NILAI EIGEN

Nama kelompok :

Tina Imaniar [ 103214013 ]

Arista Laili [ 103214036 ]

Ulil Iffah [103214034 ]

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN MATEMATIKA

2012

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI.........................................................................................................................................i

KATA PENGANTAR.........................................................................................................................ii

BAB I PENDAHULUAN...................................................................................................................1

1.1 Latar Belakang...................................................................................................................1

1.2 Rumusan Masalah..............................................................................................................2

1.3 Batasan Masalah................................................................................................................2

1.4 Tujuan Penulisan................................................................................................................2

BAB II LANDASAN TEORI..............................................................................................................2

2.1 Matriks................................................................................................................................4

A. Definisi Matriks...............................................................................................................4

B. Bentuk Matriks................................................................................................................4

C. Operasi Matriks...............................................................................................................5

D. Invers Matriks..................................................................................................................6

F. Vektor................................................................................................................................6

G. Diagonalisasi...................................................................................................................7

H. Determinan........................................................................................................................7

2.2 Nilai dan Vektor Eigen......................................................................................................7

2.3 Dekomposisi LU................................................................................................................8

BAB III PEMBAHASAN....................................................................................................................9

3.1 Nilai Karakteristik..............................................................................................................9

3.2 Metode Pangkat................................................................................................................10

3.3 Metode Pangkat Invers.....................................................................................................14

3.4 Metode QR.......................................................................................................................20

BAB IV PENUTUP............................................................................................................................24

4.1 Kesimpulan......................................................................................................................24

DAFTAR PUSTAKA.........................................................................................................................25

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan dan memberikan

petunjuk sehingga penyusun dapat menyelesaikan tugas untuk membuat makalah ini.

Penyusun membuat makalah ini sebagai tugas yang diberikan oleh dosen kami untuk

melatih kami dan untuk menambah pengetahuan kami dalam memahami suatu materi.

Secara umum makalah ini menjelaskan tentang berbagai metode untuk mencari nilai eigen

beserta contoh dan pembahasan. Kami berharap dengan terselesaikannya makalah ini, pembaca

dapat mengetahui metode- metode yang dapat digunakan untuk mencari nilai eigen dan contoh soal

beserta pembahasannya. Semoga makalah ini bermanfaat bagi semua pihak. Saran dan kritik selalu

kami tunggu dalam kesempurnaan makalah ini.

Akhirnya kami ucapkan terima kasih kepada dosen dan semua pihak yang terlibat dalam

pembuatan makalah ini.

Surabaya, 21 November 2012

Penyusun

ii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan dari fenomena riil yang dapat dijelaskan

melalui pembentukan model matematika. Pada umumnya perumusan model matematika ini berupa

fungsi. Dalam banyak kasus, tidak semua model matematika tersebut dapat diselesaikan secara mudah

dengan menggunakan metode analitik, sehingga digunakan analisis numerik untuk mencari

penyelesaiannya. Analisis numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan

matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmetik biasa (tambah, kurang,

kali, dan bagi) (Munir, 2003: 5).

Pada umumnya analisis numerik tidak mengutamakan diperolehnya jawab yang eksak (tepat), tetapi

mengusahakan perumusan metode yang menghasilkan jawab pendekatan yang berbeda dari jawab yang

eksak sebesar suatu nilai yang merupakan galat dari metode yang digunakan. Namun demikian, hasil

perhitungan dengan analisis numerik cukup dapat memberikan solusi pada persoalan yang dihadapi.

Salah satu penerapan dari analisis numerik ini yaitu dalam masalah nilai eigen dan vektor eigen.

Analisis numerik memberikan suatu cara alternatif yang digunakan untuk menemukan nilai eigen dan

vektor eigen dari suatu matriks. Cara yang digunakan dalam analisis numerik ini termasuk unik karena

dalam penyelesaiannya hanya diperlukan operasi-operasi aljabar biasa. Hanya saja, dalam

penghitungannya tidak cukup dilakukan sekali tetapi harus dilakukan berulang-ulang sampai ditemukan

nilai yang konvergen ke satu nilai yang merupakan nilai penyelesaiannya.

Salah satu metode dalam analisis numerik yang bisa digunakan untuk mencari nilai eigen dan vektor

eigen yaitu metode pangkat. Dengan metode pangkat ini, nilai eigen yang berupa bilangan real dan

vektor eigennya dapat ditemukan secara bersamaan menggunakan proses yang sama pula sehingga jika

nilai eigen dari suatu matriks ditemukan, maka secara otomatis vektor eigen dari matriks yang

bersangkutan akan diperoleh.

Dalam mencari nilai eigen dan vektor eigen menggunakan metode pangkat, akan memerlukan proses

iterasi yang sangat panjang untuk menemukan hasil yang mendekati nilai yang sebenarnya. Semakin

banyak iterasi yang dilakukan, maka semakin baik hasil yang diperoleh.

Meskipun metode pangkat bisa digunakan untuk mengaproksimasi nilai eigen dan vektor eigen dari

matriks, akan sulit untuk mengaproksimasi nilai eigen keseluruhan dari matriks tersebut. Oleh sebab itu,

diperlukan metode QR berturut-turut untuk menemukannya.

