Manual de Columnas

REPÚBLICA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL DESARROLLO URBANO

MANUAL PARA EL CÁLCULO DE COLUMNAS DE CONCRETO ARMADO JOAQUÍN MARÍN ANTONIO GÜELL

FUNDACIÓN VENEZOLANA DE INVESTIGACIONES SISMOLÓGICAS FUNVISIS 1984

MINDUR. Manual para el Cálculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marín, A. Güell i

PRESENTACIÓN

La Comisión de Normas para Estructuras de Edificaciones del Ministerio del Desarrollo

Urbano, se complace en publicar a través de la Fundación Venezolana de Investigaciones

Sismológicas, FUNVISIS, su "Manual para el Cálculo de Columnas de Concreto Armado", cuyos

autores son los Profesores Joaquín Marín y Antonio Güell.

Con este Manual, la Comisión espera brindar a los Ingenieros estructurales una obra de

notable utilidad y, a la vez, agradece a sus usuarios los comentarios y sugerencias para el

perfeccionamiento de futuras ediciones.

La Comisión agradece especialmente al Ing. José E. Garantón, Director General del

Ministerio del Desarrollo Urbano, la colaboración prestada para publicar esta obra; en Caracas, abril

de 1987,

Nicolás Colmenares, Presidente.

José A. Delgado, Secretario.

Henrique Arnal

Arnim de Fries

Salomón Epelboim

José Grases

César Hernández

Carmen Lobo de Silva

Joaquín Marín

ii MINDUR. Manual para el Cálculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marín, A. Güell

PRÓLOGO

En estas páginas se publica por primera vez la mayor parte de los resultados obtenidos desde

1967 en la Investigación UCV de las Columnas Cortas de Concreto Reforzado, aplicados conceptual

y numéricamente a las Normas venezolanas COVENIN - MINDUR 1753, "Estructuras de Concreto

Armado para Edificaciones, Análisis y Diseño", a solicitud de la Comisión de Normas para

Estructuras de Edificaciones del Ministerio del Desarrollo Urbano en 1982.

La mayoría de los resultados son originales y establecen principios y algoritmos generales,

sencillos y útiles para el proyecto, cálculo y revisión de columnas de concreto armado sometidas a

solicitaciones flexoaxiales. Estos se completan con las disposiciones pertinentes para considerar el

confinamiento del concreto, los efectos de la esbeltez y las fuerzas cortantes.

Este trabajo se ciñe a la primera versión de las nuevas normas venezolanas para estructuras

de concreto armado, publicadas en 1981, basadas en las normas 1977 del Instituto Americano del

Concreto, ACI 318-77, con las que cumple fielmente. Las rayas negras verticales en los márgenes

izquierdos advierten que las líneas abarcadas tienen alguna modificación en las ediciones posteriores

COVENIN - MINDUR 1753-85 o ACI 1983. Dentro de este ámbito, éstas sólo cambian,

respectivamente, el factor de mayoración de acciones sísmicas y el coeficiente de magnificación de

momentos para desplazamientos laterales; véanse los Capítulos 10 y 18.

Joaquín Marín, Dr. Ing. Instituto de Materiales y Modelos Estructurales, IMME-UCV.

Antonio Güell, M. S. Departamento de Ingeniería Estructural.

Profesores de la Facultad de Ingeniería, Universidad Central de Venezuela.

JM/ew

MINDUR. Manual para el Cálculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marín, A. Güell iii

ÍNDICE pág.

CAPITULO 1 CONCEPTOS

1.1 GENERALIDADES……………………………………………………. 1

1.1.1 Resumen y Alcance…………………………………………………….. 1

1.1.2 Definiciones…………………………………………………………….. 3

1.1.3 Notación………………………………………………………………… 6

1.2 RESISTENCIA FLEXOAXIAL……………………………………….. 9

1.2.1 Naturaleza del Problema Resistente……………………………………. 9

1.2.2 Cálculo de la Resistencia……………………………………………….. 10

1.2.3 Superficies de Falla y sus Representaciones Planas……………………. 11

1.2.4 Convenios y Variables Adimensionales………………………………... 15

1.3 SOLICITACIONES MAYORADAS…………………………………... 19

1.4 CRITERIOS DE DISEÑO Y REVISIÓN……………………………… 22

1.5 MATERIALES…………………………………………………………. 29

1.6 SECCIONES……………………………………………………………. 30

1.6.1 Circulares……………………………………………………………….. 32

1.6.2 Rectangulares…………………………………………………………… 36

1.6.3 Cruciformes…………………………………………………………….. 36

1.6.4 Ejes……………………………………………………………………… 36

1.7 FORMULAS……………………………………………………………. 37

1.8 COLUMNAS LARGAS………………………………………………... 43

1.9 REFUERZOS TRANSVERSALES……………………………………. 44

iv MINDUR. Manual para el Cálculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marín, A. Güell

Índice (continuación) pág.

CAPITULO 2 MÉTODOS DE CÁLCULO 2.1 INTRODUCCIÓN……………………………………………………… 47

2.2 COMBINACIONES DE SOLICITACIONES MAYORADAS……….. 49

2.3 EFECTOS DE ESBELTEZ…………………………………………….. 51

2.3.1 Casos a Considerar……………………………………………………... 51

2.3.2 Cálculo de la Esbeltez Efectiva………………………………………… 51

2.3.3 Necesidad de Considerar los Efectos de Esbeltez……………………… 53

2.3.4 Evaluación Aproximada de los Efectos de Esbeltez…………………… 55

2.4 RESISTENCIAS DE DISEÑO………………………………………… 57

2.4.1 Factores de Minoración de Resistencias……………………………….. 57

2.4.2 Columnas con Ligaduras……………………………………………….. 57

2.4.3 Columnas con Zunchos………………………………………………… 58

2.5 VARIABLES ADIMENSIONALES…………………………………... 58

2.5.1 Resistencia……………………………………………………………… 58

2.5.2 Acero…………………………………………………………………… 59

2.5.3 Variables Geométricas…………………………………………………. 60

2.6 CUANTÍAS MÍNIMAS Y MÁXIMAS DE ACERO

LONGITUDINAL……………………………………………………… 60

2.7 DETERMINACIÓN DE LA CUANTÍA REQUERIDA DEL ACERO

LONGITUDINAL……………………………………………………… 62

2.7.1 Introducción……………………………………………………………. 62

2.7.2 Flexión Simple con un Diagrama de Interacción………………………. 64

2.7.3 Flexión Desviada con Dos Diagramas de Interacción………………….. 66

2.7.4 Diseño con Isocargas…………………………………………………… 68

2.7.5 Flexión Simple con Fórmulas………………………………………….. 69

2.7.6 Flexión Desviada con Fórmulas………………………………………... 70

2.8 DETERMINACIÓN DEL ACERO TRANSVERSAL 71

2.8.1 Ligaduras Mínimas……………………………………………………... 71

2.8.2 Diseño por Corte……………………………………………………….. 71

2.8.3 Diseño de los Zunchos…………………………………………………. 73

MINDUR. Manual para el Cálculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marín, A. Güell v

Índice (continuación) pág.

CAPITULO 3 EJEMPLOS NÚMERICOS 3. Ejemplos Numéricos…………………………………………………… 75

3.1 Diseño en Flexión Simple con un Diagrama de Interacción de una

Columna Rectangular…………………………………………………... 77

3.2 Diseño en Flexión Simple con un Diagrama de Interacción de una

Columna Circular………………………………………………………. 87

3.3 Diseño en Flexión Desviada con dos Diagramas de Interacción de una

Columna Cruciforme…………………………………………………… 94

3.4 Diseño en Flexión Desviada con Fórmulas de una Columna

Rectangular…………………………………………………………….. 103

3.5 Diseño en Flexión Simple con Fórmulas de una Columna Circular…… 109

3.6 Diseño con Isocargas de una Columna en Ele…………………………. 111

CAPITULO 4 ÁBACOS 4.1 Introducción……………………………………………………………. 119

4.2 Columnas Circulares. Diagramas, N° 1 a 8…………… 123

4.3 Columnas Rectangulares. Diagramas, N° 9 a 24…………… 131

4.4 Columnas Cruciformes. Diagramas, N° 25 a 48…………… 147

4.5 Columnas en Forma de Ele. Isocargas, N° 49 a 90…………… 163

CAPITULO 5 COEFICIENTES DE LAS FORMULAS……………… 5. Coeficientes de las Fórmulas…………………………………………… 213

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS………………………………………………… 217

219

MINDUR. Manual para el Cálculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marín, A. Güell 1

1. CONCEPTOS 1.1 GENERALIDADES 1.1.1 RESUMEN Y ALCANCE

Estas páginas contienen conceptos, procedimientos, fórmulas, ábacos y ejemplos numéricos

para analizar, diseñar y revisar columnas de concreto reforzado según las Normas COVENIN-

MINDUR 1753-81 "Estructuras de Concreto Armado para Edificaciones. Análisis y Diseño",

elaboradas por la Comisión de Normas para Estructuras de Edificaciones del Ministerio del

Desarrollo Urbano.

Los conceptos y los conocimientos básicos requeridos se resumen en este Capítulo 1, donde

se trata de orientar al usuario con una abundante información concisa y completa para que pueda

aplicar este Manual con criterios de seguridad en el proyecto y cálculo de los soportes de las

edificaciones, ampliar su estudio de las columnas y elaborar otros ábacos.

En el Capítulo 2 se exponen con detalle los procedimientos y algoritmos para la utilización-

de los gráficos y fórmulas, los cuales se ilustran numéricamente en el 3. El Capítulo 4 contiene 90

ábacos para el cálculo a mano de columnas de sección circular, rectangular, cruciforme y ele, y el 5

los coeficientes de las fórmulas que permiten diseñar automáticamente las tres primeras secciones

tanto en flexión simple como desviada. El texto finaliza con una lista de referencias bibliográficas.

Tanto los ábacos de las secciones rectangulares con carga en la diagonal y todos los de las

cruciformes y eles, como las fórmulas globales para las circulares, rectangulares y cruciformes, se

publican aquí por primera vez, así como también varias conclusiones fundamentales y

procedimientos de cálculo.

Este Manual constituye la primera divulgación masiva de los resultados obtenidos en las

investigaciones que, sólo en forma ocasional, evolucionan original e independientemente en la

Facultad de Ingeniería de la Universidad Central de Venezuela desde 1967, y se han denominado

"La investigación UCV de las columnas cortas". Tiene como objetivo principal el obtener

algoritmos y ayudas para el cálculo de secciones de columnas y muros con cualquier geometría

sometidas a tensiones flexoaxiales, pero algunos resultados han transcendido a otros problemas y

2 MINDUR. Manual para el Cálculo de Columnas de Concreto Armado. 1984. J. Marín, A. Güell

disciplinas, como se revela en 1.2.2. En la Referencia {19} se hallan más datos sobre estos trabajos,

cuyos logros se publican en los Boletines Técnicos del IMME {15 a 22}, y deben culminar con la

Ref. {26}.

Las referencias bibliográficas están numeradas entre llaves { } en orden alfabético, y pueden

ampliarse con la bibliografía especializada de la Ref. {19}. En las Secciones 1.1.2 y 1.1.3 de este

Capítulo se precisan las definiciones y los símbolos usados.

Las frecuentes citas a las Normas COVENIN-MINDUR 1753, abreviadas simplemente como

"Normas de Concreto" {2}, se destacan colocando sus capítulos y secciones entre los símbolos <>.

Por su gran utilidad, además de las cinco normas vigentes para el proyecto de edificaciones que aquí

se citan {2 a 4 y 9}, se recomienda disponer de la compilación de todas las normas venezolanas para

la industria de la construcción y sus correspondientes del antiguo Comité Conjunto del Concreto

Armado de Venezuela, CCCA, y de las ASTM norteamericanas, publicada en la Ref. {25}.

Para completar este Capítulo informativo, se sugieren la Ref. {19}, donde se halla una

interesante reseña del estado del cálculo de las columnas de concreto reforzado, y la Ref. {21}, cuya

revista de los conocimientos insiste particularmente en las de sección no rectangular.

Como nuestras Normas de Concreto están basadas en el código del Instituto Americano del

Concreto ACI {7} y las diferencias son menores en este tema de las columnas, los colegas de otros

países no deben tener dificultades en la interpretación y empleo de este Manual. Así, se espera que

estos conceptos, fórmulas y ábacos sean útiles a todos los ingenieros estructurales hispa-

noamericanos.


1.1.2 DEFINICIONES

ACI = Instituto Americano del Concreto, "American Concrete Institute".

Análisis = Conocido un miembro estructural, hallar cuánto resiste. En las

solicitaciones flexoaxiales, hallar su superficie resistente.

Carga adimensional = Coeficiente de carga axial definido según (1-3), llamado también

"específico".

COVENIN = Comisión Venezolana de Normas Industriales.

Cuantía mecánica = Parámetro adimensional que mide la cantidad relativa del refuerzo junto

a la calidad de los materiales (1-6).

Diagrama de

interacción

= Traza de una superficie o volumen de falla flexoaxial correspondiente a

un acimut de momentos constante.

Diseño = En un miembro estructural, conocidas sus solicitaciones, la

determinación racional y económica de sus dimensiones, así como la

distribución y detallado adecuados de todos sus materiales y componentes,

satisfaciendo a cabalidad las normas.

Diseño para los

estados límites

= Un método de diseño consistente en determinar todos los modos

potenciales de falla o inutilidad (estados límites), y mantener unos niveles

de seguridad aceptables contra su ocurrencia, los cuales se establecen

habitualmente con criterios probabilísticos.

Ductilidad = Capacidad de deformación rebasado el límite de proporcionalidad

resistente.

Estado límite = Situación en la que una estructura, miembro o componente estructural

queda inútil para su uso previsto, sea por su falla resistente, deformaciones

excesivas, inestabilidad, deterioro, colapso, o cualquier otra causa.

Factor de seguridad = Cociente de la resistencia de agotamiento dividida entre la resistencia de

utilización o prevista.

Falla balanceada = Agotamiento resistente que corresponde a la frontera ideal entre las

fallas de compresión y tracción; el concreto comprimido se tritura justo

cuando algún refuerzo cede en tracción.


Falla en compresión = Falla frágil caracterizada porque el concreto comprimido se tritura antes

que el refuerzo ceda en tracción.

Falla en tracción = Falla con ductilidad que ocurre cuando el concreto comprimido se tritura

después que algún refuerzo en tracción ha cedido.

Flexión simple = Dícese cuando la flexión puede describirse por un solo componente, por

ejemplo, cuando el plano de carga es un eje de simetría.

Flexión desviada = Dícese cuando la flexión requiere ser descrita mediante dos

componentes.

Flexoaxial = Aplicase al caso de cargas axiales y momentos flectores simultáneos, es

decir, originado por tensiones normales.

FUNVISIS = Fundación Venezolana de Investigaciones Sismológicas.

Isobara = Traza de una superficie de falla; línea plana correspondiente a una

cuantía mecánica constante.

Isocarga = Contorno plano de una superficie de falla correspondiente a una carga

axial constante.

MINDUR = Ministerio del Desarrollo Urbano.

Modelo matemático = Formulación de la situación real en forma idealizada, adecuada para el

cálculo y con propósitos de predicción y control.

Momento

adimensional

= Coeficiente de momento flector definido según (1-4), (1-5) o (1-8),

llamado también "específico".

Normas de Concreto = Normas "Estructuras de Concreto Armado para Edificaciones. Análisis y

Diseño", COVENIN-MINDUR 1753.

Relación de aspecto = En un contorno rectangular, cociente del lado mayor dividido entre el

lado menor; también llamado relación de rectangularidad.

Relación de esbeltez = Cociente de la altura libre de una columna entre la dimensión transversal

a su posible desplazamiento.

Resistencia nominal = Resistencia obtenida al utilizar los principios y parámetros normativos

correspondientes al estado límite del agotamiento resistente, sin aplicar

factores de minoración.

Resistencia de diseño = En las Normas de Concreto, la resistencia nominal multiplicada por un

factor de minoración de resistencias.


Resistencia requerida = Término usado en las Normas de Concreto para referirse a las

solicitaciones mayoradas que se emplean al diseñar en el agotamiento

resistente.

Revisión = Verificación del diseño determinando sus factores de seguridad.

Solicitaciones

mayoradas

= Sumatorias de las solicitaciones de servicio o utilización previstas que

actúan simultáneamente en una sección, obtenidas mediante el cálculo

estructural, multiplicadas por factores de mayoración fijados en las

normas, destinadas a proyectar los miembros estructurales en el estado

límite del agotamiento resistente. Véase el Artículo 1.3.

Superficie de falla

flexoaxial

= Lugar geométrico de las combinaciones de carga axial y momentos

flectores simultáneos que conducen al agotamiento resistente de un

miembro sometido a tensiones normales.

Volumen de falla

flexoaxial

= Conjunto de las superficies de falla sobrepuestas que se obtiene al variar

proporcionalmente la cuantía mecánica de una sección.


1.1.3 NOTACIÓN

A = Polinomio que modela la resistencia del concreto.

Ā = Vector de las solicitaciones de servicio o utilización previstas.

Ac = Área del núcleo confinado de la sección incluyendo los zunchos.

Ag = Área total de la sección.

Ast = Área total de los refuerzos longitudinales.

Āu = Vector solicitaciones mayoradas, igual a la resistencia requerida.

Az = Área del refuerzo transversal.

B = Falla balanceada. Polinomio que modela la resistencia del acero.

C = Falla en compresión; polo de la compresión axial pura.

C = Vector tridimensional de la resistencia del concreto.

Cm = Coeficiente definido en (2-8).

CP = Acción permanente.

CV = Acción variable.

D = Diámetro de una sección.

F = Factor de mayoración de una solicitación de servicio.

FS = Factor de seguridad global.

Mu = Momento flector mayorado.

Mud = Momento flector mayorado respecto a la diagonal.

Mux = Momento flector x mayorado.

Muy = Momento flector y mayorado.

M1 = El menor momento mayorado en los extremos; positivo si hay flexión con una sola

curvatura, negativo si hay doble curvatura.

M2 = Máximo momento mayorado en los extremos de un miembro comprimido, siempre

positivo.

Nu = Carga axial mayorada simultánea con fuerza cortante.

O = Origen de coordenadas en el baricentro de la sección.

Pc = Carga crítica de Euler (2-6).

Pu = Carga axial mayorada ( + compresión) .

R = Vector tridimensional que describe la resistencia nominal.

S = Vector tridimensional de la resistencia del acero unitario.


SIS = Acción sísmica.

T = Falla en tracción; polo de la tracción axial pura.

Vc = Fuerza cortante resistida por el concreto.

Vs = Fuerza cortante resistida por el refuerzo transversal.

