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BC 1507- Instrumentação e Controle
Prof. Marat Rafikov Centro de Engenharia, Modelagem e
Ciências Sociais Aplicadas (CECS) E-mail: [email protected]
MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DINÂMICOS
Modelos mecânicos
Sistema massa-mola
Movimento livre
Segunda lei de Newton:
ma = F
Modelos mecânicos
Sistema massa - mola - amortecedor
Movimento livre
k - constante elástica da mola;
- coeficiente de amortecimento.
Modelo de um sistema elétrico
Circuito em série LRC
L - indutância; R - resistência; C - capacitância; E - voltagem; i - corrente; q - carga no capacitor. Segunda lei de Kirchhoff: a voltagem aplicada em uma malha fechada deve ser Igual à soma das quedas de voltagem na malha.
Carga no capacitor está relacionada com o corrente por
Então
Modelo de um sistema elétrico
Exemplo 1. Mostrar que o sistema de equações
diferenciais para as correntes e
na rede elétrica em consideração é
Observação: nos pontos de ramificação usar a primeira lei de Kirchhoff
Modelo de um sistema elétrico
Exemplo 2. Mostrar que o sistema de equações
diferenciais para as correntes e
na rede elétrica em consideração é
Modelo de um sistema elétrico
Exemplo 3.
Mostrar que o sistema de equações
diferenciais para a carga no capacitor q(t) e
a corrente elétrica malha considerada é
Modelos populacionais
Thomas Robert Malthus (1798):
• “An Essay on the Principle of Population as it Affects the Future Improvement of Society”
Pierre Verhulst (1838)
A. Lotka (1925)
V. Volterra (1926)
Modelo de Malthus
• é a taxa de crescimento da população
rNdt
dN
r N
(1766-1834)
Modelo de Malthus
Modelo de Malthus
Modelo de Malthus
Modelo de Verhulst
é a taxa de crescimento intrínseco da população
PK
Pr
dt
dP
1
r
K é capacidade de suporte do meio ambiente ou o nível de saturação da população
(1804-1849)
Modelo de Verhulst
Modelo de Verhulst
Exploração de recursos naturais renováveis
Clark, C.W. Mathematical Bioeconomics: The Optimal Management of Renewable Resources. John Wiley & Sons, Inc., 1992.
Clark (1992) estudou a exploração da população de baleias da Antártida, usando o modelo:
hPK
Pr
dt
dP
1
onde h é taxa de exploração constante.
Neste caso existem 2 pontos de equilíbrio: um é instável e outro é estável.
Com base nos dados de 1976 Clark estimou valores do modelo r = 0.08 e
K = 400000 e descobriu que com uma população inicial P(0) = 70000 e
h = 8000 a população de baleias vão para extinção.
Modelo Lotka - Volterra
•Vito Volterra (1860-1940) foi um famoso
• matemático italiano, que se aposentou
•de uma carreira em matemática pura, no
•início de 1920.
•Seu genro, Humberto d'Ancona, foi um
• biólogo que estudou as populações de
•várias espécies de peixes no mar Adriático. Em 1926,
•D'Ancona completou um estudo estatístico dos números de
• cada espécie vendida nos mercados de peixe de três portos: Fiume, Trieste e Veneza.
Percentages of predators in the Fiume fish catch
1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923
12 21 22 21 36 27 16 16 15 11
Modelo Lotka - Volterra
• a taxa de crescimento das presas • a taxa de mortalidade dos predadores • e representam as medidas de interação • entre as duas espécies
NPbPdt
dP
NPaNdt
dN
ab
Um Modelo de Pesca
ePNPbPdt
dP
cNNPaNdt
dN
ca
P
ebN
*
*
Pontos de equilíbrio
Modelo Lotka - Volterra
Cientistas do Isle Royale National Park , parque nacional dos EUA, com mais de 50 trabalhos publicados, acreditam que os modelos de Lotka-Volterra são os mais adequados para estudar relações predador-presa.
Modelo epidemiológico (SIR)
Uma doença diretamente transmissível pode ser modelada através de um modelo que considera a população de uma comunidade divido em 3 partes. A primeira parte é população suscetível (designada s), a segunda parte é população infectada (i), e a terceira – é população recuperada (r). Suponhamos que todos sejam suscetíveis à doença inicialmente.
Neste modelo (modelo SIR) 1k é
chamado de taxa de infecção e 2k é
chamado de taxa de recuperação.
Modelos de sistemas econômicos
Modelo de uma indústria Consideraremos uma indústria que funciona
com plena capacidade, ou seja, usando todos
seus bens de capital. Neste caso a produção da
indústria é proporcional ao estoque de bens de
capital:
K(t)bx (1)
onde K é estoque de bens de capital;
x é produção da indústria;
b é coeficiente de capital do produto.
Modelos de sistemas econômicos
O modelo dinâmico que descreve a variação
do estoque de bens de capital tem a seguinte
forma:
)(tKI(t)dt
dK (2)
onde I(t) é investimento; é coeficiente de depreciação do capital.
Levando (1) para (2) obtemos a seguinte
equação diferencial:
)bx(tαI(t)dt
dxb (3)
Modelos de sistemas econômicos
A equação (3) modela a variação da produção
da indústria em função do investimento.
Dividindo ambos os membros da equação (3)
por b e transferindo o termo com x para lado
esquerdo obtemos:
)() tux(tαdt
dx (4)
onde u(t) = I(t)/b.
