93
MARIAN PAVELESCU PENTRU LICEE TEHNICE ŞI ŞCOLI PROFESIONALE S.L. CLIMATE 2004

alin-oltyan
• Category

## Documents

• view

2.124

49

### Transcript of Manual de Rezistenta Materialelor

MARIAN PAVELESCU

PENTRU LICEE TEHNICE I COLI PROFESIONALE

S.L. CLIMATE 2004

CUPRINSI. NOIUNI INTRODUCTIVE ..................................................................................... 5 II. DEFINIREA SOLICITRILOR ................................................................................ 6II. 1. Fore ..........................................................................................................................................6 II. 2. Corpuri ......................................................................................................................................7 II. 2. 1. Clasificarea corpurilor.......................................................................................................8 II. 2. 2. Materialele corpurilor .......................................................................................................8 II. 3. Solicitri ....................................................................................................................................9

III. LEGEA LUI HOOKE .............................................................................................. 12III. 1. III. 2. Mrimi utilizate ...................................................................................................................12 Generaliti ..........................................................................................................................12

IV. REZISTENE ADMISIBILE I COEFICIENI DE SIGURAN ..................... 17IV. 1. Mrimi utilizate ...................................................................................................................17 IV. 2. Generaliti ..........................................................................................................................17 Tabelul nr.1 .................................................................................................................................20

V. NTINDEREA .......................................................................................................... 21V. 1. Mrimi utilizate .......................................................................................................................21 V. 2. Generaliti ..............................................................................................................................21 V. 3. Diagrama forelor normale ......................................................................................................22 V. 4. Calculul la ntindere ................................................................................................................23 V. 5. Mersul calculelor.....................................................................................................................24 V. 5. 1. Condiia de rezisten ......................................................................................................24 Dimensionarea ................................................................................................................................24 Verificarea .......................................................................................................................................24 Determinarea forei capabile ...........................................................................................................24 V. 5. 2. Condiia de rigiditate .......................................................................................................24 Dimensionarea ................................................................................................................................24 Verificarea .......................................................................................................................................25 Determinarea forei capabile ...........................................................................................................25 V. 6. Sinteza solicitrii .....................................................................................................................25 V. 7. Aplicaii ...................................................................................................................................26

VI. COMPRESIUNEA ................................................................................................... 30VI. 1. Mrimi utilizate ...................................................................................................................30 VI. 2. Generaliti ..........................................................................................................................30 VI. 3. Diagrama forelor normale ..................................................................................................31 VI. 4. Calculul la compresiune ......................................................................................................32 VI. 5. Mersul calculelor.................................................................................................................32 VI. 5. 1. Condiia de rezisten ..................................................................................................32 Dimensionarea ................................................................................................................................32 Verificarea .......................................................................................................................................32 Determinarea forei capabile ...........................................................................................................33 VI. 5. 2. Condiia de rigiditate ...................................................................................................33 Dimensionarea ................................................................................................................................33 ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Cuprins 2

Verificarea .......................................................................................................................................33 Determinarea forei capabile ...........................................................................................................34 VI. 6. Sinteza solicitrii .................................................................................................................34 VI. 7. Aplicaii ...............................................................................................................................34

VII. FORFECAREA ........................................................................................................ 38VII. 1. Mrimi utilizate ...................................................................................................................38 VII. 2. Generaliti ..........................................................................................................................38 VII. 3. Calculul la forfecare ............................................................................................................39 VII. 4. Mersul calculelor.................................................................................................................40 VII. 4. 1. Condiia de rezisten ..................................................................................................40 Dimensionarea ................................................................................................................................40 Verificarea .......................................................................................................................................40 Determinarea forei capabile ...........................................................................................................40 VII. 4. 2. Condiia de rigiditate ...................................................................................................41 Dimensionarea ................................................................................................................................41 Verificarea .......................................................................................................................................41 Determinarea forei capabile ...........................................................................................................41 VII. 5. Sinteza solicitrii .................................................................................................................42 VII. 6. Aplicaii ...............................................................................................................................42

VIII.

MOMENTE DE INERIE, MODULE DE REZISTEN ............................. 45

VIII. 1. Mrimi utilizate ...................................................................................................................45 VIII. 2. Generaliti ..........................................................................................................................45 VIII. 3. Momente statice ..................................................................................................................46 VIII. 3. 1. Aplicaii .......................................................................................................................46 VIII. 4. Momente de inerie .............................................................................................................47 VIII. 4. 1. Momente de inerie axiale ...........................................................................................47 VIII. 4. 2. Momente de inerie centrifuge ....................................................................................48 VIII. 4. 3. Momente de inerie polare ..........................................................................................48 VIII. 4. 4. Variaia momentelor de inerie axiale n raport cu dou axe paralele ........................48 VIII. 5. Raze de inerie .....................................................................................................................49 VIII. 6. Module de rezisten ...........................................................................................................49 VIII. 7. Momente de inerie i module de rezisten pentru unele suprafee geometrice simple .....50 Tabelul nr.2 .................................................................................................................................50 Tabelul nr.3 .................................................................................................................................51

IX. NCOVOIEREA ....................................................................................................... 52IX. 1. Mrimi utilizate ...................................................................................................................52 IX. 2. Generaliti ..........................................................................................................................53 IX. 3. Reazeme ..............................................................................................................................56 IX. 4. Reaciuni .............................................................................................................................57 IX. 4. 1. Legea echilibrului forelor ..........................................................................................58 IX. 4. 2. Legea echilibrului momentelor ...................................................................................58 IX. 4. 3. Aplicaie ......................................................................................................................59 IX. 5. Diagrama forelor tietoare .................................................................................................60 IX. 5. 1. Reguli de trasare..........................................................................................................61 IX. 5. 2. Aplicaie ......................................................................................................................61 IX. 6. Diagrama momentelor ncovoietoare ..................................................................................61 IX. 6. 1. Reguli de trasare..........................................................................................................62 IX. 6. 2. Aplicaie ......................................................................................................................62 IX. 7. Calculul la ncovoiere .........................................................................................................63 IX. 8. Mersul calculelor.................................................................................................................63 IX. 8. 1. Condiia de rezisten ..................................................................................................63 Dimensionarea ................................................................................................................................63 ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Cuprins 3

Verificarea .......................................................................................................................................64 Determinarea momentului capabil ..................................................................................................65 IX. 9. Sinteza solicitrii .................................................................................................................65 IX. 10. Aplicaii ...............................................................................................................................65

X. RSUCIREA............................................................................................................ 71X. 1. Mrimi utilizate .......................................................................................................................71 X. 2. Generaliti ..............................................................................................................................71 X. 3. Calculul la rsucire..................................................................................................................74 X. 4. Mersul calculelor.....................................................................................................................75 X. 4. 1. Condiia de rezisten ......................................................................................................75 Dimensionarea ................................................................................................................................75 Verificarea .......................................................................................................................................75 Determinarea momentului de rsucire capabil................................................................................76 X. 4. 2. Condiia de rigiditate .......................................................................................................76 Dimensionarea ................................................................................................................................76 X. 5. Calculul la rsucire al arborilor ...............................................................................................76 X. 5. 1. Diagrama momentelor de rsucire ..................................................................................76 X. 5. 2. Aplicaie ..........................................................................................................................77 X. 6. Sinteza solicitrii .....................................................................................................................78 X. 7. Particularizare calculul arcurilor elicoidale cilindrice .........................................................78 X. 7. 1. Aplicaii ...........................................................................................................................79

XI. FLAMBAJUL ........................................................................................................... 82XI. 1. Mrimi utilizate ...................................................................................................................82 XI. 2. Generaliti ..........................................................................................................................82 XI. 3. Flambajul barelor drepte, comprimate axial .......................................................................83 XI. 4. Mersul calculelor.................................................................................................................85 Dimensionarea ................................................................................................................................85 Verificarea .......................................................................................................................................87 XI. 5. Aplicaii ...............................................................................................................................88

XII. NCERCRILE MECANICE ALE MATERIALELOR......................................... 91 XIII. BIBLIOGRAFIE................................................................................................ 93

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Cuprins 4

I.

NOIUNI INTRODUCTIVE

Asupra pieselor mainilor acioneaz diverse fore, care produc solicitri. Cunoaterea solicitrilor ne permite calculul organelor de maini astfel ca ele s reziste n funcionare, o anumit perioad de timp. Cu acest domeniu se ocup Rezistena materialelor, o parte a mecanicii aplicate, care evalueaz eforturile i deformaiile pe care le suport o structur sub aciunea forelor. Disciplinele mecanicii aplicate: Mecanica teoretic Teoria elasticitii i plasticitii Teoria stabilitii elastice Teoria vibraiilor mecanice ncercrile mecanice ale materialelor

Problemele realizrii unui obiect cu o anumit destinaie sunt contemporane cu umanitatea. Condiiile ca forma i dimensiunile date unui material s asigure utilizarea sa optim, cu cele mai reduse consumuri, sunt condiii economice care stau la baza oricrui proiect tehnic. Din acest punct de vedere, rezistena materialelor este o disciplin practic, pentru care progresul informaional este vital. Din cele prezentate mai sus, manualul se ocup numai de cunoaterea solicitrilor statice simple ale barelor drepte, ceea ce reprezint forma iniial de abordare. Aceast introducere n rezistena materialelor este suficient ca informare elementar, ca baz pentru un studiu ulterior aprofundat care s duc la utilizarea disciplinei ca tiin aplicativ.

OBSERVAII

Fig. 1. Racheta solicitare complex

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Noiuni introductive 5

II.