Vu = Fuerza cortante mayorada.

a = Lado de una sección.

ai = En los modelos, coeficiente de la resistencia del concreto solo.

ax = Dimensión mayor de referencia en la dirección x de la sección.

ay = Dimensión mayor de referencia en la dirección y de la sección.

b = Espesor.

bi = En los modelos, coeficiente de la resistencia del acero unitario.

bw = Ancho del alma de una sección.

d = Diagonal de una sección.

d = En las fórmulas de corte, altura útil.

f’c = Resistencia especificada del concreto a la compresión.

f”c = Resistencia de cálculo del concreto = 0.85 f’c .

fy = Resistencia cedente especificada del acero.

k = Coeficiente de longitud efectiva.

lu = Luz libre o longitud no arriostrada.

r = Recubrimiento de cálculo.

rx = Radio de giro en la dirección x.

ry = Radio de giro en la dirección y.

s = Separación del refuerzo transversal.

x = Abscisa o coordenada geométrica x.

y = Ordenada o coordenada geométrica y.

α = Relación de estrechez (1-17).

β = Contribución de la resistencia en la diagonal (1-19), (2-28).

βd = Valor absoluto de la relación d2l momento máximo mayorado de la carga permanente

entre el momento máximo mayorado de la carga total.

γ = Relación de recubrimientos (1-16).

δ = Factor de magnificación de momentos.


µ = Momento flector adimensional, véase 1.2.4.

µd = Momento flector diagonal adimensional (1-8).

µ’d = Momento flector diagonal adimensional (2-19).

µm = Momento flector adimensional en la mediatriz (2-27).

µo = Momento flector trasladado a la mediatriz (2-29).

µx = Momento flector x adimensional (1-4).

µy = Momento flector y adimensional (1-5).

υ = Carga axial adimensional (1-3).

ρ = Cuantía geométrica = Ast/Ag .

ρs = Cuantía volumétrica de los zunchos (2-43).

Φ = Factor de minoración de resistencias.

Φ1 = Factor de corrección de Φ, Artículo 2.4.

ψ = Coeficiente de rigidez nodal (2-2).

ω = Cuantía mecánica = ρ fy /f”c .

Subíndices:

CP = Debido a las acciones permanentes.

CV = Debido a las acciones variables.

SIS = Debido a las acciones sísmicas.

c = Debido al concreto.

d = Respecto a la diagonal.

m = Respecto a la mediatriz.

s = Debido al acero.

u = Solicitación mayorada o resistencia requerida.

x = En la dirección de las abscisas.

y = En la dirección de las ordenadas.

Otros Símbolos:

< > = Referencia a las Normas de Concreto CQVENIN-MINDUR 1753.

( ) = Fórmula en este texto.

{ } = Referencia bibliográfica. ▌ = Modificación en 1985.


1.2 RESISTENCIA FLEXOAXIAL

Este Artículo contiene un intenso compendio de los conceptos básicos sobre la

determinación del agotamiento resistente, que son imprescindibles para utilizar cabalmente este

Manual. Mucha de esta información es original, por lo que se extiende y completa con las

numerosas citas a las referencias listadas a continuación del Capitulo 5 e identificadas entre llaves

{ }, de manera que el usuario pueda elaborar otros ábacos.

1.2.1 Naturaleza del Problema Resistente

Se demuestra que la determinación de la resistencia de agotamiento de una sección

cualquiera de concreto armado sometida a tensiones normales es un problema matemático no lineal

ni susceptible a fórmulas, abordables por métodos algorítmicos de programación relativamente

sencilla pero largos, debido a los numerosos detalles a considerar y al enorme volumen de datos

generados {16}.

En general, su fondo mecánico es modesto, consistente en aplicar el equilibrio de tensiones

normales unidimensionales y la suma de fuerzas paralelas, lo que conduce a tres integrales dobles

que determinan la resultante, la cual se aloja cómodamente en un leal, sustancioso y eficiente

espacio vectorial de tres dimensiones, pleno de sentido para el ingeniero estructural: la carga axial

resistente, que se toma como cotas, y dos momentos flectores resistentes alrededor de dos

direcciones x e y {20,21}.

Sin embargo, el hecho de pertenecer al universo de problemas no lineales, con los cuales el

ingeniero todavía no está familiarizado, significa que, aunque nos sea arduo de admitir, no podemos

aplicar nuestra intuición. Esto lo evidencia las numerosas equivocaciones fundamentales, incluso la

elección de las propias coordenadas resistentes y su origen, los diversos métodos oscuros, confusos

y hasta inseguros publicados, y el que aún hoy el tan demandado diseño de columnas rectangulares

en flexocompresión desviada esté en muy pocos textos, con resultados incomparables, y hasta se

haya calificado inmerecida -mente como uno de los problemas más difíciles de todo el concreto

armado {16,20,21}. En resumen, este asunto no puede subestimarse y, menos, tratándose de los

miembros más importantes de nuestras estructuras.


1.2.2 Cálculo de la Resistencia

La resistencia flexoaxial, y especialmente la de agotamiento como un estado límite en el

proyecto estructural, se obtiene mediante el método directo de análisis: conocidos los materiales y

sus leyes constitutivas tensiones-deformaciones, la sección y la cantidad y posición de las

armaduras, dado un eje neutro, se evalúa numéricamente la expresión aditiva, general y compacta:

SCR ω+= (1-1)

donde R denota el vector resistencia de agotamiento o falla, con sus tres componentes calificados

en las Normas de Concreto como “nominales”: carga axial resistente nominal Pn, momento flector x

resistente nominal Mnx, y momento flector y resistente nominal Mny. C es el vector que describe la

contribución del concreto solo; ω es la conocida "cuantía mecánica", un útil escalar adimensional

básico en el diseño definido por (1-6); y S es lo que resiste el acero correspondiente a una cuantía

mecánica unitaria {16,26}. En las Refs. {10, 27, 12} pueden seguirse ejemplos con todos los

tediosos cálculos involucrados.

Aunque el cálculo de S es elemental, lo que resiste el concreto C no, porque requiere

determinar la resultante de un volumen de tensiones normales unidimensionales actuando sobre una

zona comprimida cualquiera, dando lugar a las tres integrales dobles que caracterizan el equilibrio

resistente bajo solicitaciones flexoaxiales o presiones normales; véase las Refs. {20}.

Afortunadamente, para el caso común y prácticamente el único supuesto de tensiones

polinómicas, en estas investigaciones se ha obtenido la solución general, sistemática, exacta y

directa desde los mismos vértices de la sección comprimida {15,20}. Así, con muy pocas

instrucciones y un nivel de conocimientos matemáticos mínimo, mediante un solo operador que

evalúa momentos de área de orden superior, es posible programar y calcular automáticamente en


forma muy simple y precisa no solo las columnas y muros de uno o más materiales, sino también

fundaciones y compuertas planas de cualquier geometría {23}, probabilidades de funciones

aleatorias bivariadas y, en general, integrales dobles polinómicas sobre cualquier recinto {24}.

Adicionalmente, como se expone en las Refs. {20}, {23} y {24}, el operador sirve para encontrar

fórmulas particulares al tipo de tensiones y presiones normales considerado. Se cree así suministrar

una sencilla herramienta algorítmica básica en el cálculo numérico y en la ingeniería, cuyas breves

subrutinas se hallan en la Ref. {23}.

En la fórmula anterior se supone que la cantidad de armaduras varía proporcionalmente, lo

cual es algo razonable y fundamental para simplificar los métodos de diseño. Es decir, cuando se

aumenta el área total de acero en la sección Ast, cada una de las barras, o concentración de éstas,

aumenta con la cuota correspondiente a su área relativa. Esto significa que con los cálculos para un

porcentaje de acero y un eje neutro elegidos, se obtiene simultáneamente la resistencia de todas las

cuantías de acero que se necesiten; basta dilatar o dividir al vector S proporcionalmente. Como útil

consecuencia, el cómputo de un solo diagrama de interacción produce un ábaco completo.

¿Qué opina el concreto reforzado de todo esto?. Las columnas aisladas o unidas a pórticos

juzgan que los cálculos anteriores con los parámetros ACI se ajustan muy bien a la realidad cerca de

la flexión pura, pero, a medida que las compresiones aumentan, los resultados experimentales

muestran una dispersión creciente, que alcanza hasta más y menos 15 % para grandes compresiones

{14,21}. Estas desviaciones inherentes al comportamiento del concreto armado justifican la filosofía

de las Normas de especificar conservadoramente un factor de minoración de resistencias grande para

las cargas axiales mayores, que llega a 0.70, y desaniman el uso de métodos de cálculo refinados.

1.2.3 Superficies de Falla y sus Representaciones Planas

Según lo anterior, cada eje neutro produce una resultante de las tensiones normales que determina

un punto en el espacio vectorial tridimensional flexoaxial Pn, Mnx y Mny.


Figura 1.1.- Superficies de fallas flexoaxiales y sus

representaciones adimensionales planas


Repitiendo el algoritmo del equilibrio, variando la profundidad y la inclinación del eje

neutro, los puntos así conseguidos crean una suave y original superficie cerrada, predominantemente

convexa, que contiene al origen de coordenadas, con dos polos correspondientes a la compresión y

tracción axiales puras, y que se denomina "superficie de falla flexoaxial" {21}. Entonces, el

problema resistente se ha transformado en otro geométrico mucho más fácil de imaginar y

manipular. Se define, pues, como superficie de falla flexoaxial al lugar geométrico de las

combinaciones de carga axial y momentos flectores simultáneos que conducen al agotamiento

resistente de una sección sometida a tensiones normales.

Si ahora se considera que el área de acero aumenta proporcional mente, al aplicar las

propiedades de la Fórmula (1-1), de inmediato se obtendrán todas las superficies de falla que se

deseen y permitan la cuantía normativa máxima de armaduras. Se genera así el "volumen de falla

flexoaxial" de una sección particular para cualquier porcentaje de acero, como superficies

sobrepuestas que tienen espesores variables, tanto individualmente como respecto a sus vecinas;

véase la Figura .1.1.

Una interpretación tan simple como útil, especialmente para el diseño, es imaginar que las

superficies de falla son como los cascos sucesivos que rodean a un núcleo, semejante a una cebolla.

El núcleo es lo que resiste el concreto no reforzado y las capas son el aporte de los incrementos de

armaduras, como ilustran los cortes de la Fig. 1.1.

La investigación UCV de las columnas cortas es pionera en el estudio de estas superficies de

falla, habiéndose efectuado numerosos estudios de muchas secciones. La Ref. {21} contiene un

resumen ilustrado con resultados de secciones no rectangulares, el cual puede ayudar a formar una

idea global de estas armoniosas, sorprendentes y pintorescas superficies y volúmenes resistentes.

De todo esto se desprende que para ofrecer ábacos como ayudas para el diseño y revisión de

columnas hay que buscar modos planos de representar las superficies de falla. Los primeros útiles y

completos fueron los conocidos "diagramas de interacción", los cuales aparecieron por 1940 y se

han propagado a las columnas de otros materiales {14}.


En general, los diagramas de interacción resultan de seccionar las superficies resistentes a un

acimut dado, como se ilustra en la Fig. 1.1. Esto es directo y sencillo de calcular sólo si el plano de

carga es un eje de simetría; en la flexión llamada simple. Cuando una sección no tiene muchos ejes

de simetría, como en las eles, tes, ces, etc., el uso de diagramas de interacción es sumamente

delicado y complejo, como se revela y demuestra en la Ref. {22}, y no es recomendable {18,21}.

Esto se debe principalmente a que las superficies de falla solo tienen garantizado un meridiano {16},

y las de estas secciones suelen tener sus polos C y T fuera del eje de las cotas, como se ve en la Fig.

1.1. Además, las mayores resistencias no tienen por qué ocurrir en el eje de simetría, como sucede

en las eles y aquí se puede verificar en los ábacos 41 a 90. En estos casos, el modo ideal y eficiente

de representación plana son las "isocargas" o paralelos, con los que siempre es posible describir un

volumen.

Las isocargas se obtienen al cortar las superficies de falla por planos con cargas axiales

constantes, como se dibuja en la Fig. 1.1. Si bien contienen la información más completa e

inmediata cuando se trata de flexión desviada y de secciones diferentes a las circulares o

rectangulares simétricas, su cálculo no es directo y es muy costoso {16}, a menos que se siga el

rápido algoritmo que se resume en la Ref. {18}.

En este Manual se presentan 90 ábacos: 40 diagramas de interacción para las secciones

circulares, rectangulares y cruciformes que se detallan en el Artículo 1.6, y 50 isocargas para las

secciones ele. Todos los ábacos han sido elaborados automáticamente .con un trazador electrónico

{11}, pudiéndose seguir las etapas de su técnica de producción en la Ref. {18}. Los de las secciones

cruciformes y eles se publican aquí por primera vez, así como las fórmulas modeladas para los

diagramas de interacción; véase 1.7 más adelante.


Conviene definir como una "isobara" a la traza o línea que resulta de la intersección de una

superficie de falla con un plano, esto es, correspondiente a una cuantía de acero constante. Pues

bien, las isóbaras punteadas que aparecen en los diagramas de interacción a altas compresiones,

advierten que ahí controlan las cargas axiales resistentes máximas normativas, y que, de acuerdo con

<10.3.5>, no se puede emplear esa resistencia para los fines de proyecto. Véase el Artículo 2.6.

Como se sabe, en el diseño sismo-resistente es necesario indagar si el agotamiento resistente

tiene un comportamiento frágil, llamado "falla en compresión", o dúctil, denominado "falla en

tracción" {14,9}; véase las definiciones en 1.1.2. La frontera entre las dos recibe el nombre de "falla

balanceada". En los diagramas de interacción, ábacos 1 a 40, ésta se señala mediante las rectas B-B.

En los semiplanos superiores, donde hay mayores compresiones, las fallas deben ser frágiles,

mientras que en los inferiores hay ductilidad. En cambio, en las isocargas de las el es, ábacos 41 a

90, como las fallas balanceadas ocurren sobre una extraña superficie alabeada, sus intersecciones

con las isocargas se han dibujado con líneas punteadas, y las letras C o T vecinas identifican cuál

tipo de falla es de esperar a cada lado.

1.2.4 Convenios y Variables Adimensionales

Al ser vectorial el espacio donde se representa geométricamente la resistencia, las

coordenadas para describirlo por completo y sin problemas han de ser independientes, así como

también los factores elegidos para lograr la adimensionalidad que nos independiza de los tamaños y

de una casuística ilimitada de secciones. Como se dice en matemáticas elementales, las coordenadas

tienen que constituir una base; de lo contrario, ocurrirán singularidades y dificultades insolubles,

como atestiguan los fracasos de varios métodos {21,22}.

Esto excluye el uso de excentricidades, variable popular pero superflua e indefinida en el

importante entorno de la flexión pura, lo que hace inusables las fórmulas que las emplean sin

necesidad; rechaza al movedizo y enredoso "centro plástico" como origen de momentos {22}; y a

variables adimensionales donde los denominadores pueden anularse o son dependientes de la


cuantía de acero, que es precisamente la incógnita principal en el diseño, como, por ejemplo, Pn /Pn0,

donde Pn0 sería la resistencia a carga axial pura. La Ref. {22} abunda en este tema crucial y obvio,

pero antes totalmente descuidado. Ciertamente, el problema de la resistencia flexoaxial no se puede

resolver sin consultar a las matemáticas filosóficas ni a las numéricas.

Tras varios años de examinar estas cuestiones, se concluyó que las variables y convenios

más idóneos y simples para calcular y manejar las superficies resistentes son los siguientes:

1) "El origen de coordenadas y centro de momentos debe ser el baricentro de

la sección total", como en el cálculo estructural.

2) "Se debe trabajar directamente con las cargas axiales y los momentos

flectores x e y, nunca con excentricidades".

3) Sea f" es la resistencia de cálculo del concreto a la compresión. Según <10.2.7>:

cc ff '85.0" = (1-2)

donde f’c es la resistencia especificada del concreto a la compresión; Ag el área total de la sección

transversal de la columna; ax una longitud de referencia de la sección en dirección de las abscisas,

usualmente la mayor; y ay otra análoga en la dirección de las ordenadas. Entonces, las coordenadas

adimensionales más útiles y dóciles son las siguientes:

υ = carga adimensional = Pu /(f”c Ag ) (1-3)

µx = momento-x adimensional = Mux /(f”c Ag ay ) (1-4)

µy = momento-y adimensional = Muy /(f”c Ag ax ) (1-5)


ω = cuantía mecánica = ρ fy /f”c (1-6)

donde ρ es la cuantía geométrica de todas las armaduras Ast referidas a la sección total Ag :

p = cuantía geométrica = Ast /Ag (1-7)

y para la resistencia en la diagonal de las secciones de contorno rectangular se introduce:

µd = momento diagonal adimensional = Mud /(f”c Ag d) (1-8)

donde d es la longitud de la diagonal.

El convenio de signos positivos es compresión para las cargas axiales y el tirabuzón girando

a derechas para los momentos flectores.

En las fórmulas anteriores, los subíndices u denotan "resistencias de diseño", concepto

básico en nuestras Normas que requiere ampliarse.

Como se pauta en la Sección <9.3.1> de las Normas de Concreto, para obtener la resistencia

de diseño hay que reducir la resistencia nominal anteriormente comentada mediante un factor de

minoración de resistencias ф. Este coeficiente trata de tomar en cuenta la dispersión de los

resultados experimentales, así como las diferencias entre el control de los materiales en el

laboratorio y las condiciones reales de la obra.

En este Manual, tanto en los ábacos como en las fórmulas, el factor de minoración de

resistencias ф es único e igual a 0.70; el más exigente normativo correspondiente a las columnas

ligadas <9.3.2c>. Esta decisión conservadora tiene dos propósitos:


El primero es tratar de proteger las lecturas de los usuarios apresurados. El segundo es cuidar

estos trabajos, especialmente los hermosos contornos de los diagramas e isocargas, de los futuros

cambios y correcciones en el valor del factor minorante de resistencias que, por su actual falta de

solidez, inevitablemente han de ocurrir como ya pasara antes. Como las Normas reglamentan otros

valores de este factor en diversas condiciones y para diferentes niveles de la carga axial, en el

Artículo 2.4 se introduce un factor de corrección ф1 al valor constante de 0.70, lo cual permite al

usuario aprovecharse de estas disposiciones en una forma sencilla sin modificar ni requerir más

ábacos.

Entre las numerosas virtudes de este conjunto de coordenadas independientes, se demuestra

matemáticamente que la resistencia de diseño adimensional de una sección cuadrada y la de todas

las secciones rectangulares afines a ella son iguales, siempre que los estados de tensiones sean

idénticos {22}. Esto significa que, teóricamente, el usuario no tiene que preocuparse por la relación

de aspecto o rectangularidad, y que un ábaco elaborado para una sección de contorno cuadrado tiene

infinidad de aplicaciones. Consecuentemente, la simplificación y la condensación de información

obtenidas son enormes.

Esta es la cuestión llamada de las secciones "afines", resuelta también en estas

investigaciones. En la Ref. {22} se encuentra la teoría general que, con un sumando adimensional

más, abarca secciones distorsionadas; un ejemplo de cómo calcular secciones paralelográmicas,

usadas en los puentes en esviaje, a partir de la resistencia de una cuadrada afín; y varios algoritmos y

recomendaciones para calcular en flexión desviada. El más práctico y más interesante

económicamente, consistente en ampliar a dos diagramas de interacción el método de la carga

trasladada a la mediatriz, tan utilizado en Venezuela en forma demasiado conservadora, se detalla

lógica y numéricamente en la Sección 2.7.3.

