Makalahtransformasibalikan 150615043436 Lva1 App6891
-
Upload
dota-funplus -
Category
Documents
-
view
224 -
download
1
description
Transcript of Makalahtransformasibalikan 150615043436 Lva1 App6891
-
1
RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB VI
TRANSFORMASI BALIKAN
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015
-
2
Transformasi Balikan
Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif
dengan daerah asal V dan daerah hasilnya juga V. Jika g sebuah garis dan Mg refleksi
pada garis g, maka PPMM gg . Kita tulis juga PPM g 2
. Jadi M2 adalah
suatu transformasi yang memetakan setiap titik pada dirinya. Transformasi yang
demikian dinamakan transformasi Identitas, dilambangkan dengan huruf I. Jadi
PPPI , .
Apakah I memang benar suatu transformasi?
Apakah I injektif?
Untuk menunjukkan I injektif ditunjukkan )()(,, 212121 xIxIxxVxx .
Bukti:
Ambil 2121 dengan , xxVxx .
Menurut definisi identitas, 111 )( xxIVx
222 )( xxIVx
Karena 21 xx maka )()( 21 xIxI
Jadi, I injektif.
Apakah I surjektif?
Untuk menunjukkan I surjektif, ditunjukkan xxIVx )(
Bukti:
Akan dibuktikan ')(' yyIVy
Ambil Vy ' , menurut definisi identitas jika yyyIVy ')( maka
Sehingga yyIyVyVy )('' . Jadi yy ' .
Jadi, I surjektif.
Benar bahwa I suatu transformasi.
Karena I transformasi, T trasnformasi, berlaku sifat berikut:
PPTpTIPITPTI ,
Jadi TTI
-
3
PPTPTIPIT ,
Jadi TIT , sehingga TITTI
Dengan demikian, transformasi identitas I berperan sebagai bilangan I dalam
himpunan transformasi-transformasi dengan operasi perkalian antara transformasi-
transformasi.
Dalam himpunan bilangan-bilangan real dengan operasi perkalian pada setiap
0x ada balikan 1x sehingga 111 xxxx . Demikian juga dalam transformasi,
jika terdapat dua transformasi misal T dan Q, yang hasil kalinya adalah I
(transformasi identitas) ditulis IQTTQ . Transformasi balikan dari T ditulis
sebagai 1T sehingga ITTTT 11 .
Teorema yang berkaitan dengan transformasi balikan:
Teorema 1
Setiap transformasi T memiliki balikan.
Bukti:
Dipunyai T transformasi, akan dibuktikan T memiliki balikan.
Misal balikan dari T adalah L, maka ILTTL
Oleh karena T suatu transformasi, maka T surjektif.
Karena surjektif, XATVAVx )( prapeta
Kita tentukan AXL .
Kita punya XAT . Karena AXL , maka XXLT
Jadi XL adalah prapeta dari X .
Diperoleh XXLT atau XXTL .
Karena XXTL maka menurut definisi identitas XXI
XXIXTL
Jadi, ITL
Selanjutnya XTLXLT
-
4
Andaikan BXT
Karena transformasi maka x prapeta dari B dengan BLX
Jadi, karena BXT , maka XBLXTL )( .
Jadi VXXIXXLT , .
Jadi, ILT . Sehingga ILTTL .
Sekarang akan dibuktikan bahwa L adalah suatu transformasi.
Dari definisi L, jelas L suatu padanan yang surjektif.
Selanjutnya akan dibuktikan L injektif.
Andaikan 21 XLXL dan andaikan pula 2211 )(,)( XATXAT dengan
11 AXL dan 22 AXL
Karena T transformasi, dan jika 21 AA maka )()( 21 ATAT , sehingga kita
peroleh 21 XX .
Jadi karena T transformasi dan )()( 21 XLXL maka:
)()( 21 XLTXLT
21
21
XX
ATAT
Jadi, L injektif. Sehingga L bijektif, maka L suatu transformasi.
Karena ILTTL , maka L merupakan balikan dari transformasi T yang
dilambangkan dengan 1T . Jadi L = 1T .