DEFINIREA SOLICITRILOR

II. 1. ForeFor aciune care schimb starea de micare a unui corp. Cuvinte cheie fore exterioare fore interioare reaciuni eforturi deformaii Pentru Internet external forces internal forces reactions stresses strains

Orice pies n funciune este supus aciunii unor fore. Acestea se clasific dup mai multe criterii: dup poziia fa de pies: exterioare o de suprafa o de volum interioare dup modul de aplicare asupra piesei: statice dinamice

Fig. 2. Schema forelor For exterioar de suprafa fora care se aplic pe anumite poriuni din suprafaa exterioar a piesei. For de legtur (reaciune) fora care reprezint legtura (reazemul) piesei cu un corp ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Definirea solicitrilor 6

nvecinat. Distribuia forelor pe suprafa poate fi: concentrat distribuit: uniform neuniform For exterioar de volum reprezint fora distribuit n ntreaga mas a materialului (greutatea, ineria, forele electromagnetice). For interioar arat legtura care exist ntre particulele din interiorul unui corp. Efort rezultanta forelor interioare ca urmare a solicitrilor exterioare

Fig. 3. Rezultatul forelor exterioare For static fora aplicat lent, progresiv, pn la o valoare care rmne constant n timp. For dinamic fora aplicat cu variaii de vitez. Variaia poate fi: brusc oc periodic oscilaie continu ntre dou valori Sarcin mrimea care produce o stare de solicitare mecanic (tensiuni i deformaii) ntrun corp. Poate fi for, moment, cmp etc. Solicitare aciunea sarcinilor asupra unui corp n continuare, vom opera cu cele mai simple fore exterioare: de suprafa, statice, concentrate.

OBSERVAIE

II. 2. CorpuriCorp poriune de materie cu mas diferit de zero. Cuvinte cheie corp bar Pentru Internet material bar

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Definirea solicitrilor 7

Rezistena materialelor studiaz efectul sarcinilor asupra unor corpuri reale, care pot avea forme complicate. Pentru simplificare formele sunt schematizate, cu condiia ca rezultatele s fie apropiate de realitate (experimente).

II. 2. 1. Clasificarea corpurilor bare au o dimensiune mare fa de celelalte dou (corpuri cu fibr medie). Dup form exist bare drepte i bare curbe plci au dou dimensiuni mari fa de a treia. Dup form exist plci plane i plci curbe corpuri masive au cele trei dimensiuni de mrimi apropiate

Fig. 4. Tipuri de corpuri

II. 2. 2. Materialele corpurilorPentru stabilirea relaiilor de calcul rezistena materialelor face ipoteze asupra structurii materialelor i a comportrii lor sub sarcini.

Ipotez presupunere rezultat din observaie, care este confirmat prin experiment sau verificat prin deducie.Ipotezele asupra materialelor cu care operm constituie simplificri ale fenomenelor reale, acceptabile pentru scopul rezistenei materialelor Ipoteza mediului continuu consider materialele ca un mediu continuu, omogen, ce ocup ntregul spaiu reprezentat de volumul lor. (In realitate materialele sunt amorfe sau cristaline iar teoriile forelor interatomice nc nu au explicat efectele sarcinilor exterioare.) Ipoteza izotropiei consider c materialele au aceeai comportare, indiferent de direcia pe care acioneaz forele exterioare. (Anizotrop material care nu se comport la fel cnd direcia forelor se schimb (ex. lemnul).) Ipoteza elasticitii prefecte consider materialele perfect elastice, pn la anumite valori ale sarcinilor; cnd sarcinile dispar, corpul i reia forma i dimensiunile iniiale. Ipoteza relaiei liniare ntre eforturi i deformaii Consider c, n regim elastic, ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Definirea solicitrilor 8

creterea deformaiei este direct proporional cu creterea efortului (legea lui Hooke). O consecin n aceast ipotez este c se poate aplica principiul suprapunerii efectelor. Ipoteza lui Bernoulli consider c o seciune plan, normal pe axa barei nainte de deformare, rmne plan i normal i dup deformare. Ipoteza se verific experimental pe conturul barelor; se admite ca valabil i n interior. Ipoteza deformaiilor mici consider deformaiile elastice ale corpurilor ca fiind mici in raport cu dimensiunile lor. (Aceast ipotez reprezint i o condiie impus la funcionarea majoritii organelor de maini.)

II. 3. SolicitriSolicitare aciunea sarcinilor asupra unui corp. Cuvinte cheie solicitare eforturi normale, for normal for tietoare moment de ncovoiere moment de torsiune Pentru Internet strength normal force shear force bending moment twisting moment

Forele interioare ne arat legturile care exist ntre particulele din interiorul unui corp. Aceste fore se pot pune n eviden prin metoda seciunilor.

Fig. 5. Corp n echilibru Considerm un corp pe care acioneaz mai multe fore, datorit crora corpul st n echilibru. Dac secionm corpul cu un plan, perpendicular pe axa sa, nici una din pri nu mai este n echilibru. Pentru a echilibra partea din stnga, de exemplu, trebuie s introducem n planul seciunii un sistem de fore i cupluri (momente) care s suplineasc forele nlturate. Aceti nlocuitori se numesc fore interioare (sau eforturi, cum le vom numi n continuare). ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Definirea solicitrilor 9

n cazul general, eforturile au direcii oarecare n spaiu, astfel c le vom descompune dup un sistem de axe ortogonale.

Fig. 6. Descompunerea forelor i momentelor Fora n lungul axei X, notat Tx (transversal, n planul seciunii plane) Fora R se descompune n: Fora n lungul axei Y, notat Ty (transversal, n planul seciunii plane) Fora n lungul axei Z, notat N (normal pe planul seciunii plane) Momentul M se descompune n: Momentul n jurul axei X, notat Mx Momentul n jurul axei Y, notat My Momentul n jurul axei Z, notat Mz Pentru ca un corp s fie n echilibru se cer ndeplinite urmtoarele condiii: 1. Suma tuturor forelor s fie egal cu 0 F 0 2. Suma tuturor momentelor s fie egal cu 0 OBSERVAII

M 0 FX

Pentru un element n plan ecuaiile de echilibru devin: 1. Suma tuturor forelor n lungul axei X s fie 0 2. Suma tuturor forelor n lungul axei Y s fie 0 3. Suma tuturor momentelor n jurul axei Z s fie 0

0 0Z

F

Y

M

0

Deosebim dou feluri de eforturi: de translaie la care seciunile transversale rmn paralele i dup solicitare de rotaie la care seciunile transversale devin rotite unele fa de altele dup solicitare n felul acesta putem sistematiza eforturile. Componentele eforturilor care tind s dea o translaie seciunilor le numim fore: fora axial (normal) N produce solicitarea de ntindere (ori compresiune) fore tietoare Tx, Ty ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Definirea solicitrilor 10

produc solicitarea de forfecare sau tiere Componentele eforturilor care tind s dea o rotaie seciunilor le numim momente (cupluri): momentul de ncovoiere Mx tinde s dea o rotaie n jurul unei axe coninute n planul seciunii produce solicitarea de ncovoiere momente de rsucire (torsiune) My, Mz tind s dea o rotaie n jurul unei axe perpendiculare pe planul seciunii produc solicitarea de rsucire (torsiune)

Fig. 7. Eforturile de translaie (date de fore)

Fig. 8. Eforturile de rotaie (date de momente)

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Definirea solicitrilor 11

III. LEGEA LUI HOOKEIII. 1. Mrimi utilizateSimbolul l S l N E Denumirea lungimea iniial seciunea alungirea fora normal alungirea specific efortul unitar modulul de elasticitate longitudinal Unitatea de msur mm mm2 mm N

III. 2. GeneralitiConsiderm o bar dreapt, cu lungimea l i seciunea S, fixat la un capt. Dac la captul cellalt acioneaz fora normal N (n lungul axei barei), bara se va alungi cu segmentul l pe care l numim alungire.

Fig. 9. Bar solicitat la ntindere Materialele folosite n practic sunt de o mare diversitate, aadar se vor alungi n mod diferit, n funcie de rezistena lor la solicitri.

?Cum putem stabili un criteriu de comparare ntre bare din diverse materiale?

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Legea lui Hooke 12

Aceast problem a fost rezolvat experimental de Robert Hooke, cel ce a stabilit mrimile caracteristice i legea care le asociaz.

1 Experiena I Considerm dou bare drepte, de Robert Hooke (1635-1703) aceeai seciune S dar de lungimi diferite (l1, l1 respectiv l2). Fiecare bar este acionat de aceeai for normal N datorit creia au aceeai alungire l. l S l2

2

S

?l NCare dintre cele dou bare are materialul mai rezistent?

N

Fig. 10. Experiena I Pentru a le putea compara utilizm un raport adimensional, numit alungire specific []. Pentru bara nr. 1

1 l l1

Pentru bara nr. 2

2 l l2

Bara nr. 1 este realizat dintrun material mai rezistent fiindc are alungirea specific mai mic.

1 2OBSERVAIE Experiena II Considerm dou bare drepte, de aceeai lungime l dar de seciuni diferite (S1 respectiv S2). Fiecare bar este acionat de aceeai for normal N datorit creia ele au aceeai alungire l. Ca i n cazul precedent, vom ncerca o comparaie: S1 l S2 1 2 Alungirea specific reprezint alungirea unitii de lungime.

?Care dintre cele dou bare are materialul mai rezistent?

N

l

N

Fig. 11. Experiena II ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Legea lui Hooke 13

Pentru a le putea compara utilizm un raport, numit efort unitar [

].

Pentru bara nr. 1 Pentru bara nr. 2 1 N 2 N S1 S2 Bara nr. 1 este realizat dintrun material mai rezistent fiindc are eforul unitar mai mare. 1 2 OBSERVAIE Efortul unitar reprezint efortul pe unitatea de suprafa.