En resumen, mediante la relación (1-1) el cálculo de un diagrama de interacción de una

sección conocida para un solo porcentaje de acero se extiende fácilmente a todas las cuantías que se

desee. Además, con las variables adimensionales (1-3) a (1-7), basta cambiar linealmente las escalas


del diagrama así ampliado para que sirva no solo para infinitas combinaciones de dimensiones, sino,

también, para diferentes proporciones de rectangularidad de su contorno. Sin embargo, en el caso

de isocargas, estas extensiones no pueden aplicarse directamente sino a través de otro concepto

sencillo, el de las "isogonas" {16,18,26}, fuera del alcance de este trabajo; véase no obstante el

Artículo 1.4.

Hay que advertir que en lo anterior se supone que los estados de tensiones entre las secciones

afines son idénticos. Aunque las normas actuales no reconocen efectos de forma ni de escala en los

cálculos flexoaxiales, inevitablemente debe haberlos. Sin embargo, la costosa experimentación en

los laboratorios necesaria para avalar y ratificar o cambiar los parámetros normativos del ACI,

establecidos hace casi 30 años para secciones muy simples, están ahora peligrosa y criticablemente

muy a la zaga de los resultados numéricos o las ristras de cifras que hoy se sacan, a precios

insignificantes y a menudo sin discusión.

1.3 SOLICITACIONES MAYORADAS

Para el estado límite del agotamiento resistente, es decir, las condiciones pertinentes a la

resistencia máxima, las solicitaciones para el diseño de una sección se determinan sumando las

solicitaciones de servicio o utilización previstas, que actúan simultáneamente sobre ella,

multiplicadas por factores de mayoración, cuyos valores se especifican en las normas con criterios

probabilísticos y dependen del origen de las acciones. Esto puede expresarse en notación compacta

como:

∑= iiu AFA (1-9)

donde uA denota vectorialmente la solicitación mayorada, sea carga axial,

momento flector x, momento flector y, o fuerza cortante mayoradas, calificada por el subíndice "u"

empleado internacionalmente para identificar este estado límite, que, por cierto, no significa


"último" en nuestro idioma. Fi son los factores de mayoración, y tA las solicitaciones de servicio o

utilización, sean cargas axiales, momentos flectores o fuerzas cortantes previstas. Habitualmente, la

sumatoria tiene un máximo de solo tres términos, o sea, i = 1, 2, 3.

Como se sabe, las solicitaciones de servicio previstas se obtienen mediante el análisis

estructural de las diversas acciones a que se espera esté sometida la edificación: permanentes,

variables, de sismo, viento, empuje de tierras, sobrecargas de construcción, extraordinarias, etc..

Estas se reglamentan en las Normas COVENIN-MINDUR 2002, 1756 y 2003 , Referencias {9} y

{5}, respectivamente. Las tres primeras se denotan aquí con sus subíndices CP, CV y SIS.

En nuestras Normas de Concreto, las solicitaciones mayoradas se denominan

equivalentemente "resistencia requerida", y tanto las combinaciones como; factores de mayoración a

considerar se estipulan en la Sección <9.2 >.

La interpretación de las combinaciones de solicitaciones tomando en cuenta el sismo,

Secciones <9.2.1> a <9.2.3> da lugar a un crecido número de casos de diseño, los cuales se deducen

a continuación, tomando en cuenta la posibilidad que hay varios casos de cargas variables, es decir,

movimientos de cargas, los cuales se indican con el subíndice j.

1) Para cargas gravitacionales solamente, la Fórmula (9-1) de las Normas se expresa en

nuestra notación como:

jAAA CVCPu ,7.14.1 += (1-10)

lugar a j casos a considerar.

2) Para la estructura cargada sometida al sismo de proyecto, suponiendo que actúa en dos

direcciones ortogonales SISX y SISY, la Fórmula (9-2) de las Normas tiene que ser

reescrita y bifurcada dos veces:


▌ ( )SISXCVCPu AjAAA 9.1,7.14.175.0 ±+=

▌ ( )SISYCVCPu AjAAA 9.1,7.14.175.0 ±+= (1-11)

lo que causa 4 j casos. (▌ denota modificación en 1985 ).

3) Para la estructura descargada sometida al sismo de proyecto, hay que bifurcar también la

Fórmula (9-3) de las Normas:

▌ SISXCPu AAA 4.19.0 ±=

▌ SISYCPu AAA 4.19.0 ±= (1-12)

que aportan 4 más. (Desde 1985 todos los FSIS son 1.0 <C-9.2> ).

Consecuentemente, como cada columna tiene dos secciones críticas, la de su extremo

superior y la del inferior, el número total de diseños a realizar es el doble de la suma de los casos

anteriores:

Número de casos = 10 j +8 (1-13)

Si no se mueven cargas j = 1. Por lo tanto, siempre habrá que diseñar cada columna, como

mínimo, para dieciocho combinaciones simultáneas de carga axial y momentos flectores mayorados:

9 para la sección superior y otras 9 para la sección inferior. Si se requiere mover las cargas

variables, usualmente de cinco maneras, entonces será necesario diseñar cada columna o muro para

58 casos.

Al estar nuestras ciudades y edificaciones importantes en zonas sísmicas {9}, lo anterior

significa un elevadísimo número de cálculos por estructura, que puede ser todavía mayor si hay que

considerar otras acciones adicionales (un conocido programa contempla 75), y hace pensar que se

requiere un procesamiento automatizado y, aún así, buscar simplificaciones. Por otra parte, como se

advierte en 1.2.3 que las superficies resistentes tienen formas muy peculiares difíciles de anticipar,


se infiere que, tanto por las solicitaciones como por la resistencia, va a ser arduo y consumirá mucho

tiempo el poder desarrollar una intuición para vaticinar el porcentaje de armaduras del caso crítico

{21}.

Respecto a abreviar y aliviar esta impresionante cantidad de diseños de acero cuando

sabemos que sólo el de más área controla, es lógico pensar en algún medio de eliminar los casos de

solicitaciones superfluas. Como las superficies son predominantemente convexas {21}, el

equivalente geométrico de esta idea es simplemente encontrar la envolvente exterior de la nube de

puntos que las solicitaciones mayoradas sitúan en el espacio tridimensional resistente, y diseñar los

refuerzos sólo para los que la determinan. Lamentablemente, como en el proyecto de columnas nada

puede subestimarse, este problema no ha sido resuelto todavía en el espacio y tiene nombre en las

matemáticas algorítmicas: "el problema del casco convexo" {19}.

Sin embargo, en el Capítulo 2, Sección 2.7.2, se presenta una simple y eficiente solución

para el caso plano de los diagramas de interacción y la flexión simple denominada "El Algoritmo de

los Casos Superfluos" {16}. Esta es muy sencilla y breve de programar, y ahorra alrededor de 2/3 de

los diseños {19}. Su extensión a la flexión desviada sólo es posible cuando se emplea el conocido

criterio ultraconservador de "la carga trasladada paralela a la diagonal", la cual se detalla en 2.7.2.

Ambos casos se ilustran numéricamente en el Capítulo 3.

1.4 CRITERIOS DE DISEÑO Y REVISIÓN

Una de las ventajas del diseño en el estado límite del agotamiento resistente es la clara y útil

separación entre resistencias y solicitaciones, las cuales en la teoría de las tensiones admisibles están

siempre mezcladas. La resistencia es una propiedad única de la sección o miembro; las

solicitaciones son algo externo, que pueden tener tantos valores como acciones y combinaciones

necesite considerar el proyectista. En consecuencia, además de operar con conceptos explícitos,

tenemos el control de los factores de seguridad y la posibilidad de modificarlos cuando sea

oportuno.


La determinación de la resistencia se asocia al problema de análisis y comportamiento de los

materiales, y en el caso de nuestras columnas se ha expuesto en forma resumida en el Artículo 1.2.

Encontrar las solicitaciones es asunto de la modelación y cálculo estructural pero, por referirse

todavía sólo a las acciones de servicio o utilización previstas, hay que multiplicar éstas por factores

de mayoración para hallar las de diseño en el agotamiento, como se ha descrito en el Artículo 1.3.

Geométricamente, en el cómodo espacio de representación de cargas axiales y momentos

flectores, la resistencia flexoaxial minorada ф R es una superficie cerrada, suave y armoniosa, con

dos polos distinguidos C y T; véase la Fig. 1.1. Por otra parte, como las solicitaciones mayoradas

uA , Fórmula (1-9), significan la demanda de resistencia, al ubicarlas en el mismo espacio vectorial

son simplemente puntos. Si el punto queda dentro de la superficie de falla la columna resiste esa

combinación mayorada de acciones; si cae fuera no la resiste. Así de fácil es la interpretación

geométrica de la relación entre una y otras, la cual hay que cumplir y cuantificar cuidadosamente,

como se indica a continuación.

Corresponde al diseño y a la revisión relacionar y sintetizar la resistencia minorada con las

solicitaciones mayoradas. Como se sabe, el objetivo del diseño es encontrar la adecuada cantidad y

distribución económica de los materiales. Conocido ya el miembro, el propósito de la revisión es

averiguar los factores de seguridad que éste tiene ante cualquier acción esperada.

Evidentemente, la resistencia minorada de una sección ha de ser igual o superior a todas las

resistencias requeridas por las solicitaciones mayoradas. Entonces, pensando en los volúmenes de

falla flexoaxiales como la superposición de superficies resistentes cuando se aumentan

proporcionalmente las áreas de acero, Fig. 1.1 y Fórmula (1-1), y en el útil símil de la cebolla

propuesto en la Sección 1.2.3, el determinar la cantidad de armaduras equivale a encontrar cuál

casco encierra a todos los puntos uA . Esto se escribe mediante la siguiente expresión, donde sus


términos se subrayan con los nombres que se utilizan para designarlos, tanto en las Normas de

Concreto como en la literatura especializada:

RAFA iiu φ≤=∑ (1-14)

la cual tiene que cumplirse para todos los casos de solicitaciones simultáneas que exigen las

Normas; véase (1-13).

El diseño se realiza según los siguientes métodos resumidos, los cuales se precisan en el

Capítulo 2 y sus ejemplos numéricos en el 3:

Obtenidas todas las combinaciones de solicitaciones mayoradas S por las Fórmulas (1-10) a

(1-12), afectadas por la corrección al factor de minoración de resistencias si no es 0.7, y aumentadas

por los efectos de esbeltez cuando sean aplicables, véase 1.8 y los detalles respectivos en 2.3 y 2.5,

se pasan a las cargas y momentos adimensionales definidos por (1-3) a (1-5) y (1-8). Si las columnas

tienen secciones circulares, rectangulares o cruciformes se usarán los diagramas 1 a 40 del Capítulo

4, y las isocargas 41 a 90 si son en forma de ele, dependiendo de la combinación de materiales,

véase 1.5, y de la forma de la sección, como se describe en 1.6.

Cuando hay flexión simple, el primer paso para el diseño con diagramas es localizar el ábaco por la

geometría y separación de armaduras de la sección y el plano de carga, véase 1.6. Seleccionado éste

la intersección de la carga adimensional con el momento adimensional mayorados define la cuantía


mecánica u (1-6) buscada. Los métodos de cálculo en flexión desviada con diagramas de interacción

se presentan en 2.7.3, aprovechando la resistencia en la mediatriz y la resistencia en la diagonal, con

lo que se consiguen grandes ahorros.

El diseño con isocargas es directo en flexión desviada: basta ubicar el ábaco de acuerdo con

la estrechez de la sección y el nivel de carga axial adimensional, y entonces la intersección de los

momentos adimensionales x e y definirá la isobara ω buscada.

Si los valores de los ábacos no coinciden con las solicitaciones puede interpolarse

linealmente tomando en cuenta los conceptos resistentes compendiados en 1.5 y 1.6.

En todo lo anterior sólo se ha tratado el diseño de los refuerzos por ser el de interés rutinario.

Como se sabe, cuando las dimensiones de la sección también son desconocidas, hay que

determinarlas por tediosas aproximaciones sucesivas.

El diseño de las secciones circulares, rectangulares y cruciformes, sea en flexión simple o

desviada, se puede realizar automática e instantáneamente por medio de los modelos matemáticos

aproximados de una sola fórmula que para los diagramas de interacción han evolucionado en estas

investigaciones desde 1965 {16,19}. Una introducción se halla en el Artículo 1.7, sus

procedimientos de cálculo en 2.7.5 y 2.7.6, varios ejemplos en el Capítulo 3, y las tablas de sus

coeficientes en el Capítulo 5.

Como se ha mencionado en 1.3, el impresionante número de combinaciones de solicitaciones

mayoradas que especifican las normas hace pensar que los ábacos y tablas para el cálculo de

columnas tienen que ser sustituidos por procesamientos electrónicos. Pues bien, en las

investigaciones de la UCV también se ha resuelto el diseño automatizado desde 1973, sea cual fuese

la sección, materiales y grado de pretensión de los refuerzos {16}; tema que está fuera de los


objetivos y extensión de este Manual. Como se esboza en las Refs. {18}, se realiza mediante las

"isogonas", definidas como las líneas alabeadas que corresponden a inclinaciones iguales del eje

neutro, las cuales viajan sobre las superficies resistentes desde un polo a otro cambiando de rumbo

varias veces {16,18,21}. Así, los volúmenes de falla se determinan en forma directa, rápida y

compacta sólo con la pareja de valores que proveen la resistencia del concreto y la del acero

unitario; es decir los conceptos que extractan la Fórmula (1-1). Entonces las cuantías mecánicas se

obtienen aplicando el método de Newton-Raphson al modelo paramétrico que los describen

eficientemente en el espacio {16}. Tal procedimiento debe publicarse en la monografía en

elaboración {26}.

En general, se define como "factor de seguridad" al cociente de dividir una condición que

conduce a la inutilidad entre la condición de servicio o utilización prevista. En palabras simples, el

factor de seguridad mide cuan lejos se está de un peligro. Pese a dar un solo valor, este es un

estimador muy práctico e informativo, aplicable hasta en cuestiones económicas. En el vocabulario

resistente, el factor de seguridad global FS es la relación de la resistencia de agotamiento respecto a

la resistencia requerida por las acciones de servicio, cuyos valores mínimos se especifican en las

Normas de Acciones {4}.

Consecuentemente y con rigor, el factor de seguridad depende de la trayectoria que las

acciones de servicio seguirán en el espacio resistente hasta llegar a la superficie de falla. Si s señala

el camino, en nuestra notación:

( ) ( )AsRsFS /= (1-15)

En el problema de revisión se conoce el miembro y, por tanto, su resistencia mediante 1.2.

Aun en el supuesto ideal que se tuvieran los valores precisos de las acciones de servicio, el problema

de evaluar la Fórmula anterior radica en que no se sabe cómo se va a llegar a la falla. En efecto, si el

problema fuera simplemente unidimensional, como un momento flector puro, no hay duda que sería

sólo a expensas de aumentar las fuerzas que lo producen. Pero la resistencia flexoaxial tiene tres

componentes, así que a la falla se podría llegar bien aplicando una excentricidad constante, como en


los primeros ensayos de columnas {14}; bien aumentando los momentos y dejando las cargas

axiales constantes, o sea a través de una isocarga, por cierto difícil de obtener en el laboratorio sobre

miembros aislados; manteniendo los momentos constantes y aumentando la carga axial; o con

cualquier otra senda, como ocurre cuando en los pórticos las rigideces de los miembros se

modifican, en forma complicada y aun oscura, por los efectos de esbeltez y el factor llamado P-δ

{10}, descargándose unos y esforzándose más otros hasta que se llega al colapso plásticamente.

Así que la revisión es por esencia un problema probabilístico y tampoco sencillo. A

continuación, y mientras las normas no pauten otros, se recomiendan unos criterios simples para

estimar los factores de seguridad globales en los casos ordinarios, los cuales se han utilizado en el

proyecto y verificación de edificios altos, en muros estructurales e incluso hasta plantas completas

{16,21} . Esto es factible porque, según 1.2.2, las superficies de falla pueden determinarse ahora en

forma exacta y económica satisfaciendo todos los requisitos de los reglamentos vigentes. En estas

recomendaciones se fija la trayectoria de las acciones previstas hasta su intersección con la

superficie resistente conocida {16}.

En el caso de cargas gravitacionales sin sismo, a falta de otra información, es lógico suponer

que las solicitaciones de utilización previstas CVCP AA + alcanzarán la superficie de falla a expensas

del crecimiento de las acciones variables solamente, es decir, de prolongar este vector, como se

ilustra en la Fig. 1.2a. De esta forma, según (1-15), el factor de seguridad global será igual a la

longitud de la línea OPR dividida entre la longitud OPV.

Cuando se considera el sismo, las solicitaciones de servicio se ubican sumando a los vectores

anteriores de las acciones verticales el vector del sismo de diseño previsto, el cual puede ocurrir en

los dos sentidos opuestos: más y menos SISA , llamados "sismo directo" y "sismo inverso"; Fig. 1.2b.

Lo más simple y razonable es admitir que hay dos trayectorias hasta la superficie de falla, obtenidas

al prolongar a uno y otro lado los vectores del sismo. Así, los factores de seguridad globales bajo ese

sismo se pueden estimar como los cocientes de las sendas de longitudes (OPV ± VR) divididas entre


a) A

ccio

nes G

ravi

taci

onal

es Ú

nica

men

te

b) A

ccio

nes G

ravi

taci

onal

es m

ás S

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ia: E

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la R

evis

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la longitudes (OPV + VS). Análogamente se efectuaría para la combinación del sismo y el miembro

descargado.

Los factores de seguridad así calculados deben satisfacer los valores mínimos recomendados

por las normas {2,9}; véase (1-10) a (1-12). Principalmente, de su examen e interpretación se

pueden deducir y juzgar tanto la idoneidad, eficiencia y economía de los miembros diseñados, como

la eficacia de toda la estructura y el aprovechamiento logrado de sus materiales.

1.5 MATERIALES

En este Manual se presentan fórmulas y ábacos para dos combinaciones de materiales:

f’c ≤ 280 y fy = 2800 kgf/cm2

f’c ≤ 350 y fy = 4200 kgf/cm2

por considerarse que comprenden las resistencias con que se construye actual -mente en Venezuela.

Esto significa que los concretos utilizados con aceros de calidad 2800 kgf/cm2 pueden estar

comprendidos entre una resistencia de 200 y 280 kgf/cm2, mientras que los empleados con aceros de

4200 kgf/cm2 pueden tener una resistencia entre 200 y 350 kgf/cm2.

Las cómodas y amplias variables adimensionales definidas en 1.2.4 son muy poco sensibles

a los cambios de la resistencia del concreto, mientras que, por lo contrario, la influencia de variar la

resistencia del acero es muy grande. Como puede verificarse en los ábacos del Capítulo 4, la

resistencia adimensional disminuye a medida que la calidad del acero fy aumenta.


