Manual Psu Matematica UC

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rINTRODUCCIN

.Elpresente manual de ejercitacin de Matemtica para la Enseanza Media y para laPSU, es el resultado del trabajo conjunto de dos de los autores del Manual depreparacinPSU Matemtica, editado por Ediciones Ue.. Este texto, concebido como uncuaderno deejercicios, est especialmente diseado para complementar el Manual antes aludido. Su. creacin obedece a que en el mercado no' se ha hecho untexto de ejercicios adhoc parala prueba PSU de Matemtica, en lo que se refiere a:lnivel apropiado de extensin yprofundidad. Esperamos contribuir a llenar ese vaco, desde la perspectiva de profesoresdedicados casi en forma exclusiva, a la preparacin de dicha prueba.

De acuerdo a nuestra experiencia de varios aos como profesores en la preparacin para "las pruebas de ingreso a la:Educacin superior y profesional, estamos muy conscientes delo importante que es 'la ejercitacin en Matemtica, una vez que se han entendido los'conceptos fundamentales. Enefecto, 'siendo la Matemtica una disciplina abstracta porexcelencia y percibida como rida o abstrusa por los alumnos, lo ms importante en ellaes lacomprensin y el entendimiento, y esto se logra no sin un gran esfuerzo de parte,tanto del que ensea como del que aprende. Una vez lograda la comprensin y el enten-dimiento de las ideas fundamentales, viene la etapa de la ejercitacin, la cual debe serllevada a cabo en forma sistemtica, rigurosa y permanente. No Sepuedendesarrollarmsculos con slo leer un libro de gimnasia. No estamos exagerando la importancia quetiene la ejercitacin en Matemtica pues es la forma en que los grandes matemticos, yasean puros o aplicados, hacen y construyen la Matemtica. Conociendo la realidad mate-mtica de nuestro pas, toda persona que aspire a tener xito en las pruebas de seleccinuniversi'taria (PSU), tiene que cumplir, entre otros, con los dos siguientes requisitos:

1) debe comenzar a prepararse, al menos desde 30 medio, (ojal desde antes) y ,2) debe 'destinar todos los das.por lo menos, una hora diaria a ejercitar Matemtica.

De ah tambin que, para el logro de ese importante objetivo, se incluyen 44 Test de 30ejercicios cada uno, lo que da un total de 1.320 'ejercicios, con el formato de la P~u.Esperamos, enun futuro no muy lejano, incrementar esta cantidad de ejercicios a travsde la incorporacin de nuevos test. ' .

Desde la quinta edicin hemos propuesto 20 ejercicios resueltos, cuatro por~je temticoms anexo, con el objetivo de facilitar al alumno una dejas formas de desarrollar orde-nadamente el ejercicio planteado. Esperamos que sea un real aporte a su aprendizaje.A pesar de'que el aprendizaje es personal, tambin es importante el trabajo de grupo, parapotenciar el hecho de compartir ideas.buscar soluciones en conjunto a los problemas msdifciles, analizar las soluciones encontradas, etc, entre otras habilidades, En otras pala-bras, el trabajo de grupo propicia el control de calidad.

El presente texto est estructurado en cuatro grandes ejes temticos, tal y cualIo sealanlos planes y programas del Ministerio de Educacin, y cada uno de ellos contiene varios


test para los temas de la PSU Matemtica, con sus correspondientes respuestas, Hemosprocurado, dentro de lo posible, ordenar los ejercicios que aparecen en los test, en ordende complejidad o dificultad creciente. No siempre es fcil ponerse de acuerdo en los crite-rios para realizar el ordenamiento pedaggico. Para tener xito en la PSU, los alumnos y'las alumnas deben resolvertodos los test, ya que en stos, se plantean ejercicios similares,a la PSU Matemtica. Cada Test debe ser resuelto en un tiempo mximo de una hora.Adems, para facilitar la labor de todos los usuarios del texto, hemos decidido colocar las

. respuestas de los ejercicios en la misma pgina dohde termina el respectivo test. De esta, manera, si un alumno o alumna utiliza un determinado test como evaluacin diagnstica

en un tema, entonces puede conocer su resultado inmediatamente.

Deseamos agradecer a la Sra. Teresa Navarro Castro, editora de proyectos especiales de, Ediciones DC, por la posibilidad que' nos ha dado de concretar este importante trabajo, 'quenuestros alumnos, alumnas y tambin colegas, estaban esperando, as como tambin alSr. Jos Miguel Cariaga De La Cuadra ya la Sra. Mnica Prez Vera por la labor dediseo y diagramacin del texto. Queremos agradecer tambin a la Diseadora, Srta.. Gladys Briones Torres, por la elaboracin de algunos de los dibujos del texto. Deseamosexpresar tambin nuestros agradecimientos ms sinceros para nuestro amigo y colega,el seor scar Bravo Lutz, por su contribucin al tema de los vectores y al test que lmismo ayud apreparar.

Si este texto puede servir a un gran nmero de usuarios, entonces nuestra tarea se habrcumplido a cabalidad.

Como siempre, deseamos a nuestras alumnas ya nuestros alumnos, desde ya, el mejor delos xitos en sus futuras vidas profesionales y/o universitarias.

1

III!1:

Los autores

Santiago de Chile,.2009

r

ALF ABETO GRIEGO

Maysculas Minsculas NombreA o. alfa

B ~ beta, y gama

/', 5 ,delta

E"

psilonE

Z 1; zeta

H 11 eta

e e, ,} theta1 I iota

K K kappa

1\, x lambdaM ~ rnu o mi'N v nu o ni

- S xiO o micron

n 1t pip p rha

L fJ,~ sigma

T r tau

y v psilon

'1' phiX X ji

'l' \jI psi.' U w omega

~


111,I SIM1WLOGA MATEMTI(:A

LISTA DE SMBOLOS Y NOTACIONES MATEMTICAS

SMBOLOS USADS EN LGICA MATEMTICA SMBOLOS USADOS EN TEORA DE CONJUNTOS

Smbolo Significado Lectura

p, q, t, s, .. , proposiciones pe, CU, -ere, ese, ...

-p, -p, p, N(p) negacin de p no p, es falso que p, etc.

p 1\ q conjunon pyq

pvq disyuncin, poq

P.::!.Q disyuncin, excluyente, p o q, pero no ambasP,=> q implicancia simple o condicional Si p entonces q, p implica q

p ee q implicancia doble o bicondicional p si Y slo si q, p equivalente con q

ssi si Y slo si si y slo si

=> 0= proposicin contradictoria' contradiccin'ti cuantificador universal para todo, para cualquier

3 cuantificador existendal existe, existe al menos un(o) o una

3! cuantificador existendal estricto exi,t un(a) nico(a)

Smbolo Significado, Lectura

A, B, e, ... conjuntos a, be, ce, ...a, b, e, ... . elementos a, be, ce, ...

(a) conjunto de 'un solo elemento singleton de "a"

( a, b ) conjunto de elementos a Y b conjunto de elementos a Y b

E relacin de pertenencia est en, es un 'elemento de

e negacin de pertenencia no est en, no es un elemento de 'A-S relacin de igualdad A es igual a S

e relacin de inclusin estricta es subconjunto propio de

;; relacin de inclusin est incluido en

::> relacin de inclusin inversa incluye a,

o: negacin de inclusin estricta no es subconjunto propio depeA) o 2' conjunto potencia de A conjunto potencia de A

# Y #A- cardinalidad cardinalidad de A

u unin uninn interseccin , interseccin- diferencia menos

"A' o K complemento complemento del conjunto' A00{) conjunto vado o conjunto nulo . fiU conjunto universal o universo conjunto universal o universo

( a, b ) Par ordenado de elementos a y b par ordenado de elementos a y b

AxS producto cartesiano entre A y B A cruz S- A6S diferencia simtrica entre A y B A delta B

______________Ji ----------


r"

SMBOLOS USA.DOS EN ARITMTICA. SMBOLOS USADOS EN ALGEBRA CLSICA ELEMENTAL

Smbolo Significado 'Lectura

IN conjunto de los nmeros naturales ene

IN, conjunto de-los nmeros cardinales ene subcero

Z conjunto de los nmeros enteros zeta

Q conjunto de los nmeros racionales cu

Q' 01 'conjunto de los nmeros irracionales cu prima o i

IR conjunto de los nmeros reales erre

e conjunto de los nmeros complejos ce,+ adicin ms

- sustraccin menosmultiplicadn multiplicado por

: divisin . dividido por

'l. tanto por 'ciento o porcentaje tanto porciento'lo. tanto por mil tanto por nil, signo radical ra~ cuadrada~ signo de igualdad. es igul a'"

,signo de desigualdad es distinto de

= signo de identidad es idntico a

/ tal que tal que> signo de comparacin mayor que

< signo de comparacin menor que;, signo de comparadn mayor o igual

< . signo de comparacin " menor o igual

signo de comparacin mucho menor que

signo de comparacin mucho mayor que

r


n nmero naturatcualquiera ene

'2n nmero natural par dos ene

2n - 1 nmero natural impar dos ene menos uno

z numero compteje cua quiera zeta

z conjugado del complejo z zeta conjugado

1 a I valor absoluto de un nmero real valor absoluto o mdulo de a

I z I valor absoluto de un complejo valor absoluto o mdulo de zetaee

e proporcionalidad es directamente proporcional 'a

.. consecuencia por lo tanto, por consiguiente,f(x)~ ax + b binomio de primer qradc efe de equis es igual a aequis ms be

f(x) = ax' + bx + e trinomio de segundo grado efe de equis es igual a aequis alcuadrado ms beequis ms ce

suma o resta ms menos

a' , potencia ensima de a a elevado a ene

lag operador logarttmico logaritmo decimal o de Briggs

In operador logaritmico logaritmo natural o 'de Neper

, I~~I determinante de dos por dos determinante a, b, c, dr b elde f determinante' de tres-por tres determinante a, b, e, d, e, f, g, h, i'g h i

[~~ 1 matriz de dos por dos matriz a, b, e, d

[a b eldelmatriz a, b, e; d, e, 1, g, h, ig h i matriz de tres por tres

L siqma mayscula sumatoria

rr pi mayscula pitatorie o multiplicatoria[a, b 1 intervalo terrado de extremos a y b intervalo cerrado a coma b1 a, b [ intervalo abierto de extremos a y b intervalo abierto a coma b[a, b [ , 'i~tervato semicerrado o semiabierto intervalo semicerrado a coma b1 a, b J intervalo semicerrado o semiabierto 'intervalo semicerrado a coma b

'~-~.


1 . .

SMBOLOS USADOS EN COMBINATORIA


n! olll factorial ene factoral o faetorial de ene

P(n) permutacin permutacin de erie elementos

V' vaacin o arreglo variacin.de ene elementos tomados de a. erre. rl:J combinaco combinacin de ene elementos tomados de erre en erre

I1,!

SMBOLOS USADOS EN PROBABILIDADES

Significado LecturaSmbolo

lm ..!:!..n-t-, n probabilidad freeueneial timite de la razn ene sub i partido por ene cuando

ene tiende a infinito

SMBOLOS USADOS EN ESTADSTICA DESCRIPTIVA

Smbolo Significado. Lectura

f frecuencia efe

x oM.A. media aritmtica o media media o promedio aritmtic~.Me mediana mediana

Mo moda moda

; cr desviacin standard sigma (minscula)

~~

SMBOLOS USADOS EN GEOMETRA CLSICA ELEMENTAL


A, B, e, .... puntos a, be, ce, ...