Putem compara bare drepte de aceeai seciune prin alungirea specific lungime prin efortul unitar .

i bare de aceeai

Pentru a compara bare indiferent de dimensiuni, de fapt pentru a compara materiale, trebuie s gsim o legtur ntre i . - Lungimea iniial i seciunea (la deformaii mici) sunt mrimi constante. - Unei fore normale anumite N i corespunde o anumit alungire l. Altfel exprimat, unui anumit efort unitar i corespunde o anumit alungire specific . Perechile de valori pot fi reprezentate grafic, ntrun sistem de axe.

OBSERVAII

Fig. 12. Curba caracteristic a materialului Diagrama care rezult prin ncrcarea treptat a barei (pn la rupere) se numete curba caracteristic a materialului. ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Legea lui Hooke 14

Ea este compus din mai multe zone: OE este zona de deformare elastic E punctul n care se termin elasticitatea n aceast zon bara descrcat revine la lungimea iniial (funcionare n domeniul elastic) EC este zona de curgere C punctul pn la care alungirea crete sub sarcin constant (c) CM este zona de ntrire M punctul la care corespunde efortul unitar maxim (rezistena la rupere) r MR este zona de gtuire i rupere R punctul la care bara se rupe; el d alungirea specific la rupere r n intervalul ER bara descrcat are lungime mai mare dect lungimea iniial (funcionare n domeniul plastic) Curba caracteristic este specific fiecrui material; ea poate avea forme diverse. Putem clasifica materialele n funcie de comportare astfel: o dup comportarea sub sarcini: materiale elastice materiale plastice materiale elastoplastice (parial elastice, parial plastice) o dup mrimea deformaiilor: materiale tenace au deformaii plastice mari nainte de a se rupe materiale fragile (casante) au deformaii mici nainte de a se rupe

OBSERVAII

Din curba caracteristic a unui material ne intereseaz zona de deformare elastic, n care dorim s funcioneze construciile tehnice. Aceasta este o dreapt, pentru care putem scrie ecuaia:

Constanta se noteaz cu E i se numete modul de elasticitate longitudinal. Se msoar, ca i N efortul unitar, n [ 2 ]. mm

cons tan t

E

sau

E

Legea lui Hooke

Curba fiind caracteristic fiecrui material, rezult c i modulul de elasticitate longitudinal este caracteristic fiecrui material. Curba caracteristic i legea lui Hooke au fost deduse printrun experiment de ntindere. Se pot obine alte curbe i alte module de elasticitate prin ncercri de compresiune, torsiune etc.

OBSERVAII

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Legea lui Hooke 15

Unele materiale nu respect legea lui Hooke (nu au poriunea rectilinie 0E). n urma ncercrilor se obin caracteristicile mecanice ale materialelor. Efortul unitar reprezint efortul pe unitatea de suprafa.

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Legea lui Hooke 16

IV. REZISTENE ADMISIBILE I COEFICIENI DE SIGURANIV. 1. Mrimi utilizateSimbolul Denumirea alungirea specific admisibil alungirea specific elastic alungirea specific de curgere alungirea specific de gtuire alungirea specific de rupere efortul unitar admisibil (rezistena admisibil) efortul unitar elastic efortul unitar la curgere efortul unitar la rupere coeficientul de siguran fa de limita de curgere coeficientul de siguran fa de rezistena la rupere Unitatea de msur

a e c g r a e c rCc Cr

IV. 2. GeneralitiConsiderm curba caracteristic la ntindere pentru un material metalic uzual oel carbon pentru construcii cu punctele cunoscute. Ne intereseaz domeniul elastic, n care dorim s funcioneze construciile tehnice. Presupunem o pies executat din oel carbon pentru construcii i ne ntrebm dac materialul poate fi solicitat pn la valoarea e sau trebuie s ne limitm exploatarea la o valoare mai mic. Rspunsul poate fi dat numai cunoscnd condiiile concrete de funcionare; este ns evident c nu vom depi limita de elasticitate.

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Rezistene admisibile i coeficieni de siguran 17

Fig. 13. Zona util a curbei caracteristice n practic se dau valori convenionale maxim admisibile, mai mici dect limita de elasticitate. Aceste valori se numesc rezistene admisibile (a) i sunt reprezentate pe curba lui Hooke prin punctul admisibil A [a, a]. Aadar, putem solicita un material numai pn la punctul admisibil. Se obinuiete s se utilizeze coeficieni care raporteaz rezistena admisibil la alte valori de pe curba caracteristic.

Cc Cr

c a r a

pentru materiale tenace pentru materiale fragile

Ei se numesc coeficieni de siguran i arat de cte ori este mai mic rezistena admisibil fa de valoarea de referin.

ObservaiiPentru proiectare trebuie s cunoatem: - Fie coeficientul de siguran i valoarea de referin (c sau - Fie rezistena admisibil n calculele de rezistena materialelor putem urma dou metode: ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Rezistene admisibile i coeficieni de siguran 18

r)

- Metoda rezistenei admisibile (metoda clasic) - Metoda coeficientului de siguran Alegerea coeficientului de siguran necesit cunoaterea valorii de referin (c sau

r).

Coeficientul de siguran este cu att mai mare cu ct: - datele despre material sunt mai puine - piesa este mai important

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Rezistene admisibile i coeficieni de siguran 19

Tabelul nr.1Constante de elasticitate longitudinal transversal Caracteristici mecanice Rezistena la rupere Rezistena la:

Materialul

Limita de curgere

ntindere

Compresiune

Forfecare

ncovoiere

Rsucire

EN/mm2 OL37 Oeluri carbon OL42 OL50 OL70 Fc 20 Fonte Fc 30 Fgn 455 Aliaje neferoase Bz 12 T AmT 67 ATCCu 8 205.000 205.000 205.000 205.000 120.000 120.000 120.000 115.000 95.000 68.000

GN/mm2 81.000 81.000 81.000 81.000 45.000 45.000 45.000 42.000 36.000 26.000

rN/mm2 370450 420500 500620 min. 700 230 330 450 200 180 120

cN/mm2 210240 230260 270290 340360 320 70

atN/mm2 120140 130150 150180 210250 6080 90110 150200 4065 4065 2030

acN/mm2 120140 130150 150180 210250 150200 225275 375500 4065 4060 2030

afN/mm2 95110 105120 120140 165200 1525

aiN/mm2 135160 150170 170205 240285 4065 4060 2030

arN/mm2 7585 8090 90105 125150 7095 105130 195260 2545 2542 1520

V. NTINDEREAV. 1. Mrimi utilizateSimbolul Denumirea lungimea iniial alungirea alungirea admisibil alungirea efectiv seciunea seciunea efectiv seciunea necesar fora normal fora normal capabil alungirea specific efortul unitar efortul unitar admisibil la traciune (rezistena admisibil) efortul unitar efectiv modulul de elasticitate longitudinal rigiditatea Unitatea de msur mm mm mm mm mm2 mm2 mm2 N N

l l la lef S Sef Snec N Ncap

at efE ES V. 2. Generaliti

N

O bar dreapt este solicitat la ntindere cnd la capetele ei sunt aplicate, n lungul axei, dou fore egale de sens contrar ndreptate spre exterior.

OBSERVAIE

Pentru simplificare am reprezentat alungirea numai la un capt al barei.

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ntinderea 21

Exist o asemnare a solicitrii la ntindere cu experimentul de la capitolul Legea lui Hooke?

ObservaieEste acelai experiment: n locul captului fix am reprezentat o reaciune, egal i de sens contrar cu aciunea. Prin urmare sunt valabile mrimile prin care am exprimat legea lui Hooke (domeniul elastic).

l S l N

l l N S

E

Conform ipotezei lui Bernoulli, dac seciunile rmn plane, alungirile l sunt constante pe suprafaa seciunii; n consecin i alungirile specifice sunt constante pe toat seciunea. Aplicnd legea lui Hooke, E , rezult c i efortul unitar este constant pe seciune. n concluzie: efortul unitar este constant pe seciunea unei bare omogene.

V. 3. Diagrama forelor normaleDac asupra unei bare drepte acioneaz mai multe fore de ntindere, este necesar construcia unei diagrame a forelor normale, care s arate n ce seciuni aceste fore sunt mai periculoase. Reguli de trasare 1. Diagrama se traseaz la o scar a forelor, reprezentate perpendicular pe axa barei. 2. Construcia ncepe de la un capt al liniei de referin, considernd pozitive forele ntlnite, dac tind s lungeasc bara. 3. ntro seciune oarecare, fora axial este dat de suma forelor situate de o parte a seciunii (sau suma forelor de cealalt parte a seciunii, cu semn schimbat).

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ntinderea 22

V. 4. Calculul la ntindereLegea lui Hooke este o relaie ntre trei mrimi, oricare dintre ele putnd fi necunoscut. Pentru rezolvare, dou mrimi trebuie s fie cunoscute. Apar astfel trei variante de calcul:

Dimensionarea, n care necunoscut este seciunea barei Verificarea, n care necunoscut este efortul unitar al seciunilor unei bare date Determinarea forei capabile, n care necunoscut este fora normal pe care opoate suporta o bar dat

ObservaiiAceast variant de calcul se bazeaz pe condiia de rezisten, adic pe cunoaterea rezistenei admisibile. Dac scriem legea lui Hooke cu toate mrimile obinem:

Putem efectua variante de calcul impunnd o condiie de rigiditate a barei (limitnd alungirea l sau alungirea specific ). n rezistena materialelor se utilizeaz n unele cazuri produsul ES, numit

Nl E S l

rigiditate.