Dalam makalah ini, jika metode determinan sangat sulit digunakan untuk matriks berordo di atas 3 ×

3, maka metode QR dapat digunakan dengan mudah untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen pada

matriks berordo di atas 3 × 3. Dengan demikian, metode pangkat dan metode QR merupakan salah satu

metode yang dapat mempermudah dalam mencari nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks.

Aplikasi nilai eigen mencakup berbagai bidang keilmuan. Nilai eigen diperlukan untuk memecahkan

berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya dalam hal struktur melengkungnya

batang, campuran, gerak harmonik, getaran suatu bangunan, dan lain sebagainya. Sehingga bisa

dikatakan metode dalam menemukan nilai eigen merupakan ilmu pengetahuan yang digunakan untuk

membantu mempermudah kehidupan manusia sehari-hari.

Berdasarkan latar belakang di atas, penulis mengangkat permasalahan tentang “Macam – macam

metode yang dapat digunakan untuk mencari nilai eigen”.

1.2 Rumusan Masalah

Dari latar belakang permasalahan di atas, dapat diambil rumusan masalah sebagai berikut:

1. Bagaimana mencari nilai eigen apabila diketahui dalam persamaan differensial?

2. Bagaimana aplikasi metode pangkat dalam mengaproksimasi nilai eigen dan vektor eigen

suatu matriks ?

3. Bagaimana aplikasi metode QR dalam mengaproksimasi nilai eigen dan vektor eigen suatu

matriks ?

1.3 Batasan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini dibatasi pada :

1. Metode digunakan hanya pada matriks yang semua nilai eigennya adalah bilangan real. Matriks

yang sesuai dalam hal ini yaitu matriks simetri yang elemennya tidak ada yang memuat

bilangan kompleks

2. Dalam mencari nilai eigen dan vektor eigen, digunakan bantuan program Matlab karena proses

penghitungan secara manual terlalu panjang

3. Metode pangkat dalam makalah ini meliputi metode pangkat langsung dan metode pangkat

invers.

1.4 Tujuan Penulisan

Adapun penulisan makalah ini bertujuan untuk :

1. Menjelaskan langkah-langkah mencari nilai eigen dari persamaan differensial.

2. Menjelaskan langkah – langkah mengaproksimasi nilai eigen pada matriks dengan

menggunakan metode pangkat.

2

3. Menjelaskan langkah – langkah mengaproksimasi nilai eigen pada matriks dengan

menggunakan metode QR

3

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Matriks

A. Definisi Matriks

Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam

baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan elemen dalam matriks.

Matriks ditulis sebagai berikut : A= [ a11 a12 … a 1 na21 a22 … a 2 n

:am1

:am2

… :amn

]Susunan di atas disebut sebuah matriks m kali n (ditulis m × n) karena memiliki m baris dan n kolom.

Sebagai aturan, kurung siku [ ], kurung biasa ( ) atau bentuk || || digunakan untuk menuliskan matriks

beserta elemen-elemennya. Dalam makalah ini, penulis menggunakan kurung siku [ ] untuk

menuliskan matriks beserta elemen-elemennya.

Matriks dinotasikan dengan huruf-huruf besar. Sedangkan elemen-elemen dalam matriks dinotasikan

dengan huruf kecil yang dicetak miring. Jika A adalah sebuah matriks , maka aij menyatakan elemen

yang terdapat dalam baris i dan kolom j dari A. Sehingga A = [aij].

Contoh: Berikut ini adalah matriks

[1 00 1] ,[a b

c d ] ,[1 2 30 1 0]

B. Bentuk Matriks

a. Matriks Bujur Sangkar

Definisi 2.2. Matriks m × n dengan m = n disebut matriks bujur sangkar berordo n atau

sebuah matriks bujur sangkar n.

Dalam suatu matriks bujur sangkar, elemen-elemen a11, a22, . . . , ann disebut elemen diagonal

karena berada pada diagonal utama matriks.

Contoh :

A = [1 −22 3 ]

4

b. Matriks Segitiga Atas

Definisi 2.3. Matriks segitiga atas adalah suatu matriks bujur sangkar A yang elemen-elemen

ajk = 0 untuk j > k, yaitu berbentuk

A=[a 11

00

a12a22

0

a 13 … a1na 23 … a2na 33 … a 3n

: : : : :0 0 0 … amn

]c. Matriks Segitiga Bawah

Definisi 2.4. Matriks segitiga bawah adalah suatu matriks bujur sangkar A yang elemen-

elemen ajk = 0 untuk j < k, yaitu berbentuk:

A=[a11a 21a 31

0a 22a 32

0 … 00 … 0

a 33 … 0: : : : :

an 1 an 2 an 3 … amn]

d. Matriks Transpos

Definisi 2.5. Jika A adalah sebarang matriks m × n, maka transpos A dinyatakan oleh At

dan didefinisikan dengan matriks n × m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom

keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A,

dan seterusnya.

