Universidad Tecnologica del Cibao Oriental(UTECO)

Manual de Matematica Basica II

Lic. Efrain Martinez GabinoLic. Jose Miguel Gomez Guzman

Colaboracion deLic. Juana Vasquez Rodrguez

2015cotu, Sanchez Ramrez, Rep. Dom.

Indice general

Introduccion 7

1. Funciones Exponencialesy Logartmicas 9

1.1. Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Funciones logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Leyes de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Ecuaciones logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Trigonometra deltrangulo 15

2.1. Angulos y sus mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Funciones trigonometricas de angulos agudos en triangulo rectangulos . . . . . . 15

2.3. Aplicacion de la trigonometra a triangulo rectangulo . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4. Funciones trigonometrcas de angulos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5. Ley del seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6. Ley del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones 17

3.1. Sistemas de ecuaciones lineales de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2. Sistemas de inecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3. Problemas de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Matrices 19

4.1. Introduccion a las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2. Algebra de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4. Matrices inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.5. Sistemas de ecuaciones: uso de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3

4 INDICE GENERAL

Bibliografa 21

Presentacion 5

Universidad Tecnologica del Cibao Oriental(UTECO)

Universidad Patrimonio de la Comunidad

Escuela de Matematica y Fsica

Manual de Practicas de Matematica Basica II

Nombre y Apellidos:

Matrcula:

Profesor:

Trimestre:

Seccion:

6 Presentacion

Introduccion

La matematica, es una de las ciencias exactas mas utilizada en la vida diaria, pero conel tiempo se ha convertido en el dolor de cabeza de muchos estudiantes, sin importar elgrado en que este se encuentre. Es comun hoy en da escuchar a los estudiantes decir: Nome gustan las matematicas, no he nacido para esto, estudio una carrera donde no veo eluso de numeros complicados, no entiendo lo que el profesor me explica

Si en alguna ocasion ha pasado por su mente alguna de las ideas mencionadas anterior-mente piensa en tomar las siguientes sugerencias:a) Asegurese de tener al menos una hora al da para dedicarse a estudiar ma-tematica.

b) Acostumbrese con el vocabulario.

Busque un diccionario matematico. Muchas areas de las matematicas requieren saber unacierta cantidad de vocabulario y es menos frustrante el poder revisar rapidamente lossignificados.

c) Consigue al menos dos libros de referencia en teora.

De esta forma, tendras dos diferentes explicaciones, y una de las explicaciones puede quetenga mejor sentido que el otro para ti, o una combinacion de ambos, te pueden ayudara entenderlo mas facilmente.

d) Aborda los temas junto a sus prerrequisitos.

Muchos de los conceptos estan relacionados y sabiendo uno te puede ayudar a entender elotro. Si no entendiste el concepto de algo como deberas haberlo hecho, entonces, dedcateun tiempo para revisitar y aprender un poco mas y luego combnalo con el concepto nuevo.Generalmente, el concepto nuevo ayudara al concepto antiguo a que quede en tu mente.

e) Practica con muchos problemas.

Haz todos los problemas que puedas y que tengas en tu disposicion - incluso los problemasmas avanzados de tu nivel. Esto te asistira a tener un buen pensamiento de los temas y

7

8 Introduccion

te permitira que las matematicas te sean como una segunda naturalezapara ti.

f) Siempre pide ayuda si no sabes como hacer algo. Y nunca te detengas a intentaraprender algo solo porque piensas que es difcil.

g) Algunos consejo importante

La frustracion es parte del proceso, as que no te des por vencido solo porque tienesun mal momento al entender algun concepto.

Revisa todos los temas basicos todos a la vez, y dedcate una hora cada da a apren-der.

Un buen tutor una vez a la semana te puede ayudar a fortalecer tus matematicas.Asegurate que tu tutor sea bueno en entender y pueda expresar bien los conceptos.

Practica regularmente, que te facilitara mas adelante.

Y para eso le dejaremos este pequeno manual en su mano para que empiece a encaminaseen el estudio de las matematicas.

Captulo 1

Funciones Exponencialesy Logartmicas

1.1. Funciones exponenciales

Sea b > 0 y b 6= 1 un numero real. A una funcion de la forma f(x) = bx se le llama funcionexponencial con base b. La x puede asumir cualquier valor real por lo que el dominio delas funciones exponenciales es el conjunto de los numeros reales, R = (,).Como la b > 0 y b 6= 1 los resultados al evaluar las funciones exponenciales son numerospositivos por lo tanto el alcance sera, A = (0,). Si b = 1 la funcion sera f(x) = 1 unafuncion constante, que no es exponencial.

Ejemplo 1. Grafica para b > 1. Graficar la funcion f(x) = 3x

Solucion Primero se hace una tabla de algunos valores de la funcion que correspondana valores preseleccionados de x. Como se ve en la FIGURA 1.1, se graficaron los puntoscorrespondientes que se obtuvieron de la tabla, y se unieron con una curva continua. La

9

10 1.1. Funciones exponenciales

grafica muestra que f es una funcion creciente en el intervalo (,).

x 3 2 1 0 1 2f(x) = 3x 1

2719

13

1 3 9

figura 1.1: Grafica de la funcion del ejemplo 1

Ejemplo 2. Grafica para 0 < b < 1. Graficar la funcion f(x) = (13)x

Solucion Procedemos com en el ejemplo 1y formamos una tabla de algunos valores de lafuncion que correspondan a valores preseleccionados de x. Por Ejemplo notese que, segunlas leyes de los exponentes,

f(2) =(

1

3

)2= (3)2 = 9

Como se ve en la FIGURA 1.2, se graficaron los puntos correspondientes que se obtuvie-ron de la tabla, y se unieron con una curva continua. La grafica muestra que f es unafuncion decreciente en el intervalo (,).