Consecuentemente, la equivocación de utilizar los ábacos o las fórmulas de fy = 2800 cuando los

aceros especificados son de 4200 es grande y en contra de la seguridad.

En el caso de refuerzos de 3500 kgf/cm2 se puede interpolar linealmente entre los ábacos

correspondientes de las dos combinaciones de materiales presentadas.

1.6 SECCIONES

En este Manual se encuentran fórmulas y ábacos para el proyecto de columnas de concreto

reforzado con cuatro tipos de secciones: circulares, rectangulares, cruciformes y eles. En las Figuras

1.3 a 1.5 se resumen su geometría, la distribución de sus aceros y los planos de carga considerados,

así como la numeración pertinente de los 90 ábacos del Capítulo 4.

La resistencia de las secciones circulares, rectangulares y cruciformes se ha calculado con

diagramas de interacción (8,16 y 16 respectivamente), y la de las eles con isocargas (50 gráficos).

Además, se presentan modelos matemáticos que describen en forma satisfactoria y simple los

diagramas: 2 fórmulas para las secciones circulares, 4 para las rectangulares y 16 para las

cruciformes; véase 1.7.

La selección del ábaco a emplear depende de las dos combinaciones de materiales

disponibles, véase 1.5; del tipo de sección; de la relación de recubrimientos del refuerzo en las

circulares y rectangulares, o de la estrechez de la sección en las cruciformes y eles; y del plano de

carga, sea la mediatriz o la diagonal de la sección en las rectangulares y cruciformes, o del nivel de

carga axial en las eles.

La relación de recubrimientos y mide la distancia relativa de las armaduras extremas y es una

variable de influencia importante en la resistencia a la flexión de las secciones circulares y

rectangulares. Se suele definir como el cociente de la distancia entre armaduras más lejanas dividida

entre el tamaño de la sección en la dirección considerada. Por ejemplo:


( ) ara /2−=γ (1-16)

donde a es un lado y r el recubrimiento de cálculo de las capas de barras más distantes

perpendiculares a ese lado; véase la Fig. 1.3. En este Manual se adoptan cuatro valores: 0.6 que

corresponde a lados mínimos de 0.25 metros, 0.7 para mayores de 0.30 m, 0.8 para dimensiones de

columnas mayores de 0.50 m, y 0.90 para tamaños superiores a un metro. Para casos intermedios se

interpola linealmente o se toma conservadoramente el valor inferior. Lógicamente, mientras más

separadas se coloquen las barras dentro de la sección, y entonces y es mayor, más momento se

puede absorber.

La relación de estrechez interviene en las secciones cruciformes y eles. Se mide por el

coeficiente α, definido como el cociente de dividir el lado entre el espesor:

ba /=α (1-17)

Claramente, mayores relaciones de estrechez indican columnas y muros más grandes.

Las necesidades de ser lo más simple y general posible, para facilitar las tediosas y múltiples

labores de los usuarios, así como el limitar el número de ábacos a una cantidad práctica y realista se

guiaron por los criterios que se sintetizan más adelante. Otros pormenores se hallan en la Ref. {19}.

Particularmente, las secciones ele, resueltas por primera vez en estas investigaciones, se describen

con amplitud en cualquiera de las Refs. {18}.

Nunca estará de más recordar e insistir que para abaratar la obra, simplificar su inspección y

control, y, en definitiva, llegar a materializar la estructura concebida, es necesario especificar muy

pocos tipos de armados, repetitivos y de comprobada factibilidad y sencillez de construcción.

Asimismo, el arte del detallado de los refuerzos, que un Manual como éste solo esboza, debe ser

capaz de lograr un hormigonado y vibrado efectivo, evitar concentración de tensiones con una

distribución de barras generosa, proveer un atado de las barras longitudinales y un confinamiento del

concreto adecuados, y también permitir ahorrativos solapes y prolongaciones a las columnas


contiguas. Son los detallados de las secciones que van a la obra lo que cuenta y lo que cuesta; no los

cálculos {13,27 Capítulo 13}.

Es importante tener presente que aunque todas las secciones incluidas son simétricas, el uso

de sus ábacos puede extenderse fácilmente para diseñar otras asimétricas afines, mediante la nueva

teoría, procedimientos e ilustraciones gráficas y numéricas que se exponen en la Ref. {22}. Esto

significa que, por ejemplo, las columnas paralelográmicas y rómbicas pueden calcularse con los

diagramas de las rectangulares, y que la resistencia de muchas secciones elípticas, de necesitarse, se

deducirían directamente de los gráficos de las circulares.

Como información complementaria para otros tipos de secciones, en la Ref. {26} se deben

publicar los diagramas que ya se han obtenido para las columnas anulares y rectangulares huecas,

citados en la Ref. {21}. En el caso de secciones rectangulares sin armaduras laterales, una

disposición poco recomendable o imposible en zonas sísmicas, los diagramas adimensionales

pioneros de la Ref. {8} de 1970 siguen siendo indiscutiblemente los mejores, mientras que todas sus

ediciones posteriores son inconvenientes por no estar en nuestras unidades. En la síntesis de la Ref.

{21} se hallan más colecciones de ábacos calculados según las recomendaciones europeas, que, al

especificar factores de minoración de resistencias diferentes para el concreto y para el acero, son

muy difíciles de aprovechar. De entre ellos merecen destacarse los del famoso texto de la Ref. {12}.

1.6.1 Circulares

En las secciones circulares, diagramas de interacción 1 a 8, el refuerzo se ha considerado

dispuesto en un anillo continuo, lo cual es en favor de la seguridad y preciso ya con solo 8 barras;

véase la Fig. 1.3a.


Figura 1.3.- Secciones Circulares y Rectangulares calculadas

con Diagramas: γ = 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9


Figura 1.4.- Secciones Cruciformes calculadas con

Diagramas, Ábacos Nº 25 a 40.


Figura 1.5.- Secciones Ele calculadas con Isocargas

Ábacos Nº 41 a 90.


1.6.2 Rectangulares

En las secciones rectangulares, Fig. 1.3b y diagramas 9 a 24, se seleccionó exclusivamente la

disposición de refuerzos perimetral ρX igual a Py, con porcentajes de acero iguales y simétricos en

las dos direcciones; es decir, la misma cantidad de acero en las cuatro caras. Esta disposición no solo

es cercana a la ideal de tener las barras lo más distribuidas posible en el contorno de la sección, es la

más razonable y equirresistente en zonas sísmicas, así como sencilla de especificar para la

construcción, sino también es la más conservadora cuando al detallar el acero el usuario se ve

obligado a apartarse de este patrón {16,19}. Por otro lado, permite el diseño más simple de todas las

secciones rectangulares; ibid..

Como se demuestra en la Ref. {22}, con las variables adimensionales aquí adoptadas, el

proyectista no tiene que preocuparse por las diferentes "relaciones de aspecto", como se denomina

ahora a la relación de rectangularidad, o sea la proporción del lado largo respecto al lado corto,

siempre que pueda mantener la disposición del refuerzo señalada.

1.6.3 Cruciformes

En la Figura 1.4 están las cuatro secciones cruciformes, cuya resistencia se presenta en los

diagramas 25 a 40, correspondientes a las relaciones de estrechez a igual a 2, 3, 5 y 7 o más,

elegidas tras estudiar la influencia de esta variable, con refuerzo supuesto continuo y una relación de

recubrimientos única y conservadora de 0.8.

1.6.4 Eles

En la Figura 1.5 se detallan las cinco secciones eles que se seleccionaron después de una

extensa investigación {18}. Como puede observarse, la distribución de los refuerzos está supeditada

a la estrechez y al confinamiento requerido en las zonas sísmicas. Estas secciones, como en todas las

que carecen de muchos ejes de simetría, se calcularon con isocargas, ábacos 41 a 90. Cinco gráficos

dobles por cada sección y combinación de materiales, o sea diez niveles de carga axial adimensional


por columna, permiten precisar mediante paralelos sus bellas, armoniosas y sorprendentes

superficies de falla {18,21}.

1.7 FORMULAS

Como se sostiene en 1.2.1, las superficies de falla flexoaxiales no son formulables. Por lo

tanto, hay que recurrir a la búsqueda de modelos matemáticos razonablemente aproximados y

prácticos para el cálculo rutinario de las numerosas solicitaciones mayoradas a considerar. En la

Sección 5.9 de la Ref. {21} se encuentra una revista de este problema.

En este Manual los diagramas de interacción se describen con una sola fórmula mediante el

sencillo "modelo traslacional ", y las isocargas de las secciones rectangulares y cruciformes se

aproximan satisfactoria y conservadoramente con poligonales {16,19}. En contraste, las

sorprendentes isocargas de las secciones ele no tienen modelos y ni siquiera se ha comenzado su

investigación.

El modelo traslacional, cuya versión para las normas venezolanas de teoría clásica se aplica

cotidianamente desde 1970, obtiene el momento resistente adimensional según la siguiente

expresión general y simple {16,19}:

( ) ( )νωνµ BA += (1-18)

donde A y B son polinomios de tercer grado que dependen solo de la carga axial adimensional ν,

definida en (1-3). Como se observa, en el análisis la fórmula se aplica directamente y en el diseño la

cuantía del refuerzo se despeja linealmente. Así, el cálculo con diagramas de interacción es

instantáneo y se puede programar incluso en los minicomputadores de menor capacidad. Como

además aquí se suministran fórmulas que incorporan en B la relación de recubrimiento y en función

continua de la carga adimensional, basta una fórmula para cada combinación de materiales y plano

de carga; véase 2.7.5, 2.7.6 y los ejemplos numéricos en 3.4 y 3.5. Así, para las secciones circulares

hay que manejar únicamente dos fórmulas, y tanto para las rectangulares como para cada una de las


cruciformes solo se necesitan dos fórmulas para cargas en la mediatriz y otras dos para cargas en la

diagonal.

Cuando se tiene una expresión como la anterior para la resistencia en la mediatriz y otra

semejante para la resistencia en la diagonal, al suponer que las isocargas que las unen son rectas, la

cuantía mecánica se despeja de una ecuación de segundo grado; véase (2-39). Este método realista y

conservador que aquí se estrena, constituye la solución más satisfactoria, completa, sencilla y rápida

para resolver actualmente el problema del diseño en flexión desviada de las columnas rectangulares,

así como el primero enteramente automatizable y capaz de ser aplicado hasta en los calculadores

programables mínimos {19,21}.

Las Figuras 1.6 y 1.7 ilustran la bondad que puede esperarse del ajuste de estos modelos a

sus prototipos de superficies resistentes de falla.

En general, en los diagramas de interacción los errores mayores ocurren en la vecindad de

los casos extremos y teóricos de las compresiones y las tracciones puras; son siempre conservadores

y montan a una cuantía mecánica ω de +0.1. En cambio, los errores en contra de la seguridad son

bastante pequeños y suceden a unas excentricidades relativas, µ/ν, del orden de 0.3; véase la Fig.

1.6. La decisión de aproximar por rectas las isocargas entre la diagonal y la mediatriz es siempre

conservadora {21} y el error máximo es del orden de ω igual a + 0.1; véase la Fig. 1.7. Este es un

precio bajo por unas fórmulas que son tan sencillas como útiles y de tan amplio alcance.

La teoría y los detalles que sustentan al modelo traslacional se hallan en la Ref. {26}. Hasta

que ésta se publique se recomienda consultar las Refs. {16} y {19}. Por otra parte, en el Artículo 4.1

se hace una útil y sencilla aplicación del otro modelo propuesto, más refinado a costa de una mayor

complicación y apenas explorado, titulado el "modelo polar" {16}.


Figura 1.6.- Ejemplo típico de la bondad del ajuste del

Modelo Trasnacional para los diagramas


Figura 1.7.- Isocargas típicas de las secciones rectangulares

simétricas ρx = ρy. Bondad del modelo lineal.


La aproximación conservadora y simple de que las isocargas son poligonales ofrece otras

aplicaciones y fórmulas útiles para las secciones rectangulares y cruciformes. Si se supone que las

resistencias en la mediatriz se unen mediante rectas con las resistencias en la diagonal,

correspondientes a la misma carga axial υ e igual cuantía mecánica ω, como la Fig. 1.7 expone, se

deduce fácilmente que cuando µx ≥ µy las ecuaciones de tales isocargas pueden expresarse así:

yxm µβµµ += (1-19)

donde µm es la resistencia a la flexión en la mediatriz, y β es la tangente del ángulo que mide la

convexidad que suministra la resistencia a flexión en la diagonal µd, pudiéndose demostrar {22} que

vale:

11 ≤

−=

d

m

µµ

β (1-20)

En otras palabras mucho más significativas y prácticas, β mide la ineficacia de la diagonal.

En efecto, dados los momentos mayorados de una acción, µx y µy, el momento resistente que se

requiere en la mediatriz será menor cuanto más resista la diagonal y, consecuentemente, β valga

menos.

Como sabemos por 1.2.3 que las superficies de falla son predominantemente convexas, es

decir que, en general, no presentan entrantes, y de haberlos son pequeños, la resistencia mínima que

puede esperarse en la diagonal corresponde a un valor de β igual a la unidad; sin haber entrantes ni

salientes. Entonces las isocargas se reducen a unas rectas a 45° que cierran cada cuadrante, o sea los

contornos de la superficie de falla a cargas constantes formarían rombos regulares.

Esta es la base del método de cálculo aproximado para las secciones rectangulares en flexión

desviada denominado de la "carga trasladada", que ha sido muy popular en Venezuela desde las

normas de 1967, y citado en las Refs. {12} y {27}. Intenta convertir el problema de flexión desviada

en otro equivalente de flexión simple, utilizando únicamente los diagramas de interacción


disponibles en la mediatriz. Lógicamente, fue muy útil cuando no habían ábacos con la resistencia

en la diagonal {22}, por lo que se dedicaron muchos esfuerzos para determinar los valores

apropiados de β y los parámetros de otras curvas más complicadas, como las superelipses

{12,16,19}. No obstante, como la contribución de la resistencia diagonal depende de muchas

variables: el nivel de carga axial, la cuantía mecánica, la relación de recubrimientos, la calidad del

acero y la geometría de la sección, se llega así a un problema más formidable que el original

{16,19,26}.

La táctica más simplista, cómoda y conservadora, a veces en demasía, recomendadas en las

mencionadas normas venezolanas, consiste en trasladar la acción en flexión desviada a la mediatriz

según la recta (1-19) con β igual a 1, ignorando la contribución de la resistencia en la diagonal.

Entonces basta sumar los dos momentos mayorados componentes y se demuestra que la recta de

traslado es paralela a la diagonal de la sección. No obstante, es importante advertir que esta

aproximación es válida y da el acero total mínimo sólo cuando se calcula con ábacos que disponen

aceros iguales en las cuatro caras {19}.

En este Manual el método de diseño de la carga trasladada se presenta en la Sección 2.7.3

con el sencillo algoritmo por aproximaciones sucesivas publicado en la Ref. {22}. Este aprovecha

mucho más precisa y eficientemente los diagramas de interacción, ya que utiliza tanto los ábacos en

la mediatriz como los de la diagonal para corregir la convexidad de las isocargas directamente.


1.8 COLUMNAS LARGAS

Se entiende por "columna larga" o "esbelta" cuando su longitud es lo suficientemente grande

para que sus flechas laterales produzcan un sensible incremento del momento flector máximo.

Este tema complejo y múltiple es toda una especialidad inagotable, bajo el dominio de los

investigadores de las estructuras metálicas, y actualmente en gran desarrollo. En general, se lo

denomina "inestabilidad estructural" o "pandeo", y la definición anterior solo implica el caso

calificado como "longitudinal".

La literatura especializada para los miembros de concreto reforzado es abundante y

creciente, pero con resultados todavía discutibles, de manera que las normas y los procedimientos de

cálculo aun están en evolución. Los textos de las Refs. {10} y {12} contienen toda la información

básica para poseer una rápida introducción cabal de las facetas de este problema. En las páginas 200

a 225 de la Ref. {16} se exponen sus principios históricos y conceptuales, pudiéndose seguir las

grandes modificaciones que han habido en los reglamentos del ACI.

En este Manual los efectos de la esbeltez se tratan en el Artículo 2.3 y varios ejemplos

numéricos se hallan en el Capítulo 3.

El cálculo de las columnas largas más sencillo, y realmente el único hoy factible, consiste en

determinar la resistencia de sus secciones como se ha expuesto en 1.2, o sea como columnas

"cortas", y aumentar sus momentos mayorados tomando ahí en cuenta y en forma aproximada los

efectos de la esbeltez. Se entiende por "relación de esbeltez" al cociente de la altura libre o no

arriostrada de una columna entre la dimensión transversal a su posible desplazamiento. Como se

asienta teóricamente en la Sección <10.10> de las Normas, la aplicación de un método "exacto"

requiere el cambio sustancial y amplio del análisis estructural, a fin de considerar la influencia de las

cargas axiales y la variación de la inercia de los miembros en las matrices de rigidez.


El problema se transfiere entonces a averiguar en cuánto deben de aumentarse los momentos.

Como se sabe, éste es un asunto matemáticamente complicado y difícil de tipificar o precisar en

unas pocas reglas universales, debido a las numerosas variables que intervienen, muchas de ellas

polémicas y complejas de modelar. Por ejemplo, el grado de restricción en los extremos de una

columna es fundamental teóricamente y muy sensible a los cambios, pero en la práctica sólo

podremos estimar llenos de dudas el aporte que proveen las vigas y placas contiguas. Análogamente,

tampoco parece posible el cuantificar en unas pocas recetas las importantes influencias que las

cargas sostenidas y el grado de agrietamiento tienen en este problema.

Nuestras Normas de Concreto, basadas en las del ACI, reconocen como éstas la gran

experiencia de los especialistas en acero estructural del Instituto Americano de la Construcción de

Acero AISC, véase nuestras Normas de Acero {3}, donde los efectos de la esbeltez se consideran

multiplicando el máximo momento extremo mayorado por un factor δ, por lo que recibe el nombre

del método de la "magnificación de momentos". Este se describe aquí en la Sección 2.3.4 y, a

diferencia de normas anteriores, sus pasos y fórmulas son muy sencillos de seguir. El estudio de las

extensas Secciones <C-10.10> y <C-10.11> del Comentario es esencial para su aplicación cabal, y

la información docente se puede encontrar en el texto de la Ref. {10}.

1.9 REFUERZOS TRANSVERSALES

Las experiencias acumuladas en los últimos sismos han demostrado fehacientemente que el

confinar las columnas y los nodos es algo esencial en las edificaciones sismo-resistentes {1,27}.