Contoh:
Pada suatu sistem sumbu ortogonal XOY didefinisikan transformasi F dan G
sebagai berikut:
yxPFyxP
2
1,2)(),.( dan )2,2()( yxPG
Sehingga PyxyxFPGFPFG ),()2,2()(
Dan PyxyxGPFGPGF
),()
2
1,2()(
Jadi PPIPPGFPFG ,)(
-
5
Atau IGFFG
Jadi F dan G balikan satu sama lain. Kita tulis 1 FG
Teorema 2
Setiap transformasi hanya memiliki satu balikan.
Bukti:
Andaikan T suatu transformasi dengan dua balikan 1S dan 2S .
Karena 1S balikan dari T, maka PPIPTSPTS ),())(())(( 11
dan karena 2S balikan dari T, maka PPIPTSPTS ),())(())(( 22
Sehingga ))(())(( 21 PTSPTS
)()( 21 PSTPST
Karena T transformasi maka .),()( 21 PPSPS
Sehingga 21 SS . Jadi balikan T adalah SSS 21 .
Dengan kata lain transformasi T hanya memiliki satu balikan.
Teorema 3
Balikan setiap pencerminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri
Bukti:
Andaikan pencerminan pada garis g adalah gM .
Andaikan gXYXM g ,)( maka XXMM gg )( atau ,))(( XIXMM gg
.gX jadi IMM gg .
Jika gX maka XXM g )( sehingga )()( XMMXM ggg atau
IMM gg
Jadi untuk setiap X diperoleh IMM gg .
Jadi gg MM 1
.
-
6
Definisi : Suatu transformasi yang balikannya adalah transformasi itu sendiri
dinamakan suatu involusi.
Andaikan T dan S transformasi maka masing-masing memiliki balikan, yaitu
11 dan ST . Komposisi transformasi, yaitu ST juga suatu transformasi. Jadi
ada balikan 1ST
Teorema 4
Apabila T dan S transformasi-transformasi, maka 111 TSST .
Bukti:
Diketahui ISTST )(1 .
Tetapi ISSSISSTTSSTTS 111111 . Oleh karena suatu transformasi hanya memiliki satu balikan, maka
111 TSST .
Jadi balikan hasil kali transformasi adalah hasil kali balikan balikan
transformasi dengan urutan yang terbalik.
Contoh:
Pada sebuah sistem sumbu ortogonal ada garis xyyxg ),( dan
0),( yyxh .
Tentukan P sehingga ,))(( RPMM gh dengan R = (2,7).
Jawab :
Andaikan yxP , .
Kita peroleh berturut-turut ),)(())()((1111 RMMPMMMM hgghhg
Jadi .)(11 RMMP hg
Oleh karena )7,2(R dan hh MM 1 , maka )7,2()()(1 RMRM hh
sehingga )2,7()7,2()7,2()(111 gghg MMRMM sehingga )2,7(P .
-
7
Tugas:
Dalam tugas dibawah ini kita definisikan padanan-padanan sebagai berikut:
a) Apabila g sebuah garis. gW adalah padanan yang didefinisikan untuk
segala titik P sebagai berikut:
Apabila gP maka PPWg )(
Apabila gP maka )(PWg adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari
P pada g.
b) Apabila g sebuah garis. gV adalah padanan yang didefinisikan untuk
semua titik P sebagai berikut:
Apabila gP maka PPVg )(
Apabila gP maka ')( PPVg sehingga P titik tengah ruas garis tegak
lurus dari 'P pada g.
c) Apabila A sebuah titik. UA adalah padanan yang didefinisikan sebagai
berikut :
Untuk1)(, PPUAP A sehingga
1P adalah titik tengah ruas garis PA .
Untuk PPUAP A )(, .
-
8
Latihan.
