LINEARISASI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL PADA MODEL EPIDEMI SIR BERDASARKAN KELOMPOK UMUR

Dwi Lestari1 and Widodo2

1) Jurusan Pendidikan Matematika UNY Email: dwilestari@uny.ac.id

2) Jurusan Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta, Indonesia

Abstrak

Model Epidemi SIR berdasarkan kelompok umur berbentuk sistem persamaan diferensial parsial dengan variabel umur dan waktu sebagai variabel bebas. Model ini memiliki distribusi umur steady state trivial dan non trivial berbentuk fungsi yang bergantung pada variabel umur. Selain itu, model berbentuk sistem nonlinear sehingga diperlukan linearisasi untuk mengetahui perilaku solusi sistem nonlinear melalui sistem linear. Linearisasi dilakukan dengan deret Taylor ataupun perturbasi di sekitar distribusi umur steady state. Kata kunci: linearisasi, sistem persamaan diferensial parsial.

A. Pendahuluan

Masalah yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan dalam bentuk model

matematika. Sebagian besar model matematika yang muncul berbentuk non linear. Untuk mendapatkan

solusi masalah yang berbentuk sistem non linear tidaklah mudah. Namun demikian, hal ini tidak menjadi

masalah karena bentuk model matematika khususnya yang berbentuk sistem persamaan diferensial non

linear dapat dilihat perilaku solusinya melalui sistem persamaan diferensial linear dengan syarat bagian

real akar karakteristik tidak nol. Linearisasi dilakukan untuk mendapatkan sistem linear dari sistem non

linear.

Pada paper ini akan dibahas mengenai model epidemi berbentuk SIR dengan memperhatikan

kelompok umur. Umur dapat diartikan sebagai waktu dari masuk ke dalam kelas populasi rentan

(susceptibles), kelas terjangkit (infective), atau kelas bebas penyakit (recovered). Contoh yang relevan

adalah pada model penyerapan obat dalam darah. Pemodelan epidemi berdasarkan umur berkaitan dengan

model populasi berdasarkan distribusi umur. Beberapa penyakit seperti, cacar air (measles), influenza tipe

A, kolera, gondong (mumps), tubercoluses, AIDS, dan SARS penting untuk diperhatikan variabel umur

individunya dalam pemodelan penyakit. Dalam hal ini model yang akan dibahas adalah model SIR

berdasarkan kelompok umur.

Model Epidemi SIR berdasarkan kelompok umur berbentuk sistem persamaan diferensial parsial

dengan variabel umur dan waktu sebagai variabel bebas. Model yang berbentuk sistem non linear tidak

mudah diselidiki perilaku solusinya. Oleh sebab itu, perilaku solusi sistem diselidiki melalui bentuk

sistem linearnya. Untuk mendapatkan sistem linear dari sistem non linear perlu dilakukan linearisasi.

Linearisasi yang dilakukan menggunakan Deret Taylor.

B. Linearisasi Persamaan Diferensial Parsial

Untuk mempelajari perilaku sistem dinamik non linear dilakukan melalui linearisasi di sekitar

titik ekuilibrium. Diberikan sistem

( , )

( , )

dxf x y

dtdy

g x ydt

=

= (1)

dengan titik ekuilibrium ( , ); ( , ) ( , ) 0a b f a b g a b= = . Pendekatan linear fungsi f(x,y) di sekitar (a,b)

diperoleh dengan menderetkan fungsi f(x,y) sebagai berikut

( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( ) f

f ff x y f a b a b x a a b y b

x y

∂ ∂≅ + − + − +Θ

∂ ∂. (2)

Sedangkan Deret Taylor fungsi g(x,y) di sekitar (a,b) adalah

( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( ) g

g gg x y g a b a b x a a b y b

x y

∂ ∂≅ + − + − +Θ

∂ ∂ (3)

dengan fΘ dan gΘ suku-suku non linear yang selanjutnya dapat dihilangkan. Dari (1) dan (2) diperoleh

pendekatan linear untuk Sistem (1), yakni

( , )( ) ( , )( )