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ntinderea 23

V. 5. Mersul calculelorV. 5. 1. Condiia de rezisten Dimensionarea1. Se d fora N 2. Se alege un material pentru care se determin, din tabelul de materiale sau pe baza coeficientului de siguran, rezistena admisibil at 3. Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar:

S nec Verificarea1. Se dau:

4. Valoarea obinut se convertete la seciunea unui profil standardizat, rotunjit prin mrire. fora N seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2. Se determin, din tabelul de materiale, rezistena admisibil at 3. Se calculeaz efortul unitar efectiv din bar:

N at

ef

4. Se compar cele dou eforturi unitare Dac: ef at ef > at

N S ef

bara verific bara nu verific

Determinarea forei capabile1. Se dau: seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2. Se determin, din tabelul de materiale sau pe baza coeficientului de siguran, rezistena admisibil at 3. Se calculeaz fora capabil a barei, care reprezint valoarea maxim posibil pentru bar:

Ncap Sef atV. 5. 2. Condiia de rigiditateConsiderm c se impune o valoare admisibil pentru alungire la, care apare n toate cazurile.

Dimensionarea1. Se dau: fora N lungimea barei l 2. Se alege un material pentru care se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate longitudinal E ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ntinderea 24

3. Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar:

Snec Verificarea

4. Valoarea obinut se convertete la seciunea unui profil standardizat, rotunjit prin mrire. 1. Se dau: fora N

Nl E l a

lungimea barei l seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2. Se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate longitudinal E 3. Se calculeaz alungirea efectiv a barei:

l ef 4. Dac:

Nl Sef E lef la bara verific

lef > la bara nu verific

Determinarea forei capabile1. Se dau:

lungimea barei l seciunea efectiv a barei Sef materialul barei

2. Se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate longitudinal E 3. Se calculeaz fora capabil a barei, care reprezint valoarea maxim posibil pentru bar:

Ncap

Sef E l a l E

V. 6. Sinteza solicitrii Legea lui Hooke (domeniul elastic) Felul calculului Dimensionarea Verificarea Determinarea forei capabile Condiia de rezisten N Snec at N ef SefNl E S l

Condiia de rigiditate Nl Snec E l al ef Ncap

Nl Sef E

Ncap Sef at

Sef E l a l

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ntinderea 25

V. 7. Aplicaii I. S se dimensioneze la ntindere o bar solicitat de fora normal N = 20.000 NRezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1. Se d fora N = 20.000 N 2. Din Tabelul nr.1 alegem un oel carbon OL 37, pentru care apreciem at = 120 3. Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar:

S nec

Snec

20.000 120 > 166,67 mm2

4. Stabilim ca seciunea barei s fie rotund i calculm diametrul necesar:

4 Snec dnec 14,56 mm dnec Semifabricatul din oel standardizat cel mai apropiat de valoarea calculat (din tabelele de standarde) este oelul rotund 15.

II. S se dimensioneze la ntindere o bar din oel OL 50, de seciune ptrat, solicitat defora normal N = 12.000 N, cunoscnduse coeficientul de siguran C = 6 Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1. Se d fora N = 12.000 N 2. Pentru OL 50, valoarea minim a rezistenei la rupere este de unde rezult rezistena admisibil:

r = 500

(Tabelul nr.1),

r C 500 N at 83,3 6 mm 2 at

3. Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar:

Snec

Snec

12.000 83,3 > 144 mm2

4. Calculm latura ptratului necesar:

l nec Snec l nec 12mm

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ntinderea 26

III. S se verifice o bar din oel lat laminat la cald 80x16 STAS 39577/OL 37 STAS 50068 solicitat de fora normal de ntindere N = 120.000 N Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1. Cunoatem fora normal i materialul barei dar trebuie s calculm seciunea efectiv:

Sef = 8016 = 1.280 mm22. Din Tabelul nr.1 apreciem, pentru OL 37 at = 120 3. Calculm efortul unitar efectiv n bar:

120.000 1.280 N ef 93,7 mm 2 ef 4. Comparm cele dou eforturi unitare:

93,7 < 120Bara verific.

IV. S se determine fora normal capabil a unei evi din OL 50, avnd diametrul exteriorD = 40 mm i grosimea peretelui g = 3 mm. Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1. Cunoatem materialul barei dar trebuie s calculm seciunea efectiv:

2. Din Tabelul nr.1 apreciem, pentru OL 50 at = 150 3. Calculm fora normal capabil:

402 322 Sef 452, 39 mm 2 4

Ncap 452,39 150 Ncap 87.890N

V. S se dimensioneze la ntindere o bar din aluminiu turnat cu lungimea l = 0,8 m, astfelnct la solicitarea cu o for normal N = 60.000 N s nu depeasc alungirea la = 1,5 mm. Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rigiditate. 1. Se dau: fora N = 60.000 N lungimea barei l = 800 mm 2. Materialul fiind dat, extragem din tabelul de materiale valoarea modulului de elasticitate longitudinal E = 68.000 ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ntinderea 27

3. Calculm seciunea necesar:

Snec

60.000 800 68.000 1,5

Snec 470,58 mm 24. Stabilim ca seciunea barei s fie rotund i calculm diametrul necesar:

4 Snec dnec 14, 56 mm dnec Semifabricatul din oel standardizat cel mai apropiat de valoarea calculat (din tabelele de standarde) este aluminiul rotund 25.

VI. O bar 40 din OL 70 cu lungimea l = 300 mm este solicitat la ntindere de foranormal N = 50.000 N. S se verifice dac nu depete alungirea admisibil la = 0,2 mm. Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rigiditate. 1. Cunoatem fora normal, lungimea i materialul dar trebuie s calculm seciunea efectiv:

Sef = 402 = 1.600 mm22. Din Tabelul nr.1 scoatem, pentru OL 70, valoarea modulului de elasticitate longitudinal

E = 205.0003. Calculm alungirea efectiv a barei:

50.000 300 1.600 205.000 l ef 0,04 mm l ef 4. Comparm cele dou alungiri:

0,04 < 0,2Bara verific.

VII. S se determine fora normal la ntindere de care este capabil o bar 80 din bronzBz12T lung de 1,3 m, astfel ca s nu depeasc alungirea de 0,4 mm. Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rigiditate. 1. Cunoatem lungimea i materialul barei dar trebuie s calculm seciunea efectiv:2 Sef 80 4 Sef 5.026,55 mm2

2. Din Tabelul nr.1 scoatem, pentru Bz12T, valoarea modulului de elasticitate longitudinal

E = 115.000________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ntinderea 28

3. Calculm fora normal capabil:

5.026,55 115.000 0,4 1.200 Ncap 192.680 N Ncap

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ntinderea 29

VI. COMPRESIUNEAVI. 1. Mrimi utilizateSimbolul Denumirea lungimea iniial scurtarea scurtarea admisibil scurtarea efectiv seciunea seciunea efectiv seciunea necesar fora normal fora normal capabil scurtarea specific efortul unitar efortul unitar admisibil la compresiune (rezistena admisibil) efortul unitar efectiv modulul de elasticitate longitudinal rigiditatea N Unitatea de msur mm mm mm mm mm2 mm2 mm2 N N

l l la lef S Sef Snec N Ncap

ac efE ES VI. 2. Generaliti

O bar dreapt este solicitat la compresiune cnd la capetele ei sunt aplicate, n lungul axei, dou fore egale de sens contrar ndreptate spre interior.

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Compresiunea 30

ObservaieSolicitarea la compresiune este caracterizat, ca i solicitarea la ntindere, de fore axiale (normale). Ambele solicitri pot fi caracterizate prin aceeai definiie: O bar dreapt este solicitat la ntindere sau compresiune cnd asupra ei sunt aplicate, n lungul axei, fore normale. Ca atare sunt valabile generalitile de la ntindere, cu precdere legea lui Hooke (domeniul elastic).

l S l N

l l N S

E

VI. 3. Diagrama forelor normaleDac asupra unei bare drepte acioneaz mai multe fore de compresiune, este necesar construcia unei diagrame a forelor normale, care s arate n ce seciuni aceste fore sunt mai periculoase. Reguli de trasare Sunt aceleai ca i pentru solicitarea de ntindere, cu precizarea c forele care tind s scurteze bara se consider negative.

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Compresiunea 31

Observaien cazul general de solicitare a barelor cu fore axiale avem i fore de ntindere i fore de compresiune. Diagrama forelor normale se traseaz n conformitate cu aceleai reguli enunate la capitolul ntinderea.

VI. 4. Calculul la compresiuneSunt valabile variantele de calcul de la ntindere:

Dimensionarea, n care necunoscut este seciunea barei Verificarea, n care necunoscut este efortul unitar al seciunilor unei bare date Determinarea forei capabile, n care necunoscut este fora normal pe care opoate suporta o bar dat

VI. 5. Mersul calculelorVI. 5. 1. Condiia de rezisten Dimensionarea1. Se d fora N 2. Se alege un material pentru care se determin, din tabelul de materiale, rezistena admisibil

ac3. Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar:

S nec

4. Valoarea obinut se convertete la seciunea unui profil standardizat, rotunjit prin mrire.

N ac

Verificarea1. Se dau: fora N ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Compresiunea 32

seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2. Se determin, din tabelul de materiale, rezistena admisibil ac 3. Se calculeaz efortul unitar efectiv din bar:

ef

4. Se compar cele dou eforturi unitare Dac: ef ac bara verific ef > ac

N S ef

bara nu verific

Determinarea forei capabile1. Se dau: seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2. Se determin, din tabelul de materiale, rezistena admisibil ac 3. Se calculeaz fora capabil a barei, care reprezint valoarea maxim posibil pentru bar:

N cap S ef acVI. 5. 2. Condiia de rigiditateConsiderm c se impune o valoare admisibil pentru scurtare la, care apare n toate cazurile.

