Manipulando las

expresiones

expand( )

[> expand( (a+b)^3) ;

a3

3 a2b 3 a b

2b

3

[> expand( (a+b)^40) ;

EL comando expand( ) desarrolla las operaciones indicadas…

a40

40 b a39

780 b2a

389880 b

3a

3791390 b

4a

36658008 b

5a

353838380b

6a

3418643560b

7a

33

76904685b8a

32273438880b

9a

31847660528b

10a

302311801440 b

11a

295586853480b

12a

28

12033222880b13a

2723206929840b

14a

2640225345056b

15a

2562852101650b

16a

24

88732378800b17a

23113380261800b

18a

22131282408400b

19a

21137846528820b

20a

20

131282408400b21a

19113380261800b

22a

1888732378800b

23a

1762852101650b

24a

16

40225345056b25a

1523206929840b

26a

1412033222880b

27a

135586853480b

28a

12

2311801440 b29a

11847660528b

30a

10273438880b

31a

976904685b

32a

818643560b

33a

7

3838380b34a

6658008 b

35a

591390 b

36a

49880 b

37a

3780 b

38a

240 b

39a b

40

[> expand( (x+y)^2) ;

x2

2 x y y2

expand( )

[> (a+b)^3 = expand( (a+b)^3);

( )a b3 a

33 a

2b 3 a b

2b

3

[> sin(alpha+beta) = expand(sin(alpha+beta) );

[> cos(alpha+beta) = expand(cos(alpha+beta));

( )cos ( )cos ( )cos ( )sin ( )sin

( )sin ( )sin ( )cos ( )cos ( )sin

Podemos escribir ecuaciones conocida…

expand( )

[> P:=(x-1)*(x^2-4)*(x+2)^3;

[> expand(P);

[> P= expand(P);

:= P ( )x 1 ( )x2

4 ( )x 23

x6

5 x5

2 x4

24 x3

32 x2

16 x 32

Maple no desarrolla automáticamente las operaciones indicadas

en una expresión

Si queremos desarrollarlas debemos indicarlas explícitamente

( )x 1 ( )x2

4 ( )x 23 x

65 x

52 x

424 x

332 x

216 x 32

Simplificando expresiones

El usuario debe familiarizarse con el uso de estos comandos…

•La expansión en general alarga una expresión y es un proceso automático.

•A veces queremos hacer lo contrario, simplificar, contraer una expresión larga para

hacerla más corta.

•En Maple, la simplificación es más un arte que un proceso automático.

•Maple tiene varios comandos para simplificar una expresión:

simplify( ), factor( ), combine( ), collect( ), normal( ), etc

simplify( )

Como indica su nombre es el primer comando que estudiaremos para simplificar expresiones…

simplify( )

Algo muy conocido…

[> simplify(sin(x)^2+ cos(x)^2);

1

simplify( )

Algo no tan sencillo…

[> simplify( cos(x)^5+sin(x)^4+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-cos(2*x));

( )cos x4

( )( )cos x 1

simplify( )…

[> expr:= sin(x)^2 + ln(2*y) + cos(x)^2:%;

( )sin x2

( )ln 2 y ( )cos x2

[> simplify(expr);

1 ( )ln 2 ( )ln y

simplify( )…

[> expr2:= sqrt(x^2):%;

x2

[> simplify(expr2);

( )csgn x x

[> simplify(expr2,symbolic);

x

Las simplificaciones nos siempre son directas..

simplify( )…

[> expr2:= sqrt(x^2):%;

x2

[> simplify(expr2);

( )csgn x x

[> simplify(expr2,symbolic);

x

La opcion symbolic no considera propiedades de la variable

simplify( )…

[> expr:=x^(1/x)*(x^(x-1))^(1/x):%;

[> simplify(expr);

[> simplify(expr,symbolic);

x

1

x( )x

( )x 1

1

x

x

1

x( )x

( )x 1

1

x

x

simplify( )

[> expr:=sqrt(1+sqrt(x-1)*sqrt(x+1)*sqrt(x^2-1)): %;

[> simplify(expr);

[> simplify(expr,symbolic);

1 x 1 x 1 x2

1

1 x 1 x 1 x2

1

1 x 1 x 1 x2

1

[> combine(expr,symbolic);

1 ( )x 1 ( )x 1 ( )x2

1

[> simplify(%, symbolic);

x

Simplificar expresiones es Maple…es un arte….

combine( )

[> expr:= ln(2)-ln(7)+exp(a)*exp(b-a)+sin(x)^3+2*cos(x)^2-cos(2*x): %;