( , )( ) ( , )( )

dx f fa b x a a b y b

dt x y

dy g ga b x a a b y b

dt x y

∂ ∂= − + −∂ ∂∂ ∂

= − + −∂ ∂

. (4)

Persamaan (4) dapat dituliskan sebagai matriks

( , ) ( , )( )

( )( , ) ( , )

f fdx a b a bx ax ydt

dy g g y ba b a b

dt x y

∂ ∂ −∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂

(5)

Substitusi u x a= − dan v y b= − diperoleh persamaan yang lebih sederhana, yaitu

( , ) ( , )

( , ) ( , )

f fdu a b a bux ydt

dv g g va b a b

dt x y

∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂

(6)

dengan

( , ) ( , )

( , ) ( , )

f fa b a b

x yJ

g ga b a b

x y

∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂

dikenal sebagai matriks Jacobian Sistem (1) pada titik (a,b).

Diberikan 1 2( , ,..., )nx x x=x variabel bebas dan u merupakan fungsi yang bergantung pada

variabel 1 2, ,..., nx x x , yakni fungsi : nu ℜ →ℜ dengan nx∈ℜ . Secara umum sistem persamaan

diferensial parsial berbentuk

1 1 2

1 1 2

1 1 2

1

2

( , , , , , , , ) 0,

( , , , , , , , ) 0,

( , , , , , , , ) 0.

n i n

n i n

n i n

x x x x x x

x x x x x x

n x x x x x x

F u u u u u

F u u u u u

F u u u u u

x

x

x

=

=

=

…

…

…

… …

… …

⋮

… …

(7)

Sistem persamaan diferensial parsial dua variabel orde satu berbentuk sebagai berikut:

1 11( )

u uf

x t

∂ ∂+ =∂ ∂

u

2 22( )

u uf

x t

∂ ∂+ =∂ ∂

u (8)

:

:

( )n nn

u uf

x t

∂ ∂+ =∂ ∂

u .

dengan 1 2( , ,..., )nu u uu = dan nilai awal 0 01 02 0( , ,..., )nu u uu = . Solusi Sistem (8) dengan nilai awal

0 0( , )x tu u= dinyatakan sebagai ( ) ( )0, ,x,t x tu u u= .

Vektor ( )x*u disebut distribusi umur steady state Sistem (8), jika ( )x*u memenuhi Sistem

berikut.(Brauer, 2008)

( )*

11

( )[ ]

du xf x

dx= *u

( )*

22

( )[ ]

du xf x

dx= *u (9)

:

( )* ( )

[ ]nn

du xf x

dx= *u

Andaikan Sistem (9) dengan nilai awal yang diberikan misal * *0(0) =u u , memiliki solusi ( )x*u ,

kestabilan distribusi umur steady state tersebut dapat diselidiki dengan melakukan linearisasi Sistem (8).

Selanjutnya, linearisasi sistem persamaan diferensial parsial di sekitar kondisi steady state

* *1 2( ) [ ( ), ( )]x u x u x=*u sebagai berikut. Diperhatikan dua persamaan awal pada Sistem (8), yakni

1 11 1 2( , )

u uf u u

x t

∂ ∂+ =∂ ∂

2 22 1 2( , )

u uf u u

x t

∂ ∂+ =∂ ∂

. (10)

Diberikan transformasi

* *1 2 1 1 2 2( , ) [ ( , ), ( , )] [ ( , ) ( ), ( , ) ( )]x t v x t v x t u x t u x u x t u x= = − −v . Dengan mengambil deret Taylor f1 dan