Es interesante destacar que en nuestras normas anteriores, como en muchas otras, se

desalentaba el uso de las columnas zunchadas o confinadas, algo más costosas que las ligadas,

mientras que en las ACI fueron las columnas zunchadas las básicas desde 1936. Además, las normas

del Instituto Americano del Concreto, sólo desde 1971 acompañadas de comentarios, siempre han


asignado la misma resistencia a ambas, por lo que todo contribuyó lógicamente a que las columnas

confinadas fueran rechazadas por quienes no conocían su comportamiento ni las razones de sus

fórmulas; principalmente porque esa información fue inaccesible durante muchos años. En el

Capítulo 2 de la Ref. {14} se presenta minuciosamente el comportamiento de las columnas

confinadas con refuerzos transversales a través de las diversas y costosas investigaciones en

compresión pura que fueron patrocinadas por el ACI por más de dos décadas.

Como se demuestra en la Ref. {14} y ahora se resume en el Comentario de nuestras Normas

<C-10.9.3>, las teóricas resistencias nominales en compresión pura de las columnas zunchadas y

ligadas son las mismas, simplemente porque se especifica colocar el volumen mínimo de armaduras

transversales de confinamiento para que esto ocurra. No obstante, aunque las resistencias sean

iguales, los comportamientos y las deformaciones son muy diferentes. Las columnas así confinadas

exhiben una gran ductilidad y, ante un sismo severo, podrán mantener la estructura en pie, como se

ha comprobado y se puede observar en las numerosas imágenes de la Ref. {1}.

El confinamiento del núcleo de un miembro de concreto reforzado es el único modo de modificar la

curva constitutiva tensiones-deformaciones del concreto y obtener ductilidad cuando está sometido a

altas compresiones y/o fuerzas cortantes {14,27}. Especialmente el texto de la Ref. {27} es uno de

los primeros en detallar los refuerzos recomendados en zonas sísmicas, producto de muchas

experiencias e investigaciones. El Capítulo 18 de nuestras Normas trata las reglamentaciones sismo-

resistentes y hay muchas recomendaciones de interés en sus comentarios <C-18>.

Paralelamente, hay que disponer armaduras transversales, en forma de estribos, cercos y

grapas, para resistir las fuerzas cortantes en las columnas. Las especificaciones pertinentes se

encuentran en las Secciones < 11.3 > y < 11.4 > y no ofrecen dificultades conceptuales para los que

están acostumbrados al diseño en corte según las normas ACI {7}. En este Manual, los requisitos se

resumen en el Artículo 2.8 y varios ejemplos se pueden seguir en el Capítulo 3. Véanse

especialmente <18.1.2.2> y <18.3.4>.


NOTAS

Este Manual se ciñe a la primera versión de las nuevas normas venezolanas para estructuras


Concreto, ACI 318-77. Las rayas negras verticales en los márgenes izquierdos advierten que las

líneas abarcadas tienen alguna modificación en las ediciones posteriores COVENIN-MINDUR

1753-85 o ACI 1983. Estas sólo cambian, respectivamente, el factor de mayoración de acciones

sísmicas y el coeficiente de magnificación de momentos para desplazamientos laterales; véanse los

Capítulos <10> y <18>.


2. MÉTODOS DE CÁLCULO

2.1 INTRODUCCIÓN

En este Capítulo se discute en detalle cada una de las actividades necesarias para el diseño de

una columna de concreto armado, de acuerdo con las Normas de Concreto {2}. Este Capítulo sólo

presenta los procedimientos operativos y las fórmulas necesarias para el cálculo, de acuerdo con los

conceptos presentados en el Capítulo 1. Los Capítulos 4 y 5 de este Manual contienen los ábacos y

las fórmulas necesarios para implementar los procedimientos de este Capítulo, mientras que el

Capítulo 3 suministra algunos ejemplos numéricos.

El diseño de columnas de concreto armado requiere atender requisitos de resistencia y

detallado que pueden agruparse en una serie de actividades presentadas en la Tabla 2.1. A

continuación se enumeran las actividades:

1) Determinación de la resistencia requerida: las combinaciones de solicitaciones mayoradas se

calculan según los lineamientos del Artículo 2.2; el caso típico se resume en la Tabla 2.2.

2) Revisión por esbeltez: se adopta un coeficiente de longitud efectiva apropiado, según se

describe en el Artículo 2.3.2, y se determina si los efectos de esbeltez han de considerarse

usando el Artículo 2.3.3. En caso afirmativo puede usarse el Artículo 2.3.4 para hallar el

magnificador de momento δ para cada combinación de solicitaciones mayoradas.

3) Corrección del factor de minoración de resistencias: esta corrección puede omitirse

adoptando ø1. = 1.0, lo cual es conservador, o puede utilizarse calculando para cada

combinación de solicitaciones mayoradas el coeficiente de corrección tomado de 2.4.2 en

el caso de columnas con ligaduras, o de 2.4.3 en el caso de columnas con zunchos.

4) Cálculo de la resistencia adimensional requerida: para cada combinación de solicitaciones

mayoradas se halla la resistencia adimensional requerida por medio de las Fórmulas (2-15) a

(2-17) del Artículo 2.5.1.

5) Cálculo del acero longitudinal: éste se hace utilizando uno de los métodos específicos

discutidos en el Artículo 2.7, y los ábacos o fórmulas pertinentes. Para un caso dado puede

haber varios métodos apropiados, incluyendo el diseño manual con ábacos y el uso de


NUM ACTIVIDAD ARTÍCULO EJEMPLO

1 Determinación de la

resistencia requerida 2.2 Todos

2 Revisión por esbeltez 2.3 3.4

3 Corrección del factor de

minoración de resistencias 2.4 Todos

4 Cálculo de la resistencia

adimensional requerida 2.5 Todos

5 Cálculo del acero longitudinal 2.7 Todos

6 Revisión y detallado del acero

longitudinal 2.6 Todos

7

Detallado del acero

transversal y revisión por

corte

2.8 3.1

3.3

Tabla 2.1 - Actividades en el diseño de columnas


fórmulas (susceptible de ser programado); la selección del método depende de la precisión

deseada y se discute en detalle en 2.7. El método elegido se aplica a cada combinación de

solicitaciones mayoradas con objeto de encontrar la cuantía de acero requerida en cada una.

La mayor cuantía así hallada será la requerida para la columna.

6) Revisión y detallado del acero longitudinal: la cuantía de acero longitudinal hallada en (5)

debe revisarse de acuerdo con 2.6. Si la cuantía requerida es excesiva, la columna deberá

rediseñarse. Si la cuantía es satisfactoria, deberá detallarse el acero según la disposición ideal

del ábaco o la fórmula en uso.

7) Detallado del acero transversal y revisión por corte: el Artículo 2.8 suministra los métodos

adecuados.

Nótese que los puntos (3) a (5) han de realizarse para cada combinación de solicitaciones

flexoaxiales mayoradas exigida por las Normas. Si los efectos de esbeltez han de considerarse, el

magnificador de momentos (punto 2) ha de determinarse también para cada caso. Asimismo, puede

ser necesario (realizar el diseño por corte (punto 7) para cada combinación de fuerzas cortantes

mayoradas.

La Tabla 2.1 incluye referencias a ejemplos numéricos de cada actividad en el Capítulo 3 de este

Manual.

En el Artículo 2.9 de este Capítulo se ofrecen algunos comentarios acerca de la revisión y el

análisis de columnas.

2.2 COMBINACIONES DE SOLICITACIONES MAYORADAS

Se llama "resistencia requerida" a cada una de las combinaciones de solicitaciones

mayoradas obtenidas al sumar las solicitaciones producidas por las, acciones previstas sobre la

estructura, multiplicadas por unos factores de mayoración especificados (véase 1.3 y 1.4). Estas

solicitaciones previstas se (calculan normalmente por medio de un programa de análisis estructural,

y se combinan usando los coeficientes de mayoración establecidos por las Normas de Concreto {2}.

Las combinaciones de diseño de los ejemplos del Capitulo 3 pertenecen a una estructura sometida a


FACTORES DE MAYORACIÓN COMBINACIÓN

NÚMERO (i) FCP FCV FSISX FSISY

1 1.40 1.70 0.00 0.00

2 1.05 1.28 1.43 0.00

3 1.05 1.28 -1.43* 0.00

4 0.90 0.00 1.40* 0.00

5 0.90 0.00 -1.40* 0.00

6 1.05 1.28 0.00 1.43*

7 1.05 1.28 0.00 -1.43*

8 0.90 0.00 0.00 1.40*

9 0.90 0.00 0.00 -1.40*

La resistencia requerida en la combinación

i, uiA , es:

SISYSISYiSISXSISXiCVCViCPCPiui AFAFAFAFA +++=

Siendo CPA , CVA , SISXA , SISYA las acciones correspondientes,

véase 1.3.

Tabla 2.2 - Combinaciones de diseño para carga vertical y sismo

* modificados en las Normas de Concreto 1985 a 1.0 <9.2>,

pero mantenidos en las ACÍ 1983.


cargas verticales y de sismo, según las Secciones <9.2.1> y <9.2.2> de las Normas de Concreto {2},

y se detallan en la Tabla 2.2. Si la estructura está sometida a acciones de otra naturaleza, las

Secciones <9.2.3> a <9.2.7> suministran las combinaciones adicionales a considerar. En ocasiones

pueden usarse las solicitaciones simplificadas descritas en <9.2.8>.

2.3 EFECTOS DE ESBELTEZ

2.3.1 CASOS A CONSIDERAR

Los efectos de esbeltez deben considerarse en forma aproximada según <10.11>, excepto

cuando se haga un análisis estructural de segundo orden como se describe en <10.10.1>. Este tipo de

análisis es obligatorio, según <10.11.4.3>, para aquellas columnas cuya esbeltez efectiva sea mayor

de 100:

100>rk ul (2-1)

En el diseño de columnas de concreto armado para edificios a menudo pueden ignorarse los

efectos de esbeltez. Los requisitos para este caso, según <10.11.4>, se resumen en la Sección 2.3.3.

Cuando los efectos de esbeltez han de considerarse, puede usarse el método de la magnificación de

momentos resumido en la Sección 2.3.4. En este método la columna se diseña para un momento

δ M, siendo δ el magnificador de momentos, y M el momento resultante de una combinación

particular de diseño mayorada. Véase <10.11.5> 1985.

2.3.2 CALCULO DE LA ESBELTEZ EFECTIVA

En el análisis de los efectos de esbeltez, el radio de giro r de una columna puede tomarse

como se indica en la Figura 2.1.

El coeficiente de longitud efectiva k debe calcularse por medio de un análisis que tome en

cuenta las rigideces de los miembros que inciden en la columna y restringen sus desplazamientos y

rotaciones, como el indicado en <C-10.11 >. En este método, para cada extremo de la columna se


Figura 2.1- Radios de giro de las secciones de

las columnas


calcula un coeficiente ψ que mide la relación de la rigidez de las columnas que llegan al nodo, entre

la rigidez de las vigas para el plano de flexión considerado:

( )( )∑

∑=

vigas

columnas

II

l

l

/

/ψ (2-2)

donde l es la longitud del miembro, e I es su inercia efectiva, la cual puede tomarse igual a Ig

para las columnas, y como 0.5 Ig para las vigas, siendo Ig la inercia de la sección total del

miembro.

El valor de ψ se determina para cada extremo de la columna. Si denotamos por ψA y ψB a

estos valores, al llevarlos al nomograma de la Figura 2.2 se puede hallar el coeficiente k.

En el caso de una columna que se considera empotrada en una fundación, se puede usar

ψ = 1.0, mientras que si la columna se encuentra articulada se puede adoptar un valor ψ = 10.0.

En el caso de columnas que se consideren arriostradas, siempre es conservador utilizar un

valor k igual a 1.0.

En todos los casos, los efectos de esbeltez deben analizarse separadamente para cada

dirección donde la flexión puede ocurrir, y debe determinarse el magnificador de momentos para

cada una.

2.3.3 NECESIDAD DE CONSIDERAR LOS EFECTOS DE ESBELTEZ

En el caso de columnas en pórticos no arriostrados, de acuerdo con <10.11.4.2> se podrá ignorar el

efecto de la esbeltez, si:

22<rk ul (2-3)

Y en el caso de columnas en pórticos arriostrados, <10.11.4.1> establece que se puede ignorar el

efecto de la esbeltez, si:


Figu

ra 2

.2-

Nom

ogra

mas

par

a la

det

erm

inac

ión

del c

oefic

ient

e

de

lon g

itud

efec

tiva

k


2

11234MM

rk u −<l

(2-4)

en la Fórmula (2-4) M2 es el valor absoluto del mayor momento calculado en

los extremos de la columna, y M1 es el menor momento, tomándose M1 como negativo cuando el

sentido de rotación de M1 coincide con el de M2, y positivo en caso contrario. Nótese que como

M1/M2 varía entre -1 y +1, los valores de (2-4) están comprendidos entre 22 y 46.

Cuando los efectos de esbeltez puedan ignorarse, se adoptará un magnificador de momentos

δ = 1.0. En caso contrario puede seguirse el método descrito en la Sección 2.3.4 para determinar el

magnificador de momentos, o puede usarse un método más preciso.

▌2.3.4 EVALUACIÓN APROXIMADA DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ

El magnificador de momentos δ para una columna arriostrada se calcula, ▌ según

<10.11.5.1>, por medio de la expresión:

0.11

≥−

=

PcPuCm

φ

δ (2-5)

donde Pc es la carga de Euler para la columna:

( )2

2

uc k

IEPl

π= (2-6)

donde I se calcula con la inercia efectiva de la sección agrietada, pudiéndose utilizar:

d

gc IEEI

β+=

14.0

(2-7)


donde βd es el cociente entre el momento producido por la carga permanente, dividido entre el

producido por la carga total. Obviamente, siempre resulta conservador adoptar βd, igual a 1.0.

El valor de P es la carga axial de diseño en la combinación de solicitaciones considerada, y

el valor C puede tomarse para el caso de columnas arriostradas sin cargas transversales entre sus

extremos, según <10.11.5.1>, como:

4.04.06.02

1 ≥+=MM

Cm (2-8)

En cualquier otro caso se usa Cm = 1.0. En esta Fórmula, M1 y M2 son, respectivamente, el menor y

mayor momento en los extremos de la columna. El signo de M2 siempre se toma como positivo,

mientras que el signo de M1 se toma positivo sólo si la columna se flecta en curvatura sencilla (es

decir, si M1 y M2 tienen diferente sentido de rotación); si la columna flecta en doble curvatura el

signo de M1 debe tomarse como negativo.

Para decidir si una columna puede considerarse arriostrada o no, se refiere al lector a la

Sección <C-10.11.2> del Comentario.

En el caso de una columna en un pórtico no arriostrado, <10.11.6> establece que debe

adoptarse como magnificador de momentos el mayor de los obtenidos en dos análisis

independientes:

1) Considerando la columna como arriostrada, según lo anterior.

2) Considerando la columna como no arriostrada, usando en lugar de la Fórmula (2-5) la

expresión:

0.11

≥

−

=

∑∑

c

u

m

PP

C

φ

δ (2-9)


donde las sumatorias se extienden a todas las columnas del piso en consideración. Véase

<10.11.5> de 1985.

2.4 RESISTENCIAS DE DISEÑO

2.4.1 FACTORES DE MINORACIÓN DE RESISTENCIAS

En todos los ábacos y fórmulas de este Manual el factor de minoración de resistencias a

flexión es único e igual a 0.70, véase 1.2.4. Como en algunos casos las Normas permiten un valor

algo mayor, <9.3>, en los Artículos 2.4.2 y 2.4.3 se presenta el cálculo con un factor de corrección

1φ , definido como:

70.0/1 φφ = (2-10)

Si no se desea utilizar este refinamiento, siempre será conservador adoptar 0.11 =φ

2.4.2 COLUMNAS CON LIGADURAS

En las columnas provistas con ligaduras que satisfacen <7.10.5>, puede aplicarse al factor de

minoración de resistencias el factor de corrección siguiente:

a) 0.11 =φ ,

si gcu AfP '10.0≥ (2-11)

b) 286.1'

86.2286.11 ≤−=gc

u

AfP

φ ,

si gcu AfP '10.0< (2-12)

El diseño de las ligaduras debe revisarse de acuerdo con la Sección <11.4> (véase el Artículo 2.8 de

este Manual) y puede requerir modificaciones por el Capítulo <18>.


2.4.3 COLUMNAS CON ZUNCHOS

En las columnas confinadas con zunchos que satisfacen <7.10.4>, el factor de corrección

puede tomarse como:

a) 071.11 =φ ,

si gcu AfP '10.0≥ (2-13)

b) 286.1'

15.2286.11 ≤−=gc

u

AfP

φ ,

si gcu AfP '10.0< (2-14)

El diseño de los zunchos debe realizarse tomando en cuenta <10.9.3 >, <11.4> (véase el Artículo 2.8

de este Manual) y el Capítulo <18>.

2.5 VARIABLES ADIMENSIONALES

2.5.1 RESISTENCIA

Todos los ábacos y fórmulas presentados describen la resistencia de las columnas mediante

las variables adimensionales discutidas en 1.2.4. En las expresiones que definen estas variables

adimensionales se incorporan el factor de corrección de minoración de resistencias 1φ (2.4) y los

magnificadores de momento por efectos de esbeltez δx y δy (2.3), resultando en general que cada

combinación de solicitaciones mayoradas, llamada también resistencia requerida, puede expresarse

como una carga axial adimensional:

gc

u

AfP"

/ 1φυ = (2-15)

y dos componentes de momento adimensionales:


ygc

uxxx aAf

M"

/ 1φδµ = (2-16)

xgc

uyyy aAf

M"

/ 1φδµ = (2-17)

donde ax y ay son dimensiones de referencia: las dimensiones mayores de la columna en la dirección

x y en la dirección y respectivamente. En las Fórmulas (2-16) y (2-17) Mux y Muy son las

componentes del momento en las solicitaciones mayoradas.

En algunos de los métodos de diseño presentados, se utiliza el momento adimensional

diagonal, definido como:

dAfM

gc

udd "

/ 1φµ = (2.18)

siendo Mud la resistencia de diseño a momento flector sobre la diagonal, y d la dimensión diagonal

de la columna. En los ábacos de las columnas cruciformes, sin embargo, se usa:

aAfM

gc

udd "

/' 1φµ = (2-19)

donde a es la misma dimensión de referencia usada para µx o µy. Los valores de µd y µ’d se

relacionan mediante la Fórmula (2-30) (véase 2.7.3).

2.5.2 ACERO

La cantidad de refuerzo en una columna se mide por medio de su cuantía mecánica ω,

definida como:

c

y

ff"

ρω = (2-20)


donde ρ es el porcentaje total de acero, o cuantía geométrica. Este acero se distribuye según se

indica en cada ábaco.

2.5.3 VARIABLES GEOMÉTRICAS

Como se comenta en el Articulo 1.6, la distribución del acero se caracteriza por medio de la

"relación de recubrimiento" γ, la cual se define como el cociente de la separación del refuerzo entre

la dimensión total de la columna en la dirección considerada (Figura 2.3). Aunque es conservador

usar un ábaco con una relación de recubrimiento menor que la real, puede usarse una interpolación

lineal entre dos ábacos si se desea un resultado más preciso.

