Manuel Mazo, Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 1 Manuel Mazo Quintas Daniel Pizarro...

Manuel Mazo, Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 1

Manuel Mazo QuintasDaniel Pizarro Pérez

Departamento de Electrónica. Universidad de Alcalá.Email:[email protected],[email protected]

VISIÓN POR COMPUTADOR


ContenidoContenido

Transformaciones geométricas de imágenes.

Histograma de una imagen

Mejora (realce, suavizado) de imágenes.

Transformaciones geométricas de imágenesTransformaciones geométricas de imágenes

Traslación, Giros, Zoom, Escalado


Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasGeneralidadesGeneralidades

Las trasnformaciones geométricas se utilizan para investigar ciertas zonas o regiones dentro de una imagen (regiones de interés).

Para ello se realizan operaciones que modifican las coordenadas espaciales de la imagen: operaciones geométricas.

El objetivo de una operación geométrica es transformar los valores de una imagen tal como podría observarse desde otro punto de vista.

Algunas de estas transformaciones son: rotar, trasladar, zoom. Las imágenes son discretas (entre dos píxeles no existen valores de

intensidad) formando una rejilla, donde las coordenadas de cada celda son números enteros.

Al someter la imagen original a un desplazamiento, giro o zoom, en general para un píxel, no se va a obtener de la imagen original un valor entero en la imagen destino.

Es necesario un algoritmo de interpolación que determine el nivel de intensidad de la imagen final a partir de uno o varios píxeles de la imagen original.


Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasTranslaciónTranslación

Dado un píxel f(u,v) si se desplaza ud,vd el píxel correspondiente en la imagen de salida será g(u+ud, v+vd), siendo f=g (se mantiene la intensidad).

En coordenadas homogéneas:

Donde uf y vf son las coordenadas finales, ui y vi las iniciales, y ud y vd el desplazamiento

u

v

u

v

u

vf

f

d

d

i

i

1

1 0

0 1

0 0 1 1

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥


Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasGirosGiros

Se utiliza para producir efectos estéticos, y para simular la rotación de la cámara o del propio objeto.

Los parámetros necesarios para simular la rotación son el ángulo de giro y las coordenadas del centro de rotación.

La rotación, respecto a un centro genérico (ud, vd) viene dada por:

u

v

u

v

sen

sen

u

v

u

vf

f

d

d

d

d

i

i

1

1 0

0 1

0 0 1

0

0

0 0 1

1 0

0 1

0 0 1 1

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

cos

cos

θ θθ θ


Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasZoomZoom

Zoom: Se trata de seleccionar una parte de la imagen (subimagen), separarla del resto de la imagen original y realizar mediante un proceso de expansión.

La expansión se puede hacer de muchas formas. Una forma de expansión frecuente: interpolación lineal

Se pasa de imágenes de NxN a imágenes de (2N-1)x(2N-1) y se puede repetir las veces que se quiera

5 3 5

2 12 4

6 8 10

5 4 3 4 5

2 7 12 8 4

6 7 8 9 8

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥→

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Imagen original Imagen con filas expandidas Imagen con filas y columnas expandidas

(5+3)/2 5 4 3 4 5

35 55 7 5 6 4 5

2 7 12 8 4

4 7 10 85 6

6 7 8 9 8

. . . .

.

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥


Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasZoomZoom

Otra forma de expansión: promedio del entorno de vecindad.

I I=

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

→ =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

2 6 48 10 24 6 8

0 0 0 0 0 0 00 2 0 6 0 4 00 0 0 0 0 0 00 8 0 10 0 2 00 0 0 0 0 0 00 4 0 6 0 8 00 0 0 0 0 0 0

exp

h =

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

14

12

14

12

12

14

12

14

1 I h Izoom =

− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

*

. .

exp

05 1 2 3 2 5 2 11 2 4 6 5 4 2

1ª. Expandir:

2º. Promediar (convolución):


Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasEjemplo de zoom: interpolación linealEjemplo de zoom: interpolación lineal


Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasEscaladoEscalado

De la imagen original se toma un fragmento y se amplia hasta ocupar el espacio deseado.

n

N

mM

u

v

N n

M m

u

vf

f

i

i

1

0 0

0 0

0 0 1 1

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

//


Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasInterpolación: Vecino más próximoInterpolación: Vecino más próximo

Es el método más sencillo. Para cada píxel de la imagen final se realiza la transformación inversa y se redondean los valores, o lo que es lo mismo se le asigna el píxel más cercano de la imagen original.