Dimensionarea1. Se dau: fora N lungimea barei l 2. Se alege un material pentru care se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate longitudinal E 3. Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar:

Snec

4. Valoarea obinut se convertete la seciunea unui profil standardizat, rotunjit prin mrire.

Nl E l a

Verificarea1. Se dau: fora N

lungimea barei l seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2. Se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate longitudinal E

Nl Sef E ________________________________________________________________________________ l ef Rezistena materialelor Compresiunea 33

3. Se calculeaz scurtarea efectiv a barei:

4. Dac:

lef la bara verific lef > la bara nu verific

Determinarea forei capabile 1. Se dau: lungimea barei l seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2. Se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate longitudinal E 3. Se calculeaz fora capabil a barei, care reprezint valoarea maxim posibil pentru bar:

Ncap

Sef E l a l E

VI. 6. Sinteza solicitrii Legea lui Hooke (domeniul elastic) Felul calculului Dimensionarea Verificarea Determinarea forei capabileNl E S l

Condiia de rezisten Condiia de rigiditate Nl N Snec S nec E l a

ac

ef

N Sef

l ef Ncap

Nl Sef E

N cap S ef ac

Sef E l a l

VI. 7. Aplicaii I. S se dimensioneze la compresiune o bar solicitat ca n figura alturat de forele:

Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. Deoarece avem mai multe fore, vom trasa diagrama forelor normale pentru a vedea ce fore acioneaz n diferitele seciuni ale barei.

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Compresiunea 34

Pe

poriunea

AB

acioneaz

d

fora

de

compresiune de 50.000 N iar pe poriunea BC fora de compresiune de 30.000 N. Este mai economic s dimensionm bara n trepte seciunea S1 pentru poriunea AB i seciunea S2 pentru poriunea BC. 1. Din Tabelul nr.1 alegem o font cenuie Fc 20, pentru care apreciem ac = 160 2. Se calculeaz seciunile necesare, care reprezint valori minime posibile pentru bar:

S 1nec S 2nec4 312,5 4 187,5

50.000 160 30.000 160

S 1nec 312,5 mm 2 S 2nec 187,5 mm 2

3. Stabilim ca seciunile barei s fie rotunde i calculm diametrele necesare:

d 1nec d 2nec

d 1nec 19,94 mm d 2 nec 15,45 mm

Rotunjim la valorile standardizate cele mai apropiate i obinem valorile finale: d1 = 20 mm d2 = 16 mm

II. S se verifice dac o eav din Ol 42, avnd diametrul exterior D = 30 mm i grosimeaperetelui g = 4 mm poate suporta fora de compresiune de 20.000 N Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1. Cunoatem fora normal i materialul barei dar trebuie s calculm seciunea efectiv:

Sef

302 222 4

104 mm 2

2. Din Tabelul nr.1 alegem un oel carbon OL 37, pentru care apreciem ac = 140 3. Calculm efortul unitar efectiv n bar:

ef 20.000 104192,3 > 140 Bara nu verific.

ef 192,3 mm 2

4. Comparm cele dou eforturi unitare:

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Compresiunea 35

III. S se determine fora normal capabil a unei evi ptrate din OL 37, avnd laturaexterioar l = 40 mm i grosimea peretelui g = 2 mm. Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1. Cunoatem materialul barei dar trebuie s calculm seciunea efectiv: Sef = 402 362 = 304 mm2 2. Din Tabelul nr.1 alegem un oel carbon OL 37, pentru care apreciem ac = 120 3. Calculm fora normal de compresiune capabil:

Ncap 304 120 Ncap 36.480 NIV. Se d bara de oel din figur cu datele alturate:

Se cere: a. S se verifice bara tiind c at = ac = 100 b. S se calculeze deformaia total a barei Rezolvare: Deoarece avem mai multe fore normale vom trasa diagrama forelor normale pentru a vedea ce solicitri avem n diferitele seciuni ale barei. a. Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1. Calculm seciunile efective:

S 1ef S 2 ef

30 2 706,8 mm 2 4 20 2 314,1 mm 2 4

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Compresiunea 36

2. Efortul unitar admisibil este a = 100

(acelai pentru ntindere i compresiune)

3. Calculm eforturile unitare efective n seciunile mai periculoase: Pe intervalul 1 2: Pe intervalul 3 4:

12ef 34ef

30.000 N 42,4 706,8 mm 2 20.000 N 63,6 314,1 mm 2

4. Comparnd eforturile unitare efective cu efortul unitar admisibil se constat: 42,4 < 100 63,6 < 100 Bara verific. b. Problema se bazeaz pe condiia de rigiditate. Pentru a calcula deformaia total a barei trebuie s nsumm deformaiile pe intervale:

l 10.000 100 - 400 - 800 - 300 205.000 314,1 706,8 l -0,083 mml 10.000 100 - 20.000 200 - 20.000 400 30.000 100 E S2 E S2 E S1 E S1OBSERVAIE Alungirile sunt pozitive, scurtrile sunt negative.

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Compresiunea 37

VII. FORFECAREAVII. 1. Mrimi utilizateSimbolul Denumirea distana dintre forele tietoare lunecarea lunecarea admisibil seciunea seciunea efectiv seciunea necesar lunecarea specific fora tietoare efortul unitar transversal efortul unitar admisibil la forfecare (rezistena admisibil) efortul unitar transversal efectiv modulul de elasticitate transversal efortul unitar efectiv modulul de elasticitate longitudinal rigiditatea N Unitatea de msur mm mm mm mm2 mm2 mm2 radiani N

t S Sa S Sef Snec

af ef G efE ES VII. 2. Generaliti

O bar dreapt este solicitat la forfecare cnd pe ea sunt aplicate, n plan transversal, dou fore egale, paralele i de sens contrar, la foarte mic distan una de cealalt.

ExperimentNu am reprezentat lungimea barei, nefiind necesar. Nu am reprezentat deformaia barei.

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Forfecarea 38

ObservaieSolicitarea de forfecare se produce la piese de seciune mic, circular sau inelar, la care putem aprecia c nu apar dect eforturi transversale, constante pe toat seciunea. Pentru a scrie legea lui Hooke vom stabili efortul unitar i deformaia specific; aceste mrimi nu mai pot fi cele de la ntindere compresiune. Ca s ilustrm legtura dintre efort i deformaie reprezentm la scar mrit o zon supus solicitrii de forfecare. Ca i la ntindere, efortul unitar transversal este dat de raportul ntre for (tietoare) i seciune.

Deformaia este dat de mrimea S lunecarea unei seciuni fa de cealalt seciune. Raportul adimensional care permite compararea deformaiilor este dat de unghiul , numit lunecare

T S

specific.tg S tn triunghiul dreptunghic format prin deformare avem:

Pentru unghiuri mici (ipoteza deformaiilor mici) tangentele sunt aproximativ egale cu unghiurile exprimate n radiani:

S t

Putem folosi schema de la ntindere compresiune:

t S S T

S t T S

G

G modulul de elasticitate transversal [VII. 3.

]

Calculul la forfecare Dimensionarea, n care necunoscut este seciunea barei Verificarea, n care necunoscut este efortul unitar al seciunilor unei bare date Determinarea forei capabile, n care necunoscut este fora normal pe care o

Sunt valabile variantele de calcul de la ntindere:

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Forfecarea 39

poate suporta o bar dat cu variantele de calcul:

Condiia de rezisten Condiia de rigiditate ObservaieLa calculul de forfecare apare frecvent problema depirii rezistenei la rupere, pentru prelucrarea pieselor prin tanare sau debitare. n aceste cazuri se caut fora tietoare capabil pentru aceste operaii.

VII. 4.

Mersul calculelor

VII. 4. 1. Condiia de rezisten

Dimensionarea 1. Se d fora T2. Se alege un material pentru care se determin, din tabelul de materiale, rezistena admisibil

af3. Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar:

S nec

4. Valoarea obinut se convertete la seciunea unui profil standardizat, rotunjit prin mrire.

T af

Verificarea1. Se dau: fora T seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2. Se determin, din tabelul de materiale, rezistena admisibil af 3. Se calculeaz efortul unitar efectiv din bar:

ef

4. Se compar cele dou eforturi unitare Dac: ef af ef > af

T S ef

bara verific bara nu verific

Determinarea forei capabile1. Se dau: seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2. Se determin, din tabelul de materiale, rezistena admisibil af 3. Se calculeaz fora capabil a barei, care reprezint valoarea maxim posibil pentru bar:cap ef af ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Forfecarea 40

T

S

VII. 4. 2. Condiia de rigiditateConsiderm c se impune o valoare admisibil pentru lunecare Sa, care apare n toate cazurile.

Dimensionarea1. Se dau: fora T distana dintre fore t 2. Se alege un material pentru care se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate transversal G 3. Se calculeaz seciunea necesar, care reprezint valoarea minim posibil pentru bar:

S nec

4. Valoarea obinut se convertete la seciunea unui profil standardizat, rotunjit prin mrire.

Tt G S a

Verificarea1. Se dau: fora T distana dintre fore t seciunea efectiv a barei Sef materialul barei 2. Se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate transversal G 3. Se calculeaz scurtarea efectiv a barei:

S ef 4. Dac:

Tt S ef G Sef Sa bara verific Sef > Sa bara nu verific

Determinarea forei capabile1. Se dau:

distana dintre fore t seciunea efectiv a barei Sef materialul barei

2. Se determin, din tabelul de materiale, modulul de elasticitate transversal G 3. Se calculeaz fora capabil a barei, care reprezint valoarea maxim posibil pentru bar:

N cap

S ef G S a t

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Forfecarea 41

VII. 5.

Sinteza solicitrii Legea lui Hooke (domeniul elastic) G Tt G S S

Felul calculului Dimensionarea Verificarea Determinarea forei capabile

Condiia de rezisten

Condiia de rigiditateS nec S ef Tcap

S nec ef

T af

Tt G S a

T af S ef

Tt S a S ef GS ef G S a t

Tcap S ef af

VII. 6. Aplicaii I. S se dimensioneze niturile mbinrii din figur cunoscnduse c fora = 20.000 N

Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1. Fora tietoare este T = 20.000 N 2. Alegem pentru nituri, din Tabelul nr. 1 oelul carbon OL 37, pentru care apreciem rezistena

af = 1003. Calculm seciunea necesar:

S nec S nec

20.000 100 200 mm 2

Deoarece avem patru nituri, calculm seciunea necesar unui nit:

Snec .nit

200 50 mm2 4

4. Calculm diametrul necesar unui nit:

dnec.nit 4 50 dnec.nit 7,98 mm________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Forfecarea 42

Rotunjim valoarea obinut la dimensiunea standardizat cea mai apropiat:

dnit = 8 mm II. S se verifice mbinarea sudat din figur, avnd datele alturate: = 30.000 Nls = 60 mm a = 3,5 mm s = 5 mm

afs = 80

Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1. Calculm seciunea efectiv a sudurii; la sudurile de col ea se afl n planul ce conine nlimea a:

Sef = 2 (3,560) = 420 mm22. Calculm efortul unitar transversal efectiv n sudur:

ef

30.000 420 N mm 2

ef 71,4

3. Comparm cele dou eforturi unitare:

71,4 < 80Bara verific.