1. Jika g sebuah garis dan A sebuah titik, tentukan balikan transformasi
transformasi berikut:
a) gW b) gV c) gM d) AU
Penyelesaian:
Kasus 1 untuk A g
a) Menurut definisi identitas
Jika A V maka I (A) = A
AAWgWg
AAWgWg
AAI
)(
)(
)(
1
1
AAWg )(1
Jadi, AAWg )(1
Kasus 2 untuk A g
Menurut definisi dari padanan Wg
Apabila A g maka AhAAWg2
1
2
1)( ' dimana h adalah ruas garis
tegak lurus dengan g dari A.
Diketahui AAWg2
1)(
AAVg 2)(
Karena AAWg2
1)(
AAVg 2)(
Maka )()(1
AVAW gg
b) Kasus 1 untuk A g
Menurut definisi identitas
Jika A V maka I (A) = A
g
h
A
AAVgA 2)(1
-
9
AAVgVg
AAVgVg
))((
))((
1
1
AAVg )(1
Untuk kasus 2, A g
Menurut definisi identitas
Diketahui AAWg2
1)(
AAVg 2)(
Karena AAWg2
1)(
AAVg 2)(
Maka )()(1
AWAV gg
c) Kasus 1 untuk A g
Menurut definisi pencerminan
Jika A g, maka Mg(A) = A maka AAMg )(1
Untuk kasus 2, A g
Menurut definisi pencerminan
Jika A g, maka 1)( AAMg
Menurut Teorema 6.3
1)( AAMg
AAI )(
AAMgMg
AAMgMg
))((
1
1)(
Mg
AAMg
d) Jika AP jelas PPU A )( . Jadi balikan dari AU adalah AU .
Jika AP maka ')( PPU A dimana
'P adalah titik tengah ruas garis PA
g
h
A
AAVgA 2)(1
-
10
Dari hipotesis Jika GP , 1)( PPVg , sehingga P adalah titik tengah ruas
garis tegak lurus dari A pada g, dan misalkan gA , dan merupakan titik
potong garis yang tegak lurus dengan g dan melalui titik P dan 'P , maka P
titik tengah ruas garis AP ' . Jadi AV balikan dari AU .
2. Sederhanakanlah:
a) 1)( hgVM b) 1)( ggVW c)
1)( sgMW
d) 1)( sgWV e) 1)( sg MM f) sgs WWV
1)(
Penyelesaian:
Menurut teorema apabila T dan S transformasi maka 111 TSST maka:
a) ghghhg MWMVVM 111)(
b) gggggg VWMVVM
111)(
c) gsgssg VMMMMM
111)(
d) gsgssg WVVWWV
111)(
e) gsgssg MMMMMM
111)(
f) ssgssgsgs WWMWVMWWV )()()(
111
3. Andaikan g sebuah garis,
a. Apakah gW sebuah isometri?
b. Apakah gW sebuah involusi ?
c. Apabila A, B dan C segaris (kolinear), apakah yang dapat katakana tentang
peta-petanya ?
Penyelesaian:
a) Ambil sebarang tiga titik CBA dan ,, dengan CBA dan gCBA ,,
Karena gA maka ')( AAWg adalah titik tengah garis tegak lurus dari
A pada g.
Karena gB maka ')( BBWg adalah titik tengah garis tegak lurus dari
B pada g.
-
11
Karena gC maka ')( CCWg adalah titik tengah garis tegak lurus dari
C pada g.
b) Ambil sebarang titik gA .
Karena gA maka ')( AAWg adalh titik tengah ruas garis tegak lurus dari
A pada g. Ini berarti )('AWg bukan merupakan balikan dari )(AWg
Jadi gW bukan suatu involusi.
c) Ambil tiga titik CBA dan ,, yang segaris.
gAAAAWGA g '')(, dan ,'' rAAA
gBBBWGB g '')(, dan ,'' rBBB
gCCCCWGC g '')(, dan ,'' rCCC
gAA '
gBB '
gCC '
Jadi ////// ''' CCBBAA atau .//// CrBqAp
Sehingga ,pqAB dan qrBC . Akibatnya ''BAAB dan ''CBBC .
Dapat disimpulkan jika ,, BA dan C segaris maka gW adalah sebuah
isometri.