Llamando p(u,v) a un píxel de la imagen destino:

dv=bdu=a

p(i,j) p(i,j+1)

p(i+1,j+1)p(i+1,j)

u

v

p(u,v)

p(u,v) tomaría el valor de p(i,j)


Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasInterpolación bilinealInterpolación bilineal

Da mejores resultados, pero tiene mayor coste computacional. Asigna un valor medio ponderado de las intensidades de los cuatro

píxeles que le rodean. Los factores de ponderación vienen dados por la distancia entre el píxel

y los del entorno:

( )( ) ( )

( )

p u v a p i j a p i j a p i j a p i j

a du dy a du dv

a du dv a dudv

u v du dv

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

;

;

; ,

= + + + + + + +

= − − = −

= − =

= = ≤ ≤

1 2 3 4

1 2

3 4

1 1 1 1

1 1 1

1

1 0 1Δ Δ

HistogramaHistograma


HistogramaHistogramaConceptoConcepto

Una imagen muestra la distribución espacial de los niveles de gris. El histograma de una imagen descarta la información espacial y muestra la frecuencia de

ocurrencia de los valores de gris. Una imágen tiene un solo histograma, pero un histograma puede tener infinitas imágenes.

2 4 5 4 5 5

1 6 3 6 3 5

0 7 5 7 0 4

5 6 3 7 1 2

3 4 3 5 5 4

4 2 4 2 4 3

Imagen

Codificada con 3 bits (0, 1,…, 7)MxN =6x6

Nivel de gris

Nº de píxeles

Frecuencia relativa

0

1

2

3

4

5

6

7

2

4

4

5

7

8

4

2

Σ=36

2/36=0.06

4/36=0.11

4/36=0.11

5/36=0.14

7/36=0.19

8/36=0.22

4/36=0.11

2/36=0.06

Σ =1


Histograma de una imagenHistograma de una imagenDefiniciónDefinición

Para una imagen de dimensiones MxN

y niveles de gris (intensidad) en el rango f0 a fk

H f MxNii

i k

( )=

=

∑ =0

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

8

Núm

ero

de p

íxel

es

Nivel de grisf

H(f)

Nº de píxeles con intensidad 0: 2Nº de píxeles con intensidad 1: 4Nº de píxeles con intensidad 2: 4 Nº de píxeles con intensidad 3: 5Nº de píxeles con intensidad 4: 7Nº de píxeles con intensidad 5: 8Nº de píxeles con intensidad 6: 4Nº de píxeles con intensidad 7: 2

Definición 1: El histograma de una imagen se puede definir como una función discreta que representa el número de píxeles en la imagen en función de los niveles de intensidad.


Definición 2: El histograma de una imagen es la función discreta de la frecuencia relativa de ocurrencia de los píxeles de una imagen en función de los niveles de intensidad. La frecuencia relativa del histograma se puede interpretar como una función de distribución de probabilidad.

P(f)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Fre

cuen

cia

rela

tiva

Nivel de grisf

P fH f

MxN

H f N de pixels con ensidad f

MxN Tamaño imagen

P f ii

k

( )( ) ( ): º int

:

( )

=⎧⎨⎩

==∑0

1

La función P(f) se conoce como función de distribución acumulativa

Histograma de una imagenHistograma de una imagenDefiniciónDefinición


Histograma de una imagenHistograma de una imagenPropiedades EstadísticasPropiedades Estadísticas

Media: Es el valor medio de los niveles de gris. Aporta información sobre el brillo de una imagen.