De (4) é visto que sem investimentos a
produção da indústria vai cair.
Modelos de sistemas econômicos
Modelos insumo-produto de Leontief
Os modelos estático e dinâmico de insumo-
produto foram propostos pelo Wassily
Leontieff para descrever a interação de n
indústrias de uma economia.
Modelos de sistemas econômicos Wassily Wassilyovitch Leontief (Munique, 5 de
Agosto de 1905 —Nova York, 5 de Fevereiro de 1999)
foi um economista russo, naturalizado estadunidense.
Foi notável por pesquisas sobre como as mudanças em
um único setor da economia afetam os demais.
De origem russa, em 1931 emigrou para os Estados
Unidos, onde se naturalizou. Recebeu o Prémio de
Ciências Económicas em Memória de Alfred Nobel de
1973, pelo desenvolvimento da matriz de insumo-
produto (input-output), conhecida como a "matriz de
Leontief", e a sua aplicação à economia.
Modelos de sistemas econômicos
Leontief em Harvard
Modelos de sistemas econômicos O modelo input-output foi apresentado pela
primeira vez no seu livro The Structure of the
American Economy, publicado em 1941. O modelo
tornou-se um instrumento essencial para o
planejamento, tanto nos países de economia
centralmente planejada quanto para aqueles que
adotam a economia de mercado.
Uma aplicação muito interessante do modelo insumo-
produto foi realizada durante Segunda Guerra
Mundial. Naquele período “os administradores do
esforço de produção industrial dos Estados Unidos
sentiram muito a necessidade de informações
detalhadas”.
Modelos de sistemas econômicos Dada a encomenda do presidente Roosevelt de “50 mil
aviões”, foi bastante fácil prever que o pais teria que
produzir mais alumínio. Porém, não ficou
imediatamente claro que construção de instalações
para a produção de alumínio ia chocar-se com a
escassez de cobre – uma escassez que foi solucionada
com o empréstimo de prata, fornecida pelo Forte
Knox, para produção de maciças barras condutoras,
que transmitiam eletricidade às instalações. Tendo na
mão uma tabela de insumo-produto da economia
norte-americana para o ano de 1939, as autoridades de
governo usaram ela para tomar a decisão.
Modelos de sistemas econômicos Modelo estático de insumo-produto
É considerado um sistema de n indústrias
interligadas. A produção de uma indústria (digamos a
indústria de aço) é necessária como um insumo em
muitas outras indústrias e/ou também, possivelmente,
em si própria; portanto, o nível “correto” de produção
de aço depende das necessidades de insumo de todas
as n indústrias. Por sua vez, os produtos de outras
indústrias entram como insumo na indústria de aço. O
modelo matemático neste caso tem a seguinte forma:
Modelos de sistemas econômicos
nnnnnnn
nn
nn
yxaxaxax
yxaxaxax
yxaxaxax
...
....................
...
...
2211
222221212
112121111
(5)
onde iy denota a demanda final pelo i - esímo produto
e ija representa o requisito de insumo da j - esíma
indústria.
Modelos de sistemas econômicos
Introduzindo os vetores X e Y e a matriz A com
elementos ija (i, j = 1, 2, ..., n) o modelo (5) pode ser
escrito em forma vetorial – matricial:
X = AX + Y (6)
Para a matriz A não-singular existe única solução da
equação (6):
YAIX 1)( (7)
Modelos de sistemas econômicos
Modelo dinâmico de insumo-produto O modelo dinâmico pode ser desenvolvido, supondo
que há possibilidade de formação de capital, incluindo
a acumulação de estoques. Neste caso podemos incluir
a matriz de coeficientes de capital:
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
B
...
............
...
...
21
22221
11211
.
Modelos de sistemas econômicos
O modelo dinâmico de insumo-produto tem
a seguinte forma:
YXBAXX (8)
Exemplo. Considere um modelo bissetorial fechado,
ou seja, de duas indústrias que consomem sua produção
e não produzem para vender fora do sistema. A primeira
indústria produz alimentos (digamos, agricultura e agropecuária)
e a segunda indústria produz máquinas para as duas indústrias.
Modelos de sistemas econômicos
Neste caso 0e0,0 212221 yyaa , e
o modelo de insumo produto é:
2221212
2121111
xbxbx
xaxax
(9)
Diferenciando a primeira equação (9), obtemos:
2
11
121
1x
a
ax
(10)
Modelos de sistemas econômicos
Da segunda equação (9), obtemos:
)(1
1212
22
2 xbxb
x (11)
Levando (11) em (10), obtemos:
212
1 xc
ax (12)
onde
21121122 )1( baabc (13)
Modelos de sistemas econômicos
Levando (12) em (11), temos:
211
2
)1(x
c
ax
(14)
212
1 xc
ax
(12)
Sistema de duas equações diferenciais lineares determina
a quantidade de maquinas a serem produzidas para
aumentar a produção de alimentos no sistema.
Bibliografia
BC 1507- Instrumentação e Controle 39
Bassanezi, R.C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática.
São Paulo: Contexto, 2002.
Clark, C.W. Mathematical Bioeconomics: The Optimal Management of
Renewable Resources. John Wiley & Sons, Inc., 1992.
Chiang, A., Wainwright, K. Mathematica para economistas . Rio de
Janeiro: Elsevier, 2006.
Edelstein-Keshet, L. Mathematical models in biology. The Random
House Ed., Toronto, 1988.
Zill, D.G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. São
Paulo: Thomson, 2003.