1 !,

l' Il'I

SMBOLOS USADOS EN TRIGONOMETRA ELEMENTAL,


sen~ razn entre el cateto opuesto a ~ y la hipotenusa seno de beta

cosp razon entre.el cateto adyacente a }j y la mpotenusa coseno de beta

tgP , razn entre el cateto opuesto a P y el cateto adyacente a p tangente de betacotp razn entre el cateto adyacente a J) y el cateto opuesto a p cotangente de betasecp razn entre la hipotenusa y el cateto adyacente a ~ secante de beta

cosecf3 razn entre la hipotenusa y el cateto opuesto a 13 cosecante de beta -

SMBOLOS USADOS EN GEOMETRA ANALTICA

Smbolo Significado Lecturaflx notacin delta ~ delta equism pendiente de una' recta pendiente6.'1 pendiente de una recta delta ye partido por delta equisl1X ','

y=mx ecuacin de una recta por el origen ye es igual a eme equis

y = mx + n ecuacin principal de la recta ye es igual a enie equis ms ene

AY. + By + e = o ecuacin general de la recta aequis ms bey ms ce igual a ceroy - Yo= m(x - xo) ecuacin punto-pendiente , ye menos ye subcero es igual a eme factor

de equis menos equis subcero

_x_ .-L=1 ecuacin d,esegmentos de la recta equis partido por a ms ye partido por be esa. b , igual a uno

x2 + y2= rl ecuacin de la circunferencia con equis al cuadrado ms ye al cuadradocentro en el origeh y radio erre es igual a erre al cuadrado

(x - h)' + (y - k)' = r' ecuacin de la circunferencia con equis menos hache al cuadrado ms yecentro en hache coma ea y radio menos ea al cuadrado es igual a erre alerre cuadrado

/

~

1

:11'

,1 f

TABLA DE ESPECIFICACIONES DE LA PRUEBA DE MATEMTICA *

'HABILIDADESINTELECTUALES

TOTAL

EJE STEMTICOS

, o0_o ~o",'E ~~~ID .~"'E'~~ eo u u

:~~~o>

.8~~

~ o .. ~.2 o '" o0.> ~~~ ' o IIIo O e~~ 2 ~ i~~0-2 c..O '" e.2 ID ~ U ~ e O> > c..~ , O ~ e-o ;; u O" O ~~~'" ';; ~ 'u~ ~'~ ~~~Hl O~ s ~ :i ~ ~ go.. '" ._ .~ o""tJ._ "'E ~o :o u .gO c.. Q.~~ O'U e ~ -cc.. ~~~ f-

11-29-21

I I ~26 20 1212

2, lgebra y funciones

3, Geometrjo y Trigonometra

Fueme: Documento oficial. Proceso de Admisin 2005. Universidad de Chile. DEMRE. 4 de agosto de 2004.

l. . Nmeros y proporcionalidad

4. Estadistica y probabilidad

I

1-

\:


r1

I/

NDICE

INTRODUCCIN

ALFABETO GRIEGO

SIMBOLOGA MATEMTICA

TABLA DE E$PECIFICACIONES DELA PRUEBA DE MATEMTICA

PRIMER EJE TEM neo. NMEROS Y PROPORCIONALIDADEJERCICIOS RESUELTOS

CAPTULO 1. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS ( Z)Test N 1.- Nmeros enteros:

22

26

I,I It!

11.!I

CAPTULO 2. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES ( Q)Test N"2: Nmeros racionales 1Test N"3: Nmeros racionales Il

31

CAPTULO 3. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES ( R)Test N"4: Nmeros reales .

45

CAPTULO 4. RAZONES Y PROPORCIONES 51

Test N"5: Razones y proporciones

CAPTULO~. PROPO~CIONALIDAD

Test N"6: Proporcionalidad

CAPTULO 6. PORCENTAJE E INTERS

57

63

Test N"7: Porcentajes 1Test O8: Porcentajes II

CAPTULO 7. REGULARIDADES NUMRICAS 74

Test N"9; Regularidades numricas

BffiLIOGRAFAESPECFICAPrimer Eje Temtico: NMEROS y PROPORCIONALIDAD

SEGUNDO EJE TEMTICO: LGEBRA Y FUNCIONES

79,

EJERCICIOS RESUELTOS

CAPTULO 1. INTRODUCON AL LENGUAJE ALGEBRAICO

82

88

Test N1: Lenguaje algebraico 1Test N"2: Lenguaje algebraco Il

CAPTULo 2. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIN y FRACCIONES ALGEBRAICAS 102

I

I,~

Test N"3: Productos notables, factorizocion. y fracciones algebraicas

C~TULO 3. ECUACIONES DE PRlMER GRADo'O LINEALES y PROBLEMASVERBALES . 111

Test N"4: Ecuaciones de primer grado y problemas con enunciado verbal

CAPTULO 4. PROBLEMAS DE PLALWEO ~ON ENUNCIADO VERBAL 120


11:[

lit

1

'. ,.1,1'11, '1I'!

(

Test N5: Problemas de planteo con enunciado verbal

CAPTULO 5. DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES

Test N6: Desigualdades, inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineale

CAPTULO 6. GEOMETRA ANALTICA BSICA

Test N"7: Geometria Analtica bsica

CAPTULO 7. ECUACIN CARTESIANA DE LA RECTA

Test NQ8: Ecuacin cartesiana de la recta

CAPTULo 8. SISTEMAimEECUACIONES LINEALES

Test N9: Sistemas de ecuaciones lineales'

CAPTULO 't. POTENCIACINTest NIO: Potencias

CAPTULO 10. RADICACIN

Test trn, RacesCAPTULO 11. FUNCIONES: CONCEptOS FUNDAMENTALES

, Test N12: Funciones: Conceptos fundamentales

CAPTuLO 12. FUNCIN AFN, FUNCIN VALOR ABSOLUTO y FuNCIN PARTE ENTERA

Test Nl3: Funcin afn, funcin valor absoluto y funcin parte entera

CAPTULO 13. FUNCINCUADRTICA

Test N14: Funcin cuadrtica

CAPTUL014. ECUACINCUADRTICA

TesiN15: Ecuacin cuadrtica

. CAPTULO 15. FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOGARTMICA

TeStN16: Funciones potencia, exponencial y logartmica

CAPTULO 16. ECUACIONES IRRACIONALES

Test N17: Ecuaciones irracionales

CAPTULO 17. ECUACIONES EXPONENCIALES

Test N18: Ecuaciones exponenciales

CAPTULO 18. LOGARITMACIN

Test N'19: Logaritmos

BIBLIOGRAFA ESPECFICASegundo Eje Temtico: LGEBRA Y FUNCIONES

TERCER EJE TEMTICO: GEOMETRA Y TRIGONOMETRA

EJERCICIOS RESUELTOS

CAPTULo 1. NGULOS YTRINGULOS

Test NI: ngulos y tringulos

CAPTUL02. CONGRUENCIA .

Test N2: Congruencia

CAPTUL03. CUADRILTEROS YPOLGONOS

Test N3: Cuadrilteros y Poligonos

CAPTULO 4. TRANSFORMACIONES ISOMTRICAS

Tesf N4: Transformaciones isometricas

CAPTULO 5. NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 275Test N5: ngulos en la circunferencia

CAPTULO 6. PERMETROS YREAS 283

Test N6: Permetros y reas

CAPTUL07. SEMEJANZA 291Test N7:.Semejanza

CAPTULO 8. GEOMETRA DE PROPORCIN 299

Test NB: Geometra de proporcin

CAPTULO 9. TRINGULOREcrl'lGULO:TEOREMASDEEUCLIDESYDEPITGORAS

Test N9: Tringulo rectnguloi.Teoremas de Euclides y de Pitgoras

CAPTULO 10. TRIGONOMETRA PLANA

309

317

Test NlO.: Trigonometra plana

CAPTULO 11. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL CRCULO 326

Test N1l: Proporciones en el Crculo

CAPTULO 12. GEOMETRA DEL ESPACIO

Test N12: Geometra del espacio

CAPTULO 13. VECTORES: RECTAS y PLANOS

334

.343

Test Nl3: Veetores, ecuacin veetorial de la recta y ecuaci6n veetorial del plano

BIBLIOGRAFA ESPECFICATercer Eje Temtico: GEOMETRA Y TRIGONOMETRA

CUARTO EJE TEM rrco. ESTADSTICA y PROBABILIDAD

351

. EJERCICIOS RESUELTOS

CAPTULO 1. ESTADSTICA DESCRIPTIVA

354

357

Test N}: Estadstica Descriptiva!

CAPTULO 2. PROBABILIDAD

Test N"2: Probabilidad l

BIBLIOGRAFA ESPECFICACuarto Eje Temtico: ESTADSTICA Y PROBABILIDAD

366

376

ANEXO: SUFICIENCIA DE DATOS

EJERCICIOS RESUELTOS 378

383Test N1 de Suficiencia de datos

JFi':


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i:

1'1I

PSU:Cuaderno de Ejercicios, Matemtica

EJERCICIOS RESUELTOSPRIMER EJE TEMTICO: NMEROS y PROPORCIONALIDAD

1) Gladys va al supermercado y compra medio kilogramo de carne molida, tres cuartos de posta rosada ydos kilogramos de lomo vetado. Si ella pide que le saquen toda la grasa al lomo vetado y sta se reduceen un cuarto de kilogramo despus de dicha operacin, entonces cuntos kilogramos de carne comprGladys en total?

1A) -

41

B) -2

C) 1

D) 1 -

~ 3

Solucin:

.'~:';'\\~

r1

s -\-2..-1-4

PRIMER EJE TEMTICO I Ejercicios Resueltos

2) Dadas las razones a.: b = 3 : 4 y b : e = 8 : 9, entonces cul(es) de las siguientes igualdadesexpresadas en forma de razones es(son) siempre verdadera(s)?

1) a:b:c=6:8:9

11) a: e = 2 : 3

1I1)a + b + C a- -

23 6

A) Slo 1 y IrB) Slo II y IIIC) Slo 1 y IIID) 1, II Y IIIE) Ninguna de las tres

Solucin:

_-\

Z tI

Si la segunda razn de a : b = 3 : 4 se amplifica por 2, entonces resulta que a: b = 6 :8, ycomo adems con la razn b e = 8 : 9 tenemos el elemento "b".en comn, podemos escribir laproporcin continuada a b c: e = 6 : 8 : 9. Segn esto, la igualdad 1 es correcta.Ahora, para saber si Ir es correcta, comparamos "a" y"c", sacadas de la proporcin anterior y tendremos:a : e = 6 : 9, Y simplificando esta ltima razn por 3, nos queda: a : e = 2: 3, con lo cual IItambin es correcta.

. Finalmente para la tercera, aplicamos la propiedad fundamental de toda seriede razones iguales y nos

a + b + C a . .queda: =- (hemos comparado col). la primera razn pues es' la que figura en el segundo

6 + 8 + 9 6

\~t~ Z\

- . ..". -.\;/()'--;/f

~

;::; ~

tL

. a+b+cmiembro de la proporcin), lo cual se reduce a: -----tambin es correcta. 23

a-. Por lo tanto, la proporcin III6

Este sencillo ejercicio se reduce simplemente.a escribir los numer~les de las cantidades que semencionan'y, en seguida, sumarlas y restarlas segn el caso.Tendremos:

1 3. 1 I 2-+-+2 - -=-+-+22 4 4 2 4

1 1- + - + 22 .. 2

+ 2

. 3 1(resolvemos pnmero- - -4 4tienen igual denominador) .

2-, aprovechando que4

Observaciones y comentarios:

Hay otras formas tambin de resolver este ejercicio, mediante el uso adecuado de una constante deproporcionalidad "k".Para tales efectos, consultar nuestro manual de preparacin Matemtica PSU, captulo deproporcionalidad, pginas 82 a 85. Editado por Ediciones Universidad Catlica de Chile en su octavaedicin, febrero de 2008.Este es un ejercicio de razones tpico de la PSU, en el cual se pide relacion~r elementos de ciertasrazones dadas y obtener tambin nuevas razones a partir de los datos. Es un ejercicio de. medianadificultad, aunque los alumnos cometen frecuentemente el error de creer que si a : b = 3 : 4, entoncesa. = 3 Y b = 4, lo cual es un gravsimo error pues eso significara que no han entendido el conceptode razn.

Respuesta correcta: alternativa D .

(simplificando la fraccin ~ )4

G + = lJ= 3

Por lo tanto Gladys compr 3 kilogramos de yarJ,le en total.


Este es un ejemplo muy sencillo tomado del diario vivir, en el cual, para resolverlo, se debentraducir. los numerales hablados en espaol a numerales simblicos y luego efectuar las operacionescorrespondientes. Se considera un ej ercicio fcil.

Respuesta correcta: alternativa E

22 23.. . .._--1::;.


1111, : ..

oo.

i

Firi

iII

III~iII,

IIt

I1

I1

1: II 24 .. L_

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemtica

91, -

825 36

, - , - , el cuarto trmino de ella es32 64

3) Dada la siguiente sucesin: .!.'2

A)

8956

D). ~2

.8)

C)

I

I. .

E) No se puede determinar pues faltan datos

Solucin:

I1I

Puesto que una sucesin es una funcin de N a R, entonces el problema se reduce a encontrar unafuncin, expresada mediante alguna frmula matemtica, en trminos de "n" para el clculo de lasimgenes, es decir, de los trminos de la sucesin, Escribamos los trminos de la sucesin dada,identificndolos por sus correspondientes subndices; los cuales nos dan la ubicacin de ellos: al es elprimer trmino, a, es el segundo trmino, a, es el tercer trmino, etc. .