III. S se determine fora tietoare capabil pentru asamblarea cu tift din figur, avnddatele alturate: d = 10 mm g = 10 mm materialul tiftului OL 70

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Forfecarea 43

Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1. Calculm seciunea efectiv n care are loc solicitarea:

Din Tabelul nr.1 apreciem pentru OL 70 afs = 180 2. Calculm fora tietoare capabil:

102 Sef 2 157,08 mm2 4

Tcap 157,8 180 Tcap 28.270N

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Forfecarea 44

VIII. MOMENTE DE INERIE, MODULE DE REZISTENVIII. 1. Mrimi utilizateSimbolul Denumirea raza de inerie fa de axa y raza de inerie fa de axa z distana dintre dou axe paralele distana de la centrul de coordonate (polul) O la centrul elementuluila centrul de coordonate (polul) O la centrul distana de de suprafa S elementului de suprafa cel mai deprtat (fibra extrem) distana de la centrul de greutate G la axa y distana de la marginea seciunii la axa y distana de la centrul de greutate G la axa z distana de la marginea seciunii la axa z suprafaa plan (seciunea) element de suprafa momentul static fa de axa y momentul static fa de axa z modulul de rezisten polar modulul de rezisten axial fa de axa y modulul de rezisten axial fa de axa z modulul de inerie polar modulul de inerie axial fa de axa y modulul de inerie axial fa de axa z modulul de inerie axial fa de axele y i z Unitatea de msur mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm2 mm2 mm3 mm3 mm3 mm3 mm3 mm4 mm4 mm4 mm4

iy iz l r rmax yg ymax zg zmax S S Sy Sz Wp Wy Wz Ip Iy Iz Iyz

VIII. 2. Generalitintindereacompresiunea i forfecarea sunt solicitri la care eforturile tind s dea translaii seciunilor. Solicitrile de ncovoiere i rsucire, care urmeaz, sunt produse de eforturi care tind s dea rotaii seciunilor. n situaia cnd o seciune are tendina de rotaie intervin caracteristici geometrice specifice, care trebuie studiate n prealabil; ele vor apare n cursul definirii solicitrilor de ncovoiere i rsucire dar le vom folosi i n alte situaii (flambajul).

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Momente de inerie 45

VIII. 3. Momente staticeConsiderm o suprafa plan S mprit n elemente mici de suprafa (S), avnd coordonatele cunoscute. Considerm cunoscute i coordonatele centrului de greutate G al suprafeei. Prin definiie, momentul static al elementului de suprafa S n raport cu axa z este produsul yS. Momentul static al unei suprafee n raport cu o ax este egal cu produsul dintre aria suprafeei i distana de la centrul de greutate al acesteia la axa respectiv.

S z y S y G SS

S y z S z G SS

ObservaiiDac axa trece prin centrul de greutate al suprafeei momentul static este nul. Dac suprafaa plan este o figur compus, ea se descompune n figuri geometrice simple. Momentul static total este suma momentelor statice pariale.

VIII. 3. 1. Aplicaii Momentul static al unui dreptunghiConsiderm dreptunghiul bxh Pentru fia S:

SzS b t y

b h2 Sz 2 h b2 Sy 2

Pentru dreptunghi:

Valorile pariale se pot pune ntro diagram care d variaia momentului static.

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Momente de inerie 46

Momentul static al unei figuri compuse

S z S1 y 1 S 2 y 2 S 3 y 3 S y z S1 S 2 S 3

VIII. 4. Momente de inerieMomentele de inerie pot fi: - axiale (fa de o ax) - centrifuge (fa de dou axe) - polare (fa de un punct)

VIII. 4. 1. Momente de inerie axialePrin definiie momentul de inerie axial al elementului de suprafa S fa de axa z este produsul

y2S.Momentul de inerie axial al unei suprafee este dat de suma produselor y S pentru ntreaga suprafa, raportat la axa respectiv (z).2

I z y 2 SS

I y z 2 SS

ObservaieMomentele de inerie axiale sunt ntotdeauna pozitive. Dac sistemul de axe

yOz trece prin centrul de greutate al suprafeei, momentele de inerie calculate nraport cu aceste axe se numesc momente de inerie principale (centrale).

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Momente de inerie 47

VIII. 4. 2. Momente de inerie centrifugePrin definiie, momentul de inerie centrifug al elementului de suprafa S din figura precedent, fa de axele y i z, este dat de produsul yzS. Momentul de inerie centrifug al suprafeei S fa de axele y i z este dat de suma produselor

yzS ale suprafeei.I yz y z SS

ObservaieMomentele de inerie pot fi pozitive, negative sau nule.

VIII. 4. 3. Momente de inerie polareNe referim la figura precedent i considerm drept pol punctul de intersecie al celor dou axe. Prin definiie, momentul de inerie polar al elementului de suprafa S este dat de produsul

r2S.Momentul de inerie polar al suprafeei S fa de polul O este dat de suma produselor r S ale suprafeei.2

I p r 2 SS

ObservaiiMomentul de inerie polar este ntotdeauna pozitiv. Momentul de inerie polar este egal cu suma momentelor de inerie axiale fa de dou axe perpendiculare ce trec prin pol.

VIII. 4. 4. Variaia momentelor de inerie axiale n raport cu dou axe paraleleConsiderm suprafaa din figur idou axe paralele z i z1. Putem scrie momentele de inerie axiale fa de cele dou axe:

I z y 2 SS 2 I z y 1 S1

S

Avem: y1 = y + l Putem scrie:1

I z y l S2 S

I z y 2 S 2 y l S l 2 S1

S

S

S

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Momente de inerie 48

I z I z 2l S z l 2 S1

ecuaia lui Steiner

Dac axa z trece prin centrul de greutate al suprafeei, cota yG = 0

Iz Iz l2 S1

Steiner

ObservaieCel mai mic moment de inerie axial al unei suprafee se obine fa de o ax ce trece prin centrul de greutate al suprafeei.

VIII. 5. Raze de inerie Raza de inerie este o caracteristic geometric a suprafeei. Se determin cu relaiile: Iy 2 i y S S i y I y 2 S i z I z i I z z S Raza de inerie este distana fictiv la care se gsete suprafaa, astfel ca produsul dintreptratul razei de inerie i suprafa s fie egal cu momentul de inerie.

VIII. 6. Module de rezisten Modulul de rezisten al unei suprafee n raport cu o ax este raportul dintre momentul deinerie i distana de la marginea seciunii la ax. Modulele de rezisten axiale au relaiile:

Wz Wy

Iz y max Iy z max

n mod asemntor putem scrie o relaie pentru modulul de rezisten polar:

Wp

Ip rmax

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Momente de inerie 49

VIII. 7. Momente de inerie i module de rezisten pentru unele suprafee geometrice simple Tabelul nr.2FIGURA GEOMETRIC 0 Momentul de inerie fa de Axa z 1 Axa y 2 Distana de la marginea seciunii laAxa z Axa y

Modulul de rezisten fa de Axa z 5 Axa y 6

3

4

y

h

z

IZ

b h3 h b3 IY 12 12

z max

b h b h2 h b2 y max WZ WY 2 2 6 6

b ya4 IZ IY 12

z

a

z max y max

a 2

a3 WZ WY 6

y

d z

d4 IZ IY 64

z max y max

d 2

d3 WZ WY 6

y4 4 D4 d 4 z y D WZ WY D d max max IZ IY 32D 2 64

d D z

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Momente de inerie 50

ObservaiePentru solicitrile de ncovoiere i rsucire se confecioneaz semifabricate ale cror seciuni au cele mai mari momente de inerie i module de rezisten la cele mai mici consumuri de material. Pentru ncovoiere avem profilele I i U, la care se dau n tabele specifice valorile momentelor de inerie i modulelor de rezisten.

Tabelul nr.3y b d h z h nlimea b limea d grosimea inimii S aria seciunii G masa teoretic

Mrimile statice fa de axa

zSimbolI8 I 10 I 12 I 14 I 16 I 18 I 20 I 22 I 24 I 26 I 28 I 30

yizcm 3,20 4,01 4,81 5,61 6,40 7,20 8,00 8,80 9,59 10,4 11,1 11,9

hmm 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

bmm 42 50 58 66 74 82 90 98 106 113 119 125

dmm 3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9 7,5 8,1 8,7 9,4 10,1 10,8

Smm 758 1.060 1.420 1.830 2.280 2.790 3.350 3.960 4.610 5.340 6.110 6.9102

Gkg/m 5,95 8,32 11,2 14,4 17,9 21,9 26,3 31,1 36,2 41,9 48,0 54,2

Izcm 77,8 171 328 573 935 1.450 2.140 3.060 4.250 5.740 7.590 9.8004

Wzcm 19,5 34,2 54,7 81,9 117 161 214 278 354 442 542 6533

Iycm 6,29 12,2 21,5 36,2 54,7 81,3 117 162 221 288 364 4514

Wycm 3,00 4,88 7,41 10,71 14,8 19,8 26,0 33,1 41,7 51,0 61,2 72,23

iycm 0,91 1,07 1,23 1,40 1,55 1,71 1,87 2,02 2,20 2,32 2,45 2,56

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor Momente de inerie 51

IX. NCOVOIEREAIX. 1. Mrimi utilizateSimbolul Denumirea distana de la fora N la reazemul A distana de la fora N la reazemul B distana de la punctul P la direcia forei lungimea barei alungirea raza de giraie (raza de curbare a axei barei) distana de la axa barei la o fibr oarecare distana de la axa barei la fibra cea mai deprtat unghiul la centru ntre dou seciuni apropiate ale barei ncovoiate seciunea efectiv seciunea necesar modulul de rezisten axial al seciunii modulul de rezisten axial efectiv modulul de rezisten axial necesar momentul de inerie al seciunii momentul de inerie al seciunii fibrei fa de axa neutr fora fora normal (axial) fora tietoare (transversal) reaciunea n reazemul A reaciunea n reazemul B momentul ncovoietor momentul ncovoietor maxim momentul ncovoietor pe fibr momentul static al seciunii fibrei fa de axa neutr alungirea specific efortul unitar la ntindere efortul unitar admisibil la ncovoiere (rezistena admisibil) efortul unitar la compresiune Unitatea de msur mm mm mm mm mm mm mm mm grad mm2 mm2 mm3 mm3 mm3 mm4 mm4 N N N N N Nmm Nmm Nmm mm3

a b d l l rg y ymax Sef Snec Wz Wz.ef Wz.nec Iz Izf F N T RA RB M Mmax Mf Msf

ai c

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 52

ef max t E

efortul unitar efectiv efortul unitar maxim efortul unitar la traciune (ntindere) modulul de elasticitate longitudinal

IX. 2. GeneralitiO bar dreapt se consider solicitat la ncovoiere cnd eforturile ntro seciune oarecare tind s dea acesteia o rotaie, n jurul unei axe coninute n planul seciunii.

Ilustrare

Momentul ncovoietor component a efortului, care tinde s dea unei seciuni o rotaien jurul unei axe coninute de planul seciunii.

Momentul unei fore fa de un punct este dat de produsul dintre for i distana cea maiscurt de la punct la direcia forei.

M FdMomentul este o mrime vectorial ca i fora dar pentru cazurile noastre, cu o singur direcie a forelor, l vom nota n continuare fr semnul specific. Ca i la celelalte solicitri, se poate pune n eviden o legtur ntre efort i deformaie.

Ilustrare

P d F

Pentru ilustrare, reprezentm la scar mrit o bar solicitat la ncovoiere.

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 53

ObservaiiConsiderm bara format din fibre paralele cu axa i dou plane transversale,

AA i BB, care limiteaz sectorul studiat.Sub aciunea momentului ncovoietor fibrele superioare se comprim iar cele inferioare se lungesc. Fibra medie (axa barei) rmne neutr deoarece trecerea de la ntindere la compresiune se face prin punctul zero. Considerm c fibra neutr se curbeaz dup un arc de cerc, a crui raz este rg. Conform ipotezei lui Bernoulli, cele dou seciuni marcate (AA i BB) rmn plane i n timpul ncovoierii. Lum un segment oarecare de fibr mn, pentru care vom deduce legea lui Hooke, ca i la ntindere. Reprezentm planul A A , paralel cu planul A A , pentru a ilustra alungirea fibrei mn fa de poziia nesolicitat. Alungirea specific a fibrei este:II II I I

l nnI y y l mn rg rg y E rg

Considerm ndeplinit condiia de elasticitate:

E

Deoarece asupra fibrei lucreaz numai ncovoierea, nu avem fore axiale: ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 54

N 0 N S y E S E y S f f f rg rg E y Sf 0 0 rezult c Pentru c rgProdusul reprezint momentul static al seciunii fibrei fa de axa neutr:

y Sf MsfPentru bar vom scrie:

N

adic momentul static al seciunii barei fa de axa neutr este nul, ceea ce confirm faptul c axa neutr trece prin centrul de greutate al seciunii. Determinm mrimea momentului ncovoietor pe fibr:

E y S 0 rg

y S 0

y E M f Sf y E Sf y y 2 Sf r rProdusul y Sf reprezint momentul de inerie al seciunii fibrei fa de axa neutr:2foro g g

y 2 S f I zf

Avem sistemul de ecuaii:

E M f I zf rg E rg y din care rezult:

Mf

Pentru bar vom scrie:

I zf y

ecuaia lui Navier

E E M M f y 2 S I z rg rg E rg y din care rezult:

M

Iz y

sau

M y Iz

ecuaia lui Navier

Formula Navier ne d efortul unitar ntro fibr oarecare, ns efortul maxim se produce la extremiti fa de fibra neutr:

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 55

M y max Iz Iz Wz Notm raportul y max max

i rezult:

max

M Wz

Am obinut formula de baz pentru calculul la ncovoiere.

ObservaiiCa i la ntinderecompresiune, efortul unitar este dat de raportul dintre solicitare i elementele seciunii. Formula Navier se aplic la bare ale cror seciuni au o ax de simetrie, cu sarcini coninute n planul de simetrie. Axa neutr de la care se msoar trece prin centrul de greutate al seciunii i este perpendicular pe axa de simetrie a acesteia.

IX. 3. ReazemeBarele solicitate la ncovoiere au legturi cu alte elemente, datorit crora au o anumit poziie.

Reazem legtur care constrnge o pies s rmn n contact cu alt pies.Clasificarea reazemelor se face n funcie de numrul constrngerilor la care este supus micarea unei piese n legtur cu alt pies.

Reazemul simplu constrnge bara s rmn n contact cu un punct pe suprafaa altuielement. Permite rotaia i translaia.

Articulaia constrnge bara s rmn cu o ax n contact permanent cu alt ax, fix nspaiu. Permite rotaia.

ncastrarea constrnge bara s rmn cu o extremitate fixat n alt element.Nu permite nici o micare.

Ilustrare

reprezentare detaliat

reprezentare convenional

Reazemul simplu

Articulaia

ncastrarea

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 56

Exemple de bare rezemateI II III bar cu reazem simplu la un capt i articulaie la cellalt bar n consol, ncastrat la un capt bar articulat la ambele capete

n mod obinuit vom folosi prima bar ca model, fiind cea mai convenabil; reazemul simplu la un capt i articulaia la cellalt capt permit ncovoierea fr a mai introduce i alte solicitri. Pentru simplificare, o vom numi bara standard. Deoarece studiem numai bare drepte, cu fore perpendiculare pe ele (tietoare) ce acioneaz n centrele de greutate ale seciunilor, putem reprezenta barele sub form de linii continue care simbolizeaz axele barelor.

IX. 4. ReaciuniCa urmare a solicitrilor exterioare pe bare, n reazemele lor apar reaciuni (fore i momente), care depind de tipul reazemului (Vezi paragraful II. 3.):

Reazem mobil Fore tietoare

Reazem fix Fore normale Fore tietoare

ncastrare Fore normale Fore tietoare Momente o bar standard, pe care

Considerm

acioneaz fora T n punctul 1. Cunoatem mrimea forei, de asemenea lungimile a i b. Ce mrime au reaciunile n reazemele A i B?

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 57

Reprezentm reaciunile RA i RB ca fiind de sens opus forei T. Avem dou necunoscute, deci trebuie s stabilim dou ecuaii. Pentru a determina mrimea reaciunilor vom utiliza o lege a fizicii, legea echilibrului.

IX. 4. 1. Legea echilibrului forelorSuma tuturor forelor care acioneaz bara este zero. Pentru a scrie ecuaia trebuie precizat regula semnului: Se consider pozitiv fora ndreptat n sus. Scriem toate forele, de la stnga la dreapta i obinem ecuaia echilibrului forelor:

+ RA T + RB = 0 sau RA + RB = TIX. 4. 2. Legea echilibrului momentelorSuma tuturor momentelor, fa de acelai punct, este zero. Pentru a scrie ecuaia trebuie precizat regula semnului: Se consider pozitiv momentul care tinde s roteasc n sens orar fa de punct. n principiu, putem alege orice punct pentru a scrie legea echilibrului momentelor. Cele mai convenabile sunt ns reazemele, pe care le considerm fixe. Fa de reazemul A:

M

A

0

T a RB l 0 a l M B 0 RB T RB l T b 0 RA T b l

Fa de reazemul B:

ObservaiiAm obinut valorile celor dou reaciuni fr a mai utiliza ecuaia echilibrului forelor. n practic reaciunile se calculeaz cu ecuaiile echilibrului momentelor i se face verificarea cu ecuaia echilibrului forelor. Am putut scrie ecuaiile echilibrului cunoscnd sensul reaciunilor (opuse sensului forei T). ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 58

Care este sensul reaciunilor cnd pe bar acioneaz mai multe fore tietoare?

Se pot reprezenta sensurile reaciunilor

RA i RB din figura alturat?

Cnd pe bar acioneaz mai multe fore, nu cunoatem sensurile reaciunilor i procedm n felul urmtor: 1. Se reprezint reaciunile la ntmplare (n sus sau n jos). 2. Se calculeaz reaciunile cu ecuaiile echilibrului momentelor, fa de reazeme. a. Dac, n urma calculului, o reaciune rezult cu semnul + nseamn c am reprezentato corect. b. Dac, n urma calculului, o reaciune rezult cu semnul nseamn c am reprezentato greit i inversm doar sensul ei pe desen (fr a reface calculele, deoarece valoarea este corect). 3. Se face verificarea cu ecuaia echilibrului forelor.