Contoh:

B=[21 34

5 6 ] Bt=[ 2 1 53 4 6]

C. Operasi Matriks

5

Definisi 2.12. Jika A = [aij] adalah matriks m × p dan B = [bik] adalah matriks p× n, maka hasil

kali A dengan B yang ditulis AB didefinisikan sebagai matriks C = [cjk] yang berordo m × n dengan

elemen pada baris ke-j dari A dan dan kolom ke-k dari B. Misalkan matriks baris ke-j dari matriks A

adalah [ aj 1 aj 2 … ajp ] dan matriks B adalah [b1 kb2 k

:bpk

], maka elemen baris ke-j dan kolom ke-k

dari matriks AB = C adalah:

c jk−a j 1 b1 k+…+a jp bpk−∑i=1

p

a ji bik

dimana, j = 1, 2, . . . , m

k = 1, 2, . . . , n

D. Invers Matriks

Definisi 2.13 Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian sehingga

AB = BA = I , maka B disebut invers dari A dan ditulis B = A-1. Matriks B juga mempunyai invers

yaitu ditulis A = B-1

E. Vektor

Suatu matriks yang mempunyai baris atau kolom tunggal adalah sama dengan vektor,

dinotasikan dengan huruf kecil yang dicetak tebal.

Definisi 2.14. Matriks yang terdiri dari satu kolom adalah matriks m × l , disebut sebuah vektor

kolom dan ditulis :

u=[ u1u2:

um]

Notasi uj berupa bilangan nyata, merupakan komponen vektor. uj adalah komponen ke-j dari vektor

u. Vektor kolom A yang mempunyai m baris dikatakan sebuah vektor berkomponen m atau vektor

berdimensi m.

6

Definisi 2.15. Sebuah matriks yang berisi satu baris adalah suatu matriks 1 × n, disebut sebuah

vektor baris dan ditulis:

v = [v1, v2, . . . , vn]

Notasi vk berupa bilangan nyata, merupakan komponen vektor. vk adalah komponen ke-k

dari vektor v. Vektor baris A yang mempunyai n kolom dikatakan sebuah vektor berkomponen n atau

vektor berdimensi n.

Contoh: v = [-2, 3, -1] adalah vektor berdimensi 3.

Definisi 2.16. Jika u = [u1, u2, . . . , un], dan v = [v1, v2, . . . , vn] adalah sebarang vektor pada

Rn, maka hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u . v didefinisikan dengan

u . v = u1v1 + u2v2 + . . . + unvn

norma Euclidis ( atau panjang Euclidis) vektor u = [u1, u2, . . . , un] pada Rn didefinisikan menurut :

||u||=¿¿

F. Diagonalisasi

Definisi 2.17. Matriks bujur sangkar A dinamakan dapat didiagonalisasi (diagonalizeable) jika

terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P-1AP diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalisasi

A.

G. Determinan

Definisi 2.18. Permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, . . . , n } adalah susunan

bilangan-bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan-

bilangan tersebut.

2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 2.21. Jika A adalah matriks n × n, maka vektor taknol x di dalam Rn dinamakan vektor

eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni,

Ax = λx (2.2)

Untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x dikatakan vektor eigen

yang bersesuaian dengan λ.

Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n × n maka Ax = λx dituliskan kembali sebagai

7

Ax = λIx

atau secara ekivalen

(λI-A)x = 0 (2.3)

supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari persamaan ini. Persamaan (2.2)

akan mempunyai pemecahan taknol jika dan hanya jika

det(λI-A) = 0

det(λI-A) = 0 dinamakan persamaan karakteristik A. Skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai

eigen dari A. Bila diperluas, maka determinan det(λI-A) adalah polinom λ yang dinamakan polinom

karakteristik dari A.

Ini dapat ditunjukkan bahwa jika A adalah matriks n × n, maka polinom karakteristik A harus berderajad

n dan koefisien adalah 1. Jadi, polinom karakteristik dari matriks n × n mempunyai bentuk

det(λI−A ¿=λn+c1 λn−1+…+cn

2.3 Dekomposisi LU

Matriks dinyatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi (reduced row-echelon form) jika matriks

tersebut mempunyai sifat-sifat berikut

1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah

1. (dinamakan 1 utama)

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan

bersama-sama di bawah matriks

3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam

baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi

4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.

Sebuah matriks yang mempunyai sifat-sifat 1, 2, dan 3, dikatakan berada dalam bentuk eselon baris

(row-echelon form).

Definisi 2.22. Sebuah faktorisasi matriks A bujur sangkar seperti A = LU , dimana L adalah segitiga

bawah dan U adalah segitiga atas dikatakan sebuah dekomposisi LU atau dekomposisi segitiga A.

Prosedur untuk membentuk dekomposisi LU dari matriks bujur sangkar A yang dapat direduksi terhadap

bentuk eselon baris tanpa mempertukarkan baris-baris tersebut yaitu:

Langkah 1.Reduksi A terhadap bentuk eselon baris U tanpa menggunakan pertukaran baris, dengan

mencari jejak pengali-pengali yang digunakan untuk memperkenalkan 1 utama dan pengali-

pengali yang digunakan untuk memperkenalkan nol di bawah 1 utama.

