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Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría

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C. C. H.

A. G. C.

Preparatoria Agustín García Conde Clave de Incorporación U. N. A. M. 2308

Manual del participante de la asignatura

MATEMÁTICAS II

Clave de la asignatura 1201

Diseñado por el Profesor:

ING. Javier Israel Cruz Ponce.

México, D.F. Semestre Enero-Junio 2013

Grupo: 2010

Nombre del alumno:

________________________________________________


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Índice Mensaje de bienvenida ...................................................................................................................................... 3

Introducción ....................................................................................................................................................... 4

Objetivos generales (competencias a desarrollar) ............................................................................................ 4

Objetivo del manual ........................................................................................................................................... 4

UNIDAD I FUNCIONES CUADRÁTICAS.

ACTIVIDAD No 1 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS ...................................................................... 5

ACTIVIDAD No 2 ESTUDIO GRÁFICO Y ANALÍTICO. .................................................................................. 5

ACTIVIDAD No 3 APLICACIONES DE FUNCIONES CUADRTÁTICAS. ........................................................ 6

UNIDAD II CONSTRUCCIONES Y ELEMNTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS.

ACTIVIDAD No 4 CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS. .............................................................. 7

ACTIVIDAD No 5 TRAZO DE LINEAS PARALELAS. ...................................................................................... 8

ACTIVIDAD No 6 TRIÁNGULOS. ................................................................................................................... 8

ACTIVIDAD No 7 PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO. ......................................................................... 8

UNIDAD III CONGRUENCIA Y SEMEJANZA.

ACTIVIDAD No 8 CONSTRUCCIÓN DE LINEAS PARALELAS. ................... ¡Error! Marcador no definido.

ACTIVIDAD No 9 CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES. ......... ¡Error! Marcador no definido.

ACTIVIDAD No 10 ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE UN POLÍGONO. ........... ¡Error! Marcador no

definido.

ACTIVIDAD No 11 RELACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE UNA CIRCUNFERENCIA ...... ¡Error! Marcador no

definido.

ACTIVIDAD No 12 TEOREMA DE THALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS ¡Error! Marcador no definido.

UNIDAD IV PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES.

ACTIVIDAD No 13 CÁLCULO DE PERÍMETROS. ......................................... ¡Error! Marcador no definido.

ACTIVIDAD No 14 CÁLCULO DE ÁREAS...................................................... ¡Error! Marcador no definido.

ACTIVIDAD No 15 CÁLCULO DE VOLÚMENES ......................................................................................... 14

ACTIVIDAD No 16 PROBLEMAS DE APLICACIÓN .................................................................................... 14

UNIDAD V ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA.

ACTIVIDAD No 17 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS .................................................................................... 15

ACTIVIDAD No 18 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS ................................................................................ 16

ACTIVIDAD No 19 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................... 16

Conclusiones generales .................................................................................................................................. 17

Bibliografía ....................................................................................................................................................... 17


3

Mensaje de bienvenida Estimado alumno te damos la más cordial bienvenida a este nuevo curso que estas por

comenzar deseando que logres los aprendizajes que seguramente te ayudaran como

una herramienta más, en tu futura profesión.


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Introducción

El presente cuadernillo de trabajo tiene como propósito desarrollar las competencias genéricas y particulares del alumno desarrollando: Conocimientos, habilidades y actitudes.

Objetivos generales (competencias a desarrollar)

Al término del curso el alumno obtendrá los conocimientos referentes a la materia de Geometría y Trigonometría con el propósito de aplicar estos conocimientos en problemas prácticos.

Objetivo del manual

Ayudar al alumno a fortalecer sus aprendizajes a través de ejercicios y situaciones problemáticas enfocadas a la realidad.


5

UNIDAD I FUNCIONES CUADRÁTICAS.

Propósitos de la unidad

Continuar con el estudio de funciones a partir del estudio de situaciones que varían en forma cuadrática; contrastar este tipo de variación con la lineal. Analizar el comportamiento de las gráficas de funciones cuadráticas en términos de sus parámetros e iniciar la resolución de problemas de optimización con métodos algebraicos.

Temática

Situaciones que involucran cambio y que dan origen a funciones cuadráticas.

Comparación de la función cuadrática con la función lineal.

Intersecciones de la gráfica de una función cuadrática con el eje x.

Estudio gráfico y analítico de la función: y = ax2 + bx + c

casos particulares: y = ax2

y = ax2 + c y = a(x –h)2 y = a(x –h)2 + k

Concavidad, máximo o mínimo.

Problemas de máximos y mínimos. Resolución algebraica.