f2 Sistem (10), diperoleh

* *1 1 1 11 1 1 2 2 1

1 2

( ) ( )[ ] ( )[ ]v v f f

f u u u ux t u u

∂ ∂ ∂ ∂+ ≅ + − + − + Θ∂ ∂ ∂ ∂

* * *u u u ,

1 11 2

1 2

( ) ( )f f

v vu u

∂ ∂≅ +∂ ∂

* *u u ,

* *2 2 2 22 1 1 2 2 2

1 2

( ) ( )[ ] ( )[ ]v v f f

f u u u ux t u u

∂ ∂ ∂ ∂+ ≅ + − + − + Θ∂ ∂ ∂ ∂

* * *u u u

2 21 2

1 2

( ) ( )f f

v vu u

∂ ∂≅ +∂ ∂

* *u u ,

dengan 1 2,Θ Θ suku suku non linear sehingga dapat diabaikan. Hasil linearisasi Sistem (10), yakni

1 1 1 11 2

1 2

( ) ( )v v f f

v vx t u u

∂ ∂ ∂ ∂+ = +∂ ∂ ∂ ∂

* *u u

2 2 2 21 2

1 2

( ) ( )v v f f

v vx t u u

∂ ∂ ∂ ∂+ = +∂ ∂ ∂ ∂

* *u u . (11)

C. Model Epidemi SIR Berdasarkan Kelompok Umur

Pembentukan model epidemi SIR didasari oleh adanya penyakit menular yang memiliki masa

inkubasi singkat. Misalnya, populasi yang diberikan dibagi ke dalam tiga kelas, yakni kelas populasi

rentan (susceptibles), kelas populasi terinfeksi (infectious), dan kelas populasi bebas penyakit (recovered).

Perhatikan diagram alir perubahan keadaan suatu populasi akibat adanya penyebaran penyakit.

Gambar 3.1 Bagan Alir Model Epidemi SIR

Kelas populasi yang dibagi menjadi tiga dinotasikan sebagai S(a,t), I(a,t), dan R(a,t) yang

merupakan fungsi densitas peluang yang berkaitan dengan kelompok umur. Misalnya, ,ρ banyaknya

kelahiran, b(a) dan γ parameter yang menggambarkan laju kontak dan laju kesembuhan. Selain itu, β

merupakan faktor skala transmisi dan ( )aµ laju kematian yang tidak dipengaruhi oleh penyakit. Pada

model ini, laju kontak antara individu rentan berumur a dan satu individu terinfeksi berumur a’ sebanding

dengan b(a)b(a’). Oleh karena itu, didefinisikan laju serangan infeksi pada saat t yakni ( )tλ .

Dalam hal ini, perubahan populasi pada tiap kelas masing-masing bergantung pada variabel

waktu t dan umur a. Oleh karena itu, diperoleh sistem integro-diferensial yang berupa sistem persamaan

diferensial parsial orde satu. Berdasarkan Asumsi (3.1.1), perubahan populasi menurut Gambar 3.1

dirumuskan sebagai berikut.

( , ) ( , )( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )

S a t S a tt b a S a t a S a t

t aλ µ

∂ ∂+ =− −

∂ ∂, (12.a)

[ ]( , ) ( , )( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )

I a t I a tt b a S a t a I a t

t aλ γ µ

∂ ∂+ = − +

∂ ∂, (12.b)

( , ) ( , )( , ) ( ) ( , )

R a t R a tI a t a R a t

t aγ µ

∂ ∂+ = −

∂ ∂, (12.c)

0

( ) ( ') ( ', ) 't b a I a t daλ β

∞

= ∫ , (12.d)

0( ,0) ( )S a S a= , 0( ,0) ( )I a I a= , 0( ,0) ( )R a R a= , (12.e)

( ')

0

1(0, )

'M a

S t

e da

ρ ∞−

= =

∫ ,

0

( ) ( )a

M a dµ α α= ∫ ,

( ) ( ) ( , )t b a S a tλ

ρ

S(a,t) I(a,t) R(a,t) ( , )I a tγ

( ) ( , )a S a tµ ( ) ( , )a I a tµ ( ) ( , )a R a tµ

(0, ) 0, (0, ) 0I t R t= = . (12.f)