1 12a = - = -

1 2 i

a2 = l : (puede escribirse de una infinidad de formas)

9 32a = - = -l 8 i

. a. = ? (es el trmino que ,se busca)

25 52a = - =-5 32 25

36 62a = ~ =.-6 64 . 26

l' Observando atentamente la forma general de los trminos conocidos, vemos que el trmino general oensimo de la sucesin viene dado por la expresin:

PRlMER EJE TEMTICO I Ejercicios Resueltos

n2a =- 'v'neN

n 2n'

En efecto, segn esta frmula, elsegundo trmino (n 2) sera:

22a2 = !' es decir: a2 = 1, lo cual es correcto pues .coincide con el trmino dado en el enunciado.

2

De tal modo que el trmino solicitado, el cuarto (n = 4), est~ dado por:

I 42- ,es decir:24

a4

a4


'En este tipo de ejercicios, deben darse en el enunciado la suficiente cantidad de trminos (ininimotres), como para poder encontrar Ia funcin -expresada a travs de alguna frmula matemtica-que permita.encontrar las imgenes, es decir, los trminos de la sucesin. Con slo dos trminos esimposible encontrar una ley general pues de seguro habra ms de una y, por 10tanto, el problema seraambiguo y habran muchas (en general infinitas) soluciones posibles. Cuando se dan tres trminos,se debe tratar de ver si hay alguna constante en dichos trminos. Por ejemplo, se debe verificar si dostrminos.consecutivos difieren en una constante (progresin aritmtica), o bien, si la razn entre dos. trminos consecutivos permanece constante (progresin geomtrica), etc, .Por ltimo, es importante observar que el segundo y el cuarto trmino de la sucesin se repiten, es.decir, son iguales. Este es un hecho perfectamente posible pues, en ningn momento de la definicinde una sucesin de nmeros reales, se pone de manifiesto que tal hecho no pueda ocurrir. De hecho, en

una sucesin oscilante, del tipo an = (-1)"; todos los trminos pares son iguales entre s y tienen porvalor 1, Y todos los trminos impares son iguales entre s y tienen por valor - L

Respuesta correcta: alternativa A ,

2S


1,I! 1,

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Mar'emtica

1) (-2)(-3)2 + (-2)3 ; 4 =

CAPTULO 1. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS (Z). Test N' 1: Nmeros enteros

~ -20Q , :1- .2. . ~ ---o, ",

13 ~'\ ea -2-B) -Z-1 , "lOCl -2"17

D) -Z-E) 16

2) Cul(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) 3 (-2) = 6/ III) -5 < -1 VIr) 3 . (-2) > _52 / IV) O,> ~3 ,Y

- {. .:., '.. "~ . ./A) S610 Ir y IIIB) S610 II y IV.C) S610 III y IV,~ S610II, III y IVE) S610 III, IV Y V

.'3) -3 - 3 3.; 3 + 3 =

,..:::,\-'-'>A) -6~ -3C) OD) 3E) 6 / "

4) El valor de - [~1 - H/+1) -1 - (-1 + 1) - 1 ] esA) -3 - G '\lt-~-",,\\-'\ \,+,.~--,-() - rB) -2C) -1 -7 '\ _\- /\. ~ '\D) 2~ 3

~. ~\~, .~

t,L ,_ "C) 4 'b ,..S\~ C",-D) 5 - 1\,;:5-- .E) 6 /'

A) 1-7 1< 1-8 1 ';.-;- '-:;.B) -21 < 8':i) 1-71> 171D) -5 < O

'E) 1-91 >1-8 1

l ) ~23 + 5+ 32- 4' =

A) -6 ~,\ -t Q, - 4'B) -4

.",. 5\l -2 tD) O -LE) 2

~ 11)

12) Tres nmeros enteros consecutivos suman cero, Cunto vale el mayor de ellos?

A) -2,B) -1C) Oj 1E) 3

, , ----1_-{-o] ' ,91 . -.::~_

15

A) NP OM1~ MOPNC) MONPD) N'PM OE) N M PO

1,~77 N, o >..P, N < P y o

1:1, :

I

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Motemica

14) Si X E Z y X < ':'1, cul(es) de las siguientes expresiones es (son) mayortes) que 1?1) x' 1I) 2xA) S610 1B) S610 IIC) S610 n y IIID) S610 1 y nfj) Sl 1 y III

15) Se define: "Dos nmeros p y q son compatibles, si el cuociente 'entre el mayor y el menor es un. nmero entero mltiplo de 3". .De acuerdo con esta definicin, cul de los siguientes pares de nmeros p y q ~on compatibles?

Ill) _x3

[1, .

Al 56 Y 7B) 24 Y 12C) 12 y 3D) 72 Y 9~. 54 6 ,', . .'

t; ~16) El valor :e "x" en'la siguiente igualdad -{ 1 +[ 3 - (2 + x) 1 } = O, es1

1, " ,A) -2 -\ L "'"Zx.. "B) -1

1I :', C) O - 1\ ~ .0\; :W D) 1 -""'1 "11 ~ 2 ',,::..

? c( 1:1) Si b es el sucesor de a, entonces (a+ b)(a - b) - (a -b)' es::. A) 2a + 2'1 .::1 B) -2a + 21 C) -4a - 2! D) -6a- 2

~. -2a-2

18) Sean a, by e nmeros enteros. Si ~,;:>b, b e y b = O, cul de las siguientes relaciones es falsa?A) a' e < O ,/. 2\ 'O,',.').;,J V;;; .B) b: a = OC) a' b = b~ b+ c c O

\,i( . E) a -c > O"'( 19)

:>Lb >;j . )'"'/>

'"\...J

Si a + b + e = 2p, en donde a = 5, b = 4 Y e = -3, entonces el valor numrico de la expresinp'(p - a)(p -b)(p - e) es .

A) -24B) 24C) 84D) 96~ 108

'f,. 20) La temperatura mnima de un da fue de dos gradosCelsius bajo cero y la mxima de ocho gradosCelsius sobre cero. Cul fue la variacin de latemperatura en el da?

A) ~IOCB) -6Cg 6 C~~. 10 C~E) .11 C'

- L ~f31 \O~\U:~;",~".....0 '"f ["(,~}.l. '1 r /:. ,-. .'1\0

r: \0.\:_/..(~ ~_l'

I28

..i.L

rL1

I,II!

1

lI1,III1l'! 't,.'\

I~ -,

II11;!.

1

1~fl.1

PRIMER EJE TEMTICO I Test W l. NUMEROS ENTERpS

21) Si p Y q son enteros consecutivos tales, que p < q , entonces siempre es cierto que

1) P - q = -1

~ S6lo 1B) S6lo IIC) Slo IIID) Slo 1 y IIE) S6lo II y m.

Il) p : q = p" + 1 IIl) p: q =-1

') '. -a, /~- ~/.....-.f\

22) M = 12C4 representa a un nmero de 4 cifras divisible por 6. Qu vaiores puede tenerel dgitoC para que se cumpla la divisibilidad?

A) { 1,2,3 } , " \ 1.5 L\ b-:.2')'12" L{' fe; - ~"~',B){A, 6, 9 } 1,' L .' - '.,-,u:"j

C) {3, 6, 9 } :;'2- J0{ 2, 5, 8) G. \.\ , '"'7 ~?v,E) {5, 6, 7 } '1./

23) Sean'X, Y, Z tres nmeros enteros distintos, tales que X > Y O,'Z = O. Cul de las siguientesproposiciones es falsa?

-J 1LI-r-s-\-l.A) Z(Y- X) = O

, Y-X+Z>OC) XY +Z>OD) X(Y +ZOE) YZ+ X>O

24) Si se sabe que A > B > C y una persona debe reunir A. Primero rene B y luego gasta C. Cuntole falta-para completar la suma deseada?'

A) A + B - e.IJJJ C+A':'.,C)-A- (C-B)D) A-'(B+C)E) B -C + A

25) Se sabe que "n'' es mltiplo le 3. Entonces, cul(es)de las siguientes afirmaciones es(so~) verdadera(s)?

1) n" es mltiplo de 3/ II) 12n es mltiplo de 3/ . IlI) n + 27 es mltiple de 3A) Sl61 / '.B) Slo m'< >C) S6lo 1 y nI""D) S6lo II y m'< .>'

~ 1, By III ','//

(\ Q)\ ....-,v.

')1 \~

" '.0

o

.- :{ ,_0/.- ...\~.1'f)]:--'-_--=~,.

lO J

PSU, Cuaderno de Ejercicios, Matemtica

26) La relacin a > b e, con a, b, C E Z se cumple si:

(1) a> e y b > c/ .(2) a ~ b ya> O

A)' (1) por s sola /B) (2) por s solav'$.\~') Ambas juntas, (1) y (2)"

11

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemdtica

5) Si n es un nmero entero negativo distinto de -1, cul de las siguientes fracciones es la mayor?

. A) - -

n -L

1.-;;:- --q-1

e) - n'

lD) -

n-l

nE) - A6) Si a = .!. b

2verdaderats)?

l) a+ b c c

~ Slo lB) Sl~ II'e) Slo IIID) Slo l y ,IIE) r, II Y UI ,

-:-,. ,:-- I~ '{.:, .2J- '3:" J ~

I:i,1)11:;!

PSU. Cuaderno de Ejercicios.' Matemtica

15) Una persona compr dos sptimos de 3+ docenas de naranjas. Cuntas naranjas compr?

A) 2 docenas

B) 1+ . docenas

C) 1* docenasD) 1 docenaE) 1. naranja

16) Si a cinco enteros un medio se le suma el producto de tres 'octavos por cuatro quintos, se .obtiene

A) 41.;B) 4~

C) 41D) 5~

"l E) 51 .Y'"j 42 70 56;. i\ . . .'. "( 17) Si a = -; b = -; c = -, entonces; con respecto al orden entre ellos, la alternativa correcta es

, 147 245 159 . , " '

'A) a c c c b 117~\' U~ -r> ?~' ~(1):Zll.c:>::.B) b > a'> e '1 ~j, \ .' .,' - \ 'C) c o b c- a .. ,(~D) a+c=b ~'\C) ,E) a =,b -cc ,,:>"';9,

18) L . l ,3 5 7 7 d d d " ,os raciona es -, -, -, - or ena os e mayor a menor son4 6 8 9

IIIo

!111

il1:

A 3 5 7 7) 4' 6'9'8

B 7 73 5) 8' 9' 4' 6

.;.....:..--'")"-" I -. '" -'\- ,..... "

""-

~757 38' 6' 9',4'

-r

775 39'8' 6' 4

E) 7... ,7... ~ ~9' 8' .4' 6

'J;..,D)

3 ' '19) Cuntos paquetes de 4' kg de azcar se pueden hacer con 3 sacos de 40 kg cada, uno?

A)B)

~E)

90120160210280

.'

)l~i (0 ..c---

'2 ?::

, _,'o.

34 ,Q,

:

PRIMER EJE TEMTICO/Tesl N 2, NMEROS RACIONALES 1

20) En un estanque deestanque?

A) 8tB) 9tC) 8+

D) 9+E) 8t

17t litros de capacidad, faltan 8-ili litros parallenarlo. Cuntos litros tena el

equivale a

.7 -1,1'

!o i'!'\ \~I

12+-, 321) -1

1 - ~3

SA) 4

4B) S

3C) -

4

49D) 5

5E) 49

5 - .!., __ 3

1 + ~3 - ,\..:....:-~_....-..-

~- '!J Il 3,~.). ~

,L,]

...,.., ...\ c. _. __ 1. c....) !-

1) (p + q)(p - q)

A) Slo 1B) Slo TIC) S610 IIID) Slo 1I y IIIE)r',IIyIII

1, ~

! !,

PSU, Cuaderno de Ejercicios, Matemtica

24) El valor de

3 2_4__ 5_ es7 810 15

rI

PRIMER EJE TEMTICO I Test N" 2, NMEROS RACIONALES I

27) -Si a, b y e son tres nmerosracionales.positivos, cul es el menor?

1 '4

9A) -28

21B) -

10

6C) -

5D) 2

1E) -4

25) Un basquetbolista convierte In tiros y falla n. Qu fraccin de sus lanzamientos convierte?

mAl

m+ n

m-vn. B)

m+ n

x-C) y

mD) -m-n

mE) -

n

126) Cunto vale "2 kilo de durazno s?