f f P fMxN

f i j L numero total de niveles de grisj

N

i

M

f

L

= ⋅ = ====

−

∑∑∑ ( ) ( , ),1

000

1

Varianza: Mide la dispersión de los alrededores de la media (da idea del contraste)

Entropía: Informa sobre la distribución de los niveles de gris

Asimetría sobre la media en la distribución de los niveles de gris:

σ 2 2

0

1

= −=

−

∑ ( ) ( )f f P ff

L

a f f P ff

L

= −=

−

∑( ) ( )3

0

1

E P f P ff

L

=−=

−

∑ ( ) log [ ( )]20

1


Histograma de una imagenHistograma de una imagenEjemplosEjemplos

1241

0 256

1693

0 256


Histograma de una imagenHistograma de una imagenEjemplo de imagen en colorEjemplo de imagen en color

Mejora (realce, suavizado) de imágenes Mejora (realce, suavizado) de imágenes

Modificación del brilloModificación del contraste

Modificación del histogramaReducción de ruido


Mejora de imágenesMejora de imágenes

Objetivo: mejorar la “calidad” de las imágenes. Para la perspectiva humana. Para posteriores operaciones de procesamiento

Dos alternativas: Técnicas en el dominio del espacio.... Operando

directamente sobre los píxeles de la imagen. Técnicas en el dominio de la frecuencia...Operando

sobre la transformada de Fourier (por ejemplo) de la imagen.

No existe una teoría general para definir la “calidad visual” Se asume: si parece mejor, es mejor


La transformación T puede ser: Puntual: píxel a píxel Área: área local a píxel Global: imagen entera a píxel

Entornos de un píxel (u,v) Típicamente rectangulares Típicamente de tamaño impar: 3x3, 5x5, etc Centrados sobre el píxel f(u,v)

Métodos en el dominio del espacioMétodos en el dominio del espacio

f(u,v)

Entorno

g(u,v)

g(u,v)= T[f(u,v)]


Transformaciones puntualesTransformaciones puntuales Idea generalIdea general

Función de transferencia T

f(u,v)

g1(u1,v1)

f1(u1,v1)

0 2550

255

Tf(u,v) g(u,v)

g(u,v) = T[f(u,v)]

g(u,v)


Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesUmbralizaciónUmbralización

0 T 255

255

0f(u,v)

g(u,v)

f(u,v) g(u,v) para T=89

g u xf u v T

f u v T( , )

, ( , )

, ( , )=

<≥

⎧⎨⎩

01

T=Umbral


Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesModificación de brilloModificación de brillo

g(u,v)

f(u,v)0 2550

255

T

g(u,v)

f(u,v)0 2550

255

T

f(u,v)0 2550

255

T

g(u,v)

0 100 200

0

2000

4000

0 0.5 1

0

2000

4000

0 0.5 1

0

2000

4000


g(u,v)

f(u,v)0

255

255

g(u,v)

f(u,v)0

255

255

f(u,v)

g(u,v)

Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesInversa, intervaloInversa, intervalo


Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesEscalado (contracción del histograma)Escalado (contracción del histograma)

g(u,v)

f0 fk L f(u,v)

Rango de variación del nivel de

gris de la imagen de entrada: [f0, fk]

Rango deseado de la variación del

nivel de gris de la imagen de salida: [g0, gk]

g u vg g

f ff u v f g m f u v nk

k

( , ) [ ( , ) ] ( , )=−−

− + = ⋅ +0

00 0

gk

g0

L

0

L: número total de niveles de gris posibles


Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesEscalado (expansión del histograma)Escalado (expansión del histograma)

g u vf u v f

f fL

k

( , )( , )

=−

−0

0

gk

g0

L

0

g(u,v)

f0 fk L f(u,v)


0 255

255

f(u,v)

g(u,v)

Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesExpansión (Estiramiento)Expansión (Estiramiento)

f(u,v) g(u,v)


Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesEjemplo de contracción de histogramaEjemplo de contracción de histograma


Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesEjemplo de expansión de histogramaEjemplo de expansión de histograma


Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesEjemplosEjemplos

luminosidad oscurecer

Magnificar los píxeles oscuros


Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesEscalado no linealEscalado no lineal

g(u,v)/L

f(u,v)/L

α<1

α=1

α>1

g(u,v)=[f(u,v)]α

α=0.50 1

1

α <1: Aumenta el contraste en zonas oscuras

α> 1: Aumenta el contraste en zonas claras


Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesEscalado no linealEscalado no lineal

0 50 100 150 200 250

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 50 100 150 200 250

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

α=3.0


Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesCColorolor

Todas las transformaciones puntuales se pueden aplicar a imágenes en color. La misma función para todas las bandas de color Diferentes funciones para las diferentes bandas de color


Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma DesplazamientoDesplazamiento

g u v f u v DES( , ) ( , )= +


Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma EcualizaciónEcualización

El histograma de una imagen consta de picos, valles y zonas planas bajas Picos = muchos píxeles concentrados en unos pocos niveles de gris Zonas planas = un número pequeño de píxeles distribuidos sobre un

amplio rango de niveles de gris.

0 50 100 150 200 250

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000


Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ecualización UniformeEcualización Uniforme

La ecualización uniforme es una de las técnicas más utilizadas para la mejora del contraste de una imagen.

El objetivo es modificar los niveles de una imagen de tal forma que el histograma de la imagen resultante sea plano. Expandiendo los píxeles en los picos sobre un amplio rango de niveles de gris. “Apretando” las zonas planas de píxeles en rangos estrechos de niveles de gris.

Utiliza todos los niveles de gris por igual.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314150

200400600800

100012001400160018002000

Nú

mer

o d

e p

íxel

es

Niveles de gris

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

50

100

150

200

250

300

Nú

mer

o d

e p

íxel

es

Niveles de gris

Imagen original [f(u,v)] Imagen con ecualización uniforme [g(u,v)]


Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ecualización (general)Ecualización (general)

Dada una imagen f(u,v) de MxN píxeles, con una escala de niveles de gris f0- fk e histograma Hf(f).

Sea g(u,v) la imagen de salida deseada (Imagen ecualizada), con una escala de niveles de gris g0 -gk e histograma Hg(g).

Tratando el histograma como una función de densidad de probabilidad:

Las sumas pueden ser interpretadas como funciones de distribución discretas.

Si g(u,v)= T[f(u,v)]. ¿Cuál es la función T que consigue

el objetivo de ecualización?

f

Hf(f)

f0 fk

g

Hg(g)

g0 gk

H f H g MxNf i g ii

k

i

k

( ) ( )= ===∑∑00


Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ecualización (general)Ecualización (general)

Denominando por pf(fi) y pg(gi), las probabilidades por cada nivel de gris fi y gi, en las imágenes de entrada y salida, respectivamente, entonces:

p fH f

MxNp g

H g

MxNf i

f i

g i

g i( )

( ), ( )

( )= =

En el dominio continuo, si se supone que T es una función de transformación monótona creciente y no multivaluada, entonces:

Esta es la ecuación general de ecualización. Hay que tener presente que en el dominio discreto no pueden existir funciones uniformes ideales.

p s ds p r drg ff

f

g

g

( ) ( )=∫∫00



En este caso, lo que se busca es:

H gMxN

g gK gg i

ki( ) ,=

−= ∀

0

Aplicando la función general de ecualización:

MxN

g gds H r dr

kf

f

f

g

g

−=∫∫

0 00

( )

MxN

g gg g H r dr g T f

g g

MxMH r dr g

kf

kf

f

f

f

f

−− = → = =

−+∫∫

00

00

00

( ) ( ) ( ) ( )

g T f g gH i

MxMg g g p i gk

f

i f

f

k fi f

f

= = − + = − += =∑ ∑( ) ( )

( )( ) ( )0 0 0 0

0 0


g T f dondeo g g p i gn k fi

fn

= = − +=∑( ) Re {( ) ( ) }00

0

f

Pf(f)=Hf(f)/(MxN)

f0 fkg

Pg(g)=Hg(g)/(MxN)

g0 gkfngn

“Todos los píxeles con valor fn en la imagen f(u,v) se

les asigna un valor gn en la imagen de salida g(u,v)”



Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ejemplo de Ecualización UniformeEjemplo de Ecualización Uniforme


Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ecualización exponencialEcualización exponencial

En este caso lo que se busca es que (0≤γ≤1):

p g g gg ( ) exp[ ( )]= − −γ γ 0

Aplicando, de nuevo, la función general de ecualización:

γ γ⋅ − − =∫∫ exp[ ( )] ( )s g ds p r drff

f

g

g

0

00

− − − + − = → = = − −∫∫exp( )[ exp( ) exp( )] ( ) ( ) ln[ ( ) ]γ γ γγ

g g g p r dr g T f g p r drf ff

f

f

f

0 0 0

11

00

g T f g p ifi f

f

= = − −=∑( ) [ln ( )]0

11

0γ


Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ecualización exponencialEcualización exponencial

f

Pf(f)=Hf(f)/(MxN)

f0 fkfng

Pg(g)=Hg(g)/(MxN)

g0 gkgn

“Todos los píxeles con valor fn en la imagen f(u,v) se

les asigna un valor gn en la imagen de salida g(u,v)”

g T f dondeo g p ifi f

f

= = − −=∑( ) Re { [ln ( )]}0

11

0γ


Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ejemplo de Ecualización ExponencialEjemplo de Ecualización Exponencial


Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Otras EcualizacionesOtras Ecualizaciones

Propuesta de Low (1991). Ejemplo: niveles de gris: L = 8 {0,1,2,3,5,6,7}, MxN = 2400

g round

H i

MxN

L

fi

f

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

−

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

=∑

max ,( )

0 10

fi Hf(fi) ΣHf(fi) g

0

1

2

3

4

5

6

7

100

800

700

500

100

100

100

0

100

900

1600

2100

2200

2300

2400

2400

0

2

4

6

6

7

7

7800

600

400

200

0

0 1 2 3 4 5 6 8

ideal

800

600

400

200 0

0 1 2 3 4 5 6 8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7


Ejemplos de ecualizaciónEjemplos de ecualización

0 50 100 150 200 250

0

2000

4000

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

0 50 100 150 200 250

0

2000

4000


Comparación: Comparación: escalado no lineal (escalado no lineal (αα=3), =3), y ecualización uniformey ecualización uniforme

Imagen original (f(u,v)

α=3

Ecualización uniforme del histograma


Histograma localHistograma local y operaciones locales y operaciones locales

• Hasta ahora se ha hablado de operaciones sobre el histograma global de una imagen: “los píxeles se modifican mediante una función de transformación que se basa en la distribución de intensidad sobre TODA la imagen”.

• En casos prácticos, los histogramas globales no suelen dar buenos resultados.

• Es más frecuente realizar operaciones locales: Cada píxel se modifica en función de los píxeles de su entorno ( modificaciones por ventanas).

• Para cada píxel en la imagen original se toma una ventana a su alrededor, se realizan las operaciones que procedan con esa ventana (ecualización del histograma de la ventana, etc), y el valor que resulte para el píxel bajo consideración será el que se le asigne en la imagen de salida


Reducción de ruido Reducción de ruido ¿Qué es el ruido? ¿Cómo se puede reducir?

– Actuando sobre su origen– Realizando operaciones sobre el entorno de cada píxel

• Filtros lineales (paso bajo, paso alto)• Filtros no lineales (mediana).

ruidoimagen

+ =

image con ruido


RuidoRuidoOrigenOrigen

Fuente de ruido: sensor CCD. Fluctuación de la señal en el detector. Causada por energía térmica. Peor en los sensores de infrarrojos. Electrónica. Transmisión.