Langkah 2.Pada masing-masing kedudukan sepanjang diagonal utama L, tempatkanlah pengali yang

saling bertukar yang memperkenalkan 1 utama dalam kedudukan U.

8

Langkah 3.Pada masing-masing kedudukan di bawah diagonal utama L, tempatkanlah bilangan negatif

pengali yang digunakan untuk memperkenalkan nol dalam kedudukan U.

Langkah 4.Bentuklah dekonposisi A = LU.

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Nilai Karakteristik

Nilai Karakteristik disebut juga nilai eigen. Nilai Karakteristik dijelaskan atau diformulasikan

dalam bentuk persamaan differensial orde dua.

Diberikan persamaan differensial homogen orde dua:

d2udx2 +k 2u=0 ;u (0 )=0 , u (1 )=0

Dimana k 2 adalah parameter.

Selanjutnya persamaan differensial orde dua diatas diubah dan disajikan dalam bentuk

matriks.

Contoh:

d2udx2 +k 2u=0 ;u (0 )=0 , u (1 )=0 (1.1)

Solusi khususnya adalah :

ui−1−2 ui+ui+1

h2 +k2 ui=0

9

Dengan menggunakan 5 subinterval, h=0,2 dan berikut adalah empat persamaan dengan empat titik.

Disajikan dalam matriks.

[2−0.04 k2

−100

−12−0.04 k 2

−10

0−1

2−0.04 k2

−1

00

−12−0.04 k2][u1

u2

u3

u4]=[000

0] (1.2)

Persamaan matriks ( A−λI )u=0, dimana I adalah matriks identitas dan A adalah matriks :

[ 2−100

−12

−10

0−12

−1

00

−12

]Dan λ=0.04 k2

Solusi aproksimasi untuk permasalahan nilai karakteristik pada (1.1) dapat diselesaikan

menggunakan matriks dari (1.2). Tetapi, pada contoh adalah system persamaan homogen (ruas

kanan sama dengan 0), dan mempunyai solusi nontrivial jika det ( A−λI )=0

Pada umumnya kita menghitung nilai eigen untuk masalah nilai karakteristik dari det ( A−λI )=0

3.2 Metode Pangkat

A. Pengertian

Metode Pangkat ( The Power Method ) adalah suatu metode iteratif untuk mendapatkan nilai

eigen dominan dari suatu matriks dan vektor eigennya. Kami mengartikan nilai eigen dominan

sebagai nilai eigen λ1 yang memenuhi ¿ λ1∨¿¿ λi∨¿ untuk i= 2,....,n. Jika nilai-nilai eigen dari A

memenuhi :

¿ λ1|¿¿ λ2|>...>¿ λn∨¿

maka metode pangkat dapat digunakan untuk menghitung nilai-nilai eigen satu per satu.

Misalkan diketahui vektor A berukuran n × n dan dapat didiagonalkan. Misalkan pula λ1,

λ2, . . ., λn nilai eigen dari A yang memenuhi hubungan

¿ λ1|¿¿ λ2|>...>¿ λn∨¿>0

Karena A dapat didiagonalkan, terdapat vektor eigen v1, v2, . . ., vn yang masing-masing

berkaitan dengan nilai eigen λ1, λ2, . . ., λn dan membentuk basis di Rn, kemudian sebarang

vektor x0 di Rn dapat dituliskan sebagai

10

x0 = s1v1 + s2v2 + . . . + snvn .

dengan mengalikan A diperoleh

Ax0 = A (s1v1 + s2v2 + . . . + snvn)

= s1A v1 + s2A v2 + . . . + snA vn

= s1λ1 v1 + s2 λ2 v2 + . . . + sn λn vn

Kemudian hasil terakhir ini dikalikan dengan A, hal ini dilakukan berulang –ulang. Hasil sampai

dengan k kali adalah

Akx0 = s1 λ1k v1+s2 λ2

k v2+…+sn λnk vn

= λ1k¿ (1.1)

Jika k makin besar, nilai ¿ akan makin kecil untuk i = 2, . . . , n, karena ¿λi

λ1

∨¿k ¿< 1 Oleh

karena itu, untuk k yang cukup besar bentuk (1.1) menjadi

Ak x0 ≈ s1 λ1k v1

Dengan demikian telah didapatkan hampiran dari kelipatan vektor eigen v1 tersebut, yaitu vektor

Ak x0. Vektor Ak x0 merupakan hampiran vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen terbesar

v1 . makin besar nilai k makin baik pula hampiran Ak x0 terhadap sebuah vektor eigen dari A.

B. Langkah-Langkah

Jika harga mutlak terbesar dari nilai eigen suatu matriks adalah bilangan real dan memenuhi

| λ1| > | λ2| ≥ . . . | λn| > 0 , maka nilai eigen ini dapat dicari dengan menggunakan teknik iterasi

yang disebut metode pangkat. Rumus umum yang digunakan untuk mencari nilai eigen mutlak

terbesar ini yaitu :

A x(k)= y(k +1)=λ(k+1)x(k+1)

Berikut adalah langkah-langkah penggunaan metode pangkat :

11

1. Jika matriks A berukuran n × n, maka tentukanlah sebuah matriks yang berukuran n × 1 dan

bukan matriks nol.