(1) 3+ kg valen $\.950 .(2) 2 durazno s valen $200

A) (1) por s solaB) (2) por s solacr Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

(l)a-b=

.1(2) a - e = -2

!,I

I

l'1

1"

36

. A) (1) por s sotaB) (2) por s sola

. C) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

28). La fraccin 1: es negativa. si:q

(1) P + q< O(2) p> O

A) (1)por s solaB) (2) poi s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

9 Si a+c .7. .2) 1 -- =-, cul es el.valor de a?c 3

(1) 3a = 4c

3

2A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

(2) e =

30) Seanx e y enteros no nulos. La fraccin 2'. representa un nmero entero positivo, si:y

(1) le e y tienen el mismo signo(2) y> O 1\ X es mltiplo positivo de y

A) (1) por s sola .. B) (2) por s solaC) Ambas juntas; (l) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2).E) Se requiere. informacin adicional

RESPUESTAS CORRECTAS

37

.l... e - ,--


1, :

l'1, !I

i

li

r,I!

L


TEST N 3: Nmeros racionales II

1) '2. + ~ + ~ =10 100 1.000

A) 0,58 '31

B) 1.000

e) 0,327D) 0,427E) 3,28

. 2n2) Si n es un nmero natural, entonces la expresin 2n + 1 representa siempre

A) un nmero impar.B) un nmero par.e) una fraccin impropia.D). un nmero mixto.E) una fraccin irreducible.

3), Gules de las siguientes fracciones son equivaientes?

TI) 416

2'8

IV)I) O,2~

A) Slo .I yIIB) Slo II y III 'C). Slo III y IVD) Slo II, III Y IV,E) I, II, III Y IV

4) [ -'(5 . ~ + 1)] - 3' : 2 =

III)

514

67

4

698

154

38

5) 0,000002' 5 . 10' =

A)

B)

C)

D)

E)

A) 500.000,2B) 10,0.e) 2,5D) 1,0E) 0,1

;38

832

rPRIMER EJE TEMTICO' Test N03, NMEROS RACIONALES [1

6) La edad de Susana es cuatro veces la edad de Pablo y' 1t veces la edad de Mara. Qu parte dela edad de Pablo .es la edad de Mara?

3A) -

8

B) 2+

e) 3{-

D) 6

E) 6t

1 17) 3' - 12

14

I

I

'4A) -'9 E) O

1e) -4

D) 15E) -3

8) Por los tre~ octavos de una torta se pagan $4.500, entonces por los cinco sextos de la misma, se debepagar

A) $10.000B) $8.000C)$12.000D) $7.250E) $9.000

9) 0,875: 0,625 =

A) 1,6B) 1,5C) 1,4D) 1,3E) ,1,2

10) Si, P = 0,001; Q = 0,01 Y R = .0,1; entonces el valor de P + QR esA) 0,00101B) 0,0101C) 0,0022D) ,0,002E) 0,0012

39


1, :

t ':

ijt

1I

1:

1:

~,

,I

11r

, '~,

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemtica

11) 0,42 =14

A) -33

21B) -

SO33

C), 14

190)5

"S

E) 19

12)'1- 25,- _4_

3 - .!3

83

3B) -2

7C) '2

4D)-;

A)

3E) '7

13) Cuntas veces 0;01 es iguala 1,01?

A) 100B) 101C) 110D) 1,01E) 0,101

i4) 1 : (0,125tl

A) un octavoB) un cuarto'C) un medioD) cuatroE) ocho

40 '

rIIII

PRIMER EJE TEMTICO I TeSI N"3, NMEROS RACIONALES II

15) En una liquidacin de temporada, los ~ de los ~ del preciode una camisa son $1.500, Entonces, el, de Ia cami 3 14 'precio e a camisa, en pesos, es

A) 3,500

4,500B) -:;

13.750 'C)-7-

D) 5,000E) Otro valor

16) Cu1(es) de los siguientes nmeros. es(son) racional(es)?

1) -2,73 TI) 0,123

A) S610 Ly IVB) Slo I yIIC) S610 II y IIID) Slo I, II Y IIIE) I, II, III YIV

III) 4,0156 IV) 5,01001000100001..,

1 '

I!

I

217) Un cordel se corta en cuatro prtes: la primera es 15 del total, la segunda es

tercera es 2. del total. Si sobraron 80 cm, entonces todo el cordel meda5

A) 360,cmB)' 3,2mC) 0,0018 kmD) 2,700 rnmE) 0,0018 m

'2'9 del total, la

18) La mitad de un tercio de 11. es lo mismo que

Al8-10

6Bl -10

1C) 20,

D)1-5

E) 5

11) Si n . 10-3 = 10-4, entonces el valor de n es

A) 0,0000001B)' 0,000001

C) , 0,00001D) 0,001E) 0,1

41 '



20) Un bidn contiene los dos tercios de su capacidad con bencina, Si se sacan de l 2,5 litros,o 5 _quedan - de su capacidad. Entonces, para llenarlo hay que echarle. 12 ,

A) 10 litros

5 _B) 6' litrosC) 2+ litros

D) 4t litrosE) 5i litros

11,

21) Se derrumba una pared de ladrillos quedando slo de una altura de 36 cm. Se nos dice que la parte

derrumbada es ~ de su altura original. Cuntos centmetros de ladrillo habr que levantar para darle8 .

a la pared su altura original?

rPRIMER EJE TEMTICO I Test N" 3, NMEROS RACIONALES 11

24) Si ~ = 2., entonces cul de las expresiones siguientes es igual a cero?b 2 .'

A) 2a - bB) -2a - bC) 2a+ bD) a - 2bE) a + 2b

25) Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsafs)?

A) 12B) 24C) 36D) 48E) 60

22) 0,555 ... + 0,777 ... =

A) 0,12

B) 1,2

C) 1}

D) 1,32

E) lt

23) Una deuda de $a se cancela con $b al contado y el saldo en 12 cuotas iguales. Cul de las siguientesalternativas representa el valor de cada cuota?

A) a - ~12

B) ~-bo 12

C) a _ ab12

D) a ~ b12

E) ~ab12

42

1) (-0,9)2 < 0,1

A) Slo 1B) Slo' IIC) Slo IIID) ~lo II y IIIE) 1, II Y III

II) 0,01 > 10-2 III) 0,009' 0,1 .;. 1,1 10-2

26) En un curso mixto de 40 alumnos, cuntas nias hay?

(1) Hay 8 nias ms que nios.

(2) Los nios son los 3. de las nias.3

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cadauua por s sola.Tl) (2)E) Se requiere informacin adicional

27) Qu fraccin" dei tringulo equiltero ABC est sombreada en la figura adjunta?

- (1) AE = BE(2). DE J.. AB

A) (1) por s solaB)(2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiei:e informacin adicional ~B

D28) Se puede calcular el valor de x sabiendo que:

) 1 _ 2.(1 3"x - ~1

(2) x - 1, siendo x "" Ox

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

43



29) Cuntas personas trabajan en una fbrica?

30)

4'(1) Los - son varones,, 7(2) Hay 210 mujeres,

Al (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas; (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)El Se requiere informacin adicional

La fraccin ~ no se puede simplificar si:b

(1) a yb son primos entre s.(2) el mximo comn divisor entre a y b es uno,

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)

"D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

PRIMER EJE TEMTICO I Test W 4, NMEROS REALES

CAPTULO 3. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES (R)Test N 4: Nmeros reales

1} El nmero (..fi": J3)' esA) un nmero enteroB) un decimal finitoC) una fraccin impropiaD) un decimal peridicoE) un decimal infinito no peridico

, 2)' Un nmero racional comprendido entre .J3 y 15 esA) .J3 + 15, 2

B) .J3 - 152

C) .J4,D) 1,7E) 2,3

3) Sea Q el conjunto de los nmeros racionales, I el conjunto de los nmeros irracionales y IR el, conjunto delos nmeros reales, Cul(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

l) Q \ I=IR H) QuI=IR I1I) lRnI=!A) Slo I.

I B) Slo H,C) Slo III.D) Slo 1 y H,E) Slo II y III.


4) En la espiral de races cuadradas que se muestra en la figura adjunta, con los datos indicados enella, cul(es) de los siguientes segmentos tiene(n) como medida un nmero irracional?l) AB

II) AC

III) AD

A) Slo 1 y n.B) Slo II y III.C) Slo l y III,D) l, II Y HI.E) Ninguna de las tres.

y

2 D

44

2 X,

45



5) El nmero Jl2 puede interpretarse como:1) La altur~ de un tringulo equiltero de lado 4II) Una solucin de la ecuacin x' = a 12Ill) Un nmero irracional comprendido entre 2 y 3

A) Slo IB) Slo IIe) Slo mD) Slo 1 y II 'E) Slo IIy. III

6). Sea "p" un nmero primo. De las siguientes expresiones:

1) p.J2 II) 3N III) JP .JPCiIl(es) corresponde(n) a nmerofs) irracional(es)?

A) Slo 1B) Slo IIC) Slo IIID) Slo r. Y IIE) Slo I y III

Iilli!

7) Dado que x

A) x'B) x' +e) x' - xD)x' ~ 1E) x' - 2x

- .j:: + 1., entonces cul de los siguientes nmeros no es irracional?

8) Si a es un nmero irracional, entonces cul(es) de las afirmaciones siguientes es(son) ~verdaderats)? .

1) (-a)' es positivo II) (J es racional III) -a es irracional1:.

A) Slo IB) Slo IIe) Slo I yIID) S'lo I y IIIE) 1, II Y III . .

9) eul(es) de los siguientes nmeros es(son) irracioIa1(es)?

. II) ..fi + 7..fi .J61) .J2.-.Jl8 III) --. ..J216A) Slo 1B) Slo' IIe) Slo IIID) Slo I y IIIE) Slo II y III

46

r PRIMER EJE TEMTICO I Test N" 4, NMEROS REALES10) Sean a =-2 y b =-..r:;., cul de los nmeros siguientes pertenece a lR-?A) abB) -(a)(-b)el b~ar (-bl - (-a)

-aEl -b

11 l Cul es el inverso aditivo de -n ; In . x ?Al - 1Bl Oel 1D) -mnxEl . mnx

12l Un nmero irracional comprendido entr O y 1 es

Al .J22

Bl~.J2 ~ J31

el "7Dl 0,5El 0,999

13 l El hecho que, para todo par de nmeros reales m y n se cumpla que m + n = n + m se llamaA) propiedad aditi va.

. B) propiedad conmutativa de la adicin en IR.'el clausura para la adicin en IR.D) ley de cancelacin para la adicin en IR.El propiedad asocia tiva de la adicin en IR.

14) Dados los nmer~~ reales a =/J3 -1/, b =y ~ = 3(.J2 --J3). El orden creciente entreellos es

A) a < b < eB) a < e < bC) b

, rI1:I,i,1

i'

:1


6) El : 'd l ri l l l i (x-2)(x-4) , d 'f'1 conjunto e va ores num ncos rea es para os cuales a expresi n 2 !!Q esta e 1-, ',x -36nida' es: '

A) (6)B) (2,4)C) (-6)D) (-6. 2. 4, 6 )E) (-6,6 i ,

17) Si el radio de una circunferencia se mide por un nmero racional. el lado deJ cuadrado inscrito estdado por un nmero:

A) racional.B) irracional.C) entero,D) cuadrado perfecto.E) ninguno de stos.

18) El primer conjunto del cual es elemento la expresin - (2 -.J5) esA), INB) ZC) QD) IRE) Otro

19) Si x = 5 . 10'. entonces x' =A) la 106B) 10 !O"C) 25 !O'D) 25' la'E) 25 '106

20) Cul de los siguientes nmeros no es racional?

A) ..f9OOB) ')0.04

, 2

C) (~)

D) .J3.fi

E) )0,999 ...

l' ,

rilJ

21) Clil(es) de las' siguientes expresiones es(son) equivalentets) a la quinta parte de 0,05?1) (0,05)' II) 10-1 I1I)A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y IIE) Slo II y III

48

r PRIMER EJE TEMTIeO I Tesl N" 4. NMEROS REALES22) Dado que la altura de un tringulo equiltero est medida por un nmero racional, cul(es) de 'lassiguientes magnitudes debe(n) estar necesariamente medida(s) tambin por un nmero racional?1) El permetro del tringulo"II) El dimetro de la circunferencia circunscrita' al tringulo.IJI) El rea del tringulo.