ACTIVIDAD No 1 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.

INSTRUCCIONES: Tabula y grafica las siguientes funciones lineales y cuadráticas. a) f (x) = 2x – 3

b) f (x) = x2 – 2

c) f (x) = –x + 4

d) f (x) = – 2x2

e) f (x) = x2 – 2x + 3

ACTIVIDAD No 2 ESTUDIO GRÁFICO Y ANALÍTICO.

INSTRUCCIONES: Realiza el estudio gráfico y analítico de las siguientes funciones cuadráticas.

a) f (x) = x2 –x – 6

b) f (x) = – x2 + 2x + 15

c) f (x) = x2 – 6x + 9

d) f (x) = x ( x + 3 ) = 5x + 3

e) f (x) = ( x – 2 )2 + 8

Evaluación de la actividad

Puntualidad Desarrollo completo

Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total



6

ACTIVIDAD No 3 APLICACIONES DE FUNCIONES CUADRÁTICAS. (Máximos y mínimos)

INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas con funciones cuadráticas. a) Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo, la función:

S(t)= – 8t² + 32t nos da la altura en metros de la piedra después de t segundos.

1.- Determina cual es la altura máxima que alcanza la piedra.

2.- ¿Qué altura alcanza la piedra en 3 segundos?

b) La ganancia semanal de una empresa se relaciona con el número de artículos producidos cada

semana y esto se puede representar por la función: G(x)= – 2x² + 96x – 52. Donde G(x) representa la ganancia semanal en pesos y x el número de artículos producidos por semana.

1.- Si la empresa produce 26 artículos en una semana ¿Cuál será su ganancia en este periodo?

2.- Determine cuántos artículos deberá producir para obtener una ganancia máxima.

c) Se desea cercar un terreno situado en la ribera de un río. El material para cercar cuesta 8

dólares por metro para los extremos y 12 dólares por metro para el lado paralelo al río. ¿Cuál

es el área máxima que se puede cercar si se cuenta con 3600 dólares?

UNIDAD II CONSTRUCCIÓN DE ELEMENTOS GEOMETRICOS BÁSICOS.


A través de construcciones con regla y compás, explorar las propiedades de las figuras elementales y algunos conceptos básicos de la Geometría Euclidiana. Reconocer patrones de comportamiento geométrico que permitan plantear conjeturas para proceder a su validación empírica.

Temática

Construcciones con regla y compás

Segmentos Congruentes.

Ángulos Congruentes.

Mediatriz y determinación del punto medio de un segmento.

Bisectriz de un ángulo dado.


Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total


7

Perpendicular a una recta dada que pasa por un punto: a) que pertenece a ella, b) fuera de ella.

Triángulos

Reproducción de un triángulo a partir de condiciones dadas (postulados LAL, LLL, ALA).

Desigualdad del triángulo.

Rectas notables en un triángulo.

Mediatriz, bisectriz, mediana y altura.

Puntos notables en un triángulo. Circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro.

Reproducción de polígonos por triangulación.

Circunferencia

Rectas y segmentos.

Rectas tangentes a una circunferencia: a) desde un punto sobre ella b) desde un punto fuera de ella.

Localización del centro de una circunferencia dada.

ACTIVIDAD No 4 CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS.

INSTRUCCIONES: Dibuja en tu cuaderno los siguientes segmentos en diferentes posiciones y traza las mediatrices de cada uno de ellos.

a) Segmento AB de 3.5cm de longitud

b) Segmento DE de 5.0cm de longitud

c) Segmento FG de 7.5cm de longitud

d) Segmento CD de 6.0cm de longitud

e) Segmento MN de 4.5cm de longitud

INSTRUCCIONES: Dibuja en tu cuaderno los siguientes ángulos y traza las bisectrices de dada uno de ellos.

a) Ángulo < AOB de 36º

b) Ángulo < COD de 120º

c) Ángulo < MON de 72º

d) Ángulo < EOF de 90º

e) Ángulo < AOB de 165º



8

ACTIVIDAD No 5 TRAZO DE LINEAS PARALELAS.

INSTRUCCIONES: Reproduce los siguientes segmentos en tu cuaderno y traza las perpendiculares al punto P

. P

. P . P .P

. P

ACTIVIDAD No 6 TRIÁNGULOS.

INSTRUCCIONES: Construye los siguientes triángulos.

a) Lados de 6cm, 4cm y 8cm

b) Lados de 5cm y 7cm, Ángulo entre ellos de 75º

c) Lado de 4.5cm y Ángulos de 45º y 60º

d) Lados de 6.5cm y 8.5cm, Ángulo entre ellos de 165º

e) Lados de 3cm, 9cm y 7cm

ACTIVIDAD No 7 PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO.