IX. 4. 3. AplicaieS se determine reaciunile pentru bara din figura alturat. Ca i n celelalte cazuri, msurm

T [N] i l [mm]

1. Se reprezint reaciunile la ntmplare Lum: RA pozitiv

RB negativ

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 59

2. Se calculeaz reaciunile cu ecuaiile echilibrului momentelor:

M

A

0 :1.000

10.000 100 20.000 500 30.000 700 R B 1.000 0 1.000 10.000 21.000 R B 0 R B 12.000 N

M

B

0 :1.000

R A 1.000 10.000 900 20.000 500 30.000 300 0 R A 9.000 10.000 9.000 0 R A 8.000 NRA a rezultat pozitiv, nseamn c am reprezentato corect.

RB a rezultat negativ, nseamn c am reprezentato invers; modificm sensul forei pe desen.

1. Se face verificarea cu ecuaia echilibrului forelor:

+8.000 10.000 +20.000 30.000 +12.000 = 0 0=0 IX. 5. Diagrama forelor tietoareDac asupra unei bare drepte acioneaz mai multe fore tietoare, este necesar s construim diagrama forelor tietoare, care s ne arate valoarea forei tietoare n fiecare seciune.

Pentru bara din figura alturat, ce valoare are fora tietoare din

punctul R?

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 60

IX. 5. 1. Reguli de trasare1. Diagrama se traseaz la o scar a forelor. 2. Diagrama este format din linii orizontale, care fac un salt n dreptul forelor tietoare. 3. Deasupra liniei de referin diagrama se consider pozitiv. OBSERVAIE Construcia diagramei ncepe din stnga, de pe linia de referin.

IX. 5. 2. AplicaieS se traseze diagrama forelor tietoare pentru bara reprezentat mai sus. 1. Vom reprezenta forele tietoare la scara 10.000 N = 1 cm.

Rspuns: n punctul R avem fora TR = 2.000 N .

ObservaiiPornind de la construcia diagramei din stnga, de pe linia de referin (linia 0) trebuie s ajungem la captul din dreapta tot pe linia de referin, pentru a respecta legea echilibrului forelor. Cnd avem fore tietoare concentrate, diagrama forelor tietoare este format din valori constante pe intervale (linii orizontale).

IX. 6. Diagrama momentelor ncovoietoareCa urmare a forelor tietoare, n lungul barei avem diferite valori ale momentului ncovoietor. Este necesar s construim diagrama momentelor ncovoietoare, care s ne arate valoarea momentului ncovoietor n fiecare punct al barei. ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 61

IX. 6. 1. Reguli de trasare1. Diagrama se traseaz la o scar a momentelor. 2. Diagrama este format din linii drepte, care se frng n dreptul unei fore. 3. ntrun punct oarecare al barei, momentul ncovoietor este egal cu suma momentelor din stnga punctului sau cu suma momentelor din dreapta punctului cu semn schimbat. 4. Deasupra liniei de referin diagrama se consider negativ.

Observaiin calcule se respect regula semnului pentru momente, pe care am stabilito la legea echilibrului momentelor. Pe diagram momentul se va reprezenta ca un vector perpendicular pe linia de referin.

IX. 6. 2. AplicaieConsiderm bara din aplicaia de la diagrama forelor tietoare. Practic, pentru a trasa diagrama momentelor ncovoietoare calculm momentul ncovoietor n fiecare punct n care acioneaz o for.

MA = 0 M1 = +8.000100 = 800.000 M2 = +8.000500 10.000400 M2 = 0 M3 = (12.000300) M2 = +360.000 MB = 0 Ca i n celelalte cazuri,

M [Nmm]

Am reprezentat diagrama momentelor ncovoietoare sub diagrama forelor tietoare, alegnd ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 62

scara: 100.000 Nmm = 1 mm

ObservaieSe justific acum de ce valorile pozitive se reprezint sub linia de referin ele ilustreaz astfel i deformaia barei.

A

1

2

3

B

IX. 7. Calculul la ncovoiereFormula de baz pentru calculul la ncovoiere este:

max

Avem o relaie ntre trei mrimi, fiecare dintre ele putnd fi necunoscut. Ca i la celelalte solicitri, apar trei variante de calcul:

M WZ

Dimensionarea, n care necunoscut este seciunea barei Verificarea, n care necunoscut este efortul unitar al seciunilor unei bare date Determinarea momentului ncovoietor capabil, n care necunoscut estemomentul ncovoietor pe care l poate suporta o bar dat

ObservaieAceast variant de calcul se bazeaz pe condiia de rezisten, adic pe cunoaterea rezistenei admisibile. Pentru o bar solicitat la ncovoiere pur deformaia are loc dup un arc de cerc de raz rg.

1 M const. rg E I z

Produsul EIz se numete rigiditate la ncovoiere.

IX. 8. Mersul calculelorIX. 8. 1. Condiia de rezisten Dimensionarea1. Se reprezint toate elementele barei. 2. Se reprezint reciunile la ntmplare. ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 63

rg

3. Se calculeaz reaciunile cu ecuaiile echilibrului momentelor, fa de reazeme. (Dac din calcul o reaciune rezult cu semnul se inverseaz sensul ei pe desen) 4. Se face verificarea cu ecuaia echilibrului forelor. 5. Se traseaz diagrama forelor tietoare. 6. Se calculeaz momentul ncovoietor n fiecare punct n care acioneaz o for. 7. Se traseaz diagrama momentelor ncovoietoare. 8. Se scoate cel mai mare moment ncovoietor din diagram, indiferent de semn (Mmax). 9. Se aleg un material pentru care se determin, din tabelul de materiale (Tabelul nr.1), rezistena admisibil ai. 10. Se calculeaz modulul de rezisten axial necesar barei:

WZnec axial (Tabelul nr.2).

11. Se alege o form optim de seciune pentru care se cunoate formula modulului de rezisten (Sau se alege un profil, din tabelul de profile standardizate Tabelul nr.3) 12. Se calculeaz dimensiunile seciunii alese, rotunjindule prin mrire. (Sau se stabilete profilul standardizat care are valoarea modulului de rezisten axial acoperitoare)

M max ai

Verificarea1. Se reprezint toate elementele barei. 2. Se stabilete, din tabelul de materiale (Tabelul nr.1), rezistena admisibil ai. 3. Se reprezint reciunile la ntmplare. 4. Se calculeaz reaciunile cu ecuaiile echilibrului momentelor, fa de reazeme. (Dac din calcul o reaciune rezult cu semnul se inverseaz sensul ei pe desen) 5. Se face verificarea cu ecuaia echilibrului forelor. 6. Se traseaz diagrama forelor tietoare. 7. Se calculeaz momentul ncovoietor n fiecare punct n care acioneaz o for. 8. Se traseaz diagrama momentelor ncovoietoare. 9. Se scoate cel mai mare moment ncovoietor din diagram, indiferent de semn (Mmax). (Dac bara are mai multe mrimi de seciuni, pot s existe mai multe seciuni periculoase i facem verificarea pentru toate) 10. Se determin modulul de rezisten axial al seciunii n care acioneaz momentul ncovoietor maxim Wz. (Sau modulele de rezisten axiale ale seciunilor considerate periculoase) 11. Se calculeaz efortul unitar efectiv n seciune: ________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 64

ef Dac: ef ai ef > ai

M max WZbara verific bara nu verific

12. Se compar cele dou eforturi unitare:

Determinarea momentului capabil1. Se reprezint toate elementele barei. 2. Se stabilete, din tabelul de materiale, rezistena admisibil ai. 3. Se determin modulul de rezisten axial al seciunii n care dorim s aflm momentul ncovoietor WZef valoare efectiv. 4. Se calculeaz momentul ncovoietor capabil:

Mcap ai WZefIX. 9. Sinteza solicitrii Legea lui Hooke (domeniul elastic) Felul calculului Dimensionarea Verificarea Determinarea momentului capabil IX. 10. Aplicaii I. S se dimensioneze la ncovoiere bara din figur: Ilustrare 30.000 M WZ1 M rg E I Z

Condiia de rezisten

WZ

M max S nec ai M ef max ai WZ M cap ai WZef

20.000 200 400

20.000 300 100

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 65

Rezolvare: Problema se bazeaz pe condiia de rezisten. 1. Reprezentm toate elementele barei notm reazemele i punctele de aplicaie ale forelor. 2. Reprezentm reciunile la ntmplare RA pozitiv i RB negativ.

Ilustrare 30.000 RA A RB B

1 20.000 200 400

2

3 20.000 300 100

3. Calculm reaciunile cu ecuaiile echilibrului momentelor, fa de reazeme.

M

A

0

20.000 200 30.000 600 20.000 900 R B 1.000 0 4.000 18.000 18.000 R B 0 R B 4.000 N Reaciunea RB a rezultat pozitiv, nseamn c este reprezentat corect n jos. M B 0 R A 1.000 20.000 800 30.000 400 20.000 100 0 R A 16.000 12.000 2.000 0

:1.000

:1.000

R B 6.000 N Reaciunea RA a rezultat negativ, nseamn c am reprezentato greit n sus; corectmdesenul, reprezentnd pe RA n jos.

Ilustrare 30.000 6.000 A 1 20.000 200 400 2 3 20.000 300 100 4.000 B

________________________________________________________________________________ Rezistena materialelor ncovoierea 66

4. Facem verificarea cu ecuaia echilibrului forelor:

6.000 +20.000 30.000 +20.000 4.000 = 0 +4.000 4.000 = 05. Trasm diagrama forelor tietoare: Stabilim scara forelor: 1.000 N = 1 mm

6. Se calculeaz momentul ncovoietor n fiecare punct n care acioneaz o for:

MA = 0 M1 = 6.000200 = 1.200.0