RuidoRuidoModelo GausianoModelo Gausiano

ηπσ

μσ

( ) exp( )

xx

= −−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

2

1

22

2

2σ

μ

La distribución típica de ruido es Gaussiana

Con μ=0Desviación típica: σ

Gausiana bidimensional

0 50 100 150 200 250

0

500

1000

1500

2000

2500

2σ


Otros tipos de ruidoOtros tipos de ruido

El ruido Gaussiano produce pequeñas variaciones en la imagen. Tiene su origen: diferencias de ganancia del sensor , ruido de digitalización, perturbaciones en la transmisión, etc

Ruido Impulsional: El ruido tiene un gran efecto sobre los píxeles (el ruido impone el valor del píxel). Se presenta, por ejemplo, cuando se trabaja con objetos a altas temperaturas (problemas con infrarrojos).

Ruido frecuencial: La imagen es la suma de la imagen ideal y otra señal, la interferencia.

Ruido Multiplicativo: La imagen obtenida es fruto de la multiplicación de dos señales.


Ruido: filtros lineales Ruido: filtros lineales Promediado del entorno de vecindadPromediado del entorno de vecindad

h u v( , )

/ / /

/ / /

/ / /

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 9 1 9 1 91 9 1 9 1 91 9 1 9 1 9

19

1 1 11 1 11 1 1

f(u,v)

g u v h u v f u vS

f i j h u i v jmxn ji

( , ) ( , ) * ( , ) ( , ) ( , )= = − −∑∑1

g(u,v)


Ruido: filtros lineales Ruido: filtros lineales Promediado de imágenesPromediado de imágenes

g u v f u vK

f u vii

K

( , ) ( , ) ( , )= ==∑11

σ σg nu vK

u v2 21( , ) ( , )=

Considerando una imagen ruidosa f(u,v), está se puede expresar como:

f(u,v) = fsin_ruido(u,v) +n(u,v), siendo n(u,v), que se supone está incorrelado,

es gausiano, de media cero y varianza σn2.

La media de varias imágenes, captadas en las mismas condiciones:

La varianza de los píxeles en la imagen resultante g(u,v) viene dada por


Ruido: filtros lineales Ruido: filtros lineales Reducción de ruidoReducción de ruido

70 80 90 100 110 120 130 140

160

170

180

190

200

210

220

230

Imagen limpia

Imagen + ruido

Imagen + ruido - promediado


La reducción de ruido puede conllevar la desaparición de detalles finos en la imagen

Imagen original Imagen con reducción de ruido

Ruido: filtros lineales Ruido: filtros lineales Efecto sobre detalles con la reducción de ruidoEfecto sobre detalles con la reducción de ruido


Ruido: filtros no lineales Ruido: filtros no lineales MedianaMediana

x1 x2 x3 ….. x(N-1)/2 …….. xN-2 xN-1 xN

N imparmenor mayor

mediana

Unidimensional (Nx1)

Bidimensional (NxN): mediana: valor central de la ordenación de menor a mayor(N-1)/2

x xxx

xxx

x x

(N-1)/2

(N-1)/2

xxx xx

(N-1)/2

(N-1)/2

xx

x

x

x

(N-1)/2

Preserva los bordes verticales y horizontales

Preserva los bordes inclinados


Original Filtro paso bajo Mediana

RuidoRuidoFiltros lineales y no linealesFiltros lineales y no lineales


RuidoRuidoOtros tipos de filtros no linealesOtros tipos de filtros no lineales

Filtro de Kuwahara

Principio:Dividir la máscara del filtro en cuatro regiones (a, b, c, d). En cada una calcular la media de nivel de gris y la varianza El valor de la salida del píxel central (abcd) en la ventana es el valor medio de la región que tiene la varianza más pequeña



Filtro Gausiano:

G u vu v

( , ) exp( )

= −+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12 22

2 2

2πσ σ

Fijado un valor de σ2 la función G(u,v) de puede aproximar por una máscara, cuyas dimensiones depende del valor de σ2 :

G(0,0) G(1,0)

G(-1,-1) G(1,-1)G(0,-1)

G(0,+1)G(-1,1)

G(-1,0)

G(1,1)

Se van dando pares de valores a u y v. El tamaño de la máscara se trunca cuando los valoresde G(u,v) sean despreciables frente a los otros .Los valores de G(u,v) se pueden escalar (multiplicar por una constante) y redondeandoal entero más próximo.