INSTRUCCIONES: Determina los puntos notables de los siguientes triángulos. a) El Baricentro

b) El Incentro

c) El Circuncentro


Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total


9

d) ortocentro e) Incentro

UNIDAD III CONGRUENCIA Y SEMEJANZA.


Ilustrar el papel de la demostración en los resultados de la Geometría e iniciar al alumno en el método deductivo. Trabajar la Congruencia y Semejanza de triángulos, así como el teorema de Pitágoras.

Temática

Congruencia

Congruencia de complementos y suplementos de ángulos congruentes.

Congruencia de ángulos opuestos por el vértice. Justificación.

Construcción de la recta paralela a otra por un punto dado:

Postulado de las rectas paralelas.

Congruencia de ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante.

Ángulos internos y el ángulo externo de un triángulo.

Relación entre el ángulo externo y el ángulo interno. Justificación.

Suma de ángulos interiores de un triángulo. Justificación.

Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono regular.

Congruencia de triángulos.

Criterios de congruencia de triángulos.

Justificación de las construcciones de:

Bisectriz de un ángulo.



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total


10

Mediatriz de un segmento.

Perpendicular a una recta.

Teorema del triángulo isósceles y su recíproco. Justificación.

Relación entre el ángulo central e inscrito en una circunferencia. Justificación.

Semejanza División de un segmento de recta en n partes iguales. Construcciones.

Teorema de Thales y su recíproco.

Criterios de semejanza de triángulos.

Teorema de la altura de un triángulo rectángulo. Justificación.

Teorema de Pitágoras y su recíproco. Justificación.

ACTIVIDAD No 8 CONSTRUCCIÓN DE LINEAS PARALELAS.

INSTRUCCIONES: Reproduce los siguientes segmentos en tu cuaderno y traza una línea paralela a cada uno de ellos.

. P

. P

. P

. P

. P

ACTIVIDAD No 9 CONSTRUCCIÓN DE POLIGONOS REGULARES.

INSTRUCCIONES: Tomando como base círculos de 6cm de diámetro traza los siguientes polígonos regulares.

a) Triángulo b) Pentágono c) Heptágono

d) Nonágono e) Dodecágono



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total



11

ACTIVIDAD No 10 ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE UN POLÍGONO.

INSTRUCCIONES: Determina el valor de cada uno de los ángulos de los siguientes polígonos. a) b) L1 L2 c) .

A B M

Z 85°

X

70° 85° N

90° Y 40°

ACTIVIDAD No 11 RELACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE UNA CIRCUNFERENCIA.

INSTRUCCIONES: Determina el valor de los ángulos y los arcos de cada circunferencia.

a) Si AC = 140° Encontrar: b) Si AC = 82º Encontrar:

C AB = C CB =

CB = AC = AB=

BC = < ABC =

A B <CAB= A B < CAB =


Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total


12

ACTIVIDAD No 12 TEOREMA DE THALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS.

INSTRUCCIONES: Determina lo que se te pide en cada problema. a) Calcula la altura de la torre b) Calcula la sombra del pino

45m. 37m. 52m. 28m.

c) Aplicando el teorema de Thales determina el valor del segmento PQ P 8cm.

Q 24cm. 14cm.

UNIDAD IV PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES.

Propósitos de la unidad Aplicar conocimientos algebraicos y geométricos adquiridos en unidades anteriores, en la resolución de problemas sobre figuras y cuerpos que involucren exploraciones geométricas, deducciones y cálculos numéricos. Propiciar el desarrollo de la imaginación espacial.

Temática

Medida en geometría.



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total


13

¿Qué es medir longitudes, áreas y volúmenes?

Perímetro de un polígono regular.

Medida aproximada de la longitud de la circunferencia. Obtención empírica de la fórmula.

Área del rectángulo.

Volumen de un prisma recto.

Cálculo de áreas por descomposición y recomposición de figuras.

Obtención de la fórmula del área del: triángulo, rectángulo, trapecio, rombo y paralelogramo.

Obtención de la fórmula del área de un polígono regular dado el apotema.

Cálculo aproximado del área del círculo. Obtención empírica de la fórmula. Razón entre perímetros y entre áreas de triángulos semejantes. Problemas de longitudes y áreas que involucren semejanza, congruencia y teorema de Pitágoras. Problemas que involucren áreas y volúmenes de prismas, cilindros rectos y conos rectos, donde sea necesario aplicar conocimientos de congruencia, semejanza y el Teorema de Pitágoras.