La forma de una sección cruciforme o en ele se describe mediante la relación de estrechez, α,

definida en 1.6 como el cociente entre la dimensión total de la columna, y el espesor de su ala

(Figura 2.3). En general es conservador diseñar utilizando una relación de estrechez menor que la

real. De nuevo puede interpolarse para obtener resultados más precisos.

2.6 CUANTÍAS MÍNIMAS Y MÁXIMAS DE ACERO LONGITUDINAL

Las columnas han de tener un porcentaje total de acero ρ no menor del 1 % <10.9.1>. Para

los muros hay disposiciones especiales en <10.14>. También se establece que las columnas han de

tener menos del 8 % de acero <10.9.1>, pero en zonas sísmicas se rebaja este porcentaje máximo a

un 6 % <18.3.3.2>. Para los muros véanse <14-3> y <18.5> de 1985.

Por otra parte, las Normas limitan la carga axial máxima que puede aplicarse a una columna

según <10.3.4> y <10.3.5>. Es fácil demostrar que para fines de diseño este requisito es equivalente

a exigir un área mínima de acero dada por:

cy

gcmáxst ff

AfPA

""79.1

−

−≥ (2-21)

para columnas ligadas, y:


Figura 2.3 - Variables geométricas


cy

gcmáxst ff

AfPA

""57.1

−

−≥ (2-22)

para columnas confinadas. En estas Fórmulas Pmáx es la máxima carga axial mayorada obtenida en

las combinaciones de diseño. Las Fórmulas (2-21) y (2-22) pueden expresarse también en términos

de las variables adimensionales como:

cy

máxy fff

"179.1

−−

≥υ

ω (2-23)

para columnas ligadas, y:

cy

máxy fff

"157.1

−−

≥υ

ω (2-24)

para columnas confinadas. En estas Fórmulas υmáx es la máxima carga adimensional obtenida en las

combinaciones de solicitaciones mayoradas.

Las Fórmulas (2-21) a (2-24) con frecuencia darán un valor negativo, lo cual indica

simplemente que esta prescripción no controla el refuerzo longitudinal mínimo.

2.7 DETERMINACIÓN DE LA CUANTÍA REQUERIDA DE ACERO LONGITUDINAL

1.6.4 INTRODUCCIÓN

En los Artículos 2.7.2 a 2.7.6 se presentan varios métodos para determinar la cuantía de

acero longitudinal ω requerida. El método a usar depende del tipo de columna a diseñar, de que se

empleen ábacos si se calcula manualmente o fórmulas si se usa un programa, y del nivel de

precisión deseado, puesto que unos métodos son más conservadores que otros. La Tabla 2.3

presenta, para cada tipo de columna considerado, una lista de los métodos recomendados


Tabla 2.3 - Selección del método de cálculo del acero longitudinal


de diseño según se empleen los ábacos del Capítulo 4 o las fórmulas del Capítulo 5. También se

hace referencia a los ejemplos numéricos del Capítulo 3.

Los métodos de diseño basados en fórmulas se consideran en general aproximados, porque la

fórmula es sólo una representación aproximada del correspondiente diagrama de interacción; no

obstante, como se señala en el Artículo 1.7, la aproximación es muy buena y generalmente

conservadora.

1.6.5 FLEXIÓN SIMPLE CON UN DIAGRAMA DE INTERACCIÓN

Este método es exacto para el diseño de columnas circulares, rectangulares y cruciformes

cargadas en uno de sus ejes de simetría. Para las columnas circulares, cada solicitación de diseño se

convierte en una solicitación uniaxial simple usando la expresión:

22yx µµµ += (2-25)

Es posible diseñar columnas rectangulares y cruciformes usando sólo el diagrama de

interacción para carga en la mediatriz, cuando se traslada la carga ignorando la resistencia diagonal

de la columna {19}, {22}. Cuando hay aceros iguales en las cuatro caras, la Fórmula siguiente

equivale a trasladar la carga paralelamente a la diagonal de la sección:

yx µµµ += (2-26)

método que ha sido usado ampliamente en nuestro país {27} y que es conservador.

Halladas estas solicitaciones uniaxiales equivalentes puede aplicarse el "algoritmo de los

casos superfluos" para eliminar de consideración los casos que obviamente no controlan el diseño

{19}. El método se ilustra en la Figura 2.4, y consiste en tomar para el diseño solamente las

solicitaciones uniaxiales equivalentes que se especifican a continuación:


Figura 2.4 - Algoritmo de los casos superfluos


1) La solicitación con mayor carga axial: punto (1) ;

2) La solicitación con mayor momento flector : punto (2);

3) La solicitación con menor carga axial : punto (3) ;

4) Todas las solicitaciones en las cuales el momento flector es mayor que el limitado por las rectas

(l)-(2) y (2)-(3).

Para cada solicitación significativa se entra en el ábaco apropiado y se lee la cuantía de acero

correspondiente.

2.7.3 FLEXIÓN DESVIADA CON DOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN

Este método es apropiado para el diseño de columnas rectangulares y cruciformes en flexión

desviada. La resistencia de la sección se cuantifica por medio de dos diagramas de interacción: el de

carga en la mediatriz y el de carga en la diagonal {22}. Para el diseño se utiliza un momento

equivalente sobre la mediatriz µm, el cual se obtiene a partir de µx, µy y un coeficiente de corrección

β. Este coeficiente de corrección depende del nivel de carga y de la cuantía de acero, véase el

Artículo 1.7, por lo que se obtiene mediante el siguiente proceso de aproximaciones sucesivas

diagramado en la Figura 2.5, el cual se aplica para cada solicitación:

1) Adopte β = 1.0. Verifique que µx sea mayor o igual que µy. En caso contrario intercambie

estos valores.

2) Halle y usando:

yxm µβµµ += (2-27)

y entre en el ábaco para carga en la mediatriz con υ y µm para leer ω.

3) Entre en el ábaco para carga en la diagonal con υ y ω y halle µd.


Figura 2.5 - Diseño en Flexión Desviada con Diagramas de Interacción


4) Halle el valor corregido de β:

1−=d

m

µµ

β (2-28)

5) Calcule el valor de µ0:

yx µβµµ +=0 (2-29)

6) Si la diferencia entre µ0 y µm es aceptablemente pequeña, se termina el proceso y ω hallada

en (2) es la cuantía requerida. Si µ0 y µm son demasiado diferentes, regrese al paso (2) y

repita el proceso.

Este procedimiento converge con gran rapidez. Ha de hacerse notar que en el caso de las

columnas rectangulares, µd es directamente el valor leído en el ábaco para carga en la diagonal, pero

que en el caso de las columnas cruciformes el valor que se lee en el diagrama de interacción para

carga en la diagonal es µ’d, siendo necesario hallar µd usando:

2/'dd µµ = (2-30)

Este y otros detalles pueden estudiarse en la Ref. {22}.

2.7.4 DISEÑO CON ISOCARGAS

La determinación de la resistencia con isocargas es exacta y aquí se aplica al diseño de

secciones ele. Cada solicitación mayorada adimensional (υ, µx, µy), ha de llevarse a dos de las

isocargas tabuladas (una por encima, otra por debajo de υ) , y el valor de la cuantía mecánica ha de

obtenerse por interpolación entre ambas lecturas. Sea υsup la carga adimensional correspondiente a la

primera isocarga superior a υ, sea υinf la carga adimensional correspondiente a la primera isocarga

inferior a υ, y ωsup y ωinf las lecturas correspondientes al punto definido por µx, µy en esas isocargas,

entonces :


( )infsupinfsup

infinf ωω

υυυυ

ωω −−−

+= (2-31)

es la cuantía requerida. Este proceso se repite para cada combinación de solicitaciones de diseño.

2.7.5 FLEXIÓN SIMPLE CON FORMULAS

Este es un método aproximado para el cálculo de columnas circulares usando las fórmulas

apropiadas discutidas en 1.7 y dadas en el Capítulo 5 de este Manual. Este método es

conceptualmente equivalente al presentado en el Artículo 2.7.2 y podría usarse para diseñar

columnas rectangulares y cruciformes usando el criterio de la carga trasladada con la Fórmula (2-26)

y los modelos matemáticos pertinentes. No obstante, en flexión desviada se recomienda usar el

método indicado en 2.7.6, que utiliza la resistencia en la mediatriz y en la diagonal, y es más exacto.

En general, la resistencia de la columna queda representada por una expresión de la forma:

( ) ( ) ( )υυγωυµ ΒΓ+= ,A (2-32)

y se calcula la solicitación uniaxial equivalente por medio de la Fórmula (2-25) para las columnas

circulares. En cada combinación de diseño, la cuantía requerida se despeja linealmente:

( )( ) ( )υυγ

υµωΒΓ

−=

,A (2-33)

La función Γ incorpora la influencia de la relación de recubrimiento y en la componente de

resistencia correspondiente al acero, y se da en el Capítulo 5 para el caso de columnas circulares y

rectangulares, véase 5.1 y 5.2. En estas Fórmulas, A y B son polinomios dados en el Capítulo 5 que

aproximan la resistencia del concreto y del acero respectivamente.


En este método puede usarse el algoritmo de los casos superfluos descrito en 2.7.2 para

eliminar solicitaciones que no controlan el diseño.

2.7.6 FLEXIÓN DESVIADA CON FORMULAS

Este método de diseño puede usarse para columnas rectangulares y cruciformes usando las

fórmulas para resistencia en la mediatriz y en la diagonal que se encuentran en el Capítulo 5. Este

método supone que las isocargas son líneas poligonales, véase la Figura 1.7, y es análogo al

presentado en 2.7.3, pero enteramente automatizado.

Para la mediatriz puede escribirse:

( ) ( ) ( )υυγωυµ mmmm A ΒΓ+= , (2-34)

siendo Am el polinomio correspondiente a la contribución del concreto para carga en la mediatriz, y

Bm el correspondiente al acero. La función Γm incorpora la influencia de la relación de

recubrimiento y en la componente de resistencia del acero, y se encuentra en el Artículo 5.2 para las

columnas rectangulares. Para las columnas cruciformes la relación de recubrimiento es única (1.6.3),

por lo que no se usa la función Γ.

Para la diagonal puede escribirse una expresión análoga a (2-34):

( ) ( ) ( )υυγωυµ dddd A ΒΓ+= , (2-35)

donde Ad es el polinomio correspondiente a la contribución del concreto para carga en la diagonal, y

Bd el correspondiente al acero. La función Γd es análoga a Γm, para la resistencia diagonal del acero.

Puede demostrarse que si se tiene una solicitación adimensional de diseño υ, µx, µy, donde µx

es mayor o igual que µy (en caso contrario se deben intercambiar estos valores), la cuantía

mecánica requerida puede despejarse de una ecuación de segundo grado cuyos coeficientes son:


mmddK ΒΓΒΓ=1 (2-36)

( ) ( )myxddydmm AAK −−ΒΓ−−ΒΓ= µµµ2 (2-37)

( ) ( )yxdydm AAAK µµµ −−−=3 (2-38)

obteniéndose la cuantía como:

1

31222

24

KKKKK −+−

=ω (2-39)

Si el valor de ω resulta negativo, esto indica que la cuantía requerida de acero es nula.

2.8 DETERMINACIÓN DEL ACERO TRANSVERSAL

2.8.1 LIGADURAS MÍNIMAS

▌ Este refuerzo se dispone de acuerdo con <7.10.5> como soporte lateral de las barras

longitudinales. La Tabla 2.4 resume las disposiciones pertinentes, y en todo caso la separación de las

ligaduras no debe ser mayor que la menor dimensión de la columna.

2.8.2 DISEÑO POR CORTE

La armadura transversal de una columna puede ser necesaria para lograr la resistencia

requerida al corte. La resistencia de diseño Vu de una columna puede determinarse por medio de la

expresión dada en <11.1.1>:

( )scu VVV += φ (2-40)

donde el factor de minoración de resistencias en corte es Φ = 0.85 , según <9.3.2 >, y donde Vc, la

resistencia nominal asignada al concreto puede tomarse como:


DIÁMETRO DEL ACERO

LONGITUDINAL

DIÁMETRO LIGADURA

MÍNIMA <7.10.5.1>1

Nº mm Nº mm

SEPARACIÓN

MAXIMA (cm)

<7.10.5.2>2

4 12.7 2 6.4 20

5 15.9 3 9.5 25

6 19.1 3 9.5 30

7 22.2 3 9.5 35

8 25.4 3 9.5 41

11 35.8 3 9.5 43

14 43.0 4 12.7 61

18 57.3 4 12.7 61

1 Las separaciones y detallado de las ligaduras para los Niveles de Diseño 2

y 3 están en el Capítulo 18 (1985).

2 La separación máxima de ligaduras no podrá ser mayor que la menor

dimensión de la columna.

Tabla 2.4 - Requisitos de ligaduras para columnas


dbfAP

V wcg

uc '007.0153.0

+= (2-41)

En la Fórmula (2-40), Vs es la resistencia nominal al corte correspondiente al acero. Su valor

puede calcularse a partir de la Fórmula (2-40) tomando Vu como la resistencia requerida al corte, y

si resulta negativo, no se necesita refuerzo por cortante. En caso contrario se requiere un refuerzo al

corte con una resistencia nominal asignada igual o mayor que Vs.

La Tabla 2.5 resume las Normas correspondientes a las separaciones máximas de estribos y

las fórmulas para el cálculo de la resistencia nominal asignada al acero, para el caso normal de

columnas reforzadas con refuerzo transversal perpendicular al refuerzo longitudinal; véase <18.2.5>.

2.8.3 DISEÑO DE LOS ZUNCHOS

El diámetro del refuerzo a usar como zuncho o armadura de confinamiento está limitado por

la Sección <7.10.4> a un mínimo de 3/8" (9 mm). La separación libre entre dos ramas consecutivas

del zuncho debe estar comprendida entre 3 cm y 8 cm. La cuantía mínima del refuerzo helicoidal a

usar como zuncho, se limita con fines de confinamiento en <10.9.3> a:

y

c

c

gs f

fAA '

145.0

−=ρ (2-42)

siendo Ag el área total de la sección y Ac el área del núcleo confinado de concreto, cuyo diámetro Dn

puede tomarse igual al diámetro externo de la hélice del zuncho. El valor de fy se refiere al acero

usado en el zuncho. En la Fórmula (2-42), ρs es el porcentaje volumétrico de acero en los zunchos

definido por:

n

zs Ds

A4=ρ (2-43)

donde Az es el área transversal del zuncho, y s es su separación.


Tabla 2.5 - Armaduras mínimas y cálculo de la resistencia al corte

▌ Véase <18.2.3>.


3. EJEMPLOS NUMÉRICOS

En este Capítulo se presentan algunos ejemplos numéricos ilustrativos de los métodos de

cálculo dados en el Capítulo 2. Para cada ejemplo se presenta una solución completa a partir de la

geometría de la columna y de las solicitaciones calculadas en cada caso de carga a considerar.

En todos los casos se ha considerado una estructura solicitada por cargas permanentes (CP),

variables (CV), y por fuerzas horizontales por sismo en las direcciones X (SISX) e Y (SISY). Los

datos de las solicitaciones de diseño se presentan de acuerdo con la nomenclatura y signos de la

Figura 3.1, considerándose en cada caso ambos extremos de la columna: superior (S) e inferior (I).

Algunas de las actividades necesarias en el diseño de una columna se ilustran en detalle sólo

en ciertos ejemplos, según se indica en la Tabla 2.1. En cada ejemplo se utiliza un procedimiento

diferente para determinar la cuantía requerida de acero longitudinal, encontrándose en la Tabla 2.3

las referencias correspondientes.

En todos los ejemplos presentados se tabulan en detalle los valores intermedios necesarios

para el cálculo, con el propósito de facilitar el seguimiento del desarrollo numérico. Esto sólo resulta

conveniente en el caso de un diseño manual, resultando innecesario anotar estos resultados

intermedios en el caso de poder automatizar algunas de las operaciones indicadas.

En todos los ejemplos se ha utilizado:

f'c = 250 kg/cm2 y fy= 4200 kg/cm2.


Figura 3.1 - Convención de signos positivos y

nomenclatura para las solicitaciones


3.1 DISEÑO EN FLEXIÓN SIMPLE CON UN DIAGRAMA DE INTERACCIÓN DE UNA

COLUMNA RECTANGULAR

Se presenta el diseño de una sección rectangular de 60 x 40 (véase la Figura 3.2) para las

solicitaciones calculadas presentadas en la Tabla 3.1. La columna se supone arriostrada contra

desplazamientos laterales en ambas direcciones y estará provista con ligaduras.

Los datos necesarios para este caso son:

ax = 60 cm

ay = 40 cm

== uyux ll 250 cm

bwx = 40 cm

dx = 55 cm

bwy = 60 cm

dy = 35 cm

Ag = 2400 cm2

y las actividades de diseño se desarrollan como sigue:

1) Determinación de la resistencia requerida: las columnas Pu, Mux, Muy,

de la Tabla 3.2 presentan las combinaciones mayoradas, según los lineamientos del Artículo 2.2

y la numeración de la Tabla 2.2.

2) Revisión por esbeltez: los radios de giro de la columna se calculan según

las indicaciones de la Figura 2.1:

rx = 0.30 ay = 12.0 cm

ry = 0.30 ax = 18.0 cm


Extremo Superior Extremo Inferior CASO P

kg Mx

m.kg My

m.kg P kg

Mx m.kg

My m.kg

CP 62542 2599 4397 64424 2496 4293

CV 18407 743 1256 18407 713 1227

SISX 22755 0 12560 22755 0 11679

SISY -31403 -17981 0 -31403 -18 0

Tabla 3.1- Solicitaciones de Servicio, Ejemplo 3.1.

Fig. 3.2 - Sección del Ejemplo 3.1


Tab

la 3

.2-

Com

bina

cion

es M

ayor

adas

y R

esis

tenc

ia A

dim

ensi

onal

Re q

ueri

da,

Eje

mpl

o 3

.1.


y si se adopta en forma conservadora, por tratarse de un pórtico arriostrado:

kx = ky = 1.00

se obtiene:

2221<=x

uxx

rk l

2214 <=y

uyy

rk l

de manera que los efectos de esbeltez pueden ignorarse en ambas direcciones en este caso, de

acuerdo con el Artículo 2.3.3.

3) Corrección del factor de minoración de resistencias: por tratarse de una columna ligada, esta

actividad se realiza como se indica en el Artículo 2.4.2, es decir, utilizando las Fórmulas (2-11)

y (2-12) según resulte aplicable. El valor que permite seleccionar la Fórmula a usar es:

kgAf gc 60000'10.0 =

Los valores de 1φ así obtenidos se tabulan en una columna de la Tabla 3.2.

4) Cálculo de la resistencia adimensional requerida: esto se realiza como se indica en el Artículo

2.5.1, utilizando las Fórmulas (2-15) a (2-17), en las cuales se ha adoptado:

δx = δy = 1.00

resultando:


51000/

"/ 11 φφ

υ u

gc

u PAf

P==

20400/

"/ 11 φφδ

µ ux

ygc

uxxx

MaAf

M==

306000/

"/ 11 φφδ

µ uy

xgc

uyyy

MaAf

M==

con lo cual se llenan las columnas υ, µx, µy de la Tabla 3.2.