( )ln 2 ( )ln 7 ea

e( )b a

( )sin x3

2 ( )cos x2

( )cos 2 x

[> combine(expr,ln);

ln

2

7ea

e( )b a

( )sin x3

2 ( )cos x2

( )cos 2 x

[> combine(expr,exp);

( )ln 2 ( )ln 7 eb

( )sin x3

2 ( )cos x2

( )cos 2 x

[> combine(expr,trig);

( )ln 2 ( )ln 7 ea

e( )b a 1

4( )sin 3 x

3

4( )sin x 1

combine( )

[> expr:=sqrt(1+sqrt(x-1)*sqrt(x+1)*sqrt(x^2-1)): %;

1 x 1 x 1 x2

1

[> combine(expr,symbolic);

1 ( )x 1 ( )x 1 ( )x2

1

combine( )

[> expr:= ln(2)-ln(7)+exp(a)*exp(b-a)+sin(x)^3+2*cos(x)^2-cos(2*x): %;

( )ln 2 ( )ln 7 ea

e( )b a

( )sin x3

2 ( )cos x2

( )cos 2 x

[> combine(expr,[ln,trig]);

[> combine(expr,[ln,exp]);

ln

2

7ea

e( )b a 1

4( )sin 3 x

3

4( )sin x 1

ln

2

7eb

( )sin x3

2 ( )cos x2

( )cos 2 x

normal( )

[> expr:= a^2/(b+a)-b^2/(b-a)+2/c^2:%;

a2

b a

b2

b a

2

c2

[> normal(expr);

a2c

2b a

3c2

b3c

2b

2c2a 2 b

22 a

2

( )b a ( ) b a c2

El comando normal( ) coloca una expresión bajo la forma de cociente

collect( )

[> p:= 7*x*y^2+a*x*y^2+3*y^3*x^2-a*y*x^2+4*x+a*y^3*x:%;

7 x y2

a x y2

3 y3x

2a y x

24 x a y

3x

[> collect(p,a);

( ) x y2

y x2

y3x a 7 x y

23 y

3x

24 x

[> collect(p,x);

( )3 y3

a y x2

( ) 7 y2

a y2

4 a y3x

[> collect(p,y);

( )3 x2

a x y3

( )a x 7 x y2

a y x2

4 x

[> collect(p,[x,y]);

( )3 y3

a y x2

( ) 4 a y3

( )7 a y2x

coeff( )

[> p:= 7*x*y^2+a*x*y^2+3*y^3*x^2-a*y*x^2+4*x+a*y^3*x:%;

7 x y2

a x y2

3 y3x

2a y x

24 x a y

3x

[> coeff(p,x);

[> coeff(p,y);

7 y2

a y2

4 a y3

a x2

[> coeff(p,y^2);

a x 7 x

El comando coeff( ) selecciona el coeficiente del último argumento

Polinomios aleatorios:

randpoly(x);

77 8 x5

93 x4

92 x3

43 x2

62 x

randpoly(x); 50 66 x

554 x

45 x

399 x

261 x

randpoly(x, degree=20); 61 x

2023 x

1637 x

931 x

834 x

642 x

2

p:=randpoly(x, degree=15);

:= p 94 29 x15

66 x13

32 x10

78 x3

39 x2

Evaluando expresiones

p:=randpoly(x);

subs(x=5, p);

:= p 4 5 x5

88 x4

43 x3

73 x2

25 x

-46446

subs(x=Pi, P); 4 5 5

88 443 3

73 225

evalf(%);-9013.112794

Evaluando expresiones

expr:=expand((a-b)^3): expr;

subs(a*b=u, expr);

algsubs(a*b=u, expr);

a3

3 a2b 3 a b

2b

3

a3

3 a2b 3 a b

2b

3

a3

3 u a 3 b u b3

Simplificando…

expr:=expand( (a+b)^9);

:= expr a9

9 b a8

36 b2a

784 a

6b

3126 a

5b

4126 a

4b

584 a

3b

636 a

2b

79 a b

8b

9

factor( % );

( )a b9

expr:= x^4-10/21*x^3+419/84*x^2-50/21*x-5/84;

( )42 x 1 ( )2 x 1 ( )x2

5

84

factor( expr );

:= expr x4 10

21x

3 419

84x

2 50

21x

5

84

Simplificando…

factor(x^2+2*x-3);

factor(x^2-3 );

factor(x^2-3, real );

identify(1.732050808);

( )x 3 ( )x 1

x2

3

( )x 1.732050808 ( )x 1.732050808

3

Simplificando…

identify(.6699245859);

identify(2.279507057 );

identify(1.047197551 );

identify(1.732050808);

7

7

3

3

4

3

3