4. Diketahui garis-garis g dan h yang berpotongan dan titik P dan Q tidak pada
garis-garis tersebut. Lukislah:
a) R sehingga PRMM hg )( .
Penyelesaian:
)()()( PMRMPRMM ghhg
)(PMMR gh
Q h
P
PMP g' g
PMMPR gh ''
-
12
b) K sehingga QKMW gh )(
Penyelesaian:
)()()(1
QWKMQKMW hggh
)(
)()(
QVMK
QVKM
hg
hg
c) E sehingga PEWV gh )(
Penyelesaian:
)()()(1
PVEWPEWV hggh
)(
)(
)()(
1
PWVE
PWWE
PWEW
hg
hg
hg
d) D sehingga DDMW gh )(
Penyelesaian:
)()()( DVDMDDMW hggh
)(DVMD hg
Karena )()( DVMDDWW hggh berarti IVMMW hggh
(Transformasi Identitas).
Maka haruslah D terletak pada perpotongan antara garis g dan h.
Q h
P
QVQ h'
g
QVMQK hg ''
)(PWVE hg
)(' PWP h Q
h
P
g
Q h
P
g
D
-
13
5. Diketahui garis-garis g, h dan k dan sebuah titik A tidak pada garis-garis tersebut.
Lukislah garis-garis:
a) v sehingga vAvvWh dan )(
b) u sehingga kuWV hg )(
'R
'P
'Q'S
R
P
Q
S
gkh
)(' kWk g
v v
-
14
c) z sehingga gzVU hA )(
d) w sehingga hwW g )(2
6. Diketahui titik-titik )9,2(dan ),3,2( BA .
a) Tentukan koordinat-koordinat )(BU A .
)()()()()(2 hVVwhVwWhwWWhwW ggggggg
v v
'R
'P
'Q
R
P
Q
zg ''
A
)(' gVg A
'S S
g
h
)(' hVh g
'S
S
'PP
'R
'Q
R Q
)('' hVVwh gg
gh
-
15
Penyelesaian:
6,02
393,
2
222
2,
2)(
ABA
ABAA
yyy
xxxBU
Jadi, koordinat )(BU A adalah (0,6).
b) Tentukan koordinat-koordinat ),(dengan ),( yxPPU A .
Penyelesaian:
2
3,
2
2
2
33,
2
22
2,
2)(
yx
yx
yyy
xxxPU APA
APAA
Jadi, koordinat )(PU A adalah
2
3,
2
2 yx
c) Apakah AU sebuah isometri? Apakah AU sebuah involusi?
Penyelesaian:
Ambil sembarang titik ),Q(dan ),( 2211 yxyxP
Jarak P ke Q adalah 2122
12 yyxxPQ
2
3,
2
2')( 11
yxPPU A , dan
2
3,
2
2')( 22
yxQQU A
Sehingga jarak P ke Q adalah:
2
12
2
12
2
12
2
12
222
3
2
3
2
2
2
2''
yyxxyyxxQP
Karena ''QPPQ maka AU tidak mengawetkan jarak.
Jadi, AU bukan sebuah isometri.
-
16
Ambil sembarang titik ),( 11 yxP
Jelas
2
3,
2
2)( 11
yxPU A
Jelas
2
2
33
,2
2
22
2
3,
2
2)'(
11
11
yx
yxUPU AA
2
2
6
,2
2
4 11 yx
yxyx
,4
6,
4
4 11
Jadi, AU bukan sebuah involusi.