x 3 2 1 0 1 2f(x) = 3x 27 9 3 1 1

319

figura 1.2: Grafica de la funcion del ejemplo 2

1. Funciones Exponencialesy Logartmicas 11

1.2. Funciones logartmicas

Debido a que una funcon exponencial y = bx es uno a uno, debe tener una funcion inversa. Para determinar esta inversa se intercambian las variables x y y, y se obtiene x = by.Esta ultima formula define a y en funcion de x:y es el exponente de la base b que da como resultado x.Al sustituir la palabra exponente por la palabra logaritmo , se puede reformular esteultimo renglon como sigue:y es el logaritmo de la base b que da como resultado x.

Este ultimo renglon se abrevia con la notacion y = logb x y se llama funcion logartmica.

Para b > 0, no hay numero real y para el cual by pueda ser 0 o negativo. Por consiguiente,de acuerdo con x = by, se ve que x > 0. En otras palabras, el dominio de una funcionlogartmica y = logb x es el conjunto de los numeros reales positivos (0,). Para subrayartodo lo que se dijo en las frases anteriores:La expresion logartmica y = logb x y la expresion exponencial x = b

y son equivalentes.La tabla siguiente muestra algunos ejemplos de proposiciones equivalentes, exponencialesy logartmicas.

Propiedades La lista que sigue resume algunas de las propiedades importantes de lafuncion logartmica f(x) = logbx.

12 1.3. Leyes de los logaritmos

Deseamos llamar la atencion al tercer punto de la lista anterior:

logb 1 = 0 ya que b0 = 1

Tambien

logb b = 1 ya que b1 = b.

Ejemplo1: Grafica logartmica para b > 1 Graficar la funcion f(x) = log2 xSolucion Primero se hace una tabla de algunos valores de la funcion que correspondana valores preseleccionados de x. Como se ve en la FIGURA 1.3, se graficaron los puntoscorrespondientes que se obtuvieron de la tabla, y se unieron con una curva continua. Lagrafica muestra que f es una funcion creciente en el intervalo (,).x 0. 125 0. 25 0. 5 1 2 4 8

f(x) 3 2 1 0 1 2 3

figura 1.3: Grafica de la funcion del ejemplo 1

1.3. Leyes de los logaritmos

Se pueden modificar las leyes de los exponentes para indicar en forma equivalente lasleyes de los logaritmos . Para visualizarlo, supongamos que se escribe M = bx1 y N = bx2 .Entonces por definicion de logaritmo tenemos que: x1 = logbM y x2 = logbN . Luego setiene para:

El Producto: que MN = bx1+x2 . Expresado como logaritmo , esto es x1+x2 = logbMN .Se sustituyen x1 y x2 para llegar a

1

logbM + logbN = logbMN.

1logb(M +N) 6= logbM + logbN

1. Funciones Exponencialesy Logartmicas 13

El Cociente: que MN

= bx1x2 Expresado como logaritmo , esto es x1 x2 = logb MN . Sesustituyen x1 y x2 para llegar a

2

logbM logbN = logbM

N.

La Potencia: que M c = bcx1 . Expresado como logaritmo , esto es cx1 = logbMc. Se

sustituye x1 para obtenerc logb = logbM

c.

De manera General

1.4. Ecuaciones exponenciales

1.5. Ecuaciones logartmicas

1.6. Aplicaciones

2 logbM

logb N6= logbM logbN

14 1.6. Aplicaciones

Captulo 2

Trigonometra deltrangulo

Objetivos

2.1. Angulos y sus mediciones

2.2. Funciones trigonometricas de angulos agudos en triangulorectangulos

2.3. Aplicacion de la trigonometra a triangulo rectangulo

2.4. Funciones trigonometrcas de angulos generales

2.5. Ley del seno

2.6. Ley del coseno

15

16 2.6. Ley del coseno

Captulo 3

Sistemas de Ecuaciones eInecuaciones

3.1. Sistemas de ecuaciones lineales de dos variables

3.2. Sistemas de inecuaciones lineales

3.3. Problemas de aplicacion

17

18 3.3. Problemas de aplicacion

Captulo 4

Matrices

4.1. Introduccion a las matrices

4.2. Algebra de matrices

4.3. Determinantes

4.4. Matrices inversas

4.5. Sistemas de ecuaciones: uso de determinantes

19

20 4.5. Sistemas de ecuaciones: uso de determinantes

Bibliografa

21

22 4.5. Sistemas de ecuaciones: uso de determinantes

Bibliografa

[1] Tippen, paul E.(2011) Fsica conceptos y aplicaciones. 7ma edicion McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.

[2] Young, Hugh D. y Freedman, Roger A. (2009)Fsica universitaria volumen 1. 12da

edicion PEARSON EDUCACION, Mexico.

[3] Serway, Raymond A. y Jewett John W. , Jr.(2008), Fsica para ciencias e ingenieraVolumen 1, 7ma edicion, Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

[4] Giancoli, Douglas C. (2002)Fsica para universitarios volumen 1. 3ra edicion PEAR-

SON EDUCACION, Mexico.

[5] Buffa, Wilson(2003), Fsica, 5ta edicion PEARSON EDUCACION, Mexico.

[6] Arthur,Beiser(1991), Fsica Aplicada, 2da McGRAW-HILL/INTERAMERICANAEDITORES,Mexico S.A. DE C.V.

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