2. Carilah nilai y(1 ) yang memenuhi perkalian matriks Ax(0)= y ( 1)

3. Bagi matriks y(1 ) dengan elemen dari matriks tersebut yang harga mutlaknya terbesar yaitu λ(1)

sehingga didapatkan y(1 )=λ(1)x(1 )

4. Ulangi langkah 2 dan 3 dengan xk=xk +1 dengan k = 0, 1, 2, 3, . . . sampai suatu iterasi yang

menunjukkan bahwa nilai λk ≈ λk+1 . λk +1 merupakan nilai eigen mutlak terbesar dari matriks

tersebut, sedangkan x(k +1) adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λk+1.

C. Contoh

Carilah nilai eigen mutlak terbesar dan vektor eigen yang bersesuaian dengannya pada matriks

berikut:

A=[3.6 4.44.4 2.6

0.8 −1.6 −2.81.2 −0.4 0.8

0.8 1.2−1.6−2.8

−0.40.8

0.8 −4.0 −2.8−4.0−2.8

1.22.0

2.01.8

]Karena matriks A diatas berukuran 5 × 5, maka matriks A mempunyai 5 nilai eigen. Sehingga

langkah pertama kita tentukan x(0)=[

11111]

Langkah berikutnya mencari nilai y(1 ) yang memenuhi perkalian matriks A x(0)= y(1), yaitu :

A x(0)=[3.6 4.44.4 2.6

0.8 −1.6 −2.81.2 −0.4 0.8

0.8 1.2−1.6−2.8

−0.40.8

0.8 −4.0 −2.8−4.0−2.8

1.22.0

2.01.8

][11111] ¿ [

4.48.6−4

−2.8−1

]elemen vektor x(0) yang terbesar adalah 8.6 sehingga

12

λ(1)=8.6 x(1)=[

0.511627906976741

−0.46511627906977−0.32558139534884−0.11627906976744

]A x (1 )=[

3.6 4.44.4 2.6

0.8 −1.6 −2.81.2 −0.4 0.8

0.8 1.2−1.6−2.8

−0.40.8

0.8 −4.0 −2.8−4.0−2.8

1.22.0

2.01.8

][0.51162790697674

1−0.46511627906977−0.32558139534884−0.11627906976744

] ¿ [

6.716279069767444.330232558139542.865116279069770.01860465116279

−0.19069767441860]

λ(2)=6.71627906976744 x(2)=[

10.644736842105260.426592797783930.00277008310249

−0.02839335180055]

A x (2 )=[3.6 4.44.4 2.6

0.8 −1.6 −2.81.2 −0.4 0.8

0.8 1.2−1.6−2.8

−0.40.8

0.8 −4.0 −2.8−4.0−2.8

1.22.0

2.01.8

][1

0.644736842105260.426592797783930.00277008310249

−0.02839335180055]

¿ [6.853185595567876.564404432132961.98337950138504

−3.61772853185596−3.52423822714681

]13

λ(3)=6.85318559556787 x(3)=[

10.957861762328210.28940986257074

−0.52789005658852−0.51424818108327

]pada iterasi selanjutnya, dengan menggunakan bantuan program matlab didapatkan hasil dalam

tabel berikut ini:

Iterasi

(k)

λk x1k x2

k x3k x4

k x5k

0 1 1 1 1 1

1 8.6 0.5116279070 1.0000000000 -0.4651162791 -0.3255813953 -0.1162790698

2 6.7162790698 1.0000000000 0.6447368421 0.4265927978 0.0027700831 -0.0283933518

3 6.8531855956 1.0000000000 0.9578617623 0.2894098626 -0.5278900566 -0.5142481811

4 10.3306386419 1.0000000000 0.6812250567 0.5548947492 -0.4649033571 -0.4671042335

5 9.0930432741 1.0000000000 0.7312553787 0.5750430293 -0.6141135972 -0.6135811102

6 9.9781669535 1.0000000000 0.6760857181 0.6325833597 -0.6170244329 -0.6171263119

7 9.7960366135 1.0000000000 0.6808908424 0.6444872762 -0.6508192977 -0.6507980024

8 9.9750548109 1.0000000000 0.6700103774 0.6574570821 -0.6549221761 -0.6549263962

9 9.9556807176 1.0000000000 0.6698691353 0.6612768046 -0.6622944297 -0.6622935769

14

10 9.9905387418 1.0000000000 0.6676591723 0.6642749017 -0.6638676365 -0.6638678067

34 9.9999999991 1.0000000000 0.6666666667 0.6666666665 -0.6666666665 -0.6666666665

35 9.9999999995 1.0000000000 0.6666666667 0.6666666666 -0.6666666666 -0.6666666666