d) Tentukan koordinat-koordinat )(1 PU A
Penyelesaian:
Andaikan ),()(1 dbycaxPU A
Jelas PPUU AA )(1 ),( dbycaxU A
),(2
3,
2
2yx
dbycax
ydby
xcax
2
3dan
2
2
32dan 22 ydbyxcax
Jadi, koordinat )32(),22(),()(1 yxdbycaxPU A
7. Apabila 3),( xyxg tentukanlah:
a) Koordinat-koordinat ),(untuk )( yxPPWg
Penyelesaian:
Jelas ),()( yxWPW gg ),(3),( yxW xyx
-
17
=
p
gp
g yxx
x ,2
=
y
x,
2
33
=
y
x,
2
3
Jadi, koordinat )(PWg untuk ),( yxP adalah
y
x,
2
3
b) Koordinat-kordinat )(1 PW g
Penyelesaian:
Andaikan )(1 PW g
= ),( dbycax
Jelas PpWW gg )(1
),(),( yxdbycaxWg
),(,2
3yxdby
bax
xbax
2
3 dan ydby
32 xbax dan ydby
Jadi, koordinat )(1 PW g
= ),32(),( yxdbycax
c) C dengan BCWV gh )( apabila h sumbu Y dan )6,1(B
Penyelesaian:
Jelas BCWV gh )( )()()( BWVCBWCW bgbg
)6,1( hg WVC
6,
2
1gVC
)6,32
1(2( C
)6,4( C
8. Apabila T, L, S transformasi-transformasi buktikan bahwa 1111 TLSTLS .
-
18
Penyelesaian:
Menurut Teorema 6.4 : Apabila S dan T transformasi-transformasi, maka
111 oTSToS
Sehingga (TLS) 1 = (TL(S)) 1 = S 1 (TL) 1 = 111 TLS
9. Sederhanakanlah:
a) 1ghg MVW b)
1
gghh VWVM
Penyelesaian:
a). ghgghghggghgghg VWMWVMVWMMVWMVW
1111111 )())((
b). 1111111 hhggghhggghhgghh VMWVWVMVVWVMVWVM
hhgg
hhgg
MWVW
MVWV
1111
10. Apabila A titik asal dan 2),( yyxg tentukan koordinat-koordinat titik D
sehingga )4,3()( DVU gA .
Penyelesaian:
Jelas )4,3()4,3()()4,3()( AgAggA VWDVDVDVU
2,62
28,6
8,6
)4.(2),3.(2
D
D
WD
WD
g
g
11. Andaikan 63),( yxyxg dan h sumbu Y. Apabila A titik asal, tentukan
persamaan garis k sehingga gkUV Ah )( .
Penyelesaian:
Jelas )()()()( gWVkgWkUgkUV hAhAAh
-
19
Persamaan garis k yang melalui dua titik yaitu titik (2,0) dan (0,12) adalah:
20
2
012
0
12
1
12
1
xy
xx
xx
yy
yy
126
2
212
xy
xy
Jadi persamaan garis k adalah 126 xy
12. Apabila xyyxg ),( tentukan:
a) Koordinat-koordinat titik )2,6(dengan )( AAWg
Penyelesaian:
Jelas titik A = (6,2) akan memotong (tegak lurus) g di
sehingga koordinat adalah
b) Koordinat-koordinat titik ),(Puntuk )(1 yxPW g
Penyelesaian:
Koordinat-koordinat titik untuk P = (x,y)
Jelas titik P = (x,y) memotong (tegak lurus) garis g di
1
-12
y
0
)(gWh
-6
2 x
63 xy
)(gWV hA
h
-
20
dan
Misal koordinat adalah
Jelas = P
dan
dan
dan
dan
dan
Sehingga koordinat adalah
13. Diketahui hg // . Titik BgA dan terletak di tengah-tengah antara hg dan .
Jarak antara hg dan adalah 4 cm dan jarak antara proyeksi-proyeksi A dan B
pada h adalah 16 cm. Tentukan jarak terpendek jalur antara A dan B yang
dipantulkan oleh hg dan sebanyak tiga kali (A tidak dihitung).
14. Tentukan jarak dalam soal 13, apabila pemantulan itu adalah n kali.
15. Diketahui persegi panjang ABCD dan sebuah titik P di dalam ABCD yang
terletak di tengah-tengah antara sisi-sisi AB dan DC; jarak antara P dan sisi AD
adalah 1 cm. Panjang sisi AD = 1 cm dan panjang sisi DC = 4 cm.
a) Lukis jajargenjang dalam persegi panjang yang salah satu sisinya melalui P
dan yang titik-titik sudutnya terletak pada sisi-sisi persegi panjang itu.
b) Tentukan keliling paralellogram.