5) Cálculo del acero longitudinal: en este caso se emplea el método descrito en 2.7.2, utilizándose

en particular la Fórmula (2-26) por tratarse de una columna rectangular. La Tabla 3.3 contiene

para cada combinación mayorada a considerar los valores de v y u correspondientes. Sobre estos

valores se aplica el algoritmo de los casos superfluos, según se muestra en la Figura 3.3, y se

anota en la columna "SIGNIFICATIVO" de la Tabla 3.3 cuáles casos han de considerarse en el

diseño. Para los casos significativos se ha de leer la cuantía requerida de acero, en la Figura 2.3

se observa que la variable geométrica involucrada es la relación de recubrimiento y» en este

caso:

75.04030

==yγ

la cual se ha calculado en la dirección y, donde resulta mínima, de manera que se toman lecturas

en los ábacos 19 y 21 (véase el Capítulo 4), correspondientes a γ = 0.7 y γ = 0.8 respectivamente.

Estas lecturas se tabulan en las columnas ω0.7, y ω0.8 de la Tabla 3.3, dándose en la columna ω el

resultado interpolado para el valor real de γ. La máxima cuantía requerida, según se observa es ω

= 0.47.

6) Revisión y detallado del acero longitudinal: empleando la Fórmula (2-20) se encuentra:


Tab

la 3

.3-

Cál

culo

del

Ace

ro L

ongi

tudi

nal,

Eje

mpl

o 3.

1.


Figura 3.3- Algoritmo de los casos superfluos. Ejemplo 3.1.


%38.2"

==y

c

ff

ωρ

21.57 cmAA gst == ρ

el porcentaje de acero está dentro de los límites mencionados en el Artículo 2.6. Además,

aplicando la Fórmula (2-21) se encuentra un área mínima de acero igual a:

21 8.66"

"/79.1cm

ffAfP

Acy

gcmáxst −=

−

−=

φ

la cual se obtiene a partir de la combinación 7-1, y como se ve no controla el diseño. Como se

muestra en la Figura 3.2 se emplea un armado con 12 barras de 1" de diámetro, el cual es

aproximadamente consistente con la hipótesis de acero distribuido en las caras usada en la

elaboración de los ábacos empleados.

7) Detallado del acero transversal y revisión por corte: para soporte de las barras longitudinales, la

Tabla 2.4 del Artículo 2.8.1 indica el uso de ligaduras con un diámetro de 3/8" y una separación

no mayor de 30 cm, siendo satisfactoria la disposición mostrada en la Figura 3.2. Por otra parte,

en cuanto a la resistencia al corte, la Tabla 3.4 presenta las combinaciones mayoradas de fuerza

cortante Vux y Vuy (sólo se presenta un valor para cada combinación por cuanto el corte es igual

en ambos extremos de la columna). Con el valor de Pu en cada combinación (tomándose para

ello de la Tabla 3.2 el valor en el extremo superior de la columna) se calcula la resistencia

nominal correspondiente al concreto en cada dirección, utilizando la Fórmula (2-41) del Artículo

2.8.2; en este caso:

xwxcg

ucx dbf

AP

V '007.0153.0

+=

( )uPx 610917.2118436 −+=


Tab

la 3

.4-

Rev

isió

n po

r co

rte.

Eje

mpl

o 3.

1.


=

+= ywyc

g

ucy dbf

AP

V '007.0153.0

( )uPx 610917.2117598 −+=

En la Tabla 3.4 se calculan ahora las columnas Vsx y Vsy usando la Fórmula dada en la Nota 1 de

la Tabla 2.5. Estas columnas dan la resistencia nominal mínima que debe tener el refuerzo por corte.

Se observa que no se requiere refuerzo por corte en ningún caso, sin embargo, de acuerdo con la

Tabla 2.5 del Artículo 2.8.2, se observa que en las combinaciones 2 y 4, el valor de Vux es mayor

que el valor de comparación ø Vcx/2 de manera que el espaciamiento máximo del refuerzo queda

gobernado por:

s ≤ 60 cm

s ≤ d/2 = 17.5 cm

cmbFA

sw

yv 2.855.3

=≤

adoptándose en definitiva s = 17.5 cm. Bajo esta separación la resistencia nominal al corte del acero

sería:

kgsdfA

V xyvxsx 37488==

kgsdfA

V yyvysy 23856==

Lo cual completa el diseño de la columna. El detallado mostrado en la 3.2 es apropiado para este

caso.


3.2 DISEÑO EN FLEXIÓN SIMPLE CON UN DIAGRAMA DE INTERACCIÓN DE

UNA COLUMNA CIRCULAR

Se presenta el diseño de una sección circular de 70 cm de diámetro (véase la Figura 3.4) para

las solicitaciones calculadas presentadas en la Tabla 3.5. La columna se supone parte de pórticos

desplazables en ambas direcciones, y será zunchada.


D = 70 cm

cmuyux 280== ll

kx = ky = 1.3

Ag = 3848 cm2

Las actividades de diseño se desarrollan como sigue:

1) Determinación de la resistencia requerida: las columnas Pu, Mux, Muy de la Tabla 3.6

presentan las combinaciones mayoradas, según los lineamientos del Artículo 2.2 y la numeración de

la Tabla 2.2.

2) Revisión por esbeltez: el radio de giro de la columna se calcula según las indicaciones de la

Figura 2.1:

rx = ry = 0.25 D = 17.5 cm

Considerando la columna como no arriostrada la máxima esbeltez resulta:

21=rK ul

lo cual satisface la condición (2-3) del Artículo 2.3.3.



kg

Mx

m.kg

My

m.kg

P

kg

Mx

m.kg

My

m.kg

CP 184848 6579 7302 187988 5450 5711

CV 41775 1462 1623 41775 1211 1269

SISX 24524 0 37705 24524 0 24271

SISY -123982 -22186 0 -123982 -18797 0

Tabla 3.5- Solicitaciones de Servicio, Ejemplo 3.2

Fig. 3.4- Sección de los Ejemplos 3.2 y 3.5


Tab

la 3

.6- C

ombi

naci

ones

May

orad

as y

Res

iste

ncia

Adi

men

sion

al

Re q

ueri

da,

Eje

mpl

o 3.

2.


En cambio, si se considera la columna como arriostrada puede adoptarse conservadoramente:

kx = ky = 1.0

resultando:

2216 <=rK ul

lo cual satisface la Fórmula (2-4), de manera que los efectos de esbeltez pueden ignorarse en ambos

sentidos en este caso, de acuerdo con lo discutido en el Artículo 2.3.3.

3) Corrección del factor de minoración de resistencias: por tratarse de una columna zunchada,

esta actividad se realiza como se indica en el Artículo 2.4.3, es decir, utilizando las Fórmulas (2-13)

y (2-14) según resulte aplicable. El valor que permite seleccionar la Fórmula a usar es:

kgAf gc 96211'10.0 =

Los valores de 1φ así obtenidos se tabulan en una columna de la Tabla 3.6.

4) Cálculo de la resistencia adimensional requerida: esto se realiza como se indica en el

Artículo 2.5.1, utilizando las Fórmulas (2-15) a (2-17), en las cuales se ha adoptado:

0.1== yx δδ

resultando:

817800/

"/ 11 φφ

υ u

gc

u PAf

P==


572460/

"/ 11 φφδ

µ ux

gc

uxxx

MDAf

M==

572460/

"/ 11 φφδ

µ uy

gc

uyyy

MDAf

M==

con lo cual se llenan las columnas υ, µx , µy de la Tabla 3.6.

5) Cálculo del acero longitudinal: en este caso se emplea el método descrito en 2.7.2,

utilizándose en particular la Fórmula (2-25) por tratarse de una columna circular. La Tabla 3.7

contiene para cada combinación mayorada a considerar los valores de υ y µ correspondientes.

Sobre estos valores se aplica el algoritmo de los casos superfluos y se anota en la columna

"SIGNIFICATIVO" de la Tabla 3.7 cuales casos han de considerarse en el diseño. Para los casos

significativos se ha de leer la cuantía requerida de acero, en la Figura 2.3 se observa que la variable

geométrica involucrada es la relación de recubrimiento, γ:

857.07060

==γ

de manera que se toman lecturas en los ábacos 7 y 8 (véase el Capitulo 4), correspondientes a

γ = 0.8 y γ = 0.9 respectivamente. Estas lecturas se tabulan en las columnas ω0.8 y ω0.9 de la

Tabla 3.7, dándose en la columna ω el resultado interpolado para el valor real de γ. La máxima

cuantía requerida, según se observa es ω = 0.207.


%05.1"

==y

c

ff

ωρ



Tab

la 3

.7-

Cál

culo

del

Ace

ro L

ongi

tudi

nal,

Eje

mpl

o 3.

2.


el porcentaje de acero está dentro de los límites mencionados en el Artículo 2.6. Además, aplicando

la Fórmula (2-22) se encuentra un área mínima de acero igual a:

2"

"1 7.47

/57.1cm

ffAfP

Acy

gcmáxst −=

−

−=

φ

la cual se obtiene a partir de la combinación 7-1, y no controla el diseño. Como se muestra en la

Figura 3.4 se emplea un armado con 8 barras de 1" de diámetro, el cual es consistente con la

hipótesis de acero distribuido en las caras usada en la elaboración de los ábacos empleados.

7) Detallado del acero transversal y revisión por corte: en el caso de esta columna zunchada, se usa

de acuerdo con las indicaciones del Artículo 2.8.3 un refuerzo helicoidal con diámetro de 3/8", y

separación de 8 cm. Esto satisface los requisitos fijados para fines de soporte de las barras

longitudinales, según la Tabla 2.4. La cuantía mínima del zuncho se halla con la Fórmula (2-42):

%140.0145.0'

=

−=

y

c

c

gs f

fAA

ρ

La cuantía real usada en este caso se calcula con la Fórmula (2-43):

%989.04

==n

zs Ds

Aρ

lo cual es satisfactorio. La revisión por corte no conduce a requisitos adicionales de acero

transversal, y se omite en este ejemplo.


3.3 DISEÑO EN FLEXIÓN DESVIADA CON DOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN

DE UNA COLUMNA CRUCIFORME

Se presenta el diseño de una sección cruciforme con las medidas mostradas en la Figura 3.5

para las solicitaciones calculadas presentadas en la Tabla 3.8. La columna se supone no arriostrada

contra desplazamientos laterales y tendrá ligaduras.


ax = ay = 90 cm

ax/α = ay/α = 30 cm

cmuyux 310== ll

kx = 1.40

ky = 1.20

bwx = bwy = 30 cm

dx = dy = 85 cm

Ag = 4500 cm2


1) Determinación de la resistencia requerida: las columnas Pu , Mux , Muy de la Tabla 3.9 presentan

las combinaciones mayoradas, según los lineamientos del Artículo 2.2 y la numeración de la

Tabla 2.2.

2) Revisión por esbeltez: los radios de giro de la columna se calculan según las indicaciones de la

Figura 2.1:

rx = ry = 0.22 ay = 0.22 ax = 19.8 cm

de donde, considerando la columna como no arriostrada:



kg

Mx

m.kg

My

m.kg

P

kg

Mx

m.kg

My

m.kg

CP 257526 5290 -27230 261495 4524 -27014

CV 65374 1322 -6807 65374 1131 -6754

SISX -29700 0 31209 -29700 0 28654

SISY 1871 -34801 0 1871 -37030 0


Fig. 3.5- Sección del Ejemplo 3.3


Tab

la 3

.9 -

Com

bina

cion

es M

ayor

adas

y R

esis

tenc

ia A

dim

ensi

onal

R

eque

rida

, Eje

mpl

o 3.

3.


22=x

uxx

rK l

19=y

uyy

rK l

lo cual satisface la Fórmula (2-3).

Por otra parte, si se considera la columna como arriostrada, puede usarse

conservadoramente:

kx = ky = 1.00

de manera que:

2216 <==y

uyy

x

uxx

rK

rK ll

que satisface la Fórmula (2-4), de manera que los efectos de esbeltez pueden ignorarse en ambas

direcciones en este caso, de acuerdo con lo discutido en el Artículo 2.3.3.


actividad se realiza como se indica en el Artículo 2.4.2, es decir, utilizando las Fórmulas (2-11) y

(2-12) según resulte aplicable. El valor que permite seleccionar la Fórmula a usar es:

0.10 f’c Ag = 112500 kg

que en este caso es excedido por todas las combinaciones mayoradas, de manera que ø1 = 1 en todos

los casos, según se muestra en la Tabla 3.9.


4) Cálculo de la resistencia adimensional requerida: esto se realiza como se indica en el Artículo

2.5.1, utilizando las Fórmulas (2-15) a (2-17), en las cuales se ha adoptado:

δx = δy = 1.00

resultando:

956250// 1

"1 φφ

υ u

gc

u PAf

P==

860625// 1

"1 φφδ

µ ux

ygc

uxxx

MaAf

M==

860625// 1

"1 φφδ

µ uy

xgc

uyyy

MaAf

M==


5) Cálculo del acero longitudinal: en este caso se utiliza el método descrito en el Artículo 2.7.3. En

la Tabla 3.10 se anotan las combinaciones mayoradas adimensionales, tomadas de la Tabla 3.9.

Tratándose de una columna cruciforme la variable geométrica es, según la Figura 2.3:

α = 3.00

y por lo tanto se usan los ábacos 35 y 36 para cuantificar la resistencia en la mediatriz y en la

diagonal respectivamente. El algoritmo de diseño en flexión desviada de la Figura 2.5 se

implementa en este caso en la Tabla 3.10 anotando en cada caso el valor de β (que siempre se adopta

inicialmente como 1.00). El valor de µm se calcula con la Fórmula (2-27), y se lee ω en el ábaco 35.

Con ω y υ se lee µ’d, en el ábaco 36, y se anota µ’d, obtenido por medio de la Fórmula (2-30) por

tratarse de una columna cruciforme. El nuevo valor de β se calcula con la Fórmula (2-28) y se anota

en la próxima línea, y el valor de µ0 usado en la Figura 2.5, se anota directamente en la columna µm.


Tabla 3.10 - Cálculo del Acero Longitudinal, Ejemplo 3.3.


Nótese en la Tabla 3.10 que cuando la lectura inicial de ω es menor que el máximo valor hallado

previamente, no necesita continuarse el proceso, toda vez que esta lectura siempre es conservadora.

Tal es el caso de la lectura 3-1, para la cual se obtiene ω = 0.33, para la cual no necesita continuarse

la iteración ya que anteriormente se obtuvo para el caso 3-S un ω = 0.44. El valor máximo requerido

de ω en este ejemplo es 0.44.


%23.2"

==y

c

ff

ωρ




2"

"1 8.38

/79.1cm

ffAfP

Acy

gcmäxst −=

−

−=

φ

la cual se obtiene a partir de la combinación 1-1, pero no controla el diseño. Como se muestra en la

Figura 3.5 se emplea un armado con 8 barras de 1" de diámetro y 16 de 7/8", el cual es


elaboración de los ábacos empleados y es, de hecho, conservador al concentrar las barras de mayor

diámetro en los extremos de la sección.

7) Detallado del acero transversal y revisión por corte: para soporte de las barras longitudinales,

la Tabla 2.4 del Artículo 2.8.1 indica el uso de ligaduras con un diámetro de 3/8" con una

separación no mayor de 27 cm, siendo satisfactoria la disposición mostrada en la Figura 3.5. Por

otra parte, en cuanto a la resistencia al corte, la Tabla 3.11 presenta las combinaciones mayoradas de

fuerza cortante Vux y Vuy (sólo se presenta un valor para cada combinación por cuanto el corte es


Tab

la 3

.11-

R

evis

ión

por

cort

e,

Eje

mpl

o 3.

3.


igual en ambos extremos de la columna). Con el valor de Pu en cada combinación (tomándose para

ello de la Tabla 3.9 el valor en el extremo superior de la columna) se calcula la resistencia nominal

correspondiente al concreto en cada dirección, utilizando la Fórmula (2-41) del Artículo 2.8.2; en

este caso:

=

+== xwxc

g

ucycx dbf

AP

VV '007.0153.0

( )uPx 610556.1121369 −+=

En la Tabla 3.11 se calculan ahora las columnas Vsx y Vsy usando la Fórmula dada en la Nota 1

de la Tabla 2.5. Estas columnas dan la resistencia nominal mínima que debe tener el refuerzo por

corte. Se observa que se requiere refuerzo por corte en algunos casos, sin embargo, de acuerdo con

la Tabla 2.5 del Articulo 2.8.2, se observa que en todos los casos los valores de Vsx y Vsy son

menores que el valor de comparación:

kgdbf wc 4273806.1 ' =

de manera que el espaciamiento máxima del refuerzo queda gobernado por:

s ≤ 60 cm

s ≤ d/2 = 42.5 cm

cmbfA

sw

yv 4.1705.3

=≤

se ha usado una separación de 20 cm, que contempla conservadoramente los requisitos de ligaduras,

con lo cual se tiene una resistencia nominal al corte:

kgsdfA

VV yvsysx 76041===


3.4 DISEÑO EN FLEXIÓN DESVIADA CON FORMULAS DE UNA COLUMNA

RECTANGULAR

Se presenta el diseño de una sección rectangular de 35 x 45 (véase la Figura 3.6) para las

solicitaciones calculadas presentadas en la Tabla 3.12. La columna se supone arriostrada contra

desplazamientos laterales en ambas direcciones y estará provista con ligaduras.


ax = 35 cm

ay = 45 cm

cmuyux 620== ll

βd = 0.78




la Tabla 2.2.

2) Revisión por esbeltez: los radios de giro de la columna se calculan según las indicaciones de

la Figura 2.1:

rx = 0.30 ay = 13.5 cm

ry = 0.30 ax = 10.5 cm

y si se adopta en forma conservadora, por tratarse de un pórtico arriostrado:

kx = ky = 1.00

se obtiene:



kg

Mx

m.kg

My

m.kg

P

kg

Mx

m.kg

My

m.kg

CP 54052 2410 2908 56874 955 326

CV 22750 964 1163 22750 382 131

SISX 11688 0 4582 11688 0 2112

SISY -5355 -4288 0 -5355 -1504 0




Tab

la 3

.13

- -C

álcu

los

del

Eje

mpl

o 3

.4.


46=x

uxx

rK l

59=y

uyy

rK l

de manera que los efectos de esbeltez deben tomarse en consideración en ambas direcciones en este

caso, de acuerdo con lo discutido en el Artículo 2.3.3. Siguiendo ahora los lineamientos del Artículo

2.3.4, se hallan para cada combinación mayorada los valores de Cmx y Cmy con la Fórmula (2-8) y se

incluyen en las columnas de la Tabla 3.13. Nótese que en este caso los momentos en los extremos de

la columna son siempre del mismo signo, según la convención de la Figura 3.1, de manera que

M1/M2 siempre resulta negativo. Ahora se halla la carga de Euler para la columna, para ello se usa:

2' /23875015100 cmkgfE cc ==

y con la Fórmula (2-7) se obtienen EIx , EIy , con los cuales se determina:

( )kg

kIE

Puxx

xcx 3661232

2

==l

π

( ) kgk

IEP

uyy

ycy 2214822

2

==l

π

y adoptando 70.0=φ se usa la Fórmula 2.5 para hallar en cada combinación los magnificadores de

momentos δx, δy. Nótese que estos valores son únicos para cada combinación, pues dependen de los

momentos en ambos extremos.