Persamaan (12.a) – (12.c) menyatakan perubahan populasi rentan, populasi terinfeksi, dan populasi

sembuh terhadap umur a dan waktu tertentu t. Misal, a

taS

∂∂ ),(

menyatakan perubahan populasi rentan

yang bertambah umurnya menjadi lebih tua, sedangkan t

taS

∂∂ ),(

menyatakan perubahan populasi rentan

terhadap waktu t. Oleh karena itu, bisa dianggap bahwa ( , ) ( , )S a t S a t

t a

∂ ∂+

∂ ∂ menyatakan laju perubahan

populasi rentan terhadap waktu t. Persamaan (12.d) merupakan laju serangan infeksi. Persamaan (12)

dipandang sebagai masalah nilai awal dan syarat batas, yakni Persamaan (12.e) sebagai syarat awal dan

Persamaan (12.f) sebagai syarat batas.

D. Linearisasi Persamaan Diferensial Parsial pada Model Epidemi SIR Berdasarkan Kelompok

Umur

Beberapa teknik yang dapat digunakan untuk menganalisa distribusi umur steady state yakni

dengan linearisasi menggunakan deret Taylor, didefinisikan lebih dahulu

*( , ) ( ) ( , )S a t S a a tξ= + , (13)

*( , ) ( ) ( , )I a t I a a tη= + , (14)

*( ) ( )t tλ λ θ= + , (15)

dengan ( , ), ( , ), ( )a t a t tξ η θ regangan atau displacement.

Selanjutnya, Persamaan (13) – (15) disubstitusikan ke Persamaan (12.a) dan (12.b) , diperoleh

* * *( , ) ( , )( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )

a t a tt b a S a a t a S a a t

a t

ξ ξλ θ ξ µ ξ

∂ ∂ + =− + + − + ∂ ∂

* * * *( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )b a S a b a a t t b a S aλ λ ξ θ=− − −

*( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )t b a a t a S a a a tθ ξ µ µ ξ− − −

* * * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )b a S a a S a b a a tλ µ λ ξ=− − −

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )t b a S a t b a a t a a tθ θ ξ µ ξ− − − .

Karena * * *( ) ( ) ( ) ( ) 0b a S a a S aλ µ− − = dan ( ) ( ) ( , )t b a a tθ ξ− suku non linear, maka diperoleh

* *( , ) ( , )( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

a t a tb a a t t b a S a a a t

a t

ξ ξλ ξ θ µ ξ

∂ ∂+ =− − −

∂ ∂.

Selanjutnya linearisasi persamaan (12.b),yakni

[ ]* * *( , ) ( , )( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )

a t a tt b a S a a t a I a a t

a t

η ηλ θ ξ γ µ η

∂ ∂ + = + + − + + ∂ ∂

* * * *( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )b a S a b a a t t b a S aλ λ ξ θ= + +

* *( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )t b a a t I a t a I a a a tθ ξ γ γη µ µ η+ − − − −

* * * * * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )b a S a I a I a b a a t t b a S aλ γ µ λ ξ θ= − − + +

( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )t b a a t a t a a tθ ξ γη µ η+ − − .

Karena * * * *( ) ( ) ( ) ( ) 0b a S a I a I aλ γ µ− − = dan ( ) ( ) ( , )t b a a tθ ξ suku non linear, diperoleh

[ ]* *( , ) ( , )( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

a t a tb a a t t b a S a a a t

a t

η ηλ ξ θ γ µ η

∂ ∂+ = + − +

∂ ∂.