36 9.9999999998 1.0000000000 0.6666666667 0.6666666666 -0.6666666666 -0.6666666666

37 9.9999999999 1.0000000000 0.6666666667 0.6666666666 -0.6666666666 -0.6666666666

38 9.9999999999 1.0000000000 0.6666666667 0.6666666667 -0.6666666667 -0.6666666667

Berdasarkan tabel di atas, dapat diketahui bahwa nilai eigen terbesar dari matriks A pada iterasi

ke-38 adalah 9.9999999999 dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut yaitu:

x(38)=[1

0.66666666670.6666666667

−0.6666666667−0.6666666667

]3.3 Metode Pangkat Invers

A. Pengertian

15

Jika harga mutlak terkecil dari nilai eigen suatu matriks adalah bilangan real dan

memenuhi

¿ λ1|≥ ¿ λ2|≥ ...¿ λn∨¿0

maka nilai eigen ini dapat dicari dengan menggunakan variasi dari metode pangkat yang

disebut metode pangkat invers. Pada dasarnya, nilai eigen terbesar dari invers matriks A−1

adalah merupakan nilai eigen terkecil dari matriks A. Perhatikan kembali persamaan:

A x=λ x

dengan mengalikan kedua sisi persamaan tersebut dengan A−1 akan menghasilkan

A−1 A x=I x=x=λ A−1 x (1.2)

dengan menyusun kembali persamaan (1.2), maka diperoleh persamaan nilai eigen untuk

A−1 :

x=λ A−1 x

A−1 x=( 1λ ) x=λinvers x

Nilai eigen dari matriks A−1, yaitu λ invers berbanding terbalik dengan nilai eigen dari matriks

A, sedangkan vektor eigen dari matriks A−1 sebanding dengan vektor eigen dari matriks A.

Metode pangkat dapat digunakan untuk menemukan nilai eigen terbesar (dalam harga

mutlak) dari matriks A−1, yaitu λ invers. Kebalikan dari nilai eigen ini adalah adalah nilai

eigen terkecil (dalam harga mutlak) dari matriks A.

Dalam penggunaannya, metode LU diperlukan untuk mencari nilai eigen mutlak

terbesar dari matriks A−1. Persamaan metode pangkat yang diterapkan pada matriks A−1

(matriks invers) yaitu:

A−1 x(k)= y(k +1) (1.3)

dengan mengalikan persamaan (1.3) dengan A akan menghasilkan

A A−1 x (k )¿ A y ( k+1)

I x ( k ) ¿ A y ( k+1 )

x (k )=A y (k +1)

jadi,

16

A y(k +1)=x(k) (1.4)

Persamaan (1.4) adalah bentuk standard Ax = b , dimana x= y(k+1) dan b = x(k) . Sehingga

jika x(k)

diketahui, maka y (k+1) dapat dicari dengan metode LU.

B. Langkah-Langkah

Langkah-langkah yang digunakan pada metode pangkat invers yaitu :

1. Carilah matriks L dan U yang memenuhi persamaan LU = A.

2. Tentukan matriks x(0) yang bukan matriks nol.

3. Carilah x’ dengan substitusi ke depan pada persamaan Lx’ = x(0)

4. Carilah y’ dengan substitusi ke belakang pada persamaan Uy (1) = x’

5. Bagi y(1) dengan elemen y(1) yang terbesar (dalam harga mutlak) agar diperoleh

y(1 )=λ(1)invers x(1).

6. Ulangi langkah 3 sampai 5 dengan xk=xk +1 dengan k = 0, 1, 2, 3, . . .

Iterasi dilakukan sampai nilai x konvergen. Pada saat konvergen, λ = 1/ λinverse adalah

nilai eigen yang dicari dan x(k+1) adalah vektor eigen yang bersesuaian.

C. Contoh

Carilah nilai eigen mutlak terkecil dan vektor eigen yang bersesuaian dengannya dari

matriks berikut:

A=[3.6 4.44.4 2.6

0.8 −1.6 −2.81.2 −0.4 0.8

0.8 1.2−1.6−2.8

−0.40.8

0.8 −4.0 −2.8−4.0−2.8

1.22.0

2.01.8

]Penyelesaian :

17

Karena nilai eigen yang dicari adalah yang terkecil harga mutlaknya, maka digunakan

metode pangkat invers. Langkah pertama yaitu mencari matriks L dan U yang memenuhi

persamaan LU = A.