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo 1y IIE) Slo I y III

23) Cul de las expresiones siguientes es equivalente a 5,033fA) 502 + 33B) 5 10 +30 + 3C) 5 lO' + 33 . la'D) 5'10'+3'10+3E) ,50 . la' + 33 . 10

24) Si a = JuJ, por cul de los siguientes nmeros puede multiplicarse a para dar como resultadoun nmero racional?

1) FaA) Slo por 1B) Slo por IlO) Slo por IIID) Slo por I IIEl Por I,Il III

II) -JW I1I) 10

25) 0,000000672 =A) 672 10-6B) 67,2' 10-6C) 6,72' 10-D) '67,2' 10-7,E) 6,72' 10-7

26) Cul(es) de las operaciones siguientes 'da(n) como resultado un nmero irracional?

.fi+J21) ..fi+ z-Ii II) ,ifi ' ifi III) fi+..fi+..fiA) Slo 1B) Slo II

0,01 I C), Slo IIID) Slo 1 y IIE) Slo II y III

49

;fiEb . . _


. PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemtica'

S b ' I 1"' .ra '1 .27) 1 a, y e son numeros rea es, entonces a expresin - representa un numero rea SI:, bc

(1) a es no negativo.(2) b Y e son distintos' de cero.

A) (1) por s solaB) . (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una poi s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

28) Para determinar si el nmero x es un nmero irracional' se sabe que:

(1)' x tiene un' desarrollo decimal infinito.(2) x es igual a la longitud de la diagonal de un cuadrado'.

A) . (1) por s solaB) (2) por s sola

. Cl' Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (I) (2)E) Se requiere informacin adicional

29) Para determinar el valor del producto de los nmeros reales a y b se sabe:

(1) el inverso aditivo de a' es a y 2b = 1.(2) b es un nmero racional posiiivo y a no tiene inverso multiplicativo.

A) (1) por si solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola; (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

39) Est el nmero x = a: . 10" escrito en notacin cientfica?(1) 1:S;a < 10(2) ne Z

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D)' Cada una por s sola, (1) - (2)E) Se requiere informacin adicional

rI

,1

50

PRIMER EJE TEMTICO I Test W 5, RAZONES Y PROPORCIONES

CAPTULO 4. RAZONES Y PROPORCIONESTest N '5: Razones y proporciones

1) Un padre tiene 42 aos y su hijo 18 aos. En qu razn estn las edades del hijo y del padre?A) 3:.4B) 3: S"C) 3: 6D) 3: 7.E) 3: 8

2) Las masas de dos personas estn en la razn de 2 :'3. Si unade ellas tiene 23 kilogramos ms de masa.que la otra, cul es la masa de la ms liviana?A) 36 kgB) 46 kg.C) S6 kgD) 64 kgE) 69 kg

3) Dos ngulos suplementarios estn en la razn 3 : S. Cul es la diferencia p~sitiva'entre sus medidas?A) 22,SB) 30C), 4SD) 67,SoE) 90

4) Un kilgramo de queso "La Vaquita: salada" cuesta $7.200. Cunto se debe pagar por 125 gramos de'estequeso? .

A) $450B) $720C) $800D) $900.E) $1.800

,5) En un mapa "a" centmetros corresponden a 3.000 metros. A cuntos metros corresponden "b" cent-metros del mapa?

A) ~3.000

B) 3.000ab

C) _a'3.000b

D) 3.000ab

E) 3.000ba

-~

$1

w __ o _._, __ A&.~ _'....



6)' En un liceo mixto de 1.540 alumnos, 880 son varones. Cul es la razn entre el nmero dedamas y el de varones?

A) 1 : 2B) 1: 3C) 2: 3D) 3: 4E) 3: 5

7) Dos nmeros enteros estn en la razn 2 : 7. Si la suma de ellos es -36, cules son los nmeros?

A) -7 Y 29. B) 7 Y -29C) -8y -28D) 8 Y -28El -lO.y -26

PRIMER EJE TEMTICO I Test N" 5, RAZONES Y PROPORCIONES

11) Si 5m = p ; 5q = 2rA) 0,25B) 0,5C)1D) 2E) 4

y p = r, entonces m: q =

8) Sean a, b y e nmeros enteros tales que "e" es la quinta parte de "a" y "a" ese! doble de "b", Larelacin correcta entre b y e es:

A) Sb = 2cB) 2b = lSee) b e = 2 : 15D) b 5 = e : 2E) b e = 1 : 10

9) Si ~m

l. k2' m

~6 Y 3. = ~ ,entonces de las igualdades siguientes es'(s;n) verdadera(s):p 4 . .

III) p = 2q

12) La media proporcional geomtrica entre 18 y 72 esA) 18B) 27C) 36D) 45E) 5:1

13) Si se tiene la proporcin ~b

2, entonces cul(es) de las siguientes proporciones se deduce(n)3' .

1) n=p II) n = qA) Slo l.B) Slo n.C) Slo 1Il.D) Slo 1 y III.E) 1, II Y Ill.

10) Si x : y = 1 : 4, cul es el valor de (x + y) cuando y = 1?

.5A) '4

5B) 2:

3C) -4

D) .!.2

E) 5

como correcta(s)?...a 5 b a 2a 10 a-b 1

1) -. - = -- II) - =- III) - =- IV) -=-b-a 2 3 5 3b 9 a:+ b 4.

A) Slo IIIBl Sio 1I y IIIC) S610 1 y IVD) Slo 1, II Y IVE) Todas

14) En un estante, los tarros de salsa de tomate con championes y los de salsa de tomate con polloestn en la razn de 9 : 10. Si' se retiran del estante 38 tarros de salsa con pollo, la razn se

, invierte. En tal caso, los tarros de salsa de tomate con pollo qu.e haba antes del retiro, en elestante, eranA) 20B) 100e) '162D) 180E) 200 .

15) Miguel y Oscar tienen estampillas cuyas cantidades se encuentran en la razn a: b. Si Oscar tiene15 estampillas ms de las que tiene Miguel, y ste tiene a estampillas, entonces 1(1 cantidad deestampillas que tiene Oscar esA)a + 15B) b - 15

15ae) -

a-b

15aD) b-a

53

lSbE) a-b

52


\I!PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemtica'

16) Alberto, Bernardo y Carlos forman' una sociedad. El capita] aportado por Carlos est con elcapital aportado por Alberto y Bernardo en la razn 1 : 1 y adems se sabe que Alberto aport$1.400.000 y Bernardo' $1.600.000. Entonces el capitaltotal de esta sociedad es de 'A) $1.500.000B) $3.000.000C) $6.000.000D) $8.000.000E) $9.000.000

Iti

11IJq!l'il

11':

~

17) La suma de dos nmeros es 108 Y. ellos se encuentran en la razn de 1 5. Cules son iosnmeros? .A) 8 Y 100B) 18 y. 90C) 21,6 Y 76,4D) 48 Y 60El 28 Y 80

18) Qu nmero debe restarse de 9 y al mismo tiempo sumarse s.s. para' obtener dos nmeros que. estn en la razn 3 :. 4?A) '1B) 2C) 3D) 4E) 5

19) Si 3p - 2'= q 'y p:. q= 1 : -2, entonces cul es el valor de p?2

A) "3

B) ~2

C) 2D) 4E) 6

120) Al restarse.16 del quntuplo de un nmero, se obtiene otro que est con el original en la razn-3: 1 .

Cul es el nmero 'original?A) 19B) 8C) 5D)2E) ~8

21) En un mapa, la distancia, entre dos ciudades es de' 36 cm y Ia distancia real es de 288 .km. A qu- escala fue diseado el mapa? .A). 1 : 800B) 1 8.000C) 1: 80.000D) 1 800.000E) 1: 8.000.000

's4

PRIMER EJE TEMTICO I Test N' 5, RAZONES Y PROPORClONES

22) En un mapa 2,5 cm representan 30 km. Qu rea representa un cuadrado de 10 cm de lado?A) 144 km'B) 1.440 km'C) 14:400 km'D) 1.480 km'E) 1.448 km'

23) Un rbol de 3 m de altura da una sombra de 60 cm. Si se mantiene la razn altura/sombra, lasombra de un rbol de 4 ID 'SerA) 20 cmB) 64 cmCl 80 cmD) 106,6 cmE) . 160 cm

24) El permetro de un rectngulo es 120 cm. Si los Iados estn en la razn 1 : 2, cul es su rea?A) 80 cm'B) 800 cm'C) 3.200 cm?Dj 320 cm'E) 1.600 cm'

25) Las edades de Paula y Francisca estn en la razn 7 9. Si Francisca tiene 18 aos, entonces endos aos ms, la razn .entre sus edades ser

A) 7: 9B) . 9 : 11C) 1: 2,D) 7: 10. E) 4.: 5

26) En una canasta conteniendo 80 huevos entre 'blancos y de color, los huevos blancos y los huevos.de color estn en la razn de 2 : 3. El nmero de huevos blancos que falta para igualar el nmerototal de h~vos blancos y de color es:

A) 12B) 16C) 32'D) 40.E) 48.

55

__ .__. Sf:-



27) Si 2a = 3b Y 5b = 7c, entonces ,cul es el valor de e?'

(1)I

a = -5

rI

PRIMER EJE TEM nco I Test N" 6, PROPORCIONALIDAD

CAPTULO S. PROPORCIONALIDADTest N 6: Proporcionalidad

1021

. . . .1) La docena de manzanas cuesta $1;200. Cunto hay que pagar por 54 manzanas?

A) $3,240B) $3,600C) $4,800D) $5.400E) $6.000

2) En' cul de las siguientes relaciones matemticas, las variables "x" e "y" son directamente' pro-porcionales? ' . ,

A) xy = kB) 2x - 3y = OC) x - y = x + yD) x+.y':"-I ,E) Sx - 6y = I

3) Si para hacer una torta,se necesitan 9 huevos de 120 g, cuntos huevos de 80 g se necesitaran?

A) 6 .'B) 13t

C) 12D) 15

E) 15t4) En la tabla siguiente se muestran los valores de x e y, -donde x es directamente proporcional con y.

Cules son los valores de P y Q? '

(2) .:a

A) (1) por s solaB) (2) por s solae) Ambas juntas, (1) y (2);:i) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

28) La razn entre el nmero de hombres y mujeres en un curso es 5 : 2, cuntos varones hay?

(1) El curso tiene 42 alumnos,,(2) Las nias del curso son 12.

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) , Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere info'rmacin adicional,

29) Las aristas de la caja de la figura miden a, b y e CID, Cul es el rea de la cara sombreada?

(1) a: b : = 5 ; 7 : 3,(2) 'El volumen de la caja es 840 cm',

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola,(l) (2)E) Se requiere informacin adicional

( ,leb

l A) P = 40 Y Q = 13B) P=18 Y Q=17C) P,=20 Y Q= 18D) P = 40 Y Q = 18

, 16E) P = 18 Y Q'= -

9.

~

~

30) Con respecto a sus ngulos interiores, qu clase de tringulo es el D. ABC?

(1) Sus ngulos interiores estn en la razn 3 : 7 : 8(2)' El mayor de los ngulos interiores mide 80 y el menor de los ngulos exteriores, mide 100

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una .por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin ,adiciorial

S) R mquinas demoran N horas en hacer un trabajo. Entonces 3 de las mismasmquinas demoran

NRA) ~

3NB) R

3Re) N

ND) 3R

RE) 3N

5756


PSU. Cuaderno fe Ejercicios, Matemtica

6) a es inversamente proporcional al cuadrado de b. Si a = 5 cuando b = 2,b = l? .A) .5B) 10C) 15D)20E) 25

Lcunto vale a cuando

7)'~isl," ~f~:[L"V~'bl;l~i:'"PWi~7:kX X .: X X

A) Slo 1B) Slo IIIC) Slo IV

D) Slo I y IV .~E) Slo I, II Y IV

8) En la tabla siguiente se muestran los valores de x e y, donde x es inversamente proporcional con y.

Cules son los valores de A y B?

A) A = 278

Y B.= -9B) A = 18 Y .B= 3

C) A= 3 y B= 18

12 9D) A= - Y B=-. 3 . 2E) A = 27 Y B = 18

x 9 A 2

Y 4 12 B

9) Un auto recorre. una distancia d con una rapidez constante Y, y demora un tiempo t. Cul es larapidez a la que deber ir si quiere demorar la mitad del tiempo en recorrer la misma distancia?

A) v

B)v2

vC) -4

D) 2v

E) 4v

58

f'

",rPRIMER EJE TEMTICO I Test W 6, PROPORCIONALIDAD

Un bus recorre normalmente una distancia de k kilmetros en h' horas. Cul sera su rapidezmedia en krn/h, si estuviera autorizado y llegara a' su destino con una hora de retraso?