Dari linearisasi Persamaan (12.a) dan (12.b), diperoleh

* *( , ) ( , )( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

a t a tb a a t t b a S a a a t

a t

ξ ξλ ξ θ µ ξ

∂ ∂+ =− − −

∂ ∂, (16)

[ ]* *( , ) ( , )( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

a t a tb a a t t b a S a a a t

a t

η ηλ ξ θ γ µ η

∂ ∂+ = + − +

∂ ∂, (17)

dengan

0

( ) ( ) ( , )t b a a t daθ β η

∞

= ∫ , (18)

(0, ) (0, ) 0t tξ η= = , (19)

*0( ,0) ( ) ( )a S a S aξ = − , *

0( ,0) ( ) ( )a I a I aη = − . (20)

Diasumsikan Persamaan (16) – (18) mempunyai solusi yang bentuknya

^

( , ) ( ) pta t a eξ ξ= , (21)

^

( , ) ( ) pta t a eη η= , (22)

^

( ) ptt eθ θ= , ^

θ = konstanta (23)

sehingga dipenuhi persamaan berikut.

^ ^^ ^ ^

* *( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pt pt pt pt pta a

e pe b a a e e b a S a a a ea t

ξ ξλ ξ θ µ ξ

∂ ∂+ =− − −

∂ ∂,

^ ^^ ^ ^

* *( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a ap b a a b a S a a a

a t

ξ ξλ ξ θ µ ξ

∂ ∂+ =− − −

∂ ∂ . (24)

dan

[ ]^ ^

^ ^ ^( , ) ( , ) * *( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )a t a tpt pt pt pt pte pe b a a t e t e b a S a a a t ea t

η ηλ ξ θ γ µ η

∂ ∂+ = + − +

∂ ∂

[ ] ),(^

)()(*)()(^

),(^

)(*),(^

),(^

taaaSabttaabt

tap

a

ta ηµγθξληη +−+=∂

∂+∂

∂ .

(25)

Persamaan (24) dan (25) merupakan masalah nilai eigen p. Selanjutnya akan dicari penyelesaiannya

pada kondisi steady state, yakni

)()()()()()()( ^

*^^

*

^

aaaSabaabda

ad ξµθξλξ −−−= ,

[ ] )()()()()()( *

^^*

^

aSabaaabda

ad θξµλξ −=++ , (26)

dan

[ ] )(^

)()(*)(^

)(^

)(*)(^

aaaSabaabda

ad ηµγθξλη +−+= ,

[ ] )(*)(^

)(^

)(*)(^

)()(

^

aSabaabaada

ad θξληµγη +=++ . (27)

Persamaan (26) dan (27) dengan Syarat batas (19) memiliki penyelesaian

* *

0

( ) ( ) ( ) ( )^ ^*

0

( ) ( ) ( )

a a

ab d b d

a e b S e dα

λ σ µ σ σ λ σ µ σ σ

ξ θ α α α

− + +

∫ ∫ =− ∫

*^ ( ) ( ) ( )

0

( )a

B a M a p ae b e dλ αρ θ α α − + − −

= − ∫ ,

dan

[ ] [ ]0

( ) ( )^ ^*

0

^*( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a a

ad d

a e b a a b S e dα

γ µ σ σ γ µ σ σ

η λ ξ θ α α α− + +

∫ ∫ = + ∫

[ ] [ ]* *0

'( ) ( )^ ^( ) ( ) ( ) ( )( ')

0 0

* ( ) ( ') ' ( )

a a

a ad dB a M a B a M ap a ae b a e b a e da b e e dα

γ µ σ σ γ µ σ σλ λ

λ ρθ θ α ρ α− + + − + − +− −

∫ ∫ = − + ∫ ∫

( )( ) *'^ ' ( ')( ) * ( ' )

0 0

( ') 1 ( ) 'a a

p a a B aM a p ae b a e b e d daγ λ αρ θ λ α α

− + − +− − − = −

∫ ∫ , (28)

dengan

0

( ) ( )a

B a b dα α= ∫ , 0

( ) ( )a

M a dµ α α= ∫ , dan

^ ^

0

( ) ( )b a a daθ β η

∞

= ∫ . (29)

Persamaan (28) disubstitusikan ke Persamaan (29), diperoleh

( ) *'^ ^ ' ( ')( ) ( ') * ( )

0 0 0

( ) ( ') ( ) 'a a

a a B aM a p a a p ab a e b a e e b e d da daγ λ αθ β ρ θ λ α α

∞ − − +− − − − −

= − ∫ ∫ ∫

( ) *'^ ^ ' ( ')( ) ( ') * ( )