[a11 0 0 0 0a21 a22 0 0 0a31

a41

a51

a32

a42

a52

a33 0 0a43 a44 0

a53 a54 a55

][1 a12 a13 a14 a15

0 1 a23 a24 a25

000

000

1 a34 a35

0 1 a45

0 0 1]=[

3.6 4.44.4 2.6

0.8 −1.6 −2.81.2 −0.4 0.8

0.8 1.2−1.6−2.8

−0.40.8

0.8 −4.0 −2.8−4.0−2.8

1.22.0

2.01.8

]Dengan metode dekomposisi LU diperoleh

L=[3.6 0 0 0 04.4 −25 /9 0 0 00.8

−1.6−2.8

2/914 /938 /9

16 /25 0 0−88/25 −18 0

−46 /25 −7 125/36]dan

U=[1 11/9 2 /9 −4/9 −7 /90 1 −2/25 −14/25 −38/25000

000

1 −11/2 −23/180 1 7 /18

0 0 1]

Langkah kedua, karena matriks A berukuran 5 × 5, maka x(0)t = [1 1 1 1 1]. Langkah

ketiga mencari x’ pada persamaan Lx’ = x(0)

L=[ 3.6 0 0 0 04.4 −25 /9 0 0 00.8

−1.6−2.8

2/914 /938 /9

16 /25 0 0−88/25 −18 0

−46 /25 −7 125/36] [

x1'

x2'

x3'

x4'

x5']=[1111

1]

Dengan metode substitusi biasa diperoleh[x1

'

x2'

x3'

x4'

x5']=[ 5 /18

2/2519 /16

−11/36107 /250

]18

Langkah keempat mencari y’ pada persamaan Uy (1) = x’

[1 11 /9 2/9 −4 /9 −7/90 1 −2/25 −14 /25 −38/25000

000

1 −11 /2 −23 /180 1 7 /18

0 0 1] [

y1(1)

y2(1)

y3(1)

y 4(1)

y5(1)

]=[5/182/25

19/16−11 /36107/250

]diperoleh [

y1(1)

y2(1)

y3(1)

y4(1 )

y5(1)

]=[−14 /125113 /250−89/500−59/125107 /250

]=[−0.1120.452

−0.178−0.4720.428

]Langkah kelima membagi y(1) dengan elemen y(1) yang terbesar (dalam harga mutlak) agar

diperoleh y(1 )=λ(1)invers x(1)

Sehingga,

y(1 )=−0.472[0.2372881356

−0.95762711860.3771186441

1−0.9067796610

] . Hasil dari iterasi pertama ini digunakan untuk iterasi kedua

yang dimulai pada langkah kedua yaitu mencari x’ pada persamaan

Lx’ = x(0) dengan x(0) = x(1) . Iterasi ini dilanjutkan beberapa kali sampai nilai

λ(k+1 )≈ λ(k).

Pada iterasi selanjutnya, dengan menggunakan bantuan program matlab didapatkan hasil

dalam tabel berikut ini :

Iterasi

(k)

λk x1k x2

k x3k x4

k x5k

0 1 1 1 1 1

1 -0.472 0.2372881356 -0.9576271186 0.3771186441 1.0000000000 -0.9067796610

19

2 -0.7521186441 -0.6732394366 0.8478873239 0.9366197183 -0.2676056338 1.0000000000

3 1.0858873239 -0.5549041480 0.5855145399 0.4997146489 -0.7510181846 1.0000000000

4 0.9029015020 -0.7236708092 0.7302788747 0.7395553059 -0.6161029939 1.0000000000

5 1.0547907039 -0.6342824683 0.6355190877 0.6305748231 -0.6853706491 1.0000000000

6 0.9708342864 -0.6833945812 0.6836476518 0.6843552306 -0.6570931980 1.0000000000

7 1.0152225191 -0.6581548031 0.6582044924 0.6579188221 -0.6711093046 1.0000000000

8 0.9923296841 -0.6709718341 0.6709818321 0.6710313438 -0.6644446170 1.0000000000

9 1.0038834058 -0.6645078896 0.6645098798 0.6644930755 -0.6677588832 1.0000000000

10 0.9980561769 -0.6677497014 0.6677501001 0.6677534127 -0.6661210398 1.0000000000

33 1.0000000002 -0.6666666665 0.6666666665 0.6666666665 -0.6666666667 1.0000000000

34 0.9999999995 -0.6666666667 0.6666666667 0.6666666667 -0.6666666666 1.0000000000

35 1.0000000001 -0.6666666666 0.6666666666 0.6666666666 -0.6666666667 1.0000000000

36 1.0000000000 -0.6666666667 0.6666666667 0.6666666667 -0.6666666667 1.0000000000

20

Berdasarkan tabel di atas, dapat diketahui bahwa nilai λinverse dari matriks A pada iterasi ke-36

adalah 1. Jadi, aproksimasi terhadap nilai eigen mutlak terkecil dari matriks A adalah

λ= 1λinvers

=11=1

dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut yaitu:

x(36)=[−0.66666666670.66666666670.6666666667

−0.66666666671

]. Kedua nilai ini memiliki galat maksimal

1 ×10−10

3.4 METODE QR

BAGIAN I: Transformasi Kesamaan

• ada transformasi lain yang tidak mengubah nilai eigen yang sering disebut dengan

transformasi kesamaan. untuk setiap matriks nonsingular M nonsingular, perkalian M * A *

M-1 = B, mengubah A ke B, dan B memiliki nilai eigen sebagai A.

Trik untuk menemukan M:

• Pertama, mengubah salah satu elemen subdiagonal dari A ke nol.

• Kedua, melakukan ini untuk semua elemen di bawah diagonal sampai A telah menjadi

segitiga atas

Dalam proses ini lambat, iterasi banyak dibutuhkan, tetapi prosedur bekerja.