(2-12) según resulte aplicable.


El valor que permite seleccionar la Fórmula a usar es:

0.10 f’c Ag = 39375 kg

Los valores de ø1 así obtenidos se tabulan en una columna de la Tabla 3.13.


Artículo 2.5.1, utilizando las Fórmulas (2-15) a (2-17), con lo cual se llenan las columnas υ, µx, µy

de la Tabla 3.13.


utilizándose en particular las funciones dadas en la Tabla 5.2, por tratarse de una columna

rectangular. Específicamente para los materiales considerados se tiene:

( ) ( )υυυ 7143.05.0 −=mA

( ) ( )52

2.135.018.075.11,

−

−−+=Γυγυγm

( ) 32 04973.04147.03694.02427.0 υυυυ ++−=mB

( ) ( )υυυυ 20523.05430.03560.0 +−=dA

( ) ( )52

33.133.018.025.21,

−

−−+=Γυγυγd

( ) 32 01786.03660.02875.01488.0 υυυυ ++−=dB

se ha adoptado en este caso:

714.035.025.0

==γ

que es el valor menor obtenido en ambas direcciones, y con las Fórmulas (2-36) a (2-39) se obtiene

la columna ω de la Tabla 3.13, donde se encuentra una cuantía requerida máxima ω = 0.481. Nótese


que los valores negativos de ω se ignoran.


%43.2"

==y

c

ff

ωρ




2"

"1 8.30

/79.1cm

ffAfP

Acy

gcmáxst −=

−

−=

φ

la cual se obtiene a partir de la combinación 1-1, pero no controla el diseño. Como se muestra en la

Figura 3.6 se emplea un armado con 8 barras de 1" de diámetro, el cual es consistente con la

hipótesis de acero distribuido en las caras usada en la elaboración de los ábacos empleados.

7) Detallado del acero transversal y revisión por corte: el armado transversal presentado en la

Figura 3.6 satisface los requisitos pertinentes, pero se omite su discusión detallada.


3.5 DISEÑO EN FLEXIÓN SIMPLE CON FORMULAS DE UNA COLUMNA

CIRCULAR

Se presenta el diseño de la misma sección circular del ejemplo 3.2 para las mismas

solicitaciones calculadas presentadas en la Tabla 3.5.

Únicamente se presenta la actividad 5, cálculo del acero longitudinal, la cual se resume en la

Tabla 3.14. Las columnas υ y µ se han tomado de la Tabla 3.2, y se usa el procedimiento descrito en

2.7.5, con inclusión del algoritmo de los casos superfluos. A continuación se calcula la columna ω

de la Tabla 3.14 usando la Fórmula (2-33), donde las funciones para las columnas circulares se

toman de la Tabla 5.1 y son para este caso:

( ) ( )υυυυ 201920.06300.04329.0 +−=A

( ) ( )( )235.01.51

8.08.11,−+

−+=Γ

υγυγ

32 02728.03810.03291.02026.0 υυυυ ++−=B

y el valor máximo de ω obtenido es 0.199, similar al obtenido en el Artículo 3.2.

El resto del diseño y detallado de esta columna puede tomarse del ejemplo 3.2.


Tab

la 3

.14-

Cál

culo

del

Ace

ro L

ongi

tudi

nal

Eje

mpl

o 3.

5


3.6 DISEÑO CON ISOCARGAS DE UNA COLUMNA EN ELE

En este caso se presenta el diseño de una columna en ele con las medidas mostradas en la

Figura 3.7, para las solicitaciones calculadas presentadas en la Tabla 3.15. La columna no se

considera arriostrada contra desplazamientos laterales. Los datos pertinentes son:

ax = ay = 100 cm

ax/α = ay/α = 30 cm

cmuyux 230== ll

kx = 2.0

ky = 1.4




la Tabla 2.2.

2) Revisión por esbeltez: los radios de giro de la columna se calculan según las indicaciones de

la Figura 2.1:

rx = ry = 0.28 ax = 0.28 ay = 28.0 cm

de manera que las esbelteces al considerar la columna como no arriostrada, resultan

16=x

uxx

rK l

12=y

uyy

rK l



kg

Mx

m.kg

My

m.kg

P

kg

Mx

m.kg

My

m.kg

CP 164899 -23595 20326 170271 -16180 16122

CV 101959 -14129 12171 101959 -9689 9654

SISX -11220 0 17199 -11220 0 12437

SISY -36650 -21993 0 -36650 -17861 0

Tabla 3.15 - Solicitaciones de Servicio, Ejemplo 3.6.



Tab

la 3

.16-

Com

bina

cion

es M

ayor

adas

y R

esis

tenc

ia A

dim

ensi

onal

Req

ueri

da, E

jem

plo

3.6.


lo cual satisface la Fórmula (2-3) en todos los casos. Si la columna se considera arriostrada se

obtiene:

8==y

uyy

x

uxx

rK

rK ll

donde se ha usado kx = ky = 1.00 lo cual es conservador. Esto satisface la Formula (2-4), de

manera que los efectos de esbeltez pueden ignorarse en ambas direcciones en este caso, de acuerdo

con lo discutido en el Artículo 2.3.3.



(2-12) según resulte aplicable. El valor que permite seleccionar la Fórmula a usar es:

0.10 f’c Ag = 127500 kg

Los valores de ø1 así obtenidos se tabulan en una columna de la Tabla 3.16.


Artículo 2.5.1, utilizando las Fórmulas (2-15) a (2-17), en las cuales se ha adoptado:

δx = δy = 1.00

resultando:

1083750// 1

"1 φφ

υ u

gc

u PAf

P==

1083750// 1

"1 φφδ

µ uy

ygc

uxxx

MaAf

M==


1083750// 1

"1 φφδ

µ ux

xgc

uyyy

MaAf

M==



utilizándose la relación de estrechez, α:

33.330

100==α

lo cual corresponde a los ábacos 76 a 80 del Capítulo 4, si bien en la práctica se usan sólo los ábacos

78 y 79 por estar limitado el rango de valores de υ necesario. La Tabla 3.17 repite los valores de υ,

µx, y µy de la Tabla 3.16. Para cada combinación se toman dos lecturas, una en un ábaco

correspondiente a un valor de υ menor que el de la combinación ωinf y otro para un valor de υ

superior ωsup. En cada caso se obtiene la cuantía requerida por interpolación con la Fórmula (2-31),

y se tabula en la columna ω. Para la Tabla 3.17 se obtiene un valor máximo de ω = 0.254. Nótese

que cuando una lectura se encuentra dentro de la curva ω = 0.0, se ha anotado un valor leído igual a

0.0, lo cual es conservador.


%29.1"

==y

c

ff

ωρ




2"

"1 0.87

/79.1cm

ffAfP

Acy

gcmáxst −=

−

−=

φ


Tabl

a 3.

17-

Cál

culo

de

Ace

ro L

ongi

tudi

nal,

Ejem

plo

3.6.


la cual se obtiene a partir de la combinación 1-1, y no controla el diseño. Como se muestra en la

Figura 3.7 se emplea un armado con 4 barras de 1" de diámetro y 12 de 7/8", el cual es


elaboración de los ábacos empleados.

7) Detallado del acero transversal y revisión por corte: el armado transversal mostrado en la

Figura 3.7 es apropiado para este caso, aunque no se discute en detalle su revisión.


NOTAS

Este Manual se cifre a la primera versión de las nuevas normas venezolanas para estructuras








4. ABACOS

4.1. INTRODUCCIÓN

En este Capitulo se presentan 90 ábacos para el cálculo manual de las columnas de secciones

circulares, diagramas de interacción 1 a 8; rectangulares, diagramas 9 a 24; cruciformes,

diagramas 25 a 40; y el es, isocargas 41 a 90, distribuidos como sigue: Secciones circulares:

- Secciones circulares:

f’c = 280 kg/cm2 y f y = 2800 kg/cm2

γ = 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9 ……………………………...………………………………… 1 a 4;

f’c = 350 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2

γ = 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9 …………………………………………………………………5 a 8.

- Secciones rectangulares:

f’c = 280 kg/cm2 y fy = 2800 kg/cm2

γ = 0.6: carga en la mediatriz y en la diagonal ..... 9 y 10;

0.7: carga en la mediatriz y en la diagonal ..... 11 y 12;


0.9: carga en la mediatriz y en la diagonal ..... 15 y 16.

f’c = 350 kg/cm2 y f = 4200 kg/cm2

γ = 0.6: carga en la mediatriz y en la diagonal ..... 17 y 18;




- Secciones cruciformes:

f’c = 280 kg/cm2 y fy= 2800 kg/cm2

α = 2 : carga en la mediatriz y en la diagonal ..... 25 y 26;

3 : carga en la mediatriz y en la diagonal ..... 27 y 28;


≥ 7 : carga en la mediatriz y en la diagonal ..... 31 y 32.

f'c < 350 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2

α = 2 : carga en la mediatriz y en la diagonal ..... 33 y 34;



≥ 7 : carga en la mediatriz y en la diagonal ..... 39 y 40.

- Secciones eles:

f’c ≤ 280 kg/cm2 y fy = 2800 kg/cm2

α = 2 :.............................................................................................. 41 a 45;

2.5 :.............................................................................................. 46 a 50;

3.33 :.............................................................................................. 51 a 55;

5 :.............................................................................................. 56 a 60;

10 :.............................................................................................. 61 a 65.

f’c * 350 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2

α = 2 :.............................................................................................. 66 a 70;

2.5 :.............................................................................................. 71 a 75;

3.33 :.............................................................................................. 76 a 80;

5 :.............................................................................................. 81 a 85;

10 :.............................................................................................. 86 a 90.

donde γ es la relación de recubrimientos y α la relación de estrechez, las cuales se discuten en el

Artículo 1.6.


Los conceptos y principios básicos para obtener la resistencia de agotamiento adimensional

se exponen resumidamente en el Artículo 1.2, los criterios para el tratamiento de las solicitaciones

mayoradas en el 1.3, las generalidades sobre el diseño y revisión en el estado límite resistente en el

1.4, las combinaciones de materiales en el 1.5 y los criterios para manejar adecuadamente las

diferentes secciones presentadas en el 1.6. Asimismo, los procedimientos de cálculo en flexión

simple y desviada se hallan en el Capítulo 2 y sus ejemplos numéricos en el 3. La lectura cuidadosa

de estos Artículos y Capítulos es esencial para la utilización cabal de los ábacos, especialmente

cuando el profesional sólo esté habituado a los cálculos de la teoría clásica.

Todos los ábacos están dibujados para un factor de minoración de resistencias conservador y

único ø igual a 0.7, correspondiente a columnas no confinadas sometidas a compresión

predominante; véase 1.2.4 y <9.3.2c>. Cuando se desean aprovechar los otros valores permitidos por

las Normas de Concreto, se debe introducir el factor de corrección ø1 que se detalla en el Artículo

2.4 de acuerdo con la zona en consideración.

En todos los ábacos, la máxima cuantía mecánica dibujada vale 1.0. Para la mayoría de

combinaciones de materiales utilizados esto abarca el porcentaje máximo del 6% permitido en zonas

sísmicas <18>. Sin embargo, cuando excepcionalmente en el diseño o en la revisión de secciones

insuficientes se requieran cuantías mecánicas superiores, en los diagramas de interacción éstas se

pueden obtener fácilmente en forma aproximada al utilizar el principio de la Fórmula básica (1-1)

con el "modelo polar", el cual es un modelo matemático de los diagramas de interacción más

refinado que el traslacional descrito en el Artículo 1.7 {16}.

Para extrapolar los diagramas dibujados a cuantías mecánicas mayores de 1.0 basta seguir el

siguiente procedimiento rápido y satisfactoriamente preciso:


1) Determine un punto P sobre el eje de las cargas axiales adimensionales a una cota igual a 0.35.

Este punto servirá como polo del haz de rectas que permitirá expandir los diagramas;

2) Seleccione varios puntos, preferiblemente equidistantes, sobre la isobara extrema de los

diagramas, o sea para u igual a 1.0;

3) Una cada uno de ellos con el punto P: esto ocasiona un haz de rectas cuyo polo es P;

4) Las isóbaras mayores de ω igual a 1.0 se hallan simplemente al prolongar las rectas del haz y

extenderlas en partes iguales con la misma separación que sobre ellas tienen las isóbaras

conocidas. En otras palabras, se considera que sobre cada una de estas rectas, todo incremento

de cuantía mecánica 0.1 tiene un espesor igual al que hay entre dos isóbaras contiguas dibujadas

{16}.

Respecto al comportamiento frágil o dúctil en el agotamiento resistente, en los diagramas, es

decir, los ábacos 1 a 40 de las secciones circulares, rectangulares y cruciformes, las rectas B-B

señalan las fronteras de la falla balanceada. Las zonas superiores deben tener fallas "en compresión"

o frágiles y las inferiores fallas "en tracción" o dúctiles; véase sus definiciones en 1.1.2 y la Sección

1.2.3. En las isocargas, o sea los ábacos dobles 41 a 90 de las secciones eles, las fronteras de la falla

balanceada se identifican mediante líneas de trazos, y las letras C o T vecinas marcan las zonas de

las fallas a compresión o tracción claramente {14}. Cuando no hay esas líneas punteadas, las letras

en la esquina inferior derecha identifican el tipo de comportamiento aplicable a todas las isobaras

dibujadas; véase por ejemplo los N° 41 y 42.

En los diagramas, los segmentos a trazos, en la parte superior de las isóbaras, destacan cuándo la

resistencia es gobernada por las cargas axiales máximas normativas para altas compresiones, y

corresponden, de nuevo conservadoramente, a las columnas ligadas <10.3.4>. Su tratamiento

numérico equivale a una cuantía mínima de refuerzo que se maneja por las sencillas fórmulas del

Artículo 2.6.

Maqueta de una superficie de falla flexoaxial

típica de las secciones ele, Ref. {18}.


5. COEFICIENTES DE LAS FORMULAS

Según se discute en el Artículo 1.7, los diagramas de interacción pueden modelarse mediante

aproximaciones polinómicas de sencilla aplicación. Los Artículos 2.7.5 y 2.7.6 sugieren los métodos

a utilizar para el diseño bajo solicitaciones flexoaxiales mayoradas simples y desviadas,

respectivamente.

En este Capítulo se presentan los coeficientes de las fórmulas para los diagramas de

interacción de las columnas circulares, rectangulares y cruciformes. En cada caso deben respetarse

los campos de aplicabilidad anotados en cada Tabla.

La Tabla 5.1 contiene fórmulas del modelo traslacional para las columnas circulares con dos

expresiones para diferentes combinaciones de materiales. Cada una contiene un factor adicional Γ

que permite tomar en cuenta la relación de recubrimientos γ. Desde un punto de vista operativo,

estas fórmulas reemplazan aproximadamente el uso de los Ábacos 1 a 8 del Capítulo 4.

La Tabla 5.2 presenta fórmulas para las columnas rectangulares, para cargas en la mediatriz

y en la diagonal, con expresiones para dos combinaciones de materiales. El efecto de la relación de

recubrimientos se incorpora en este modelo mediante un factor adicional Γ. En la práctica estas

fórmulas sustituyen aproximadamente a los Ábacos 9 a 24 del Capítulo 4.

La Tabla 5.3, por último, presenta fórmulas para las columnas cruciformes, para cargas en la

mediatriz y en la diagonal. Para cada valor de la relación de estrechez a se suministran expresiones

para dos combinaciones de materiales, las cuales no contemplan la relación de recubrimientos. Estas

fórmulas reemplazan aproximadamente a los Ábacos 25 a 40.


Tab

la 5

.1-

Fórm

ulas

par

a lo

s Dia

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Tab

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las C

olum

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form

es


REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1) Bertero, Vitelmo. "Comportamiento Sísmico de Estructuras de Concreto". Cintoteca IMME de Ingeniería Estructural. Facultad de Ingeniería. Universidad Central de Venezuela. Caracas, julio 1983. Videocassettes, 15 horas, 1040 diapositivas. Folleto "Resumen Conceptual" con extensa bibliografía, 26 pp. 2) Comisión de Normas para Estructuras de Edificaciones. "Estructuras de Concreto Armado para Edificaciones. Análisis y Diseño". Norma venezolana COVENIN-MINDUR 1753-81. Comisión Venezolana de Normas Industriales. Caracas, 1981, dos volúmenes; sustituida por: Nueva versión vigente: 1985, 425 pp. 3) Comisión de Normas para Estructuras de Edificaciones. "Estructuras de Acero para Edificaciones. Proyecto, Fabricación y Construcción". Norma venezolana COVENIN-MINDUR 1618. Comisión Venezolana de Normas Industriales. Caracas, 1983, 345 pp. 4) Comisión de Normas para Estructuras de Edificaciones. "Acciones Mínimas para el Proyecto de Edificaciones". Norma venezolana COVENIN-MINDUR 2002-83. Comisión Venezolana de Normas Industriales. Caracas, 1984, 53 pp. Nueva versión a imprimirse en 1987. 5) Comisión de Normas para Estructuras de Edificaciones. "Acciones del Viento sobre las Construcciones". Norma venezolana COVENIN-MINDUR 2003-87. Comisión Venezolana de Normas Industriales. Caracas. Pendiente de publicación. 6) Arnal, H.; Epelboim, S. "Manual para el Proyecto de Estructuras de Concreto Armado para Edificaciones". Comisión de Normas para Estructuras de Edificaciones. Ministerio del Desarrollo Urbano. Fundación Aguerrevere, Colegio de Ingenieros de Venezuela, Caracas. 1985, 887 pp. 7) Comité ACI 318. "Building Code Requirements for Reinforced Concrete (ACI 318-77)". ACI Standard. American Concrete Institute. Detroit. 1977. 102 pp. "Commentary". Ibid. 132 pp. Traducción: "Reglamento de las Construcciones de Concreto Reforzado (ACI 318-77) y Comentarios". Instituto Mexicano del Cemento y del Concreto IMCYC, Méjico, 1979, 607 pp. 8) Comité ACI 340. "Ultimate Strength Design Handbook, Volume 2, Columns". Special Publication SP-17A. American Concrete Institute. Detroit, 1970. 226 pp. 9) Fundación Venezolana de Investigaciones Sismológicas, Comisión de Normas para Estructuras de Edificaciones. "Edificaciones Antisísmicas". Norma venezolana COVENIN-MINDUR 1756-82. FUNVISIS. Caracas, 1983, 202 pp.


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NOTAS

Este Manual se ciñe a la primera versión de las nuevas normas venezolanas para estructuras







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