ACTIVIDAD No 13 CÁLCULO DE PERÍMETROS.

INSTRUCCIONES: Calcula el perímetro de las siguientes figuras. a) b) . 10m. 20cm

r = 4cm

66 5m. 8cm.

ACTIVIDAD No 14 CÁLCULO DE ÁREAS

INSTRUCCIONES: Calcula el perímetro de las siguientes figuras.

a) b) . 18 m. 14cm.



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total

7m.

9 m.

7cm.


14

6cm.

ACTIVIDAD No 15 CÁLCULO DE VOLÚMENES

INSTRUCCIONES: Calcula el perímetro de las siguientes figuras. a) Calcula el volumen del portalápices en

forma de cilindro recto.

b) Calcula el volumen de la pirámide cuya base pentagonal tiene 3cm. de lado y su apotema es de 4.5cm.

8cm.

20cm. 12cm.

ACTIVIDAD No 16 PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas.

a) Calcula el área total de un cono considerando que el radio de su base mide 15 cm y su altura 40 cm.

b) Un silo para almacenar granos tiene forma de cono circular recto. Calcula su capacidad de almacenamiento si su altura es de 20 m y su radio de 6 m.

c) El radio de la base de un cono es de 15 cm y su volumen de 2 700 cm3

. Con estos datos calcula su altura.



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total


15

d) Determina el volumen de un cilindro que tiene un diámetro de 23 cm y una altura del doble de su diámetro.

e) Determina el volumen de un cono cuyo radio es de 15 cm y su generatriz es de 45 cm.

UNIDAD V ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA.


Mostrar a las razones trigonométricas como una herramienta y un modelo en la solución de problemas de diversos campos del conocimiento. Iniciar, asimismo, un nuevo saber matemático que culminará posteriormente con el estudio de las funciones trigonométricas.

Temática

Razones trigonométricas seno, coseno y tangente para ángulos agudos. Valores recíprocos de las razones seno, coseno y tangente. Solución de triángulos rectángulos:

Conociendo un ángulo y un lado.

Conociendo dos lados.

Razones seno, coseno y tangente de los ángulos de 15°, 30°, 45°, 60°

y 75°

Las razones recíprocas del seno, coseno y tangente Resolución de problemas de aplicación:

Ángulo de elevación

Ángulo de depresión

Distancias inaccesibles Identidades trigonométricas fundamentales:

Las recíprocas

Las de división

Resolución de triángulos oblicuángulos

Ley de los senos

Ley de los cosenos Problemas cuya solución utiliza la resolución de triángulos oblicuángulos



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total


16

ACTIVIDAD No 17 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.

a) b) c)

3m. 15m. 35° 4m. 6m. 35°

d) e)

25.8° 10m. 6m. 8m.

ACTIVIDAD No 18 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.

INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos.

a) a = 60 cm, b = 50 cm y C = 78° b) a = 11 cm, b = 21cm y C = 97° 50´ c) b = 61 cm, A = 29° y B = 45°

d) b = 50 cm, A = 57° y C = 78° e) a = 40 cm, b = 19 cm y c = 32 cm f) a = 13 cm, b = 4 cm y c = 15 cm

ACTIVIDAD No 19 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos.

a) Sec A = Sen A c) Sen Y + Cos Y = 1 + 1 Tan A + Cot A Sen Y Tan Y



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total


17

b) Cos² X = ( 1 + SenX ) ( 1 – SenX )

Conclusiones generales

Los conocimientos adquiridos en este semestre nos ayudan al estudio posterior de funciones básicas para el cálculo. La geometría y la trigonometría es la base para la geométrica analítica. Además los aprendizajes adquiridos en el semestre nos ayudan a entender mejor diversos fenómenos de la naturaleza y a resolver problemas básicos de la vida cotidiana.

Bibliografía

1. Baldor. Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. Publicaciones Cultural. México, 2005.

2. Filloy, Eugenio y Zubieta, Gonzalo. Geometría, Grupo Editorial Iberoamérica.

México, 2005. 3. García, Jesús y Bertrán, Celeste. Geometría y experiencias. Recursos Didácticos.

Alhambra, Addison-Wesley Longman. México, 2003. 4. Wentworth J., Smith D. Geometría Plana y del Espacio. Porrúa. México.2008. 5. Flores, Homero y Victoria, Susana. Introducción a la Geometría con el Geométra.



Orden y limpieza

Trabajo en clase

Honestidad Total


18

Iberoaméricana. México 2000. 6. Rivaud, Juan José. Trigonometría. Limusa. México, 2000.

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