Misalkan A adalah matriks 4x4, Berikut ini adalah matriks Q juga 4x 4, yang akan menciptakan nol

di posisi a42

Q =

21[1 0 0 00 c 0 s0 0 1 00 −s 0 c

]

dimana,

Contoh

Diketahui

Dimana,

Ketika kita mengalikan Q dengan A, kita peroleh:

22

d=√(a22

2

)+(a22

2

)

c=a 22

d

s=a 42

d

A=[7 8 6 61 6 −1 −21 −2 5 −23 4 3 4

]d=√(62+42)=7 .21110

c=6d

=0 . 83205

s=4d

=0 .55470

Q=[1 0 0 00 0 . 83205 0 0.55470 0 1 00 −0 . 5547 0 0.83205

]

Q∗A=[ 7 8 6 62. 49615 7 . 21110 0 . 83205 0 .5547

1 −2 5 −21. 94145 0 3 . 05085 4 . 4376

]

Yang mana

Kita peroleh :

Dimana jejaknya adalah sama dengan matriks A asli sehingga nilai eigennya juga sama.

BAGIAN II- Membuat matriks Upper Hassenberg

Langkah-langkah yang akan kita gunakan:

• Konversikan ke upper Hessenberg

• Geser dengan ann kemudian lakukan similarity transforomation untuk semua kolom dari 1

sampai n-1

• Ulangi langkah 2 hingga semua elemen di sebelah kiri ann adalah nol. Sebuah nilai eigen

akan di dapatkan dari posisi ann

• Abaikan baris dan kolom terakhir , dan ulangi langkah 2 dan 3 sampai semua elemen di

bawah diagonal dari matriks asli dasarnya nol. nilai-nilai eigen kemudian muncul pada

diagonal

Contoh

Diketahui

Kita dapat membuat nol pada kolom pertama dan baris ke-3 dan ke- 4 dengan B * A * B-1, di mana

23

Q−1

=[1 0 0 00 0. 83205 0 −0 . 55470 0 1 00 0 .55470 0 0 .83205

]Q∗A∗Q−1=[ 7 9 . 98460 6 0 .55470

2. 49615 6 . 30769 0 . 83205 −3 .538461 −2. 77350 5 −0 . 55470

1. 94145 2 . 46154 3 . 05085 3 .69231]

A=[7 8 6 61 6 −1 −21 −2 5 −23 4 3 4

]

Jika kita mengalikan B1*A*B1-1, , kita peroleh:

Yang mana bernilai nol dibawah subdiagonal dari kolom ke dan mempunyai nilai eigen yang sama

dengan matriks A. Kita lanjutkan pada kolom ke-2, dimana sekarang

Sekarang premultiplying matriks yang terakhir dengan B2 and postmultiplying B2-1 menghasilkan

the lower Hassenberg matrix

103800

0620

22111

660327

12

1112 BABBB

Bagian III- Langkah Kombinasi

Jika kita

(1) mengkonversi matriks A ke Hassenberg atas dan

24

B1−1=[1 0 0 0

0 1 0 00 b3 1 00 b4 0 1 ]B1=[1 0 0 0

0 1 0 00 −b3 1 00 −b4 0 1 ]

b3=a31

a21

=1

b4=a41

a21

=31

=3

[7 32 6 81 −1 −1 −20 −2 6 00 22 6 10

]B2

−1=[1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 b4 1 ]B2=[1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 −b4 1 ]

b4=a42

a32

=22−2

=−11

(2) melakukan operasi QR, akhirnya

7000

6958.1400

7199.28256.110

2668.39054.48315.910

BAB IV

PENUTUP

4.1Kesimpulan

Nilai eigen adalah Untuk mencari nilai eigen dapat menggunakan berbagai macam metode

diantaranya adalah :

1. Metode Pangkat ( The Power Method ) adalah suatu metode iteratif untuk mendapatkan

nilai eigen dominan dari suatu matriks dan vektor eigennya. Nilai eigen dominan sebagai

nilai eigen λ1 yang memenuhi ¿ λ1∨¿¿ λi∨¿ untuk i= 2,....,n. Jika nilai-nilai eigen dari A

memenuhi :

¿ λ1|¿¿ λ2|>...>¿ λn∨¿

2. Metode Pangkat Invers (The Invers Power Method) adalah suatu metode iteratif untuk

mendapatkan nilai eigen terkecil dari suatu matriks dan vektor eigennya untuk nilai-nilai

eigen dari A yang memenuhi :

¿ λ1|≥ ¿ λ2|≥ ...¿ λn∨¿0

3. Metode QR adalah

25

DAFTAR PUSTAKA

http://retserv.eng.hawaii.edu/Distance_Learning/SP2010/Documents/Intro_Eigen-Value_typed.pdf

http://distance-ed.math.tamu.edu/Math640/chapter6/node6.html

http://www.astro.utu.fi/edu/kurssit/f90/f90/english/pdf/numeigen.pd f

http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/fullchapter/03510017-noor-farida.ps

26