σ2 = .25 σ2 = 1.0 σ2 = 4.0

G u vu v u v

( , ) exp exp exp= −+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⋅ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

12 2

12 2

12 22

2 2

2

2

2

2

2πσ σ πσ σ πσ σ


RuidoRuidoFiltos gausianosFiltos gausianos

σ = 0.391

12 4

1 14

41

4

1

σ = 0.625

1 2 3 2 1

2 7 11 7 2

3 11 17 11 3

2 7 11 7 2

1 2 3 2 1


RuidoRuidoEjemplos con filtros gausianosEjemplos con filtros gausianos

Máscara Gausiana 7x7 Máscara Gausiana 15x15


RuidoRuidoFiltros gausianosFiltros gausianos

G u v f u v G u G v f u v( , ) * ( , ) ( ) *{ ( ) * ( , )}=

g1(u,v)= G(v)*f(u,v) g(u,v)= G(u)*g1(u,v)

Ejemplos de G(u) y G(v) (máscaras lineales). Escalado:

G(u): [3 28 135 411 800 1000 800 411 135 28 3], para σ=1.5

G(u): [1 3 11 28 65 135 249 411 606 800 945 1000 945 800 606 411 249 135 65 28 11 3 1], para σ=3.0

G(u): [3 28 135 411 800 1000 800 411 135 28 3]T, para σ=1.5

G(u): [1 3 11 28 65 135 249 411 606 800 945 1000 945 800 606 411 249 135 65 28 11 3 1]T, para σ=3.0

Equivalente a dos convoluciones con máscaras unidimensionales

[]T =traspuesta

1

21000

σ πK =


Suavizado Binario de imágenesSuavizado Binario de imágenes

En imágenes binarias (niveles de gris de 0 ó 255), el ruido produce irregularidades en los contornos, pequeños huecos, presencia de puntos aislados, etc.

Supondremos que un punto blanco (nivel de gris 255) se le asigna el valor binario “0” y a los puntos negros (nivel de gris 0) el valor binario “1”

El suavizado de estas imágenes binarias tiene los siguientes efectos:

1. Rellenar los pequeños huecos de un píxel (píxeles blancos) en zonas oscuras.

2. Rellena pequeños cortes y muescas en segmentos de lados rectos.

3. Elimina los puntos blancos (píxeles de valor 255=“1”) aislados.

4. Elimina las pequeñas protuberancias a lo largo de los segmentos de lados rectos.

5. Repone los puntos perdidos de las esquinas



Supóngase un píxel genérico “p” y denominemos los pixeles que le rodean por las letras a, b, c, d, e, f, g,h .

Procedimientos 1 y 2:

Partiendo de la imagen original, cada píxel (“p”) se le asigna en la imagen de salida el valor dado por:

Es importante tener en cuenta que la ecuación anterior se aplica a todos los píxeles simultáneamente, y que todos los píxeles de la imagen de salida se actualizan a la vez

a b c

d p e

f g h

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

B p b g d e d e b g OR AND1 = + • • + + • • + + ≡ • ≡( ) ( ); " " ;

B1



Procedimientos 3 y 4:

Partiendo de la imagen original, cada píxel (“p”) se le asigna en la imagen de salida el valor dado por:

Al igual que en el caso anterior, se aplica a todos los píxeles simultáneamente y todos los píxeles de la imagen de salida se actualizan a la vez

B p a b d e g h b c e d f g2 = • + + • + + + + + • + +[( ) ( ) ( ) ( )]

B2



Para la recuperación de la esquina superior derecha se utiliza la expresión:

Las esquinas inferior derecha, superior izquierda e inferior izquierda se recuperan usando las expresiones

B p d f g a b c e h p3 = • • • • + + + + +( ) ( )

B3,B4, B5, B6

B p a b d c e f g h p

B p e g h a b c d f p

B p b c e a d f g h p

4

5

6

= • • • • + + + + +

= • • • • + + + + +

= • • • • + + + + +

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

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