούσα τιμή ονομάζεται η τιμή της μεταβλητής που έχει τη μεγαλύτερη

συχνότητα , δηλαδή η τιμή της μεταβλητής που εμφανίζεται τις περισσότερες φορές.

5. ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ



__________________________________________________________________________________


Αν εξετάσουμε τις βαθμολογίες δύο σπουδαστών

Α: 2, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 10, 10, 10

Β: 6, 6, 6, 7, 7 , 7, 7, 8, 8, 8

Παρατηρούμε ότι η μέση βαθμολογία των δύο σπουδαστών είναι ίδια

• 𝑥1 =2+2+4+5+8+9+10+10+10+10

10=

70

10= 7

• 𝑥2 =6+6+6+7+7+7+7+8+8+8

10=

70

10= 7

Παρόλο που ο πρώτος σπουδαστής έχει «κοπεί» με πολύ χαμηλές βαθμολογίες σε

κάποια μαθήματα, έχει αριστεύσει σε άλλα, ενώ ο δεύτερος σπουδαστής έχει

«περάσει» όλα τα μαθήματα με ικανοποιητικές βαθμολογίες αλλά δεν έχει αριστεύσει.

Είναι λοιπόν φανερό ότι δεν μπορούμε να καταλήξουμε σε αξιόπιστα συμπεράσματα

για τα δεδομένα μας και να τα συγκρίνουμε με άλλα δεδομένα γνωρίζοντας μόνο τη

μέση τιμή, αλλά είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε και άλλες παραμέτρους που

να φανερώνουν τον τρόπο διασποράς των τιμών της μεταβλητής.

Μέτρα διασποράς ονομάζονται οι παράμετροι που δείχνουν πόσο «απλωμένα» είναι

τα δεδομένα γύρω από κάποιο μέτρο θέσης.

Τα κύρια μέτρα διασποράς είναι:

• Το εύρος μεταβολής

• Η μέση απόκλιση

• Η διακύμανση

• Η τυπική απόκλιση

5.1 Εύρος μεταβολής

Το εύρος (range) είναι το πιο απλό μέτρο διασποράς και δείχνει το πλάτος των τιμών

της μεταβλητής.



__________________________________________________________________________________


Υπολογίζεται εύκολα, αφού τοποθετηθούν οι παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά,

𝑹 = 𝑿𝒎𝒂𝒙 − 𝑿𝒎𝒊𝒏

δηλαδή αφαιρούμε από τη μέγιστη τιμή την ελάχιστη.

Το μειονέκτημα του εύρους είναι ότι εξαρτάται από τις ακραίες τιμές της μεταβλητής.

Παρόλα αυτά, χρησιμοποιείται και από τους οικονομολόγους σε αρκετές περιπτώσεις

(στο χρηματιστήριο για τις τιμές των μετοχών, στη μελέτη του εύρους μεταξύ χαμηλών

και υψηλών τιμών κ.ο.κ).

5.2 Μέση απόκλιση

Ένα άλλο μέτρο διασποράς είναι η μέση απόκλιση (Μ.Α.) που ορίζεται ως ο μέσος

αριθμητικός των απολύτων διαφορών των τιμών της μεταβλητής από το μ. Δίνεται από

τον τύπο:

𝜧. 𝜜. =∑|𝒙𝒊 − ��|

𝝂

όπου Ν ο αριθμός των παρατηρήσεων,

και μας δείχνει πόσο, κατά μέσο όρο απέχουν οι παρατηρήσεις από τη μέση τιμή.

Όσο πιο μικρό είναι το αποτέλεσμα, τόσο πιο κοντά στη μέση τιμή βρίσκονται οι

παρατηρήσεις, που σημαίνει ότι τόσο αντιπροσωπευτική και αξιόπιστη είναι η μέση

τιμή. Λόγω των απολύτων τιμών, δεν είναι εύκολος ο υπολογισμός του Μ.Α., γι’ αυτό

χρησιμοποιούνται άλλα μέτρα διασποράς.