A) * - 1k - 1

Bl "-h

k - 1C) h _ 1

kD) h + 1

kE) h-=1

.c..

11) El consumo de electricidady de una estufa elctrica es directamente proporcional al' tiempo xdurante el cual se encuentra encendida. Si k es una constante distinta de cero, entonces cu'l delas siguientes expresiones matemticas podra corresponder al enunciado?A) y = k, x

kB) Y=-

xC) y = k, x'

D) y = kX

E) y = x:" k12) En cul de las siguientes relaciones matemticas, las variables x e y son inversamente proporciona-

les?A) xy = 1B) 3x + 2y= 6C) x - y = OD) x -l- y = 10E)' 5x - 2y =0

13) La fuerza centrpeta (f,) que acta sobre un cuerpo en rotacin es directamente proporcional a lamasa (m) del cuerpo, al cuadrado de la velocidad (v), e inversamente proporcional al radio (r) dela circunferencia que describe. ESI ley se expresa matemticamente pq,r medio de la frmula:'

A) f, = kmvr

B) f, = kmv2

r

C) f, = km2vr

D) f, = kmvr2

E) f = kmv"e -;:z

59



14) Una familia compuesta de 4 personas consume $360.000 en 30 das. A ese mismo ritmo deconsumo, ~para cuntos das le alcanzarn $4S0.000 a una familia de 6 personas?A) 15

B) 26%-

C) 33D) 60

E) 65

15) 8 trabajadores realizan una obra en 12 das. Para concluirla en 6 das menos, cuntos trabajado-.res ms se necesitarn?A) 2B) 4C) 6D) 8E) 10'

)(5) 3 nios comen 6 pasteles en 2 minutos. Para comer 4 pasteles, cuntos minutos demorar un.. nio?

17)

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 6

Se sabe que A es inversamente proporcional al cuadrado de B. Si A = 100 cuando B = 5, entonces,cunto vale A.Cuando B = lO?A) 50B) 25C) 20D) 15E) 10

:;.."

PRIMER EJE TEM rico I Test N" 6, PROPORCIONALIDAD

. 21) Una mquina puede imprimir 45.000 tarjetas en 12"horas. Cuntas horas necesitara si el pedido3 .'

aumenta en sus -?10

A) 15 hB) 15 h 6 minC) 15 h30 minD) 15 h 36 minE) 15 h 45 min

22) Se emplean 12 mquinas pata realizar un trabajo en 15 das. Si se dispone de 3 mquinas menos,cuntos das ms se emplearn en hacer igual trabajo?

A)

B)C)D)E)

111 .:

4515is20

18) Si 10 ardillas comen 10 nueces en 10 das, cuntas nueces come una ardilla en un da?A) 0,01B) 0,5C) 0,1D) 1E) 10

23) En ciertas recetas de cocina, 1t copas de vino pueden sustituirse por una copa de cognac, cuntascopas de vino se deben usar en una receta que requiere 1t copas de ccgnac?A) 1B) 2

C) 2

D) lt

E) 1.1424) En un circuito elctrico, la corriente y la resistencia son inversamente. proporcionales (si el voltaje es

constante). Si un circuito tiene una resistencia de '200 ohmsy una corriente de 11 amperes, encuentrela corriente, expresada en amperes, cuando la resistencia es 500 ohms.

A) 3-5

B) 7.1,C)

S-3

D) 4-15

E) 314

25) Si tres ';ecreta~ias pueden tipear seis manuscritos en doce das, cuntos das tomara a dos secretariastipear tres de tales manuscritos?A) 4B) 9e) 112D) 16E) 36

61

I1

I

Para embaldosar el piso de una cocina se ocupan 48 baldosas cuadradasCuntas baldosas' de 40 cm de lado se' ocuparan en un piso equivalente?A) '21B) 36C) 54D) 64E) 66.

Diez libros valen $75.000, luego doce de los mismos libros costarnA) $6.250B) $85.000

. C) $62.500D) $80.000E) $90.000

19) de 30 cm de lado.

20)

60


, ,

PSU: Cuaderno de Ejercicios, Matemtica

26) Si 10 caballos consumen 50 fardos de pasto en 3 das. entonces ~l nmero de fardos de pasto queconsumen 15 caballos durante 1 semana. bajo el mismo. patrn de consumo es

50 . 15 . 10A) ---

7 . 3

50 . 7 -, 15B)~

I

j 50 . '10 . 3C) ]T:7I

50 . 15 . 3D) 10 . 7

50 . 10 . 7E) ~

27) Cules de las parejas de variables siguientes son directamente proporcionales?A) El rea de un cuadrado y su lado.B) Li. longitud' de una circunferencia y su radio.C), El volumen deun cubo y su arista.r La estatura de una persona y su edad ..E) E, Mea de un crculo y su radio., .

28) Cuntos das necesitarn ,5 hombres. trabajando 6 horas diarias para hacer' 60 metros de lamisma obra? '

(1) 3 hombres trabajando 8 horas diarias han realizan 80 metros de la obra en 10 das.(2) Ms hombres demoran menos das en hacer el mismo trabajo.

A) (1) por s solaB) (2) por s sola'C) , Ambas juntas. (1) y (2)D) Cada una por s sola. (1) 6 (2)E) Se requiere informacin adicionalPodemos determinar si A y B son directam~nte proporcionales si:

(1) Cuando A aumenta. B aumenta.(2) Cuando B disminuye. A disminuye.'

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas. (1) y (2)D) Cada una por s sola. (1) (2)E) Se requiere informacin adicionalX e Y son inversa mente proporcionales si:

(1) X . Y = K 11 K es una constante.(2) El grfico de la relacin entre Xe y es una hiprbola equiltera

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas. (l} y (2)D) Cada una por s sola. (I), (2)E) Se requiere informacin adicional


29)

1II

30)I!.H;'1~

62

r PRIMER EJE TEMTICO i TestN"7, PORCENTAJES ICAPTULO 6. PORCENTAJE E INTER~STest N" 7: Porcentajes 11) El 18% de 150 es

A) 2,7B) 27C) 75D) 108E) 270

2) Qu tanto por ciento es 52,5 de, 350?

A) 1.5%

B)6.6%C) 15%

D) 66.6%

E) 183.570/0

3) Una persona tiene $500 y gasta el 25%. Con cunto se queda?A) $125B) $375C) , $475D) $625E) $275

4) El 25 % de p sumado a p se expresa

A) 5p4

125B) 100 + P

C) p + 25100

D) P + 25p100

E) l25p

5) En una familia de 8 personas. el 25% de ellas estn resfriadas. Las personas no resfriadas son, ,

A) 2B) 4C) 5D) 6E) 8

6) El 40% de un nmero es 260. El 70% del mismo nmero esA) 104B) 182C) 260D) 455E) 650

63



7) Un nio aumenta su masa de 15 kg a 18 kg. El porcentaje en que aument su masa es de un

Al 30%1

B) 6%

C) t%.. ID) 20% I 13)

E) 25%8) Un supermercado ofrece un producto rebajado en un 20% a $280. El precio original era

A) .$70B) $268,8C) $280D) $336E) $350

9) Un ;Utfulo fue comprado en $800 y vendido en $1. 000. La ganancia es de un

A) 20%B) 25%C).40%D) 80%E) 125%

10) Un artculo cuesta $p, y se vende obtenindose e115% de ganancia. El precio de venta es

PRIMER EJE TEMTICO ITest N" 7. PORCENTAJES 1

12) Una secretaria que escriba 60 palabras por minuto aumenta a 72 palabras por minuto. Cul esel porcentaje de aumento?A) 7,2%B) 12%C) 18,5%D) 20%E) 60%

Si Mara tuviera un 15% menos de a edad que tiene, tendra 34 aos. LCul essu edad actual?A) 28 aosB)30 aos'C) 36 aosD) 40aosE) 49 aos

14) Tena 30 lpices. Di a mi hermano el 30%, a mi primo el 20% ya un amigo el 10%. Con cuntoslpices me qued? .A) 10B) 12C) 16D) 18E) 20

15) En un curso, 30 alumnos rindieron el examen' de matemtica. De ellos, 8 obtuvieron la nota. mxima, 12obtuvieron un 5, adems 7 obtuvieron un 4, y el resto fue reprobado. Cul es el porcentaje de-reprobados?A) 0,9%B) 3%C) 10%D) 12%E) 30%

16) De una caja de 80 lpices, 30 son negros y los restantes son verdes. Entonces, el porcentaje de lpicesverdeS es .

A) 30%B) 37,5%.C) 50%D) 62,5%E) 80%

17) El 40% de 80 = 30% de 60 + Z, entonces z =A) 6B) 8C) 14D) 30E) 42

18) En una promocin de 550 estudiantes, el 42% desea continuar estudios universitarios. Cuntosalumnos quieren estudiar en la universidad?A) 13B) 23C) 77D)' 210E) 231

65

A) p. + ..E.15

B) p + 150pP + 150

C) ---o-

D) p + 1~0

15pp + 100E)

11) De una deuda de $ p se cancela el 30% y el saldo se divide en 6 cuotas iguales. El valor de cada cuotaes

30p . 6A) .100'

p-30. 6B) 100'

70p . 6C) 100'

300p _ PD) 600 .

p-30'2E) 100'

64


PSU. Cuaderno" de Ejercicios. Matemtica

19) En un curso de 20 nios y 28 nias. qu', porcentaje son nias?A) 41.7E) 48C) 58t

D) 70E) 71

20) Un, hombre ahorra $24.000 que equivalen a un 371 % de' su salario semanal. Cules su salario. semanal?

A) $40.000B) $46.000C) $64.000D)' $88.000E) $90.000 ,

21) Fresia deposita'$700.000 en un banco. el cual paga un 3% de inters anual. Cunto dinero ,tendrahorrado al final del ao? ' ,A) $21.000~) $679.000C) $702.100D) $721-.000E)' $910.000

22) ,Cunto dinero deber invertir un hombre a una tasa de 5% anual, para tener $1.470.000a fin de ao?

A) $70.000B)$700,OOOC) $ 1.400.000D) $1.462.650E) $1.540.000

23) Don Pepe recibe un sueldo mensual de $600.000 ms un 5% de todas sus ventas si ellas exceden a$1.000.000 y un bono 'especial de $50.000 si sus ventas exceden $2.000.000. Cunto fueron'sus ingresos un mes en que vendi $2.100.000?,A) $605.000B) $650.000e) $655.000D) $750.000E) $755.000

24) Si el permetro de un cuadrado se duplica, en qu porcentaje aumenta su rea?A) 100%B) 200%C) 300%D) 400%E) 500%

25) De' un curso de danza de 70 alumnas, un da asistieron slo 49 alumnas. Ese da. el porcentaje denasstenca fue de '

A) 21%B) 30%C) 35%D) 49%E) 70%

!i.

I

66

~;

PRIMER EJE TEMTICO I Test W 7, PORCENTAJES 1

26) Una cantidad "A" aumenta a "B". El porcentaje de aumento fue

A) 100BA

100AB) B

100(B-A)C) A

D) 100BB-A

ABE) 100

27) El 15% de un nmero es x. Por lo tanto, el 90% del mismo nmero esA) 3xB) 6xC) 9xD) 12xE) 15x

28) Si a es el 150% de b yb es el 140% de c. entonces cul es el valor de e?(1) a es igual al 20% de 1.

'(2) a es.el 210% de c:A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas. (1) y (2)'D) Cada una 'por s sola. (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

29) Cul es el 32% de un nmero?(1) Su 60% es el triple de su quinta parte,(2) Su 45% excede a su 28%en 34.

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas. (1) y (2)D) Cada una por s sola. (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

3 O) Dadas las cantid~des a. b y c; podemos, afirmar que a es el 25% de b si:(1) e = 4a.(2) e = b.

A) (l) por s solaB) (2) por s SolaC) Ambas juntas. (1) y (2)D) Cada una por s sola. (1) (2)E) Se.requiere informacin adiCional,


67



!

Test N 8: Porcentajes II

n Si el 32% de 50 es m y el 40% 'de 5 es n, qu tanto por ciento es n de m?A) 87,5%B) 80%e) 800%D) 12,5%E) 700%'

2) En una liquidacin todos los productos estn rebajados en un 20%. Si una persona paga $28.400 por sucompra, curlto dineroahorr en la liquidacin?) $5.680B) .$7.100e) $6.816D) $6.500

. E) $6.100

3) .Un examen de admisin a un. instituto profesional lo rindieron 1.250 personas, de las cuales fueronaceptadas el 80%. Si el 20% de tos aceptados son mujeres, cuntos hombres ms que mujeres fueronaceptados en el instituto? .