0 0 0

( ) ( ') ( ) ' 0a a

a a B aM a p a a p ab a e b a e e b e d da daγ λ αθ β ρ θ λ α α

∞ − − +− − − − −

− − = ∫ ∫ ∫ ,

( ) *'^ ' ( ')( ) ( ') * ( )

0 0 0

1 ( ) ( ') ( ) ' 0a a

a a B aM a p a a p ab a e b a e e b e d da daγ λ αθ β ρ λ α α

∞ − − +− − − − −

− − = ∫ ∫ ∫ .

(30)

Persamaan (30) mempunyai akar ^

0θ= atau ^

0θ≠ jika dipenuhi persamaan karakteristik Lotka untuk p,

yakni

( ) *'

' ( ')( ) ( ') * ( )

0 0 0

1 ( ) ( ') ( ) 'a a

a a B aM a p a a p ab a e b a e e b e d da daγ λ αβ ρ λ α α

∞ − − +− − − − −

= − ∫ ∫ ∫

(31)

Menurut Teorema dalam ([4] dan [5]), jika semua akar Persamaan (31) memiliki bagian real negatif,

maka semua solusi Persamaan (21)-(23) menuju nol untuk t → ∞ . Dengan menggunakan kriteria

ambang batas yang diberikan pada Persamaan (12), untuk * 0λ > tidak ada nilai p non negatif yang

memenuhi Persamaan (31). Untuk mempelajari sifat dari akar–akar Persamaan (31) sangat sulit. Namun

demikian, untuk kasus khusus dapat ditentukan secara numerik bahwa hal ini berkorespondensi dengan

distribusi umur steady state non trivial yang stabil asimtotik lokal.

Untuk distribusi umur steady state trivial yakni 0* =λ , persamaan (31) menjadi

( )' ( ')( )

0 0

1 ( ) ( ') 'a

a a p a aM ab a e b a e da daγβ ρ

∞− − − −−

=

∫ ∫ . (32)

Jika Persamaan (12) tidak dipenuhi, maka karakter monoton dari integran pada Persamaan (32) berakibat

mempunyai akar real tunggal 00 ≤p dan 00 =p hanya pada kriteria ambang batas.

Teorema 1

(i) Jika * 0λ = dan 10 ≤R maka distribusi umur steady state trivial Sistem (12) stabil asimtotik

lokal.

(ii) Jika * 0λ = dan 10 >R , maka tidak stabil.

Bukti: Lihat [3]

E. Penutup

Pada sistem persamaan diferensial nonlinear dapat diselidiki perilaku solusinya melalui sistem

linear dengan linearisasi. Proses linearisasi dapat dilakukan dengan Deret Taylor dari fungsi non linear.

Model epidemi SIR berdasarkan kelompok umur berbentuk sistem persamaan diferensial parsial non

linear. Linearisasi dilakukan untuk mendapatkan sistem linear sehingga dapat diselidiki perilaku solusi

sistem non linear melalui sistem linear dengan syarat titik ekuilibrium berupa titik ekuilibrium hiperbolik.

F. Daftar Pustaka

[1] Brauer F., dkk, 2008, Mathematical Epidemiology, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York.

[2] Chavez, dkk, 1989, Epidemiological Models with Age Structure, Proportionate Mixing, and Cross- immunity, Journal of Mathematical Biology 27: 233-258.

[3] D Lestari. 2010. Model Epidemi SIR Berdasarkan Kelompok Umur. Thesis. UGM, Yogyakarta. [4] Olsder, G.J., 1994, Mathematical Systems Theory, Delftse Uitgevers Maatschappij, b.v. [5] Wiggins, 1990. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Springer-

Verlag, Berlin-Heidelberg- New York. [6] Zauderer, E. 1989. Partial Differential Equations of Applied Mathematics, JohnWiley and Sons,

Inc, New York.