5.3 Διακύμανση και τυπική απόκλιση

Τα πλέον συχνά χρησιμοποιούμενα μέτρα διασποράς είναι η διακύμανση ή διασπορά

(variance) και η τυπική απόκλιση (standard deviation).



__________________________________________________________________________________


Η διακύμανση είναι η μέση τιμή των τετραγώνων των διαφορών των τιμών μιας

μεταβλητής από το μέσο αριθμητικό(μέση τιμή) της και δίνεται από τον τύπο:

𝒔𝟐 =(𝒙𝟏 − ��)𝟐 + (𝒙𝟐 − ��)𝟐 + ⋯ + (𝒙𝝂 − ��)𝟐

𝝂=

∑(𝒙𝜾 − ��)𝟐

𝝂

Επειδή η διακύμανση εκφράζεται μέσω του τετραγώνου της μεταβλητής, γι’ αυτό

παίρνουμε τη θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης που ονομάζεται τυπική

απόκλιση και η οποία εκφράζεται με τις ίδιες μονάδες μέτρησης με τη μονάδα

μέτρησης της μεταβλητής. Η τυπική απόκλιση ορίζεται:

𝒔 = √𝒔𝟐

Όσο μικρότερες είναι οι τιμές της διασποράς και της τυπικής απόκλισης, τόσο πιο

συγκεντρωμένες γύρω από τη μέση τιμή βρίσκονται οι τιμές της μεταβλητής

►Για τον υπολογισμό της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης σε ταξινομημένα

δεδομένα (πίνακας συχνοτήτων) πρέπει να λάβουμε υπόψη μας τις συχνότητες και

ο τύπος γίνεται

𝒔𝟐 =𝝂𝟏(𝒙𝟏 − ��)𝟐 + 𝝂𝟐(𝒙𝟐 − ��)𝟐 + ⋯ + 𝝂𝝂(𝒙𝝂 − ��)𝟐

𝝂=

∑ 𝝂𝒊(𝒙𝒊 − ��)𝟐

𝝂

Πρακτικά οι υπολογισμοί γίνονται συμπληρώνοντας βοηθητικές στήλες στον πίνακα

συχνοτήτων

𝒙𝒊 𝝂𝒊 𝒙𝒊 − �� (𝒙𝒊 − ��)𝟐 𝝂𝒊(𝒙𝒊 − ��)𝟐

… … …. … …

… … … … …

ΣΥΝΟΛΟ ν (αδιάφορο) (αδιάφορο) ∑ 𝝂𝒊(𝒙𝒊 − ��)𝟐

►Σε περίπτωση ομαδοποιημένων δεδομένων (ομάδες-τάξεις-κλάσεις)

χρησιμοποιούμε τον ίδιο τύπο με τη διαφορά ότι το Χi θα αντιπροσωπεύει την

κεντρική τιμή κάθε τάξης.



__________________________________________________________________________________


5.4 Συντελεστής μεταβλητότητας

Ένα άλλο μέτρο μεταβλητότητας είναι ο συντελεστής μεταβλητότητας (CV).

Ορίζεται ως εξής:

𝑪𝑽 =𝒔

��× 𝟏𝟎𝟎

Είναι καθαρός αριθμός, απαλλαγμένος από μονάδες μέτρησης της μεταβλητής. Και

εκφράζει το ‘άπλωμα’ των τιμών σε σχέση με το μέσο. Επίσης, χρησιμοποιείται για

συγκρίσεις ομάδων μεταξύ τους (είτε οι ομάδες εκφράζονται με ίδιες μονάδες

μέτρησης είτε όχι). Επίσης, χρησιμοποιείται για την εξέταση της ομοιογένειας μέσα

στην ίδια ομάδα, όταν ο CV δεν ξεπερνά το 10%, θα λέμε ότι το δείγμα είναι

ομοιογενές.

MARKETING - vpol.webnode.gr£ΗΜΕΙΩΣΕΙΣ... · ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΣΤΕΛΕΧΗ...

Documents

Transcript of MARKETING - vpol.webnode.gr£ΗΜΕΙΩΣΕΙΣ... · ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΣΤΕΛΕΧΗ...