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Lgica. (Del lat. logca, y este del gr. ). 1. f. Ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento cientfico. formal, o ~ matemtica. 1. f. La que opera utilizando un lenguaje simblico artificial y haciendo abstraccin de los contenidos. Tomado http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=logica de:

La lgica es una ciencia formal y una rama de la filosofa que estudia los principios de la demostracin e inferencia vlida. La palabra deriva del griego antiguo (logike), que significa "dotado de razn, intelectual, dialctico, argumentativo", que a su vez viene de (logos), "palabra, pensamiento, idea, argumento, razn o principio". Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica La lgica matemtica es la disciplina que trata de mtodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lgico se emplea en matemticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computacin para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias fsica y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lgico para realizar cualquier actividad. Tomado de: http://www.mitecnologico.com/Main/Proposiciones Una Proposicin es una expresin u oracin declarativa con sentido completo que no depende de la persona, ni del espacio ni del tiempo. Toda proposicin tiene un valor de verdad que puede ser verdadero o falso pero no ambas a la vez, esto es una ley denominada ley del tercer excluido. La proposicin es el elemento fundamental de la lgica matemtica. Una proposicin se expresa generalmente con letra minscula, dos puntos y a continuacin la oracin. Algunos ejemplo de proposiciones validas o no validas son: p: La tierra es plana. q: 17 + 15 = 2 r: x > y-9 s: El Junior ser el prximo campen de Colombia.Manual de Lgica Lic. Esp. Jos F. Barros Troncoso 2

t: Buenos das w: Hoy es lunes v: Hace Calor x: Santa Marta es ms bonita que Valledupar

Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas. Las proposiciones simples estn formadas por una sola oracin y las compuestas por ms de una oracin y enlazadas por conectivos lgicos a saber: la negacin, disyuncin, conjuncin, condicional y bicondicional. La Negacin Si a una proposicin simple se le antepone la expresin no es cierto o se le interpone el adverbio no se forma una proposicin compuesta llamada la negacin de la proposicin principal. Se simboliza con p. Si p es una proposicin simple, la negacin de p se representa p y se lee no p. Equivalencias: No; No es cierto que; no es el caso que Tabla de verdad Utilizaremos los nmeros 1 y 0 para indicar que las proposiciones son verdaderas o falsas respectivamentep 1 0 p 0 1

Ntese que si la proposicin es verdadera su negacin es falsa y viceversa Ejercicio. Niegue cada una de las siguientes proposicionesa: La matemtica es la madre de todas las ciencias b, Colombia con la mejor democracia en Amrica Latina c. El hombre no es el nico animal racional d. No es cierto que todas las aves vuelan e. No hay nadie en casa

La Disyuncin Inclusiva es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposiciones simples. Se representa con el smbolo v se lee o. Si p y q son proposiciones simples la disyuncin de p y q se representa p v q se lee p o q.

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Tabla de verdad p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 pvq 1 1 1 0

Ntese que la disyuncin solamente es falsa si las dos proposiciones son falsas Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad si: a. r: Simn Bolvar era venezolano s: Simn Bolvar era colombiano.Entonces: r v s

b. p: La tierra es redonda q: La tierra es ovaladaEntonces: p v q

c. p: La ballena es un mamfero s: La ballena no tiene branquiasEntonces: p v s

d. p: El calentamiento global es consecuencia de que la tierra se acerca al sol s: El calentamiento global es consecuencia del nmero de habitantes de la tierraEntonces: p v s

e. p: La evolucin tecnolgica ha retrasado la evolucin del hombre s: La evolucin tecnolgica no aporta a la inteligencia del hombreEntonces: p v s

La Disyuncin Exclusiva Es un caso especial de disyuncin cuyo smbolo es v, que se diferencia del anterior en que solo es verdadera cuando una y solamente una de las proposiciones es verdadera.

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La Conjuncin es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposiciones simples. Se representa con el smbolo se lee y. Si p y q son proposiciones simples la conjuncin de p y q se representa p q se lee p y q. Equivalencias: Pero; Sin embargo; Adems; Aunque; A la vez; Negativas () No obstante, Ni Tabla de verdad p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 pq 1 0 0 0

Ntese que la conjuncin es verdadera solo cuando las dos proposiciones son verdaderas. Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad si: a. r: Simn Bolvar era venezolano s: Simn Bolvar lidero la libertad de las chilenos.Entonces: r s

b. p: La tierra es redonda q: La tierra es achatada en los polosEntonces: p q

c. p: La ballena tiene branquias s: La ballena es un mamferoEntonces: p s

d. p: La Sierra nevada de Santa Marta pertenece al Cesar s: La sierra nevada de Santa Marta no esta afectada por el calentamiento globalEntonces: p s

e. p: La evolucin tecnolgica ha retrasado la evolucin del hombre s: La evolucin tecnolgica no aporta a la inteligencia del hombreEntonces: p sManual de Lgica Lic. Esp. Jos F. Barros Troncoso 5

La Condicional es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposiciones simples. Se representa con el smbolo se lee Si..entonces. Si p y q son proposiciones simples el condicional de p y q se representa p q se lee Si p entonces q. Equivalencias: , Por lo tanto, si, dado que; siempre que; porque; en vista que Tabla de verdad

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pq 1 0 1 1

Ntese el condicional solo es falso cuando la primera proposicin es verdadera y la segunda es falsa. Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad si: a. r: Todos los peces son ovparos s: La ballena no es pezEntonces: r s

b. p: Colombia es el tercer pas ms rico en agua q: En Colombia no hay problemas con el consumo de aguaEntonces: p q

c. p: Colombia instalar bases militares de EEUU s: Venezuela rompe relaciones con ColombiaEntonces: p s

d. p: Los paramilitares devuelven las tierras s: No hay desplazados en ColombiaEntonces: p s

e. p: La evolucin tecnolgica ha mejorado el nivel de vida del hombre s: El hombre ha aprovechado la evolucin tecnolgicaEntonces: p s

f. p: El incremento de la inflacin sube las tasas de intersManual de Lgica Lic. Esp. Jos F. Barros Troncoso 6

s: El incremento de la inflacin trae inversionistas extranjerosEntonces: p s

Tipos de Condicionales Dado la condicional pq denominada condicional directa entonces se denomina: Contraria: la condicional p q Reciproca: la condicional q p Contra-reciproca: la condicional q p Ejercicio: Escriba la contraria, la reciproca y la contra-reciproca de cada proposicin 1. Si las fiestas del mar fueron un xito entonces deben continuar realizndola 2. Si los pases vecinos a Colombia colaboran con los grupos insurgentes entonces no son pases amigos 3. Si el Unin Magdalena no juega bien entonces el estadio estar siempre vacio 4. Si las religiones son utilizadas para alabar un Dios entonces porque explotan a los feligreses

La Bi-condicional es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposiciones simples. Se representa con el smbolo se lee Si .. Solo si. Si p y q son proposiciones simples la bicondicional de p y q se representa p q se lee p si solo si q. Tabla de verdad

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 0 0 1

Ntese la bi-condicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones son iguales.

Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad siManual de Lgica Lic. Esp. Jos F. Barros Troncoso 7

a. r: En Colombia hay paz s: En Colombia todos los gobernantes son honestosEntonces: r s

b. p: x + 5 = 7 q: x = 2Entonces: p q

c. p: Las clulas vegetales poseen cloropastos s: Las clulas vegetales poseen clorofilaEntonces: p s

d. p: Los paramilitares devuelven las tierras s: Los paramilitares tienen garantizado el reintegro a la sociedadEntonces: p s

e. p: El Unin Magdalena volver a la primera categora s: El unin Magdalena es vendidoEntonces: p s

f. p: Hait es el pas ms pobre del mundo s: Hait es el pas con mayor posibilidad de invasin extranjera Entonces: p s

Interpretacin oracional Idiomtica Se denomina interpretacin idiomtica, a cualquier enunciado cuya estructura coincida con una proposicin dad: Ejercicio. Interprete oracionalmente cada enunciado, identifique las proposiciones simples y represente en forma simblica o Si en Venezuela el ambiente institucional empeora y no es eficiente en los factores de mercado entonces no es cierto que, su economa es competitiva o es solida o Si los estudiantes son responsables de sus compromisos y muestran inters en el estudio de su profesin entonces la universidad mejora el nivel acadmico o buscar estrategias para la desercin

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o Si el hombre fuera racional entonces no construyera armas lesivas para la humanidad o Es falso, que las rosas son rojas y las violetas son azules o Si las polticas de estado son buenas entonces el pas no estara en guerra o Si Radamel Garca y Johan Volanten son samarios entonces son buenos jugadores de futbol o se formaron en otro pas o Si Colombia es el pas que ms abastece a Venezuela y Venezuela es el principal comprador de los productos colombianos entonces las diferencias en sus presidentes no convienen a ninguno de los dos pases o Los residentes cancelarn la administracin si solo si la la junta directiva cambio al administrador o abren una cuenta bancara donde se pague la administracin o Si el calentamiento global es producto de la contaminacin ambiental o de la tala indiscriminada de rboles, entonces no, a la contaminacin ambiental y a la tala indiscriminada de arboles o La inversin social se mejora si solo si se implementan polticas de fortalecimiento tributario y no hay corrupcin administrativa Diagrama de Verdad de las proposiciones Compuestas Los diagramas de verdad nos permiten conocer el valor de verdad de un enunciado compuesto Ejercicio. Hallar el valor de cada proposicin si: a (1), b(0), c(0) y d(1) (a b) c (b v c) d (b v d) b v d [(d a) v c] [(d v c) (a v c)] c (a c)

Tablas de Verdad Una tabla de verdad es un diagrama que permite determinar claramente cuando una proposicin compuesta es verdadera, falsa o variada.Manual de Lgica Lic. Esp. Jos F. Barros Troncoso 9

Si todos los valores de verdad de una proposicin compuesta son verdaderos se denomina una tautologa, por ejemplo [p (p v q)], si son falsos una contradiccin, por ejemplo [(p q) q], de lo contrario se llama indeterminada o contingencia, por ejemplo [(p v q) p]. El proceso de construccin de una tabla de verdad inicia por determinar el nmero de combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones simples constituyentes. Si la proposicin consta de n proposiciones simples diferentes, puesto que cada una de ellas tiene dos valores posibles (verdadero o falso) habr 2n combinaciones posibles de valores. Ejemplo. Construir la tabla de verdad de la proposicin (p q) r Ejercicio. Construir la tabla de verdad de cada proposicin compuesta e indique su tipo ( p q) (p v q) p p (p q) (p v q) (p q) [ (p p ) q] p (p q) (p q) (p v q) [(p q) q] p (p q) v r (p q) (p r) (p q) r

Bibliografa Francisco Soler Reinaldo Nez. Fundamentos de Matemtica. Tercera edicin. Editorial ECOE. 2009 Corina Yoris. Introduccin a la lgica. Camacho, Luis ngel. Lgica Simblica Bsica. Editorial Limusa, S.A. Balderas 95, Mxico, D.F. 2005. Irving, M. Copi, Cohen, Carl. Introduccin a la Lgica. Editorial Limusa, S.A. Balderas 95, Mxico, D.F. 2000. Miranda Alonso, Toms. El juego de la Argumentacin. Ediciones de la Torre. Madrid, Espaa, 2000. Lukasiewicz, J. Estudios de Lgica y Filosofia. Editorial Alianza, 1976. Web grafa http://juancarlosteeduca.blogspot.com/2009/01/vaguedad_11.html http://juancarlosteeduca.blogspot.com/2009/01/ambigedad.htm http://www.lhs.edu.pe/recursos/matematica/2009/10mo/CONECTIVO S_LOGICOS.pdfManual de Lgica Lic. Esp. Jos F. Barros Troncoso 10