A) .50B) 200e) '450D) 600E) L050

4) Un libro cuyo costo fue de $6.400 se vendi en un cierto lugar en $11.200. Qu porcentaje de utilidadse obtuvo? .

A) 20%B) 40%e) 50%D) 65%E) 75%

5) Una persona debe realizar un trabajo especializado en 8 das trabajando cantidades iguales todos losdas. Qu porcentaje del trabajo lleva realizado despus de t da de trabajo?A) 0,5%B) 6,25%e) .12,5%'D) 25%El 50%

6) Una mercadera cost $m y se vende ganando el x%, cul es la ganancia?

A) ~100

i";

d

ii mB) IOx

i'J;' x

e) 10m

D)1000m

xE) 100mx

68

PRIMER EJE TEMTICO Test N" 8, PORCENTAJES II

7) Un bus emplea 4 horas en recorrer x kilmetros. Qu porcentaje del camino recorre en 15minutos viajando con la misma rapidez?A)' 0,5%

B) 6,25%C) 12,5%D) 18,75%E) 25%

8) Una persona percibe un' sueldo lquido mensual de $360.000 y logra ahorrar e15% de su sueldo. Si entres meses ha ahorrado $x, cUl es el valor de x?A) StO.800B) $18.000C) $24.0010D) $36.000E) . $54.000

9) En una bolsa hay 36 bolitas, entre blancas y negras. Si las bolitas negras corresponden al 75% del total,cul(es) de las proposiciones siguientes es(son) verdaderats)? .1) Las bolitas blancas son 9.lI) Las bolitas 'negras duplican a las blancas.III) Las bolitas negras son 8 ms que las blancas.A) Slo 1B) Slo Ire) Slo' IIID) Slo Ir y IIIE) Slo 1 y III

10) De los s operarios de una fbrica, h son hombres. Cul es el porcentaje de mujeres que trabaja endicha fbrica?

(s -h)A) -s-o %

B) (100 - ~) %

(100(S - hl) .C) , %s

rOO(S - h))D) %.h. ,

E) (lOOh J%s-h11) Dos artculos se compran en.$60.000 y $80.000, respectivamente. Si a elloshay que agregarles eI18%'

de impuesto, entonces el preci total a pagar esA) $10.800E) $14.400e) $140.000D) $144.400E) .$165.200

69~


PSU. 'Cuaderno de Ejercicios. Matemtica

12) Una mercadera se vendi en $m con p,% de prdida, eul fue el precio de compra?

100mA)--

100 - P

lOOpB) 10 _ in

100(100 - p]e) -'-

,m

100(100 - m)D) --

PE) p+m

13) Dos descuentos' sucesivos del 10% son equivalentes a un descuento nico delA) 19%B) 20%C) 22,5%D) 25%E) 30%

14) Las dimensiones de un rectngulo son 80 m de largo por 50 m de ancho, Si el largo aumenta enun 5% y el ancho disminuye en un 20%, qu variacin experimenta su rea?A) Aumenta en un 30% ..B) "Disminuye en uri 25% ~e) Aumenta en un 22,5%D) Disminuye en un'16%E) Disminuye en un 84% ,

15) Los tres ngulos interiores de un tringulo son entre s como 5 : 6 : 9, Si el ngulo menor aumen-taen un 20%, el ngulo del medio permanece igual" y el ngulo 'mayor disminuye en.11,IIL,%,entonces la' razn en que estn los nuevos ngulos es de 'Al 2: 3: 4B) 1: 2 : 3C) 3:3:4D) 5: 9 : 4E) 9: 2: 3

16) Si el radio de un crculo aumenta en un 100%, entonces .su rea aumenta en unA) 100%B) 200%e) 300%D) 400%E) 500%

70

;/

~,

PRIMER EJE TEM rico I T~stW 8",PORCENTAJES II

1'7) En los ltimos cinco aos, el precio de un nuevo modelo de automvil se increment en 30%, Sise estima que el porcentaje de incremento para los prximos cinco aos ser el mismo, entoncesel porcentaje de incremento para este perodo completo de diez aos serA) 15%B) JO%e) 39%D) 60%E) 69%

18) Si a 25 litros de una solucin de alcohol al 20~ se le agregan 50 litros de agua, 'cul ser elporcentaje de alcohol en la nueva solucin?A) 5%'

B) 6t%

C) 10%

D) 13t%

E). 20%

19) Una tienda vende un reloj con una utilidad de un 25 % sobre el precio de costo, Qu porcentajedel precio de 'venta del reloj es la utilidad de la tienda?A) 12,5%B) 20%C) 25%D) 50%E) 75%

20) El stock de un almacn disminuye su valor en un 20%, En qu porcentaje deber incrementarseeste stock para volver a su valor inicial?A) 15%B) 20%e) 25%D) 30%E) 40%

21) La poblacin de un pueblo aumenta en 50% cada 50 aos, Si la poblacin en 1950 era 810habitantes" en qu ao la poblacin era de 160 habitantes?A) 1.650B) 1.700C) 1.750D) 1.806E) 1.850

71


PSU, Cuaderno de Ejercidos. Matemca

22) Una mujer compra lO cajas de tomates a un costo total de $80.000. Si ella pierde 2 cajas, a quprecio 'debera vender cada una de las cajas restantes, para obtener una ganancia de un 25% delcosto total?A) $10.000B) $12.500C) $15.000O), $100.000E) $120.000

23) Se deposita $100.000.000 a un 10% de inters simple anual, cunto se podr retirar al cabo de5 aos?' '

, 'A) $155.000.000B) $150.000.000C) $145.0QO.000O) $140.000.000E) $105.000.000

24), Si la' arista de un cubo se duplica, en qu porcentaje' aumenta su vol~men?A) 100%B) 200%C) 400%O) 700%El 800%

. 25) Qu capital se debe depositar a un 5% de inters compuesto anual para que al cabo de 5 aos setransforme en $ 66.550?

66.550A) s (1,05)'B) $ 66.550 . (1,05.)'

/66.550C) $ {J.05

(66.550)'0)$ ~

66.55QE) ,$ ~

26) Un lquido se evapora a razn de un.5% cada diez minutos. De I litro de este lquido, cuntoquedar al cabo de una hora? ' ,

'Al 700 cm'',B) 750 cm'C) 1.600' (0,95)' cm'O) 1.000 (1,05)' cm'E) 1000 (0,05)' cm'

72

PRIMER EJE TEMTICO I Test N" 8.. PORCENTAJES 1I

27) Una persona gan $480.000 al depositar un capital a plazo en un banco. Si retira '$15.480.000 alfinal del perodo, entonces el tanto por ciento de inters pagado esA) 32,2%B) 31,2%C) 7,4%D) 3,2%E) 3,1%

28) Una persona mantuvo un depsito de $100.000 un cierto perodo de tiempo, al trmino del' cual, retir'todo (su capital). Si el banco, le pag un k% de inters compuesto anual despus de agregarle un 12%,al valor inicial del depsito" por concepto del alza del costo de 'la vida, entonces el dinero que retir fue

(1) El tiempo de depsito fueron 5 aos.(2) El ~% de IDO es 6.

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere' informacin adicional

29) En una figura, el tringulo ABC est inscrito en la circunferencia de dimetro AB. Podemosdeterminar qu porcentaje del crculo es el rea del tringulo si:

(l) El tringulo es rectngulo escaleno de hipotenusa 5 cm.(2) AC = 4 cm y Be = 3 cm.

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas; (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

3O) En qu porcentaje vara el volumen de un globo esfrico que se est inflando?,(1) El radio inicial era 10 cm,(2) El radio final es 15 cm.

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional"


73



CAPTULO 7. REGULARIDADES NUMRICASTest N 9: Regulardades numricas

1) El octavo trmino de la secuencia:A) 10-lB) 10-6C) 10-7D) 10-8E) 10-9

2) De acuerdo a la siguiente secuencia

1 ;0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... es

123

~,~,~ ~2"~"'*'

PRIMER EJE TEMTICO I Test N" 9.: REGULARIDADES NUMRICAS

7) La cifra de las unidades de 3" esA) 3B) 9C) 7D) 1E) Ninguna de las anteriores

8) En la secuencia:

.....

fig. 1 fig.2 fig. 3cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderats)?l)m + n ~20 .1I).2p=q=12 8 .

.nn El octavo trmirio es t16 24

A) Slo. III .r .'. B) Slo 1 yIl. C) Slo 1 y IIID) Slo II y IIIE) 1, Il Y III

3) ~n la sucesin: 1 , 5 ,7 ,11 , 13 , a, 19., b , ... , los valores de a y b 'Son, respectivamente:A) 17 Y 24B) 17y 23C) 17 Y 22D) 16. Y 23E) 15 Y 21

4) En la serie: 8 , 2 ,-4 , -10 , ... , el trmino que ocupa el lugar diecinueve esA) -150B) -100C) 100D) 150E) 16.0

5) a' - a, a2 _ 13., al -' 3a, son los tres primeros trminos de una su~esin. Si a = -2, entonces elquinto trmino esA) -42B) -22

. C) -6.D) 22E) 42

6.) Escondiendo huevitos de pascua, Juan oculta un huevo en un primer escondite; en el segundo, el.'doble de huevos que en el primero; en el tercero, el triple que en el segundo; en el cuarto.. elcudruplo que en el tercero, y as sucesivamente, cuntos huevos ocultar en' el sptimo escon-dite?A) 28B) 120C) 128D) 720E) 5.040

Para los aspectos tericos de este conteoido, el cual es nuevo, en relacin a las pruebas anteriores (P.A.A. y p.e.E.), se recomienda nuestro Manual de Prepara-cin P.S.U. editado por Ediciones Universidad Catlica de Chile, Sexta Edicin, Marzo de 2006.

74

. el nmero de puntos en la dcima figura esA) 6.3B) 80C) 99D) 120E) 143

9) El trmino que ocupa el.noveno lugar de la siguiente secuencia es

J2,2, 2J2, 4, 4J2.'A) 8J2B) 1OJ2 16J2D) 32J2

E) 64J2En la siguiente secuencia de figuras formadas con palitos de fsforos, con cuntos palitos se constru-ye la dcima figura? . .A)2 3'0'B) 2 3'C) 2.38D) 2' 37E) 69"

10)

< .c-. ~11) En la sucesin de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, S, ... , cada trmino, a partir ctel tercero, se obtiene

I sumando los dos anteriores. Cul de los siguientes trminos debe ser un nmero impar?

A) 21"B) 4S"C) 363'D) 442'E) 6.96'

12) En la secuencia: 1, -2, 3, -4, S, ... , la diferencia entre el ?cimo y el noveno trmino esA) 19B) 1C) -1D) -19E) -20

75



A) -92

58E) --

3Cl -18D) -2E) 5

76l,

PRIMER EJE TEM TlCO I Test' N' 9, REGULARIDADES NUMRICAS

19) El nmero que sigue en la secuencia: 3, 8, 15,24, .,. , esA) 30E) 33C) 35D) 45E) 50

20) Si x e y son los nmeros que faltan' en el siguiente cuadrado mgico, entonces x - y =A) -3E) -1C) 2D) 3E) 4

15 8 x

y 12 14

11 16 9

32

1-1_31

r1_3' 'lid 1 .'--1 ; ..., e va or . e .sexto terrmno es(-Ir

13) En el siguiente esquema, los nmeros a y b se. relacionan con los dems de acuerdo a un ciertocriterio, entonces la mitad de la diferencia positiva entre' a' y b esA) 33

27E) '2C) 23D) 33

2

E) 292

321) En la secuencia: -1

5' .

22)

155

2435

1.215J

815

Al sumar el quinto y el sexto trmino de la secuencia:6 - 3x; 2(8 + 4x); 3(10 -5x); 4(12 + 6x); ...

14) Cul es el siguiente trmino de la secuencia: 0,1 ; 0,03; 0,009 ; 0,0027 ; .. ,?. A) 0,00081E) 0,000081C) 0,000243D) 0,0081 .E) 0,0000081En la siguiente secuencia decuadrados los permetros van aumentando en 2 cm. Si el permetro deltercer cuadrado es 20 cm, entonces la diagonal del primero mideA) 4cm

E) 412 cm

ClJ2 cm

D) l6J2cm

E) !..ficm2

A)

B)

C)D)

E)

se obtiene

A) 166 + 13xE) 166 - 13xC) 330 - xD) 153xE) 330 + l1x

23)o '.' 2

Cul es la cifra nmero cien de la expresin decimal de la fraccin '7?A) 1B) 7C) 2D) 8E) 5

15)

--.[]--.D

24) Si la suma de las medidas de los ngulos interiores de un polgono convexo de tres lados es 180,la de uno de cuatro lados es 360, la de uno de 5 lados es 540, y as sucesivamente, entoncespara un polgono convexo de !O lados, esta suma es .A) 1.260B) 1.440C) 1.620D) 1.800E) 1.980

D16) En la siguiente secuencia, el nmero asociado a la novena figura es

~)nE) 35Cl 44P) 54E) 77 lig.4

77

&008. .lig.l fig,.2 fig.3

~7) El cuarto trmino en la siguiente secuencia 80 T 40x, 40 - 20x, 20 - IOx, ' . esA) 2-xE) 5 - 2xC) O-O'xD) !O - 5xE) !O - x

18) En una secuencia de nmeros, cada trmino, a partir del segundo, se obtiene como la diferencia entreel triple del trmino anterior y 5, Si el quinto trmino es -38, entonces el tercer trmino es


~i

~,1'ij

rI

PSU: Cuaderno de Ejercicios, Matemtica

25) El quinto trmino de la secuencia: 10, 18, 34, 66, ... , es

A) 82B) 98C) 106D) 114E) 130

26) El trmino que ocupa .el lugar 10 en la secuencia: -0,6 ; 1,2 ; -2,4 ; 4,8 ; ... , es.

A) 1.228,8B) 307,2C).-153,6D) ~307,2E)-6l4,4

27) De acuerdo a la figura siguiente, x' =

28)

A) 1B) 5C) 625.D) 5'E) 1.024

Cul es el trmino ubicado en el lugar 30 de una secuencia dada?

(1) Los primeros dos trminos son 1 y''!'. 2(2) Cada trmino, a partir del segundo, se

7 15 613~1l--3x--'8 -12

14~1'\' Y1'2 10

encuentra sumando _.!., al anterior.2

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adiciana!

29) En la secuencia de tringulos de la figura, podemos determinar el rea del ensimo tringulo si cono-

cemos que:(1) El primer tringulo. tiene lada 1 cm y cada siguiente tringulo tiene lado igual a la altura del

anterior.(2) Todos las tringulos son equilteros.

A) (1) por s sala &B) (2) par s solaC) Ambas juntas, (1) y (2) .D) Cada una par s sola, (1) (2) '.,

E) Se requiere informacin adicional

30) Podemos determinar el noveno trmino. de una lista de nmeros naturales si:

(1) Los nmeros de la lista son cuadrados perfectos.(2) El primer nmero de la lista es l.

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una pr s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional


78.

PRIMER EJE TEMTICO / BIBLIOGRAFA ESPECFICA

1) Autor:Ttulo:Editorial:


3) Autor:'Ttulo:Editorial:


5) Autores:Ttulo:Editorial:

6) Autores:Ttulo.:Editorial:

7) Autores:Ttulo:Editorial:

Notas:

BIBLIOGRAFA ESPECFICA

Primer Eje Temtico:NlVillROS y PROPORCIONALIDAD

lvarez Daz, Eugenio.Problemas de Aritmtica.y lgebra sobre temas de Mitologa.Mxico, D. F., 1944, (*)

Baldar, Aurelio.Aritmtica Terico-Prctica.EditorialCdice S, A, Madrid, 1990.

Dolciani, Mar;, P.Matemticas Modernas para escuelas secundarias.Editorial Cultural. Mxico, 1972.

Nichols, Eugene D.Matemticas,Editorial Interamericana. Mxico, 1977.

Petersen John A. y Hashisaki, Joseph.Teora de la Aritmtica,Editrial Limusa Wiley, Mxico; 1969.

'I'afemalcher, Augusto y Poensich, RicardoElementos de MatemticasImprenta y Litografa Universo. Santiago. de Chile, 1911. (*)

Taylor, Howard E. yWade, Thomas L.Matemticas BsicasLimusa Wiley. Mxico, 1971.

1) Los textos destacados (ennegrecidos) corresponden a literatura natemtica de autores chilenos.2) Los textos destacados con asterisco (*) corresponden a libros "fuentes", cercanas a nosotros, de la informacin

matemtica,

Comentar-ios sobre la bibliografa matemtica

Puesto que laMatemtica es una disciplina internacional y universal, recalcamos nuevamente en este punto laimportancia que tiene una buena bibliografa para trabajar, .no necesariamente en espaol.vpues los ejercicios yproblemas de Matemtica trascienden las barreras del idioma, del espacio y del tiempo. De esta forma, al colocarbibliografa en otros idiomas y de otros tiempos estamos acercando alos alumnos y las alumnas estudiosas y, por qu'no decirlo tambin, a nuestros propios colegas, al encuentro con las races de la disciplina misma. Tambin losestamos acercando a las fuentes del conocimiento y dernostrndoles con ello que, problemas que parecen ser muyrecientes, en realidad, son tan antiguos como la Matemtica misma, El mensaje que pretendemos mostrarle o inculcarlea nuestros alumnos y a nuestras alumnas. es que ellos mismos deben ser capaces d encontrar y -descubrir su propiabibliografa, tal cual lo ha hecho uno de los autores, profesor Miguel' Ormazbal Daz-Muoz. Cabe hacer notar quehemos indicado tambin, en esta bibliografa, una importante ~antidad de'literatura matemtica chilena, literatura'de la cual estamos muy orgullosos, por su alto nivel y calidad acadmica, aunque lo pedaggico pudiese ser discutible.En efecto, las diferentes formas de ensear Matemtica varan en el tiempo, segn los lugares geogrficos y segnsea el pblico a quien va dirigida la enseanza,'supunto de partida o nivel de conocimientos previos, necesidades eintereses, etc. Actualmente la Didctica de la Matemtica es toda una disciplina en la que trabajan los especialistas,

79

.._._--~----_.- ~

..


PSU" Cuaderno de Ejercicios, Matemtica

l.."9'

EJERCICIOS RESUELTOSSEGUNDO EJE TEMTICO: LGEBRA YFUNCIONES .

SEGUNDO EJE TEMTICO I Ejercicios Resueltos

1) scar efecta la divisin (X2 - 1): (x - 1), siendo "x"un nmero entero positivo mayor que 1,obteniendo .como resultado el binomio x + l. Para comprobar que el resultado anterior es correcto,

. scar podra: .

1) efectuar la divisin entre el dividmdo y el cuociente para obtener el divisor

II) multiplicar el divisor por el cuociente 'para obtener el dividendo

ID). darle valores numricos para "x" a ambas expresiones, excepto para x = 1

De las verificaciones anteriores, es(son) correcta(s):

A) Slo TIB) Slo 1 y TIC) Slo. II Y IDD) Slo 1 y III

. E) 1,. TI Y III

no est definida. Sea entonces, x = 9. En tal caso, el primer miembro de la divisin (~) tiene- x - 1

92 - I 80 .por valor: -. -- = - = ID

9- 1 8

Yel segundo miembro de la divisin ex + 1) tiene por valor 9 .+ '1 = 10Son iguales!, por lo tanto el resultado est comprobado.A modo de ejercicio, comprubelo Ud. para otro valor numrico.

Luego III es correcto.


Este es un ejercicio muy interesante por su valor conceptual, ya que apunta a 105 mecanismos' decomprobacin de una divisin algebraica, Como se puede apreciar a travs del ejemplo, los mecanismosde comprobacin son variados y diversos. .

Respuesta correcta: alternativa E

Solucin:

2) ,El permetro de un rectngulo es de 46 cm. Si el largo disminuyeen 3 cm y el ancho aumenta en 2 cm,.el rea del rectngulo no cambia. En estas condiciones, la diferencia entre el largo y el ancho originaleses de .

Para comprobar el cuociente de una divisin algebraica, exceptuando, por supuesto, la .divisin porcero, todos los procedimientos mencionados.en los incisos 1, II y III sirven para tal propsito. Enefecto, al dividir el dividendo por el cuociente obtenemos:

x2 - 1

x + Iex + 1) (x'- 1)

x + 1 = x - 1, es decir, el divisor

La simplificacin anterior por e! factor ex + 1) est garantizada pues, por hiptesis, ex * -1), yaque "x" es un nmero entero positivo. Luego, 1 es correcto.

Ahora, si multiplicamos el divisor por el cuociente obtenemos, aplicando el producto notable suma porsu diferencia: . .

(x - 1) (x+ 1) = x2 1 , que ~s el dividendo

A) 5cmB) 7cme) 8cmD) IOcmE) 12 cm

Solucin:

Este es eltpico problema que conduce a un sistema de ecuacioneslineales,. Sean lee y las dimensiones del rectngulo' original. Hagamos un dibujo de la situacin, en los dos casosa los que se alude en el enunciado:

"-- --v-- ./x '

Luego TI es correcto.

Por ltimo, si le damos valores numricos a la indeterminada "x" en ambos lados de la igualdad, tambinpodremos verificar que la divisin est correcta. La nica excepcin es x = 1 pues la divisin por cero

82

.y + 2y

~-----------~~====~==~x -

83



Nuestra primera info~acin es que el permetro del rectngulo original es de 46 cm, con lo cualnuestra primera ecuacin a plantear es: '

2 x + 2y = 46 (1)

SEGUNDO EJE TEMTICO I Ejercicios Resueltos

3) El' trinomio de segundo gra,do con coeficientes reales f(x) = a X2 + b x + e tiene como races o'

soluciones Xl = I Y x2 = -1, siendo a > ,O. El grfico que mejor representa a dicho trinomio es:

A)

Ob~ervaciones y comentarios: 1 'E)'Como se puede apreciar, este problema tiene una serie de etapas para su resolucin, las que debenllevarse a cabo, paso a paso, para obtener la respuesta correcta.

De acuerdo a l~ segunda informacin del enunciado, el rea del rectngulo es 'la misma en el primer,caso que en el segundo. Por 10 tanto, 1a segunda ecuacin a planteares:

x y = (x -r- 3) (y + 2)

.Resolviendo los parntesis y simplificando (hgalo Ud.), se obtiene la ecuacin:

ix-3y-6=O (2)B)

C)

De las ecuaciones (1) y (2); formamos el sistema de ecuaciones lineales:

2 x + 2 y '= 46. }, '

2 X - 3y - 6 = O .

Restando miembro a miembro ambas ecuaciones se elimina la incgnita "x" y se obtiene:

5 Y + 6= 46, de donde: y = 8

D)

Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, por ejemplo en (1), obtenemosx = 15.

De tal modo que hls dimensiones del rectngulo original son:

x = 15 cm e y = 8 cm

y comonos piden la diferencia entre ellas, entonces el resultado es:

x - y = ,15 cm - 8 cm = 7 cm

Respuesta correcta: alternativa B

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x

x

x

X'

x

85



Solucin:

Si el trinomio dado tiene como races o soluciones XI = 1 Y x2 = -1, entonces significa que sugrfica - que es una parbola - corta al eje X en los puntos cuyas abscisas son los nmeros dados'

~I Y 1, ubicndolos de izquierda a derecha en la recta numrica, respectivamente.Ahora bieri, como~nel enunciado se nos dice que a > O, entonces las famas de la parbola abrenhacia arriba (parbola sonriente o, como se dice en lenguaje tcnico, cncava hacia arriba).,Finalmente, la ecuacin del eje de simetra de la parbola est dada por:

XvXI + x2

2-1 + l

2O

Esto nos dice que el eje de simetra de la parbola es el eje Y.

De acuerdo a 10 anterior, la opcin que responde a todos los requerimientos anteriores es la C.

Observaciones y comentarios:[

Este es un tpico problema de encontrar la parbola que mejor representa a una cierta funcin cuadrtica,dadas ciertas condiciones que la caracterizan. Se trata (le un ejercicio que involucra el manejo degrficos. '

,Si se sigue el anlisis de la situacin, paso a paso, el problema no ofrece dificultad alguna.

Respuesta correcta: alternativa e

4) Se da la funcin logartmica y = f(x) = log x. Con respecto a ella se plantean las siguientesigualdades:

1) f(l) = O

ll) f(2) + f(5) = f(10)

llI) f(2) f(5) = 1

De la:s,igualdad~s anteriores, es(son) correctas):

A) S610 1B) Slo 1 yILC) ,Slo II Y IIID) Slo 1 Y IIIE) 1, II Y III

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SEGUNDO EJE TEMTI

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